2018年中考数学复习课时32解直角三角形及其应用导学案无答案152

合集下载

中考数学专题复习：解直角三角形

中考数学专题复习：解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为：sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而sin A3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=⑵若∠A+∠B=900,则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中,∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示,则i=hl=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形,转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （•内江）如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255思路分析：利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O,根据网格的特点,CD⊥AB,在Rt△AOC中,CO=2211+=2；AC=2213+=10；则sinA=OCAC=25510=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理,作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．对应训练1．（•贵港）在平面直角坐标系中,已知点A（2,1）和点B（3,0）,则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．121．A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过A作AC⊥x轴于C,利用A点坐标为（2,1）可得到OC=2,AC=1,利用勾股定理可计算出OA,然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C,∵A点坐标为（2,1）,∴OC=2,AC=1,∴OA=22OC AC+=5,∴sin∠AOB=1555ACOA==．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中,一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值例2 （•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°= ．思路分析：将cos45°=22,tan30°=33,sin60°=32代入即可得出答案．解：cos245°+tan30°•sin60°=12+33×32=12+12=1．故答案为：1．点评：此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．对应训练（•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．解：原式=13322+⨯=1322+=2．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形例3 （•安徽）如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长．6．思路分析：过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案．解：过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=23,∴CD=3,∴BD=CD=3,由勾股定理得：AD=22=3,AC CD∴AB=AD+BD=3+3,答：AB的长是3+3．点评：本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,关键是构造直角三角形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目．对应训练3．（•重庆）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°,求出∠C=30°,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案．解答：解：∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°－90°－60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得：AC=2222BC AB-=-=,4223∴△ABC的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23．答：△ABC的周长是6+23．点评：本题考查了勾股定理,含30度角的直角三角形,等边三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力,此题综合性比较强,是一道比较好的题目．考点四：解直角三角形的应用例4 （•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=32千米,请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数,2≈1.41436≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC ,根据AB =BC =15千米,∠B =90°得到∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米,再根据∠D =90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积；（2）直接利用余弦的定义求解即可．解：（1）连接AC∵AB =BC =15千米,∠B =90°∴∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米又∵∠D =90°∴AD =22 -AC CD =22(152)(32)123-=（千米）∴周长=AB +BC +CD +DA =30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米）面积=S △ABC +18 6 ≈157（平方千米）（2）cos ∠ACD =CD 321==AC 5152点评：本题考查了解直角三角形的应用,与时事相结合提高了同学们解题的兴趣,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．对应训练6．（•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC =75°．（1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米,参考数据：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：（1）由于A到BC的距离为30米,可见∠C=90°,根据75°角的三角函数值求出BC的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度,与60千米/小时进行比较即可．解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D,连接AD,使∠DAB=∠B,则AD=BD,∵∠BAC=75°,∴∠DAB=∠B=15°,∠CDA=30°,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=30,∠CDA=30°,∴AD=60,CD=303,BC=60+303≈112（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用,理解正切函数的意义是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（•济南）如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．31．A考点：锐角三角函数的定义．A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定3考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA－12=0,sinB－22=0,然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数,再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．解答：解：∵|cosA－12|+（sinB－22）2=0,∴cosA－12=0,sinB－22=0,∴cosA=12,sinB=22,∴∠A=60°,∠B=45°,则∠C=180°－∠A－∠B=180°－60°－45°=75°,故答案为：75°．点评：此题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．5．（•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米,参考数据：3=1.73,2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中,利用正切函数,即可求得AD与BD的长,继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40千米/小时的大小,即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得,在Rt△ADC中,AD=CD==21 3tan303=36.33,在Rt△BDC中,BD=CD==7 3tan303=12.11,则AB=AD－BD=36.33－12.11=24.22≈24.2（米）。

中考总复习解直角三角形

解直角三角形一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●理解三角函数的定义和正弦、余弦、正切的概念，并能运用；●掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；●掌握互为余角和同角三角函数间关系；●掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的概念，并能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理和锐角三角函数解直角三角形；●了解实际问题中的概念，并会用解直角三角形的有关知识解决实际问题．复习策略：●复习本专题应从四方面入手：（1）直角三角形在角方面的关系；（2）直角三角形在边方面的关系；（3）直角三角形的边角之间的关系；（4）怎样运用直角三角形的边角关系求直角三角形的未知元素．同时，解答这类题目时，应注重借助图形来解题，它能使已知条件、所求结论直观化，以便启迪思维，快捷解题．二、学习与应用知识点一：锐角三角函数“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识考点梳理认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。

详细内容请参看网校资源ID：#tbjx4#248924知识框图通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。

（一）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠C是直角，如图（1）正弦：∠A的与的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= ；（2）余弦：∠A的与的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= ；（3）正切：∠A的与的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= ；锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（二）同角三角函数关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A= ；（2）商数关系：tanA= ．（三）互余两角的三角函数关系sinA=cos（），cosA=sin（）．（四）特殊角的三角函数值（五）锐角三角函数的增减性（1）角度在0°～90°之间变化时，正弦值（正切值）随角度的增大（或减小）而（或）．（2）角度在0°～90°之间变化时，余弦值随角度的增大（或减小）而（或）．要点诠释：∠A在0°～90°之间变化时，＜sinA＜，＜cosA＜，tanA＞知识点二：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形．（一）三边之间的关系：a2+b2= （勾股定理）（二）锐角之间的关系：∠A+∠B= °（三）边角之间的关系：sinA= ，cosA= ，tanA=要点诠释：解直角三角形时，只要知道其中的个元素（至少有一个），就可以求出其余未知元素．知识点三：解直角三角形的实际应用（一）仰角和俯角：在视线与所成的角中，视线在上方的是仰角；视线在下方的是俯角．（二）坡角和坡度：坡面与的夹角叫做坡角．坡面的和的比叫做坡面的坡度（即坡角的值）常用i表示．（三）株距：相邻两树间的．（四）方位角与方向角：从某点的方向沿时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．从方向或方向到目标方向所形成的小于°的角叫做方向角．经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。

中考《解直角三角形》复习练习题及答案

中考数学复习专题练习解直角三角形一、选择题：1、在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形2、在直角△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c,那么下列关系中,正确的是（）A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=3、如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是( )A．2 B． C． D．4、在Rt ABC中，∠C=90°，sinB=,则tanA的值为( )A. B. C. D.5、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A． B． C． D．6、在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是（）A. B．2 C．1 D．27、如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tan∠ACB值为( )A. B. C. D.8、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）A.10mB.mC.15m D．m9、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4米B.6米C.12米D.24米10、如图,在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )A. B.－1 C．2－ D.11、如图,已知的三个顶点都在方格图的格点上，则的值为( )A. B. C. D.12、如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）A． B． C． D．二、填空题:13、在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=________．14、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，cosB=，则BC= ．15、如图，先锋村准备在坡角为α=30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为______米．16、如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为______．17、如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,M、N两点关于对角线AC对称,若DM=1,则tan∠ADN= ．18、如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(+) tan+tan.（填“＞”“＝”“＜”）19、如图在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠B=∠D=45°若 AD=,则AB=__________20、如图所示的半圆中，是直径，且，，则的值是．21、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则________.22、如图,在中,是边边上的中线,如果,tanB值是________23、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米.24、如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°= ．三、简答题:25、在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c=,若关于x的方程(＋b)x2＋2ax＋(-b)=0有两个相等的实数根，方程2x2-(10sin A)x＋5sin A=0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．26、已知：如图，正方形ABCD中，点E为AD边的中点，联结CE. 求cos∠ACE和tan∠ACE的值.27、如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）28、如图，河流两岸a，b互相平行，C，D是河岸a上间隔50m的两个电线杆．某人在河岸b上的A处测得∠DAB=30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF=60°，求河流的宽度CF的值．（结果精确到个位）29、张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°（图中各点均在同一平面内），求这棵大树CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）30、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；（2）求证：2AD•NF=DE•DM．31、中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由．（≈1.732）参考答案1、A．2、C．3、B．4、D.5、B．6、B.7、B.8、A．9、B.10、A.11、D.12、B．13、答案为：60°14、答案为：9．15、答案为：（米）．16、答案为24．17、答案为：4．3 18、答案为：>. 19、答案为：.20、答案为： ;21、答案为：2 ;22、答案为：23、答案为：137．24、答案为：2﹣．25、解：∵方程(5＋b)x2＋2ax＋(5－b)=0有两个相等的实数根，且c=5，∴△=(2a)2－4(c＋b)(c-b)=0，∴a2＋b2=c2,则△ABC为直角三角形，且∠C=90°．设x1，x2是方程2x2－(10sin A)x＋5sin A=0的两个根，则根据根与系数的关系有x1＋x2=5sin A，x1·x2=sin A．∴x12＋x22=(x1＋x2)2－2x l·x2=(5sin A)2－2×sin A=6，解得sinA=或sinA=－(舍去)，∴a=csin A=3，b==4，S△ABC=ab==18．26、解：过点作于点，∵四边形是正方形，∴平分，．∴，．∵是中点，∴．设，则，，．在Rt△AEF中，，．∴．∴，．27、【解答】解：（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x•tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，则BD=x•tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，答：海轮在B处时与灯塔C的距离约为60海里．28、【解答】解：过点C作CE∥AD，交AB于E∵CD∥AE，CE∥AD∴四边形AECD是平行四边形∴AE=CD=50m，EB=AB﹣AE=50m，∠CEB=∠DAB=30°又∠CBF=60°，故∠ECB=30°∴CB=EB=50m∴在Rt△CFB中，CF=CB•sin∠CBF=50•sin60°≈43m答：河流的宽度CF的值为43m．29、解：如图，过B作BE⊥CD交CD延长线于E，∵∠CAN=45°，∠MAN=30°，∴∠CAB=15°∵∠CBD=60°，∠DBE=30°，∴∠CBD=30°，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∴∠CAB=∠ACB=15°，∴AB=BC=20，在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BC=20，∴CE=BCsin∠CBE=20×BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10，在Rt△DBE中，∠DBE=30°，BE=10，∴DE=BEtan∠DBE=10×，∴CD=CE﹣DE=≈11.5，答：这棵大树CD的高度大约为11.5米．30、：（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴EC=DF=×4=2，由勾股定理得，DE==2，∵点F是CD的中点，点N为DE的中点，∴DN=DE=×2=，NF=EC=×2=1，∴△DNF的周长=1++2=3+；在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF===2，所以，sin∠DAF===；（2）证明：在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠DAF+∠AFD=90°，∴∠CDE+∠AFD=90°，∴AF⊥DE，∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴NF是△CDE的中位线，∴DF=EC=2NF，∵cos∠DAF==，cos∠CDE==，∴=，∴2AD•NF=DE•DM．31、【解答】解：过A作AD⊥CF于D，由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°，∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt△ACD中，sin∠ACD=，则AD=AC•sin∠ACD=250≈433米，433米＞400米，∴不需要改道．答：消防车不需要改道行驶．。

中考数学第一轮总复习教案(26-32课时)

第六章三角形课时26．几何初步及平行线、相交线【课前热身】1. 如图，延长线段AB 到C ，使4BC =，若8AB =，则线段AC 是BC的倍．2．如图，已知直线a b ∥，135=∠，则2∠的度数是．3．如图，在不等边ABC △中，DE BC ∥，60ADE =∠，图中等于60的角还有______________．4．经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（）A ．一条或三条B ．三条C ．两条D ．一条 5．如图，直线a b ∥，则A ∠的度数是（）A ．28B ．31C ．39D ．42【考点链接】1. 两点确定一条直线，两点之间线段最短._______________叫两点间距离.2. 1周角＝__________平角＝_____________直角＝____________．3. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果_____________________互为补角，__________________的补角相等.4. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________.5. 过直线外一点心___________条直线与这条直线平行.6. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补.7. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行.8. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.【典例精析】例1 如图：AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=720，则∠2等于多少度？（第1题)E A B(第3题)1 2 (第2题)(第4题)图70°31°例2 如图，ABC △中，B C ∠∠，的平分线相交于点O ，过O 作DE BC ∥，若5BD EC +=，则DE 等于多少？【中考演练】1．(08永州) 如图，直线a 、b 被直线c 所截，若要a ∥ b ，需增加条件 _____________．（填一个即可） 2．（08义乌）如图直线l 1//l 2，AB ⊥CD ，∠1=34°，那么∠2的度数是． 3．(08河南) 如图, 已知直线25,115,//=∠=∠A C CD AB , 则=∠E （） A.70 B. 80 C. 90 D. 100( 第1题) ( 第2题) (第3题) 4．(08益阳) 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12cm ，∠ABC ＝80°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC ．(1) 求∠EDB 的度数；(2) 求DE 的长．21D CBAl 2l 1ABCD E5. (08宁夏)如图，AB ∥CD ， AC ⊥BC ，∠BAC ＝65°，求∠BCD 度数．﹡6. (08东莞) 如图，在ΔABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝8．用尺规作图作BC 边上的中线AD （保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD 的长．课时27．三角形的有关概念【课前热身】1．如图，在△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，点D 在BC 的延长线上，则∠ACD ＝度.2． ABC△中，D E ，分别是AB AC ，的中点，当10cm BC =时，DE = cm ．（第1题） 3．如图在△ABC 中，AD 是高线，AE 是角平分线，AF 中线.(1) ∠ADC ＝＝90°； (2) ∠CAE ＝＝12 ；(3) CF ＝＝12； (4) S △ABC ＝．C DB7060Ａ A B CE DC BAF（第3题）（第4题）4．如图，⊿ABC 中，∠A = 40°,∠B = 72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE ，则∠CDF = 度. 5．如果两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的度数之比为3:6，那么这两个角分别等于 °和 °．【考点链接】一、三角形的分类：1．三角形按角分为______________，______________，_____________． 2．三角形按边分为_______________,__________________. 二、三角形的性质：1．三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边2．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________．三、三角形中的主要线段：1．___________________________________叫三角形的中位线．2．中位线的性质：____________________________________________． 3．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线)【典例精析】例1 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°．求∠DAC 的度数．例2 如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边BC 和边AC 的中点，连接DE 、AD ，若S ABC △＝24cm 2,求△DEC 的面积.4321D CB A例3 如图，在等腰三角形ACB 中，5AC BC ==，8AB =，D 为底边AB 上一动点（不与点A B ，重合），DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E F ，，求DE DF +的长．【中考演练】1．在△ABC 中，若∠A ＝∠C＝13∠B ，则∠A＝，∠B ＝，这个三角形是 .2．（07深圳）已知三角形的三边长分别为3、8、x ，若x 的值为偶数，则x 的值有（）A. 6个B. 5个C. 4 个D. 3个 3．（07济南）已知一个三角形三个内角度数的比是1:5:6，则其最大内角度数为（）A.60°B.75°C.90°D.120°4．如图，AB ∥CD ，AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，求∠E 的度数．5. 如图，已知DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠B ＝70°，∠ACB ＝50°，求∠EDC 和∠BDC 的度数．﹡6. △ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角角平分线相交于点O ，∠BAC=50°，∠C=70°，EDCBAAB CD E求∠DAC，∠BOA的度数.课时28．等腰三角形与直角三角形【课前热身】1．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______．2. 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝_____°．3．在△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，且BD＝BC＝AD．则∠A等于（）A．30° B．36° C．45° D．72°（第2题）（第3题）（第4题）4．（07南充）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里【考点链接】一．等腰三角形的性质与判定：1. 等腰三角形的两底角__________；2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一；3. 有两个角相等的三角形是_________．二．等边三角形的性质与判定：1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．三．直角三角形的性质与判定：1. 直角三角形两锐角________．2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；4. 勾股定理：_________________________________________．5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________．【典例精析】例1 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．例2 （06包头）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1．5秒．（1）试求该车从A点到B的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速．【中考演练】1．(08湖州)已知等腰三角形的一个底角为70，则它的顶角为____________．度．2．（08白银）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为____． 3． (08武汉) 如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是____________．（第3题）4．如图，已知在直角三角形中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D ． ⑴ 若∠BAC=30°，求证：AD=BD ；⑵ 若AP 平分∠BAC 且交BD 于P ，求∠BPA 的度数．5．(08义乌) 如图，小明用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为4米，DE 为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米）P D C B AA O B东北课时29．全等三角形【课前热身】1．如图1所示，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=____．ACFEDB（第1题）（第2题）（第3题）2．如图2，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去3．如图，已知AE∥BF, ∠E=∠F,要使△ADE≌△BCF,可添加的条件是________.4. 在⊿ABC和⊿A/B/C/中，AB=A/B/，∠A=∠A/，若证⊿ABC≌⊿A/B/C/还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（）A. ∠B=∠B/B. ∠C=∠C/C. BC=B/C/，D. AC=A/C/，【考点链接】1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等.【典例精析】例1 已知：在梯形ABCD中，AB//CD，E是BC的中点，直线AE与DC的延长线交于点F. 求证：AB=CF.例2 （06重庆）如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE BC．求证：（1） AEF BCD；（2）EF CD．【中考演练】1.（08遵义）如图，OA OB =，OC OD =，50O ∠=，35D ∠=，则AEC ∠等于（）A ．60B ．50C ．45D ．302. ( 08双柏) 如图，点P 在AOB ∠的平分线上，AOP BOP △≌△，则需添加的一个条件是（只写一个即可，不添加辅助线）：（第1题）（第2题）（第3题）3. ( 08郴州) 如图，D 是AB 边上的中点，将ABC ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC上F 处，若50B ∠=︒，则BDF ∠= __________度．4. （08荆州）如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，连结DE ，求证：DF ＝DC ．5. 如图，AB=AD ，BC=DC ，AC 与BD 交于点E ，由这些条件你能推出哪些结论？（不再添加辅助线，不再标注其它字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论即可）F E DC B AEDO E AB D CA B C D F﹡6. (08东莞) 如图，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小.课时30．相似三角形【课前热身】1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．C B ODA E3．如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠B ，则下列等式成立的是（）A．AD AE AB AC = B ．AE ADBC BD =C ．DE AE BC AB =D ．DE ADBC AC=4．在△ABC 与△A′B ′C ′中，有下列条件：（1）''''AB BC A B B C =；（2）''''BC ACB C A C =；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A′B ′C ′的共有多少组（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【考点链接】一、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．二、相似三角形的判定方法1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________．2. 射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ____．3. 两个角对应相等的两个三角形__________．4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．5. 三边对应成比例的两个三角形___________．三、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．【典例精析】例1 在△ABC 和△DEF 中，已知∠A=∠D ，AB=4，AC=3，DE=1，当DF 等于多少时，这两个三角形相似．E A D CBEADCBA D CB例2 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？例3 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm ×3.5cm ，放映的荧屏的规格为2m ×2m ，若放映机的光源距胶片20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？【中考演练】1.（08大连）如图，若△ABC ∽△DEF ，则∠D 的度数为______________．2. (08杭州) 在中, 为直角, 于点,,写出其中的一对相似三角形是 _ 和 _；并写出它的面积比_____.（第1题）（第2题）（第3题） 3.( 08常州) 如图，在△ABC 中,若DE ∥BC,＝,DE ＝4cm,则BC 的长为 ( ) A.8cm B.12cm C.11cm D.10cmRt ABC ∆C ∠AB CD ⊥D 5,3==AB BC AD DB 12B(0,－4)A(3,0)xy4. （08无锡）如图，已知是矩形的边上一点，于，试证明．课时31．锐角三角函数【课前热身】1．（06黑龙江）在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sinA ＝23，则AC 的长是（） A ．5 B ．3 C ．45D ．13 2．Rt ∆ABC 中，∠C=︒90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值（）A ．21B ．22C ．23D ．13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （3，0），点B （0，－4），则cos OAB ∠ 等于_______．4．︒+︒30sin 130cos =____________．【考点链接】1．sin α，cos α，tan α定义sin α＝____，cos α＝_______，tan α＝______ ． 2．特殊角三角函数值E ABCD CD BF AE ⊥F ABF EAD △∽△α bc【典例精析】例1 在Rt △ABC 中，a ＝5，c ＝13，求sinA ，cosA ，tanA ．例2 计算:4sin 302cos 453tan 60︒-︒+︒．例3 等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，求底角∠B 的四个三角函数值．【中考演练】1．(08威海) 在△ABC 中，∠C ＝ 90°，tan A ＝13，则sin B ＝( ) A ．10 B ．23 C ．34D ．310 2．若3cos 4A =，则下列结论正确的为（） 30° 45° 60° sin α cos α tan αA ． 0°< ∠A < 30°B ．30°< ∠A < 45°C ． 45°< ∠A < 60°D ．60°< ∠A < 90° 3. (08连云港) 在Rt ABC △中，90C ∠=，5AC =，4BC =，则tan A = ．4.（07济宁）计算45tan 30cos 60sin -的值是 . 5. 已知3tan 30 A -=∠A =则．6．△ABC 中，若（sinA －12）2＋|32－cosB|＝0，求∠C 的大小．﹡7.（07长春）图中有两个正方形，A ，C 两点在大正方形的对角线上，△HAC 是等边三角形，若AB=2，求EF 的长．﹡8. 矩形ABCD 中AB ＝10，BC ＝8， E 为AD 边上一点，沿BE 将△BDE 对折，点D 正好落在AB 边上，求 tan ∠AFE ．_ E_ A_ F_ D_ C _ B_ O _ H_ G FA BC DE课时32．解直角三角形及其应用【课前热身】1．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（结果保留根号）（第1题） 2. 某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度．3．(07山东)王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 ( )A ．150mB ．350mC ．100 mD ．3100m【考点链接】1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的类型：已知____________；已知___________________． 3．如图（1）解直角三角形的公式：（1）三边关系：__________________．（2）角关系：∠A+∠B ＝_____，（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____． 4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________． 5．如图（3）方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________． 6．如图（4）坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tanα＝i ＝____．（图2）（图3）（图4）αA C B45︒南北西东60︒A D C B 70︒O O A B Cc ba A C B【典例精析】例1 Rt ABC ∆的斜边AB ＝5, 3cos 5A =，求ABC ∆中的其他量.例2 (08十堰) 海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．例3（07辽宁）为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米．（如图所示）求：（1）渠面宽EF ；（2）修200米长的渠道需挖的土方数．【中考演练】1．在Rt ABC ∆中，090C ∠=，AB ＝5，AC ＝4，则 sinA 的值是_________.2．(07乌兰察布)升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面 1.2m，则旗杆高度约为_______.（取，结果精确到0.1m）3 1.733．（07云南）已知：如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC的长. (结果保留根号)﹡4．（06哈尔滨）如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号）。

中考数学专题复习《解直角三角形复习课》导学案

中考数学专题复习《解直角三角形复习课》导学案一、学习目标1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA,cosA ，tanA ），知道30°，45°，60°角的三角函数值。

2、能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。

二、重难点1、重点：把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角三角形中加以解决。

2、难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题三、课前小测（每题4分，共12分） 1、(2013·德州中考)cos30°的值是________.2、(2014·德州中考)如图是拦水坝的横断面,斜坡AB 的水平宽度为12米,斜面坡度为1∶2,则斜坡AB 的长为( )A.4米 B.6米C.12米 D.24米3、(2015·德州中考)如图,某建筑物BC 上有一旗杆AB,从与BC 相距38m 的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°,观测旗杆底部B 的仰角为45°,则旗杆的高度约为________m.(结果精确到0.1m,参考数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19) 四、知识梳理，拓展提升（一）知识梳理1、 =斜边的对边A ∠=cosB ； =斜边的邻边A ∠=sinB ；tanA=的邻边的对边A A ∠∠=cotB 锐角∠A 的值随着角度的增大而。

2、 sin 2A+cos 2A = tanA= ，cotA= tanA · cotA=3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的。

4、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的。

5、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原来的直角三角形。

步步清练习：1、sin60°的值为( )321A. 3B.C. D.2222、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则sinA 的值为( )512512A.B. C. D.13131253、梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A ，关于∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A.sinA 的值越大，梯子越陡 B .cosA 的值越大，梯子越陡 C. tanA 值越小，梯子越陡 D.梯子陡的程度与∠A 的三角函数值无关4、已知,在Rt △ABC 中,∠C=90°,tanB=,则cosA=________.（二）拓展提升例1(2016·德州中考)2016年2月1日,我国在西昌卫星发射中心,用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道,如图,火箭从地面L 处发射,当火箭到达A 点时,从位于地面R 处的雷达站测得AR 的距离是6 km,仰角为 42.4°;1秒后火箭到达B 点,此时测得仰角为45.5°. (1)求发射台与雷达站之间的距离LR.(2)求这枚火箭从A 到B 的平均速度是多少(结果精确到0.01)?(参考数据:sin 42.4°≈0.67,cos 42.4°≈0.74,tan 42.4°≈0.91, sin 45.5°≈0.71,cos 45.5°≈0.70,tan 45.5°≈1.02)步步清练习：（2017·德州中考）如图所示,某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器,检测点设在距离公路10m 的A 处,测得一辆汽车从B 处行驶到C 处所用时间为0.9秒.已知∠B=30°,∠C=45°.（可变式为方位角问题） (1)求B,C 之间的距离.(保留根号)(2)如果此地限速为80km/h,那么这辆汽车是否超速?请说明理由.(参考数据:≈1.7,≈1.4)函数名 30° 45° 60°sin cos tan五、小结小组内交流学习心得六、当堂达标A阶：（每题4分，共12分，目标全员做对）1、(2017·怀化)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是( )A. B. C. D.2、Rt△ABC中,cosA=,那么sinA的值是( )A. B. C. D.3、（2007旅顺）一个钢球沿坡角31 °的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是(单位：米)（）A.5cos31 °B.5sin31 °C.5tan31 °D.5cot31 °B阶：（每题4分，共12分，目标1、2、3、4号全部做对）4、(2017·泰州)小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50m,则小明沿垂直方向升高了________m.5、若tan(x+10°)=1,则锐角x的度数为________.6、(2017·东营)一数学兴趣小组来到某公园,准备测量一座塔的高度.如图,在A 处测得塔顶的仰角为α,在B处测得塔顶的仰角为β,又测量出A,B两点的距离为s米,则塔高为________米. C阶：（每题4分，共4分，目标1、2号做对）7、(2017·临沂)如图,两座建筑物的水平距离BC=30m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°,求这两座建筑物的高度.附加题1、(2017·烟台)如图,数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度,在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,向前走20米到达A′处,测得点D 的仰角为67.5°,已知测倾器AB的高度为1.6米,则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米,≈1.414,tan67.5°≈2.414)( )A.34.14米B.34.1米C.35.7米D.35.74米2、(2017·玉林)如图,一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上,轮船沿正东方向航行30海里到达B处后,此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上,此时轮船与灯塔P的距离是( )A.15海里B.30海里C.45海里D.30海里。

初中数学_解直角三角形及其应用中考复习教学设计学情分析教材分析课后反思

解直角三角形及其应用教学设计【导学目标】1、理解锐角三角函数的概念，并准确记忆30°，45°，60°角的三角函数值。

2、运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。

【导学过程】一、知识梳理1、锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中，若∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，且∠C=90°，∠A 的正弦sinA=c a=∠斜边的对边A ；∠A 的余弦cosA==）（）（________； ∠A 的正切tanA==）（）（________. 2、特殊的三角函数值：α sinα cosα tanα 300 450 600(1)含30°角的直角三角形中三边之比_________________. (2)含45°角的直角三角形中三边之比___________________. 3、解直角三角形应用中的有关概念： ⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角铅直水平线视线⑵坡度坡角：如图，斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示，则i=tanα=hl。

【设计目的】：1.做好知识铺垫，为夯实基础。

2. 抓好关键概念学习。

3. 培养数形结合思想二、典例分析考点一锐角三角函数的概念典例1、正方形网格中，AOB ∠如图放置，则sin AOB ∠＝（）对应训练1.如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为（12，5），则tanα等于（）A ．513B ．1213C ．512D ．1252．如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是（） A ．23B ．32C ．21313D ．31313【设计目的】：利用坐标、网格渗透数形结合思想，培养添加辅助线的意识。

考点二特殊角的三角函数值典例2、 0033sin 602cos 458-+对应训练AB O1．计算6tan45°-2cos60°的结果是（）A ．43B ．4C ．53 D ．52．在△ABC 中，若|sinA-12|+（cosB-12）2=0，则∠C 的度数是（）A ．30°B．45°C．60°D．90°【设计目的】：抓好三角函数计算，将三角函数值与角度有机结合。

2018年吉林省长春市中考数学试题及参考答案案

2018年长春市初中毕业学业水平考试数学一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（2018吉林长春中考，1，3分，★☆☆）﹣15的绝对值是（）A．﹣15B．15C．﹣5 D．52．（2018吉林长春中考，2，3分，★☆☆）长春市奥林匹克公园即将于2018年年底建成，它的总投资额约为2 500 000 000元，2 500 000 000这个数用科学记数法表示为（）A．0.25×1010B．2.5×1010 C．2.5×109D．25×1083．（2018吉林长春中考，3，3分，★☆☆）下列立体图形中，主视图是圆的是（）A． B．C．D．4．（2018吉林长春中考，4，3分，★☆☆）不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（2018吉林长春中考，5，3分，★☆☆）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°6．（2018吉林长春中考，6，3分，★☆☆）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前．其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺．立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺7．（2018吉林长春中考，7，3分，★☆☆）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B 两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．800sinα米D．800tanα米8．（2018吉林长春中考，8，3分，★★☆）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=kx（x＞0）的图象上．若AB=2，则k的值为（）A．4 B．2C．2 D2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（2018吉林长春中考，9，3分，★☆☆）比较大小：103．（填“＞”、“=”或“＜”）10．（2018吉林长春中考，10，3分，★☆☆）计算：a2•a3=．11．（2018吉林长春中考，11，3分，★☆☆）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）、（n，3）．若直线y=2x与线段AB有公共点，则n的值可以为．（写出一个即可）12．（2018吉林长春中考，12，3分，★☆☆）如图，在△ABC中，AB=A C．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB 的大小为度．13．（2018吉林长春中考，13，3分，★★☆）如图，在□ABCD中，AD=7，AB=23，∠B=60°．E 是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为．14．（2018吉林长春中考，14，3分，★★☆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx 交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C 的长为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）x yOAC A′B15．（2018吉林长春中考，15，6分，★☆☆）先化简，再求值：221xx--+11x-，其中x=5﹣1．16．（2018吉林长春中考，16，6分，★☆☆）剪纸是中国传统的民间艺术，它画面精美，风格独特，深受大家喜爱．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“金鱼”，另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”，卡片除正面剪纸图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率．（图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“蝴蝶”的卡片记为B）17．（2018吉林长春中考，17，6分，★☆☆）图①、图②均是8×8的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．（2）所画的两个四边形不全等．18．（2018吉林长春中考，18，7分，★☆☆）学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．（1）求每套课桌椅的成本．（2）求商店获得的利润．19．（2018吉林长春中考，19，7分，★☆☆）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求AD的长．（结果保留π）20．（2018吉林长春中考，20，7分，★☆☆）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数．数据如下：20 21 19 16 27 18 31 29 21 2225 20 19 22 35 33 19 17 18 2918 35 22 15 18 18 31 31 19 22整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：统计量平均数众数中位数数值23 m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为．（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据________来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．21．（2018吉林长春中考，21，8分，★★☆）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从一某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量y（立方米）与时间x（分）之间的部分函数图象如图所示．（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．（2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式．（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为分钟．22．（2018吉林长春中考，22，9分，★★★）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE=FG．（2）连结CM．若CM=1，则FG的长为．【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为．23．（2018吉林长春中考，23，10分，★★★）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P 作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合）．作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长．（2）当点Q与点C重合时，求t的值．（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．24．（2018吉林长春中考，24，12分，★★★）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣12x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣12x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值．（2）求L与m之间的函数关系式．（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值．（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0．当32≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．2018年长春市初中毕业学业水平考试数学试题答案全解全析1．答案：B解析：|－15|=15．故选B．考查内容：绝对值.命题意图：本题主要考查实数的基本概念的掌握，难度较低．2．答案：C解析：2500000000用科学记数法表示为2.5×109．考查内容：科学记数法．命题意图：本题主要考查用科学记数法记数的能力，难度较低．归纳总结：用科学记数法表示数的关键是确定a 和n 的值：a 是只有一位整数的数，即1≤a ＜10；n 是整数，n 的绝对值等于从原数到a ，小数点移动的位数；当用来表示较大数时，n 是正整数；当用来表示较小数时，n 是负整数． 3．答案：D解析：圆锥的主视图是三角形，圆柱的主视图是矩形，圆台的主视图是梯形，球的主视图是圆，故选D ．考查内容：简单几何体的三视图．命题意图：本题主要考查三视图的判断，难度较低． 4．答案：B解析：移项，得3x ≥6；系数化为1，得 x ≥2．将不等式的解集表示在数轴上如下图，故选B ．考查内容：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．命题意图：本题主要考查一元一次不等式的解法，不等式的解集在数轴上的表示，难度较低． 5．答案：C解析：∵∠A =54°，∠B =48°，∴∠ACB =180°－∠A －∠B =180°﹣54°﹣48°=78°． ∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD =12∠ACB =12×78°=39°． ∵DE ∥AB ，∴∠CDE =∠BCD =39°．考查内容：平行线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．命题意图：本题主要考查平行线的性质的应用，三角形内角和定理的应用，难度较低． 6．答案：B解析：1丈五尺＝15尺，一尺五寸＝1.5尺，五寸＝0.5尺．设竹竿的长度为x 尺，∵=竹竿的长度标杆的长度竹竿的影长标杆的影长，即 1.5=150.5x ，解得x =45．45尺=四丈五尺．故选B ．考查内容：相似三角形的应用．命题意图：本题主要考查相似三角形的应用能力，难度中等偏下． 7．答案：D解析：在Rt △ABC 中，∵∠CAB =90°，∠B =α，AC =800米，∴tan α=ACAB，∴AB =tan AC α=800tan α．故选D ．考查内容：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．命题意图：本题主要考查解直角三角形的应用能力，难度较低． 8．答案：A解析：如图，作BD ⊥AC 于D ．∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AC =2AB =22． ∴BD =AD =CD =2．∵AC ⊥x 轴，∴C （2，22）．把C （2，22）代入y =kx得k =2×22=4．故选A ．一题多解：连结OC ，∵△ABC 为等腰直角三角形，AB =2，∴S △ABC =12×2×2=2．∵CA ⊥x 轴，∴S △AOC = S △ABC =2．∵点C 在函数xk y =（x > 0）的图象上，∴2k=2，又k ＞0，∴k=4．故选A ．考查内容：反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．命题意图：本题主要考查反比例函数与几何图形的综合应用，数形结合思想，难度中等． 9．答案：＞解析：∵32=9＜10，∴10＞3．考查内容：实数的大小比较．命题意图：本题主要考查实数大小比较能力，实数的估算，难度较低． 10．答案：a 5D解析：a 2•a 3=a 2+3=a 5．考查内容：同底数幂的乘法．命题意图：本题主要考查幂的运算能力，难度较低． 11．答案：不唯一，只要n ≥32即可，如2．解析：由点A 、B 的坐标分别为（1，3）、（n ，3）可知，线段AB // x 轴；把y =3代入y =2x ，解得x =23. ∴当x ≥23时，直线y =2x 与线段AB 有公共点，故取n ≥23的数即可．考查内容：一次函数图象上点的坐标特征．命题意图：本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征的应用，难度较低． 12．答案：37解析：∵AB =AC ，∠A =32°，∴∠ABC =∠ACB =74°．又∵BC =DC ，∴∠CDB =∠CBD =12∠ACB =37°．考查内容：等腰三角形的性质；尺规作图；三角形内角和定理及推论．命题意图：本题主要考查等腰三角形性质的应用，难度较低． 13．答案：20解析：当AE ⊥BC 时，四边形AEFD 的周长最小.∵AE ⊥BC ，AB B =60°，∴AE =AB ·sin60°=3. ∵△ABE 沿BC 方向平移到△DCF 的位置， ∴EF =BC =AD =7.∴四边形AEFD 周长的最小值为14+6=20．考查内容：平行四边形的性质；平移的性质；垂线的性质；解直角三角形．命题意图：本题主要考查平行四边形及平移的性质的应用，动手操作能力，难度中等. 14．答案：3解析：当y =0时，x 2+mx =0，解得x 1=0，x 2=﹣m ，则A （﹣m ，0）．∵点A 关于点B 的对称点为A ′，点A ′的横坐标为1，∴点A 的坐标为（﹣1，0）． ∴抛物线解析式为y =x 2+x ．当x =1时，y =x 2+x =2，则A ′（1，2）．当y =2时，x 2+x =2，解得x 1=﹣2，x 2=1，则C （﹣2，2）． ∴A ′C 的长为1﹣（﹣2）=3．考查内容：二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x 轴的交点；对称的性质．命题意图：本题主要考查二次函数有关知识的应用，中心对称的性质的应用，难度中等.15．解析：221xx--+11x-=2211xx-+-=211xx--=()()111x xx+--=x+1．当x=5﹣1时，原式=5﹣1+1=5．考查内容：分式的化简求值．命题意图：本题主要考查分式的运算能力，难度较低．16．解析：列表如下：A1A2BA1（A1，A1）（A2，A1）（B，A1）A2（A1，A2）（A2，A2）（B，A2）B（A1，B）（A2，B）（B，B）由表可知，共有9种等可能结果，其中抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的4种结果，所以抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率为49．一题多解：画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上都是“金鱼”的结果有4种，所以P（两张都是“金鱼”）＝49．考查内容：列表法与画树状图法求概率．命题意图：本题主要考查概率的计算能力，难度较低．17．解析：答案不唯一，如图所示．考查内容：网格内的轴对称画图．命题意图：本题主要考查网格特点的掌握，轴对称图形特征的掌握，难度较低．18．解析：（1）设每套课桌椅的成本为x元，根据题意，得60×100﹣60x=72×（100﹣3）﹣72x，解得x=82．答：每套课桌椅的成本为82元．（2）60×（100﹣82）=1080（元）．答：商店获得的利润为1080元．考查内容：一元一次方程的应用．命题意图：本题主要考查一元一次方程的应用能力，难度较低．19．解析：（1）∵AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，∴∠BAC=90°.∵∠C=40°，∴∠B=180°－∠BAC－∠C=50°．（2）如图，连结OD．∵∠B=50°，∴∠AOD=2∠B=100°．∴AD的长为1006180π⨯=103π．考查内容：圆周角定理；切线的性质；弧长的计算．命题意图：本题主要考查圆的基础知识的掌握与应用，难度较低．20．解析：（1）18．（2）中位数．（3）300×11231230+++++=100（名），答：该部门生产能手有100名工人．考查内容：用样本估计总体；条形统计图；平均数；中位数；众数．命题意图：本题主要考查统计量的计算，统计分析能力，样本估计总体思想，难度较低． 21．解析：（1）每分钟向储存罐内注入的水泥量为15÷3=5（立方米）；（2）设y =kx +b （k ≠0），把（3，15），（5.5，25）代入，得 15325 5.5.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得43.k b =⎧⎨=⎩，∴当3≤x ≤5.5时，y 与x 之间的函数关系式为y =4x +3．（3）1；11．解法提示：由（2）可知，输入输出同时打开时，水泥储存罐的水泥增加速度为25155.53--=4立方米/分，则每分钟输出量为5﹣4=1（立方米）.若要输出的水泥总量达到8立方米，则输出口需打开8分钟，所以从打开输入口到关闭输出口共用的时间为8+3=11（分钟）．考查内容：一次函数的应用．命题意图：本题主要考查一次函数的实际应用能力，数形结合思想，难度中等． 22．解析：探究：（1）如图，过点G 作GP ⊥BC 于P ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC ，∠A =∠ABC =∠BCD = 90°． ∴四边形ABPG 是矩形． ∴PG =AB ，∴PG =BC .∵∠PGF =∠CBE =90°﹣∠BFG ，又∠GPF =∠BCD =90°，∴△PGF ≌△CBE （ASA ）. ∴BE =FG ．（2）2．解法提示：由（1）知，FG=BE．连接CM，∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，∴BE=2CM=2．∴FG=2．【应用】9．解法提示：BE=2CM=2ME=6，CG=BE=6．∴ME=3．∵BE⊥CG，∴S四边形CEGM=12CG×ME=12×6×3=9．考查内容：正方形的性质；全等三角形的性质与判定；直角三角形的性质；四边形面积的计算．命题意图：本题主要考查正方形性质的应用，全等三角形性质与判定的应用，直角三角形性质的应用等，难度中等．23．解析：（1）在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4，∴AC=23．∵PD⊥AC，∴∠ADP=∠CDP=90°．在Rt△ADP中，AP=2t，∴DP=t，AD=AP cos A=2t×32=3t．∴CD=AC﹣AD=23﹣3t（0＜t＜2）．（2）在Rt△PDQ中，∵∠DPQ=60°，∴∠PQD=30°=∠A，∴PA=PQ．∵PD⊥AC，∴AD=DQ．当点Q和点C重合时，∴AD+DQ=AC．∴2×3t=23，∴t=1．（3）当0＜t≤1时，S=S△PDQ=12DQ×DP=12×3t×t=32t2．当1＜t＜2时，如图1.图1CQ=AQ﹣AC=2AD﹣AC3﹣33t﹣1）.在Rt △CEQ 中，∠CQE =30°， ∴CE =CQ ·tan ∠CQE =23（ t ﹣1）×33=2（ t ﹣1）. ∴S =S △PDQ ﹣S △ECQ =12×3t ×t ﹣12×23（ t ﹣1）×2（ t ﹣1）=﹣332t 2+43t ﹣23.∴S =()()22301233432312.2t t t t t ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎩≤-⎪，＜＜＜（4）12或34或54．解法提示：第一种情况：如图2，当PQ 的垂直平分线过AB 的中点F 时．图2∴∠PGF =90°，PG =12PQ =12AP =t ，AF =12AB =2． ∵∠A =∠AQP =30°，∴∠FPG =60°． ∴∠PFG =30°，∴PF =2PG =2t ． ∴AP +PF =2t +2t =2，∴t =12．第二种情况：如图3，当PQ 的垂直平分线过AC 的中点N 时．图3∴∠QMN =90°，AN =12AC 3QM =12PQ =12AP =t ，在Rt △NMQ 中，NQ =30oMQ cos 23. ∵AN +NQ =AQ ， 3233，∴t =34．第三种情况：如图4，当PQ 的垂直平分线过BC 的中点F 时，图4∴BF=12BC=1，PE=12PQ=t，∠H=30°．∵∠ABC=60°，∴∠BFH=30°=∠H，∴BH=BF=1．在Rt△PEH中，PH=2PE=2t．∴AH=AP+PH=AB+BH，∴2t+2t=5. ∴t=54．综上，当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为12或34或54．考查内容：三角形综合题；解直角三角形；函数解析式；图形面积；线段垂直平分线的性质．命题意图：本题主要考查三角形与函数的综合应用，解直角三角形的应用，数形结合思想，分类讨论思想，方程思想，难度较大．24．解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，BC＝A D．∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E，∴BC⊥y轴，AB⊥x轴，CD⊥x轴，DE＝AE．把x＝0代入y＝﹣12x2＋mx＋1得y＝1，∴点E的坐标是（0，1）．当点A的横坐标为﹣1时，点A的坐标为（﹣1，1）．∴D（1，1），把D（1，1）代入y=﹣12x2+mx+1中，得1=﹣12+m+1，∴m=12．（2）∵抛物线y=﹣12x2+mx+1的对称轴x=﹣1m=m，∴AE=ED=2m，E的坐标为（0，1）．∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，∴AD=BC=4m．AB=CD=2，∴L=8m+4．（3）∵当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，∴抛物线G 2的顶点M （﹣m ，12m 2﹣1）在线段AE 上， ∴12m 2﹣1=1． ∴m =2或﹣2（不合题意，舍去）． ∴L =8×2+4=20．（4）12≤L ≤40．解法提示：由题意G 1的顶点坐标为（m ，2112m ），G 2的顶点坐标为（－m ，2112m ）． ①若0＜m ≤2，当最高点是抛物线G 1的顶点N （m ，12m 2+1）时，若12m 2+1=32，解得m =1或﹣1（不合题意，舍去），若12m 2+1=9时，m =4或﹣4（不合题意，舍去）． ∴32≤2112m ≤9，解得1≤m ≤4，又∵m ≤2，观察图象可知满足条件的m 的取值范围为1≤m ≤2．②若2＜m ≤4，G 1在x=2处的取值为：y=－12×22+2m+1=2m －1，结合m 的范围比较G 1的顶点纵坐标值，可知（2，2m ﹣1）为最高点，则32≤2m ﹣1≤9，解得54≤m ≤5．∴2＜m ≤4．③若m ＞4，G 2在x=－4处的取值为：y=－12×（－4）2－2×（－4）－1=4m －9，比较G 在x=2和x=－4的纵坐标值，并结合m 的取值范围得到32≤4m ﹣9≤9，解得218≤m ≤92，∴4＜m ≤92．综上可知：1≤m ≤92，则12≤L ≤40．考查内容：二次函数的与几何图形综合题；矩形的性质；不等式组等．命题意图：本题主要考查二次函数的图象、性质、解析式的应用，矩形性质的应用，方程思想，分类讨论思想，难度较大．。

23.2.2 解直角三角形及其应用第2课时教案

沪科版数学九年级上册23.2.2 解直角三角形及其应用教学设计例3 如图 23-16，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度。

他站在距离水杉树8米的E处,测得树顶端A的仰角∠ACD为52°,已知测角器CE=1.6米，问树高AB为多少米？(精确到0.1m).例4 解决本章引言所提问题。

如图23-17，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB，因为不能直接到达塔底B处，他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C，D两处地面上，用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°,同时量得CD为50m，已知测角器高为1m，问电视塔的高度为多少米？(结果精确到1m).例5 如图23-18，一船以20n mile/h的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上，老师提示:解决这个问题的方法，我们称为实际问题数学化，这是解决实际问题常用的方法。

通过学生自己的观察、比较、总结出在这些结论。

实际问题数学化，由实际问题画出平面图形，也能有平面图形想像出实际情景，再根据解直角三角形的来解决实际问题。

并且了解了仰角，俯角的概念。

引导学生再次思考。

加强学生的合作意识，使学生养成大胆猜测和想象的能力，积极参与数学问题的谈论，敢于发表自己的见解。

强调易错点，加继续航行1h到达B处，再测得灯塔C在北偏东30°的方向上，已知灯塔C四周10 n mile 内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C 到AB航线的距离是否大于10 n mile解直角三角形应用的基本图形①不同地点看同一点(如图①)；②同一地点看不同点(如图②)建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，教师再给予点评、引导，然后共同完成问题的解决。

在探索中发现，这样才能理解其中的规律并能加以总结．通过问题的解决和延伸，引发学生自主思考，培养学生解决问题的逻辑思维能力。

中考数学专题复习导学案直角三角形(含答案)

中考数学专题练习19《直角三角形》【知识归纳】1.直角三角形的定义有一个角是的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的；(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的3.直角三角形的判定(1)两个内角的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的的三角形是直角三角形4.勾股定理及逆定理勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是三角形【基础检测】1.（·广西百色·3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）A．6 B．6 C．6 D．122.（·贵州安顺·3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．3．（广西南宁3分）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米4．（海南3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C 落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6 B．6C．2D．35.（·四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC 的中点，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．1+6. （·浙江省湖州市·4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是．7. （·湖北随州·3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．8．（·湖北荆州·10分）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．【达标检测】一．选择题1.（•毕节市）（第5题）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，42．（•青岛，第4题3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A. B. 2 C.3 D. +23. 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是A．5 B．10 C．12 D．135.（·湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．106. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°7. 已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )（第11题图）A. 21B. 20C. 19D. 188．（·四川宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2 C．3 D．29．（·湖北荆州·3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）A．2 B． C． D．二．填空题10．（湖北省鄂州市，15，3分）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．11．（·四川宜宾）在平面直角坐标系内，以点P（1，1）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是．12.（·四川内江）如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．13. （·湖北武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA ＝55，则BD的长为_______．14. 如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，=1.73）．15. （·江西·3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．DO CEBA图4三．解答题16．（江西，23，10分）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探索：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：．17.（·湖北咸宁）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．【知识归纳答案】1.直角三角形的定义有一个角是 90°的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形的判定(1)两个内角和为90°的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形4.勾股定理及逆定理勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2=c2逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形【基础检测答案】1.（·广西百色·3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）A．6 B．6C．6D．12【考点】含30度角的直角三角形．【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，∴BC=12sin30°=12×=6，故答选A．2.（·贵州安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B． C． D．【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．3．（广西南宁3分）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米【考点】解直角三角形的应用．【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，∴DC=BD=5米，在Rt△ADC中，∠B=36°，∴tan36°=，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．4．（海南3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C 落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6 B．6C．2D．3【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．【解答】解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，BC=6，∴BD=ED=3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE=BD=×3=3，故选D．【点评】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等腰直角三角形的性质求解．5.（四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．1+【分析】由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2．然后根据三角形中位线定理求得DE=AB．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=2．又∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=0.5 AB=1．故选：A．【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．6. （浙江省湖州市·4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是 5 ．【考点】作图—基本作图；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．【解答】解：由题意EF是线段AB的垂直平分线，∴AD=DB，Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴AB===10，∵AD=DB，∠ACB=90°，∴CD=AB=5．故答案为5．7. （湖北随州·3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= 3 ．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质．【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．【解答】解：连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，∴MN=CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点，∴CM=AB=3，∴DN=3，故答案为：3．8．（湖北荆州·10分）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．【分析】（1）连接OB，根据已知条件得到△AOB是等边三角形，得到∠AO B=60°，根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根据平行线的性质得到OC⊥CD，由切线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到BD=BC=AB，推出AE= AD，根据相似三角形的性质得到，求得EF=2﹣，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接OB，∵OA=OB=OC，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠FAD=15°，∴∠BOF=30°，∴∠AOF=∠BOF=30°，∴OF⊥AB，∵CD∥OF，∴CD⊥AD，∵AD∥OC，∴OC⊥CD，∴CD是半圆O的切线；（2）∵BC∥OA，∴∠DBC=∠EAO=60°，∴BD=BC=AB，∴AE=AD，∵EF∥DH，∴△AEF∽△ADH，∴，∵DH=6﹣3，∴EF=2﹣，∵OF=OA，∴OE=OA﹣（2﹣），∵∠AOE=30°，∴==，解得：OA=2．【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接OB构造等边三角形是解题的关键．【达标检测答案】一．选择题1.（•毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（） A．，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4【解析】勾股定理的逆定理．.知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．2．（•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A. B. 2 C.3 D. +2【解析】含30度角的直角三角形．根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE 中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．故选C ．【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键．3. 如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，若在边AB 上截取BE=BC ，连接DE,则图中等腰三角形共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D【解析】在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC 是等腰三角形．因为BD 是△ABC 的角平分线所以∠ABD=∠DBC=36° 所以△ABD 是等腰三角形．在△BDC 中有三角形的内角和求出∠BDC=72° 所以△BDC 是等腰三角形．所以BD=BC=BE 所以△BDE 是等腰三角形．所以∠BDE=72°, 所以∠ADE=36°, 所以△ADE 是等腰三角形．共5个．故选D ．4.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，连接AE ，若CE=5，AC=12，则BE 的长是 A ．5B ．10C ．12D ．13【解答】解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∠C=90°， ∴CD=DE=1，又∵直角△BDE 中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2， ∴BC=CD+BD=1+2=3．【答案】D.【解析】在Rt△CAE中，CE=5，AC=12，由勾股定理得：2213AE AC CE=+=又DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE=13.故选D.5.（湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．10【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8，故选C．6. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°【答案】D．【解析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解：（第11题图）∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°．故选D．7. 已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )A. 21B. 20C. 19D. 18【答案】A．【解析】由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了腰和底，根据周长的定义即可求解：∵8+8+5=21．∴这个三角形的周长为21．故选A．8．（四川宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2C．3 D．2【考点】旋转的性质．【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故选：A．9．（湖北荆州·3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）A．2 B． C． D．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：∵由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴cos∠ABC==．故选D．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．二．填空题10．（湖北省鄂州市，15，3分）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．【解析】直角三角形斜边上的中线．【解答】连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长．【点评】解：连接OP，∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，∴OP=AB，∵AB=20cm，∴OP=10cm，故答案为：10．11．（四川宜宾）在平面直角坐标系内，以点P（1，1）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是（0，3），（0，﹣1）．【考点】坐标与图形性质．【分析】在平面直角坐标系中，根据勾股定理先求出直角三角形的另外一个直角边，再根据点P的坐标即可得出答案．【解答】解：以（1，1）为圆心，为半径画圆，与y轴相交，构成直角三角形，用勾股定理计算得另一直角边的长为2，则与y轴交点坐标为（0，3）或（0，﹣1）．故答案为：（0，3），（0，﹣1）．12.（四川内江）如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE ⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．[答案]12 5[考点]菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式。

2018年中考数学复习课时31锐角三角函数导学案

2018年中考数学复习导学案课时31．锐角三角函数【课前热身】1．在△A BC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝23，则AC的长是（）A．5B．3C．45D．132．Rt∆ABC中，∠C=90︒，∠A∶∠B=1∶2，则sinA的值（）A．123B．C．222D．13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），y点B（0，－4），则cos∠OAB等于_______．0A(3,0)x4．cos30︒1+sin30︒=____________．B(0,－4)【考点链接】1．sinα，cosα，tanα定义αsinα＝___，cosα＝_______，tanα＝______．bc 2．特殊角三角函数值30°45°60°a sinαcosαtanα【典例精析】例1在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA．12 33 4 6．△C AB 中，若（sinA － 1 _ _ _ _ _ _ _2018 年中考数学复习导学案例 2 计算: 4sin30 ︒-2 cos45 ︒+3 tan 60︒ ．例 3 等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，求底角∠B 的四个三角函数值．【中考演练】1．在 △ABC 中，∠C ＝ 90°，tan A ＝ 13，则 sin B ＝( )A ． 10 3 10B ．C ．D ．10 102．若 cos A = 34，则下列结论正确的为（）A ． 0°< ∠A < 30°B ．30°< ∠A < 45°C ． 45°< ∠A < 60°D ．60°< ∠A < 90°3.在 Rt △ A BC 中， ∠C = 90 ， AC = 5 ， BC = 4 ，则 tan A =．4.计算sin 60 cos 30- tan 45 的值是 .5. 已知 3tan A - 3 = 0则∠A =．3）2＋| －cosB|＝0，求∠C 的大小．2 2﹡7.图中有两个正方形，A ，C 两点在大正方形的对角线上，△HAC 是等边三角形，若 AB=2，求 EF的长．HGDCABO 22018年中考数学复习导学案﹡8.矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿BE将△BDE对折，点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．3。

中考数学专题复习——解直角三角形的实际应用的基本类型课件

) D.6 3 m
2.(202X·益阳中考)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥
主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高
CD为 ( C )
【核心突破】【类型一】仰角俯角问题例1(202X·天津中考)如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30 m
到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测得的数据,计算这座灯塔的高度CD(结果取整数). 参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86, tan 31°≈0.60.
____2_2____海里(结果保留整数).(参考数据sin 26.5° ≈0.45,cos 26.5°≈0.90,tan 26.5°≈0.50, 5 ≈ 2.24)
5.(202X·上海宝山区模拟)地铁10 号线某站点出口横截面平面图如图所示,电梯AB的两端分别距顶部9.9 米和2.4米,在距电梯起点A端6米的P处,用1.5米高的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°,求电梯AB的坡度与长度.
解直角三角形的实际应用的基本类型
【主干必备】解直角三角形的实际应用的基本类型
应用类型
图示
测量方式
解答要点
仰角俯角问题
(1)运用仰角测距离. (2)运用俯角测距离. (3)综合运用仰角俯角测距离.
水平线与竖直线的夹角是 90°,据此构造直角三角形.
应用类型
坡度 (坡比)、坡角问题
A.asinα+asinβ C.atanα+aβ D. a a

中考数学解直角三角形练习

中考数学解直角三角形练习第一课时(锐角三角函数)课标要求1、通过实例认识直角三角形的边角关系：即锐角三角函数（sinA 、cosA 、tanA 、cotA ）2、熟知300、450、600角的三角函数值3、会用计算器求锐角的三角函数值：以及由已知的三角函数值求相应的锐角。

4、通过特殊角三角函数值：知道互余两角的三角函数的关系。

5、了解同角三角函数的平方关系。

sin 2α+cos 2α=1：倒数关系tan α·cot α=1.6、熟知直角三角形中：300角的性质。

中招考点1、锐角三角函数的概念：锐角三角函数的性质。

2、 300、450、600角的三角函数值及计算代数式的值。

3、运用计算器求的三角函数值或由锐角三角函数值求角度。

典型例题[例题1] 选择题（四选一）1、如图19-1：在Rt △ABC 中：CD 是斜边AB 上的高：则下列线段比中不等于sinA 的是（）A. AC CDB. CB BDC.AB CBD.CBCD分析：sinA=AC CD ； sinA=sin ∠BCD=BC BD ;sinA= ABBC；从而判断D 不正确。

故应选D.。

2、在Rt △ABC 中：∠C ＝900：∠A ＝∠B ：则cosA 的值是（） A.21B. 22 C.23 D.1分析：先求出∠A 的度数：因为∠C ＝900：∠A ＝∠B ：故∠A ＝∠B ＝450：再由特殊角的三角函数值可得：cosA=cos450=22故选B.。

3、在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=23 ；则cosB 的值为（）A. 21B. 22C.23D.33分析：方法一：因为sinA=23；故锐角A ＝600。

因为∠C ＝900：所以∠B ＝300.cosB=23.故选C.方法二：因为 ∠C ＝900：故 ∠A 与 ∠B 互余.所以cosB=sin A ＝23.故选C..4、如图19-2：在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=53.则BC ：AC 等于（）A C图19-1A. 3：4B. 4：3C.3：5D.4：5 分析：因为∠C ＝900：sinA ＝53 ；又sinA=AB BC .所以AB BC ＝53；不妨设BC ＝3k ；AB=5k ；由勾股定理可得AC ＝22BC AB -＝4k ；所以BC ：AC ＝3k:4k=3:4故选A.。

2018年中考数学复习课时32解直角三角形及其应用导学案无答案

课时32．解直角三角形及其应用【课前热身】1．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（结果保留根号）（第1题） 2. 某坡面的坡度为1_______度．3．(山东)王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 ( ) A ．150m B ．350m C ．100 m D ．3100m【考点链接】1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的类型：已知____________；已知___________________． 3．如图（1）解直角三角形的公式：（1）三边关系：__________________．（2）角关系：∠A+∠B＝_____，（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，c osA=_______．cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________．5．如图（3）方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________． 6．如图（4）坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tan α＝i ＝____．OA BCFA BCE（图2）（图3）（图4）【典例精析】例1 Rt ABC ∆的斜边AB ＝5, 3cos 5A =，求ABC ∆中的其他量.例2 海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．例3为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米．（如图所示）求：（1）渠面宽EF ；（2）修200米长的渠道需挖的土方数．【中考演练】1．在Rt ABC ∆中，090C ∠=，AB ＝5，AC ＝4，则 sinA 的值是_________.2．升国旗时，某同学站在离旗杆24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m，则旗杆高度约为_______. 1.73，结果精确到0.1m）3．已知：如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC的长. (结果保留根号)﹡4．如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号）。

中考专题复习解直角三角形（含答案）

中考专题复习解直⾓三⾓形（含答案）中考数学专题解直⾓三⾓形第⼀节锐⾓三⾓函数1、勾股定理：直⾓三⾓形两直⾓边、的平⽅和等于斜边的平⽅。

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直⾓，则∠A的锐⾓三⾓函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐⾓)余弦(∠A为锐⾓)正切(∠A为锐⾓)(倒数)余切(∠A为锐⾓)3、任意锐⾓的正弦值等于它的余⾓的余弦值；任意锐⾓的余弦值等于它的余⾓的正弦值。

4、任意锐⾓的正切值等于它的余⾓的余切值；任意锐⾓的余切值等于它的余⾓的正切值。

5、30°、45°、60°特殊⾓的三⾓函数值(重要)三⾓函数30°45°60°116、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增⼤⽽增⼤，cos随的增⼤⽽减⼩。

7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增⼤⽽增⼤，cot随的增⼤⽽减⼩。

第⼆节解⾓直⾓三⾓形1、解直⾓三⾓形的定义：已知边和⾓（两个，其中必有⼀条边）→求所有未知的边和⾓。

依据：①边的关系：；②⾓的关系：∠A+∠B=90°；③边⾓关系：（见前⾯三⾓函数的定义）。

2、应⽤举例：(1)仰⾓：视线在⽔平线上⽅的⾓；俯⾓：视线在⽔平线下⽅的⾓。

(2)坡⾯的铅直⾼度和⽔平宽度的⽐叫做坡度(坡⽐)。

⽤字母表⽰，即。

坡度⼀般写成的形式，如等。

把坡⾯与⽔平⾯的夹⾓记作(叫做坡⾓)，那么。

【重点考点例析】考点⼀：锐⾓三⾓函数的概念例1 如图所⽰，△ABC的顶点是正⽅形⽹格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255对应训练1．在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．12考点⼆：特殊⾓的三⾓函数值例2 计算：cos245°+tan30°?sin60°=．对应训练（2012?南昌）计算：sin30°+cos30°?tan60°．考点三：化斜三⾓形为直⾓三⾓形例3 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．对应训练3．如图，在Rt △ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三⾓形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）考点四：解直⾓三⾓形的应⽤例4 黄岩岛是我国南海上的⼀个岛屿，其平⾯图如图甲所⽰，⼩明据此构造出该岛的⼀个数学模型如图⼄所⽰，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千⽶，CD=32千⽶，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和⾯积；（结果保留整数，参考数据2≈1.414，3≈1.73 ，6≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．对应训练6．超速⾏驶是引发交通事故的主要原因之⼀．上周末，⼩明和三位同学尝试⽤⾃⼰所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳⼤道的距离（AC）为30⽶．这时，⼀辆⼩轿车由西向东匀速⾏驶，测得此车从B处⾏驶到C处所⽤的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳⼤道60千⽶/⼩时的限制速度？（计算时距离精确到1⽶，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千⽶/⼩时≈16.7⽶/秒）【聚焦中考】1．如图，在8×4的矩形⽹格中，每格⼩正⽅形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．32．把△ABC三边的长度都扩⼤为原来的3倍，则锐⾓A的正弦函数值（）A．不变B．缩⼩为原来的13C．扩⼤为原来的3倍D．不能确定3．计算：tan45°+ 2cos45°= ．4．在△ABC中，若∠A、∠B满⾜|cosA- 12|+（sinB-22）2=0，则∠C= ．5.校车安全是近⼏年社会关注的重⼤问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动⼩组设计了如下检测公路上⾏驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取⼀点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21⽶，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1⽶，参考数据：3=1.73，2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千⽶/⼩时，若测得某辆校车从A到B⽤时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．6．如图，某校教学楼AB的后⾯有⼀建筑物CD，当光线与地⾯的夹⾓是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下⾼2⽶的影⼦CE；⽽当光线与地⾯夹⾓是45°时，教学楼顶A在地⾯上的影⼦F与墙⾓C有13⽶的距离（B、F、C在⼀条直线上）（1）求教学楼AB的⾼度；（2）学校要在A、E之间挂⼀些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）【备考真题过关】⼀、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是（）A．23B．35C．34D．452．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（）A．45B．35C．34D．433．如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= 23，则BC的长为（）A．4 B．25C．181313D．1213134．2cos60°的值等于（）A．1 B．2C．3D．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）A．12B．22C．32D．16．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则C( ）A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°．7．在“测量旗杆的⾼度”的数学课题学习中，某学习⼩组测得太阳光线与⽔平⾯的夹⾓为27°，此时旗杆在⽔平地⾯上的影⼦的长度为24⽶，则旗杆的⾼度约为（）A．24⽶B．20⽶C．16⽶D．12⽶8．如图，某⽔库堤坝横断⾯迎⽔坡AB的坡⽐是1：3，堤坝⾼BC=50m，则应⽔坡⾯AB的长度是（）A．100m B．1003m C．150m D．503m1．如图，为测量某物体AB的⾼度，在D点测得A点的仰⾓为30°，朝物体AB⽅向前进20⽶，到达点C，再次测得点A的仰⾓为60°，则物体AB的⾼度为（）A．10⽶B．10⽶C．20⽶D．⽶2．⼩明想测量⼀棵树的⾼度，他发现树的影⼦恰好落在地⾯和⼀斜坡上，如图，此时测得地⾯上的影长为8⽶，坡⾯上的影长为4⽶．已知斜坡的坡⾓为30°，同⼀时刻，⼀根长为1⽶、垂直于地⾯放置的标杆在地⾯上的影长为2⽶，则树的⾼度为（）A．（6+）⽶B．12⽶C．（4﹣2）⽶D．10⽶3．如图，从热⽓球C处测得地⾯A、B两点的俯⾓分别是30°、45°，如果此时热⽓球C处的⾼度CD为100⽶，点A、D、B在同⼀直线上，则AB两点的距离是（）A．200⽶B．200⽶C．220⽶D．100（）⽶⼆、填空题9．在△ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，则tanA= ．10．tan60°= ．11．若∠a=60°，则∠a的余⾓为，cosa的值为．12．如图，为测量旗杆AB的⾼度，在与B距离为8⽶的C处测得旗杆顶端A的仰⾓为56°，那么旗杆的⾼度约是⽶（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）三、解答题13．如图，定义：在直⾓三⾓形ABC中，锐⾓α的邻边与对边的⽐叫做⾓α的余切，记作ctanα，即ctanα== ACBC，根据上述⾓的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°= ；（2）如图，已知tanA=34，其中∠A为锐⾓，试求ctanA的值．14．⼀副直⾓三⾓板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=122，试求CD的长．15．为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某⾼速公路建设⼯程中需修隧道AB，如图，在⼭外⼀点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位）16.如图，某⾼速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地⾯1500m，⾼度C处的飞机，测量⼈员测PABQ24.5°49°41°北东南西得正前⽅A 、B 两点处的俯⾓分别为60°和45°，求隧道AB 的长.17.如图，⾃来⽔⼚A 和村庄B 在⼩河l 的两侧，现要在A ，B 间铺设⼀知输⽔管道．为了搞好⼯程预算，需测算出A ，B 间的距离．⼀⼩船在点P 处测得A 在正北⽅向，B 位于南偏东24.5°⽅向，前⾏1200m ，到达点Q 处，测得A 位于北偏东49°⽅向，B 位于南偏西41°⽅向．（1）线段BQ 与PQ 是否相等？请说明理由；（2）求A ，B 间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）练习作业：1. 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据表中的数据求其它元素的值：a b c ∠A ∠B 12 30° 4 45° 260°5 35 4 28 CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．3.计算ooo5sin 302cos60tan 45-－ oo o o2cos 45tan 30sin 45tan 60-+?4．如图所⽰，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=443，?求△ABC的⾯积（结果可保留根号）．例5.已知：如图所⽰，在△ABC中，AD是边BC上的⾼，E?为边AC?的中点，BC=14，AD=12，sinB=45，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．例6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=10，AC=5，求sinB?sinC的值.。

2019年中考数学复习导学案课时32解直角三角形及其应用

2018春人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形及其应用》教案3

第2课时利用视角解直角三角形教学目标知识与技能1．使学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，运用解直角三角形的方式解决问题．2．认识仰角、俯角等概念，学会综合运用所学知识解决实际问题．过程与方法1．运用转化思想，学会把实际问题转化为数学问题来解决．2．经历解直角三角形的实际应用，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感、态度与价值观1．渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生运用数学的意识．2．现实中的数学无处不在，它既能锻炼我们的思维，又能解决实际问题，从而使学生热爱数学，学好数学．重点难点重点将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题．难点实际问题转化成数学模型．教学过程一、创设情境，导入新课1．解直角三角形指什么？2.解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：________________(2)锐角之间的关系：________________(3)边角之间的关系：sin A ＝∠A 的对边斜边 cos A ＝∠A 的邻边斜边tan A ＝∠A 的对边∠A 和邻边二、合作交流，探究新知1．仰角、俯角的概念当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．如图：2．实践探索问题：2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350 km 的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？(地球半径约为6400 km ，结果精确到0.1 km)分析：(1)从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点． (2)所要求的是P 点到切点之间的弧长．(3)已知哪些条件？求弧长需要知道哪些条件？你能画出平面图吗？(4)如图，⊙O 表示地球，点F 是飞船的位置，FQ 是⊙O 的切线，切点Q 是从飞船观测地球时的最远点．弧PQ 的长就是地面上P ，Q 两点间的距离．为计算弧PQ 的长需先求出∠POQ (即α)．解：在上图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形，∵cos α＝OQ OF ＝64006400＋350≈0.95， ∴α≈18°.∴弧PQ 的长为18π180×6400≈3.14×640＝2009.6(km)．由此可知，当飞船在P 点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P 点约2009.6 km. 教师：(1)提出问题，引导学生分析．(2)把实际问题中的已知和求解转化为数学问题的已知和求解．引导学生分析、总结方法．(3)根据分析写出解题过程(示范作用)．(4)总结思路和方法．方法总结：根据题意将实际问题转化为数学问题，构造出解题所需要的几何图形，并把已知和求解有机融合是解决问题的关键．学生：(1)理解教师分析，回答引问．(2)理解、体验实际问题转化为数学问题的方式、方法和思路．三、运用新知，深化理解例1 星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度．如图，小红站在A 处测得她看塔顶C 的仰角α为45°，小涛站在B 处测得塔顶C 的仰角β为30°，他们又测出A ，B 两点的距离为41.5 m ，假设他们的眼睛离头顶都是10 cm ，求塔高(结果保留根号)．分析：设塔高为x m ，利用锐角三角函数关系得出PM 的长，再利用CP PN＝tan30°，求出x 的值即可．解：设塔底面中心为O ，塔高x m ，MN ∥AB ，与塔中轴线相交于点P ，得到△CPM ，△CPN 是直角三角形，则x －（1.6－0.1）PM＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM ＝CP ＝x －1.5.在Rt △CPN 中，CP PN ＝tan30°，即x －1.5x －1.5＋41.5＝33，解得x ＝83 3＋894. 答：塔高为83 3＋894m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．例2 如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21 m 的建筑物CD 的顶端D 处测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°(A ，B ，C 在同一条直线上)，则河的宽度AB 约是多少米(精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?分析：在Rt △ACD 中，根据已知条件求出AC 的值，再在Rt △BCD 中，根据∠EDB ＝45°，求出BC ＝CD ＝21 m ，最后根据AB ＝AC －BC ，代入计算即可．解：∵在Rt △ACD 中，CD ＝21 m ，∠DAC ＝30°，∴AC ＝CD tan30°＝2133＝213m.∵在Rt △BCD 中，∠EDB ＝45°，∴∠DBC ＝45°，∴BC ＝CD ＝21 m ，∴AB ＝AC －BC ＝213－21≈15.3(m)，即河的宽度AB 约是15.3 m.方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．例3 某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB 的高，他们来到与建筑物AB 在同一平地且相距12 m 的建筑物CD 上的C 处观察，测得此建筑物顶部A 的仰角为30°、底部B 的俯角为45°.求建筑物AB 的高(精确到1 m ，可供选用的数据：2≈1.4，3≈1.7)．分析：过点C作AB的垂线CE，垂足为E，根据题意可得出四边形CDBE是正方形，再由BD＝12 m可知BE＝CE＝12 m，由AE＝CE·tan30°得出AE的长，进而可得出结论．解：过点C作AB的垂线，垂足为E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∠ECB＝45°，∴四边形CDBE是正方形．∵BD＝12 m，∴BE＝CE＝12 m，∴AE＝CE·tan30°＝12×33＝43(m)，∴AB＝43＋12≈19(m)．答：建筑物AB的高为19 m.方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．四、课堂练习，巩固提高1．教材P76练习第1题．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂测评”内容．五、反思小结，梳理新知本节学了哪些内容？你有哪些认识和收获？1．通过解直角三角形解决实际问题．2．解直角三角形是一种工具，它是通过边角之间存在的内在数量关系求出所需要的量的过程，关键在于构建直角三角形并解出．教师总结，学生理解，加强对数学意义的认识，对数学方法、思维方式进一步理解，适当进行兴趣教育．六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容。