网络最大流问题
网络最大流
容量为20 容量为
• 最小截集： • 容量最小截集的称为网络G的最小截集。 • 最大流-最小截集定理： • 在任一个网络D中，从vs到vt的最大流的 流量等于分离的最小截集的容量。
（二）、 求最大流的标号法
标号过程： 1． 给发点vs 标号（0，+∞）。 2． 取一个已标号的点vi，对于vi一切未标号的邻 接点vj 按下列规则处理： （1）如果边 (v j , vi ) ∈ E ，且 f j i > 0 ，那么给vj 标 号 (−vi , δ j ) ，其中： δ j = min( f j i , δ i ) （2）如果边 (vi , v j ) ∈ E ，且 f ij < cij，那么给vj 标号 ( +vi , δ δ j = min(ci j − f i j , δ i ) ，其中：j ) 3．重复步骤2，直到vt被标号或标号过程无法进 行下去，则标号结束。若vt被标号，则存在一条增广 链，转调整过程；若vt未被标号，而标号过程无法进 行下去，这时的可行流就是最大流。
2．去掉所有标号，回到第一步，对可行流 重新标号。
求下图所示网络中的最大流，弧旁数为
v2 (3 , 3) vs (5 , 1) (1 , 1) v1 （-v1, 1） ） v2 (3 , 3) （0，+∞） ， ） vs (5 , 1) v1 （+ vs , 4） ） (2 , 2) (1 ,1) (1 , 1) (3 ,0) (2 ,1) v3 （-v2 ，1） ） (2 , 2) (4 ,3) (1 ,1) (3 ,0) (2 ,1) v3 （+v2，1） ） v4 (5 ,3) v4 (5 ,3) vt
f = f (v i , v j ) = { f i j }
最大流问题的求解方法及应用
最大流问题的求解方法及应用
最大流问题，是指在一个有向图中，从源点 s 到汇点 t 的最大
流量。
在实际应用中，最大流问题往往用于描述网络传输、油管输送等流量分配问题。
求解最大流问题的方法包括以下几种：
1. 网络流算法：这是一种基于图论和线性规划的算法。
通过构建网络流图，将最大流问题转化为最小割问题，再利用线性规划求解最小割问题的对偶问题来求解最大流问题。
2. 增广路算法：这是一种经典的最大流算法，其基本思想是不断找到增广路径，即从源点 s 到汇点 t 的一条路径，沿途边权
均有剩余容量，使得该路径上的边的剩余容量中的最小值最大化，最终得到最大流。
3. 矩阵树定理：这是一种基于图论和矩阵运算的算法，适用于有向图和无向图。
通过计算图的拉普拉斯矩阵的行列式等方法，求得图的生成树个数，从而计算最大流。
4. Dinic算法：是对增广路算法的改进。
在增广路算法中，每
次查找增广路径的过程需要遍历整个图，为了提高效率，
Dinic算法引入了分层图的概念，将图分层之后只在图的一层
中查找增广路径，最终求得最大流。
这些方法在实际应用中常常被用来解决路由选择、网络流量优化、模拟电路分析等问题。
例如，最大流可以被用来优化数据传输、流水线设计、流量管道的运营和管理，提高资源利用率和数据传输速度。
最大流问题解题步骤
最大流问题解题步骤一、什么是最大流问题？最大流问题是指在一个有向图中，给定源点和汇点，每条边都有一个容量限制，求从源点到汇点的最大流量。
该问题可以用于网络传输、电力调度等实际应用中。
二、最大流问题的解法1. 增广路算法增广路算法是最基本的解决最大流问题的方法。
其基本思想是不断地寻找增广路，并将其上的流量加入到原来的流中，直到不存在增广路为止。
具体步骤如下：（1）初始化网络中各边上的流量均为0；（2）在残留网络中寻找增广路；（3）如果存在增广路，则将其上的最小剩余容量作为增量加入到原来的流中；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。
2. Dinic算法Dinic算法是一种改进型的增广路算法，其核心思想是通过层次分析和分层图来减少搜索次数，进而提高效率。
具体步骤如下：（1）构建分层图；（2）在分层图上进行BFS搜索寻找增广路径；（3）计算路径上可行流量并更新残留网络；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。
3. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种基于增广路的算法，其核心思想是不断地寻找增广路，并将其上的流量加入到原来的流中，直到不存在增广路为止。
具体步骤如下：（1）初始化网络中各边上的流量均为0；（2）在残留网络中寻找增广路；（3）如果存在增广路，则将其上的最小剩余容量作为增量加入到原来的流中；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。
三、最大流问题解题步骤1. 确定源点和汇点首先需要确定问题中的源点和汇点，这是解决最大流问题的前提条件。
2. 构建残留网络在有向图中，每条边都有一个容量限制。
我们可以将这些边看作管道，容量看作管道的宽度。
在实际传输过程中，某些管道可能已经被占用了一部分宽度。
因此，在求解最大流问题时，需要构建一个残留网络来表示哪些管道还能够继续传输数据。
具体方法是：对于每条边(u,v)，分别构造两条边(u,v)和(v,u)，容量分别为c(u,v)-f(u,v)和f(u,v)，其中c(u,v)表示边的容量，f(u,v)表示当前流量。
最大流常见算法
最大流常见算法最大流问题是图论中的一个重要问题，其求解方法有多种，本文将介绍最常见的几种算法。
一、最大流问题简介最大流问题是在一个网络中寻找从源点到汇点的最大流量的问题。
网络是由一些节点和连接这些节点的边构成的，每条边都有一个容量，表示该边所能承载的最大流量。
源点是流量的起点，汇点是流量的终点。
在网络中，还可能存在其他节点和边。
二、Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最早用于解决最大流问题的算法之一。
该算法基于增广路径来不断增加流量，直到无法再找到增广路径为止。
1. 算法步骤（1）初始化：将所有边上的流量设为0。
（2）寻找增广路径：从源点开始进行深度优先或广度优先搜索，在搜索过程中只选择剩余容量不为0且没有被标记过的边，并记录路径上容量最小值min。
（3）更新路径上各个边上的流量：将路径上各个边上的流量加上min。
（4）返回第二步，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法分析Ford-Fulkerson算法可以保证在有限步内求解出最大流，但是其时间复杂度与增广路径的选择有关，最坏情况下可能需要指数级的时间复杂度。
三、Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是基于Ford-Fulkerson算法的一种改进算法。
该算法使用BFS来寻找增广路径，可以保证在多项式时间内求解出最大流。
1. 算法步骤（1）初始化：将所有边上的流量设为0。
（2）寻找增广路径：从源点开始进行BFS，在搜索过程中只选择剩余容量不为0且没有被标记过的边，并记录路径上容量最小值min。
（3）更新路径上各个边上的流量：将路径上各个边上的流量加上min。
（4）返回第二步，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法分析Edmonds-Karp算法相对于Ford-Fulkerson算法来说，在同样的网络中，其时间复杂度更低，可以保证在O(VE^2)的时间内求解出最大流。
但是在某些特殊情况下仍然可能需要指数级时间复杂度。
最大流的概念
最大流的概念最大流（Maximum Flow）是指在一个有向图中，给每条边一个容量限制，然后寻找一条从源点到汇点的路径，使得路径上的每条边的流量都不超过其容量限制的最大值。
最大流问题是网络流理论中的一种经典问题，具有广泛的应用领域，如网络优化、流量分配、资源调度等。
最大流问题可以用图论中的图来进行模型表示，其中图中的节点表示流经的位置，边表示流量通路，每条边还有一个容量值，表示该边所能承载的最大流量。
图中通常包括一个源点（Source）和一个汇点（Sink），各个节点与源点和汇点之间的连接关系构成了一个流量网络。
每个节点上的流量是指通过该节点的流量总和，而边上的流量是指该边上的实际流量。
最大流问题的求解可以采用不同的算法，其中最常见的是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
下面将对这两种算法进行详细介绍。
1. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最大流问题的经典算法，它的思想是不断寻找增广路径，并通过增加该路径上各边的流量来增加整个流量网络的流量。
算法的基本步骤如下：(1) 初始化流量网络的流量为0。
(2) 通过任意的路径查找算法（如深度优先搜索）找到一条从源点到汇点的增广路径。
(3) 在该增广路径上增加流量的值为该路径上残余容量的最小值。
(4) 更新整个流量网络中各边的残余容量和反向边的流量。
(5) 重复步骤2至4，直到无法找到增广路径为止。
2. Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是Ford-Fulkerson算法的一种改进，它通过使用广度优先搜索来寻找增广路径，使得算法的时间复杂度优于Ford-Fulkerson算法。
算法的具体步骤如下：(1) 初始化流量网络的流量为0。
(2) 通过广度优先搜索查找一条从源点到汇点的最短增广路径。
(3) 在该增广路径上增加流量的值为该路径上残余容量的最小值。
(4) 更新整个流量网络中各边的残余容量和反向边的流量。
5-4 最 大 流 问题
(2)标号过程 标号过程
给起点v 标上标号（ ， 1给起点 s标上标号（-，+∞）； ）； （表示 s是源点（起点），能够得到任意多的量。 表示v 是源点（起点），能够得到任意多的量。 ），能够得到任意多的量 表示 vs称为已标记的点。让S表示已标记点的集合 S 表示 称为已标记的点。 表示已标记点的集合， 表示已标记点的集合 未标记点的集合， 未标记点的集合 VS ∈ S ） 2考察起点的所有相邻未标号点： 考察起点的所有相邻未标号 所有相邻未标号点 若存在以S中的点为起点， 若存在以 中的点为起点，以 S 中的点为终点的非饱 中的点为起点 [vi+ , ε j ] ，否则不加标记。 和弧（ 否则不加标记。 和弧（vi,vj）则vj可标记为
从S出发到 S 终止的所有边的集合即割集。 终止的所有边的集合即割集。
v2
e1
e3 e6
v4
e8
v1
e2
e4 e7
v6
e5
v3
v5
e9
不包括从 S 出发到S终 止的边!
4、弧的分类
（1）在可行流X={xij}中，按流量的特征 在可行流X 分有： 分有： ①饱和弧——xij=bij 饱和弧 ②非饱和弧——xij<bij 非饱和弧 ③零流弧——xij=0 零流弧 ④非零流弧——xij>0 非零流弧
顶点3的标记化 顶点 的标记化: 的标记化 ∵ x s 3 = bs 3 ， 但
正向饱和 弧 ∴不能从v 不能从
得到标记； 标记 s得到标记；
x
32
得到标记 标记。 > 0，故可从v2得到标记。
反向非零流
于是
ε ε3 = min { 2 , x 32 } = min {6 , 4 } = 4
8.4 网络最大流问题
所有指向为vs→vt的弧，称为前向弧，记作μ +；
所有指向为vt →vs的弧，称为后向弧，记做μ
－，
增广链：设 f 是一个可行流，μ是从vs 到 vt 的一条链，若μ满 足下列条件，称之为(关于可行流 f 的)增广链。
1)在(vi , vj)∈μ+上，0≤fij＜cij，即μ+中的弧都是非饱和弧。
2)在(vi，vj)∈μ-上，0＜fij≤cij，即μ-中的弧都是非零流弧。
§8.4 网络最大流问题
Page 22
(3) 检查与v3点相邻的未标号的点，因f3t<c3t，故对vt 标 l(vt)=min{l(v3), c3t-f3t } =min{1, 1}= 1 找到一条增广链 vs→v1→v2 →v3 →vt ( v , 1) 2 (-v v12, 1) (4,3) v4 (3,3) (5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
v ( f ) f s1 f s 2 f 4 t f 3 t 5
§8.4 网络最大流问题
Page 25
例8.10 用标号算法求下图中vs→vt的最大流量，并找出最小 截。 v1 9(3) v3 8(7)
5(4) 5(4)
2(0)
vs
7(5)
6(1)
●
vt
10(8) v2 9(9) v4
§8.4 网络最大流问题
基本方法： (1)找出第一个可行流（例如所有弧的流量fij =0）；
Page 14
(2)用标号的方法找一条增广链：
首先给发点vs标号(0,+∞),第一个数字表示标号从哪一点得到；
第二个数字表示允许的最大调整量。
选择一个点 vi 已标号且另一端未标号的弧沿着某条链向收
运筹学第7章 最大流问题(精简)
对最大流问题有下列定理：
定理1 容量网络中任一可行流的流量 不超过其任一割集的容量。
定理2（最大流-最小割定理）任一容 量网络中，最大流的流量等于最小割集 的割量。
推论1 可行流f*＝{fij*}是最大流，当且 仅当G中不存在关于f.*的增广链。
求最大流的标号法
标号法思想是：先找一个可行流。 对于一个可行流，经过标号过程得到 从发点vs到收点vt的增广链；经过调整 过程沿增广链增加可行流的流量，得 新的可行流。重复这一过程，直到可 行流无增广链，得到最大流。
.
标号过程:
(1)给vs标号(,+∞)，vs成为已标号未检查的点，其 余都是未标号点。
(2)取一个已标号未检查的点vi，对一切未标号点vj： 若有非饱和边(vi,vj)，则vj标号(vi,l(vj))，其中l(vj)＝ min[l(vi),cij – fij]，vj成为已标号未检查的点；若有非 零边(vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi), fji]， vj成为已标号未检查的点。vi成为已标号已检查的点 。
最大流问题
.
基本概念
v2 3
4
v4
5
vs
1
1
3
vt
5
2
v1
2
v3
给定一个有向图G＝(V,E)，其中仅有一个点的入次
为零称为发点（源），记为vs，仅有一个点的出次为零 称为收点（汇），记为vt，其余点称为中间点。
对于G中的每一条边(vi,vj)，相应地给一个数cij （cij≥0），称为边(vi,vj)的容量。我们把这样的网络 G称为容量网络 ，记为G＝(V,E,C)。
但利用它与图的密切关系，可以利用图直观简便地求 解。
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题摘要：1.运筹学最大流问题简介2.最大流问题的基本概念和方法3.最大流问题的求解步骤4.最大流问题在实际应用中的案例分享5.总结与展望正文：【提纲1：运筹学最大流问题简介】运筹学最大流问题是一种求解网络中最大流量的问题。
在有向图中，有一个发点（源）和一个收点（汇），其他点称为中间点。
给定每条边的容量，我们需要找到一条从发点到收点的路径，使得这条路径上的流量最大。
最大流问题在物流、交通、通信等领域具有广泛的应用。
【提纲2：最大流问题的基本概念和方法】在最大流问题中，我们需要了解以下几个基本概念：1.流量：表示在一条边上流动的单位数量。
2.容量：表示一条边能承受的最大流量。
3.增广链：从发点到收点的路径，路径上的每条边都有剩余容量。
求解最大流问题的基本方法是：1.初始化：将所有边的流量设为0。
2.寻找增广链：在图中寻找一条从发点到收点的路径，使得路径上的每条边都有剩余容量。
3.更新流量：将找到的增广链上的流量增加，同时更新路径上其他边的剩余容量。
4.重复步骤2和3，直到无法再找到增广链。
【提纲3：最大流问题的求解步骤】以下是求解最大流问题的具体步骤：1.构建网络图：根据题目给出的条件，构建有向图。
2.初始化：将所有边的流量设为0，记录发点和收点。
3.寻找增广链：使用深度优先搜索或广度优先搜索等算法，在图中寻找一条从发点到收点的路径。
4.更新流量：找到增广链后，将路径上的流量增加，同时更新路径上其他边的剩余容量。
5.重复步骤3和4，直到无法再找到增广链。
6.输出结果：最大流即为所有增广链上的流量之和。
【提纲4：最大流问题在实际应用中的案例分享】最大流问题在实际应用中具有广泛的价值，例如：1.物流配送：通过最大流问题优化配送路线，降低物流成本。
2.交通规划：通过最大流问题优化交通网络，提高出行效率。
3.通信网络：通过最大流问题优化网络资源分配，提高通信质量。
【提纲5：总结与展望】运筹学最大流问题是一种重要的优化问题，其在实际应用中具有广泛的价值。
运筹学最大流问题
它决定了整个网络的最大通过能力。
四、最大匹配问题
|M |表示集合M中M的边数。
一个图的最大匹配中所含边数是确定的, 但匹配方案可以不同。
定义23 二部图G=(X,Y,E), M是边集E的子集, 若M中的任意
若不存在另一匹配M1, 使得|M1|>|M|, 则称M为最大匹配.
x5
y1x3y2x2y3x1
y4
x4
y5
x5
y1
x3
y2
x2
y3
x1
y4
x4
y5
vs
vt
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
如图，要求设计一个方案，使量多的人能就业。
(1,3)
(2,4)
(4,3)
(1,2)
(3,2)
(3,t)
(2,4)
(3,t)
(4,3)
(4,t)
(1,3)
(3,t)
15
(4,t)
21
17
18
19
24
14
25
15
割
容量
4-3、最大流-最小割定理
定理
定理2 (最大流-最小割定理) 任一网络G中, 从vs 到 vt 的
定义
设 f 为网络G=(V, E, C)的任一可行流, 流量为W ,
未标号点集合为 S = {v1, v2, v4, v5, v6, v7}
割集(S, S )= {(vs, v1), (vs, v2), (v3, v6)}
割集容量
可得到一个最小割. 见图中虚线.
16.网络最大流问题
l(vj)=min[l(vi),cij-fij],
l(vj)=min[l(vi),fji]
重复上述步骤，一旦vt被标号，则得到一条vs到vt的 增广链。若所有标号都已检查过，而vt尚未标号，结束， 这时可行流，即最大流。 （二）调整过程
从vt 开始，反向追踪，找出增广链 µ ，并在µ 上进 行流量调整。 （1）找增广链 如vt 的第一个标号为k（或-k），则弧（vk，vt） ∈µ（或弧（vt，vk) ∈µ)。检查vk 的第一个标号，若为i （或-i），则(vi,vk) ∈µ (或(vk,vi) ∈µ )。再检查vi 的第一 个标号,依此下去,直到vs 。被找出的弧构成了增广链 µ 。
5. 增广链 对可行流 f ={ fij }： 非饱和弧：fij < cij 非零流弧：fij >0 饱和弧：fij =cij 零流弧：fij =0
链的方向：若µ 是联结vs和vt的一条链，定义链的方 向是从vs到vt 。 v2 v4 5.2
10.5 3.2 4.1 5.1 3.3 11.6
v1
8.3
已检查 标号点 网络中的点 未检查 未标号点
标号：（前点标记，前点到该点的弧流量可调整量） 开始，vs 标上（0，∞），vs 是标号未检查的点， 其余点都是未标号点，一般地，取一个标号未检查 的点vi ，对一切未标号的点vj 。 （1）若弧（vi，vj）上，fij<cij，则给vj 标号(vi ，l(vj))， l(vj)=min[l (vi), cij-fij], vj 成为标号而未检查的点。 （2）若弧（vj，vi）上，fji>0，则给vj 标号(- vi, l (vj))， l (vj)=min[l (vi), fji], vj 成为标号而未检查的点。 vj vj (i , l(vj)) vi (-i , l(vj)) vi fij<cij f ji>0
最大流问题标号法例题详解
最大流问题标号法例题详解最大流问题标号法例题详解本文以一道标号法求解最大流问题的例题胶加以详细讲解，帮助读者了解其原理及运算步骤。
题目如下：给定一个网络结构如下：s (源点) 0----1----2----3----4---- t (汇点)a 25 10 12 15 20其中 s 是源点，t是汇点，aij（i,j=0,1,2,3,4)是每条弧的容量，求整个网络的最大流量。
解：1、设置标号：在最大流问题中，为了求解最大流，最常用的方法是标号法。
首先，要设置各结点标号，因为本题中有5个结点，s源点的标号为0，t汇点标号为4，其他结点即1，2，3依次标号，标号的设定不仅便于求解，而且可以在初始化的时候使用。
2、初始化标号：初始化标号即将各结点初始化为两个空集合{}，即各结点的访问和未访问标号都是空集合，即无访问的结点标号为{}，访问过的结点标号也为{}。
3、依据标号法，从源点(s=0)计算，得出每条弧的剩余容量Cij，具体推导如下：源点0 1 2 3 41 0 25 10 12 152 0 0 10 7 103 0 0 0 8 104 0 0 0 0 20其中：Cij=aij-fij (i,j=0,1,2,3,4)其中，aij 为每条弧的容量，fij 为每条弧的流量，在初始情况下，fij=0，故Cij=aij。
4、找增广路径：从源点s开始，用深度优先搜索法查找从s到t的增广路径，具体步骤如下：设置一个数组P[i]用以记录路径，P[i]表示从s到i节点所经过的上一个结点，先从源点s开始，P[0]=-1，然后查找s出发可以到达的结点，若Cij>0，则有路可达，将P[j]=i（j为s出发可达的结点），接着查找j出发可以到达的结点（该结点未被访问过）若Cjk>0，则有路可达，把P[k]=j，以此类推，直到找到P[t]=-1，即从s到t 的一条增广路径找到，这条增广路径的路径上的容量称为Cmin，它是该增广路径上各结点之间的容量最小值。
求解最大流问题的算法和模型
求解最大流问题的算法和模型最大流问题是图论中的一个基本问题，涉及到网络流的计算和优化。
在实际应用中，最大流问题的求解涉及到诸多算法和模型，如增广路径算法、Ford-Fulkerson算法、Dinic算法、最小割定理等。
本文将从这些方面进行论述。
1. 增广路径算法增广路径算法是求解最大流问题的经典算法，其基本思想是不断地寻找增广路径，通过增加路径上的流量来增加整个网络的流量。
具体来说，首先通过深度优先搜索或广度优先搜索找到一条从源点到汇点的增广路径，然后确定路径上的最小流量d，将当前流量增加d，将反向边的流量减少d，同时计算当前网络的流量。
2. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种经典的增广路径算法，其基本理念与增广路径算法相同，但采用不同的策略来确定增广路径。
具体来说，Ford-Fulkerson算法采用贪心策略，在每次迭代中选择路径上的最小容量，从而确定增加的流量。
此外，Ford-Fulkerson算法还引入了残量图的概念，用于计算增广路径的容量。
3. Dinic算法Dinic算法是一种高效的增广路径算法，其主要优点是采用了分层图的策略来确定增广路径，使得每次迭代的搜索范围大为缩小。
具体来说，Dinic算法首先利用BFS算法确定每个节点的分层，然后在分层图上通过DFS算法查找增广路径，在路径上增加流量，更新分层图，重复此过程直至求解最大流。
4. 最小割定理最小割定理是求解最大流问题的重要定理，其核心思想是将网络分成两个不相交部分，并将其最小的割称为最小割。
最小割定理指出，在任意网络中，最大流等于最小割。
因此，求解最大流可以转化为求最小割问题，即在网络中寻找一组最小割，使得所有的割中容量最小的一组割。
总之，求解最大流问题是图论中的一个重要问题，其求解涉及到诸多算法和模型，如增广路径算法、Ford-Fulkerson算法、Dinic 算法、最小割定理等。
在实际应用中，不同情况下可能需要采用不同的算法和模型来求解，需要灵活应用。
最大流练习题
最大流练习题最大流问题是指在一个网络中，从源点s到汇点t的最大流量。
本文将为读者介绍最大流问题的基本概念和求解方法，并提供一些练习题供读者巩固所学知识。
一、最大流问题概述在一个网络中，每个节点都有一定的容量，表示通过该节点的最大流量。
源点s表示流的起点，汇点t表示流的终点。
通过网络中的边，流将从源点s流向汇点t，其中边的容量表示通过该边的最大流量。
最大流问题的目标是找到从源点s到汇点t的最大流量。
使用最大流算法，可以得出最大流量并找到一条流量最大的路径。
二、最大流问题的求解方法1. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最常用的求解最大流问题的方法之一。
该算法的基本思想是不断寻找增广路径，直至无法找到增广路径为止。
步骤：- 初始化流量为0。
- 当存在增广路径时，通过该路径增加流量，并更新路径上各边的容量。
- 重复上一步骤，直至不存在增广路径。
2. Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是Ford-Fulkerson算法的改进版本，其核心思想是使用广度优先搜索寻找增广路径。
该算法保证每次找到的增广路径是最短的，从而提高了算法效率。
步骤：- 初始化流量为0。
- 使用广度优先搜索寻找最短增广路径。
- 通过该路径增加流量，并更新路径上各边的容量。
- 重复上一步骤，直至不存在增广路径。
三、最大流问题练习题1. 题目描述：给定一个带权有向图，其中每个边的容量和费用均已给定。
请计算从源点s到汇点t的最大流量。
2. 题目描述：给定一个带权无向图，其中每个节点的容量已给定。
请计算从源点s到汇点t的最大流量，并找出一条流量最大的路径。
3. 题目描述：给定一个带权有向图，其中每个节点的容量已给定。
请计算从源点s到汇点t的最大流量，并找出一条流量最大的路径。
以上练习题旨在让读者更好地理解最大流问题，并熟练掌握最大流问题的求解方法。
读者可以使用Ford-Fulkerson算法或Edmonds-Karp 算法来解决这些问题，并验证自己的答案是否正确。
最大流问题实际应用场景
最大流问题实际应用场景引言最大流问题是图论中的常见问题之一，也是一种典型的网络流问题。
其应用场景广泛，涉及到物流配送、通信网络、水资源管理等领域。
通过对最大流问题的深入研究和解决，可以优化资源利用，提升系统性能，实现资源的合理分配与调度。
铁路货运优化铁路货运优化是最大流问题在实际应用中的一个典型场景。
铁路系统通常由一系列的节点（火车站）和边（铁路线路）组成，货物需要在不同的火车站之间进行运输。
通过求解最大流问题，可以确定铁路货运系统的最大吞吐量，从而在不同的火车站之间合理调度货物的运输量，提高铁路货运的效率。
问题建模1.将所有火车站表示为图的节点，铁路线路表示为图的边。
2.将每个火车站看作一个节点，引入超级源点S和超级汇点T。
3.设置超级源点S和超级汇点T，并将超级源点与火车站相连，容量设置为该站发出货物的总量；将超级汇点与火车站相连，容量设置为该站需要接收货物的总量。
4.将铁路线路表示为图的边，设置其容量为该线路的运输能力。
求解方法1.构建图模型后，可以利用网络流算法（如Ford-Fulkerson算法）求解最大流问题，得到最大的货物运输量。
2.根据最大流的结果，可以对不同的火车站之间的货物进行分配和调度，优化运输效率。
电力网络优化电力网络是一个复杂而庞大的系统，其中电力的产生、输送和分配需要进行合理的管理和优化。
最大流问题可以用于解决电力网络中的优化问题，如电力输送、线路负载平衡等。
问题建模1.将电力网络中的输电线路表示为图的边，变电站、发电站、负荷站等设备表示为图的节点。
2.引入超级源点S和超级汇点T，将变电站与超级源点S相连，容量设置为变电站的最大供电能力；将负荷站与超级汇点T相连，容量设置为负荷站的需求。
3.通过将发电站、变电站和负荷站之间的连接路径建模为图的边，设置其容量为线路的输送能力。
求解方法1.构建图模型后，可以使用最大流算法求解最大流问题，得到电力网络的最大输送能力，即最大负荷容量。
最大流算法在网络问题中的应用
最大流算法在网络问题中的应用网络问题是计算机科学中的一个重要领域，主要研究节点之间的连通性，以及数据在网络中的传输和处理方式。
网络问题的解决方法之一就是最大流算法。
最大流算法可以用来求解网络流问题，是一种常用的优化算法。
下面将详细介绍最大流算法在网络问题中的应用。
一、最大流算法的定义最大流算法（Maximum Flow Algorithm）是计算最大流问题的常用算法，用于解决网络流问题。
最大流问题是在网络中从源点s 到汇点t的最大可行流问题，也可以理解为管道输送液体的最大流量问题。
最大流算法求解的本质就是如何找到一条从源点到汇点的路径，并计算出最大流量，以使所有流量达到最大。
二、最大流算法的应用最大流算法的应用非常广泛，在交通、卫星通信、电信等领域均有广泛应用。
下面分别从交通、卫星通信和电信三个方面来介绍最大流算法的应用。
1、交通领域在交通领域，最大流算法可以应用于城市道路布局规划、交通信号灯调度和公交线路规划等问题。
以城市道路布局规划为例，我们可以通过最大流算法来确定城市中心和周边地区之间的交通流量。
这样，我们就可以在城市道路规划过程中根据交通流量分配道路宽度和车行道数量，以确保道路能够承载最大交通流量。
2、卫星通信领域在卫星通信领域，最大流算法可以应用于网络拓扑设计、路由设计和带宽分配等问题。
通过最大流算法，我们可以确定卫星通信网中每个节点之间的最大传输速率，以便于选择最佳的路径或设计最优的路由方案。
此外，最大流算法也可以用于带宽管理，以确保卫星通信网中的每个节点都能够按照其需求获得足够的带宽。
3、电信领域在电信领域，最大流算法可以应用于网络拓扑设计、路由设计和负载均衡等问题。
电信网络中的节点之间互相连通，通过最大流算法，我们可以确定节点之间的最大传输速率，并根据传输速率设计最优的路由方案，以确保数据传输的完整性和可靠性。
此外，最大流算法还可以用于网络负载均衡，以确保所有节点的负载能够均衡分配。
第四节---最大流问题
• 最大流问题是一类应用极为广泛旳问题，例如在交通运送网 络中有人流、车流、货品流，供水网络中有水流，金融系统 中有现金流，通讯系统中有信息流，等等。50年代福特 （Ford）、富克逊（Fulkerson）建立旳“网络流理论”， 是网络应用旳主要构成部分。
一、最大流有关概念
• 假点如，u我1,u们2 ,把u3,图u45-4为1中年转做站输，油边管上道旳网数，表us达为该起管点道，旳ut 最为大终
属于 S, S ，满足：① G V , E E不连通；②E为E
旳真子集，而G V , E E 仍连通，则称 E为G旳割
集，记 E S, S 。
• 割集 S, S 中全部始点在S，终点在 S 旳边旳容量 之和，称为 S, S 旳割集容量，记为 C S, S 。如图 5-41中，边集 vs ,v1 ,v1,v3 ,v2,v3 ,v3,vt ,v4,vt 和边集 vs ,v1 ,vs ,v3 ,vs ,v4 都是G旳割集，它们
输油能力，问应该怎样安排各管道输油量，才干使从 us
到 ut 旳总输油量最大？
• 管道网络中每边旳最大经过能力即容量是有限旳，实际 流量也不一定等于容量，上述问题就是要讨论怎样充分 利用装置旳能力，以取得最佳效果（流量最大），此类 问题一般称为最大流问题。
•（定非称汇义负为）2发数，0点称其设（c他有i源j为点向）边为连，容中通一量间图种，点G出仅，次有这V为一么, E0种旳旳,Gr网点入旳络次每vG为t条称称0边为为旳上容收点有量点vs
44，调整后旳可行流见图5-45。
• 重新开始标号过程，寻找可增广链，当标 到 v3 点为 vs ,1后来，与 vs , v3 点邻接旳 v1, v2, v6 点都不满足标号条件，所以标号无法再继续， 而 点并vt 为得到标号，如图5-45。
网络最大流问题算法研究【文献综述】
文献综述数学与应用数学网络最大流问题算法研究最大流问题是指在一定的条件下,要求流过网络的物流、能量流、信息流等流量为最大的问题[2].最大流问题已有50多年的研究历史,这段时期内,人们建立了最大流问题较为完善的理论,同时开发了大量的算法.如Ford和Fulkerson增截轨算法、Dinic阻塞流算法、Goldberg推进和重标号算法[6]以及Goldberg和Rao的二分长度阻塞流算法等等,这些经典算法及相关技术对网络最大流问题的研究起到了非常重要的推动作用.近年来,随着计算机科学技术和网络的快速发展,网络最大流问题得到了更深入的研究,并极大地推动了最大流问题的研究进展.然而,研究工作仍未结束:首先,在理论算法研究方面,人们还没有发现最大流问题算法时间复杂度的精确下界,更没有任何一个通用算法达到或接近问题的下界; 其次,在算法的实际性能方面,目前算法的实际性能也不能满足许多应用问题的要求; 同时,最大流问题作为特殊的线性规划问题, 它远比一般线性规划问题容易解决,发现应用领域中的问题和最大流问题的联系可以使应用问题更好地得到解决.因此,关于网络最大流问题的研究具有十分重要的理论意义和实用价值[5].最早的算法是Dantzig[6]提出的网络单纯刑法和Ford和Fulkerson的增载轨算法,他们都是伪多项式时间算法,分别由Dinic、Edmonds和Karp等提出.1973年Dinic首次获得了时间复杂度的核心因子为nm算法.以后的几十年中,最大流算法获得了很大的进展.本文主要介绍的是网络最大流的几种主要算法,其中重点介绍了标号算法的详细过程,其后给出了其在实际中的应用实例,后面介绍了现有的几种主要算法,虽然没有给出具体的程序,但本文目的主要是了解最大流问题的解决思想,读者对网络流算法有更深刻的认识,读者要想了解更多关于最大流问题的研究,详细可以参照Goldberg等人的研究成果, 这些程序在网上都可以轻松得到. 在这里就不再详细讲述.下面简要介绍一下增载轨算法.增载轨算法[5]: 沿剩余网络中从源到汇的有向路径推进流. 增载轨算法包括Ford和Fulkerson 的标号算法、Dinic 的阻塞流算法、Ahuja 和Orlin 的最短增载轨算法等. 1956年, Ford 和Fulkerson 首次发现增载轨算法. 由于Ford 和Fulkerson [3]算法是在剩余网络中任意选择从源到汇的有向路径作为增载轨的, 增载轨的数量可能很多, 最坏情况为()nU O . 因此, Ford 和Fulkerson 算法的时间复杂度为()nmU O , 它是伪多项式时间的. 通过两种好的选择策略可以限制增载轨的数量. 意识每次都选择容量最大的增载轨, 可以把增载轨的数量降为(log )m U O . 但寻找容量最大的增载轨花的代价较大. 另一种策略是每次选择长度最短的增载轨, 使用这种策略可以使增载轨的数量限制在()nm O , Edmonds 和Karp 的最短增载轨算法利用宽度优先搜索在剩余网络中寻找最短增截轨, 该算法的时间复杂度为2()nm O . 为了把上一次构造最短路径的距离信息保留下来提供下一次使用, Dinic 引入了层次网络的阻塞流的概念, Dinic 算法的时间复杂度为2()n m O . Ahuja 和Orlin 采用Goldberg 和Tarjan 引进的距离标号概念构造增载轨, 并改用重标号的方法保留上次构造的距离信息, 这种算法的时间复杂度为2()n m O . Ahuja, Magnanti 和Orlin 在他们的著作中指出Dinic 阻塞流算法可以看作Ahuja 和Orlin [8]最短增载轨算法的一个实现.将容量和最短增载轨结合起来使用, 可以得到(log )nm U O 时间的算法. 1983年, Sleator 和Tarjan 提出了动态树的数据结构并用它实现了Dinic 算法, 使得该算法的时间复杂度降为(log )nm n O [5]. 下面看一下本文要主要介绍的标号算法的情况:定理1[1] 设f 为网络(,,)D V A C =的任一可行流, 流量为f V , (,)S S -为分离s v , t v 的任一割集, 则有(,)f V C S S -≤.定理2[1] Ford-Fulkerson 定理（也称最大流-最小割定理）: 在任何网络(,,)D V A C =中, 从s v 到t v 的最大流的流量等于分离s v , t v 的最小割集的容量.下面介绍的是最大流问题的增广链算法, 步骤为:1、 通过寻找剩余网络中从发点到收点的正项链中每个弧上都有非零剩余容量的链而找到增广链（如果不存在增广链, 该网络已达到最大流）.2、 找出增广链中弧的最小剩余容量c *, 这就是该增广链的剩余容量, 在该增广链中增加流量为c*的流.3、在增广链的每个正向弧的剩余容量中减去c*, 而在每个反向弧的剩余容量中加上c*.返回步骤1.在进行步骤1时, 往往会碰到很多增广链可供选择, 在用这种方法来解决大规模问题时,增广链的正确选择对解决问题的效率是至关重要的.上面说的只是网络最大流问题算法中的一个, 本文将讲述网络最大流问题的几种主要算法, 主要是标号法, 还包括ISAP算法、SAP算法等.对于一个网络最大流问题, 现在有很多求解方法, 如重标号算法、预流推进算法等[6]. 对一个最大流问题也可以用线性规划方法求解, 也就是说, 将一个最大流问题转化为一个线性规划模型, 再用单纯形法求解. 有些情况下运用线性规划模型求解很方便, 而且易于理解[7].这几十年来, 很多著名学者开发出了很多优秀的算法, 由R. K. Ahuja和B. Orlin提出的快速算法是基于Goldberg和Tarjan的算法而得到的一个平行算法, 即预流推进算法[8]. 其对后面学者的研究起了很大的指导作用. 在具有适宜整数边容量的稀疏图中, Gabow的缩进算法是最好的. 而基于Dinic算法结构的那些算法中, 唯一的一个平行算法是由Shiloach和Vishkin给出. Goldberg给出了基于Karzanov预流思想的新算法, 即在剩余网络中寻找最短路径[8]. Gallo和Tarjan等提出通过重优化技术能解决参数最大流中的很多问题, 其是对Goldberg和Tarjan的推重标号法进行的拓展, 进一步优化了最大流问题算法[9].由Ford和Fulkerson提出的增广链算法是基础, Edmonds和Karp提出的另外一个方法是始终沿着最短路径增广, 它利用的是广度优先搜索思想, 这种算法存在一个最坏运行时间. 还有Dinic独自提出的最短路径增广等算法, 这些都对最大流问题的算法研究产生了巨大的影响[10].一直以来,网络最大流的应用都是一项十分有意义的研究工作, 网络流问题的研究者和具体问题的工程师从不同的角度充实着这方面的研究.实践表明, 对许多实际应用问题,如果能找到它和最大流问题的联系, 就可以使问题得到十分有效的解决. 许多应用问题所对应的最大流问题都有比较明显的特征, 充分利用这些特征和挖掘网络特性, 解析典型算法, 充分设计面向应用问题的算法, 这将是网络最大流问题组合算法研究的重要趋势.参考文献[1]廖敏. 运筹学基础与应用[M]. 南京: 南京大学出版社, 2009: 190-197.[2]弗雷德里克•S•希利尔, 杰拉尔德•J•利伯曼（胡运权等译）. 运筹学导论[M]. 北京:清华大学出版社, 2007 : 375-381.[3]L R Ford, D R Fulkerson. Maximum flow through a network. Canadian Journal of Math,1956, 8(5): 399-404.[4]王志强. 网络最大流的新算法[D]. 陕西: 宝鸡文理学院, 2009.[5]张宪超, 陈国良, 万颖瑜等. 网络最大流问题研究进展[J]. 计算机研究与发展学报,2003, 40(9): 1281-1292.[6] A.V. Goldberg and R.E. Tarjan. A new approach to the maximum-flow problem. Journalof the ACM, 1988, 35: 921-940.[7]赵可培. 运筹学[M]. 第二版. 上海: 上海财经出版社, 2008: 243-249.[8]R. K. Ahuja and J.B. Orlin. A fast and simple algorithm for the maximum flow problem.Oper. Res. 1989, 37: 748-759.[9]Maria Grazia Scutella. A note on the parametric maximum flow problem and somerelated reoptimization issues. Ann Oper Res, 2007, 150: 231-244.[10]Robert E. TARJAN. Algorithms for maximum network flow. Mathematical ProgrammingStudy, 1986, 26: 1-11.。
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给定一个有向图D=(V,A),在V中指定一点称为发点(记为),该点只有出发去的弧,指定另一点称为收点(记为),该点只有指向它的弧,其余的点叫做中间点。
对于A中的每一条弧,对应一个数(简记),称之为弧的容量。
通常我们把这样的D叫做网络,记为D=(V,A,C)。
(2)网络流:在弧集A上定义一个非负函数。
就是通过弧的实际流量,简记,称就是网络上的流函数,简称网络流或流,称为网络流的流量。
§4 网络最大流问题网络最大流问题就是网络的另一个基本问题。
许多系统包含了流量问题。
例如交通系统有车流量,金融系统有现金流,控制系统有信息流等。
许多流问题主要就是确定这类系统网络所能承受的最大流量以及如何达到这个最大流量。
4、1 基本概念与定理1．1.网络与流定义14 (1)网络:例1如图7-20就是连结某产品产地与销地的交通图。
弧表示从到的运输线,弧旁的数字表示这条运输线的最大通过能力,括号内的数字表示该弧上的实际流。
现要求制定一个运输方案,使从运到的产品数量最多。
可行流与最大流在运输网络的实际问题中,我们可以瞧出,对于流有两个基本要求:一就是每条弧上的流量必须就是非负的且不能超过该弧的最大通过能力(即该弧的容量);二就是起点发出的流的总与(称为流量),必须等于终点接收的流的总与,且各中间点流入的流量之与必须等于从该点流出的流量之与,即流入的流量之与与流出的流量之与的差为零,也就就是说各中间点只起转运作用,它既不产出新的物资,也不得截留过境的物资。
因此有下面所谓的可行流的定义。
定义14对于给定的网络D=(V,A,C)与给定的流,若满足下列条件:（1）容量限制条件:对每一条弧,有(7、9)(2)平衡条件:对于中间点:流出量=流入量,即对于每一个i (i≠s,t),有(7、10)对于出发带点,有(7、11)对于收点,有(7、12)则称为一个可行流,称为这个可行流的流量。
注意,我们这里所说的出发点就是指只有从发出去的弧,而没有指向的弧;收点就是指只有弧指向,而没有从它的发出去的弧。
可行流总就是存在的。
例如令所有弧上的流,就得到一个可行流,(称为零流),其流量。
如图7-20中,每条弧上括号内的数字给出的就就是一个可行流,它显然满足定义中的条件(1)与(2)。
其流量。
所谓网络最大流问题就就是求一个流,使得总流量达到最大,并且满足定义15中的条件(1)与(2),即max(7、13)网络最大流问题就是一个特殊的线性规划问题。
我们将会瞧到利用图的特点,解决这个问题的方法较直线性规划的一般方法要简便与直观的多。
例2写出图7-20所表示的网络最大流问题的线性规划模型。
解设,则其线性规划模型为max3、增广链在网络D=(V,A,C)中,若给定一个可行流,我们把网络中使的弧称为饱与弧,使的弧称为非饱与弧。
把的弧称为零流弧,把的称为非零流弧。
如图7-20中的弧都就是非饱与弧,而弧为零流弧。
若就是网络中联结发点与收点的一条链,我定义链的方向就是从到,S 则链上的弧被分为两:一类就是:弧的方向与链的方向一致,我们称此类与为前向弧,所有前向弧的集合记为。
另一类就是:弧的方向与链的方向一致,我们称此类弧为后向弧,所有后向弧的集合记为。
如图7-20中,设就是一条从到的链,则,定义15设就是网络D=(V,A,C)上的一个可行流,就是从到的一条链,若满足下列条件:(1)在弧(v i,v j)∈μ+上,即中的每一条弧都就是非饱与弧;(2)在弧上,即中的每一条弧都就是非零流弧。
则称就是关于的一条增广链。
如前面所说的链就就是一条增广链。
因为其中μ+上的弧均非饱与,如(v s,v2)∈μ+,f s2=5<c s2=13;而μ-上的弧为非零流弧,如(v3,v2)∈μ-,f32=1>0,。
显然这样的增广链不止一条。
4、截集与截量定义16给定网络D=(V,A,C),若点集V被分割成两个非空集合V1与V2,使得V=V1+V2,V1∩V2=φ(空集),且v s∈V1,v t∈V2,则把始点在V1,终点在V2的弧的集合称为分离v s与v t的一个截集,记为(V1,V2)。
如图9、26中,设V1=｛v s,v2,v5｝,V2=｛v3,v4,v6,v t｝则截集为,而弧(v3,v2)与(v4,v5)不就是该集中的弧。
因为这两条弧的起点在V2中,与定义17不符。
显然,一个网络的截集就是很多的(但只有有限个),例如在图7-20中,还可以取,,则截集为另外,若把网络D=(V,A,C)中某截集的弧从网络D中去掉,则从v s到v t便不存在路,所以直观上说,截集就是从v s到v t的必经之路。
定义17在网络D=(V,A,C)中,给定一个截集(V1,V2),则把该截集中所有弧的容量之与,称为这个截集的容量,简称为截量,记为c(V1,V2),即C(V1,V2)=(7、16) 例如在上面我们所举的两个截集中,有而显然,截集不同,其截量也不同。
由于截集的个数就是有限的,故其中必有一个截集的容量就是最小的,称为最小截集,也就就是通常所说的“瓶颈”。
不难证明,网络D=(V,A,C)中,任何一个可行流f=｛f ij｝的流量V(f),都不会超过任一截集的容量,即v( f ) ≤ c(V1,V2) (7、17) 如果存在一个可行流f*=｛f*ij｝,网络D=(V,A,C)中有一个截集,使得(7、18) 则必就是最大流,而必就是D中的最小截集。
为了求网络最大流f*,我们也说明下面的重要定理。
定理4在网络D=(V,A,C)中,可行流就是最大流的充要条件就是D中不存在关于f*的增广链。
证先证必要性。
用反证法。
若f*就是最大流,假设D中存在着关于f*的增广链μ,令(7、19) 由增广链的定义可知θ>0,令(7、20) 不难验证就是一个可行流,且有这与f*就是最大流的假定矛盾。
再证充分性:即证明设D中不存在关于f*的增广链,f*就是最大流。
用下面的方法定义:令若,且有,则令;若,且有,则令。
因为不存在着关于的增广链,故记,于就是得到一个截集(V*,)。
显然有所以V(f*)=c,于就是f*必就是最大流。
定理得证。
由上述证明中可见,若就是最大流,则网络必定存在一个截集,使得(7、18)式成立。
定理5(最大流——最小截集定理)对于任意给定的网络D=(V,A,C),从出发点v s到收点v t的最大流的流量必等于分割与的最小截集的容量,即由定理4可知,若给定一个可行流,只要判断网络D有无关于的增广链。
如果有增广链,则可以按定理4前半部分证明中的办法,由公式(7、19)求出调整量Q,再按式(7、20)的方法求出新的可行流。
如果流有增广链,则得到最大流。
而根据定理4后半部分证明中定义的办法,可以根据v t就是否属于来判断D中有无关于f的增广链。
在实际计算时,我们就是用给顶点标号的方法来定义的,在标号过程中,有标号的顶点表示就是中的点,没有标号的点表示不就是中的点。
一旦有了标号,就表明找到一条从v s到v t的增广链;如果标号过程无法进行下去,而v t尚未标号,则说明不存在从v s到v t的增广链,于就是得到最大流。
这时将已标号的点(至少有一个点v s)放在集合中,将未标号点(至少有一个点v t)放在集合中,就得到一个最小截集。
4、2 寻求最大流的标号法(Ford , Fulkerson)从一个可行流出发(若网络中没有给定,则可以设就是零流),经过标号过程与调整过程。
1）1)标号过程在这个过程中,网络中的点或者就是标号点(又分为已检查与未检查两种),或者就是未标号点,每个标号点的标号包含两部分:第一个标号表明它的标号就是从哪一点得到的,以便找出增广链;第二个标号就是为确定增广链的调整量θ用的。
标号过程开始,总先给v s标上(0,+∞),这时v s就是标号而未检查的点,其余都就是未标号点,一般地,取一个标号而未检查的点v i,对一切未标号点v j:(1) 在弧上,,则给v j标号。
这里。
这时点v j成为标号而未检查的点。
(2) 若在弧上,,给v j标号。
这里。
这时点v j成为标号而未检查的点。
于就是成为标号而已检查过的点,重复上述步骤,一旦被标上号,表明得到一条从到的增广链,转入调整过程。
若所有标号都就是已检查过,而标号过程进行不下去时,则算法结束,这时的可行流就就是最大流。
2）2调整过程首先按及其它点的第一个标号,利用“反向追踪”的办法,找出增广链μ。
例如设v t的第一个标号为(或),则弧(或相应地)就是μ上的弧。
接下来检查的第一个标号,若为(或),则找出(或相应地)。
再检查的第一个标号,依此下去,直到为止。
这时被找出的弧就构成了增广链。
令调整量θ就是,即的第二个标号。
令去掉所有的标号,对新的可行流,重新进入标号过程。
下面,以例题说明此算法求解过程。
例3 用标号法求图7-20所示网络最大流。
弧旁的数就是解:对图7-20中各顶点进行标号。
首先给标(0,+∞),即检查:在弧上,因为,又有,所以给标;在弧上,因为,又有,所以给标。
检查:在弧上,因为,又有,所以给标;,所以给标;在弧上,因为,又有,所以给V3标。
因为前面已给v 3标过号,这里又给标,它们分别表示两条不同的路线,这里不存在修改标号的问题(与最短路不同)。
因为我们的目标就是尽快找出一条从v s到v t 的增广链,即尽快使终点v t获得标号,所以不必在中途过多停留。
也就就是说在对已标号点v i 进行检查时,每次只检查一个相邻点v j(不论前向弧或后向弧均可),再给标号即可,而不必检查所有与v i相邻的点。
事实上,其余的相邻点也不会漏掉,因为以后还要通过检查这些点来找出新的增广链。
以下我们就按这种思路进行。
检查:在弧上,因为,又有、所以给标、至此,终点已获得标号,于就是找出一条从到的增广链。
再由标号的第一部分用反向追踪法找出路线,即(见图7-21)。
进行调查:这时的调整量、再按公式(7、20)调整。
由于上各弧均为前向弧,故得,,、(见图7-21)、其余的不变、对这个新的可行流再进入标号过程,寻找新增广链。
开始给标,检查,给标,检查:在弧上,因为(见图7-21),故该弧已饱与,标号无法进行下去。
所以给标,检查:在弧上,因为,又有所以给标,检查:在弧上,因为,又有,所以给标、于就是又得到一条增广链(见图7-22)进行调整: 这时。
调整结果如图9、28所示。
再重新标号求新的增广链、开始给标,检查,给标。
检查,给标,检查,给标,检查,因已就是饱与弧(见图7-22)。
标号无法进行。
,所以给标、于就是又得到一条增广链:、再进行调整(见图7-23)、再重新进行标号求新的增广链:开始给标(0,+),检查,给标、检查:这时弧均已饱与。
而在弧上,因,又有所以给标,表明弧为后向弧、检查,给标。
检查,给标。
于就是又得到一条增广链:、再进行调整(见图7-24)。