实变函数与泛函分析基础(第三版)----第五章_复习指导.docx
《实变函数与泛函分析》教学大纲
《实变函数与泛函分析》教学大纲《实变函数与泛函分析》教学大纲课程编码：110840课程名称：实变函数与泛函分析学时/学分：72/4先修课程：《数学分析》、《复变函数》适用专业：信息与计算科学开课教研室：分析与程教研室一、课程性质与任务1．课程性质：《实变函数与泛函分析》是大学数学系的重要专业方向课之一，它是数学分析的延续和发展。
2．课程任务：通过这门课程的教学应使学生掌握近代抽象分析的基本思想，培养学生综合运用分析数学的几何观点和方法，理解和研究分析数学中的许多问题，为进一步学习现代数学理论和理解现代科学技术提供必要的基础。
二、课程教学基本要求实变函数与泛函分析包括两部分内容：“实变函数”与“泛函分析”。
“实变函数”主要学习测度论、可测函数论、积分论、微分与不定积分；“泛函分析”是通过在集合中引入各种结构，包括代数结构，拓扑结构、测度结构、序结构以及这些基本结构的各种复合，形成了各种各样的抽象空间，本课程主要研究这些抽象空间中的距离空间，赋范线性空间，内积空间的性质及其映射(线性算子和线性泛函)性质。
三、课程教学内容第一章集合1.教学基本要求通过本章的系统学习，使学生熟悉集合列的上极限集、下极限集、极限集的定义与交、并运算表示，集合的对等、基数概念；掌握有限集、可数集、不可数集的概念，可数集是最小的无限集的结论以及可数集的基本运算性质，自然数集、整数集、有理数集等的可数性，有理数集在实数轴上的稠密性。
2.要求学生掌握的基本概念、理论通过本章教学使学生熟悉集合列的上、下极限集、极限集的定义与交、并运算表示；掌握单调集合列{Ak}的概念及其极限集的求法。
熟悉集合的对等概念，熟悉对等是一个等价关系；熟悉集合对等的Cantor-Bernstein定理; 掌握集合对等的夹挤定理。
熟悉集合的基数概念；掌握有限集、可数集、不可数集的概念；掌握可数集是最小的无限集的结论以及可数集的基本运算性质; 掌握自然数集、整数集、有理数集等的可数性；掌握有理数集在实数轴上的稠密性；熟悉无理数集、实数集、区间点集等的不可数性。
实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案
第一章习题参考解答3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。
若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.A A CB AC B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而C B A C B A ⋃-⊂--)()(于是，)()(C B A C B A --=⋃-4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=Ax Ax x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是一集列 ，证明：（i ）)(inf lim )(inf lim x x n nA nnA χχ=（ii ）)(sup lim )(sup lim x x n nA nnA χχ=证明：（i ）)(inf lim n nm N n n nA A x ≥∈⋂⋃=∈∀，N ∈∃0n ，0n m ≥∀时，m A x ∈.所以1)(=x m A χ，所以1)(inf 0=≥x m A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m n A nm N b A nχχN n A x n n∈∀⇒∉∀inf lim ，有n k A x n n nm ≥∃⇒⋂∉≥有0)(inf 0=⇒=⇒∉≥x A x m nk m A nm A k χχ，故0)(i n f su p =≥∈x mA nm N b χ ，即)(i nf lim x nA nχ=0 ，从而)(inf lim )(inf lim x x n nA nnA χχ=5．设}{n A 为集列，11A B =，)1(11>⋃-=-=i A A B j i j i i 证明（i ）}{n B 互相正交（ii ）i ni i ni B A N n 11,===∈∀证明：（i ）m n N m n ≠∈∀,,；不妨设n>m ，因为m n i n i n n A A A A B -⊂-=-=11，又因为m m A B ⊂，所以m n m n n B A A A B -⊂-⊂，故 ∅=m n B B ，从而 {∞=1}n n B 相互正交. （ii ）因为)1(n i i ≤≤∀，有i i A B ⊂，所以i ni i ni A B 11==⋃⊂⋃，现在来证：i ni i ni B A 11==⋃⊂⋃当n=1时，11B A =；当1≥n 时，有：i ni i ni B A 11===则)()()()()(11111111111i ni n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==事实上，i ni A x 1=⋃∈∀，则)1(n i i ≤≤∃使得i A x ∈，令}{ni A x i i i ≤≤∈=1|min 0且则 i ni i i i i i B B A A x 111000=-=⊂=-∈ ，其中，当10=i 时，∅=-=i i i A 110 ，从而， i ni i ni B A 11===6．设)(x f 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明： （i ）})(|{a x f x E >=}1)({1n a x f n +≥∞=(ii)})(|{a x f x E ≥=}1)({1na x f n ->∞=证明：（i ）})(|{a x f x E x >∈∀E x ∈⇒且a x f >)(}1)(|{1)(,na x f x E x E x a n a x f N n +≥∈⇒∈>+≥∈∃⇒且使得 ∈⇒x ⊂>⇒+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1)(|{1na x f x E n +≥∞=反过来，{N n n a x f x x E x n ∈∃+≥∈∀∞=},1)(|{1 ，使}1)(|{n a x f x E x +≥∈即E x a na x f ∈>+≥且1)( 故})(|{a x f x E x >∈ 所以 })(|{}1)(|{1a x f x E na x f x E n >⊂+≥⋃∞= 故}1)(|{})(|{1n a x f x E a x f x E n +≥>∞=7．设)}({x f n 是E 上的实函数列，具有极限)(x f ，证明对任意常数a 都有：}1)(|{inf lim }1)(|{inf lim })(|{11k a x f x E k a x f x E a x f x E n n k n n k +<=+≤=≤∞=∞=证明：N ∈∀≤∈∀k a x f x E x },)(|{，即k a a x f 1)(+≤≤，且E x ∈ 因为N n x f x f n n ∈∃=∞→，)()(lim ，使n m ≥∀，有ka x f n 1)(+≤，故，)}(1)(|{n m k a x f x E x m ≥∀+≤∈ 所以∈x }1)(|{ka x f x E m n m +≤≥}1)(|{k a x f x E x m n m N n +≤∈≥∈ = }1)(|{inf lim ka x f x E m n +≤，由k 的任意性：}1)(|{inf lim 1k a x f x E x n n k +≤∈∞= ，反过来，对于}1)(|{inf lim 1ka x f x E x n n k +≤∈∀∞= ，N k ∈∀，有 }1)(|{inf lim k a x f x E x m n +≤∈= }1)(|{ka x f x E m n m N n +≤≥∈ ，即n m N n ≥∀∈∃，时，有：k a x f m 1)(+≤且E x ∈，所以，ka x f x f m m 1)()(lim +≤≤且E x ∈.∞→k 又令，故 E x a x f ∈≤且)( 从而})(|{a x f x E x ≤∈故 })(|{a x f x E ≤=}1)(|{inf lim 1ka x f x E n n k +≤∞=8． 设)}({x f n 是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即≤≤≤≤)()()(21x f x f x f n若)(x f n 有极限函数)(x f ，证明：R a ∈∀，})({})({1a x f E a x f E n n >⋃=>∞=证明： })({a x f E x >∈∀，即：E x ∈且a x f >)(，因为)()(lim x f x f n n =∞→所以00,n n N n ≥∀∈∃，恒有：E )(∈>x a x f n 且，从而，})({0a x f E x n >∈})({1a x f E n n >⊂∞=反过来，N n a x f E x n n ∈∃>∈∀∞=01},)({ ，使})({0a x f E x n >∈，故0n n ≥∀，因此，a x f x f x f n n n >≥=∞→)()()(lim 0且E x ∈,即，})({a x f E x >∈，从而，})({})({1a x f E a x f E n n >=>∞=10．证明：3R 中坐标为有理数的点是不可数的。
《实变函数与泛函分析基础》目录简介
《实变函数与泛函分析基础》目录简介内容简介本次修订是在第二版的基础上进行的，作者根据多年来的使用情况以及数学的近代发展，做了部分但是重要的修改。
《实变函数与泛函分析基础(第3版)》共11章：实变函数部分包括集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分与不定积分；泛函分析则主要涉及赋范空间、有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。
这次修订继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。
《实变函数与泛函分析基础(第3版)》可作为高等院校数学类专业学生的教学用书，也可作为自学参考书。
目录第一篇实变函数第一章集合1 集合的表示2 集合的运算3 对等与基数4 可数集合5 不可数集合第一章习题第二章点集1 度量空间，n维欧氏空间2 聚点，内点，界点3 开集，闭集，完备集4 直线上的开集、闭集及完备集的构造5 康托尔三分集第二章习题第三章测度论1 外测度2 可测集3 可测集类4 不可测集第三章习题第四章可测函数1 可测函数及其性质2 叶果洛夫定理3 可测函数的构造4 依测度收敛第四章习题第五章积分论1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介2 非负简单函数的勒贝格积分3 非负可测函数的勒贝格积分4 一般可测函数的勒贝格积分5 黎曼积分和勒贝格积分6 勒贝格积分的几何意义·富比尼定理第五章习题第六章微分与不定积分1 维它利定理2 单调函数的可微性3 有界变差函数4 不定积分5 勒贝格积分的分部积分和变量替换6 斯蒂尔切斯积分7 L-S测度与积分第六章习题第二篇泛函分析第七章度量空间和赋范线性空间1 度量空间的进一步例子2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间3 连续映射4 柯西点列和完备度量空间5 度量空间的完备化6 压缩映射原理及其应用7 线性空间8 赋范线性空间和巴拿赫空间第七章习题第八章有界线性算子和连续线性泛函1 有界线性算子和连续线性泛函2 有界线性算子空间和共轭空间3 广义函数第八章习题第九章内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间1 内积空间的基本概念2 投影定理3 希尔伯特空间中的规范正交系4 希尔伯特空间上的连续线性泛函5 自伴算子、酉算子和正常算子第九章习题第十章巴拿赫空间中的基本定理1 泛函延拓定理2 C[a，b]的共轭空间3 共轭算子4 纲定理和一致有界性定理5 强收敛、弱收敛和一致收敛6 逆算子定理7 闭图像定理第十章习题第十一章线性算子的谱1 谱的概念2 有界线性算子谱的基本性质3 紧集和全连续算子4 自伴全连续算子的谱论5 具对称核的积分方程第十一章习题附录一内测度，L测度的另一定义附录二半序集和佐恩引理附录三实变函数增补例题参考书目。
实变函数与泛函分析课程教学大纲汇总
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：110047课程名称：实变函数与泛函分析英文名称：Real variable analysis And Functional analysis课程类别：专业基础课学时：50学分：3适用对象：信息与计算科学专业本科考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％先修课程：数学分析和高等代数二、课程简介中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。
它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。
泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。
英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning.三、课程性质与教学目的本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。
实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案
1 k 1 因为 lim f n ( x) f ( x)，n N ，使 m n ，有 f n ( x) a ，故 n k 1 1 x E{x | f m ( x) a }(m n)， 所以 x E{x | f m ( x) a } m n k k 1 1 x E{x | f m ( x) a } = lim inf E{x | f m ( x) a } ，由 k 的任意性： n nN m n k k 1 ， 反 过 来 ， 对 于 x lim inf E{x | f n ( x) a } n k 1 k 1 1 有 x lim x lim inf E{x | f n ( x) a } ，k N ， inf E{x | f m ( x) a } = n n k 1 k k 1 1 E{x | f m ( x) a } ，即 n N，m n 时，有： f m ( x) a 且 x E ， nN m n k k 1 所以， lim f m ( x) f ( x) a 且 x E . 又令k ，故 f ( x) a且x E 从 m k
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
n 1
n
n 1
n
n
n
事 实 上 ， x Ai ， 则 i (1 i n) 使 得 x Ai ， 令 i 1
i0 mini | x Ai 且1 i n
i0 1 i 1
0 0
n
n i0 1 i 1 i 1
于是， ( A B) C A ( B C ) 4．对于集合 A，定义 A 的特征函数为 A ( x)
A1 , A2 , , An 是一集列 ，证明： inf A ( x) （i） lim inf A ( x) lim n
实变函数与泛函分析基础(第三版)----第五章_复习指导
主要内容本章的中心内容是建立一种新的积分−− 勒贝格积分理论．它也是实变函数数论研究的中心内容．一、关于勒贝格积分的建立．本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分，这是全章的基础，建立有界函数的积分时应注意两点：一是黎曼积分意义下的积分区间，现已被一般点集所代替；二是分划的小区间长度，现已被点集的测度所代替．一般集合上一般函数的积分是通过两步完成的．第一步是建立非负函数的积分．它是通过非负函数表示为有界函数列的极限、把无穷测度集合表示为测度有限集列的极限来完成的．第二步是建立一般函数的积分，它是将其分解两个非负函数(正部与负部)的差的办法来完成的．二、勒贝格积分的性质．勒贝格积分的性质主要反映在以下几个方面：(1)勒贝格积分是一种绝对收敛积分，即)(x f 在E 上可积当且仅当)(x f 在E 上可积()(x f 在E 上可测)．这是它与黎曼积分重要区别之一．(2)勒贝格积分的绝对连续性．设)(x f 在E 上可积，则对任意0>ε，存在0>δ，使当E e ⊂且 δ<e m 时，恒有(3)勒贝格积分的唯一性．即0d )(=⎰Ex x f 的充要条件是..0)(e a x f =于E ．由此可知，若)(x f 与)(x g 几乎相等，则它们的可积性与积分值均相同．(4)可积函数可用连续函数积分逼近．设)(x f 是可积函数，对任意0>ε，存在],[b a 上的连续函数)(x ϕ，使此外尚有许多与黎曼积分类似的性质，如线性性、单调性、介值性等，望同学们自己总结、比较．三、关于积分极限定理．积分极限定理是本章的重要内容，这是由于积分号下取极限和逐项积分，无论在理论上还是应用上都有着十分重要的意义．其中列维渐升函数列积分定理(定理，勒贝格控制收敛定理(定理，和法都定理(定理同学们不难发现，与黎曼积分相比较，勒贝格积分与极限换序的条件大大减弱，这也是勒贝格积分优越于黎曼积分的重要之处．四、关于勒贝格积分同黎曼积分之间的关系．我们知道，若],[b a 上的有界函数)(x f 黎曼可积，则必勒贝格可积且二者积分值相等．值得注意的是，上述结论对于广义黎曼积分并不成立．实际上，广义黎曼可积函数成为勒贝格可积的充要条件是该函数广义黎曼绝对可积．关于勒贝格积分的计算，一般是应用积分的定义借助于积分的性质将其转化为黎曼积分．五、勒贝格重积分换序的富比尼定理指出，只要),(y x f 在q p R R ⨯上可积即可将重积分化为累次积分．特别是对非负可测函数来说，可无条件换序，这是勒贝格积分较黎曼积分的又一优越之处．复习题（一）一、判断题1、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负简单函数，则()d Ef x x ⎰一定存在。
实变函数与泛函分析第5章
备课用纸第五章 积 分 论§5.1 Riemann 积分的局限性和L积分简介 教学目的 本节给出了函数Riemann可积的几个充要条件, 分析了经典积分存在的不足之 处,建立性的积分的必要性. 本节要点 函数fRiemann可积当且仅当 f 不连续点及测度为零. Riemann积分关于极限与积分次序可交换要求 f 一致连续， 应用 L N 公式要求 f 导数连续， 这些条件限制 了Riemann积分应用范围，Lebesgue 积分正好克服了这些不足. 本节难点 函数fRiemann可积当且仅当 f 不连续点及测度为零的证明.在介绍Lebesgue 积分之前，我们先将它的前身——Riemann 积分作一回顾，并从测度 观点建立一个可积的充要条件． R 积分通常有两种定义，其一是大家熟知的“极限式”定义（即作为积分和的极限）， 另一是“确界式”定义。
一、Riemann 积分的定义 1、极限式定义 设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有界，在 [ a , b ] 中任意插入若干个分点a x0 x1 x 2 x n 1 x n b把区间 [ a , b ] 分成 n 个小区间，各小区间的长度依次为 xi xi xi 1 ，( i 1, 2, ) ，在各小 区间上任取一点 i （ i xi ），作乘积 f ( i ) xi ( i 1, 2, ) 并作和 S i 1nf ( i ) x i ，记 max{ x1 , x 2 , , x n } ，如果不论对 [ a , b ] 怎样的分法，也不论在小区间 [ xi 1 , xi ] 上点 i 怎样的取法， 只要当 0 时， S 总趋于确定的极限我们称这个极限 I 为函数 f ( x ) 在 和区间 [ a , b ] 上的定积分，记为第页备课用b a纸f ( x ) dx I lim f ( i ) x i0i 1 n2、确界式定义 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有界， T 表示 [ a , b ] 的任一分划a x 0 x1 x n b这里 n 为任一自然数,可随 T 而不同. 设 M i ， m i 分别表示 f ( x ) 在 [ xi 1 , xi ] 上的上、下确界 (i 1, 2 n ) .S (T , f ) i 1nM i x i ， s (T , f ) m xi i 1ni分别叫作 f ( x ) 关于分划 T 的大和数与小和数，这里 xi xi xi 1 ，b af ( x ) dx inf S (T , f ) ， b af ( x ) dx sup s (T , f )分别叫作 f ( x ) 在 [ a , b ] 的Darboux 上积分与下积分，这里上、下确界是对 [ a , b ] 的一切可 能 分划 T 而取.如果b af ( x ) dx bf ( x ) dxa则称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上 R 可积，并称此共同值为 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的积分，记为 f ( x )dx 。
实变函数与泛函分析基础
实变函数与泛函分析知识点与模拟试卷（含答案）实变函数与泛函分析概要第一章集合基本要求：1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。
2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。
3、会求已知集合的并、交、差、余集。
4、了解对等的概念及性质。
5、掌握可数集合的概念和性质。
6、会判断己知集合是否是可数集。
7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。
8、了解半序集和Zorn引理。
第二章点集基本要求：1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。
2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。
掌握聚点的性质。
3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。
4、会求己知集合的开集和导集。
5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。
6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。
7、了解Peano曲线概念。
主要知识点：一、基本结论：1、聚点性质§2 中T1聚点原则：P0是E的聚点⇔ P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点⇔存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞）2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3T2：设A⊂B，则A⊂B，·Ａ⊂·Ｂ，－Ａ⊂－Ｂ。
T3：（A∪B）′=A′∪B′.3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5）T1：对任何E⊂Rⁿ，Ė是开集，E´和―Ｅ都是闭集。
（Ė称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此）T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。
T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。
T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。
T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，ℳ是一开集族{Ui}iєI它覆盖了F（即Fс∪ｉєＩUi），则ℳ中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F（即F⊂ｍ∪ Ui）（iєI）4、开（闭）集类、完备集类。
实变函数与泛函分析.doc
《实变函数与泛函分析》教学大纲统计学（非师范类）专业用—、说明部分（一）课程性质、目的和教学任务本课程为统计学专业的专业限选课。
实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。
它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。
泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题, 其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。
本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。
本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。
（二）课程的教学原则和方法本课程的教学原则：理论课与习题课并重的原则：单项训练与综合训练相互结合的原则：经典的、基本的内容与现代数学的方法尽量结合的原则：直觉想象和审慎推敲相互结合和转化的原则。
教学方法是要在主要采用讲授法为主配合教改，使用讨论法、练习法等，仔细推敲概念间的相互联系和差异。
（三）课程的主要内容学时分配《实变函数与泛函分析》安排授课共90学时。
第一章集合与测度12学时第二章可测函数12学时第三章Lebesgue积分16学时第四章线性赋范空间24学时第五章内积空间16学时第六章有界线性算子与有界线性泛函10学时二、正文部分第一章集合与测度（一）教学的目的和要求1.了解集族的交并关系，映射及其性质，集的对等，可数集合;2.掌握度量空间的概念和度量空间中的点集3.理解直线上的测度和可测集4.掌握Lebesgue测度及相关理论；（二）教学重点集族的交并关系（三）教学难点度量空间的概念和测度及可测集的概念。
实变函数与泛函分析基础（第三版）-----第三章_复习指导
实变函数与泛函分析基础（第三版）-----第三章_复习指导主要内容本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质.外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义），为此，首先讨论了外测度的性质（定理）. 注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别.我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测度，即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来，因为这个条件无非是一种可加性的要求.本章详细地讨论了勒贝格测度的性质. 其中，最基本的是测度满足在空集上取值为零，非负，可列可加这三条性质. 由此出发，可以导出测度具有的一系列其它性质，如有限可加，单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论.本章还详细地讨论了勒贝格可测集类. 这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类. 我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和型集逼近.正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用.本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子. 因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性. 限于本书的篇幅而把它略去. 读者只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.复习题一、判断题1、对任意nE R ?，*m E 都存在。
（√ ）2、对任意nE R ?，mE 都存在。
（× ）3、设nE R ?，则*m E 可能小于零。
（× ）4、设A B ?，则**m A m B ≤。
（√ ） 5、设A B ?，则**m A m B <。
（× ） 6、**11()n n n n m S m S ∞∞===∑。
实变函数论与泛函分析曹广福1到5章课后答案
第一章习题参考解答3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。
若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.A A CB AC B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而C B A C B A ⋃-⊂--)()(于是，)()(C B A C B A --=⋃-4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=Ax Ax x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是一集列 ，证明：（i ）)(inflim )(inf lim x x nnA nnA χχ=（ii ）)(sup lim )(sup lim x x n nA nnA χχ=证明：（i ）)(inf lim n nm N n n nA A x ≥∈⋂⋃=∈∀，N ∈∃0n ，0n m ≥∀时，m A x ∈.所以1)(=x m A χ，所以1)(inf=≥x mA n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x mnA nm N b A nχχN n A x n n∈∀⇒∉∀inf lim ，有n k A x n n nm ≥∃⇒⋂∉≥有)(inf 0=⇒=⇒∉≥x A x m n k m A nm A k χχ，故)(inf sup =≥∈x m A nm N b χ ，即)(inf lim x n A nχ=0 ，从而)(inf lim )(inf lim x x n nA nnA χχ=5．设}{n A 为集列，11A B =，)1(11>⋃-=-=i A A B j i j i i 证明（i ）}{n B 互相正交（ii ）i ni i ni B A N n 11,===∈∀证明：（i ）m n N m n ≠∈∀,,；不妨设n>m ，因为m n i n i n n A A A A B -⊂-=-=11，又因为m m A B ⊂，所以m n m n n B A A A B -⊂-⊂，故 ∅=m n B B ，从而 {∞=1}n n B 相互正交. （ii ）因为)1(n i i ≤≤∀，有i i A B ⊂，所以i ni i ni A B 11==⋃⊂⋃，现在来证：i ni i ni B A 11==⋃⊂⋃当n=1时，11B A =； 当1≥n 时，有：i ni i ni B A 11===则)()()()()(11111111111i ni n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==事实上，i ni A x 1=⋃∈∀，则)1(n i i ≤≤∃使得i A x ∈，令}{ni A x i i i ≤≤∈=1|m in 0且则 i ni i i i i i B B A A x 111000=-=⊂=-∈ ，其中，当10=i 时，∅=-=i i i A 110 ，从而， i ni i n i B A 11===6．设)(x f 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明： （i ）})(|{a x f x E >=}1)({1n a x f n +≥∞=(ii)})(|{a x f x E ≥=}1)({1na x f n ->∞=证明：（i ）})(|{a x f x E x >∈∀E x ∈⇒且a x f >)(}1)(|{1)(,na x f x E x E x a n a x f N n +≥∈⇒∈>+≥∈∃⇒且使得 ∈⇒x ⊂>⇒+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1)(|{1na x f x E n +≥∞=反过来，{N n n a x f x x E x n ∈∃+≥∈∀∞=},1)(|{1 ，使}1)(|{n a x f x E x +≥∈即E x a na x f ∈>+≥且1)( 故})(|{a x f x E x >∈ 所以 })(|{}1)(|{1a x f x E na x f x E n >⊂+≥⋃∞= 故}1)(|{})(|{1n a x f x E a x f x E n +≥>∞=7．设)}({x f n 是E 上的实函数列，具有极限)(x f ，证明对任意常数a 都有：}1)(|{inf lim }1)(|{inf lim })(|{11k a x f x E k a x f x E a x f x E n n k n n k +<=+≤=≤∞=∞=证明：N ∈∀≤∈∀k a x f x E x },)(|{，即k a a x f 1)(+≤≤，且E x ∈ 因为N n x f x f n n ∈∃=∞→，)()(lim ，使n m ≥∀，有ka x f n 1)(+≤，故，)}(1)(|{n m k a x f x E x m ≥∀+≤∈ 所以∈x }1)(|{ka x f x E m n m +≤≥ }1)(|{k a x f x E x m n m N n +≤∈≥∈ = }1)(|{inf lim ka x f x E m n +≤，由k 的任意性：}1)(|{inf lim 1k a x f x E x n n k +≤∈∞= ，反过来，对于}1)(|{inf lim 1ka x f x E x n n k +≤∈∀∞= ，N k ∈∀，有 }1)(|{inf lim k a x f x E x m n +≤∈= }1)(|{ka x f x E m n m N n +≤≥∈ ，即n m N n ≥∀∈∃，时，有：k a x f m 1)(+≤且E x ∈，所以，ka x f x f m m 1)()(lim +≤≤且E x ∈.∞→k 又令，故 E x a x f ∈≤且)( 从而})(|{a x f x E x ≤∈故 })(|{a x f x E ≤=}1)(|{inf lim 1ka x f x E n n k +≤∞=8． 设)}({x f n 是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即≤≤≤≤)()()(21x f x f x f n若)(x f n 有极限函数)(x f ，证明：R a ∈∀，})({})({1a x f E a x f E n n >⋃=>∞=证明： })({a x f E x >∈∀，即：E x ∈且a x f >)(，因为)()(lim x f x f n n =∞→所以00,n n N n ≥∀∈∃，恒有：E )(∈>x a x f n 且，从而，})({0a x f E x n >∈})({1a x f E n n >⊂∞=反过来，N n a x f E x n n ∈∃>∈∀∞=01},)({ ，使})({0a x f E x n >∈，故0n n ≥∀，因此，a x f x f x f n n n >≥=∞→)()()(lim 0且E x ∈,即，})({a x f E x >∈，从而，})({})({1a x f E a x f E n n >=>∞=10．证明：3R 中坐标为有理数的点是不可数的。
实变函数与泛函分析基础第五章习题答案
¶
f (x, t + hn) − f (x, t) hn
=
ft′(x, t + θhn) · hn hn
= | ft′(x, t + θhn)| ≤ K,
Ó ¶ ¨ 0 < θ < 1, a ≤ x ≤ b, t0 − δ < t + θhn < t0 + δ.
¦±
d dt
b
f (x, t)dt =
n=1
n=0
n=1
−∞
n=1
² ¤ En ¯Æ E
∞
∞
mEn = m( En) ≤ mE < ∞,
n=1
n=1
²∞ | n | mEn < ∞. −∞
½
¾ ¡Þ ¿ ∞ | n | mEn,
−∞
∞
−∞
∞
−∞
| f (x) | dx =
| f | dx +
| f | dx ≤ nmEn + | n − 1 | mEn
¤× º ¼¨ »Á©Í ¼ ¨ ¥ ÄÅ À Â
´¹ °± 1.
Lebesgue
ß
¾¶
´¹ ± Darboux Ç ¤¿ £
Á ´ ± Darboux ´¤¢ ¤ ß f(x) E ·ÈÎ ¨ ´ E Ü Î ¾
D : E1, E2, · · · , En, max mEi → 0
1≤i≤n
¯ S (D, f ) → f (x)dx, S (D, f ) → E f (x)dx.
¿ ¹ f (x) = 0 a.e. E. ÆÃ ´Ü° δ > 0,
f (x)ϕ(x)dx = 0,
E
《实变函数论与泛函分析(曹广福)》1到5章课后习题答案
第一章习题参考解答3.等式(A -B) ⋃C =A - (B -C) 成立的的充要条件是什么？解： 若(A -B) ⋃C =A - (B -C)，则 C ⊂ (A -B) ⋃C =A - (B -C) ⊂A .即， C ⊂A .反过来, 假设C ⊂A , 因为B -C ⊂B . 所以,A -B ⊂A - (B -C) . 故,( A -B) ⋃C ⊂A - (B -C) .最后证， A - (B -C) ⊂ (A -B) ⋃C事实上，∀x ∈A - (B -C) , 则x ∈A 且x ∉B -C 。
若x ∈C，则x ∈(A -B) ⋃C ；若x ∉C，则 x ∉B ，故 x ∈A -B ⊂ (A -B) ⋃C. 从而, A - (B -C) ⊂ (A -B) ⋃C.C ⊂ (A -B) ⋃C =A - (B -C) ⊂A -∅=A . 即 C ⊂A .反过来，若C ⊂A ，则因为B -C ⊂B 所以A -B ⊂A - (B -C) 又因为C ⊂A ，所以C ⊂A - (B -C) 故 (A -B) ⋃C ⊂A - (B -C)另一方面，∀x ∈A - (B -C) ⇒x ∈A 且x ∉B -C ，如果x ∈C则x ∈(A -B) C ；如果x ∉C, 因为x ∉B -C ，所以x ∉B 故x ∈A -B . 则x ∈(A -B) ⋃C . 从而A - (B -C) ⊂ (A -B) ⋃C于是， (A -B) ⋃C =A - (B -C)⎧1,x ∈A4.对于集合A，定义A 的特征函数为χA (x) =⎨，假设A1 , A2 , , A n 是⎩0, x ∉A一集列，证明：（i）χliminf A(x) = lim inf χA (x)n n n n（ii）χ(x) = lim sup χA (x)limsup An n n n证明：（i）∀x∈lim inf A n =⋃(⋂A n )，∃n0 ∈N，∀m ≥n0 时，x ∈A m .n n∈N m≥n所以 χA (x) = 1，所以 inf χA(x) = 1故lim inf χA (x) = supinf χA(x) = 1 m m≥nm n n b∈N m≥n m= i i1 1 ，使 m n n m nn n =1 1 1∀x ∉ lim inf A n ⇒ ∀n ∈ N ，有 x ∉ ⋂ A n ⇒ ∃k n ≥ nnm ≥n有 x ∉ A k ⇒ χ A = 0 ⇒ inf χ A (x ) = 0 ，故 s u p n f i χ A (x ) = 0，即 limn f iχ A (x ) =0 ，mk nm ≥n mb ∈N m ≥nmn n从而 χliminf A (x ) = lim inf χ A(x )nnnni -1 5. 设{A n } 为集列， B 1 = A 1 ， B i = A i - ⋃ A j (i > 1) 证明j 1（i ） {B n } 互相正交n n（ii ） ∀n ∈ N , A i = B ii =1i =1n -1 证明：（i ）∀n , m ∈ N , n ≠ m ；不妨设n>m ，因为 B n = A n - A i ⊂ A n - A m ，又因 i =1为 B ⊂ A ，所以 B ⊂ A - A ⊂ A - B ， 故 B B = ∅ ，从而 {B }∞相互正交.n nnn（ii ）因为 ∀i (1 ≤ i ≤ n )，有 B i ⊂ A i ，所以⋃ B i ⊂ ⋃ A i ，现在来证： ⋃ A i ⊂ ⋃ B i当n=1 时， A 1 = B 1 ； i =1i =1i =1i =1nn当 n ≥ 1时，有： A i = B ii =1i =1n +1 n n +1 n n n 则 A i = ( A i ) A n +1 = ( A i ) ( A n +1 - A i ) = ( B i ) (B n +1 - B i )i =1i =1i =1i =1i =1i =1n事实上， ∀x ∈ ⋃ A ，则∃i (1 ≤ i ≤ n ) 使得 x ∈ A ，令i = min i | x ∈ A 且1 ≤ i ≤ ni =1i 0 -1 n i 0 -1 n n则 x ∈ A i 0 - A i = B i 0 ⊂ B i ，其中，当 i 0 = 1 时， A i = ∅ ，从而， A i = B ii =1i =1i =1i =1i =16. 设 f (x ) 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明：∞（i ） E {x | f (x ) > a }= { f (x ) ≥ a + }n =1 n(ii) ∞E {x | f (x ) ≥ a }= { f (x ) > a - }n =1 n证明：（i ） ∀x ∈ E {x | f (x ) > a } ⇒ x ∈ E 且 f (x ) > a⇒ ∃n ∈ N ,使得f (x ) ≥ a + 1 > a 且x ∈ E ⇒ x ∈ E {x | f (x ) ≥ a + 1}⇒ x ∈ n ∞ E {x | f (x ) ≥ a + }⇒ E {x | f (x ) > a } ⊂ n∞E {x | f (x ) ≥ a + } n =1 n n =1 n反过来，∀x ∈ ∞E {x {x | f (x ) ≥ a + 1},∃n ∈ N x ∈ E {x | f (x ) ≥ a + 1} n =1 n nm n m m= n 0 1 1即 f (x ) ≥ a + 1 n∞> a 且x ∈ E 1故 x ∈ E {x | f (x ) > a }所 以 ⋃ E {x | f (x ) ≥ a + n =1 } ⊂ E {x | f (x ) > a } 故nE {x | f (x ) > a } ∞ E {x | f (x ) ≥ a + 1}n =1 n7. 设{ f n (x )} 是E 上的实函数列，具有极限 f (x ) ，证明对任意常数 a 都有：E {x | f (x ) ≤ a } = ∞lim inf E {x | f(x ) ≤ a + 1} = ∞lim inf E {x | f (x ) < a + 1} k =1 n n k k =1 n n k证明： ∀x ∈ E {x | f (x ) ≤ a },∀k ∈ N ，即 f (x ) ≤ a ≤ a + 1，且 x ∈ Ek因为 lim f n →∞(x ) = f (x )，∃n ∈ N ，使∀m ≥ n ，有 f n(x ) ≤ a + 1 ，故 kx ∈ E {x | f m (x ) ≤ a + 1}(∀m ≥ n ) k 所以x ∈ E {x | f m m ≥n (x ) ≤ a + 1} kx ∈ E {x | f (x ) ≤ a + 1}= lim inf E {x | f (x ) ≤ a + 1}，由 k 的任意性：n ∈N m ≥n m k n mk∞ ∞ x ∈ lim inf E {x | f n (x ) ≤ a + }，反过来，对于∀x ∈ lim inf E {x | f n (x ) ≤ a + }，k =1 n k k =1 n k ∀k ∈ N ，有 x ∈ lim inf E {x | f (x ) ≤ a + 1} =E {x | f (x ) ≤ a + 1} ， 即n m k n ∈N m ≥n m k∃n ∈ N ，∀m ≥ n 时，有： f (x ) ≤ a + 1 且 x ∈ E ，所以， lim f (x ) ≤ f (x ) ≤ a + 1且 m k m mkx ∈ E . 又令k → ∞ ，故 f (x ) ≤ a 且x ∈ E 从而 x ∈ E {x | f (x ) ≤ a }∞ 1故 E {x | f (x ) ≤ a }= lim inf E {x | f n (x ) ≤ a + }k =1 n k8.设{ f n (x )} 是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即f 1 (x ) ≤ f 2 (x ) ≤ ≤ f n (x ) ≤∞若 f n (x ) 有极限函数 f (x ) ，证明： ∀a ∈ R ， E { f (x ) > a } = ⋃ E { f n (x ) > a }n 1证明： ∀x ∈ E { f (x ) > a }，即： x ∈ E 且 f (x ) > a ，因为lim f (x ) = n →∞f (x )所以∃n 0 ∈ N ,∀n ≥ n 0 ，恒有： f n (x ) > a 且x ∈ E ，从而， x ∈ E { f n(x ) > a }∞⊂ E { f n (x ) > a }n =1nn n k1 2 3 n n∞反过来， ∀x ∈ E { f n (x ) > a },∃n 0 ∈ N ，使 x ∈ E { f n (x ) > a }，故∀n ≥n 0 ，因此，n =1lim f (x ) = n →∞f (x ) ≥ f (x ) > a 且 x ∈ E ,即， x ∈ E { f (x ) > a }，∞从而， E { f (x ) > a } = E { f n (x ) > a }n =110．证明： R 3 中坐标为有理数的点是不可数的。
实变函数和泛函分析基础第三版答案
实变函数和泛函分析基础第三版答案泛函分析习题解答1、设(,)X d 为⼀度量空间，令00(,){|,(,)}U x x x X d x x εε=∈< 00(,){|,(,)}S x x x X d x x εε=∈≤，问0(,)U x ε的闭包是否等于0(,)S x ε。
解答：在⼀般度量空间中不成⽴00(,)(,)U x S x εε=，例如：取1R 的度量⼦空间[0,1][2,3]X =，则X 中的开球(1,1){;(1,)1}U x X d x =∈<的的闭包是[0,1]，⽽(1,1){;(1,)1}[0,1]{2}S x X d x =∈≤=2、设[,]C ab ∞是区间[,]a b 上⽆限次可微函数全体，定义()()()()01|()()|(,)max 21|()()|r r r r r r a t bf tg t d f g f t g t ∞=≤≤-=+-∑，证明：[,]C a b ∞按(,)d f g 构成度量空间。
证明：（1）显然(,)0d f g ≥且(,)0d f g =?()()()()1|()()|,max021|()()|r r r r r a t bf tg t r f t g t ≤≤-?=+-?,[,]r t a b ??∈有()()|()()|0r r f t g t -=，特别当0,[,]r t a b =?∈时有|()()|0f t g t -=?[,]t a b ?∈有 ()()f t g t =。
（2）由函数()1t f t t=+在[0,)+∞上单调增加，从⽽对,,[,]f g h C a b ∞∈有 ()()()()0()()()()()()()()0()()01|()()|(,)max 21|()()|1|()()()()|=max21|()()()()|1|()()| max2r r r r r r a t br r r r r r r r r a t b r r r r a t b r f t g t d f g f t g t f t h t h t g t f t h t h t g t f t h t ∞=≤≤∞≤≤=∞≤≤=-=+--+-+-+--+≤∑∑∑()()()()()()()()()()()()0()()()()0|()()|1|()()||()()|1|()()|=max21|()()||()()|1|()()|max21|()()|r r r r r r r r r r r r r a t b r r r r r r a t b r h t g t f t h t h t g t f t h t f t h t h t g t h t g t f t h t ∞≤≤=∞≤≤=-+-+--+-+--++-+∑∑()()()()()()()()()()00|()()|1|()()|1|()()|max max21|()()|21|()()| (,)(,)r r r r r r r r r r r r a t b a t b r r h t g t f t h t h t g t f t h t h t g t d f h d h g ∞∞≤≤≤≤==---≤++-+-=+∑∑即三⾓不等式成⽴(,)(,)(,)d f g d f h d h g ≤+。
实变函数与泛函分析基础(第三版)--------第四章-复习指导
主要内容为了建立勒贝格积分理论的需要，本章专门讨论一类重要的函数——可测函数。
它一方面和我们熟悉的连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用上成为足够广泛的一类函数，学习本章时应注意以下几点。
一、可测函数的概念与其运算性质是本章的重要内容。
可测函数的定义与给出的一些充要条件〔如定理4.2.1等〕是判断函数可测的有力工具，应该牢固熟练地掌握和应用它们。
可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算都是封闭的。
可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的，所有这些性质反映了可测函数的优越和方便之处。
二、可测函数列的收敛性也是本章的重要内容之一。
几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使用的两种收敛形式。
叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间接关系。
通过这个定理，可以把不一致收敛的函数列部分的“恢复〞一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都起着重要作用。
勒贝格定理〔定理4.3.2〕告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立。
然而，黎斯定理〔定理4.3.3〕指出：依测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子序列。
三、可测函数的构造是本章的又一重要内容。
一般常见的函数，如连续函数，单调函数等都是可测函数。
然而，可测函数却未必是连续的，甚至可以是处处不连续的〔如迪里克雷函数〕。
所以，可测函数类比连续函数类要广泛得多。
而鲁金定理指出了可测函数与连续函数之间的关系，通过这个定理，常常能把可测函数的问题转化为关于连续函数的问题来讨论从而带来很大的方便。
四、关于论证方法和技巧方面也有不少值得注意的。
如定理4.2.6证明中的构造方法是富有启发性的，读者应深入体会，叶果洛夫定理证明中的思想和分析的方法；鲁金定理证明中先考虑简单函数，然后再往一般的可测函数过渡，这种由特殊到一般的证明方法在许多场合都是行之有效的。
复习题一、判断题1、设()f x 是定义在可测集nE R ⊆上的实函数，如果对任意实数a ，都有[()]E x f x a >为可测集，则()f x 为E 上的可测函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
主要内容本章的中心内容是建立一种新的积分——勒贝格积分理论.它也是实变函数数论研究的中心内容.一、关于勒贝格积分的建立.本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分，这是全章的基础，建立有界函数的积分时应注意两点：一是黎曼积分意义下的积分区间，现已被一般点集所代替；二是分划的小区间长度，现已被点集的测度所代替.一般集合上i般函数的积分是通过两步完成的.第一步是建立非负函数的积分.它是通过非负函数表示为有界函数列的极限、把无穷测度集合表示为测度有限集列的极限来完成的.第二步是建立一般函数的积分，它是将其分解两个非负函数（正部与负部）的差的办法来完成的.二、勒贝格积分的性质.勒贝格积分的性质主要反映在以下儿个方面：（1）勒贝格积分是一种绝对收敛积分，即兀兀）在E上可积当且仅当|/（兀）|在E上可积（/（x）在E上可测）.这是它与黎曼积分重要区别之一.（2）勒贝格积分的绝对连续性.设/（力在E上可积，则对任意£>0,存在》〉0,使当e u E且加£<5时，恒有（3）勒贝格积分的唯一性.即£|/（x）|ck = 0的充要条件是/（x） = 0 a.e. T E・由此可知，若f（x）与巩兀）几乎相等，则它们的可积性与积分值均相同.（4）可积函数可用连续函数积分逼近•设/（兀）是可积函数，对任意£>0,存在［°,切上的连续函数從无），使此外尚有许多与黎曼积分类似的性质，如线性性、单调性、介值性等，望同学们自己总结、比较.三、关于积分极限定理.积分极限定理是本章的重要内容，这是由于积分号下取极限和逐项积分，无论在理论上还是应用上都有着十分重要的意义.其中列维渐升函数列积分定理（定理5.4. 1）,勒贝格控制收敛定理（定理5. 4. 2）,和法都定理（定理5.4. 3）在现代数学中都有广泛的应用.同学们不难发现，与黎曼积分相比较，勒贝格积分与极限换序的条件大大减弱，这也是勒贝格积分优越于黎曼积分的重要之处.|H|、关于勒贝格积分同黎曼积分之间的关系.我们知道，若［°,切上的有界函数/（兀）黎曼可积，则必勒贝格可积口二者积分值相等.值得注意的是，上述结论对于广义黎曼积分并不成立.实际上，广义黎曼可 积函数成为勒贝格可积的充要条件是该函数广义黎曼绝对可积.关于勒贝格积分的计算，一般是应用积分的定义借助于积分的性质将其转化 为黎曼积分.五、勒贝格重积分换序的富比尼定理指出，只要/(x, y)在R 〃xRq 上可积即 可将重积分化为累次积分.特别是对非负可测函数来说，可无条件换序，这是勒 贝格积分较黎曼积分的又一优越之处.复习题(一)一、判断题1、 设/(x)是可测集E^R n上的非负简单函数，则f /(x)cLr -定存在。
(J )J E2、 设/(兀)是可测集E U R”上的非负简单函数，则/(兀)在E 上勒贝格可积。
(X )3、 设于(兀)是可测集E U R"上的非负简单函数，且OS f /(x)dx<+oo,则于(切在E 上 勒贝格可积。
(V )4、 设/(兀)是可测集EyR”上的非负可测函数，则f /(x)ck 一定存在。
(J )J E 5、 设/(x)是可测集E Q R”上的非负可测函数，则/(x)在E 上勒贝格可积。
(X )6、 设.f(x)是可测集EyR”上的非负简单函数，且0W fj(x)dxv+a ),则于(Q 在E 上J E勒贝格可积。
(V )7、 设/(x)是可测集EyR”上的可测函数，则\jMdx 一定存在。
(X )8、 设/(尢)是可测集EgR”上的可测函数，M/+(%)G L(E), /-(X )G L(E)至少有一个 成立，则^ f(x)dx 一定存在。
(丿)9、 设/(兀)是可测集E Q R “上的可测函数，且f +(x)eL(E)f f'(x)eL(E)至少有一个 成立，则/(兀)在E 上勒贝格可积。
(X )在E 上勒贝格可积。
(J )11、设/(x)是可测集E^R”上的可测函数,(V )12、设f(x)是可测集EgR”上的可测函数,若10、设/(兀)是可测集EyR”上的可测函数, 若广⑴G 厶(E)且广(兀)G L(E),则/(x)若 /(x) G L(E),则一oovSgS) g(x)eL(E),则< +00 o/(X )G L(E)O ( J )13、 若E 为零测集，/，(兀)为E 上的任何实函数，则/(x) e L(E)« ( V ) 14、 若 f(x) G L(E),则 /n£［|/| = +oo ］ = 0o ( V ) 15、 若/(X )G L(E),贝ij|/(x)|eL(£)o ( V ) 16、 g|/(x)|eL(E),则 /(x)eL(E)o ( V )17、 若/(x)eL(E),耳为 E 的可测子集，则 /(x)e£(E l )o ( V ) 18、 /(兀)在E 上勒贝格积分值存在o /(x)eL(E)o <X ) 19、 若/(X )G L(E),且 /(x)>0, f /(x)dx = 0,则 /(x) = 0 于E 。
( V )J E 20、 若于(兀)在［讪上R 可积,则若/(x)在［a,b ］上厶可积，且(厶)匸討3山=£)匸/(兀皿。
(丁)21、 若 /(x) € L(£), g(x) e £(£)» 且/(x) = g(x) Q.e 于 E,则 f f(x)dx = f g(x)dx 。
J E J E (J )22^ 若/(x) e L(£), £ /(x)dx = 0,则 f(x) = Q a.e.于 E 。
« )23^ 若 f (x)d¥ = £ g (x)(k,则 /(x) = ^(x) a.e.于 E 。
<X ) 24、若£ /(x)d¥ 与 存在，且 f(x)<g(x),则 £/(x)dv <£ g(^)(Lr« ( V )25、若 f /(x)dr 存在，E “是 E 的可测子集，且 lim mE n = 0,则 lim f f(x)dx = 0)JEH —>oo J E n26、 勒贝格积分也是黎曼广义积分的推广。
(X )二. 计算题解：因为有理数集为零测集，所以，£>(%) = 0 于［0,1］,于是⑴心。
严0。
1、 设 D(x)=0, X 为［0中的无理点1,兀为［0冲的有理点Y^ X PJ ,其中P 为[0,1]中的三分康托集，求f f(x)dx x 3, xe[0,l]\P 皿八，解：因为mP = 0,所以，f(x) = x 3a.e.于[0,1],于是三、证明题1、设/(尢)是可测集E 上的可测函数，且\f(x)\<g(x)f ^(x)eL(E)，则/(X )G L(E)O 证明：由题设及不等式性，有£|/(x)|dr<£g(x)dr<+oo 0所以，|/(x)|eL(E),从 而 /(X )G L(F)O 2、/2(X )G L(E),^2(X )G L(E)O 则.f (兀)g(x)wUE),且|f £/(x)g (x)dx| <|[f £/2(x)dx + 丄g2(x)dY]。
证明：因为 |/(x)g ⑴|s*[/2(x) + g2 ⑴],而由 /2(x)eL(E), g2(QwL(E)得,g 2(x)dx < +oo , 即|[/2(x) + ^2(x)]eL(E)0 所W,/(X )^(X )G L(E)03、设 /(x) e L(E) , E”是 E 的可测子集，且 mE < +oo ,若 hmmE n =mE ,则 limf f(x)dx“TOO J E n证明：因为E”是E 的可测子集，且mE < +oo ,所以，m(E-EJ = mE-mE nf 从而 由 hmmE n = mE 得，\mm(E - E n ) = mE 一 hn\mE n = 0。
又 /(x) G L(E),由积分的绝H —>8>0C/：—><»对连续性，lim[f f(x)dx- f /(x)dv] = lim f /(x)cLv = Oo“Too J E J E n /i->oo JE-E n4、设/(x) G L(E),若对任意有界可测函数(p(x)都有£/(xMx)dx = 0 ,则/(x) = 0 a.e.)\E [f 2⑴ + g 2 ⑴]山=L / 2 (x)d% + J £= £/(x)dro1, XG E\x\f(x) >0|证明：由题设，UX(p(x) = J 0, xeE\x\f(x) = 0 ,显然©(无)为E上的有界可测函数，-l,xe£|x|/(x)<0]从而f f(x)\^x = J f (x)(p(x)dx = 0。
所以，/(x) = 0 a.e.^f E ,即f(x) = 0 a.e.于E。
5、设f(x) G L(E), e n = E[\f\ > n],证明(1) lim me n = 0 : (2) lim n -me n = 0 o“TOO n->co证明：由n -me n < f f(x)dx < f f(x)dx得(1) lim me n = 0 o (2)由(1),注意到J e n J E *”T8/(x)eL(E),由积分的绝对连续性得，limf /(x)cLv = O,从而注意到n->co J e n0 < n • me n < J /(x)cLt,所以,lim n - me n = 0。
6.证明：如果/(兀)是E上的非负函数，\E J\x)dx = O,则f(x) = 0.a.e于E证：若不然，/(x)^0不妨令/(x)>0.于是集E[x;/(x)>0]>-J必存在某一％使= |j£k;/(x) /:=!nmE[x\ f(x) >—] = cr > 0%令e = E[x\/(x) >—] 于是%f E fMdx = \e f(x)dx + j E_e f(x)dx*•* J E-e f(x)dx = \e f(x)dx + \E-e f(x)dx:.i E f(x)dx> — >0,这与题设矛盾，所以%f(x) = O.a.e于E7•设{f n(x)}£±的一非负可测函数列，则£(E fn⑴炒=EL fn(X)dx • n=l n=l证明相应于每个止整数斤，令g “ (对二£/；(X)，贝lJ{g z,(X)}是非负可测递增列，且1=1Z fn (兀)=limg” (兀)•据定理5・3・1,”=17J—>00limg“(Q/x = lim g“(xgE n-><x)n->ccJE所以8£.(X A ⑴加=U陛Sn (x)dx = lim £g n (x)dx n=l *怏 £ t f n= lim£ £ f n (x)dx =.九(x)dx ・证毕.1=1i=l7T = 18.设EuRq 为可测集，｛//%)｝为E 上的一列非负可测函数，在E 上有f n (x)<f n+l (x).令/(x) = lim/；(%), xeE ，证明:"TOOlim [ f n (x)dx= \ f(x)dx . /i —>oc J E J E证明：显然/*(兀)在E 上非负可测且/,(%)</,+1(%) </(%),故£; fn (x)dx < £f n+l (x)dx <£ f(x)dx '因而烛 £ f n (x)dx < £/(x)Jx . 现证相反的不等式.任取E 上的一个非负简单函数仇兀)使得xwE 时0<(p(x)<f(x). Vc ： Ovcvl,令 E n = E[f n > c(p\,则毋可测,E“ u E , E n c E n+i ,Cl E“ = E ,且 J f n (x)dx > f f n (x)dx > c\(p(x)dx n=l "匕 "nlim f f tt (x)dx > c(lim [ (p{x)dx) = c[(p(x)dx. ill c 的任意性可得 ,?->oo JE n->(x )J E n J Elimf f n ^x > f (pZx •再由 0(x)的任意性即得 limf f n (x)dx> f f(x)dx. is J E J E /?—>oo J E J EA lim I f n (x)dx = | (p{x)dx. H ->OO J E J EQO补充证明U E” = E ・n=loo 是显然的.Vx () G E ,则 0 <^(x 0)< /(x 0). VO<c<l,/t=l••• c^(x 0)</(x 0).VVneZ 4, £(x 0)</；+1(x 0),且 lim£(x 0) =/(x 0),n ->oo・・・3/i 0'使得扎、(x 0) >仰(兀0)'即得x 0G £…ocz u . n=l00 0由兀()的任意性得£(= U £t ••: U £t = £ • ?l=l ?:=I证明：由条件知{九(兀)}为E 上非负可测函数递增列,所以 hmf n (x)dx 有定义,J E n->oo又f f n (x)dx< f /n+.(x)Jx,« = l,2,3,---故linj .九(x)dx 有定义，且从函数列的渐升性知 J E JE->ooJ E道，lim f f n (x)dx < f{x)dx = f Wva f n (x}dx (1)HT OO JEJ E J E "TOO令c 满足Ovc vl ，0（兀）是R n上的非负可测简单函数，且（p （x ）＜ /（x ）,colEE n = {xe E\ f n (x)>c(p(x)} 贝 iJ{E n }是递增集列,且 lim E n =<J E n = E,”一>8?l = l£ f n (x)dx >£ f n (x)唸(x)dx = £ f tl (x)dx >£ c(p(x)dx = cj (p(x)dx, lime I(p(x)dx = c\ (p{x)dx , “Too J E fl J E 令贝Wl, lim f f n (x)dx> f (p(x)dx • >co J E J Erh 非负可测函数积分定义lim f f n (x)dx > f f (x)dx. ⑵“TOO JE J E综合(1)与(2)得limff(x)dx.>00J E解令九(x)="仮，Sint XG (0,1),H = 1,2,…则丨 f n (x) l< 1 且对任何 x e [0,1]1 + 1V都有lim f n （x ） = 0 o 显然f n （x ）可测，由Lebesgue 控制收敛定理， "TOOlimj ； i呎，shf xdx = n m £ f n Mdx = fjimZ,⑴心=[od 兀=o 。