广东省惠阳区中山中学2015-2016学年高中数学理导学案：选修2-13-1-3 空间向量的数量积运算 精品
广东省惠阳高级中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集{}5,4,3,2,1=U ，且{}4,3,2=A ，{45}B =，，则B C A U 等于（ ） A ．{4} B ．{4,5} C ．{1,2,3,4} D ．{2,3} 【答案】D考点：集合的补集交集运算2.若21{2,x x ∈+}，则x =( )．A ．1-B ．1C ．11-或D ．0 【答案】B 【解析】试题分析：21{2,21x x x ∈+}∴+=或21x =1x ∴= 考点：元素和集合的关系3.．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） A ．3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； B ．x x f =)(，2)(x x g =；C ．()f x =()F x =；D ．1()|25|f x x =-, 2()25f x x =-【答案】C 【解析】试题分析：A 中两函数定义域不同；B 中两函数对应关系不同；C 中定义域，对应关系都相同，是同一函数；D 中两函数对应关系不同考点：判断两函数是否为同一函数4.已知函数),1(log )(2+=x x f 若1)(=αf ,则=α( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】试题分析：()1f α=()2log 111αα∴+=∴= 考点：函数求值5.如果集合A={x|a x 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定【答案】B 【解析】试题分析：由题意方程2210ax x ++=有一个解或两个相等的实数解0a ∴=或00a ≠⎧⎨∆=⎩，所以a 的值为0或1考点：1.方程的解的情况；2.集合6.函数12()log f x x =与()2xg x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）【答案】C考点：函数图像与单调性 7.下列各式错误的是（ ）A ．0.80.733>B ．0.60.6log 0.4log 0.6>C ． 0.10.10.750.75-<D ．lg1.6lg1.4>【答案】C 【解析】试题分析：由3xy =是增函数可知A 项正确；由0.6log y x =是减函数可知B 项正确；由0.75xy =是减函数可知C 项错误；由lg y x =是增函数可知D 项正确 考点：函数单调性比较大小8.已知f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<=π>+)0x (0)0x ()0x (1x ，则f [f （－2）]＝( ).A.-1B. 0C. 2D. π【答案】D 【解析】试题分析：由函数解析式可得()()20f f f π-==⎡⎤⎣⎦ 考点：分段函数求值9.右方分别为集合A 到集合B 的对应：其中，是从A 到B 的映射的是()A ．(1)(2)B ．(1)(2)(3)C ．(1)(2)(4)D ．(1)(2)(3)(4) 【答案】B考点：映射10.已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是( )A ．x=60tB ．x=60t+50C ．x=⎩⎨⎧>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t tD ．x=⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t【答案】D 【解析】试题分析：由题意得A ，B 两地相距150km ，某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到达B 地，可得从A 到B 须要2.5小时，以50km/h 的速度返回A 地，从B 到A 需要3小时 ∴当0≤t ≤2.5时，x=60t ， 当2.5＜t ≤3.5时，x=150，当3.5＜t ≤6.5时，x=150-50（t-3.5），所以x=⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t 考点：分段函数的实际应用11.若2()2(1)2f x x a x =+-+在(,4]-∞上是减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(,3]-∞- B ．[3,)-+∞ C ．(]3,-∞- D ．[)+∞,5 【答案】A考点：二次函数单调性12.若对于任意实数x ，都有)()(x f x f =-，且)(x f 在（－∞，0]上是增函数，则（ ）A ．)2()2(f f <-B ．)23()1(-<-f fC ． )2()23(f f <-D ． )23()2(-<f f【答案】D 【解析】试题分析：由()()f x f x -=可知()()22f f =-，函数在（－∞，0]上是增函数，()322f f ⎛⎫∴-<-⎪⎝⎭()322f f ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭考点：函数单调性比较大小第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）13.计算.=+25.2log 2log 233 【答案】2 【解析】试题分析：333332log 2log 2.25log 4log 2.25log 92+=+== 考点：对数式运算 14.函数y =的定义域是 .【答案】2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足30233203x x x ->⎧∴-<<⎨+>⎩，定义域为2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭考点：函数定义域15.已知()5412-+=-x x x f ，则()=x f【答案】x x x f 6)(2+=考点：换元法求解析式16.函数xa y =在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则 a ＝【答案】2试题分析：函数在[0,1]上是单调的，因此0132a a a +=∴= 考点：函数单调性与最值 17.化简式子6563323)6)(2(ba b a b a ⋅⨯-⋅⨯-⋅⨯=【答案】a 4 【解析】2111332215661243a b a b aa b-==-考点：指数式运算18.已知f (x)是定义在[)2,0-∪(]0,2上的奇函数，当0>x 时，f (x)的图象如右图所示，那么f (x)的值域是 .【答案】[)(]3,22,3--考点：函数奇偶性与函数值域三、解答题 （本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.（本小题满分12分）已知全集R U =，集合1|{-<=x x A 或}3≥x ，}312|{≤-=x x B .{}a x x C ≤= 求：（1）A B （2）()U A C B （3）若A C A = ,求实数a 的范围. 【答案】（1）{}|23x x x ≤≥或（2）{|3}x x ≥（3）1-<a试题分析：（1）解不等式得到集合B ，A,B 两集合的并集为两集合的所有元素构成的集合；（2）B 的补集为全集中除去集合B 中的元素，剩余的元素构成的集合，与A 集合的交集为同时在集合A 和U C B 中的元素构成的集合；（3）由A C A = 得到C A ⊆的子集，从而得到a 与集合A 的边界值的大小关系，求得a 的范围试题解析：（1）解：由312≤-x 得2≤x ，即}2|{≤=x x B .……………………………2分 则{|2A B x x =≤ 或}3≥x …………………………………………………4分 （2）由（1）知}2|{>=x x B C U …………………………………………………6分 ∴}3|{)(≥=x x B C A U ………………………………………………………8分 (3) 若A C A = ,则A C ⊆，所以1-<a ……………………………12分 考点：1.集合的交并补运算；2.集合的子集关系 20.（本小题满分10分）如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y=f (x)，并求出定义域。
广东省惠阳区中山中学2015-2016学年高中数学(理)导学案：选修2-13.2.3空间向量及空间角
cos cos θω=-cos cos θω=选修2—1第三章3。
2。
3 空间向量及空间角【自主学习】先学习课本P105-P110然后开始做导学案，记住知识梳理部分的内容;【学习目标】会建立空间直角坐标系，用空间向量方法解决异面直线所成角，线面角、面面角的问题. 【知识梳理】1．异面直线所成角:设异面直线,a b 所成的角θ的取值范围是_______ ，直线,a b 的方向向量分别为,a b ，两向量的夹角α的取值范围是_______则：θα=或θπα=-终有cos θ＝｜cos α|=___________________2．直线与平面所成角：设直线PA 与平面α所成的角为θ, 直线的方向向量PA 与平面α的法向量n 夹角的余弦为cos ,PA n <>sin θ与cos ,PA n <>关系为：_________________________________3．平面与平面所成角：设,m n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l的大小为θ，向量,m n 的夹角为ω，则有θωπ+=或 θω=ωθβlαnnωθβlαnncos cos m n m nθω⋅==二面角α─l ─β的大小为θ（0θπ≤≤),【预习自测】1．平面α的一个法向量n 1＝（1,0， 1），平面β的一个法向量n 2＝(－3,1，3），则α与β所成的角是（ )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．已知A （0，1,1），B （2，－1,0)，C (3，5,7），D （1,2,4)，则直线AB 和直线CD 所成角的余弦值为( ）．A ．错误!B ．－ 错误!C ．错误!D ．－ 错误!3．若平面α的一个法向量n ＝(2,1,1),直线l 的一个方向向量为a ＝（1，2，3)，则l 与α所成角的正弦值为( ）．AB ．C ．D 答案： 1、D 2、C 3、B3.2。
广东省惠阳区中山中学高中数学一学案：对数函数
2.2-1指数与对数转化 (课前先学案）【学习目标】理解对数,常用对数及自然对数的概念；掌握指数式与对数式的互化；重点：对数式与指数式的互化及对数运算 难点：对数概念的理解【知识梳理】1、 对数的概念：如果)10(≠>=a a N a x且，那么数x 叫做 ，记作 ，2、指数式与对数式的互化:⇔=N ax因为指数运算与对数运算互为逆运算，所以前后对应字母相同、取值范围也相同。
3、常用对数是 的对数,记为 ，4、自然对数是 的对数，记为 。
5、对数的性质： （1)零和负数______________对数；6．同底对数恒等式：=Na a log (a>0,且a )1≠; log m a a = （a 〉0，且a )1≠。
【预习自测】1。
把下列指数式化成对数式：1122-=；131273-=；273=a ； 1100.1-=2．把下列对数式化成指数式：241log 2-=；4811log 3-=; 532log 21-=;3001.0lg -=3、填空:=1log a,=a a log ，=aa1log ， =a a1log；2.2-1指数与对数转化（上课正学案）【课堂检测】1、把下列指数式写成对数式_;__________164⇔=x _;__________13⇔=x _;__________6⇔=x e2、把下列对数式写成指数式___;__________3log 2⇔=x ___;__________25lg ⇔=x3。
求下列各式的值 (1)5log 25 , （2） 2log18，（3) lg 10000 ， (4) lg 0.001 ,(5） 161log2。
【拓展探究】 例1。
(1) 求使21log 64=x 成立的x 的值. (2)求使216log=x成立的x的值。
例2、求值：（1）=10log 22(2)=+3log 122【当堂训练】1、有以下四个命题： ①若15,3log 5==x x 则; ②若,21log 25=x 则x=5; ③若50log5==x x 则;④若,3log51-=x 则x=125;其中正确的是 .2、已知,29log=x则x 的值为 。
广东省惠阳区中山中学2015-2016学年高中数学(理)导学案：选修2-13.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示
选修2-1第三章3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示【自主学习】先学习课本P92-P94然后开始做导学案，记住知识梳理部分的内容；【学习目标】1、 理解空间向量的基底、基向量的概念；2、 理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示；3、 掌握空间向量的正交分解及其空间坐标表示.【知识梳理】1.空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ，对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p x a y b z c =++.2.空间的一个基底：空间任何三个的向量叫做空间的一个基底做 .3.单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用{321,,e e e }或{k j i ,, }4.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a +且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在唯一 的有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，则称有序 实数组{,,}x y z 为向量a x =++的坐标，记着p = . 【预习自测】1.对于不共面的三个向量、、，若=++z y x ，则x ＝______，y ＝______，z ＝______．2.设,,i j k 是空间的一组单位正交基底，23a i j k =-+，则向量a 的坐标为 . 3.正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则点1D ，',AC AC 的坐标分别是 ， ， .O ijkQPp4.如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 为CC 1的中点，NC AN 21=， 若,1CC z AD y AB x NM ++=则x ＝______，y ＝______，z ＝______.3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示【课堂检测】1、若{}a,,b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ） A.,,a a b a b +- B. ,,b a b a b +- C. ,,c a b a b +- D. 2,,a b a b a b ++-2、已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)3、已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为AC 1与BD 1的交点，AO ＝xAB →＋yBC →＋zCC 1→，则x ＋y ＋z ＝________.【拓展探究】探究一：如图所示，在正方体''''D C B A ABCD -中，点是E 上底面 中心，求下列各式中的z y x 、、的值.（1）''AA z y x BD ++=； （2）=AE 'AA z y x ++探究二：如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1,,AA b AD a AB ==,2,MC AM c ==A 21=，试用基底},,{表示.MN【当堂训练】1.O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OC OB OA ,,不能构成空间的一个基底，则（ ） A.,,共线 B.,共线 C.,共线 D.O 、A 、B 、C 四点共面2.已知A （3，4，5），B （0，2，1），O （0，0，0），若52=,则C 的坐标________ 3.已知点A 在基底{}c b a ,,下的坐标为（8，6，4），其中i k c k j b j i a +=+=+=,,，则点A 在基底{}k j i,,下的坐标是 .4.在以下三个命题，真命题的个数 .（1）三个非零向量c b a ,,不能构成空间的一个基底，则c b a,,共面；（2）若两个非零向量b a ,与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则b a ,共线；（3）若b a ,是两个不共线的向量，而R b a c ∈+=μλμλ,( 且)0≠λμ，则{}c b a,,构成空间的一个基底.小结与反馈：1． 不共面的三个向量可以作为一组基底子； 2． 注意正交基底到直角坐标系的转换.【课后拓展】1.设i 、j 、k 为空间直角坐标系O -xyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，且AB i j k =-+-，若A 为原点则点B 的坐标是2.已知的重心，则是是不共面四点，ABC G C B A O ∆,,,（ ）OC OB OA OG A ++=2. OC OB OA OG B ++=3. OC OB OA OG C ++=.D 213131.++=3．已知O 、A 、B 、C 为空间不共面的四点，且向量,,-+=++= 向量OC OB OA ,,中能与b a ,构成空间基向量的是______．4．已知},,{c b a 是空间的一个基底，从以下向量c b a ,,，,,,,,+-+-+-中选出三个向量，使它们构成空间的基底，请你写出这个空间中的三组基底______． 5．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M 点G 、H 是线段MN 的三等分点，用基底向量,,OA OB OCBH。
广东省惠阳区中山中学高中数学选修1-1导学案：2-1-3椭
§2.1.3椭圆的简单几何性质（二）【自主学习】阅读课本P-P 内容，完成导学案自主学习内容.一．学习目标1. 掌握椭圆几何性质的简单应用； 2．掌握直线与椭圆的位置关系及其应用二．自主学习1．直线l ：0Ax By C ++=与椭圆的位置关系：直线与椭圆的位置关系可分为：相交、相切、相离这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线l ： 0Ax By C ++=，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，由222201Ax By C x y ab++=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y （或消去x ）得：20mx px q ++=．若0m ≠， 则0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切．2．连结椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则弦长公式为12||AB x -122()y y +( 常与韦达定理联用)注意：涉及弦长的问题，常应用韦达定理“设而不求”地去计算弦长以简化运算。
三．自主检测判断直线320x y -+=与椭圆221164x y +=的位置关系，若相交，求出交点坐标及弦长.答案：相交，交点坐标(0,2)和4870(,)3737--§2.1.3椭圆的简单几何性质（二）【课堂检测】经过椭圆2212x y +=的左焦点1F 作倾斜角为60的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求AB 的长.【拓展探究】探究一：已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+．（1）当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5，求直线的方程．探究二：直线l 过点(1,1)M ，与椭圆22143x y +=相交于,A B 两点，若AB 的中点为M ，试求直线l 的方程；【当堂训练】1. 直线1y kx =+与焦点在x 轴上的椭圆2215x y m +=总有公共点，则m 的取值范围 2. 过椭圆221164x y +=内一点(2,1)M 引一条弦，使弦被M 点平分，求此弦所在的直线方程。
广东省惠阳区中山中学高中数学三导学案：2.1.1简单随机抽样
必修三:§2。
1.1 简单随机抽样【自主学习】先学习必修三课本P54-P57然后开始做导学案，记住知识梳理部分的内容.一、学习目标：1、记住简单随机抽样的概念，能说出抽签法、随机数表法的一般步骤；2、会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。
3、能够根据样本的具体情况选择适当的方法进行抽样二、知识梳理：1．简单随机抽样的定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中抽取n个个体作为样本()n N≤,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都,就把这种抽样方法叫做（每个个体被抽到的可能性均为n N。
）2．最常用的简单随机抽样方法有两种：、．3．抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，，每次从中抽取，连续抽取n次，就得到一个．4．随机数法就是利用、或进行抽样.这里仅介绍随机数表法5。
用随机数表法抽取样本的步骤：①将总体中的个体编号．②在随机数表中任选一个数作为开始．③规定一个方向作为从选定的数读取数字的方向．④开始读取数字,若不在编号中，则跳过，若在编号中则取出，依次取下去,直到取满为止．（相同的号只计一次）⑤根据选定的号码抽取样本．(操作要点是：编号、选起始数、读数、获取样本．）三、预习自测1、为了正确掌握所加工一批零件的长度,抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中,200个零件的长度是（）A、总体B、个体是每一个学生C、总体的一个样本D、样本容量2．下列抽样方法是简单随机抽样的是（)A．从50个零件中一次性抽取5个做质量检验B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验C．从整数集中逐个抽取10个分析奇偶性D．运动员从8个跑道中随机抽取一个跑道3、抽签法中确保样本代表性的关键是( )A、制签B、搅拌均匀C、逐一抽取D、抽取不放回4、用随机数表进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号②获取样本号码③选定开始的数字④确定读数的方向这些步骤的先后顺序应为（）A、①②③④B、①③④②C、③②①④D、④③①②答案：C D B B必修三：§2。
广东省惠阳区中山中学2015-2016学年高中数学理导学案
选修2-1第一章3.2.4 空间向量及空间距离【自主学习】先学习课本P105-P110然后开始做导学案，记住知识梳理部分的内容； 【学习目标】1．理解点到平面的距离的概念．2．能灵活运用向量方法求各种空间距离．3．体会向量法在求空间距离中的作用．【知识梳理】1、两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则___________________ AB2、点到面的距离公式：如图，BO ⊥平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段BO 的长度．若AB 是平面α的任一条斜线段，则在Rt △BOA 中，|BO →|＝|BA →|·cos ∠ABO ＝|BA →|·|BO →|·cos ∠ABO |BO →|.如果令平面α的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到B 点到平面α的距离为_________________________【预习自测】1．在空间直角坐标系中，已知P (－1,0,3)，Q (2,4,3)，则线段PQ 的长度为( )．A B ．5 C D 2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点A 到平面B 1D 1DB 的距离为( )．A B ．2 C D 答案：1、B 2、C3.2.4空间向量及空间距离【课堂检测】1.“空间直角坐标系中，已知A (2,3, 4)， B (－2,1,0)，C (1,1,1)，那么点C 到线段AB 中点的距离是________2．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到面A 1BC 的距离为( )．A ．4 B ．2 C ．4D 【拓展探究】探究一：如图所示，在120°的二面角α -AB -β中，AC ⊂α，BD ⊂β且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A 、B ，已知AC ＝AB ＝BD ＝6，试求线段CD 的长．探究二：正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 、G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离．● 【当堂训练】1. 已知A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1，3，－1)，则______________,==BC AB2．已知A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为______．3．若O 为坐标原点，OA →＝(1,1，－2)，OB →＝(3,2,8)，OC →＝(0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 ( ) A.1652 B ．214 C.53 D.5324．棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则BD 到平面EFD 1B 1的距离为________．小结与反馈：● 【课后拓展】1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC1D 1的距离是( ) A.12B.24C.22D.32 2．在直角坐标系中，设A (－2,3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，则A 、B 两点间的距离为( ) A ．211 B.11 C.22 D ．3113．如图所示，在直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB ＝90°，则点D 到平面ACE 的距离为( ) A.33 B. 233C. 3 D ．2 34．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是A 1B 1的中点，则点A 到直线BE 的距离是( ) A.655 B.455 C.255D.55 5．已知A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为______．6．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则AC 1的长为________．7、在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D 、F 、G 分别为CC 1、C 1B 1、C 1A 1的中点．(1)求证：B 1D ⊥平面ABD ；(2)求证：平面EGF ∥平面ABD ；(3)求平面EGF 与平面ABD 的距离．。
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选修2-1第三章3.2.1 空间向量与平行关系【自主学习】先学习课本P102-P104然后开始做导学案，记住知识梳理部分的内容；【学习目标】1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题．2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系．【知识梳理】1、① 直线的方向向量：__________________________________.② 对于直线l 上的任一点P ,存在实数t ，使得AP t AB =，此方程称为直线的向量参数方程.2、平面的法向量：______________________________________________________3、(1)线线平行设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥m ⇔___________________⇔a ＝λb ⇔______________________(2)线面平行设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔a ⊥u ⇔a·u ＝0⇔_________________________(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u ＝(a 1，b 1，c 1)，v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝λv ⇔________________________________【预习自测】1、 设,a b 分别是直线12,l l 的方向向量，判断直线12,l l 的位置关系：⑴ )1,1,21(),2,2,1(--=-= ⑵ ()()0,0,1,0,0,3a b ==.2、设,u v 分别是平面,αβ的法向量，判断平面,αβ的位置关系：⑴ ()()1,2,2,2,4,4u v =-=--；⑵ )35,1,32(),5,3,2(-=-=答案：1、21//l l ，21//l l 2、βα//， βα//3.2.1 空间向量与平行关系【课堂检测】1. 设()()2,1,2,6,3,6a b =--=--分别是直线12,l l 的方向向量，则直线12,l l 的位置关系是 .2. 设)4,1,3(),5,3,2(--=-=分别是平面,αβ的法向量，则平面,αβ的位置关系是 .3. 已知n α⊥，下列说法错误的是（ ）A. 若a α⊂，则n a ⊥B.若//a α，则n a ⊥C.若,m α⊥，则//n mD.若,m α⊥，则n m =【拓展探究】探究一：1、(1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1，2l 是否平行；①a ＝(4,6，－2)，b ＝(－2，－3,1)；②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,1,0)；探究二：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证：(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .【当堂训练】1. 已知()()1,0,1,0,3,1AB AC =-=-，能做平面ABC 的法向量的是（）A. ()1,2,1B.11,,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()1,0,0 D. ()2,1,32、已知()()2,2,1,4,5,3AB AC ==，求平面ABC 的一个法向量.3、已知正方体1111OABC O A B C -的棱长为1，E 是11C O 上的点，且11,12C E EO =F 是1CC 上的点，且112C F FC =.A BC的一个法向量；（1）求平面11A BC（2）证明： EF∥平面11小结与反馈：1、求平面的法向量步骤：⑴设平面的法向量为(,,)；n x y z⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；⑶根据法向量的定义建立关于,,x y z的方程组；⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.【课后拓展】1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.2、如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝3，EF＝2.求证：平面ABE∥平面DCF.。
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选修2-1第三章
3.1.3 空间向量的数量积运算
【自主学习】
先学习课本P90-P92然后开始做导学案，记住知识梳理部分的内容； 【学习目标】
1.掌握空间向量夹角概念；
2.掌握空间向量的数量积运算及其运算律；
3.利用空间向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
【知识梳理】
1. 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b ，在空间 一点O ， 作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作 . 注意：①,,a b b a <>=<>成立吗？
②范围: ,a b ≤<>≤ ；,a b 〈〉=0时,a b 与 ； ,a b 〈〉=π时,a b 与 ③,a b <>= ，则称a 与b 互相垂直，记作 . 2. 向量的数量积：
已知向量,a b ，则 叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅= . 规定: ①零向量与任意向量的数量积等于零. ②cos ,_________a a a a a a ⋅== 3. 空间向量数量积运算律： （1）
()()()
a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ （2）a b b a ⋅=⋅（交换律）（3）
()a b c a b a c
⋅+=⋅+⋅（分配律）
【预习自测】
1.已知ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边为,,a b c ，且3,1a b ==,30C ∠=︒,则BC CA ∙=
2. 已知0||1,||2,30,a b a b ===，则________a b =⋅
3.已知2,2
2
||,22||-==
=⋅b a b a ，则a 与的夹角为______． 4.已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为
3
π
，则下面向量中与212e e -垂直的是（ ） A. 12e e + B. 12e e - C. 1e D. 2e
∙
O
答案：1、2
3
3-
2、3
3、π43
4、C
3.1.3 空间向量的数量积运算
【课堂检测】
1、 在边长为1的正三角形⊿ABC 中，求错误！未找到引用源。
2、已知向量错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错
误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
____
3、错误！未找到引用源。
, 则错误！未找到引用源。
的夹角大小为_____.
● 【拓展探究】
例1．如图，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，计算：(1)EF BA ⋅； (2)EF BD ⋅； (3)EF DC ⋅．
例2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求向量1BC 与AC 的夹角的大小．
● 【当堂训练】
1．下列命题中正确有个数为（ ）
①若0a b ∙=，则a ，b 中至少一个为0； ②若a 0≠且a b a c ∙=∙，则b c =； ③()()a b c a b c ∙∙=∙∙； ④2
2
(32)(32)94a b a b a b +∙-=-；
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3．则=⋅1AC BD ( ) A ．1
B ．3
C ．0
D ．－3
3．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π
3
，则cos 〈OA ，BC 〉的值为( )
A ．12
B ．22
C ．－1
2
D ．0
4．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．
计算：(1)1BC ED ⋅=______________ __ ；(2)1BF AB ⋅ =________________； (3)1EF FC ⋅ =________________． 小结与反馈：
1..向量的数量积的定义和几何意义.
2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.
【课后拓展】
1．若+===,1||,2||，且⊥，则与的夹角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
2．已知24||,19||,13||=+==b a b a ，则=-||b a ( )
A ．22
B ．48
C ．46
D ．32
3．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0===⋅⋅⋅AD AB AD AC AC AB ，则△BCD 是( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定
4．已知空间四边形ABCD ，则=++⋅⋅⋅______.
5．已知直线a 、b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则直线a 与b 所成的角是______．
6．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹
角是60°，则对角线AC 1的长是______．
7．下列命题中：(1)0=⋅则＝0或＝0；(2)==⋅⋅⋅⋅⋅22||||)3();()(
2)(q p ⋅；(4)若a 与b c a c b a ⋅⋅⋅⋅-)()(均不为0，则它们必垂直．其中真命题的序号是
______．
A.1
B.2
C. 3
D. 4
8、已知正四面体棱长为a ，点,,E F G 分别为,,AB AD DC （1）AB AC ⋅ （2）AD DB ⋅ （3）GF AC ⋅ （4）EF BC ⋅ （5）FG BA ⋅ （6）GE GF ⋅。