高中数学教学设计和案例向量的加法必修二 - 副本

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6.2.1向量的加法运算(教案)-【新教材】2020-2021学年人教A版(2019)高中必修第二册

第六章平面向量及其应用6.2.1向量的加法一、教学目标1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；2．熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会作已知两向量的和向量；3．理解向量加法运算律，并能熟练地运用它们进行向量计算。

4.通过对向量加法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。

二、教学重难点1．两个向量的和的概念及其几何意义；2．向量加法的运算律。

三、教学过程：1、情景引入在大型生产车间里，一重物被天车从A 处搬运到B 处，如图所示．它的实际位移AB ，可以看作水平运动的分位移AC 与竖直运动的分位移AD 的合位移．问题1：根据物理中位移的合成与分解，你认为AB ，AD ，AC 之间有什么关系？【答案】AB ＝AC ＋AD .问题2：向量AB ，AC ，CB 之间有什么关系？【答案】AB ＝AC ＋CB .2、探索新知（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

表示：AB BC AC +=．规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．说明：①共线向量的加法： a b a b +②不共线向量的加法：如图（1），已知向量a ，b ，求作向量a b +. 作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a =，AB b =，则OB a b =+ .（1）（2） b aO BA AB C（2）．向量加法的法则：三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：OB AB OA =+．【口诀】尾首相接首尾相连。

平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作ABCD ，则则以A 为起点的对角线AC 就是a与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。

【口诀】共起点，和为对角线。

小组合作探究：问题1：若向量a 和b 共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能否做出向量b a +吗？【答案】（1）当a 和b 同向时，AC BC AB b a =+=+；（2）当a 和b 反向时，AC BC AB b a =+=+。

人教A版高中数学必修第二册--6.2.1 向量的加法运算教学设计

6.2.1 向量的加法运算教学设计（人教A版）教材分析：本节通过数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算规律掌握向量加法运算的交换律和结合律.教学目标与核心素养：课程目标1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法.数学学科素养1.数学抽象：向量加法概念；2.逻辑推理：利用向量加法证明几何问题；3.直观想象：向量加法运算；4.数学建模：从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.教学重难点：重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；难点：理解向量加法的定义.课前准备：教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入数有加减乘除运算，那么向量有没有加减乘除运算，如果有，该怎么运算呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本7-10页，思考并完成以下问题1.向量加法是如何定义的？2.运用什么法则进行向量加法运算？3.向量加法满足哪些运算律？4.和向量和已知向量有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则和平行四边形法则 (1)三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0= 0 + a(2)平行四边形法则ABCa +ba +baa bbaｂｂａa如图所示：AC →＝AB →＋BC →(三角形法则) ，又因为BC →＝AD →，所以AC →＝AB →＋AD →(平行四边形法则)，注意：在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．3.向量a +b 与非零向量a ，b 的模及方向的关系(1)当a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 都不相同，且|a ＋b |＜|a |＋|b |. (2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |≥|b |，则a ＋b 与a 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |.若|a |＜|b |，则a ＋b 与b 的方向相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |.4．向量加法的运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．四、典例分析、举一反三题型一向量的三角形法则和平行四边形法则例1 如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a 与b 的和．【答案】见解析【解析】如下图中(1)、(2)所示，首先作OA →＝a ，然后作AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ．解题技巧（应用三角形和平行四边形法则的步骤）(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和． (2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点． ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．跟踪训练一1、如图，已知a，b，求作a＋b；【答案】见解析．【解析】如图所示．．题型二向量的加法运算例2如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：(1)BC →＋CE →＋EA →； (2)OE →＋AB →＋EA →； (3)AB →＋FE →＋DC →.【答案】 (1) BA →. (2) OB →. (3) AC →.. 【解析】 (1)BC →＋CE →＋EA →＝BE →＋EA →＝BA →.(2)OE →＋AB →＋EA →＝(OE →＋EA →)＋AB →＝OA →＋AB →＝OB →. (3)AB →＋FE →＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →.解题技巧： (向量加法运算注意事项)(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.跟踪训练二 1、化简或计算：(1)CD →＋BC →＋AB →； (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.【答案】(1)AD →. (2) 0.【解析】(1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋F A →＝AC →＋CF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.题型三利用向量加法证明几何问题例3已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →.求证：四边形ABCD 是平行四边形．【答案】见解析.【解析】证明 AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →， ∴AB ＝DC 且AB ∥DC ， ∴四边形ABCD 为平行四边形．解题技巧（用向量加法证明集合问题的基本思路）用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．跟踪训练三1．如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的反向延长线及延长线上取点E ，F ，使BE ＝DF ，求证：四边形AECF 是平行四边形．【答案】见解析．【解析】证明 ∵AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，又AB →＝DC →，FD →＝BE →， ∴AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等． ∴四边形AECF 是平行四边形．题型四向量加法的实际应用例4 在水流速度为向东10 km/h 的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10 3 km/h ，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．【答案】船行驶速度为20 km/h ，方向与水流方向的夹角为120°.【解析】如图所示，OA →表示水速，OB →表示船实际航行的速度，OC →表示船速，由OB →＝OC →＋OA →易知|BC →|＝|OA →|＝10，又∠OBC ＝90°，所以|OC →|＝20，所以∠BOC ＝30°，所以∠AOC ＝120°，即船行驶速度为20 km/h ，方向与水流方向的夹角为120°.解题技巧： (向量加法解决实际问题的步骤)跟踪训练四1、在某地抗震救灾中，一救护车从A 地按北偏东35°的方向行驶800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向行驶800 km 送往C 地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．【答案】救护车行驶的路程是1600 km ，两次行驶的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.【解析】如图所示，设AB →，BC →分别表示救护车从A 地按北偏东35°方向行驶800 km ，从B 地按南偏东55°的方向行驶800 km.则救护车行驶的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次行驶的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →.依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°.所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而救护车行驶的路程是1600 km ，两次行驶的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本10页练习，22页习题6.2的1，2题.6.2.1 向量的加法运算1.向量加法概念例1 例2 例3 例42.三角形和平行四边形法则3. 向量a +b 与非零向量 a ，b 的模及方向的关系教学反思：本节课重点是向量加法的定义，三角形法则和平行四边形法则，同时还涉猎到向量加法交换律和结合律。

高中必修二数学向量教案

高中必修二数学向量教案教学内容：向量的概念、加法、数量积、夹角、共线和共面教学目标：学习向量的基本概念，掌握向量的加法和数量积运算，能够解决实际问题中的向量计算问题。

教学重点：向量的加法和数量积运算，夹角、共线和共面的概念。

教学难点：向量的几何意义和应用问题的解题方法。

教学方法：导入法、示范法、练习法教学准备：黑板、彩色粉笔、教材、课件教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾平面直角坐标系中的向量表示，让学生联想向量的定义和性质。

二、向量的概念（10分钟）1. 向量的定义：向量是有大小和方向的线段。

2. 向量的表示法：用有向线段表示。

3. 向量的模：向量的大小，记作|a|。

4. 向量的方向：向量所在的直线方向。

5. 向量的相等：两个向量大小相等、方向相同时为相等向量。

三、向量的加法（15分钟）1. 向量的加法定义。

2. 向量的几何运算规则。

3. 向量的数量运算规则。

四、数量积（10分钟）1. 数量积的定义。

2. 数量积的性质。

3. 数量积的计算公式。

4. 数量积的应用。

五、夹角、共线和共面（15分钟）1. 向量夹角的概念和计算。

2. 向量共线和共面的判定方法。

3. 实际问题分析和解决。

六、练习与总结（15分钟）1. 练习向量的加法和数量积计算。

2. 完成相关题目。

3. 总结向量的基本概念和运算法则。

教学反馈：学生通过作业和课堂练习进行自我评价，教师巩固学生对向量相关知识的理解，并指导学生解决问题。

全国青年教师数学大赛高中数学优秀教案、教学设计及说课稿《向量的加法》

向量的加法授课教师：江苏省盐城中学侯爱娟教材：普通高中课程标准实验教科书（必修4）（苏教版）一．教学目标知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感目标：经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、创新的个性品质．二．重点难点重点：向量加法运算的意义和法则．难点：向量加法法则的理解．三．教学方法采用“启发探究”式教学方法，结合多媒体辅助教学．四．教学过程Ⅰ．创设情境直观感知A以杭州湾大桥为整体背景，设计两个问题情境如下：问题１：建桥之前如何从嘉兴到达宁波？建桥之后可以从嘉兴直达宁波，此时的位移与前面两次位移的结果有何关系？两次位移的结果可称为两次位移的和，如何用等式来刻画这三个位移的关系？问题2：这是大桥南端的A 型独塔斜拉桥，其中两根拉索对塔柱的拉力分别为、，则它们对塔柱的共同作用效果如何？合力可称为力与1F 2F F 1F 2F的和，如何用等式来刻画这三个力的关系？力与位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它们的物理属性，就是数学中的向量．它们的和也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——向量的加法（引出课题）Ⅱ．抽象概括形成定义（一）建立数学模型若记则向量OB 叫做向量,OA a AB b ==a 与b 的和，记为a b += OA AB OB += ．问题3：如图所示的三个向量，你们能给出它们所满足的等式吗？——AB BO AO +=，即向量AO 为向量与AB BO的和（二）抽象数学概念问题4：由此，你们能概括出一般的两个向量a 与b和的定义吗？学生活动：在平面内任取一点O ，平移a 使其起点为点O ，平移b使其起点与a 向量的终点重合，再连接向量的起点与向量的终点．a b（1）平移的目的是什么？——平移后使得两个向量能在同一个三角形中；（2）平移后两个向量的终点与起点有何关系？——使得第二个向量的终点与第一个向量的起点重合；（3）和向量又是什么？——连接向量a 的起点与向量b 的终点，并指向b 的终点，得到的向量OB 即为向量与的和；a b（4）借助于几何直观，用自然简洁的语言给出两个向量和的定义．和的定义：已知向量，在平面内任取一点O ，作,a b ,OA a AB b == ，则向量叫做向量的和．记作：．即a ．OB,a b a b + b AB OB +=+=OA 向量的加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．问题5：用三角形法则求向量和的过程中要注意什么？——平移两个向量使它们首尾顺次相连．问题6：还可以用什么方法求两个向量的和呢？——向量加法的平行四边形法则．问题7：平行四边形法则有何特点？——平移两个向量至共起点．两种方法求和的结果是一样的，可见，向量加法的三角形法则与平行四边形法则在本质上是一致的．在具体求和时，应根据情况灵活地选择．（三）尝试运用法则试一试：如图，已知a 、b ，作出a b +向量加法的三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性． Ⅲ．类比猜想探究性质问题8：加法其实我们并不陌生，从小就开始学习数、字母、式的加法，实数的加法有哪些运算性质？向量的加法是否也满足类似的性质？如果满足，具体形式是什么？实数的加法向量的加法性质0a a +=()0a a +-=a b b a +=+()(a b c a b c ++=++)0a a +=()a a 0+-=a b b a +=+()(a b c a b c )++=++交换律的验证让学生通过画图自己验证，结合律的验证师生借助于多媒体共同完成．研究结果表明：向量的加法也满足交换律和结合律，这与数的加法是一致的．有了交换律与结合律，向量的加法就可以按任意的组合与任意的次序进行，从而丰富了向量加法的内涵．Ⅳ．数学运用深化认识abba abba例1．如图，O为正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6的中心，作出下列向量：（1）（2）（3）13O A O A +36OA A A + 52365A A A A +（4）134634A A A A A A ++ （5）1223344556A A A A A A A A A A ++++A3推广1：1223341n n 1n AA A A A A A A AA -++++=推广2：12233411n n n A A A A A A A A A A -+++++0=墩的状况，已知艇的速度是25km/h，若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，则艇的航向如何确定？并以北京08奥运圣火的传递提供了现实原型．最后我们再回到这座宏伟壮观的大桥来解决这样一个实际问题：例2．已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以12.5km/h 的速度向东流，现有一艘工作艇，在海面上航行检查桥北东BV 船A DD分析：首先将实际问题数学化，把三个速度分别用向量来表示：如图，设AB 表示水流速度，AD表示游谁度？艇的速度，那是游艇的实际速AC ，三个向量应满足什么关系？AC AB AD =+．，设表示游艇的速度，解：如图B 表示水流速度， A AD AC表示游艇的实际速度，因为，所以四边形为平行四边形．在AC AB AD =+ ABCDRt ACD ∆中，， 5090ACD ∠=|= |||12.5DC AB =||2AD = ，的方向由南向北航行，其航向应为北偏西．展延伸一、课时小结：留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？最后应用到生活实践中去．再一次告诉我们，数学源于生活，又服务于生活．2、马克思说过：一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步．我们今天所学习的向量随着对向量研究的逐步深入，向量作为一种新的数学二、拓展延伸：同学后完成（所以030CAD ∠=30答若艇要沿着与桥平行Ⅴ．回顾反思拓1、同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？知识内容：向量加法的定义、二个运算法则以及二个运算律．本节课我们从物理原型抽象出数学模型，在此基础上去研究数学模型，的加法为研究物理的相关问题提供了一种数学工具，工具被越来越广泛的应用．（1）作业：P66 习题2．2的1，2，3（2）拓展探究：请们课下面的拓展探究题：向量和的模与模的和之间有什么关系？,a b是任意两个向量，则a b + 与a b 之间有什么关系？并根据自己感兴趣的话+题进行拓展探究．关于“向量的加法教案”的说明数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态．这是新课程理念中特别强调的，也是我备课过程始终如一的追求．说明一：关于目标定位景抽象出的一种数学运算．在《课程标准》中，对平面向量运算的总的要求是：了解向量丰富的实际背景，算，并理解其几何意义．根据课标的要求结合学生的认知特点，确定了本节课的多元化教学目标（详见教案）．说明二：关于地位作用“旧”，一方面，在物理中学生已经学习了力、位移等矢量的合成，并且通过上节课的学习，学生已掌握另一方面，数的加法运算为向量的加法运算提供了可类比的对象，这些都是学习本节内容的基础．矩阵的运算等等）创造了条件，起着承上启下的作用，并加强了代数、几何、三角的联系，体现了近现代向量还是重要的物理模型，体现了数学与物理的完美结合，为解决实际问题提供了有效的工具．说明三：关于学情诊断本节内容总体来说比较简单，学生理解接受的难度也不大．因为学生在物理中已经认识了矢量与标量则．通过与数的加法的类比，学生也能够较容易的猜想出向量加法的交换律与结合律．示不是很规范．有些学生对向量加法法则的运用还停留机械模仿的水平，表现在平移向量时，不能够根据不能在同一个图形中来研究这个问题，这就给说明两个向量的相等带来了困难．对向量式的化简过程中，向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何、三角的一种工具．其工具作用主要体现在向量的运算方面．向量的加法运算是向量运算的基础，它以位移的合成、力的合成等物理模型为背理解平面向量及其运算的意义，发展运算能力．对本节内容的具体要求是通过实例，掌握向量加法的运向量的加法不同于数的加法，运算中包含大小与方向两个方面，向量加法的法则––––图上作业法，是一种全新的数学技术，从这个角度来看，研究向量加法是学生学习过程中的一种突破．但在“新”中又有了向量的相关概念及表示方法，知道向量可以自由移动的；向量的加法运算是继实数运算、集合运算之后，学生学习的另一种形式的运算，是学习向量的减法、数乘以及平面向量的坐标运算等内容的知识基础，为进一步理解其他的数学运算（如函数、映射、变换、数学的一些重要思想．同时，的区别，在生活中对位移与路程也有了一定的体验．所以对数学中向量与数量的概念是比较容易理解接受的．并能够从物理的矢量合成中去感受向量的加法的含义，总结出向量加法的三角形法则和平行四边形法但是由于学生对向量的理解还没有根深蒂固，会有部分学生忽略零向量与数零的区别，以及向量的表情况灵活地选择起点．对交换律与结合律的验证，学生也存在一定的误区，在具体操作过程中，他们往往对交换律、结合律运用不够灵活，不善于抓住向量式的特点来解决问题．这些都需要教师在课堂教学过程中具备灵活的教学机智，给学生以适时的点拨与提醒．说明四：关于教法设计基于以上对教材内容的认识和学生客观情况的分析，结合新课标的教学理念，本课主要采用“启发探究式”教学法，遵循由具体到抽象、由特殊到一般的原则．并结合多媒体手段，为学生营造一个充满着观察、发现、归纳、猜想的可“再创造”环境，使其能够充分实现自主探究、合作交流，生动活泼地获取知识．具体表现为如下几个方面：（1）讲背景、重过程、强调本质本课开始从学生已有的生活经验和物理知识出发，以杭州湾大桥为背景创设问题情境，从而让学生在位移合成、力的合成的基础之上，抽象出向量加法的概念，进而引导学生总结出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及各自的操作方法与要领，使学生体会到向量加法的实际背景，经历了概念形成的过程，领悟到数学概念的本质，体现了“数学教学是数学思维活动的过程教学”．（2）讲方法、重能力、渗透思想向量加法运算律的教学，是引导学生通过与数的加法进行类比得到的，并让学生自主探索，构图进行验证．这样不仅体现了学生的主体地位，同时还培养了学生科学的探究能力，归纳推理能力，渗透了数形结合、类比等思想．（3）设计问题、加强联系、关注学生的发展教学中采用了“以问题为中心”的讨论式教学模式．把问题作为教学的出发点，精心设计问题情境，组织相关的数学成分，加强相关内容的联系，使问题处于学生思维的最近发展区，以此激发学生的好奇心与求知欲．并能够较好地培养学生数学地发现问题、提出问题、解决问题的能力．总体来说，本课围绕学生的发展进行教学设计，使问题贯穿始终，思想贯穿始终，探究贯穿始终，联系，发展贯穿始终．学生在老师的启发下发现当前所面临的问题，成为探究活动的主线，沿着这条主线带领学生找区别、找联系．关注学生的成长发展的全过程，使他们在过程中形成能力，在过程中掌握方法，在过程中发展基本数学能力，在过程中培养健康向上的情感、态度和价值观．通过本节课教学，可使不同层次的学生都能掌握给定任意两个向量求和的基本方法，能够视具体情况灵活地作出两个或者多个向量的和；能运用向量加法的交换律和结合律解决向量式的化简和计算问题；并能运用向量的加法法则解决了一些实际问题．。

高中必修二向量数学教案

高中必修二向量数学教案
教学内容：向量的概念和性质
教学目标：
1. 了解向量的定义和基本性质；
2. 掌握向量的表示方法；
3. 能够进行向量的加法、减法、数量乘法等运算；
4. 能够解决与向量相关的实际问题。

教学重点与难点：
重点：向量的定义、加法和减法运算规律；
难点：向量运算中的实际问题解决。

教学过程：
一、导入（5分钟）
老师引导学生回顾平面向量的基本概念，并与二维向量进行比较，引出本节课的主题。

二、讲解向量的定义和表示方法（15分钟）
1. 向量的概念：介绍向量的定义和基本概念；
2. 向量的表示方法：介绍向量的表示方法，包括坐标表示法和延长线法。

三、讲解向量的运算规律（20分钟）
1. 向量的加法：介绍向量的加法规律，并进行一些例题讲解；
2. 向量的减法：介绍向量的减法规律，并进行一些例题讲解；
3. 向量的数量乘法：介绍向量的数量乘法规律，并进行一些例题讲解。

四、综合练习（15分钟）
老师设计一些综合性的练习题，让学生巩固所学知识，并加深对向量运算规律的理解。

五、实际问题解决（15分钟）
老师设计一些与实际问题相关的向量运算题目，让学生运用所学知识解决实际问题。

六、总结（5分钟）
老师对本课程的内容进行总结，并展示一些常见错误，以及学生在学习中需要注意的问题。

七、课后作业（5分钟）
布置相关的课后作业，以巩固学生所学知识。

教材参考：《高中数学必修二》
教学评价方式：课堂练习成绩、课后作业完成情况、学生的课堂表现等。

高中数学必修二向量教案

高中数学必修二向量教案一、教学内容：向量的定义与性质二、教学目标：1. 熟练掌握向量的定义及性质；2. 能够准确运用向量的加法、减法和数量乘法；3. 能够解决与向量相关的实际问题。

三、教学重难点：1. 向量的定义及表示方法；2. 向量的加法、减法和数量乘法的运算。

四、教学过程：1. 导入（5分钟）通过一个生动的例子引入向量的概念，让学生了解向量的定义及表示方法。

2. 讲解向量定义及性质（15分钟）介绍向量的定义、平行向量和共线向量的性质，让学生理解向量的基本概念。

3. 向量的加法（15分钟）讲解向量的加法规则和性质，通过示意图和实际例题，让学生掌握向量的加法运算方法。

4. 向量的减法（15分钟）介绍向量的减法规则和性质，通过实例讲解向量的减法运算方法，帮助学生掌握减法运算。

5. 向量的数量乘法（15分钟）讲解向量的数量乘法规则和性质，通过例题演练，让学生熟练掌握数量乘法运算方法。

6. 练习及实践应用（20分钟）让学生进行一些练习题，巩固向量的相关知识，并通过实际问题的解决，提高学生的应用能力。

7. 总结与展望（5分钟）对本节课的内容进行总结，并展望下节课的教学内容。

五、板书设计：1. 向量的定义及表示方法；2. 向量的加法减法规则；3. 向量的数量乘法规则；4. 实例分析及应用题。

六、教学反思：本节课主要介绍了向量的定义、加法、减法和数量乘法的基本知识，通过实例分析和练习让学生更加深入理解向量的运算规则和性质。

在教学过程中，通过生动的例子和互动讨论，激发学生学习的兴趣，帮助他们更好地理解和掌握向量相关知识。

在下节课中，将继续深入讲解向量的性质和应用，帮助学生在实际问题中更好地运用向量知识解决问题。

【教案】平面向量的加法运算+教学设计高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

题目 6.2.1向量的加法运算课标要求在探究向量的运算性质时，与实数的运算性质进行了类比数的运算，学生能够理解向量的线性运算，运算的原理、方法、规律，理解平面向量的线性运算的概念。

提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养。

核心素养目标1.掌握向量的加法运算，并理解其几何意义。

2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。

通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力。

3. 通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。

教学重点两个向量的的概念及其几何意义,向量加法的运算律。

教学难点数形结合求向量的和。

教学策略 1.探究与发现2.自主练习与指导教具准备多媒体课件，班班通，教材教学方法启发和探究教学相结合，自主练习与指导相结合。

学习方法从特殊到一般，从感性到理性，从具体到抽象。

教学过程环节一：复习回顾，温故知新教师活动：提出问题，引导、检查学生学习情况1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？学生活动：回顾上节课学习过的内容，思考问题并举手回答活动意图说明：通过复习上节所学知识，引入本节新课。

建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

环节二：知识探究（一）：向量的三角形法则教师活动：思考1：如图，某质点从点A经过点B到点C，则这个质点的位移怎么表示？1.已知向量a和b，如图在平面内任取一点O，作bABaOA==,，则向量OB叫做a和b的和，记作ba+．即OBABOAba=+=+。

求两个向量和的运算叫做向量的加法。

根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

向量加法的三角形法则：第一个向量的终点和第二个向量的起点连在一起，由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量叫做两个向量的和向量。

【口诀】首尾相连首尾连。

学生活动：回顾学习过的物理知识，独立思考，回答问题通过思考，浏览教材，总结向量加法的三角形法则的定义理解口诀的含义并熟背口诀活动意图说明：通过思考，由质点的位移引入向量加法的三角形法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

2.1向量的加法-北师大版高中数学必修第二册(2019版)教案

2.1 向量的加法-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案1. 教学目标1.理解向量的概念，能正确描述向量的起点和终点，能正确画出向量的图像。

2.掌握向量的加法方法及其性质，能解决简单的向量加法问题。

3.发现向量加法的交换律和结合律，提高解决问题的灵活性。

2. 教学重点1.向量的概念2.向量的加法方法及其性质3. 教学难点1.如何正确理解向量的图像：起点、终点、方向和大小；2.向量加法的特点：交换律和结合律，如何应用。

4. 教学过程4.1 教师讲授4.1.1 向量的概念向量的概念是线性代数和解析几何中非常重要的概念之一，其在物理、计算机图形学、工程等领域中也有广泛的应用。

向量的概念建立在数学三角函数的基础上，它有起点和终点，长度为模，方向由起点指向终点。

让学生体会向量的概念，教师可以举出实际生活中的例子，如航空航天中的飞机、火箭，汽车前进时的速度和方向等。

再以向量的概念定义为基础，进行具体解释。

4.1.2 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量的操作。

不同于数字的加法，向量的加法需要考虑其方向和大小，一般采用平行四边形法和三角形法两种方法。

引导学生认识平行四边形法和三角形法，并进行示范讲解和练习。

4.1.3 向量加法的交换律和结合律向量加法具有交换律和结合律的特点，即交换两个向量的位置或将两个或两个以上的向量先成一组，然后两两相加的结果相同。

让学生通过练习发现向量加法的交换律和结合律，体会这一过程中的数学思考和观察分析能力。

4.1.4 向量的几何性质向量具有方向和大小，但是起点和终点可以任意滑动，不影响向量的大小和方向。

这种性质称为向量的平移不变性。

教师将这些性质进行讲解，并通过具体例子和练习来加深学生对向量的几何性质的理解。

4.2 学生练习让学生进行向量加法的练习，包括平行四边形法和三角形法两种方法，通过练习加深学生对向量加法的理解和掌握。

4.3 课堂互动让学生在课堂上互相交流和讨论向量加法的问题，以及如何利用向量加法解决实际应用问题。

6.2.1 向量的加法运算教案高一下学期数学人教A版2019必修第二册

向课外，认知的活跃度下降，这就需要老师及时变换活动方式，
精心设计结束语，良好的课尾设计可再次激起学生思维的高潮，
在让学生体会数学中蕴含着丰富的人生哲理的同时，也让数学的
美修饰学生的心灵。
三、结尾
升华主题——感受数学之美，品尝人生之趣。
本微课由万彩动画大师和万彩手影大师制作而成，利用专业手持录音机设备进行录音，运用Camtasia studio 9.1软件完成屏幕录制和视频剪辑工作。四、教学反思教学过程可概括为“观察——操作——类比——猜想——归纳——应用”。教学环节步步推进，以“问题”为主线组织教学，形成了“问题——解决”的学习链。向量是联系代数与几何的一条天然纽带，首先为了让学生真正地参与到概念发现的过程中，采用“问题串”的方式，帮助学生进行概念的探究，通过讨论、思考、总结、归纳，形成向量加法的概念。接着在学生“最近发展区”内提出问题，巩固新知。最后升华主题，让学生体会到数学中所蕴含着的丰富人生哲理。
BC
OM
化简后等于（
）
A．
BC
B．
AB
C．
AC
D．
AM
5．如图，在矩形 ABCD中， E 为 CD 中点，那么向量 1 AB AD 等于 2
A． AE
二、填空题 6．根据图示填空：
B． AC
C． DC
D． BC
（1） a b ______________；
（2） c d ______________；
动态课件的制作使学生经历从实际问题抽象为数学问题的过程，掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则作出两个向量的和向量。不仅增强教学的直观性，顺利突破了难点，也让信息技术与课堂教学完美融合，营造出高效的教学环境，使学生感受到了数学的动态美，有利于提高学生学习兴趣，有助于帮助

高中数学向量的加法教案

高中数学向量的加法教案教学目标：1. 理解向量的概念，掌握向量的性质和运算法则。

2. 掌握向量的加法法则和减法法则。

3. 能够通过例题熟练运用向量的加法和减法。

教学重点：1. 向量的加法法则和减法法则的理解与应用。

2. 解题方法的掌握与灵活运用。

教学难点：1. 多个向量的加法和减法。

2. 向量的坐标表示和分解。

教学准备：1. 教学课件、教学板书。

2. 向量的范例题目和练习题。

3. 制作向量的几何图形展示。

教学过程：一、引入：通过一个生活中的例子引出向量的概念，引导学生了解向量的意义和性质。

二、向量的定义与表示：1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量。

2. 向量的表示：以有向线段表示，常表示为AB（→），A和B分别为向量的起点和终点。

3. 向量的性质：平移、长度和方向都相同的向量相等。

三、向量的加法法则：1. 平行四边形法则：两个向量相加，结果向量的始点为第一个向量的始点，终点为第二个向量的终点，即C = A + B。

2. 共点法则：两个向量相加，结果向量为他们的和向量，即C = A + B。

四、向量的减法法则：向量的减法等价于加上对应向量的相反向量，即A - B = A + (-B)。

五、例题练习：1. 讲解范例题目，带领学生理解向量的加法和减法法则。

2. 练习学生独立解题，加深对向量运算的掌握和应用。

六、课堂小结：复习向量的加法和减法法则，梳理思路和方法。

七、作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。

教学反思：通过向量的加法教学，让学生掌握向量的基本运算法则，提高学生的运算能力和解题思维。

扩充应用向量知识，拓展学生的问题解决能力。

高中数学向量加法教案

高中数学向量加法教案教学内容：向量的加法教学目标：1. 了解向量的概念，掌握向量的表示方法；2. 掌握向量的相加和减法规则；3. 能够解决利用向量相加解决实际问题。

教学重点：1. 向量的概念；2. 向量的表示方法；3. 向量的相加和减法规则。

教学难点：1. 向量的加法和减法规则；2. 解决实际问题的能力。

教学准备：1. PowerPoint课件；2. 向量之间相加和减法的实例题目；3. 教师准备的板书内容。

教学过程：一、导入（5分钟）教师向学生简单介绍数学向量的概念及其应用，并解释为什么学习向量的加法是重要的。

二、概念讲解（10分钟）1. 介绍向量的定义和性质；2. 向量的表示方法：以坐标表示和以有向线段表示；3. 向量的模长和方向。

三、向量的相加和减法规则（15分钟）1. 向量相加的几何法和表示法；2. 向量相减的方法；3. 向量的几何和坐标表示。

四、练习与讲解（20分钟）教师提供一些向量相加和减法的例题，让学生进行练习并解答，随后进行讲解。

五、小组讨论与巩固（10分钟）学生分组讨论解决实际问题时如何应用向量相加的方法，并进行演示和讨论。

六、课堂总结（5分钟）教师对本节课内容进行总结，并重点强调学生需要掌握的知识和技能。

七、作业布置（5分钟）教师布置相应的作业，以巩固学生对向量加法的理解和应用能力。

教学反馈：在下节课开始前，教师对学生的作业进行批改，并根据学生的表现进行必要的反馈和指导。

教学延伸：教师可以进一步讲解向量的数量积和叉乘，以及向量的应用于几何和物理等领域。

教学结束。

高一数学必修第二册 2019(A版)_《向量的加法运算》教学设计二

《向量的加法运算》教学设计二一、创设情境,引入课题师:请大家思考,如何将黑色8号球打进底洞?(出示图片)你能不能解决这个问题?学生分组讨论,尝试解答.师:在2009年春节探亲时,由于台湾与山东没有直达航班,李小姐只能从台北先坐飞机到北京,再从北京坐飞机到山东.如今通航了,我们可以直接到达,非常方便.无论是台球还是飞机,从最初的位置到达最终的位置都是经历了两次位移,如果从作用效果角度来看,这两次位移的作用效果就等于从起点到终点的一次位移,在物理上,我们就把这次位移称作是之前两次位移之和.问题1:位移求和时,两次位移的位置关系是什么?如何作出它们的和位移? 学生思考讨论,然后回答.两次位移首尾相连,其和位移是由起点指向终点.位移是个物理量,如果抛开它的物理属性,它正是我们研究的——向量.那么,受位移求和的启发﹐你能否找到求解向量之和的方法呢?二、归纳总结，核心必记问题2:如图所示,对于向量a 和b ,如何求它们的和呢?教师提示:和物理中的位移求和问题有所不同的是,在数学中任意两个向量相加时,它们未必是首尾相连的,应如何处理呢?学生讨论,回答,得出向量加法的定义.生:在平面内任取一点O,平移a 使其起点为点O,平移b 使其起点与a 向量的终点重合,再连接向量a 的起点与向量b 的终点.向量的加法:已知非零向量a,b ，在平面内取任意一点О,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做向量a,b 的和,记作a +b, 即 a +b =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗ (如图所示).求两个向量和的运算,叫做向量的加法.上面这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.向量的加法可用数学中的作图语言来刻画,这种方法经常出现在几何中,这一点也更好地体现了向量加法具有的几何意义和向量数形结合的特征.问题3:大家回忆力的合成与分解的过程,你能根据力的合成与分解,用新的方法求两个向量的和吗?学生思考,回答,引入向量加法的平行四边形法则.向量加法的平行四边形法则:如图所示,以同一点O 为起点的两个已知向量a,b ,以OA,OB 为邻边作口OACB,则以O 为起点的向量o 心(OC 是口OACB 的对角线)就是向量a 与b 的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.问题4:向量加法的三角形法则与平行四边形法则有什么不同?学生分组进行讨论,总结规律.生:向量加法的三角形法则是首尾相接,首尾连;向量加法的平行四边形法则是起点相同,邻边作形,对角为和.问题5:对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢?问题6:两共线向量求和时,用向量加法的三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加法与数的加法有什么关系?问题7:思考|a +b|,|a|,|b|存在着怎样的关系?问题8:数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.数的加法满足交换律和结合律,那么,向量的加法是否也满足交换律和结合律呢?活动:观察实际例子,教师启发学生思考,并适时点拨,诱导,探究向量的加法在特殊情况下的运算,共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b ∈R, 有 a +b =b +a,(a +b)+c =a +(b +c) .任意向量a,b 的加法是否也满足交换律和结合律?引导学生画图进行探索.讨论结果:问题5:对于零向量与任意向量a ,我们规定a +0=0+a =a .问题6:两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段.问题7:当a,b 不共线时, |a +b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边). 当a,b 共线且方向相同时, |a +b |=|a |+|b|当a,b 共线且方向相反时, |a +b|=|a|−|b| (或|b|−|a|).其中当向量a 的长度大于向量b 的长度时, |a +b|=|a|−|b|;当向量a 的长度小于向量b 的长度时, |a +b|=|b|−|a|.综上,一般地,我们有|a +b|⩽|a|+|b|,当且仅当a,b 方向相同时等号成立.问题8:如图﹐作AB= a ,AD = b ,以AB,AD 为邻边作口ABCD,容易发现BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,故AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b. 又 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b +a, 所以 a +b =b +a .如图,因为 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +b)+c,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=a +(b +c) 所以 (a +b)+c =a +(b +c)综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.三、例题解析例1如图,已知向量a,b ，求作向量a +b .设计意图:通过例1,使学生明白向量加法的三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的,反映了向量加法的三角形法则具有广泛的适用性.例2根据图形填空:(1) a +b =__________.(2) c +d =__________.（3) a +d +b =__________.（4)DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =__________. （5)DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =__________.设计意图:在训练向量加法的三角形法则的同时,使学生注意到向量加法的三角形法则可推广到n 个向量相加的形式,即A 0A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+A n−1A n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 0A n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .例 3 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A地出发,垂直于对岸航行,航行速度的大小为15 km/h,同时江水的速度为向东6 km/h.(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度;(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到1°).设计意图:通过例3让学生体会向量在生活中的实际应用,体会数学的应用价值.四、课堂小结同学们想一想:本节课你有些什么收获呢?留给你印象最深的是什么?作为课堂的延伸,你课后还想做些什么探究?设计意图:新课程理念尊重学生的差异,鼓励学生的个性发展﹐所以﹐对于课堂小结，可设置一些开放性的问题,期望通过这些问题使学生体验学习数学的快乐﹐增强学习数学的信心.五、作业布置教材第10页练习第1,4,5题.板书设计6.2.1 向量的加法运算一、创设情境,引人课题二、归纳总结,核心必记1.向量加法的三角形法则2.向量加法的平行四边形法则3. a+0=0+a=a.4.一般地,我们有|a+b|⩽|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时等号成立5.向量加法的交换律:a+b=b+a6.向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c)三、例题剖析例1例2例3四、课堂小结五、作业布置教学研讨本节内容导入是生活中的一些问题,学生比较感兴趣,可以快速地进入本课的学习状态.本节内容主要以问题形式出现,共设计了八个问题,本课的学习过程,就是解决这八个问题的过程.这样设计,可以让学生在思考讨论的过程中有所依据,可以最大限度地让学生参与到课堂的各项活动中.。

高中数学 4.2《向量的加法》教案湘教版必修2

§§5.2 向量的加法新授课第一课时教学目标：1：要求学生掌握向量加法的意义，并能利用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量。

2：能表述向量加法的交换律和结合律，并能运用它进行向量计算。

教学重点：目标1，2教学难点：目标2教学过程：一、复习回顾：向量的定义及有关概念。

强调：1.向量是既有大小，又有方向的量。

长度相等，方向相同的向量相等。

2.正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。

二、提出课题：向量是否能进行运算？由于大陆和台湾没有直航，因此2003年春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？三、向量的加法：1．定义：求两个向量和的运算。

向量与之和记作+.注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．向量加法：强调：A. “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点成为后一个向量的起点（首末相连，由首指末）。

B．当向量a与b不共线时，向量+的方向与a,++C. 当向量与同向时，则向量+,,同+=+;当向量与反向时，若，则+的方向与a相同，且-=+，则ba+的方向与b相-=+D.可以推广到个n向量连加。

E. =+=+F.不共线向量都可以采用这种法则（三角形法则）。

3.向量的运算律交换律：验证：若a与b是不共线向量，将a与b的起点平移到同AABBCCa+ba+ba abb baba一点o ，作平行四边形OABC ，对角线是两向量的和。

平行四边形法则：结合律：()()c b a c b a ++=++ 从而多个向量的加法运算，可以按任意次序任意组合来进行。

练习： A.一架飞机向西飞行100千米，然后改变方向向南飞行100千米，则飞机两次位移的和为。

++一定成立吗？ C.在四边形ABCD 中，_________=++。

例：见课本（P98—99）略练习：在ABC ∆中O 为重心，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，化简下列三式：四、小结A 、向量加法的几何法则B 、交换律和结合律C ++不一定成立，因为共线向量不然五、作业习题5.2 1--3 O A a a a b b bC A BCD ac a +b+c b a +b b+c。

向量加法运算教学设计高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

向量加法运算教学设计教学目标1、通过实例引入,了解向量加法的物理背景,能够用自己的话说出向量加法的定义,并理解向量加法的几何意义;2、掌握向量加法运算的三角形法则和平行四边形法则,能够根据题设条件,灵活运用这两个法则求解向量的加法运算;3、能够区别向量加法的三角形法则和平行四边形法则的适用条件。

教学重难点重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量．难点：理解向量的加法法则及其几何意义．教学过程根据学生现有的的认知水平和规律，结合本节课的内容特点，在新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程．基于此，我设定了4个教学环节：（一）、复习旧知、铺垫新知在上一堂课，我们学习过向量的哪些概念？引入：我们知道，数能进行运算、因为有了运算而使数威力无穷。

那么向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算。

本节课我们将开始研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用。

（二）、合作探究、建构定义合作探究一：向量加法的定义问题1：学生甲从宿舍到操场、再从操场到教室，学生乙从宿舍到教室。

结论：两个学生的位移效果相同。

【思考】位移求和时，两次位移的位置关系是什么？如何作出它们的和位移？宿舍教室操场——两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点．由位移的合成这一物理模型得出向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

即已知向量,a b ，在平面内任取一点O ，作,OA a AB b ==，则向量OB 叫做向量,a b 的和．记作：a b +．即a b OA AB OB +=+=．学生活动：学生讨论，自主探究位移是个物理量，如果抛开它的物理属性，它正是我们研究的——向量．那么，受到位移求和的启发，能否找到求解向量之和的方法呢？于是，我们顺利的进入了本节课的第二个环节：合作探究二：向量加法的几何运算法则——三角形法则我首先提出了问题2：【问题2】如图所示，对于向量a 和b 如何求解它们的和呢？和物理中的位移求和问题有所不同的是，在数学中任意两个向量相加时，他们未必是首尾相连的，应该如何处理呢？鼓励学生大胆试验和探究，最终规范书写的格式．最终，由他们自己得出问题的答案：生：“在平面内任取一点O ，平移a 使其起点为点O ，平移b 使其起点与a 向量的终点重合，再连接向量a 的起点与向量b 的终点”．加法的定义：已知向量,a b ，在平面内任取一点O ，作,OA a AB b ==，则向量OB 叫做向量,a b 的和．记作：a b +．即a b OA AB OB +=+=．向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．注意（1）起点的任意性；（2）作法：首尾相连首尾连；（3）向量加向量仍然为向量.加法的定义其实是用数学的作图语言来刻画的，这种方法经常出现在几何中，这一点也更好的体现了向量加法具有的几何意义和向量数形结合的特征． a b a b a b +O A B至此，已经了解了加法定义与三角形法则，同时，我们也应该注意到在物理中力的合成时的运用到了平行四边形法则．我创设了情景：“力的合成问题”．对于平行四边形法则学生已经非常熟悉，他们关心的是两个法则之间的联系与区别，于是，我提出了问题4．【问题3】平行四边形法则有何特点？注：是平移两个向量至共起点，连对角．合作探究四：向量加法的几何运算法则——共线向量加法法则思考：如图，当a 、b 共线时，求作a b +.注：（1）同向时：两向量的和向量与原方向一致，大小为两向量的和；（2）反向且大小不等时：两向量的和向量方向与较大方向一致，大小是两个向量大小差的绝对值.（三）课堂小结1.向量加法的定义求两个向量和的运算叫向量的加法。

高一数学必修第二册 2019(A版)_《向量的加法运算》教学设计一

《向量的加法运算》教学设计一求两个向量和的运算,叫做向量的加法.上面这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.小结:向量加法的三角形法则的特征为首尾相接,首尾连.练习1:如图所示.(1)a+b=___________.(2) c+d=___________.(3) a+b+d=___________.(4) c+d+e=___________.答案:(1)c(2)f(3)f(4)g情境二:图(1)表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下,沿MC方向伸长了EO;图(2)表示橡皮条在一个力F的作用下,沿相同方向伸长了相同长度EO.从力学的观点分析, 力F与F1,F2之间的关系如何?向量加法的平行四边形法则.如图所示,以同一点О为起点的两个已知向量a与b,以OA,OB为邻边作口OACB,则以O为起点的向量⃗⃗⃗⃗⃗ (OC是口OACB的对角线)就是a与b的和.这种作两OC个向量的和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.小结:向量加法的平行四边形法则的特征为起点相同,邻边作形,对角为和. 对于零向量与任意向量a,我们规定a +0=0+a =a . 练习2:试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 已知四边形ABCD,对角线AC 与BD 交于点O,AO=OC , DO=OB.求证:四边形ABCD 是平行四边形.证明:如图,由向量加法的三角形法则,得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 又已知 AO =OC,DO =OB,AC 与 BD 交于点 O,∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即AB 与 DC 平行且相等，:四边形ABCD 为平行四边形.探究一:对平面内的任意两个非零向量作加法，和向量的模与向量的模的和有怎样的大小关系? 1.共线向量的加法. (1)方向相同:意义类似于有理数加法中的“同号两数相加”,即和向量的长度等于两个向量的长度之和,和向量的方向与两个向量的方向相同(如图).(2)方向相反:意义类似于有理数加法中的“异号两数相加”,即和向量的长度等于较大的向量的长度减去较小的向量的长度,方向取长度较大的向量的方向(如图).2.不共线向量的加法.结合向量加法的三角形法则及三角形中的三边关系进行探究.结论:一般地,我们有|a +b|⩽|a|+|b|当且仅当a,b 方向相同时等号成立.探究二:数的加法满足加法的交换律和结合律,那向量的加法是否同样满足加法的交换律和结合律呢?1.交换律: a +b =b +a ,如图,由向量加法的三角形法则可知向量的加法满足交换律.⒉结合律:如图, (a +b )+c =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,a +(b +c )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以 (a +b )+c =a +(b +c ).由上图还可知 , a +b +c =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,可见将三个向量依次首尾相加,和向量由第一个向量的例1如图,已知向量a,b,求作向量a +b .作法一:在平面内取一点O(如图所示),作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b, 则 OB⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b.作法二:在平面内任取一点O(如图所示),作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b .以OA,OB 为邻边作口OACB,连接OC,则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b.例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图,一艘船从长江南岸A 点出发,垂直于对岸航行,航行速度的大小为15 km/h,同时江水的速度为向东6 km/h.(1)用向量表示江水速度﹑船速以及船实际航行的速度;(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到1°). 解:(1)如图, AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船速, AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示江水速度,以AD,AB 为邻边作口ABCD,则AC⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船实际航行的速度.(2)在Rt △ABC 中, |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=15,于是 |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√62+152=√261≈16.2 因为 tan ∠CAB =|BC⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=52,所以利用计算工具可得 ∠CAB ≈68∘ .因此,船实际航行速度的大小约为16.2 km/h,方向与江水速度间的夹角约为68°.板书设计6.2.1向量的加法运算一,复习引入向量及其有关概念的复习二,形成概念1.向量加法的三角形法则2.向量加法的平行四边形法则a+0=0+a=a三,深化概念1.一般地,我们有|a+b|⩽|a|+|b|当且仅当a,b方向相同时等号成立.教学研讨本节在导入环节设置了两个情境,第一个是学生非常熟悉的唐僧取经的路线问题,第二个是物理学中的受力分析,这两个导入学生都比较感兴趣,有助于新课的进行;在向量加法的三角形法则和平行四边形法则学完之后,各紧跟一个练习,有助于学生对法则的把握.本节内客有许多地方需要类比学习,应大胆地让学生进行类比推理,让学生成为课堂的主体.。

向量的加法运算教学设计高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

2.2.1向量的加法运算
知识要点六：向量和与向量的模的关系：当向量 a b 、不共线时，和向量的长|a b +与向量a b 、的长度和 ||||a b +之
间的大小关系如何？
解析：向量和的模与向量模的和的大小关系为：
|||||a b a b +≤+
知识要点七：平面向量加法的运算律
学生思考6：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法能否也满足交换律和结合律？
通过例题，巩固向量的加法运算，掌握运
解析：向量的加法交换律
a b a +=+b
()a b c
a b c =+++)+
知识运用：平面向量的加法运算
在江水急两岸之间没有大桥的地方，常常通如图所示，一艘船从江南岸A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为16千米每小时，同时江水的速度为向东12千米每小时。

）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数（用与。

A
B
D
C
()表示江水速度
表示船速，如右图所示，解：AB AD 1ABCD
AB AD 为邻边作平行四边形以,2OA
64A A
14A A 16A A
）错误!未找到引用源。

16A A
++++)16543221A A A A A A A A
熟练运用
师生共同探究完成设置的练
习题。