第20章 MATLAB多项式回归与数据插值
用MATLAB求解回归分析
p=（a1，a2，…，am+1）是多项式 y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1 的系数；S 是一个矩阵，用来估计预测误差.
（2）一元多项式回归命令：polytool（x，y，m）
plot(x,y,'k+',x,YY,'r')
例5 财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、 农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。 下表列出了1952-1981年的原始数据，试构造预测模型。
解 设国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业 人口、固定资产投资分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6，财政收 入为y，设变量之间的关系为： y= ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6 使用非线性回归方法求解。
在Matlab工作区中输入命令： beta, rmse
得结果：beta = 110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475
rmse = 4.5362
故回归模型为： y 110.5313 0.1464x1 26.5709x2 0.0001x12 1.8475x22 剩余标准差为 4.5362, 说明此回归模型的显著性较好.
第20章多项式回归与数据插值
则称 S( x)为区间[a, b]上的三次样条函数
(3) 若三次样条函数S( x)满足
S( xi ) yi , i 0,1,L , n 则称S( x)为f ( x)在[a, b]上的三次样条插值函数
2020/3/16
© 谢中华, MATLAB从零到进阶.
3. 三次样条插值原理
多项式拟合与数据插值
f (x j ) = y j ， j = 0，1，…，n。 （1） 然后计算f (x)在区间[a,b](称为插值区间)上点x（称为插值
点）的值作为原函数g(x)（称为被插函数）在此点的近似
值。求插值函数f (x)的方法称为插值方法，（1）式称为插值
条件。
代数多项式比较简单，常用多项式作为插值函数。
2020/3/16
104.9 104.4
105.8 105.2
107.7 107.4
…
…
113.5 113.4
111.9 111.8
108.7 108.8
农村 105.9 106.9 108.3 … 114 112.2 108.6
上年同期 = 100 全国 城市
104.9 104.4
105.3 104.8
106.1 105.7
2020/3/16
© 谢中华, MATLAB从零到进阶.
4. 拟合效果图
多项式拟合与数据插值
matlab教程之排序 插值函数等
Matlab 相关
一、matlab 读取excel 数据
y=xlsread(
'sheet1','c2:c20')
二、matlab 读入excel
一)如果要在matlab format long g 或
format long e
还有很多显示的格式，详情参见format 函数的帮助
（二）也可以用vpa(A,N),N 为显示的数字位数
第一种无法精确控制小数位数，只能是5,10 ，15
第二种可以精确控制小数位数，只是速度很慢，不适用大矩阵问题
三、matlab 将数据保存在excel 中的操作
%xlswrite('文件存盘位置\文件名字（自己想取的文件名）.xls'，在matlab 工作窗口中的数组) %例如：将数组A 存盘到d 盘的003文件夹
xlswrite('d:\003.xls',A)
稍微复杂些：
bb=[1,2,3,4,5,6];
cc=[7,8,9,10,11,12];
xlswrite('test.xlsx',bb','Sheet2','B1:B6')
xlswrite('test.xlsx',cc','Sheet2','C1:C6')
bb=[1,2,3,4,5,6];
cc=[7,8,9,10,11,12];
xlswrite('test.xlsx',bb','Sheet2','B')
xlswrite('test.xlsx',cc','Sheet2','C')与上面程序的效果一样
PS ：如果每次都要存入不同的文件，需要每次修改程序中要保存的文件名
四、matlab如何多开几个M编辑窗口
窗口右上角有一个箭头，点一下就可以了。
(完整版)Matlab学习系列13.数据插值与拟合
13. 数据插值与拟合
实际中，通常需要处理实验或测量得到的离散数据（点）。插值与拟合方法就是要通过离散数据去确定一个近似函数（曲线或曲面），使其与已知数据有较高的拟合精度。
1.如果要求近似函数经过所已知的所有数据点，此时称为插值问
题（不需要函数表达式）。
2.如果不要求近似函数经过所有数据点，而是要求它能较好地反
映数据变化规律，称为数据拟合（必须有函数表达式）。
插值与拟合都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数。区别是：【插值】不一定得到近似函数的表达形式，仅通过插值方法找到未知点对应的值。【拟合】要求得到一个具体的近似函数的表达式。
因此，当数据量不够，但已知已有数据可信，需要补充数据，此时用【插值】。当数据基本够用，需要寻找因果变量之间的数量关系（推断出表达式），进而对未知的情形作预测，此时用【拟合】。
一、数据插值
根据选用不同类型的插值函数，逼近的效果就不同，一般有：（1）拉格朗日插值（lagrange插值）
（2）分段线性插值
（3）Hermite
（4）三次样条插值
Matlab 插值函数实现：
（1）interp1( ) 一维插值
（2）intep2( ) 二维插值
（3）interp3( ) 三维插值
（4）intern( ) n维插值
1.一维插值（自变量是1维数据）
语法：yi = interp1(x0, y0, xi, ‘method’)
其中，x0, y0为原离散数据（x0为自变量，y0为因变量）；xi为需要插值的节点，method为插值方法。
注：（1）要求x0是单调的，xi不超过x0的范围；
matlab回归拟合
matlab回归拟合
回归拟合是一种常见的数据分析方法，通过建立数学模型来描述变量之间的关系，并利用已有数据对模型进行参数估计和预测。Matlab是一种常用的数值计算软件，提供了丰富的工具
和函数用于回归拟合。本文将介绍使用Matlab进行回归拟合
的基本步骤和常用函数。
一、数据导入与处理
在进行回归拟合之前，首先需要将数据导入Matlab中，并进
行必要的处理。Matlab提供了多种导入数据的方式，如读取
文本文件、导入Excel文件、数据库连接等。例如，可以使用"readtable"函数读取文本文件数据，并将数据保存在一个表格
变量中。然后，可以使用表格变量的函数对数据进行预处理，如删除缺失值、选择有效变量等。
二、模型选择与建立
回归拟合的目标是选择合适的数学模型来描述变量之间的关系。在实际应用中，常用的回归模型包括线性回归、多项式回归、非线性回归等。在Matlab中，可以使用"fitlm"函数进行线性
回归拟合，使用"fitrgp"函数进行高斯过程回归拟合，使用"fitnlm"函数进行非线性最小二乘法拟合等。这些函数提供了
灵活的参数配置和模型选择功能，可以根据数据的特点选择合适的回归模型。
三、模型评估与诊断
在进行回归拟合后，需要对拟合效果进行评估和诊断。常用的评估指标包括均方误差（MSE）、决定系数（R-squared）、
残差标准差等。在Matlab中，可以使用"resubLoss"函数计算样本内误差，使用"coefTest"函数检验回归系数的显著性等。此外，还可以通过绘制拟合曲线、残差图等进行可视化分析，以判断模型的合理性和拟合效果的好坏。
MATLAB统计工具箱中的回归分析命令
回 归 系
残 差
置 信 区
数
间
显著性水平 （缺省时为0.05）
的
用于检验回归模型的统计量，
区 间 估
有三个数值：相关系数r 2、 F值、与F 对应的概率p
计
相关系数 r2 越接近 1，说明回归方程越显著；
F > F1-α（k，n-k-1）时拒绝 H0，F 越大，说明回归方程越显著；
与 F 对应的概率 p 时拒绝 H0，回归模型成立.
例 2 观测物体降落的距离 s 与时间 t 的关系， 得到数据如下表，求 s 关于 t 的回归方程 sˆ a bt ct2 .
t 1/30 2/30 3/30 4/30 5/30 6/30 7/30
(s) s
11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 (cm)
从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残
差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明 回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第 二个数据可视为异常点.
Residual Case Order Plot
4
4．预测及作图：
3
2
z=b(1)+b(2)*x;
1
Residuals
在MATLAB工作区中输入命令： beta, rmse
Matlab多变量回归分析教程
本次教程的主要内容包含:
一、多元线性回归2#
多元线性回归:regress
二、多项式回归3#
一元多项式：polyfit或者polytool
多元二项式：rstool或者rsmdemo
三、非线性回归4#
非线性回归：nlinfit
四、逐步回归5#
逐步回归：stepwise
一.多元线性回归
多元线性回归：
确定回归系数的点估计值K b=regress(Y, X )
③无的表达式x=
2、[b t bint,r,rint,stats]=regress(Y t X,alpha) 求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归术
®bint表示回归系数的区间估计.
②r表示残差
③tint表示置信区间
④stats表示用于检验回归模型的统计量.有三个数值：相关系数J、F值、与F对应的概率p
说明：相关系数*越接近1,说明回归方程越显著；时拒绝HO, F越大，
说明回归方程越显著；与F对应的概率p
©alpha表示显著性水平(缺省时为0. 05)
3、rcoplot(r,rint) 画出残差及.其置信区间
具体参见下面的实例演示
4、实例演示，函数使用说明
(1)输入数据
1.>>x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]1:
2.»X=[ones(16,1) x]:
3.»Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'；
复制代码
(2)回归分析及检验
1.>> [b, bi nt,r,rint,stats]=regress(Y,X)
matlab中插值拟合与查表
matlab中插值拟合与查表
MATLAB中的插值、拟合与查表
插值法是实⽤的数值⽅法，是函数逼近的重要⽅法。在⽣产和科学实验中，⾃变量x与因变量y的函数y = f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，⽽只能得到函数在若⼲个点的函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
如何根据观测点的值，构造⼀个⽐较简单的函数y=φ(x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值。⽤简单函数y=φ(x)在点x处的值来估计未知函数y=f(x)在x点的值。寻找这样的函数φ(x)，办法是很多的。φ(x)可以是⼀个代数多项式，或是三⾓多项式，也可以是有理分式；φ(x)可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数。函数类的不同，⾃然地有不同的逼近效果。在许多应⽤中，通常要⽤⼀个解析函数（⼀、⼆元函数）来描述观测数据。
根据测量数据的类型：
1．测量值是准确的，没有误差。
2．测量值与真实值有误差。
这时对应地有两种处理观测数据⽅法：
1．插值或曲线拟合。
2．回归分析（假定数据测量是精确时，⼀般⽤插值法，否则⽤曲线拟合）。
MATLAB中提供了众多的数据处理命令。有插值命令，有拟合命令，有查表命令。
2.2.1 插值命令
命令1 interp1
功能⼀维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出⼀元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。各个参量之间的关系⽰意图为图2-14。
格式 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi，每⼀元素对应于参量xi，同时由向量x 与Y的内插值决定。参量x指定数据Y的点。若Y为⼀矩阵，则按Y的每列计算。yi是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。
最小二乘法matlab实验报告
最小二乘法m a t l a b实
验报告
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
南京信息工程大学实验（实习）报告实验课程数学建模实验名称_ 最小二乘法__ 实验日期 _ 指导老师
专业统计学年级
小组成员
实验目的：学会MATLAB软件中曲线拟合方法。
实验内容及要求：
问题1：多项式回归
某种合金中的主要成分为金属A与金属B，经过实验与分析发现，这两种金属成分之和x 与膨胀系数y之间有一定的关系。由下面的数据建立描述这种关系的数学表示。
金属成分和x=[37.0 37.5 38.0 38.5 39.0 39.5 40.0 40.5 41.0 41.5 42.0 42.5 43.0];
膨胀系数 y=[3.40 3.00 3.00 2.27 2.10 1.83 1.53 1.70 1.80 1.90 2.35 2.54 2.90];
注：使用命令：a=polyfit(x,y,n) %求出n阶拟合多项式y=f(x)的系数；
y1=polyval(a,x1) %求出f(x)在x1点的函数值，其中x1=37.0:0.5:43.0；
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') %比较原数据和拟合曲线效果；
问题2：非线性回归
设观测到的数据如下：
x=20:10:210;
y=[0.57 0.72 0.81 0.87 0.91 0.94 0.95 0.97 0.98 0.99 1.00 0.99 0.99 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 0.99 1.00];
取回归函数为y=b(1)*(1-exp(-b(2)*x)),试估计参数b(1)、b(2)。
数学建模回归分析matlab版
对数回归模型的一般形式为 (y = a + blnx) 或 (y = a + bln(x))，其中 (y) 是因变量，(x) 是自变量，(a) 和 (b) 是待估计的参数。在Matlab中，可以使用 `log` 函数进行对数转换，并使用 `fitlm` 或 `fitnlm` 函数进行线性化处理，然后进行线性回归分析。
总结词
详细描述
多项式回归模型
05
CHAPTER
回归分析的应用
总结词
经济预测是回归分析的重要应用领域之一，通过建立数学模型来预测经济指标、市场趋势和未来经济状况。
要点一
要点二
详细描述
在经济学中，回归分析常用于预测股票价格、消费支出、经济增长率等经济指标。通过收集历史数据，选择合适的自变量和因变量，建立回归模型，可以预测未来的经济趋势和状况，为政策制定和投资决策提供依据。
详细描述
多项式回归模型是一种非线性回归模型，适用于因变量和自变量之间存在多项式关系的情况。
多项式回归模型的一般形式为 (y = sum_{i=0}^{n} a_i * x^i)，其中 (y) 是因变量，(x) 是自变量，(a_i) 是待估计的参数。在Matlab中，可以使用 `polyfit` 函数进行多项式拟合，并指定多项式的阶数。然后可以使用 `polyval` 函数进行预测和评估模型的性能。
生物统计
matlab多元曲线polynomial function拟合
在MATLAB中，进行多元多项式函数拟合时，通常是指对多个自变量与一个因变量之间的关系进行拟合。然而，polyfit函数本身并不直接支持多变量的多项式拟合，它主要用于单变量的一元多项式拟合。对于多变量的情况，可以采用多项式回归（Multivariate Polynomial Regression），这通常涉及到构造和求
解一个高维多项式方程组。
对于两变量或多变量的多项式拟合，一种方法是使用网格化或基于点的多项式插值，例如通过interp2、griddata等函数实现。但如果你想进行多元多项式回归分析，你需要构建一个多变量的多项式模型，并使用线性回归工具来拟合数据。
假设你有两变量x1和x2，以及对应的因变量y，你可以构建一个二元多项式
模型如：
y=a0+a1x1+a2x2+a3x12+a4x22+a5x1x2+…y = a_0 + a_1 x_1 +
a_2 x_2 + a_3 x_1^2 + a_4 x_2^2 + a_5 x_1 x_2 + \dots y=a0+a1 x1+a2x2+a3x12+a4x22+a5x1x2+…
为了拟合这样一个模型，你需要首先生成所有可能的交叉项并组织成矩阵形式，然后利用最小二乘法或其他优化算法来估计参数。以下是一个简单的示例代码片段：
Matlab
1% 假设你的数据存储在变量X1, X2和Y中，它们都是同型的矩阵或向量
2[X1, X2] = meshgrid(linspace(min(X1), max(X1), N), linspace(min(X2), max(X2), M)); % 创建网格
matlab 多项式回归
MATLAB多项式回归
引言
多项式回归是一种机器学习和统计学中常用的回归分析方法。它在数据建模和预测中广泛应用。MATLAB作为一种强大的计算工具，提供了丰富的函数和工具箱，可
以方便地进行多项式回归分析。本文将介绍MATLAB中多项式回归的基本原理、使
用方法以及一些应用示例。
什么是多项式回归
多项式回归是传统的回归分析的一种扩展形式，它用多项式函数来拟合数据。在多项式回归中，因变量与自变量之间的关系被表示为一个多项式方程。多项式回归可以用于描述非线性关系，并且具有较高的灵活性。
多项式回归的基本原理
多项式回归的基本原理是通过最小二乘法拟合多项式函数来实现对数据的拟合。最小二乘法是一种常用的数学优化方法，它通过最小化残差平方和来寻找最佳拟合线。
多项式回归的使用方法
在MATLAB中，多项式回归可以使用polyfit函数进行拟合。polyfit函数的基本语
法如下：
p = polyfit(x, y, n)
其中，x是自变量向量，y是因变量向量，n是多项式的阶数。函数的返回值p是一个包含拟合多项式的系数的向量。
多项式回归示例
接下来，我们将通过一个简单的示例来演示多项式回归在MATLAB中的使用。
示例数据
首先，我们需要准备一组示例数据。假设我们有以下自变量和因变量的数据：
自变量因变量
1 2
2 3
3 5
4 7
5 8
数据可视化
在进行多项式回归之前，我们可以先将数据进行可视化，以便更好地理解数据分布情况。
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [2, 3, 5, 7, 8];
figure;
scatter(x, y);
Matlab中的多项式拟合方法及应用
Matlab中的多项式拟合方法及应用
MATLAB是一种强大的数学软件工具，被广泛用于科学研究和工程应用中。
在MATLAB中，多项式拟合是一种常见的数据拟合方法，可用于处理实验数据、
信号处理和图像处理等领域。本文将介绍MATLAB中的多项式拟合方法，并探讨
其在各个应用领域中的具体应用。
一、多项式拟合方法的基本原理
多项式拟合是将一组实验数据拟合成一个多项式函数的过程。多项式函数由若
干个幂函数组成，形如：
\[ f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n \]
其中，\(x \)是自变量，\(a_0, a_1, \ldots, a_n \)是待确定的系数。多项式拟合的
目标是找到最佳的系数，使得多项式函数在给定数据点上尽可能地接近实际观测值。
多项式拟合方法的关键是确定多项式的阶数，即确定多项式中幂函数的最高次数。如果阶数过高，多项式函数可能会过度拟合实验数据，导致对噪声的过度敏感。相反，如果阶数过低，可能会导致无法充分拟合实际曲线。因此，选择适当的多项式阶数至关重要。
二、MATLAB中的多项式拟合函数
在MATLAB中，polyfit()函数是常用的多项式拟合函数。它的基本用法如下：
\[ p = polyfit(x, y, n) \]
其中，\(x \)是自变量的数据点向量，\(y \)是对应的观测值向量，\(n \)是多项式
的阶数。polyfit()函数返回多项式系数向量\(p \)，其中\(p(1) \)对应于\(a_n \)，\(p(2) \)对应于\(a_{n-1} \)，依此类推。
用MATLAB求解回归分析课件
02
确定模型形式
03
确定模型参数
根据实际问题和数据特征，选择 合适的回归模型形式，如线性回 归、多项式回归、岭回归等。
根据选择的模型形式，确定模型 参数，如线性回归中的斜率和截 距。
多元回归模型的求解
最小二乘法
多元回归模型通常使用最小二乘 法进行求解，通过最小化预测值 与实际值之间的平方误差来求解 模型参数。
收敛性判断
在迭代求解过程中，需要判断参数是否收敛，以确保求解的稳定 性和准确性。
初始参数选择
合适的初始参数选择对迭代求解的收敛性和结果精度有很大影响 ，因此需要合理设置初始参数值。
非线性回归模型的评估
残差分析
通过分析残差分布情况，判断模型是否符合实际 数据特征，以及是否需要进行模型改进。
预测能力评估
详细描述
Matlab提供了丰富的绘图函数，可以绘制各种类型的图形，包括折线图、柱状 图、散点图等。同时还可以进行图像处理，如读取、显示和编辑图像等。
03
CATALOGUE
线性回归分析
线性回归模型的建立
确定自变量和因变量
首先需要确定回归分析中的自变量和因变量，通常因变量是我们 要预测的目标变量，自变量是可能影响因变量的因素。
。
确定非线性关系
02
根据实际问题和数据特点，选择合适的非线性函数形式来表示
MATLAB中的数学建模方法及应用
MATLAB中的数学建模方法及应用引言
数学建模作为一门重要的学科，已经成为了现代科学研究和工程实践中不可或
缺的一部分。而在数学建模过程中，数值计算和数据分析是关键步骤之一。MATLAB作为一种强大的数学计算软件，在数学建模领域得到了广泛应用。本文
将介绍MATLAB中常用的数学建模方法，并探讨一些实际应用案例。
一、线性模型
线性模型是数学建模中最基础的一种模型，它假设系统的响应是线性的。在MATLAB中，我们可以通过矩阵运算和线性代数的知识来构建和求解线性模型。
例如，我们可以使用MATLAB中的线性回归函数来拟合一条直线到一组数据点上，从而得到一个线性模型。
二、非线性模型
与线性模型相对应的是非线性模型。非线性模型具有更强的表达能力，可以描
述更为复杂的系统。在MATLAB中，我们可以利用优化工具箱来拟合非线性模型。例如，我们可以使用MATLAB中的非线性最小二乘函数来优化模型参数，使得模
型与实际数据拟合程度最好。
三、微分方程模型
微分方程模型在科学研究和工程实践中广泛应用。在MATLAB中，我们可以
使用ODE工具箱来求解常微分方程（ODE）。通过定义初始条件和微分方程的表
达式，MATLAB可以使用多种数值方法来求解微分方程模型。例如，我们可以利
用MATLAB中的欧拉法或者龙格-库塔法来求解微分方程。
四、偏微分方程模型
偏微分方程（PDE）模型是描述空间上的变化的数学模型。在MATLAB中，我们可以使用PDE工具箱来求解常见的偏微分方程模型。通过定义边界条件和初始条件，MATLAB可以通过有限差分或有限元等方法来求解偏微分方程模型。例如，我们可以利用MATLAB中的热传导方程求解器来模拟物体的温度分布。
第20章 多项式回归与数据插值
代码略。。。
2017/9/16
125 原始散点 4次多项式拟合 6次多项式拟合 8次多项式拟合 9次多项式拟合
120
食品零售价格分类指数(y)
115
110
105
100
95
20
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 07 007 007 007 007 007 008 008 008 008 008 008 009 009 009 009 009 009 010 010 010 010 010 010 011 011 011 011 011 011 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11
序号 统计月度 上年同月 = 100 全国 城市 农村 上年同期 = 100 全国 城市 农村
1
2 3 … 57 58 59
2017/9/16
2007年1月
2007年2月 2007年3月 … 2011年9月 2011年10月 2011年11月
104.9
105.8 107.7 … 113.5 111.9 108.7
delta] = polyval(p,
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多项式拟合与数据插值
125 原始散点 4次多项式拟合 6次多项式拟合 8次多项式拟合 9次多项式拟合
120
食品零售价格分类指数(y)
115
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1. 数据的散点图
125
120
食品零售价格分类指数(y)
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100
95
20
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 07 007 007 007 007 007 008 008 008 008 008 008 009 009 009 009 009 009 010 010 010 010 010 010 011 011 011 011 011 011 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11
插值、最近邻插值、三次样条插值和B样条插值等。
2017/1/1
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多项式拟合与数据插值
三、二维插值问题的数学描述
二维插值问题的数学描述为： 已知某二元函数 z = G(x, y)（ 解析表达式可能十分复杂, 也可以是未知的）在平面区域D上N个互异点 (xi, yi) 处的函数 值 zi ， i = 0,1,…,N ，求一个足够光滑、简单便于计算的插 值函数f(x, y)。由插值函数可以计算原函数在平面区域 上任
2. 三次样条插值函数
a x0 x1 xn b为区间[a, b]的一个分割
f ( xi ) yi , i 0,1,, n
如果函数S ( x )在区间[a, b]上满足条件 :
(1) S( x)在每个小区间[ xi 1 , xi ]上都是三次多项式
(2) S ( x), S ( x), S ( x)都在区间[a, b]上连续
2017/1/1
©Hale Waihona Puke Baidu
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多项式拟合与数据插值
3. poly2sym函数的用法 r = poly2sym(p,
多 项 式 的 符 号 表 达 式 多 项 式 系 数 向 量
v)
自 变 量 符 号 或 取 值
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多项式拟合与数据插值
1. polyfit函数的用法 [p,
系 数 向 量 的 估 计 值
S,
用 于 误 差 估 计 的 结 构 体 变 量
mu] = polyfit(x,
均 值 和 标 准 差 自 变 量 观 测 值 向 量
y,
因 变 量 观 测 值 向 量
n)
多 项 式 阶 数
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3(n-1)个方程
这样就得到4n - 2个方程，为保证待定参数的唯一性，还差两个 方程。为此，常用的方法是对边界节点除函数值外附加要求，
这就是所谓的边界条件。根据实际问题的不同，三次样条插值 常用到下列三类边界条件。
则称 S ( x )为区间[a, b]上的三次样条函数
(3) 若三次样条函数S ( x )满足
S ( xi ) yi , i 0,1,, n
则称S ( x )为f ( x )在[a, b]上的三次样条插值函数
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多项式拟合与数据插值
3. 三次样条插值原理 在n个小区间构造S(x)，共有n个三次多项式，需确定4n个参数 在所有节点上 S ( xi ) yi , i 0,1,, n 在除端点外的节点上 n+1个方程
>> S6.normr
>> [p7,S7] = polyfit(x,y,7); % 7次多项式拟合 >> S7.normr
>> [p8,S8] = polyfit(x,y,8); % 8次多项式拟合
>> S8.normr >> [p9,S9] = polyfit(x,y,9); % 9次多项式拟合
>> S9.normr
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多项式拟合与数据插值
4. 拟合效果图 在以上拟合结果的基础上，可以调用polyval函数计算给
定自变量 处的因变量 的预测值，从而绘制拟合效果图，
从拟合效果图上直观地看出拟合的准确性。
代码略。。。
2017/1/1
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106.9 108.3 … 114 112.2 108.6
104.9
105.3 106.1 … 112.6 112.5 112.2
104.4
104.8 105.7 … 112.4 112.3 112
105.9
106.4 107 … 113.1 113 112.6
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多项式拟合与数据插值
时间 (x)
2017/1/1
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多项式拟合与数据插值
第二节 插值问题的数学描述
2017/1/1
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多项式拟合与数据插值
一、什么是插值
所谓插值就是在已知离散数据的基础上补插连续函数， 使得这条连续曲线（或曲面）通过全部已知的离散数据点， 利用插值方法可通过函数在有限个点处的取值状况，估算 出函数在其他点处的近似值。
时间 (x)
2017/1/1
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多项式拟合与数据插值
2. 四次多项式拟合 假设 y 关于 x 的理论回归方程为
ˆ p1x4 p2 x3 p3 x2 p4 x p5 y
调用polyfit函数求系数估计值
>> p4 = polyfit(x,y,4) p4 = -0.0001 0.0096 -0.3985 5.5635 94.2769 >> r = poly2sym(p4); >> r = vpa(r,5)
1
2 3 … 57 58 59
2017/1/1
2007年1月
2007年2月 2007年3月 … 2011年9月 2011年10月 2011年11月
104.9
105.8 107.7 … 113.5 111.9 108.7
104.4
105.2 107.4 … 113.4 111.8 108.8
105.9
2017/1/1
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多项式拟合与数据插值
2．基本思想 一维插值方法的基本思想是：根据g(x)在区间[a,b]上 n +1个互异点 x j （称为节点）的函数值 y j ，j = 0,1,…,n，求 一个足够光滑、简单便于计算的函数f (x)（称为插值函数） 作为g(x)的近似表达式，使得 f (x j ) = y j ， j = 0，1，…，n。 （1） 然后计算f (x)在区间[a,b](称为插值区间)上点x（称为插值 点）的值作为原函数g(x)（称为被插函数）在此点的近似
n n 1 y p x p x pn xi pn1 i , 1 i 2 i i iid 2 ~ N (0, ) , i 1, 2,, m. i
2017/1/1
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多项式拟合与数据插值
二、多项式回归的MATLAB实现
意点处的近似值。常用的二维插值方法有：分片线性插值、
双线性插值、最近邻插值、三次样条插值和B样条插值等。
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多项式拟合与数据插值
四、三次样条插值的数学描述
1. 什么是样条？
是一个细的、可弯曲的木制或塑料条，在飞机或轮
船等的设计制造过程中为描绘出光滑的外形曲线(放样)
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多项式拟合与数据插值
第一节 多项式回归
2017/1/1
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多项式拟合与数据插值
一、多项式回归模型
对于可控变量
x 和随机变量 y 的 m (m n) 次独立的 x （自变
观测 ( xi , yi ), i 1, 2,, m ， y （响应变量）和 量）之间的多项式回归模型为：
2017/1/1
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多项式拟合与数据插值
二、一维插值问题的数学描述
１．数学描述 一维插值问题的数学描述为： 已知某一函数 y = g(x)（ g(x)的解析表达式可能十分复杂, 也可以是未知的）在区间[a, b]上n +1个互异点 xj 处的函数值 y j ， j = 0,1,…,n ，还知道g(x)在[a, b]上有若干阶导数，如何 求出g(x)在[a, b]上任一点x的近似值。
多项式拟合与数据插值
3. 更高次多项式拟合 调用polyfit函数作更高次（大于4次）多项式拟合，并
把多次拟合的残差的模加以对比，评价拟合的好坏。
>> [p5,S5] = polyfit(x,y,5); % 5次多项式拟合 >> S5.normr >> [p6,S6] = polyfit(x,y,6); % 6次多项式拟合
三、多项式回归案例
【例20.1-1】现有我国2007年1月至2011年11月的食品零售价格分 类指数数据，如表20.1-1所示。数据来源：中华人民共和国国家
统计局网站月度统计数据。试根据这59组统计数据研究全国食
品零售价格分类指数 y（上年同月 = 100）和时间 x 之间的关系。
序号 统计月度 上年同月 = 100 全国 城市 农村 上年同期 = 100 全国 城市 农村
所用的工具 从物理上讲，样条满足插值点的约束，同时使势能 达到最小 三次样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成
的曲线，在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导
数也是连续的，1946年,Schoenberg将样条引入数学,即 所谓的样条函数
2017/1/1
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多项式拟合与数据插值
多项式拟合与数据插值
2. polyval函数的用法 [y,
因 变 量 估 计 值 向 量
delta] = polyval(p,
误 差 标 准 差 的 估 计 值 向 量 多 项 式 系 数 向 量
x,
用 户 指 定 的 自 变 量 取 值 向 量
S)
用 于 误 差 估 计 的 结 构 体 变 量
r = - 0.000074268*x^4 + 0.0096077*x^3 - 0.39845*x^2 + 5.5635*x + 94.277
ˆ 0.0001x4 0.0096x3 0.3985x2 5.5635x 94.2769 y
2017/1/1
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值。求插值函数f (x)的方法称为插值方法，（1）式称为插值
条件。 代数多项式比较简单，常用多项式作为插值函数。
2017/1/1
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多项式拟合与数据插值
3．常用一维插值方法 常用的一维插值方法有：分段线性插值、拉格朗日 （Lagrange）多项式插值、牛顿（Newton）插值、Hermite
lim S ( x) S ( xi ) yi , i 1,, n 1
x xi x xi
lim S ( x) S ( xi ), i 1,, n 1
lim S ( x) S ( xi ) M i , i 1, , n 1
x xi
多项式拟合与数据插值
多项式回归与数据插值
天 津 科 技 大 学 数 学 系
E-mail: xiezhh@tust.edu.cn MATLAB从零到进阶
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多项式拟合与数据插值
主要内容 多项式回归 插值问题的数学描述 一维插值 二维插值 高维插值