2018年秋人教B版数学选修1-1练习：1.3.2 命题的四种形式含解析
高中数学选修1-1(人教B版)第一章常用逻辑用语1.3知识点总结含同步练习题及答案
q ”，那么
1 时，mx 2 − x + 1 = 0 无实数根； 4
1 ，则 mx 2 − x + 1 = 0 无实数根，真命题； 4
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． （1）若 m ⋅ n < 0 ，则方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根； （2）若 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0，则 m + n ⩽ 0 ． 解：（1）逆命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根，则 m ⋅ n < 0 ，假命题 ； 否命题：若 m ⋅ n ⩾ 0 ，则方程 mx2 − x + n = 0 没有实数根，假命题 ； 逆否命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 没有实数根，则 m ⋅ n ⩾ 0 ，真命题． （2）逆命题：若 m + n ⩽ 0 ，则 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0 ，真命题； 否命题：若 m > 0 且 n > 0，则 m + n > 0 ，真命题 ； 逆否命题：若 m + n > 0 ，则 m > 0 且 n > 0 ，假命题 ．
因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 A ⫋ B．故
{ 1 + m ⩾ 10, 或{ 1 + m > 10, 1 − m < −2, 1 − m ⩽ −2,
解得 m ⩾ 9 ，故实数 m 的取值范围是 [9, +∞)．
2.若则命题的四种形式 描述： 若则命题 命题的常见形式为“若 p 则 q ”，其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论． 逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命 题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆命题 为“若 q ，则 p ”． 否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么 这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ”． 逆否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么 这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命
人教版高中选修(B版)1-11.3.2命题的四种形式课程设计
人教版高中选修(B版)1-11.3.2命题的四种形式课程设计一、前言作为高中课程的一部分，数学是非常重要的学科之一。
在数学教学中，命题是非常关键的环节。
合理的命题可以有效地检验学生的学习成果，并且可以有效地推动学生的学习进度。
因此，合理的命题形式就显得非常的重要。
本文将从人教版高中选修(B版)1-11.3.2课程的角度出发，探讨并设计了四种常见的命题形式。
二、命题形式的分类在数学教学中，命题形式主要可以分为以下四种类型：1.计算题型2.应用题型3.证明题型4.选择题型接下来，我们将分别探讨这四种类型的命题形式，并且针对每类都设计一种适合的题目示例。
2.1 计算题型计算题型是数学教学中最基础的一种命题形式，它的主要目的是让学生通过简单的加减乘除等基本运算来检验自己掌握的基础知识。
以下是一道常见的简单的计算题目：若 a = 3 ，b = 4 ，c = 5 ，则 a^2 + b^2 - c^2 的值是多少？答案：62.2 应用题型应用题型是数学教学中的一种抽象思维题型。
它主要是通过实际问题的转换来考察学生的解题能力，帮助学生理解数学公式的应用场景。
以下是一道常见的应用题目：约会时，小明想乘坐的公交车每隔 10 分钟就会一辆，小明从 18：20 开始等待乘车，问他最早能在多长时间后到达目的地，若公交车在在 19：20 停止运营，并且小明步行到目的地需要20分钟。
答案：小明最早可以在 19:20 到达目的地。
2.3 证明题型证明题型是数学教学中涉及到较高抽象度和纯粹理论的题目。
它主要是通过一定的推理方式和逻辑思辨来检验学生的逻辑思维和理论认知能力。
以下是一道常见的证明命题：证明：若平面内一条直线与两平行直线相交，那么这两条平行直线互相平分这个直线所对应的两个三角形的底角。
回答：结合知识进行证明，可以通过类似的步骤数学证明得出结论。
2.4 选择题型选择题型是数学教学中最常见的一种命题形式。
这种题型通过问题和答案之间的关系来考验学生的判断能力和恶意猜测能力。
高中数学人教B版选修1-1课件：1.3.2 命题的四种形式
1.3.2 命题的四种形式
1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命 题 和逆否命题． 2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．(重点) 3.利用命题真假的等价性解决简单问题．(难点、易错点)
知识点一、四种命题的概念
【答案】 1
题目类型三、等价命题的应用
证明：如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2. 【思路探究】 可以写出该命题的逆否命题，证明其逆否命 题正确，由原命题与其逆否命题的等价性可知原命题也正确．
证明：该命题的逆否命题为：若 p＋q＞2，则 p2＋q2≠2. 因为 p2＋q2≥12(p＋q)2. 又因为 p＋q＞2，所以(p＋q)2＞4，所以 p2＋q2＞2， 即 p＋q＞2 时，p2＋q2≠2 成立． 所以如果 p2＋q2＝2，则 p＋q≤2 成立．
的函数是单调函数”，B错．逆否命题为“单调函数不是周期函
数，C错，所以选D.
(2)根据逆否命题的定义可知命题“若α＝
π 4
，则tan
α＝1”的
逆否命题是：若tan α≠1，则α≠4π.
【答案】 (1)D (2)若tan α≠1，则α≠π4
题目类型二、四种命题真假的判断
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后 判断真假．
3．互为逆否命题等价．当一个命题的真假不易判断时，可通 过判定其逆否命题的真假来判断．
有下列四个命题： ①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若c＜1，则x2＋2x＋c＝0有实根”的逆命题； ④“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题． 其中真命题的个数是________．
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性 没有关系 .
2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第一单元 1.3-2
1．3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念思考给出以下四个命题：(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？梳理对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”(否定)后，可以构成四种不同形式的命题：(1)原命题：________________；(2)逆命题：________________(“换位”)；(3)否命题：________________(“换质”)；(4)逆否命题：________________(“换位”又“换质”)．知识点二命题的四种形式之间的关系思考1为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“如果p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？思考2原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？梳理四种命题间的相互关系知识点三四种命题的真假关系思考1知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的？思考2如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？梳理(1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是________________．(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性________________．类型一四种命题及其相互关系命题角度1四种命题的概念例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若x∈A，则x∈A∪B；(2)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；(3)在△ABC中，若a>b，则A>B.反思与感悟四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．跟踪训练1命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数命题角度2四种命题的相互关系例2若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是()A．互为逆命题B．互为否命题C．互为逆否命题D．同一命题反思与感悟判断四种命题之间四种关系的两种方法(1)利用四种命题的定义判断；(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．跟踪训练2已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________．类型二四种命题的真假判断例3有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题，其中真命题为()A．①②B．②③C．④D．①②③反思与感悟原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，与逆命题或否命题的真假性没有关系．逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．跟踪训练3命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0 B．2 C．3 D．4类型三等价命题的应用例4 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假． 引申探究判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集为R ，则a <74”的逆否命题的真假．反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．跟踪训练4 证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1.1．命题“若a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．若a ∈A ，则b ∉B C ．若b ∈B ，则a ∉AD ．若b ∉B ，则a ∉A2．命题“如果x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．如果x 2≥1，则x ≥1，或x ≤－1 B ．如果－1<x <1，则x 2<1 C ．如果x >1或x <－1，则x 2>1 D ．如果x ≥1或x ≤－1，则x 2≥13．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是( ) A ．真命题 B ．假命题 C ．不一定是真命题 D ．不一定是假命题 4．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；③“若k <0，则方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k ＝0必有两相异实数根”的逆否命题． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．一个命题都有条件和结论，要分清条件和结论．3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．知识点一全称命题与存在性命题1．全称命题与存在性命题真假的判断方法(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．(2)判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．2．含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．知识点二简易逻辑联结词“且、或、非”命题的真假判断可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．知识点三充分条件、必要条件的判断方法1．直接利用定义判断：即若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(条件与结论是相对的)2．利用等价命题的关系判断：p⇒q的等价命题是綈q⇒綈p，即若綈q⇒綈p成立，则p是q 的充分条件，q是p的必要条件．3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件知识点四四种命题的关系原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题．类型一命题的关系及真假的判断例1将下列命题改写成“如果p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假．(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．反思与感悟(1)四种命题的改写步骤①确定原命题的条件和结论．②逆命题：把原命题的条件和结论交换．否命题：把原命题中条件和结论分别否定．逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论．(2)命题真假的判断方法跟踪训练1下列四个结论：①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假；④若|C|>0，则C>0.其中正确结论的个数是()A．1 B．2C．3 D．4类型二逻辑联结词与量词的综合应用例2已知p：∃x∈R，mx2＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m 的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2] D．[－1,1]反思与感悟解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．跟踪训练2已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．类型三充分条件与必要条件命题角度1充分条件与必要条件的判断例3(1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若p 则q ，若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．跟踪训练3 使a >b >0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a 2>b 2>0 B ．12log a >12log b >0C ．ln a >ln b >0D ．x a >x b 且x >0.5命题角度2 充分条件与必要条件的应用例4 设命题p ：x 2－5x ＋6≤0；命题q ：(x －m )(x －m －2)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p 是綈q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．跟踪训练4 已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：2<x <3且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．1．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为()A．∃x≤0，使得(x＋1)e x≤1B．∃x>0，使得(x＋1)e x≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤12．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为______________．4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．5．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“如果p，则q”，则该命题的否命题是“如果綈p，则綈q”；命题的否定为“如果p，则綈q”．2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．4．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．答案精析问题导学知识点一思考命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了．命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．梳理(1)如果p，则q(2)如果q，则p(3)如果綈p，则綈q(4)如果綈q，则綈p知识点二思考1逆命题：如果q，则p.否命题：如果綈p，则綈q.逆否命题：如果綈q，则綈p.思考2互逆、互否、互为逆否．梳理如果p，则q如果q，则p如果綈p，则綈q如果綈q，则綈p知识点三思考1(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．思考2原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题．梳理(1)逆否命题(2)没有关系题型探究例1解(1)逆命题：若x∈A∪B，则x∈A.否命题：若x∉A，则x∉A∪B.逆否命题：若x∉A∪B，则x∉A.(2)逆命题：若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．否命题：a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数．逆否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数．(3)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b.否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B.逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.跟踪训练1 B例2B[已知命题p：若x＋y＝0，则x，y互为相反数．命题p的否命题q为：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，命题q 的逆命题r 为：若x ，y 不互为相反数，则x ＋y ≠0，∴r 是p 的逆否命题，∴r 是p 的逆命题的否命题，故选B.]跟踪训练2 若实数a ，b 满足a ＋b ≥4，则a ≠1或b ≠2解析 由命题p 的逆命题与其否命题互为逆否命题可得．例3 D [①②③显然正确；对于④，若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，所以原命题为假，故它的逆否命题也为假．]跟踪训练3 B [命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R )”是假命题，则其逆否命题是假命题．该命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则a >b (a ，b ，c ∈R )”是真命题，则其否命题是真命题．故选B.]例4 解 方法一 原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为∅，判断如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，令x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2＝0，则Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7.因为a <1，所以4a －7<0，即关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题．方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．因为关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，所以(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74≥1， 所以原命题为真，故其逆否命题为真．引申探究解 先判断原命题的真假如下：因为a ，x 为实数，关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集为R ，且抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7<0，所以a <74.所以原命题是真命题．因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题．跟踪训练4证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．当堂训练1．B 2.D 3.A 4.C 5.[1,2]。
人教B版高中数学选修1-1课件 1.3.2命题的四种形式课件1
解：原命题条件为同位角相等， 结论为两直线平行.
否命题为：同位角不相等，两直线不平行.
(1) 若两个角是对顶角，则这两个角相等. (4) 若两个角不相等，则这两个角不是对顶角.
(4)的条件是(1)结论的否定， (4)的结论是(1)条件的否定.
如果第一个命题的条件是第二个命题条件 的否定，且第一个命题的结论是第二个命
题结论的否定，那么这两个命题叫互否命题. 其中一个命题叫做原命题，
另一个命题叫做原命题的否命题. 如果原命题的形式：若p，则q， 那么否命题的形式：若 p ，则 q.
如果原命题的形式：若p，则q， 那么否命题的形式：若 p ，则 q .
如果第一个命题的条件是第二个命题结论 的否定，且第一个命题的结论是第二个命题 条件的否定，这两个命题叫互为逆否命题. 其中一个命题叫做原命题， 另一个命题叫做原命题的逆否命题.
如果原命题的形式：若p，则q， 那么逆否命题的形式：若 q ，则 p .
如果原命题的形式：若p，则q， 那么逆否命题的形式：若 q ，则 p .
解：
(1)原命题为： x, y R,如果xy 0，则x 0；（假） 逆命题为：x, y R,如果x 0，则xy 0；（真） 否命题为：x, y R,如果xy 0，则x 0；（真） 逆否命题为：x, y R,如果x 0，则xy 0.（真）
(2)原命题为： 如果a b，则a • b 0；（真）
解：若命题s的形式为：若p，则q.
由题意可知t的形式为：若q，则p.
而r的形式为：若 q，则 p.
从而对比t和r可知：t是r的否命题.
小 结:
如果原命题的形式：若p，则q， 逆命题的形式：若q，则p. 否命题的形式：若 p ，则 q . 逆否命题的形式：若 q ，则 p .
数学人教B版选修1-1素材：预习导航1.3.2命题的四种形式含解析
预习导航
1．命题的四种形式及其概念
思考1四种命题是否是固定的？
提示：不是，原命题是我们自己规定的，其他三种命题是相对原命题而言的．
思考2一个命题的否命题与它的否定是相同的吗？
提示：不是．
命题的否定:只否定结论,它的真假与原命题的真假相反．
否命题：条件和结论同时否定，它的真假与原命题的真假可能相同,也可能相反．
2．四种命题的关系
（1)原命题和逆命题是互逆的命题;否命题和逆否命题也是互逆的命题．
(2)原命题和否命题、逆命题和逆否命题分别是互否的命题．
（3)原命题和逆否命题、逆命题和否命题分别都是互为逆否的命题．
四种命题的关系如下图：
思考3为什么互为逆否命题的两个命题是等价的？
提示：互为逆否命题的两个命题的等价性可以从集合角度给出
恰当的解释．
设A＝｛x|p（x）},B＝{x｜q（x）｝，其中p，q是集合A，B中元素的特征性质,如果A B,则意味着对于元素x要具有性质p就必须有性质q，所以可以认为A B与p q等同．由维恩图(如图所示)易发现有下面的结论：A B与U B U A等价,也就说明“p q”与“⌝q⌝p"等价．。
2018版高中数学人教B版选修1-1学案第一单元 1.3.2 命题的四种形式 Word版含答案
．命题的四种形式
学习目标.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.认识四种命
题之间的关系以及真假性之间的联系.会利用命题的等价性解决问题．
知识点一四种命题的概念
思考给出以下四个命题：
()当＝时，－＋＝；
()若－＋＝，则＝；
()若≠，则－＋≠；
()若－＋≠，则≠.
你能说出命题()与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？
梳理对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”(否定)后，可以构成四种不同形式的命题：()原命题：；
()逆命题：(“换位”)；
()否命题：(“换质”)；
()逆否命题：(“换位”又“换质”)．
知识点二命题的四种形式之间的关系
思考为了书写方便常把与的否定分别记作“綈”和“綈”，如果原命题是“如果，则”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？
思考原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？
梳理四种命题间的相互关系
知识点三四种命题的真假关系
思考知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的？
思考如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？。
2018年秋人教B版数学选修2-1课件：1.3.2 命题的四种形式
1.了解四种命题的定义. 2.会分析四种命题的相互关系.
1.四种命题 (1)原命题:如果p,则q; (2)原命题的条件和结论“换位”得 如果q,则p, 这称为原命题的逆命题; (3)原命题的条件和结论“换质”(分别否定)得 如果非p,则非q, 这称为原命题的否命题; 名师点拨否命题和命题的否定是两个不同的概念,应注意区别: (1)一般地,只有“如果p,则q”形式的命题才有否命题:“如果非p,则 非q”,而一般命题都可有“否定命题”; (2)一般命题的否定命题与原命题总是一真一假,而“如果p,则q” 的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反.
)
1
2
3
4
5
3.与命题“若a· b=0,则a⊥b”等价的命题是( A.若a· b≠0,则a不垂直于b B.若a⊥b,则a· b=0 C.若a不垂直于b,则a· b≠0 D.若a· b≠0,则a⊥b 答案:C
)
1
2
3
4
5
4.命题“若 α= , 则 tan ������ = 1”的逆否命题是( A.若 α≠ , 则 tan ������≠1 B.若 tan ������≠1
题型一
题型二
题型三
四种命题的关系 【例2】 已知下列四个命题: (1)p:若一个数是负数,则它的平方是正数; (2)q:若一个数不是负数,则它的平方不是正数; (3)s:若一个数的平方不是正数,则它不是负数; (4)r:若一个数的平方是正数,则它是负数. 其中是互为逆否命题且都为真命题的两个命题为( ) A.p与rB.q与r C.p与q D.p与s 解析:利用四种命题的相互关系可判断p与s,q与r都互为逆否命题. 命题p是真命题,利用互为逆否的两个命题真假性相同,可知s也为真 命题,而命题q,r为假命题,故选D. 答案:D 反思解决本题的关键是明确四种命题的相互关系,利用“原命题与 逆否命题”互为逆否命题、“否命题与逆命题”互为逆否命题来解决.
数学人教B版选修1-1课件：第一章 1.3.2 命题的四种形式
(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；
解 原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0； 逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3； 否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0； 逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.
(3)正方形的对角线互相平分.
解 原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分； 逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形； 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分； 逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形.
自主学习 题型探究 达标检测
1 自主学习
PART ONE
知识点一 四种命题的概念 四种命题的定义 命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位” 或“换质”后，一共可以构成四种不同形式的命题. (1)原命题：如果p，则q； (2)条件和结论“ 换位 ”：如果q，则p，这称为原命题的 逆命题 ； (3)条件和结论“ 换质 ”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的 否命题 . (4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的 逆否命题 .
反思感悟 四种命题的写法 (1)由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件和 结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换 的同时进行否定即得逆否命题. (2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时， 必须注意各命题中的大前提不变.
(4)当1<x<2时，x2－3x＋2<0；
解 逆命题：若x2－3x＋2<0，则1<x<2. 否命题：若x≤1或x≥2，则x2－3x＋2≥0. 逆否命题：若x2－3x＋2≥0，则x≤1或x≥2.
人教版B版高中数学选修1-1(B版)命题的四种形式
[说明] 命题的否定形式及否命题是两 个不同的概念，要注意区别，不能混淆．从 形式上看，否命题既否定条件，又否定结论， 而命题的否定，条件不变，只否定结论．
有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；
(2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
(3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
(2)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，为 真命题．
否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真命 题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1，真命 题.
[例2] 写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并 判断真假．
(1)若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根． (2)若x、y都是奇数，则x＋y是奇数． (3)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为0.
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋ (2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真 假．
[解析] 原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1， 则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断真假如下： 抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上， 判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
[误解] ∵p：|5x－2|>3，∴¬p：|5x－2|≤3， ∴－3≤5x－2≤3，即－15≤x≤1， 又∵q：x2＋41x－5>0，¬q：x2＋41x－5≤0， ∴x2＋4x－5<0，即－5<x<1，∴¬p⇒/ ¬q 且¬q⇒/ ¬p， 故¬p 是¬q 的既不充分也不必要条件．
[辨析] 将命题 q：x2＋41x－5>0 的否定形式错误地认 为：¬q：x2＋41x－5≤0，∴x2＋4x－5<0 导致错误．
数学人教B版选修2-1课后导练：1.3.2命题的四种形式 含解析 精品
课后导练整合提升基础达标1.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s.则s是p的逆命题t的( )A.逆否命题B.逆命题C.否命题D.原命题答案：C2.当命题“若p则q”为真时，下列命题中一定正确的是( )A.若q，则pB.若⌝p，则⌝qC.若⌝q，则⌝pD.p且q答案：C3.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )A.真命题的个数一定是奇数B.真命题的个数一定是偶数C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D.以上判断均不正确答案：B4.有下列四个命题，其中真命题是( )①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题②“相似三角形的周长相等”的否命题③“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题④若“A∪B=B，则A⊇B”的逆否命题A.①②B.②③C.①③D.②④答案：C5.用反证法证明命题“2+3是无理数”时，假设正确的是（）A.假设2是有理数B.假设3是有理数C.假设2或3是有理数D.假设2＋3是有理数答案：D6.命题“若a>1,则a>0”的逆命题是___________，逆否命题是______________.答案：若a＞0,则a＞1 若a≤0,则a≤17.命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥.命题A 的等价命题B可以是：底面为正三角形，且___________的三棱锥是正三棱锥.答案：顶点到底面三角形三个顶点距离相等8.已知a,b都是实数，命题“若a+b>0,则a,b不全为0”的逆否命题是____________.(用“若p则q”的形式写出这一逆否命题)答案：若a,b全为0，则a+b≤0.9.写出命题“若a2>b2,则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断这四种命题的真假.解析：先根据四种命题的定义写出相应的命题，然后通过举反例判断相应命题为假命题，或说明相应命题为真命题，因为不等式的性质到目前还比较生疏，所以在判断时有一定难度. 解：原命题：若a2＞b2,则a＞b.逆命题：若a＞b,则a2＞b2.否命题：若a2≤b2,则a≤b.逆否命题：若a≤b,则a2≤b2.取a=-1,b=0,有a2＞b2，但a＞b不成立，所以原命题为假，取a=-2,b=-3，有a＞b，但a2＞b2不成立，所以逆命题为假.根据原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假的性质，这四种命题全为假命题.10.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.（1）m>41时，mx 2-x+1=0无实根; (2)当abc=0时，a=0或b=0或c=0.解析:改造原命题成“若p 则q”形式，再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题.在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律.（1）原命题：“若m ＞41，则mx 2-x+1=0无实根”，是真命题； 逆命题：“若mx 2-x+1=0无实根，则m ＞41”是真命题； 否命题：“若m≤41，则mx 2-x+1=0有实根”是真命题； 逆否命题：“若mx 2-x+1=0有实根，则m≤41”是真命题. （2）原命题：“若abc=0,则a=0或b=0或c=0”是真命题；逆命题：“若a=0或b=0或c=0，则abc=0”是真命题；否命题：“若abc≠0,则a≠0且b≠0且c≠0”是真命题；（注意：“a=0或b=0或c=0”的否定形式是“a≠0且b≠0且c≠0”）逆否命题：“若a≠0且b≠0且c ≠0，则abc≠0，”是真命题.综合运用11.证明：如果一条直线和两条平行线中的一条是异面直线，且不与另一条直线相交，那么这条直线与另一条直线也是异面直线.证明:如右图，不妨设直线a 、b 、l 中，a ∥b,l 与a 是异面直线，且l 与b 不相交.假设l 与b 不是异面直线，则l 与b 共面，即l 与b 可能相交，也可能平行.若l 与b 相交，这与已知矛盾.若l 与b 平行，即l ∥b,又a ∥b ，得l ∥a,这与l 与a 异面相矛盾.综上可知,l 与b 是异面直线.12.求证两条相交直线有且只有一个交点.证明：假设结论不成立，即有两种可能.①无交点;②不止一个交点.①若直线a 、b 无交点，那么a ∥b 或异面这与已知矛盾;②若a 、b 不止一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A 、B 就有两条直线，这与“经过两点只有一条直线相矛盾，综上所述，两条相交直线有且只有一个交点”.13.判断命题“若c>0则y=x 2+x-c 的图象与x 轴有两个交点”的逆否命题的真假.解析：∵c ＞0,∴Δ=1+4c ＞0，∴y=x 2+x-c 的图象与x 轴有两个交点，即命题为真.∴其逆否命题也为真.拓展探究14.已知函数f(x)=a x +12+-x x (a>1). (1)证明：函数f(x)在（-1，+∞）上为增函数;(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根. 解析：（1）任取x 1,x 2∈(-1,+∞),不妨设x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0,12x x x -＞1,且a x1＞0. ∴a x2-a x1=a x1(a x2-x1-1)＞0.又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0. ∴12121122+--+-x x x x =)1)(1()1)(2()1)(2(212112+++--+-x x x x x x =)1)(1()(32112++-x x x x ＞0. 于是f(x 2)-f(x 1)=a x2-a x1+12121122+--+-x x x x ＞0. 故函数f(x)在（-1，+∞）上为增函数. (2)证法一：设存在x 0＜0(x 0≠-1)，满足f(x 0)=0,则a x0=1200+--x x ,且0＜a x0＜1. ∴0＜1200+--x x ＜1,即21＜x 0＜2.与假设x 0＜0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根. 证法二：设存在x 0＜0(x 0≠-1)，满足f(x 0)=0. ①若-1＜x 0＜0,则1200+-x x ＜-2,a x0＜1. ∴f(x 0)＜-1与f(x 0)=0矛盾.②若x 0＜-1,则1200+-x x ＞0,a x0＞0, ∴f(x 0)＞0与f(x 0)=0矛盾.故方程f(x)=0没有负数根.。
2018年秋人教B版数学选修1-1练习：1.3.2 命题的四种形式含解析
1.3.2命题的四种形式课时过关·能力提升1.命题“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题是()A.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B都不是锐角B.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角C.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B必有一钝角D.在△ABC中,若∠A,∠B都是锐角,则∠C=90°答案:B2.下列说法正确的是()A.一个命题的否命题为真,则它的逆命题为假B.一个命题的逆命题为真,则它的否命题为真C.一个命题的否命题为真,则它的逆否命题为真D.一个命题的逆否命题为真,则它的逆命题为真解析:由四种命题的关系可知,一个命题的否命题与它的逆命题是互为逆否关系,根据互为逆否命题的两个命题是等价的,可得选项B正确.答案:B3.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数答案:B4.与命题:“若x∈M,则y∉M”等价的命题是()A.若x∉M,则y∉MB.若y∉M,则x∉MC.若x∉M,则y∈MD.若y∈M,则x∉M解析:与命题“若x∈M,则y∉M”等价的命题是其逆否命题:“若y∈M,则x∉M”.答案:D5.下列命题中,是真命题的为()A.“若二次方程ax2+bx+c=0有实根,则b2-4ac>0”的逆否命题B.“正方形的四条边相等”的逆命题C.“若x2-4=0,则x=2”的否命题D.“对顶角相等”的逆命题解析:对于A项,原命题是假命题,故其逆否命题也为假命题;对于B项,逆命题为“四条边相等的四边形是正方形”是假命题;对于C项,否命题为“若x2-4≠0,则x≠2”为真命题;对于D项,逆命题为“相等的角是对顶角”为假命题.答案:C6.命题“到一个角的两边距离相等的点在该角的平分线上”的否命题是.答案:到一个角的两边距离不相等的点不在该角的平分线上7.命题“若x,y是偶数,则x+y是偶数(x∈Z,y∈Z)”的逆否命题是,它是命题.(填“真”或“假”)答案:若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数(x∈Z,y∈Z)真★8.有下列四个命题:①如果xy=1,则lg x+lg y=0;②“如果sin α+cos αα是第一象限角”的否命题; ③“如果b ≤0,则方程x 2-2bx+b=0有实数根”的逆否命题; ④“如果A ∪B=B ,则A ⊆B ”的逆命题.其中是真命题的有 .(填序号)解析:命题①显然错误,例如:x=-1,y=-1时,lg x+lg y 无意义.对于②,其否命题为“如果sin α+cos α≠α不是第一象限角”,因当α=60°时,sin α+cos α.对于命题③,因当b ≤0时,Δ=4b 2-4b ≥0恒成立,故方程x 2-2bx+b=0有实数根.由原命题与其逆否命题真假相同,可知命题③是真命题.对于④,其逆命题为“若A ⊆B ,则A ∪B=B ”,显然为真. 答案:③④9.写出命题“正n (n ≥3)边形的n 个内角全相等”的否定和否命题.分析:对该命题的结论加以否定得到其否定为:正n (n ≥3)边形的n 个内角不全相等.对该命题的条件和结论分别加以否定得到其否命题为:不是正n (n ≥3)边形的n 个内角不全相等. 解:命题的否定:正n (n ≥3)边形的n 个内角不全相等.否命题:不是正n (n ≥3)边形的n 个内角不全相等.★10.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断其真假. (1)末尾数字是0或5的整数,能被5整除; (2)若a=2,则函数y=a x 是增函数.分析:依据四种命题的定义分别写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题.“0或5”的否定是“不是0且不是5”,“是”的否定词是“不是”,“等于”的否定词是“不等于”.解:(1)逆命题:能被5整除的整数,末尾数字是0或5;(真)否命题:末尾数字不是0且不是5的整数,不能被5整除;(真) 逆否命题:不能被5整除的整数,末尾数字不是0且不是5;(真) (2)逆命题:若函数y=a x 是增函数,则a=2;(假) 否命题:若a ≠2,则函数y=a x 不是增函数;(假) 逆否命题:若函数y=a x 不是增函数,则a ≠2.(真)赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°. （1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形；（3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。
2018版高中数学人教B版选修1-1学案1.3.2 命题的四种形式
命题的四种形式
[学习目标].了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.会利用命题的等价性解决问题．
[知识链接]
下列四个命题：
()如果()是正弦函数，则()是周期函数；
()如果()是周期函数，则()是正弦函数；
()如果()不是正弦函数，则()不是周期函数；
()如果()不是周期函数，则()不是正弦函数．
观察命题()与命题()()()的条件和结论之间分别有什么关系？
答：命题()的条件是命题()的结论，且命题()的结论是命题()的条件．
对于命题()和()．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；
对于命题()和()．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．
[预习导引]
．四种命题的定义
命题“如果，则(那么)”是由条件和结论组成的，对，进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的命题．
()原命题：如果，则；
()条件和结论“换位”：
如果，则，这称为原命题的逆命题；
()条件和结论“换质”(分别否定)：
如果綈，则綈，这称为原命题的否命题；
()条件和结论“换位”又“换质”：
如果綈，则綈，这称为原命题的逆否命题．
．四种命题的相互关系
．四种命题的真假性
()四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况.
原命题逆命题否命题逆否命题
真真真真
真假假真
假真真假
假假假假()四种命题的真假性之间的关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．。
人教B版高中数学选修1-1课件高二：1.3.2命题的四种形式
8
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
命题的否定与否命题
命题的否定一般来说只否定命题的结论,而否命题则既要否定条件又 要否定结论. 【典型例题 2】 写出下列命题的否命题及命题的否定,并判断其真假. (1)若 m>0,则关于 x 的方程 x2+x-m=0 有实根; (2)若 x,y 都是奇数,则 x+y 是奇数; (3)若 abc=0,则 a,b,c 中至少有一个为 0.
6
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
四种命题及其真假的判断
写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清原命题的条 件和结论,然后按定义来写.在判断命题的真假时,要借助:原命题与逆否命 题同真假,逆命题和否命题同真假. 【典型例题 1】 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断 真假. (1)若 mn<0,则方程 mx2-x+n=0 有实数根; (2)当 c>0 时,若 a>b,则 ac>bc; (3)若 x>9,则 x>0. 思路分析:先分清各命题的条件和结论,再根据定义写出即可.
1.3.2 命题的四种形式
1
首页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
课程目标 1.理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题的概 念. 2.能够写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命 题. 3.会分析四种命题之间的相互关系.
人教新课标版数学高二B版选修1-1课时作业 1.3.2命题的四种形式
一、选择题1．命题“若綈p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是() A．若p，则綈q B．若q，则綈pC．若綈q，则p D．若綈q，则綈p【解析】若“綈p，则q”的逆否命题是“若綈q，则p”，又互为逆否命题真假性相同．∴“若綈q，则p”一定是真命题．【答案】 C2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是() A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确【解析】设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”，故q与r为互逆命题．【答案】 A3．(2013·台州高二检测)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为()A．3B．2C．1D．0【解析】易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.【答案】 B4．(2013·大庆高二检测)下列判断中不正确的是()A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题B．“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题C．“已知a，b，m∈R，若am2<bm2，则a＜b”的逆命题是真命题D．“若x∈N*，则(x－1)2＞0”是假命题【解析】若A∩B＝B，则有B⊆A，从而有A∪B＝A，∴A正确；B中的逆否命题“若一个四边形两条对角线不相等，则它不是矩形”为真命题，∴B正确．C中的逆命题“已知a，b，m∈R，若a＜b，则am2＜bm2”为假命题，故C 不正确．D中x＝1时，(x－1)2＝0显然是假命题．故D正确．【答案】 C5．下列命题中，不是真命题的为()A．“若b2－4ac≥0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“若x2＝9，则x＝3”的否命题D．“对顶角相等”的逆命题【解析】A中命题为真命题，其逆否命题也为真命题；B中命题的逆命题为“正方形的四边相等”，为真命题；C中命题的否命题为“若x2≠9，则x≠3”为真命题；D中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题．【答案】 D二、填空题6．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________．【答案】若A∪B≠B，则A B7．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．【解析】由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 【答案】 [1,2]8．(2013·菏泽高二检测)给定下列命题：①若a ＞0，则方程ax 2＋2x ＝0有解；②“等腰三角形都相似”的逆命题；③“若x －32是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；④“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题．其中真命题的序号是________．【解析】 显然①为真，②为假．对于③中，原命题“若x －32是有理数，则x 是无理数”为假命题，∴逆否命题为假命题．对于④中，“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题是“若a ≤1或b ≤1，则a ＋b ≤2”为假命题．【答案】 ①三、解答题9．设原命题是“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．【解】 原命题是真命题．逆命题是“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞b ”，是真命题．否命题是“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”，是真命题．逆否命题是“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”，是真命题．10．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．【解】 (1)命题p 的否命题为：“若ac ＜0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．(2)命题p的否命题是真命题，证明如下：∵ac＜0，∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.【证明】假设a＋b＜0，则a＜－b.∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)＜f(－b)，又∵f(x)为奇函数．∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)．即f(a)＋f(b)＜0.∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.。
人教B版高中数学选修1-1创新设计练习1.3.2命题的四种形式(含答案详析)
双基达标（限时20 分钟）1．命题“若a?A，则b∈B”的否命题是()．A ．若a?A，则b?B B．若a∈ A，则b?BC．若b∈B，则a?A D．若b?B，则a?A分析注意“∈”与“?”互为否认形式．答案B2．命题“若 A∩B＝A，则 A∪B＝B”的逆否命题是 ()．A．若 A∪B＝B，则 A∩B＝AB．若 A∩B≠A，则 A∪B≠BC．若 A∪B≠B，则 A∩B≠AD．若 A∪B≠B，则 A∩B＝A分析注意“A∩B＝A”的否认是“A∩B≠A”．答案C3．命题“对于正数a，若 a>1，则 lg a>0”及其抗命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为 ()．A ． 0B．1C． 2D．4分析原命题“对于正数a，若a>1，则 lg a>0”是真命题；抗命题“对于正数a，若 lg a>0，则 a>1”是真命题；否命题“对于正数 a，若 a≤ 1，则 lg a≤ 0”是真命题；逆否命题“对于正数 a，若 lg a≤0，则 a≤1.”是真命题．答案4．“若分析Dx、y 全为零，则 xy＝ 0”的否命题为 __________．因为“全为零”的否认为“不全为零”，所以“若 x、y 全为零，则xy＝ 0”的否命题为“若 x、 y 不全为零，则答案若 x、 y 不全为零，则 xy≠0xy≠0”．5．命题“当 AB＝ AC 时，△ ABC 是等腰三角形”与它的抗命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有 ______个．分析原命题为真命题，抗命题 “当△ ABC 是等腰三角形时， AB ＝ AC ” 为假命题，否命题 “当 AB ≠AC 时，△ABC 不是等腰三角形 ”为假命题， 逆否命题 “当△ ABC 不是等腰三角形时， AB ≠AC ”为真命题．答案26．将命题“正数 a 的平方大于零”改写成“若p ，则 q ”的形式， 并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．解 原命题能够写成：若 a 是正数，则 a 的平方大于零；抗命题：若 a 的平方大于零，则 a 是正数；否命题：若 a 不是正数，则 a 的平方不大于零；逆否命题：若 a 的平方不大于零，则 a 不是正数．综合提升（限时 25 分钟）7．命题“若 a>b ，则 ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R )”与它的抗命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ()．A ． 0B ．2C ．3D ． 4分析 原命题 “若 a>b ，则 ac 2 2，，∈ R ) ”为假命题，抗命题 “若 2 2，>bc (a b cac >bc 则 a>b(a ，b ，c ∈R )” 为真命题，否命题 “若 a ≤b ，则 ac 2≤bc 2， ， ， ∈ R ) ”(a b c2≤bc 2，则 ≤ ， ， ∈ ”为假命题．为真命题，逆否命题 “若 ac a b(a b c R )答案 B8．若命题 p 的否命题是 q ，命题 q 的抗命题是 r ，则 r 是 p 的抗命题的 ( )．A ．原命题B ．抗命题C ．否命题D ．逆否命题分析设命题 p 为 “若 k ，则 s ”；则其否命题 q 是 “若綈 k ，则綈 s ”；则命题q 的抗命题 r 是“ 若綈 s ，则綈 k ”，而 p 的抗命题为 “若 s ，则 k ”，故 r 是 p的抗命题的否命题．答案C9．命题“正数的绝对值等于它自己”的抗命题是________．分析将命题“正数的绝对值等于它自己”改写为“若一个数是正数，则其绝对值等于它自己”，所以抗命题是“ 若一个数的绝对值等于它自己，则这个数是正数”，即“ 绝对值等于它自己的数是正数”．答案绝对值等于它自己的数是正数10．已知原命题“两个无理数的积还是无理数”，则：(1)抗命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；(2)否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；(3)逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”；(4)命题的否认是“两个不都是无理数的积也不是无理数”．此中全部正确表达的序号是________．分析原命题的抗命题、否命题表达正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．因为命题“若 p，则 q”的否认为“若 p，则非 q”，所以“ 两个无理数的积还是无理数” 的否认为“两个无理数的积不是无理数”．答案(1)(2)11．给出两个命题：命题甲：对于 x 的不等式 x2＋(a－ 1)x＋ a2≤0 的解集为 ?；命题乙：函数 y＝(2a2－a)x为增函数．(1)甲、乙起码有一个是真命题；(2)甲、乙有且只有一个是真命题；分别求出切合 (1)(2)的实数 a 的取值范围．221或a<－1；即 A＝ a a>3乙为真时， 2a2－a>1 即 B＝ a a>1或a<－1；2(1)甲、乙起码有一个真命题时，应取A，B 两会合的并集，这时的 a 的取值范围1 1是 a a>3或 a<－2 .1(2)甲、乙有且只有一个真命题时，有两种状况：当甲真乙假时，3<a≤1；当甲1假乙真时，－ 1≤a<－2，所以甲、乙中有且只有一个真命题时， a 的取值范围为11a 3<a≤1或－ 1≤ a<－2 .12．(创新拓展 )求证：已知函数 f(x)是(－∞，＋∞ )上的增函数， a，b∈R，若 f(a)＋f(b)≥ f(－a)＋f(－b)，则 a＋b≥0.证明法一原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是(－∞，＋∞ )上的增函数，a，b∈R，若 a＋b<0，则 f(a)＋f(b)<f(－ a)＋f(－b)”．若 a＋b<0，则 a<－b，b<－a，又∵ f(x)是(－∞，＋∞ )上的增函数，∴f(a)<f(－b)， f(b)<f(－ a)，∴f(a)＋ f(b)<f(－ a)＋f( －b)．即原命题的逆否命题为真命题，∴原命题为真命题．法二假定 a＋b<0，则 a<－b，b<－ a，又∵ f(x)在(－∞，＋∞ )上是增函数，∴f(a)<f(－b)， f(b)<f(－ a)，∴f(a)＋ f(b)<f(－ a)＋f( －b)，这与已知 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋ f(－b)相矛盾，所以假定不建立，故a＋b≥0.。
2018版高中数学人教B版选修21学案：1.3.2命题的四种形式
命题的四种形式学习目标1.认识四种命题的观点，会写出所给命题的抗命题、否命题和逆否命题四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．.2.认识知识点一四种命题的观点思虑初中已学过命题与抗命题的知识，什么叫做命题的抗命题？梳理名称阐释关于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的互抗命题____________，那么我们把这样的两个命题叫做互抗命题．此中的一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的________关于两个命题，此中一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的条件的互否命题______，我们把这样的两个命题叫做互否命题．假如把其______和结论的中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的________关于两个命题，此中一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的互为逆否命题____________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．假如把此中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的__________知识点二四种命题间的互相关系思虑1 命题与其抗命题之间是什么关系？思虑2 原命题与其抗命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？梳理(1)四种命题间的关系四种命题间的真假关系原命题抗命题否命题逆否命题真真真假假真假假由上表可知四种命题的真假性之间有以下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性，即两命题等价；②两个命题为互抗命题或互否命题，它们的真假性________关系，即两个命题不等价．种类一四种命题的关系及真假判断命题角度 1 四种命题的写法例1 把以下命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的抗命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；当x＝2时，x2＋x－6＝0；对顶角相等．反省与感悟由原命题写出其余三种命题的重点是找到原命题的条件和结论，依据其余三种命题的定义，确立所写命题的条件和结论．追踪训练 1 写出以下命题的抗命题、否命题、逆否命题．实数的平方是非负数；等底等高的两个三角形是全等三角形．命题角度 2 四种命题的真假判断例2 写出以下命题的抗命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．若a>b，则ac2>bc2；若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．反省与感悟若原命题为真命题，则它的抗命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与抗命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性同样．在原命题及其抗命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是 4.追踪训练 2 以下命题中为真命题的是( )①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相像”的抗命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④ B．①③④C．②③④D．①④种类二等价命题的应用例3证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.反省与感悟由于原命题与其逆否命题是等价的，能够证明一个命题的逆否命题建立，进而证明原命题也是建立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的重点，同时注意这类证明方法与反证法的差别．追踪训练 3 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.1．命题“若綈p，则q”的逆否命题为( ) A．若p，则綈q B．若綈q，则綈pC．若綈q，则p D．若q，则p2．以下命题为真命题的是 ( )A．命题“若 x>y，则x>|y|”的抗命题B．命题“若 x＝1，则x2>1”的否命题C．命题“若 x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若 x2>1，则x>1”的逆否命题3．命题“若 x>1，则x>0”的抗命题是________________，逆否命题是__________________．4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的抗命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．5．已知命题 p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．写出命题p的否命题；判断命题p的否命题的真假．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否认，防止出现不否认条件，而只否认结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确立“若p，则q”为假时，则只要举一个反例说明即可．提示：达成作业第一章答案精析问题导学知识点一思虑在两个命题中，假如第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为抗命题．梳理结论和条件抗命题否认否认否命题结论的否认和条件的否认逆否命题知识点二思虑1 互逆．思虑2原命题与其抗命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．梳理(2)真真假真真假假假①同样②没有题型研究例1 解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.抗命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.抗命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.(3)逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(4)(5)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．抗命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．追踪训练 1 解(1)抗命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．抗命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．例2解(1)抗命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．抗命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．追踪训练2B例3 证明方法一原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．方法二假定a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾，所以假定不建立，故a＋b≥0.追踪训练 3 证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋14b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题拥有同样的真假性可知，原命题得证．当堂训练1．C3．若x>0，则x>1若x≤0，则x≤15．解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．命题p的否命题是真命题．判断以下：由于ac<0，所以－ac>0?＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根?ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．。
人教课标版(B版)高中数学选修1-1同步练习：命题的四种形式2
1.1.3四种命题间的相互关系1、命题“若A ∩B =A ,则A ⊆B ”的逆否命题是( )A.若A ∪B ≠A ,则A ⊇BB.若A ∩B ≠A ,则A BC.若A B ,则A ∩B ≠AD.若A ⊇B ,则A ∩B ≠A2、命题“若a >-3,则a >-b ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.43、命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是( )A.若2x ≥1，则x ≥1或x ≤1-B.若11<<-x ，则12<xC.若1>x 或1-<x ，则12>xD.若x ≥1或x ≤1-，则2x ≥14、一个命题与他们的逆命题.否命题.逆否命题这4个命题中( )A.真命题与假命题的个数相同B.真命题的个数一定是奇数C.真命题的个数一定是偶数D.真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数5、下列说法错误．．的是( ) A.命题“若x 2-3x+2=0，则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2-3x +2≠0”B.“x =1”是“x 2-3x +2=0”的充分不必要条件C.若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D.对于命题p ：“存在x ∈R ，使得x 2+x +1<0”，则⌝p ：“任意x ∈R ，均有x 2+x +1≥0”6、命题p ：如果一个几何体在三个两两垂直的平面上的射影是三个全等的正方形， 那么该几何体是正方体；设命题q 为命题p 的逆命题，则( )A. p 、q 均真B.p 真q 假C.p 假q 真D. p 、q 均假7、命题“若x 、y 是奇数，则x +y 是偶数”的逆否命题是_________.8、“若m >0,则x 2+x -m =0有实根”的逆否命题是________命题.9、写出命题：“若 xy = 6则 x = 3且 y = 2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.10、_________"c bx ax y ,0ac 4b ,0a ''22的否命题为恒为负则且若++=<-<其真假情况是原命题为______,否命题为_______.11、有下列命题：①x，y R，若x2+y2=0，则x、y全为零；②“全等的三角形是相似三角形”的否命题；③“若m﹥1，则mx2–2（m+1）x+m–3﹥0的解集为R”的逆命题；④“若a+5是无理数，则a是无理数”的逆否命题.其中正确的是______.（填上所有正确命题的序号）12、命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为__________.13、下列三个命题①“正方形是菱形”的否命题②“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题③若m＞2，则不等式x2－2x＋m＞0的解集为R，其中真．命题为_________．(请把你认为正确的命题前面序号填在横线上)14、函数y=ax+b的值随x值的增加而增加”的否命题_______________________________________________________.参考答案1、C2、B解析:命题“若a>-3,则a>-b”的逆命题为“若a>-b,则a>-3”为假命题,则它的否命题“若a≤-3,则a≤-b”也必为假命题;它的逆否命题“若a≤-b,则a≤-3”为真命题.故真命题的个数为2.3、D4、C5、C6、C7、x+y不是偶数，则x、y不都是奇数8、真9、逆命题：若x = 3 且y = 2 则x + y = 5 （真）否命题：若x + y ≠ 5 则x ≠ 3且y≠2 （真）逆否命题：若x ≠ 3 或y≠2 则x + y ≠5 （假）10、若a≥0或b2-4ac≥0则y=ax2+bx+c不恒为负;真;真.11、①④12、013、③14、当a>0时，函数y=ax+b的x值不增加，y值也不增加.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.3.2命题的四种形式
课时过关·能力提升
1.命题“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题是()
A.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B都不是锐角
B.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角
C.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B必有一钝角
D.在△ABC中,若∠A,∠B都是锐角,则∠C=90°
答案:B
2.下列说法正确的是()
A.一个命题的否命题为真,则它的逆命题为假
B.一个命题的逆命题为真,则它的否命题为真
C.一个命题的否命题为真,则它的逆否命题为真
D.一个命题的逆否命题为真,则它的逆命题为真
解析:由四种命题的关系可知,一个命题的否命题与它的逆命题是互为逆否关系,根据互为逆否命题的两个命题是等价的,可得选项B正确.
答案:B
3.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()
A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数
D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数
答案:B
4.与命题:“若x∈M,则y∉M”等价的命题是()
A.若x∉M,则y∉M
B.若y∉M,则x∉M
C.若x∉M,则y∈M
D.若y∈M,则x∉M
解析:与命题“若x∈M,则y∉M”等价的命题是其逆否命题:“若y∈M,则x∉M”.
答案:D
5.下列命题中,是真命题的为()
A.“若二次方程ax2+bx+c=0有实根,则b2-4ac>0”的逆否命题
B.“正方形的四条边相等”的逆命题
C.“若x2-4=0,则x=2”的否命题
D.“对顶角相等”的逆命题
解析:对于A项,原命题是假命题,故其逆否命题也为假命题;对于B项,逆命题为“四条边相等的四边形是正方形”是假命题;对于C项,否命题为“若x2-4≠0,则x≠2”为真命题;对于D项,逆命题为“相等的角是对顶角”为假命题.
答案:C
6.命题“到一个角的两边距离相等的点在该角的平分线上”的否命题是.
答案:到一个角的两边距离不相等的点不在该角的平分线上
7.命题“若x,y是偶数,则x+y是偶数(x∈Z,y∈Z)”的逆否命题是,它是命题.(填“真”或“假”)
答案:若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数(x∈Z,y∈Z)真
★8.有下列四个命题:
①如果xy=1,则lg x+lg y=0;
②“如果sin α+cos αα是第一象限角”的否命题;
③“如果b≤0,则方程x2-2bx+b=0有实数根”的逆否命题;
④“如果A∪B=B,则A⊆B”的逆命题.
其中是真命题的有.(填序号)
解析:命题①显然错误,例如:x=-1,y=-1时,lg x+lg y无意义.对于②,其否命题为“如果sin α+cos α≠α不是第一象限
角”,因当α=60°时,sin α+cos α.对于命题③,因当b≤0时,Δ=4b2-4b≥0恒成立,故方程x2-2bx+b=0有实数根.由原命题与其逆否命题真假相同,可知命题③是真命题.对于④,其逆命题为“若A⊆B,则A ∪B=B”,显然为真.
答案:③④
9.写出命题“正n(n≥3)边形的n个内角全相等”的否定和否命题.
分析:对该命题的结论加以否定得到其否定为:正n(n≥3)边形的n个内角不全相等.对该命题的条件和结论分别加以否定得到其否命题为:不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等.
解:命题的否定:正n(n≥3)边形的n个内角不全相等.
否命题:不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等.
★10.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断其真假.
(1)末尾数字是0或5的整数,能被5整除;
(2)若a=2,则函数y=a x是增函数.
分析:依据四种命题的定义分别写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题.“0或5”的否定是“不是0且不是5”,“是”的否定词是“不是”,“等于”的否定词是“不等于”.
解:(1)逆命题:能被5整除的整数,末尾数字是0或5;(真)
否命题:末尾数字不是0且不是5的整数,不能被5整除;(真)
逆否命题:不能被5整除的整数,末尾数字不是0且不是5;(真)
(2)逆命题:若函数y=a x是增函数,则a=2;(假)
否命题:若a≠2,则函数y=a x不是增函数;(假)
逆否命题:若函数y=a x不是增函数,则a≠2.(真)。