16)何值时,1989m与1989n的最后三位数字相同

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第36讲__同_余(习题导学案教案)(奥数实战演练习题)

第17 讲同余同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工具之一。

设m是一个给定的正整数，如果两个整数a与b用m除所得的余数相同，则称a与b对模同余，记作，否则，就说a与b对模m不同余，记作，显然，；1、同余是一种等价关系，即有自反性、对称性、传递性1).反身性：；2).对称性：；3). 传递性：若，则;2、加、减、乘、乘方运算若（mod m）（mod m）则（mod m），（mod m），（mod m）3、除法设（mod m）则（mod）。

A类例题例1．证明：一个数的各位数字的和被9除的余数等于这个数被9除的余数。

分析20≡2(mod9)，500≡5(mod9)，7000≡7(mod9)，……，由于10n －1=9M，则10n≡1(mod9)，故a n×10n≡a n (mod9)。

可以考虑把此数变为多项式表示a n×10n+ a n-1×10n-1+…+ a1×10+a0后处理。

证明设a==a n×10n+ a n-1×10n-1+…+ a1×10+a0，∵10≡1(mod9)，∴10n≡1(mod9)，∴a n×10n+ a n-1×10n-1+…+ a1×10+a0≡a n+ a n-1+…+ a1+a0。

说明要熟练记忆并应用常见的数据模的特征。

例2．A，B两人玩一种32张扑克牌的取牌游戏，A先取，以后轮流进行，每次只能从剩下的牌中取1张，或者质数张牌，谁取到最后一张牌获胜，问：谁有必胜策略？分析原有32张牌，如果A总取奇数张牌，B只要取1张牌，使A 面临偶数张牌就可以了，此时A总不能取完偶数张牌。

但2是质数，A可以取两张牌。

注意到32是4的倍数，A只能取奇数张牌或2张牌，B的应对方案稍作调整，可以有必胜的策略。

解B有必胜策略。

由于32≡0（mod 4），而A取的牌不能是4及其倍数，从而A取后，剩下的牌张数x≡3（mod 4），或x≡2（mod 4），或x≡1（mod 4），于是B可以通过取1，2或3张牌，使得剩下的牌的张数y≡0（mod 4），所以，B依次此策略，在A取后，剩下的牌张数不同余于0（mod 4），总是有牌，而B取后剩下的牌的张数y≡0（mod 4），从而B能取到最后一张牌。

人教版四年级数学下册。第三单元。运算定律能力题和奥数题(附答案)

人教版四年级数学下册。

第三单元。

运算定律能力题和奥数题(附答案)本文介绍了人教版四年级数学（下）同步奥数能力提升思维拓展潜能开发课程中的第三单元——运算定律能力题和奥数题。

其中，板块一介绍了凑整法，通过例题1和练1展示了如何解决复杂的计算问题。

板块二介绍了“交换两个加数相同数位上的数，和不变”的规律，通过例题2和练2展示了如何解决竖式谜问题。

板块三介绍了转化法，通过例题3和练3展示了如何解决加法简算问题。

板块四介绍了对应法，通过例题4和练4展示了如何解决等差数列求和的问题。

板块五介绍了分解凑整法，通过例题5和练5展示了如何解决乘法简算的问题。

板块六介绍了乘法交换律，通过例题6和练6展示了如何解决乘、除混合运算中的简算问题。

板块七介绍了5和2相乘积中的规律，通过例题7和练7展示了如何解决积末尾有几个连续的问题。

板块八介绍了转化法，通过例题8和练8展示了如何解决复杂的推算问题。

最后，板块九介绍了拆分法，通过例题9展示了如何解决简算问题。

人教版四年级数学（下）同步奥数能力提升思维拓展潜能开发练91) 计算：666×667+222×999.2) 计算：+9999×9999.板块十比较乘法算式积的大小的问题例题10不计算，比较下列两个乘法算式的积的大小。

1) 3636×422) 4242×36练10计算：×39-×61板块十一使用数的组成和乘法分配律解决简算问题例题11快速计算下列问题的结果。

1234+2341+3412+4123)÷(1+2+3+4)练11计算：++++期中、期末考试真题1.(2014·大兴) 与101×125相等的算式是（）。

A。

100×125+1B。

100×125+125C。

125×100×1D。

100×125×1×1252.(2014·大兴) 如果☆×△=96，那么(☆×12)×△=（）。

专题04一元二次方程(3知识点4大题型2易错点2种考法)(原卷版)-九年级数学上册学与练(北师大版)

专题04一元二次方程（3个知识点4大题型2个易错点中考2种考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1一元二次方程的定义（重点）知识点2一元二次方程的一般形式（重点）知识点3一元二次方程的解（重点）【方法二】实例探索法题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值题型三：一元二次方程新定义问题题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论【方法三】差异对比法易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件易错点2在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式【方法四】仿真实战法考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值考法2根据实际问题列一元二次方程【方法五】成果评定法【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1一元二次方程的定义（重点）（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．1．（2023春•文登区期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．C．x2+2x＝x2﹣1D．3（x+1）2＝﹣3知识点2一元二次方程的一般形式（重点）（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．2．（2023春•鼓楼区校级期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（）A．3x+1＝0B．x2+3＝0C．3x2+6x＝1D．3x2+1＝03．（2022秋•新会区期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（）A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6C．a＝1，b＝﹣2，c＝3D．a＝1，b＝﹣2，c＝64．（2023春•肇源县月考）将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，5B．3，1C．3x2，﹣5x D．3，﹣5知识点3一元二次方程的解（重点）（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．5．（2023春•巴东县期中）已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣b＝0的解，则b＝（）A．﹣2B．﹣4C．0D．4【方法二】实例探索法题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值6.（2023•桐柏县一模）关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，则m的值是（）A．﹣1B．3C．1D．1或﹣17．（2022秋•连平县校级期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≥2且a≠2B．a≥0且a≠2C．a≥2D．a≠2题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值8．（2023•邗江区校级一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为（）A．2023B．2022C．2021D．20209．（2023•邗江区一模）若关于x的方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根为3，则m的值为．10．（2023春•玄武区期中）若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2023﹣m2﹣m的值为．11．（2022秋•梁山县期末）已知m是方程x2+x﹣3＝0的解，求式子m3+2m2﹣2m+2022的值．12．（2022秋•江阴市校级月考）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．（1）求m的值；（2）求△ABC的周长．13．（2023•鹤山市模拟）先化简，再求值：，其中a是方程x2+3x﹣4046＝0的一根．题型三：一元二次方程新定义问题14．（2021秋•高港区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m的值．15．（2022秋•江阴市校级月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，求m的值．16．（2022秋•长汀县期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC 和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如3x2+5x+4＝0是“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）试判断方程x2+2x+1＝0“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）；（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．17．（2022秋•南昌期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k ＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．（1）已知一个“喜鹊数”k ＝100a +10b +c （1≤a 、b 、c ≤9，其中a ，b ，c 为正整数），请直接写出a ，b ，c 所满足的关系式；判断241“喜鹊数”（填“是”或“不是”）；（2）利用（1）中“喜鹊数”k 中的a ，b ，c 构造两个一元二次方程ax 2+bx +c ＝0①与cx 2+bx +a ＝0②，若x ＝m 是方程①的一个根，x ＝n 是方程②的一个根，求m 与n 满足的关系式；（3）在（2）中条件下，且m +n ＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k 的值．题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论18．（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程()221(1)20k x k x -++-=．(1)当k 取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；(2)当k 取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．19．（2022秋·九年级单元测试）当m 为何值时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5．(1)为一元二次方程；(2)为一元一次方程．【方法三】差异对比法易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件20．（2021秋•襄城县期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为．易错点2在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式21．（2022秋•沭阳县校级期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【方法四】仿真实战法考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值22．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是．23．（2021•宿迁）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝．24．（2022•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝．25．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（）A．﹣2022B．0C．2022D．404426．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是．考法2根据实际问题列一元二次方程27．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：（不必化简）．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023·江西抚州模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（）A ．210x -=B ．21x y +=C ．13x x+=D ．456x x+=2．（2023·广东东莞模拟预测）将方程24825x x +=化成20ax bx c ++=的形式，则a ，b ，c 的值分别为（）A ．4，8，25B ．4，2，25-C ．4，8，25-D ．1，2，253．（2022春·甘肃兰州阶段练习）若210(5)12m x m x +--+=是关于x 的一元二次方程，则m 的值是()A ．1±B ．1C ．1-D ．不能确定4．（2023秋·广东湛江期末）若关于x 的一元二次方程()221210m x x m -++-=的常数项为0，则m 的值是（）A ．1-B ．1C ．1+或1-D ．05．（2023·广东惠州·统考一模）关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（）A ．1B ．1或1-C ．1-D ．0.56．（2023春·广东广州开学考试）若a 是方程2250x x --=的一个解，则242a a -的值是（）A ．10B ．5C ．5-D ．10-二、填空题7．（2022秋·福建泉州期末）一元二次方程22310x x -+=的一次项系数为______．8．（2022秋·江西赣州期末）用公式法解一元二次方程()428x x x -=-时，应先将其化成“一般形式”为________．9．（2022秋·河南南阳期末）若关于x 的一元二次方程()22110a x ax a +-+-=的一个根是0，则a 的值为_____．10．（2022秋·四川乐山期末）若()11350m m xx +--+=关于x 的一元二次方程，则m =__________．11．（2023·山东东营·统考一模）已知x m =是一元二次方程210x x -+=的一个根，则代数式2222021m m -+的值为______．12．（2023春·江西吉安阶段练习）若a 是方程210x x +-=的一个解，则代数式2aa 1-的值是___________．三、解答题13．（2022秋·山东青岛阶段练习）若关于x 的方程||(2)220m m x x m -+-=是一元二次方程，求不等式：(1)1m x m +->的解集．14．（2022秋·河南开封阶段练习）已知关于x 的方程()221(1)20k x k x -++-=．(1)当k 取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；(2)当k 取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．15．（2023秋·山东济宁期末）已知m 是方程230x x +-=的解，求式子32222022m m m +-+的值．16．（2023秋·重庆永川期末）先化简，再求值：22122()121a a a a a a a a ----÷+++，其中a 是一元二次方程210x x --=的根．17．（2023•佛冈县二模）先化简，再求值：，若x 是方程x 2﹣2x ＝0的正整数解．18．（2023•广陵区一模）先化简再求值：，其中x 是方程x 2﹣2x ＝0的一个根．19．（2023•越秀区一模）已知．（1）化简P ；（2）若a 为方程的一个解，求P 的值．20．（2023·北京西城一模）已知a 是方程2210x x +-=的一个根，求代数式2(1)(2)a a a +++的值．1121．（2021秋·江苏·九年级专题练习）设p ，q 是整数，方程20x px q -+=有一个根为52-，求p ﹣q 的值．22．（2022秋·九年级单元测试）当m 为何值时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5．(1)为一元二次方程；(2)为一元一次方程．23．（2022秋·河北唐山期末）我们定义：如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．(1)请判断方程2680x x -+=是不是倍根方程，并说明理由；(2)若是()()80x x n --=倍根方程，则n =___________．。

贵阳市2024学年数学高三第一学期期末质量检测试题含解析

贵阳市2024学年数学高三第一学期期末质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（）A ．32y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 4．已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++成立，则2414a a a +++=（）A ．0B ．5C ．7D ．135．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（）A ．-1B ．1C ．0D ．26．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知直线y =k (x +1)(k >0)与抛物线C 2:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则|FA | =（） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e = A ．13B ．33C ．12D ．229．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．411．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A ．1B 2C 3D ．2212．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（）A B ．32C ．53D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年小学四年级数学下册期中考试(及答案)

2024年小学四年级数学下册期中考试(及答案)(时间：60分钟分数：100分)班级：姓名：分数：一、填空题。

（每题2分，共20分）1、同一平面内的两条直线的位置关系有两种情况：（）和（）．2、一个两位数乘三位数，积可能是（）位数，还可能是（）位数。

3、用1、3、5、6、7、9组成一个六位数，这个六位数的近似数是57万，这个数最大是（），最小是（）．4、625-127-73与625-127+73的得数相差（）。

5、三角形按角可分为（）三角形、（）三角形、（）三角形。

6、常用的复式条形统计图有（）和（）两种．7、260000000平方米＝（）公顷＝（）平方千米80平方千米＝（）公顷＝（）平方米8、小明给客人沏茶，接水1分钟，烧水6分钟，洗茶杯2分钟，拿茶叶1分钟，沏茶1分钟．小明合理安排以上事情，最少要（）分钟使客人尽快喝茶．9、丽丽每天晚上睡觉前要背诵成语6分钟，烧开水10分钟，泡好不烫的牛奶2分钟，喝牛奶5分钟，那丽丽在（）同时可以（），做完这些事情最少用（）分钟．10、自行车的三角架之所以做成三角形，是利用了三角形具有（）的特性。

二、判断题（对的打“√”，错的打“×”。

每题2分，共10分）1、近似数一定比准确数大。

（）2、小英语文、数学、英语三科的期考平均分是93.5分，数学肯定是93.5分。

（）3、小数都比整数小。

（）4、用竖式计算小数加、减法时，要把小数点对齐。

（）5、三位数乘两位数的积可能是三位数，也可能是四位数。

（）三、选择题。

（每题1分，共5分）1、当a＝5，b＝4时，ab+3的值是（）A．12 B．23 C．572、一百万一百万地数，数十次是（）．A．一百万B．一千万C．一亿3、不改变计算结果，下面各算式中的小括号可以去掉的是（）A．680+（5×4） B．790﹣（120﹣75） C．（305﹣101）÷4 4、下面的小数中，最接近1的是（）。

A．1.001 B．0.98 C．1.01 D．0.995、正方形的边长扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的（）倍。

新北师大版下册四年级数学期中考题

新北师大版下册四年级数学期中考题
一、选择题
1. 一个三位数的十位和百位数字相同，且都不为零，个位数字是这个三位数的平均数，则这个三位数可能是（）
A. 255
B. 333
C. 424
D. 525
2. 下列哪个数既是3的倍数，又是4的倍数？
A. 36
B. 40
C. 42
D. 45
3. 小华有一些贴纸，如果他每天用6张，可以连续用10天；如果他每天用8张，可以用6天。

小华一共有多少张贴纸？
4. 下列哪个数列的前三项符合“每相邻两项的差是2”的条件？
A. 2, 4, 6
B. 3, 6, 9
C. 1, 3, 5
D. 5, 3, 1
二、填空题
5. 母鸡和公鸡一共有30只，公鸡的数量是母鸡的1/3，求公鸡和母鸡各有多少只。

6. 1千米等于_____米，1米等于______分米。

7. 0.36的平方是_______，2的3次方是_______。

8. 小明的成绩提高了15%，他提高后的成绩是原成绩的
_______%。

三、解答题
9. 某商店举行打折活动，原价100元的商品打8折，小明买了3件这样的商品，他一共花费了多少钱？
10. 有一列数：2, 4, 8, 16, 32, ...，请找出这个数列的下一项。

11. 一个长方形的长是12厘米，宽是5厘米，求这个长方形的面积和周长。

12. 小华有一些贴纸，如果他每天用4张，可以用15天；如果他每天用6张，可以用10天。

小华一共有多少张贴纸？
请根据以上题目进行解答。

《初等数论》习题集及答案

《初等数论》习题集及答案《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。

2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。

第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。

2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。

3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。

4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。

5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。

第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。

3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。

5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。

6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。

第 4 节1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。

4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。

5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。

第36讲同余

第 17 讲同余同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工具之一。

设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作)(mod m b a ≡，否则，就说a 与b 对模m 不同余，记作)(mod m b a ≡，显然，)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -⇔∈+=⇔≡；1、同余是一种等价关系，即有自反性、对称性、传递性1).反身性：)(mod m a a ≡；2).对称性：)(mod )(mod m a b m b a ≡⇔≡；3). 传递性：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡则)(mod m c a ≡;2、加、减、乘、乘方运算若 a b ≡（mod m ） c d ≡（mod m ）则 a c b d ±≡±（mod m ），ac bd ≡（mod m ），n na b ≡（mod m ） 3、除法设 ac bd ≡（mod m ）则 a b ≡（mod (,)m c m ）。

A 类例题例1．证明：一个数的各位数字的和被9除的余数等于这个数被9除的余数。

分析 20≡2(mod9)，500≡5(mod9)，7000≡7(mod9)，……，由于10n－1=9M ，则10n ≡1(mod9)，故a n ×10n ≡a n (mod9)。

可以考虑把此数变为多项式表示a n ×10n + a n-1×10n-1+…+ a 1×10+a 0后处理。

证明设a=110n n a a a a =a n ×10n + a n-1×10n-1+…+ a 1×10+a 0，∵10≡1(mod9)，∴10n ≡1(mod9)，∴a n ×10n + a n-1×10n-1+…+ a 1×10+a 0≡a n + a n-1+…+ a 1+a 0。

初等数论试题库

初等数论试题库初等数论练习一、单项选择题1. 如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（）。

A. 奇数 B. 偶数 C. 奇数或偶数 D. 由n奇偶性而定32. 1998除以9后的余数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 03. 模10的绝对值最小的完全剩余系是（）。

A. 0，1，2，3，…8，9 B. 1，2，3，…9，10 C. -5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 D. 11，12，13，…19，204. 1500的标准分解式是（）。

A. 2×2×5×5×5×3B. 3×532×223C. 2×3×5 D. 2×2×3×5×5×5 5. 有一批同样砖块，宽30cm，长45cm，至少需要这样的砖多少块，才能铺成一个正方形地面？（）A. 4B. 6C. 9D. 246. 边长为自然数，面积为30的长方形有多少个？（） A. 2 B. 3C. 4D. 无数 7. 一堆排球，3个3个数余2个，4个4个数余3个，问这堆排球至少有多少个?（）A. 23B. 35C. 24D. 118. 下列不定方程中是三元二次不定方程的有（）。

A. xyz=9 B.5x+6y+7z=5C. xy+5z=8D. 2x+3y=69. 若ac?bc(mod m)，则下列正确的是( )A. a?b(mod m)B. m|(a-b)cC. m|cD. m|(a+b)c10. 若a、b两数的和与积均为偶数，则a，b的奇偶性为( ) A. a奇b偶 B. a偶b奇C. 均为偶数D. 均为奇数11. 已知五位数能被11整除，则A是( ) 123A5A. 0B. 7C. 9D. 1812. 下列算式肯定错误的是( )A. 4569×91=415779B. 4569×92=420348C. 2376×156=370646D. 4569×29=13250113. 下列数中能表示成20和12的倍数之和的是( ) A. 2 B. 6C. 10D. 3614. 已知甲数除以11的余数是4，乙数除以11的余数是7，则甲、乙两数之和除以11的余数是( )A. 4B. 7C. 0D. 615. 下列答案中正确的是( )A. 〔x〕+〔y〕?〔x+y〕B. 〔x+y〕=〔x〕+〔y〕C. 〔x〕+〔y〕＜〔x+y〕D. 〔x〕+〔y〕＞〔x+y〕16.m，n为整数，下列式子一定不可能成立的是( ) 1 D.m+n=0 A.m－n=3B.m+2n=5 217.若a,b,c均为整数，且a+b被c整除，则下列一定成立的是( ) C.2m+n=A.c|aB.c|b22 C.c|a－b D.c|a－b 18.相邻两个整数之和与相邻两个整数之积分别是( )A.奇数奇数B.奇数偶数C.偶数奇数D.偶数偶数 19.m为奇数时，模m的绝对最小完全剩余系是( )A.1,2,3,…,m－1,mB.－m,－(m－1),…,－2,－1m,1mm1,m C.,1,,...,－1,0,1,... D.,,...,－1,0,1, (2222)20.下列不属于二元二次不定方程的是( )22 A.xy=5 B.x+y=161y22 C.2x4x，,+y=8 D. 3421.11与-10以下列( )数为模时同余?A.2B.7C.10D.522.已知(a,b,c)=1,则一定有( )A.(a,b)=1B.(b,c)=1C.(a,c)=1D.((a,b),c)=123.所有不超过152的自然数中，5的倍数有( )个。

初等数论习题集参考答案

习题参考答案第一章习题一1. (ⅰ) 由a∣b知b = aq，于是b = (-a)(-q)，-b = a(-q)及-b = (-a)q，即-a∣b，a∣-b及-a∣-b。

反之，由-a∣b，a∣-b及-a∣-b也可得a∣b；(ⅱ) 由a∣b，b∣c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a∣c；(ⅲ) 由b∣a i知a i= bq i，于是a1x1+a2x2+ +a k x k = b(q1x1+q2x2+ +q k x k)，即b∣a1x1+a2x2+ +a k x k；(ⅳ) 由b∣a知a = bq，于是ac = bcq，即bc∣ac；(ⅴ) 由b∣a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a ≠ 0得|q| ≥ 1，从而|a| ≥ |b|，后半结论由前半结论可得。

2. 由恒等式mq+np = (mn+pq) - (m-p)(n-q)及条件m-p∣mn+pq可知m-p∣mq+np。

3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a+ 1, , a+ 9, a+ 19的数字和为s, s+ 1, , s+ 9, s+ 10，其中必有一个能被11整除。

4. 设不然，n1 = n2n3，n2≥p，n3≥p，于是n = pn2n3≥p3，即p≤3n，矛盾。

5. 存在无穷多个正整数k，使得2k+ 1是合数，对于这样的k，(k+ 1)2不能表示为a2+p的形式，事实上，若(k+ 1)2 = a2+p，则(k+ 1 -a)( k+ 1 +a) = p，得k+ 1 -a = 1，k+ 1 +a = p，即p = 2k+ 1，此与p 为素数矛盾。

第一章习题二1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。

2.写a = 3q1+r1，b = 3q2+r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3∣a2+b2 = 3Q+r12+r22知r1 = r2 = 0，即3∣a且3∣b。

浙教版七年级上册数学第一章有理数之聚焦绝对值--培优提高篇PPT

||
| |＝ (b≠0)

||
例1 已知y＝|x-b|+|x-20|+|x-b-20|,其中0＜b＜20,b≤x≤20,那么y的最小值为______.
20
y＝x-b+[-(x-20)]+[-(x-b-20)]
＝x-b-x+20-x+b+20＝40-x,
当x＝20时,y的值最小为20.
例2 式子
a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8对应的数分别为0,-1, -1,-2,-2,-3,-3,-4.
5.如图,有理数-3,x,3,y在数轴上的对应点分别为M,N, P,Q.这四个数中绝对值最小的
数对应的是( B ).
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
M
ห้องสมุดไป่ตู้-3
N
P Q
3
第5题
6.若m是有理数,则|m|-m一定是( B ).
(2)设a,b,c为整数,且|a-b|+|c-a|＝1,求|c-a|+|a-b|+|b-c|的值.
(1)由ab-2＝0,a-2＝0,得a＝2,b＝1.
1
1
1
1
原式＝ 1×2 + 2×3 + 3×4 +…+ 2007×2008
＝1
＝1
1
2
1
1
1
− + 2 − 3 +…+ 2007
1
2007
−
.
2008 ＝ 2008
1
−
2008
(2)因a,b,c为整数,且|a-b|+|c-a|＝1,故|a-b|与|c-a|一个为0,一个为1,

根与系数的关系(压轴题专项讲练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(人教版)

根与系数的关系分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。

分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；2. 按同一标准划分（同一性）；3. 逐级分类（逐级性）。

一、一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么，.注意：它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【典例1】已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+1―2k=0有两个实数根x1，x2．（1）若|x1|+|x2|=k的值；（2）当k取哪些整数时，x1，x2均为整数；（3）当k取哪些有理数时，x1，x2均为整数．（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可；（2）根据根与系数的关系可得若x1+x2=―2k为整数，可得整数k=±1,±2，然后结合两根之积、解方程分别验证即可；（3）显然，当k=―1时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设k=1m，则方程可变形21xx，abxx-=+21acxx=21为x 2+2mx +m ―2=0，即为(x +m )2=m 2―m +2，再结合整数的意义即可解答．解：（1）∵Δ=22―4k (1―2k )=4―4k +8k 2=8k 2―12k =8k+72>0，∴不论k 为何值，关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0都有两个实数根x 1，x 2，∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2kk，分两种情况：①若两根同号，由|x 1|+|x 2|=x 1+x 2=x 1+x 2=―当x 1+x 2=―2k =k =―当x 1+x 2=――2k =―k =②若两根异号，由|x 1|+|x 2|=(x 1―x 2)2=8，即(x 1+x 2)2―4x 1x 2=8，∴――4×1―2kk=8，解得：k =1，综上，k 的值为1或 ±（2）∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2k k，若x 1，x 2均为整数，则x 1+x 2=―2k 为整数，∴整数k =±1,±2，当k =±2时，x 1x 2=1―2kk不是整数，故应该舍去；当k =1时，此时方程为x 2+2x ―1=0，方程的两个根不是整数，故舍去；当k =―1时，此时方程为―x 2+2x +3=0，方程的两个根为x 1=―1,x 2=3，都是整数，符合题意；综上，当k 取―1时，x 1，x 2均为整数；（3）显然，当k =―1时，符合题意；当k 为有理数时，由于x 1x 2=1―2kk=1k ―2为整数，∴k 应该是整数的倒数，不妨设k =1m (m ≠0)，m 为整数，则方程kx 2+2x +1―2k =0即为x 2+2mx +m ―2=0，配方得：(x +m )2=m 2―m +2，即x =―m±当m =2即k =12时，方程的两根为x 1=0,x 2=―4，都是整数，符合题意；当m ≠2时，m 2―m +2=(m ―12)2+74不是完全平方数，故不存在其它整数m 的值使上式成立；综上，k =―1或12．1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个根x 1和x 2，且1<x 1<2<x 2<4，那么方程cx 2―bx +a =0的较小根x 3的范围为( )A ．12<x 3<1B ．―4<x 3<―2C ．―12<x 3<―14D ．―1<x 3<―122．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程x 2+2px ―3p ―2=0的两个不相等的实数根x 1、x 2满足x 12+x 13=4―(x 22+x 23)，则实数p 的所有值之和为（）A ．0B ．―34C ．―1D ．―543．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于x 的一元二次方程x 2―2x +a 2+b 2+ab =0的两个根为x 1=m ，x 2=n ，且a +b =1．下列说法正确的个数为（）①m·n ＞0；②m >0，n >0；③a 2≥a ；④关于x 的一元二次方程(x +1)2+a 2―a =0的两个根为x 1=m ―2，x 2=n ―2．A ．1B ．2C ．3D ．44．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a 、b 、c 、d 是4个两两不同的实数，若a 、b 是方程x 2―8cx ―9d =0的解，c 、d 是方程x 2―8ax ―9b =0的解，则a +b +c +d 的值为．5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c 满足：a +b +c =2,abc =4．求|a |+|b |+|c |的最小值．6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x 的一元二次方程整理成a (x +ℎ)2+k ＝0（a ≠0，a 、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2―2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b－2c＝，ax1+x1x2+ax2的最大值是．7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+y=44，x2y+xy2=484，求x3+y3．8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x2+3x―5=0的两根分别为x1、x2．（1）求1x1―1+1x2―1的值；（2）求3x21+6x1+x22的值．9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x2+2x―m2―m=0．（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=―2，求m的值；（2）当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，⋅⋅⋅，α2024、β2024，求1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2024+1β2024的值．11．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根（1）直接写出m的取值范围（2）若满足1α+1β=―1，求m的值．（3）若α>2，求证：β>2；12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、β．（1）求|α―β|的值；（2（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x3+y3=(x+y) x2+y2―xy．13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设m为整数，关于x的方程(m2+m―2)x2―(7m+2)x+12=0有两个整数实根．（1）求m的值．（2）设△ABC的三边长a,b,c满足c=2+a2m―12a=0,m2+b2m―12b=0．求△ABC的面积．15．（22-23九年级上·湖南常德·材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=―ba ，x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=―1，则m2n+mn2=mn(m+n)=―1×1=―1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程x2―3x―1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=___________，x1x2= ___________．（2）类比应用：已知一元二次方程x2―3x―1=0的两根分别为m、n，求nm +mn的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足s2―3s―1=0，t2―3t―1=0，且s≠t，求1s ―1t的值．16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n=0或px+q=0时，多项式A=(mx+n)(px+q)=mpx2+(mq+np)x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．（1）已知多项式(3x+1)(x―2)，则此多项式的零点为__________；有一个零点为1，求多项式B的另一个零点；（2）已知多项式B=(x―1)(bx+c)=ax2―(a―1)x―a2（3）小聪继续研究(x―3)(x―1)，x(x―4)及x――x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x=2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式M=(2ax+b)(cx―5c)=bx2―4cx―2a―4是“2系多项式”，求a与c的值．17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）x1，x2是关于x的一元二次方程x2―2(k+1)x+k2+2=0的两实根，且(x1+1)⋅(x2+1)=8，求k的值．（2）已知：α，β(α>β)是一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根，设s1=α+β，s2=α2+β2，…，s n=αn+βn．根据根的定义，有α2―α―1=0，β2―β―1=0，将两式相加，得α2+β2―(α+β)―2=0，于是，得s2―s1―2=0．根据以上信息，解答下列问题：①直接写出s1，s2的值．②经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n≥3时，请猜想s n，s n―1，s n―2之间满足的数量关系，并给出证明．18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程x2―(m+2)x+4m=0有两个实数根x1,x2，其中x1<x2．（1）若m=―1，求x12+x22的值；（2）一次函数y=3x+1的图像上有两点A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB=m的值；（3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为x1和x2，求该直角三角形的面积．19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=―p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a，b是方程x2+15x+5=0的二根，则ab +ba=?（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知x=x1y=y1和x=x2y=y2是关于x，y的方程组x2―y+k=0x―y=1的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2―x1x2―x2x1=2若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．20．（22-23九年级上·四川资阳·期末）定义：已知x，x是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2的两个实数根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，所以一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=―10，x2=―3，因―10<―3<0，3<―10―3+13x+30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2 =―1，求k的值；（3）若关于x的一元二次方程x2+(1―m)x―m=0是“限根方程”，求m的取值范围．。

2024年数学九年级下册排列组合基础练习题(含答案)

2024年数学九年级下册排列组合基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 在排列问题中，从5个不同的元素中取出3个元素进行排列，共有多少种不同的排列方法？A. 10种B. 20种C. 60种D. 120种2. 从数字1、2、3、4、5中任取三个数字组成三位数，其中百位数字为3的排列方法有几种？A. 6种B. 8种C. 12种D. 24种3. 有4名同学站成一排拍照，其中甲、乙两名同学必须站在一起，共有多少种不同的站法？A. 6种B. 12种C. 18种D. 24种4. 从6名运动员中选出4名参加比赛，其中甲、乙两名运动员必须入选，共有多少种不同的选法？A. 15种B. 20种C. 30种D. 60种5. 从数字0、1、2、3、4、5中任取三个数字组成三位数，这个三位数能被3整除的排列方法有几种？A. 20种B. 30种C. 40种D. 50种6. 有5个男生和3个女生站成一排，要求男生和女生交替站立，共有多少种不同的站法？A. 36种B. 48种C. 60种D. 120种7. 从数字1、2、3、4、5、6中任取四个数字组成四位数，其中千位数字为偶数的排列方法有几种？A. 60种B. 75种C. 90种D. 120种8. 有6名同学分成两组进行篮球比赛，每组3人，共有多少种不同的分组方法？A. 20种B. 30种C. 40种D. 60种9. 从数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取三个数字组成三位数，这个三位数的数字之和为9的排列方法有几种？A. 20种B. 25种C. 30种D. 35种10. 有8名同学站成一排，其中甲、乙、丙三名同学不能站在一起，共有多少种不同的站法？A. 3600种B. 4200种C. 4800种D. 5400种二、判断题：1. 从n个不同元素中取出m个元素进行排列，共有n^m种不同的排列方法。

（）2. 从数字1、2、3、4中任取三个数字组成三位数，若百位数字为1，则共有6种不同的排列方法。

人教版九年级数学下册相似测试题含答案【新】

初三数学人教版九年级下册（新）第二十七章相似测试题（时间：45分钟总分：100分）班级______________姓名_______________学号__________________一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知：线段a=5cm，b=2cm，则ab=（）A．14B．4 C．52D．252．把mn=pq（mn≠0）写成比例式，写错的是（）A．m qp n=B．p nm q=C．q nm p=D．m pn q=3．某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m，影长是1m，旗杆的影长是8m，则旗村的高度是（）A．12m B．11m C．10m D．9m4．下列说法正确的是（）A．矩形都是相似图形；B．菱形都是相似图形C．各边对应成比例的多边形是相似多边形；D．等边三角形都是相似三角形5．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，•已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有（）种A．1 B．2 C．3 D．46.如图（1），△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）A．1:2B．1:4C．1:5D．1:67．如图（2），△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=2，BC=3，则CD的长是（）A．83B．23C．43D．538．如图（3），若∠1=∠2=∠3，则图中相似的三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对图（1）图（3）图（2）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．若235a b c ==（abc ≠0），则a b c a b c++-+=_________． 10．把长为20cm 的线段进行黄金分割，则较短线段长约是________cm ．（精确到0.01 cm ）11．两个相似三角形的一对对应边长分别为20cm ，25cm ，它们的周长差为63cm ，则这两个三角形的周长分别是________．12．如图（4），点D 是Rt △ABC 的斜边AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，若AF=•15，BE=10，则四边形DECF 的面积是__________．(4) (5)13．如图（5），BD 平分∠ABC ，且AB=4，BC=6，则当BD=_______时，△ABD ∽△DBC ．14．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=60，CD=15，E 、F 分别为AD 、BC 上一点，且EF ∥AB ，•若梯形DEFC ∽梯形EABF ，那么EF=_________．三、解答题（本大题共30分，每题10分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． △ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F ．（1）求证：△ACB ∽△DCE ；（2）求证：EF ⊥AB ．16.如图，梯形ABCD中，AB CD∥，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：CDF BGF△∽△；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF CD∥交AD于点E，若6cm4cmAB EF==，，求CD的长．17.如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.(1) 求证：DE－BF = EF．(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．D CFEAB G答案：一、选择题1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C 7．D 8． D二、填空题9．5210．7.64 11．252cm ，315cm 12．150 13．6 14．30 三、解答题15.证明：（1）∵ 3,2AC DC = 63,42BC CE ==∴ .AC BC DC CE =又 ∠ACB =∠DCE =90°，∴ △ACB ∽△DCE ．（2）∵ △ACB ∽△DCE ，∴ ∠ABC ＝∠DEC ．又 ∠ABC ＋∠A =90°，∴ ∠DEC ＋∠A =90°．∴ ∠EFA =90°． ∴ EF ⊥AB ．16.（1）证明：∵梯形ABCD ，AB CD ∥，∴CDF FGB DCF GBF ∠=∠∠=∠，，∴CDF BGF △∽△．（2）由（1）CDF BGF △∽△，又F 是BC 的中点，BF FC =∴CDF BGF △≌△，∴DF FG CD BG ==，又∵EF CD ∥，AB CD ∥，∴EF AG ∥，得2EF BG AB BG ==+．∴22462BG EF AB =-=⨯-=，∴2cm CD BG ==．17.(1) 证明:∵ 四边形ABCD 是正方形, BF ⊥AG , DE ⊥AG∴ DA =AB ， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90° ∴ ∠BAF = ∠ADE∴ △ABF ≌ △DAE∴ BF = AE , AF = DE∴ DE －BF = AF －AE = EF（2）EF = 2FG 理由如下：∵ AB ⊥BC , BF ⊥AG , AB =2 BG∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG∴2===FGBF BF AF BF AB ∴ AF = 2BF , BF = 2 FG由(1)知, AE = BF ，∴ EF = BF = 2 FG(3) 如图DE + BF = EF。

2020-2021学年人教版九年级数学下册《第27章相似数》单元测试题(有答案)

人教版九年级数学下册《第27章相似数》单元测试题一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若＝，则的值为（）A．5 B．C．3 D．2．已知＝，则代数式的值为（）A．B．C．D．3．以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC相似的三角形图形为（）A．B．C．D．4．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，如下结论：①BE＝GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．87．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：168．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A．28°B．32°C．42°D．52°9．如图，小明为了测量大楼MN的高度，在离N点30米放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度是（）A．32米B．米C．36米D．米10．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝10，BD＝6，则BC的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．如图，用长3m、4m、5m的三根木棒正好搭成一个Rt△ABC，AC＝3，∠C＝90°，用一束垂直于AB的平行光线照上去，AC、BC在AB的影长分别为AD、DB，则AD＝，BD＝．12．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝．13．已知两个相似三角形△ABC与△DEF的相似比为3．则△ABC与△DEF的面积之比为．14．如图，三角形ABC和三角形A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝3：4，三角形ABC的面积为9，则三角形A'B'C'的面积为．15．如图，小明为了测量楼房MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA 方向后退到C点，正好从镜子中看到楼顶M点．若AC＝1.6m，小明的眼睛B点离地面的高度BC为1.5m，则楼高MN＝m．16．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在边AB上，AM＝3，过点M作直线MN 与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB＝6，BC＝8．（1）求的值；（2）当AD＝5，CF＝19时，求BE的长．18．（8分）已知如图，E为平行四边形ABCD的边AB的延长线上的一点，DE分别交AC、BC 于G、F，试说明：DG是GE、GF的比例中项．19．（8分）如图，△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；（1）证明：△ABC∽△ADE．（2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为：．20．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中建立平面直角坐标系，格点△ABC（顶点是网格线的交点）的坐标分别是A（﹣2，2）、B（﹣3，1）、C（﹣1，0）．（1）将△ABC先向右平移2个单位长度，向下平移7个单位长度，得到△DEF，画出△DEF；（2）以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，在网格内画出放大后的△A1B1C1，若P（x，y）为△ABC中的任意一点，其对应点P1的坐标为．21．（8分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．（1）求证：BG＝CF．（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．23．（10分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．24．（12分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝3时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？参考答案与试题解析一．选择题1．解：由＝，得4b＝a﹣b．，解得a＝5b，＝＝5，故选：A．2．解：由＝得到：a＝b，则＝＝．故选：B．3．解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为：2，，，同理求得：A中三角形的各边长为：，1，，与△ABC的各边对应成比例，所以两三角形相似；故选：A．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCB＝90°，AB＝BC，∵AG＝CE，∴BG＝BE，由勾股定理得：BE＝GE，∴①正确；∵BG＝BE，∠B＝90°，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°，∴∠GAE+∠AEG＝45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∵∠BEG＝45°，∴∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠GAE＝∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△AGE≌△ECF，∴②正确；∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有3个．故选：C．5．解：当＝或＝时，DE∥BD，即＝或＝．故选：D．6．解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC＝2，∴AC＝AE+EC＝4+2＝6；故选：C．7．解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4，∴这两个相似多边形的相似比是1：2，则这两个相似多边形的周长之比是1：2，故选：A．8．解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，∴∠B＝42°，∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E．∴∠E＝42°．故选：C．9．解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠MNA＝90°，∵∠BAC＝∠MAN，∴△BCA∽△MNA．∴＝，即＝，∴MN＝32（m），答：楼房MN的高度为32m．故选：A．10．解：根据射影定理得：AB2＝BD×BC，∴BC＝＝．故选：D．二．填空题11．解：依题意知，AC＝3cm，AB＝5cm，BC＝4cm，∠C＝90°．∵CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，则9＝5AD，16＝5BD，所以AD＝，BD＝．故答案是：；．12．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，∴DF＝2BD＝2×5＝10．故答案为10．13．解：∵△ABC与△DEF的相似比为3，∴△ABC与△DEF的面积之比为9．故答案为9．14．解：∵三角形ABC和三角形A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA'＝3：4，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝3：4，∵三角形ABC的面积为9，∴三角形A'B'C'的面积为：16．故答案为：16．15．解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠N＝90°，∵∠BAC＝∠MAN，∴△BCA∽△MNA．∴，即，∴MN＝（m），答：楼房MN的高度为m，故答案为：．16．解：∵△AMN和△ABC相似，∴①如图1，△AMN∽△ABC，∴，∵AM＝3，AC＝6，BC＝12，AB＝9，∴，MN＝4．②如图2，△AMN∽△ACB，∴，∵AM＝3，AC＝6，BC＝12，∴，MN＝6，综上MN为4或6．故答案为：4或6．三．解答题17．解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴＝＝＝；（2）过D点作DM∥AC交CF于M，交BE于N，如图，∵AD∥BN∥CM，AC∥DM，∴四边形ABND和四边形ACMD都是平行四边形，∴BN＝AD＝5，CM＝AD＝5，∴MF＝CF﹣CM＝19﹣5＝14，∵NF∥MF，∴＝＝，∴NE＝MF＝×14＝6，∴BE＝BN+NE＝5+6＝11．18．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AE，∴＝，∵AD ∥BC ， ∴＝， ∴＝，∴DG 2＝GE •GF ，∴DG 是GE 、GF 的比例中项．19．（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC ＝∠2+∠DAC ，∴∠BAC ＝∠DAE ．∵∠C ＝∠E ，∴△ABC ∽△ADE ．（2）补充的条件为：AB ＝AD （答案不唯一）；理由如下：由（1）得：∠BAC ＝∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，，∴△ABC ≌△ADE ；故答案为：AB ＝AD （答案不唯一）．20．解：（1）如图所示：△DEF 即为所求；（2）如图所示：△A 1B 1C 1即为所求，若P （x ，y ）为△ABC 中的任意一点，其对应点P 1的坐标为：（﹣2x ，﹣2y ）．21．（1）证明：∵BG∥AC，∴∠C＝∠GBD，∵D是BC的中点，∴BD＝DC，在△CFD和△BGD中，∴△CFD≌△BGD，∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF，理由如下：∵△CFD≌△BGD，∴CF＝BG，在△BGE中，BG+BE＞EG，∵△CFD≌△BGD，∴GD＝DF，ED⊥GF，∴EF＝EG，∴BG+CF＞EF．22．（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形．（2）解：∵四边形AEBD是矩形，∴∠AEB＝90°，∵∠ABE＝30°，AE＝2，∴BE＝2，BC＝4，∴EC＝2，∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴＝＝，∴EF＝EC＝．23．解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，∴，∴，②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，∴；∴或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝3t，，，，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴解得：；24．解：（1）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，因此Rt△CPQ的面积为S＝cm2；（2）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，由勾股定理得PQ＝；（3）分两种情况：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t＝．因此t＝3或t＝时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．。

【5套打包】内江市初三九年级数学下(人教版)第二十七章《相似》单元综合练习卷(含答案解析)

人教版九年级下第27章相似质量评估试卷（含答案）一、选择题(每小题3分，共30分)1．如果x∶(x＋y)＝3∶5，那么xy＝()A.32 B.38C.23 D.852．如图1，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与三条平行线分别交于点A，B，C 和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为()图1A．4 B．5C．6 D．83．如图2，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为()图2A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶14．两相似三角形的最短边长分别是5 cm和3 cm，它们的面积之差为32 cm2，那么小三角形的面积为()A．10 cm2B．14 cm2C．16 cm2D．18 cm25．如图3，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于点E，交BD于点F，DE∶EA＝3∶4，EF＝3，则CD的长为(B)图3A．4 B．7C．3 D．126．如图4，线段AB两个端点的坐标分别为A(4,4)，B(6,2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为()图4A．(2,2)，(3,2) B．(2,4)，(3,1)C．(2,2)，(3,1) D．(3,1)，(2,2)【解析】∵线段AB两个端点的坐标分别为A(4,4)，B(6,2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，∴端点C和D的坐标分别为(2,2)，(3,1)．7．如图5，P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB的是()图5A.ABAP＝ACAB B.ACAB＝BCBPC．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC8．如图6，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论中错误的是(C)图6A．∠ADE＝∠CDEB．DE⊥ECC．AD·BC＝BE·DED．CD＝AD＋BC9．如图7所示，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上的点，AB与DE相交于点F，则图中相似三角形共有()图7A．5对B．4对C．3对D．2对10．如图8，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，按A→B→C 的方向在AB和BC上移动，记P A＝x，点D到直线P A的距离为y，则y关于x 的函数大致图象是()图8A BC D二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图9，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若AD＝3，DB＝2，BC＝6，则DE的长为.图912．如图10，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形_________________________________________.图1013．如图11，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC 相似时，线段CE的长为.图1114．如图12，铁道口的栏杆短臂长为1 m，长臂长为16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高m(杆的宽度忽略不计)．图1215．如图13，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E在对角线BD上，且B 人教版九年级数学下第二十七章《相似》单元练习题（含答案）一、选择题1.下列说法正确的是()A．分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC 放大后的图形B．两位似图形的面积之比等于位似比C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比D．位似图形的周长之比等于位似比的平方2.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为()A．1∶3B．1∶4C．1∶8D．1∶93.△ABC的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF的最短边是9 cm，则其最长边的长是()A．5 cmB．10 cmC．15 cmD．30 cm4.若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是()A．16 cmB．12 cmD．36 cm5.如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于()A．B．C．D．6.如图，已知在正方形网格中的两个格点三角形是位似形，它们的位似中心是()A．点AB．点BC．点CD．点D7.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为()B．57.5尺C．6.25尺D．56.5尺8.已知A、B两地的实际距离AB＝5 km，画在图上的距离A′B′＝2 cm，则图上的距离与实际距离的比是()A．2∶5B．1∶2 500C．250 000∶1D．1∶250 000二、填空题9.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________ cm.10.已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是__________图形，其中____________点是位似中心．11.已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝16∶9，若AB＝4，则A′B′＝__________.12.已知△ABC∽△DEF，＝，且AD为BC边上的中线，DG为EF边上的中线，则AD∶DG ＝__________.13.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝________.14.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝__________.15.若a∶b∶c＝1∶3∶2，且a＋b＋c＝24，则a＋b－c＝________.16.如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：______________(请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换)．三、解答题17.有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米，CD＝300厘米．现有一人站在斜杆AB下方的点E处，直立、单手上举时中指指尖(点F)到地面的高度为EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB上的点G处，此时，就将EG与EF的差值y(厘米)作为此人此次的弹跳成绩．(1)设CE＝x(厘米)，EF＝a(厘米)，求出由x和a表示y的计算公式；(2)现有一男生，站在某一位置尽力跳起时，刚好触到斜杆．已知该同学弹跳时站的位置为x ＝150厘米，且a＝205厘米．若规定y≥50，弹跳成绩为优；40≤y＜50时，弹跳成绩为良；30≤y＜40时，弹跳成绩为及格，那么该生弹跳成绩处于什么水平？18.已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD＝a，BC＝b，AE∶ED＝m∶n；(1)当点A、D重合，即a＝0时(如图1)，试求EF.(用含m，n，b的代数式表示)(2)请直接应用(1)的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0，①如图2这种情况时，试求EF.(用含a，b，m，n的代数式表示)图1图2图3②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．19.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2?解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x m，根据题意，得x·2x＝288.解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12，所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.结果为何正确呢？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB 与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．20.如图⊙O的内接△ABC中，外角∠ACF的角平分线与⊙O相交于D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为H.问：(1)∠PDC与∠HDC是否相等，为什么？(2)图中有哪几组相等的线段？(3)当△ABC满足什么条件时，△CPD∽△CBA，为什么？21.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上．(1)求证：△ABC∽A′B′C′；(2)A′B′C′与△ABC是位似图形吗？如果是，在图形上画出位似中心并求出位似比．第二十七章《相似》单元练习题答案解析1.【答案】C【解析】∵分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大或缩小后的图形，∴A错误．∵位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质，∴B，D错误，正确的是C.故选C.2.【答案】D【解析】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴＝＝，∴＝＝，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1∶3，∴△A′B′C′与△ABC的面积的比1∶9，故选D.3.【答案】C【解析】∵△ABC和△DEF相似，∴△DEF的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x，则3∶5＝9∶x，解得x＝15，∴△DEF的最长边为15 cm，故选C.4.【答案】C【解析】∵AB＝3 cm，BC＝5 cm，∴矩形ABCD的周长＝2×(3＋5)＝16 cm，∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2∶3，∴矩形EFGH的周长为24 cm，故选C.5.【答案】A【解析】假设△ABC∽△CAD，∴＝，即CD＝＝，∴要使△ABC∽△CAD，只要CD等于，故选A.6.【答案】A【解析】如图，位似中心为点A.故选A.7.【答案】B【解析】依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE，即5∶AD＝0.4∶5，解得AD＝62.5，BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5尺．故选B.8.【答案】D【解析】∵5千米＝500 000厘米，∴比例尺＝2∶500 000＝1∶250 000；故选D.9.【答案】6【解析】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴BC＝6 cm.10.【答案】位似O【解析】∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠A′B′C′＝∠B，∠A′C′B′＝∠C，∴△A′B′C′∽△ABC，∵AA′的延长线交于BC于点D，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心．11.【答案】3【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B″C′＝16∶9，∴AB∶A′B′＝4∶3，∵AB＝4，∴A′B′＝3.12.【答案】【解析】∵△ABC∽△DEF，∴BC∶EF＝AD∶DG，∵＝，∴BC∶EF＝3∶2，∴AD∶DG＝3∶2.13.【答案】16【解析】由图形的变化规律可得×256＝，解得n＝16.14.【答案】【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝.故答案为.15.【答案】8【解析】∵a∶b∶c＝1∶3∶2，∴设a＝k，则b＝3k，c＝2k，又∵a＋b＋c＝24，∴k＋3k＋2k＝24，∴k＝4，∴a＋b－c＝k＋3k－2k＝2k＝2×4＝8.16.【答案】相似变换【解析】由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．17.【答案】解(1)过A作AM⊥BD于点M，交GE于N.∵AC⊥CD，GE⊥CD，∴四边形ACEN为矩形，∴NE＝AC，又∵AC＝200，EF＝a，FG＝y，∴GN＝GE－NE＝a＋y－200，∵DM＝AC＝200，∴BM＝BD－DM＝300－200＝100，又∵GN∥BD，∴△ANG∽△AMB，∴＝，即＝，∴y＝x－a＋200；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，y＝×150－205＋200＝45( cm)，y＝45＞40.故该生弹跳成绩处于良好水平．【解析】(1)利用相似三角形的判定与性质得出△ANG∽△AMB，进而得出＝，即可得出答案；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，直接代入(1)中所求得出即可．18.【答案】解(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，又BC＝b，∴＝，∴EF＝；(2)①如图2，连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，∵EF＝EH＋HF，∴EF＝；②猜想：EF＝，证明：连接DE，并延长DE交BC于G，由已知，得BG＝，EF＝，∵GC＝BC－BG，∴EF＝(BC－BG)＝＝.【解析】(1)由EF∥BC，即可证得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得＝，根据比例变形，即可求得EF的值；(2)①连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，又由EF＝EH＋HF，即可求得EF的值；②连接DE，并延长DE交BC于G，根据平行线分线段成比例定理，即可求得BG的长，又由EF＝与GC＝BC－BG，即可求得EF的值．19.【答案】解(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m．”前补充以下过程：设温室的宽为x m，则长为2x m.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m.∵＝＝2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1；(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要＝，即＝，即＝，即2AB－2(b＋d)＝2AB－(a＋c)，∴a＋c＝2(b＋d)，即＝2.【解析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m，然后由题意得＝＝2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1，再利用小明的解法求解即可；(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得＝，即＝，然后利用比例的性质，即可求得答案．20.【答案】解(1)相等．理由如下：∵CD为∠ACF的角平分线(已知)，∴∠DCP＝∠DCH，DP⊥AC，DH⊥BF.∴∠DPC＝∠DHC＝90°.∴∠PDC＝∠HDC.(2)PC＝HC，DP＝DH，AP＝BH，AD＝BD.(3)∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.∵∠CPD＝90°，∴∠ABC＝90°.∵CD为∠ACF的角平分线，∠PCD＝∠DCF＝∠ACB，∴∠ACB＝60°.∴∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.【解析】(1)根据角平分线与垂线的性质证明角相等；(2)发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；(3)根据其中一个是直角三角形得到AC必须是直径．再根据另一对角对应相等，结合利用平角发现必须都是60°才可．21.【答案】(1)证明∵AB＝，BC＝，AC＝2，A′B′＝2，B′C′＝2，A′C′＝4，∴＝＝，∴△ABC∽A′B′C′；(2)解如图所示：两三角形对应点的连线相交于一点，故A′B′C′与△ABC是位似图形，O即为位似中心，位似比为2.【解析】(1)分别求出三角形各边长，进而得出答案；(2)利用位似图形的性质得出答案．人教版九年级下册第二十七章相似单元练习题（含答案）一、选择题1.在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，根据下列条件，能判断△ABC和△DEF相似的是()A．＝B．＝C．∠A＝∠ED．∠B＝∠D2.如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD＝60°，AM交BC于E.当M为BD中点时，的值为()A．B．C．D．3.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交，l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交，l1，l2，l3于点D，E，F.若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是()A．6B．8C．9D．124.如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是()A．相似B．平移C．轴对称D．旋转5.下列各组图形相似的是()A．B．C．D．6.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：(1)＝，(2)＝；(3)∠A＝∠A′；(4)∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有()A．1组B．2组C．3组D．4组7.如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上，恰好完全重合，BE、CE分别交AD于点F、G，BC＝6，AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，则AB的长为()A．1B．C．D．28.下列说法中正确的是()①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似．A．①②B．②③C．③④D．②④9.已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，则△ABC与△DEF的周长之比为()A．1∶2B．1∶4C．2∶1D．4∶110.若△ABC～△A′B′C′，面积比为1∶4，则△ABC与△A′B′C′的相似比为()A．16∶1B．1∶16C．2∶1D．1∶2二、填空题11.如图所示，C为线段AB上一点，且满足AC∶BC＝2∶3，D为AB的中点，且CD＝2 cm，则AB＝________ cm.12.如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为(2,4)，点E的坐标为(－1,2)，则点P的坐标为________．13.在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N；若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN 的长为__________．14.两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线______________________，那么这样的两个图形叫做位似图形．15.在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝5 cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，则AD＝__________ cm.16.如果两个相似三角形周长的比是2∶3，那么它们的相似比是____________．17.如图，AD为△ABC的中线，AE＝AD，BE交AC于点F，DH∥BF，则＝__________.18.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五，同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸(提示：仗和尺是古代的长度单位，1丈＝10尺，1尺＝10寸)，可以求出竹竿的长为______________尺．19.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上，以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是______________．20.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝________.三、解答题21.如图，AC是圆O的直径，AB、AD是圆O的弦，且AB＝AD，连接BC、D C.(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)延长AB、DC交于点E，若EC＝5 cm，BC＝3 cm，求四边形ABCD的面积．22.问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息如图1：甲组：测得一根直立于平地，长为80 cm的竹竿的影长为60 cm；如图2：乙组：测得学校旗杆的影长为900 cm；如图3：丙组：测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为350 cm，影长为300 cm.解决问题：(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度？(2)如图3，设太阳光线MH与⊙O相切于点M，请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径？23.如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB＝∠B，点E在边AC上，满足AE·CD＝AD·CE.(1)求证：DE∥AB；(2)如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，连接AF.求证：DF＝AF.24.如图所示，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且CE＝BD，BE、AD相交于点F.求证：(1)△ABD≌△BCE；(2)△AEF∽△ABE.25.如图，已知：D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，且△ABC∽△ADE，AD∶DB＝1∶3，DE＝2，求BC的长．26.将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD依次不断对折，可得到的矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN.(1)矩形BCFE，AEML，GMFH，LGPN，长和宽的比变了吗？(2)在这些矩形中，有成比例的线段吗？(3)你认为这些大小不同的矩形相似吗？27.如图，△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°.(1)若将△DEP的顶点P放在BC上(如图1)，PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G.求证：△PBG∽△FCP；(2)若使△DEP的顶点P与顶点A重合(如图2)，PD、PE与BC相交于点F、G.试问△PBG与△FCP 还相似吗？为什么？28.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE.答案解析1.【答案】B【解析】在△ABC和△DEF中，∵＝＝，∴△ABC∽△DEF，故选B.2.【答案】B【解析】作DK∥BC，交AE于K.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB＝AC，∠ABC＝∠C＝60°，∵∠AMD＝60°＝∠ABM＋∠BAM，∵∠ABM＋∠CBD＝60°，∴∠BAE＝∠CBD，在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD，∴BE＝CD，CE＝AD，∵BM＝DM，∠DMK＝∠BME，∠KDM＝∠EBM，∴△MBE≌△MDK，∴BE＝DK＝CD，设BE＝CD＝DK＝a，AD＝EC＝b，∵DK∥EC，∴＝，∴＝，∴a2＋ab－b2＝0，∴＋－1＝0，∴＝或(舍弃)，∴＝＝，故选B.3.【答案】D【解析】∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，∴BC＝8，∴AC＝AB＋BC＝12，故选D.4.【答案】A【解析】根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选A.5.【答案】B【解析】A.形状不同，大小不同，不符合相似定义，故错误；B．形状相同，但大小不同，符合相似定义，故正确；C．形状不同，不符合相似定义，故错误；D．形状不同，不符合相似定义，故错误．故选B.6.【答案】C【解析】共有3组，其组合分别是(1)和(2)三边对应成比例的两个三角形相似；(2)和(4)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)和(4)两角对应相等的两个三角形相似．故选C.7.【答案】C【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC＝6，∠A＝∠D＝90°，∵∠E＝90°，∴∠EFG＋∠EGF＝90°，∴∠AFB＋∠DGC＝90°，∵∠AFB＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DGC，∴△AFB∽△DCG，∴＝，∵AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，∴AF＝3，DG＝1，∴AB2＝AF·DG＝3，∴AB＝.故选C.8.【答案】D【解析】①虽然各对应边成比例，但是各对应角不一定相等，所以不相似，比如：所有菱形的对应边都成比例，但是它们不一定相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，就可以得出四条边对应成比例，并且它们的角都是90°，所以这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形的对应边不一定成比例，所以不一定相似；④有一个角对应相等就可以得出菱形的其他角对应相等，并且菱形的对应边是成比例的，所以相似．故选D.9.【答案】A【解析】∵△ABC∽△DEF，∴△ABC的面积：△DEF的面积＝△ABC与△DEF的周长之比的平方，而△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，∴△ABC与△DEF的周长之比＝1∶2.故选A.10.【答案】D【解析】∵△ABC相似△A′B′C′，面积比为1∶4，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2.故选D.11.【答案】20【解析】∵AC∶BC＝2∶3，∴设AC＝2x，则BC＝3x，AB＝5x，∵D为AB的中点，∴AD＝2.5x，∴CD＝0.5x，∵CD＝2 cm，∴x＝4，∴AB＝5x＝5×4＝20 cm；12.【答案】(－2,0)【解析】∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为(2,4)，∴OC＝AB＝4，OA＝2，∴点C的坐标为(0,4)，∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为(－1,2)，∴位似比为1∶2，∴OP∶AP＝OD∶AB＝1∶2，设OP＝x，则＝，解得：x＝2，∴OP＝2，即点P的坐标为(－2,0)．13.【答案】1【解析】∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝，即＝，∴MN＝1，故答案为1.14.【答案】相交于一点【解析】两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形．15.【答案】2或【解析】∵S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，∴S△ADE∶S△ABC＝1∶9，∴△ADE与△ABC相似比为∶1∶3，①若∠AED对应∠B时，则＝，∵AC＝5 cm，∴AD＝cm；②当∠ADE对应∠B时，则＝，∵AB＝6 cm，∴AD＝2 cm；16.【答案】2∶3【解析】∵两个相似三角形周长的比是2∶3，∴两个相似三角形相似比是2∶3.17.【答案】【解析】∵DH∥BF，AD为△ABC的中线，∴CH＝FH，∵DH∥BF，AE＝AD，∴AF＝FH.∴＝，18.【答案】45【解析】设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，∴＝，解得x＝45.19.【答案】(4,2)或(－4，－2)【解析】位似图形如图所示，B1(4,2)，B2(－4，－2)，故答案为(4,2)或(－4,2)．20.【答案】16【解析】由图形的变化规律可得×256＝，解得n＝16.21.【答案】(1)证明∵AC是圆O的直径，∴∠ABC＝∠D＝90°，在Rt△ABC与Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC；(2)解由(1)知Rt△ABC≌Rt△ADC，∴CD＝BC＝3，AD＝AB，∴DE＝5＋3＝8，∵∠EAD＝∠ECB，∠D＝∠EBC＝90°，∴△EAD∽△ECB，∴＝，∵BE＝＝4，∴＝，∴AD＝6，∴四边形ABCD的面积＝S△ABC＋S△ACD＝2××3×6＝18 cm2【解析】22.【答案】解(1)∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，即＝，解得DE＝1 200 cm；(2)连接OM，设OM＝r，∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，即＝，解得NG＝400 cm，在Rt△NGH中，NH＝＝＝500 cm，设⊙O的半径为r，∵MH与⊙O相切于点M，∴OM⊥NH，∴∠NMO＝∠NGH＝90°，又∵∠ONM＝∠GNH，∴△NMO∽△NGH，∴＝，即＝，又∵NO＝NK＋KO＝(NG－KG)＋KO＝400－350＋r＝50＋r，∴500r＝300(50＋r)，解得r＝75 cm.故景灯灯罩的半径是75 cm.【解析】(1)根据同一时刻物高与影长成正比即可求出旗杆的高度；(2)先根据同一时刻物高与影长成正比求出NG的长，再连接OM，由切线的性质可知OM⊥NH，进而可得出△NMO∽△NGH，再根据其对应边成比例列出比例式，然后用半径表示出ON，进行计算即可求出OM的长．23.【答案】证明(1)∵AE·CD＝AD·CE，∴＝，∵∠DAB＝∠B，∴AD＝BD，∴＝，∴DE∥AB；(2)∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD2＝DF·AB，∵AD＝BD，∴AD2＝DF·AB，∴＝＝1，∵DE∥AB，∴∠ADF＝∠BAD，∴△ADF∽△DBA，∴＝，∴DF＝AF.【解析】24.【答案】证明(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝∠BAC＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE(SAS)；(2)∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠EAF＝∠ABE，∴△AEF∽△ABE.【解析】(1)由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，继而根据SAS即可证得△ABD≌△BCE；(2)由△ABD≌△BCE，可证得∠BAD＝∠CBE，进一步得到∠EAF＝∠ABE，然后根据有两角对应相等的三角形相似，即可得△AEF∽△ABE.25.【答案】解∵AD∶DB＝1∶3，∴AD∶AB＝1∶4，∵△ABC∽△ADE，∴AD∶AB＝DE∶BC，∵DE＝2，∴BC＝8.【解析】先根据AD∶DB＝1∶3，变形得到AD∶AB的值，再根据相似三角形对应边成比例求解即可．26.【答案】解(1)矩形BCFE，AEML，GMFH，LGPN，长和宽的比不变；(2)在这些矩形中，有成比例的线段．(3)这些大小不同的矩形相似．【解析】(1)所有矩形的长、宽之比为；(2)第一个矩形的宽为对折后矩形的长，则得到成比例的线段；(3)根据相似多边形的定义回答．27.【答案】(1)证明如图1，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，∴∠BPG＋∠CPF＝135°，在△BPG中，∵∠B＝45°，∴∠BPG＋∠BGP＝135°，∵∠B＝∠C，∴△PBG∽△FCP；(2)解△PBG与△FCP相似．理由如下：如图2，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，∵∠BGP＝∠C＋∠CPG＝45°＋∠CAG，∠CPF＝∠FPG＋∠CAG＝45°＋∠CAG，∴∠AGP＝∠CPF，∵∠B＝∠C，∴△PBG∽△FCP.【解析】(1)如图1，先根据等腰直角三角形的性质，得∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，再利用平角定义得到∠BPG＋∠CPF＝135°，利用三角形内角和定理得到∠BPG＋∠BGP＝135°，根据等量代换得∠BGP＝∠CPF，加上∠B＝∠C，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论；(2)如图2，由于∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，利用三角形外角性质，得∠BGP＝∠C＋∠CPG＝45°＋∠CAG，而∠CPF＝45°＋∠CAG，所以∠AGP＝∠CPF，加上∠B＝∠C，于是可判断△PBG∽△FCP.28.【答案】证明如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠1＋∠2＝180°－∠B＝135°，∴∠2＋∠3＝135°，∴∠1＝∠3，∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE.【解析】先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠B＝∠C＝45°，再利用三角形内角和得到∠1＋∠2＝135°，利用平角定义得到∠2＋∠3＝135°，则∠1＝∠3，于是可根据有两角对应相等的两个三角形相似得到结论．人教版九的级数学下册第二十七章相似单元练习题（含答案）一、选择题1.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上，有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A、B间距离的有()A．4组B．3组C．2组D．1组2.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB＝12，CD＝15，A1B1＝9，则边C1D1的长是()A．10B．12C．D．3.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC.如果BC＝24 m，BD＝12 m，DE＝40 m，则河的宽度AB约为()A．20 mB．18 mC．28 mD．30 m4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC＝1∶2，那么S△AOD∶S△BOC是()A．1∶3B．1∶4C．1∶5D．1∶65.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－4,8)，B(－10，－3)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是()A．(－2,4)B．(－8,16)C．(－2,4)或(2，－4)D．(－8,16)或(8，－16)6.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝2，BD＝4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是()A．＝B．＝C．＝D．＝7.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交，l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交，l1，l2，l3于点D，E，F.若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是()A．6B．8C．9D．128.如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D.①△OB1C∽△OA1D;②OA·OC＝OB·OD；③OC·G＝OD·F1；④F＝F1.其中正确的说法有()A．1个B．2个C．3个D．4个9.在平面直角坐标系中，△ABC顶点A(2,3)．若以原点O为位似中心，画三角形ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为，则A′的坐标为()A．(3，)B．(，6)C．(3，)或(－3，)D．(，6)或(，－6)10.下列各组图形相似的是()A．B．C．D．二、填空题11.两三角形的相似比为1∶4，它们的周长之差为27 cm，则较小三角形的周长为__________．12.如图，在△ABC与△ADE中，＝，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是__________．13.已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为1，△DEF的周长为3，则△ABC与△DEF的面积之比为________．14.如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，要使△ABE∽△ACD，则需要添加的一个条件是：________________.15.已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，则＝________.16.如图，根据所给信息，可知的值为______________．17.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝__________.18.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是______________．19.一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了5个部分. ①，②，③这三块的面积比依次为1∶4∶41，那么④，⑤这两块的面积比是____________．20.将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见．如，我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值．这个比值是__________．三、解答题21.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.(1)求证：直线DM是⊙O的切线；(2)求证：DE2＝DF·DA.22.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)和直线l，按要求画图．(1)作出四边形ABCD关于直线l成轴对称的四边形A′B′C′D′；(2)以B为位似中心，在点B的下方将四边形ABCD放大2倍得到四边形A1B1C1D1，画出四边形A1B1C1D1.23.如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC.(1)求证：BC平分∠PBD；(2)求证：PC2＝PA·PB；(3)若PA＝2，PC＝2，求阴影部分的面积(结果保留π).24.△ABC∽△A′B′C，顶点A、B、C分别与A′、B′、C′对应，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC、AC、A′B′、A′C′的长度．25.如图，在△ABC中，DE∥BC.(1)与有什么关系？过E点作EF∥AB，与有什么关系？(2)由(1)可知与有什么关系？根据三角形相似的定义可知△ABC与△ADE相似吗？(3)你能根据上面的结论证明三组对应边的比相等的两个三角形相似吗？26.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE.27.如图，△ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且∠1＝∠2＝∠A.图1。

人教版七年级初一数学第二学期第八章二元一次方程组单元易错题难题质量专项训练试题

人教版七年级初一数学第二学期第八章二元一次方程组单元易错题难题质量专项训练试题一、选择题1．已知关于x ，y 的方程x 2m ﹣n ﹣2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为（）A ．m ＝1，n ＝－1B ．m ＝－1，n ＝1C ．14m ,n 33==-D ．14,33m n =-=2．六（2）班学生进行小组合作学习，老师给他们分组：如果每组6人，那么会多出3人；如果每组7人，那么有一组少4人．如果六（2）班学生数为x 人，分成y 组，那么可得方程组为（）A ．6374y x y x =-⎧⎨=+⎩B ．6374y x y x =+⎧⎨=+⎩C ．6374x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．6374y x y x =+⎧⎨+=⎩3．二元一次方程组7317x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是（）A ．52x y =⎧⎨=⎩ B ．25x y =⎧⎨=⎩C ．61x y =⎧⎨=⎩D ．16x y =⎧⎨=⎩4．已知方程组2728x y x y +=⎧⎨+=⎩，则5510x y -+的值是( )A ．5B ．-5C ．15D ．255．已知方程组221x y kx y +=⎧⎨+=⎩的解满足3x y -=，则k 的值为（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-6．小明要用40元钱买A 、B 两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买．．．．，40元钱全部用尽，A 型每个6元，B 型口罩每个4元，则小明的购买方案有（）种． A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种 7．如果3m 2n n m 3x 4y 120---+=是关于,x y 的二元一次方程，那么,m n 的值分别为（） A ．m=2, n=3B ．m=2, n=1C ．m=-1, n=2D ．m=3, n=48．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m 张正方形纸板和n 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n 的值可能是（）A ．200B ．201C ．202D ．2039．巴广高速公路在5月10日正式通车，从巴中到广元全长约为126km ．一辆小汽车，一辆货车同时从巴中，广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6km，设小汽车和货车的速度分别为xkm/h，ykm/h，则下列方程组正确的是（）A．()()45126456x yx y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩B．()312646x yx y⎧+=⎪⎨⎪-=⎩C．()()31264456x yx y⎧+=⎪⎨⎪-=⎩D．()()31264364x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩10．如图，在数轴上标出若干个点，每相邻的两个点之间的距离都是1个单位，点A、B、C、D表示的数分别是整数a、b、c、d，且满足2319a d，则b c+的值为（）A．3-B．2-C．1-D．0二、填空题11．已知关于x，y的二元一次方程()()12120m x m y m+++=﹣﹣，无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是______．12．为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为____元．13．小明今年五一节去三峡广场逛水果超市，他分两次购进了A、B两种不同单价的水果．第一次购买A种水果的数量比B种水果的数量多50%，第二次购买A种水果的数量比第一次购买A种水果的数量少60%，结果第二次购买水果的总数量比第一次购买水果的总数量多20%，且第二次购买A、B水果的总费用比第一次购买A、B水果的总费用少10%（两次购买中A、B两种水果的单价不变），则B种水果的单价与A种水果的单价的比值是______．14．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为_____．15．历代数学家称《九章算术》为“算经之首”.书中有这样一道题的记载，译文为：今有5只雀、6只燕，分别聚集在一起称重，称得雀重，燕轻．若将一只雀、一只燕交换位置，则重量相等；将5只雀、6只燕放在一起称量，则总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？若设雀每只重x斤，燕每只重y斤，则可列方程组为________________16．如图，长方形ABCD 被分成若干个正方形，已知32cm AB =，则长方形的另一边AD =_________cm .17．对任意一个三位数n ，如果n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F （n ）．例如n ＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F （123）＝6．（1）计算：F （241）＝_________，F （635）＝___________ ；（2）若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y （1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数），规定：()()F s k F t =，当F (s )＋F (t )＝18时，则k 的最大值是___．18．定义一种新运算“※”，规定x ※y =2ax by +，其中a 、b 为常数，且1※2=5,2※1=3，则2※3=____________．19．如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm ，小红所搭的“小树”的高度为22 cm ，设每块A 型积木的高为x cm ，每块B 型积木的高为y cm ，则x =__________，y =__________．20．对于有理数，规定新运算：x ※y =ax +by +xy ，其中a 、b 是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算. 已知：2※1=7 ,（-3）※3=3 ,则13※b =__________. 三、解答题21．学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元．（1）求A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．22．当,m n 都是实数，且满足28m n =+，就称点21,2n P m +⎛⎫- ⎪⎝⎭为“爱心点”．（1）判断点()5,3A 、()4,8B 哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点(),4A a -、()4,B b 是“爱心点”，请判断A 、B 两点的中点C 在第几象限？并说明理由；（3）已知P 、Q 为有理数，且关于x 、y 的方程组333x y p qx y p q⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩解为坐标的点(),B x y 是“爱心点”，求p 、q 的值．23．阅读下列材料，然后解答后面的问题．已知方程组372041027x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，求x+y+z 的值．解：将原方程组整理得2(3)()203(3)()27x y x y z x y x y z ++++=⎧⎨++++=⎩①②，②–①，得x+3y=7③，把③代入①得，x+y+z=6．仿照上述解法，已知方程组6422641x y x y z +=⎧⎨--+=-⎩，试求x+2y –z 的值．24．为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动正式开始．重庆长安汽车经销商在出台前一个月共售出长安SUV 汽车SC35的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%．（1）在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台；（2）若手动型汽车每台价格为9万元，自动型汽车每台价格为10万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元．25．如图，已知∠a 和β∠的度数满足方程组223080αββα︒︒⎧∠+∠=⎨∠-∠=⎩，且CD //EF,AC AE ⊥.(1)分别求∠a 和β∠的度数；(2)请判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由； (3)求C ∠的度数。