正余弦定理题型总结(全)
正余弦定理知识点及题型归纳
正余弦定理是三角学中的重要知识点,用于解决与三角形相关的问题。
下面是对正余弦定理的知识点及题型归纳:一、正弦定理1. 定义:在任意三角形ABC中,设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,那么有sinA/a = sinB/b = sinC/c。
2. 性质:-等式两边同时乘以任意非零常数,等式仍然成立;-等式两边同时除以相同的角,等式仍然成立;-等式两边同时取反函数,等式仍然成立。
3. 应用:-已知三个角的度数,求边长;-已知两个边的长度,求第三个边的长度;-已知一个角和一条边的长度,求另外两个角的度数;-已知一个角和两条边的长度,求第三个角的度数。
二、余弦定理1. 定义:在任意三角形ABC中,设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,那么有cosA = (b ²+ c²- a²) / (2bc)。
2. 性质:-等式两边同时乘以任意非零常数,等式仍然成立;-等式两边同时除以相同的角,等式仍然成立;-等式两边同时取反函数,等式仍然成立。
3. 应用:-已知三个角的度数,求边长;-已知两个边的长度,求第三个边的长度;-已知一个角和一条边的长度,求另外两个角的度数;-已知一个角和两条边的长度,求第三个角的度数。
三、题型归纳1. 已知三个角的度数,求边长:-根据正弦定理或余弦定理,将已知的角度代入公式中,求解边长;-如果已知的是弧度制的角度,需要将其转换为角度制。
2. 已知两个边的长度,求第三个边的长度:-根据正弦定理或余弦定理,将已知的两个边的长度代入公式中,求解第三个边的长度;-如果已知的是弧度制的角度,需要将其转换为角度制。
3. 已知一个角和一条边的长度,求另外两个角的度数:-根据正弦定理或余弦定理,将已知的角度和边的长度代入公式中,求解另外两个角的度数;-如果已知的是弧度制的角度,需要将其转换为角度制。
4. 已知一个角和两条边的长度,求第三个角的度数:-根据正弦定理或余弦定理,将已知的角度和两条边的长度代入公式中,求解第三个角的度数;-如果已知的是弧度制的角度,需要将其转换为角度制。
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
三角函数五——正、余弦定理一、知识点 (一)正弦定理:2,sin sin sin a b cR A B C===其中R 是三角形外接圆半径. 变形公式:(1)化边为角:2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===a b c3sin B C4(((解可 2、余弦定理可以解决的问题: (1)已知三边,求三个角;(解唯一)(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(解唯一):(3)两边和其中一边对角,求另一边,进而可求其它的边和角.(解可能不唯一)三、正、余弦定理的应用射影定理:cos cos ,cos cos ,cos cos .a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+有关三角形内角的几个常用公式 解三角形常见的四种类型(1)已知两角,A B 与一边a :由180A B C ++=︒及正弦定理sin sin sin a b cA B B==,可 求出C ∠,再求,b c 。
(2)已知两边,b c 与其夹角A ,由2222cos a b c bc A =+-,求出a ,再由余弦定理, 求出角,B C 。
(3)已知三边a b c 、、,由余弦定理可求出A B C ∠∠∠、、。
(4讲解 (知∆A ∠,A .由a c ==,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2a b B A =⋅==,故选A(2013·新课标Ⅰ高考文科·T10)已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,02cos cos 232=+A A ,7=a ,c=6,则=b ( ) A.10B.9C.8D.5【解题指南】由02cos cos 232=+A A ,利用倍角公式求出A cos 的值,然后利用正弦定理或余弦定理求得b 的值.【解析】选D.因为02cos cos 232=+A A ,所以01cos 2cos 2322=-+A A ,解得251cos 2=A , 方法一:因为△ABC 为锐角三角形,所以51cos =A ,562sin =A . 由正弦定理C cA a sin sin =得,C sin 65627=.6sin =C 所以sin =B5.方法二5∴sin 9、()0C =,求边又1+即12cos 0A -=,2,又0°<A<180°,所以A =60°.在△ABC 中,由正弦定理sin sin a b A B =得sin 2sin 2b A B a ===, 又∵b a <,所以B <A ,B =45°,C =75°,∴BC 边上的高AD 752sin(4530)=+在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且 b.(1)求角A 的大小.(2)若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.【解题指南】(1)由正弦定理易求角A 的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解.【解析】(1)由及正弦定理sin sin a bA B=,得, 因为(2)b 2+c 26、(3,则c =.4、(2012福建文)在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=,则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin 45AC AC =⇒=︒5、(2011北京)在ABC 中,若15,,sin 43b B A π=∠==,则a = .【答案】325 【解析】:由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B A π=∠==所以5,13sin 34a a π==1、在△ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,abc ,3A π=,1a b ==,则c =( )A 、1B 、2 C1 D 、32、在△ABC 中,分别为的对边.如果成等差数列,30°,△ABC 的面 A 、3)75213 C D 4B π=,则___________________.3,=60°AB 的长度等于13(20132012天津理)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =()A .725B .725-C .725±D .2425【答案】A【解析】85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =,又2C B =,8sin 5sin 2B B ∴=,所以8sin 10sin cos B B B =,易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525B B C B B ≠∴===-=(2013·湖南高考文科·T5)在锐角∆ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b. 若2asinB=3b ,则角A 等于( ) A.3π B.4π C.6π D.12π【解题指南】本题先利用正弦定理B bA a sin sin =化简条件等式,注意条件“锐角三角形” .【解析】选A.由2asinB=3b 得2sinAsinB=3sinB,得sinA=23,所以锐角A=3π. (2013·湖南高考理科·T3)在锐角ABC ∆中,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A .12π(2013 A . 3 5,=在△B 0=. (1)(2)若a 【解题指南】(1)借助三角形内角和为π,结合三角恒等变换将条件中的等式转化为只含B 的方程,求出B 的三角函数值,进而可求出角B.(2)根据(1)求出的B 与a c 1+=,由余弦定理可得b 2关于a 的函数,注意到a c 1+=可知0a 1<<,进而可求出b 的范围.【解析】(1)由已知得cos(A B)cos A cos B A cos B 0-++-=,即sin Asin B A cos B 0=.因为sin A 0≠,所以sin B B 0=,又cosB 0≠,所以tan B =,又0B <<π,所以B 3π=.(2)由余弦定理,有222b a c 2accos B =+-,因为a c 1+=,1cos B 2=,所以2211b 3(a )24=-+,又因为0a 1<<,所以21b 14≤<,即1b 12≤<.1sin BAM ∠=∠(2013·上海高考文科·T5)已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a +ab+b 2-c 2=0,则角C 的大小是 .【解析】π32212- cos 0- 222222=⇒-=+=⇒=++C ab c b a C c b ab a 【答案】π32设ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为c b a ,,,ac c b a c b a =+-++))(((I )求B ; (II )若413sin sin -=C A ,求C . 【解题指南】(I )由条件ac c b a c b a =+-++))((确定求B 应采用余弦定理. (II )应用三角恒等变换求出C A +及C A -的值,列出方程组确定C 的值. 【解析】(I )因为ac c b a c b a -=+-++))((.所以ac b c a -=-+222.222(II 221+=故-C A10、((I c = 所以A (2012(1(2【解析】(1) 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3BC B C B C B C B C B C A π+-=⎧⎪-=-⎪⎪+=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 则1cos 3A =. (2)由(1)得sin A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②, ①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 7、(2011全国)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=.(I )求B ; (Ⅱ)若75,2,A b ==a c 求,. 【解析】(I)由正弦定理得222a cb +=2222cos b a c ac B =+-cos 2B =45B =(II sin30=故6a +=60645c b ==1、∆C 的对边分别为 )2 A A 、30° B 、30°或150° C 、60° D 、60°或120° 8、已知在△ABC 中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为( )A 、14-B 、14C 、23- D 、2310、若△ABC 的内角,,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==,则cos B =A B .34C D .111611、在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =,则2sin cos cos A A B +=A .-12 B .12C . -1D .112、已知在△ABC 中,10,a b A ===45°,则B = 。
专题4.5正弦定理和余弦定理的应用(2021年高考数学一轮复习专题)
专题 正弦定理和余弦定理的应用一、题型全归纳题型一 利用正弦、余弦定理解三角形【题型要点】(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题:一是已知两角和一角的对边,求其他边或角;二是已知两边和一边的对角,求其他边或角;①利用余弦定理可解决两类三角形问题:一是已知两边和它们的夹角,求其他边或角;二是已知三边求角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的,所以其解也是唯一的. (2)三角形解的个数的判断已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.【例1】 (2020·广西五市联考)在①ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a =1,b =3,A =30°,B 为锐角,那么A ①B ①C 为( ) A .1①1①3 B .1①2①3 C .1①3①2D .1①4①1【解析】:法一:由正弦定理a sin A =b sin B ,得sin B =b sin A a =32.因为B 为锐角,所以B =60°,则C =90°,故A ①B ①C =1①2①3,选B.法二:由a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得c 2-3c +2=0,解得c =1或c =2.当c =1时,①ABC 为等腰三角形,B =120°,与已知矛盾,当c =2时,a <b <c ,则A <B <C ,排除选项A ,C ,D ,故选B.【例2】(2019·高考全国卷Ⅰ)①ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知a sin A -b sin B =4c sin C ,cos A =-14,则bc =( )A .6B .5C .4D .3【解析】选A.由题意及正弦定理得,b 2-a 2=-4c 2,所以由余弦定理得,cos A =b 2+c 2-a 22bc =-3c 22bc =-14,得bc=6.故选A. 【例3】(2020·济南市学习质量评估)已知①ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2c +a =2b cos A . ①求角B 的大小;①若a =5,c =3,边AC 的中点为D ,求BD 的长.【解析】 (1)选A.由题意及正弦定理得,b 2-a 2=-4c 2,所以由余弦定理得,cos A =b 2+c 2-a 22bc =-3c 22bc=-14,得bc=6.故选A. (2)①由2c +a =2b cos A 及正弦定理,得2sin C +sin A =2sin B cos A , 又sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B ,所以2sin A cos B +sin A =0, 因为sin A ≠0,所以cos B =-12,因为0<B <π,所以B =2π3.①由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2a ·c cos①ABC =52+32+5×3=49,所以b =7,所以AD =72.因为cos①BAC =b 2+c 2-a 22bc =49+9-252×7×3=1114,所以BD 2=AB 2+AD 2-2·AB ·AD cos①BAC =9+494-2×3×72×1114=194,所以BD =192.题型二 判断三角形的形状【题型要点】判定三角形形状的两种常用途径【易错提醒】“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系;“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系.【例1】(2020·蓉城名校第一次联考)设①ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B=a sin A ,则①ABC 的形状为( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形D .不确定【解析】 (1)法一:因为b cos C +c cos B =b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac =2a 22a =a ,所以a sin A =a 即sin A =1,故A =π2,因此①ABC 是直角三角形.法二:因为b cos C +c cos B =a sin A ,所以sin B cos C +sin C cos B =sin 2 A ,即sin(B +C )=sin 2 A ,所以sin A =sin 2 A ,故sin A =1,即A =π2,因此①ABC 是直角三角形.【例2】在①ABC 中,若c -a cos B =(2a -b )cos A ,则①ABC 的形状为 .【解析】因为c -a cos B =(2a -b )cos A ,所以由正弦定理得sin C -sin A cos B =2sin A cos A -sin B cos A , 所以sin(A +B )-sin A cos B =2sin A cos A -sin B cos A ,故cos A (sin B -sin A )=0, 所以cos A =0或sin A =sin B ,A =π2或A =B ,故①ABC 为等腰或直角三角形.题型三 与三角形面积有关的问题命题角度一 计算三角形的面积【题型要点】1.①ABC 的面积公式(1)S ①ABC =12a ·h (h 表示边a 上的高).(2)S ①ABC =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A .(3)S ①ABC =12r (a +b +c )(r 为内切圆半径).2.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积;(2)若已知三角形的三边,可先求其中一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积,总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.【例1】(2019·高考全国卷Ⅰ)①ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b =6,a =2c ,B =π3,则①ABC的面积为 .【解析】 (1)法一:因为a =2c ,b =6,B =π3,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得62=(2c )2+c 2-2×2c ×c cos π3,得c =23,所以a =43,所以①ABC 的面积S =12ac sin B =12×43×23×sin π3=6 3.法二:因为a =2c ,b =6,B =π3,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得62=(2c )2+c 2-2×2c ×c cos π3,得c =23,所以a =43,所以a 2=b 2+c 2,所以A =π2,所以①ABC 的面积S =12×23×6=6 3.【例2】(2020·福建五校第二次联考)在①ABC 中,A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a 2+b 2-c 2=3ab ,且ac sin B =23sin C ,则①ABC 的面积为 .【解析】因为a 2+b 2-c 2=3ab ,所以由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =3ab 2ab =32,又0<C <π,所以C =π6.因为ac sin B =23sin C ,所以结合正弦定理可得abc =23c ,所以ab =2 3.故S ①ABC =12ab sin C=12×23sin π6=32. 命题角度二 已知三角形的面积解三角形【题型要点】已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角,就寻求这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解; (2)若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解.【提示】正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中,要注意三角函数公式的工具性作用. 【例3】(2020·湖南五市十校共同体联考改编)已知a ,b ,c 分别为①ABC 的内角A ,B ,C 的对边,(3b -a )cos C =c cos A ,c 是a ,b 的等比中项,且①ABC 的面积为32,则ab = ,a +b = . 【解析】 因为(3b -a )cos C =c cos A ,所以利用正弦定理可得3sin B cos C =sin A cos C +sin C cos A =sin(A +C )=sinB .又因为sin B ≠0,所以cos C =13,则C 为锐角,所以sin C =223.由①ABC 的面积为32,可得12ab sin C =32,所以ab =9.由c 是a ,b 的等比中项可得c 2=ab ,由余弦定理可得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,所以(a +b )2=113ab =33,所以a +b =33.【例4】(2020·长沙市统一模拟考试)已知①ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a sin(A +B )=c sin B +C2.(1)求A ;(2)若①ABC 的面积为3,周长为8,求a .【解析】:(1)由题设得a sin C =c cos A 2,由正弦定理得sin A sin C =sin C cos A 2,所以sin A =cos A2,所以2sin A 2cos A 2=cos A 2,所以sin A 2=12,所以A =60°.(2)由题设得12bc sin A =3,从而bc =4.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得a 2=(b +c )2-12.又a +b +c =8,所以a 2=(8-a )2-12,解得a =134.题型四 三角形面积或周长的最值(范围)问题【题型要点】求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时,一般将其转化为一个角的一个三角函数,利用三角函数的有界性求解,或利用余弦定理转化为边的关系,再应用基本不等式求解.【例1】(2020·福州市质量检测)①ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若角A ,B ,C 成等差数列,且b =32. (1)求①ABC 外接圆的直径;(2)求a +c 的取值范围.【解析】:(1)因为角A ,B ,C 成等差数列,所以2B =A +C ,又因为A +B +C =π,所以B =π3.根据正弦定理得,①ABC 的外接圆直径2R =bsin B =32sin π3=1.(2)法一:由B =π3,知A +C =2π3,可得0<A <2π3.由(1)知①ABC 的外接圆直径为1,根据正弦定理得,a sin A =b sin B =c sin C=1, 所以a +c =sin A +sin C =sin A +sin ⎪⎭⎫⎝⎛A -32π=3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A cos 21sin 23=3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA . 因为0<A <2π3,所以π6<A +π6<5π6.所以12<sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤1,从而32<3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤3,所以a +c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛323, 法二:由(1)知,B =π3,b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a +c )2-3ac ≥(a +c )2-322⎪⎭⎫ ⎝⎛+c a =14(a +c )2(当且仅当a =c 时,取等号),因为b =32,所以(a +c )2≤3,即a +c ≤3,又三角形两边之和大于第三边,所以32<a +c ≤3, 所以a +c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛323, 题型五 解三角形与三角函数的综合应用【题型要点】标注条件,合理建模解决三角函数的应用问题,无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题,关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注,然后根据条件和所求建立相应的数学模型,转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题.【例1】 (2020·湖南省五市十校联考)已知向量m =(cos x ,sin x ),n =(cos x ,3cos x ),x ①R ,设函数f (x )=m ·n +12.(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间;(2)设a ,b ,c 分别为①ABC 的内角A ,B ,C 的对边,若f (A )=2,b +c =22,①ABC 的面积为12,求a 的值.【解析】 (1)由题意知,f (x )=cos 2x +3sin x cos x +12=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx +1.令2x +π6①⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 22,22-,k ①Z ,解得x ①⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 6,3-,k ①Z ,所以函数f (x )的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 6,3-,k ①Z .(2)因为f (A )=sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πA +1=2,所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πA =1. 因为0<A <π,所以π6<2A +π6<13π6,所以2A +π6=π2,即A =π6.由①ABC 的面积S =12bc sin A =12,得bc =2,又b +c =22,所以a 2=b 2+c 2-2bc cos A =(b +c )2-2bc (1+cos A ),解得a =3-1. 【例2】①ABC 中的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =2a -2c cos B . (1)求角C 的大小;(2)求3cos A +sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πB 的最大值,并求出取得最大值时角A ,B 的值. 【解析】:(1)法一:在①ABC 中,由正弦定理可知sin B =2sin A -2sin C cos B ,又A +B +C =π,则sin A =sin(π-(B +C ))=sin(B +C ),于是有sin B =2sin(B +C )-2sin C cos B =2sin B cos C +2cos B sin C -2sin C cos B ,整理得sin B =2sin B cos C ,又sin B ≠0,则cos C =12,因为0<C <π,则C =π3.法二:由题可得b =2a -2c ·a 2+c 2-b 22ac ,整理得a 2+b 2-c 2=ab ,即cos C =12,因为0<C <π,则C =π3.(2)由(1)知C =π3,则B +π3=π-A ,3cos A +sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πB =3cos A +sin(π-A )=3cos A +sin A =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πA , 因为A =2π3-B ,所以0<A <2π3,所以π3<A +π3<π,故当A =π6时,2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πA 的最大值为2,此时B =π2.二、高效训练突破 一、选择题1.(2020·广西桂林阳朔三校调研)在①ABC 中,a ①b ①c =3①5①7,那么①ABC 是( ) A .直角三角形 B .钝角三角形 C .锐角三角形D .非钝角三角形【解析】:因为a ①b ①c =3①5①7,所以可设a =3t ,b =5t ,c =7t ,由余弦定理可得cos C =9t 2+25t 2-49t 22×3t ×5t =-12,所以C =120°,①ABC 是钝角三角形,故选B. 2.(2020·河北衡水中学三调)在①ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且b 2+c 2=a 2+bc ,若sin B sin C =sin 2A ,则①ABC 的形状是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等边三角形D .等腰直角三角形【解析】:在①ABC 中,因为b 2+c 2=a 2+bc ,所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =bc 2bc =12,因为A ①(0,π),所以A =π3,因为sin B sin C =sin 2A ,所以bc =a 2,代入b 2+c 2=a 2+bc ,得(b -c )2=0,解得b =c ,所以①ABC 的形状是等边三角形,故选C.3.(2020·河南南阳四校联考)在①ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b =8,c =3,A =60°,则此三角形外接圆的半径R =( ) A.823 B.1433 C.73D .733【解析】:因为b =8,c =3,A =60°,所以a 2=b 2+c 2-2bc cos A =64+9-2×8×3×12=49,所以a =7,所以此三角形外接圆的直径2R =a sin A =732=1433,所以R =733,故选D. 4.(2020·湖南省湘东六校联考)在①ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,其中b 2=ac ,且sin C =2sinB ,则其最小内角的余弦值为( )A .-24 B.24 C.528D .34【解析】:由sin C =2sin B 及正弦定理,得c =2b .又b 2=ac ,所以b =2a ,所以c =2a ,所以A 为①ABC 的最小内角.由余弦定理,知cos A =b 2+c 2-a 22bc =(2a )2+(2a )2-a 22·2a ·2a=528,故选C.5.(2020·长春市质量监测(一))在①ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b =a cos C +12c ,则角A 等于( ) A .60°B .120°C .45°D .135°【解析】:法一:由b =a cos C +12c 及正弦定理,可得sin B =sin A cos C +12sin C ,即sin(A +C )=sin A cos C+12sin C ,即sin A cos C +cos A sin C =sin A cos C +12sin C ,所以cos A sin C =12sin C ,又在①ABC 中,sin C ≠0,所以cos A =12,所以A =60°,故选A.法二:由b =a cos C +12c 及余弦定理,可得b =a ·b 2+a 2-c 22ab +12c ,即2b 2=b 2+a 2-c 2+bc ,整理得b 2+c 2-a 2=bc ,于是cos A =b 2+c 2-a 22bc =12,所以A =60°,故选A.6.(2020·河南三市联考)已知a ,b ,c 分别为①ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,sin A ①sin B =1①3,c =2cos C =3,则①ABC 的周长为( ) A .3+3 3 B .23 C .3+2 3D .3+3【解析】:因为sin A ①sin B =1①3,所以b =3a , 由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =a 2+(3a )2-c 22a ×3a=32,又c =3,所以a =3,b =3,所以①ABC 的周长为3+23,故选C.7.(2020·湖南师大附中4月模拟)若①ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b =2,c =5,①ABC的面积S =52cos A ,则a =( ) A .1 B.5 C.13D .17【解析】:因为b =2,c =5,S =52cos A =12bc sin A =5sin A ,所以sin A =12cos A . 所以sin 2A +cos 2A =14cos 2A +cos 2A =54cos 2A =1.易得cos A =255.所以a 2=b 2+c 2-2bc cos A =4+5-2×2×5×255=9-8=1,所以a =1.故选A. 8.(2020·开封市定位考试)已知①ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,①ABC 的面积为43,且2b cos A +a =2c ,a +c =8,则其周长为( ) A .10 B .12 C .8+ 3D .8+23【解析】:因为①ABC 的面积为43,所以12ac sin B =4 3.因为2b cos A +a =2c ,所以由正弦定理得2sin B cosA +sin A =2sin C ,又A +B +C =π,所以2sin B cos A +sin A =2sin A cos B +2cos A sin B ,所以sin A =2cos B ·sin A ,因为sin A ≠0,所以cos B =12,因为0<B <π,所以B =π3,所以ac =16,又a +c =8,所以a =c =4,所以①ABC 为正三角形,所以①ABC 的周长为3×4=12.故选B.9.(2020·昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD 中,①D =90°,①BAD =120°,AD =1,AC =2,AB =3,则BC =( )A. 5B.6C.7D .22【解析】:如图,在①ACD 中,①D =90°,AD =1,AC =2,所以①CAD =60°.又①BAD =120°,所以①BAC =①BAD -①CAD =60°.在①ABC 中,由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos①BAC =7,所以BC =7.故选C.10.(2020·广州市调研测试)已知①ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且sin 2A +sin 2B -sin 2Cc =sin A sin Ba cos B +b cos A ,若a +b =4,则c 的取值范围为( )A .(0,4)B .[2,4)C .[1,4)D .(2,4]【解析】:根据正弦定理可得sin 2A +sin 2B -sin 2C sin C =sin A sin Bsin A cos B +cos A sin B ,即sin 2A +sin 2B -sin 2C sin C =sin A sin Bsin (A +B ),由三角形内角和定理可得sin(A +B )=sin C ,所以sin 2A +sin 2B -sin 2C =sin A sin B ,再根据正弦定理可得a 2+b 2-c 2=ab .因为a +b =4,a +b ≥2ab ,所以ab ≤4,(a +b )2=16,得a 2+b 2=16-2ab ,所以16-2ab -c 2=ab ,所以16-c 2=3ab ,故16-c 2≤12,c 2≥4,c ≥2,故2≤c <4,故选B.二、填空题1.在①ABC 中,角A ,B ,C 满足sin A cos C -sin B cos C =0,则三角形的形状为 . 【解析】:由已知得cos C (sin A -sin B )=0,所以有cos C =0或sin A =sin B ,解得C =90°或A =B . 2.(2020·天津模拟)在①ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知b +c =2a ,3c sin B =4a sin C ,则cos B = .【解析】:在①ABC 中,由正弦定理b sin B =c sin C ,得b sin C =c sin B ,又由3c sin B =4a sin C ,得3b sin C =4a sinC ,即3b =4a .因为b +c =2a ,得到b =43a ,c =23a .由余弦定理可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+49a 2-169a 22·a ·23a=-14.3.(2020·河南期末改编)在①ABC 中,B =π3,AC =3,且cos 2C -cos 2A -sin 2B =-2sin B sin C ,则C = ,BC = .【解析】:由cos 2C -cos 2A -sin 2B =-2sin B sin C ,可得1-sin 2C -(1-sin 2A )-sin 2B =-2sin B sin C ,即sin 2A -sin 2C -sin 2B =-2sin B sin C .结合正弦定理得BC 2-AB 2-AC 2=-2·AC ·AB ,所以cos A =22,A =π4,则C =π-A -B =5π12.由AC sin B =BC sin A,解得BC = 2.4.在①ABC 中,A =π4,b 2sin C =42sin B ,则①ABC 的面积为 .【解析】:因为b 2sin C =42sin B ,所以b 2c =42b ,所以bc =42,S ①ABC =12bc sin A =12×42×22=2.5.(2020·江西赣州五校协作体期中改编)在①ABC 中,A =π3,b =4,a =23,则B = ,①ABC 的面积等于 .【解析】:①ABC 中,由正弦定理得sin B =b sin A a =4×sinπ323=1.又B 为三角形的内角,所以B =π2,所以c =b 2-a 2=42-(23)2=2,所以S ①ABC =12×2×23=2 3.6.在①ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 的对边,且B 为锐角,若sin A sin B =5c 2b ,sin B =74,S ①ABC =574,则b 的值为 .【解析】:由sin A sin B =5c 2b ①a b =5c 2b ①a =52c ,①由S ①ABC =12ac sin B =574且sin B =74得12ac =5,①联立①,①得a =5,且c =2.由sin B =74且B 为锐角知cos B =34, 由余弦定理知b 2=25+4-2×5×2×34=14,b =14.三 解答题1.(2020·兰州模拟)已知在①ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a sin B +b cos A =0. (1)求角A 的大小;(2)若a =25,b =2,求边c 的长.【解析】:(1)因为a sin B +b cos A =0,所以sin A sin B +sin B cos A =0,即sin B (sin A +cos A )=0,由于B 为三角形的内角,所以sin A +cos A =0,所以2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πA =0,而A 为三角形的内角,所以A =3π4. (2)在①ABC 中,a 2=c 2+b 2-2cb cos A ,即20=c 2+4-4c ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22-,解得c =-42(舍去)或c =2 2. 2.在①ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若a =3c ,b =2,cos B =23,求c 的值;(2)若sin A a =cos B2b ,求cos B 的值.【解析】:(1)因为a =3c ,b =2,cos B =23,由余弦定理cos B =a 2+c 2-b 22ac ,得23=(3c )2+c 2-(2)22×3c ×c ,即c 2=13.所以c =33.(2)因为sin A a =cos B 2b ,由正弦定理a sin A =b sin B ,得cos B 2b =sin Bb ,所以cos B =2sin B .从而cos 2B =(2sin B )2,即cos 2B =4(1-cos 2B ),故cos 2B =45.因为sin B >0,所以cos B =2sin B >0,从而cos B =255.3.(2020·福建五校第二次联考)在①ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且3a cos C =(2b -3c )cos A . (1)求角A 的大小;(2)若a =2,求①ABC 面积的最大值.【解析】:(1)由正弦定理可得,3sin A cos C =2sin B cos A -3sin C cos A , 从而3sin(A +C )=2sin B cos A ,即3sin B =2sin B cos A .又B 为三角形的内角,所以sin B ≠0,于是cos A =32,又A 为三角形的内角,所以A =π6. (2)由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得4=b 2+c 2-2bc ×32≥2bc -3bc , 所以bc ≤4(2+3),所以S ①ABC =12bc sin A ≤2+3,故①ABC 面积的最大值为2+ 3.4.(2020·广东佛山顺德第二次质检)在①ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2b sin C cos A +a sin A =2c sin B .(1)证明:①ABC 为等腰三角形;(2)若D 为BC 边上的点,BD =2DC ,且①ADB =2①ACD ,a =3,求b 的值.【解析】:(1)证明:因为2b sin C cos A +a sin A =2c sin B ,所以由正弦定理得2bc cos A +a 2=2cb ,由余弦定理得2bc ·b 2+c 2-a 22bc +a 2=2bc ,化简得b 2+c 2=2bc ,所以(b -c )2=0,即b =c .故①ABC 为等腰三角形.(2)法一:由已知得BD =2,DC =1,因为①ADB =2①ACD =①ACD +①DAC , 所以①ACD =①DAC ,所以AD =CD =1.又因为cos①ADB =-cos①ADC ,所以AD 2+BD 2-AB 22AD ·BD =-AD 2+CD 2-AC 22AD ·CD ,即12+22-c 22×1×2=-12+12-b 22×1×1,得2b 2+c 2=9,由(1)可知b =c ,得b = 3.法二:由已知可得CD =13a =1,由(1)知,AB =AC ,所以①B =①C ,又因为①DAC =①ADB -①C =2①C -①C =①C =①B , 所以①CAB ①①CDA ,所以CB CA =CA CD ,即3b =b1,所以b = 3.5.(2020·重庆市学业质量调研)①ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知①ABC 的面积为32ac cos B ,且sin A =3sin C .(1)求角B 的大小;(2)若c =2,AC 的中点为D ,求BD 的长.【解析】:(1)因为S ①ABC =12ac sin B =32ac cos B ,所以tan B = 3.又0<B <π,所以B =π3.(2)sin A =3sin C ,由正弦定理得,a =3c ,所以a =6.由余弦定理得,b 2=62+22-2×2×6×cos 60°=28,所以b =27. 所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =(27)2+22-622×2×27=-714.因为D 是AC 的中点,所以AD =7.所以BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos A =22+(7)2-2×2×7×⎪⎪⎭⎫⎝⎛147-=13.所以BD =13.。
专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类-(解析版)
专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类目录一、热点题型归纳【题型一】正余弦定理 .............................................................................................................................. 2 【题型二】求角 .......................................................................................................................................... 3 【题型三】判断三角形形状 ...................................................................................................................... 4 【题型四】面积与最值 .............................................................................................................................. 6 【题型五】周长与最值 .............................................................................................................................. 8 【题型六】角的最值 .................................................................................................................................. 9 【题型七】最值 ........................................................................................................................................ 11 【题型八】切弦互化求最值 .................................................................................................................... 13 【题型九】解三角形应用题 .................................................................................................................... 14 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 17 三、模拟检测 .. (22)正余弦定理(1)正弦定理:a sin A =b sin B =csin C =2R ,其中R 为 外接圆半径 ;注意:正弦定理变式与性质:①边化正弦:a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ; ②正弦化边:sin A sin B sin C =c2R ; ③a ∶b ∶c =sin_A ∶sin_B ∶sin_C ;④a +b +csin A +sin B +sin C= 2R ;(2)余弦定理:①a 2=b 2+c 2-2bc cos_A ; ②b 2=c 2+a 2-2ca cos_B ; ③c 2=a 2+b 2-2ab cos_C 注意:变式:①cos A =b 2+c 2-a 22bc;②cos B =c 2+a 2-b 22ac;③cos C =a 2+b 2-c 22ab(3)三角形面积 :①S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc4R②S △ABC =12(a +b +c )·r (r 是切圆的半径) 三角形中:①sin(A +B )=sin C ,cos(A +B )=-cos C ;②sinA +B 2=cosC 2, cos A +B 2=sin C2;③三角形中,任何一个角的正弦值恒大于0;④a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .【题型一】正余弦定理【典例分析】(2022·上海市松江一中高三阶段练习)在ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边,B 是A 、C 的等差中项,则a c +与2b 的大小关系是( )A .2a c b +>B .2a c b +<C .2a c b +≥D .2a c b +≤ 【答案】D【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出B ,再由余弦定理及基本不等式计算可得. 【详解】解:依题意,在ABC 中B 是A 、C 的等差中项,所以2A+C =B ,又A C B π++=,所以3B π=,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-()22222233a c ac a c ac ac a c ac =+-=++-=+-,又22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,当且仅当a c =时取等号,所以2332a c ac +⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭, 所以()()()222213324a c a c ac a c a c +⎛⎫+-≥+-=+ ⎪⎝⎭,即()2214b a c ≥+,即()224b a c ≥+,所以2a c b +≤; 故选:D1..(2022·江西·丰城九中高三开学考试(文))已知ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且656cos a c b C =+,则cos B =( )A .78B .56C .34D .23【答案】B【分析】根据题意,利用正弦定理边化角,由三角形内角和定理,展开化简得cos B . 【详解】由656cos a c b C =+,边化角得6sin 5sin 6sin cos A C B C =+, 又()sin sin A B C =+,所以()6sin 5sin 6sin cos B C C B C +=+, 展开得6sin cos 6cos sin 5sin 6sin cos B C B C C B C +=+,所以6cos sin 5sin B C C =, 因为sin 0C >,所以5cos 6B =.故选:B . 2.(2023·全国·高三专题练习)在ABC 中,60,3,90C AC B ==>,则ba 的可能取值为( ) A .23B .43 C .53D .73【答案】D【分析】通过正弦定理将所求表达式表示为关于A 的三角函数,求出范围即可得结果. 【详解】因为60,3,90C AC B ==>,所以030A <<,0tan A <<1tan A >()1sin sin sin 11222sin sin sin 2tan A AA C bB a A A A A +====>,则b a 的可能取值为73,故选:D. 3.面积(无最值型)【题型二】求角【典例分析】(2022·山西吕梁·三模(文))在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()(),6b c b c ac C π+-==,则B =( ) A .6πB .3π C .2π D .23π 【答案】B【分析】由22b c ac =+结合余弦定理以及正弦定理的边化角公式得出sin 2sin cos sin A C B C -=,再由内角和定理以及三角恒等变换得出B .【详解】由()()b c b c ac +-=得22b c ac =+,结合余弦定理2222cos b a c ac B =+-,可得2cos a c B c -=,再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=,因为()()sin 2sin cos sin 2sin cos sin A C B B C C B B C -=+-=-, 所以()sin sin B C C -=,所以B C C -=,得2B C =.因为6C π=,所以3B π=.【变式演练】1.(2022·全国·高三专题练习)已知在ABC中,30,1B a b ===,则A 等于( ) A .45 B .135C .45或135D .120 【答案】C【分析】根据正弦定理,结合三角形中的边角关系,即可求得答案.【详解】由正弦定理sin sina b A B=,得1sin 2sin 12a B Ab ===, 因为1,(0,π)a b A ==∈,故45A =或135, 故选:C2.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知()22a b c =+-,则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A B C .2D .1【答案】A【分析】根据三角形面积公式及余弦定理化简条件求角C ,由此可求sin 4C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】因为()22a b c =+-,又in 12s S ab C =,所以222sin 2C ab a b c -=+-,22212a b c C ab +--=,又222cos 2a b c C ab+-=cos 1C C -=,所以1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,又()0,C π∈,所以3C π=,所以sin =sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎭⎝⎭所以sin 44C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.3.(2023·全国·高三专题练习)已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,设22(sin sin )sin (2sin B C A B C +=+2sin 0A B -=,则sin C = ( )A .12B C D 【答案】C【分析】根据给定条件利用正弦定理角化边,求出角A ,再求出角B 即可计算作答.【详解】在ABC 中,由22(sin sin )sin (2sin B C A B C +=+及正弦定理得:22()(2b c a bc +=+,即222b c a +-=,由余弦定理得:222cos 2b c a A bc +-==0180A <<,解得135A =,2sin 0A B -=得1sin 2B A ==,显然090B <<,则30B =,15C =,所以6sin sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 454C -=-=-=. 故选:C【题型三】判断三角形形状【典例分析】(2023·全国·高三专题练习)在ABC 中,A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若222a b c -=且cos sin =b C a B ,则ABC 是( ) A .等腰直角三角形 B .等边三角形 C .等腰三角形D .直角三角形【答案】A【分析】由222a b c -=结合余弦定理可求得π4A =,由cos sin =b C a B 结合正弦定理可求得π4C =,从而可判断出三角形的形状【详解】由222a b c -=,得222b c a +-,所以由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-===, 因为(0,π)A ∈,所以π4A =,因为cos sin =b C a B ,所以由正弦定理得sin cos sin sin B C A B =,因为sin 0B ≠,所以πcos sin sin 4C A ===,因为(0,π)C ∈,所以π4C =,所以πππππ442B AC =--=--=,所以ABC 为等腰直角三角形, 故选:A【变式演练】1..(2021·广东·高三阶段练习)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且222b c a bc +=+,若2sin sin sin B C A =,则△ABC 的形状是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形【答案】C【分析】先依据条件222b c a bc +=+求得π3A =,再利用2sin sin sinBC A =可以求得b c =,从而判断△ABC 的形状是等边三角形【详解】△ABC 中,222b c a bc +=+,则2221cos 222b c a bc A bc bc +-=== 又0πA <<,则π3A =由2sin sin sin B C A =,可得2a bc =,代入222b c a bc +=+则有222b c bc bc bc +=+=,则()20b c -=,则b c = 又π3A =,则△ABC 的形状是等边三角形故选:C2.(2023·全国·高三专题练习)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若cos cos a bA B=,222c a b ab =+-,则ABC ∆是( )A .钝角三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形 【答案】B【分析】利用正余弦定理可确定边角关系,进而可判定三角形形状.【详解】在ABC ∆中,由正弦定理得sin sin a bA B =,而cos cos a b A B =,△ sin sin cos cos A B A B=,即tan tan A B =,又△A 、B 为ABC ∆的内角,△A B =,又△222c a b ab =+-,△222ab a b c =+-,△由余弦定理得:2221cos 22a b c C ab +-==,△3C π=,△ABC ∆为等边三角形.故选:B.3.(2023·全国·高三专题练习)已知三角形ABC ,则“222cos cos cos 1A B C +->”是“三角形ABC 为钝角三角形”的( )条件.A .充分而不必要B .必要而不充分C .充要D .既不充分也不必要 【答案】A【分析】利用同角的三角函数的基本关系式、正余弦定理可判断两个条件之间的推出关系,从而可得正确的选项.【详解】因为222cos cos cos 1A B C +->,故2221sin 1sin 1sin 1A B C -+--+>, 故222sin sin sin C A B >+,故222c a b >+,故222cos 02a b c C ab+-=<,而C 为三角形内角,故C 为钝角,但若三角形ABC 为钝角三角形,比如取2,63C B A ππ===,此时2221cos cos cos 14A B C +-=<,故222cos cos cos 1A B C +->不成立,故选:A.【题型四】面积与最值【典例分析】(2021·江苏·高三课时练习)在锐角三角形ABC 中,cos 2B B +=,且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C +=,则ABC ∆的面积的最大值为( )AB .C .D .【答案】Ccos 2B B +=结合同角三角函数基本关系,可求出B ,根据正余弦定理由cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C +=可得b ,再利用余弦定理及均值不等式求ac 最大值,代入面积公式即可.cos 2B B +=得cos 2B B =,所以2221cos sin 44sin B B B B =+=+-,即2(2sin 0B =,解得sin B =由锐角三角形知3B π=,cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C+=, 22222222a c b a b c abc abc +-+-∴+=,即222a abc =b =2222126cos 122a c b ac B ac ac ac+--∴=≥=-,当且仅当a c =时等号成立,解得12ac ≤,11sin 1222ABC S ac B ∆=≤⨯=当且仅当a c =时等号成立,故选:C【变式演练】1.(2020·全国·高三课时练习)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c,b =且ABC ∆面积为222)S b a c --,则ABC ∆面积S 的最大值为( ) A.2 B.4-C.8-D.16-【答案】B【解析】由已知利用三角形的面积公式可求tan B ,可得cos B ,sin B 的值,由余弦定理,基本不等式可求8(23)ac -,根据三角形的面积公式即可求解其最大值. 【详解】解:222331()(2cos )sin12122S b a c ac B ac B =--=-=,tan B ∴=,56B π=,cos B=,1sin 2B =, 又22b =228(23)a c ac =++,88(223ac∴=+, 当且仅当a c =时取等号,111sin 8(24222ABC S ac B ∆∴=⨯⨯=- ∴面积S 的最大值为4-B .2.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若22a bkab +=,则△ABC的面积为22c 时,k 的最大值是( )A .2BC .4D .【答案】B【分析】由三角形的面积公式,可得2sin c ab C =, 根据余弦定理,可得22sin 2cos a b ab C ab C +=+,则整理出以k 为函数值的三角函数,根据三角函数的性质,可得k 的最值.【详解】由题意得21sin 22ABC c S ab C ==,所以2sin c ab C =,又因为2222cos c a b ab C =+-,所以2222cos sin 2cos a b c ab C ab C ab C +=+=+,所以()22sin 2cos a b k C CC abϕ+==++,其中tan 2ϕ=,且0k >, 所以k 的取值范围为(,故选:B. 3.(2023·全国·高三专题练习)在ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,若8,sin 2sin cos 0ac B C A =+=,则ABC 面积的最大值为( ) A .1 B .3 C .2 D .4 【答案】C【分析】根据sin 2sin cos 0B C A +=利用三角恒等变换和正余弦定理得到2222b a c =-,再根据余弦定理和基本不等式可得cos B 的范围,由此得B 的范围,从而得到sin B 的最大值,从而根据1sin 2ABC S ac B =可求△ABC 面积的最大值.【详解】sin 2sin cos 0B C A +=,()sin 2sin cos 0A C C A ∴++=,即sin cos cos sin 2sin cos 0A C A C C A ++=, 即sin cos 3cos sin 0A C A C +=,则2222223022b a c b c a a c ab bc+-+-⋅+⨯⨯=,理得2222b a c =-, △2222222223232cos 2244a ca c a cb ac ac B ac ac ac ac -+-+-+====当且仅当a 2=3c 2⇔c =√√3a =√8√3时取等号,π10sin 62B B ⎛⎤∴∈∴ ⎥⎝⎦,,, 则111sin 82222ABCS ac B =⨯⨯=.故选:C .【题型五】周长与最值【典例分析】(2022·全国·高三专题练习)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若sin cos 6A A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭4b c +=,则ABC ∆周长的取值范围是( )A .[)6,8B .[]6,8C .[)4,6D .[]4,6【答案】A【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得3sin A π+=(),结合A 的范围可求A ,再由余弦定理求得2163a bc =- ,再由基本不等式,求得bc 的范围,即可得到a 的范围,进而可求周长的范围.【详解】△ sin 6A cos A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭12sinA sinA ∴-=可得:3sin A π+=()40333A A ππππ∈+∈(,),(,),2 33A ππ∴+=,解得3A π=,△4b c +=, △由余弦定理可得222222163a bccosA b c bc bc bc =-=+--=-(),△由4b c +=,b c +≥,得04bc ≤<,△2416a ≤<,即24a ≤<.△ABC 周长4[68L a b c a =++=+∈,) .故选:A .【变式演练】1.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若sinA +cos(A +π6)=√32,b +c =4,则ABC ∆周长的取值范围是 A .[6,8) B .[6,8] C .[4,6) D .(4,6]【答案】A 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得sin (A +π3)=√32,结合A 的范围可求A ,再由余弦定理求得a 2=16−3bc ,再由基本不等式,求得bc 的范围,即可得到a 的范围,进而可求周长的范围. 【详解】△sinA +cos(A +π6)=√32,∴sinA +√32cosA −12sinA =√32,可得:sin (A +π3)=√32,∵A ∈(0,π),A +π3∈(π3,4π3),∴A +π3=2π3,解得A =π3,△b +c =4,△由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c )2−2bc −bc =16−3bc ,△由b +c =4,b +c ≥2√bc ,得0<bc ≤4,△4≤a 2<16,即2≤a <4. △ABC 周长L =a +b +c =a +4∈[6,8) .故选A .2.(2022·贵州遵义·高三开学考试(文))在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sinsin 2B Cb a B +=,a =△ABC 周长的最大值为________.【答案】【分析】根据正弦定理,结合三角恒等变换可得3A π=,再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理,sin sin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,又sin 0B ≠,故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即cossin 2AA =. 由二倍角公式有cos2sin cos 222A A A =,因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故cos 02A ≠,所以1sin 22A =,所以26A π=,即3A π=.222cos 3b c bc π=+-,结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭,即()2124b c +≤,()28b c +≤,故b c +≤b c ==.故△ABC 周长的最大值为a b c ++故答案为:3.(2022·全国·高三专题练习)在三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sin Aa ==,则该三角形周长的最大值为___________.【分析】利用正弦定理化简式子,求出tan B 的值,进而求出B 的大小,由余弦定理结合基本不等式即可求出a c +≤.【详解】由正弦定理变形有:sin sin A B a b =,又因为sin A a ==sin B B =,则tan 3B B π=2=1b ===又因为()()()()222222212cos 3344a cb ac ac B a c ac a c a c +=+-=+-≥+-⋅=+,所以()2264464a cb ac +≤=⨯=⇒+≤ “a c =”时取等.则该三角形周长的最大值为a b c ++==.【题型六】角的最值【典例分析】(2022·全国·高三专题练习(理)(文))已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2c sin C =(a +b )(sin B -sin A ),则当角C 取得最大值时,B =( ) A .3π B .6πC .2π D .23π【答案】D 【分析】利用正弦定理化简已知条件,结合余弦定理与基本不等式求得C 的最大值,再通过三角形的形状,即可求得此时对应的B .【详解】由正弦定理得2c 2=(a +b )(b -a ),即b 2-a 2=2c 2.又cos C =2222a b c ab +-=2234a b ab +当且仅当3a 2=b 2,即b 时,cos C C 取到最大值6π.当b 时,3a 2-a 2=2c 2,则a =c .所以A =C =6π,从而B =π-A -C =23π.故选:D .【变式演练】1.(2022·安徽淮南·一模(文))在ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若函数()()322213f x x bx a c x =+++无极值点,则角B 的最大值是( )A .34πB .2πC .4π D .6π【答案】A【分析】由题知()()22220f x x bx a c '=+++=无解或有两个相等的解,即()()222240b a c ∆=-+≤,再由余弦定理得角B 的范围.【详解】解:因为()()322213f x x bx a c x =+++无极值点,所以()()22220f x x bx a c '=+++=无解或有两个相等的解,所以()()222240b a c ∆=-+≤,所以222cos 2a c b B ac +-=≥,因为()0,B π∈,所以304B π<≤.故选:A2. 2.(2022·全国·江西师大附中模拟预测(文))在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若2sin sin sin a A c C b B +=,则角A 的最大值为( )A .π6B .π4C .π3D .2π3【答案】A【分析】根据正弦定理先将角化边,再运用余弦定理和基本不等式得到cos A 的范围进而得到最后的结果 【详解】因为2sin sin sin a A c C b B += 所以2222a c b +=,进而可得2222a b c =-2222222221()32cos 224b c b c b c a b c A bc bc bc+--+-+===因为223b c +≥=,当且仅当b =时等号成立所以cos A ≥=又因为(0,)A π∈所以角A 的最大值为6π故选:A3.已知锐角△ABC 中,角、、A B C 对应的边分别为a b c 、、,△ABC的面积)222S a b c =+-,若24)tan bc a b B -=(, 则c 的最小值是ABCD【答案】C 【详解】分析:利用余弦定理列出关系式,代入已知等式中,并利用三角形面积公式化简求出C 的度数,再对24)tan bc a b B -=(进行化简整理,最后利用基本不等式求得.详解:)2221cos sin 2S a b c C ab C =+-==,即tan C =,6C π∴=.又A B C π++=,56A B π∴+=,又△ABC 为锐角三角形,∴025062B B πππ<<<-<,解得32B ππ<<, ∴)tan B ∈+∞,又24)tan bc a b B -=(,5sin 24246tan 242424242424sin sin B bc a a sinA B c c c b b B Bπ⎛⎫- ⎪-⎝⎭∴==-=-=-, 即1tan 24242tan B c B ⎛=- ⎝⎭1224tan tan c B B ∴-+≥=,当且仅当12tan tan B B =,即tan B =.24c ∴-≥c ≥故选C.【题型七】最值【典例分析】在ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知6B π=且1ABC S =△,则22a cca c ac a +++的最小值为( )A .12B .2C .14D .4 四川省成都市成都市石室中学2020-2021学年高三下学期期中数学试题 【答案】A【分析】由1sin 2ABC S ac B =△可解得4ac =,结合基本不等式,知24a c ac +=;经过变形化简可将原式整理为222()2()a c a c ac ca c ac a ac a c +-+=+++,令t a c =+,则[4t ∈,)+∞,2818()()44t f t t t t-==-,结合函数的单调性即可得解.【详解】由1sin 2ABC S ac B =△可知,11122ac =⨯,解得4ac =,由基本不等式得,24a c ac +=.22222()2()()()()a c a c a c a c acca c ac a c a c a c a ac a c ac a c ++-+=+==++++++, 令t a c =+,则[4t ∈,)+∞,∴222818()()44a c t f t t ca c ac a t t-+===-++,在[4,)+∞上单调递增, ()min f t f ∴=(4)12=,即22a c ca c ac a +++的最小值为12. 故选:A .【变式演练】1..锐角△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若2sinA(acosC +ccosA)=√3a ,则cb 的取值范围是( ) A .(12,2)B .(√33,2√33)C .(1,2)D .(√32,1)【答案】B【分析】根据正弦定理,结合2sinA(acosC +ccosA)=√3a 可求得角B .又由三角形为锐角三角形,求得角C 的取值范围,即可求解.【详解】由正弦定理得,2sinA(sinAcosC +sinCcosA)=√3sinA ⇒sin(A +C)=√32⇒B =π3又∵A,C ∈(0,π2)∴π6<C <π2⇒12<sinC <1⇒c b=sinC sinB=2√33sinC ∈(√33,2√33) 故选B.2.在锐角ABC ∆中,A =2B ,则ABAC 的取值范围是A .(−1,3)B .(1,3)C .(√2,√3)D .(1,2)【答案】D【分析】根据在锐角ABC ∆中,每个角都是锐角确定B 的范围,利用正弦定理以及三倍角的正弦公式,化简表达式,求出范围即可.【详解】在锐角ABC ∆中,{0<2∠B <π20<∠B <π20<π−3∠B <π2可得π6<∠B <π4,cosB ∈(√22,√32),cos 2B ∈(12,34),所以由正弦定理可知AB AC=cb =sinC sinB=sin3B sinB=3sinB−4sin 3BsinB=3−4sin 2B =4cos 2B −1∈(1,2),故选D.3.△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,设△ABC 的面积为S,若222c a b S --b a 的取值范围为A .(0,+∞)B .(1,+∞) C .(0D.)+∞【答案】A 【分析】根据222c a b S --=2222a b c C ab +-=,可得cos C C =,可得tan C =可得23C π=,再利用正弦定理可得sin sin b B a A =,12,根据A 的范围可得答案.【详解】由222c a b S --=得2221sin2a b c ab C +-= ,所以2222a b c C ab +-=,所以cos C C =,所以tan C =又0C π<<,所以23C π=, 所以sin()sin cos cos sin )sin 333sin sin sin A A A b B a A A A πππ--===1sin 122sin 2A AA -=,因为03A π<<,所以0tan A <<所以1tan A >所以102b a >=, 所以ba 的取值范围为(0,)+∞.故选:A【题型八】切弦互化求最值【典例分析】ABC 中,角,,A B C 的对边长分别为a,b,c ,若acosB −bcosA=35c ,则tan (A −B )的 最大值为 ( )A .43B .1C .34D 【全国百强校】黑龙江省鹤岗市第一中学2019届高三上学期第二次月考数学(理)试题 【答案】C 【分析】利用正弦定理,将已知等式化简整理得sinAcosB =4sinBcosA ,两边同除以cosAcosB ,得到tanA =4tanB ,利用两角差的正切公式,得tan (A −B )=31tanB+4tanB,最后利用基本不等式求最值 . 【详解】∵acosB −bcosA =35c ,∴结合正弦定理与sinC =sin (A +B ),可得sinAcosB −sinBcosA =35(sinAcosB +cosAsinB ),整理得sinAcosB =4sinBcosA , 同除以cosAcosB ,得tanA =4tanB ,由此可得tan (A −B )=tanA−tanB 1+tanAtanB =3tanB 1+4tan 2B =31tanB+4tanB ,∵A,B 是三角形内角,且tan A 与tan B 同号,∴A,B 都是锐角,即tanA >0,tanB >0,∴tan (A −B )=31tanB+4tanB ≤34,当且仅当1tanB=4tanB ,即tanB =12时,tan (A −B )的最大值为34,故选C.【变式演练】1.在ABC ∆中,若111tan tan tan B C A+=,则cos A 的取值范围为 A .20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B .2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D .1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【详解】分析:由已知等式正切化为弦,可得2sin cos sin sin AA B C=,结合正弦定理、余弦定理以及基本不等式求得cos A的最小值,从而可得结果.详解:111tan tan tan B C A +=,cos cos cos sin sin sin B C A B C A ∴+=,可得sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin sin C B C B A A B C B C A +==, 2sin cos sin sin A A B C ∴=,又22,cos sin sin sin a b c a R A A B C bc ====,22222b c a a bc bc+-∴=,可得2223a b c =+,222222222223cos 22333b c b c b c a b c bc A bc bc bc bc ++-+-+∴===≥=,cos A ∴的取值范围是2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭,故选B. 2.在ABC 中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若a 2+b 2=2014c 2,则2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)的值为A .2013B .1C .0D .2014【答案】A 【分析】由a 2+b 2=2014c 2,利用余弦定理可得a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC .利用三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理可得2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)=2sinA cosA ⋅sinBcosB sinC cosC (sinA cosA +sinBcosB)=2sinAsinBcosC sinCsin(A+B)=2abcosCc 2即可得出.【详解】△a 2+b 2=2014c 2,△a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC . △2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)=2sinA cosA ⋅sinBcosB sinC cosC (sinA cosA +sinBcosB)=2sinAsinBcosC sinCsin(A+B)=2abcosCc 2=2013.故答案为:A3.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若ABC ∆为锐角三角形,且满足22b a ac -=,则1tanA−1的取值范围是A .⎛ ⎝⎭B .(1,√2)C .(2√33,√2) D .(1,+∞)【答案】A根据余弦定理以及正弦定理化简条件得A 、B 关系,再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围. 【详解】因为b 2−a 2=ac ,所以c 2−2accosB =ac ∴c −2acosB =a ∴sinC −2sinAcosB =sinA,sin(A +B)−2sinAcosB =sinA,∴sin(B −A)=sinA ∴B −A =A,B =2A因此1tanA−1tanB=1tanA−1tan2A=1tanA−1−tan 2A 2tanA=1+tan 2A 2tanA=12(tanA +1tanA), 因为ΔABC 为锐角三角形,所以0<A <π2,0<B =2A <π2,0<C =π−B −A =π−3A <π2∴π6<A <π4,√33<tanA <1因为y =12(x +1x )在(√33,1)上单调递减,所以1tanA−1tanB∈(1,2√33),选A.【题型九】解三角形应用题【典例分析】(2022·江苏·高三课时练习)如图,某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练,已知点A 到墙面的距离为AB ,某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动,此人为了准确瞄准目标点P ,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小,若15,25,30AB cm AC cm BCM ==∠=︒,则tan θ的最大值是( ).(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角)A B C D 【答案】D【分析】由题可得,20BC =,过P 作PP BC '⊥,交BC 于P ',连接'AP ,则tan PP AP θ'=',设(0)BP x x '=>,分类讨论,若P '在线段BC 上,则20CP x '=-,可求出PP '和'AP ,从而可得出2320tan 225xx θ-=+,利用函数的单调性,可得出0x =时,取得最大值;若P '在CB 的延长线上,同理求出PP '和'AP ,可得出220tan 225x x θ+=+454x =时,函数取得最大值;结合两种情况的结果,即可得出结论.【详解】解:15,25AB cm AC cm ==,AB BC ⊥,由勾股定理知,20BC =,过点P 作PP BC '⊥交BC 于P ',连结'AP ,则tan PP AP θ'=',设(0)BP x x '=>,若P '在线段BC 上,则20CP x '=-,由30BCM ∠=︒,得tan30)PP CP x ''=︒-,在直角ABP '△中,AP '220tan 225x x θ-∴+令y =,则函数在[0x ∈,20]单调递减,0x ∴=时,;若P '在CB 的延长线上,tan30)PP CP x ''=︒+,在直角ABP '△中,AP '220tan 225xx θ+∴+22(20)225x y x +=+,则0y '=可得454x =. 故答案为:539.【变式演练】1.(2022·全国·高三课时练习)如图,某城市有一条公路从正西方MO 通过市中心O 后转向东北方ON ,为了缓解城市交通压力,现准备修建一条绕城高速公路L ,并在,MO ON 上分别设置两个出口,A B ,若AB 部分为直线段,且要求市中心O 与AB 的距离为20千米,则AB 的最短距离为( )A .)201千米B .)401千米C .)201D .)401【答案】D【分析】使用余弦定理及基本不等式,得到(22AB ab ≥,使用正弦定理及三角恒等变换得到ab ≥AB 的最短距离. 【详解】在ABC 中,135AOB ∠=︒,设,AO a BO b ==,则(222222cos1352AB a b ab a b ab =+-︒=+≥,当且仅当a b =时取等号,设BAO α∠=,则45ABO α∠=︒-,又O 到AB 的距离为20千米,所以20sin a α=,()20sin 45b α=︒-,故()400sin sin 45ab αα=︒-(22.5α=︒时取等号),所以)221600216001AB ≥=,得)401AB ≥,故选:D2.在一座尖塔的正南方地面某点A ,测得塔顶的仰角为2230'︒,又在此尖塔正东方地面某点B ,测得塔顶的仰角为6730︒',且A ,B 两点距离为540m ,在线段AB 上的点C 处测得塔顶的仰角为最大,则C 点到塔底O 的距离为( ) A .90m B .100m C .110m D .270m 【答案】A 【分析】作出图示,根据正切的二倍角公式和解直角三角形求得塔的高度,再运用等面积法可求得选项. 【详解】如下图所示,设,,OC z OA x OB y ===,则222540x y +=,22.5,67.5OAP OBP ∠=∠=,则22tan 22.5tan 4511tan 22.5==-,解得tan 22.521=,22tan 67.5tan13511tan 67.5==--,解得tan 67.52+1=,所以222540+=,解得z =所以1x ==)y ==要使点C 处测得塔顶的仰角为最大,则需tan PCO ∠最大,也即需OC 最小,所以OC AB ⊥,又1122ABOSOA OB AB OC =⨯⨯=⨯⨯,即(90540OA OB OC AB ⨯===, 所以C 点到塔底O 的距离为90m ,故选:A.3..某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,如图所示,长方形ABCD 的周长为4米,沿AC 折叠使B 到B′位置,AB′交DC 于P ,研究发现,当ΔADP 的面积最大时最节能,则最节能时ABCD 的面积为A .3−2√2B .C .2(√2−1)D .2【答案】C 【分析】本题可以先通过设AB 、DP 分别为x 、y ,再通过题目所给信息以及AD 2+DP 2=PA 2得出x 、y 之间的关系,然后通过ΔADP 的面积列出算式,当其最大时求出AB 的值,最后得出结果. 【详解】设AB 为x ,DP 为y ,因为四边形ABCD 是周长为4的长方形,AB 为x 所以AD 为2−x ,DC 为x , 因为DP 为y ,所以PC 为x −y , 由题意可知,PC =PA ,所以有AD 2+DP 2=PA 2,即(2−x )2+y 2=(x −y )2,化简得y =2−2x , 所以S ΔADP =12(2−x )(2−2x ),化简得S ΔADP =3−(2x +2),所以当x =√2时ΔADP 面积最大,此时S ABCD =√2(2−√2)=2(√2−1),故选C .1.(2020·山东·高考真题)在ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若222sin a b c ab C +=+,且sin cos +a B C sin cos c B A =,则tan A 等于( )A .3B .13-C .3或13- D .-3或13【答案】A【分析】利用余弦定理求出tan 2C =,并进一步判断4C π>,由正弦定理可得sin()sin A C B +=⇒=,最后利用两角和的正切公式,即可得到答案;【详解】222sin cos tan 222a b c CC C ab +-==⇒=,4C π∴>,2sin sin sin a b cR A B C===,sin sin cos sin sin cos A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅,sin()sin A C B ∴+=⇒=4B π∴=, tan 1B ∴=,∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅,故选:A. 2.(2021·全国·高考真题(文))在ABC 中,已知120B =︒,AC 2AB =,则BC =( )A.1 B C D .3 【答案】D【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程,解方程即可求得边长. 【详解】设,,AB c AC b BC a ===,结合余弦定理:2222cos b a c ac B =+-可得:21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯, 即:22150a a +-=,解得:3a =(5a =-舍去), 故3BC =. 故选:D.3.(2020·全国·高考真题(文))在△ABC 中,cos C =2,AC =4,BC =3,则tan B =( )A B .C .D .【答案】C【分析】先根据余弦定理求c ,再根据余弦定理求cos B ,最后根据同角三角函数关系求tan .B 【详解】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===故选:C4.(2014·江西·高考真题(文))在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若32a b =,则2222sin sin sin B AA-的值为( )A .19B .13 C .1 D .72【答案】D【分析】根据正弦定理边化角求解即可.【详解】由正弦定理有22222222sin sin 221sin B A b a b A a a --⎛⎫==- ⎪⎝⎭.又3322b a b a =⇒=, 故297212142b a ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选:D5.(2020·全国·高考真题(理))在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则cos B =( )A .19B .13C .12D .23【答案】A【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ,再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅,即可求得答案.【详解】在ABC 中,2cos 3C =,4AC =,3BC =根据余弦定理:2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ,即3AB =由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =.故选:A.6.(2019·全国·高考真题(文))△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A -b sin B =4c sin C ,cos A =-14,则bc =A .6B .5C .4D .3 【答案】A【分析】利用余弦定理推论得出a ,b ,c 关系,在结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果. 【详解】详解:由已知及正弦定理可得2224a b c -=,由余弦定理推论可得 22222141313cos ,,,46422422b c a c c c b A bc bc c +---==∴=-∴=∴=⨯=,故选A .7.·湖南·高考真题(文))在△ABC 中,,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于A B C D 【答案】B2sin 60sin A A A =⇒==所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=则BC 边上的高h C ===,应选答案B .点睛:解答本题的思路是先运用正弦定理求出cos A ,再运用两角和的正弦公式求得sin C =,再解直角三角形可求得三角形的高h C =,从而使得问题获解.8.(2018·全国·高考真题(理))ABC 的内角A B C ,,的对边分别为a ,b ,c ,若ABC 的面积为2224a b c +-,则C =A .π2B .π3C .π4D .π6【答案】C【详解】分析:利用面积公式12ABC S absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得.详解:由题可知222124ABC a b c S absinC +-==所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.9.(2022·浙江·高考真题)我国南宋著名数学家秦九韶,发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式,就是S =a ,b ,c 是三角形的三边,S是三角形的面积.设某三角形的三边2a b c ===,则该三角形的面积S =___________.【分析】根据题中所给的公式代值解出.【详解】因为S =S10.(2022·全国·高考真题(理))已知ABC 中,点D 在边BC 上,120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==.当AC AB取得最小值时,BD =________.1##-【分析】设220CD BD m ==>,利用余弦定理表示出22AC AB 后,结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>,则在ABD △中,22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++, 在ACD △中,22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-,所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m m m m ++-++-===-+++++++44≥=- 当且仅当311m m+=+即1m =时,等号成立,所以当ACAB取最小值时,31m =-.故答案为:31-.11.(2022·上海·高考真题)在△ABC 中,3A π∠=,2AB =,3AC =,则△ABC 的外接圆半径为________【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解.【详解】根据余弦定理:22212cos 4922372BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=,得BC =△ABC 3sin 3=.故答案为 12.(2021·全国·高考真题(理))记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 60B =︒,223a c +=,则b =________. 【答案】【分析】由三角形面积公式可得4ac =,再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意,1sin 2ABC S ac B ==,所以224,12ac a c =+=,所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=,解得b =.故答案为:13.(2020·江苏·高考真题)在△ABC 中,43=90AB AC BAC ==︒,,∠,D 在边BC 上,延长AD 到P ,使得AP =9,若3()2PA mPB m PC =+-(m 为常数),则CD 的长度是________.【答案】185或0 【分析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=>,结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线,可求得λ,再根据勾股定理求出BC ,然后根据余弦定理即可求解.【详解】△,,A D P 三点共线,△可设()0PA PD λλ=>,△32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,△32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,即32m m PD PB PC λλ⎛⎫-⎪⎝⎭=+,若0m ≠且32m ≠,则,,B D C 三点共线,△321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=,即32λ=,△9AP =,△3AD =,△4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒,△5BC =,设CD x =,CDA θ∠=,则5BD x =-,BDA πθ∠=-.△根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅,()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-,△()cos cos 0θπθ+-=,△()()2570665x x x --+=-,解得185x =,△CD 的长度为185.当0m =时, 32PA PC =,,C D 重合,此时CD 的长度为0, 当32m =时,32PA PB =,,B D 重合,此时12PA =,不合题意,舍去.故答案为:0或185. 14.(2020·全国·高考真题(理))如图,在三棱锥P –ABC 的平面展开图中,AC =1,AB AD ==AB △AC ,AB △AD ,△CAE =30°,则cos△FCB =______________.【答案】14-【分析】在ACE 中,利用余弦定理可求得CE ,可得出CF ,利用勾股定理计算出BC 、BD ,可得出BF ,然后在BCF △中利用余弦定理可求得cos FCB ∠的值.【详解】AB AC ⊥,AB =1AC =,由勾股定理得2BC ,同理得BD BF BD ∴==ACE 中,1AC =,AE AD ==30CAE ∠=,由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=,1CF CE ∴==,在BCF △中,2BC =,BF =1CF =,由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为:14-.15.(2019·全国·高考真题(文))ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知b sin A +a cos B =0,则B =___________.【答案】34π.【分析】先根据正弦定理把边化为角,结合角的范围可得.【详解】由正弦定理,得sin sin sin cos 0B A A B +=.(0,),(0,)A B ∈π∈π,sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=,即tan 1B =-,3.4B π∴=故选D .【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取定理法,利用转化与化归思想解题.忽视三角形内角的范围致误,三角形内角均在(0,)π范围内,化边为角,结合三角函数的恒等变化求角.16.(2019·全国·高考真题(理))ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===,则ABC的面积为__________.【答案】【分析】本题首先应用余弦定理,建立关于c 的方程,应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解,本题属于常见题目,难度不大,注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查.【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=,即212c =解得c c ==-2a c ==11sin 22ABC S ac B ∆==⨯=1.(2022·江西·模拟预测(文))在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足1cos A A +=,sin 6cos sin A B C =,则bc的值为( )A .1B .1+C .1+D .1+【答案】A【分析】由题设化简1cos A A +=可得120A =︒,余弦定理结合sin 6cos sin A B C =可得(1b c =,即可得出答案.【详解】由题设可得22sin cos 222A A A =,即tan 2A ,则120A =︒,故由余弦定理可得222a b c bc =++;。
正余弦定理解三角形题型
正余弦定理解三角形题型
正余弦定理是解决三角形题型的常用方法之一。
通过正余弦定理,我们可以求出三角形中任意一个角的正弦、余弦、正切值,并且可以求出三角形中任意一个边的长度。
对于一个三角形ABC,设三条边分别为a、b、c,且对应的角分
别为A、B、C,那么正余弦定理可以表示为:
正弦定理:$frac{a}{sin A}=frac{b}{sin B}=frac{c}{sin C}$ 余弦定理:$a^2=b^2+c^2-2bccos A$
$ b^2=a^2+c^2-2accos B $
$c^2=a^2+b^2-2abcos C$
其中,正弦定理可以用来求解三角形中任意一个角的正弦值,而余弦定理可以用来求解三角形中任意一个边的长度。
在使用余弦定理时,需要注意角度的单位应为弧度制。
通过正余弦定理,我们可以解决多种三角形题型,如求解三角形中某一个角的大小、求解三角形中某一边的长度等等。
同时,在解题过程中,还需要注意三角形的特殊性质,如等边三角形、等腰三角形等,以便更快、更准确地解决问题。
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正余弦定理题型总结(全)
平面向量题型归纳(全)题型一:共线定理应用例一:平面向量→→b a ,共线的充要条件是( )A.→→b a ,方向相 同 B. →→b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→→b a λλλλ变式一:对于非零向量→→b a ,,“→→→=+0b a ”是“→→b a //”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件变式二:设→→b a ,是两个非零向量( )A.若→→→→=+b a b a _则→→⊥b aB. 若→→⊥b a ,则→→→→=+b a b a _ C. 若→→→→=+b a b a _,则存在实数λ,使得→→=a b λ D 若存在实数λ,使得→→=a b λ,则→→→→=+ba b a _例二:设两个非零向量→→21e e 与,不共线,(1)如果三点共线;求证:D C A e e CD e e BC e e AB ,,,28,23,212121--=+=-= (2)如果三点共线,且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一:设→→21e e 与两个不共线向量,,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线,求实数k 的值。
变式二:已知向量→→b a ,,且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是( ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D题型二:线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一:设P 是三角形ABC 所在平面内的一点,,2BA BC BP +=则( )A. PB PA +=0B. PA PC +=0C. PC PB +=0D. PB PA PC ++=0变式一:已知O 是三角形ABC 所在平面内一点,D 为BC 边的中点,且OC OB OA ++=20,那么( )A. OD A =0 B. OD A 20= C. OD A 30= D. OD A =02变式二:在平行四边形ABCD 中a AB =,b AD =,NC AN 3=,M 为BC 的中点,则=MN ( 用b a ,表示)例二:在三角形ABC 中,c AB =,b AC =,若点D 满足DC BD 2=,则=AD ( )A. ,3132c b +B. ,3235b c -C. ,3132c b -D. ,3231c b +变式一:(高考题) 在三角形ABC 中,点D 在边AB 上,CD 平分角ACB,a CB =,b CA =21==,则=CD ( )A. ,3231b a +B. ,3132b a +C. ,5453b a + D. ,5354b a +变式二:设D,E,F 分别是三角形ABC 的边BC,CA,AB 上的点,且,2BD DC =,2EA CE =,2FB AF =则CF BE AD ++,与BC ( )A.反向平行B. 同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直变式三:在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,若AF AE AC μλ+=,其,,R ∈μλ则μλ+=变式四:在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ,若,a AC =,b BD =则=AF ( )A.,2141b a + B. ,3132b a + C. ,4121b a + D. ,3231b a +题型三:三点共线定理及其应用例一:点P 在AB 上,求证:OB OA OP μλ+=且μλ+=1(,,R ∈μλ)变式:在三角形ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 和N,若,AM m AB =,AN n AC =则m+n=例二:在平行四边形ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 的中点,DE 与AF 交于点H,设,a AB =,b BC =则=AH A. ,5452b a - B. ,5452b a + C. ,5452b a +- D. ,5452b a --变式:在三角形ABC 中,点M 是BC 的中点,点N 是边AC 上一点且AN=2NC,AM 与BN 相交于点P,若,PM AP λ=求λ的值。
正余弦定理知识点+经典题(有问题详解)
正余弦定理1.定理容:〔1〕正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即2sin sin sin a b cR A B C=== 〔2〕余弦定理:三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。
即:2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-〔3〕面积定理:111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 2.利用正余弦定理解三角形: 〔1〕一边和两角:〔2〕两边和其中一边的对角: 〔3〕两边和它们所夹的角: 〔4〕三边:正弦定理1.在△ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,a =2,如此b 等于( )A.6B. 2C. 3 D .2 6 2.在△ABC 中,a =8,B =60°,C =75°,如此b 等于( )A .4 2B .4 3C .4 6 D.3233.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =60°,a =43,b =42,如此角B 为( )A .45°或135°B .135°C .45°D .以上答案都不对 4.在△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶5∶6,如此sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A .1∶5∶6B .6∶5∶1C .6∶1∶5D .不确定 解析:选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c =1∶5∶6. 5.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,假如A =105°,B =45°,b =2,如此c =( )A .1 B.12C .2 D.146.在△ABC 中,假如cos A cos B =ba,如此△ABC 是( )A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰三角形或直角三角形 7.△ABC 中,AB =3,AC =1,∠B =30°,如此△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或3D.34或328.△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .假如c =2,b =6,B =120°,如此a 等于( )A.6B .2C.3D. 29.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,假如a =1,c =3,C =π3,如此A =________.10.在△ABC 中,a =433,b =4,A =30°,如此sin B =________.11.在△ABC 中,∠A =30°,∠B =120°,b =12,如此a +c =________. 12.在△ABC 中,a =2b cos C ,如此△ABC 的形状为________.13.在△ABC 中,A =60°,a =63,b =12,S △ABC =183,如此a +b +csin A +sin B +sin C =________,c =________.14.△ABC 中,∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,a =1,如此a -2b +csin A -2sin B +sin C=________.15.在△ABC 中,a =32,cos C =13,S △ABC =43,如此b =________.16.在△ABC 中,b =43,C =30°,c =2,如此此三角形有________组解.17.如下列图,货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时后船到达C 点,观测灯塔A 的方位角是65°,如此货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是多少?18.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,假如a =23,sin C 2cos C 2=14,sin B sin C =cos 2A2,求A 、B 与b 、c .19.(2009年高考卷)在△ABC 中,A 、B 为锐角,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,且cos 2A =35,sin B =1010.(1)求A +B 的值;(2)假如a -b =2-1,求a ,b ,c 的值.20.△ABC 中,ab =603,sin B =sin C ,△ABC 的面积为153,求边b 的长.余弦定理1.在△ABC 中,如果BC =6,AB =4,cos B =13,那么AC 等于()A .6B .26C .36D .4 62.在△ABC 中,a =2,b =3-1,C =30°,如此c 等于()A. 3B.2C. 5 D .23.在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+3bc ,如此∠A 等于()A .60°B .45°C .120°D .150°4.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,假如(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,如此∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边,如此a cos B +b cos A 等于()A .aB .bC .cD .以上均不对6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,如此这个新的三角形的形状为()A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .由增加的长度决定7.锐角三角形ABC 中,|AB →|=4,|AC →|=1,△ABC 的面积为3,如此AB →·AC →的值为()A .2B .-2C .4D .-48.在△ABC 中,b =3,c =3,B =30°,如此a 为()A.3B .23C.3或23D .29.△ABC 的三个角满足2B =A +C ,且AB =1,BC =4,如此边BC 上的中线AD 的长为________. 10.△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =(3-1)∶(3+1)∶10,求最大角的度数.11.a 、b 、c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,假如a =4,b =5,S =53,如此边c 的值为________. 12.在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,如此cos A ∶cos B ∶cos C =________.13.在△ABC 中,a =32,cos C =13,S △ABC =43,如此b =________.14.△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,AC =6,如此AB →·BC →的值为________.15.△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ,且面积S =a 2+b 2-c 24,如此角C =________.16.(2011年调研)三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,如此最小角的余弦值为________. 17.在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,且2cos(A +B )=1,求AB 的长.18.△ABC 的周长为2+1,且sin A +sin B =2sin C .(1)求边AB 的长;(2)假如△ABC 的面积为16sin C ,求角C 的度数.19.在△ABC 中,BC =5,AC =3,sin C =2sin A .(1)求AB 的值;(2)求sin(2A -π4)的值.20.在△ABC 中,(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,且2cos A sin B =sin C ,确定△ABC 的形状.正弦定理1.在△ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,a =2,如此b 等于( )A.6B. 2C. 3 D .2 6解析:选A.应用正弦定理得:a sin A =b sin B ,求得b =a sin Bsin A= 6.2.在△ABC 中,a =8,B =60°,C =75°,如此b 等于( )A .4 2B .4 3C .4 6 D.323解析:选C.A =45°,由正弦定理得b =a sin Bsin A=4 6.3.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =60°,a =43,b =42,如此角B 为( )A .45°或135°B .135°C .45°D .以上答案都不对解析:选C.由正弦定理a sin A =b sin B 得:sin B =b sin A a =22,又∵a >b ,∴B <60°,∴B =45°.4.在△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶5∶6,如此sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A .1∶5∶6B .6∶5∶1C .6∶1∶5D .不确定解析:选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c =1∶5∶6. 5.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,假如A =105°,B =45°,b =2,如此c =( )A .1 B.12C .2 D.14解析:选A.C =180°-105°-45°=30°,由b sin B =c sin C 得c =2×sin 30°sin45°=1.6.在△ABC 中,假如cos A cos B =ba,如此△ABC 是( )A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰三角形或直角三角形解析:选D.∵b a =sin B sin A ,∴cos A cos B =sin Bsin A,sin A cos A =sin B cos B ,∴sin2A =sin2B即2A =2B 或2A +2B =π,即A =B ,或A +B =π2.7.△ABC 中,AB =3,AC =1,∠B =30°,如此△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析:选D.AB sin C =AC sin B ,求出sin C =32,∵AB >AC ,∴∠C 有两解,即∠C =60°或120°,∴∠A =90°或30°.再由S △ABC =12AB ·AC sin A 可求面积.8.△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .假如c =2,b =6,B =120°,如此a 等于( )A. 6 B .2 C. 3 D. 2解析:选D.由正弦定理得6sin120°=2sin C,∴sin C =12.又∵C 为锐角,如此C =30°,∴A =30°, △ABC 为等腰三角形,a =c = 2.9.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,假如a =1,c =3,C =π3,如此A =________.解析:由正弦定理得:a sin A =csin C,所以sin A =a ·sin C c =12.又∵a <c ,∴A <C =π3,∴A =π6.答案:π610.在△ABC 中,a =433,b =4,A =30°,如此sin B =________.解析:由正弦定理得a sin A =bsin B⇒sin B =b sin A a =4×12433=32.答案:3211.在△ABC 中,∠A =30°,∠B =120°,b =12,如此a +c =________.解析:C =180°-120°-30°=30°,∴a =c ,由a sin A =b sin B 得,a =12×sin30°sin120°=43, ∴a +c =8 3. 答案:8 312.在△ABC 中,a =2b cos C ,如此△ABC 的形状为________.解析:由正弦定理,得a =2R ·sin A ,b =2R ·sin B , 代入式子a =2b cos C ,得 2R sin A =2·2R ·sin B ·cos C , 所以sin A =2sin B ·cos C , 即sin B ·cos C +cos B ·sin C =2sin B ·cos C , 化简,整理,得sin(B -C )=0. ∵0°<B <180°,0°<C <180°, ∴-180°<B -C <180°, ∴B -C =0°,B =C . 答案:等腰三角形13.在△ABC 中,A =60°,a =63,b =12,C=30°如此a +b +csin A +sin B +sin C=________,c =________.解析:由正弦定理得a +b +c sin A +sin B +sin C =a sin A =63sin60°=12,又S △ABC =12bc sin A ,∴12×12×sin60°×c =183,∴c =6.答案:12 614.△ABC 中,∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,a =1,如此a -2b +csin A -2sin B +sin C=________.解析:由∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3得,∠A =30°,∠B =60°,∠C =90°,∴2R =a sin A =1sin30°=2,又∵a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ,∴a -2b +c sin A -2sin B +sin C =2R sin A -2sin B +sin Csin A -2sin B +sin C =2R =2. 答案:215.在△ABC 中,a =32,cos C =13,S △ABC =43,如此b =________.解析:依题意,sin C =223,S △ABC =12ab sin C =43,解得b =2 3. 答案:2 316.在△ABC 中,b =43,C =30°,c =2,如此此三角形有________组解.解析:∵b sin C =43×12=23且c =2,∴c <b sin C ,∴此三角形无解. 答案:0 17.如下列图,货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时后船到达C 点,观测灯塔A 的方位角是65°,如此货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是多少?解:在△ABC 中,BC =40×12=20,∠ABC =140°-110°=30°, ∠ACB =(180°-140°)+65°=105°, 所以∠A =180°-(30°+105°)=45°, 由正弦定理得AC =BC ·sin ∠ABC sin A=20sin30°sin45°=102(km). 即货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是10 2 km.18.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,假如a =23,sin C 2cos C 2=14,sin B sin C =cos 2A2,求A 、B 与b 、c .解:由sin C 2cos C 2=14,得sin C =12,又C ∈(0,π),所以C =π6或C =5π6.由sin B sin C =cos 2A2,得sin B sin C =12[1-cos(B +C )],即2sin B sin C =1-cos(B +C ),即2sin B sin C +cos(B +C )=1,变形得 cos B cos C +sin B sin C =1,即cos(B -C )=1,所以B =C =π6,B =C =5π6(舍去),A =π-(B +C )=2π3.由正弦定理a sin A =b sin B =csin C,得b =c =a sin Bsin A =23×1232=2.故A =2π3,B =π6,b =c =2.19.(2009年高考卷)在△ABC 中,A 、B 为锐角,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,且cos 2A =35,sin B =1010.(1)求A +B 的值;(2)假如a -b =2-1,求a ,b ,c 的值. 解:(1)∵A 、B 为锐角,sin B =1010,∴cos B =1-sin 2B =31010.又cos 2A =1-2sin 2A =35,∴sin A =55,cos A =255,∴cos(A +B )=cos A cos B -sin A sin B =255×31010-55×1010=22.又0<A +B <π,∴A +B =π4.(2)由(1)知,C =3π4,∴sin C =22.由正弦定理:a sin A =b sin B =csin C得5a =10b =2c ,即a =2b ,c =5b .∵a -b =2-1,∴2b -b =2-1,∴b =1. ∴a =2,c = 5.20.△ABC 中,ab =603,sin B =sin C ,△ABC 的面积为153,求边b 的长.解:由S =12ab sin C 得,153=12×603×sin C ,∴sin C =12,∴∠C =30°或150°.又sin B =sin C ,故∠B =∠C . 当∠C =30°时,∠B =30°,∠A =120°.又∵ab =603,a sin A =bsin B,∴b =215.当∠C =150°时,∠B =150°(舍去). 故边b 的长为215.余弦定理1.在△ABC 中,如果BC =6,AB =4,cos B =13,那么AC 等于()A .6B .2 6C .3 6D .4 6 解析:选A.由余弦定理,得 AC =AB 2+BC 2-2AB ·BC cos B=42+62-2×4×6×13=6.2.在△ABC 中,a =2,b =3-1,C =30°,如此c 等于() A. 3 B. 2 C. 5 D .2解析:选B.由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =22+(3-1)2-2×2×(3-1)cos30° =2, ∴c = 2.3.在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+3bc ,如此∠A 等于() A .60° B .45° C .120° D .150°解析:选D.cos ∠A =b 2+c 2-a 22bc =-3bc 2bc =-32,∵0°<∠A <180°,∴∠A =150°.4.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,假如(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,如此∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析:选D.由(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,联想到余弦定理,代入得cos B =a 2+c 2-b 22ac =32·1tan B =32·cos B sin B .显然∠B ≠π2,∴sin B =32.∴∠B =π3或2π3.5.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边,如此a cos B +b cos A 等于() A .a B .b C .c D .以上均不对解析:选C.a ·a 2+c 2-b 22ac +b ·b 2+c 2-a 22bc =2c 22c=c .6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,如此这个新的三角形的形状为() A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .由增加的长度决定 解析:选A.设三边长分别为a ,b ,c 且a 2+b 2=c 2. 设增加的长度为m ,如此c +m >a +m ,c +m >b +m ,又(a +m )2+(b +m )2=a 2+b 2+2(a +b )m +2m 2>c 2+2cm +m 2=(c +m )2, ∴三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形.7.锐角三角形ABC 中,|AB →|=4,|AC →|=1,△ABC 的面积为3,如此AB →·AC →的值为() A .2 B .-2 C .4 D .-4解析:选A.S △ABC =3=12|AB →|·|AC →|·sin A=12×4×1×sin A , ∴sin A =32,又∵△ABC 为锐角三角形,∴cos A =12,∴AB →·AC →=4×1×12=2.8.在△ABC 中,b =3,c =3,B =30°,如此a 为() A. 3 B .2 3 C.3或2 3 D .2解析:选C.在△ABC 中,由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,即3=a 2+9-33a , ∴a 2-33a +6=0,解得a =3或2 3.9.△ABC 的三个角满足2B =A +C ,且AB =1,BC =4,如此边BC 上的中线AD 的长为________.解析:∵2B =A +C ,A +B +C =π,∴B =π3.在△ABD 中,AD =AB 2+BD 2-2AB ·BD cos B=1+4-2×1×2×12= 3.答案: 310.△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =(3-1)∶(3+1)∶10,求最大角的度数. 解:∵sin A ∶sin B ∶sin C =(3-1)∶(3+1)∶10, ∴a ∶b ∶c =(3-1)∶(3+1)∶10.设a =(3-1)k ,b =(3+1)k ,c =10k (k >0), ∴c 边最长,即角C 最大.由余弦定理,得cos C =a 2+b 2-c 22ab =-12,又C ∈(0°,180°),∴C =120°. 11.a 、b 、c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,假如a =4,b =5,S =53,如此边c 的值为________.解析:S =12ab sin C ,sin C =32,∴C =60°或120°.∴cos C =±12,又∵c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,∴c 2=21或61,∴c =21或61. 答案:21或6112.在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,如此cos A ∶cos B ∶cos C =________. 解析:由正弦定理a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4, 设a =2k (k >0),如此b =3k ,c =4k ,cos B =a 2+c 2-b 22ac =2k 2+4k 2-3k 22×2k ×4k =1116,同理可得:cos A =78,cos C =-14,∴cos A ∶cos B ∶cos C =14∶11∶(-4). 答案:14∶11∶(-4)13.在△ABC 中,a =32,cos C =13,S △ABC =43,如此b =________.解析:∵cos C =13,∴sin C =223. 又S △ABC =12ab sin C =43, 即12·b ·32·223=43, ∴b =2 3.答案:2 314.△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,AC =6,如此AB →·BC →的值为________.解析:在△ABC 中,cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC=49+25-362×7×5=1935, ∴AB →·BC →=|AB →|·|BC →|·cos(π-B )=7×5×(-1935) =-19. 答案:-1915.△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ,且面积S =a 2+b 2-c 24,如此角C =________. 解析:12ab sin C =S =a 2+b 2-c 24=a 2+b 2-c 22ab ·ab 2=12ab cos C ,∴sin C =cos C ,∴tan C =1,∴C =45°. 答案:45°16.(2011年调研)三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,如此最小角的余弦值为________. 解析:设三边长为k -1,k ,k +1(k ≥2,k ∈N ),如此⎩⎪⎨⎪⎧k 2+k -12-k +12<0k +k -1>k +1⇒2<k <4, ∴k =3,故三边长分别为2,3,4,∴最小角的余弦值为32+42-222×3×4=78. 答案:7817.在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,且2cos(A +B )=1,求AB 的长.解:∵A +B +C =π且2cos(A +B )=1,∴cos(π-C )=12,即cos C =-12. 又∵a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,∴a +b =23,ab =2.∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C=a 2+b 2-2ab (-12) =a 2+b 2+ab =(a +b )2-ab=(23)2-2=10,∴AB =10.18.△ABC 的周长为2+1,且sin A +sin B =2sin C .(1)求边AB 的长;(2)假如△ABC 的面积为16sin C ,求角C 的度数. 解:(1)由题意与正弦定理得AB +BC +AC =2+1,BC +AC =2AB ,两式相减,得AB =1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C =16sin C ,得BC ·AC =13, 由余弦定理得cos C =AC 2+BC 2-AB 22AC ·BC=AC +BC 2-2AC ·BC -AB 22AC ·BC =12, 所以C =60°.19.在△ABC 中,BC =5,AC =3,sin C =2sin A . (1)求AB 的值;(2)求sin(2A -π4)的值. 解:(1)在△ABC 中,由正弦定理AB sin C =BC sin A, 得AB =sin C sin ABC =2BC =2 5. (2)在△ABC 中,根据余弦定理,得cos A =AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC =255, 于是sin A =1-cos 2A =55. 从而sin 2A =2sin A cos A =45, cos 2A =cos 2A -sin 2A =35. 所以sin(2A -π4)=sin 2A cos π4-cos 2A sin π4=210.20.在△ABC 中,(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,且2cos A sin B =sin C ,确定△ABC 的形状.解:由正弦定理,得sin C sin B =c b. 由2cos A sin B =sin C ,有cos A =sin C 2sin B =c 2b. 又根据余弦定理,得cos A =b 2+c 2-a 22bc ,所以c 2b =b 2+c 2-a 22bc, 即c 2=b 2+c 2-a 2,所以a =b .又因为(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,所以(a +b )2-c 2=3ab ,所以4b 2-c 2=3b 2,所以b =c ,所以a =b =c ,因此△ABC 为等边三角形.。
正余弦定理知识点+经典题(有答案)
正余弦定理1.定理内容:(1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即2sin sin sin a b cR A B C=== (2)余弦定理:三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。
即:2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-(3)面积定理:111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 2.利用正余弦定理解三角形: (1)已知一边和两角:(2)已知两边和其中一边的对角: (3)已知两边和它们所夹的角: (4)已知三边:正弦定理1.在△ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,a =2,则b 等于( )D .262.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( )A .4 2B .4 3C .4 63.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =60°,a =43,b =42,则角B 为( )A .45°或135°B .135°C .45°D .以上答案都不对 4.在△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A .1∶5∶6B .6∶5∶1C .6∶1∶5D .不确定 解析:选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c =1∶5∶6.5.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若A =105°,B =45°,b =2,则c =( )A .1 C .26.在△ABC 中,若cos A cos B =ba ,则△ABC 是( )A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰三角形或直角三角形 7.已知△ABC 中,AB =3,AC =1,∠B =30°,则△ABC 的面积为( )或 3 或328.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( )B .29.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若a =1,c =3,C =π3,则A =________. 10.在△ABC 中,已知a =433,b =4,A =30°,则sin B =________.11.在△ABC 中,已知∠A =30°,∠B =120°,b =12,则a +c =________. 12.在△ABC 中,a =2b cos C ,则△ABC 的形状为________.13.在△ABC 中,A =60°,a =63,b =12,S △ABC =183,则a +b +csin A +sin B +sin C =________,c =________.14.已知△ABC 中,∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,a =1,则a -2b +csin A -2sin B +sin C=________.15.在△ABC 中,已知a =32,cos C =13,S △ABC =43,则b =________. 16.在△ABC 中,b =43,C =30°,c =2,则此三角形有________组解.17.如图所示,货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时后船到达C 点,观测灯塔A 的方位角是65°,则货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是多少18.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,若a =23,sin C 2cos C 2=14,sin B sin C =cos 2A2,求A 、B 及b 、c .19.(2009年高考四川卷)在△ABC 中,A 、B 为锐角,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,且cos 2A =35,sin B =1010.(1)求A +B 的值;(2)若a -b =2-1,求a ,b ,c 的值.20.△ABC 中,ab =603,sin B =sin C ,△ABC 的面积为153,求边b 的长.余弦定理1.在△ABC 中,如果BC =6,AB =4,cos B =13,那么AC 等于( )A .6B .2 6C .3 6D .46 2.在△ABC 中,a =2,b =3-1,C =30°,则c 等于( )D .2 3.在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+3bc ,则∠A 等于( )A .60°B .45°C .120°D .150°4.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则∠B 的值为( )或5π6 或2π35.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边,则a cos B +b cos A 等于( )A .aB .bC .cD .以上均不对6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .由增加的长度决定7.已知锐角三角形ABC 中,|AB →|=4,|AC →|=1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC →的值为( )A .2B .-2C .4D .-4 8.在△ABC 中,b =3,c =3,B =30°,则a 为( )B .2 3 或2 3 D .29.已知△ABC 的三个内角满足2B =A +C ,且AB =1,BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为________. 10.△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =(3-1)∶(3+1)∶10,求最大角的度数.11.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,若a =4,b =5,S =53,则边c 的值为________. 12.在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,则cos A ∶cos B ∶cos C =________.13.在△ABC 中,a =32,cos C =13,S △ABC =43,则b =________.14.已知△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,AC =6,则AB →·BC →的值为________.15.已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ,且面积S =a 2+b 2-c 24,则角C =________. 16.(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________. 17.在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,且2cos(A +B )=1,求AB 的长.18.已知△ABC 的周长为2+1,且sin A +sin B =2sin C .(1)求边AB 的长;(2)若△ABC 的面积为16sin C ,求角C 的度数.19.在△ABC 中,BC =5,AC =3,sin C =2sin A .(1)求AB 的值;(2)求sin(2A -π4)的值.20.在△ABC 中,已知(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,且2cos A sin B =sin C ,确定△ABC 的形状.正弦定理1.在△ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,a =2,则b 等于( )D .26解析:选A.应用正弦定理得:a sin A =b sin B ,求得b =a sin Bsin A = 6. 2.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( )A .4 2B .4 3C .4 6解析:选=45°,由正弦定理得b =a sin Bsin A =4 6.3.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =60°,a =43,b =42,则角B 为( )A .45°或135°B .135°C .45°D .以上答案都不对解析:选C.由正弦定理a sin A =b sin B 得:sin B =b sin A a =22,又∵a >b ,∴B <60°,∴B =45°. 4.在△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A .1∶5∶6B .6∶5∶1C .6∶1∶5D .不确定解析:选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c =1∶5∶6.5.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若A =105°,B =45°,b =2,则c =( )A .1 C .2解析:选=180°-105°-45°=30°,由b sin B =c sin C 得c =2×sin 30°sin45°=1.6.在△ABC 中,若cos A cos B =ba ,则△ABC 是( )A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰三角形或直角三角形解析:选D.∵b a =sin B sin A ,∴cos A cos B =sin Bsin A , sin A cos A =sin B cos B ,∴sin2A =sin2B即2A =2B 或2A +2B =π,即A =B ,或A +B =π2.7.已知△ABC 中,AB =3,AC =1,∠B =30°,则△ABC 的面积为( )或 3 或32解析:选=AC sin B ,求出sin C =32,∵AB >AC ,∴∠C 有两解,即∠C =60°或120°,∴∠A =90°或30°.再由S △ABC =12AB ·AC sin A 可求面积.8.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( )B .2解析:选D.由正弦定理得6sin120°=2sin C ,∴sin C =12.又∵C 为锐角,则C =30°,∴A =30°, △ABC 为等腰三角形,a =c = 2.9.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若a =1,c =3,C =π3,则A =________.解析:由正弦定理得:a sin A =csin C ,所以sin A =a ·sin C c =12.又∵a <c ,∴A <C =π3,∴A =π6.答案:π610.在△ABC 中,已知a =433,b =4,A =30°,则sin B =________.解析:由正弦定理得a sin A =bsin B⇒sin B =b sin A a =4×12433=32.答案:3211.在△ABC 中,已知∠A =30°,∠B =120°,b =12,则a +c =________.解析:C =180°-120°-30°=30°,∴a =c ,由a sin A =b sin B 得,a =12×sin30°sin120°=43,∴a +c =8 3. 答案:8312.在△ABC 中,a =2b cos C ,则△ABC 的形状为________.解析:由正弦定理,得a =2R ·sin A ,b =2R ·sin B , 代入式子a =2b cos C ,得 2R sin A =2·2R ·sin B ·cos C , 所以sin A =2sin B ·cos C , 即sin B ·cos C +cos B ·sin C =2sin B ·cos C , 化简,整理,得sin(B -C )=0. ∵0°<B <180°,0°<C <180°, ∴-180°<B -C <180°, ∴B -C =0°,B =C . 答案:等腰三角形13.在△ABC 中,A =60°,a =63,b =12,C=30°则a +b +csin A +sin B +sin C =________,c =________.解析:由正弦定理得a +b +c sin A +sin B +sin C=a sin A =63sin60°=12,又S △ABC =12bc sin A ,∴12×12×sin60°×c =183,∴c =6.答案:12 614.已知△ABC 中,∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,a =1,则a -2b +csin A -2sin B +sin C=________.解析:由∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3得,∠A =30°,∠B =60°,∠C =90°,∴2R =a sin A =1sin30°=2,又∵a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ,∴a -2b +c sin A -2sin B +sin C =2R sin A -2sin B +sin Csin A -2sin B +sin C =2R =2. 答案:215.在△ABC 中,已知a =32,cos C =13,S △ABC =43,则b =________.解析:依题意,sin C =223,S △ABC =12ab sin C =43,解得b =2 3. 答案:2316.在△ABC 中,b =43,C =30°,c =2,则此三角形有________组解.解析:∵b sin C =43×12=23且c =2, ∴c <b sin C ,∴此三角形无解. 答案:0 17.如图所示,货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时后船到达C 点,观测灯塔A 的方位角是65°,则货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是多少解:在△ABC 中,BC =40×12=20, ∠ABC =140°-110°=30°,∠ACB =(180°-140°)+65°=105°, 所以∠A =180°-(30°+105°)=45°, 由正弦定理得AC =BC ·sin ∠ABC sin A =20sin30°sin45°=102(km).即货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是10 2 km.18.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,若a =23,sin C 2cos C 2=14,sin B sin C =cos 2A2,求A 、B 及b 、c .解:由sin C 2cos C 2=14,得sin C =12,又C ∈(0,π),所以C =π6或C =5π6.由sin B sin C =cos 2A2,得sin B sin C =12[1-cos(B +C )], 即2sin B sin C =1-cos(B +C ),即2sin B sin C +cos(B +C )=1,变形得 cos B cos C +sin B sin C =1,即cos(B -C )=1,所以B =C =π6,B =C =5π6(舍去),A =π-(B +C )=2π3.由正弦定理a sin A =b sin B =csin C ,得b =c =a sin Bsin A =23×1232=2.故A =2π3,B =π6,b =c =2.19.(2009年高考四川卷)在△ABC 中,A 、B 为锐角,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,且cos 2A =35,sin B =1010.(1)求A +B 的值;(2)若a -b =2-1,求a ,b ,c 的值. 解:(1)∵A 、B 为锐角,sin B =1010,∴cos B =1-sin 2B =31010.又cos 2A =1-2sin 2A =35,∴sin A =55,cos A =255, ∴cos(A +B )=cos A cos B -sin A sin B =255×31010-55×1010=22.又0<A +B <π,∴A +B =π4.(2)由(1)知,C =3π4,∴sin C =22.由正弦定理:a sin A =b sin B =csin C 得5a =10b =2c ,即a =2b ,c =5b .∵a -b =2-1,∴2b -b =2-1,∴b =1. ∴a =2,c = 5.20.△ABC 中,ab =603,sin B =sin C ,△ABC 的面积为153,求边b 的长.解:由S =12ab sin C 得,153=12×603×sin C ,∴sin C =12,∴∠C =30°或150°. 又sin B =sin C ,故∠B =∠C .当∠C =30°时,∠B =30°,∠A =120°.又∵ab =603,a sin A =bsin B ,∴b =215. 当∠C =150°时,∠B =150°(舍去). 故边b 的长为215.余弦定理1.在△ABC 中,如果BC =6,AB =4,cos B =13,那么AC 等于( )A .6B .26C .3 6D .46 解析:选A.由余弦定理,得 AC =AB 2+BC 2-2AB ·BC cos B= 42+62-2×4×6×13=6.2.在△ABC 中,a =2,b =3-1,C =30°,则c 等于( ) D .2解析:选B.由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =22+(3-1)2-2×2×(3-1)cos30° =2, ∴c = 2.3.在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+3bc ,则∠A 等于( ) A .60° B .45° C .120° D .150°解析:选∠A =b 2+c 2-a 22bc =-3bc 2bc =-32, ∵0°<∠A <180°,∴∠A =150°. 4.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则∠B 的值为( ) 或5π6 或2π3解析:选D.由(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,联想到余弦定理,代入得cos B =a 2+c 2-b 22ac =32·1tan B =32·cos B sin B .显然∠B ≠π2,∴sin B =32.∴∠B =π3或2π3.5.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边,则a cos B +b cos A 等于( ) A .a B .b C .c D .以上均不对解析:选·a 2+c 2-b 22ac +b ·b 2+c 2-a 22bc =2c 22c =c .6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .由增加的长度决定 解析:选A.设三边长分别为a ,b ,c 且a 2+b 2=c 2. 设增加的长度为m ,则c +m >a +m ,c +m >b +m ,又(a +m )2+(b +m )2=a 2+b 2+2(a +b )m +2m 2>c 2+2cm +m 2=(c +m )2, ∴三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形.7.已知锐角三角形ABC 中,|AB →|=4,|AC →|=1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC →的值为( ) A .2 B .-2 C .4 D .-4解析:选△ABC =3=12|AB →|·|AC →|·sin A =12×4×1×sin A ,∴sin A =32,又∵△ABC 为锐角三角形,∴cos A =12,∴AB →·AC →=4×1×12=2.8.在△ABC 中,b =3,c =3,B =30°,则a 为( ) B .23 或2 3 D .2解析:选C.在△ABC 中,由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,即3=a 2+9-33a , ∴a 2-33a +6=0,解得a =3或2 3.9.已知△ABC 的三个内角满足2B =A +C ,且AB =1,BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为________.解析:∵2B =A +C ,A +B +C =π,∴B =π3. 在△ABD 中,AD =AB 2+BD 2-2AB ·BD cos B= 1+4-2×1×2×12= 3. 答案:310.△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =(3-1)∶(3+1)∶10,求最大角的度数. 解:∵sin A ∶sin B ∶sin C =(3-1)∶(3+1)∶10, ∴a ∶b ∶c =(3-1)∶(3+1)∶10.设a =(3-1)k ,b =(3+1)k ,c =10k (k >0), ∴c 边最长,即角C 最大.由余弦定理,得cos C =a 2+b 2-c 22ab =-12, 又C ∈(0°,180°),∴C =120°. 11.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,若a =4,b =5,S =53,则边c 的值为________.解析:S =12ab sin C ,sin C =32,∴C =60°或120°.∴cos C =±12,又∵c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,∴c 2=21或61,∴c =21或61. 答案:21或6112.在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,则cos A ∶cos B ∶cos C =________. 解析:由正弦定理a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4, 设a =2k (k >0),则b =3k ,c =4k ,cos B =a 2+c 2-b 22ac =2k 2+4k 2-3k 22×2k ×4k=1116, 同理可得:cos A =78,cos C =-14,∴cos A ∶cos B ∶cos C =14∶11∶(-4). 答案:14∶11∶(-4)13.在△ABC 中,a =32,cos C =13,S △ABC =43,则b =________.解析:∵cos C =13,∴sin C =223.又S △ABC =12ab sin C =43,即12·b ·32·223=43,∴b =2 3.答案:2314.已知△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,AC =6,则AB →·BC →的值为________.解析:在△ABC 中,cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC=49+25-362×7×5=1935,∴AB →·BC →=|AB →|·|BC →|·cos(π-B )=7×5×(-1935)=-19.答案:-1915.已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ,且面积S =a 2+b 2-c 24,则角C =________. 解析:12ab sin C =S =a 2+b 2-c 24=a 2+b 2-c 22ab ·ab 2 =12ab cos C ,∴sin C =cos C ,∴tan C =1,∴C =45°.答案:45°16.(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________. 解析:设三边长为k -1,k ,k +1(k ≥2,k ∈N ),则⎩⎪⎨⎪⎧ k 2+k -12-k +12<0k +k -1>k +1⇒2<k <4,∴k =3,故三边长分别为2,3,4,∴最小角的余弦值为32+42-222×3×4=78.答案:7817.在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,且2cos(A +B )=1,求AB 的长.解:∵A +B +C =π且2cos(A +B )=1,∴cos(π-C )=12,即cos C =-12.又∵a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,∴a +b =23,ab =2. ∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C=a 2+b 2-2ab (-12)=a 2+b 2+ab =(a +b )2-ab=(23)2-2=10,∴AB =10. 18.已知△ABC 的周长为2+1,且sin A +sin B =2sin C .(1)求边AB 的长;(2)若△ABC 的面积为16sin C ,求角C 的度数.解:(1)由题意及正弦定理得 AB +BC +AC =2+1,BC +AC =2AB ,两式相减,得AB =1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C =16sin C ,得BC ·AC =13,由余弦定理得cos C =AC 2+BC 2-AB 22AC ·BC=AC +BC 2-2AC ·BC -AB 22AC ·BC=12, 所以C =60°.19.在△ABC 中,BC =5,AC =3,sin C =2sin A .(1)求AB 的值; (2)求sin(2A -π4)的值.解:(1)在△ABC 中,由正弦定理AB sin C =BC sin A ,得AB =sin C sin A BC =2BC =2 5.(2)在△ABC 中,根据余弦定理,得cos A =AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC=255, 于是sin A =1-cos 2A =55.从而sin 2A =2sin A cos A =45,cos 2A =cos 2 A -sin 2 A =35.所以sin(2A -π4)=sin 2A cos π4-cos 2A sin π4=210.20.在△ABC 中,已知(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,且2cos A sin B =sin C ,确定△ABC 的形状.解:由正弦定理,得sin C sin B =c b .由2cos A sin B =sin C ,有cos A =sin C 2sin B =c 2b .又根据余弦定理,得cos A =b 2+c 2-a 22bc ,所以c 2b =b 2+c 2-a 22bc ,即c 2=b 2+c 2-a 2,所以a =b .又因为(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,所以(a +b )2-c 2=3ab ,所以4b 2-c 2=3b 2,所以b =c ,所以a =b =c ,因此△ABC 为等边三角形.。
正余弦定理知识点与题型归纳
解三角形 一.正弦定理:A a sin =B bsin =C c sin =2R ,其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到 1.(1) a=2RsinA (2) b=2RsinB (3) c=2RsinC 2.(1) sinA=a/2R (2) sinB=b/2R (3) sinC=c/2R3.a :b :c=sinA :sinB:sinC二.余弦定理:1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC 余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ) 三.余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB(常用类型:已知三角形两边及其夹角)判断三角形的形状有两种途径:(1)将已知的条件统一化成边的关系,用代数求和法求解(2)将已知的条件统一化成角的关系,用三角函数法求解三.解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角:视线在水平线以上时,在视线所在的垂直平面,视线与水平线所成的角叫做仰角。
俯角:视线在水平线以下时,在视线所在的垂直平面,视线与水平线所成的角叫俯角方向角:从指定方向线到目标方向的水平角(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中,c=10,A=45°,C=30°,求a、b和B.(二)已知两边和其中一边对角解三角形例2 在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若a=2√3,b =√6,A=45°,求边长C(三)已知两边及夹角,解三角形例3△ABC中,已知b=3,c=33,B=30°,求角A,角C和边a.例四:在△ABC中,若∠B=30°, AB=2, AC=2, 则△ABC的面积是例五.判断三角形的形状(1)正弦定理判断在△ABC中,若a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.(2)余弦定理判断在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C,试判断三角形的形状.例六判断解得个数不解三角形,判断下列三角形的解的个数:(1)a=5,b=4,A=120度(2)a=7,b=14,A=150度(3)a=9,b=10,A=60度(4)c=50,b=72,C=135度考试类型一、求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题.1、ABC ∆中,3π=A ,BC =3,则ABC ∆的周长为( )A .33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B .36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C .33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D .36sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB 2、 在ΔABC 中,已知66cos ,364==B AB ,AC 边上的中线BD =5,求sin A 的值. 3、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,若∠C=120°,c=2a ,则 A.a >b B.a <b C. a =b D.a 与b 的大小关系不能确定 4、在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c ,若223a b bc -=,sin 23sin C B =,则A=(A )030 (B )060 (C )0120 (D )0150 5、在ABC ∆中,a=15,b=10,A=60°,则cos B = A -223 B 223 C -63 D 636、在△ABC 中,若b = 1,c =3,23C π∠=,则a = 。
正余弦定理解三角形题型
正余弦定理解三角形题型正余弦定理是解决三角形题目的重要工具,可以通过以下参考内容来学习:1. 正余弦定理的概念及公式- 概念:正余弦定理是三角形中用于求边长或角度的重要定理。
- 公式:- a² = b² + c² - 2bc cosA- b² = a² + c² - 2ac cosB- c² = a² + b² - 2ab cosC2. 利用正余弦定理解三角形题的步骤- 确定需要求解的量,是边长还是角度。
- 根据已知条件选择使用哪个公式。
- 将已知量代入公式,计算出需要求解的量。
3. 例题分析及解法- 题目:已知三角形ABC,其中∠C=90°,AC=5,BC=12,求AB的长度。
- 解法:- 根据已知条件可知,a=5,b=12,c=AB。
- 选择正弦定理求解:sinC=sin90°=1,sinA=a/c,因此有sinA=5/AB。
- 将已知量代入公式,得到sin²A+cos²A=1,等价于25/AB²+cos²A=1,化简得cos²A=1-25/AB²。
- 再选择余弦定理求解:cosA=(b²+c²-a²)/2bc,代入已知量,得到cosA=1/3,代入cos²A的式子中,得到2/9=1-25/AB²,解得AB=√(225/7)。
以上参考内容可以帮助读者了解正余弦定理的基本概念和使用方法,并通过例题的解法展示如何应用到实际的题目中去。
正弦定理和余弦定理_知识点及典型例题
正弦定理和余弦定理要点梳理1.正弦定理其中R 是 三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:(1)a ∶b ∶c=sin A ∶s in B ∶sin C ; (2)a=2Rsi n A ,b=2Rsin B ,c=2Rsi n C ;(3)sin A =错误!,sin B=错误!,sin C=错误!等形式,以解决不同的三角形问题.2.三角形面积公式S△AB C=错误!a bsin C=错误!b csin A=错误!acsin B=错误!=错误!(a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R 、r.3.余弦定理:222222222a b c 2bccos A b a c 2accos B c a b 2abcos C =+-,=+-,=+-.ﻩ余弦定理可以变形为:c os A =222b c a 2bc+-,cos B =222a c b 2ac +-,cos C=222a b c 2ab +-. 4.在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或角; (2)已知两边及一边的对角,求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解,应注意区分.余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题; (2)已知三边问题.基础自测1.在△AB C中,若b=1,c =错误!,C=错误!,则a= .2.已知△ABC 的内角A,B,C的对边分别为a ,b,c ,若c=2,b =6,B=120°,则a=________. 3.在△ABC 中,若AB=5,A C=5,且cos C=错误!,则BC=________ .4.已知圆的半径为4,a、b 、c 为该圆的内接三角形的三边,若ab c=16错误!,则三角形的面积为( ) A.2 2 B .8错误! C.错误! D.错误!题型分类 深度剖析题型一 利用正弦定理求解三角形例1 在△A BC 中,a =3,b =错误!,B =45°.求角A 、C 和边c .变式训练1 已知a ,b,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边,若a =1,b =3,A +C =2B ,则A = 2sin sin sin a b c R A B C ===题型二 利用余弦定理求解三角形例2 在△ABC 中,a 、b、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且错误!=b 2a c-+. (1)求角B 的大小; (2)若b =\r(13),a+c =4,求△ABC 的面积.变式训练2已知A、B 、C 为△A BC 的三个内角,其所对的边分别为a 、b、c ,且2A 2cos +cos A=02. (1)求角A 的值; (2)若a =23,b +c =4,求△ABC 的面积.题型三 正、余弦定理的综合应用例3. 在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A、B 、C 的对边22sin )()sin ,A C a b B -=-已知△ABC 外接圆半径为(1)求角C的大小; (2)求△A BC 面积的最大值.变式训练3在△ABC 中,内角A ,B,C 所对的边长分别是a ,b ,c.(1)若c =2,C=\f(π,3),且△ABC 的面积为3,求a ,b 的值;(2)若sin C +sin(B -A )=si n 2A ,试判断△A BC的形状.例4设△ABC 的内角A 、B、C所对的边分别为a、b 、c,且a cos C +\f(1,2)c =b .(1)求角A 的大小; (2)若a =1,求△ABC 的周长l的取值范围.。
(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题(最新整理)
【答案】根据余弦定理可得:
cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3
2bc
22 2 6 2 2
∵ 0 A 180 , ∴ A 30 ;
∴由正弦定理得: sin C c sin A
6 2 sin 30
6 2
.
a
2
4
【变式 2】在 ABC 中,已知 B 750 , C 600 , c 5 ,求 a 、 A .
【答案】 A 1800 (B C) 1800 (750 600 ) 450 ,
根据正弦定理
a
5
,∴ a 5
6
.
sin 45o sin 60o
3
【变式 3】在 ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ,求 a : b : c 【答案】根据正弦定理 a b c ,得 a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 .
【答案】根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ;
根据正弦定理,
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
;
根据正弦定理,
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
sin A sin B sin C
例 2.在 ABC中,b 3, B 60, c 1,求: a 和 A , C .
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出角 C ,然后用三角形 内角和求出角 A ,最后用正弦定理求出边 a .
高考数学题型全归纳正余弦定理常见解题类型典型例题
- 1 - 正余弦定理常见解题类型解三角形正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题:①已知两角和任一边,求其他两边和一角;②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角及其他的边和角.余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题:①已知三边,求三个角;②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.例1已知在ABC △中,4526A a c ,,,解此三角形.解:由余弦定理得22(6)26cos 454b b ,从而有31b .又222(6)222cos b b C ,得1cos 2C ,60C 或120C .75B 或15B .因此,31b ,60C ,75B 或31b ,120C ,15B .注:此题运用正弦定理来做过程会更简便,同学们不妨试着做一做.判断三角形的形状利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系,一般的,利用正弦定理的公式2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ,,,可将边转化为角的三角函数关系,然后利用三角函数恒等式进行化简,其中往往用到三角形内角和定理:A B C ;利用余弦定理公式222222cos cos 22b c a a c b AB bc ac ,,222cos 2a b c C ab ,可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系,然后充分利用代数知识来解决问题.在ABC △中,若2222sin sin 2cos cos b Cc B bc B C ,判定三角形的形状.解:由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C,为ABC △外接圆的半径,可将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C ,sin sin 0B C ∵,。
正余弦定理典型例题
正余弦定理典型例题一、正弦定理典型例题1. 例题1:已知两角和一边,求其他边和角题目:在△ ABC中,已知A = 30^∘,B = 45^∘,a = 2,求b,c和C。
解析:根据三角形内角和C=180^∘-A B,所以C = 180^∘-30^∘-45^∘=105^∘。
由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B),已知a = 2,A = 30^∘,B = 45^∘,则b=(asin B)/(sin A)。
因为sin A=sin30^∘=(1)/(2),sin B=sin45^∘=(√(2))/(2),所以b=(2×frac{√(2))/(2)}{(1)/(2)} = 2√(2)。
再根据正弦定理(a)/(sin A)=(c)/(sin C),sin C=sin105^∘=sin(60^∘+45^∘)=sin60^∘cos45^∘+cos60^∘sin45^∘=(√(3))/(2)×(√(2))/(2)+(1)/(2)×(√(2))/(2)=(√(6)+√(2)) /(4)。
所以c=(asin C)/(sin A)=(2×frac{√(6)+√(2))/(4)}{(1)/(2)}=√(6)+√(2)。
2. 例题2:已知两边和其中一边的对角,求其他边和角(可能有两解)题目:在△ ABC中,a = 2√(3),b = 6,A = 30^∘,求B,C,c。
解析:由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B),可得sin B=(bsin A)/(a)。
把a = 2√(3),b = 6,A = 30^∘代入,sinB=frac{6×sin30^∘}{2√(3)}=(6×frac{1)/(2)}{2√(3)}=(√(3))/(2)。
因为b > a,A = 30^∘,所以B = 60^∘或B = 120^∘。
当B = 60^∘时,C=180^∘-A B=180^∘-30^∘-60^∘=90^∘,再由(a)/(sinA)=(c)/(sin C),c=(asin C)/(sin A)=frac{2√(3)×sin90^∘}{sin30^∘} = 4√(3)。
正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳
●高考明方向掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.★备考知考情1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考考查的热点.2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题中,综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的判断等问题.3.三种题型都有可能出现,属中低档题. 一、知识梳理名师一号P62知识点一 正弦定理其中R 为△ABC 外接圆的半径变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2:sin ,sin ,sin ,222===a b c A B C R R R变形3:∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意:补充关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化;知识点二 余弦定理222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇔=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab 注意:补充1关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化;2勾股定理是余弦定理的特例3在∆ABC 中,222090︒︒<+⇔<<a b c A用于判断三角形形状名师一号P63问题探究 问题3判断三角形形状有什么办法判断三角形形状的两种途径:一是化边为角;二是化角为边, 并常用正弦余弦定理实施边、角转换.知识点三 三角形中常见的结论△ABC 的面积公式有:①S =错误!a ·hh 表示a 边上的高;②S =错误!ab sin C =错误!ac sin B =错误!bc sin A =错误!;--知两边或两边的积及其夹角可求面积③S =错误!ra +b +cr 为内切圆半径.补充1++=A B C π2在三角形中大边对大角,大角对大边.3任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.4有关三角形内角的常用三角函数关系式sin()sin ,cos()cos ,tan()tan sin cos ,cos sin 2222+=+=-+=-++==B C A B C A B C A B C A B C A 利用++=A B C π及诱导公式可得之5在△ABC 中的几个充要条件:名师一号P63问题探究 问题4sin A >sin B 错误!>错误! a >b A >B .补充 cos cos A B A B >⇔<若R ∈、αβ或2k απβπ=-+k Z ∈或2k αβπ=-+k Z ∈45套之7--196锐角△ABC 中的常用结论 ∆ABC 为锐角三角形⇔02<<、、A B C π4.解斜三角形的类型名师一号P63问题探究 问题1利用正、余弦定理可解决哪几类问题在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:1已知两角及任一边,求其它边或角;2已知两边及一边的对角,求其它边或角.情况2中结果可能有一解、二解、无解,应注意区分.余弦定理可解决两类问题:1已知两边及夹角或两边及一边对角的问题;2已知三边问题.a b A补充已知两边和其中一边的对角如,,用正弦定理或余弦定理均可名师一号P63问题探究问题2选用正、余弦定理的原则是什么若式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;若遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.补充:一、正弦定理推导必修5证明思路:转化到特殊情形----直角三角形中二、余弦定理推导必修52011年陕西高考考查余弦定理的证明18.本小题满分12分叙述并证明余弦定理;2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-,2222cos c a b ab C =+-.证明:证法一 如图,2c BC = ()()AC AB AC AB =-•-即2222cos a b c bc A =+-同理可证 2222cos b c a ca B =+-,证法二 已知ABC ∆中,,,A B C 所对边分别为,,,a b c ,以A 为原点,AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系,则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ,∴222222222||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++222cos b c bc A =+-,即 2222cos a b c bc A =+-同理可证 2222cos b c a ca B =+-,二、例题分析:一利用正、余弦定理解三角形例1.1名师一号P62 对点自测1在△ABC 中,A =60°,B =75°,a =10,则c 等于A .5错误!B .10错误! D .5错误!解析 由A +B +C =180°,知C =45°,由正弦定理得:错误!=错误!.即错误!=错误!. ∴c =错误!.注意:已知两角及任一边,求其它边或角----正弦定理,解唯一例1.2名师一号P62 对点自测2在△ABC 中,若a =3,b =错误!,A =错误!,则C 的大小为________.解析 由正弦定理可知sin B =错误!=错误!=错误!,所以B =错误!或错误!舍去,因为a >b 即A =错误!> B 所以B =错误!所以C =π-A -B =π-错误!-错误!=错误!.一解变式1: 在△ABC 中,若b =3,a =错误!,A =错误!, 则C 的大小为________.答案: sin B >1无解变式2:在ABC ∆中,已知45︒===a b B , 解ABC ∆.答案:60,75,︒︒+===A C c或120,15,2︒︒-===A C c两解变式3:求边c注意:知道两边和其中一边的对角如,,a b A 解三角形 可用正弦定理先求出角B 也可用余弦定理先求出边c 再求解;两种方法均须注意解的个数可能有一解、二解、无解,应注意区分.练习:补充2009山东文17已知函数x x x x f sin sin cos 2cossin 2)(2-+=ϕϕ ππϕ=<<x 在)0(处取最小值; I 求ϕ的值;Ⅱ在ABC ∆中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,23)(,2,1===A f b a 求角C; 解析 Ⅰfx =2sinx 1cos cos sin sin 2x x ϕϕ++- =sinx+ϕ.因为 fx 在x =π时取最小值,所以 sin π+ϕ=-1,故 sin ϕ=1.又 0<ϕ<π,所以ϕ=2π, Ⅱ由Ⅰ知fx=sinx+2π=cosx. 因为fA=cosA=3,且A 为△ABC 的角, 所以A =6π. 由正弦定理得 sinB =sin b A a =22, 又b >a, 当4π=B 时,,12746πππππ=--=--=B A C 当43π=B 时,.12436πππππ=--=--=B A C 综上所述,12127ππ==C C 或例2. 补充若满足条件060=C ,a BC AB ==,3的ABC ∆有两个,求a 的取值范围. 32<<a注意:判断三角形解的个数常用方法:1在ABC ∆中,已知,,A a b ;构造直角三角形判断 2利用余弦定理判断一元二次方程正根个数 勿忘大边对大角判断已知两边及其中一边对角,判断三角形解的个数的方法:①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数.②在△ABC 中,已知a 、b 和A ,以点C 为圆心,以边长a 为半径画弧,此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数 即为三角形的个数,解的个数见下表:图示已知a 、b 、A ,△ABC 解的情况.ⅰA 为钝角或直角时解的情况如下:ⅱA 为锐角时,解的情况如下:③运用余弦定理转化为关于一元二次方程 正根个数问题练习:已知ABC ∆中,若22,2==b a ,且三角形有两解,求角A 的取值范围;答案:由条件知b sin A <a ,即2错误!sin A <2, ∴sin A <错误!,∵a <b ,∴A <B ,∴A 为锐角,∴0<A <错误!.例3.1名师一号P62 对点自测3在△ABC 中,a =错误!,b =1,c =2,则A 等于A .30°B .45°C .60°D .75° 解析 由余弦定理得:cos A =错误!=错误!=错误!,∵0<A <π,∴A =60°.注意:已知三边,求其它边或角---余弦定理例3.2名师一号P63 高频考点例122014·新课标全国卷Ⅱ钝角三角形ABC的面积是错误!,AB=1,BC=错误!,则AC=A.5 C.2 D.1解:由题意知S=错误!AB·BC·sin B,△ABC即错误!=错误!×1×错误!sin B,解得sin B=错误!,∴B=45°或B=135°.当B=45°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+错误!2-2×1×错误!×错误!=1.此时AC2+AB2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意;当B=135°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+错误!2-2×1×错误!×错误!=5,解得AC=错误!.符合题意.故选B.注意:已知两边夹角,求其它边或角---余弦定理小结:已知与待求涉及三边和一角的关系---余弦定理例4.1名师一号P63 高频考点例112014·江西卷在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则错误!的值为A.-错误!C.1解:∵3a=2b,∴由正弦定理得错误!=错误!=错误!.∴错误!=错误!,∴错误!=2×错误!-1=2×错误!-1=错误!-1=错误!.例4.2名师一号P62 对点自测已知△ABC三边满足a2+b2=c2-错误!ab,则此三角形的最大内角为__________.解析∵a2+b2-c2=-错误!ab,∴cos C=错误!=-错误!,故C=150°为三角形的最大内角.注意:1关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化;2关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化.注意等价转换练习:2010·天津理在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=错误!bc,sin C=2错误!sin B,则A=A.30°B.60°C.120°D.150°解:由余弦定理得:cos A=错误!,由题知b2-a2=-错误!bc,c2=2错误!bc,则cos A=错误!, 又A∈0°,180°,∴A=30°,故选A.注意:已知三边比例关系---余弦定理二三角形的面积例1.1名师一号P62 对点自测62014·福建卷在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2错误!,则△ABC的面积等于________.解析由题意及余弦定理得cos A=错误!=错误!=错误!,解得c=2.所以S=错误!bc sin A=错误!×4×2×sin60°=2错误!.故答案为2错误!.注意:a b A解三角形可用正知道两边和其中一边的对角如,,弦定理先求出角B也可用余弦定理先求出边c再求解;两种方法均须注意解的个数本例用余弦求边更快捷.例1.2名师一号P63 高频考点例32014·浙江卷在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=错误!,cos2A-cos2B=错误!sin A cos A-错误! sin B cos B.1求角C的大小;2若sin A=错误!,求△ABC的面积.解:1由题意得错误!-错误!=错误!sin2A-错误!sin2B,即错误!sin2A-错误!cos2A=错误!sin2B-错误! cos2B,sin错误!=sin错误!.由a≠b,得A≠B,又A+B∈0,π.得2A-错误!+2B-错误!=π,即A+B=错误!,所以C=错误!.2由c=错误!,sin A=错误!,错误!=错误!,得a=错误!.由a<c,得A<C,从而cos A=错误!,故sin B=sin A+C=sin A cos C+cos A sin C=错误!.所以△ABC的面积为S=错误!ac sin B=错误!.规律方法三角形面积公式的应用原则1对于面积公式S=错误!ab sin C=错误!ac sin B=错误! bc sin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.三三角形形状的判定例1.1名师一号P63 高频考点例2在△ABC中a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2a sin A =2b+c sin B+2c+b sin C.1求A的大小;2若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.解:1由已知,根据正弦定理得2a2=2b+c·b+2c+bc,即a2=b2+c2+bc.由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,故cos A=-错误!,∵0<A<180°,∴A=120°.2由1得sin 2A =sin 2B +sin 2C +sin B sin C =错误!.又sin B +sin C =1,解得sin B =sin C =错误!.∵0°<B <60°,0°<C <60°,故B =C =30°,A =120°.∴△ABC 是等腰钝角三角形.法二:因为A =120°,且A +B +C=180°所以sin B +sin C =1即sin60°-C +sin C =1 可求得C=30°例1.2补充根据所给条件,判断△ABC 的形状.1若a cos A =b cos B ,则△ABC 形状为________. 2若错误!=错误!=错误!,则△ABC 形状为________. 解析:1 解法一: 由正弦定理得sinA cos A =sinB cos B 即sin2A =sin2B22A B ∴= 或 22A B π=-A B ∴= 或 2A B π+= ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.解法二:由余弦定理得a cos A =b cos Ba ·错误!=b ·错误!a 2c 2-a 4-b 2c 2+b 4=0,∴a 2-b 2c 2-a 2-b 2=0∴a 2-b 2=0或c 2-a 2-b 2=0∴a =b 或c 2=a 2+b 2∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.2由正弦定理得错误!=错误!=错误!即tan A=tan B=tan C,∵A、B、C∈0,π,∴A=B=C,∴△ABC为等边三角形.注意:利用正、余弦定理进行边角互化1关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化;2关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化;规律方法依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法:1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.加加练P9 第6题∆中,已知ABC∆为则ABCA.等边三角形B.等腰直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案:B计时双基练P252 第2题四三角形的综合问题例1.补充 在△ABC 中,sinC-A=1,sinB=31. Ⅰ求sinA 的值;Ⅱ设AC=错误!,求△ABC 的面积.解:Ⅰ由2C A π-=,且C A B π+=-,∴42B A π=-,∴sin sin()sin )42222B B B A π=-=-, ∴211sin (1sin )23A B =-=,又sin 0A >,∴sin A = Ⅱ如图,由正弦定理得sin sin AC BC B A=∴sin 31sin 3AC A BC B ===, 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+∴11sin 223ABC S AC BC C ∆=••==注意:关注三角形内角和、特殊角、三角恒等变换公式、 知两边夹角求面积公式的选择;例2.补充已知ABC ∆中,角A B C 、、所对的边 A BC分别为a b c 、、,3B π∠=,b =求a c +的取值范围解法一:正弦定理结合三角最值 当且仅当62A ππ+=即3A π=时等号成立 法二:余弦定理结合不等式 由2222cos b a c ac B =+-得2228a c ac =+-即()2283a c ac =+-a c ∴+≤当且仅当a c =时等号成立 又三角形两边之和大于第三边注:这是一道好题,刚好都能运用“正余弦定理求解最值问题”的两种主要方法解决; 小结:借助正弦定理,转化为角的正弦值,利用三角函数最值求解借助余弦定理,转化为边的关系,利用均值不等式求解余弦定理注意两数和差与这两数的平方和、两数的积 的关系的运用练习:加加练P11 第11题已知△ABC 中,外接圆半径是1,且满足()()222sin sin sin sin A C A B b -=-,则△ABC 面积的最大值为答案:4计时双基练P251 第6题补充已知向量(sin ,1)2A m =-,()2,cos()nBC =+, ,,A B C 为锐角..ABC ∆的内角,其对应边为a ,b ,c . Ⅰ当m n ⋅取得最大值时,求角A 的大小;Ⅱ在Ⅰ成立的条件下,当a =,求22b c +的取值范围. 解:Ⅰ2(sin 212sin 22sin 2cos 2sin2)cos(sin 22--=++-=+=+-=⋅A A A A A C B A nm 0,0,0sin 2242A A A ππ<<∴<<∴<<,1sinA ∴=时,即A π=时,m n ⋅取得最大值,∴A π=正弦定理:2sin sin sin ===a b c R A B C其中R 为△ABC 外接圆的半径 22442cos 22cos(2)3sin 2cos 242sin(23b c B B B B B π+=---=-+=-ABC ∆为锐角三角形★注意:∆ABC 为锐角三角形⇔02<<、、A B C π讲评:1、计时双基练 P252 基础11---多个三角形问题2014·湖南卷如图,在平面四边形ABCD 中,AD =1,CD =2,AC =错误!.1求cos ∠CAD 的值;2若cos ∠BAD =-错误!,sin ∠CBA =错误!,求BC 的长.解 1由余弦定理可得cos ∠CAD =错误!=错误!=错误!,∴cos ∠CAD =错误!.2∵∠BAD 为四边形内角,∴sin ∠BAD >0且sin ∠CAD >0,则由正余弦的关系可得sin ∠BAD =错误!=错误!,且sin ∠CAD =错误!=错误!,由正弦的和差角公式可得sin ∠BAC =sin ∠BAD -∠CAD=sin ∠BAD cos ∠CAD -sin ∠CAD cos ∠BAD=错误!×错误!-错误!×错误!=错误!+错误!=错误!, 再由△ABC 的正弦定理可得错误!=错误!BC =错误!×错误!=3.2、45套之7--192---方程的思想课后作业一、计时双基练P251基础1-6;课本P63变式思考1、3补充练习1、2、3二、计时双基练P251基础7-11;培优1-4课本P63变式思考2三、课本P64典例、※对应训练补充练习4、5预习 第七节补充练习:1、2009山东文17已知函数x x x x f sin sin cos 2cos sin 2)(2-+=ϕϕ ππϕ=<<x 在)0(处取最小值; I 求ϕ的值;Ⅱ在ABC ∆中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,23)(,2,1===A f b a 求角C;解析Ⅰfx =2sinx 1cos cos sin sin 2x x ϕϕ++- =sinx+ϕ.因为 fx 在x =π时取最小值,所以 sin π+ϕ=-1,故 sin ϕ=1. 又 0<ϕ<π,所以ϕ=2π, Ⅱ由Ⅰ知fx=sinx+2π=cosx. 因为fA=cosA=3,且A 为△ABC 的角, 所以A =6π. 由正弦定理得 sinB =sin b A a =22, 又b >a,当4π=B 时,,12746πππππ=--=--=B A C 当43π=B 时,.12436πππππ=--=--=B A C 综上所述,12127ππ==C C 或 2、 已知ABC ∆中,若22,2==b a ,且三角形有两解,求角A 的取值范围;答案:由条件知b sin A <a ,即2错误!sin A <2,∴sin A <错误!,∵a <b ,∴A <B ,∴A 为锐角,∴0<A <错误!.3、已知△ABC 中,∠A =60°,BC=2错误!,则其外接圆面积为__________.答案:4π★注意:勿忘正弦定理中三角形各边与对角正弦的比为外接圆直径sin sin in 2s a b c A B R C=== R 为三角形外接圆半径 4、在四边形ABCD 中,∠B =∠D =90°,∠A =60°, AB =4,AD =5,则AC 的长为B .2错误!解析 如图,连结AC ,设∠BAC =α,则AC ·cos α=4,AC ·cos60°-α=5,两式相除得,错误!=错误!,展开解得,tan α=错误!∵α为锐角,∴cos α=错误!∴AC =错误!=2错误!解法二:补充△ABD 中,由余弦定理得21BD =由∠B =∠D =90°知AC 为△ABD 的外接圆直径由正弦定理得2127sin sin 620BD AC R A ︒====5、已知向量(sin ,1)2A m =-,()2,cos()nBC =+, ,,A B C 为锐角..ABC ∆的内角,其对应边为a ,b ,c .Ⅰ当m n ⋅取得最大值时,求角A 的大小; Ⅱ在Ⅰ成立的条件下,当a =, 求22b c +的取值范围. 解:Ⅰ2(sin 212sin 22sin 2cos 2sin2)cos(sin 22--=++-=+=+-=⋅A A A A A C B A nm 0,0,0sin 2242A A A ππ<<∴<<∴<<,1sinA ∴=时,即A π=时,m n ⋅取得最大值,∴A π=正弦定理:2sin sin sin ===a b c R A B C其中R 为△ABC 外接圆的半径 22442cos 22cos(2)2cos 242sin(23b c B B B B B π+=---=-+=-∆ABC 为锐角三角形⇔02<<、、A B C π6、2013年广州二模文数 第17题某单位有A 、B 、C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点O ,使得发射点到三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ,70BC =m ,50CA =m .假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面上.1求BAC ∠的大小;2求点O 到直线BC 的距离.答案13BAC π∠=23m 课后作业三、计时双基练P251基础1-6;课本P63变式思考1补充练习1、3、例2四、计时双基练P251基础7-11;培优1-4课本P63变式思考3补充练习2三、课本P63变式思考2课本P64典例、※对应训练补充练习4、5预习 第七节。
《解三角形》题型归纳
《解三角形》题型归纳【题型归纳】题型一正弦定理、余弦定理的直接应用例 1 ∆ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin( A +C) = 8sin2B .2(1)求cos B(2)若a +c = 6 ,∆ABC 面积为2,求b .【答案】(1)cos B =15(2)b = 2 .17【解析】由题设及A +B +C =π得sin B = 8sin2B,故sin B = 4(1- cos B) .2上式两边平方,整理得17 cos2B - 32 cos B +15 = 0 ,解得cos B = 1 (舍去),cos B =1517 .(2)由cos B =15得sin B =8,故S =1ac sin B =4ac .又S∆ABC17 17= 2 ,则ac =17.2∆ABC 2 17由余弦定理及a +c = 6 得b2 =a2 +c2 - 2ac cos B = (a +c)2 - 2ac(1+ cos B)= 36 - 2⨯17⨯ (1+15) = 4 .2 17所以b = 2 .【易错点】二倍角公式的应用不熟练,正余弦定理不确定何时运用【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 △ABC 的内角A, B, C的对边分别为a, b, c ,若2b cos B =a cos C+c cos A ,则B =.π【答案】3【解析】2 s in B cos B = sin A cos C + sin C cos A = sin( A +C) = sin B ⇒ cos B =1⇒B =π.2 33 【易错点】不会把边角互换,尤其三角恒等变化时,注意符号。
【思维点拨】边角互换时,一般遵循求角时,把边换成角;求边时,把角转换成边。
例 3 在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角 A ,B ,C 的对边,若 b =1,c = 3,C =2π,则 S △ABC =.3【答案】 34【解析】因为 c >b ,所以 B <C ,所以由正弦定理得 b = c ,即 1 = 3=2,即 sin B =1,所以 B π π 2π π sin B 1 1 3 1 sin C3sin B sin 2π2 3 = ,所以 A =π- - 6 6 = .所以 S △ABC = 3 6 2 bc sin A = × 2 × = .2 4 【易错点】大边对大角,应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意,一般选取已知角的公式,然后再求取边长。
正余弦定理解三角形题型归纳总结
专题:正弦定理和余弦定理 考点集结一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理内容2sin sin sinab cR A B C ===2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b c a ac B c a b ab C =+-=+-=+-变形形式①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; ②sinA=2a R ,sinB=2b R ,sinC=2cR ;③a:b:c=sinA: sinB: sinC;④sin sin sin sin a b c aA B C A ++=++222222222cos ;2cos ;2cos .2b c a A bc a c b B ca a b c C ab +-=+-=+-=解决的问题已知两角和任一边,求另一角和其他两条边; 已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角。
已知三边,求各角; 已知两角和它们的夹角,求第三边和其他两个角。
注:在ΔABC 中,sinA>sinB 是A>B 的充要条件。
(∵sinA>sinB ⇔22a bR R >⇔a>b ⇔A>B )二、应用举例1、实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下文的叫俯角(如图①)(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B 点的方位角为α(如图②) 注:仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。
仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的。
(3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③)①北偏东α 即由指北方向顺时针旋转α 到达目标方向;②北偏本α 即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向; ③南偏本等其他方向角类似。
(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角) 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i 为坡比) 2、ΔABC 的面积公式(1)1()2a a S a h h a =表示边上的高;(2)111sin sin sin ()2224abc S ab C ac B bc A R R ====为外接圆半径; (3)1()()2S r a b c r =++为内切圆半径。
正余弦定理知识点及题型归纳
解三角形 一.正弦定理:A a sin =B bsin =C c sin =2R ,其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到 1.(1) a=2RsinA (2) b=2RsinB (3) c=2RsinC 2.(1) sinA=a/2R (2) sinB=b/2R (3) sinC=c/2R 3.a :b :c=sinA :sinB:sinC二.余弦定理:1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC 余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ) 三.余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB(常用类型:已知三角形两边及其夹角)判断三角形的形状有两种途径:(1)将已知的条件统一化成边的关系,用代数求和法求解(2)将已知的条件统一化成角的关系,用三角函数法求解三.解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角:视线在水平线以上时,在视线所在的垂直平面内,视线与水平线所成的角叫做仰角。
俯角:视线在水平线以下时,在视线所在的垂直平面内,视线与水平线所成的角叫俯角方向角:从指定方向线到目标方向的水平角(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中,c=10,A=45°,C=30°,求a、b和B.(二)已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若a=2√3,b =√6,A=45°,求边长C(三)已知两边及夹角,解三角形例3△ABC中,已知b=3,c=33,B=30°,求角A,角C和边a.例四:在△ABC中,若∠B=30°, AB=2, AC=2, 则△ABC的面积是例五.判断三角形的形状(1)正弦定理判断在△ABC中,若a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.(2)余弦定理判断在△ABC 中,若b 2sin 2C +c 2sin 2B =2bc cos B cos C ,试判断三角形的形状.例六 判断解得个数不解三角形,判断下列三角形的解的个数: (1)a=5,b=4,A=120度(2)a=7,b=14,A=150度(3)a=9,b=10,A=60度(4)c=50,b=72,C=135度考试类型一、求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题. 1、ABC ∆中,3π=A ,BC =3,则ABC ∆的周长为( )A .33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B .36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C .33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D .36sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB2、 在ΔABC 中,已知66cos ,364==B AB ,AC 边上的中线BD =5,求sin A 的值. 3、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,若∠C=120°,c=2a ,则 A.a >b B.a <b C. a =b D.a 与b 的大小关系不能确定 4、在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ,若223a b bc -=,sin 23sin C B =,则A=(A )030 (B )060 (C )0120 (D )0150 5、在ABC ∆中,a=15,b=10,A=60°,则cos B = A -223 B 223C -63D 636、在△ABC 中,若b = 1,c =3,23C π∠=,则a = 。
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平面向量题型归纳(全)题型一:共线定理应用例一:平面向量→→b a ,共线的充要条件是( )A.→→b a ,方向相 同 B. →→b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→→b a λλλλ变式一:对于非零向量→→b a ,,“→→→=+0b a ”是“→→b a //”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件变式二:设→→b a ,是两个非零向量( )A.若→→→→=+b a b a _则→→⊥b aB. 若→→⊥b a ,则→→→→=+b a b a _ C. 若→→→→=+b a b a _,则存在实数λ,使得→→=a b λ D 若存在实数λ,使得→→=a b λ,则→→→→=+ba b a _例二:设两个非零向量→→21e e 与,不共线,(1)如果三点共线;求证:D C A e e e e e e ,,,28,23,212121--=+=-= (2)如果三点共线,且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一:设→→21e e 与两个不共线向量,,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线,求实数k 的值。
变式二:已知向量→→b a ,,且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是( ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D题型二:线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一:设P 是三角形ABC 所在平面内的一点,,2+=则( )A. +=B. +=C. +=D. ++=变式一:已知O 是三角形ABC 所在平面内一点,D 为BC 边的中点,且++=2,那么( )A. A =B. A 2=C. A 3=D. A =2变式二:在平行四边形ABCD 中a AB =,b AD =,NC AN 3=,M 为BC 的中点,则=MN ( 用b a ,表示)例二:在三角形ABC 中,c AB =,b AC =,若点D 满足DC BD 2=,则=( )A. ,3132+B. ,3235-C. ,3132-D. ,3231+变式一:(高考题) 在三角形ABC 中,点D 在边AB 上,CD 平分角ACB,=,=21==,则=( )A. ,3231b a +B. ,3132+C. ,5453b a + D. ,5354+变式二:设D,E,F 分别是三角形ABC 的边BC,CA,AB 上的点,且,2=,2=,2=则++,与BC ( )A.反向平行B. 同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直变式三:在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,若μλ+=,其,,R ∈μλ则μλ+=变式四:在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ,若,a AC =,b BD =则=( )A.,2141+ B. ,3132+ C. ,4121+ D. ,3231+题型三:三点共线定理及其应用例一:点P 在AB 上,求证:μλ+=且μλ+=1(,,R ∈μλ)变式:在三角形ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 和N,若,m =,n =则m+n=例二:在平行四边形ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 的中点,DE 与AF 交于点H,设,=,=则= A.,5452- B. ,5452+ C. ,5452+- D. ,5452--变式:在三角形ABC 中,点M 是BC 的中点,点N 是边AC 上一点且AN=2NC,AM 与BN 相交于点P,若,λ=求λ的值。
题型四: 向量与三角形四心 一、 内心例一:O 是∆ABC 所在平面内一定点,动点P满足),【∞+∈++=0λλOA OP ,则点P的轨迹一定通过∆ABC 的( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心变式一:已知非零向量AB 与AC满足0=⋅+,且21=⋅,则∆ABC 为( ) A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形变式二:⇔=⋅+⋅+⋅P 为∆ABC 的内心二、重心例一:O 是∆ABC 内一点,0=++OB OA OC ,则为∆ABC 的( )A.外心B.内心C .重心 D.垂心变式一:在∆ABC 中,G 为平面上任意一点,证明:⇔++=)(31O 为∆ABC 的重心变式二:在∆ABC 中,G 为平面上任意一点,若⇔+=)(31O 为∆ABC 的重心三垂心:例一:求证:在∆ABC 中,⇒⋅=⋅=⋅ O 为∆ABC 的垂心变式一:O 是平面上一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足,R AC AB ∈++=λλ则点P 的轨迹一定通过∆ABC 的( )A.外心B.内心C.重心 D .垂心四外心例一:若O 是∆ABC 的外心,H 是∆ABC 的垂心,则OH++=变式一:已知点O ,N ,P 在∆ABC 所在平面内,且==NCNB NA ++=0,⋅=⋅=⋅,则O ,N ,P 依次是∆ABC 的( )A. 重心、外心 、垂心B. 重心、外心 、内心C. 外心 、重心、垂心 D . 外心 、重心、 内心 题型五:向量的坐标运算例一:已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CB CN CA CM 2,3==,试求点M,N 和的坐标。
变式一:已知平面向量向量),23,21(),1,3(=-=b a ,3(-+=t ,t k +-=其中t 和k 为不同时为零的实数,(1)若y x ⊥,求此时k 和t 满足的函数关系式k=f(t);(2)若y x //,求此时k 和t满足的函数关系式k=g(t).变式二:平面内给定3个向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==,回答下列问题。
(1)求23-+;(2)求满足n m +=的实数m,n;(3)若)2//()(k -+,求实数k ;(4)设)//()(),(y x +-=满足且1=-,求。
题型六:向量平行(共线)、垂直充要条件的坐标表示例一:已知两个向量)2,3(),21(-==,,当实数k 取何值时,向量b a k 2+与b a 42-平行?变式一:设向量a,b 满足|a|=52,b=(2,1),且a 与b 反向,则a 坐标为_________例二:已知向量)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===→→→且A,B,C 三点共线,则k=( ) A:23 B:32 C:32- D:23-变式一:已知),31,(cos ),sin 23(αα==b a ,且a//b ,则锐角α为__________变式二:△ABC 的三内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c 设向量),,(),,(a c a b q b c a p --=+=若q p //,则∠C 的大小为( ) A:6π B:3π C:2πD:32π题型七:平面向量的数量积例一:(1)在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC =4,则=⋅→→AC AB ( )A :-16 B:-8 C:8 D:16(2)(高)已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则→→⋅CB DE 的值为______;→→⋅CB DE 的最大值为_______ (3)在△ABC 中,M 是BC 中点,AM =1,点P 在AM 上满足→→=PM AP 2,则)(→→→+⋅PC PB PA 等于( ) A:94-B:34- C:34 D:94变式一:(高) 如图所示,平行四边形ABCD 中,AP ⊥BD ,垂足为P ,且AP =3,则→→⋅AC AP =_______变式二:在△ABC 中,AB=1,BC=2,AC=3,若O 为△ABC 的重心,则→→⋅AC AO 的值为________例二:(高)在矩形ABCD 中,AB=2,BC=2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2=⋅AF AB ,则⋅的值是变式一:(高)在△ABC 中,090=∠A ,1=AB ,AC=2.设点P,Q 满足R ∈-==λλλ,)1(,,若2-=⋅CP BQ ,则λ=( )A:31 B:32 C:34D:2例三:已知向量,,满足,2210====++c b a 则=⋅+⋅+⋅变式一:在△ABC ,643===则=⋅+⋅+⋅变式二:已知向量c b a ,,满足,21,==⊥=++且=变式三:已知向量,,满足,1,,),=⊥⊥-=++且([[=++2题型八:平面向量的夹角例一:已知向量),0,2(),3,1(-==则与的夹角是例二:已知,是非零向量且满足,)2(,)2⊥-⊥-(则与的夹角是变式一:已知向量c b a ,,,,,21⊥+===则与的夹角是变式二:已知,-==则+与的夹角是变式三:若向量与不共线,,(,0-=≠⋅且则与的夹角是变式四:(高) 若向量βα与,11≤=且以向量βα与为邻边的平行四边形的面积为0.5,则βα与的夹角的取值范围是例二:1,2==,与的夹角为045,求使向量λ+与+λ的夹角为锐角的λ的取值范围。
变式一:设两个向量21,e e 12==,21e e 与的夹角为3π,若向量2172e te +与21e t e +的夹角为钝角,求实数t 的范围。
变式二:已知与均为单位向量,其夹角为θ,有下列4个命题:);32,0[11πθ∈⇔>+p ];,32(12ππθ∈⇔>+p );3,0[1:3πθ∈⇔>p];,3(14ππθ∈⇔>-p 其中的真命题是( )A. 41,p p B. 31,p p C. 32,p p D. 42,p p题型九:平面向量的模长例一:5==,向量与的夹角为3π+-。
变式一:已知向量与221=-==+=变式二:已知向量与,21==与的夹角为3π-=变式三:在△ABC ,60,430=∠==ABC .例二:已知向量与的夹角为32π,133=+==变式一:(高) 已知向量与的夹角为4π,102,1===变式二:设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,162=BC +-=变式三:已知向量)2,1(),4,2(-==,若,)(⋅-=则[[=例三:已知向量),(,βααβα≠≠1=,且αβα与0120-的取值范围是变式一:已知单位向量,,,且=⋅,[[-+≤-⋅-则,0)()(的最大值为变式二:(高)已知直角梯形ABCD 中,AD//BC, 090=∠ADC ,AD=2,BC=1,P 是腰DC 上的 +的最小值为题型十:平面向量在三角函数中的应用例一:在△ABC 中,A,B,C 所对边的长分别为a,b,c ,已知向量)cos 1,(sin ),sin 2,1(A A n A m +==,且满足a cb n m 3,//=+(1)求A 的大小 (2)求)6sin(π+B 的值变式一:已知变量)3cos 3,3(sin ),3cos ,3(cos xx n x x m ==,函数n m x f ⋅=)( (1)求f(x)解析式(2)求f(x)的单调递增区间(3)如果△ABC 的三边a,b,c 满足ac b =2,且b 边所对的角为x ,试求x 的范围和此时f(x)的值域变式二:已知向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-==2,0),23sin ,2(cos ),23sin ,23(cos πx x x b x x a (1)求证a ·b 及|a +b |(2)定义f (x )=a ·b -2m |a +b |,若函数f (x )的最小值为23-,求实数m 的值变式三:在三角形ABC 中,已知→→→→⋅=⋅BC BA AC AB 3 (1) 求证A B tan 3tan = (2)若55cos =C ,求A 的值题型十一:平面向量在解析几何中的应用例题一:设曲线C 上任意一点 ),,)(,(R y x y x M ∈满足向量),2(),,2(y x b y x a +=-=→→且8||||=+→→b a (1)求曲线的方程(2)过点N (0,2)作直线l 与曲线C 交与A ,B 两点,若(O 为坐标原点),是否存在直线l ,使四边形OAPB 为矩形;若存在,求出直线l 的方程;反之,叙述理由。