正余弦定理题型总结(全)
正余弦定理知识点及题型归纳
正余弦定理是三角学中的重要知识点，用于解决与三角形相关的问题。下面是对正余弦定理的知识点及题型归纳：
一、正弦定理
1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有sinA/a = sinB/b = sinC/c。
2. 性质：
-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；
-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；
-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：
-已知三个角的度数，求边长；
-已知两个边的长度，求第三个边的长度；
-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；
-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
二、余弦定理
1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有cosA = (b ²+ c²- a²) / (2bc)。
2. 性质：
-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；
-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；
-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：
-已知三个角的度数，求边长；
-已知两个边的长度，求第三个边的长度；
-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；
-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
三、题型归纳
1. 已知三个角的度数，求边长：
-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度代入公式中，求解边长；
-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
2. 已知两个边的长度，求第三个边的长度：
-根据正弦定理或余弦定理，将已知的两个边的长度代入公式中，求解第三个边的长度；
-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
正余弦定理知识点及高考考试题型整理学生理
正、余弦定理
一、知识总结 (一)正弦定理
1.正弦定理：
2,sin sin sin a b c
R A B C
===其中R 是三角形外接圆半径. 2.变形公式：（1）化边为角：
（2）化角为边：
（3）
（4）.
3、正弦定理可解决两类问题：
（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）
（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）
在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：
a ＝
b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 1.余弦定理: 2
2
2
2cos a b c bc A =+-
2222cos c a b ab C =+-
2222cos b a c ac B =+-
2.变形公式:
222222222
cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab
+-+-+-===.
注：2
a ＞2
2
c b +⇒A 是钝角；2
a =2
2
c b +⇒A 是直角；2
a ＜2
2
c b +⇒A 是锐角；
2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===sin ,sin ,sin ;222a b c
A B C R R R =
==::sin :sin :sin a b c A B C =2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R
A B C A B C ++====++
3.余弦定理可以解决的问题：
（1）已知三边，求三个角；（解唯一）
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
一、知识点 （一）正弦定理：
2,sin sin sin a b c
R A B C ===其中R 是三角形外接圆半径. a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC
（二）余弦定理：222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A
b a
c ac B c a b ab C
=+-=+-=+-
由此可得：222222222
cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab
+-+-+-=
==. 注：2a ＞22c b +⇒A 是钝角；2a =22c b +⇒A 是直角；2a ＜2
2c b +⇒A 是锐角； （三）三角形面积公式：（1）111
sin sin sin .222
ABC
S ab C bc A ac B =
== 二、例题讲解 （一）求边的问题
1、在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3
A π
=
,1a b ==，则c =（ ）
A 、1
B 、2 C
1- D 、3
2、 在△ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边.如果,,a b c 成等差数列，B ∠=30°，△ABC 的面
积为2
3
，那么b =（ ） A
B 、31+ C
D 、32+ 3、在△ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若C ∠=120
°，c =，则（ ）
A 、a b >
B 、a b <
C 、a b =
D 、a 与b 的大小关系不能确定 4、在△ABC 中，10a =，B ∠=60°,C ∠=45°,则c 等于（ ）
正余弦定理题型总结（全）
正余弦定理题型总结（全）
平面向量题型归纳（全）
题型一：共线定理应用
例一：平面向量→
→b a ,共线的充要条件是（）A.→
→b a ,方向相同B. →
→b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在
,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→
→b a λλλλ
变式一：对于非零向量→→b a ,，“→→→=+0b a ”是“→→b a //”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
变式二：设→
→b a ,是两个非零向量（）
A.若→→→→=+b a b a _则→→⊥b a
B. 若→→⊥b a ，则→
→→→=+b a b a _ C. 若→
→→→
=+b a b a _，则存在实数λ，使得
→→
=a b λ D 若存在实数λ，使得→
→=a b λ，则
→
→→→
=+b
a b a _
例二：设两个非零向量→
→
21e e 与，不共线，
（1）如果三点共线；求证：D C A e e e e e e ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e e e e e ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一：设→
→
21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数k 的值。
变式二：已知向量→
→b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D
正弦定理余弦定理题型
一、
知识点
1、正弦定理及其变形
2(sin sin sin a b c
R R A B C
===为三角形外接圆半径）
12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）
2sin ,sin ,sin 222a b c
A B C R R R
=
==
（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4)
,,sin sin sin a A a A b B
b B
c C c C
===
2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边
（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知a ，b 和A ，求B 时的解的情况:
如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解；如果sin A <sin B <1，则B 有两解； 如果sin B =1，则B 有唯一解；如果sin B >1，则B 无解. 3、余弦定理及其推论
222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A
b a
c ac B c a b ab C
=+-=+-=+-
222
222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac
a b c C ab
+-=
+-=+-=
4、余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边。
5、常用的三角形面积公式
（1）高底⨯⨯=
∆21
ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===∆（两边夹一角）；
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
一、正余弦定理的概念
正余弦定理，又称余正定理、角-边-角定理，是指用三角形中的一个角和与它相对的两边的长度，来表示三角形中的另外两个角与其对应的两边之间的关系的公式。
二、正余弦定理的形式
对于一个三角形ABC，设三个边分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，将角A所对应的边称为边a，角B所对应的边称为边b，角C所对应的边称为边c。
（1）正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin
B}=\frac{c}{\sin C}$
（2）余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
三、正余弦定理的应用
正余弦定理是基本的三角函数之一，它们在高中数学教育中被广泛应用。通常在三角形的求面积过程中被使用。考生还需能够将它们应用在其他相关的三角形求解问题中。
例如，可以用正余弦定理解决以下问题：
（1）求三角形的面积。
（2）判断三角形是否为等腰三角形，是否为等边三角形。
（3）确定三角形的内角度数。
（4）求解三角形的未知边和角。
四、正余弦定理在高考考试中的出现形式
正余弦定理在高考考试中经常作为解决三角形问题的关键公式。它们常表现为单独的选择题或解答题，也可能是复合型题目的一
部分。
（1）选择题样例：已知三角形ABC的边长分别为11、12、13，若$\angle C$ 的角度等于$\frac{\pi}{2}$，则$\sin A+\cos B$ 等于
（）
正余弦定理知识点总结高考考试题型
一、知识点 〔一〕正弦定理：2,sin sin sin a b c R A B C
===其中R 是三角形外接圆半径. a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC
〔二〕余弦定理：222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A
b a
c ac B c a b ab C
=+-=+-=+- 由此可得：222222222
cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab
+-+-+-===. 注：2a ＞22c b +⇒A 是钝角；2a =22c b +⇒A 是直角；2a ＜22c b +⇒A 是锐角；
〔三〕三角形面积公式：〔1〕111sin sin sin .222ABC S
ab C bc A ac B === 二、例题讲解
〔一〕求边的问题
1、在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π
=
,1a b ==，则c =〔 〕
A 、1
B 、2 C
1- D 、3
2、 在△ABC 中，,,a b c 分别为,,B C ∠∠的对边.如果,,a b c 成等差数列，B ∠=30°，△ABC 的面积为
23，则b =〔 〕 A
、 B 、31+ C
、 D 、32+ 3、在△ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，假设C ∠=120
°，c =，则〔 〕
A 、a b >
B 、a b <
C 、a b =
D 、a 与b 的大小关系不能确定
4、在△ABC 中，10a =，B ∠=60°,C ∠=45°,则c 等于〔 〕
正余弦定理的常见题型
正余弦定理应用常见解题类型
1． 解三角形
正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角．
余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
例1 已知在ABC △中，452A a c ∠=== ，，
解：由余弦定理得22cos454b +-= ，
从而有1b =．
又222222cos b b C =+-⨯， 得1cos 2
C =±，60C ∠= 或120C ∠= ． 75B ∴∠= 或15B ∠= ．
因此，1b =，60C ∠= ，75B ∠=
或1b =，120C ∠= ，15B ∠= ．
注：此题运用正弦定理来做过程会更简便，同学们不妨试着做一做．
2． 判断三角形的形状
利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或 边的关系，一般的，利用正弦定理的公式2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定
理：A B C ++=π；利用余弦定理公式222222
cos cos 22b c a a c b A B bc ac
+-+-==，， 222
cos 2a b c C ab
++=，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题．
例2 在ABC △中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，判定三角形的形状．
最全正余弦定理题型归纳
专题：正弦定理和余弦定理
一、课前热身：
1、在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．
2、在△ABC 中，C B C B A sin sin 2sin sin sin 2
2
2
++=，则A 等于（ ） A 、60° B 、45° C 、120 D 、135°
3、若(c b a ++)(a c b —+)=bc 3，且C B A cos sin 2sin =, 那么ΔABC 是_____________.
4、在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC
cos A 的值等于______，AC 的取值范围为________
5、在ABC ∆中，若13
5
cos ,53sin ==
B A ，
则C cos 的值为_________ABC ∆的形状为_____ 6、ABC ∆的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12
cos 13
A =。 (1)求A
B A
C ⋅。 (2)若1c b -=，求a 的值。
二、题型归纳
利用正余弦定理解三角形
【例1】在△ABC 中，已知a =3,b =2,B=45°,求A 、C 和c .
【例2】设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,且32b +32c -32a 2b c .
(Ⅰ) 求sinA 的值； (Ⅱ)求
2sin()sin()
441cos 2A B C A
ππ
+++-的值.
利用正余弦定理判断三角形的形状
【例3】1、在△ABC 中，在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，bcosA ＝a cosB ，则ABC ∆三角形的形状为__________________
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
三角函数五——正、余弦定理
一、知识点 （一）正弦定理：
2,sin sin sin a b c
R A B C
===其中R 是三角形外接圆半径. 变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===
a b c
3sin B C
4（（（解可 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一）
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：
（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）
三、正、余弦定理的应用
射影定理：cos cos ,cos cos ,cos cos .a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+
有关三角形内角的几个常用公式 解三角形常见的四种类型
（1）已知两角,A B 与一边a ：由180A B C ++=︒及正弦定理sin sin sin a b c
A B B
==
，可 求出C ∠，再求,b c 。
（2）已知两边,b c 与其夹角A ，由2222cos a b c bc A =+-，求出a ，再由余弦定理， 求出角,B C 。
（3）已知三边a b c 、、，由余弦定理可求出A B C ∠∠∠、、。 （4
讲解 （知∆A ∠,
A ．由a c ==,075C ∠=,所以0
30B ∠=,
1
sin 2B =
由正弦定理得1sin 2
sin 2
a b B A =⋅==,故选A
（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，02cos cos 232=+A A ，7=a ，c=6，则=b （ ） A.10
最全正余弦定理题型归纳
专题：正弦定理和余弦定理
一、课前热身：
1、在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．
2、在△ABC 中，C B C B A sin sin 2sin sin sin 2
2
2
++=，则A 等于（ ） A 、60
B 、45
C 、120
D 、135°
3、若(c b a ++)(a c b —+)=bc 3，且C B A cos sin 2sin =, 那么ΔABC 是_____________.
4、在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC
cos A 的值等于______，AC 的取值范围为________
5、在ABC ∆中，若13
5
cos ,53sin ==
B A ，则
C c o s 的值为_________ABC ∆的形状为_____
6、ABC ∆的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12
cos 13
A =。 (1)求A
B A
C ⋅。 (2)若1c b -=，求a 的值。
二、题型归纳
利用正余弦定理解三角形
【例1】在△ABC 中，已知a =3,b =2,B=45°,求A 、C 和c .
【例2】设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,且32b +32c -32a =42b c .
(Ⅰ) 求sinA 的值； (Ⅱ)求
2sin()sin()
441cos 2A B C A
ππ
+++-的值.
利用正余弦定理判断三角形的形状
【例3】1、在△ABC 中，在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，bcosA ＝a cosB ，则ABC ∆三角形的形状为__________________
正余弦定理题型
正余弦定理题型小结
题型一：已知两边及一边对角且角为锐角时需讨论
(1)满足A ＝45°，a ＝2，c ＝6的△ABC 的个数为________．
练习：（1）a=4,b=5,A=0
30(两解);(2)a=5,b=4,A=0
60(一解)
方法汇总：方法一：大边对大角；
方法二：利用高h=bsinA 与a 的讨论 方法三：利用余弦讨论
题型二：利用正弦定理解三角形 例一：在△ABC 中，若B=0
45,,2a b =则C=
变式一：在△ABC 中，若c=2,A=0
120,a=32,则B=
变式二：在△ABC 中，A,B,C 的对边为a,b,c,a=2,b=2,sinB+cosB=2,则A 的大小为
变式三：在△ABC 中，A,B,C 的对边为a,b,c, B=3π,cosA=5
4
,b=3 (1)求sinC;(2)求△ABC 面积。
变式四：在△ABC 中，A,B,C 的对边为a,b,c,A=2B,sinB=3
3
,(1)求cosA 的值；（2）b=2,求边a,c 的长。
题型三：利用正余弦定理进行边角转化 例：在△ABC 中，若A=2B,则b
a
的取值范围为
变式一：在△ABC 中，B=0
60,AC=3,则AB+2BC 的最大值
变式二：(新课标)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边c=3asinC-ccosA.(1)求角A 的大小； （2）若a=2, △ABC 的面积为3，求b,c.
题型四：利用余弦定理解三角形 例：在△ABC 中，b=1,c=3,C=3
2π
,则a=
变式一：在△ABC 中，若a=2,b+c=7,cosB=-4
高中数学正余弦定理大题题型总结
高中数学正余弦定理大题题型总结
正弦定理和余弦定理是高中数学中常见的重要定理，用于解决与三角形相关的问题。以下是对高中数学正余弦定理大题题型的总结。
1. 解决三角形边长
题目描述：已知三角形的一个角和两个边的长度，求第三边的长度。
解决方法：可以利用正弦定理或余弦定理来解决这类问题。根据已知信息，可以列出对应的定理公式，代入已知量，并解方程得到未知边长的值。
2. 解决三角形内角
题目描述：已知三角形的三个边长，求其中一个角的大小。
解决方法：可以利用余弦定理来解决这类问题。根据已知信息，可以列出定理公式，代入已知量，并解方程得到角的大小。
3. 解决三角形面积
题目描述：已知三角形的两边和夹角，求三角形的面积。
解决方法：可以利用正弦定理来解决这类问题。根据已知信息，求出夹角的正弦值，然后代入三角形面积公式，计算得到面积。
4. 判断三角形形状
题目描述：已知三角形的三个角度，判断其形状。
解决方法：可以利用余弦定理来解决这类问题。根据已知信息，计算出三个边的长度，然后通过边长间的关系来判断三角形的形状，如等边三角形、等腰三角形或一般三角形。
5. 解决三角形的外接圆和内切圆问题
题目描述：已知三角形的三个边长或三个角度，求其外接圆和内切圆的半径。
解决方法：可以利用数学性质和公式来解决这类问题。对于外接圆，可以利用正弦定理或余弦定理计算三角形的边长，然后利用三角形外接圆半径公式求解。对于内切圆，可以利用三角形的面积公式和海伦公式来求解。
总结来说，高中数学的正余弦定理大题题型主要涉及解决三角形边长、内外角度、面积以及形状等问题。熟悉并掌握正余弦定理的应用方法，能够帮助解决这类问题，并提高数学解题的能力。
第8讲 正弦定理和余弦定理5种常见题型(解析版)
第8讲 正弦定理和余弦定理5种常见题型
【考点分析】
考点一：三角形中常用知识
①任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
②大边对大角，小边对小角，B A b a B A sin sin >⇔>⇔>，所以在ABC ∆中B A B A sin sin >>是的充要条件
①在锐角ABC ∆中，一定有A C C B B A cos sin ,cos sin ,cos sin >>>，即一个角的正弦值一定大于另一个角的余弦值，从而可以得到锐角ABC ∆中，一定有C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 考点二：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R C
c
B b A a 2sin sin sin ===． 考点三：由正弦定理推出的几个结论 ①a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin
C ．
①B R C B R B A R a sin 2,sin 2,sin 2===
③由等比性质和圆的性质可知，a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R .其中，R 为△ABC 外接圆的半径．
④A <B ⇔a <b ⇔sin A <sin B ．
考点四：由三角形性质和诱导公式导出的几个结论 ①2
2,
π
π=++=++C B A C B A ， 所以()()C C B A sin sin sin =-=+π，同理()A C B sin sin =+，()B C A sin sin =+，
正余弦定理题型归类
高二数学《正余弦定理》知识与题型总结
1、
2、
3、
三角形面积公式：
（1（
2（3
4、常用公式及结论：
（1
（2
（3
（4
（5
类型一：正余弦定理的综合应用
1.在△ABC
B 等于( )． A ．30° B ．30°或150°
C ．60°
D ．60
°或120°
2.在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，b ＝6，则△ABC 的外接圆半径为（
）
3.
( )．
4.
（ ）
3 D.3
） A
6.在△ABC 中，内角A,B,C
） A
7.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.
∠B ＝( )
A ．6π
B ．3π
C ．32π
D ．π
65
8.在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 A ．0
75,45,10===C A b B ．0
80,5,7===A b a C ．0
60,48,60===C b a D ．0
45,16,14===A b a
9.已知ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，且()0,2,a x x b A =>==60°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A 、3x >
B 、02x <<
C 、32x <<
D 、32x <≤
10. 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,2
23 20cos A cos A ＋＝，76a c ＝，＝，则b ＝（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．5
11. 在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B A
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
一、知识点 （一）正弦定理：
2,sin sin sin a b c
R A B C ===其中R 是三角形外接圆半径. a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC
（二）余弦定理：222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A
b a
c ac B c a b ab C
=+-=+-=+-
由此可得：222222222
cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab
+-+-+-=
==. 注：2
a ＞2
2
c b +⇒A 是钝角；2
a =2
2
c b +⇒A 是直角；2
a ＜2
2
c b +⇒A 是锐角； （三）三角形面积公式：（1）111
sin sin sin .222
ABC S ab C bc A ac B ===V 二、例题讲解 （一）求边的问题
1、在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3
A π
=
,1a b ==，则c =（ ）
A 、1
B 、2 C
1- D 、3
2、 在△ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边.如果,,a b c 成等差数列，B ∠=30°，△ABC 的面
积为2
3
，那么b =（ ） A
B 、31+ C
D 、32+ 3、在△ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若C ∠=120
°，c =，则（ ）
A 、a b >
B 、a b <
C 、a b =
D 、a 与b 的大小关系不能确定 4、在△ABC 中，10a =，B ∠=60°,C ∠=45°,则c 等于（ ）
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平面向量题型归纳（全）
题型一：共线定理应用
例一：平面向量→
→b a ,共线的充要条件是（ ）A.→
→b a ,方向相 同 B. →
→b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在
,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→
→b a λλλλ
变式一：对于非零向量→→b a ,，“→→→=+0b a ”是“→
→b a //”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
变式二：设→
→b a ,是两个非零向量（ ）
A.若→→→→=+b a b a _则→→⊥b a
B. 若→→⊥b a ，则→
→→→=+b a b a _ C. 若→
→→→
=+b a b a _，则存在实数λ，使得
→→
=a b λ D 若存在实数λ，使得→
→=a b λ，则
→
→→→
=+b
a b a _
例二：设两个非零向量→
→
21e e 与，不共线，
（1）如果三点共线；求证：D C A e e e e e e ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一：设→
→
21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数k 的值。
变式二：已知向量→
→b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（ ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D
题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用
例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2+=则（ ）
A. +=
B. +=
C. +=
D. ++=
变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且++=2,那么（ ）A. A =
B. A 2=
C. A 3=
D. A =2
变式二：在平行四边形ABCD 中a AB =，b AD =，NC AN 3=,M 为BC 的中点，则=MN ( 用b a ,表示)
例二：在三角形ABC 中，c AB =，b AC =,若点D 满足DC BD 2=,则=( )
A. ,3132+
B. ,3235-
C. ,3132-
D. ,3
231+
变式一：(高考题) 在三角形ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分角ACB,=，
=21==,则=( )
A. ,3231b a +
B. ,3132+
C. ,54
53b a + D. ,5
354+
变式二：设D,E,F 分别是三角形ABC 的边BC,CA,AB 上的点，且,2=,2=,2=则
++,与BC ( )
A.反向平行
B. 同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
变式三：在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若μλ+=,其,,R ∈μλ则μλ+=
变式四：在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,a AC =,b BD =则=( )A.
,2141+ B. ,3132+ C. ,4121+ D. ,3
2
31+
题型三：三点共线定理及其应用
例一：点P 在AB 上，求证：μλ+=且μλ+=1（,,R ∈μλ）
变式：在三角形ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 和N,若
,m =,n =则m+n=
例二：在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 的中点，DE 与AF 交于点H,设,=,=则= A.
,5452- B. ,5452+ C. ,5452+- D. ,5
452--
变式：在三角形ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 是边AC 上一点且AN=2NC,AM 与BN 相交于点P,若,λ=求λ的值。
题型四： 向量与三角形四心 一、 内心
例一：O 是∆ABC 所在平面内一定点，动点P
满足），【∞+∈+
+=0λλOA OP ，则点P
的轨迹一定通过∆ABC 的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
变式一：已知非零向量AB 与AC
满足0=⋅+
，且
2
1
=
⋅
，则∆ABC 为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形
变式二：⇔=⋅+⋅+⋅P 为∆ABC 的内心
二、重心
例一：O 是∆ABC 内一点，0=++OB OA OC ，则为∆ABC 的（ ）A.外心B.内心C .重心 D.垂心
变式一：在∆ABC 中，G 为平面上任意一点，证明：⇔++=)(3
1
O 为∆ABC 的重心
变式二：在∆ABC 中，G 为平面上任意一点，若⇔+=)(3
1
O 为∆ABC 的重心
三垂心：
例一：求证：在∆ABC 中，⇒⋅=⋅=⋅ O 为∆ABC 的垂心
变式一：O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满
足
,R AC AB ∈+
+=λλ则点P 的轨迹一定通过∆ABC 的（ ）
A.外心
B.内心
C.重心 D .垂心
四外心
例一：若O 是∆ABC 的外心，H 是∆ABC 的垂心，则OH
++=