2018年全国统一招生考试最新高考信息卷文科数学(含解析)

2018年全国统一招生考试最新高考信息卷文 科 数 学（二）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|11}A x x =-<<，2{|0}B x x x =-≤，则AB =（ ）A ．{|10}x x -<≤B ．{|10x x -<≤或1}x =C ．{|01}x x ≤<D ．{|01}x x ≤≤【答案】A【解析】由20x x -≤得()210x x x x -=-≥，解得0x ≤，或1x ≥，故(]1,0A B =-．故选A ．2．设复数z 满足2+i +2i iz =，则z =（ ）A ．3 BC ．9D ．10【答案】A【解析】)()()2i i 2i 2i 2ii i z -++====-⋅-，23=．故选A ．3．已知实数a ，b 满足：122a b <<，则（ ） A ．11a b< B ．22log log a b <C．>D ．cos cos a b >【答案】B【解析】函数2xy =为增函数，故0b a >>．而对数函数2log y x =为增函数，所以22log log a b <，故选B ．4．已知命题:p 对任意0x >，总有sin x x <；命题:q 直线1:210l ax y ++=，()2:110l x a y +--=，若12l l ∥，则2a =或1a =-；则下列命题中是真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∨D ．p q ∨【答案】D 【解析】构造函数()sin f x x x =-，()00f =，()1cos 0f x x ='-≥，故函数在()0,+∞上单调递增，故()0f x >，也即sin x x >，故p 为真命题．由于两直线平行，故()120a a --=，解得2a =或1a =-，当1a =-时，1l 与2l 重合，故q 为假命题．故p q ∨为真命题．所以选D ．5．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】正方形面积为28，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为222π×4π24π×1=8π-⨯-⨯，所以黑色区域的面积为288π-，在C ． 6．将函数πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．5πsin 212y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．πsin 212x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．5πsin 212x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．5πsin 224x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】向右平移π4个单位长度得带5πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得到5πsin 212x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选C ． 7．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】模拟程序运行，可得：5a =，2b =，1n =4b =，不满足条件a b ≤，执行循环体； 2n =8b =，不满足条件a b ≤，执行循环体；3n =16b =，不满足条件a b ≤，执行循环体；4n =32b =，满足条件a b ≤，退出循环，输出n 的值为4．故选B ．8．已知在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s c o s s i n B C b c +=．则b 的值为（ ）A ．B ．C D【答案】A【解析】由正弦定理和余弦定理得22222222a c b a b c abc abc +-+-+=，化简得b =9．一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（ ）A ．3B ．3C ．D ．2【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，由侧视图为边长为2的正三角形，结合三视图的性质可知四棱锥底面是边长为2和1223V =⨯=，故选D ．10．已知抛物线214y x =的焦点F 是椭22221y x a b +=（0a b >>）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，若FAB △是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）A 1B 1C D ．2【答案】C 【解析】由题知线段AB是椭圆的通径，线段AB与y轴的交点是椭圆的下焦点1F，且椭圆的1c=，又60FAB∠=︒，11tan60FFAF===︒212AF AF a+==a∴=C．11．如图，在四棱锥C ABOD-中，CO⊥平面ABOD，AB OD∥，OB OD⊥，且212A B O D==，CD与AB所成角为30︒，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．72πB．84πC．128πD．168π【答案】B【解析】由底面ABOD的几何特征易得6OB=，由题意可得：6OD=，由于AB OD∥，异面直线CD与AB所成角为30︒，故30CDO∠=︒设三棱锥O BCD-外接球半径为R，结合OC OD⊥，OC OB⊥，OD OB⊥可得：()222222844R OB OC OD R=++==，该球的表面积为：24π84πS R==．故选B．121x=是函数()f x的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．(],e-∞B．(),e-∞C．()e,-+∞D．[)e,-+∞【答案】A【解析】()f x有唯一极值点1x=，()0f x'∴=有唯一根1x=y k=点，由()'0g x>得，()g x在[)1+∞上递增，由()'0g x<得，()g x在()0,1上递减，()()min1eg x g∴==，ek∴≤，即实数k的取值范围是(],e-∞，故选A．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知平面向量a，b的夹角为150︒，且=a2=b．则2+a b______________．【答案】2【解析】22+===a b．14．已知变量x，y满足3040240xx yx y+≥-+≤+-≤⎧⎪⎨⎪⎩，则3z x y=+的最小值为__________．【答案】0【解析】画出3040240xx yx y+≥-+≤+-≤⎧⎪⎨⎪⎩表示的可行域，如图，由3040xx y+=-+=⎧⎨⎩，可得()3,1A-平移直线33x zy=-+，由图知，当直线经过点()3,1A-，直线在以y 轴上截距最小，此时z 取得最小值为3130-+⨯=，故答案为0．15．设l 是直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是___________．（填写序号）①若l α∥，l β∥，则αβ∥． ②若l α∥，l β⊥，则αβ⊥．③若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥． ④若αβ⊥，l α∥，则l β⊥．【答案】②【解析】①由l α∥，l β∥，不一定推出αβ∥． 反例如图：所以①不正确； ②如图所示：过l 作平面γ交平面α于直线a ，因为l α∥，所以l a ∥，又l β⊥，所以a β⊥，a α⊂，故αβ⊥，所以②正确；③由αβ⊥，l α⊥，不能推出l β⊥；反例如图：故③不正确；④若αβ⊥，l α∥，未必有l β⊥．反例如图：故④不正确；故所给命题正确的是②．16．把函数()()sin 0f x x x =>所有的零点按从小到大的顺序排列，构成数列{}n a ，数列{}n b 满足3n n n b a =⋅，则数列{}n b 的前n 项和n T =__________．【解析】由题意可得：1πa =，22πa =，．．．πn a n =，则 π3n n b n =⨯，12 π32π3...π3n n T n =⋅+⋅++⋅，()213π3...1π3π3n n n T n n +=⋅++-⋅+⋅，相减得：1212π3π3...π3π3n n n T n +-=⋅+⋅++⋅-⋅()121π33...3π3n n n +=+++-⋅三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．数列{}n a 为正项数列，14a =，且对*n ∀∈N ，都有22112n n n n a a a a ++-=； （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足2211log log n n n b a a -=⋅，n T 为数列{}n b 的前项和，求证：1n T <．【答案】（1）12n n a +=；（2）见解析．【解析】（1）∵22112n n n n a a a a ++-=，∴221120n n n n a a a a ++--=，∴()()1120n n n n a a a a ++-+=，∵数列{}n a 为正项数列， ∴12nna a +=，∴{}n a 是以14a =为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n a +=．（2）()2211111log log 11n n n b a a n n n n -===-⋅++，11111111122311n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<++．18．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户．若00.6x <<，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ≤≤，则认定该户为“相对贫困户”，若0.81x <≤，则认定该户为“低收入户”；若100y ≥，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．（1）从乙村的50户中随机选出一户，求该户为“绝对贫困户”的概率；（2）从甲村所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中任选2户，求选出的2户均为“低收入户”的概率；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）． 【答案】（1）310；（2）15；（3）甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差． 【解析】（1）由图知，在乙村50户中，指标0.6x <的有15户，所以，从乙村50户中随机选出一户，该户为“绝对贫困户”的概率为1535010P ==． （2）甲村“今年不能脱贫的非绝对贫困户”共有6户，其中“相对贫困户”有3户，分别记为1A ，2A ，3A ．“低收入户”有3户，分别记为1B ，2B ，3B ，所有可能的结果组成的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}33,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B ．共15个．其中两户均为“低收入户”的共有3个，所以，所选2户均为“低收入户”的概率31155P ==． （3）由图可知，这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差． 19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，M 是AB 的中点．（1）证明：1BC ∥平面1MCA ；（2）若122AB A M MC ===，BC =1C 到平面1MCA 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）连接1AC ，设1AC 与1AC 的交点为N ，则N 为1AC 的中点，连接MN ， 又M 是AB 的中点，所以1MN BC ∥．又MN ⊂平面1MCA ，1BC ⊄平面1MCA ，所以1BC ∥平面1MCA ．（2）由22AB MC ==，M 是AB 的中点，所以90ACB ∠=︒， 在直三棱柱中，12A M =，1AM =，所以1AA =又BC =AC =，1AC =，所以190A MC ∠=︒． 设点1C 到平面1MCA 的距离为h ，因为1AC 的中点N 在平面1MCA 上， 故A 到平面1MCA 的距离也为h ，三棱锥1AAMC -1MCA △的面积1112S A M MC =⋅=，则1133V Sh h ===，得h =， 故点1C 到平面1MCA20A ⎛ ⎝⎭和点()0,1B -． （1）求椭圆G 的方程；（2）设直线y x m =+与椭圆G 相交于不同的两点M ，N ，是否存在实数m ，使得BM BN =?若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2213x y +=；（2）不存在． 【解析】（1A ⎛ ⎝⎭和点()0,1B -， 所以1b =，由22111a ⎝⎭+=，解得23a =（2）假设存在实数m 满足题设，()224+6310x mx m +-=， 因为直线与椭圆有两个交点，所以()22=364810m m ∆-->，即24m <，设MN 的中点为(),p p P x y ，M x ，N x 分别为点M ，N 的横坐标， 则324M N p x x m x +==-，从而4p p m y x m =+=，所以143p BP p y m k x m++==-， 因为BM BN =，所以BP MN ⊥，所以1BP MN k k ⋅=-，而1MN k =， 所以413m m+-=-，即2m =，与24m <矛盾， 因此，不存在这样的实数m ，使得BM BN =．21．已知()11e +ln ef x x x x⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的极值； （2）设()()l n 1e xg x x a x =+-+，对于任意[)10,x ∈+∞，[)21,x ∈+∞，总有()()12e2g x f x ≥成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()f x 的极小值为12e ef ⎛⎫=-⎪⎝⎭，极大值为()2e e f =；（2）(],2-∞．【解析】（1）()()2211e e +1e e 1x x f x x x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭=--=-'，()0x >． 所以()f x 的极小值为12e ef ⎛⎫=-⎪⎝⎭，极大值为()2e e f =．（2）由（1）可知当[)1,x ∈+∞时，函数()f x 的最大值为2e， 对于任意[)10,x ∈+∞，[)21,x ∈+∞，总有()()12e2g x f x ≥成立，等价于()1g x ≥恒成立， ()1e 1x g x a x =+-+'． ①2a ≤时，因为e 1xx ≥+，所以()11e 12011xg x a x a a x x =+-≥++-≥-+'≥+， 即()g x 在[)0,+∞上单调递增，()()01g x g ≥=恒成立，符合题意．②当2a >时，设()1e 1xh x a x =+-+，()()()()2221e 11e 011x x x h x x x +-=-=≥++'， 所以()g x '在[)0,+∞上单调递增，且()020g a ='-<，则存在()00,x ∈+∞，使得()0g x '=， 所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()()001g x g <=，所以()1g x ≥不恒成立，不合题意．综合①②可知，所求实数a 的取值范围是(],2-∞． 22．已知曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+=+⎧⎨⎩（θ为参数）；直线:l θα=（[)0,α∈π，ρ∈R ）与曲线C 相交于M ，N 两点，以极点O 为原点，极轴为x 轴的负半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）记线段MN 的中点为P ，若OP λ≤恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】（1（2）)+∞． 【解析】（1）∵曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+=+⎧⎨⎩（θ为参数），∴所求方程为()()222112x y ++-=，∵cos sin x y ρθρθ==⎧⎨⎩，∴22cos 2sin 2ρρθρθ+-=， ∴曲线C（2）联立θα=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，得()22cos sin 20ρραα+--=，设()1,M ρα、()2,N ρα由122OP ρρ+=OPλ的取值范围为)+∞．23．【选修4—5：不等式选讲】 已知函数()241f x x x =-++， （1）解不等式()9f x ≤；（2）若不等式()2f xx a <+的解集为A B A ⊆，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]2,4-；（2）5a ≥．【解析】（1）()9f x ≤可化为2419x x -++≤，2339x x >-≤⎧⎨⎩，或1259x x -≤≤-≤⎧⎨⎩，或1339x x <--+≤⎧⎨⎩； 24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<-；不等式的解集为[]2,4-．（2）易知()0,3B =，所以B A ⊆，所以2412x x x a -++<+在()0,3x ∈恒成立；241x x a ⇒-<+-在()0,3x ∈恒成立；1241x a x x a ⇒--+<-<+-在()0,3x ∈恒成立；()()30,3350,3a x x a x x ⎧>-∈⎪⎨>-+∈⎪⎩在恒成立在恒成立055a a a ⎧⇒⎨⎩≥⇒≥≥．。