第05章 漩涡理论
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第五章漩涡理论基础
第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。
本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。
第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动和转动两种运动形式。
另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。
本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。
一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。
流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。
强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。
”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。
在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。
如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。
流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量，但具有正负号。
速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。
第五章：旋涡理论
11．若流场不是静止的，具有均匀速度 V，毕奥——沙伐尔诱导速度场的计算公式所计算出
的速度是否包含有均匀速度 V？
12．圆柱形涡，在 r< R 和 r>R 两个流场中，压力和速度分布如何？
13.已知平面流动的速度分布为：
u = x2 − y2 + x
v = −2xy − y
证明沿曲线 R2 = x2 + y2 的速度环量和流量均为零。
6.B-S 定理只适用于（
）
A）理想流体
B）不可压缩流体
C）粘性流体
D）理想流体或粘性流体
7．为什么涡线不能在流场中终止，只能终止在固体边界，或者流体边界，或者首尾相接形
成涡环。
8.对于无旋流场，存在速度势，是否存在环量Γ？为什么？
9．流体周线与流线有何差别？
10．涡线所诱导的速度场都是无旋场吗？为什么？
3.海姆霍兹定理
定理一：同一瞬时，涡管各截面上的涡管强度不变，
即 ∫∫ωndσ = ∫∫ ωndσ = const
σ1
σ2
定理二：前提为理想、正压流体，质量力有势，涡管永远由相同的流体质点所组成，又称
涡管保持定理。
定理三：前提为理想、正压流体，质量力有势，任何涡管的旋涡强度不随时间变化，又称
涡管强度保持定理。
推论二：无旋场内有一物体，则包含该物体在内的任意封闭曲线的环量不变。
速度环量Γ的计算： 归纳如下：
（1）沿任意闭曲线的速度环量
对于无旋场：
∫ ∫ ∫ Γ =
B
A Vx dx + Vy dy + Vz dy =
B ∂ϕ dx + ∂ϕ dy + ∂ϕ dy =
A ∂x
流体力学--漩涡理论 ppt课件
17
2 有限平面
C 2 n d 2 J
（单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ 内全部是流
体，没有固体或空洞。
3 任面
PPT课件
C
18
复连通域(多连通域)：
C的内部有空洞或者包 含其他的物体。 双连通域的斯托克斯定理
ABDB ' A' EA AB C BA L
该处的速度
v vx i v y j vz k
流速与流线相切
dx dy dz vx ( x, y, z, t ) vy ( x, y, z, t ) vz ( x, y, z, t )
v
ds
PPT课件
ds
8
涡管vortex tube
流管
元流 截面积为无限小的涡束 截面积为无限小的流束 称为元流 称为涡索（涡丝）。 PPT课件 9
AB Vx dx Vy dy Vz dz dx dy dz x y z AB AB
B
d B A
A
V
Vs
B
对于有旋场:
AB V ds Vx dx Vy dy Vz dz
AB AB
PPT课件
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
σ
C
Ｌ
Ｅ
AB BA
C L 2 n d
C
区域在走向的左侧
PPT课件 19
漩涡理论
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处 为零，则沿任意封闭周线的速度环量为 零
c 2 n d 2 0d 0
沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
vx ( )dxdy x y vy
2 有限平面
C 2 n d 2 J
（单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ 内全部是流
体，没有固体或空洞。
3 任面
PPT课件
C
18
复连通域(多连通域)：
C的内部有空洞或者包 含其他的物体。 双连通域的斯托克斯定理
ABDB ' A' EA AB C BA L
该处的速度
v vx i v y j vz k
流速与流线相切
dx dy dz vx ( x, y, z, t ) vy ( x, y, z, t ) vz ( x, y, z, t )
v
ds
PPT课件
ds
8
涡管vortex tube
流管
元流 截面积为无限小的涡束 截面积为无限小的流束 称为元流 称为涡索（涡丝）。 PPT课件 9
AB Vx dx Vy dy Vz dz dx dy dz x y z AB AB
B
d B A
A
V
Vs
B
对于有旋场:
AB V ds Vx dx Vy dy Vz dz
AB AB
PPT课件
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
σ
C
Ｌ
Ｅ
AB BA
C L 2 n d
C
区域在走向的左侧
PPT课件 19
漩涡理论
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处 为零，则沿任意封闭周线的速度环量为 零
c 2 n d 2 0d 0
沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
vx ( )dxdy x y vy
第05章__漩涡理论
二、速度环量（二ve、lo速ci度ty环c量irculation）
速度环量 ：速度矢在积分路径方向的分量沿该
路径的线积分。
定义 AB ABVsds
（5－4）
某瞬时在流场中任取曲线AB
微元弧 d s
V
Vs
B
Vs
:v
在d
s
向的投影
B
ΓAB
Vds
A
ds
A
22
速度环量是标量，速度方向与积分AB曲线方
度速度环量） 2.斯托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理 5.毕奥－沙伐尔定理 6.兰金组合涡
2
§5-1旋涡运动的基本概念
有旋运动： ωx,ωy,ωz在流场中不全为零的流动
一般，整个流场中某些区域为旋涡区，其余 的地方则为无旋区域。
自然界中如龙卷风,桥墩后面规则的双排涡 列等等是经常能观察到的旋涡运动的例子。但 在大多数情况下流动中的旋涡肉眼难于察觉。
含其他的物体。
AB线将σ切开，则沿周线
σ
ABB，A，EA前进所围的区域
为单连通域。
C
用斯托克斯定理有:
ABB'A'EA2 nd
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
A B D B 'A 'E A A B C B A L 区域在走向的左2侧9
ΓＣ：沿外边界逆时针的环量
ΓL ：沿内边界顺时针的环量
因为 nd const
涡管存在的形式：要么终止
于流体边界或固体边界，要 么自行封闭形成涡环。
不可能 的情况
37
海姆霍兹第二海定姆理霍—兹—第涡二管定保理持定理
正压、理想流体在有势质量力作用下，
流体力学5-漩涡理论
速度环量 ：速度矢在积分路径方向的分量沿该
路径的线积分。
定义 AB ABVsds
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
ΓAB＝－ΓBA
A
r V
Vs
B
dsr
漩涡理论
11
速度环量的其他表示形式：
AB
r V
dsr
AB
V
r cos(V
,
dsr
x
y
dp 2d ( x2 y2 )
2
p
2 (
x2
2
y2
)
c
1 2
V2
c
p
p0
1 2
V2
VR2
r R, V VR,
p
pR
p0
1 2
VR2
43
结论：
旋涡外部压力分布：
pR
p0
1 2
V 2
旋涡内部压力分布：
p
p0
1 2
V2
或 c ÑcVsds 2nd
n
r
漩涡理论
d
C 16
斯托克斯定理证 明三步曲：
1、微元矩形abcd
d abcda
vx dx
(vy
vy x
dx)dy
(vx
vx y
dy)dx
vydy
( vy vx )dxdy x y
y
பைடு நூலகம்
d
vx
路径的线积分。
定义 AB ABVsds
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
ΓAB＝－ΓBA
A
r V
Vs
B
dsr
漩涡理论
11
速度环量的其他表示形式：
AB
r V
dsr
AB
V
r cos(V
,
dsr
x
y
dp 2d ( x2 y2 )
2
p
2 (
x2
2
y2
)
c
1 2
V2
c
p
p0
1 2
V2
VR2
r R, V VR,
p
pR
p0
1 2
VR2
43
结论：
旋涡外部压力分布：
pR
p0
1 2
V 2
旋涡内部压力分布：
p
p0
1 2
V2
或 c ÑcVsds 2nd
n
r
漩涡理论
d
C 16
斯托克斯定理证 明三步曲：
1、微元矩形abcd
d abcda
vx dx
(vy
vy x
dx)dy
(vx
vx y
dy)dx
vydy
( vy vx )dxdy x y
y
பைடு நூலகம்
d
vx
2010-第五章旋涡理论 流体力学
∂ω x ∂ω y ∂ω z + + =0 ∂x ∂y ∂z
∂a x ∂a y ∂a z + + =0 ∂x ∂y ∂z
1 ∂a z ∂a y − vx = ∂z 2 ∂y 1 ∂a x ∂a z v = − y ∂x 2 ∂z 1 ∂a y ∂a x v = z 2 ∂x − ∂y
∫
B
A
ϕ ϕB − ϕ A d=
Γ AB = ∫ V ⋅ ds =
AB
对于有旋场: 由公式
AB
∫ V dx + V dy + V dz
x y
计算 z
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
Γc
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = z dz ∫ c Vx dx + Vy dy + V ∫ c ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz dϕ ∫=
n n
1 2
结论： 涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始， 否则ｄσ→０时有ω→∞。 涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固 体边界，要么自行封闭形成涡环。 不可能 的情况
由该定理得到： 涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈； 涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体 壁面或自由面）。
例5.1 已知速度分布，求涡线方程。
ω=const
方法（详见p146）：
例5.2 已知漩涡强度, 求速度环量。
例5.4 已知速度向量，求绕圆心的速度环量。
方法（详见p146）： 由速度环量定义，式（5-1-9），直接积分求得。
旋涡运动基本定理
流体力学第五章：旋涡理论
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
即 Γｃ＝ΓＬ (与积分路径方向一致时)
§5-2 汤姆逊定理
假设：
（1）理想流体；
（2）质量力有势； （3）正压流体（流体密度仅为压力的数）
汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体 周线的速度环量不随时间而变.
即 d 0
dt
（5－14）
证明:
C上微分长 ds 经dt时间后移到C′，移动速度 v '
θ: 是ds与ｒ的夹角
dH的方向: 垂直于ds和ｒ所在的平面，按右手法则确定。
流体力学中毕奥——沙伐尔公式的形式 旋涡强度为Ｊ（环量Γ＝2Ｊ）的ds段涡丝
对于Ｐ点所产生的诱导速度：
流场中单一有限长涡丝在P点的诱导速度沿 整个涡丝积分：
该式可算出任意单一涡丝所引起的诱导速度场
流场中多条涡丝可组成一涡面, 每条 涡丝的诱导速度求得后，沿涡面积分就可 求得整个涡面上的诱导速度。流体力学中 速度场可以看成是涡丝诱导出来的。
旋涡场的几个基本概念：
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线(vortex line)：
3 2
涡线上所有流体质点在
同瞬时的旋转角速度矢量
与此线相切。
涡线微分方程：
1 ds
取涡线上一段微弧长 ds dxi dyj dzk
该处的旋转角速度 xi y j zk
由涡线的定义（涡矢量与涡线相切），得 涡线微分方程式：
c
dt
c
c2
而积分式
d d dt dt
c
vds
c
dv dt
ds
c
v
d dt
ds
由欧拉方程
第一项积分可写成
c
流体力学漩涡理论ppt课件
速度环量 ：速度矢在积分路径方向的分量沿该
路径的线积分。
定义 AB ABVsds
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
Γ AB＝－Γ BA
A
V Vs
B
ds
漩涡理论
11
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
AB
V cos(V , ds)ds
C L 2 nd
n 0 Γ ｃ＋Γ Ｌ＝０
Γ ｃ=-Γ Ｌ
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
Γｃ＝ΓＬ (与积分路径方向一致时)
漩涡理论
21
§5-2 汤姆逊定理
假设：
（1）理想流体；
（2）质量力有势； （3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）
汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体 周线的速度环量不随时间而变.
第五章：旋涡理论(vortex theory) 1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强 度和速度环量） 2.司托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理 5.毕奥－沙伐尔定理 6.兰金组合涡
1
§５-１ 旋涡运动的基本概念
旋涡场: 存在旋涡运动的流场 有旋运动： ω x,ω y,ω z在流场中不全为零的流动
流场，非有势力。
漩涡理论
23
§５-３ 海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）
abdbaea 2 nd
涡a面bdb上aea n0 0
ab ba 0
ab ba
流线微分方程：
取流线上一段微弧长
ds dxi dyj dzk
该处的速度
路径的线积分。
定义 AB ABVsds
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
Γ AB＝－Γ BA
A
V Vs
B
ds
漩涡理论
11
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
AB
V cos(V , ds)ds
C L 2 nd
n 0 Γ ｃ＋Γ Ｌ＝０
Γ ｃ=-Γ Ｌ
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
Γｃ＝ΓＬ (与积分路径方向一致时)
漩涡理论
21
§5-2 汤姆逊定理
假设：
（1）理想流体；
（2）质量力有势； （3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）
汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体 周线的速度环量不随时间而变.
第五章：旋涡理论(vortex theory) 1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强 度和速度环量） 2.司托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理 5.毕奥－沙伐尔定理 6.兰金组合涡
1
§５-１ 旋涡运动的基本概念
旋涡场: 存在旋涡运动的流场 有旋运动： ω x,ω y,ω z在流场中不全为零的流动
流场，非有势力。
漩涡理论
23
§５-３ 海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）
abdbaea 2 nd
涡a面bdb上aea n0 0
ab ba 0
ab ba
流线微分方程：
取流线上一段微弧长
ds dxi dyj dzk
该处的速度
旋涡理论
J
d
n
d
为任意面积σ上的旋涡强度
如果面积σ是涡管的某一横截面积，为涡管强度
5．速度环量: 速度向量的切向分量沿某一封闭周线的线积分。
AB
C v ds
C
v ds
AB
AB
vs ds
v
x
dx v y dy vzdz
电磁场
磁场强度 H 磁场势 V 电流面密度δ
H 0 H V
方程
v 0 v
流场
流体速度 v 速度势 φ 涡量 Ω
V 0
2
0
2
H δ
i
v Ω
n ds
电流强度 i
H d l δ
l S l S
速度环量 Γ
5-5、漩涡诱导速度场的一般提法
1 v z v y x y z 2 1 v v z y x 2 z x 1 v y v x z x y 2
x x
y y
z z
0
a x x
a y y
a z z
0
1 a z a y v x y z 2 1 a x a z vy 2 z x 1 a y a x vz x y 2
对于有旋场: 由公式
AB
AB Βιβλιοθήκη ds VABx
dx V y dy 计算z dz V
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
d
n
d
为任意面积σ上的旋涡强度
如果面积σ是涡管的某一横截面积，为涡管强度
5．速度环量: 速度向量的切向分量沿某一封闭周线的线积分。
AB
C v ds
C
v ds
AB
AB
vs ds
v
x
dx v y dy vzdz
电磁场
磁场强度 H 磁场势 V 电流面密度δ
H 0 H V
方程
v 0 v
流场
流体速度 v 速度势 φ 涡量 Ω
V 0
2
0
2
H δ
i
v Ω
n ds
电流强度 i
H d l δ
l S l S
速度环量 Γ
5-5、漩涡诱导速度场的一般提法
1 v z v y x y z 2 1 v v z y x 2 z x 1 v y v x z x y 2
x x
y y
z z
0
a x x
a y y
a z z
0
1 a z a y v x y z 2 1 a x a z vy 2 z x 1 a y a x vz x y 2
对于有旋场: 由公式
AB
AB Βιβλιοθήκη ds VABx
dx V y dy 计算z dz V
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
旋涡理论
质点在同一瞬时的旋转角速度向量与此线相切。
2
3
涡线方程：
dx dy dz x ( x, y, z, t ) y ( x, y, z, t ) z ( x, y, z, t )
1
4
2、涡面、涡管：
2
3
3
2
1
c c
1
3、旋涡强度：
d :
n
dJ n d
J n d
H
v
H
o
x
o
x
叠加法例2：左图是一个直均流绕一个卵形柱体流动的问题， 求速度势。
y
＋
2b
V0
m
m
v
x
V0
o
y
x
x方向均匀流 + 等强度源汇： 源(-b,0）、汇(b,0）。
6.2 绕圆柱体的无环量流动
y
V0
o
r
沿轴正向均匀流与偶极的叠加——模拟圆柱绕流
v0 x v0 y
a
x
若流体理想、正压、质量力有势，无旋运动永远无 旋，有旋运动永远有旋；涡线、涡面、涡管及涡管强度 具有保持性。若不满足Kelvin任一条件，则运动过程中 会产生新的旋涡，无旋变成有旋；不具备保持性。
旋涡起因： (1) 粘性：均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋； (2) 非正压流场：大气和海洋中的密度分层形成旋涡；
x
M cos M x 2 r 2 x 2 y 2
6.1.4 点涡 (vortex)
流场中坐标原点处有一根无穷长的直涡线，方向垂直 于图平面，则该涡线与图平面的交点即为一个点涡。 位于（0，0）点涡：
vr 0， v 2 r
2
3
涡线方程：
dx dy dz x ( x, y, z, t ) y ( x, y, z, t ) z ( x, y, z, t )
1
4
2、涡面、涡管：
2
3
3
2
1
c c
1
3、旋涡强度：
d :
n
dJ n d
J n d
H
v
H
o
x
o
x
叠加法例2：左图是一个直均流绕一个卵形柱体流动的问题， 求速度势。
y
＋
2b
V0
m
m
v
x
V0
o
y
x
x方向均匀流 + 等强度源汇： 源(-b,0）、汇(b,0）。
6.2 绕圆柱体的无环量流动
y
V0
o
r
沿轴正向均匀流与偶极的叠加——模拟圆柱绕流
v0 x v0 y
a
x
若流体理想、正压、质量力有势，无旋运动永远无 旋，有旋运动永远有旋；涡线、涡面、涡管及涡管强度 具有保持性。若不满足Kelvin任一条件，则运动过程中 会产生新的旋涡，无旋变成有旋；不具备保持性。
旋涡起因： (1) 粘性：均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋； (2) 非正压流场：大气和海洋中的密度分层形成旋涡；
x
M cos M x 2 r 2 x 2 y 2
6.1.4 点涡 (vortex)
流场中坐标原点处有一根无穷长的直涡线，方向垂直 于图平面，则该涡线与图平面的交点即为一个点涡。 位于（0，0）点涡：
vr 0， v 2 r
旋涡理论
1
2
V0r cos
M
2
cos
r
1
2
V0r sin
M
2
sin
r
研究直匀流绕半径为 a 的无限长圆柱绕流的解。
(1) 速度势—— 基本解叠加法（通解）：
V0r cos
M
2
cos
r
y
V0
r
o
x
a
物面条件定解：
0
r ra
M 2V0a2
V0r
cos
(1
a2 r2
)
V0r sin (1
a2 )
r2
1
2
V0r sin
M
2
sin
r
满足定解条件， 是物理问题的解
(2) 速度分布
vr
r
V0
cos (1
a2 r2 )
v
1 r
V0 sin (1
a2 r2
6.1.4 点涡 (vortex)
流场中坐标原点处有一根无穷长的直涡线，方向垂直
于图平面，则该涡线与图平面的交点即为一个点涡。
位于（0，0）点涡：
vr
0，
v
2 r
vr dr
v rd
2
v dr
vr rd
2
ln
r
v
Γ顺时针方向，若逆时针，上式加负号。
2
第五章 旋涡
该定理说明：涡管或涡束既不能在流体中开始，也不能 在流体中终止，它必须呈现为闭合环形，或者从流体边 界(容器壁面或自由面)上开始或终止，如图5-3所示。例 如抽烟者喷的烟圈成圆形烟环，自然界中的龙卷风开始 和终止于水面和云层等边界面。
图5-3
第三节 流体运动的一些基本概念
迹线与流线
迹线是流场中其一质点运动的轨迹。 例如在流动的水面上撤一片木屑，木屑随水流漂流的途径就是某一水点的 运动轨迹，也就是迹线。流场中所有的流体质点都有自己的迹线，迹线是流 体运动的一种几何表示，可以用它来直观形象地分析流体的运动，清楚地看 出质点的运动情况。迹线的研究是属于拉格朗日法的内容，迹线农示同一流 体质点在个同时刻所形成的曲线。 流线是某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线上的各流体质点的速 度方向都与该曲线相切，因此流线是同一时刻不问流体质点所组成的曲线。 流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流 线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度 方向，由流线的密集程度，也可以判定出速度 的大小。流线的引入是欧拉法的研究特点。例 如在流动水面上同时撤一大片木屑，这时可看 到这些木屑将连成若干条曲线，每一条曲线表 示在同一瞬时各水点的流动方向线，就是流线。
2 n dA
A
第三节 汤姆生定理和亥姆霍兹定理 一、汤姆生定理 汤姆孙(W．Thomson)定理：正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任 何由流体质点所组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。
根据斯托克斯定理和汤姆孙定理可知：旋涡强度直接由速度环 量所度量。在理想流体中始终由某一些流体质点所组成的任意 封闭曲线的速度环量既然保持为常数，与时间无关，也就是它 的旋涡强度保持为常数，且与时间无关。这样流体在运动过程 中本来是无旋流动就不可能变为有旋流动；或者相反，本来具 有旋涡就不能消失。当然这是因为将流体看作为理想的，不考 虑粘性影响的缘故。事实上在真实流体中旋涡将会产生也会消 失。但是在较短时间内，粘性力影响较小时，可以近似地认为 满足汤姆孙定理的条件，而用它来阐明某些现象。
旋涡理论ppt课件
4
d s sin
r2
S
dv
P dH
如要研究空间有限长涡丝在P点的诱导速度，则将上式积分得：
v
4
sin ds
s
r2
直涡丝ＭＮ
25
dv
4
ds sin
r2
直涡丝ＭＮ
诱导速度方向指向纸外。 直线涡丝段对P点所产生的诱导速度为：
v
4R
2 sind
1
电流面密度δ H δ v Ω
涡量 Ω
电流强度 i
i H dl δ nds
l
S
速度环量 Γ
v dl Ω nds
24
l
S
Biot-Savart 定理：
电流诱导磁场强度
d
H
i
d
s
sin r2
i ds
Γ
r
旋涡诱导流体速度
dv
29
5-6、二维旋涡的速度和压强分布
如图5-17所示，涡束内的流动为有旋流动，称为涡核 区；涡束外的流动区域为无旋流动，称为环流区。
一、速度分布
1）旋涡内部：
涡束内部的速度分布为:
vr 0, v r
(r R)
2）旋涡外部： 在环流区内，速度分布为:
vr 0,
v
2r
R 2
亥姆霍兹（Helmholtz）定理 （1）亥姆霍兹第一定理：
——涡管强度空间守恒
在同一瞬间涡管各截面上 的旋涡强度都相同
由斯托克斯定理 abdbaea 2 nd
因为内ωｎ＝０所以 0
d s sin
r2
S
dv
P dH
如要研究空间有限长涡丝在P点的诱导速度，则将上式积分得：
v
4
sin ds
s
r2
直涡丝ＭＮ
25
dv
4
ds sin
r2
直涡丝ＭＮ
诱导速度方向指向纸外。 直线涡丝段对P点所产生的诱导速度为：
v
4R
2 sind
1
电流面密度δ H δ v Ω
涡量 Ω
电流强度 i
i H dl δ nds
l
S
速度环量 Γ
v dl Ω nds
24
l
S
Biot-Savart 定理：
电流诱导磁场强度
d
H
i
d
s
sin r2
i ds
Γ
r
旋涡诱导流体速度
dv
29
5-6、二维旋涡的速度和压强分布
如图5-17所示，涡束内的流动为有旋流动，称为涡核 区；涡束外的流动区域为无旋流动，称为环流区。
一、速度分布
1）旋涡内部：
涡束内部的速度分布为:
vr 0, v r
(r R)
2）旋涡外部： 在环流区内，速度分布为:
vr 0,
v
2r
R 2
亥姆霍兹（Helmholtz）定理 （1）亥姆霍兹第一定理：
——涡管强度空间守恒
在同一瞬间涡管各截面上 的旋涡强度都相同
由斯托克斯定理 abdbaea 2 nd
因为内ωｎ＝０所以 0
流体力学5漩涡理论
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
ΓAB＝－ΓBA
A
r V
Vs
B
dsr
漩涡理论
速度环量的其他表示形式：
AB
r V
dsr
AB
V
r cos(V
,
dsr
)ds
AB
Vxdx Vydy Vzdz AB
A
速度环量单位为
m2 / s
r V
Vs
B
dsr
漩涡理论
沿封闭周线C的速度环量
AB
AB
A
漩涡理论
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
Ñ c cVxdx Vydy Vzdz
Ñc x dx y dy z dz Ñc d 0
对于有旋场:
r V
α
r
Vs
ds C
c ÑcVsds 2nd
————斯托克斯定理
漩涡理论
三、斯托克斯定理
沿任意闭曲线的速度环量等于该 曲线为边界的曲面内的旋涡强度 的两倍,即 Γｃ＝２J
ABDB' A'EA AB C BA L
AB BA
C L 2 nd 漩涡理论
σ
C
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
区域在走向的左侧
推论一 单连域内的无旋运动，流场中r处处
为零，则沿任意封闭周线的速度环量为
零
c 2nd 2 0d 0
沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
漩涡理论
推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流 动无旋，则沿包含固体在内的任意两 个封闭周线的环量彼此相等。
流体力学5-漩涡理论
对于无旋场:
c cVxdx Vydy Vzdz
c x dx y dy z dz c d 0
对于有旋场:
V
α Vs
ds C
c cVsds2nd
————斯托克斯定理
漩涡理论
15
三、斯托克斯定理
沿任意闭曲线的速度环量等于该 曲线为边界的曲面内的旋涡强度 的两倍,即 Γｃ＝２J
或 ccVsds2nd
漩涡理论 24
nd const. d 0, n
涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始
涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固
体边界，要么自行封闭形成涡环。
不可能 的情况
25
海姆霍兹第二定理——涡管保持定理
正压、理想流体在有势质量力作用下， 涡管永远由相同的流体质点所组成。
即涡管永远由相同的流体质点所组成。 但涡管的形状和位置可能随时间变化。
2）流场中漩涡的产生起因于：粘性，非正压
流场，非有势力。
漩涡理论
23
§５-３ 海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）
abdbaea 2 nd
涡面上 n 0 abdbaea 0
a b b a 0
ab ba 0
（逆 顺）
nd nd
1
2
或 nd const.
A
V Vs
B
ds
漩涡理论
11
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
AB
V cos(V , ds )ds
AB
Vxdx Vydy Vzdz AB
A
速度环量单位为
m2 /s
V Vs
B
ds
漩涡理论
流体力学漩涡理论
A
V Vs
B
ds
漩涡理论
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
AB
V cos(V , ds )ds
AB
Vxdx Vydy Vzdz AB
A
速度环量单位为
m2 /s
V Vs
B
ds
漩涡理论
沿封闭周线C的速度环量
c c V s d s
V
α Vs
ds C
cV ds
V
c
xdx
V
ydy
1 2
VR2
p2(x2 2y2)c1 2V 2c
pp0 12V2VR2
结论：
旋涡外部压力分布：
pR
p0
1 2
V2
旋涡内部压力分布： pp012V2VR2
旋涡中心 r0, V 0
旋涡中心的相对压力为
pp0 VR2
旋涡外部:速度越大压力越小 旋涡内部:速度越小压力越小
兰金涡:
（Rankine）
r<R内为旋 转抛物面
3.速度环量的计算： （1）直接由定义计算 （2）由斯托克斯定理，计算漩涡强度
4.毕奥－沙伐尔定理的应用— —诱导速度场的计算
作业 105页 1（1），8，11，15
dt
漩涡理论
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
1) 推论: 流场中原来没有旋涡和速度环量的, 就永远无 旋涡和速度环量。 原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保 持环量不变
2）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。
2）流场中漩涡的产生起因于：粘性，非正压
流场，非有势力。
第五章：旋涡理论(vortex theory) 1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强
流体力学5-漩涡理论
dx)dy
(vx
vx y
dy)dx
vydy
( vy vx )dxdy x y
y
d
vx
vx y
dy
c
而
( v y x
vx y
)
2z
微矩形面积ds上的环量：
v y dy
dx
vy
vy x
dx
a vx
b x
0
d 2zdS 2ndS 2dJ
ab ba 0
Hale Waihona Puke ab ba C 0
（逆 顺）
nd nd
1
2
或 nd const.
漩涡理论 24
nd const. d 0, n
涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始
2）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。
2）流场中漩涡的产生起因于：粘性，非正压
流场，非有势力。
漩涡理论
23
§５-３ 海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）
abdbaea 2 nd
涡面上 n 0 abdbaea 0
dv
4r 2
sindx
ＭＮ段对Ｐ点的诱导速度：
v
2
sin d
4 R 1
4 R
(cos1
cos2
)
方向垂直于纸面向外
直涡丝ＭＮ
33
1.对于无限长直涡丝： θ１=０ θ２=180°
v
漩涡理论知识点总结
漩涡理论知识点总结一、数学模型在漩涡理论中，最基本的数学模型是涡量方程和涡旋形状方程。
涡量是一个描述流体旋转状态的矢量，它由流速场的旋度给出。
涡量方程描述了在流体中涡量的演变过程，它是流体动力学中的基本方程之一。
涡旋形状方程则描述了在漩涡中流体的轨迹和旋转的形状。
除了涡量方程和涡旋形状方程，漩涡理论还涉及到流体的运动方程和流体的力学性质，如黏性、密度和压力分布等。
这些方程和性质共同构成了漩涡理论的数学模型，通过这些模型可以对流体中的漩涡运动进行准确描述和分析。
二、实验观测漩涡现象在自然界中广泛存在，例如水中的漩涡、大气中的龙卷风、宇宙中的星系旋涡等。
科学家们对这些漩涡现象进行了大量的实验观测，通过这些实验观测积累了丰富的数据和经验，为漩涡理论的研究提供了重要的实验基础。
在实验观测中，科学家们采用了各种现代化的流体力学实验设备和技术手段，如风洞实验、水池实验、激光测速仪等。
通过这些实验手段，可以对漩涡的形成、演变和消散过程进行详细观测和记录，从而揭示了漩涡运动的一些重要规律和特性。
三、应用漩涡理论除了在基础理论研究中有重要意义外，还在工程技术、环境科学、气象预报等领域有着广泛的应用。
例如，在航空航天领域，漩涡理论被用于设计和优化飞行器的气动外形，以降低飞行器的阻力和提高飞行性能。
在水利工程中，漩涡理论可以用来预测水流的流速和方向，为水利工程的设计和施工提供重要的参考依据。
在海洋工程中，漩涡理论可以帮助科学家们理解海流的形成和演变规律，为海洋资源开发和环境保护提供支持。
总之，漩涡理论是流体动力学中的重要理论之一，它是对流体中漩涡运动规律的系统总结和理论探讨。
通过数学模型、实验观测和应用研究，科学家们不断深化了对漩涡理论的理解和认识，为人类对自然界中漩涡现象的研究和利用提供了重要的理论和技术支持。
希望在未来的研究中，漩涡理论能够继续发展和完善，为人类对自然界的探索和认识作出更大的贡献。
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ωdσ＝ const.
36
结论： 涡管不能在流体中以尖端形式终止或
开始，否则ｄσ→０时有ω→∞。 因为 n d const
涡管存在的形式：要么终止
于流体边界或固体边界，要 么自行封闭形成涡环。
不可能 的情况
37
海姆霍兹第二定理 海姆霍兹第二定理——涡管保持定理
正压、理想流体在有势质量力作用下， 涡管永远由相同的流体质点所组成。 涡管
问题
已知速度场可由式（3-39）和（3-40） 求偏导来确定旋涡场。
已知旋涡场，能否确定速度场？这是本节 要讨论的问题．
问题的前提： 流场中只存在一部分旋涡，其
它区域全为无旋区。 例如流场中有若干弧立涡丝，必然影响周 围无旋区的速度分布。由涡丝引起的速度称为 41 旋涡诱导速度场。
涡丝诱导的速度场的计算: 为了求涡丝诱导速度场，现将电磁场中
(5-2)
n
d
为dσ 上的旋涡强度-涡通量
沿σ 面积分得旋涡强度：
J nd
(5-3)
若σ 是涡管的截面，则Ｊ称为涡管强度,或涡通量。 Ｊ表征流场中旋涡强弱和分布面积大小的物理量
21 问题：式（5-3）与前面学过的什么公式类似？
二、速度环量 二、速度环量（velocity circulation） 速度环量 ：速度矢在积分路径方向的分量沿该
Γ
AB＝－Γ BA
（5－5)
速度环量的其他表示形式：
AB
V ds
AB
AB
V cos(V , ds )ds
Vx dx Vy dy Vz dz AB
23
沿封闭周线C的速度环量
VLeabharlann c Vs ds c
V ds
c
ds C
33
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明： 1) 在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。 2) 推论: 流场中原来有旋涡和速度环量的，永 远有旋涡并保持环量不变，原来没有旋涡和 速度环量的, 就永远无旋涡和速度环量。 例如，从静止开始的波浪运动，由于流 体静止时是无旋的，因此产生波浪以后，波 浪运动是无旋运动。 34
又如绕流物体的流动，远前方流动对物体 无扰动，该处流动无旋，接近物体时流动不再 是均匀流，根据汤姆逊定理和斯托克斯定理， 流动仍保持为无旋运动。 注意: 贴近物体表面极薄一层要除外，由于粘性 的存在，这极薄一层为有旋运动。
35
§５-３ 海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理 ——涡管强度守恒定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同） 海姆霍兹第一定理 说明涡管各截面上的旋 涡强度都相同。 若涡管很小， 垂直于 dσ ，则上式可写成
C
29 区域在走向的左侧
ΓＣ：沿外边界逆时针的环量 ΓL ：沿内边界顺时针的环量
AB BA
积分路线相反，抵消掉了。
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
Ｌ
Ｅ
C
最后有
C L 2 n d
(5-13)
这就是双连通域的斯托克斯定理。
30
单连域内的无旋运动，流场中处处 为 推论一 零，则沿任意封闭周线的速度环量为零
c
（5－11）
n
d C
环量与旋涡强度通过线积分 与面积分联系起来了。
27
证 明:略
上述斯托克斯定理只适用于“单连通区域”
c Vs ds n J 2 nd d
c
（5－11）
单连通区域：
C 所包围的区域σ 内全部是流
体，没有固体或空洞。
路径的线积分。
定义 AB AB Vs ds
（5－4）
某瞬时在流场中任取曲线AB
微元弧 ds
V Vs
B
Vs
: v 在 ds 向的投影 B Γ AB Vds
A
ds
A
22
速度环量是标量，速度方向与积分AB曲线方
向相同时（成锐角）为正,反之为负。
线积分方向相反的速度环量相差一负号，即
2.对于半无限长直涡丝：θ１=90° θ２=180°
v (cos 1 cos 2 ) [0 (1)] 4 R 4 R 4 R
48
在垂直于无限长直涡丝的任何平面内, 流动 都是相同的，可视为二维流动, 相当于一个平面 点涡。如环量为Γ，则在平面极坐标内的诱导速 度为:
y z
α
Vs
c V dx V dy V dz
x
24
速度环量的计算
1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量
对于无旋流场:
AB Vx dx Vy dy Vz dz dx dy dz x y z AB AB d B A
v 2 R
vr 0
R为场点至点涡的距离 例3.4中已证明这种速度场是无旋的。
49
例5.1 例5.1 如图强度相等的两点涡的初始位置，试 就(a)和(b)两种情况决定此两点涡的运动。 解: (a)： 由B—S定律
该式可算出任意单一涡丝所引起的诱导速度场
45
流场中多条涡丝可组成一涡面, 每条
涡丝的诱导速度求得后，沿涡面积分就可
求得整个涡面上的诱导速度。流体力学中 速度场可以看成是涡丝诱导出来的。
46
典型实例： 典型实例：无限长直涡丝
dx段对Ｐ点的诱 导速度是： dv sin dx 2 4r ＭＮ段对Ｐ点的 诱导速度：
v sin d 4 R (cos 1 cos 2 ) 4 R 1
2
直涡丝ＭＮ
方向垂直于纸面向外
v R
47
1.对于无限长直涡丝： θ１=０ θ２=180°
v (cos 1 cos 2 ) [1 (1)] 4 R 4 R 2 R
3
龙卷风1
4
龙卷风2
5
海上漩涡
6
飞机漩涡
7
气旋
8
气旋
9
气旋
10
园盘绕流尾流场中的旋涡 园盘形阻
11
园球绕流尾流场中的旋涡 圆球形阻
12
园柱绕流尾流场中的旋涡 圆 柱 绕 流 （ 交 替 涡 ）
13
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
机 翼 失 速 ( 有 攻 角)
14
弯曲槽道内的二次流 弯 管 二 次 流
dx dy dz (5-1) x ( x, y, z, t ) y ( x, y, z, t ) z ( x, y, z, t )
若已知 x , y , z ，积分上式可得涡线。
与流线的积分一样，将ｔ看成参数。ｔ取定
值就得到该瞬时的涡线。
18
涡管（ vortex tube ）：
3.汤姆逊定理
4.海姆霍兹定理
5.毕奥－沙伐尔定理
6.兰金组合涡
2
§5-1旋涡运动的基本概念
有旋运动： ω x,ω y,ω z在流场中不全为零的流动
一般，整个流场中某些区域为旋涡区，其余 的地方则为无旋区域。 自然界中如龙卷风,桥墩后面规则的双排涡 列等等是经常能观察到的旋涡运动的例子。但 在大多数情况下流动中的旋涡肉眼难于察觉。
c 2 n d 2 0d 0
反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于 零，可得处处ω 为零的结论。
但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无 旋（可能包围强度相同转向相反的旋涡）。
31
推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流
动无旋，则沿包含固体在内的任意两
个封闭周线的环量彼此相等。 即 C L 2 n d
第五章：旋涡理论(vortex theory)
第五章 课堂提问：为什么处于龙卷风中心会是风平浪静？
为什么游泳时应避开旋涡区？ 旋涡场: 存在旋涡运动的流场
即流场中
0
本章仅讨论旋涡运动，不涉及力，属于运动学容。 旋涡场的特性不同于一般流场，需要专门进行研究
1
本章讨论内容：
1.漩涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强 度速度环量） 2.斯托克斯定理
由斯托克斯定理知绕涡管的速度环量等于涡
管的旋涡强度，又汤姆逊定理知该速度环量不随 时间变，因而涡管的旋涡强度不随时间而变。
39
海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于
粘性流体。
海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。
因为流体的粘性将导致剪切、速度等 参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时
间衰减。
40
§5-4 毕奥一沙伐尔定理
涡线上所有流体质点在
同瞬时的旋转角速度矢量
2
3
1
ds
与此线相切。
涡线微分方程：
取涡线上一段微弧长
该处的旋转角速度 x i y j z k
ds dxi dyj dzk
17
由涡线的定义（涡矢量与涡线相切： 叉积为零），得涡线微分方程式：
c
对于有旋场:
c
V ds 2 d
c s n
（5－11）
26
此式称为斯托克斯定理
三、斯托克斯定理
斯托克斯定理： 沿任意闭曲线的速度环量等于 该曲线为边界的曲面内的旋涡 强度,即 Γc＝J
或
c Vs ds n J 2 nd d
A B
对于有旋场:
由公式 AB V ds Vx dx Vy dy Vz dz
AB AB
计算
25
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量