勾股定理全章复习

合集下载

北京四中七年级上册数学勾股定理全章复习与巩固(基础)知识讲解

《勾股定理》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的平方长．【答案与解析】解：设第三边为x ．当x 为斜边时，由勾股定理得22268100x =+=．当x 为直角边时，由勾股定理，得22268x +=228x =．所以这个三角形的第三边的平方为100或28．【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边．举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．【答案】解：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得22222151281BD AB AD =-=-=．∴ 9BD =．同理22222131225CD AC AD =-=-=．∴ 5CD =．①当∠ACB ＞90°时，BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．②当∠ACB ＜90°时，BC ＝BD ＋CD ＝9＋5＝14．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝42．综上所述：△ABC 的周长为32或42．2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点．求证：2222AM BM CM +=．【思路点拨】欲证的等式中出现了AM 2、BM 2、CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD ⊥AB ．【答案与解析】证明：过点C 作CD ⊥AB 于D ．∵ AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴ AD ＝BD ．∵ ∠ACB ＝90°，∴ CD ＝AD ＝DB ．∴ ()()2222AM BM AD DM AD DM +=-++ 222222AD AD DM DM AD AD DM DM =-⋅+++⋅+222()AD DM =+222()CD DM =+在Rt △CDM 中，222CD DM CM +=，∴ 2222AM BM CM +=．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举一反三：【变式】已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：22AB AD BD CD -=⋅.【答案】解：如图，作AM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM,则在Rt △ABM 中：222AB AM BM =+……①在Rt △ADM 中：222AD AM DM =+……②由①－②得：22AB AD -=()()22BM DM BM DM BM DM -=+-＝（MC ＋DM ）•BD ＝CD ·BD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20，BC ＝32，D 是BC 上的一点，且AD ⊥AC ，求BD 的长．【思路点拨】由于BD 所在的△ABD 不是直角三角形，不易直接求出BD 的长，且△ACD 尽管是直角三角形，但AD 的长是未知的，因而不能确定CD 的长.过点A 作AE ⊥BC 于E ，这时可以从Rt △ABE 与Rt △ADE 、Rt △ADC 中，运用勾股定理可求得AE 、DE 的长，从而求出BD 的长．【答案与解析】解：过点A 作AE ⊥BC 于E ．∵ AB ＝AC ，∴ BE ＝EC ＝12BC ＝1322⨯=16．在Rt △ABE 中，AB ＝20，BE ＝16， ∴ 222222016144AE AB BE =-=-=，∴ AE ＝12，在Rt △ADE 中，设DE ＝x ，则2222144AD AE DE x =+=+，∵ AD ⊥AC ，∴ 222AD AC CD +=，而22214420(16)x x ++=+．解得：x ＝9．∴ BD ＝BE －DE ＝16－9＝7．【总结升华】勾股定理的作用是：已知直角三角形的两边可以求第三边，所以求直角三角形的边长时应该联想到勾股定理．4、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA ，PB ，PC ，以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．(1)观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．(2)若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．【答案与解析】解：(1)猜想：AP=CQ证明：在△ABP 与△CBQ 中，∵ AB=CB ，BP=BQ ，∠ABC=∠PBQ=60°∴ ∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ∴ △ABP ≌△CBQ∴ AP=CQ(2)由PA ：PB ：PC=3：4：5 可设PA=3a ，PB=4a ，PC=5a连结PQ ，在△PBQ 中，由于PB=BQ=4a ，且∠PBQ=60°∴ △PBQ 为正三角形 ∴ PQ=4a于是在△PQC 中，∵∴ △PQC 是直角三角形【总结升华】本题的关键在于能够证出△ABP ≌△CBQ ，从而达到线段转移的目的，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC 的长．【答案】解：在△ABD 中，由22212513+=可知： 222AD BD AB +=，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°．在Rt △ADC 中，22281,9DC AC AD DC =-==．5、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断ΔABC 的形状.【答案与解析】解：由222506810a b c a b c +++=++，得：2226981610250a a b b c c -++-++-+=∴ 222(3)(4)(5)0a b c -+-+-= ∵ 222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，， ∴ 3,4, 5.a b c ===∵ 222345+=,∴ 222a b c +=.由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．【答案与解析】解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．在图②中，由勾股定理，得222311130AB =+=．在图③中，由勾股定理，得22268100AB =+=．因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10cm ．【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A 点，沿圆柱表面爬到与A 相对的上底面B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______.(π取3)【答案】25；。

勾股定理全章

勾股定理及其逆定理1.勾股定理（从形到数）：在△ABC中，∠C=90°(通常∠C=90°)，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

则a2＋b2=c2。

变式如下：⑴c= 。

（已知a、b，求c）⑵a= 。

（已知b、c，求a）⑶b= 。

（已知a、c，求b）2.记住一些勾股数。

3.如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系：；⑵若D为斜边中点，则斜边中线；⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：；∠B=45°，则两直角边⑷三边之间的关系：（结合以上知识可在直角三角形中（1）知两边求另一边（2）知一边及两边关系，求边（3）知一边及一特殊角度求边。

）例1：在Rt△ABC，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2, 求b。

⑶已知c=17,b=8, 求a。

⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

（注意;（1）数形结合思想，方程思想运用）练习：⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。

（5）求出下列直角三角形中未知的边．（6）已知直角△ABC 中，∠C=90°.S 3=25,S 2=144则S 1为多少？例2：已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

（注意;分类讨论思想）练习：1（1）已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为。

（2）已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为，面积为。

2．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长。

610ACB 245°A230°S 2S 1S 33．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

勾股定理全章综合复习

勾股定理全章综合复习A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个(2)已知a, b, c为厶ABC三边，且满足(a2—b2)(a2+b2—c2)= 0,则它的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形(3)三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )2 2 2A. a: b: c=8 : 16 :仃B. a - b =cC. a2=(b+c)(b-c)D. a: b: c=13 : 5 : 12(4)三角形的三边长为(a+b ) 2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形；B.钝角三角形；C.直角三角形；D.锐角三角形(5)直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为________(6)若厶ABC的三边长a,b,c满足a2 b2+c2 +200 = 12a + 16b + 20c,试判断△ ABC的形状。

例3:求最大、最小角的问题(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是度。

(2)已知三角形三边的比为1 : 3 : 2,则其最小角为。

考点三：勾股定理的应用例1:面积问题（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、 B 、C 、D 的边长分别是3、 3）（2）如图，△ ABC 为直角三角形，分别以为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（） A. S 1+ S 2> S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S ID.以上都不是（3 ）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 S 、S 、S,贝陀们之间的关系是（）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+Sv S 1D. S 2- S 3=S 5、2、3,则最大正方形ED.（图AB, BC47 2)例2:求长度问题（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后, 发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习与小结课件

P
M
教学过程——典例精析
第一章勾股定理
听一听
典例3 如图,长方形 ABCD 中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点 D与点B
重合,折痕为 EF,求△ABE 的面积。
A
B
E
D
F
C
教学过程——典例精析
第一章勾股定理
听一听
A
解析：折叠问题中，要找到折叠前
后相等的线段或角，注意这些线段
与其他线段的关系，再利用勾股定
D. 若、、是的△ABC的三边，且 − = ，则∠A=90°
第一章勾股定理
基础训练
第一章勾股定理
2. 如图是商场的台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是20cm，每级台
阶的高度都是15cm，则连接AB的线段长为（ B ）
A. 100cm
B. 150cm
C. 200cm
D. 250cm
解：(1)供水站P的位置如图所示.
(2)过B作BM⊥，过A’作A’M⊥BM于M.
B
A
由已知可得A’M=8，BM=2+4=6.
在Rt△AMB中，
A’B2=AM2+BM2=82+62=100
解得A’B=10
5000×10+50000=100000.
故供水站修建完成后共计要花100000元.
∙∙
A’
∙

是直角三角形.
知识梳理
第一章勾股定理
内容：直角三角形两
直角边的平方和等于
斜边的平方.
探索勾
股定理
表达式：用
和分别表示直角三
角形的两直角边和斜
边，那么

验证方法：面积法

勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)

勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

⑹ 证明的一般步骤① 根据题意，画出图形。

② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

AB C a b c 弦股勾A BD 5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

勾股定理知识归纳

第十八章、勾股定理第一节、知识梳理勾股定理●学习目标1. 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法.2. 能运用勾股定理解决实际问题．●重点难点重点：了解勾股定理，并能正确合理的运用.难点：勾股定理的证明.●知识概要1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a２＋b２＝c２，即直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．2. 勾股定理的应用.勾股定理是直角三角形的一个重要的性质，它是把三角形由一个直角的“形”的特征转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范.3. 勾股定理的证法.●知识链接1. 勾股定理的历史背景.我国是最早了解勾股定理的国家之一，商朝数学家商高提出了“勾三、股四、弦五”，被记载于《周髀算经》中．在欧洲，通常把勾股定理称为毕达哥拉斯定理.2. 与直角三角形有关的问题.（1）直角三角形的定义.（2）直角三角形的性质：直角三角形中两个锐角互余；如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等.●中考视点勾股定理是几何中的一条重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的关系，中考对于这部分的考查主要是勾股定理的运用：（１）运用勾股定理解直角三角形：已知三角形的两边求第三边．（２）利用勾股定理证明一些具有平方的关系式．（３）运用勾股定理在数轴上找到一些和无理数对应的点．勾股定理的逆定理●学习目标１. 掌握勾股定理的逆定理，并会用它判定一个三角形是不是直角三角形.２. 理解并初步掌握利用三角形全等及代数计算来证明直角三角形的方法.●重点难点重点：勾股定理的逆定理及其应用.难点：勾股定理的逆定理的证明及应用.●知识概要勾股定理是将直角三角形的形的特征转化为数的特征，而勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据，是由数定形．1. 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．２. 如果两个命题的题设结论正好相反，我们把这样的两个命题叫作互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫作它的逆命题．３. 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．４. 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组．●知识链接（1）勾股定理与勾股定理的逆定理是两个互逆的命题.（2）勾股数：满足条件a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数组有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；20，21，29；9，40，41；…这些勾股数组的整数倍数仍然是勾股数组.●中考考点勾股定理的逆定理是证明一个三角形是直角三角形的重要定理，中考中经常利用它来求角，证明线段的垂直关系以及确定三角形的形状．第二节、教材解读一、勾股定理的内容勾股定理的内容是：如果直角三角形两直角边分别是a、b，斜边是c，那么a2+b2＝c2.因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，一要注意勾股定理的适用条件是在直角三角形中；二要注意表达式的灵活变形，即两条直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中，已知任意两条边长，可求出第三条边的长.二、正确判定一个三角形是否是直角三角形如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形.这一识别方法与勾股定理的条件和结论正好相反，即为勾股定理的逆定理.有了直角三角形的这一判别方法可以通过计算判断一个三角形是否为直角三角形.要判断一个三角形是不是直角三角形，一是确定最大边，即斜边c；二是验证c2与a2+b2是否相等.若c2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°；若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形.三、熟练掌握勾股定理在实际生活中的应用勾股定理有着广泛的应用.如求线段的长、求角度的大小、说明线段的平方关系问题、求作长为的线段等等.以求作长为的线段为例，利用勾股定理作出长为…的线段，如下左图所示．用同样的方法我们可以在数轴上画出表示…的点，如下右图所示.四、勾股定理逆定理的推导勾股定理告诉我们，如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a２＋b２＝c２，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．反之如果我们已知一个三角形的三条边长分别为a、b、c，边长之间满足关系a２＋b２＝c２，那么我们是否能够据此确定三角形的形状呢？下面是３组三角形边长的数据以及根据各组数据画出的三角形，（１）a＝６，b＝８，c＝１０；（２）a＝５，b＝１２，c＝１３；（３）a＝１５，b＝２０，c＝２５．我们观察上面给出的三组三角形的边长就会发现，上面三个三角形的边长都满足关系a２＋b２＝c２，我们再观察上面三个根据已知边长画出的三角形，我们发现三个三角形都是直角三角形．根据我们现在所掌握的这些个例的情况，我们可以先进行大胆的猜测：如果一个三角形的三边长a、b、c满足a２＋b２＝c２，那么这个三角形是直角三角形．我们的猜测是否正确呢？要确定我们根据几个特殊情况猜测得出的结论是否正确，我们必须要在一般情况中对其加以证明．【例题】已知△ＡＢＣ的三边ＢＣ＝a、ＡＣ＝b、ＡＢ＝c且满足条件a２＋b２＝c２，试判断△ＡＢＣ是否为直角三角形．【思考与分析】根据前面学习的勾股定理，我们知道如果一个直角三角形以a、b为直角边，那么它的斜边c必满足c２＝a２+b２，那么这个直角三角形的三边就与△ＡＢＣ的三边分别对应相等，所以说如果△ＡＢＣ是直角三角形，那么它必与以a、b为直角边的直角三角形全等．解：我们作Ｒt△Ａ′Ｂ′Ｃ′，∠Ｃ′＝９０°，Ａ′Ｃ′＝b，Ｂ′Ｃ′＝a．根据勾股定理：Ａ′Ｂ′２＝a２＋b２．又∵△ＡＢＣ的三边a、b、c满足条件a２+b２＝c２，∴ＡＢ＝c＝Ａ′Ｂ′．又∵在△ＡＢＣ中ＢＣ＝a、ＡＣ＝b、ＡＢ＝c，∴△ＡＢＣ≌Ｒt△Ａ′Ｂ′Ｃ′（ＳＳＳ）．∴△ＡＢＣ是直角三角形，∠Ｃ＝９０°．【小结】探索勾股定理的逆定理的过程遵循了从特殊到一般这样一条认识事物的规律,首先我们是通过已掌握的几个有限个例来归纳猜想出结论,然后就其成立与否再在一般情况下进行证明.第三节、错解剖析一、勾股定理只能在直角三角形中运用【例1】在△ABC中，AC=3，BC=4，则AB的长为（）.A. 5B. 10C. 4D. 大于1且小于7常见错误：A.错误分析：题意是已知三角形的两边求第三边，解题者错误地用直角三角形代替了任意三角形进行求解，没有注意题目中并没有给出直角三角形的前提条件，所以不能用勾股定理，只能用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断出AB的范围.正确答案：D.二、运用勾股定理时要分清斜边和直角边【例2】在Ｒt△ABC中，AC=9，BC=12，则AB2= .常见错误：在Ｒt△ABC中，利用勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2=225.错误分析：没有区分要求的AB是直角边还是斜边，只是模糊地记住了勾股定理的原形，而没有注意到题目中并没有给出明确的条件，对此我们应该分情况讨论，如果AB是斜边，则利用勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2=225；如果AB是直角边，因为BC>AC，所以BC为斜边，则利用勾股定理，得AB2＝BC2－AC2＝63.∴AB2为225或63.正确答案：225或63.三、给定三角形要分形状运用勾股定理【例3】在△ＡＢＣ中，ＡＢ=13，ＡＣ=15，高ＡＤ=12，求△ＡＢＣ的周长．常见错误：根据勾股定理，ＢＤ2＝ＡＢ2-ＡＤ2＝１３2－１２2＝２５，ＣＤ2＝ＡＣ2-ＡＤ2＝１５2－１２2＝８１，∴ＢＤ＝５，ＣＤ＝９，ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝５＋９＝１４．此时，△ＡＢＣ的周长为ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＝１３＋１４＋１５＝４２．错误分析：△ＡＢＣ可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.错误答案是只讨论了△ＡＢＣ是锐角三角形而忽视了它还可能为钝角三角形的情况.正确答案：应该分情况讨论，当△ＡＢＣ是锐角三角形时，解法如上.当△ＡＢＣ是钝角三角形时，其图如下，根据勾股定理，ＢＤ2＝ＡＢ2-ＡＤ2＝１３2－１２2＝２５，ＣＤ2＝ＡＣ2-ＡＤ2＝１５2－１２2＝８１，∴ＢＤ＝５，ＣＤ＝９，ＢＣ＝ＣＤ－ＢＤ＝９－５＝４.此时，△ＡＢＣ的周长为：ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＝１３＋４＋１５＝３２．故△ＡＢＣ的周长为42或32.四、不能正确区分直角边和斜边【例4】已知一个三角形的三边长a=5，b=13，c=12，这个三角形是直角三角形吗？错解：不是.在三角形中，利用勾股定理，a2＋b2＝194，c2＝144. a2＋b2≠c2，故此三角形不是直角三角形.错解分析：本题中虽然a2＋b2≠c2，但我们不能因此就认定这个三角形不是直角三角形，我们应该首先分析一下这三个边，边长最长的应为斜边，即b为斜边，b2＝169，a2＋c2＝25＋144＝169，即a2＋c2＝b2，故这个三角形为直角三角形.因此我们在做题时，先找到最长边，即确定斜边，可以让我们少走弯路.正确答案：是.【反思】勾股定理的逆定理是利用三角形的三边之间的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形的定理，我们在做题的时候一定要正确区分哪条为直角边哪条为斜边.五、考虑不全面造成漏解【例5】已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状.错解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4（1）∴c2（a2－b2）＝（a2＋b2）（a2－b2）（2）∴c2＝a2＋b2（3）∴△ABC是直角三角形.错解分析：本题在由第（2）步到第（3）步的化简过程中没有考虑到a2－b2＝0的情况就直接在等式两边除以一个可能为0的数，从而导致了错误．正解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4∴c2（a2－b2）＝（a2＋b2）（a2－b2）（1）当a2－b2≠0时，化简后得c2＝a2＋b2∴△ABC是直角三角形.（2）当a2－b2＝0时，a＝b∴△ABC是等腰三角形.【反思】本题结合因式分解的知识，综合考查了提公因式法、公式分解法以及勾股定理的逆定理，同时还考查了等式的性质2：在等式两边不能同时除以一个可能为0的数，这往往是我们最容易忽视的地方，应引起大家的注意.六、不能仅凭模糊记忆【例6】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且（a＋b）（a－b）＝c2，则（）A.∠A为直角B.∠C为直角C.∠B为直角D.不是直角三角形错解：选B错解分析：在解这道题的时候导致错误的原因在于对已知条件粗略地分析得出存在平方关系之后就习惯性地认为边c的对角∠C一定表示直角.该题中的条件应转化为a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2，应根据这一关系进行判断.正解：∵a2－b2＝c2，∴a2＝b2＋c2.∴a边所对的角∠Ａ为直角. 故选A.【反思】我们在判断直角三角形哪一个角是直角的时候不能因为思维定势看到数量的平方关系就得到某个角是直角的结论.七、考虑不全造成漏解【例7】已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.错解：第三边长为错解剖析：因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，也可能为直角边.正解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长为（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为.八、理解流于形式，造成思维定势【例8】已知三角形的三边为，c=1，这个三角形是直角三角形吗？错解：∵a2＝，b2＝，c2＝1，而a2＋b2≠c2，∴该三角形不是直角三角形.错解剖析：虽然a2＋b2≠c2，但不能急于否定这个三角形就不是直角三角形，因为我们发现有a2＋c2＝b2，所以这个三角形是直角三角形.正解：这个三角形是直角三角形．九、混淆勾股定理与逆定理【例9】在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东６0°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？错解:甲船航行的距离为BM=8×2＝16（海里），乙船航行的距离为BP=15×2＝30（海里）.∵＝34 （海里）且MP=34（海里）∴△MBP为直角三角形．∴∠MBP＝90°.∴乙船是沿着南偏东30°方向航行.错解剖析：虽然最终判断的结果也是对的，但忽略了对使用勾股定理的前提条件的证明，犯了运用上的错误. 正解：甲船航行的距离为BM=8×2＝16（海里），乙船航行的距离为BP=15×2＝30（海里）.∵162＋302＝1156，342＝1156，∴BM2＋BP 2＝MP2.∴△MBP为直角三角形.∴∠MBP＝90°.∴乙船是沿着南偏东30°的方向航行的.第四节、思维点拨一、方程思想【例1】如图，在长方形ABCD中，DC=5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D 恰好落在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30cm2，那么△AED的面积为______.【分析与解】由△ABF的面积为30cm2，可得BF=12cm.则在Rt△ABF中，AB=5cm，BF=12cm，根据勾股定理可知AF=13cm.再由折叠的性质可知AD=AF=13cm.所以FC=1cm.可设DE=EF=x，则EC=5-x.在Rt△EFC中，可得：12+（5-x）2=x2.解这个方程，得x=.所以S△AED =××13=16.9（cm2）.二、化归思想【例2】如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为（）【分析与解】求几何体表面的最短距离，可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲面”为“平面”，再寻找解题的途径.如上右图，可得展开图中的AB′的长为4π÷2＝2π，B′S′的长为4÷2＝2. 在Rt △AB′S′中，根据勾股定理，得AS′=.所以动点P 从A 点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短路径长为.故选A.三、分类讨论思想【例3】在△ABC 中，AB=15，AC=20，AD 是BC 边上的高，AD=12，试求出BC 边的长.【分析与解】此题没有给出图示，又由于三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形外部，所以其高的位置应分两种情况来求.如下图所示，△ABC 有两种情况.当BC 边上的高AD 在△ABC 的内部时，如图1.由勾股定理，分别在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，得BD 2=AB 2-AD 2=152-122=81，则BD=9.CD 2=AC 2-AD 2=202-122=256，则CD=16. 所以BC=9+16=25.当BC 边上的高AD 在△ABC 的外部时，如图2. 同样由勾股定理可得BD=9，CD=16. 这时BC=16-9=7.综上可得BC 边的长为25或7.【例4】如图所示，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１５，BC ＝１4，ＡＣ＝１３．求△ＡＢＣ的面积.【思考与分析】要求△ＡＢＣ的面积，现在已经知道三边的长，我们只要再知道一边上的高就可以了，这就需要作一边的垂线．构造直角三角形ＡＢＤ和直角三角形ＡＣＤ，然后利用勾股定理求出高ＡＤ，进而求出△ＡＢＣ的面积.解法一：过点A 作ＡＤ⊥ＢＣ于D ，则∠ADB=∠ADC=90°．设DC=x ，则ＢＤ＝14－x ．在Ｒt △ＡＢＤ中，由勾股定理得：ＡＤ２＝ＡＢ２-ＢＤ２＝１５２-（14－x ）２． ① 在Ｒt △ＡＤＣ中，由勾股定理得：ＡＤ２＝１３２－x ２. ② 由①＝②，解得x=5. 所以ＡＤ２＝１３２－x ２＝169－25＝144，故ＡＤ＝１２．所以Ｓ△ＡＢＣ＝ＢＣ·ＡＤ＝×１２×１４＝８４．解法二：设AD ＝x ，则在Ｒt △ＡＢＤ中，由勾股定理得：B Ｄ２＝ＡＢ２-A Ｄ２＝１５２-x ２．在Ｒt △ＡＤＣ中，由勾股定理得：C Ｄ２＝１３２－x ２，再根据题意，知 BC=BD+DC ，四、勾股定理是直角三角形的一个重要性质，这个定理反映了直角三角形三条边之间的关系，它是把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．下面就让我们通过一道例题来体会一下.【例5】已知：在△ABC 中，AB=13cm ，BC=10cm ，BC 边上的中线AD=12cm.则△ABC 是等腰三角形吗？【思考与分析】先画出图形，如图，求出BD=5cm ，利用直角三角形的判定方法，说明AD ⊥BC ，然后在△ADC 中，利用勾股定理求出AC ，从而得到AB=AC. 解：由 AD 是BC 边上的中线，得 BD=CD=BC=×10=5（cm ）.（由形到数）在△ABD 中，有AD 2+DB 2=122+52=132 =AB 2，所以△ABD 是直角三角形，其中∠ADB=90°， ∠AD C=90°. （由数到形）在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2=122+52=169，又因为AC>0，所以AC=13（cm）.（由形到数）即AB=AC. 故△ABC是等腰三角形.（由数到形）【反思】此题综合运用了勾股定理及直角三角形的判定方法，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的数形结合的思想，从中你可以体会到数形结合的奥妙.【例6】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（）A. 2mB. 2.5mC. 2.25mD. 3m【思考与分析】为了顺利解决此题，我们首先要根据题中叙述的条件画出草图如上，则有BD=1.5m，AF=CE=0.5m，AD=BF=BE=水深，在Rt△ABD中，设河水的深度BF=xm，则有AB=（0.5+x）m，AD=xm，BD=1.5m，根据勾股定理，列方程（0.5+x）2=1.52+x2，解之即可.解：如上图所示，在Rt△ABD中，设河水的深度BF=xm，则有AB=（0.5+x）m，AD=xm，BD=1.5m．根据勾股定理，列方程：（0.5+x）2=1.52+x2，解得x=2.所以河水的深度为2m.故答案选A.【小结】本题是数学问题在生活中的实际应用，我们首先要通过分析，画出草图，把实际问题转化成数学问题，运用我们所学的数学知识来求解.这种通过分析题意，画出图形，将实际问题抽象成纯数学问题来求解的数学思想方法，我们一般称为建模的数学思想方法.本题在画出草图，把题意抽象成纯数学问题后，实际上就是建立起“解直角三角形的数学模型（如上图）”，在此基础上，借助勾股定理来进行求解.解这种实际应用题的一般策略为：另外，在此题中还运用了方程的数学思想，勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长度时，可通过设未知数，建立方程进行求解，运用方程思想，有时可大大简化求解过程.第五节、竞赛数学【例１】等腰△ＡＢＣ中ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ上任一点，求证：ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ·ＤＣ【思考与分析】本题要证明的等式中含有线段的平方，故可以考虑运用勾股定理，但我们知道运用勾股定理的先决条件是具有直角三角形，那么就需要我们首先构造直角三角形．根据等腰三角形的性质，我们作ＡＰ⊥ＢＣ，则ＢＰ＝ＰＣ，那么ＢＤ·ＤＣ＝（ＢＰ＋ＰＤ）（ＰＣ－ＰＤ）＝ＢＰ２－ＰＤ２，又因为Ｒt△ＡＰＢ和Ｒt△ＡＰＤ有公共边ＡＰ，由勾股定理得ＡＢ２－ＢＰ２＝ＡＤ２－ＰＤ２，所以ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＰ２－ＰＤ２＝ＢＤ·ＤＣ．证明：（１）若Ｄ不是ＢＣ的中点时，作ＡＰ⊥ＢＣ于点Ｐ，如图1．∵等腰△ＡＢＣ中ＡＢ＝ＡＣ，∴ＢＰ＝ＰＣ．在Ｒt△ＡＰＢ和Ｒt△ＡＰＤ中，由勾股定理得：两式相减得：ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＰ２－ＰＤ２＝（ＢＰ＋ＰＤ）（ＢＰ－ＰＤ）＝（ＢＰ＋ＰＤ）（ＰＣ－ＰＤ）＝ＢＤ·ＤＣ，即ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ·ＤＣ．（２）若Ｄ是ＢＣ的中点，如图2．∵等腰△ＡＢＣ中ＡＢ＝ＡＣ，∴ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＤ＝ＤＣ．在Ｒt△ＡＤＢ中ＡＢ２＝ＡＤ２＋ＢＤ２，∴ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ２＝ＢＤ·ＢＤ＝ＢＤ·ＤＣ，即ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ·ＤＣ．【例２】如图3，在△ＡＢＣ中，若ＡＢ＞ＡＣ，ＡＥ为ＢＣ边上的中线，ＡＦ为ＢＣ边上的高.求证：ＡＢ２－ＡＣ２＝２ＢＣ·ＥＦ.【思考与分析】等式左边＝ＡＢ２－ＡＣ２，根据题中给出的条件ＡＦ为ＢＣ边上的高，而Ｒt△ＡＢＦ和Ｒt△ＡＣＦ中包含这三边，我们可以得到ＡＢ２－ＢＦ２＝ＡＦ２，ＡＣ２－ＣＦ２＝ＡＦ２这两个等式，这时我们就可以发现两式相减得到ＡＢ２－ＡＣ２＝ＢＦ２－ＣＦ２＝（ＢＦ＋ＣＦ）（ＢＦ－ＣＦ），再根据ＡＥ为ＢＣ边上的中线，继续化简可证得结论．证明：∵ＡＦ为ＢＣ边上的高，∴根据勾股定理有ＡＢ２－ＢＦ２＝ＡＦ２＝ＡＣ２－ＣＦ２，∴ＡＢ２－ＡＣ２＝ＢＦ２－ＣＦ２＝（ＢＦ＋ＣＦ）（ＢＦ－ＣＦ）＝ＢＣ·（ＢＦ－ＣＦ）又∵ＡＥ为ＢＣ边上的中线，∴ＢＥ＝ＥＣ∴ＢＦ－ＣＦ＝（ＢＥ＋ＥＦ）－（ＥＣ－ＥＦ）＝２ＥＦ∴ＡＢ２－ＡＣ２＝２ＢＣ·ＥＦ.【例3】如图所示，已知△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，Ｐ是△ＡＢＣ内一点，且ＰＡ＝３，ＰＢ＝１，ＰＣ＝２，求∠ＢＰＣ的度数．【思考与分析１】∠ＢＰＣ在△ＰBＣ中，虽然我们已经知道ＰＢ、ＰＣ的长，但可以发现直接利用条件求它还是比较困难．既然直接求解比较困难，那么我们是否可以考虑将∠ＢＰＣ进行分割，转化成特殊角后再进行求解呢？我们作ＣE⊥PＣ，并截取ＣE=PＣ，连结BE、PE，就可以把∠ＢＰＣ分割为∠ＣＰE和∠EＰB 两个角．根据我们做辅助线的过程可知∠ＣＰE＝４５°，要求∠ＢＰＣ，问题就转化到求∠EＰB，这个问题可以在△EＰB中得到解决．方法１：过Ｃ作ＣE⊥PＣ，并截取ＣE=PＣ=2，连结BE、PE．则∠BＣE+∠PＣB=∠PＣＡ+∠PＣB=90°，∴∠BＣE=∠PＣＡ．又∵ＣE=ＣP，ＡＣ＝ＢＣ，∴△ＣBE≌△ＣＡP（ＳＡＳ），∴BE＝PＡ＝３．∵在Ｒt△ＰＣE中，∠ＣＰE＝４５°，且ＰE２＝ＰＣ２＋ＣE２＝２ＰＣ２＝８，∴在△ＰBE中，ＰB２＋ＰE２＝１＋８＝９＝BE２．∴△EＰB为直角三角形，∠EＰB＝９０°．∴∠ＢＰＣ＝∠BPE＋∠ＣPE＝９０°＋４５°＝１３５°．【思考与分析２】如果我们在△ＡＢＣ外取点Ｅ，使ＣＥ＝ＣＰ，ＢＥ＝ＡＰ，连结ＰＥ，则构造了△ＣBE和△ＣＡP全等，再利用它们之间的数量关系和勾股定理及其逆定理就可以解决问题．方法２：在△ＡＢＣ外取点Ｅ，使ＣＥ＝ＣＰ，ＢＥ＝ＡＰ，连结ＰＥ.∵ＣE=ＣP，ＢＥ＝ＡＰ，ＡＣ＝ＢＣ，∴△ＣBE≌△ＣＡP（ＳＳＳ）．∴∠BＣE=∠PＣＡ．又∵∠ＡＣＢ＝９０°，即∠PＣＡ+∠PＣB=90°，∴∠BＣE+∠PＣB=90°，即∠PＣE=90°．又∵ＣE=ＣP＝２，∴ＰE２＝ＣE２＋ＣP２＝２２＋２２＝８，∠ＣPE=４５°．∴在△ＰBE中，ＰB２＋ＰE２＝１＋８＝９＝BE２.∴∠BPE=90°，∠ＢＰＣ＝∠BPE＋∠ＣPE＝９０°＋４５°＝１３５°．【反思】本题主要运用化归转化的数学思想方法，将比较难求的角通过分割转化成为比较好求的特殊角，在这里怎样分角存在一定的技巧，通常我们都是把所求的角分成３０°，４５°，６０°，９０°这样的一些特殊角．【例4】李老师设计了这样一道探究题：如图1（1），有一个圆柱，它高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，则沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π 的取值为3）．【思考与分析】这是一道蚂蚁怎么走最近的问题，同学们可以这样思考：（1）自己做一个圆柱，尝试从A 点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路线最短？（2）如图1（2）所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A到B的最短路线是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从A点，想吃到B点上的食物，它需要爬行的最短路线是多少？由A到B，有无数条路线，如果将圆柱侧面从A点（蚂蚁爬行路径的起始点）垂直向上剪开，则剪开的侧面展开图的形状是长方形.最短路线是线段AB，因为两点之间线段最短.这个最短距离就是AB的长.解：圆柱的底面周长为2πr＝2×3×3＝18，展开图中CB 的长是底面周长的一半，为×18＝9，圆柱的高为12，即AC＝12，在Rt△ABC中，根据勾股定理有：AB2＝AC2＋BC2＝92＋122，所以AB=15厘米．【反思】这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从A点开始并垂直于A 点剪开，这样展开的侧面才是个矩形，得到直角，才能用勾股定理解决问题．本题的设计与应用不止如此，我们在弄清此题的基础上，就可以进一步地引导学生进行变式训练，进一步地演变成如下的问题．演变一：“变圆柱为圆锥”【例5】如图2（1），圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（）．开，在其侧面展开图如图2（2）所示的扇形中求出AB的长即可.由扇形的弧长公式可知：＝2π，∴∠ACB=120°．∴∠ACD=60°．∴在Rt△ACD中，∠CAD＝30°．∴CD ＝AC，根据勾股定理有CD2＋AD2＝AC2，即AC2＋AD2＝AC2，又∵AC=3，∴AD=．∴AB=3．故答案选Ｃ．【反思】本例是旋转体的问题，也是把立体图形转化为平面图形的问题，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题--即“展曲为平”问题，特别要注意圆柱、圆锥的侧面展开问题．第六节、本章训练基础训练题1. 等腰三角形的两边长分别为41cm和18cm，则此三角形的面积是.2. 已知直角三角形两直角边之比为3：4，斜边长为30，则此三角形的面积为.３.已知△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高为AD＝8，则BC的长.４. 如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是（）A. 1：2：4B. 1：3：5C. 3：4：7D. 5：12：13５. 下列命题，正确的是（）Ａ. 直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方B. 如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形C. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a2＋b2＝c2，则∠A＝90°D. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a2＋b2＝c2，则∠Ｂ＝90°提高训练题1. 在△ABC中，AC=6，AB=10，则BC的长为（）.A. 8B. 16C. 4D. 大于4且小于162. 如图所示，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝17，ＡＣ＝10，AD＝8．求△ＡＢＣ的面积.3. 在Ｒt△ABC中，AC=3，AB=5，求BC2的长.4. 已知△ABC的三边长为a、b、c，且满足（a－2）2＋b－2＋c－2＝0，则此三角形一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形5. 若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状.6. 如图在四边形ABCD中，AB＝2，BC ＝，CD＝5，DA＝4，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积.7. 一个三角形三边之比为5:12:13，且周长为60，则它的面积是.8.在Rt △ABC中，斜边AB上的高为CD，若AC＝9，BC＝40，则CD＝.9.在解答“判断由长为的线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的：所以由a、b、c组成的三角形不是直角三角形.你认为小明的解答正确吗？请说明理由.强化训练题1. 如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可能是（）.A. 1∶2∶4B. 1∶3∶5C. 3∶5∶7D. 8∶15∶172. 在Rt△ABC中，斜边BC＝1，则AB2+BC2+AC2的值是（）.A. 2B. 4C. 6D. 83. 已知一个等腰直角三角形的斜边长为8cm，那么这个三角形的面积为多少？4. 甲、乙两人从同一地点出发，已知甲向东行走了8km，乙向北走了6km ，此时甲、乙两人相距多少千米？5.如下图所示，在一单位为1cm的方格纸上，依图所示的规律，设定点A1，A2，A3，A4，…，An，…连结点A1，A2，A3组成三角形，记为，连结点A2，A3，A4组成三角形，记为，…，连结点An，An＋1，An＋2组成三角形，记为（n为正整数）.请你推断，当的面积为100cm2时，n＝.6. 如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，以△ＡＢＣ的三条边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，S 1＝81，S 3=225，求S 2.综合训练题一、选择题（每小题7分，共35分）1．如图1，已知正方形ABCD 的边长为1，如果将对角线BD 绕着B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上点E 处，则AE 的长为（）． A ．B ． 1.5C ．D ． 22．如图2，分别以Ｒt △ABC 的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆，设直线AB 左边阴影部分面积为S 1，右边阴影部分面积为S 2，则（）．A ． S 1＝S 2B ． S 1＜S 2C ． S 1＞S 2D ．无法确定3． △ABC 的三边a 、b 、c 满足关系式｜a －5｜+（4－c ）2+b 2－6b+9=0．那么这个三角形一定是（）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定4．如图3所示，一个圆柱高8cm ，底面半径为2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处，则在表面经过的最短路径（π取3）是（）．A ．20cmB ．14cmC ．10cmD ．无法计算5．如图4所示，在一个正方形网格中，有三个格点A 、B 、C ，顺次连结三点形成一个三角形，则可以判定这个三角形是（）．A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．以上答案都不对二、填空题（每小题7分，共21分）6．如图5是一个人字形屋架，为等腰三角形ABC ，跨度AB=24m ，上弦AC=13m ，则中柱CD= m ．7．图6是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A走到C所走的路程为m．（结果保留根号）.8．如图７，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上．其中，A点坐标为（2，－1），则△ABC的面积为平方单位．三、解答题（共44分）9．（13分）一群探宝队员到某个海岛上去探宝，他们从A地出发，先向东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走6千米，往东一拐，又走1千米到达B地找到宝藏（如图８），则出发点A与宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米？10.（14分）如图９是一个4×4的正方形网格，任意连结其中的两个格点可以得到一些线段，请在图中准确地找出长为的三条线段，并说明你这样找的理由．11.（17分）如图１０所示有两棵树在河的两岸隔河相对，一棵树高30m，另一棵树高20m，两棵树底部相距50m．现在两棵树上各有一只鱼鹰，它们同时看到两棵树之间的河面上浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞行下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．问：鱼距离两棵树的距离各是多少？精品。

勾股定理全章热门考点整合应用

全章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习了勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长的“数”的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之一．本章的主要考点可概括为：一个定理、一个判定、一个概念、四种方法、两个应用、三种思想．一个定理——勾股定理1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．求：(1)AB的长；(2)△ABC的面积；(3)CD的长．(第1题)一个判定——直角三角形的判定2．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 …a 22－1 32－1 42－1 52－1 …b 4 6 8 10 …c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并用含n(n＞1)的式子表示：a＝________，b＝________，c＝________；(2)猜想以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并说明你的理由．3．如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥DC ，△ADC 的面积为30 cm 2，DC ＝12 cm ，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，求△ABC 的面积．(第3题)一个概念——勾股数4．如果x ，y ，z 为正整数，且满足x 2＋y 2＝z 2，那么(x ，y ，z)叫做一组勾股数．如(3，4，5)就是一组勾股数．(1)请你再写出两组勾股数：(________，________，________)，(________，________，________)．(2)在△ABC 中，三条边长分别为a ，b ，c ，其中a ＝n ，b ＝n 24－1，c ＝n 2＋44(n 是大于2的偶数)．试说明：(a ，b ，c)是一组勾股数．四种方法方法1化曲(折)为直法5．如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时其长度的平方是多少？(第5题)6．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400 m，BD ＝200 m，且CD＝800 m，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，在何处饮水所走总路程最短？最短路程是多少？(第6题)方法3旋转法7．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．(第7题)8．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12.求：(1)AC的长度；(2)△ABC的面积．(第8题)两个应用应用1勾股定理的应用9．将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆顶到地面的高度为320 cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①所示．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.(彩旗完全展开时的尺寸是如图②所示的长方形)(第9题)应用2判定直角三角形的应用10．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5 n mile的A，B两个基地前去拦截，6 min后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇的速度为40 n mile/h，乙巡逻艇的速度为30 n mile/h，且乙巡逻艇的航向为北偏西37°，求甲巡逻艇的航向．(第10题)11．育英中学有两个课外小组的同学同时步行到校外去采集植物标本，第一组的步行速度为30 m/min，第二组的步行速度为40 m/min，半时后，两组同学同时停下来，这时两组同学相距1 500 m.(1)试判断这两组同学行走的方向是否成直角；(2)如果接下来这两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？三种思想思想1方程思想12．如图，点N是△ABC的边BC的延长线上一点，∠ACN＝2∠BAC，过点A作AC 的垂线交CN于点P.(1)若∠APC＝30°，试说明：AB＝AP.(2)若AP＝8，BP＝16，求AC的长．(3)若点P在BC的延长线上运动，∠APB的平分线交AB于点M.你认为∠AMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠AMP的大小．(第12题)思想2转化思想13．求下列图形中阴影部分的面积．(1)如图①，AB＝8，AC＝6；(2)如图②，AB＝13，AD＝14，CD＝2.(第13题)思想3分类讨论思想14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝6 cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1 cm/s，设运动时间为t(s)．(1)出发2 s后，求△ABP的面积．(2)当t为几秒时，BP平分∠ABC?(3)当t为几秒时，△BCP为等腰三角形？(第14题)答案1．解：(1)因为在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝15，AC ＝20，所以AB 2＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝625. 所以AB ＝25.(2)S △ABC ＝12AC·BC ＝12×20×15＝150.(3)因为CD 是边AB 上的高，所以12AC·BC ＝12AB·CD.即12×20×15＝12×25·CD ，解得CD ＝12.2．解：(1)n 2－1；2n ；n 2＋1(2)是直角三角形．理由如下：因为a 2＋b 2＝(n 2－1)2＋(2n)2＝n 4＋2n 2＋1，c 2＝(n 2＋1)2＝n 4＋2n 2＋1，所以a 2＋b 2＝c 2.所以以a ，b ，c 为边长的三角形是直角三角形．3．解：在Rt △ACD 中，S △ACD ＝12AC·DC ＝30 cm 2，因为DC ＝12 cm ，所以AC ＝5 cm . 因为AB 2＋BC 2＝32＋42＝25， AC 2＝52＝25，所以AB 2＋BC 2＝AC 2.所以△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90°.所以S △ABC ＝12AB·BC ＝12×3×4＝6(cm 2)．4．解：(1)6；8；10；9；12；15(答案不唯一) (2)由题意知边长c 最大，因为a 2＋b 2＝n 2＋⎝⎛⎭⎫n 24－12＝n 2＋n 416－n 22＋1＝n 416＋n 22＋1，c 2＝⎝⎛⎭⎫n 2＋442＝⎝⎛⎭⎫n 24＋12＝n 416＋n 22＋1，所以a 2＋b 2＝c 2，又易知a ，b ，c 为正整数，所以(a ，b ，c)是一组勾股数．5．解：将长方体的侧面展开，如图所示．因为AA′＝1＋3＋1＋3＝8(cm )，A′B′＝6 cm ，所以AB′2＝AA′2＋A′B′2＝82＋62＝102.所以用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达B ，所用细线最短需要10 cm .如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短时，其长度的平方为(64n 2＋36)cm 2.(第5题)6．解：如图，作点A 关于直线CD 的对称点A′，连接A′B 交CD 于点M ，连接AM ，则在点M 处饮水所走的总路程最短，最短路程为A′B 的长．过点A′作A′H ⊥BD 交BD 的延长线于点H ，在Rt △A′HB 中，A′H ＝CD ＝800 m ，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋A′C ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600(m )，由勾股定理得A′B 2＝A′H 2＋BH 2＝8002＋6002＝1 000 000，故A′B ＝1 000 m ，所以最短路程为1 000 m .(第6题)7．解：如图，连接EE′. 由题意可知△ABE ≌△CBE′，所以CE′＝AE ＝1，BE′＝BE ＝2， ∠ABE ＝∠CBE′.又因为∠ABE ＋∠EBC ＝90°，所以∠CBE′＋∠EBC ＝90°. 即∠EBE ′＝90°，则由勾股定理，得EE′2＝8.在△EE′C 中， CE′2＋EE′2＝1＋8＝9＝CE 2.由勾股定理的逆定理可知∠EE′C ＝90°. 又因为BE ＝BE′，所以∠BE′E ＝180°－90°2＝45°.所以∠BE′C ＝∠BE′E ＋∠EE′C ＝45°＋90°＝135°.(第7题)8．解：(1)因为AD 是BC 边上的中线，BC ＝10，所以BD ＝CD ＝5. 因为52＋122＝132，所以BD 2＋AD 2＝AB 2.所以∠ADB ＝90°.所以∠ADC ＝90°.所以AC 2＝AD 2＋CD 2＝169.所以AC ＝13.(2)S △ABC ＝12·BC·AD ＝12×10×12＝60. 9．解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h 也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，因为1202＋902＝22 500，所以彩旗的对角线长为150 cm .所以h ＝320－150＝170(cm )．即彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h 为170 cm .10．解：由题意得AC ＝40×0.1＝4(n mile )，BC ＝30×0.1＝3(n mile )．因为AB ＝5 n mile ，所以AB 2＝BC 2＋AC 2.所以∠ACB ＝90°.因为∠CBA ＝90°－37°＝53°，所以∠CAB ＝37°.所以甲巡逻艇的航向为北偏东53°.11．解：(1)因为半时后，第一组行走的路程为30×30＝900(m )，第二组行走的路程为40×30＝1 200(m )，9002＋1 2002＝1 5002，而此时两组同学相距1 500 m ，所以两组同学行走的方向成直角．(2)设x min 后两组同学相遇．根据题意，得30x ＋40x ＝1 500.解这个方程，得x ＝1507. 即这两组同学若以原来的速度相向而行，1507min 后能相遇． 12．解：(1)因为AC ⊥AP ，所以∠CAP ＝90°.因为∠APC ＝30°，所以∠ACP ＝60°.所以∠BAC ＝30°.所以∠ABP ＝30°.所以∠ABP ＝∠APC.所以AB ＝AP.(2)因为∠ACP ＝180°－∠ACB ，∠BAC ＋∠B ＝180°－∠ACB ，所以∠ACP ＝∠BAC ＋∠B.又因为∠ACN ＝2∠BAC ，所以∠BAC ＝∠B ，所以AC ＝BC.设AC ＝x ，则BC ＝x.在Rt △ACP 中，由勾股定理建立方程得x 2＋82＝(16－x)2，解得x ＝6.所以AC ＝6.(3)∠AMP 的大小不发生变化．理由如下：由题易知∠B ＝12∠ACP. 因为∠AMP ＝180°－∠BMP ＝∠B ＋∠BPM＝12∠ACP ＋12∠APC ，＝12(∠ACP ＋∠APC) ＝12×90°＝45°，所以∠AMP 的大小不发生变化．13．解：(1)因为AB ＝8，AC ＝6，所以BC 2＝AB 2＋AC 2＝100.所以BC ＝10.所以BO ＝5.因为S △ABC ＝12AB ×AC ＝12×8×6＝24， S 半圆＝12π×52＝25π2，所以S 阴影＝25π2－24. (2)因为AD ＝14，CD ＝2，所以AC ＝12.因为AB ＝13，所以CB 2＝AB 2－AC 2＝25.所以CB ＝5.所以S 阴影＝2×5＝10.14．解：(1)如图①，因为∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝6 cm ，所以AC ＝8 cm .根据题意可得PC ＝2 cm ，则AP ＝6 cm .故△ABP 的面积为12×AP ×BC ＝12×6×6＝18(cm 2)． (第14题)(2)如图②，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，当BP 平分∠ABC 时，有PD ＝PC ，易证Rt △BPD ≌Rt △BPC(HL )，所以BD ＝BC ＝6 cm .所以AD ＝10－6＝4(cm )．设PC ＝x cm ，则PA ＝(8－x) cm .所以x 2＋42＝(8－x)2，解得x ＝3.即PC ＝3 cm .所以t ＝31＝3(s )．即当t ＝3 s 时，BP 平分∠ABC.(3)(第14题)如图Ⅰ，若点P 在边AC 上时，BC ＝CP ＝6 cm ，此时用的时间为6 s ，△BCP 为等腰三角形．若点P 在AB 边上时，有三种情况：如图Ⅱ，若BP ＝CB ＝6 cm ，此时AP ＝4 cm ，点P 运动的路程为12 cm ，故t ＝12 s 时，△BCP 为等腰三角形；②如图Ⅲ，若CP ＝BC ＝6 cm ，过C 作CE ⊥AB 于E ，根据面积法求得CE ＝4.8 cm ，根据勾股定理得PE ＝BE ＝3.6 cm .所以BP ＝7.2 cm ，所以P 运动的路程为18－7.2＝10.8(cm )．所以当t ＝10.8 s 时，△BCP 为等腰三角形．如图Ⅳ，若BP ＝CP ，则∠PCB ＝∠PBC ，因为∠ACP ＋∠BCP ＝90°，∠PBC ＋∠CAP ＝90°，所以∠ACP ＝∠CAP.所以PA ＝PC. 所以PA ＝PB ＝5 cm .所以点P 运动的路程为13 cm .所以当t＝13 s时，△BCP为等腰三角形．所以当t＝6 s或10.8 s或12 s或13 s时，△BCP为等腰三角形．。

北师大八年级数学上册总复习(知识点+例题)

北师大版八年级数学上册知识点及典型习题讲解目录《勾股定理》全章复习与巩固 (2)《实数和二次根式》全章复习与巩固 (8)《平面直角坐标系》全章复习与巩固 (16)《平面直角坐标系》全章复习与巩固 (24)《二元一次方程组》 (32)《平行线的证明》全章复习与巩固 (41)《勾股定理》全章复习与巩固要点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若时，△ABC 是锐角三角形；若时，△ABC 是钝角三角形． 2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点诠释：a b 、c 222a b c +=a b c 、、222a b c +=c 22a b +2c 222a b c +=222a b c +＞222a b c +＜222x y z +=x y z 、、知识点常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.类型一、勾股定理及逆定理的应用例1、如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点(E左F右)，且∠ECF＝45°，求证：.举一反三：a b c、、at bt ct、、a b c、、a b c<<2a b c=+27 29222AE BF EF+=典型例题【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：.例2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．类型二、勾股定理及逆定理的综合应用222BD AB BC =+例3、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．例4、如图：正方形ABCD中，E是DC中点，F是EC中点.求证：∠BAF=2∠EAD.举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ 的面积为多少？类型三、勾股定理的实际应用例5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD ＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．例6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？《实数和二次根式》全章复习与巩固要点一、平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论要点二、无理数与实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类实数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.a ±3a ⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a 333333)(aa a a aa -=-==⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数532知识点2.实数与数轴上的点一一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为非负数。

2022年八年级上数学：勾股定理全章复习与测试

勾股定理全章复习与测试【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．4. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．5. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.6. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.7.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间最短距离。

8.能够运用勾股定理解决生活中实际问题。

9.能利用轴对称解决简单的最短路径问题．10.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．重点：学会运用勾股定理求立体图形中两点之间最短距离；体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．难点：能够运用勾股定理解决生活中实际问题；利用轴对称解决简单的最短路径问题．【基础知识】一．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．二．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．三．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．四．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…五．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．六．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．【考点剖析】一．勾股定理（共5小题）1．（2022春•江源区期中）等腰三角形的腰长为25，底边长为14，则它底边上的高为（）A．24B．7C．6D．52．（2022•和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（）A．5B．4C．3D．23．（2022春•玉山县期中）在Rt△ABC中，两条直角边AB，BC的长c，a满足|4﹣c|+a2﹣10a+25＝0．（1）求AC的长．（2）求Rt△ABC的面积．4．（2022春•蜀山区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．5．（2022春•景县期中）如图，已知AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，CE＝1，DE＝2，AE＝4．（1）求AD的长；（2）求证：AD垂直平分线段BC．二．勾股定理的证明（共3小题）6．（2021秋•方城县期末）如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比的值是（）A．B．C．D．7．（2021秋•蓬江区月考）请用两种方法证明：△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2＝c28．（2022春•庐江县期中）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．三．勾股定理的逆定理（共3小题）9．（2022春•龙岩期中）在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a＝6，b＝8，c＝10B．a＝5，b＝5，c＝5C．a：b：c＝3：4：5D．a＝4，b＝5，c＝610．（2022春•武昌区期中）如图，四边形ABCD中，若∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由；（2）求∠A+∠C的度数．11．（2022春•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝4，CD＝2，求∠BAD的度数．四．勾股数（共2小题）12．（2022春•阳谷县期中）在下列各数中，不是勾股数的是（）A．5，12，13B．9，40，41C．8，15，17D．8.12.1513．（2020•鼓楼区一模）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；直角三角形三边n2﹣12n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ35五．勾股定理的应用（共2小题）14．（2022春•江城区期中）湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝40米．求：（1）两棵景观树之间的距离；（2）点B到直线AC的距离．15．（2022春•彭州市校级期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？六．平面展开-最短路径问题（共2小题）16．（2022春•连城县期中）如图，矩形ABCD为圆柱体的横截面，BC是上底的直径，其中AB为4cm，底面圆周长为16cm，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（）A．4B．4C．4D．17．（2021秋•峡江县期末）如图，圆柱形容器的高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离．【过关检测】一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2021春•饶平县校级期末）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．2．（3分）（2020春•南岗区校级期中）一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m，他在水中实际游了520m，那么该河的宽度为（）A．440m B．460m C．480m D．500m3．（3分）一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分，又沿南北马路向南走了19.2分到家，则他的家离公司距离为（）米．A．100B．500C．1240D．10004．（3分）（2019秋•招远市期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1B．2021C．2020D．20195．（3分）（2019秋•沙河市期末）历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CEB＝S△CDEC．S四边形CDAE＝S四边形CDEBD．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD6．（3分）（2014春•株洲期中）在△ABC中，AB＝12cm，AC＝9cm，BC＝15cm，则S△ABC等于（）A．108cm2B．54cm2C．180cm2D．90cm27．（3分）已知a，b，c分别为△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5C．∠A：∠B：∠C＝9：12：15D．∠C＝∠A+∠B8．（3分）（2019秋•淅川县期末）如图△ABD中，∠D＝90°，C是BD上一点，已知CB＝9，AB＝17，AD＝8，则DC的长是（）A．8B．9C．6D．159．（3分）（2020秋•杏花岭区校级月考）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸10．（3分）如图所示，有一块长方形场地ABCD，长AB＝20m、宽AD＝10m，中间有一堵墙，高MN＝2m，一只蚂蚁要从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（）A．20m B．24m C．25m D．26m二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）如图是一块长、宽、高分别为4cm、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体木块的表面爬到长方体木块上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是．12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝15cm，则a＝cm．13．（3分）如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1，3，则正方形ABCD 的面积是．14．（3分）（2007春•射洪县校级期末）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是．15．（3分）（2021秋•凤翔县期中）一个无盖的圆柱形杯子的展开图如图所示，现将一根长18cm的吸管放在杯子中，则吸管露在杯子外面的部分至少有cm．16．（3分）（2015•江西校级模拟）小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是m．17．（3分）（2013•睢宁县校级模拟）如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE 折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长．18．（3分）（2017•长春）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为．三．解答题（共7小题，满分46分）19．（6分）如图所示，一架云梯长25m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m，这个梯子的顶端距地面有多高？如果梯子顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了4m吗？20．（6分）如图，已知BE⊥AE，∠A＝∠EBC＝60°，AB＝4，BC2＝12，CD2＝3，DE＝3．求证：（1）△BEC为等边三角形；（2）ED⊥CD．21．（6分）阅读理解：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如5，12，13；9，40，41；…但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3，4，5是三个连续正整数组成的勾股数．解决问题：（1）在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？若存在，试写出一组勾股数；（2）在无数组勾股数中，是否还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数；若不存在，说明理由．22．（6分）（2017春•岱岳区期中）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝12，CD＝9，AB＝25，BC＝20，求四边形ABCD的面积．23．（6分）（2014春•霸州市期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．24．（6分）（2021春•庄浪县期末）如图是一块地，已知AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，且CD ⊥AD，求这块地的面积．25．（10分）（2017秋•盱眙县期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，（1）求AB的长；（2）求CD的长．。

第十八章勾股定理总复习

第十八章勾股定理总复习：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．8.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DACA B D人教版八年级下册勾股定理全章类题总结类型一：等面积法求高【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，C D ⊥AB 于D 。

勾股定理-全章

第一章勾股定理勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

说明：若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

说明：根据勾股定理的逆定理，可以判定一个三角形是否是直角三角形：若已知三角形的三条边，只需验证最大边的平方是否等于另两边的平方和，若相等，则是直角三角形；若不等，则不是。

勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。

若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数），也必然是一组勾股数。

常用的几组勾股数有3,4,5；6,8,10；5,12,13；8,15,17等勾股定理的应用求两点之间的距离和线段的长度常构造直角三角形，利用勾股定理求解，求立体图形上两点之间的最短距离大致可分为：(1)圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；(2)长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题，直角三角形三边之间的关系不等量关系是：斜边的长大于每条直角边的长，其依据是“垂线段最短”；等量关系是：勾股定理，勾股定理是我们求直角三角形边长的依据，在直角三角形中，已知任意两边的长，可求第三边的长．直角三角形的判别直角三角形的判别有两种方法：(1)利用定义，判断一个三角形中有一个角是直角；(2)根据三角形一边的平方等于另外两边的平方和，来判定该三角形是直角三角形，勾股定理中的方程思想勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项．勾股定理中的转化思想在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解，【例题1-勾股定理及其逆定理的基本用法】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

勾股定理及其逆定理全章的复习

勾股定理及其逆定理全章的复习一、复习的内容：勾股定理及其逆定理的应用1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

即：a 2+b 2=c 2；勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

2、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形：（1）首先确定最大边（如：C ，但不要认为最大边一定是C ）（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为锐角三角形。

二、例题分析例1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

解点评：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。

例2、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积。

点评：运用整体的数学思想方法求解比较快速、简捷、省时。

例3题目(2008年福建省莆田市中考题)已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置（如图①所示）时，易证得结论：2222PA PC PB PD +=+，请你探究：当点P 分别在图②、图③中的位置时，2222PA PB PC PD 、、和又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．答：对图②的探究结论为____________________________________．对图③的探究结论为_____________________________________．证明：如图②分析：这是一道信息给予题，引导学生创造性地利用所给信息，通过解题方法的迁移，探索2222PA PB PC PD 、、和在新的条件下又有怎样的数量关系？由于已给信息的解题方法很多，而每种方法迁移后又可解决新的问题，因此本题为学生创造了更为广阔的思维空间和探索空间；当点P 在矩形ABCD 的边BC 上任一位置,如图①所示时，运用勾股定理易得: 222PB AB PA +=,222CD PD PC -=,因为四边形ABCD 为矩形,所以AB=CD .从而得到结论：2222PA PC PB PD +=+，通过解题方法的迁移，根据点和图形之间的位置关系，可以得出当点P 分别在图2、图3中的位置时,2222PA PB PC PD 、、和之间的数量关系,并能给予证明.评注：本题既考查了学生的理解创新能力,又考查了学生探究学习的过程，充分渗透了化归思想、变式思想和运动变化的观点.如图，盒内长，宽，高分别是30米，24米和18米，盒内可放的棍子最长是多少米？直角三角形是一种特殊的三角形，它具有许多重要的性质，特别是勾股定理在数学中有着极其广泛的应用。

八年级数学勾股定理知识点

第18章勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法[用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b…四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围\勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边~①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；"2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． ;常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=,解：⑴10AB⑵8BC ==题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解}解：⑴4AC ， 2.4AC BCCD AB ⋅==DB AC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S = ⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来？解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒、222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m)AB CD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD ==答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形—例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=。

43.勾股定理全章复习与巩固(提高)知识讲解

勾股定理全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂勾股定理全章复习知识要点】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段. 要点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系，若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝35，AB ＝105，BC 85=，E 是AB 上一点，且AE ＝45，求点E 到CD 的距离EF ．【思路点拨】连接DE 、CE 将EF 转化为△DCE 一边CD 上的高，根据题目所给的条件，容易求出△CDE 的面积，所以利用面积法只需求出CD 的长度，即可求出EF 的长度，过点D 作DH ⊥BC 于H ，在Rt △DCH 中利用勾股定理即可求出DC ．【答案与解析】解：过点D 作DH ⊥BC 于H ，连接DE 、CE ，则AD ＝BH ，AB ＝DH ，∴ CH ＝BC －BH ＝853555-= DH ＝AB ＝105，在Rt △CDH 中，22222(105)(55)625CD DH CH =+=+=，∴ CD ＝25，∵ CDE ADE BCE ABCD S S S S =--△△△梯形111()222AD BC AB AD AE BC BE =+--g g g 111(3585)10535458565125222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=又∵ 12CDE S DC EF =g △， ∴ 1251252EF ⨯=g ，∴ EF ＝10．【总结升华】（1）多边形的面积可通过辅助线转化为多个三角形的面积，利用面积法求三角形一边上的高是一种常用的简易方法．（2）利用勾股定理求边长、面积时要注意边长、面积之间的转换．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC 的长．【答案】解：在△ABD 中，由22212513+=可知： 222AD BD AB +=，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°．在Rt △ADC 中，222215129DC AC AD =-=-=．类型二、勾股定理与其他知识结合应用2、如图所示，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC ＝400米，BD ＝200米，CD ＝800米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB ，交CD 于点E ，利用“两点之间线段最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决．【答案与解析】解：作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB 交CD 于点E ，由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE ．∵ 点G 、A 关于直线CD 对称，∴ AI ＝GI ，AE ＝GE ．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI ＋BI ＞GB ＝AE ＋BE ，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=．∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ，即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+= ． ∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．3、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：222AE BF EF +=.【思路点拨】：由于∠ACB ＝90°，∠ECF ＝45°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．【答案与解析】解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF ′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，即△ACF ′≌△BCF ，∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴ ∠CAF ′＝∠B ＝45°，∴ ∠EAF ′＝90°．∵ ∠ECF ＝45°，∴ ∠ACE ＋∠BCF ＝45°．∵ ∠ACF ′＝∠BCF ，∴ ∠ECF ′＝45°．在△ECF 和△ECF ′中：45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴ △ECF ≌△ECF ′(SAS)，∴ EF ＝EF ′．在Rt △AEF ′中，222AE F A F E ''+=，∴ 222AE BF EF +=．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．【高清课堂勾股定理全章复习例9】4、已知：如图，△ABC 中，∠CAB ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，AD ⊥BC ，D 是垂足，求AD的长．【答案与解析】解：作CE ⊥AB 于E ，则∠CAE＝180°－120°＝60°，在Rt△ACE 中，∠CEA＝90°，∵AC ＝2，∠ACE ＝30°∴由勾股定理可得1,3AE CE ==∴BE ＝AB ＋AE ＝4＋1＝5在Rt△BCE 中，BC ＝()225327+= 由三角形面积公式：1122AB CE BC AD ⨯⨯=⨯⨯ ∴43221727AB CE AD BC ⨯⨯===. 【总结升华】勾股定理要在直角三角形中才能应用，没有直角三角形要构造直角三角形. 类型三、本章中的数学思想方法1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．5、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE ＝12，CF ＝5．求线段EF 的长.【答案与解析】解：连接AD ．因为∠BAC ＝90°，AB ＝AC ．又因为 AD 为△ABC 的中线，所以 AD ＝DC ＝DB ．AD ⊥BC ．且∠BAD ＝∠C ＝45°．因为∠EDA ＋∠ADF ＝90°．又因为∠CDF ＋∠ADF ＝90°．所以∠EDA ＝∠CDF ．所以△AED ≌△CFD （ASA ）．所以 AE ＝FC ＝5．同理：AF ＝BE ＝12．在Rt △AEF 中，由勾股定理得：，所以EF ＝13.【总结升华】此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题，我们可以知道：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求证：【答案】解：将△ABD绕点D顺时针旋转60°．由于DC＝AD，故点A转至点C．点B转至点E，连结BE．∵ BD＝DE，∠BDE＝60°∴△BDE为等边三角形，BE＝BD易证△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB∵四边形ADCB中∠ADC＝60°，∠ABC＝30°∴∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°∴∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴∴2.方程的思想方法6、如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，，求、、的值.【答案与解析】解：在Rt△ABC中，∠A＝60°，∠B＝90°－∠A＝30°，则，由勾股定理，得.因为，所以，，，.【总结升华】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.举一反三：【变式】直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积.【答案】解：设此直角三角形两直角边长分别是x y ，，根据题意得：由（1）得：7x y +=，∴()249x y +=，即22249x xy y ++= (3) (3)－(2)，得：12xy =∴直角三角形的面积是12xy ＝12×12＝6（2cm ）。

八年级上册第一章《勾股定理》复习要点

八年级上册第一章《勾股定理》复习要点知识点一：勾股定理要点：⑴.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么，a 2 +b 2 =c 2 ，⑵.历史文化：勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。

⑶格式： a=8 b=15 解：由勾股定理得 c 2 =a 2 +b 2 =82 +152 =64+225=289 ∵C ＞0 ∴C=17【典例精析】1．一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（）．(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m2．如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．3．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 c2＝＋．化简后即为 c 2＝．知识点二：直角三角形的判别要点; *如果三角形三边长为a 、b 、c ，c 为最长边，只要符合a 2 +b 2 =c 2 ，这个三角形是直角三角形。

（勾股定理逆定理，是直角三角形的判别条件）【典例精析】1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（） A.5、6、7 B.1、4、9 C.5、12、13D.5、11、12A C 160bc图1－1 2、满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（）A.b 2=c 2－a 2B.a ∶b ∶c=3∶4∶5C.∠C=∠A －∠BD.∠A ∶∠B ∶∠C=12∶13∶1553、三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是三角形。

4、将直角三角形的三条边同时扩大4倍后，得到的三角形为（） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定5．有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？知识点三：勾股定理的综合应用【典例精析】1、如图1－1，在钝角ABC 中，CB ＝9，AB ＝17，AC ＝10，AD BC ⊥于D ，求AD 的长。

七年级数学勾股定理全章复习

勾股定理全章复习、复习要求：1 •体验勾股定理的探索过程；已知直角三角形的两边长，会求第三边长。

2•会用勾股定理知识解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定直角三角形。

3•会用勾股定理解决有关的实际问题。

、知识网络:fl三三、知识梳理：1、勾股定理(1) 重视勾股定理的三种叙述形式：①在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形(《几何原本》)•②直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.③直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.从这三种提法的意义来看，勾股定理有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。

(2) 定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。

②证明三角形中的某些线段的平方关系。

③作长为^的线段。

勾股定理揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。

利用勾股定理探究长度为的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示、相互交融，加深对无理数概念的直观认识。

(3) 勾股定理的证明：经典证法有：①欧几里得证法②赵爽《勾股圆方图注》证法③刘徽《青朱出入图》证法④美国总统加菲的证明⑤印度婆什迦罗的证明⑥面积法证明；除此之外，还有文字证明、拼图证明和动态证明。

(4) 勾股定理的应用：勾股定理只适用于直角三角形，首先分清直角及其所对的斜边。

当已知中没有直角时，可作辅助线，构造直角三角形后，再运用勾股定理解决问题。

求线段的长度，常常综合运用勾股定理和直角三角形的其它性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质来解决。

2、勾股定理的逆定理(1) 勾股定理的逆定理的证明方法，也是学生不熟悉的，引导学生用所学过的全等三角形的知识，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明的目的。

(2) 逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

(3) 勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。

要注意叙述及书写格式。

运用勾股定理的逆定理的步骤：①首先确定最大的边(如c)②验证：〕+1与［「是否具有相等关系：若「」/ ，则△ ABC是以/ C为90°的直角三角形。

北京四中七年级上册数学勾股定理全章复习与巩固(提高)知识讲解

《勾股定理》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：222AE BF EF +=.【思路点拨】由于∠ACB ＝90°，∠ECF ＝45°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．【答案与解析】解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF ′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，即△ACF ′≌△BCF ，∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴ ∠CAF ′＝∠B ＝45°，∴ ∠EAF ′＝90°．∵ ∠ECF ＝45°，∴ ∠ACE ＋∠BCF ＝45°．∵ ∠ACF ′＝∠BCF ，∴ ∠ECF ′＝45°．在△ECF 和△ECF ′中45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴ △ECF ≌△ECF ′(SAS)，∴ EF ＝EF ′．在Rt △AEF ′中，222AE F A F E ''+=，∴ 222AE BF EF +=．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：222BD AB BC =+.【答案】解：将△ABD 绕点D 顺时针旋转60°．由于DC ＝AD ，故点A 转至点C ．点B 转至点E ，连结BE ．∵ BD ＝DE ，∠BDE ＝60°∴ △BDE 为等边三角形，BE ＝BD易证△DAB ≌△DCE ，∠A ＝∠2，CE ＝AB∵ 四边形ADCB 中∠ADC ＝60°，∠ABC ＝30°∴ ∠A ＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A ＝270°∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴222BC CE BE +=∴ 222BC AB BD += 2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．【答案与解析】解：如图，做∠ECB=∠PCA，且使CE=CP，连结EP，EB在△APC和△BEC中PCA ECBAC BCPC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APC≌△BEC∴△PCE为等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8又∵PB2=1，BE2=9∴PE2+ PB2= BE2则∠BPE=90°∴∠BPC=135°【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA、PB、PC的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合即△APC≌△BEC. 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、(1)已知：如图1，，，求证：①(2)运用(1)的结论可以证明下列命题：已知：如图2，设M是△ABC内部任意一点，于G，于K，于，BD=BE，CE=CF，求证：AD=AF．图１图２【答案与解析】(1)证明：∵CD⊥AB，∴∠AOC=∠BOD=90°∴(2)证明：连结AM ，BM ，CM ∵ AB ⊥DM ∴○1 ∵∴○2 ∵∴○3 把○1○2○3三式相加，得 222222DB AM CE BM AF CM +++++222222AD BM BE CM CF AM =+++++又∵，，∴ 【总结升华】此题（1）考察的是勾股定理（2）的关键是能够构造出四边形利用（1）的结论，从而证得线段相等.4、如图：正方形ABCD 中，E 是DC 中点，F 是EC 中点.求证：∠BAF=2∠EAD.【答案与解析】证明：取BC 中点G ，连结AG 并延长交DC 延长线于H∵ ∠ABG=∠HCG ，BG=CG ，∠AGB=∠HGC∴ △GAB ≌△HCG∴ ∠GAB=∠H ，AB=CH又∵ AB=AD ，∠B=∠D ，BG=DE∴ △ABG ≌△ADE∴ ∠GAB=∠DAE在Rt ADF △中，设AD a =，由勾股定理得：222222325()41654AF AD DF a a aAF a=+=+==∴又544aHF CH CF a a=+=+=∴AF=HF∴∠FAH=∠H∴∠FAH=∠DAE∴∠BAF=2∠DAE【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD，一般方法是在∠BAF中取一个角使之等于∠EAD，再证明另一个角也等于∠EAD，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角.举一反三：【变式】如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.【答案】解：∵BC=20cm，CD=16cm，BD=12cm，∴BD2+DC2=122+162=202=BC2，∴∠BDC=90°，又∵AC=AB=BD+AD=12+AD，在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，即(12+AD)2=AD2+162，解得AD=143，故△ABC的周长为：2AB+BC=1533cm类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB ，交CD 于点E ，利用“两点之间线段最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决．【答案与解析】解：作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB 交CD 于点E ，由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE ．∵ 点G 、A 关于直线CD 对称，∴ AI ＝GI ，AE ＝GE ．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI ＋BI ＞GB ＝AE ＋BE ，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=．∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ，即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+= ． ∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案与解析】解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图，过点A 作AD ⊥BC 于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt △ABD 中，因为∠B=30°，AB=240．∴AD ＝12AB =12×240＝120（千米）．由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响．因为120＜200，因此该城市将会受到影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图）由勾股定理得，2222220012025600DE AE AD =-=-=DE ＝160（千米）．所以EF=2×160=320（千米）．又知台风中心以20千米/时的速度移动．所以台风影响该城市320÷20=16（小时）．（3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．答：该城市受台风影响最大风力7.2级．【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决．。