2018年中考数学复习 题型一 数学思想方法 5套合集
2018年浙江中考数学复习方法技巧专题一：数形结合思想训练(含答案)
方法技巧专题一 数形结合思想训练数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法(以形助数)，或利用数量关系来研究几何图形的性质解决几何问题(以数助形)的一种数学思想．一、选择题1．我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是( )A ．演绎B ．数形结合C ．抽象D ．公理化2．若实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图F 1－1所示，则下列式子中正确的是( )图F 1－1A ．ac ＞bcB ．|a －b |＝a －bC ．－a ＜－b ＜－cD ．－a －c ＞－b －c3．[2017·怀化] 一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P (－2，3)，且与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则△AOB 的面积是( )A ．12 B.14C ．4D ．8 4．[2017·聊城] 端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队500米的赛道上，所划行的路程y (m )与时间x (min)之间的函数关系式如图F 1－2所示，下列说法错误的是( )图F 1－2A ．乙队比甲队提前0.25 min 到达终点B ．当乙队划行110 m 时，落后甲队15 mC ．0.5 min 后，乙队比甲队每分钟快40 mD ．自1.5 min 开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需提高到255 m /min5．[2016·天津] 已知二次函数y ＝(x －h )2＋1(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( )A ．1或－5B ．－1或5C ．1或－3D ．1或36．[2017·鄂州 ] 如图F 1－3，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于A (－2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝O C.下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；③ac ＝b －1；④a ＋bc＞0.其中正确的个数有( )图F 1－3A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题7．如图F 1－4是由四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：________．图F 1－48．[2017·十堰] 如图F 1－5，直线y ＝kx 和y ＝ax ＋4交于A (1，k )，则不等式kx －6<ax ＋4<kx 的解集为________．图F 1－59．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图F 1－6所示．由图易得：12＋122＋123＋…＋12n ＝________．图F 1－610．当x ＝m 或x ＝n (m ≠n )时，代数式x 2－2x ＋3的值相等，则x ＝m ＋n 时，代数式x 2－2x ＋3的值为________． 11．已知实数a 、b 满足：a 2＋1＝1a ，b 2＋1＝1b ，则2018|a －b |＝________．12．[2017·荆州] 观察下列图形：图F 1－7它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有________个点． 13．(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：图F 1－8(2)观察图F 1－9，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n 的代数式填空：图F 1－91＋3＋5＋…＋(2n －1)＋(________)＋(2n －1)＋…＋5＋3＋1＝__________． 三、解答题14．[2016·菏泽] 如图F 1－10，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2，2)两点． (1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC (包括端点B 、C )部分有两个交点，求b 的取值范围．图F 1－10参考答案1．B 2.D 3.B 4.D5．B [解析] (1)如图①，当x ＝3，y 取得最小值时，⎩⎪⎨⎪⎧h >3，（3－h ）2＋1＝5，解得h ＝5(h ＝1舍去)；(2)如图②，当x ＝1，y 取得最小值时，⎩⎪⎨⎪⎧h <1，（1－h ）2＋1＝5，解得h ＝－1(h ＝3舍去)． 6．C [解析] 在y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝0时，y ＝c ，∴C (0，c )，∴OC ＝－c .∵OB ＝OC ，∴B (－c ，0)．∵A (－2，0)，∴－c 、－2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c ·(－2)＝c a ，∵c ≠0，∴a ＝12，②正确；∵a ＝12，－c 、－2是一元二次方程12x 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c ＋(－2)＝－b12，即2b －c ＝2，①正确；把B (－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得0＝a (－c )2＋b ·(－c )＋c ，即ac 2－bc ＋c ＝0.∵c ≠0，∴ac －b ＋1＝0，∴ac ＝b －1，③正确；∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线的对称轴在y 轴左侧，∴－b2a ＜0，∴b ＞0.∴a ＋b ＞0.∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0.∴a ＋bc＜0，④不正确． 7．(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab8．1<x <52 [解析] 将A (1，k )代入y ＝ax ＋4得a ＋4＝k ，将a ＋4＝k 代入不等式kx －6<ax ＋4<kx 中得(a ＋4)x －6<ax ＋4<(a ＋4)x ，解不等式(a ＋4)x －6<ax ＋4得x <52，解不等式ax ＋4<(a ＋4)x 得x >1，所以不等式的解集是1<x <52.9．1－12n (或2n－12n )10．3 11.112．135 [解析] 第1个图形有3＝3×1＝3个点； 第2个图形有3＋6＝3×(1＋2)＝9个点； 第3个图形有3＋6＋9＝3×(1＋2＋3)＝18个点； …第n 个图形有3＋6＋9＋…＋3n ＝3×(1＋2＋3＋…＋n )＝3n （n ＋1）2个点．当n ＝9时， ＝135个点． 13.解：(1)1＋3＋5＋7＝16＝42.观察，发现规律，第一个图形：1＋3＝22，第二个图形：1＋3＋5＝32，第三个图形：1＋3＋5＋7＝42，…， 第(n －1)个图形：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. 故答案为：42；n 2. (2)观察图形发现：图中黑球可分三部分，1到n 行，第(n ＋1)行，(n ＋2)行到(2n ＋1)行， 即1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋[2(n ＋1)－1]＋(2n －1)＋…＋5＋3＋1 ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(2n ＋1)＋[(2n －1)＋…＋5＋3＋1] ＝n 2＋2n ＋1＋n 2 ＝2n 2＋2n ＋1.故答案为：2n ＋1；2n 2＋2n ＋1.14．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)如图，∵y ＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋32，∴抛物线的顶点坐标是(1，32)．由B (－2，6)和C (2，2)求得直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4. ∴对称轴与直线BC 的交点是H (1，3)． ∴DH ＝32.∴S △BDC ＝S △BDH ＋S △CDH ＝12×32×3＋12×32×1＝3.(3)如图．①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b ，y ＝12x 2－x ＋2消去y ，得x 2－x ＋4－2b ＝0.当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点，∴(－1)2－4(4－2b )＝0，解得b ＝158.②当直线y ＝－12x ＋b 经过点C 时，b ＝3.③当直线y ＝－12x ＋b 经过点B 时，b ＝5.综上，可知158＜b ≤3.。
中考数学专题复习一常用的数学思想和方法
中考数学专题复习一常用的数学思想和方法一、常用的数学思想（数学中的四大思想）1.函数与方程的思想用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。
深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。
2．数形结合思想在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。
3．分类讨论思想在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。
分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。
分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。
4.等价转化思想等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。
常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化。
二、常用的数学方法主要有换元法、配方法和待定系数法三种。
三、例题解析【例1】（2004年北京市东城区）解方程：x+1-3x+1=2．解：设x＋1＝y，则原方程化为y-3y=2去分母，得y2-2y-3=0．解这个方程，得y1=-1,y2=3．当y＝－1时，x＋1＝－1，所以x＝－2；当y＝3时，x＋1＝3，所以x＝2．经检验，x＝2和x＝－2均为原方程的解．〖点拨〗解分式方程通常是采用去分母或还元法化为整式方程，并特别要注意验根。
浙江省2018年中考数学复习 第二部分 题型研究 题型一 数学思想方法 类型三 方程与函数思想针对演练
第二部分题型研究题型一数学思想方法类型三方程与函数思想针对演练1. 甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600 kg，甲搬运5000 kg 所用的时间与乙搬运8000 kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物．设甲每小时搬运x kg货物，则可列方程为( )A.5000x－600＝8000xB.5000x＝8000x＋600C.5000x＋600＝8000xD.5000x＝8000x－6002. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )A. 3B. 4C. 5D. 6第2题图3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，AE⊥AB交BC于点E.若S△ABC＝m2＋9n2，S△ADE＝mn，则m与n之间的数量关系是( )第3题图A. m＝3nB. m＝6nC. n＝3mD. n＝6m4. 已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线y ＝12x上，点N 在直线y ＝x ＋3上，设点M 的坐标为(a ，b )，则二次函数y ＝－abx 2＋(a ＋b )x ( )A ．有最大值，最大值为－92B ．有最大值，最大值为92C ．有最小值，最小值为92D ．有最小值，最小值为－925. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，动点P 从A 点出发，按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA ＝x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是( )6. 若3x 2m y m 与x 4－n y n －1是同类项，则m ＋n ＝________．7. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系为y ＝－112(x －4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是________m.8. 设直线y ＝kx ＋k －1和直线y ＝()k ＋1x ＋k (k 是正整数)与x 轴围成的三角形面积为S k ，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 2018的值是________.9. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．(1)若每个房间定价增加40元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？(2)房价定为多少时，宾馆的利润最大？答案1. B 【解析】甲每小时搬运x kg 货物，则乙每小时搬运(x ＋600)kg 货物，根据题意得5000x ＝8000x ＋600，故选B. 2. B 【解析】由题意设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝(9－x )，∵BE ∶EC ＝2∶1，∴CE ＝13BC ＝3，∴在Rt △E C H 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x )2＝32＋x 2，解得x ＝4，即CH ＝4.3. A 【解析】∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°，∵AD ⊥BC ，AE ⊥AB ，∴∠BEA ＝∠BAD ＝60°，∠EAC ＝∠C ＝30°，设DE ＝a ，则AE ＝CE ＝2a ，∴BC ＝6a ，∴S △ABC ＝6S △ADE ，即m 2＋9n 2＝6mn ，∴()m －3n 2＝0，∴m ＝3n . 4. B 【解析】∵M ，N 两点关于y 轴对称，点M 的坐标为(a ，b)，∴N 点的坐标为(－a ，b )．又∵点M 在反比例函数y ＝12x的图象上，点N 在一次函数y ＝x ＋3的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12a b ＝－a ＋3，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝12a ＋b ＝3，∴二次函数y ＝－abx 2＋(a ＋b )x ＝－12x 2＋3x ＝－12(x －3)2＋92.∵二次项系数为－12＜0，∴函数有最大值，最大值为92. 5. B 【解析】根据题意可知，需分两种情况讨论：①当P 在AB 上时，x 的取值范围是0＜x ≤3，此时点D 到PA 的距离等于AD 的长度4，∴y 关于x 的函数图象是一条平行于x 轴的直线；②当P 在BC 上时，x 的取值范围是3<x ≤5，∵∠BAP ＋∠DAE ＝∠BAP ＋∠APB ，∴∠DAE ＝∠APB ，又∵∠B ＝∠DEA ＝90°，∴△ABP ∽△DEA ，∴DE AB ＝AD AP ，∴y 3＝4x ，∴y ＝12x ，∴y 关于x 的函数图象是双曲线的一部分，由k ＝12可得函数在第一象限，且y 随x 的增大而减小．综合①②可知B 选项正确．第5题解图6. 3 【解析】根据同类项的概念得，⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝4m －n ＝－1，解得m ＝1，n ＝2，∴m ＋n ＝3. 7. 10 【解析】在函数表达式y ＝－112(x －4)2＋3中令y ＝0，得－112(x －4)2＋3＝0，解得x 1＝10，x 2＝－2(舍去)，∴铅球推出的距离是10 m.8. 20184038 【解析】∵方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋k －1y ＝()k ＋1x ＋k 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，∴两条直线的交点为()－1，－1，两直线与x 轴的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k k ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k ＋1，0，∴S k ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k k－－k k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 2018＝12×(1－12＋12－13＋13－14＋…＋12017－12018＋12018－12019)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12019＝20184038. 9. 解： (1)若每个房间定价增加40元，则这个宾馆这一天的利润为(180＋40－20)×(50－4010)＝9200(元)；(2)设房价增加x元时，利润为w，则w＝(180－20＋x)(50－x10)＝－110x2＋34x＋8000＝－110(x－170)2＋10890，当x＝170时，房价为170＋180＝350(元)，w最大为10890. 即当房价定为350元时，宾馆的利润最大．。
2018年中考数学专题复习 第六讲 数学思想方法
【专题分析】 著 名 的 生物 学 家达 尔 文曾 经 说过 :“ 最有价 值 的 知识 , 就是 关 于方 法 的 知
识”.数学思想方法是数学知识的灵魂,是数学知识、数学技能的本质体现,是解 决数学问题的金钥匙,具有“四两拨千斤”之效.因此掌握基本的数学思想方法, 不仅是学习数学的基本要求,而且能够使数学能力不断提高,从而在中考中取得 好成绩. 安徽中考常用到的数学思想方法有:整体思想、转化思想、方程思想、数形结合 思想、分类思想等.在中考复习备考阶段,应系统总结这些数学思想与方法,掌握 了它的实质,就可以把所学的知识融会贯通,解题时可以举一反三,预计 2018 中 考仍将对数学思想方法进行重点考查. 【知识归纳】
对称轴为直线 x= =1；
（2）∵直线 l：y=kx+b 过 A（﹣1，0）， ∴0=﹣k+b， 即 k=b， ∴直线 l：y=kx+k， ∵抛物线与直线 l 交于点 A，D， ∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k， 即 ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0， ∵CD=4AC，
∴点 D 的横坐标为 4， ∴﹣3﹣ =﹣1×4， ∴k=a， ∴直线 l 的函数表达式为 y=ax+a； （3）过 E 作 EF∥y 轴交直线 l 于 F，设 E（x，ax2﹣2ax﹣3a）， 则 F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a， ∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF= （ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣ （ax2﹣3ax﹣4a）x= （ax2
1.整体思想:整体是与局部对应的,按常规不容易求某一个(或多个)未知量 时,可打破常规,根据题目的结构特征,把一组数或一个代数式看作一个整体,从 而使问题得到解决.
2019专题复习(一)(2018中考真题卷)数学思想方法篇
专题复习(一) 数学思想方法类型1 整体思想解题策略：整体思想是一种解题思想，它主要渗透在解题步骤当中．常见的有：1．求代数式的值时，不是求出代数式中每个字母的值，而是求代数式中整体某一个部分的值． 2．求零散图形的面积时，利用它们的结构特点或全等变换进行整体求出． 这种思想可以应用到各种类型的题之中． 例1.（2018•云南）已知x +＝6，则x 2+＝（ ）A ．38B ．36C ．34D ．32例2．（2018•衡阳）如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ．如果△CDM 的周长为8，那么▱ABCD 的周长是 ．例3．(2016·菏泽)如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝6x 在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC －S △BAD 为(D )A ．36B ．12C ．6D ．3提示：设B(a ，b)，则有ab ＝6，∴S △OAC －S △BAD ＝12OC 2－12BD 2＝12(OC ＋BD)(OC －BD)＝12(OC ＋BD)(AC －AD)＝12ab ＝12×6＝3.故选D .一．选择题（共4小题）1．（2018•沙坪坝区）已知m 2﹣2m ＝1，则代教式3m 2﹣4m +3的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．52．（2018秋•綦江区期末）若a ﹣b ＝﹣2，ab ＝3，则代数式3a +2ab ﹣3b 的值为（ ） A ．12B ．0C ．﹣12D ．﹣83．（2018•沙坪坝区）若2y ﹣3x ＝7，则代数式5﹣2y +3x 的值为（ ） A ．﹣12B ．﹣2C ．2D ．124．（2018•沙坪坝区）若3a 2﹣a ﹣2＝0，则5+2a ﹣6a 2的结果为（ ） A ．10B ．﹣2C ．3D ．15．（2018•渝中区）如图，在△ABC中，直线ED垂直平分线段BC，分别交BC、AB于点D点E，若BD＝3，△AEC 的周长为20，则△ABC的周长为（）A．23B．26C．28D．306．（2018•青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1+∠2等于（）A．150°B．180°C．210°D．270°7．（2018•泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．38．（2018•广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2D．2二．填空题（共2小题）9（2017•镇江）已知实数m满足m2﹣3m+1＝0，则代数式m2+的值等于．10．（2016•凉山州）若实数x满足x2﹣x﹣1＝0，则＝．11．（2019•沙坪坝区）如图，Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，O为AC上一点，OA＝2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是．参考答案一．选择题（共4小题）1．D；2．B；3．B；4．D；5．B；6．C；7．D；8．D；二．填空题（共2小题）9．9；10．10；11．﹣π；题型2 分类讨论思想常见的六种类型：1．方程：若含有字母系数的方程有实数根，要考虑二次项系数是否等于0，进行分类讨论．2．等腰三角形：如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时，要考虑所给的边是腰还是底边，所给出的角是顶角还是底角进行分类解决．3．直角三角形：在直角三角形中给出两边的长度，确定第三边时，若没有指明直角边和斜边，要注意分情况进行讨论(分类讨论)，然后利用勾股定理即可求解．4．相似三角形：若题目中出现两个三角形相似，则需要讨论各边的对应关系；若出现位似，则考虑两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论．5．一次函数：已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，求k的值，常分直线交坐标轴于正半轴和负半轴两种情况讨论；确定反比例函数与一次函数交点个数，常分第一、三象限或第二、四象限两种情况讨论．6．圆：圆的一条弦(直径除外)对两条弧，常分优弧和劣弧两种情况讨论；求圆中两条平行弦的距离，常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论．(2017·孝感)已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝22，则∠COD的度数为30°或150°．【思路点拨】先根据等边三角形的性质与判定、勾股定理的逆定理分别求出∠OAC和∠OAD的度数，再根据点D位置的不确定性进行分类讨论，求出∠COD的度数．1．(2017·济宁)如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥O B.点P从A出发，在⊙O上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么下面图象中可能表示y与x的函数关系的是(D)A ．①B ．④C ．②或④D ．①或③ 2．(2017·滨州)在平面直角坐标系内，直线AB 垂直于x 轴于点C(点C 在原点的右侧)，并分别与直线y ＝x 和双曲线y ＝1x相交于点A ，B ，且AC ＋BC ＝4，则△OAB 的面积为(A )A ．23＋3或23－3B .2＋1或2－1C ．23－3D .2－13．(2017·潍坊)点A ，C 为半径是3的圆周上两点，点B 为AC ︵的中点，以线段BA ，BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为(D )A .5或2 2B .5或2 3C .6或2 2D .6或2 34．(2017·鹤岗)△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，则△ABC5．(2017·随州)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝53或125时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 6．(2017·兰州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，▱ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是A(3，0)，B(0，2)，动点P 在直线y ＝32x 上运动，以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 随点P 运动，当⊙P 与▱ABCO 的边相切时，P 点的坐标为32类型3 化归思想解题策略：化归的思想是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，将“未知”转化为“已知”，将“陌生”转化为“熟悉”，将“复杂”转化为“简单”的解题方法．化归思想常见的六种类型：1．在解方程和方程组中的应用：通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程；通过降次把一元二次方程转化为一元一次方程；通过去分母把分式方程转化为整式方程．2．多边形化为三角形：解决平行四边形、正多边形的问题通过添加辅助线转化为全等三角形、等腰三角形、直角三角形去解决．3．立体图形转化为平面图形：立体图形的展开与折叠、立体图形的三视图体现了立体图形与平面图形之间的相互转化．4．一般三角形转化为直角三角形：通过作已知三角形的高，将问题转化为直角三角形问题．5．化不规则图形为规则图形：根据图形的特点进行平移、旋转、割补等方法将不规则图形的面积转化为规则图形(如三角形、矩形、扇形等)面积的和或差进行求解．6．转化和化归在圆中的应用：圆中圆心角与圆周角、等弧与等弦、等弧与等弧所对的圆周角都是可以相互转化的．(2017·贵港)如图，在扇形OAB 中，C 是OA 的中点，CD ⊥OA ，CD 与AB ︵交于点D ，以O 为圆心，OC 的长为半径作CE ︵交OB 于点E ，若OA ＝4，∠AOB ＝120°，3(结果保留π)【思路点拨】连接OD，根据点C为OA的中点可得∠CDO＝30°，继而可得∠DOC＝60°，求出扇形AOD 的面积，最后用S阴影＝S扇形AOB－S扇形COE－(S扇形AOD－S△COD)即可求出阴影部分的面积．1．(2017·山西)如图是某商品标志的图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD.若AC＝10 cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为(B)A．5πcm2B．10πcm2C．15πcm2D．20πcm2第1题图第2题图2．(2017·福建)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB 等于108度．3．(2017·赤峰)王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC＝20 cm，BC＝18 cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17 cm，宽为8 cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．(参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2)解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内．理由：如图，作AD⊥BC于点D，∵∠C＝50°，AC＝20 cm，∴AD＝AC·sin50°＝20×0.8＝16(cm)，CD＝AC·cos50°＝20×0.6＝12(cm)．∵BC＝18 cm，∴DB＝BC－CD＝18－12＝6(cm)．∴AB＝AD2＋BD2＝162＋62＝292.∵17＝289<292，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．类型4数形结合思想解题策略：数形结合思想常见的四种类型：1．实数与数轴：实数与数轴上的点具有一一对应关系，因此借助数轴观察数的特点，直观明了．2．在解方程(组)或不等式(组)中的应用：利用函数图象解决方程问题时，常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决；利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题更直观、形象，易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解．3．在函数中的应用：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法，函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法．4．在几何中的应用：对于几何问题，我们常通过图形找出边、角的数量关系，通过边、角的数量关系，得出图形的性质等．例 1. （2017•黄石）已知关于x 的不等式组恰好有两个整数解，求实数a 的取(2017·十堰)如图，直线y ＝3x －6分别交x 轴，y 轴于A ，B ，M 是反比例函数y ＝kx (x>0)的图象上位于直线上方的一点，MC ∥x 轴交AB 于C ，MD ⊥MC 交AB 于D ，AC ·BD ＝43，则k 的值为(A )A ．－3B ．－4C ．－5D ．－6【思路点拨】 分别过点C ，D 作CE ⊥x 轴于点E ，DF ⊥y 轴于点F.由已知条件可求出点A ，点B 的坐标，再由tan ∠OBA ＝OAOB 即可求出∠OBA 的度数．设M(x ，y)，在Rt △BDF 和Rt △CEA 中，分别用含x ，y 的代数式表示出BD ，CA 的长，再由AC·BD ＝43，可求出xy 的值 ，则k 值即可求出．1．(2017·孝感)如图，在△ABC 中，点O 是△ABC 的内心，连接OB ，OC ，过点O 作EF ∥BC 分别交AB ，AC 于点E ，F ，已知△ABC 的周长为8，BC ＝x ，△AEF 的周长为y ，则表示y 与x 的函数图象大致是(B )2．(2017·白银)如图1，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 以每秒2 cm 的速度从点A 出发，沿AB →BC 的路径运动，到点C 停止．过点P 作PQ ∥BD ，PQ 与边AD(或边CD)交于点Q ，PQ 的长度y(cm )与点P 的运动时间x(秒)的函数图象如图2所示．当点P 运动2.5秒时，PQ 的长是(B )A ．2 2 cmB ．3 2 cmC ．4 2 cmD ．5 2 cm 3．(2017·河北)在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ，C ，其中AB ＝2，BC ＝1，如图所示．设点A ，B ，C 所对应数的和是p.(1)若以B 为原点，写出点A ，C 所对应的数，并计算p 的值；若以C 为原点，p 又是多少？ (2)若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且CO ＝28，求p. 解：(1)以B 为原点，点A ，C 分别对应的数为－2，1， p ＝－2＋0＋1＝－1；以C 为原点，点A ，C 分别对应的数为－3，－1， p ＝0＋(－1)＋(－3)＝－4.(2)p ＝(－28－1－2)＋(－28－1)＋(－28)＝－88.类型5 方程、函数思想解题策略：方程与函数思想是一种重要的数学思想：(1)在某些图形的折叠问题中，求线段长时，通常利用勾股定理建立方程模型来解决问题；(2)在运动中求最大值或最小值时，通常可以考虑将问题转化为函数的最值讨论问题，利用二次函数的顶点坐标或函数取值范围解决．(2017·宿迁)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝2 cm .点P 在边AC 上，从点A向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动，若点P ，Q 均以1 cm /s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是(C )A ．20 cmB ．18 cmC ．2 5 cmD ．3 2 cm【思路点拨】 根据P ，Q 两点的运动方向和运动速度用含t 的式子表示出PC ，CQ 的长度，进而用勾股定理表示出PQ 2，根据二次函数的性质在0≤t ≤2的范围内求出PQ 2的最小值，则PQ 的最小值即可求出．1．(2017·衢州)如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABC 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于(B )A .35B .53C .73D .54第1题图 第2题图2．(2017·泰安)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1 cm /s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2 cm /s 的速度运动(点Q 运动到点B 停止)，在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为(C )A ．19 cm 2B ．16 cm 2C ．15 cm 2D ．12 cm 2。
初中数学2018年中考专题复习：数学思想问题
专题复习（一）数学思想方法问题题型概述数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路。
因此我们应抓住临近中考的这段时间，去研究、归纳、熟悉那些常见的解题方法与技巧，从而为夺得中考高分搭起灵感和智慧的平台。
初中数学中的主要数学思想有整体思想、化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、方程和函数思想等。
结合中考走向，我们重点就以下几种思想方法进行赏析强化。
【题型例析】 类型1：整体思想整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼与它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密的联系这的量作为整体来处理运用的思想方法。
【例题】．（1）(2015•湖南株洲,第13题3分)因式分解：2(2)16(2)x x x ---＝ 。
【解析】本题考点为：分解因式，首先提取整体公因式(2)x -，然后还要注意彻底分解，2(16)x -仍可以利用平方差公式分解。
答案为：(2)(4)(4)x x x --+ （2）（2015•广东梅州,第18题，7分）已知，求代数式的值.考点：整式的混合运算—化简求值．. 专题：计算题．分析：原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，将已知等式代入计算即可求出值．解答：解：原式=a 2﹣2a +1+2ab +b 2+2a =（a +b ）2+1， 把a +b =﹣代入得：原式=2+1=3．点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则整体运用是解本题的关键．【变式练习】（1）（2015福建龙岩13，3分）若4a﹣2b=2π，则2a﹣b+π= 2π．考点：代数式求值．分析：根据整体代入法解答即可．解答：解：因为4a﹣2b=2π，所以可得2a﹣b=π，把2a﹣b=π代入2a﹣b+π=2π．点评：此题考查代数式求值，关键是根据整体代入法计算．（2）（2015•甘南州第23题 4分）已知a2﹣a﹣1=0，则a3﹣a2﹣a+2015= 2015 ．考点：因式分解的应用．分析：首先根据a2﹣a﹣1=0得到a2﹣a=1，从而利用a3﹣a2﹣a+2015=a（a2﹣a）﹣a+2015代入求值即可．解答：解：∵a2﹣a﹣1=0，∴a2﹣a=1，∴a3﹣a2﹣a+2015=a（a2﹣a）﹣a+2015=a﹣a+2015=2015，故答案为：2015．点评：本题是一道涉及因式分解的计算题，考查了拆项法分解因式的运用，提公因式法的运用．类型2：分类讨论思想（1）代数问题中的分类讨论针对代数中的有些问题，需要对整体问题进行分解，从不同的角度、不同的范围和不同的思路进行分类，把问题既不重复，不遗漏的分成几种情况进行分析，化整为零，各个击破的解题策略，这样使问题得以轻松解决。
中考数学复习专题讲座(精编含详细参考答案)数学思想方法()
2018年中考数学复习专题讲座：数学思想方法<2）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试卷中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点四：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组>。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例1 <2018•广东）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2018年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2018年、2018年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：<1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；<2）如果2018年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2018年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？考点：一元二次方程的应用。
专题：增长率问题。
分析：<1）设年平均增长率为x．根据题意2018年公民出境旅游总人数为5000<1+x）万人次，2018年公民出境旅游总人数 5000<1+x）2 万人次．根据题意得方程求解；<2）2018年我国公民出境旅游总人数约7200<1+x）万人次．解答：解：<1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得5000<1+x）2 =7200．解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 <不合题意，舍去）．答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．<2）如果2018年仍保持相同的年平均增长率，则2018年我国公民出境旅游总人数为 7200<1+x）=7200×120%=8640万人次．答：预测2018年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．点评：方程是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。
2018年中考数学复习全国用湘教版特色专题课件专题四 数学思想方法
专题四┃ 数学思想方法
解： 设原计划平均每天生产 x 个零件， 则现在平均每 天生产 (x＋25)个零件． 600 450 由题意，得 ＝ ，解得 x ＝75， x＋25 x 检验，当 x＝75 时，x(x＋25) ≠0， 所以 x ＝75 是原方程的解． 答：原计划平均每天生产 75 个零件．
4．李老师家距学校 1900 米，某天他步行去上班，走到一 半时发现忘了带手机，此时离上班时间还有 23 分钟，于是 他立刻步行回家取手机，随后骑电动车去上班．已知李老 师骑电动车到学校比他步行到学校少用 20 分钟，且骑电动 车的平均速度是步行速度的 5 倍，李老师到家开门、取手 机、启动电动车等共用 4 分钟．请你判断李老师能否按时 上班，并说明理由．
专题四┃ 数学思想方法
解题方法归纳
运用整体思想解题的关键是把研究对象的某一部分(或全部
)看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系， 从而在客观上寻求解决问题的新途径．整体是与局部对应的， 按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规，根据 题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而
x（x＋1）－x （x＋1） 解：原式＝ · ＝x(x＋1) x＋1 x ＝x2＋x. 2 ∵x ＋x－2＝0， 2 ∴x ＋x＝2，即原式＝2.
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专题四┃ 数学思想方法
例题分层分析 x x (1) 将 分 式 (x － )÷ 2 化简的结果是 x＋1 x ＋2x＋1 ________； 2 (2) 将条件 x ＋ x－2 ＝ 0 中常数项移项到等号右边是 ________．
[解析] 由(m－n)2＝8 得 m2－2mn＋n2＝8；由(m＋n)2 ＝2 得 m2＋2mn＋n2＝2，两式相加，得 2m2＋2n2＝10，所 2 2 以 m ＋n ＝5，故选 C.
五大数学思想方法训练-中考数学复习专题类型突破专题
5大数学思想方法类型一分类讨论思想(2018·临沂中考)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．【分析】 (1)先判定四边形BDFA是平行四边形，可得FD＝AB，再根据AB＝CD，即可得出FD＝CD；(2)当GC＝GB时，点G在BC的垂直平分线上，分情况讨论，即可得到旋转角α的度数．【自主解答】在数学中，如果一个命题的条件或结论有多种可能的情况，难以统一解答，那么就需要按可能出现的各种情况分类讨论，最后综合归纳问题的正确答案．1．(2018·宿迁中考)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是( )A．5 B．4 C．3 D．22．(2018·随州中考)为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y(件)与x(天)满足如下关系：设李师傅第x天创造的产品利润为W元．(1)直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？(3)任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？类型二数形结合思想(2018·齐齐哈尔中考)某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20 min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的107继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6 km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s(km)和行驶时间t(min)之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题：(1)学校到景点的路程为________ km，大客车途中停留了________ min，a＝________；(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速 80 km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？(4)若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待________分钟，大客车才能到达景点入口．【分析】 (1)根据图形可得总路程和大客车途中停留的时间，先计算小轿车的速度，再根据时间计算a的值；(2)计算大客车的速度，可得大客车后来行驶的速度，计算小轿车赶上来之后大客车行驶的路程，从而可得结论；(3)先计算直线CD的解析式，计算小轿车驶过景点入口6 km时的时间，再计算大客车到达终点的时间，根据路程与时间的关系可得小轿车行驶6 km的速度与80 km/h作比较可得结论．(4)利用路程÷速度＝时间计算出大客车所用时间，计算与小轿车的时间差即可．【自主解答】把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得以解决．3．(2018·大庆中考)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，点B(3，0)，点C(4，y 1)，若点D(x 2，y 2)是抛物线上任意一点，有下列结论： ①二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值为－4a ； ②若－1≤x 2≤4，则0≤y 2≤5a； ③若y 2＞y 1，则x 2＞4；④一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两个根为－1和13.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2018·苏州中考)如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝kx 在第一象限内的图象经过点D 交BC 于点E.若AB ＝4，CE ＝2BE ，tan∠AOD＝34，则k 的值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．125．(2018·上海中考)一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．(1)求y 关于x 的函数关系式；(不需要写自变量的取值范围)(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米离加油站的路程是多少千米？类型三 转化与化归思想(2017·江西中考)如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB 水平，且与屏幕BC 垂直．(1)若屏幕上下宽BC ＝20 cm ，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长；(2)若肩膀到水平地面的距离DG ＝100 cm ，上臂DE ＝30 cm ，下臂EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离FH ＝72 cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°？(参考数据：sin 69°≈1415，cos 21°≈1415，tan 20°≈411，tan 43°≈1415，所有结果精确到个位)【分析】 (1)在Rt△AB C 中利用三角函数即可直接求解；(2)延长FE 交DG 于点I ，利用三角函数求得∠DEI 即可求得β的值，从而作出判断． 【自主解答】把一种数学问题合理地转化成另一种数学问题可以有效地解决问题．在解三角形中，将非直角三角形问题转化为解直角三角形问题，把实际问题转化为数学问题等．6．(2018·山西中考)如图，正方形ABCD 内接于⊙O，⊙O 的半径为2，以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是( )A ．4π－4B ．4π－8C ．8π－4D ．8π－87．(2018·黄冈中考)则a －1a ＝6，则a 2＋1a2值为______．8．(2018·白银中考)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A ，B 两地被大山阻隔，由A 地到B 地需要绕行C 地，若打通穿山隧道，建成A ，B 两地的直达高铁，可以缩短从A 地到B 地的路程．已知∠CAB＝30°，∠CBA ＝45°，AC ＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程将缩短约多少公里？(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)类型四 方程思想(2018·娄底中考)如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的点，AC ︵＝BC ︵，弦CD 交AB 于点E.(1)当PB 是⊙O 的切线时， 求证：∠PBD＝∠DAB； (2)求证：BC 2－CE 2＝CE·DE；(3)已知OA ＝4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长．【分析】 (1)由AB 是⊙O 的直径知∠BAD＋∠ABD＝90°，由PB 是⊙O 的切线知∠PBD＋∠ABD＝90°，据此可得证；(2)连接OC ，设圆的半径为r ，证△ADE∽△CBE，由AC ︵＝BC ︵知∠AOC＝∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可得证；(3)先求出BC ，CE ，再根据BC 2－CE 2＝CE·DE 计算可得． 【自主解答】在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化．9．(2018·白银中考)若正多边形的内角和是1 080°，则该正多边形的边数是________．AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是________．类型五函数思想(2017·杭州中考)在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.(1)设矩形的相邻两边长分别为x，y.①求y关于x的函数解析式；②当y≥3时，求x的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【分析】(1)①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；(2)直接利用x＋y的值结合根的判别式得出答案．【自主解答】在解答此类问题时，建立函数模型→求出函数解析式→结合函数解析式与函数的性质作出解答．要注意从几何和代数两个角度思考问题．11．(2018·桂林中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线y的函数解析式及点C的坐标；(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案类型一【例1】 (1)如图1，连接AF.由四边形ABCD是矩形，结合旋转可得BD＝AF，∠EAF＝∠ABD.∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠AEB，∴∠EAF＝∠AEB，∴BD∥AF，∴四边形BDFA是平行四边形，∴FD＝AB.∵AB＝CD，∴FD＝CD.(2)如图2，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边时，连接DG，CG，BG，易知点G也是AD的垂直平分线上的点，∴DG＝AG.又∵AG＝AD，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴α＝60°.如图3，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的左边时，连接CG，B G，DG，同理，△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，此时α＝300°.综上所述，当α为60°或300°时，GC＝GB.变式训练1．C2．解：(1)设p与x之间的函数关系式为p＝kx＋b，代入(1，7.5)，(3，8.5)得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝7.5，3k ＋b ＝8.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.5，b ＝7， 即p 与x 的函数关系式为p ＝0.5x ＋7(1≤x≤15，x 为整数)． 当1≤x＜10时，W ＝[20－(0.5x ＋7)](2x ＋20)＝－x 2＋16x ＋260. 当10≤x≤15时，W ＝[20－(0.5x ＋7)]×40＝－20x ＋520，即W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋16x ＋260（1≤x<10，x 为整数），－20x ＋520（10≤x≤15，x 为整数）.(2)当1≤x＜10时，W ＝－x 2＋16x ＋260＝－(x －8)2＋324， ∴当x ＝8时，W 取得最大值，此时W ＝324. 当10≤x≤15时，W ＝－20x ＋520， ∴当x ＝10时，W 取得最大值，此时W ＝320.∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元． (3)当1≤x＜10时，令－x 2＋16x ＋260＝299，得x 1＝3，x 2＝13， 当W ＞299时，3＜x ＜13.∵1≤x＜10，∴3＜x ＜10.当10≤x≤15时， 令W ＝－20x ＋520＞299，得x ＜11.05，∴10≤x≤11.由上可得，李师傅获得奖金的月份是4月到11月，李师傅共获得奖金为20×(11－3)＝160(元)． 答：李师傅共可获得160元奖金． 类型二【例2】(1)由图形可得学校到景点的路程为40 km ，大客车途中停留了5min ， 小轿车的速度为4060－20＝1(km/min)， a ＝(35－20)×1＝15. 故答案为40，5，15.(2)由(1)得a ＝15，∴大客车的速度为1530＝12(km/min)．小轿车赶上来之后，大客车又行驶了(60－35)×107×12＝1257(km)，40－1257－15＝507(km)．答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有507km.(3)设直线CD 的解析式为s ＝kt ＋b ，将(20，0)和(60，40)代入得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝0，60k ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－20，∴直线CD 的解析式为s ＝t －20. 当s ＝46时，46＝t －20，解得t ＝66.小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间为40－1512×107＝35(min)，小轿车司机折返时的速度为6÷(35＋35－66)＝32(km/min)＝90 km/h ＞80km/h.答：小轿车折返时已经超速．(4)大客车的时间：4012＝80(min)，80－70＝10(min)．故答案为10. 变式训练 3．B 4.A5．解：(1)设该一次函数解析式为y ＝kx ＋b ， 将(150，45)，(0，60)代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧150k ＋b ＝45，b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－110，b ＝60，∴该一次函数解析式为y ＝－110x ＋60.(2)当y ＝－110x ＋60＝8时，解得x ＝520，即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升． 530－520＝10(千米)，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．答：在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米． 类型三【例3】 (1)∵Rt△ABC 中，tan A ＝BCAB ，∴AB＝BC tan A ＝BC tan 20°≈20411＝55(cm)． (2)如图，延长FE 交DG 于点I ，则四边形GHFI 为矩形，∴IG＝FH，∴DI＝DG－FH＝100－72＝28(cm)．在Rt△DEI中，sin∠DEI＝DIDE ＝2830＝1415，∴∠DEI≈69°，∴β＝180°－69°＝111°≠100°，∴此时β不符合科学要求的100°.变式训练6．A 7.88．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640，∴CD＝320，AD＝3203，∴BD＝CD＝320，BC＝3202，∴AC＋BC＝640＋3202≈1 088，∴AB＝AD＋BD＝3203＋320≈864，∴1 088－864＝224(公里)．答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约224公里．类型四【例4】(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°.∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP＝90°，∴∠PBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠PBD.(2)∵∠A＝∠DCB，∠AED＝∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴DEBE＝AECE，即DE·CE＝AE·BE.如图，连接OC.设圆的半径为r ， 则OA ＝OB ＝OC ＝r ，则DE·CE＝AE·BE＝(OA －OE)(OB ＋OE)＝r 2－OE 2. ∵AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∴CE 2＝OE 2＋OC 2＝OE 2＋r 2， BC 2＝BO 2＋CO 2＝2r 2，则BC 2－CE 2＝2r 2－(OE 2＋r 2)＝r 2－OE 2， ∴BC 2－CE 2＝DE·CE.(3)∵OA ＝4，∴OB＝OC ＝OA ＝4， ∴BC＝OB 2＋OC 2＝4 2. 又∵E 是半径OA 的中点， ∴AE＝OE ＝2，则CE ＝OC 2＋OE 2＝42＋22＝2 5. ∵BC 2－CE 2＝D E·CE，∴(42)2－(25)2＝DE·25， 解得DE ＝655.变式训练 9．8 10.127类型五【例5】 (1)①由题意可得xy ＝3，则y ＝3x .②当y≥3时，3x ≥3，解得x≤1，∴x 的取值范围是0＜x≤1.(2)∵一个矩形的周长为6，∴x＋y ＝3， ∴x＋3x＝3，整理得x 2－3x ＋3＝0.∵b 2－4ac ＝9－12＝－3＜0，∴矩形的周长不可能是6，∴圆圆的说法不对． ∵一个矩形的周长为10，∴x＋y ＝5， ∴x＋3x＝5，整理得x 2－5x ＋3＝0.∵b 2－4ac ＝25－12＝13＞0，∴矩形的周长可能是10， ∴方方的说法对． 变式训练11．解：(1)将点A ，B 的坐标代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋6＝0，a ＋b ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4， ∴抛物线的函数解析式为y ＝－2x 2－4x ＋6， 当x ＝0时，y ＝6，∴点C 的坐标为(0，6)．(2)由MA ＝MB ＝MC 得M 点在AB 的垂直平分线上，M 点在AC 的垂直平分线上． 设M(－1，y)，由MA ＝MC 得(－1＋3)2＋y 2＝(y －6)2＋(－1－0)2， 解得y ＝114，∴点M 的坐标为(－1，114)．(3)①如图，过点A 作DA⊥AC 交y 轴于点F ，交CB 的延长线于点D. ∵∠ACO＋∠CAO＝90°，∠DAO＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠AFO＝90°， ∴∠DAO＝∠ACO，∠CAO＝∠AFO， ∴△AOF∽△COA， ∴AO OF ＝CO AO， ∴AO 2＝OC·OF.∵OA＝3，OC ＝6，∴OF＝326＝32，∴F(0，－32)．∵A(－3，0)，F(0，－32)，∴直线AF 的解析式为y ＝－12x －32.∵B(1，0)，C(0，6)，∴直线BC 的解析式为y ＝－6x ＋6，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －32，y ＝－6x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1511，y ＝－2411，∴D(1511，－2411)，∴AD＝24115，AC ＝35，∴tan∠ACB＝2451135＝811.∵4tan∠ABE＝11tan∠ACB， ∴tan∠ABE ＝2.如图，过点A 作AM⊥x 轴，连接BM 交抛物线于点E. ∵AB＝4，tan∠ABE＝2， ∴AM＝8， ∴M(－3，8)．∵B(1，0)，M(－3，8)，∴直线BM 的解析式为y ＝－2x ＋2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝－2x 2－4x ＋6， 解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，(舍去)∴E(－2，6)．②当点E 在x 轴下方时，如图，过点E 作EG⊥AB，连接BE. 设点E(m ，－2m 2－4m ＋6)， ∴tan∠ABE＝GE BG ＝2m 2＋4m －6－m ＋1＝2，∴m＝－4或m ＝1(舍去)， 可得E(－4，－10)．综上所述，E 点坐标为(－2，6)或(－4，－10)．。
中考数学专题训练——5大数学思想方法
最新中考数学专项练习（历年真题汇编）专题一5大数学思想方法类型一分类讨论思想(2018·临沂中考)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．【分析】(1)先判定四边形BDFA是平行四边形，可得FD＝AB，再根据AB＝CD，即可得出FD＝CD；(2)当GC＝GB时，点G在BC的垂直平分线上，分情况讨论，即可得到旋转角α的度数．【自主解答】在数学中，如果一个命题的条件或结论有多种可能的情况，难以统一解答，那么就需要按可能出现的各种情况分类讨论，最后综合归纳问题的正确答案．1．(2018·宿迁中考)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l，若直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是( ) A．5 B．4 C．3 D．22．(2018·随州中考)为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天(1≤x≤15，且x为整数)每件产品的成本是p元，p与x 之间符合一次函数关系，部分数据如表：天数(x) 1 3 6 10每件成本p(元) 7.5 8.5 10 12任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y(件)与x(天)满足如下关系：设李师傅第x天创造的产品利润为W元．(1)直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？(3)任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？类型二数形结合思想(2018·齐齐哈尔中考)某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20 min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的107继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6 km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s(km)和行驶时间t(min)之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题：(1)学校到景点的路程为________ km，大客车途中停留了________ min，a＝________；(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速80 km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？(4)若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待________分钟，大客车才能到达景点入口．【分析】(1)根据图形可得总路程和大客车途中停留的时间，先计算小轿车的速度，再根据时间计算a的值；(2)计算大客车的速度，可得大客车后来行驶的速度，计算小轿车赶上来之后大客车行驶的路程，从而可得结论；(3)先计算直线CD的解析式，计算小轿车驶过景点入口6 km 时的时间，再计算大客车到达终点的时间，根据路程与时间的关系可得小轿车行驶6 km的速度与80 km/h作比较可得结论．(4)利用路程÷速度＝时间计算出大客车所用时间，计算与小轿车的时间差即可．【自主解答】把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得以解决．3．(2018·大庆中考)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，点B(3，0)，点C(4，y 1)，若点D(x 2，y 2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值为－4a ； ②若－1≤x 2≤4，则0≤y 2≤5a ； ③若y 2＞y 1，则x 2＞4；④一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两个根为－1和13.其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．44．(2018·苏州中考)如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝kx在第一象限内的图象经过点D交BC于点E.若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD＝34，则k的值为( )A．3 B．2 3 C．6 D．125．(2018·上海中考)一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．(1)求y关于x的函数关系式；(不需要写自变量的取值范围)(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？类型三 转化与化归思想(2017·江西中考)如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB 水平，且与屏幕BC 垂直．(1)若屏幕上下宽BC ＝20 cm ，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长；(2)若肩膀到水平地面的距离DG ＝100 cm ，上臂DE ＝30 cm ，下臂EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离FH ＝72 cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°？(参考数据：sin 69°≈1415，cos 21°≈1415，tan 20°≈411，tan 43°≈1415，所有结果精确到个位)【分析】 (1)在Rt △ABC 中利用三角函数即可直接求解；(2)延长FE 交DG 于点I ，利用三角函数求得∠DEI 即可求得β的值，从而作出判断． 【自主解答】把一种数学问题合理地转化成另一种数学问题可以有效地解决问题．在解三角形中，将非直角三角形问题转化为解直角三角形问题，把实际问题转化为数学问题等．6．(2018·山西中考)如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2，以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是( )A ．4π－4B ．4π－8C ．8π－4D ．8π－87．(2018·黄冈中考)则a －1a ＝6，则a 2＋1a 2值为______．8．(2018·白银中考)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A ，B 两地被大山阻隔，由A 地到B 地需要绕行C 地，若打通穿山隧道，建成A ，B 两地的直达高铁，可以缩短从A 地到B 地的路程．已知∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，AC ＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程将缩短约多少公里？(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)类型四 方程思想(2018·娄底中考)如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的点，AC ︵＝BC ︵，弦CD 交AB 于点E.(1)当PB 是⊙O 的切线时， 求证：∠PBD ＝∠DAB ； (2)求证：BC 2－CE 2＝CE·DE ；(3)已知OA ＝4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长．【分析】 (1)由AB 是⊙O 的直径知∠BAD ＋∠ABD ＝90°，由PB 是⊙O 的切线知∠PBD ＋∠ABD ＝90°，据此可得证；(2)连接OC ，设圆的半径为r ，证△ADE ∽△CBE ，由AC ︵＝BC ︵知∠AOC ＝∠BOC ＝90°，再根据勾股定理即可得证；(3)先求出BC ，CE ，再根据BC 2－CE 2＝CE·DE 计算可得． 【自主解答】在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化．9．(2018·白银中考)若正多边形的内角和是1 080°，则该正多边形的边数是________．10．(2018·上海中考)如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是________．类型五函数思想(2017·杭州中考)在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.(1)设矩形的相邻两边长分别为x，y.①求y关于x的函数解析式；②当y≥3时，求x的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【分析】(1)①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；(2)直接利用x＋y的值结合根的判别式得出答案．【自主解答】在解答此类问题时，建立函数模型→求出函数解析式→结合函数解析式与函数的性质作出解答．要注意从几何和代数两个角度思考问题．11．(2018·桂林中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线y的函数解析式及点C的坐标；(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案类型一【例1】(1)如图1，连接AF.由四边形ABCD是矩形，结合旋转可得BD＝AF，∠EAF＝∠ABD.∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠AEB，∴∠EAF＝∠AEB，∴BD∥AF，∴四边形BDFA是平行四边形，∴FD＝AB.∵AB＝CD，∴FD＝CD.(2)如图2，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边时，连接DG，CG，BG，易知点G也是AD的垂直平分线上的点，∴DG＝AG.又∵AG＝AD，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG ＝60°，∴α＝60°.如图3，当点G 位于BC 的垂直平分线上，且在BC 的左边时，连接CG ，BG ，DG ，同理，△ADG 是等边三角形， ∴∠DAG ＝60°，此时α＝300°.综上所述，当α为60°或300°时，GC ＝GB. 变式训练 1．C2．解：(1)设p 与x 之间的函数关系式为p ＝kx ＋b ， 代入(1，7.5)，(3，8.5)得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝7.5，3k ＋b ＝8.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.5，b ＝7， 即p 与x 的函数关系式为p ＝0.5x ＋7(1≤x≤15，x 为整数)． 当1≤x ＜10时，W ＝[20－(0.5x ＋7)](2x ＋20)＝－x 2＋16x ＋260. 当10≤x≤15时，W ＝[20－(0.5x ＋7)]×40＝－20x ＋520，即W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋16x ＋260（1≤x<10，x 为整数），－20x ＋520（10≤x≤15，x 为整数）.(2)当1≤x ＜10时，W ＝－x 2＋16x ＋260＝－(x －8)2＋324， ∴当x ＝8时，W 取得最大值，此时W ＝324. 当10≤x≤15时，W ＝－20x ＋520，∴当x ＝10时，W 取得最大值，此时W ＝320.∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元． (3)当1≤x ＜10时，令－x 2＋16x ＋260＝299，得x 1＝3，x 2＝13， 当W ＞299时，3＜x ＜13.∵1≤x ＜10，∴3＜x ＜10.当10≤x≤15时，令W ＝－20x ＋520＞299，得x ＜11.05，∴10≤x≤11.由上可得，李师傅获得奖金的月份是4月到11月，李师傅共获得奖金为20×(11－3)＝160(元)．答：李师傅共可获得160元奖金． 类型二【例2】(1)由图形可得学校到景点的路程为40 km ，大客车途中停留了5min ， 小轿车的速度为4060－20＝1(km/min)， a ＝(35－20)×1＝15. 故答案为40，5，15.(2)由(1)得a ＝15，∴大客车的速度为1530＝12(km/min)．小轿车赶上来之后，大客车又行驶了(60－35)×107×12＝1257(km)，40－1257－15＝507(km)．答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有507 km. (3)设直线CD 的解析式为s ＝kt ＋b ，将(20，0)和(60，40)代入得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝0，60k ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－20， ∴直线CD 的解析式为s ＝t －20. 当s ＝46时，46＝t －20，解得t ＝66.小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间为40－1512×107＝35(min)，小轿车司机折返时的速度为6÷(35＋35－66)＝32(km/min)＝90 km/h ＞80km/h.答：小轿车折返时已经超速．(4)大客车的时间：4012＝80(min)，80－70＝10(min)．故答案为10. 变式训练 3．B 4.A5．解：(1)设该一次函数解析式为y ＝kx ＋b ， 将(150，45)，(0，60)代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧150k ＋b ＝45，b ＝60，解得⎩⎨⎧k ＝－110，b ＝60，∴该一次函数解析式为y ＝－110x ＋60. (2)当y ＝－110x ＋60＝8时，解得x ＝520， 即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升． 530－520＝10(千米)，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．答：在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．类型三【例3】(1)∵Rt△ABC中，tan A ＝BCAB，∴AB＝BCtan A＝BCtan 20°≈20411＝55(cm)．(2)如图，延长FE交DG于点I，则四边形GHFI为矩形，∴IG＝FH，∴DI＝DG－FH＝100－72＝28(cm)．在Rt△DEI中，sin∠DEI＝DIDE＝2830＝1415，∴∠DEI≈69°，∴β＝180°－69°＝111°≠100°，∴此时β不符合科学要求的100°.变式训练6．A7.88．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640，∴CD＝320，AD＝3203，∴BD＝CD＝320，BC＝3202，∴AC＋BC＝640＋3202≈1 088，∴AB＝AD＋BD＝3203＋320≈864，∴1 088－864＝224(公里)．答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约224公里．类型四【例4】(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°.∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP＝90°，∴∠PBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠PBD.(2)∵∠A＝∠DCB，∠AED＝∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴DEBE＝AECE，即DE·CE＝AE·BE.如图，连接OC.设圆的半径为r，则OA＝OB＝OC＝r，则DE·CE＝AE·BE＝(OA－OE)(OB＋OE)＝r2－OE2.∵AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC ＝∠BOC ＝90°， ∴CE 2＝OE 2＋OC 2＝OE 2＋r 2， BC 2＝BO 2＋CO 2＝2r 2，则BC 2－CE 2＝2r 2－(OE 2＋r 2)＝r 2－OE 2， ∴BC 2－CE 2＝DE·CE.(3)∵OA ＝4，∴OB ＝OC ＝OA ＝4， ∴BC ＝OB 2＋OC 2＝4 2. 又∵E 是半径OA 的中点， ∴AE ＝OE ＝2，则CE ＝OC 2＋OE 2＝42＋22＝2 5. ∵BC 2－CE 2＝DE·CE ， ∴(42)2－(25)2＝DE·25， 解得DE ＝655. 变式训练 9．8 10.127 类型五【例5】 (1)①由题意可得xy ＝3，则y ＝3x . ②当y≥3时，3x ≥3，解得x≤1， ∴x 的取值范围是0＜x≤1.(2)∵一个矩形的周长为6，∴x ＋y ＝3，∴x ＋3x ＝3，整理得x 2－3x ＋3＝0.∵b 2－4ac ＝9－12＝－3＜0，∴矩形的周长不可能是6，∴圆圆的说法不对．∵一个矩形的周长为10，∴x ＋y ＝5，∴x ＋3x ＝5，整理得x 2－5x ＋3＝0.∵b 2－4ac ＝25－12＝13＞0，∴矩形的周长可能是10，∴方方的说法对．变式训练11．解：(1)将点A ，B 的坐标代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋6＝0，a ＋b ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4， ∴抛物线的函数解析式为y ＝－2x 2－4x ＋6，当x ＝0时，y ＝6，∴点C 的坐标为(0，6)．(2)由MA ＝MB ＝MC 得M 点在AB 的垂直平分线上，M 点在AC 的垂直平分线上．设M(－1，y)，由MA ＝MC 得(－1＋3)2＋y 2＝(y －6)2＋(－1－0)2，解得y ＝114，∴点M 的坐标为(－1，114)．(3)①如图，过点A 作DA ⊥AC 交y 轴于点F ，交CB 的延长线于点D. ∵∠ACO ＋∠CAO ＝90°，∠DAO ＋∠CAO ＝90°，∠ACO ＋∠AFO ＝90°， ∴∠DAO ＝∠ACO ，∠CAO＝∠AFO ，∴△AOF ∽△COA ，∴AO OF ＝CO AO ，∴AO 2＝OC·OF.∵OA ＝3，OC ＝6，∴OF ＝326＝32，∴F(0，－32)．∵A(－3，0)，F(0，－32)，∴直线AF 的解析式为y ＝－12x －32.∵B(1，0)，C(0，6)，∴直线BC 的解析式为y ＝－6x ＋6，联立⎩⎨⎧y ＝－12x －32，y ＝－6x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1511，y ＝－2411，∴D(1511，－2411)，∴AD ＝24115，AC ＝35，∴tan ∠ACB ＝2451135＝811.∵4tan ∠ABE ＝11tan ∠ACB ，∴tan ∠ABE ＝2.如图，过点A 作AM ⊥x 轴，连接BM 交抛物线于点E. ∵AB ＝4，tan ∠ABE ＝2，∴AM ＝8，∴M(－3，8)．∵B(1，0)，M(－3，8)，∴直线BM 的解析式为y ＝－2x ＋2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝－2x 2－4x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，(舍去)∴E(－2，6)．②当点E 在x 轴下方时，如图，过点E 作EG ⊥AB ，连接BE.设点E(m ，－2m 2－4m ＋6)，∴tan ∠ABE ＝GE BG ＝2m 2＋4m －6－m ＋1＝2，∴m ＝－4或m ＝1(舍去)，可得E(－4，－10)．综上所述，E点坐标为(－2，6)或(－4，－10)．。
中考数学复习专题-数学思想方法一(含详细参考答案)
中考数学复习专题-数学思想方法（一）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例1 10．（德州）已知，则a+b等于（）A．3 B．C．2D．1考点：解二元一次方程组。
810360专题：计算题。
分析：①+②得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案．解答：解：，∵①+②得：4a+4b=12，∴a+b=3．故选A．点评：本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目．运用整体思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析。
中考数学专题复习：数学思想方法
专题01 数学思想方法【要点提炼】一、【分类讨论的思想方法】有些问题包含的对象比较复杂，很难用一种情况概括它的全貌，这时往往按照一种标准把问题分成几类，分别进行讨论，再综合起来进行说明，这种思想方法称为分类讨论思想。
二、【数形结合思想】数形结合思想就是数学问题的题设与结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，使问题得到解决。
在进行二次根式的化简时，可以利用数轴确定字母的取值范围，然后对式子进行化简。
三、【整体思想】整体思想是一种重要的思想方法，它把研究对象的一部分(或全部)视为整体，在解题时，则把注意力和着眼点放在问题整体结构上，从而触及问题的本质，避开不必要的计算，使问题得以简化。
四、【转化的思想方法】如果a．b互为相反数，那么a+b=O，a= -b；如果c，d互为倒数，那么cd=l，c=1/d；如果|x|=a(a ＞0)，那么x=a或-a.【专题训练】一、单选题（共10小题）1.将一元二次方程x2+4x+2＝0配方后可得到方程（）A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝6 D．（x+2）2＝6【答案】B【解答】解：x2+4x+2＝0，x2+4x＝﹣2，x2+4x+4＝2，（x+2）2＝2．故选：B．【知识点】解一元二次方程-配方法2.若对所有的实数x，x2+ax+a恒为正，则（）A．a＜0 B．a＞4 C．a＜0或a＞4 D．0＜a＜4【答案】D【解答】解：令y=x2+ax+a，这个函数开口向上，式子的值恒大于0的条件是：△=a2﹣4a＜0，解得：0＜a＜4．故选：D．【知识点】配方法的应用3.已知a，b，c为有理数，当a+b+c＝0，abc＜0，求的值为（）A．1或﹣3 B．1，﹣1或﹣3 C．﹣1或3 D．1，﹣1，3或﹣3【答案】A【解答】解：∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a、a+c＝﹣b、a+b＝﹣c，∵abc＜0，∴a、b、c三数中有2个正数、1个负数，则原式＝+﹣＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3或1﹣1+1＝1或﹣1+1+1＝1．故选：A．【知识点】绝对值、代数式求值4.若a﹣b＝3，ab＝1，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（）A．3 B．4 C．9 D．12【答案】C【解答】解：a3b﹣2a3b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2将a﹣b＝3，ab＝1代入，原式＝1×32＝9，故选：C．【知识点】整式的混合运算—化简求值5.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（）A．﹣2 B．0 C．﹣2a D．2b【答案】A【解答】解：由数轴可知﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b＝﹣2故选：A．【知识点】二次根式的性质与化简、实数与数轴6.若一个正比例函数的图象经过点A（1，﹣2），B（m，4）两点，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【答案】B【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），将A（1，﹣2）代入y＝kx，得：﹣2＝k，∴正比例函数解析式为y＝﹣2x．当y＝4时，﹣2m＝4，解得：m＝﹣2．故选：B．【知识点】待定系数法求正比例函数解析式7.下列分式方程无解的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵方程A去分母，得2x＝3（x﹣3），解得x＝9，当x＝9时，x（x﹣3）≠0，所以原方程的解为x＝9；方程B去分母，得x2﹣1＝2x﹣2，解得x＝1，当x＝1时，（x﹣1）（x2﹣1）＝0，所以原方程无解；方程C去分母，得x+3﹣4x＝0，解得x＝1，当x＝1时，2x（x+3）≠0，所以原方程的解为x＝1；方程D去分母，得3x＝2x+3x+3，解得x＝﹣，当x＝﹣时，3x+3≠0，所以原方程的解为x＝﹣．故选：B．【知识点】分式方程的解8.当时，x+y的值为（）A．2 B．5 C．D．【答案】D【解答】解：∵+＝﹣，∴两边平方得出x+y+2＝8﹣2，∵＝﹣，∴两边同乘2，得2＝2﹣2，∴x+y+2﹣2＝8﹣2，则x+y＝8﹣4+2．故选：D．【知识点】二次根式的化简求值9.已知变量y与x的关系满足下表，那么能反映y与x之间的函数关系的解析式是（）x…﹣2 ﹣10 1 2 …y…4 3 2 1 0…A．y＝﹣2x B．y＝x+4 C．y＝﹣x+2 D．y＝2x﹣2【答案】C【解答】解：设y与x之间的函数关系的解析式是y＝kx+b（k≠0），则，解得，所以，y与x之间的函数关系的解析式是y＝﹣x+2．故选：C．【知识点】待定系数法求一次函数解析式10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣9，7），B（﹣3，0），点P在x轴的正半轴上运动，将线段AB沿直线AP翻折到AC，当点C恰好落在y轴上时，直线AP对应的函数表达式可以是（）A．y＝x+8 B．y＝﹣C．y＝﹣x+1 D．y＝﹣x+4【答案】B【解答】解：连接BC，交P A于Q，由题意可知，P A垂直平分BC，设直线P A的解析式为y＝kx+b，把A（﹣9，7）代入得，7＝﹣9k+b，∴b＝9k+7，∴直线P A的解析式为y＝kx+9k+7，设直线BC的解析式为y＝﹣x+n，把B（﹣3，0）代入得0＝+n，∴n＝﹣，∴C（0，﹣），∴Q（﹣，﹣），∵Q在直线P A上，∴﹣＝﹣k+9k+7，整理得，15k2+14k+3＝0，解得k1＝﹣，k2＝﹣，∴直线P A的解析式为y＝﹣x+，或y＝﹣x+4，故选：B．【知识点】待定系数法求一次函数解析式二、填空题（共8小题）11.用配方法解方程x2﹣2x﹣6＝0，原方程可化为﹣．【答案】（x-1）2=7【解答】解：方程变形得：x2﹣2x＝6，配方得：x2﹣2x+1＝7，即（x﹣1）2＝7．故答案为：（x﹣1）2＝7．【知识点】解一元二次方程-配方法12.如图，字母b的取值如图所示，化简：|b﹣1|+＝．【答案】4【解答】解：由数轴得2＜b＜5，所以原式＝|b﹣1|+＝|b﹣1|+|b﹣5|＝b﹣1+5﹣b＝4．故答案为4．【知识点】实数与数轴、二次根式的性质与化简13.若关于x的方程﹣1＝有无解，则m＝﹣﹣．【解答】解：去分母得：2mx+x2﹣x2+3x＝2x﹣6，整理得：（2m+1）x＝﹣6，当2m+1＝0，即m＝﹣时，整式方程无解，即分式方程无解；当2m+1≠0，即m≠﹣时，x＝﹣，由分式方程无解，得到x＝0或x＝3，把x＝0代入整式方程无解；把x＝3代入整式方程得：m＝﹣，综上，m＝﹣或﹣，故答案为：﹣或﹣【知识点】分式方程的解14.如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为千米．【解答】解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，∴∠PCA＝90°，∠P AC＝30°，∵AP＝12千米，∴PC＝6千米，AC＝6千米，∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，∴∠PBC＝60°，∴BC＝＝＝2千米，∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），故答案为：4千米．【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为．【解答】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD＝AD，∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AD，∴BD＝2CD，∵BC＝3，∴CD+2CD＝3，∴CD＝，∴DB＝2，故答案为：2．【知识点】勾股定理、含30度角的直角三角形16.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b（k1，b均为常数）与正比例函数y＝k2x（k2为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集为．【答案】x＜3【解答】解：两条直线的交点坐标为（3，﹣1），且当x＜3时，直线y＝k2x在直线y＝k1x+b的下方，故不等式k2x＜k1x+b的解集为x＜3．故答案为x＜3．【知识点】一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象17.如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．若劣弧的长为，则图中阴影部分的面积为．【解答】解：连接OA，如图，∵AD＝AB，∴∠B＝∠D＝30°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝30°，∴∠AOC＝2∠B＝60°，∵劣弧的长为，∴＝，解得OC＝2，∵∠D＝30°，∠DOA＝60°，∴∠OAD＝90°，∴AD＝OA＝2，∴图中阴影部分的面积＝S△AOD﹣S扇形AOC＝×2×2﹣＝2﹣π．故答案为2﹣π．【知识点】弧长的计算、扇形面积的计算、圆周角定理18.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴为直线x＝﹣1．则该抛物线的解析式为﹣﹣．【答案】y=-x2-2x+3【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴A点坐标为（﹣3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入得3＝a×3×（﹣1），解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣2x+3．故答案为y＝﹣x2﹣2x+3．【知识点】抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质三、解答题（共8小题）19.解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．【解答】解；解不等式x+1＜2，得：x＜1，解不等式2（1﹣x）≤6，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【知识点】在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式组20.（1）解方程：．（2）关于x的分式方程无解，求a的值．【解答】解：（1）方程整理得：+＝+，即＝，当2x+8＝0，即x＝﹣4时，方程成立；当2x+8≠0，即x≠﹣4时，方程无解，经检验x＝﹣4是分式方程的解；（2）去分母得：x2﹣ax﹣3x+3＝x2﹣x，即﹣ax﹣3x+3＝﹣x，由分式方程无解，得到x＝0或x﹣1＝0，解得：x＝0或x＝1，把x＝0代入整式方程得：无解；把x＝1代入整式方程得：a＝0，则a的值为1．【知识点】分式方程的解、解分式方程21.某农场要建一个长方形ABCD的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m）另外三边用木栏围成，木栏长40m．（1）若养鸡场面积为168m2，求鸡场垂直于墙的一边AB的长．（2）养鸡场面积能达到最大吗？如果能，请你用配方法求出；如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）设鸡场垂直于墙的一边AB的长为x 米，则x（40﹣2x）=168，整理得：x2﹣20x+84=0，解得：x1=14，x2=6，∵墙长25m，∴0≤BC≤25，即0≤40﹣2x≤25，解得：7.5≤x≤20，∴x=14．答：鸡场垂直于墙的一边AB的长为14米．（2）围成养鸡场面积为S，则S=x（40﹣2x）=﹣2x2+40x=﹣2（x2﹣20x）=﹣2（x2﹣20x+102）+2×102=﹣2（x﹣10）2+200，∵﹣2（x﹣10）2≤0，∴当x=10时，S有最大值200．即鸡场垂直于墙的一边AB的长为10米时，围成养鸡场面积最大，最大值200米2．【知识点】一元二次方程的应用、二次函数的应用、配方法的应用22.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，△AOB是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若AB＝5cm，求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）平行四边形ABCD是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴AO＝CO，BO＝DO（平行四边形的对角线互相平分），∵△AOB是等边三角形（已知），∴OA＝OB＝OC＝OD（等量代换），∴AC＝BD（等量代换），∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；（2）因为AB＝5，在Rt△ABC中，由题意可知，AC＝10，则BC＝＝5，所以平行四边形ABCD的面积S＝5×5＝25（cm2）．【知识点】等边三角形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的性质23.如图，等腰△ABC中，AC＝BC＝8，点D、E分别在边AB、BC上（不与顶点重合），且∠CDE＝∠A＝∠B，CE＝5，设AD＝x，BD＝y．（1）求y关于x的函数关系式（不用写x的取值范围）；（2）当AB＝10时，求AD的值．【解答】解：（1）∵CB＝8，CE＝5，∴BE＝CB﹣CE＝3，∵∠ADB是△ADC的一个外角，∴∠BAE+∠CDE＝∠A+∠ACD，∵∠CDE＝∠A，∴∠ACD＝∠BDE，∵∠A＝∠B，∴△ACD∽△BDE，∴＝，即＝，整理得，y＝；（2）当AB＝10，即x+y＝10时，10﹣x＝，整理得，x2﹣10x+24＝0，解得，x1＝4，x2＝6，则AD的值为4或6．【知识点】等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质24.四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线．（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝70°，BC＝CD．求∠CAD的大小；（Ⅱ）如图②，若AD经过圆心O，连接OC，AB＝BC，OC∥AB，求∠ACO的大小．【解答】解：（1）∵BC＝CD，∴＝，∴∠CAD＝∠CAB＝∠BAD＝35°；（2）连接BD，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵OC∥AB，∴∠BAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠BAC＝∠BCA＝∠OAC，由圆周角定理得，∠BCA＝∠BDA，∴∠BAC＝∠BDA＝∠OAC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠ACO＝30°．【知识点】圆心角、弧、弦的关系、圆内接四边形的性质、圆周角定理25.如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的面积．【解答】解：（1）∵AB⊥OD，∴∠OCB＝90°，AC＝BC＝AB＝，∵点C为OD的中点，∴OC＝OB，∵cos∠COB＝＝，∴∠COB＝60°，∴OC＝BC＝×＝1，∴OB＝2OC＝2，∴OD＝OB＝2；（2）阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣S△COB＝﹣××1＝π﹣．【知识点】勾股定理、垂径定理、扇形面积的计算26.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为P．已知B（1，0），C（0，﹣3）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接AP，AP的垂直平分线交直线PE于点M，则线段EM 的长为．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）．【解答】解：（1）∵抛物线经过点B（1，0），C（0，﹣3），代入得：，解得：，∴抛物线表达式为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点P的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）∵直线PE为抛物线对称轴，∴E（﹣1，0），∵B（1，0），∴A（﹣3，0），∴AP＝＝，∵MN垂直平分AP，∴AN＝NP＝，∠PNM＝90°，∵∠APE＝∠MPN，∴△PMN∽△P AE，∴，即，解得：PM＝，∴EM＝PE﹣PM＝4﹣＝，故答案为：．【知识点】二次函数图象与系数的关系、线段垂直平分线的性质、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征。
2018年中考数学复习第二部分题型研究题型一数学思想方法类型五整体思想针对演练
第二部分 题型研究题型一 数学思想方法 类型五 整体思想针对演练1. 已知：a －b ＝35，b －c ＝35，a 2＋b 2＋c 2＝1，则ab ＋bc ＋ca 的值等于________．2. 如图，已知△ABC 的周长为20，一半径为1的圆紧贴三角形外侧旋转一周所经过的路程为________．第2题图3. 已知五个半径为1的圆的位置如图所示，各圆心的连线构成一个五边形，则阴影部分的面积为________．第3题图4. 角α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已给出，在计算115(α＋β＋γ)的值时，全班得出23.5°、24.5°、25.5°这样三种不同结果，其中确定有正确的答案，那么α＋β＋γ＝________．5. 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝55x ＋4y ＝7，求代数式x ＋y 的值等于________．6. 已知1x ＋1y ＝2，则2x －3xy ＋2yx ＋xy ＋y的值为________．7. 计算(1－12－13－14－15)(12＋13＋14＋15＋16)－(1－12－13－14－15－16)(12＋13＋14＋15)的结果是________．8. 如图，已知Rt △ABC 的周长为2＋6，其中AB ＝2，则这个三角形的面积是________．第8题图9. 如图，△ABC 中，AC ＝8，BC ＝5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为________．第9题图10. 分解因式：(x 2－3x ＋2)(x 2－3x －4)－72.11. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？12. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，P 是BC 上一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，求PE ＋PF 的长．第12题图 答案1. －225【解析】可将ab ＋bc ＋ca 当作整体去求解，不用分别求出a 、b 、c 的值．∵a－b ＝35，b －c ＝35，∴a －c ＝65，则有(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝5425，即a 2＋b 2＋c 2－ab－bc －ac ＝2725，又∵a 2＋b 2＋c 2＝1，∴ab ＋bc ＋ac ＝－225.2. 20＋2π 【解析】⊙O 在△ABC 的三个顶点处所转过的圆心角度数和为360°×3－90°×2×3－180°＝360°.所以总长度为L ＝20＋2π.3. 3π2 【解析】将五个扇形的圆心角度和作为整体，∵五个扇形的圆心角的和＝(5－2)×180°＝540°，r ＝1，∴S 阴影部分＝540×π×12360＝3π2.4. 352.5° 【解析】将a ＋β＋r 看作整体．设0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，90°＜γ＜180°，∴90°＜α＋β＋γ＜360°，∴6°＜115(α＋β＋γ)＜24°.∵23.5°、24.5°、25.5°中有正确答案，∴115(α＋β＋γ)＝23.5°，∴α＋β＋γ＝352.5°.5. 43【解析】将(x ＋y )作为整体，方程组中的两个方程相加得：9x ＋9y ＝12，∴9(x ＋y )＝12，即x ＋y ＝43.6. 13 【解析】∵1x ＋1y ＝2，∴x ＋y ＝2xy ，∴2x －3xy ＋2y x ＋xy ＋y ＝2（x ＋y ）－3xy （x ＋y ）＋xy ＝xy 3xy＝13. 7. 16 【解析】设12＋13＋14＋15＝a ，则原式＝(1－a )·(a ＋16)－(1－a －16)a ＝16＋56a －a 2－56a ＋a 2＝16.8. 12【解析】在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得a 2＋b 2＝22，即(a ＋b )2－2ab ＝4，又∵a ＋b ＝6，∴(6)2－2ab ＝4，∴ab ＝1，∴S ＝12ab ＝12.9. 13 【解析】∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EA ＝EB ，则△BCE 的周长＝BC ＋EC ＋EB ＝BC ＋EC ＋EA ＝BC ＋AC ＝13.10. 解：设x 2－3x ＝a ， 则原式＝(a ＋2)(a －4)－72 ＝a 2－2a －80 ＝(a －10)(a ＋8)＝(x 2－3x －10)(x 2－3x ＋8) ＝(x －5)(x ＋2)(x 2－3x ＋8)．11．解：设甲、乙、丙三种货物的单价各为x 、y 、z 元，由题意可得：3x＋7y＋z＝3.15 ①，4x＋10y＋z＝4.20 ②，三个未知数，2个方程，故考虑将x＋y＋z当作整体来解答．②－①得x＋3y＝1.05 ③，③×3得3x＋9y＝3.15 ④，②－④得x＋y＋z＝1.05，答：购甲、乙、丙各1件，共需1.05元．12. 解：由已知条件并不能求得PE、PF的长，我们把PE＋PF的值看成一个整体．由题设条件可知：△BPE∽△BDC，∴PEDC＝BPBD，∵△CPF∽△CAB，∴PFAB＝CPCA，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝DC＝6，AC＝BD＝AB2＋AD2＝62＋82＝10，∴PE＋PFAB＝BP＋CPAC＝810，∴PE＋PF＝4.8.。
浙江省2018年中考数学复习第二部分题型研究题型一数学思想方法类型四转化思想针对演练
第二部分 题型研究题型一 数学思想方法 类型四 转化思想针对演练1. 我们解一元二次方程3x 2－6x ＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为 3x (x －2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x ＝0或x －2＝0，进而得到原方程的解为x 1＝0，x 2＝2.这种解法体现的数学思想是( )A. 转化思想B. 函数思想C. 数形结合思想D. 公理化思想2. 已知a 2－b 2＝－16，a －b ＝12，则a ＋b a －b的值为( )A. －12B. 13C. －23D. －323. (2017温州)我们知道方程x 2＋2x －3＝0的解是x 1＝1，x 2＝－3.现给出另一个方程(2x ＋3)2＋2(2x ＋3)－3＝0.它的解是( )A. x 1＝1，x 2＝3B. x 1＝1，x 2＝－3C. x 1＝－1，x 2＝3D. x 1＝－1，x 2＝－34. 如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC ＝2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N .若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为( )A. 23a 2B. 14a 2C. 59a 2D. 49a 2第4题图5. 如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则图中阴影部分面积(单位：cm2)为( )第5题图A. 16B. 44C. 96D. 1406. 设m2＋m－1＝0，则代数式m3＋2m2＋2017的值为( )A. 2016B. 2017C. 2018D. 20207. 如图，△ABC经过平移得到△A′B′C′，若四边形ACDA′的面积为6 cm2, 则阴影部分的面积为________cm2.第7题图8. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是_________寸．第8题图9. 三个同学对问题“若方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1a 2x ＋b 2y ＝c 2的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，求方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a 1x ＋2b 1y ＝5c 13a 2x ＋2b 2y ＝5c 2的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________．10. 如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点M ，N 在边BC 上，且∠MAN ＝45°.若BM ＝1，CN ＝3，求MN 的长．第10题图 答案1. A2. C 【解析】∵()a ＋b ()a －b ＝－16，a －b ＝12，∴a ＋b ＝－13，∴a ＋b a －b ＝－23.3．D 【解析】令y ＝2x ＋3，则原方程变形为y 2＋2y －3＝0，解得y 1＝1，y 2＝－3，所以2x ＋3＝1或2x ＋3＝－3，解得x 1＝－1，x 2＝－3.4. D 【解析】如解图，过E 作BC 和CD 的垂线，垂足分别为G ，H ，则△EGM ≌△EHN ，∴重叠部分四边形EMCN 的面积等于正方形EGCH 的面积，∵EC ＝2AE ，∴CE ＝23AC ，EG ＝23AB＝23a ，∴正方形EGCH 的面积为49a 2.第4题解图5. B 【解析】设小长方形的长和宽分别为x ，y ，则由图形得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3x ＝14y ＋x －2x ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝8，则阴影部分面积为14×10－6×2×8＝140－96＝44.6. C 【解析】∵m 2＋m －1＝0，∴m 2＋m ＝1，则m 3＋2m 2＋2017＝m (m 2＋m )＋m 2＋2017＝m 2＋m ＋2017＝1＋2017＝2018.7. 6 【解析】∵由平移性质得，△ABC 的面积等于△A′B′C ′的面积， ∴阴影部分的面积等于四边形ACDA ′的面积等于6 cm 2.第7题解图8. 73 【解析】立体图形转化为平面图形，展开后变为长方形，根据题意得，∠C ＝90°，BC ＝3×()10＋6＝48，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝552＋482＝73.第8题解图9. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝10 【解析】将方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a 1x ＋2b 1y ＝5c 13a 2x ＋2b 2y ＝5c 2变为⎩⎪⎨⎪⎧35a 1x ＋25b 1y ＝c 135a 2x ＋25b 2y ＝c2，设35x ＝m ，25y ＝n ，则原方程组转化为⎩⎪⎨⎪⎧a 1m ＋b 1n ＝c 1a 2m ＋b 2n ＝c 2，再根据方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1a 2x ＋b 2y ＝c 2的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，所以得出⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧35x ＝325y ＝4，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝10. 10. 解：把△ABM 绕点A 逆时针旋转90°得到的△ACG ，连接NG ，如解图，第10题解图∴∠BAM ＝∠GAC ，AM ＝AG ， ∴△ABM ≌△ACG .∵∠MAN ＝45°， ∠BAC ＝90°， ∴∠GAN ＝∠MAN ＝45°， ∴△MAN ≌△GAN . ∴MN ＝NG ，∴∠BCA ＋∠ACG ＝90°.在Rt △GCN 中，NG ＝CN 2＋CG 2＝10， ∴ MN ＝NG ＝10.。
2018年中考数学复习第二部分题型研究题型一数学思想方法类型一分类讨论思想针对演练
第二部分题型研究题型一数学思想方法类型一分类讨论思想针对演练1. 已知直角三角形两边的长a、b满足|a－2|＋b2－3＝0，则第三边长为_________．2. 若关于x的方程kx2＋2(k＋1)x＋k－1＝0有实数根，则k的取值范围是________．3. 已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是_________．4. A，B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是________．5. 如果四个整数中的三个分别是2，4，6，且它们的中位数也是整数，那么它们的中位数是________．6. (2017襄阳)在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为1和2，则∠BAC的度数为________．7. 如图，已知点A(－1，0)和点B(1，2)，在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，那么满足条件的点P共有________个．第7题图8. 书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书超过200元一律打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是________元．9. 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，则∠BCA的度数为________．10. (2017杭州)已知△ABC 的三个顶点为A (－1，－1)，B (－1，3)，C (－3，－3)，将△ABC 向右平移m (m >0)个单位后，△ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数y ＝3x的图象上，则m 的值为________．11. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，翻折∠C ，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，折痕为EF (点E 、F 分别在边AC 、BC 上)当AC ＝3，BC ＝4时，AD 的长为________．第11题图12. (2017鄂州)如图，AC ⊥x 轴于点A ，点B 在y 轴的正半轴上，∠ABC ＝60°，AB ＝4，BC ＝23，点D 为AC 与反比例函数y ＝k x的图象的交点，若直线BD 将△ABC 的面积分成1∶2的两部分，则k 的值为________．第12题图13. 如图，直线y ＝3x ＋3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过A ，B 两点的抛物线交x 轴于另一点C (3，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第13题图答案1. 1或7 【解析】由非负数的性质知，a －2＝0且b 2＝3，∴a ＝2，b ＝3，①当a 为斜边时，则由勾股定理得，第三边为1；②当a 为直角边时，则由勾股定理得，第三边为7.2. k ≥－13 【解析】当k ＝0时，方程为2x －1＝0，x ＝12，方程有实根；当k ≠0时，方程为一元二次方程，方程要有实数根，则[2(k ＋1)]2－4k (k －1)≥0，即k ≥－13，综上所述，k 的取值范围是k≥－13. 3. 15°或75° 【解析】①当点E 在正方形ABCD 外部时，AD ＝DE ，则∠AED ＝180°－（90°＋60°）2＝15°；②当点E 在正方形ABCD 内部时，AD ＝DE ，则∠AED ＝180°－（90°－60°）2＝75°. 4. 2或2.5 【解析】①相遇前：120t ＋80t ＋50＝450，解得t ＝2；②相遇后：120t ＋80t －50＝450，解得t ＝2.5.5. 3或4或5 【解析】①当数据为2，2，4，6时，中位数为3；②当数据为2，4，4，6时，中位数为4；③当数据为2，4，6，6时，中位数为5.6. 15°或105° 【解析】⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，∴OA ＝OB ＝AB ，∴△AOB 是等边三角形，∠OAB ＝60°，∵弦AC ＝2，∴∠OAC ＝45°.如解图①，此时∠BAC ＝∠B AO－∠CAO ＝60°－45°＝15°；如解图②，∠BAC ＝∠BAO ＋∠CAO ＝60°＋45°＝105°.第6题解图7. 6 【解析】当以AB 为斜边时，∠APB ＝90°，与坐标轴有3个交点；当∠PAB ＝90°时，与y 轴有一个交点；当∠PBA ＝90°时，与x 轴，y 轴各有1个交点．∴满足条件的点P 共有6个．8. 248或296 【解析】设第一次购书原价为a 元，则第二次购书原价为3a 元，易知第一次购书原价必然不超过100元，否则两次付款必然大于229.4，故分类讨论如下： ①若a ≤100且3a ≤100，显然a ＋3a ≤200＜229.4，舍去；②若a ≤100且100＜3a ≤200，则a ＋0.9×3a ＝229.4，解得a ＝62，所以两次购书原价和为4a ＝4×62＝248元；③若a ≤100且3a ＞200，则a ＋0.7×3a ＝229.4，解得a ＝74, 所以两次购书原价和为4a ＝4×74＝296元．综上所述：两次购书的原价和为248元或296元．9. 65°或115° 【解析】①如解图①，当△ABC 为锐角三角形时，△ABD ∽△CAD ，∠BCA ＝∠BAD ＝90°－25°＝65°；②如解图②，当△ABC 为钝角三角形时，∠BCA ＝∠CDA ＋∠CAD ＝90°＋∠B ＝90°＋25°＝115°.图①图②第9题解图10. 0.5或4 【解析】依题可得：有两种可能，即AC 、AB 中点落在反比例函数y ＝3x的图象上．①若为AC 中点(－2，－2)向右平移m 个单位后落在y ＝3x的图象上，则有点(m －2，－2)在y ＝3x 的图象上，代入得－2＝3m －2，∴－2m ＋4＝3，∴m ＝0.5；②若为AB 中点(－1，1)向右平移m 个单位后落在y ＝3x 图象上，则有点(m －1，1)在y ＝3x的图象上，代入得1＝3m －1，∴m －1＝3，∴m ＝4.所以m 为0.5或4. 11. 1.8或2.5 【解析】有两种情况：①若CE ∶CF ＝3∶4，如解图①所示．∵CE ∶CF ＝AC ∶BC ，∴EF ∥AB .由折叠性质可知，CD ⊥EF ，∴CD ⊥AB ，即此时CD 为AB 边上的高．在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，∴cos A ＝0.6，AD ＝AC ·cosA ＝3×0.6＝1.8；②若CF ∶CE ＝3∶4，如解图②所示．∴△CEF ∽△CBA ，∴∠CEF ＝∠B .由折叠性质可知，∠CEF ＋∠ECD ＝90°，又∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠A ＝∠ECD ，∴AD＝CD .同理可得：∠B ＝∠FCD ，CD ＝BD ，∴此时AD ＝BD ＝12×5＝2.5.综上所述，AD 的长为1.8或2.5.第11题解图①第11题解图②12. －8或－4 【解析】如解图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，在Rt △CBM 中，BC ＝23，∠ABC ＝60°，∴BM ＝3，CM ＝3，∴S △ABC ＝12AB ·CM ＝12AC ·AO ＝6，∵BD 将S △ABC 分成1∶2的两部分，则AD ＝13AC 或AD ＝23AC ，∵点D 在反比例函数y ＝k x 上，∴k ＝－13AC ·OA ＝－4或k ＝－23AC ·OA ＝－8.第12题解图13. 解：(1)设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，∵直线y ＝3x ＋3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(0，3)，又∵抛物线经过A ，B ，C 三点，点C 的坐标为(3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝09a ＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2c ＝3，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴该抛物线的对称轴为直线x ＝1.设点Q 的坐标为(1，m )，则AQ ＝4＋m 2，BQ ＝1＋（3－m ）2，AB ＝10.当AB ＝AQ 时，10＝4＋m 2，解得m ＝±6，∴点Q 的坐标为(1，6)或(1，－6)；当AB ＝BQ 时，10＝1＋（3－m ）2，解得m 1＝0，m 2＝6，∴点Q 的坐标为(1，0)或(1，6)，但当点Q 的坐标为(1，6)时，点A ，B ，Q 在同一条直线上，∴舍去；当AQ ＝BQ 时，4＋m 2＝1＋（3－m ）2，解得m ＝1，∴点Q 的坐标为(1，1)．∴抛物线的对称轴上存在点Q (1，6)，(1，－6)，(1，0)，(1，1)，使△ABQ 是等腰三角形．。
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题型一
题型研究
数学思想方法
类型一 分类讨论思想
思想阐述
由于研究对象有不同的特征，因而需要对不同属性的 对象进行分类研究；或在研究问题过程中出现了不同情况， 也需要对不同特征的对象进行分类研究或对不同情况进行分 类研究；通过分类讨论，使问题化繁为简，更易于解决. 用 分类讨论思想解决问题的一般步骤是： (1)先明确需研究和 要讨论的对象； (2)正确选择分类的标准，进行合理分类； (3)逐类讨论解决．
MP2，则P3M＝P3N，△P3MN是以P3为顶角顶点的等腰三角
形．当以点M为圆心，MN为半径的圆与直线OB只有1个
交点时，此时符合条件的点P共有两个，此时OM＝4
∴x的取值范围是4<x<4 2 . 综上所述，x的值是0或4 2 －4或4＜x＜4 2 .
2
.
例1题解图③
【思维教练】由于等腰三角形是有两边相等的特殊三角形，
角顶点的等腰三角形，∠NP1O＝90°，∴ON＝ OP +NP
2 1
2 1
= 42 42 =4 2
，
∵ON＝x＋4，∴x＝ON－4＝4
2
－4；②以M为圆心，MN为半
径画圆，交OB于点P2，则MN＝MP2，△MP2N就是以M为顶角顶
点的等腰三角形；③作线段MN的垂直平分线交OB于 点P3，则P3M＝P3N，△P3MN是以P3为顶 角顶点的等腰三角形．∴当x＝4 点P也恰好有3个；
2 －4时，
例1题解图②
(3)当x＞4且以点M为圆心，MN为半径的圆与OB相交时，设
交点分别为P1，P2，①连接MP1和NP1，则MN＝MP1＝4，
△MNP1就是以M为顶角顶点的等腰三角形；②连接MP2和
NP2，则MN＝MP2，△MP2N就是以M为顶角顶点的等腰三 角形；③作线段MN的垂直平分线交OB于点P3，连接NP3，
用数量关系来研究几何图形的性质，解决问题，将数量关 系和几何图形巧妙地结合起来，以数助形，以数辅形，使
抽象的问题直观化，复杂的问题简单化，从而使问题得以
解决的一种数学思想．
典例精讲
针对演练
典例精讲 例2 如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线y＝
3 4 3 x ＋ 3 3
上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C(1，0)， 则OB＋CB的最小值为______．
因此当题目的腰、底边不确定时，就要分情况讨论．同时
图中的线段MN在运动，要对点M、N运动过程中的几个特
殊位置进行分类讨论．
典例精讲
针对演练
第二部分
题型一
类型二
题型研究
数学思想方法
数形结合思想
典例精讲
针对演练
思想阐述 数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图
形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决途径，或利
例2题图
典例精讲
针对演练
【解析】如解图，设过点A的直线交x轴于点D，过点B
作MN∥AD，交x轴于点M，交y轴于点N，作点C关于MN 的对称点C′；连接C′O，过点C′作x轴的垂线，易知 tan∠NMC＝
3 3
，∴∠NMC＝30°，由已知解析式可得
1 CM 2
D(－4，0)，∴M(－3，0)，CM＝4，CC′＝2CN＝2×
典例精讲
例1 (2017绍兴)如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上， OM＝x，ON＝x＋4，点P是边OB上的点．若使点P，M，N 构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是
x＝0或x＝4 2 －4或4<x<4 2 ． ___________________________
例1题图
【解析】(1)当OM＝x＝0时，如解图①，①以M为圆心， NM为半径画圆，交OB于点P1，则MN＝MP1＝4，△MP1N
C. 16 m
D. 17 m
例3题图
典例精讲
针对演练
【解析】如解图，作BC⊥AE于点C，则BC＝DE＝8，
设AE＝x，则AB＝x，AC＝x－2，在Rt△ABC中，AC2＋
BC2＝AB2，即(x－2)2＋82＝x2，解得x＝17，即旗杆的高度 为17 m.
例3题解图
典例精讲
针对演练
第二部分 题型研究
＝4，∴C′ 1， 2
＝
1 2 3
2
3
，∴OB＋BC＝OC′
.
例2题解图
2
= 13
典例精讲
针对演练
【思维教练】因为点A是直线上的一个动点，而点B是由点
A向右平移1个单位得到，所以点B在平移后的直线上运动；
要求OB＋CB的最小值，关键是：①找到动点B所在直线作 为对称轴；②作出点C关于对称轴的对称点C′；③把点C′与
典例精讲
系转化为函数的数学模型，利用函数的理论或性质，使问
题得以解决，就是函数思想在数学中的应用．
典例精讲
针对演练
典例精讲
例3
如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端
刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处， 发现此时绳子末端距离地面2 m．则旗杆的高度(滑轮上方 的部分忽略不计)为( A. 12 m ) B. 13 m
为以点M为顶角顶点的等腰三角形；②以N为圆心，MN为半
径画圆，则NM＝NP2＝4，△NMP2为以点N为顶角顶点的等 腰三角形；③过点N作NP3⊥MB，则NP3＝MP3＝ 2 △NMP3为以点P3为顶角顶点的等腰三角形， 恰好构成Hale Waihona Puke 个等腰三角形；2，
例1题解图①
(2)当x＜4且以点N为圆心，MN为半径的圆与OB相切时，①设切 点为P1，连接MP1和NP1，则MN＝NP1＝4，△NMP1就是以N为顶
另一点O连接，则线段OC′的长度就是OB＋CB的最小值．
典例精讲
针对演练
第二部分 题型研究
题型一 类型三 数学思想方法 方程与函数思想
典例精讲
针对演练
思想阐述 所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通
过设定未知数，把问题的已知量与未知量的数量关系转化
为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法， 使问题得以解决．同理，把问题中的某个量之间的数量关
题型一
类型四
数学思想方法
转化思想
典例精讲
针对演练
思想阐述
转化思想是指在解决问题时，采用某种手段将问题进 行转化，进而使问题得到解决的一种解题策略．转化思想 的核心是把“生题”转化为“熟题”，将复杂问题转化为 简单问题，将较难问题转化为较易问题，将未解决的问题 转化为已解决的问题．事实上，解题的过程就是一个缩小 已知与未知的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的 过程，是未知向已知转化的过程．