第三节 一次函数的实际应用

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2. 选择最优方案或方案选取：当给定x值选取方案时，将x的值代入解析式，判断y 值大小；给定y值选取方案时，将y的值代入解析式，判断x值大小；当x、y值均未 给定时，若为两种方案的选取，将两种方案的函数关系式组成不等式，求解对应 的x的取值范围；若为三种方案的选取，可画出函数图象，求出交点坐标，利用函 数图象性质解答； 3. 利润最大或费用最少：常利用一次函数的增减性，即先确定k的正负，再确定x 的范围，取x的两端点的值比较大小即可．
根据题意得
y甲
25n（0<n≤40）
，
18.75n＋250（n>40）
y乙＝20×0.95n＝19n.
∵当n≤40时，y甲>y乙，
∴当n>40，且y甲＝y乙时，即18.75n＋250＝19n，解得n＝1000；
当y甲<y乙时，即18.75n＋250<19n，解得n>1000；
当y甲>y乙时，即18.75n＋250>19n，解得n<1000.
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类型二 方案设计型问题(10年5考) 3. (2016河南20题9分)学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能 灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元． (1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元； (2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节 能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
∴当购买水杯1000个时，两种水杯一样划算；
当购买水杯大于1000个时，购买甲种水杯划算；
当购买水杯小于1000个时，购买乙种水杯划算．
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提分要点 一次函数的实际应用一般涉及：①求一次函数解析式；②选择最优方案或方案选 取；③利润最大或费用最少． 1. 求函数解析式：①文字型及表格型的应用题，一般都是根据题干中给出的数据及 关系式来求一次函数解析式；②图象型的应用题，一般都是找图象上的两个点的坐 标，根据待定系数法求一次函数解析式；
3
请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
第三节 一次函数的实际应用
解：(1)设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元，
根据题意，得 3x＋2y＝120，
5x＋4y＝210，
解得
x＝30，
y＝15.
答：A奖品的单价为30元，B奖品的单价为15元；
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第三节 一次函数的实际应用
(2)设购买A奖品a个，则购买B奖品(30－a)个，共需w元， 根据题意，得w＝30a＋15(30－a)＝15a＋450. ∵15＞0， ∴当a取最小值时，w有最小值．
准备在两种水杯中选一种购买，请问购买哪种水杯比较划算？
第三节 一次函数的实际应用
(2)①设购进甲种水杯a个，则购进乙种水杯(100－a)个，共需P元． 根据题意得P＝25a＋20(100－a)＝5a＋2000. ∵5>0， ∴当a取最小值时，P有最小值． ∵a≥ 1 (100－a)， 解得a2≥100 .
3 又∵a为正整数， ∴当a＝34时，P取得最小值， 此时100－a＝66. 答：当购进甲种水杯34个，乙种水杯66个时最省钱；
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②设该网店购进甲种水杯m个，则购进乙种水杯(500－m)个， 根据题意得m≤ 3 (500－m)， 解得m≤ 375 ， 5
2 设网店获利为w元，则w＝(25－22.4)m＋(20－18)(500－m)＝0.6m＋1000， ∵0.6＞0， ∴w随着m的增大而增大， ∵m≤ 375 且m为正整数，
该网店决定购进甲、乙两种水杯共500个，且甲种水杯的数量不超过乙种水杯 的 3 ，请你帮助该网店设计一种进货方案，使网店获利最大，并求出最大获利为
5
多少元？
③“6·18”期间，该网店开始促销，甲种水杯40个(包含40个)以内按原价出售，大
于40个时，超出部分按照售价的7.5折出售，乙种水杯全部按9.5折出售．若某超市
第三节 一次函数的实际应用
（10年9考，均在解答题考查，9～19分）
目 录 1 河南6年真题面对面 2 重难点精讲优练
第三节 一次函数的实际应用
河南6年真题面对面
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类型一 方案选取问题(10年3考) 1. (2015河南21题10分)某游泳馆普通票价20元/张，暑期为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费； ②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元． 暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设游泳x次时，所需总 费用为y元．
∵a≥ 1 (30－a)，解得a≥7.5. 3
而a为正整数， ∴当a＝8时，w取得最小值，此时30－8＝22. 答：当购买A奖品8个，B奖品22个时最省钱．
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5. (2014河南21题10分)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20 台A型和10台B型电脑的利润为3500元． (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型 电脑的2倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元； ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m(0＜m＜100)元，且限定商店最多购进 A型电脑70台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件， 设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
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②当m＝50时，m－50＝0，
∴y＝15000，
即商店购进A型电脑数量满足33
1 3
≤x≤70的整数时，均获得最大利润；
③当50<m<100时，m－50>0，
∴y随x的增大而增大．
∴当x＝70时，y取得最大值．
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润．
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重难点精讲优练
类型 一次函数的实际应用
例 某网店销售甲、乙两种水杯，已知甲种水杯每个售价比乙种水杯多5元，购买 2个甲种水杯和3个乙种水杯共花费110元． (1)该网店甲、乙两种水杯每个售价各多少元？
解：(1)设该网店甲种水杯每个售价为x元，乙种水杯每个售价为y元，
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4. (2019河南20题9分)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买 3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元． (1)求A，B两种奖品的单价； (2)学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的 1 .
2 ∴当m＝187时，w最大， w最大＝0.6×187＋1000＝1112.2(元)，此时500－187＝313. 答：该网店购进甲种水杯187个，乙种水杯313个时，获利最大，最大获利为 1112.2元；
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③设购买水杯n个，则甲种水杯所需费用为y甲元，乙种水杯所需费用为y乙元．
第三节 一次函数的实际应用
(3)根据题意得y＝(100＋m)x＋150(100－x)， 即y＝(m－50)x＋15000，其中33 1 ≤x≤70.
3 ①当0<m<50时，m－50<0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝34时，y取得最大值， 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大利润；
第2题图
第三节 一次函数的实际应用
解：(1)设A、B两种魔方的单价分别为x元、y元． 根据题意得，
答23 xx：＝A46种yy＝魔1方30的；单，价解为得20元xy＝＝，12B50种，魔方的单价为15元；
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(2)设购买A种魔方m个，则购买B种魔方(100－m)个，其中m≤50，设总费用为w元， 则按活动一购买魔方的总费用为w1＝0.8×20m＋0.4×15(100－m)＝10m＋600； 按活动二购买魔方的总费用为w2＝20m＋15(100－2m)＝－10m＋1500. 当w1＝w2时，即10m＋600＝1500－10m，解得m＝45； 当w1<w2时，即10m＋600<1500－10m，解得m<45； 当w1>w2时，即10m＋600>1500－10m，解得m>45. ∵m≤50， ∴当购买A种魔方45个，B种魔方55个时，两种优惠活动效果相同； 当购买A种魔方低于45个时，活动一更实惠； 当购买A种魔方高于45个而不超过50个时，活动二更实惠．
第1题图
第三节 一次函数的实际应用
(2)把x＝0代入y＝10x＋150，得y＝150，
∴A(0，150)．
y＝20x
由题意得
y＝10
x
， 150
解得
x＝15 y＝300
，
∴B(15，300)．
把y＝600代入y＝10x＋150，解得x＝45，
∴C(45，600)；
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第三节 一次函数的实际应用
(3)当0＜x＜15时，选择购买普通票更合算； 当x＝15时，选择购买银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算； 当15＜x＜45时，选择购买银卡更合算； 当x＝45时，选择购买金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算； 当x＞45时，选择购买金卡更合算．
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2. (2017河南21题10分)学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方．已知购买2 个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方4个B种魔方所需款数相同． (1)求这两种魔方的单价； (2)结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个 (其中A种魔方不超过50个)． 某商店有两种优惠活动，如下图所示． 请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．
第三节 一次函数的实际应用
第三节 一次函数的实际应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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解：(1)设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，则
有
10a＋20b＝4000 ，解得 a＝100 ，
20a＋10b＝3500
b＝150
答：每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；
第三节 一次函数的实际应用
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解：(1)设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元．
依题意得
x 3 y＝26 3x 2 y＝29
，
解得
x＝5 y＝7
.
答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；
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(2)设购进A型节能灯m只，则购进B型节能灯(50－m)只，总费用为w元． 依题意得w＝5m＋7(50－m)＝－2m＋350， ∵－2＜0， ∴当m取最大值时，w有最小值， 又∵m≤3(50－m)，∴m≤37.5， ∵m为正整数， ∴当m＝37时，w最小＝－2×37＋350＝276(元)， 此时50－37＝13(只)． 答：最省钱的购买方案是购进37只A型节能灯，13只B型节能灯．
根据题意得 x－y＝5 ，
解得
x＝25
2x＋3y＝110 ，
y＝20
答：该网店甲种水杯每个售价为25元，乙种水杯每个售价为20元；
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(2)①某商家准备一次性购进两种水杯共100个，且甲种水杯的数量不少于乙种水 杯数量的 1 .请你设计出最省钱的购买方案；
2
②若甲种水杯每个进价为22.4元，乙种水杯每个进价为18元．根据消费者的需求，
第三节 一次函数的实际应用
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(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式； (2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示， 请求出点A，B，C的坐标； (3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
解：(1)银卡：y＝10x＋150， 普通票：y＝20x；
(2)①根据题意得y＝100x＋150(100－x)，
即y＝－50x＋15000；
②根据题意得100－x≤2x，解得x≥33
1 3
.
∵y＝－50x＋15000中，－50<0，
∴y随x的增大而减小．
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取得最大值，此时100－x＝66.
答：商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大；