第一章静电场第8讲习题课：电场能的性质学案

习题课：电场能的性质[目标定位] 1.会分析带电粒子在电场中的运动特点.2.能求解电场力做的功和电场中的电势．一、电场线、等势线和运动轨迹例1 如图1所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，由此可知( )图1A．带电粒子在R点时的速度大小大于在Q点时的速度大小B．带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大C．带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小，比在P点时的大D．带电粒子在R点时的加速度大小小于在Q点时的加速度大小解析根据牛顿第二定律可得qE＝ma，又根据电场线的疏密程度可以得出Q、R两点处的电场强度的大小关系为E R>E Q，则带电粒子在R、Q两点处的加速度的大小关系为a R>a Q，故D 项错误；由于带电粒子在运动过程中只受电场力作用，只有动能与电势能之间的相互转化，则带电粒子的动能与电势能之和不变，故C项错误；根据物体做曲线运动的轨迹与速度、合外力的关系可知，带电粒子在R处所受电场力的方向为沿电场线向右．假设粒子从Q向P 运动，则电场力做正功，所以电势能减小，动能增大，速度增大，假设粒子从P向Q运动，则电场力做负功，所以电势能增大，动能减小，速度减小，所以A项正确，B项错误．答案 A(1)速度方向沿运动轨迹的切线方向，所受电场力的方向沿电场线的切线方向或反方向，所受合外力的方向指向曲线凹侧．(2)电势能大小的判断方法①电场力做功：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加．②利用公式法：由E p＝qφ知正电荷在电势高处电势能大，负电荷在电势低处电势能大．例2 如图2，P是固定的点电荷，虚线是以P为圆心的两个圆．带电粒子Q在P的电场中运动，运动轨迹与两圆在同一平面内，a、b、c为轨迹上的三个点．若Q仅受P的电场力作用，其在a、b、c点的加速度大小分别为a a、a b、a c，速度大小分别为v a、v b、v c，则( )图2A ．a a >a b >a c ，v a >v c >v bB ．a a >a b >a c ，v b >v c >v aC ．a b >a c >a a ，v b >v c >v aD ．a b >a c >a a ，v a >v c >v b解析 由库仑定律F ＝kq 1q 2r 2可知，粒子在a 、b 、c 三点受到的电场力的大小关系为F b >F c >F a ，由a ＝F m，可知a b >a c >a a .根据粒子的轨迹可知，粒子Q 与场源电荷P 的电性相同，二者之间存在斥力，由c →b →a 整个过程中，电场力先做负功再做正功，且W ba >|W cb |，结合动能定理可知，v a >v c >v b ，故选项D 正确．答案 D已知等电势面的形状分布，根据电场线和等势面相互垂直绘制电场线，再根据轨迹弯曲方向找电荷的受力方向，结合运动轨迹或路径，判断功的正负；由电场力做功正负确定动能及电势能的变化．二、电场强度和电势的理解例3 如图3所示，在等量异种点电荷形成的电场中有A 、B 、C 三点，A 点为两点电荷连线的中点，B 点为连线上距A 点距离为d 的一点，C 点为连线中垂线上距A 点距离也为d 的一点，则下面关于三点电场强度E 的大小、电势φ高低的比较，正确的是( )图3A ．E A ＝E C ＞EB ，φA ＝φC ＞φBB ．E B ＞E A ＞EC ，φA ＝φC ＞φBC ．E A ＜E B ，E A ＜E C ，φA ＞φB ，φA ＞φCD ．E A ＞E B ，E A ＞E C ，φA ＞φB ，φA ＞φC解析 等量异种点电荷周围的电场线如图所示，根据电场线的疏密分布知，A 点的电场线比C 点密，B 点的电场线比A 点密，则E B ＞E A ＞E C ；等量异种点电荷的中垂线为等势线，则A点的电势与C 点的电势相等，沿着电场线方向电势逐渐降低，则A 点的电势大于B 点电势．所以φA ＝φC ＞φB ，故B 正确，A 、C 、D 错误．答案 B1 电场强度与电势没有直接关系.电场强度为零，电势不一定为零.电势为零，电场强度也不一定为零.电场强度大的地方，电势不一定高.2 比较电势的高低，应主要把握沿电场线方向电势降低，若两点不在同一电场线上，应通过等势面，转化为同一电场线上的两点电势的比较.三、电场力做功与电势差、电势能的综合例4 如图4所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC 与半径为R 的圆周交于B 、C 两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B 点为AC 的中点，C 点位于圆周的最低点．现有一质量为m 、电荷量为－q 、套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A 点由静止开始沿杆下滑．已知重力加速度为g ，A 点距过C 点的水平面的竖直高度为3R ，小球滑到B 点时的速度大小为2gR .求：图4(1)小球滑到C 点时的速度大小；(2)若以C 点作为参考点(零电势点)，试确定A 点的电势．解析 (1)因为B 、C 两点电势相等，故小球从B 到C 运动的过程中电场力做的总功为零．由几何关系可得BC 的竖直高度h BC ＝3R 2根据动能定理有mg ·3R 2＝mv 2C 2－mv 2B 2解得v C ＝7gR .(2)小球从A 到C ，重力和电场力均做正功，所以由动能定理有mg ·3R ＋W 电＝mv 2C 2，又根据电场力做功与电势能的关系：W 电＝E p A －E p C ＝－q φA －(－q φC )．又因为φC ＝0，可得φA ＝－mgR 2q. 答案 (1)7gR (2)－mgR 2q计算电场力做功的方法，常见的有以下几种：(1)利用电场力做功与电势能的关系求解：W AB ＝E p A －E p B .(2)利用W ＝Fd 求解，此公式只适用于匀强电场．(3)利用公式W AB ＝qU AB 求解．(4)利用动能定理求解.1．(电场线、等势线和运动轨迹)(多选)如图5所示，图中的实线表示电场线，虚线表示只受电场力作用的带正电粒子的运动轨迹，粒子先经过M 点，再经过N 点，可以判定( )图5A ．M 点的电势高于N 点的电势B ．M 点的电势低于N 点的电势C ．粒子在M 点受到的电场力大于在N 点受到的电场力D ．粒子在M 点的电势能大于在N 点的电势能答案 AD解析 沿着电场线的方向电势降低，故选项A 正确，B 错误；电场线越密，场强越大，同一粒子受到的电场力越大，故选项C 错误；粒子从M 点到N 点电场力做正功，所以电势能减小，选项D 正确．2．(电场线、等势线和运动轨迹)一个电子只在电场力作用下从a 点运动到b 点的轨迹如图6中虚线所示，图中一组平行实线可能是电场线也可能是等势面，下列说法中正确的是( )图6A ．如果实线是电场线，则电子在a 点的电势能比在b 点的电势能大B ．如果实线是等势面，则a 点的电势比b 点的电势低C ．如果实线是电场线，则a 点的电势比b 点的电势高D ．如果实线是等势面，则电子在a 点的电势能比在b 点的电势能大答案 A解析 若题图中实线是电场线，电子所受的电场力水平向右，电场线方向水平向左，则a 点的电势比b 点低，C 错误；由于从a 点运动到b 点电场力做正功，所以电子的电势能减小，所以电子在a 点的电势能比在b 点的电势能大，所以A 正确；若实线是等势面，由于电场线与等势面垂直，电子所受电场力方向向下，则电场线方向向上，则a 点的电势比b 点高，从a 到b 电子做负功，所以电势能增加，则电子在a 点的电势能比在b 点的电势能小，故B 、D 错误．3．(对电场强度和电势的理解)下列四个图中，a 、b 两点电势相等、电场强度也相等的是( )答案 D解析 匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇等间距的平行平面，A 中a 、b 两点不在同一等势面上，所以，这两点的电势是不相等的，但这两点的场强相等；B 中a 、b 两点在同一个等势面上，电势相等，但这两点的场强大小相等、方向不同；C 中a 、b 两点对称于两电荷的连线，所以电势相等，但在中垂线上场强的方向是平行于中垂线的，而且都指向外侧，故两点的场强的方向不同；在D 中，a 、b 两点的电势相等，场强的方向是沿连线的，而且方向相同，故本题选D.4．(电场力做功、电势差等的综合应用)如图7所示．Q 为固定的正点电荷，A 、B 两点在Q 的正上方和Q 相距分别为h 和0.25h ，将另一点电荷从A 点由静止释放，运动到B 点时速度正好变为零，若此电荷在A 点处的加速度大小为34g ，求：图7(1)此电荷在B 点处的加速度；(2)A 、B 两点间的电势差(用Q 和h 表示)．答案 (1)3g ，方向竖直向上 (2)－3kQ h解析 (1)由题意可知，这一电荷必为正电荷，设其电荷量为q .由牛顿第二定律得，在A 点时：mg －k Qq h 2＝m ·34g .在B 点时：k Qq (0.25h )2－mg ＝m ·a B ，解得a B ＝3g ，方向竖直向上． (2)从A 到B 的过程，由动能定理得mg (h －0.25h )＋qU AB ＝0，解得U AB ＝－3kQ h .题组一 电场线、等势面与运动轨迹1．(多选)某静电场中的电场线如图1所示，带电粒子在电场中仅受静电力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M 运动到N ，以下说法正确的是( )图1A ．粒子必定带正电B ．由于M 点没有电场线，粒子在M 点不受静电力的作用C ．粒子在M 点的加速度小于它在N 点的加速度D ．粒子在M 点的动能小于在N 点的动能答案 ACD解析 根据粒子运动轨迹弯曲的情况，可以确定粒子受静电力的方向沿电场线方向，故此粒子带正电，A 选项正确．由于电场线越密，电场强度越大，粒子受到的静电力就越大，根据牛顿第二定律可知其加速度也越大，故此粒子在N 点的加速度大，B 选项错误，C 选项正确．粒子从M 点运动到N 点，静电力做正功，根据动能定理得此粒子在N 点的动能大，故D 选项正确．2．一带电粒子沿图2中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关系满足φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则( )图2A．粒子一定带正电B．粒子的运动是匀变速运动C．粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大D．粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大答案 B解析由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据电荷运动规律可知其受力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子的动能在增大，电势能在减小．3.如图3，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ.一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等．则( )图3A．直线a位于某一等势面内，φM＞φQB．直线c位于某一等势面内，φM＞φNC．若电子由M点运动到Q点，电场力做正功D．若电子由P点运动到Q点，电场力做负功答案 B解析电子带负电荷，电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等，有W MN＝W MP＜0，而W MN＝qU MN，W MP＝qU MP，q＜0，所以有U MN＝U MP＞0，即φM＞φN＝φP，匀强电场中等势线为平行的直线，所以NP和MQ分别是两条等势线，有φM＝φQ，故A错误，B正确；电子由M点到Q点过程中，W MQ＝q(φM－φQ)＝0，电子由P点到Q点过程中，W PQ＝q(φP －φQ)＞0，故C、D错误．4．(多选)图4中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷．一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点．则该粒子( )图4A．带负电B．在c点受力最大C．在b点的电势能大于在c点的电势能D．由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化答案CD解析根据轨迹弯曲方向判断出，粒子在a→b→c的过程中，一直受静电斥力作用，根据同性电荷相互排斥，故粒子带正电，A错误；点电荷的电场强度的特点是离开场源电荷的距离越大，场强越小，粒子在c点受到的电场力最小，故B错误；根据动能定理，粒子由b到c，电场力做正功，动能增加，故粒子在b点电势能一定大于在c点的电势能，故C正确；a点到b点与b点到c点相比，由于点电荷的电场强度的特点是离开场源电荷距离越大，场强越小，故a到b电场力做功较多，动能变化也较大，故D正确．题组二对电场强度和电势理解5．在静电场中，关于场强和电势的说法正确的是( )A．电场强度大的地方电势一定高B．电势为零的地方场强也一定为零C．场强为零的地方电势也一定为零D．场强大小相同的点电势不一定相同答案 D解析沿着电场线的方向电势逐渐降低，电场线密的地方，电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，电势高的地方电场强度不一定大，电场强度大的地方，电势不一定高，故A错误．电势为零是人为选取的，则电势为零的地方场强可以不为零，故B错误．场强为零的地方电势不一定为零，电势为零是人为选取的，故C错误．在匀强电场中，场强处处相等，但沿着电场线的方向电势逐渐降低，所以场强大小相同的点电势不一定相同，故D正确．6．(多选)两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图5所示．c是两负电荷连线的中点，d点在正电荷的正上方，c、d到正电荷的距离相等，则( )图5A．a点的电场强度比b点的大B．a点的电势比b点的高C．c点的电场强度比d点的大D．c点的电势比d点的低答案ACD解析由题图知，a点处的电场线比b点处的电场线密集，c点处电场线比d点处电场线密集，所以A、C正确；过a点画等势线，与b点所在电场线的交点与b点位置比较知b点的电势高于a点的电势，故B错误；同理分析可得d点电势高于c点电势，故D正确．7．两个等量异种点电荷位于x轴上，相对原点对称分布，下列正确描述电势φ随位置x 变化规律的图象是( )答案 A解析等量异种点电荷电场线如图所示，因为沿着电场线方向电势降低，所以以正电荷为参考点，左、右两侧电势都是降低的；因为逆着电场线方向电势升高，所以，以负电荷为参考点，左、右两侧电势都是升高的．可见，在整个电场中，正电荷所在位置电势最高，负电荷所在位置电势最低，符合这种电势变化的情况只有A选项．8．(多选)带电粒子仅在电场力作用下以初速度v0从t＝0时刻开始运动，其v－t图象如图6所示．若粒子在2t0时刻运动到A点，5t0时刻运动到B点．以下说法中正确的是( )图6A．A、B两点的电场强度大小关系为E A＝E BB．A、B两点的电势关系为φA＜φBC．粒子从A点运动到B点时，电场力做的总功为正D．粒子从A点运动到B点时，电势能先减少后增加答案AC解析由速度图象可知粒子整个运动过程中，加速度相同，所受的电场力相同，故A、B两点的电场强度大小相等：E A＝E B，A项正确；由v－t图象可知粒子在A点速度为零，在B点时速度大于零，故粒子从A点运动到B点的过程，电场力做正功，电势能减少，C项正确，D项错误；因为粒子的电性不确定，所以无法判断A、B两点的电势高低，B项错误．题组三电场力做功与电势差、电势能的综合9．(多选)如图7是某种静电矿料分选器的原理示意图，带电矿粉经漏斗落入水平匀强电场后，分离并落在收集板中央的两侧．对矿粉分离的过程，下列表述正确的有( )图7A．带正电的矿粉落在右侧B．静电力对矿粉做正功C．带负电的矿粉电势能变大D．带正电的矿粉电势能变小答案BD解析由题图可知，电场方向水平向左，带正电的矿粉所受静电力方向与电场方向相同，所以落在左侧；带负电的矿粉所受静电力方向与电场方向相反，所以落在右侧，选项A错误；无论矿粉所带电性如何，矿粉均向所受静电力方向偏转，静电力均做正功，选项B正确；电势能均减少，选项C错误，选项D正确．10．如图8，一带正电的点电荷固定于O 点，两虚线圆均以O 为圆心，两实线分别为带电粒子M 和N 先后在电场中运动的轨迹，a 、b 、c 、d 、e 为轨迹和虚线圆的交点．不计重力．下列说法正确的是( )图8A ．M 带负电荷，N 带正电荷B ．M 在b 点的动能小于它在a 点的动能C ．N 在d 点的电势能等于它在e 点的电势能D ．N 在从c 点运动到d 点的过程中克服电场力做功答案 ABC解析 如题图所示，M 粒子的轨迹向左弯曲，则带电粒子所受的电场力方向向左，可知M 带电粒子受到了引力作用，故M 带负电荷，而N 粒子的轨迹向下弯曲，则带电粒子所受的电场力方向向下，说明N 粒子受到斥力作用，故N 粒子带正电荷，故选项A 正确；由于虚线是等势面，故M 粒子从a 到b 电场力对其做负功，故动能减小，故选项B 正确；对于N 粒子，由于d 和e 在同一等势面上，故从d 到e 电场力不做功，故电势能不变，故选项C 正确；由于N 粒子带正电，故从c 点运动到d 点的过程中，电场力做正功，故选项D 错误．11．如图9所示，A 、B 、C 为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面．现将电荷量为10－8C 的正点电荷从A 点移到B 点，电场力做功为3×10－6J ，将另一电荷量为10－8C 的负点电荷从A 点移到C 点，克服电场力做功3×10－6J ．若AB 边长为23cm ，则电场强度的大小为多大？方向如何？图9答案 104V/m 为垂直B 、C 连线，由A 指向BC解析 正点电荷从A 点移到B 点时，电场力做正功，故A 点电势高于B 点，可求得：U AB ＝W AB q＝3×10－610－8V ＝300V. 负点电荷从A 点移到C 点，克服电场力做功，同理可判断A 点电势高于C 点，可求得： U AC ＝W AC q ＝－3×10－6－10－8V ＝300V.因此B 、C 两点电势相等，U BC ＝0.由于匀强电场中的等势线是一簇平行直线，因此，BC 为一等势线，故电场线方向垂直BC .设D 为直线BC 的中点，则电场方向为由A 指向D .直线AB 在电场方向的距离d 等于线段AD 的长度，故由匀强电场中电势差与电场强度的关系式可得： E ＝U AB d ＝30023×10－2×cos30°V/m ＝104 V/m. 12．一长为L 的细线，一端固定于O 点，另一端拴一质量为m 、带电荷量为q 的小球，处于如图10所示的水平向右的匀强电场中．开始时，将线与小球拉成水平，小球静止在A 点，释放后小球由静止开始向下摆动，当细线转过60°角时，小球到达B 点速度恰好为零．试求：图10(1)A 、B 两点的电势差U AB ；(2)匀强电场的场强大小．答案 (1)3mgL 2q (2)3mg q解析 (1)小球由A 到B 过程中，由动能定理得mgL sin60°－qU AB ＝0，所以U AB ＝3mgL 2q (2)E ＝U AB L －L cos60°＝3mg q 13．如图11所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q 为圆心的某圆交于B 、C 两点，质量为m 、带电荷量－q 的有孔小球从杆上A 点无初速度下滑，已知q ≪Q ，AB ＝h ，小球滑到B 点时的速度大小为3gh .求：图11(1)小球由A 到B 的过程中静电力做的功； (2)A 、C 两点间的电势差．答案 (1)12mgh (2)－mgh 2q解析 (1)因为Q 是正点电荷，所以以Q 为圆心的圆是一个等势线，这是一个重要的隐含条件，由A 到B 过程中静电力是变力，所以不能直接用W ＝Fx 来解，只能考虑应用功能关系求解．因为杆是光滑的，所以小球从A 到B 过程中只有两个力做功：静电力做功W AB 和重力做功mgh ，由动能定理得：W AB ＋mgh ＝12mv 2B代入已知条件v B ＝3gh 得静电力做功W AB ＝12m ·3gh －mgh ＝12mgh(2)因为B 、C 在同一等势线上，小球从B 点到C 点电场力不做功则W AC ＝W AB所以U AC ＝W AC －q ＝12mgh－q ＝－mgh2q .。