高三数学思想方法专题成都37中吴兴国

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数列复习专题讲座.ppt

D．128
（应用等比数中项的性质和对数运算性质解答）
三．高考命题展望
1.基础题
8 27
例3.在 3和 2之间插入三个数,使这五个数成等
5、5、5
5、5、5、 14
5、5、4、5
12、5、12 14、14、16、 14 、 14 、 14 、 14 、 12 、 13 、 12
06 年北京卷理科定义了 “绝对差数列”。
04 年定义了 “等和数列” 等新型题
型。
二．高考试题研究
1. 2006年全国各地高考数学卷有关数列试题题型
数列专题研讨
成都市37中学吴兴国
一．高考大纲剖析
考试内容：数列. 等差数列及其通项公式.等差数列前n项和公式. 等比数列及其通项公式.等比数列前n项和公式. 考试要求： (1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义.了解递推公式
是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项. (2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和
公式，并能解决简单的实际问题. (3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和
公式，并能解决简单的实际问题.
内容
数列
等差数列
等比数列
等差等比数列的综合问题数列知识解应用题
考点统计
能力层次
理解
高考要求
数列通项公式、前n项和、概念
掌握
由Sn求an
掌握
熟练应用
等差数列的通项和前n 项和
等差数列的性质解题
掌握
熟练应用
等比数列的通项和前 n项和
等比数列的性质解题
掌握有关概念、性质
掌握解决实际应用问题

浅析数学思想方法在高中数学解题中应用

108神州教育浅析数学思想方法在高中数学解题中应用徐童童河南省实验中学摘要：高中数学知识通常具有较强的抽象性与复杂性，如果不能掌握有效的解题方法与解题规律，那么我们的学习与解题过程将受到一定的阻碍。

数学知识背后往往蕴含着丰富的数学思想方法，这些方法对于我们数学思维的形成以及数学能力的发展来说有着重要意义，文中将对此展开探讨。

关键词：数学思想方法；高中数学解题；应用数学思想方法对于提升我们的解题能力、综合素养等方面来说有着重要的推动作用。

常用的数学思想方法包括数形结合法、等价转换法、换元法、极限思想以及特殊与一般思想等。

这些数学思想方法的运用可以有效降低解题难度、简化解题过程，掌握这些能力是十分必要且重要的。

一、数形结合法在高中数学解题中的应用数形结合思想是指我们在学习过程中不仅要了解知识所蕴含的代数意义，还应当有效分析其几何意义，实现二者的有效融合。

在图形的帮助下，我们能够直观的对数、式关系进行理解与分析，了解其特点与含义，继而有效进行解题。

数学中存在较多的抽象概念与规律，在图形的辅助下，这些内容都将变得直观、形象，继而降低我们理解问题、分析问题、解决问题的难度。

由于数学教学中涉及到的“形”既包括平面图形也包括空间图形，因此在运行数形结合思想解题时，我们应当关注逻辑上的严密性，要保证数形转化具有准确性。

例题：x、y 为实数，x 2+y 2=3，其中y ≥0，若m=、b=2x+y，求m 与b 对应的取值范围。

解析：从题目和问题的关系进行分析，可以将m 当做过点A(-3，-1)、M(x，y)的直线的斜率；而b 则可以当做是直线的截距，此时就可以根据题干作图，将抽象的知识点具体化、形最后可得m ∈[∈[-2]图1 数形转化图二、等价转换法在高中数学解题中的应用等价转换法也是一种较为常用的解题方法，如果题目中的条件较为复杂，我们找不到入手点，那么就可以尝试利用等价转换法解题，将抽象的问题转化为具体的内容。

高考数学试题中常用的思想方法

以下内容有关：1）实数与数轴上的点的对应关系；2）函数与图
像的对应关系；3）曲线与方程的对应关系；4）以几何元素和几
何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；5）所给
的等式或代数式的结构含有明显的几何意义. 数形结合是数
3.一学期结束时，将《学生素质综合测评表》发给每一位学生，假期期间学生进行自评。
2
个图像有两个公共点，所以选 B. 数形结合的思想包含“以形助数”和“以数轴形”两方面.
两方面相辅相成，互为补充，利用数形结合的思想解题能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化.
经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距 ห้องสมุดไป่ตู้ 为米的相邻两
墩
之
间
的
桥
面
工
程
费
用
为
（2+
%
姨
x
）x万元，假设桥墩等距离分
布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记下工程的费用
为y万元 .（1）试写出 y关于 x的函数关系 . （2）当 m=640 米时，需新
22
例如：已知圆 x +y =4，求过点（2，4）的圆的切线方程 . 分析：过点（2，4）的直线方程有两类，一类是斜率存在可设 y=k （x-2）+4，另一类是斜率不存在x=2，又因为x=2又是圆的切线方程，所以在解本题时，要注意对其斜率K存在与不存在，分两种情况讨论，否则会漏切线方程 x=2.

浅谈数学思想在等差数列学习中的应用

浅谈数学思想在等差数列学习中的应用作者：李思虹来源：《西部论丛》2019年第09期摘要：数列是高中阶段数学学习中的一项基本内容，而等差数列和等比数列是两种非常重要的特殊数列。

等差数列的学习中，蕴含着极为重要的数学思想。

本文从学生学习的角度出发，首先对高中数学等差数列的学习重点和难点进行了简要概述；随后，分析了数学思想在等差数列学习中的具体应用，希望为其他同学的学习提供具有价值的参考。

关键词：高中数学等差数列数学思想方程思想引言高中阶段的数学学习活动中，数学思想的应用，可以在某种程度上，提高对于数学概念和数学问题的理解能力，并加强数学问题的解决能力。

作为一名高中生，在学习数学知识解决数学问题的过程中，需要明确数学思想对于问题理解与解决的指导意义。

在此基础上，可以在日常的学习中，将数学思想与相关知识的学习有机地融合起来，从而提高数学学习的效果。

一、高中数学等差数列学习的重点与难点高中阶段等差数列的特点是，从数列的第二项开始，每后一项与前一项的差是同一个常数。

比如，数列{1，2，3，4，....，n}的后一项与前一项的差均为1，因此，该数列是一个首项为1，公差为1的等差数列。

等差数列的学习经常与等比数列联系在一起。

无论是等比数列还是等差数列，在学习的过程中，都需要将基本的概念与性质作为学习的重点内容。

此外，等差数列的每一项与其项数之间存在确定的关系，这种关系可以用解析式表示出来，也就是說，是一种可以用通项公式表示的数列。

因此可以通过通项公式，对数列中的特定项进行求值[1]，也可以求数列前n项的和或者研究等差数列的单调性、最值等性质。

在学习的过程中，不断积累和总结，可以提升在面对复杂问题时的解决效率。

二、数学思想在等差数列学习中的具体应用（一）整体思想的运用在解决高中数学中的等差数列相关问题时，需要从全局的角度出发，使用整体思想，对问题进行分析并加以解决。

比如，在对某些问题的研究过程中，需要将问题视为是一个整体。

高中数学必修3数学思想方法的教学策略研究与实践

研究与实践数学思想方法的教学策略高中数学（必修3）正文：新课程标准中指出，高中数学课程的目标之一是“使学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，数学思想方法有很多，以及它们在后续学习中的作用”。

体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以下我想结合自己的教学实践，，谈谈在必修三教学中体现的数学思想方法的研究与实践。

是用之不竭的数学发现的，数学思想方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙源泉。

可以说数学的发展史是一部生动的数学思想的发展史，它深刻地告诉我们：数学思想方法是数学知识的本质，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。

数学将全部数学知识有机地编思想方法比数学知识具有更大的统摄性和包容性，它们犹如网络，织在一起，形成环环相扣的结构和息息相关的系统。

所以，数学教学必须通过数学知识的教学和适当的解题活动突出数学思想方法一. 算法思想的体现算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础，随着现代信息技术的飞越发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并融入社会生活的方方面面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养，需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想，在这一章中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。

算法思想是贯穿高中课程的一条主线。

算法思想就是指按照一定的步骤，一步一步去解决某个问题的程序化思想。

在数学中，完成每一件工作，例如，计算一个函数值，求解一个方程，证明一个结果，等等，我们都需要有一个清晰的思路，一步一步地去完成，这就是算法的思想，程序化的思想。

以前，我们没有给出算法这个名词，但是，我们一直在利用算法的思想。

高中《正弦定理》课题中的数学思想方法及其教学启示

高中《正弦定理》课题中的数学思想方法及其教学启示[关键词]数学思想方法；正弦定理；[摘要]数学思想方法的教学是新课改中所必须把握的教学要求，它是数学教育教学本身的需要，是以人为本的教育理念下培养学生素养为目标的需要，是提高学生解题能力的需要。

本文结合新人教A版1.1.1的课题《正弦定理》，阐述了新课改下“数形结合”、“分类讨论”等几种重要数学思想方法的地位和作用。

一、数学思想方法的地位和作用1、数形结合的数学思想方法：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

“数形结合”就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

在中学数学教学中，教师要把数形结合这一数学基本观点始终贯穿在学生学习过程中。

在新课标背景下，中学数学的教学过程更注重对学生数学思想的训练和提高，强调学生利用数学思想分析问题，提出方案解决实际问题的能力和素质。

利用数和形的不同特点和性质，在教学过程帮助学生建立起应用数学的形象思维，解决实际问题，符合新课标提出的素质教育的内在要求，也值得我们在教学过程中对这一问题进行研究和探讨。

2、分类讨论思想：分类讨论的思想方法是指在解决某些数学问题时，其解决过程包括多种情形，不可一概而论，难以用统一的形式或同一种方法进行处理，需要根据所研究的对象在性质上存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，最终使得整个问题在总体上得到解决。

分类标准必须统一，否则会导致逻辑混乱；各种分类的集合必须彼此互斥，即各个分类没有公共部分，否则会造成重复讨论；分类必须是全面而完整的，否则会有所遗漏；对于需要多级讨论的，必须逐级地进行，不能出现越级讨论的现象，否则会导致层次不清，乃至错误。

数学思想在高中数学解题中的应用

关键词：高中数学；数学思想；应用
在高中数学解题过程中，学生应充分掌握数学思想，并将其灵活地应用在高中数学解题过程中，以此提升学生解题的效率，实现学生高中数学成绩的提升。
一、数学思想方法概述数学分析方法是解决问题的一种重要思想，能够让学生快速找到解题思路，提高解题效率。目前，高中数学思想有很多种，本文重点探讨以下几种。第一，函数与方程思想。函数思想主要是明确题中的变量关系，运用函数知识转化问题和解决问题。而方程思想主要是利用问题的变量关系建立方程来解决问题。第二，转化与化归思想。转化与化归思想简单来说就是将复杂的问题转化为简单问题，使求解更加容易。第三，数形结合思想。数形结合可以分为两类，一类是用图形辅助数字来解题，另一类是用数字辅助图形来解题，使得数学问题更加直观，有利于快速解题。第四，其他数学思想。除了上述数学思想，在高中数学中还包括分类讨论思想、归纳类比思想等。以上数学思想在高中数学学习过程中应用较为广泛，对解题具有重要帮助。在具体的解题过程中，学生还应根据不同的数学问题，选择正确的数学方法进行解题。二、数学思想在高中数学解题中的应用１．转化思想在高中数学解题中的应用在高中数学解题中，许多数学问题形式千变万化，但其实质内容是不变的，所以一旦遇见不同类型的题时，学生可以采用转化与化归的思想，对数学问题进行转化，将陌生的题型转化为熟悉的题型，将复杂的问题转化为简单的问题，有效降低解题难度，增强解题信心，从而快速解题。这就要求学生具备扎实的基础知识，认真分析题意，先要判断数学问题是否能够转换，然后了解问题中的已知条件，并构建数量关系，从而解决数学问题。

浅谈中学数学思想方法教学

浅谈中学数学思想方法教学发表时间：2013-06-20T10:27:22.967Z 来源：《少年智力开发报》2013学年43期供稿作者：王诗红[导读] 因为中学阶段的数学学习毕竟是将来学习数学、运用数学以及进行数学创新的基础。

四川省资中县双龙职业中学王诗红数学是人们在认识和改造世界的过程中形成与发展起来，反映客观规律的知识体系。

数学教学目的在于促进学生的学习，教师应该是学生学习的组织者、引导者、合作者。

数学课程的学习应以理解、体验、反思、探究和创造为根本，倡导探究性学习，引导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，逐步培养学生收集和处理科学信息、获取新知识、分析和解决问题以及交流与合作的能力。

因此数学教学中注重思想方法教学显得尤为重要。

数学的能力大致可分为两种:一是独立创造具有社会价值的数学新成果的能力;二是在数学学习过程中,学习数学的能力。

中学阶段,我们应该培养学生怎样的数学能力呢?无疑首先应该培养学生的“数学学习能力”,因为中学阶段的数学学习毕竟是将来学习数学、运用数学以及进行数学创新的基础。

正是由于这一点,我们的传统教学,特别重视数学学习能力的培养,采取的方法是“满堂灌”----让学生多听一点;教出的学生是“记忆型”----学生的大脑都成了知识的仓库。

但是,学习数学的最终目的,却是数学的运用与创新。

不论是数学的运用,还是数学创新,都离不开探索,没有了探索, 包括数学的任何学科,都会失去灵魂。

我们教育的症结就在于,我们太重视学生的学习能力,而忽略了探索和创新能力的培养。

长期以来,我们已经习惯了“老师教”和“学生学”的教学模式。

我们常说,学生是学习的主人,但有时候,我们的教育,却让学生处于从属地位,长此以往的结果,只能使学生对数学敬而远之,甚至是畏而远之。

笔者认为,这应该是我们教育的失败。

因此,改革数学教学,把培养学生的探索能力也作为我们教学活动的重要一环,实在是很有必要。

一、新课程数学思想方法教学应遵循的原则1、渗透性原则教师要通过精心设计教学过程，善于利用基本材料，根据数学知识特征，有计划、有步骤地渗透相应的数学思想方法，并适时加以引导，潜移默化的使学生领会数学知识所承载的思想方法，养成良好的数学思维习惯。

高三数学中的思想方法教学

高三数学中的思想方法教学发表时间：2010-10-11T09:23:28.217Z 来源：《魅力中国》2010年8月第2期供稿作者：齐海华[导读] 中数学学习是中学阶段承前启后的关键时期，不少学生升入高中后，能否适应高中数学的学习齐海华（浙江省台州市洪家中学浙江台州 318015）中图分类号：G633.6 文献标识码：A摘要：中数学学习是中学阶段承前启后的关键时期，不少学生升入高中后，能否适应高中数学的学习，是摆在高中新生面前的一个亟待解决的问题。

除了学习环境、教学内容和教学因素等外部因素外，同学们应该转变观念、提高认识和改进学习方法。

关键词：提高认识教学思想方法1.认识高中数学的特点。

高中数学是初中数学的提高和深化，初中数学在教材表达上采用形象通俗的语言，研究对象多是常量，侧重于定量计算和形象思维，而高中数学语言表达抽象、逻辑严密、思维严谨、知识连贯性和系统性强。

2.正确对待学习中遇到的新困难和新问题。

3.要将“以老师为中心”转变为“以自己为主体，老师为主导”的学习模式。

4.要养成良好的个性品质。

5.要养成良好的预习习惯，提高自学能力。

6.要养成良好的审题习惯，提高阅读能力。

7.要养成良好的演算、验算习惯，提高运算能力。

8.要养成良好的解题习惯，提高自己的思维能力。

9.要养成解后反思的习惯，提高分析问题的能力。

10.要养成归纳总结的习惯，提高概括能力。

同学们要养成良好的学习习惯、勤奋的学习态度、科学的学习方法，充分发挥自身的主体作用，不仅学会，而且会学，只有这样，才能取得事半功倍之效。

中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为基础知识；另一个称为深层知识。

基础知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识是指数学思想和数学方法。

基础知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的以及具有较强操作性的知识。

学生通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的基础知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识。

高考数学思想方法汇总(80页)

高考数学思想方法前言 (2)第一章高中数学解题基本方法 (3)一、配方法 (3)二、换元法 (7)三、待定系数法 (14)四、定义法 (19)五、数学归纳法 (23)六、参数法 (28)七、反证法 (32)八、消去法………………………………………九、分析与综合法………………………………十、特殊与一般法………………………………十一、类比与归纳法…………………………十二、观察与实验法…………………………第二章高中数学常用的数学思想 (35)一、数形结合思想 (35)二、分类讨论思想 (41)三、函数与方程思想 (47)四、转化（化归）思想 (54)第三章高考热点问题和解题策略 (59)一、应用问题 (59)二、探索性问题 (65)三、选择题解答策略 (71)四、填空题解答策略 (77)附录………………………………………………………一、高考数学试卷分析…………………………二、两套高考模拟试卷…………………………三、参考答案……………………………………前言美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光.高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等.数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记.而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用.数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段.数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得.可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”.为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想.最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷.在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现.再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范.巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用.每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识.第一章高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简.何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题.配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等.Ⅰ、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中,a1♦a5+2a3♦a5+a3∙a7=25,则 a3＋a5＝_______.2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____.A. 14<k<1B. k<14或k>1C. k∈RD. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1,则sinα＋cosα的值为______.A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____.A. （－∞, 54]B. [54,+∞)C. (－12,54]D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2,则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上,则实数a＝_____.【简解】 1小题：利用等比数列性质am p-am p+＝am2,将已知等式左边后配方（a3＋a5）2易求.答案是：5.2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)2＋(y－b)2＝r2,解r2>0即可,选B.3小题：已知等式经配方成(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解.选C.4小题：配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解.选D.5小题：答案3－11.Ⅱ、示范性题组：例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____.A. 23B. 14C. 5D. 6【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z,则211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩,而欲求对角线长x y z 222++,将其配凑成两已知式的组合形式可得.【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩.长方体所求对角线长为：x y z 222++＝()()x y z xy yz xz ++-++22＝6112-＝5所以选B.【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解.这也是我们使用配方法的一种解题模式.例2. 设方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q,若(p q )2+(q p)2≤7成立,求实数k 的取值范围.【解】方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q,由韦达定理得：p ＋q ＝－k,pq ＝2 ,(p q )2+(q p )2＝p q pq 442+()＝()()p q p q pq 2222222+-＝[()]()p q pq p q pq +--2222222＝()k 22484--≤7, 解得k ≤－10或k ≥10 .又 ∵p 、q 为方程x 2＋kx ＋2=0的两实根, ∴ △＝k 2－8≥0即k ≥22或k ≤－22综合起来,k 的取值范围是：－10≤k ≤－22 或者 22≤k ≤10.【注】关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理.本题由韦达定理得到p ＋q 、pq 后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成p ＋q 与pq 的组合式.假如本题不对“△”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视.例3. 设非零复数a 、b 满足a 2＋ab ＋b 2=0,求(a ab +)1998＋(b a b+)1998. 【分析】对已知式可以联想：变形为(a b )2＋(a b )＋1＝0,则ab＝ω （ω为1的立方虚根）；或配方为(a ＋b)2＝ab .则代入所求式即得.【解】由a 2＋ab ＋b 2=0变形得：(a b )2＋(ab)＋1＝0 , 设ω＝a b ,则ω2＋ω＋1＝0,可知ω为1的立方虚根,所以：1ω＝b a,ω3＝ω3＝1. 又由a 2＋ab ＋b 2=0变形得：(a ＋b)2＝ab ,所以 (a a b +)1998＋(b a b+)1998＝(a ab 2)999＋(b ab 2)999＝(a b )999＋(b a )999＝ω999＋ω999＝2 .【注】本题通过配方,简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂.一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开.【另解】由a 2＋ab ＋b 2＝0变形得：(a b )2＋(a b )＋1＝0 ,解出b a＝-±132i 后,化成三角形式,代入所求表达式的变形式(a b )999＋(ba)999后,完成后面的运算.此方法用于只是未-±132i 联想到ω时进行解题.假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由a 2＋ab ＋b 2＝0解出：a ＝-±132i b,直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的计算.Ⅲ、巩固性题组：1. 函数y ＝(x －a)2＋(x －b)2（a 、b 为常数）的最小值为_____.A. 8B. ()a b -22 C. a b 222+ D.最小值不存在2. α、β是方程x 2－2ax ＋a ＋6＝0的两实根,则(α-1)2 +(β-1)2的最小值是_____.A. －494B. 8C. 18D.不存在3. 已知x 、y ∈R +,且满足x ＋3y －1＝0,则函数t ＝2x ＋8y 有_____.A.最大值22B.最大值22C.最小值22 B.最小值224. 椭圆x 2－2ax ＋3y 2＋a 2－6＝0的一个焦点在直线x ＋y ＋4＝0上,则a ＝_____.A. 2B. －6C. －2或－6D. 2或6 5. 化简：218-sin ＋228+cos 的结果是_____.A. 2sin4B. 2sin4－4cos4C. －2sin4D. 4cos4－2sin46. 设F 1和F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°,则△F 1PF 2的面积是_________.7. 若x>－1,则f(x)＝x 2＋2x ＋11x +的最小值为___________.8. 已知π2〈β<α〈34π,cos(α-β)＝1213,sin(α+β)＝－35,求sin2α的值.(92年高考题)9. 设二次函数f(x)＝Ax 2＋Bx ＋C,给定m 、n （m<n ）,且满足A 2[(m+n)2+ m 2n 2]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B 2＋C 2＝0 . ① 解不等式f(x)>0；② 是否存在一个实数t,使当t ∈(m+t,n-t)时,f(x)<0 ？若不存在,说出理由；若存在,指出t 的取值范围.10. 设s>1,t>1,m∈R,x＝logs t＋logts,y＝logs4t＋logt4s＋m(logs2t＋logt2s),①将y表示为x的函数y＝f(x),并求出f(x)的定义域；②若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根,求m的取值范围.二、换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化.它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.例如解不等式：4x ＋2x －2≥0,先变形为设2x ＝t （t>0）,而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题.三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元.如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时,易发现x ∈[0,1],设x ＝sin 2α ,α∈[0,π2],问题变成了熟悉的求三角函数值域.为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要.如变量x 、y 适合条件x 2＋y 2＝r 2（r>0）时,则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题.均值换元,如遇到x ＋y ＝S 形式时,设x ＝S 2＋t,y ＝S2－t 等等. 我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大.如上几例中的t>0和α∈[0,π2]. Ⅰ、再现性题组：1.y ＝sinx ·cosx ＋sinx+cosx 的最大值是_________.2.设f(x 2＋1)＝log a (4－x 4) （a>1）,则f(x)的值域是_______________. 3.已知数列{a n }中,a 1＝－1,a n +1·a n ＝a n +1－a n ,则数列通项a n ＝___________. 4.设实数x 、y 满足x 2＋2xy －1＝0,则x ＋y 的取值范围是___________.5.方程1313++-xx＝3的解是_______________.6.不等式log 2(2x－1) ·log 2(2x +1－2)〈2的解集是_______________.【简解】1小题：设sinx+cosx ＝t ∈[－2,2],则y ＝t 22＋t －12,对称轴t ＝－1,当t ＝2,y max ＝12＋2；2小题：设x 2＋1＝t (t ≥1),则f(t)＝log a [-(t-1)2＋4],所以值域为(－∞,log a 4]； 3小题：已知变形为11a n +－1a n ＝－1,设b n ＝1a n,则b 1＝－1,b n ＝－1＋(n －1)(-1)＝－n,所以a n ＝－1n；4小题：设x ＋y ＝k,则x 2－2kx ＋1＝0, △＝4k 2－4≥0,所以k ≥1或k ≤－1； 5小题：设3x ＝y,则3y 2＋2y －1＝0,解得y ＝13,所以x ＝－1； 6小题：设log 2(2x －1)＝y,则y(y ＋1)<2,解得－2<y<1,所以x ∈(log 254,log 23). Ⅱ、示范性题组：例1. 实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ,设S ＝x 2＋y 2,求1S max＋1S min的值.（93年全国高中数学联赛题）【分析】由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2α＝1,于是进行三角换元,设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin αα代入①式求S max 和S min 的值. 【解】设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin αα代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5解得 S ＝10852-sin α；∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ 1013≤1085-sin α≤103∴ 1S max ＋1S min ＝310＋1310＝1610＝85此种解法后面求S 最大值和最小值,还可由sin2α＝810S S-的有界性而求,即解不等式：|810S S-|≤1.这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”.【另解】由S ＝x 2＋y 2,设x 2＝S 2＋t,y 2＝S 2－t,t ∈[－S 2,S 2],则xy ＝±S t 224－代入①式得：4S ±5S t 224－=5, 移项平方整理得 100t 2+39S 2－160S ＋100＝0 .∴ 39S 2－160S ＋100≤0 解得：1013≤S ≤103∴ 1S max ＋1S min ＝310＋1310＝1610＝85【注】此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条件S ＝x 2＋y 2与三角公式cos 2α＋sin 2α＝1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题.第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S ＝x 2＋y 2而按照均值换元的思路,设x 2＝S 2＋t 、y 2＝S 2－t,减少了元的个数,问题且容易求解.另外,还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法.和“均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变量x 、y 时,可以设x ＝a ＋b,y ＝a －b,这称为“和差换元法”,换元后有可能简化代数式.本题设x ＝a ＋b,y ＝a －b,代入①式整理得3a 2＋13b 2＝5 ,求得a 2∈[0,53],所以S ＝(a －b)2＋(a ＋b)2＝2(a 2＋b 2)＝1013＋2013a 2∈[1013,103],再求1S max ＋1S min 的值.例2． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B,1cos A ＋1cos C＝－2cos B ,求cosA C-2的值.（96年全国理）【分析】由已知“A ＋C ＝2B ”和“三角形内角和等于180°”的性质,可得A CB +=⎧⎨⎩12060°＝°；由“A ＋C ＝120°”进行均值换元,则设A C ＝°α＝°－α6060+⎧⎨⎩ ,再代入可求cos α即cos A C-2.【解】由△ABC 中已知A ＋C ＝2B,可得 A C B +=⎧⎨⎩12060°＝°,由A ＋C ＝120°,设A C ＝°α＝°－α6060+⎧⎨⎩,代入已知等式得：1cos A ＋1cos C ＝160cos()︒+α＋160cos()︒-α＝11232cos sin αα-＋11232cos sin αα+＝cos cos sin ααα143422-＝cos cos αα234-＝－22, 解得：cos α＝22, 即：cos A C-2＝22.【另解】由A ＋C ＝2B,得A ＋C ＝120°,B ＝60°.所以1cos A ＋1cos C＝－2cos B＝－22,设1cos A ＝－2＋m,1cos C ＝－2－m ,所以cosA ＝12-+m ,cosC ＝12--m,两式分别相加、相减得：cosA＋cosC＝2cos A C+2cosA C-2＝cosA C-2＝2222m-,cosA－cosC＝－2sin A C+2sinA C-2＝－3sinA C-2＝222mm-,即：sin A C-2＝－2322mm()-,＝－2222m-,代入sin2A C-2＋cos2A C-2＝1整理得：3m4－16m－12＝0,解出m2＝6,代入cos A C-2＝2222m-＝22.【注】本题两种解法由“A＋C＝120°”、“1cos A＋1cos C＝－22”分别进行均值换元,随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,还要求对三角公式的运用相当熟练.假如未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B,得A＋C＝120°,B＝60°.所以1cos A＋1cos C＝－2cos B＝－22,即cosA＋cosC＝－22cosAcosC,和积互化得：2cos A C+2cosA C-2＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C),即cosA C-2＝22－2cos(A-C)＝22－2(2cos2A C-2－1),整理得：42cos2A C-2＋2cosA C-2－32＝0,解得：cos A C-2＝22例3. 设a>0,求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值. 【解】设sinx＋cosx＝t,则t∈[-2,2],由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝t21 2-∴ f(x)＝g(t)＝－12(t－2a)2＋12（a>0）,t∈[-2,2]t＝-2时,取最小值：－2a2－22a－1 2当2a≥2时,t＝2,取最大值：－2a2＋22a－12；当0<2a≤2时,t＝2a,取最大值：12.∴ f(x)的最小值为－2a2－22a－12,最大值为122222212222()()<<-+-≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪aa a a.【注】此题属于局部换元法,设sinx ＋cosx ＝t 后,抓住sinx ＋cosx 与sinx ·cosx 的内在联系,将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解.换元过程中一定要注意新的参数的范围（t ∈[-2,2]）与sinx ＋cosx 对应,否则将会出错.本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论.一般地,在遇到题目已知和未知中含有sinx 与cosx 的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为f(sinx ±cosx,sinxcsox),经常用到这样设元的换元法,转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究.例4. 设对所于有实数x,不等式x 2log 241()a a +＋2x log 221a a +＋log 2()a a +1422>0恒成立,求a 的取值范围.（87年全国理）【分析】不等式中log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a +1422三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现,再实施换元法.【解】设log 221a a +＝t,则log 241()a a +＝log 2812()a a +＝3＋log 2a a+12＝3－log 221a a +＝3－t,log 2()a a +1422＝2log 2a a +12＝－2t, 代入后原不等式简化为（3－t ）x 2＋2tx －2t>0,它对一切实数x 恒成立,所以： 3048302->=+-<⎧⎨⎩t t t t ∆(),解得t t t <<>⎧⎨⎩306或 ∴ t<0即log 221a a +<0 0<21a a +<1,解得0<a<1. 【注】应用局部换元法,起到了化繁为简、化难为易的作用.为什么会想到换元及如何设元,关键是发现已知不等式中log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a +1422三项之间的联系.在解决不等式恒成立问题时,使用了“判别式法”.另外,本题还要求对数运算十分熟练.一般地,解指数与对数的不等式、方程,有可能使用局部换元法,换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形,发现它们的联系而实施换元,这是我们思考解法时要注意的一点.例5. 已知sin θx ＝cos θy ,且cos 22θx ＋sin 22θy ＝10322()x y + (②式),求x y 的值. 【解】设sin θx ＝cos θy ＝k,则sin θ＝kx,cos θ＝ky,且sin 2θ＋cos 2θ＝k 2(x 2+y 2)＝1,代入②式得： k y x 222＋k x y 222＝10322()x y +＝1032k 即：y x 22＋x y 22＝103设x y 22＝t,则t ＋1t ＝103, 解得：t ＝3或13 ∴x y ＝±3或±33 【另解】由x y ＝sin cos θθ＝tg θ,将等式②两边同时除以cos 22θx ,再表示成含tg θ的式子：1＋tg 4θ＝()()11031122+⨯+tg tg θθ＝103tg 2θ,设tg 2θ＝t,则3t 2—10t ＋3＝0, ∴t ＝3或13, 解得x y ＝±3或±33. 【注】第一种解法由sin θx ＝cos θy 而进行等量代换,进行换元,减少了变量的个数.第二种解法将已知变形为x y ＝sin cos θθ,不难发现进行结果为tg θ,再进行换元和变形.两种解法要求代数变形比较熟练.在解高次方程时,都使用了换元法使方程次数降低.例6. 实数x 、y 满足()x -192＋()y +1162＝1,若x ＋y －k>0恒成立,求k 的范围. 【分析】由已知条件()x -192＋()y +1162＝1,可以发现它与a 2＋b 2＝1有相似之处,于是实施三角换元. 【解】由()x -192＋()y +1162＝1,设x -13＝cos θ,y +14＝sin θ, 即：x y =+=-+⎧⎨⎩1314cos sin θθ代入不等式x ＋y －k>0得：3cos θ＋4sin θ－k>0,即k<3cos θ＋4sin θ＝5sin(θ+ψ)所以k<-5时不等式恒成立.【注】本题进行三角换元,将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题,再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题,从而求出参数范围.一般地,在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时,或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时,经常使用“三角换元法”.＋by ＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax ＋by ＋c ＝0.此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x ＋y －k>0的区域.即当直线x ＋y －k ＝0在与椭圆下部相切的切线之下时.当直线与椭圆相切时,方程组16191144022()()x y x y k -++=+-=⎧⎨⎩有相等的一组实数解,消元后由△＝0可求得k ＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立.x ＋y －k>0 k 平面区域Ⅲ、巩固性题组：1. 已知f(x 3)＝lgx (x>0),则f(4)的值为_____. A. 2lg2 B. 13lg2 C. 23lg2 D. 23lg4 2. 函数y ＝(x ＋1)4＋2的单调增区间是______.A. [-2,+∞)B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞)C. (-∞,-1]3. 设等差数列{a n }的公差d ＝12,且S 100＝145,则a 1＋a 3＋a 5＋……＋a 99的值为_____.A. 85B. 72.5C. 60D. 52.54. 已知x 2＋4y 2＝4x,则x ＋y 的范围是_________________.5. 已知a ≥0,b ≥0,a ＋b ＝1,则a +12＋b +12的范围是____________. 6. 不等式x >ax ＋32的解集是(4,b),则a ＝________,b ＝_______. 7. 函数y ＝2x ＋x +1的值域是________________.8. 在等比数列{a n }中,a 1＋a 2＋…＋a 10＝2,a 11＋a 12＋…＋a 30＝12,求a 31＋a 32＋…＋a 60.9. 实数m 在什么范围内取值,对任意实数x,不等式sin 2x ＋2mcosx ＋4m －1<0恒成立.10. 已知矩形ABCD,顶点C(4,4),A 点在曲线x 2＋y 2＝2 (x>0,y>0)上移动,且AB 、AD 始终平行x 轴、y 轴,求矩形ABCD 的最小面积.三、待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a 值,都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等.待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程.使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法,它解题的基本步骤是：第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程；第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决.如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析：① 利用对应系数相等列方程；② 由恒等的概念用数值代入法列方程；③ 利用定义本身的属性列方程；④ 利用几何条件列方程.比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式,其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程.Ⅰ、再现性题组：1. 设f(x)＝x 2＋m,f(x)的反函数f -1(x)＝nx －5,那么m 、n 的值依次为_____. A. 52 , －2 B. －52 , 2 C. 52 , 2 D. －52,－2 2. 二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12,13),则a ＋b 的值是_____. A. 10 B. －10 C. 14 D. －143. 在(1－x 3)（1＋x ）10的展开式中,x 5的系数是_____.A. －297B.－252C. 297D. 2074. 函数y ＝a －bcos3x (b<0)的最大值为32,最小值为－12,则y ＝－4asin3bx 的最小正周期是_____.5. 与直线L ：2x ＋3y ＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L ’的方程是_______________.6. 与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的方程是____________.【简解】1小题：由f(x)＝x 2＋m 求出f -1(x)＝2x －2m,比较系数易求,选C ； 2小题：由不等式解集(－12,13),可知－12、13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根,代入两根,列出关于系数a 、b 的方程组,易求得a ＋b,选D ；3小题：分析x 5的系数由C 105与(－1)C 102两项组成,相加后得x 5的系数,选D ；4小题：由已知最大值和最小值列出a 、b 的方程组求出a 、b 的值,再代入求得答案23π； 5小题：设直线L ’方程2x ＋3y ＋c ＝0,点A(1,-4)代入求得C ＝10,即得2x ＋3y ＋10＝0；6小题：设双曲线方程x2－y24＝λ,点(2,2)代入求得λ＝3,即得方程x23－y212＝1.Ⅱ、示范性题组：例1. 已知函数y＝mx x nx22431+++的最大值为7,最小值为－1,求此函数式.【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”.【解】函数式变形为： (y－m)x2－43x＋(y－n)＝0, x∈R, 由已知得y－m≠0 ∴△＝(－43)2－4(y－m)(y－n)≥0 即： y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①不等式①的解集为(-1,7),则－1、7是方程y2－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根,代入两根得：1120497120+++-=-++-=⎧⎨⎩()()m n mnm n mn解得：mn==⎧⎨⎩51或mn==⎧⎨⎩15∴ y＝5431122x xx+++或者y＝x xx224351+++此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y2－6y－7≤0,然后与不等式①比较系数而得：m nmn+=-=-⎧⎨⎩6127,解出m、n而求得函数式y.【注】在所求函数式中有两个系数m、n需要确定,首先用“判别式法”处理函数值域问题,得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数m、n.两种方法可以求解,一是视为方程两根,代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式,比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解.本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻,也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数,函数式化成含参数y的关于x 的一元二次方程,可知其有解,利用△≥0,建立了关于参数y的不等式,解出y的范围就是值域,使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程.例 2. 设椭圆中心在(2,-1),它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直,且此焦点与长轴较近的端点距离是10－5,求椭圆的方程.【分析】求椭圆方程,根据所给条件,确定几何数据a、b、c之值,问题就全部解决了.设a、b、c后,由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程,再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程.【解】设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c,则|BF’|＝a∴a b ca a ba c2222222105=++=-=-⎧⎨⎪⎩⎪()解得：ab==⎧⎨⎪⎩⎪105∴所求椭圆方程是：x210＋y25＝1F’B也可有垂直关系推证出等腰Rt △BB ’F ’后,由其性质推证出等腰Rt △B ’O ’F ’,再进行如下列式： b c a c a b c =-=-=+⎧⎨⎪⎩⎪105222 ,更容易求出a 、b 的值.【注】圆锥曲线中,参数（a 、b 、c 、e 、p ）的确定,是待定系数法的生动体现；如何确定,要抓住已知条件,将其转换成表达式.在曲线的平移中,几何数据（a 、b 、c 、e ）不变,本题就利用了这一特征,列出关于a －c 的等式.一般地,解析几何中求曲线方程的问题,大部分用待定系数法,基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入.例3. 是否存在常数a 、b 、c,使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n ＋1)2＝n n ()+112(an 2＋bn ＋c)对一切自然数n 都成立？并证明你的结论. （89年全国高考题）【分析】是否存在,不妨假设存在.由已知等式对一切自然数n 都成立,取特殊值n ＝1、2、3列出关于a 、b 、c 的方程组,解方程组求出a 、b 、c 的值,再用数学归纳法证明等式对所有自然数n 都成立.【解】假设存在a 、b 、c 使得等式成立,令：n ＝1,得4＝16(a ＋b ＋c)；n ＝2,得22＝12(4a ＋2b ＋c)；n ＝3,得70＝9a ＋3b ＋c.整理得： a b c a b c a b C ++=++=++=⎧⎨⎪⎩⎪2442449370,解得a b c ===⎧⎨⎪⎩⎪31110,于是对n ＝1、2、3,等式1·22＋2·32＋…＋n(n ＋1)2＝n n ()+112(3n 2＋11n ＋10)成立,下面用数学归纳法证明对任意自然数n,该等式都成立：假设对n ＝k 时等式成立,即1·22＋2·32＋…＋k(k ＋1)2＝k k ()+112(3k 2＋11k ＋10)；当n ＝k ＋1时,1·22＋2·32＋…＋k(k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k k ()+112(3k 2＋11k ＋10) ＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k k ()+112(k ＋2)（3k ＋5）＋(k ＋1)(k ＋2)2＝()()k k ++1212（3k 2＋5k ＋12k ＋24）＝()()k k ++1212[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10], 也就是说,等式对n ＝k ＋1也成立.综上所述,当a ＝8、b ＝11、c ＝10时,题设的等式对一切自然数n 都成立.【注】建立关于待定系数的方程组,在于由几个特殊值代入而得到.此种解法中,也体现了方程思想和特殊值法.对于是否存在性问题待定系数时,可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行.本题如果记得两个特殊数列13＋23＋…＋n 3、12＋22＋…＋n 2求和的公式,也可以抓住通项的拆开,运用数列求和公式而直接求解：由n(n ＋1)2＝n 3＋2n 2＋n 得S n ＝1·22＋2·32＋…＋n(n ＋1)2＝(13＋23＋…＋n 3)＋2(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋…＋n)＝n n 2214()+＋2×n n n ()()++1216＋n n ()+12＝n n ()+112(3n 2＋11n ＋10),综上所述,当a ＝8、b ＝11、c ＝10时,题设的等式对一切自然数n 都成立.例4. 有矩形的铁皮,其长为30cm,宽为14cm,要从四角上剪掉边长为xcm 的四个小正方形,将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子,问x 为何值时,矩形盒子容积最大,最大容积是多少？【分析】实际问题中,最大值、最小值的研究,先由已知条件选取合适的变量建立目标函数,将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究.【解】依题意,矩形盒子底边边长为(30－2x)cm,底边宽为(14－2x)cm,高为xcm. ∴ 盒子容积 V ＝(30－2x)(14－2x)x ＝4(15－x)(7－x)x ,显然:15－x>0,7－x>0,x>0.设V ＝4ab(15a －ax)(7b －bx)x (a>0,b>0）要使用均值不等式,则--+=-=-=⎧⎨⎩a b a ax b bx x 10157 解得：a ＝14, b ＝34, x ＝3 . 从而V ＝643(154－x 4)(214－34x)x ≤643(1542143+)3＝643×27＝576. 所以当x ＝3时,矩形盒子的容积最大,最大容积是576cm 3.【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件,当条件不满足时要凑配系数,可以用“待定系数法”求.本题解答中也可以令V ＝4ab (15a －ax)(7－x)bx 或 4ab(15－x)(7a －ax)bx,再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组,求出三项该进行凑配的系数,本题也体现了“凑配法”和“函数思想”.Ⅲ、巩固性题组：1. 函数y ＝log a x 的x ∈[2,+∞)上恒有|y|>1,则a 的取值范围是_____.A. 2>a>12且a ≠1B. 0<a<12或1<a<2C. 1<a<2D. a>2或0<a<122. 方程x 2＋px ＋q ＝0与x 2＋qx ＋p ＝0只有一个公共根,则其余两个不同根之和为_____.A. 1B. －1C. p ＋qD. 无法确定3. 如果函数y ＝sin2x ＋a ·cos2x 的图像关于直线x ＝－π8对称,那么a ＝_____. A. 2 B. －2 C. 1 D. －14. 满足C n 0＋1·C n 1＋2·C n 2＋…＋n ·C n n <500的最大正整数是_____.A. 4B. 5C. 6D. 75. 无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a －12n , 则所有项的和等于_____. A. －12 B. 1 C. 12D.与a 有关。

高三数学提炼三角精髓放飞思想方法

必修4复习专号提炼三角精髓放飞数学思想三角函数中蕴含了许多数学思想，数学学习的精髓主要是思想方法的学习．同学们在掌握其基础知识的同时，还应注意数学思想的提炼、总结．那么，在三角函数中有哪些思想方法呢？下面举例介绍，供同学们参考．一、函数与方程思想对三角中的某些问题，运用函数与方程的思想求解，常可使问题化难为易，化繁为简，得到题目的简捷，巧妙的解法．例1已知角α的终边经过点P(5t,5t+1)，又知sinα=45，求t的值．分析：欲求t值，需找出关于α的等式关系，由三角函数定义可解解：∵角α的终边经过点P(5t,5t+1)，y=5t+1,r=|OP|=(5t)2+(5t+1)2=50t2+10t+1，∴sinα=yr=5t+150t2+10t+1,即5t+150t2+10t+1=45。

整理得175t2-90t-9=0，解得t=35或t=-335．评注：用方程思想解题是高中数学学习中经常用到的思想方法，它就是用方程的观点分析所求的量，建立等量关系，然后通过解方程（组）使问题获得解决．练习 1 已知α≠kπ+π2,β≠kπ,k∈Z,且(3tanα+cotβ)3+tan3α++4tanα+cotβ=0，求证：4tanα+cotβ=0.二、整体思想整体思想是指从问题的整体结构出发，实施整体变形，整体运算的思想．注意这种思想的灵活应用，常可使许多常规解法较麻烦的问题得到非常简捷合理的解决．例2设函数f(x)=asi1000(nπ2-α)+bcos(nπ2-β)+1000，其中a、b、α、β为非零实数，已知f(2011)=-9，求f(2009)的值。

分析：本题含参数较多，若直接代入则解答困难。

观察题设及所求式子的特点，可采用整体代入法求解。

解：asi1000(2011π2+α)+bcos(2011π2+β)+1000=-9,∴asi1000(2011π2+α)+bcos(2011π2+β)=-9-1000=-1009.∴f(2009)=asi1000(2009π2+α)+bcos(2009π2+β)+1000=asi1000[-π+(2011π2+α)]+bsi1000[-π+(2011π2+α)]+1000=-[asi1000(2011π2+α)+bcos(2011π2+β)]+1000=1009+1000=2009。

谈数学中连环设问的两种方向

谈数学中连环设问的两种方向
吴兴国
【期刊名称】《文理导航》
【年(卷),期】2013(000)035
【摘要】在数学教学中连环设问是教师们常用的一种做法,连环设问不仅可以让学生们深入地思考问题,还可以让学生们顺着已有的思维方式或知识结构继续思考,并对思维方式进行扩展。

连环设问也是要讲究技巧的,这不等于随便把两个或多个问题拼凑在一起。

本文将重点讨论在高中数学的教学中,连环设问应该要注意的一些方法和技巧。

【总页数】1页(P25-25)
【作者】吴兴国
【作者单位】江苏省海门市实验学校
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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高考数学七大数学思想方法

二. 数学思想方法的三个层次:
数学基本方法包括：待定系数法，换元法，配方法，割补法，反证法等；数学逻辑方法（或思维方法）包括：分析与综合。归纳与演绎，比较与类比，具体与抽象等；数学思想包括：函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想等。在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，有意识地在复习中渗透数学思想，提升数学思想。
2.高考评价报告要求: 数学在培养和提高人的思维能力方面有着其他学科所不可替代的独特作用，这是因为数学不仅仅是一种重要的 “工具” 或者 “方法” ，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想。高考数学科提出“以能力立意命题” ，正是为了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展。因此，要加强如何更好地考查数学思想的研究，特别是要研究试题解题过程的思维方法，注意考查不同思维方法的试题的协调和匹配，使考生的数学理性思维能力得到较全面的考查。 ”(《2002 年普通高考数学科试题评价报告》（教育部考试中心）
因为是分段函数 ,又要求在 (, ) 上是减函数 ,就涉及到分段函数的单调性的规律 . 一般地 ,若函数 f x 在区间 a, b 和 c, d c b 上是增函数 ,在并区间 a, b
c, d 上不一定是增函数 ,但是 ,只要增加一个条件 f c f b 就可以了 ,同样 , 若函数 f x 在区间 a, b 和c, d 上是减函数 ,在并区间 a, b c, d 上不一定是减函数 ,但是 ,只要增加一个条件 f c f b 就可以了 , 因此 , 本题还就必须满足

高考数学思想方法汇总(80页)之欧阳班创编

高考数学思想方法前言 (2)第一章高中数学解题基本方法 (3)一、配方法 (3)二、换元法 (7)三、待定系数法…………………………………14四、定义法………………………………………19五、数学归纳法…………………………………23六、参数法………………………………………28七、反证法………………………………………32八、消去法………………………………………九、分析与综合法………………………………十、特殊与一般法………………………………十一、类比与归纳法…………………………十二、观察与实验法..............................第二章高中数学常用的数学思想 (35)一、数形结合思想………………………………35二、分类讨论思想………………………………41三、函数与方程思想……………………………47四、转化（化归）思想…………………………54第三章高考热点问题和解题策略 (59)一、应用问题……………………………………59二、探索性问题…………………………………65三、选择题解答策略……………………………71四、填空题解答策略……………………………77附录………………………………………………………一、高考数学试卷分析…………………………二、两套高考模拟试卷…………………………三、参考答案……………………………………前言美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光.高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等.数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记.而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用.数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段.数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得.可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”.为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想.最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷.在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现.再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范.巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用.每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识.第一章高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简.何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题.配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b 2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x ＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等.Ⅰ、再现性题组：1. 在正项等比数列{an}中,a1a5+2a3a5+a37则3a5_______.2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____.A. 14<k<1B. k<14或k>1C.k ∈R D. k ＝14或k ＝13. 已知＋＝1,则sin α＋cos α的值为______.A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y ＝log 12(－5x ＋3)的单调递增区间是_____.A. （－∞, 54]B. [54,+∞)C. (－12,54]D. [54,3)5. 已知方程的两根x 2,则点2)在圆上,则实数a ＝1小题：利用等比数列性质a m p -a m p +＝am 2,将已知等式左边后配方（2易求.答案是：5.2小题：配方成圆的标准方程形式(x －a)2＋(y －b)2＝r 2,解r 2>0即可,选B.3小题：已知等式经配方成(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1,求出sin αcos α,然后求出所求式的平方值,再开方求解.选C.4小题：配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解.选D.5小题：答案3－11.Ⅱ、示范性题组：例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____.A. 23B. 14C. 5D. 6【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z,则211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩ ,而欲求对角线长x y z 222++,将其配凑成两已知式的组合形式可得.【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩. 长方体所求对角线长为：x y z 222++＝()()x y z xy yz xz ++-++22＝6112-＝5所以选B.【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解.这也是我们使用配方法的一种解题模式.例2. 设方程kx ＋2=0的两实根为p 、q,若(p q q p 7成立,求实数k 的取值范围.【解】方程kx ＋2=0的两实根为p 、q,由韦达定理得：p ＋q ＝－k,pq ＝2 ,(pq )+(qp )＝p q pq 442+()＝()()p q p q pq 2222222+-＝[()]()p q pq p q pq +--2222222＝()k 22484--≤7,解得k ≤－10或k ≥10.又∵p、q为方程kx＋2=0的两实根,∴△＝8≥0即k≥22或k≤－22综合起来,k的取值范围是：－10≤k≤－22或者22≤k≤10.【注】关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理.本题由韦达定理得到p＋q、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成p＋q与pq的组合式.假如本题不对“△”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视.例 3.设非零复数a、b满足a2＋ab＋b2=0,求(a a b+)1998＋(ba b+)1998.【分析】对已知式可以联想：变形为(ab (a b )＋1＝0,则ab＝ω（ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)2＝ab .则代入所求式即得.【解】由a2＋ab＋b2=0变形得：(ab (ab)＋1＝0 ,设ω＝ab,则ω2＋ω＋1＝0,可知ω为1的立方虚根,所以：1ω＝ba,ω3＝ω3＝1.又由a2＋ab＋b2=0变形得：(a＋b)2＝ab ,所以(aa b+)1998＋(ba b+)1998＝(aab2)999＋(bab2)999＝(a b )999＋(ba)999＝ω999＋ω999＝2 .【注】本题通过配方,简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂.一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开.【另解】由a2＋ab＋b2＝0变形得：(ab (a b )＋1＝0 ,解出ba ＝-±132i后,化成三角形式,代入所求表达式的变形式(ab )999＋(ba)999后,完成后面的运算.此方法用于只是未-±132i联想到ω时进行解题.假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由a2＋ab＋b2＝0解出：a＝-±132i b,直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的计算.Ⅲ、巩固性题组：1.函数y＝(x－a)2＋(x－b)2（a、b为常数）的最小值为_____.A. 8B. ()a b-22C.a b222+ D.最小值不存在2.α、β是方程x2－2ax＋a＋6＝0的两实根,则(α-1)2+(β-1)2的最小值是_____.A. －494B. 8C. 18D.不存在3.已知x、y∈R+,且满足x＋3y－1＝0,则函数t＝2x＋8y有_____.A.最大值22B.最大值22C.最小值22 B.最小值224.椭圆x2－2ax＋3y2＋a2－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上,则a＝_____.A. 2B. －6C. －2或－6 D. 2或65.化简：218-sin＋228+cos的结果是_____.A. 2sin4B. 2sin4－4cos4C.－2sin4 D. 4cos4－2sin46. 设F1和F2为双曲线x24－y2＝1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°,则△F1PF2的面积是_________.7. 若x>－1,则f(x)＝x2＋2x＋11x+的最小值为___________.8. 已知π2〈β<α〈34π,cos(α-β)＝1213,sin(α+β)＝－35,求sin2α的值.(92年高考题)9. 设二次函数f(x)＝Ax2＋Bx＋C,给定m、n （m<n）,且满足A2[(m+n)2+m2n2]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B2＋C2＝0 .①解不等式f(x)>0；②是否存在一个实数t,使当t∈(m+t,n-t)时,f(x)<0 ？若不存在,说出理由；若存在,指出t的取值范围.10. 设s>1,t>1,m∈R,x＝logs t＋logts,y＝logs4t＋logt4s＋m(log s2t＋log t2s),①将y表示为x的函数y＝f(x),并求出f(x)的定义域；②若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根,求m的取值范围.二、换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化.它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.例如解不等式：4x＋2x－2≥0,先变形为设2x＝t （t>0）,而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题.三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元.如求函数y＝x＋1-x的值域时,易发现x∈[0,1],设x＝sin2α,α∈[0,π],问题变成了2熟悉的求三角函数值域.为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要.如变量x 、y 适合条件x 2＋y 2＝r 2（r>0）时,则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题.均值换元,如遇到x ＋y ＝S 形式时,设x ＝S 2＋t,y ＝S 2－t 等等.我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大.如上几例中的t>0和α∈[0,π2].Ⅰ、再现性题组： 1.y ＝sinx·cosx ＋sinx+cosx 的最大值是_________.2.设f(x 2＋1)＝log a (4－x 4) （a>1）,则f(x)的值域是_______________.3.已知数列{a n }中,a 1＝－1,a n +1·a n ＝a n +1－a n ,则数列通项a n ＝___________.4.设实数x 、y 满足x 2＋2xy －1＝0,则x ＋y 的取值范围是___________.5.方程1313++-xx＝3的解是_______________.6.不等式log 2(2x －1) ·log 2(2x +1－2)〈2的解集是_______________.【简解】1小题：设sinx+cosx ＝t ∈[－2,2],则y ＝t 22＋t －12,对称轴t ＝－1,当t ＝2,y max ＝12＋2；2小题：设x 2＋1＝t (t ≥1),则f(t)＝log a [-(t-1)2＋4],所以值域为(－∞,log a 4]； 3小题：已知变形为11a n +－1a n＝－1,设b n ＝1a n,则b 1＝－1,b n ＝－1＋(n －1)(-1)＝－n,所以a n ＝－1n；4小题：设x ＋y ＝k,则x 2－2kx ＋1＝0, △＝4k 2－4≥0,所以k ≥1或k ≤－1；5小题：设3x＝y,则3y 2＋2y －1＝0,解得y ＝13,所以x ＝－1；6小题：设log 2(2x －1)＝y,则y(y ＋1)<2,解得－2<y<1,所以x ∈(log 254,log 23).Ⅱ、示范性题组：例1. 实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ,设S ＝x 2＋y 2,求1S max ＋1S min的值.（93年全国高中数学联赛题）【分析】由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2α＝1,于是进行三角换元,设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin αα代入①式求S max和S min 的值.【解】设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin αα代入①式得： 4S －5S·sin αcos α＝5解得S ＝10852-sin α；∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴1013≤1085-sin α≤103∴1S max ＋1S min＝310＋1310＝1610＝85此种解法后面求S 最大值和最小值,还可由sin2α＝810S S-的有界性而求,即解不等式：|810S S-|≤1.这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”.【另解】由S ＝x 2＋y 2,设x 2＝S 2＋t,y 2＝S 2－t,t ∈[－S 2,S 2],则xy ＝±S t 224－代入①式得：4S±5S t 224－=5,移项平方整理得 100t 2+39S 2－160S ＋100＝0 . ∴ 39S 2－160S ＋100≤0 解得：1013≤S ≤103∴1S max＋1S min＝310＋1310＝1610＝85【注】此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条件S ＝x 2＋y 2与三角公式cos 2α＋sin 2α＝1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题.第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S ＝x 2＋y 2而按照均值换元的思路,设x 2＝S 2＋t 、y 2＝S 2－t,减少了元的个数,问题且容易求解.另外,还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法.和“均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变量x 、y 时,可以设x ＝a ＋b,y ＝a －b,这称为“和差换元法”,换元后有可能简化代数式.本题设x ＝a ＋b,y ＝a －b,代入①式整理得3a 2＋13b 2＝5 ,求得a 2∈[0,53],所以S ＝(a －b)2＋(a ＋b)2＝2(a 2＋b 2)＝1013＋2013a 2∈[1013,103],再求1S max＋1S min的值. 例2． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B,1cos A ＋1cos C ＝－2cos B,求cosA C-2的值.（96年全国理）【分析】由已知“A ＋C ＝2B ”和“三角形内角和等于180°”的性质,可得 A C B +=⎧⎨⎩12060°＝°；由“A ＋C ＝120°”进行均值换元,则设A C ＝°α＝°－α6060+⎧⎨⎩,再代入可求cos α即cos A C-2.【解】由△ABC 中已知A ＋C ＝2B,可得A CB +=⎧⎨⎩12060°＝°, 由A ＋C ＝120°,设A C ＝°α＝°－α6060+⎧⎨⎩,代入已知等式得：1cos A ＋1cos C ＝160cos()︒+α＋160cos()︒-α＝11232cos sin αα-＋11232cos sin αα+＝cos cos sin ααα143422-＝cos cos αα234-＝－22,解得：cos α＝22, 即：cosA C -2＝22. 【另解】由A ＋C ＝2B,得A ＋C ＝120°,B ＝60°.所以1cos A ＋1cos C ＝－2cos B＝－22,设1cos A ＝－2＋m,1cos C ＝－2－m ,所以cosA ＝12-+m,cosC ＝12--m,两式分别相加、相减得：cosA ＋cosC ＝2cosA C +2cos A C -2＝cos A C -2＝2222m -, cosA －cosC ＝－2sin A C +2sin A C -2＝－3sin A C-2＝222mm -,即：sin A C -2＝－2322m m ()-,＝－2222m -,代入sin 2A C -2＋cos 2A C-2＝1整理得：3m 4－16m －12＝0,解出m 2＝6,代入cos A C -2＝2222m -＝22.【注】本题两种解法由“A ＋C ＝120°”、“1cos A＋1cos C＝－22”分别进行均值换元,随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,还要求对三角公式的运用相当熟练.假如未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出：由A ＋C ＝2B,得A ＋C ＝120°,B ＝60°.所以1cos A＋1cos C＝－2cos B＝－22,即cosA ＋cosC ＝－22cosAcosC,和积互化得：2cosA C +2cos A C-2＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C),即cos A C -2＝22－2cos(A-C)＝22－2(2cos 2A C -2－1),整理得：42cos 2A C -2＋2cos A C-2－32＝0,解得：cos A C -2＝22例3. 设a>0,求f(x)＝2a(sinx ＋cosx)－sinx·cosx－2a 2的最大值和最小值. 【解】设sinx ＋cosx ＝t,则t ∈[-2,2],由(sinx ＋cosx)2＝1＋2sinx·cosx 得：sinx·cosx ＝t 212-∴ f(x)＝g(t)＝－12(t －2a)2＋12（a>0）,t ∈[-2,2]t ＝-2时,取最小值：－2a 2－22a －12当2a ≥2时,t ＝2,取最大值：－2a 2＋22a －12；当0<2a ≤2时,t ＝2a,取最大值：12. ∴ f(x)的最小值为－2a 2－22a －12,最大值为1202222212222()()<<-+-≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪a a a a . 【注】此题属于局部换元法,设sinx ＋cosx ＝t 后,抓住sinx ＋cosx 与sinx·cosx 的内在联系,将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值,域问题,使得容易求解.换元过程中一定要注意新的参数的范围（t ∈[-2,2]）与sinx ＋cosx 对应,否则将会出错.本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论.一般地,在遇到题目已知和未知中含有sinx 与cosx 的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为f(sinx±cosx,sinxcsox),经常用到这样设元的换元法,转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究.例4. 设对所于有实数x,不等式x 2log 241()a a+＋2x log 221a a +＋log 2()a a +1422>0恒成立,求a 的取值范围.（87年全国理）【分析】不等式中log 241()a a+、 log 221a a +、log 2()a a +1422三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现,再实施换元法.【解】设log 221a a +＝t,则log 241()a a +＝log 2812()a a+＝3＋log 2a a +12＝3－log 221a a +＝3－t,log 2()a a +1422＝2log 2a a+12＝－2t,代入后原不等式简化为（3－t ）x 2＋2tx －2t>0,它对一切实数x 恒成立,所以：3048302->=+-<⎧⎨⎩t t t t ∆(),解得t t t <<>⎧⎨⎩306或∴ t<0即log 221a a +<00<21aa +<1,解得0<a<1.【注】应用局部换元法,起到了化繁为简、化难为易的作用.为什么会想到换元及如何设元,关键是发现已知不等式中log 241()a a+、 log 221a a +、log 2()a a +1422三项之间的联系.在解决不等式恒成立问题时,使用了“判别式法”.另外,本题还要求对数运算十分熟练.一般地,解指数与对数的不等式、方程,有可能使用局部换元法,换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形,发现它们的联系而实施换元,这是我们思考解法时要注意的一点.例 5. 已知sin θx＝cos θy,且cos 22θx ＋sin 22θy ＝10322()x y +(②式),求xy的值.【解】设sin θx ＝cos θy ＝k,则sin θ＝kx,cos θ＝ky,且sin 2θ＋cos 2θ＝k 2(x 2+y 2)＝1,代入②式得：k y x 222＋k x y222＝10322()x y +＝1032k 即：y x 22＋x y 22＝103设x y 22＝t,则t ＋1t＝103, 解得：t ＝3或13∴x y＝±3或±33【另解】由x y ＝sin cos θθ＝tg θ,将等式②两边同时除以cos 22θx ,再表示成含tg θ的式子：1＋tg 4θ＝()()11031122+⨯+tg tg θθ＝103tg 2θ,设tg 2θ＝t,则3t 2—10t＋3＝0,∴t ＝3或13, 解得x y＝±3或±33. 【注】第一种解法由sin θx＝cos θy而进行等量代换,进行换元,减少了变量的个数.第二种解法将已知变形为x y＝sin cos θθ,不难发现进行结果为tg θ,再进行换元和变形.两种解法要求代数变形比较熟练.在解高次方程时,都使用了换元法使方程次数降低.例6. 实数x 、y满足()x -192＋()y +1162＝1,若x ＋y －k>0恒成立,求k 的范围.【分析】由已知条件()x -192＋()y +1162＝1,可以发现它与a 2＋b 2＝1有相似之处,于是实施三角换元.【解】由()x -192＋()y +1162＝1,设x -13＝cos θ,y +14＝sin θ,即：x y =+=-+⎧⎨⎩1314cos sin θθ代入不等式x ＋y －k>0得：3cos θ＋4sin θ－k>0,即k<3cos θ＋4sin θ＝5sin(θ+ψ)所以k<-5时不等式恒成立.【注】本题进行三角换元,将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题,再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题,从而求出参数范围.一般地,在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时,或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时,经常使用“三角换元法”.本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系,不等式ax＋by ＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax ＋by ＋c ＝0所分平面成两部分中含x 轴正方向的一部分.此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x ＋y －k>0的区域.即当直线x ＋y －k ＝0在与椭圆下部相切的切线之下时.当直线与椭圆相切时,方程组16191144022()()x y x y k -++=+-=⎧⎨⎩有相等的一组实数解,消元后由△＝0可求得k ＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立.Ⅲ、巩固性题组：1. 已知f(x 3)＝lgx (x>0),则f(4)的值为_____.A. 2lg2B. 13lg2C. 23lg2 D. 23lg4 2. 函数y ＝(x ＋1)4＋2的单调增区间是______.A. [-2,+∞)B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞)C. (-∞,-1]3. 设等差数列{a n }的公差d ＝12,且S 100＝145,则a 1＋a 3＋a 5＋……＋a 99的值为_____.A. 85B. 72.5C. 60D. 52.5x x 平面区域4. 已知x 2＋4y 2＝4x,则x ＋y 的范围是_________________.5. 已知a ≥0,b ≥0,a ＋b ＝1,则a +12＋b +12的范围是____________.6. 不等式x >ax ＋32的解集是(4,b),则a ＝________,b ＝_______.7. 函数y ＝2x ＋x +1的值域是________________.8. 在等比数列{a n }中,a 1＋a 2＋…＋a 10＝2,a 11＋a 12＋…＋a 30＝12,求a 31＋a 32＋…＋a 60.9. 实数m 在什么范围内取值,对任意实数x,不等式sin 2x ＋2mcosx ＋4m －1<0恒成立. 10. 已知矩形ABCD,顶点C(4,4),A 点在曲线x 2＋y 2＝2 (x>0,y>0)上移动,且AB 、AD 始终平行x 轴、y 轴,求矩形ABCD三、待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a 值,都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等.待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程.使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数y D C A B O x法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法,它解题的基本步骤是：第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程；第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决.如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程.比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式,其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程.Ⅰ、再现性题组：1.设f(x)＝x2＋m,f(x)的反函数f 1(x)＝nx－5,那么m、n的值依次为_____.A.52 , －2 B. －52, 2 C. 52 , 2 D. －52,－2 2. 二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12,13),则a ＋b 的值是_____.A. 10B. －10C. 14D. －143. 在(1－x 3)（1＋x ）10的展开式中,x 5的系数是_____.A. －297B.－252C. 297D. 2074. 函数y ＝a －bcos3x (b<0)的最大值为32,最小值为－12,则y ＝－4asin3bx 的最小正周期是_____.5. 与直线L ：2x ＋3y ＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L ’的方程是_______________.6. 与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的方程是____________. 【简解】1小题：由f(x)＝x2＋m 求出f 1(x)＝2x－2m,比较系数易求,选C ；2小题：由不等式解集(－12,13),可知－12、13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根,代入两根,列出关于系数a 、b 的方程组,易求得a ＋b,选D ；3小题：分析x 5的系数由C 105与(－1)C 102两项组成,相加后得x 5的系数,选D ；4小题：由已知最大值和最小值列出a 、b 的方程组求出a 、b 的值,再代入求得答案23π；5小题：设直线L ’方程2x ＋3y ＋c ＝0,点A(1,-4)代入求得C ＝10,即得2x ＋3y ＋10＝0；6小题：设双曲线方程x 2－y 24＝λ,点(2,2)代入求得λ＝3,即得方程x 23－y 212＝1.Ⅱ、示范性题组：例1. 已知函数y ＝mx x n x 22431+++的最大值为7,最小值为－1,求此函数式.【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数m 、n 的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”.【解】函数式变形为： (y －m)x 2－43x ＋(y －n)＝0, x ∈R, 由已知得y －m ≠0∴△＝(－43)2－4(y －m)(y －n)≥0 即： y 2－(m ＋n)y ＋(mn －12)≤0 ①不等式①的解集为(-1,7),则－1、7是方程y 2－(m ＋n)y ＋(mn －12)＝0的两根,代入两根得：1120497120+++-=-++-=⎧⎨⎩()()m n mn m n mn 解得：m n ==⎧⎨⎩51或m n ==⎧⎨⎩15 ∴ y ＝5431122x x x +++或者y ＝x x x 224351+++此题也可由解集(-1,7)而设(y ＋1)(y －7)≤0,即y 2－6y －7≤0,然后与不等式①比较系数而得：m n mn +=-=-⎧⎨⎩6127,解出m 、n 而求得函数式y.【注】在所求函数式中有两个系数m 、n 需要确定,首先用“判别式法”处理函数值域问题,得到了含参数m 、n 的关于y 的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数m 、n.两种方法可以求解,一是视为方程两根,代入后列出m 、n 的方程求解；二是由已知解集写出不等式,比较含参数的不等式而列出m 、n 的方程组求解.本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻,也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y 视为参数,函数式化成含参数y 的关于x 的一元二次方程,可知其有解,利用△≥0,建立了关于参数y 的不等式,解出y 的范围就是值域,使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程.例 2. 设椭圆中心在(2,-1),它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直,且此焦点与长轴较近的端点距离是10－5,求椭圆的方程.【分析】求椭圆方程,根据所给条件,确定几何数据a 、b 、c 之值,问题就全部解决了.设a 、b 、c 后,由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程,再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a －c 的值后列出第二个方程.【解】设椭圆长轴2a 、短轴2b 、焦距2c,则|BF ’|＝a y B ’O ’ B∴a b c a a b a c 2222222105=++=-=-⎧⎨⎪⎩⎪()解得：a b ==⎧⎨⎪⎩⎪105 ∴ 所求椭圆方程是：x 210＋y 25＝1也可有垂直关系推证出等腰Rt △BB ’F ’后,由其性质推证出等腰Rt △B ’O ’F ’,再进行如下列式： b c a c a b c =-=-=+⎧⎨⎪⎩⎪105222,更容易求出a 、b 的值.【注】圆锥曲线中,参数（a 、b 、c 、e 、p ）的确定,是待定系数法的生动体现；如何确定,要抓住已知条件,将其转换成表达式.在曲线的平移中,几何数据（a 、b 、c 、e ）不变,本题就利用了这一特征,列出关于a －c 的等式.一般地,解析几何中求曲线方程的问题,大部分用待定系数法,基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入.例3. 是否存在常数a 、b 、c,使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n ＋1)2＝n n ()+112(an 2＋bn ＋c)对一切自然数n 都成立？并证明你的结论. （89年全国高考题）【分析】是否存在,不妨假设存在.由已知等式对一切自然数n 都成立,取特殊值n ＝1、2、3列出关于a 、b 、c 的方程组,解方程组求出a 、b 、c 的值,再用数学归纳法证明等式对所有自然数n 都成立.【解】假设存在a 、b 、c 使得等式成立,令：n ＝1,得4＝16(a ＋b ＋c)；n ＝2,得22＝12(4a ＋2b ＋c)；n ＝3,得70＝9a ＋3b ＋c.整理得：a b c a b c a b C ++=++=++=⎧⎨⎪⎩⎪2442449370,解得a b c ===⎧⎨⎪⎩⎪31110, 于是对n ＝1、2、3,等式1·22＋2·32＋…＋n(n ＋1)2＝n n ()+112(3n 2＋11n ＋10)成立,下面用数学归纳法证明对任意自然数n,该等式都成立：假设对n ＝k 时等式成立,即1·22＋2·32＋…＋k(k ＋1)2＝k k ()+112(3k 2＋11k ＋10)；当n ＝k ＋1时,1·22＋2·32＋…＋k(k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k k ()+112(3k 2＋11k ＋10) ＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k k ()+112(k ＋2)（3k ＋5）＋(k ＋1)(k ＋2)2＝()()k k ++1212（3k 2＋5k ＋12k ＋24）＝()()k k ++1212[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10],也就是说,等式对n ＝k ＋1也成立.综上所述,当a ＝8、b ＝11、c ＝10时,题设的等式对一切自然数n 都成立.【注】建立关于待定系数的方程组,在于由几个特殊值代入而得到.此种解法中,也体现了方程思想和特殊值法.对于是否存在性问题待定系数时,可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行.本题如果记得两个特殊数列13＋23＋…＋n 3、12＋22＋…＋n 2求和的公式,也可以抓住通项的拆开,运用数列求和公式而直接求解：由n(n ＋1)2＝n 3＋2n 2＋n 得S n ＝1·22＋2·32＋…＋n(n ＋1)2＝(13＋23＋…＋n 3)＋2(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋…＋n)＝n n 2214()+＋2×n n n ()()++1216＋n n ()+12＝n n ()+112(3n 2＋11n ＋10),综上所述,当a ＝8、b ＝11、c ＝10时,题设的等式对一切自然数n 都成立.例4. 有矩形的铁皮,其长为30cm,宽为14cm,要从四角上剪掉边长为xcm 的四个小正方形,将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子,问x 为何值时,矩形盒子容积最大,最大容积是多少？【分析】实际问题中,最大值、最小值的研究,先由已知条件选取合适的变量建立目标函数,将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究.【解】依题意,矩形盒子底边边长为(30－2x)cm,底边宽为(14－2x)cm,高为xcm.∴ 盒子容积 V ＝(30－2x)(14－2x)x ＝4(15－x)(7－x)x ,显然:15－x>0,7－x>0,x>0.设V ＝4ab(15a －ax)(7b －bx)x (a>0,b>0）要使用均值不等式,则--+=-=-=⎧⎨⎩a b a ax b bx x 10157 解得：a ＝14, b ＝34, x ＝3 . 从而V ＝643(154－x 4)(214－34x)x ≤643(1542143+)3＝643×27＝576.所以当x＝3时,矩形盒子的容积最大,最大容积是576cm3.【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件,当条件不满足时要凑配系数,可以用“待定系数法”求.本题解答中也可以令V＝4ab(15a－ax)(7－x)bx 或4ab(15－x)(7a－ax)bx,再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组,求出三项该进行凑配的系数,本题也体现了“凑配法”和“函数思想”.Ⅲ、巩固性题组：1.函数y＝log a x的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1,则a的取值范围是_____.A. 2>a>12且a≠1 B. 0<a<12或1<a<2 C.1<a<2 D. a>2或0<a<122.方程x2＋px＋q＝0与x2＋qx＋p＝0只有一个公共根,则其余两个不同根之和为_____.A. 1B. －1C. p＋qD. 无法确定3.如果函数y＝sin2x＋a·cos2x的图像关于直线x ＝－π8对称,那么a＝_____.A. 2B. －2C. 1D. －14.满足C n0＋1·C n1＋2·C n2＋…＋n·C n n<500的最大正整数是_____.A. 4B. 5C. 6D. 75.无穷等比数列{a n}的前n项和为S n＝a－12n, 则所有项的和等于_____.。

剖析数学思想方法在全国卷客观题中的运用

剖析数学思想方法在全国卷客观题中的运用发布时间：2021-04-26T05:26:15.434Z 来源：《当代教育家》2021年5期作者：金丽萍[导读] 一直以来，客观题的成败主要影响高考数学的成败。

分析全国卷客观题的考查特点，是高三数学老师备考的一个重要方向。

全国卷客观题，主要还是对基础知识的考查，但也不仅仅停留在知识表面，它更注重通过对数学思想方法的考查，体现知识的综合性与学生的能力。

本文通过几组全国卷的客观题，结合自己的备考经验，剖析数学思想方法在全国卷客观题中的运用，给高三数学备考客观题提供一点参考。

金丽萍广州市花都区邝维煜纪念中学摘要：一直以来，客观题的成败主要影响高考数学的成败。

分析全国卷客观题的考查特点，是高三数学老师备考的一个重要方向。

全国卷客观题，主要还是对基础知识的考查，但也不仅仅停留在知识表面，它更注重通过对数学思想方法的考查，体现知识的综合性与学生的能力。

本文通过几组全国卷的客观题，结合自己的备考经验，剖析数学思想方法在全国卷客观题中的运用，给高三数学备考客观题提供一点参考。

关键词：全国卷；客观题；数学；思想方法新课程改革，提出了对学科核心素养的研究，研究指出“学科核心素养应该与该学科的基础性学习密切关联，从一个学科最基本的教学内容中，落实对学习者的素质培育和人格培养。

”高中数学的教学也务必遵循学科核心素养，从数学的基础性知识入手，培养学生的素质与人格，而高考，作为检验高中学习和选拔人才的重要途径，必然要符合学科核心素养的观点。

客观题在全国卷中显得非常重要。

作为高三数学老师，客观题的备考是备考工作中的重中之重。

而历年全国卷，仍然遵循数学学科核心素养对学生的考查要求，特别是客观题，以基础知识切入，通过对数学思想方法的运用，考查学生的能力。

下面，以几组全国卷数学客观题为例，剖析数学思想方法在客观题中的运用，呈现全国卷对数学思想方法的考查特点，给高三数学备考客观题提供一些参考。

高考解几问题中的数学思想方法

高考解几问题中的数学思想方法
李群生
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2003(000)005
【摘要】数学思想和方法是数学知识的高度抽象与概括,它蕴含在数学知识发生,发展和应用的过程中,近几年高考解几试题考查的数学思想和方法主要反映在:数形结合思想,函数思想,方程或不等式思想,分类讨论思想,化归等价转化思想,参数思想方法,对称思想方法等。

【总页数】3页(P11-13)
【作者】李群生
【作者单位】广东省遂溪县第二中学524300
【正文语种】中文
【中图分类】G633
【相关文献】
1.高考数学试题中数学思想方法研究 [J], 韦永旺
2.高考数学命题的灵魂——谈2010年数学高考试题中的数学思想方法考查之分类讨论思想 [J], 李丕贵
3.核心素养下高考数学解题中数学思想方法应用探究 [J], 曾颖
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5.化归思想在解高考题中的作用——在立体几何问题中运用化归思想提升课堂效率[J], 王贵文;李调霞
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解三角函数题时常用的数学思想方法

解三角函数题时常用的数学思想方法厦门一中廖献武三角函数是高中数学的重要内容，它蕴含着丰富的数学思想方法。

灵活地借助数学思想方法解题，往往可以避免复杂的运算，优化解题过程，降低解题难度，加快解题速度。

在教学中应加以归纳与训练，这样会有助于提高学生的数学素养和思维能力，增强学生分析问题、解决问题的能力。

本文通过实例介绍解三角函数题时常用的数学思想方法。

一、函数与方程的思想方程的思想,就是从分析问题的数量关系入手,把变量之间的联系用方程的关系来反映,然后通过解方程或对方程进行讨论的方法,使问题得到解决.例1 已知2cos 3sin =+αα求ααααcos sin cos sin +-的值.解:令x=+-ααααcos sin cos sin ,则0cos )1(sin )1(=++-ααx x ①又2cos 3sin =+αα ②由①、②解得21cos ,21sin --=-+=x x x x αα1)21()21(22=--+-+∴x x x x 即0242=-+x x解得62±-=x 62cos sin cos sin ±-=+-∴αααα.函数的思想就是在解决问题的过程中,把变量之间的关系抽象成函数关系,把具体问题转化为函数问题,通过对函数相应问题的解决,便可达到解决具体问题的目的.例2 已知x ，y ∈[4,4ππ-]，且x 3+sin x －2a =0①，4y 3+sin y cos y +a =0②，求cos （x +2y ）的值.解：设f （u ）=u 3+sinu 。

由①式得f （x ）=2a ，由②式得 f （2y ）=－2a. 因为f （u ）在区间[2，2ππ-]上是单调奇函数，所以f （x ）=－f （2y ）=f （－2y ）. 又所因x ,－2y ∈[2，2ππ-]，所以x =－2y ，即x +2y =0。

所以cos （x +2y ）=1. 方程与函数是互相联系的，利用函数与方程之间的对立统一关系，能进一步提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力．例3 试求方程80sin x x =的实根的个数以及所有实根的和．解：解决这类问题宜从函数的角度来考虑．由80sin x x =得sin 80x x =．∴1180x-≤≤，即2626x ππ-<<．设()sin f x x =，()(2626)80xg x x ππ=-<<，方程80sin x x =的实根，即是以上两个函数图象交点的横坐标．由于()sin f x x =，()80xg x =均为奇函数，其图象关于原点对称，因此只须画出[0,26)π内的图象．由于()sin f x x =和()80xg x =的单调性，可知在()sin f x x =的任意两个相邻的对称轴之间，这两个函数最多只能有一个交点（见图2），而()sin f x x =的对称轴方程为()2x k k Z ππ=+∈，当026x π<<时，两个函数图象共有25个交点，又由于两个图象均过原点，所以当2626x ππ-<<时，两个图象共有225151⨯+=个交点，即方程80sin x x =共有51个实根．由于这些实根关于原点对称，可知这51个实根之和为0．二、数形结合的思想数形结合思想就是把抽象的数和直观的形双向联系与沟通,使抽象思想与形象思维有机地结合起来化抽象为形象,以期达到化难为易的目的.三角函数中可利用的图形有两类，即函数图象和三角函数线（单位圆）．例 4 若,a b R ∈,记,()max(,),()a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，对于函数()max(sin ,cos )f x x x = ()x R ∈，给出下列4个命题：①该函数的值域是[1,1]-；②当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最大值1；③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当322()2k x k k Z ππππ+<<+∈时，()0f x <．上述命题中正确的的命题是．解：根据题意，已知函数即为sin ,(sin cos )()cos ,(sin cos )x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩，由此图象可知，该函数值域是[2-；当2x k π=或2()2x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最大值1；该函数是以2π为最小正周期的周期函数，所以命题①、②、③都不正确，而命题④是正确的．图1三、分类讨论的思想分类讨论的思想就是整体问题分解为几个部分问题来解决,它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用.它有三个重要的原则，即不越级、不重复、不遗漏．例5 求函数),20(1sin 2cos )(2R a x x a x x f ∈≤≤-+=π的最大值和最小值.解:x a x x a x x f sin 2sin 1sin 2cos )(22+-=-+=,设11,sin ≤≤-=t t x则11,)(2)()(222≤≤-+--=+-==t a a t at t t F x f⑴1-<a 时,)(t f 在]1,1[-上单调递减,a F t F x f a F t F x f 21)1()()(,21)1()()(min min max max +-===--=-==∴⑵01<≤-a 时,,)()()(2max max a a F t F x f === a F t F x f 21)1()()(min min +-==⑶10≤≤a 时,,)()()(2max max a a F t F x f === a F t F x f 21)1()()(min min --=-==⑷1>a 时, )(t f 在]1,1[-上为增函数, ,21)1()()(max max a F t F x f +-===a F t F x f 21)1()()(min min --=-==例6 已知函数()2sin(2)3f x a x b π=-+的定义域为[0,]2π，值域为[5,1]-，求a和b 的值．解：因为a 值与函数的单调性有关，所以对a 要分a >0，0a =,a <0三种情况进行讨论． ∵02x π≤≤，∴22333x πππ-≤-≤，∴sin(2)13x π≤-≤． 1）当0a >时，则21,5,a b b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得1223a b ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩2）当0a =时，()f x b =与值域为[5,1]-不符，故舍去.3）当0a <时，则25,1,a b b +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1219a b ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩在三角运算中，有关三角函数所在象限符号的选取常需要进行讨论，三角函数与二次函数综合问题以及三角函数最值等问题也要注意讨论.四、化归（转化）思想化归思想在三角函数中应用非常普遍，主要体现在：①化多角的形式为单角的形式；②化多种函数名称为一种函数名称；③化未知角为已知角；④化高次为低次；⑤化特殊为一般。