2019-定积分的换元法和分部积分法59563-文档资料
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第三节定积分的换元积分法与分部积分法
1
1 0
0
1
(1 t )dt e t dt
2 0
1 0 0
1
1 3 t t e t 3 1
1 e. 3
12
二.定积分的分部积分法
设函数u(x)、v(x)在区间[a , b]上具有连续导数， 则有 定积分的分部积分公式
a udv uv a a vdu
sinx 0 2 arctan
/2
2
19
2.
设f(x)是以T为周期的周期函数，且可积，则对任
一实数a ，有
a T
0 a
a T a
f ( x )dx f ( x )dx
0
T a T
T
证 由定积分性质3，有
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1/ 2 2 2
2/2
dx
于是
1 2
2 2
dx x2
2
cos t dt 2 / 6 si n t cos t 1 x2
/4
/4 /6
/4
/6
csc tdt cot t
3 1
10
例7 求
2 2
dx x x2 1
解 设 x se ct 0 t ,则 dx sec t tan tdt 2
3e 1 2(e 1 1) 2 5e 1
16
三.定积分的几个常用公式
1. 证明：设 f ( x ) 在对称区间[ a , a ]上连续，且有
① f ( x ) 为偶函数，则
1 0
0
1
(1 t )dt e t dt
2 0
1 0 0
1
1 3 t t e t 3 1
1 e. 3
12
二.定积分的分部积分法
设函数u(x)、v(x)在区间[a , b]上具有连续导数， 则有 定积分的分部积分公式
a udv uv a a vdu
sinx 0 2 arctan
/2
2
19
2.
设f(x)是以T为周期的周期函数，且可积，则对任
一实数a ，有
a T
0 a
a T a
f ( x )dx f ( x )dx
0
T a T
T
证 由定积分性质3，有
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1/ 2 2 2
2/2
dx
于是
1 2
2 2
dx x2
2
cos t dt 2 / 6 si n t cos t 1 x2
/4
/4 /6
/4
/6
csc tdt cot t
3 1
10
例7 求
2 2
dx x x2 1
解 设 x se ct 0 t ,则 dx sec t tan tdt 2
3e 1 2(e 1 1) 2 5e 1
16
三.定积分的几个常用公式
1. 证明：设 f ( x ) 在对称区间[ a , a ]上连续，且有
① f ( x ) 为偶函数，则
第三节定积分的换元法与定积分的分部积分法-资料
(a),(b)，这样就有
b
令t (x)
f[(x)](x)dx
a
f(t
) dt
例2
计算
2
0
co5s xsi nxdx.
解
2
0
co5sxsinxdx
2
0
co5sxd(coxs)
令t coxs
0
t 5dt
1
t6 1 1 . 66
0
20
01xscions2xxdx
2
01scionx2sxdx
201c1o2xsd(cx o)s2arctanx()c0os
() 2 . 2 44 4
二、定积分的分部积分公式
定理 设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具有连续
第三节 定积分的换元法 与 定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定 理 设 函 数f ( x)在 区 间[a, b]上 连 续,
函 数x (t)满 足 条 件:
(1) ( ) a, ( ) b (2) (t)在[ , ](或[ , ])上 具 有 连 续 的 导 数,
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
1
dx1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
奇函数
1
40
1
x2 1x2
dx401
x21(1(11x2x)2)dx
40 1(11x2)dx 4401 1x2dx
单位圆的面积
4.
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
f(x)sx i2 xn 22x2sxixn 2,
b
令t (x)
f[(x)](x)dx
a
f(t
) dt
例2
计算
2
0
co5s xsi nxdx.
解
2
0
co5sxsinxdx
2
0
co5sxd(coxs)
令t coxs
0
t 5dt
1
t6 1 1 . 66
0
20
01xscions2xxdx
2
01scionx2sxdx
201c1o2xsd(cx o)s2arctanx()c0os
() 2 . 2 44 4
二、定积分的分部积分公式
定理 设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具有连续
第三节 定积分的换元法 与 定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定 理 设 函 数f ( x)在 区 间[a, b]上 连 续,
函 数x (t)满 足 条 件:
(1) ( ) a, ( ) b (2) (t)在[ , ](或[ , ])上 具 有 连 续 的 导 数,
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
1
dx1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
奇函数
1
40
1
x2 1x2
dx401
x21(1(11x2x)2)dx
40 1(11x2)dx 4401 1x2dx
单位圆的面积
4.
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
f(x)sx i2 xn 22x2sxixn 2,
定积分的换元法与分部积分法
定积分的换元法与分部积分法摘要：定积分是微积分中的一个重要概念，它表示函数在某个区间上的累积效应。
在计算定积分时，换元法和分部积分法是常用的两种方法。
本文将对定积分的换元法和分部积分法进行介绍，并通过案例演示其具体应用。
1. 定积分简介定积分是微积分中的基本概念之一，它用于计算函数在某个区间上的累积效应。
定积分的符号表示为∫，其中∫f(x)dx表示函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
它的几何意义是函数f(x)与x轴所夹的面积。
2. 换元法换元法是一种常用的计算定积分的方法，它通过引入新的变量，将原函数转化为更易积分的形式。
换元法的基本思想是对函数进行代换，将原函数转化为一个新的函数，并对新函数进行积分。
换元法的公式可以表示为：∫f(g(x))g’(x)dx = ∫f(u)du其中，g(x)是一个可导函数，u=g(x)是其反函数，g’(x)是g(x)的导数。
换元法的具体步骤如下：1.选择适当的换元变量，使得被积函数的形式变得简单；2.计算变量的微分，求出关于新变量的微分表达式；3.将被积函数中原变量用新变量表示，得到新的被积函数；4.计算新的被积函数的积分。
3. 分部积分法分部积分法是另一种常用的计算定积分的方法，它将一个复杂的积分问题转化为两个简单的积分问题。
分部积分法的基本思想是使用差乘法则，将定积分的求解转化为导数和乘积的关系。
分部积分法的公式可以表示为：∫u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u’(x)dx其中，u(x)和v(x)是可导的函数。
分部积分法的具体步骤如下：1.选择一对函数作为u(x)和v’(x)；2.计算u’(x)和v(x)的导数；3.将u(x)v’(x)代入分部积分公式中，并进行计算。
4. 换元法与分部积分法的比较换元法和分部积分法都是计算定积分的有效方法，它们在不同的情况下有不同的应用。
换元法适用于被积函数可以通过代换变量为简单形式的情况。
通过引入新的变量，将原函数转化为更易积分的形式，从而简化计算过程。
第五章第4节定积分的换元法和分部积分法
3
2 arcsin(
ln x)
e4 e
. 6
d ln x 1 ( ln x)2
10
例８ 计算
a
1
dx.
0 x a2 x2
(a 0)
解 令 x a sin t, dx a cos tdt,
x a t , x 0 t 0,
2
原式 2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
2
2
sin
x
5
2
4.
5
05
5
2
9
3
e4
dx
例７
计算
e
x
. ln x(1 ln x)
3
解
原式 e4 e
d(ln x) ln x(1 ln x)
3
3
e4
e
d(ln x)
e4
ln x (1 ln x) 2 e
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
a
20 f (t)dt;
② f ( x)为奇函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
0.
13
0 如
5 5
(
x4
第五章 第4节定积分的换元法和分部积分法
sin
3
x sin
5
5
x cos x sin x 2
3
0
sin
3
x sin
3
x dx
0
cos x sin x 2 dx
3
3
0
2
cos x sin x 2 dx
3
cos x sin x 2 dx
2 3
0 sin x 2 d sin
3
( t 3) d t
2
1
3 1 1 3 22 ( t 3t ) 2 3 3 1
6
例３
计算 0
x 2
cos
0
5
2
cos
5
x sin xdx .
解
令 t cos x ,
2
dt sin xdx ,
t 0,
x sin xdx
5
x 0 t 1,
a
a x d x (a 0).
2 2
0
解: 令 x a sin t , 则 d x a cos t d t , 且当 x 0 时 t 0 , x a 时 t
2
∴ 原式 = a
2
2
2
cos t d t
(1 cos 2 t ) d t 1 2
2
0
2
a
2 a
则 有 f ( x )dx
a
b
f [ ( t )] ( t )dt .
2
证
定积分的换元法与分部积分法
原式
2
ln1xe1
011
(3) 2 cos5xsinxdx. 0
解
2
co5sxsinxdx 2co5sxdcoxs
cos
6
x
2
1
.
0
0
6
6
0
4
2
sinx dx
0
2
2
解 0 sinxd x 0sinx d x sinx d x
cosx0cosx2 1 1 1 1 4
即Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
证 (x x)x xf(t)dt
a
xx
x
( x x ) ( x ) f(t)d t f(t)dt
a
a
x
x x
x
xx
af( t) d t x f( t) d a tf( t) dt x f(t)dt,
由积分中值定理得 f() x [x ,x x ],
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
仍成立.
例2 求下列定积分
1 1 x 2dx 0
解 因为y x 2 在 [ 0 , 1 ] 上连续，y 1 x 3 是它的一个原函数 3
所以
1x2dx
0
(1x3) 3
1 0
1 3
2 2 dx
e11 x
解
1lnx5 5
e 1
1 5
凑微分d ln x
不换元则不变限
另解 原式
u lnx
1u 4du
0
1 5
u5
高等数学：第三节 定积分的换元法、分部积分法
2
0
sin 3 x cos x d x
sin 3 x cos x d x
2
2
0
sin 3 x d (sin x)
sin 3 x d (sin x)
2
[2 5
sin
5 2
x]
2 0
[2 5
sin
5 2
x]
( 20) (0 2 )
5
5
4 5
2
例4：证明
（1）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为偶函数，
2
2
对称性 02
2
sin 2 x cos 2 x d x 1
2 sin 2 2 x d x
0
20
1 2
2
0
1 cos 4 x d x 2
1 4
[
x
sin4 4
x
]
2 0
8
3
e4
例7 计算
1
dx
e x ln x(1 ln x)
3
解：原式 e4
1
d ln x
e ln x(1 ln x)
x
0
t
2
,
x t 0, 2
2
0
f (sin x)dx
0
2
f
sin
2
t
dt
2 f (cos t)dt 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）设 x t 可以证明
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin cos
x
2
x
dx
定积分的换元法与分部积分法
1 2
2 dt
0
2 0
d
sin t cost
sin t cost
1 2
2
1 ln
2
sin
t
cos
t
2 0
.
4
例 4 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则
a
a
f
( x)dx
a
20
f
(
x)
d dx
x
a
f (t )dt
f (x)
即Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
证
xx
( x x) a f (t)dt
x x
x
( x x) ( x) f (t)dt f (t)dt
a
a
x
x x
x
x x
a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt x f (t)dt,
而 st vt
连续函数 f x 在区间 a, b 上的定积分等于它的一个
原函数 F x 在积分区间上的增量 F b F a ？
◆微积分基本公式——牛顿—莱布尼兹公式
设 f x 在区间 a, b上连续，F x 是它的任意一个原函数，
则有
b f x dx F b F a
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
a
a
a
a
0 f ( x)dx 0 f (x)dx, 0 f ( x)dx 0 f (x)dx,
定积分的换元法与分部积分法
定积分的换元法与分部积分法定积分是微积分中的重要概念之一，它用于计算曲线与坐标轴之间的面积、弧长等问题。
在定积分的计算过程中，换元法与分部积分法是常用的两种方法。
本文将详细介绍这两种方法的定义、原理和具体应用，并通过实例来加深理解。
一、换元法换元法，也称为反向链式法则，是利用复合函数的导数来进行积分运算。
在定积分的换元法中，我们通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式，使得积分的计算更加容易。
具体步骤如下：1. 假设被积函数为f(x)，且能够表示为g(u)·u'(x)，其中u是一个关于x的函数。
2. 将u关于x求导得到u'(x)，并解出x关于u的表达式，即x=g^(-1)(u)。
3. 将f(x)中的x替换为g^(-1)(u)，得到f(g^(-1)(u))·u'(x)。
4. 将上述表达式中的dx替换为u'(x)·du。
5. 得到新的被积函数F(u)=f(g^(-1)(u))·u'(x)·du。
6. 对新的被积函数F(u)进行积分。
换元法的主要思想是将原本复杂的积分问题转化为一个简单的积分问题，从而更容易地求解。
下面通过一个例子来说明：例子：计算定积分∫(1+2x)^3·2dx。
解：步骤如下：1. 令1+2x=u，求导得到dx=du/2，将其带入被积函数中得到(1+2x)^3·2·(du/2)。
2. 将x=(u-1)/2，得到被积函数(u^3)·du。
3. 计算新的被积函数的积分即可，∫u^3·du=u^4/4+C，其中C为常数。
4. 将u替换为1+2x，得到最终的结果为(1+2x)^4/4+C。
通过换元法，我们成功地将原本复杂的被积函数简化为了一个简单的表达式，从而更容易地求出其积分。
二、分部积分法分部积分法是用于求解含有积分符号的乘积函数的积分。
在分部积分法中，我们通过对被积函数进行适当的分解和重新组合，使得积分的计算更加容易。
定积分的换元法与分部法
由此公得式:
In
n 1 n
In2
注意:
I0
2 dx
,
0
2
I1
2 sin xdx 1,
0
In
2 sin n xdx
0
2 cosn xdx
0
n n
1 n 1 n
n n n n
3 2 3 2
a
0
注: (1) 当f(x)为奇函数时,
a
f (x)dx 0.
a
(2) 当f(x)为偶函数时,
a
a
f (x)dx 2 f (x)dx.
a
0
练习
7
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铃
例5 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明
(1) 02 f (sin x)dx02 f (cosx)dx ;
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结束
铃
例8
计算
1 0
ln(1 x) (2 x)2
dx
解
原式=
1
0
ln(1
x)
d
2
1
x
ln(1 x) 1 1
1
1 dx
2 x 0 0 2 x 1 x
ln
2
1 3
1 1 01 x
2
1
x
dx
ln
2
1 3
ln(1
高等数学：第三节 定积分的换元法与分部积分法
则 du dx , v x, 1 x2
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
1
x2 0
1 2
0
1
26
1
1 2
20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
12
1 x2
1 2
0
12
3 1. 2
27
例2 计算 4
xdx .
0 1 cos 2 x
解 1 cos 2x 2cos2 x,
sin cos
x
2
x
dx
.
证 设 x0 t dx dt
0
0
xf (sin x)dx
(
t) f [sin(
t)]dt
0 ( t) f (sin t)dt
0 xf (sin x)dx
0 f (sin t)dt 0 t f (sin t)dt
xf (sin x)dx
关于奇、偶函数、三角函数、周期函数的定积分的
例子.
例 设f ( x)在区间[a, a]上可积,则
a
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
a
0
证
由于
a
f ( x)dx
0
f ( x)dx
a
f ( x)dx
a
a
0
对 0 f ( x)dx作变换, 令x t, dx dt. a
f (sin x)dx.
0
20
18
xf (sin x)dx
0
2 0
f (sin x)dx
0
1
x
sin x cos2 x
【2019年整理】定积分的换元积分和分部积分
例5
求
1 sin
1
x
(arctan 1 x2
x)2
dx.
解
1 sin
1
x
(arctan 1 x2
x)2
dx
1 sin x
11 x2
dx
1
1
(arctan x)2 1 x2
dx,
其中 sin 1
x
x2
在区间
1,1上为奇函数，则有
1 sin x
11 x 2
dx
0,
而(arctan x)2 1 x2
1 (e2 1). 4
1
例8 求 0 2 arcsin xdx.
1
1
1
解 0 2 arcsin xdx x arcsin x 0 2 0 2 xd(arcsinx)
1
1
x arcsin x 2 0
0
2
x dx 1 x2
1 π 11 2 4 2 0 2
1 d(1 x2) 1 x2
2π 8
x2
d
x
1 3
x3
2
8 3
0
5.3 定积分的积分方法
5.3.1 定积分的换元积分法
定理 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若 x (t )
满足下列三个条件：
(1)( ) a,( ) b，
(2)当t在α与β之间变化时， (单t )调变化且 '(t)
连续，则
b
a f ( x)dx f (t)'(t)dt
牛顿－莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积 分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积 函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在 区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可. 该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.
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第3章 一元函数积分学及其应用
第1节 定积分的概念，存在条件与性质 第2节 微积分基本公式与基本定理 第3节 两种基本积分法 第4节 定积分的应用 第5节 反常积分 第6节 几类简单的微分方程
2009年12月21日
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
第3节 两种基本积分法(续）
不定积分 换元积分法 分部积分法
换元积分法 定积分
分部积分法
3.1(续） 定积分换元积分法 3.2（续） 定积分分部积分法
2009年12月21日
南京航空航天大学 理学院 数学系
2
3.1（续） 定积分换元积分法
定理3.3 设函数 f(x)C(I)，作代换 x (t)满足:
1) ( ) a , ( ) b ；
2） R( ) I ，
∴
原式 = a 2
2 0
cos2 t
dt
y y a2x2
a2
2(1cos2 t) dt
20
S o ax
a2 (
t 1sin2t
)
2
a2
22
04
2009年12月21日
南京航空航天大学 理学院 数学系
7
例3 计算
4 x2 dx .
0 2x1
解 令 t 2x1 , 则 xt21, dxtdt , 且 2
换 3元
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2 要
0
si3n xsi5n xdx 0coxssin x2 3dx换限
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
0
2
sinx23dsinx
② f(x )为 奇 函 数 ， 则 f( t)f(t),
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )d0x .
2009年12月21日
南京航空航天大学 理学院 数学系
10
例 5 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
(t): F [(t)],
(t)dF dx f(x)(t)f[ (t) ](t),
dx dt
( t ) 是 f [ ( t ) ( t ) ] 的 一 个 原 函 数 .
f[ (t) ] (t) d t( ) ( ), () a 、 () b , F [() ]F [( )] F(b)F(a)
2009年12月21日
南京航空航天大学 理学院 数学系
9
0
0
a
a f (x)dx a f(t)dt0 f (t )dt,
① f(x ) 为 偶 函 数 ， 则 f(t)f(t),
a
0
a
af(x )d x af(x )d x 0f(x )dx
a
20 f(t)d;t
11
2 f(sinx)dx
0
0
2
fsin2tdt
2 f(cots)dt 2 f(coxs)dx;
0
0
（2）设 x t d xd,t
x0 t, xt0,
0
0 xf(sinx)dx(t)f[s i nt)(d ] t
2009年12月21日
南京航空航天大学 理学院 数学系
4
应用换元公式时应注意:
（1）用 x (t )把变量 x换成新变量 t 时，积分限也
相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t)后，不必
象计算不定积分那样再要把(t )变换成原变量 x的函数，而只要把新变量 t 的上、下限分别代 入(t )然后相减就行了.
3) (t)C1[, （ ] 或 [， ]） ；
则 a bf(x )d x f[(t)] (t)dt
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3
证明 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
b
af(x)d xF (b)F (a),
(3) 换元公式也可反过来使用 , 即
f[
(t)
]
(t )
dt
b
a
f (x)d x (令 x(t) )
或配元
f[
(
t
)
]
(
t
)
dt
f
[ (t )
]
d(t)
配元不换限
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5
例1 计算 si3n xsi5n xd.x 0
0(t)f(sti)n d,t
当x0时, t 1; x 4 时, t 3 .
∴ 原式 =
3
t 2 1 2
2 t
dt
1t
1 3(t2 3)dt 21
1 (
1t3 3t
)
3
23
1
22 3
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8
例 4 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则
2
凑 元 不 换
2 5
sin
5
x2
2
0
2 5
s
in
x
5 2
2
4. 5
限
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6
例2 计算
a a2x2dx(a0).
0
解 令 xasint, 则 d x a c o std t,且
当 x0时 ,t0;x a时 , t 2 .
a
a
f
( x)dx
2 a 0
f
( x)dx；
②
f
(
x)
为奇函数，则
a
a
f
( x)dx
0.
证
a
0
a
f(x )d xf(x )d xf(x )d,x
a
a
0
在 0 a
f
( x)dx中令 x
t,
0
a
f(x)dxa0f(t)dt0a
f
(t)dt,
0
0
（2）
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
由此计算
0
1
x
sin x cos2
x
dx
.
证 （1）设 x t d xd,t 2
x0 t ,
2
x t0, 2
2009年12月21日来自南京航空航天大学 理学院 数学系
第1节 定积分的概念，存在条件与性质 第2节 微积分基本公式与基本定理 第3节 两种基本积分法 第4节 定积分的应用 第5节 反常积分 第6节 几类简单的微分方程
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1
第3节 两种基本积分法(续）
不定积分 换元积分法 分部积分法
换元积分法 定积分
分部积分法
3.1(续） 定积分换元积分法 3.2（续） 定积分分部积分法
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2
3.1（续） 定积分换元积分法
定理3.3 设函数 f(x)C(I)，作代换 x (t)满足:
1) ( ) a , ( ) b ；
2） R( ) I ，
∴
原式 = a 2
2 0
cos2 t
dt
y y a2x2
a2
2(1cos2 t) dt
20
S o ax
a2 (
t 1sin2t
)
2
a2
22
04
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例3 计算
4 x2 dx .
0 2x1
解 令 t 2x1 , 则 xt21, dxtdt , 且 2
换 3元
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2 要
0
si3n xsi5n xdx 0coxssin x2 3dx换限
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
0
2
sinx23dsinx
② f(x )为 奇 函 数 ， 则 f( t)f(t),
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )d0x .
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10
例 5 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
(t): F [(t)],
(t)dF dx f(x)(t)f[ (t) ](t),
dx dt
( t ) 是 f [ ( t ) ( t ) ] 的 一 个 原 函 数 .
f[ (t) ] (t) d t( ) ( ), () a 、 () b , F [() ]F [( )] F(b)F(a)
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0
0
a
a f (x)dx a f(t)dt0 f (t )dt,
① f(x ) 为 偶 函 数 ， 则 f(t)f(t),
a
0
a
af(x )d x af(x )d x 0f(x )dx
a
20 f(t)d;t
11
2 f(sinx)dx
0
0
2
fsin2tdt
2 f(cots)dt 2 f(coxs)dx;
0
0
（2）设 x t d xd,t
x0 t, xt0,
0
0 xf(sinx)dx(t)f[s i nt)(d ] t
2009年12月21日
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4
应用换元公式时应注意:
（1）用 x (t )把变量 x换成新变量 t 时，积分限也
相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t)后，不必
象计算不定积分那样再要把(t )变换成原变量 x的函数，而只要把新变量 t 的上、下限分别代 入(t )然后相减就行了.
3) (t)C1[, （ ] 或 [， ]） ；
则 a bf(x )d x f[(t)] (t)dt
2009年12月21日
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3
证明 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
b
af(x)d xF (b)F (a),
(3) 换元公式也可反过来使用 , 即
f[
(t)
]
(t )
dt
b
a
f (x)d x (令 x(t) )
或配元
f[
(
t
)
]
(
t
)
dt
f
[ (t )
]
d(t)
配元不换限
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5
例1 计算 si3n xsi5n xd.x 0
0(t)f(sti)n d,t
当x0时, t 1; x 4 时, t 3 .
∴ 原式 =
3
t 2 1 2
2 t
dt
1t
1 3(t2 3)dt 21
1 (
1t3 3t
)
3
23
1
22 3
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例 4 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则
2
凑 元 不 换
2 5
sin
5
x2
2
0
2 5
s
in
x
5 2
2
4. 5
限
2009年12月21日
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6
例2 计算
a a2x2dx(a0).
0
解 令 xasint, 则 d x a c o std t,且
当 x0时 ,t0;x a时 , t 2 .
a
a
f
( x)dx
2 a 0
f
( x)dx；
②
f
(
x)
为奇函数，则
a
a
f
( x)dx
0.
证
a
0
a
f(x )d xf(x )d xf(x )d,x
a
a
0
在 0 a
f
( x)dx中令 x
t,
0
a
f(x)dxa0f(t)dt0a
f
(t)dt,
0
0
（2）
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
由此计算
0
1
x
sin x cos2
x
dx
.
证 （1）设 x t d xd,t 2
x0 t ,
2
x t0, 2
2009年12月21日来自南京航空航天大学 理学院 数学系