网络最大流问题
网络最大流
容量为20 容量为
• 最小截集： • 容量最小截集的称为网络G的最小截集。 • 最大流-最小截集定理： • 在任一个网络D中，从vs到vt的最大流的 流量等于分离的最小截集的容量。
（二）、 求最大流的标号法
标号过程： 1． 给发点vs 标号（0，+∞）。 2． 取一个已标号的点vi，对于vi一切未标号的邻 接点vj 按下列规则处理： （1）如果边 (v j , vi ) ∈ E ，且 f j i > 0 ，那么给vj 标 号 (−vi , δ j ) ，其中： δ j = min( f j i , δ i ) （2）如果边 (vi , v j ) ∈ E ，且 f ij < cij，那么给vj 标号 ( +vi , δ δ j = min(ci j − f i j , δ i ) ，其中：j ) 3．重复步骤2，直到vt被标号或标号过程无法进 行下去，则标号结束。若vt被标号，则存在一条增广 链，转调整过程；若vt未被标号，而标号过程无法进 行下去，这时的可行流就是最大流。
2．去掉所有标号，回到第一步，对可行流 重新标号。
求下图所示网络中的最大流，弧旁数为
v2 (3 , 3) vs (5 , 1) (1 , 1) v1 （-v1, 1） ） v2 (3 , 3) （0，+∞） ， ） vs (5 , 1) v1 （+ vs , 4） ） (2 , 2) (1 ,1) (1 , 1) (3 ,0) (2 ,1) v3 （-v2 ，1） ） (2 , 2) (4 ,3) (1 ,1) (3 ,0) (2 ,1) v3 （+v2，1） ） v4 (5 ,3) v4 (5 ,3) vt
f = f (v i , v j ) = { f i j }
最大流问题的求解方法及应用
最大流问题的求解方法及应用
最大流问题，是指在一个有向图中，从源点 s 到汇点 t 的最大
流量。
在实际应用中，最大流问题往往用于描述网络传输、油管输送等流量分配问题。
求解最大流问题的方法包括以下几种：
1. 网络流算法：这是一种基于图论和线性规划的算法。
通过构建网络流图，将最大流问题转化为最小割问题，再利用线性规划求解最小割问题的对偶问题来求解最大流问题。
2. 增广路算法：这是一种经典的最大流算法，其基本思想是不断找到增广路径，即从源点 s 到汇点 t 的一条路径，沿途边权
均有剩余容量，使得该路径上的边的剩余容量中的最小值最大化，最终得到最大流。
3. 矩阵树定理：这是一种基于图论和矩阵运算的算法，适用于有向图和无向图。
通过计算图的拉普拉斯矩阵的行列式等方法，求得图的生成树个数，从而计算最大流。
4. Dinic算法：是对增广路算法的改进。
在增广路算法中，每
次查找增广路径的过程需要遍历整个图，为了提高效率，
Dinic算法引入了分层图的概念，将图分层之后只在图的一层
中查找增广路径，最终求得最大流。
这些方法在实际应用中常常被用来解决路由选择、网络流量优化、模拟电路分析等问题。
例如，最大流可以被用来优化数据传输、流水线设计、流量管道的运营和管理，提高资源利用率和数据传输速度。
最大流问题解题步骤
最大流问题解题步骤一、什么是最大流问题？最大流问题是指在一个有向图中，给定源点和汇点，每条边都有一个容量限制，求从源点到汇点的最大流量。
该问题可以用于网络传输、电力调度等实际应用中。
二、最大流问题的解法1. 增广路算法增广路算法是最基本的解决最大流问题的方法。
其基本思想是不断地寻找增广路，并将其上的流量加入到原来的流中，直到不存在增广路为止。
具体步骤如下：（1）初始化网络中各边上的流量均为0；（2）在残留网络中寻找增广路；（3）如果存在增广路，则将其上的最小剩余容量作为增量加入到原来的流中；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。
2. Dinic算法Dinic算法是一种改进型的增广路算法，其核心思想是通过层次分析和分层图来减少搜索次数，进而提高效率。
具体步骤如下：（1）构建分层图；（2）在分层图上进行BFS搜索寻找增广路径；（3）计算路径上可行流量并更新残留网络；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。
3. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种基于增广路的算法，其核心思想是不断地寻找增广路，并将其上的流量加入到原来的流中，直到不存在增广路为止。
具体步骤如下：（1）初始化网络中各边上的流量均为0；（2）在残留网络中寻找增广路；（3）如果存在增广路，则将其上的最小剩余容量作为增量加入到原来的流中；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。
三、最大流问题解题步骤1. 确定源点和汇点首先需要确定问题中的源点和汇点，这是解决最大流问题的前提条件。
2. 构建残留网络在有向图中，每条边都有一个容量限制。
我们可以将这些边看作管道，容量看作管道的宽度。
在实际传输过程中，某些管道可能已经被占用了一部分宽度。
因此，在求解最大流问题时，需要构建一个残留网络来表示哪些管道还能够继续传输数据。
具体方法是：对于每条边(u,v)，分别构造两条边(u,v)和(v,u)，容量分别为c(u,v)-f(u,v)和f(u,v)，其中c(u,v)表示边的容量，f(u,v)表示当前流量。
最大流常见算法
最大流常见算法最大流问题是图论中的一个重要问题，其求解方法有多种，本文将介绍最常见的几种算法。
一、最大流问题简介最大流问题是在一个网络中寻找从源点到汇点的最大流量的问题。
网络是由一些节点和连接这些节点的边构成的，每条边都有一个容量，表示该边所能承载的最大流量。
源点是流量的起点，汇点是流量的终点。
在网络中，还可能存在其他节点和边。
二、Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最早用于解决最大流问题的算法之一。
该算法基于增广路径来不断增加流量，直到无法再找到增广路径为止。
1. 算法步骤（1）初始化：将所有边上的流量设为0。
（2）寻找增广路径：从源点开始进行深度优先或广度优先搜索，在搜索过程中只选择剩余容量不为0且没有被标记过的边，并记录路径上容量最小值min。
（3）更新路径上各个边上的流量：将路径上各个边上的流量加上min。
（4）返回第二步，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法分析Ford-Fulkerson算法可以保证在有限步内求解出最大流，但是其时间复杂度与增广路径的选择有关，最坏情况下可能需要指数级的时间复杂度。
三、Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是基于Ford-Fulkerson算法的一种改进算法。
该算法使用BFS来寻找增广路径，可以保证在多项式时间内求解出最大流。
1. 算法步骤（1）初始化：将所有边上的流量设为0。
（2）寻找增广路径：从源点开始进行BFS，在搜索过程中只选择剩余容量不为0且没有被标记过的边，并记录路径上容量最小值min。
（3）更新路径上各个边上的流量：将路径上各个边上的流量加上min。
（4）返回第二步，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法分析Edmonds-Karp算法相对于Ford-Fulkerson算法来说，在同样的网络中，其时间复杂度更低，可以保证在O(VE^2)的时间内求解出最大流。
但是在某些特殊情况下仍然可能需要指数级时间复杂度。
最大流的概念
最大流的概念最大流（Maximum Flow）是指在一个有向图中，给每条边一个容量限制，然后寻找一条从源点到汇点的路径，使得路径上的每条边的流量都不超过其容量限制的最大值。
最大流问题是网络流理论中的一种经典问题，具有广泛的应用领域，如网络优化、流量分配、资源调度等。
最大流问题可以用图论中的图来进行模型表示，其中图中的节点表示流经的位置，边表示流量通路，每条边还有一个容量值，表示该边所能承载的最大流量。
图中通常包括一个源点（Source）和一个汇点（Sink），各个节点与源点和汇点之间的连接关系构成了一个流量网络。
每个节点上的流量是指通过该节点的流量总和，而边上的流量是指该边上的实际流量。
最大流问题的求解可以采用不同的算法，其中最常见的是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
下面将对这两种算法进行详细介绍。
1. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最大流问题的经典算法，它的思想是不断寻找增广路径，并通过增加该路径上各边的流量来增加整个流量网络的流量。
算法的基本步骤如下：(1) 初始化流量网络的流量为0。
(2) 通过任意的路径查找算法（如深度优先搜索）找到一条从源点到汇点的增广路径。
(3) 在该增广路径上增加流量的值为该路径上残余容量的最小值。
(4) 更新整个流量网络中各边的残余容量和反向边的流量。
(5) 重复步骤2至4，直到无法找到增广路径为止。
2. Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是Ford-Fulkerson算法的一种改进，它通过使用广度优先搜索来寻找增广路径，使得算法的时间复杂度优于Ford-Fulkerson算法。
算法的具体步骤如下：(1) 初始化流量网络的流量为0。
(2) 通过广度优先搜索查找一条从源点到汇点的最短增广路径。
(3) 在该增广路径上增加流量的值为该路径上残余容量的最小值。
(4) 更新整个流量网络中各边的残余容量和反向边的流量。
8.4 网络最大流问题
所有指向为vs→vt的弧，称为前向弧，记作μ +；
所有指向为vt →vs的弧，称为后向弧，记做μ
－，
增广链：设 f 是一个可行流，μ是从vs 到 vt 的一条链，若μ满 足下列条件，称之为(关于可行流 f 的)增广链。
1)在(vi , vj)∈μ+上，0≤fij＜cij，即μ+中的弧都是非饱和弧。
2)在(vi，vj)∈μ-上，0＜fij≤cij，即μ-中的弧都是非零流弧。
§8.4 网络最大流问题
Page 22
(3) 检查与v3点相邻的未标号的点，因f3t<c3t，故对vt 标 l(vt)=min{l(v3), c3t-f3t } =min{1, 1}= 1 找到一条增广链 vs→v1→v2 →v3 →vt ( v , 1) 2 (-v v12, 1) (4,3) v4 (3,3) (5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
v ( f ) f s1 f s 2 f 4 t f 3 t 5
§8.4 网络最大流问题
Page 25
例8.10 用标号算法求下图中vs→vt的最大流量，并找出最小 截。 v1 9(3) v3 8(7)
5(4) 5(4)
2(0)
vs
7(5)
6(1)
●
vt
10(8) v2 9(9) v4
§8.4 网络最大流问题
基本方法： (1)找出第一个可行流（例如所有弧的流量fij =0）；
Page 14
(2)用标号的方法找一条增广链：
首先给发点vs标号(0,+∞),第一个数字表示标号从哪一点得到；
第二个数字表示允许的最大调整量。
选择一个点 vi 已标号且另一端未标号的弧沿着某条链向收
运筹学第7章 最大流问题(精简)
对最大流问题有下列定理：
定理1 容量网络中任一可行流的流量 不超过其任一割集的容量。
定理2（最大流-最小割定理）任一容 量网络中，最大流的流量等于最小割集 的割量。
推论1 可行流f*＝{fij*}是最大流，当且 仅当G中不存在关于f.*的增广链。
求最大流的标号法
标号法思想是：先找一个可行流。 对于一个可行流，经过标号过程得到 从发点vs到收点vt的增广链；经过调整 过程沿增广链增加可行流的流量，得 新的可行流。重复这一过程，直到可 行流无增广链，得到最大流。
.
标号过程:
(1)给vs标号(,+∞)，vs成为已标号未检查的点，其 余都是未标号点。
(2)取一个已标号未检查的点vi，对一切未标号点vj： 若有非饱和边(vi,vj)，则vj标号(vi,l(vj))，其中l(vj)＝ min[l(vi),cij – fij]，vj成为已标号未检查的点；若有非 零边(vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi), fji]， vj成为已标号未检查的点。vi成为已标号已检查的点 。
最大流问题
.
基本概念
v2 3
4
v4
5
vs
1
1
3
vt
5
2
v1
2
v3
给定一个有向图G＝(V,E)，其中仅有一个点的入次
为零称为发点（源），记为vs，仅有一个点的出次为零 称为收点（汇），记为vt，其余点称为中间点。
对于G中的每一条边(vi,vj)，相应地给一个数cij （cij≥0），称为边(vi,vj)的容量。我们把这样的网络 G称为容量网络 ，记为G＝(V,E,C)。
但利用它与图的密切关系，可以利用图直观简便地求 解。
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题摘要：一、运筹学最大流问题的基本概念二、最大流问题的求解方法三、最大流问题例题详解四、总结与展望正文：一、运筹学最大流问题的基本概念运筹学最大流问题是一种在网络中寻找最大流量的问题。
给定一个有向图G（V，E），其中仅有一个点的入次为零，称为发点（源），记为vs；仅有一个点的出次为零，称为收点（汇），记为vt；其余点称为中间点。
对于G 中的每一条边（vi，vj），相应地给一个数cij（cij≥0），称为边（vi，vj）的容量。
最大流问题的目标是找到从源点到汇点的最大流量。
二、最大流问题的求解方法求解最大流问题的方法有很多，其中最著名的方法是Ford-Fulkerson 算法。
该算法的基本思想是寻找增广链，即在网络中找到一条从源点到汇点的路径，使得路径上的每条边的容量都没有被完全利用。
通过不断地寻找增广链并更新流量，最终可以得到最大流量。
另一种求解最大流问题的方法是最小费用最大流问题。
该方法通过将流量问题转化为费用问题，利用最小费用最大流问题的求解方法求解最大流问题。
在最小费用最大流问题中，每条边的容量被视为费用，目标是找到从源点到汇点的最大流量，同时使总费用最小。
三、最大流问题例题详解假设有如下网络图：```A -- 1 --B -- 2 --C -- 3 --D -- 4 --E -- 5 -- F| | | | | | | | | |4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5```其中，箭头表示流向，数字表示容量。
从A 点到F 点的最大流量是多少？通过Ford-Fulkerson 算法，我们可以得到如下的增广链：A ->B ->C ->D ->E -> F该链的容量为：4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10当前流量为：4 + 3 + 2 + 1 = 10由于该链的容量等于当前流量，所以无法继续寻找增广链。
因此，从A 点到F 点的最大流量为10。
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题运筹学中的最大流问题是一种重要的优化问题，它在网络流量分配、路径规划等领域有着广泛的应用。
下面我将给出两个较为详细的最大流问题例题，以帮助读者更好地理解。
例题一：假设有一个有向图，其中包含一个源点S和一个汇点T，其他节点分别表示供给点和需求点。
每条边的容量表示该路径上的最大流量。
现在我们需要确定从S到T的最大流量。
其中，源点S有一个供给量为10的容器，汇点T有一个需求量为10的容器。
其他节点没有容器。
图中各点之间的边的容量如下：S -> A: 5S -> B: 3A -> C: 4A -> D: 2B -> E: 2B -> F: 4C -> T: 3D -> T: 1E -> T: 1F -> T: 5求解：通过构建网络流图，我们可以将这个问题转化为一个最大流问题。
首先，我们为每条边都添加一个容量属性，然后为S和T之间添加一个超级源点和超级汇点。
图示如下所示：```S/ | \A B C/ | | \D E F T```超级源点S0与源点S之间的边的容量为源点S的供给量10，超级汇点T0与汇点T之间的边的容量为汇点T的需求量10。
接下来，我们要找到从超级源点到超级汇点的最大流量，即求解这个网络流图的最大流。
解答：根据这个网络流图，我们可以使用Ford-Fulkerson算法求解最大流问题。
具体步骤如下：1. 初始化网络流为0。
2. 在剩余容量大于0的路径上增广流量：从超级源点出发，找到一条路径到达超级汇点，该路径上的流量不超过路径上边的最小容量。
3. 更新剩余容量：将路径上的每条边的剩余容量减去增广流量。
4. 将增广流量加到网络流中。
5. 重复步骤2-4，直到找不到从超级源点到超级汇点的路径。
通过应用Ford-Fulkerson算法，我们可以得到从超级源点到超级汇点的最大流量为8。
因此，从源点S到汇点T的最大流量也为8。
求解最大流问题的算法和模型
求解最大流问题的算法和模型最大流问题是图论中的一个基本问题，涉及到网络流的计算和优化。
在实际应用中，最大流问题的求解涉及到诸多算法和模型，如增广路径算法、Ford-Fulkerson算法、Dinic算法、最小割定理等。
本文将从这些方面进行论述。
1. 增广路径算法增广路径算法是求解最大流问题的经典算法，其基本思想是不断地寻找增广路径，通过增加路径上的流量来增加整个网络的流量。
具体来说，首先通过深度优先搜索或广度优先搜索找到一条从源点到汇点的增广路径，然后确定路径上的最小流量d，将当前流量增加d，将反向边的流量减少d，同时计算当前网络的流量。
2. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种经典的增广路径算法，其基本理念与增广路径算法相同，但采用不同的策略来确定增广路径。
具体来说，Ford-Fulkerson算法采用贪心策略，在每次迭代中选择路径上的最小容量，从而确定增加的流量。
此外，Ford-Fulkerson算法还引入了残量图的概念，用于计算增广路径的容量。
3. Dinic算法Dinic算法是一种高效的增广路径算法，其主要优点是采用了分层图的策略来确定增广路径，使得每次迭代的搜索范围大为缩小。
具体来说，Dinic算法首先利用BFS算法确定每个节点的分层，然后在分层图上通过DFS算法查找增广路径，在路径上增加流量，更新分层图，重复此过程直至求解最大流。
4. 最小割定理最小割定理是求解最大流问题的重要定理，其核心思想是将网络分成两个不相交部分，并将其最小的割称为最小割。
最小割定理指出，在任意网络中，最大流等于最小割。
因此，求解最大流可以转化为求最小割问题，即在网络中寻找一组最小割，使得所有的割中容量最小的一组割。
总之，求解最大流问题是图论中的一个重要问题，其求解涉及到诸多算法和模型，如增广路径算法、Ford-Fulkerson算法、Dinic 算法、最小割定理等。
在实际应用中，不同情况下可能需要采用不同的算法和模型来求解，需要灵活应用。
最大流问题实际应用场景
最大流问题实际应用场景引言最大流问题是图论中的常见问题之一，也是一种典型的网络流问题。
其应用场景广泛，涉及到物流配送、通信网络、水资源管理等领域。
通过对最大流问题的深入研究和解决，可以优化资源利用，提升系统性能，实现资源的合理分配与调度。
铁路货运优化铁路货运优化是最大流问题在实际应用中的一个典型场景。
铁路系统通常由一系列的节点（火车站）和边（铁路线路）组成，货物需要在不同的火车站之间进行运输。
通过求解最大流问题，可以确定铁路货运系统的最大吞吐量，从而在不同的火车站之间合理调度货物的运输量，提高铁路货运的效率。
问题建模1.将所有火车站表示为图的节点，铁路线路表示为图的边。
2.将每个火车站看作一个节点，引入超级源点S和超级汇点T。
3.设置超级源点S和超级汇点T，并将超级源点与火车站相连，容量设置为该站发出货物的总量；将超级汇点与火车站相连，容量设置为该站需要接收货物的总量。
4.将铁路线路表示为图的边，设置其容量为该线路的运输能力。
求解方法1.构建图模型后，可以利用网络流算法（如Ford-Fulkerson算法）求解最大流问题，得到最大的货物运输量。
2.根据最大流的结果，可以对不同的火车站之间的货物进行分配和调度，优化运输效率。
电力网络优化电力网络是一个复杂而庞大的系统，其中电力的产生、输送和分配需要进行合理的管理和优化。
最大流问题可以用于解决电力网络中的优化问题，如电力输送、线路负载平衡等。
问题建模1.将电力网络中的输电线路表示为图的边，变电站、发电站、负荷站等设备表示为图的节点。
2.引入超级源点S和超级汇点T，将变电站与超级源点S相连，容量设置为变电站的最大供电能力；将负荷站与超级汇点T相连，容量设置为负荷站的需求。
3.通过将发电站、变电站和负荷站之间的连接路径建模为图的边，设置其容量为线路的输送能力。
求解方法1.构建图模型后，可以使用最大流算法求解最大流问题，得到电力网络的最大输送能力，即最大负荷容量。
最大流算法在网络问题中的应用
最大流算法在网络问题中的应用网络问题是计算机科学中的一个重要领域，主要研究节点之间的连通性，以及数据在网络中的传输和处理方式。
网络问题的解决方法之一就是最大流算法。
最大流算法可以用来求解网络流问题，是一种常用的优化算法。
下面将详细介绍最大流算法在网络问题中的应用。
一、最大流算法的定义最大流算法（Maximum Flow Algorithm）是计算最大流问题的常用算法，用于解决网络流问题。
最大流问题是在网络中从源点s 到汇点t的最大可行流问题，也可以理解为管道输送液体的最大流量问题。
最大流算法求解的本质就是如何找到一条从源点到汇点的路径，并计算出最大流量，以使所有流量达到最大。
二、最大流算法的应用最大流算法的应用非常广泛，在交通、卫星通信、电信等领域均有广泛应用。
下面分别从交通、卫星通信和电信三个方面来介绍最大流算法的应用。
1、交通领域在交通领域，最大流算法可以应用于城市道路布局规划、交通信号灯调度和公交线路规划等问题。
以城市道路布局规划为例，我们可以通过最大流算法来确定城市中心和周边地区之间的交通流量。
这样，我们就可以在城市道路规划过程中根据交通流量分配道路宽度和车行道数量，以确保道路能够承载最大交通流量。
2、卫星通信领域在卫星通信领域，最大流算法可以应用于网络拓扑设计、路由设计和带宽分配等问题。
通过最大流算法，我们可以确定卫星通信网中每个节点之间的最大传输速率，以便于选择最佳的路径或设计最优的路由方案。
此外，最大流算法也可以用于带宽管理，以确保卫星通信网中的每个节点都能够按照其需求获得足够的带宽。
3、电信领域在电信领域，最大流算法可以应用于网络拓扑设计、路由设计和负载均衡等问题。
电信网络中的节点之间互相连通，通过最大流算法，我们可以确定节点之间的最大传输速率，并根据传输速率设计最优的路由方案，以确保数据传输的完整性和可靠性。
此外，最大流算法还可以用于网络负载均衡，以确保所有节点的负载能够均衡分配。
最大流问题
v , v 为 上前向边 v , v 为 后向边
j j
其余 f • 不难验证 1 仍为可行流（即满足容量限制条件与 平衡条件），但是 f1的总流量等于 f 的流加 ， 这与 f 为最大流矛盾，所以 vt不属于 S 。
• 令S V S ，则 vt S。 • 于是得到一个割集 S , S ，对割集中的边 vi , v j 显 然有
• 最大流问题是一类应用极为广泛的问题，例如在交通运输 网络中有人流、车流、货物流，供水网络中有水流，金融 系统中有现金流，通讯系统中有信息流，等等。50年代 福特（Ford）、富克逊（Fulkerson）建立的“网络流 理论”，是网络应用的重要组成部分。 一、最大流有关概念 • 如果我们把图5-41年做输油管道网， us 为起点，u t为终点， u1 , u2 , u3 , u4 为中转站，边上的数表示该管道的最大输油能力，问应该 us 如何安排各管道输油量，才能使从 到 的总输油量最 大？ ut • 管道网络中每边的最大通过能力即容量是有限的，实际流 量也不一定等于容量，上述问题就是要讨论如何充分利用 装置的能力，以取得最好效果（流量最大），这类问题通 常称为最大流问题。
• 例5.17 图5-43表明一个网络及初始可行 流，每条边上的有序数表示 c , f ，求这个 网络的最大流。 • 先给 v s 标以 , 。 , v2满足 vs , v2 E • 检查 v s 的邻接点 v1 , v2 , v3发现点 2 v 且 fs 2 2 cs 2 4, 令 v2 min 2, ，给 以标 2 号 vs ,1 。同理给 v3点以标号 vs ,1。 • 检查 v2 点的尚未标号的邻接点 v5 , v6 ,发现 v满 5 2, 足 v2 , v5 E且 f25 0 c25 3, 令 v5 min 3, 2 给 v2 ,2 以标号 。 v5
网络最大流问题
以经过调整，得到一个新的可行流，其流量比原来的可
行流要大，重复这个过程，直到不存在关于该流的增广 链时就得到了最大流。
寻求最大流的思路：利用定理1中对V1*定义，根据vt是 否属于V1*来判断D中有无关于f的增广链。 实际计算时，可以用给顶点标号的方法来确定属 于V1*的点。
在标号过程中，有标号的顶点表示是V1*中的点，
l(v3) = min[l(v2), f32]=min[1, 1]=1
v2 (-v1,1) (4,3) (3,3) (0,+∞) vs (5,1) v1 (vs,4) (2,2) v4 (v2,1) (5,3) (3,0) (2,1) v3 (-v2,1) vt
(1,1)
(1,1)
(5) 在v3, v4中任选一个进行检查。
v4 (v2,1) (5,3)
(3,0) (2,1) v3 (-v2,1) vt (v4,1)
(二) 调整过程 (1) 按点的第一个标号找到一条增广链。
v2 (-v1,1) (4,3) (3,3) v4 (v2,1) (5,3)
(0,+∞) vs
(5,1)
(1,1)
(1,1)
(3,0)
(2,1)
vt (v4,1)
(2)未标号点。
标号过程: (1) 给发点 vs 标上 (0 ， +∞) ；这时 vs 是标号而未检查
的点，其余都是未标号点。
(2) 取一个标号而未检查的点 vi，对于vi的所有未给 标号的相邻点vj按下列规则处理： (a)若在弧(vi,vj) 上，fij<cij，则给vj标号(vi，l(vj))。这 里l(vj)=min[l(vi), cij-fij]。这时点vj成为标号而未检查的点。 (b) 若在弧 (vj,vi)上， fji>0 ，则给 vj 标号 (-vi ， l(vj))，这 里l(vj)=min[(l(vi),fij]。这时点vj成为标号而未检查的点。 这样，vj成为标号而已检查过的点。
最大流问题实际应用场景
最大流问题实际应用场景
1. 交通流量优化：在城市交通规划中，可以使用最大流算法来优化交通流量分配，从而减少交通拥堵。
2. 网络传输优化：在计算机网络中，最大流算法可以用来优化网络传输流量，提高网络性能。
3. 航空航天工程：在飞机和火箭等航空航天工程中，最大流算法可以用来优化燃料、水和氧气之间的流量，从而提高飞行效率。
4. 电力系统优化：在电力系统中，最大流算法可以用来优化电力分配，从而降低能量损失。
5. 医疗资源调度：在医疗资源调度中，最大流算法可以用来优化医疗资源的分配和调度，确保医疗资源的最大利用。
6. 供应链优化：在供应链管理中，最大流算法可以用来优化物流流量分配，提高供应链效率。
7. 金融风险管理：在金融领域中，最大流算法可以用来优化资产、负债和现金之间的流动，从而降低金融风险。
运筹学最大流问题
它决定了整个网络的最大通过能力。
四、最大匹配问题
|M |表示集合M中M的边数。
一个图的最大匹配中所含边数是确定的, 但匹配方案可以不同。
定义23 二部图G=(X,Y,E), M是边集E的子集, 若M中的任意
若不存在另一匹配M1, 使得|M1|>|M|, 则称M为最大匹配.
x5
y1x3y2x2y3x1
y4
x4
y5
x5
y1
x3
y2
x2
y3
x1
y4
x4
y5
vs
vt
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
如图，要求设计一个方案，使量多的人能就业。
(1,3)
(2,4)
(4,3)
(1,2)
(3,2)
(3,t)
(2,4)
(3,t)
(4,3)
(4,t)
(1,3)
(3,t)
15
(4,t)
21
17
18
19
24
14
25
15
割
容量
4-3、最大流-最小割定理
定理
定理2 (最大流-最小割定理) 任一网络G中, 从vs 到 vt 的
定义
设 f 为网络G=(V, E, C)的任一可行流, 流量为W ,
未标号点集合为 S = {v1, v2, v4, v5, v6, v7}
割集(S, S )= {(vs, v1), (vs, v2), (v3, v6)}
割集容量
可得到一个最小割. 见图中虚线.
【网络流24题】方格取数问题（最大流）
【⽹络流24题】⽅格取数问题（最⼤流）【⽹络流24题】⽅格取数问题（最⼤流）题⾯题解⾸先，相邻的只能出现⼀个，每个点要么选，要么不选。
所以不难想到最⼩割所以，将棋盘⿊⽩染⾊后将某种颜⾊的格⼦从源点连过去，容量为⽅格上的数另⼀部分点连向汇点，容量为⽅格上的数接着，相邻的点之间连边，因为这个不能割开，所以容量为INF这样连完边，如果⼀个点要选，那么，他必然要割开和他相邻的点那么，相邻的点和汇点的连边就会被割掉，这就是减少的总和所以，答案就是所有数的总和减去最⼩割#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>#include<set>#include<map>#include<vector>#include<queue>using namespace std;#define MAXL 500000#define MAX 50000#define INF 1000000000inline int read(){int x=0,t=1;char ch=getchar();while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();return x*t;}struct Line{int v,next,w;}e[MAXL];int h[MAX],cnt;int S,T,n,m;inline void Add(int u,int v,int w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;e[cnt]=(Line){u,h[v],0};h[v]=cnt++;}int level[MAX];bool BFS(){memset(level,0,sizeof(level));level[S]=1;queue<int> Q;Q.push(S);while(!Q.empty()){int u=Q.front();Q.pop();for(int i=h[u];i!=-1;i=e[i].next){int v=e[i].v;if(e[i].w&&!level[v])level[v]=level[u]+1,Q.push(v);}}return level[T];}int DFS(int u,int flow){if(flow==0||u==T)return flow;int ret=0;for(int i=h[u];i!=-1;i=e[i].next){int v=e[i].v;if(e[i].w&&level[v]==level[u]+1){int dd=DFS(v,min(flow,e[i].w));flow-=dd;ret+=dd;e[i].w-=dd;e[i^1].w+=dd;}}return ret;}int Dinic(){int ret=0;while(BFS())ret+=DFS(S,INF);return ret;}int d[4][2]={0,1,1,0,-1,0,0,-1};int g[50][50],tot,sum;int main(){freopen("grid.in","r",stdin);freopen("grid.out","w",stdout);memset(h,-1,sizeof(h));n=read();m=read();S=0;T=n*m+1;for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j){g[i][j]=++tot;int x=read();sum+=x;if((i+j)&1)Add(g[i][j],T,x);else Add(S,g[i][j],x);}for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j){if((i+j)&1)continue;for(int k=0;k<4;++k){int x=i+d[k][0],y=j+d[k][1];if(x&&y&&x<=n&&y<=m)Add(g[i][j],g[x][y],INF); }}printf("%d\n",sum-Dinic());return 0;}。
最大流练习题
最大流练习题最大流问题是指在一个网络中，从源点s到汇点t的最大流量。
本文将为读者介绍最大流问题的基本概念和求解方法，并提供一些练习题供读者巩固所学知识。
一、最大流问题概述在一个网络中，每个节点都有一定的容量，表示通过该节点的最大流量。
源点s表示流的起点，汇点t表示流的终点。
通过网络中的边，流将从源点s流向汇点t，其中边的容量表示通过该边的最大流量。
最大流问题的目标是找到从源点s到汇点t的最大流量。
使用最大流算法，可以得出最大流量并找到一条流量最大的路径。
二、最大流问题的求解方法1. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最常用的求解最大流问题的方法之一。
该算法的基本思想是不断寻找增广路径，直至无法找到增广路径为止。
步骤：- 初始化流量为0。
- 当存在增广路径时，通过该路径增加流量，并更新路径上各边的容量。
- 重复上一步骤，直至不存在增广路径。
2. Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是Ford-Fulkerson算法的改进版本，其核心思想是使用广度优先搜索寻找增广路径。
该算法保证每次找到的增广路径是最短的，从而提高了算法效率。
步骤：- 初始化流量为0。
- 使用广度优先搜索寻找最短增广路径。
- 通过该路径增加流量，并更新路径上各边的容量。
- 重复上一步骤，直至不存在增广路径。
三、最大流问题练习题1. 题目描述：给定一个带权有向图，其中每个边的容量和费用均已给定。
请计算从源点s到汇点t的最大流量。
2. 题目描述：给定一个带权无向图，其中每个节点的容量已给定。
请计算从源点s到汇点t的最大流量，并找出一条流量最大的路径。
3. 题目描述：给定一个带权有向图，其中每个节点的容量已给定。
请计算从源点s到汇点t的最大流量，并找出一条流量最大的路径。
以上练习题旨在让读者更好地理解最大流问题，并熟练掌握最大流问题的求解方法。
读者可以使用Ford-Fulkerson算法或Edmonds-Karp 算法来解决这些问题，并验证自己的答案是否正确。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
V2 (4,3) Vs (4,2) (8,2) V1
(4,0) (1,1)
V4 (7,2) (6,0) Vt
(2,2) (2,2) V3
(9,3)
现在的问题是： 1) 从Vs到Vt的运输量是否可以增多？ 2) 从Vs到Vt的最大运输量是多少？
1 基本概念
(一)容量网络和网络流
1) 容量网络：D=(V,A,C) 设D是一个简单有向图( D=(V,A) )。在V中指定了一个 顶点，称为源点(记为Vs)和另一个顶点，称为汇点(记为 Vt)，对于每一条弧(Vi,Vj)∈A，对应有一个Cij＞0，称 为弧的容量。通常我们就把这样的D叫做一个容量网络， 记作D＝(V,A,C)。 2) 网络流 – 流量：通过D中弧(Vi,Vj)的物流量fij，称为弧(Vi,Vj)上 的流量。 – 网络流：所有弧上流量的集合f={fij}称为该网络D的 一个网络流。
V2
(4,0) (1,1)
V4
(4,3)
Vs (4,2) (8,2) V1
(7,2)
(6,0) Vt (b) (9,3) V3
(2,2) (2,2)
在图(b)中，弧旁边括号中的两个数字(Cij,fij)，第1个数字 表示弧容量，第二个数字表示通过该弧的流量。弧(Vs,V1)上 的(8,2)，前者是弧容量，表示可通过该弧最大流量的能力 为8，后者是目前通过该弧的实际流量为2。 从图(b)中可见：1)通过每弧的流量均不超过弧容量；2) 源点vs流出的总量为3+2=5，等于流入汇点vt的总量2+3=5； 3)各中间点的流出量等于其流入量。中间点v2的流出量减去 其流入量等于0,即3-(2+1)=0
(4,3)
Vs (4,2)
(8,2)
V1
(2,2)
(2,2)
设P是D中从Vs别Vt的一条链（有向路径），沿此方向， 各弧可分为两类： – 前向弧（与链的方向一致的弧），其集合记为P+ – 后向弧（与链的方向相反的弧），其集合记为P前向弧和后向弧是相对(相对指定的链)的。 V2 (4,3) Vs (4,2) (8,2) V1 (2,2) (4,0) (1,1) (6,0) (9,3) V3 V4
V1 (Vs,3)
V3
V2
(4,3) (1,0)
V4
(3,3)
Vs (1,0)
(5,3)
(3,0) (2,2) Vt (5) 调整
(5,2)
V1 (2,2) V3
V2
(3,3) Vs (0,+∞) (5,2) V1 (Vs,3) (1,0)
(4,3)
(1,0)
V4
(5,3) (3,0)
Vt
(6)
(2,2) 到这一步Vt的 (2,2) V3
Vs
(4,2)
(8,2) V1 (2,2) (2,2)
(6,0)
这一点在最小费用最大流里要用到。
可改进路（增广链） 设F是一个可行流，P是从Vs到Vt的一条路，若P满足 下列条件：
1) 在P的所有前向弧(Vi,Vj)上，0≤fij＜Cij，即 P+ 中的每 一条弧都是非饱和弧；
2) 在P的所有后向弧(Vi,Vj)上，0＜fij≤Cij，即 P- 中的每 一条弧是非零流弧。 则称P为关于可行流F的一条可改进路。 那么，为什么将具有上述特征的路P叫做可改进路，原 因是可以通过修正P路上所有流量fij来把现有的可行流F 改进成一个值更大的流F1。
V2 (4,3) Vs
(4,0)
V4 (7,2) (6,0) Vt (9,3) V3 (b)
(1,1)
(4,2)
(8,2) V1 (2,2) (2,2)
运输方案应满足： 1) 实际运输量不能是负的； 2) 每条弧的实际运输量不能大于该弧的容量； 3) 除了起点Vs和终点Vt外，对其它顶点来说，所有流入Vi的弧上 的运输量的和应该等于所有从Vi出发的弧上的运输量的和。
下面我们具体地给出一种方法，利用这种方法就可以把 F改进成一个更好的流F1。这种方法是： (1)不属于可改进路P的弧(Vi,Vj)上的流量一概不变，即 F1ij=Fij (2)可改进路P上的所有弧(Vi,Vj)上的流量按下述规则变 化：(始终满足可行流的2个条件) 在前向弧(Vi,Vj)上，F1ij=Fij + α 在后向弧(Vi,Vj)上，F1ij=Fij – α 称α为可改进量，它应该按照下述原则确定： (1)α既要取得尽量大， (2)又要使变化后F1ij仍满足可行流的两个条件－容量限 制条件和平衡条件。 不难看出，按照这个原则，α既不能超过每条前向弧的 Cij-Fij，也不能超过每条后向弧的Fij。因此α应该等于前向弧 上的Cij-Fij与后向弧上的Fij的最小值。
(1,1) (6,0)
(2,2) V1 (2,2)
S Vs ,V1 ,V2 ,V3 S V4 , Vt
Vs
(4,2)
(8,2)
C S , S C24 C14 C34 C3t 4 2 6 9 19
(二)最大流量最小割切定理
在一个给定的容量网络上，流的最大值等于割切容量的 最小值。
V2
(4,0)
V4 (5,0) (3,0) (2,2) Vt
(3,0)
Vs (5,2) V1 (1,0)
(1,0)
(3) 调整
(2,2)
V3
(Vs,3) V2 (4,0)
(3,0) Vs (0,+∞) (5,2) (1,0) (1,0)
(V2,3) V4
(5,0)
(3,0)
(2,2)
Vt (4) (V4,3) 标号 (2,2)
3 求网络最大流的标号法(2F,1957)
基本概念
设D=(V,A,C)中，有一可行流F={fij}，按每条弧上流量的 多少，可将弧分四种类型： – 饱和弧， 即fij=Cij – 非饱和弧，即fij<Cij
– 零流弧， 即fij=0
– 非零流弧，即fij>0 V2 (4,0) (1,1) (6,0) V4 (7,2) Vt (9,3) V3
(2,2) (2,2)
V2
(4,3) Vs (4,0) (8,4) V1
(4,2)
(1,1)
(2,2) (2,2)
现在的问题是：怎样检查一个流是不是最大？这里有一 个重要的结论： 设F是网络D的一个流，如果不存在从Vs到Vt关于F可 改进路P，那么F一定是最大流。（2F，1957） 因此求最大流的基本思路是： 取F={0}作为初始流 F存在可改进路? F是最大流 将F改为一个更大的流
即：
min minCij Fij , min Fij
P P
V4 (7,2) (6,0) Vt (9,3)
V2 (4,3) Vs (4,2) (8,2)
(4,0)
(1,1)
(2,2)
(2,2) V1 V3 图(b)给出了一条可改进路P(Vs,V1,V2,V4,Vt)。现在就按 照上面讲的方法将流F改进成一个更好的流。首先应该定出改 进量α，先看P的前向弧集合 P+={(Vs,V1),(V2,V4),(V4,Vt)}: Cs1-Fs1=8-2=6，C24-F24=4-0=4，C4t-F4t=7-3=4 再看P的后向弧集合 P-={(V2,V1)}，在这条弧上F21=2。
可改进量为0， 停止检查
标号法求可改进路径的实例2
V2
(3,2) Vs (5,1) V1 (2,2) V3 (V2,1) V4 (3,0) (5,1) (V4,1) Vt (2) 标号 (2,2) (1,1)
(4,1)
(1,0)
V4
(3,0)
初始流为非零流 (5,1)
Vt (1)
(2,2)
(Vs,1) V2 (4,1) (3,2) Vs (0,+∞) (5,1) (1,1) (1,0)
V1
V3
可行的运输方案： 1) 2百吨物资沿着有向路径P1(Vs,V2,V1,V4,Vt)运到销售地 2) 2百吨物资沿着有向路径P2(Vs,V1,V3,Vt)运到销售地 3) 1百吨物资沿着有向路径P3(Vs,V2,V3,Vt)运到销售地 (在下图中每条边旁边两个数字如(4,3)分别代表容量和实际流量)
V2
(4,3) Vs (4,2) (8,2) V1
(4,0)
(1,1)
V4
因此α至多取2， Vt 这样既可以使 (6,0) (9,3) 改进后的前向 弧上的流量有 V3 所增加，又可 以使改进后的 V4 后向弧上的流 (7,4) 量在减少α之后 不变负数。这 V (6,0) t 个改进过程见 (9,3) 左图，改进后 V3 的流的值为7。 (7,2)
(二)可行流与最大流
1) 可行流 在容量网络D=(V,A,C)中，满足以下条件的网络流F， 称为可行流： （1）弧流量限制条件 （2）平衡条件 流入量 流出量
当i s V ( F ) 0 f f 当i s, t ij ji j j V ( F ) 当i t
2 最大流最小割切定理(2F定理)
Ford, Fulkerson, 1956 (一)割切
容量网络(V,A,C)，S是V的一个子集，满足：起点Vs S， 终点Vt S，令 S V S 。起点在S，终点在 S 的所有弧的 集合，称为割切，用 ( S, S ) 表示。容量用 C(S, S ) 表示。 V2 (4,3) (4,0) V4 (7,2) Vt (9,3) V3
网络流问题
网络流及其应用
网络最大流 容量有上下界的网络的最大流和最小流 最小费用最大流 容量有上下界的网络的最小费用最大流 图的顶点连通度 图的边连通度
一、网络最大流问题
例子：运输方案的设计： 图(a)是连接产品产地Vs和销售地Vt的交通网，每一条 弧(Vi,Vj)代表从Vi到Vj的运输线，产品经这条弧由Vi输送到 Vj，弧旁的数字表示这条运输线的最大通过能力(以后简称 容量)。产品经过交通网从Vs输送到Vt。现在要求制定一个 运输方案，使Vs运到Vt的产品数量最多。 V2 4 Vs 8 4 2 1 6 9 2 (a) 4 V4 7 Vt