河北唐山高三第三次模拟考试数学试题文科

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唐山市届高三第三次模拟考试数学试题及答案(文)

河北省唐山市2013届高三第三次模拟考试（文）一、选择题 1．设复数21iz i=-，则z = A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --2．设全集{}{}{}|5,1,2,3,1,4U x N x A B =∈≤==，则()()U U C A C B ⋂=A ．{}5B ．{}0C ．{}0,5D ．{}1,4 3．运行如图所示的程序框图，输出的n 等于A ．30零B ．29C ．28D ．274．一几何体的三视图如图所示，则它的体积为A ．3 B C ．3D ．35．{}n a 为等比数列，23341,2a a a a +=+=-，则567a a a ++=A ．24-有B ．24C ．48-D ．48 6．已知7cos ,(,)252πθθπ=-∈--，则sin cos 22θθ+=A ．125-B ．125C ．15-D ．157．实数,x y 满足233465x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最小值为A ．2-B ．1-C ．12D ．2 8．经过点1(1,)2，渐近线与圆22(3)1x y -+=相切的双曲线的标准方程为A ．2281x y -=B ．22241x y -=C ．2281y x -=D ．22421x y -=9．已知0a >，且1a ≠，log 31a <，则实数a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,1)(3,)⋃+∞C ．(3,)+∞D ．(1,2)(3,)⋃+∞10．函数()y f x =由(2)22x yxy=⋅确定，则方程2()3x f x =的实数解有A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 11．一种电子小型娱乐游戏的主界面是半径为r 的一个圆，点击圆周上点A 后该点在圆周上随机转动，最终落点为B ，当线段AB时自动播放音乐，则一次转动能播放出音乐的概率为 A ．13B ．123256 C ．23 D ．5612．定义在R上的函数()f x =，则()f xA ．既有最大值也有最小值B ．既没有最大值，也没有最小值C ．有最大值，但没有最小值D ．没有最大值，但有最小值二、填空题13．若向量(2,1),(a b ==-，则向量a b +与a b -的夹角的余弦值为。

河北省唐山市高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题Word版含答案

唐山市2016—2017学年高三年级第三次模拟考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|02},{|1}A x x x x =<<=<，则AB =A ．(0,1)B ．(1,2)-C ．(1,1)-D ．(,1][2,)-∞-+∞ 2、已知i 为虚数单位，(1)1z i i -=+，则复数z 的共轭复数为 A ．i - B ．i C ．2i D ．2i -3、某校有高级教师90人，一级教师120，二级教师75人，现按职称分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为 A ．10 B ．12 C ．16 D ．184、已知变量,x y 满足约束条件1021010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩，目标函数2z x y =+的最小值为A ．4B ．-1C ．-2D ．-35、执行右侧程序框图，若输出2y =，则输入的x 的为 A ．-1或 B ．1± C ．-2 D ．-16、已知平面α⊥平面β，则“直线m ⊥平面α”是“直线//m 平面β”的A ．充分不必要条件B ．必要充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7、等差数列{}n a 的前11项和1188S =，则369a a a ++= A ．18 B ．24 C ．30 D ．32 8、函数()cos()(0)6f x wx w π=+>的最小正周期为π，则()f x 满足A ．在(0,)3π上单调递增 B ．图象关于直线6x π=对称C ．()3f π=D ．当512x π=时有最小值1- 9、函数()2ln f x x x =的图象大致为10、某几何体的三视图如图所示，则其体积为 A ．4 B ．8 C ．43 D ．8311、在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为224x y +=，直线l 的方程为(2)y k x =+，若在圆O 上至少存在三点到直线l 的距离为1，则实数k 的取值范围是A ．[0,3 B ．[33-C ．11[,]22-D ．1[0,]212、已知函数()32f x x ax bx =++有两个极值点12,x x ，且12x x <，若10223x x x +=，函数()()0()g x f x f x =- ，则()g xA ．恰有一个零点B ．恰有两个零点C ．恰有三个零点D ．至多两个零点第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13、已知向量(4,),(1,2)a x b =-=，若a ⊥b ，则x =14、已知双曲线Γ过点，且与双曲线2214x y -= 有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为15、直角ABC ∆的三个顶点都在球O 的球面上，2AB AC ==，若求的表面积为12π，则球心O 到平面ABC 的距离等于16、{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是公比为整数的等比数列，1143841,,a b a b a b ====，则数列{}n n a b 的前n 项和等于三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,,cos a b c a b b C -=．（1）求证：sin tan C B =；（2）若2,a C =为锐角，求c 的取值范围．18、（本小题满分12分）某学校用简单的随机抽样的方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：若将余额课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”．（1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动．①共有多少种不同的抽取方法？②求抽取的男女两位“读书迷”且均读书时间相差不超过2小时的概率．19、（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，024,60,,,BC AB ABC PA AD E F ==∠=⊥分别为,BC PE 的中点，AF ⊥平面PED ．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求C 到平面PED 的距离．20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>经过点1)2E ，离心率2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点M 在x 轴上的射影为点N ，过点N 的直线l 与椭圆Γ相较于,A B 两点，且30NB NA +=，求直线l 的方程．21、（本小题满分12分）已知函数()(),ln xf x eg x x a ==+．（1）设()()h x xf x =，求()h x 的最小值；（2）若曲线()y f x =与()y g x =仅有一个交点，证明：曲线()y f x =与()y g x =在点P 处有相同的切线，且5(2,)2a ∈ ．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程点P 是曲线221:(2)4C x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C ．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）射线(0)3πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，定点(2,0)M ，求MAB ∆的面积．23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲已知函数()21f x x a x =++-．（1）若1a =，解不等式()5f x ≤；（2）当0a ≠时，()1()g a f a=，求满足()4g a ≤的a 的取值范围．唐山市2016—2017学年度高三年级第三次模拟考试文科数学参考答案一．选择题：A 卷：BACCD DBDAC BAB 卷：BCCAD DBBAC BA 二．填空题：（13）2 （14）y 22－x 28＝1（15）1（16）(n －1)2n ＋1三．解答题：（17）解：（Ⅰ）由a －b ＝b cos C 根据正弦定理得sin A －sin B ＝sin B cos C ，即sin(B ＋C )＝sin B ＋sin B cos C ，sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B ＋sin B cos C ， sin C cos B ＝sin B ，得sin C ＝tan B ．…6分（Ⅱ）由a －b ＝b cos C ，且a ＝1，b ＝2，得cos C ＝－ 12，…8分由余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×1×2×(－12)＝7，所以c ＝7．…12分（18）解：（Ⅰ）设该校900名学生中“读书迷”有x 人，则730＝x900，解得x ＝210.所以该校900名学生中“读书迷”约有210人. …3分（Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为a 35，a 38，a 41，抽取的女“读书迷”为 b 34，b 36，b 38，b 40(其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，则从7名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各1人的所有基本事件为：(a 35，b 34)，(a 35，b 36)，(a 35，b 38)，(a 35，b 40)， (a 38，b 34)，(a 38，b 36)，(a 38，b 38)，(a 38，b 40)， (a 41，b 34)，(a 41，b 36)，(a 41，b 38)，(a 41，b 40)，所以共有12种不同的抽取方法． …8分（ⅱ）设A 表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过2小时”，则事件A 包含(a 35，b 34)，(a 35，b 36)，(a 38，b 36)，(a 38，b 38)，(a 38，b 40)，(a 41，b 40)，6个基本事件，所以所求概率P (A )＝612＝ 12．…12分（19）解：（Ⅰ）连接AE ，在平行四边形ABCD 中， BC ＝2AB ＝4，∠ABC ＝60°，∴AE ＝2，ED ＝23，从而有AE 2＋ED 2＝AD 2， ∴AE ⊥ED ．∵P A ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥ED ，又∵P A ∩AE ＝A ，∴ED ⊥平面PAE ，AF ⊂平面P AE…3分从而有ED ⊥AF ．又∵P A ＝AE ＝2，F 为PE 的中点， ∴AF ⊥PE ，又∵PE ∩ED ＝E ， ∴AF ⊥平面PED ． …6分（Ⅱ）设点C 到平面PED 的距离为d ，在Rt △PED 中，PE ＝22，ED ＝23，∴S △PED ＝26．在△ECD 中，EC ＝CD ＝2，∠ECD ＝120°，∴S △ECD ＝3．…10分由V C －PED ＝V P －ECD 得， 1 3S △PED ·d ＝ 13S △ECD ·PA ，∴d ＝S △ECD ·PA S △PED＝22．所以点C 到平面PED 的距离为22．…12分（20）解：（Ⅰ）由已知可得3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2a ＝32，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆Γ的方程为x 24＋y 2＝1．…4分（Ⅱ）由已知N 的坐标为(3，0)，当直线l 斜率为0时，直线l 为x 轴，易知NB →＋3NA →＝0不成立． …5分当直线l 斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋3，代入x 24＋y 2＝1，整理得，(4＋m 2)y 2＋23my －1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 y 1＋y 2＝－23m4＋m 2，①y 1y 2＝－14＋m 2，②…9分由NB →＋3NA →＝0，得y 2＝－3y 1，③ 由①②③解得m ＝±22． A F P BE C D所以直线l 的方程为x ＝±22y ＋3，即y ＝±2(x －3)． …12分（21）解：（Ⅰ）h '(x )＝(x ＋1)e x ，当x ＜－1时，h '(x )＜0，h (x )单调递减；当x ＞－1时，h '(x )＞0，h (x )单调递增，故x ＝－1时，h (x )取得最小值－ 1e．…4分（Ⅱ）设t (x )＝f (x )－g (x )＝e x－ln x －a ，则t '(x )＝e x－1 x ＝x e x－1x（x ＞0），由（Ⅰ）得T (x )＝x e x －1在(0，＋∞)单调递增，又T (12)＜0，T (1)＞0，所以存在x 0∈(12，1)使得T (x 0)＝0，…6分所以当x ∈(0，x 0)时，t '(x )＜0，t (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，t '(x )＞0，t (x )单调递增，所以t (x )的最小值为t (x 0)＝e x 0－ln x 0－a ＝0，…8分由T (x 0)＝0得e x 0＝1x 0，所以曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在P 点处有相同的切线，又a ＝e x 0－ln x 0，所以a ＝1x 0＋x 0，因为x 0∈(12，1)，所以a ∈(2，52)．…12分（22）解：（Ⅰ）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ．设Q (ρ，θ)，则P (ρ，θ－ π 2)，则有ρ＝4cos (θ－ π2)＝4sin θ．所以，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ． …5分（Ⅱ）M 到射线θ＝ π 3的距离为d ＝2sin π3＝3，|AB |＝ρB －ρA ＝4(sin π 3－cos π3)＝2(3－1)，则S ＝ 12|AB |×d ＝3－3． …10分（23）解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋2|＋|x －1|,所以f (x )表示数轴上的点x 到－2和1的距离之和，因为x ＝－3或2时f (x )＝5，依据绝对值的几何意义可得f (x )≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}． …5分（Ⅱ）g (a )＝| 1 a ＋2a |＋| 1a－1|，当a ＜0时，g (a )＝－ 2a－2a ＋1≥5，等号当且仅当a ＝－1时成立，所以g (a )≤4无解；当0＜a ≤1时，g (a )＝ 2a＋2a －1，由g(a)≤4得2a2－5a＋2≤0，解得12≤a≤2，又因为0＜a≤1，所以12≤a≤1；当a＞1时，g(a)＝2a＋1≤4，解得1＜a≤3 2，综上，a的取值范围是[12，32]．…10分。

河北省唐山市2023届高三三模(唐山三模)数学答案

唐山市2022~2023学年度高三年级第三次模拟演练数学参考答案一．选择题（单选）：1~4．DBCC5~8．ADDB二．选择题（不定项选）：9．BC10．AC11．AC12．ABD三．填空题：13．7814．43315．[12e，＋∞)16．5，42四．解答题：17．解：（1）已知a2n＋2a n＋1＝4S n①，当n＝1时，a1＝1．…1分当n≥2时，a2n－1＋2a n－1＋1＝4S n－1②，①－②得：a2n＋2a n－a2n－1－2a n－1＝4a n，…2分即(a n＋a n－1)(a n－a n－1－2)＝0．…3分又a n＞0，所以a n－a n－1＝2.…4分所以数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列.所以a n＝2n－1.…5分（2）设b n＝(－1)n(4n a n a n+1)＝(－1)n[4n(2n－1)(2n+1)]…6分＝(－1)n(12n－1＋12n+1). …8分T n＝－(1＋13)＋(13＋15)－(15＋17)＋···＋(－1)n(12n－1＋12n+1)＝－1＋(－1)n12n+1. …10分18．（1）证明：过点A作AE⊥PB于点E，…1分因为平面P AB⊥平面PBC，且平面P AB∩平面PBC＝PB，AE⊂平面P AB，所以AE⊥平面PBC，…2分又BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC，…3分又P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则P A⊥BC，…4分又因为AE∩P A＝A，AE，P A⊂平面P AB，所以BC⊥平面P AB．…5分（2）解：由（1）知BC⊥平面P AB，AB⊂平面P AB，得BC⊥AB，又V P－ABC＝18，AB＝6，BC＝3，所以 1 3× 12×AB ×BC ×P A ＝18，P A ＝6，…6分以B 为原点，分别以BC →、BA →为x 轴、y 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系B －xyz ，则B (0，0，0)，A (0，6，0)，C (3，0，0)，P (0，6，6)． …7分又因为PD ＝2DC ，所以D (2，2，2)．…8分AD →＝(2，－4，2)，AB →＝(0，－6，0)， AC →＝(3，－6，0)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧AD →·m ＝0，AB →·m ＝0，即⎩⎨⎧2x 1－4y 1＋2z 1＝0，－6y 1＝0，所以可取m ＝(－1，0，1)．…9分设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x 2－4y 2＋2z 2＝0，3x 2－6y 2＝0，所以可取n ＝(2，1，0)．…10分则|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝105．…11分所以平面ABD 与平面ACD 的夹角的余弦值为105． …12分 19．解：根据正弦定理得：sin A sin B ＝sin B cos B ，…1分由于sin B ≠0，可知sin A ＝cos B ，即sin A ＝sin(π2＋B )，…2分因为A 为钝角，则B 为锐角，即B ∈(0，π2)，则π2＋B ∈(π2，π)，则A ＝π2＋B ，C ＝π2－2B ． …4分（1）由A ＝π2＋B ，C ＝ π6，A ＋B ＋C ＝π，得A ＝2π3．…5分（2）cos A ＋cos B ＋cos C＝cos (π2＋B )＋cos B ＋cos (π2－2B )＝－sin B ＋cos B ＋sin 2B…7分＝cos B －sin B ＋2sin B cos B ．因为C ＝π2－2B 为锐角，所以0＜π2－2B ＜π2，即0＜B ＜π4．…8分ABC DPEx yz设t ＝cos B －sin B ＝2cos (B ＋π4)∈(0，1)，则2sin B cos B ＝1－t 2，…9分cos A ＋cos B ＋cos C ＝t ＋1－t 2＝－(t －12)2＋54．…10分因为t ∈(0，1)，则(t －12)2∈[0，14)，从而－(t －12)2＋54∈(1，54]．由此可知，cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围是(1，54]．…12分 20．解：（1）根据样本相关系数r ≈0.95，可以推断线性相关程度很强．…2分（2）r ＝∑ni ＝1(x i －x -)(y i －y -)∑ni ＝1(x i －x -)2∑ni ＝1(y i －y -)2≈0.95及bˆ＝ni ＝1∑(x i －x -)(y i －y -)ni ＝1∑(x i －x -)2，可得bˆr＝∑ni ＝1(x i －x -)2∑ni ＝1(y i －y -)2∑ni ＝1(x i －x -)2＝∑ni ＝1(y i －y -)2∑ni ＝1(x i －x -)2 …4分≈ 2.297．…5分所以bˆ＝r 2.297≈0.95×1.516≈1.440， …7分又因为x -＝37.96，y -＝39.1， …8分所以a ˆ＝y -－b ˆx -≈－15.56，…9分所以y 与x 的线性回归方程yˆ＝1.44x －15.56．…10分（3）第一个样本点(32.2，25.0)的残差为：25.0－(1.44×32.2－15.56)＝－5.808≈－5.81，…11分由于该点在回归直线的左下方，故将其剔除后，b ˆ的值将变小.…12分21．解：（1）把x ＝c 代入到E 的方程，得c 2a 2－y 2＝1，即y ＝±1a，…2分因为|AB |＝1，所以2a ＝1，即a ＝2，则双曲线E 的方程为x 24－y 2＝1.…4分（2）设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1＜0，x 2＞0．因为直线l 与圆相切，所以|m |1＋k2＝2,即m 2＝4(1＋k 2)， …5分联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 2＝1，整理得(1－4k 2)x 2－8mkx －(4m 2＋4)＝0，…6分所以⎩⎪⎨⎪⎧1－4k 2≠0，Δ＝64m 2k 2＋4(1－4k 2)(4m 2＋4)＞0，x 1＋x 2＝－8mk4k 2－1，x 1x 2＝4m 2＋44k 2－1＜0，…8分x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－8mk 4k 2－1)2－4×4m 2＋44k 2－1＝451－4k 2.…9分由已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)．k 1·k 2＝y 1x 1＋2×y 2x 2－2＝(k x 1＋m )(k x 2＋m )(x 1＋2)(x 2－2)＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＋2(x 2－x 1)－4…10分＝k 2(4m 2＋4)4k 2－1－8m 2k 24k 2－1＋m 24m 2＋44k 2－1＋851－4k 2－4＝4m 2k 2＋4k 2－8m 2k 2＋4m 2k 2－m 24m 2＋4－85－16k 2＋4＝4k 2－m 24m 2－85－16k 2＋8＝－424－85＝－3＋58.…12分22．解：（1）由f (x )＝e 2x ＋(2－a )e x －ax ＋a e2，(x ∈R ) 得f '(x )＝2e 2x ＋(2－a )e x －a…1分＝(e x ＋1)(2e x －a )，…2分①当a ≤0时，f '(x )＝(e x ＋1)(2e x －a )＞0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；…3分 ②当a ＞0时，令f '(x )＝0，得x ＝ln a2，…4分当x ∈(－∞，ln a2)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(ln a2，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．综上当a ≤0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在(－∞，ln a 2)上单调递减，f (x )在(ln a2，＋∞)上单调递增．…5分（2）由（1）知：①当a ＜0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，f (3a )＝e 6a ＋(2－a )e 3a －a ×3a ＋ a e 2＜1＋(2－a )－3＋ a e 2＝( e2－1)a ＜0，所以当a ＜0时不合题意．…6分 ②当a ＝0时，f (x )＝e 2x ＋2e x ＞0，符合题意．…7分 ③当a ＞0时，f (x )min ＝f (lna 2)＝a － a 24－a ln a 2＋ a e2，…8分要使f (x )≥0恒成立，则只需f (x )min ≥0恒成立，即：a － a 2 4－a ln a 2＋ a e 2≥0，亦即：1－ a 4－ln a 2＋ e2≥0．记g (a )＝1－ a 4－ln a 2＋ e2(a ＞0)，…9分则g (a )＝－ 1 4－1a＜0 ，…10分于是g (a )在(0，＋∞)上单调递减；又因为g (2e)＝1－ e 2－ln 2e 2＋ e2＝0，…11分所以当0＜a ≤2e 时，g (a )≥0，即f (x )min ≥0；当a ＞2e 时，g (a )＜0，不合题意．综上可知a 的取值范围为0≤a ≤2e ．…12分。

高考数学模拟试题与解析-唐山高三三模数学试卷

唐山市2023年普通高等学校招生统一考试第三次模拟演练数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x ＜－1或x ＞1}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，则A ∩B ＝ A ．(1，2) B ．(－3，－1) C ．(－3，1) D ．(－3，－1)∪(1，2) 2．已知i 为虚数单位，复数z ＝1－3i ，则4z＝A ．1－3iB ．1＋3iC ．－1－3iD ．－1＋3i3．(x －1x )6的展开式中的常数项为A ．－20B ．－15C ．15D ．204．正方形ABCD 边长为4，M 为CD 中点，点N 在AD 上，BM →·BN →＝20，则|BN →|＝ A ． 5 B ．2 5 C ．5D ．105．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角D -AC -B ，则三棱锥D －ABC 的外接球的球心到平面BCD 的距离为 A ．33 B ．22 C ．63D ．126．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，点M 为C 上异于长轴端点的任意一点，∠F 1MF 2的角平分线交线段F 1F 2于点N ，则|MF 2||F 2N |＝A ．15B ．105C ．22D ． 27．假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品．现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为 A ．13B ．37C ．720D ．478．已知3m ＝e 且a ＝cos m ，b ＝1－12m 2，c ＝sin mm，e 是自然对数的底数，则A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

【唐山三模】唐山市2017—2018学年度高三年级第三次模拟考试文科数学(含答案(已修订))(2018.05)

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．
x y 1 0, 14.设 x, y 满足约束条件若 z x 2 y ，则 z 的最小值为 x 2 y 4 0,
2
．
15.已知 P 是抛物线 y 2 4 x 上任意一点，则 PQ 的最小值为 Q 是圆 x 4 y 2 1 上任意一点，
） C.
2 3 3 15 2
A． 5
B．2
D．
5 2
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ A．6 B． 7 C. D．
23 3
）
7.已知函数 f x sin x 2 0 的图象与 x 轴相切，则 f （ 3
A．
x x 1
）
2.复数 z 满足 2 i z 3 4i （ i 为虚数单位），则 z （ A ． 2 i B． 2 i
C. 2 i
D． 2 i ）
3.如图反映了全国从 2013 年到 2017 年快递业务量及其增长速度的变化情况，以下结论正确的是（
唐山市 2017—2018 学年度高三年级第三次模拟考试文科数学试卷
第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 M x 1 x 3, N x x 0 ，则集合 M C R N （ A． x 0 x 3 B． x 1 x 0 C. ） D． x x 1 或 x 0
114 118 118 104 93
120 96
102 105 83
B 球队：114 114 110 108 103 117 93 124 75 106

(全优试卷)河北省唐山市—学年度高三年级第三次模拟考试文科数学试卷Word版含答案

唐山市2017—2018学年度高三年级第三次模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A2.）A3.如图反映了全国从2013年到2017年快递业务量及其增长速度的变化情况，以下结论正确的是（）A.快递业务量逐年减少，增长速度呈现上升趋势B.快递业务量逐年减少，增长速度呈现下降趋势C.快递业务量逐年增加，增长速度呈现上升趋势D.快递业务量逐年增加，增长速度呈现下降趋势4.）A5.）A．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6 B．）7.A8.）AC.9.为此设计如图所示的程序框图，)，若输出的结果为786为（）A．3.134 B．3.141 C.3.144 D．3.14710.）A11.）A12.）AD第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.14.的最小值为．15.值为．16.的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（1（218.从本赛季常规赛中随机调查了20场与这两支球队有关的比赛.两队所得分数分别如下：122 110 105 105 109 101 107 129 115 100114 118 118 104 93 120 96 102 105 83114 114 110 108 103 117 93 124 75 10691 81 107 112 107 101 106 120 107 79（1）根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图，并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）现将球队的攻击能力从低到高分为三个等级：根据两支球队所得分数，估计哪一支球队的攻击能力等级为较弱的概率更大一些，并说明理由.19.（1（2的距离.20..（1（2）21.（1（2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.（1（2）证明：.23.选修4-5：不等式选讲（1（2.全优试卷试卷答案一、选择题1-5: DBBAC 6-10: BDCBA 11、12：CA二、填空题三、解答题17.解：（Ⅰ）由3a －3bcos C ＝csin B 及正弦定理得， 3sin A －3sin Bcos C ＝sin Csin B ，因为sin A ＝sin (B ＋C)＝sin Bcos C ＋sin Ccos B ，所以3sin Ccos B ＝sin Csin B ．因为sin C ≠0，所以tan B ＝3，又因为B 为三角形的内角，所以B ＝ π 3．（Ⅱ）由a ，b ，c 成等差数列得a ＋c ＝2b ＝4，由余弦定理得a 2＋c 2－2accos B ＝b 2，即a 2＋c 2－ac ＝4，所以(a ＋c)2－3ac ＝4，从而有ac ＝4．故S △ABC ＝ 12acsin B ＝3．（18）解：（Ⅰ）（ⅰ）由图中表格可知，样本中每周使用移动支付次数超过3次的男用户有45人，女用户30人，在这75人中，按性别用分层抽样的方法随机抽取5名用户，其中男用户有3人，女用户有2人．…2分（ⅱ）记抽取的3名男用户分别A ，B ，C ；女用户分别记为d ，e ．再从这5名用户随机抽取2名用户，共包含 (A ，B)，(A ，C)，(A ，d)，(A ，e)，(B ，C)， (B ，d)，(B ，e)，(C ，d)，(C ，e)，(d ，e)，10种等可能的结果，其中既有男用户又有女用户这一事件包含(A ，d)，(A ，e)， (B ，d)，(B ，e)，(C ，d)，(C ，e)，共计6种等可能的结果，由古典概型的计算公式可得P ＝ 6 10＝ 35．（Ⅱ）由图中表格可得列联表将列联表中的数据代入公式计算得k ＝n(ad －bc)2(a ＋b)(c ＋d)(a ＋c)(b ＋d)＝100(45×15－30×10)225×75×55×45≈3.03＜3.841，所以，在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为是否喜欢使用移动支付与性别有关．（19）解：（Ⅰ）因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，平面ABCD ∩平面CDEF ＝CD ，AD ⊥CD ，所以AD ⊥平面CDEF ，又CF 平面CDEF ，则AD ⊥CF ．又因为AE ⊥CF ，AD ∩AE ＝A ，所以CF ⊥平面AED ，DE 平面AED ，从而有CF ⊥DE ．（Ⅱ）连接FA ，FD ，过F 作FM ⊥CD 于M ，因为平面ABCD ⊥平面CDEF 且交线为CD ，FM ⊥CD ，所以FM ⊥平面ABCD ．因为CF ＝DE ，DC ＝2EF ＝4，且CF ⊥DE ，所以FM ＝CM ＝1，所以五面体的体积V ＝V F －ABCD ＋V A －DEF ＝163＋ 4 3＝203．（20）解：（Ⅰ）由题设可知k ≠0，所以直线m 的方程为y ＝kx ＋2，与y 2＝4x 联立，整理得ky 2－4y ＋8＝0，①由Δ1＝16－32k ＞0，解得k ＜ 12．直线n 的方程为y ＝－ 1 k x ＋2，与y 2＝4x 联立，整理得y 2＋4ky －8k ＝0，由Δ2＝16k 2＋32k ＞0，解得k ＞0或k ＜－2．所以⎩⎨⎧k ≠0，k ＜ 1 2，k ＞0或k ＜－2，故k 的取值范围为{k|k ＜－2或0＜k ＜ 12}．（Ⅱ）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)．由①得，y 1＋y 2＝ 4 k ，则y 0＝ 2 k ，x 0＝ 2 k 2－ 2 k ，则M ( 2 k 2－ 2 k ， 2k )．同理可得N(2k 2＋2k ，－2k)．直线MQ 的斜率k MQ ＝ 2k 2 k 2－ 2k－2＝－kk 2＋k －1，直线NQ 的斜率k NQ ＝－2k 2k 2＋2k －2＝－kk 2＋k －1＝k MQ ，所以直线MN 过定点Q(2，0)．（21）解：（Ⅰ）由f (x)＝e xsin x －ax ，得f (0)＝0．由f(x)＝e x(cos x ＋sin x)－a ，得f(0)＝1－a ，则1－a ＝－a2，解得a ＝2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f (x)＝e x(cos x ＋sin x)－a ，令g (x)＝f (x)，则g (x)＝2e xcos x ，所以x ∈[0，2]时，g(x)≥0，g (x)单调递增，f (x)单调递增．（ⅰ）当a ≤1时，f (0)＝1－a ≥0，所以f (x)≥f (0)≥0，f (x)单调递增，又f (0)＝0，所以f (x)≥0．（ⅱ）当a ≥eπ2时，f(2)≤0，所以f(x)≤f(2)≤0，f (x)单调递减，又f (0)＝0，所以f (x)≤0，故此时舍去．（ⅲ）当1＜a ＜eπ2时，f(0)＜0，f( 2)＞0，所以存在x 0∈(0， 2)，使得f (x 0)＝0，所以x ∈(0，x 0)时，f(x)＜0，f (x)单调递减，又f (0)＝0，所以f (x)≤0，故此时舍去．综上，a 的取值范围是a ≤1．（22）解：（Ⅰ）由A (6，3π4)得直线OA 的倾斜角为3π4，所以直线OA 斜率为tan3π4＝－1，即OA ：x ＋y ＝0．由x ＝ρcos α，y ＝ρsin α可得A 的直角坐标为(－3，3)，因为椭圆C 关于坐标轴对称，且B(23，0)，所以可设C ：x 212＋y2t＝1，其中t ＞0且t ≠12，将A(－3，3)代入C ，可得t ＝4，故椭圆C 的方程为x 212＋y24＝1，所以椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝23cos α，y ＝2sin α（α为参数）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得M(23cos α，2sin α)，0＜α＜ π2．点M 到直线OA 的距离d ＝6cos α＋2sin α．所以S ＝S △MOA ＋S △MOB ＝(3cos α＋3sin α)＋23sin α ＝3cos α＋33sin α ＝6sin (α＋ π6)，所以当α＝ π3时，四边形OAMB 面积S 取得最大值6．（23）解：（Ⅰ）不等式|x ＋1|－|x －1|≥x 2＋3x －2等价于⎩⎨⎧x ＞1，2≥x 2＋3x －2，或⎩⎨⎧－1≤x≤1，2x ≥x 2＋3x －2，或⎩⎨⎧x ＜－1，－2≥x 2＋3x －2．解得，或－1≤x≤1，或－3≤x＜－1．所以不等式f (x)≥g (x)的解集是{x|－3≤x≤1}．（Ⅱ）x ∈[－1，1]，令F (x)＝g (x)－f (x)＝x 2＋(a －2)x －2 不等式f (x)≥g (x)的解集包含[－1，1]等价于⎩⎨⎧F (1)＝a －3≤0，F (－1)＝1－a ≤0，解得1≤a ≤3，所以a 的取值范围为[1，3].。

2023-2024学年河北省唐山市高三三模数学试题+答案解析(附后)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年河北省唐山市高三三模数学试题✽的。

1.已知全集，集合，，则( )A. B. C. D.2.的共轭复数为( )A.B.C.D.3.某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为( )A. 220 B. 240C. 250D. 3004.函数的单调递减区间为( )A. ，B. ，C. ，D.，5.已知圆，圆，则与的位置关系是( )A. 外切B. 内切C. 相交D. 外离6.从2艘驱逐舰和6艘护卫舰中选出3艘舰艇分别担任防空、反潜、巡逻任务，要求其中至少有一艘驱逐舰，则不同的安排方法种数为( )A. 336 B. 252C. 216D. 1807.椭圆的左、右焦点分别为，，直线l 过与E 交于A ，B 两点，为直角三角形，且，，成等差数列，则E 的离心率为( )A. B. C.D.8.已知函数有三个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.B. C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.如图，直四棱柱的所有棱长均为2，，则( )A. 与所成角的余弦值为B. 与所成角的余弦值为C.与平面所成角的正弦值为D. 与平面所成角的正弦值为10.如图，是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到，再连接的各边中点得到，，如此继续下去，设的边长为，的面积为，则( )A. B.C. D.11.已知向量，，，下列命题成立的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 设，，当取得最大值时，12.已知函数及其导函数的定义域均为，，当时，，，则( )A. 的图象关于对称B. 为偶函数C.D. 不等式的解集为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

唐山市2018-2019 学年度高三年级第三次模拟考试文科数学

A．[2，3)
B．[2，＋∞)
C．(3，5]
D．(－∞，5]
A．
o
x
B．
o
x
C．
o
x
o
x
D．
2．已知复数 z 满足(2＋i)z＝i3，则 z 在复平面上对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．中国古代数学名著《九章算术》“商功”卷中有这样的问题：“今有方锥，下方二丈七尺，高二
第 8 列的数 4 开始向右读（为了便于说明，下面摘取了随机数表附表 1 的第 6 行至第 8 行），
即第一个号码为 439，则选出的第 4 个号码是
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75
A．548
B．443
C．379
D．217
12．设双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为 F1，F2，直线 x＝a 与 C 的渐近线的一
个交点记为 P，若|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等比数列，则 C 的离心率为
日送餐量 x（单） 13 14 16 17 18 20
天数
2 6 12 6 2 2
表 2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计
日送餐量 y（单） 11 13 14 15 16 18
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．直线 l 过点 P(－2 3，0)且与圆 O：x2＋y2＝4 相切，则 l 的斜率为

河北省唐山市2019届高三第三次模拟考试数学文科试题及答案

A 卷唐山市2019—2019学年度高三年级第三次模拟考试文科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合A ={－1，0，1，2，3}，B ={－2，－1，0，1}，则右图中阴影部分表示的集合为A ．{－1，0，1}B ．{2，3}C ．{－2，2，3}D ．{－1，0，1，2，3}2．设函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，且f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数，则下列结论中正确的是A ．f （x ）sin x 为奇函数B ．f （x ）+cos x 为偶函数C ．g （x ）sin x 为为偶函数D ．g （x ）+cos x 为偶函数 3． i 是虚数单位， (1＋i) z －＝(1－i)2，则|z |＝ A ．1 B ．2 C ．2 D ．224．执行如图所示的程序框图，结果是A ．8165B ． 2719C ．59 D ． 135．设a ＝log π3，b ＝log 3π，c ＝lnπ，则A ．c ＞a ＞bB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c6．在等差数列{a n }中，a 3＝5，a 4＋a 8＝22，则{11+⋅n n a a }的前20A ．4140 B ．4120 C ．4342 D ．43217．已知函数f (x )＝cos(2x －π3)，g (x )＝sin2x ，将函数f (x )的图像经过下列哪种可以与g (x ) 的图象重合A ．向左平移π12个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π12个单位D ．向右平移π6个单位8．一个几何体的三视图如图所示，则其体积为A ．43（π+1）B ．23（π+1）C ．43（π+12）D ．23（π+12）9．向量a 、b 满足：|a |=|a +b |=|2a +b |=1，则|b |=A ．1B ．2C ．3D ．2（9题变式）．向量a 、b 满足：|a |=|a +b |=|2a +b |=1，则a 与b 的夹角为 A ．150° B ．60°C ．30°D ．45° 答案：A10．实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-09303301y x y x y x ，则z ＝ax ＋y 的最大值为2a +3，则a 的取值范围是A ．[－3，1]B ．[－1，3]C ．[3，+∞）D ．（－∞，－1]11．异面直线l 与m 成60°，异面直线l 与n 成45°，则异面直线m 与n 成角范围是 A ．[15°，90°] B ．[60°，90°] C ．[15°，105°] D ．[30°，105°]12．函数f (x )＝e －x +a ， g (x )=|ln x |，若x 1，x 2都满足f (x )＝g (x )，则 A ．x 1·x 2＞e B ．1＜x 1·x 2＜e C ．0＜x 1·x 2＜e －1 D ．e －1＜x 1·x 2＜1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，公比q =2，S 5=93，则a 4= ．14．已知F 是抛物线y 2=8x 的焦点，M 是抛物线上的点且｜MF ｜＝3，N （－2，0），则直线MN 的斜率为．15．已知a ＞1，则12-a a 的最小值为．16．等边三角形ABC 的顶点A ，B 在圆O ：x 2+y 2=1上，则|OC |的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ．2c 2－2a 2=b 2．（Ⅰ）证明：2c cos A －2a cos C =b ；（Ⅱ）若tan A =13，求角C 的大小．18．（本小题满分12分）谋市教育部门对甲校四年级学生进行体育学科测试，随机抽取15名学生的测试成绩，绘制茎叶图如下：（Ⅰ）依据上述数据，估计甲校此次的体育平均成绩－x ；（Ⅱ）从得分在70~80之间的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生的平均成绩为－y ，求|－x －－y |≤1的概率．19．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面BC C 1B 1是矩形，截面A 1BC 是等边三角形．（Ⅰ）求证：AB =AC ；（Ⅱ）若AB ⊥AC ，三棱柱的高为1，求C 1点到截面A 1BC 的距离．ABCA 1B 1C 120．（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线l 与椭圆C 有唯一公共点M ，当点M 的坐标为（3，12）时，l 的方程为3x +2y －4=0．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k ，M 在椭圆C 上移动时，作OH ⊥l 于H ，（O 为坐标原点），当|OH |＝ 45|OM |时，求k 的值． 21．（本小题满分12分）已知f (x )＝e x (x －a －1)－12x 2＋ax ，a ＞0．（Ⅰ）讨论f (x )的单调性；（Ⅱ）若x ∈(0，1)时，f (x )＜－a －1，求a 的取值范围．请考生在第(22)，(23)，(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）如图，C 是⊙O 的直径AB 上一点，CD ⊥AB ，与⊙O 相交于点D ，与弦AF 交于点E ，与BF 的延长线交于点G ，GT 与⊙O 相切于点T ．（Ⅰ）证明：CE ·CG ＝CD 2；（Ⅱ）若AC =CO =1，CD =3CE ，求GT ．23．（本小题满分10分）已知半圆C ：（x －2）2+y 2=4（y ≥0），直线l ：x －2y －2=0，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出C 与l 的极坐标方程；（Ⅱ）记A 为C 直径的右端点，C 与l 交于点M ，且M 为圆弧AB 的中点，求|OB |． 24．（本小题满分10分）设函数f (x )＝|ax －1|＋|x +2|，a ＞0． (1)若a =1，解不等式f (x )≤5； (2)若f (x )≥2，求a 的最小值．唐山市2019—2019学年度高三年级第三次模拟考试文科数学参考答案一、选择题：A 卷：BDCAC BCBCB AD B 卷：ADCBC BCACB BD 二、填空题：（13）24；（14）±223；（15）4；（16）2．三、解答题：（17）（Ⅰ）证明：因为2c 2－2a 2＝b 2，所以2c cos A －2a cos C ＝2c ·b 2＋c 2－a 22bc －2a ·a 2＋b 2－c 22ab＝b 2＋c 2－a 2b －a 2＋b 2－c 2b ＝2c 2－2a 2b＝b ． …5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）和正弦定理以及sin B ＝sin(A ＋C )得2sin C cos A －2sin A cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即sin C cos A ＝3sin A cos C ，又cos A cos C ≠0，所以tan C ＝3tan A ＝1，故C ＝45°． …12分（18）解：（Ⅰ）－x ＝55＋67＋64＋66＋75＋73＋78＋79＋81＋85＋87＋88＋92＋9015＝77．…5分（Ⅱ）从得分在70~80之间的学生中随机抽取两名学生的基本事件：{75，77}，{75，73}， {75，78}，{75，79}，{77，73}，{77，78}，{77，79}，{73，78}，{73，79}，{78，79}共10个；其中满足|－x －－y |≤1的事件：{75，77}，{75，78}，{75，79}，{77，78}，{77，79}，{73，79}共6个．所以满足|－x －－y |≤1的概率P ＝610＝ 3 5.…12分（19）解：（Ⅰ）证明：取BC 中点O ，连OA ，OA 1．因为侧面BCC 1B 1是矩形，所以BC ⊥BB 1，BC ⊥AA 1，因为截面A 1BC 是等边三角形，所以BC ⊥OA 1，所以BC ⊥平面A 1OA ，BC ⊥OA ，因此，AB ＝AC ． …5分（Ⅱ）设点A 到截面A 1BC 的距离为d ，由V A －A 1BC ＝V A 1－ABC 得S △A 1BC ×d ＝S △ABC ×1，得BC ×OA 1×d ＝BC ×OA ×1，得d ＝OAOA 1．由AB ⊥AC ，AB ＝AC 得OA ＝ 12BC ，又OA 1＝32BC ，故d ＝33．因为点A 与点C 1到截面A 1BC 的距离相等，所以点C 1到截面A 1BC 的距离为33．…12分（20）解：（Ⅰ）由题意可得：3a 2＋14b 2＝1， …1分将3x ＋2y －4＝0代入椭圆C ： (3a 2＋4b 2)x 2－83a 2x ＋16a 2－4a 2b 2＝0由Δ＝0得3a 2＋4b 2＝16， …3分联立解得：a 2＝4，b 2＝1．于是椭圆C 的方程为：x 24＋y 2＝1．…5分（II ）设直线l ：y ＝kx ＋m ，M (x 0，y 0)．将直线l 的方程代入椭圆C 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， …6分令Δ＝0，得m 2＝4k 2＋1，且x 20＝4m 2－41＋4k 2．所以|OM |2＝1＋16k 21＋4k 2． ①又|OH |2＝m 21＋k 2＝1＋4k 21＋k 2，② …10分① ②与|OH |＝ 45|OM |联立整理得：16k 4－8k 2＋1＝0，解得：k ＝± 12．…12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝e x (x －a )－x ＋a ＝(x －a )(e x －1)，当x ∈(－∞，0)时，f '(x )＞0, f (x )单增；当x ∈(0，a )时，f '(x )＜0，f (x )单减；当x ∈(a ，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单增．所以，f (x )在(－∞，0)和(a ，＋∞)分别单调递增；在(0，a )单调递减． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当a ≥1时，f (x )在(0，1)单调递减，f (x )＜f (0)＝－a －1． …8分当0＜a ＜1时，f (x )在(0，a )单调递减；在(a ，1)单调递增，则f (x )＜－a －1当且仅当f (1)＝－a e ＋a － 12≤－a －1，解得：12(e －2)≤a ＜1．1综上：a 的取值范围是[12(e －2)，＋∞)．…12分（22）解：（Ⅰ）证明：延长DC 与圆O 交于点M ，因为CD ⊥AB ，所以CD 2＝CD ·CM ＝AC ·BC ，因为Rt △ACE ∽Rt △GBC ，所以AC CE ＝CGBC，即AC ·BC ＝CE ·CG ，故CD 2＝CE ·CG ．…5分（Ⅱ）因为AC ＝CO ＝1，所以CD 2＝AC ·BC ＝3，又CD ＝3CE ，由（Ⅰ）得CG ＝3CD ，GT 2＝GM ·GD ＝(CG ＋CM )·(CG －CD )＝(CG ＋CD )·(CG －CD ) ＝CG 2－CD 2＝8CD 2＝24，故GT ＝26． …10分（23）解：（Ⅰ）将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入已知，分别得C 和l 的极坐标方程为C ：ρ＝4cos θ（0≤θ≤ π2)，l ：ρcos θ－2ρsin θ－2＝0． …4分（Ⅱ）依题意，l 经过半圆C 的圆心C (2，0)．设点B 的极角为α，则tan α＝ 1 2，进而求得cos α＝255…6分由C 的极坐标方程得|OB |＝4cos α＝855． …10分（24）解：（Ⅰ）若a ＝1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－2，3，－2≤x ≤1，2x ＋1，x ＞1．由f (x )的单调性及f (－3)＝f (2)＝5，得f (x )≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}．…5分（Ⅱ）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)x －1，x ≤－2，(1－a )x ＋3，－2＜x ＜ 1a ，(a ＋1)x ＋1，x ≥ 1a．当x ∈(－∞，－2]时，f (x )单调递减；当x ∈[ 1a，＋∞)时，f (x )单调递增，又f (x )的图象连续不断，所以f (x )≥2当且仅当f (－1)＝2a ＋1≥2，且f ( 1 a )＝ 1a＋2≥2，得a ≥ 1 2，故a 的最小值为 12． …10分。

河北省唐山市2019年高考第三次模拟考试文科数学试卷及答案

唐山市2019—2019学年度高三年级第三次模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}13,0M x x N x x =-≤<=<，则集合()R M C N ⋂=（）A ．{}03x x ≤<B ．{}10x x -≤< C. {}1x x <- D ．{1x x <-或}0x ≥ 2.复数z 满足()234i z i --=+（i 为虚数单位），则z =（） A ．2i -+ B ．2i - C. 2i -- D ．2i +3.如图反映了全国从2013年到2019年快递业务量及其增长速度的变化情况，以下结论正确的是（）A.快递业务量逐年减少，增长速度呈现上升趋势B.快递业务量逐年减少，增长速度呈现下降趋势C.快递业务量逐年增加，增长速度呈现上升趋势D.快递业务量逐年增加，增长速度呈现下降趋势4.已知tan 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2．2--2-+．2+5.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的两条渐近线分别为12,l l ，若E 的一个焦点F 关于1l 的对称点F '在2l 上，则E 的离心率为（）A B ．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．6B ．7 C. 152 D ．2337.已知函数()()sin 203f x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相切，则()f π=（）A ．32-B ．12-1- D ．1- 8.已知,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，下列命题中正确的是（）A ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥B ．若//,//,//m n αβαβ，则//m n C. 若//,,m n m n αβ⊂⊂，则//αβ D ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥ 9.利用随机模拟的方法可以估计圆周率π的值，为此设计如图所示的程序框图，其中()rand 表示产生区间[]0,1上的均匀随机数（实数)，若输出的结果为786，则由此可估计π的近似值为（）A ．3.134B ．3.141 C.3.144 D ．3.147 10.已知233,log 3,log 42a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b c a << C. c a b << D ．c b a <<11.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，24c b ==，角A 的内角平分线交BC 于点D ，且AD =则cos A =（）A ．716-B ．78-C.．916-12.设函数()()2211x x f x e x e-=++-，则使得()()23f x f x >+成立的x 的取值范围是（）A ．()(),13,-∞-⋃+∞B ．()1,3- C. ()1,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()2,0,0,xx f x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，若()()112f f -+=，则a = ．14.设,x y 满足约束条件10,240,x y x y --≤⎧⎨+-≥⎩若2z x y =-+，则z 的最小值为．15.已知P 是抛物线24y x =上任意一点，Q 是圆()2241x y -+=上任意一点，则PQ 的最小值为． 16.在ABC ∆中，点G 满足0GA GB GC ++=.若存在点O ，使得()0OG BC λλ=>，且()0OA mOB nOC mn =+>，则m n -的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，111,2a b ==，22337,13a b a b +=+=. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若,,n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n S .18. 某球迷为了解,A B 两支球队的攻击能力，从本赛季常规赛中随机调查了20场与这两支球队有关的比赛.两队所得分数分别如下：A 球队：122 110 105 105 109 101 107 129 115 100114 118 118 104 93 120 96 102 105 83B 球队：114 114 110 108 103 117 93 124 75 10691 81 107 112 107 101 106 120 107 79（1）根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图，并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）现将球队的攻击能力从低到高分为三个等级：根据两支球队所得分数，估计哪一支球队的攻击能力等级为较弱的概率更大一些，并说明理由. 19.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，90BAC PAD PCD ∠=∠=∠=︒.（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若2,4AB AC PA ===，E 为棱PB 上的点，若//PD 平面ACE ，求点P 到平面ACE 的距离. 20.已知点,A B 分别是x 轴，y 轴上的动点，且3AB =，点P 满足2BP PA =，点P 的轨迹为曲线Γ，O 为坐标原点. （1）求Γ的方程；（2）设点P 在第一象限，直线AB 与Γ的另一个交点为Q ，当POB ∆的面积最大时，求PQ . 21.已知0a >，函数()4ln 21f x a x x =+-+. （1）若()f x 的图象与x 轴相切于()1,0，求a 的值；（2）若()y f x =有三个不同的零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知点A 在椭圆22:24C x y +=上，将射线OA 绕原点O 逆时针旋转2π，所得射线OB 交直线:2l y =于点B . 以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求椭圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）证明：:Rt OAB ∆中，斜边AB 上的高h 为定值，并求该定值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()123f x x x =---. （1）求不等式()0f x ≥的解集；（2）设()()()g x f x f x =+-，求()g x 的最大值.试卷答案一、选择题1-5: DBBAC 6-10: BDCBA 11、12：CA二、填空题13.1-12π三、解答题17.解：（Ⅰ）由3a－3bcos C＝csin B及正弦定理得，3sin A－3sin Bcos C＝sin Csin B，因为sin A ＝sin (B ＋C)＝sin Bcos C ＋sin Ccos B ，所以3sin Ccos B ＝sin Csin B ．因为sin C ≠0，所以tan B ＝3，又因为B 为三角形的内角，所以B ＝ π3．（Ⅱ）由a ，b ，c 成等差数列得a ＋c ＝2b ＝4，由余弦定理得a 2＋c 2－2accos B ＝b 2，即a 2＋c 2－ac ＝4，所以(a ＋c)2－3ac ＝4，从而有ac ＝4．故S △ABC ＝ 12acsin B ＝3．（18）解：（Ⅰ）（ⅰ）由图中表格可知，样本中每周使用移动支付次数超过3次的男用户有45人，女用户30人，在这75人中，按性别用分层抽样的方法随机抽取5名用户，其中男用户有3人，女用户有2人．…2分（ⅱ）记抽取的3名男用户分别A ，B ，C ；女用户分别记为d ，e ．再从这5名用户随机抽取2名用户，共包含 (A ，B)，(A ，C)，(A ，d)，(A ，e)，(B ，C)， (B ，d)，(B ，e)，(C ，d)，(C ，e)，(d ，e)，10种等可能的结果，其中既有男用户又有女用户这一事件包含(A ，d)，(A ，e)， (B ，d)，(B ，e)，(C ，d)，(C ，e)，共计6种等可能的结果，由古典概型的计算公式可得P ＝ 6 10＝ 35．（Ⅱ）由图中表格可得列联表将列联表中的数据代入公式计算得k ＝n(ad －bc)2(a ＋b)(c ＋d)(a ＋c)(b ＋d)＝100(45×15－30×10)225×75×55×45≈3.03＜3.841，所以，在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为是否喜欢使用移动支付与性别有关．（19）解：（Ⅰ）因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，平面ABCD ∩平面CDEF ＝CD ，AD ⊥CD ，所以AD ⊥平面CDEF ，又CF 平面CDEF ，则AD ⊥CF ．又因为AE ⊥CF ，AD ∩AE ＝A ，所以CF ⊥平面AED ，DE 平面AED ，从而有CF ⊥DE ．（Ⅱ）连接FA ，FD ，过F 作FM ⊥CD 于M ，因为平面ABCD ⊥平面CDEF 且交线为CD ，FM ⊥CD ，所以FM ⊥平面ABCD ．因为CF ＝DE ，DC ＝2EF ＝4，且CF ⊥DE ，所以FM ＝CM ＝1，所以五面体的体积V ＝V F －ABCD ＋V A －DEF ＝163＋ 4 3＝203．（20）解：（Ⅰ）由题设可知k ≠0，所以直线m 的方程为y ＝kx ＋2，与y 2＝4x 联立，整理得ky 2－4y ＋8＝0，① 由Δ1＝16－32k ＞0，解得k ＜ 12．直线n 的方程为y ＝－ 1 k x ＋2，与y 2＝4x 联立，整理得y 2＋4ky －8k ＝0，由Δ2＝16k 2＋32k ＞0，解得k ＞0或k ＜－2．所以⎩⎨⎧k ≠0，k ＜ 1 2，k ＞0或k ＜－2，故k 的取值范围为{k|k ＜－2或0＜k ＜ 1 2}．（Ⅱ）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)．由①得，y 1＋y 2＝ 4 k ，则y 0＝ 2 k ，x 0＝ 2 k 2－ 2 k ，则M ( 2 k 2－ 2 k ， 2k )．同理可得N(2k 2＋2k ，－2k)．直线MQ 的斜率k MQ ＝ 2k 2 k 2－ 2k－2＝－kk 2＋k －1，直线NQ 的斜率k NQ ＝－2k 2k 2＋2k －2＝－kk 2＋k －1＝k MQ ，所以直线MN 过定点Q(2，0)．（21）解：（Ⅰ）由f (x)＝e xsin x －ax ，得f (0)＝0．由f(x)＝e x(cos x ＋sin x)－a ，得f(0)＝1－a ，则1－a ＝－a2，解得a ＝2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f (x)＝e x(cos x ＋sin x)－a ，令g (x)＝f (x)，则g (x)＝2e xcos x ，所以x ∈[0，2]时，g(x)≥0，g (x)单调递增，f(x)单调递增．（ⅰ）当a ≤1时，f (0)＝1－a ≥0，所以f(x)≥f(0)≥0，f (x)单调递增，又f (0)＝0，所以f (x)≥0．（ⅱ）当a ≥eπ2时，f(2)≤0，所以f(x)≤f(2)≤0，f (x)单调递减，又f (0)＝0，所以f (x)≤0，故此时舍去．（ⅲ）当1＜a ＜eπ2时，f(0)＜0，f(2)＞0，所以存在x 0∈(0，2)，使得f(x 0)＝0，所以x ∈(0，x 0)时，f (x)＜0，f (x)单调递减，又f (0)＝0，所以f (x)≤0，故此时舍去．综上，a 的取值范围是a ≤1．（22）解：（Ⅰ）由A (6，3π4)得直线OA 的倾斜角为3π4，所以直线OA 斜率为tan3π4＝－1，即OA ：x ＋y ＝0．由x ＝ρcos α，y ＝ρsin α可得A 的直角坐标为(－3，3)，因为椭圆C 关于坐标轴对称，且B(23，0)，所以可设C ：x 212＋y2t＝1，其中t ＞0且t ≠12，将A(－3，3)代入C ，可得t ＝4，故椭圆C 的方程为x 212＋y24＝1，所以椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝23cos α，y ＝2sin α（α为参数）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得M(23cos α，2sin α)，0＜α＜ π2．点M 到直线OA 的距离d ＝6cos α＋2sin α．所以S ＝S △MOA ＋S △MOB ＝(3cos α＋3sin α)＋23sin α ＝3cos α＋33sin α ＝6sin (α＋ π6)，所以当α＝ π3时，四边形OAMB 面积S 取得最大值6．（23）解：（Ⅰ）不等式|x ＋1|－|x －1|≥x 2＋3x －2等价于⎩⎨⎧x ＞1，2≥x 2＋3x －2，或⎩⎨⎧－1≤x≤1，2x ≥x 2＋3x －2，或⎩⎨⎧x ＜－1，－2≥x 2＋3x －2．解得，或－1≤x≤1，或－3≤x＜－1．所以不等式f (x)≥g (x)的解集是{x|－3≤x≤1}．（Ⅱ）x ∈[－1，1]，令F (x)＝g (x)－f (x)＝x 2＋(a －2)x －2 不等式f (x)≥g (x)的解集包含[－1，1]等价于⎩⎨⎧F (1)＝a －3≤0，F (－1)＝1－a ≤0，解得1≤a ≤3，所以a 的取值范围为[1，3].。

【唐山三模】唐山市2019学年度高三年级第三次模拟考试文科数学(含答案(已修订)

则 cos A （）
A． 7 16
B． 7 8
C. 3 2 8
D． 9 16
12.设函数
f
x
ex2
1 ex
x
12
，则使得
f
2x
f
x
3 成立的
x 的取值范围是（
）
A． ,1 3,
B． 1,3
C.
,
1 3
3,
D．
1 3
,
3
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
（1）求an 和bn 的通项公式；
（2）若
cn
an , n为奇数 bn , n为偶数
，求数列 cn
的前
2n
项和
S2n
.
18. 某球迷为了解 A, B 两支球队的攻击能力，从本赛季常规赛中随机调查了 20 场与这两支球队有关的比赛.
两队所得分数分别如下：
A 球队：122 110 105 105 109 101 107 129 115 100
20.已知点 A, B 分别是 x 轴， y 轴上的动点，且 AB 3 ，点 P 满足 BP 2PA ，点 P 的轨迹为曲线， O 为
坐标原点. （1）求的方程；
（2）设点 P 在第一象限，直线 AB 与的另一个交点为 Q ，当 POB 的面积最大时，求 PQ .
21.已知
a
0
，函数
114 118 118 104 93 120 96 102 105 83
B 球队：114 114 110 108 103 117 93 124 75 106
91 81 107 112 107 101 106 120 107 79

河北省唐山市高三第三次模拟考试数学文科试题

河北省唐山市高三第三次模拟考试数学试题（文科）说明：一、本试卷包括三道大题，22道小题，共150分。

其中第一道大题为选择题。

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案。

四、考试结束后，将本试卷与答卷与原答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) r S π4=如果事件A 、B 相互，那么其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 334R V π=那么n 次重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1．曲线)3,1(43在点x x y +-=处的切线方程为（）A ．02=+-y xB ．02=--y xC ．047=+-y xD ．047=--y x2．已知集合=>-=≤+-=B A x x B x x x A 则集合},3|12||{},065|{2（）A ．{32|≤≤x x }B ．{32|<≤x x }C ．{x x ≤<32|}D ．{31|≤<-x x }3．已知二面角βα--l 的大小为120°，m 、n 为异面直线，且βα⊥⊥n m ,，则m 、n 所成的角为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 4．已知函数),4sin()4sin(ππ+-=x x y 则下列判断正确的是（）A ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是)0,2(πB ．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,2(πC ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是)0,4(πD ．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,4(π5．下列四个函数： ①x x f sin )(=； ②|1||1|)(+--=x x x f ；③);,10)((21)(R a a a a x f x x ∈<<+=-④xxx f +-=22ln)( 即是奇函灵敏，又在区间[—1，1]上单调递减的函数有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 6．函数)2(1≠-=x xxy 的反函数图象大致是（）7．若直线02=+-a y x 向上平移一个单位后与圆522=+y x 相切，则a 的值为（）A ．4或6B ．—4或6C ．—4或—6D ．4或—68．非零向量，a 、b 满足||||||b a b a +==，则当)(||R b a ∈-λλ取最小值时，实数λ等于（）A ．21 B ．21-C ．23 D ．23-9．设,5,4,3,2,1=k 则5)2(+x 的展开式中x k 的系数不可能是（）A ．10B ．40C ．50D ．8010．点P （—3，1）在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且与直线025=+y x 平行的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A ．33 B ．31 C ．22 D ．21 11．已知实数x 、y 满足a y x x y y ≤+⎩⎨⎧-≥≤2|,1|,1若恒成立，则a 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 12．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中恒成立的是（）A ．若a>b>1，则a b b a >B ．||||||c b c a b a -+-≤-C ．若a>b>1，则bac b c a >++ D ．a a a a -+≥+-+213二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省唐山市数学高三文数第三次联考试卷

河北省唐山市数学高三文数第三次联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·兴庆期中) 已知，则集合的元素个数是（）A . 8B . 7C . 6D . 52. （2分）复数i(2-i)=（）A . 1+2iB . 1-2iC . -1+2iD . -1-2i3. （2分）在△ABC中，∠C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB的值为（）A .B .C .D .4. （2分）在圆内任取一点，则该点恰好在区域内的概率为（）A .C .D .5. （2分）(2018·大新模拟) 已知为定义在上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·凯里模拟) 某几何体的三视图如图所示,则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·上饶模拟) 上海地铁号线早高峰时每隔分钟一班，其中含列车在车站停留的分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为（）B .C .D .8. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 已知，，若对任意的，存在，使得成立，则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果（）A .B .C .D .10. （2分）已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有|+|||，那么k的取值范围是（）A . (,)B . (,)C . (,2)D . (,2)11. （2分）正三棱锥的底面边长为6，高为，则这个三棱锥的体积为（）A . 9B .C .D . 2712. （2分）在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·重庆模拟) 已知向量，，且，则 ________．14. （1分）(2018·河南模拟) 若，，则 ________．15. （1分） (2018高二下·无锡月考) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a ， b ， c ，设S是△ABC 的面积，若﹣，则角A的值为________．16. （1分） (2015高二下·集宁期中) 已知a＞0，函数f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调递增函数，则a的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1﹣x）=2．（1）求f（）和f（）+f（）（n∈N*）的值；（2）数列{an}满足an=f（0）+f（）+f（）+，+f（）+f（1），（n∈N*）求证：数列{an}是等差数列．18. （15分）袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.（1）从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;（2）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.19. （10分） (2017高二上·海淀期中) 如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，．（I）求证：平面．（II）求证：平面．（III）求四面体的体积．20. （10分） (2018高三上·三明模拟) 如图，椭圆的右顶点为，左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与轴交于点，与椭圆交于另一个点，且点在轴上的射影恰好为点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点（不与重合），若，求直线的方程.21. （10分）(2018·榆社模拟) 已知函数 .（1）讨论函数在上的单调性；（2）比较与的大小，并加以证明.22. （10分） (2015高三上·巴彦期中) （选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）23. （10分）(2019·永州模拟) 已知函数， .（1）讨论函数在上的单调性；（2）设，当时，证明： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

河北唐山2022高三第三次重点考试-数学(文)

河北唐山2022高三第三次重点考试-数学（文）2020届高三第三次模拟数学（文）试题说明：一、本试卷共4面，包括三道大题，24道小题，共150分，其中（1）～（21）小题为必做题，（22）～（24）小题为选做题。

二、答题前请认真阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

三、做选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮将原选涂答案擦洁净后，再选涂其他答案。

四、考试终止后，将本试卷与原答题卡一并交回。

参考公式：样本数据12,,n x x x 的标准差锥体的体积公式13v sh=222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- 其中S 为底面面积，h 为高其中x 为样本平均数球的表面积、体积公式2344,3s R V R ππ==柱体的体积公式V sh = 其中R 为球的半径其中S 为底面面积，h 为高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1．复数243(2)ii +=- （） A ．iB ．－iC ．1D ．－12．已知全集U=N ，{}2|7100,A x N x x CUA =∈-+≥=则（）A ．{}2,3,4,5B ．{}3,4,5C ．{}2,3,4D ．{}3,43．函数31()(2)()2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（）A ．（－2，－1）B ．（－1，0）C ．（0，1） `D ．（1，2）4．执行右面的程序框图，若输出的x=2，则输出k 的值是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．85．一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率差不多上27，则男运动员应抽取（）A ．12人B ．14人C ．16人D ．18人6．等差数列{}n a 的前n 项和为711,21,121n S S S ==已知，则该数列的公差d=（）A ．5B ．4C ．3`D ．27．设a 、b R ∈，则“a>1且0<b<1”是“a －b>0且a b>1”成立的（）A ．充分面不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件8．六棱柱'''''''ABCDEF A B C D E F -的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，且侧棱长等于底面边长，则直线''B D 与'EF 所成角的余弦植为（）A．3B．4C ．14`D ．349．函数cos()6y x ππ=+的一个单调增区间是（）A ．21[,]33- B ．14[,]33C ．15[,]66- D ． 511[,]6610．A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点，点P 是该椭圆上与A 、B 不重合的任意一点，设∠PAB=a ，∠PBA=β，则（） A ．sin cos a β< B ．sin cos a β>C ．sin cos a β=D ．sin cos a β与的大小不确定11．动点P （x ，y ）满足1,25,3,y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩点Q 为（1，－1），O 为坐标原点，||OQ OP OQ λ=⋅，则λ的取值范畴是（）A ．[2,2]B ．2[2,2-C ．22[22- D ．2[2]2-12．函数22(),()1,(()(())[,](0)f x x g x og x f g x g f x a b a b ==<<若与的定义域都为，值域相同，则（） A ．1,4a b == B ．1,1a b =≤ C ．1,4a b ≥≤D ．1,4a b ≥=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年河北省唐山市高考数学三模试卷【答案版】

2023年河北省唐山市高考数学三模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞1}，B ＝{x |﹣3＜x ＜2}，则A ∩B ＝（） A ．（1，2） B ．（﹣3，﹣1）C ．（﹣3，1）D ．（﹣3，﹣1）∪（1，2）2．已知i 为虚数单位，复数z =1−√3i ，则4z=（） A ．1−√3iB ．1+√3iC ．−1−√3iD ．−1+√3i3．(√x −1x)6展开式中的常数项为（） A ．﹣20B ．20C ．﹣15D ．154．正方形ABCD 边长为4，M 为CD 中点，点N 在AD 上，BM →⋅BN →=20，则|BN →|=（） A ．√5B ．2√5C ．5D ．105．把边长为√2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角D ﹣AC ﹣B ，则三棱锥D ﹣ABC 的外接球的球心到平面BCD 的距离为（）A ．√33B ．√22C ．√63D ．126．已知椭圆C ：x 22+y 2=1的两个焦点分别为F 1，F 2，点M 为C 上异于长轴端点的任意一点，∠F 1MF 2的角平分线交线段F 1F 2于点N ，则|MF 2||F 2N|=（） A ．15B ．√105C ．√22D ．√27．假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品．现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为（） A ．13B ．37C ．720D ．478．已知3m ＝e 且a ＝cos m ，b =1−12m 2，c =sinmm，e 是自然对数的底数，则（） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．为了得到函数y =cos(2x −π3)的图象，只需把余弦曲线y ＝cos x 上所有的点（）A ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6C ．向右平移π3，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 D ．向右平移π6，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变10．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，l 是空间任意一条直线，以下说法正确的有（） A ．平面α与β必相交 B ．若l ⊥m ，则l ∥αC ．若l 与n 所成的角为30°，则l 与平面β所成的角为60°D ．若m 与n 所成的角为30°，则平面α与β的夹角为60°11．函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，若f （x ）为奇函数，且f （x +2）＝f （x ），则（） A ．f ′（x ）为偶函数B ．f ′（0）＝0C ．f （x ）的图象关于（1，0）对称D ．若F （x ）＝f （x ）+xf ′（x ），则F ′（x ）为奇函数12．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到底面为长方形的屋状的楔体（图示的五面体EF ﹣ABCD ）．底面长方形ABCD 中BC ＝3，AB ＝4，上棱长EF ＝2，且EF ∥平面ABCD ，高（即EF 到平面ABCD 的距离）为1，O 是底面的中心，则（）A ．EO ∥平面BCFB ．五面体EF ﹣ABCD 的体积为5C ．四边形ABFE 与四边形CDEF 的面积和为定值3√13D ．△ADE 与△BCF 的面积和的最小值为3√2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1=12，a 32=a 6，则S 3＝．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为√3的直线l 与C 交于A ，B 两点，则△AOB 的面积为．15．已知曲线y ＝lnx 与y ＝ax 2（a ＞0）有公共切线，则实数a 的取值范围为．16．数字波是由0和1组成的脉冲信号序列，某类信号序列包含有n 个数字0和n 个数字1，且每个数字0之前1的个数多于0的个数．当n 等于3时，这样的信号序列有种；当n 等于5时，这样的信号序列有种．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＞0，a n 2+2a n +1=4S n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{(−1)n (4na n a n+1)}的前n 项和T n ．18．（12分）如图所示，在三棱锥P ﹣ABC 中，已知P A ⊥平面ABC ，平面P AB ⊥平面PBC ，点D 为线段PC 上一点，且PD ＝2DC ．（1）证明：BC ⊥平面P AB ；（2）若AB ＝6，BC ＝3，且三棱锥P ﹣ABC 的体积为18，求平面ABD 与平面ACD 的夹角的余弦值．19．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A 为钝角，a sin B ＝b cos B ．（1）若C =π6，求A ；（2）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．20．（12分）据统计，某城市居民年收入（所有居民在一年内收入的总和，单位：亿元）与某类商品销售额（单位：亿元）的10年数据如表所示：依据表格数据，得到下面一些统计量的值．（1）根据表中数据，得到样本相关系数r ≈0.95．以此推断，y 与x 的线性相关程度是否很强？（2）根据统计量的值与样本相关系数r ≈0.95，建立y 关于x 的经验回归方程（系数精确到0.01）；（3）根据（2）的经验回归方程，计算第1个样本点（32.2，25.0）对应的残差（精确到0.01）；并判断若剔除这个样本点再进行回归分析，b 的值将变大还是变小？（不必说明理由，直接判断即可）．附：样本（x i ，y i ）（i ＝1，2，⋯，n ）的相关系数r =∑(x i −x)ni=1(y −y)√∑ i=1(x i −x)2√∑ i=1(y i −y)2，√2.297≈1.516，b =∑(x i−x)ni=1(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2，a =y −b x ．21．（12分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2=1（a ＞0），左、右顶点分别为A 1，A 2，经过右焦点F 垂直于x 轴的直线与E 相交于A ，B 两点，且|AB |＝1．（1）求E 的方程；（2）若直线l ：y ＝kx +m 与圆x 2+y 2＝a 2相切，且与双曲线左、右两支分别交于P 1，P 2两点，记直线P 1A 1的斜率为k 1，P 2A 2的斜率为k 2，那么k 1•k 2是否为定值？并说明理由． 22．（12分）已知函数f(x)=e 2x +(2−a)e x −ax +ae2（a ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围．2023年河北省唐山市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞1}，B ＝{x |﹣3＜x ＜2}，则A ∩B ＝（） A ．（1，2） B ．（﹣3，﹣1）C ．（﹣3，1）D ．（﹣3，﹣1）∪（1，2）解：因为集合A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞1}，B ＝{x |﹣3＜x ＜2}，所以A ∩B ＝（﹣3，﹣1）∪（1，2）．故选：D ．2．已知i 为虚数单位，复数z =1−√3i ，则4z =（）A ．1−√3iB ．1+√3iC ．−1−√3iD ．−1+√3i解：复数z =1−√3i ，则4z=1−√3i=√3i)(1−√3i)(1+√3i)=4+4√3i1+3=1+√3i ．故选：B ．3．(√x −1x)6展开式中的常数项为（） A ．﹣20B ．20C ．﹣15D ．15解：由于(√x −1x )6展开式的通项公式为 T r +1=C 6r•x6−r 2•（﹣1）r •x ﹣r ＝（﹣1）r •C 6r •x 6−3r 2．令6−3r 2=0，r ＝2，故展开式中的常数项为 C 62=15，故选：D ．4．正方形ABCD 边长为4，M 为CD 中点，点N 在AD 上，BM →⋅BN →=20，则|BN →|=（） A ．√5B ．2√5C ．5D ．10解：设AN →=λAD →，因为BM →=BC →+CM →=BC →+12BA →，BN →=BA →+AN →=BA →+λBC →，因为正方形ABCD 边长为4，BA →⋅BC →=0，所以BM →⋅BN →=(BC →+12BA →)⋅(BA →+λBC →)=16λ+8=20，解得λ=34，所以|BN →|=√16+9=5．故选：C ．5．把边长为√2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角D ﹣AC ﹣B ，则三棱锥D ﹣ABC 的外接球的球心到平面BCD 的距离为（） A ．√33B ．√22C ．√63D ．12解：作出图形，如图所示：三棱锥D ﹣ABC 的外接球球心为AC 的中点O ，则OB ＝OC ＝OD ＝1，且OC ⊥OB ，DO ⊥面OBC ， BC ＝CD ＝BD =√2，设球心到平面BCD 的距离为d ，则V D−OBC =V O−BCD ⇒13×1×12×1×1=13×d ×√34×(√2)2⇒d =√33．故选：A ．6．已知椭圆C ：x 22+y 2=1的两个焦点分别为F 1，F 2，点M 为C 上异于长轴端点的任意一点，∠F 1MF 2的角平分线交线段F 1F 2于点N ，则|MF 2||F 2N|=（） A ．15B ．√105C ．√22D ．√2解：因为∠F 1MF 2的角平分线交线段F 1F 2于点N ，椭圆C ：x 22+y 2=1的两个焦点分别为F 1，F 2，所以∠F 1MN ＝∠NMF 2，所以由正弦定理得MF 1sin∠MNF 1=F 1N sin∠F 1MN，MF 2sin∠MNF 2=F 2N sin∠F 2MN，又因为sin ∠MNF 1＝sin ∠MNF 2，sin ∠F 1MN ＝sin ∠F 2MN ，所以MF 1F 1N=MF 2F 2N，即MF 1MF 2=F 1N F 2N，不妨设|MF 2|＝x ，|ON |＝n ，如图：则2a−x x=c−n c+n，解得x =a(c+n)c ，所以|MF 2||F 2N|=xc+n =a(c+n)cc+n =a c =√a 22，由题意a =√2，b ＝1，所以|MF 2||F 2N|=√2√2−1=√2．故选：D ．7．假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品．现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为（） A ．13B ．37C ．720D ．47解：事件A 表示从第一箱中取一个零件，事件B 表示取出的零件是次品，则P(A|B)=P(AB)P(B)=12×2512×25+12×310=47，故选：D ．8．已知3m ＝e 且a ＝cos m ，b =1−12m 2，c =sinmm ，e 是自然对数的底数，则（） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c解：首先证明常用不等式：sin(x)＜x ＜tan(x)，x ∈(0，π2)，设p （x ）＝sin x ﹣x ，x ∈(0，π2)，则p ′（x ）＝cos x ﹣1＜0，∴p （x ）在x ∈(0，π2)上单调递减， ∴当x ∈(0，π2)时，p （x ）＜sin0﹣0＝0，即sin x ＜x ；设q （x ）＝tan x ﹣x ，x ∈(0，π2)，则q ′(x)=1cos 2x−1＞0，∴q （x ）在x ∈(0，π2)上单调递增， ∴当x ∈(0，π2)时，q （x ）＞tan0﹣0＝0，即tan x ＞x ． ∴，当x ∈(0，π2)时，sin x ＜x ＜tan x ．故当x ∈（0，1）时，sin x ＜x ＜tan x ． ∵3m ＝e ，∴ln 3m ＝lne ，∴m =1ln3∈(0，1)，∴a ，b ，c ＞0， ∵sinm cosm=tanm ＞m ，∴sinm m＞cosm ，即c ＞a ，∵a −b =cosm −1+12m 2，令f(x)=cosx −1+12x 2，x ∈(0，1)，∴f ′（x ）＝﹣sin x +x ＞0，f （x ）单调递增，∴f （x ）＞f （0）＝0，则a −b =cosm −1+12m 2＞0，即a ＞b ，综上，c ＞a ＞b ．故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．为了得到函数y =cos(2x −π3)的图象，只需把余弦曲线y ＝cos x 上所有的点（） A ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6C ．向右平移π3，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 D ．向右平移π6，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变解：函数y ＝cos x 的图象向右平移π3个长度单位，得y =cos(x −π3)，再将横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），得y =cos(2x −π3)；函数y ＝cos x 图象将横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），得y ＝cos2x ，再向右平移π6个长度单位，得y =cos[2(x −π6)]，即y =cos(2x +π3)．故选：BC ．10．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，l 是空间任意一条直线，以下说法正确的有（） A ．平面α与β必相交 B ．若l ⊥m ，则l ∥αC ．若l 与n 所成的角为30°，则l 与平面β所成的角为60°D ．若m 与n 所成的角为30°，则平面α与β的夹角为60° 解：对A ，若平面α与β平行，则m ⊥β，又n ⊥β，则m ∥n ，与m ，n 为异面直线矛盾，故平面α与β必相交，故A 正确；对B ，l ⊥m ，l 可能在平面α内，所以l ∥α不正确，故B 错误；对C ，过n 上一点P 作l ′∥l ，交β于A ，则直线AB 为l ′在平面β上的射影，如图，所以l ′与平面β所成的角为∠P AB ，由题意知∠APB ＝30°，所以∠P AB ＝60°，由l ′∥l 可知，l 与平面β所成的角为60°，故C 正确；对D ，平移m ，n 过点O ，分别与α，β交于C ，D ，平面OCD 与棱EF 交于Q ，连接CQ ，DQ ，如图，由m ，n 分别垂直两平面，易知棱EF 与平面OCD 垂直，可得CQ ，DQ 与EF 垂直，故∠CQD 为二面角的平面角，由m 与n 所成的角为30°，可知∠CQD ＝150°，所以平面α与β的夹角为180°﹣150°＝30°，故D 错误．故选：AC ．11．函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，若f （x ）为奇函数，且f （x +2）＝f （x ），则（） A ．f ′（x ）为偶函数B ．f ′（0）＝0C ．f （x ）的图象关于（1，0）对称D ．若F （x ）＝f （x ）+xf ′（x ），则F ′（x ）为奇函数解：因为f （x ）为奇函数且在定义域R 上可导，即f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以两边对x取导可得（﹣x）′f′（﹣x）＝﹣f′（x），即f′（﹣x）＝f′（x），所以f′（x）为偶函数，故A正确；对于B：令f（x）＝sin（πx），显然f（x）为奇函数，且最小正周期T=2ππ=2，即满足f（x+2）＝f（x），则f′（x）＝πcos（πx），则f′（0）＝π，故B错误；对于C：因为f（x+2）＝f（x）且f（x）为R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x+2）＝﹣f（﹣x），所以f（x﹣1+2）＝f（x+1）＝﹣f（1﹣x），即f（x+1）+f（1﹣x）＝0，所以f（x）的图象关于（1，0）对称，故C正确；对于D：因为F（x）＝f（x）+xf′（x），则F（﹣x）＝f（﹣x）﹣xf′（﹣x）＝﹣f（x）﹣xf′（x）＝﹣F（x），即F（x）为奇函数，由A可知F′（x）为偶函数，故D错误．故选：AC．12．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到底面为长方形的屋状的楔体（图示的五面体EF﹣ABCD）．底面长方形ABCD中BC＝3，AB＝4，上棱长EF＝2，且EF∥平面ABCD，高（即EF到平面ABCD的距离）为1，O是底面的中心，则（）A．EO∥平面BCFB．五面体EF﹣ABCD的体积为5C．四边形ABFE与四边形CDEF的面积和为定值3√13D．△ADE与△BCF的面积和的最小值为3√2解：取BC的中点G，连接OG，FG，∵EF∥OG，EF＝OG，∴四边形EFGO为平行四边形，∴EO∥FG，∵EO⊄平面BCF，FG⊂平面BCF，∴EO∥平面BCF，故A正确；过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过H作BC的平行线MN，交AB于N，交CD于M，∵MN⊂平面ABCD，∴FH⊥MN，又AB⊥MN，FH∩MN＝H，MN，FH⊂平面FMN，∴AB ⊥平面FMN ，过E 作EP ∥FM ，交CD 于P ，作EQ ∥FN ，交AB 于Q ，连接PQ ， ∵EP ∥FM ，EP ⊄平面FMN ，FM ⊂平面FMN ， ∴EP ∥平面FMN ，同理EQ ∥平面FMN ，又EP ∩EQ ＝E ，EP ，EQ ⊂平面EPQ ， ∴平面EPQ ∥平面FMN ，五面体EF ﹣ABCD 包含一个三棱柱EPQ ﹣FMN 和两个的四棱锥E ﹣ADPQ ，F ﹣BCMN ， ∴五面体EF ﹣ABCD 的体积：V ＝V EPQ ﹣FMN +V E ﹣ADPQ +V F ﹣BCMN =S △FMN ×QN +13S ADPQ ×FH +13S BCMN ×FH =12×BC ×FH ×EF +13(AQ +BN)×BC ×FH =12×3×1×2+13×2×3×1=5，故B 正确；设NH ＝a ，则MH ＝3﹣a ，FN =√FH 2+NH 2=√1+a 2，FM =√FH 2+MH 2=√1+(3−a)2，四边形ABFE 与四边形CDEF 的面积和为S 1=12×(EF +AB)×FN +12×(EF +CD)×FM =12×6×√1+a 2+12×6×√1+(3−a)2不是定值，故C 错误；过H 作HR ⊥BC ，垂足为R ，连接FR ， ∵FH ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥BC ，又FH ∩HR ＝H ，FH ，HR ⊂平面FHR ， ∴BC ⊥平面FHR ，又FR ⊂平面FHR ， ∴FR ⊥BC ，设BN ＝x ，则AQ ＝y ，且x +y ＝2，x ≥0，y ≥0， △BCF 的面积为12BC ×FR =32√1+x 2，同理可得△ADE 的面积为32√1+y 2，则△ADE 与△BCF 的面积和为S 2=32(√1+x 2+√1+y 2)，当a ≥0，b ≥0时，2（a 2+b 2）≥a 2+b 2+2ab ＝（a +b ）2，即a 2+b 2≥(a+b)22，∴√a 2+b 2≥√22(a +b)，当且仅当a ＝b 等号成立，S 2=32(√1+x 2+√1+y 2)≥32[√22(1+x)+√22(1+y)]=3√2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以△ADE 与△BCF 的面积和的最小值为3√2，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1=12，a 32=a 6，则S 3＝ 78．解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 32=a 6，得(a 1q 2)2=a 1q 5，则q =a 1=12，由等比数列求和公式可知S 3=12×[1−(12)3]1−12=78．故答案为：78．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为√3的直线l 与C 交于A ，B 两点，则△AOB 的面积为4√33．解：由抛物线方程知F （1，0），则直线l ：y =√3(x −1)，即√3x −y −√3=0，联立{y =√3(x −1)y 2=4x ，得3x 2﹣10x +3＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=103，∴|AB|=x 1+x 2+2=163，又坐标原点O 到直线l 的距离d =√33+1=√32，∴S △AOB =12|AB|⋅d =12×163×√32=4√33．故答案为：4√33． 15．已知曲线y ＝lnx 与y ＝ax 2（a ＞0）有公共切线，则实数a 的取值范围为 [12e ，+∞) ．解：设公切线与曲线y ＝lnx 和y ＝ax 2的切点分别为（x 1，lnx 1），(x 2，ax 22)，其中x 1＞0，对于y ＝lnx 有y ′=1x ，则y ＝lnx 上的切线方程为y −lnx 1=1x 1(x −x 1)，即y =xx 1+(lnx 1−1)，对于y ＝ax 2有y '＝2ax ，则y ＝ax 2上的切线方程为y −ax 22=2ax 2(x −x 2)，即y =2ax 2x −ax 22，所以{1x 1=2ax 2lnx 1−1=−ax 22，有−14ax 12=lnx 1−1，即14a =x 12−x 12lnx 1(x 1＞0)，令g （x ）＝x 2﹣x 2lnx ，g '（x ）＝x ﹣2xlnx ＝x （1﹣2lnx ），令g '（x ）＝0，得x =e 12，当x ∈(0，e 12)时，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增，当x ∈(e 12，+∞)时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减，所以g(x)max =g(e 12)=12e ，故0＜14a ≤12e ，即a ≥12e ．∴正实数a 的取值范围是[12e ，+∞)．故答案为：[12e，+∞)． 16．数字波是由0和1组成的脉冲信号序列，某类信号序列包含有n 个数字0和n 个数字1，且每个数字0之前1的个数多于0的个数．当n 等于3时，这样的信号序列有 5 种；当n 等于5时，这样的信号序列有 42 种．解：当n ＝1时，只有：10一种；当n ＝2时，有1010、1100两种；当n ＝3时，说明有3个1、3个0，且最后一位只能是0，即_ _ _ _ _0，可得101010、101100、110100、110010、111000五种；当n ＝5时，根据卡特兰数的模型可得，总排法为C 105，不符合题意的排法为C 104，所以符合题意的排法为C 105−C 104=252﹣210＝42．故答案为：5；42．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＞0，a n 2+2a n +1=4S n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{(−1)n (4na n a n+1)}的前n 项和T n ．解：（1）已知a n 2+2a n +1=4S n ①，当n ＝1时，a 1＝1，当n ≥2时，a n−12+2a n−1+1=4S n−1 ②， ①﹣②得：a n 2+2a n −a n−12−2a n−1=4a n ，即（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）＝0，又a n ＞0，所以a n +a n ﹣1≠0，a n ﹣a n ﹣1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1；（2）设b n =(−1)n (4n a n a n+1)=(−1)n [4n (2n−1)(2n+1)]=(−1)n (12n−1+12n+1)，所以T n =−(1+13)+(13+15)−(15+17)+⋯+(−1)n (12n−1+12n+1)=−1+(−1)n 12n+1． 18．（12分）如图所示，在三棱锥P ﹣ABC 中，已知P A ⊥平面ABC ，平面P AB ⊥平面PBC ，点D 为线段PC 上一点，且PD ＝2DC ．（1）证明：BC ⊥平面P AB ；（2）若AB ＝6，BC ＝3，且三棱锥P ﹣ABC 的体积为18，求平面ABD 与平面ACD 的夹角的余弦值．解：（1）证明：过点A 作AE ⊥PB 于点E ，因为平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，AE ⊂平面P AB ，所以AE ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥BC ，又P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则P A ⊥BC ，又因为AE ∩P A ＝A ，AE ，P A ⊂平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ；（2）由（1）知BC ⊥平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，得BC ⊥AB ，又V P ﹣ABC ＝18，AB ＝6，BC ＝3，所以13×12×AB ×BC ×PA =18，PA =6，以B 为原点，分别以BC →、BA →为x 轴、y 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系B ﹣xyz ，则A （0，6，0），B （0，0，0），P （0，6，6），C （3，0，0），又因为PD ＝2DC ，所以D （2，2，2）， AC →=(3，−6，0)，AD →=(2，−4，2)，AB →=(0，−6，0)，设m →=(x 1，y 1，z 1)是平面ABD 的一个法向量，则{AD →⋅m →=0AB →⋅m →=0，即{2x 1−4y 1+2z 1=0−6y 1=0，所以可取m →=(−1，0，1)，设n →=(x 2，y 2，z 2)是平面ACD 的一个法向量，则{AD →⋅n →=0AC →⋅n →=0即{2x 2−4y 2+2z 2=03x 2−6y 2=0，所以可取n →=(2，1，0)，则|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=√105，所以平面ABD 与平面ACD 的夹角的余弦值为√105． 19．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A 为钝角，a sin B ＝b cos B ．（1）若C =π6，求A ；（2）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．解：（1）由a sin B ＝b cos B ，根据正弦定理得：sin A sin B ＝sin B cos B ，由于sin B ≠0，可知sin A ＝cos B ，即sinA =sin(π2+B)，因为A 为钝角，则B 为锐角，即B ∈(0，π2)，则π2+B ∈(π2，π)，则A =π2+B ，C =π2−2B ．由A =π2+B ，C =π6，A +B +C =π，得A =2π3．（2）cos A +cos B +cos C =cos(π2+B)+cosB +cos(π2−2B)=−sin B +cos B +sin2B ＝cos B ﹣sin B +2sin B cos B ．因为C =π2−2B 为锐角，所以0＜π2−2B ＜π2，即0＜B ＜π4，则B +π4∈(π4，π2)，设t =cosB −sinB =√2cos(B +π4)∈(0，1)，则2sin B cos B ＝1﹣t 2， cosA +cosB +cosC =t +1−t 2=−(t −12)2+54．因为t ∈（0，1），则(t −12)2∈[0，14)，从而−(t −12)2+54∈(1，54]．由此可知，cos A +cos B +cos C 的取值范围是(1，54]．20．（12分）据统计，某城市居民年收入（所有居民在一年内收入的总和，单位：亿元）与某类商品销售额（单位：亿元）的10年数据如表所示：依据表格数据，得到下面一些统计量的值．（1）根据表中数据，得到样本相关系数r ≈0.95．以此推断，y 与x 的线性相关程度是否很强？（2）根据统计量的值与样本相关系数r ≈0.95，建立y 关于x 的经验回归方程（系数精确到0.01）；（3）根据（2）的经验回归方程，计算第1个样本点（32.2，25.0）对应的残差（精确到0.01）；并判断若剔除这个样本点再进行回归分析，b 的值将变大还是变小？（不必说明理由，直接判断即可）．附：样本（x i ，y i ）（i ＝1，2，⋯，n ）的相关系数r =∑(x i −x)ni=1(y −y)√∑ i=1(x i −x)2√∑ i=1(y i −y)2，√2.297≈1.516，b =∑(x i−x)ni=1(y i −y)∑n i=1(x i −x)2，a =y −b x ．解：（1）根据样本相关系数r ≈0.95，可以推断线性相关程度很强．（2）由r =∑(x i −x)ni=1(y −y)√∑ ni=1(x i −x)2√∑n i=1(y i −y)2≈0.95及b =∑(x i−x)ni=1(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2，可得br=√∑ n i=1(x i −x)2√∑ n i=1(y i −y)2∑ n i=1(x i −x)2=√∑ n i=1(y i −y)2√∑ n i=1(x i −x)2≈√2.304，所以b =r √2.304≈0.95×1.518≈1.442，又因为x =37.96，y =39.1，所以a =y −b x ≈−15.56，所以y 与x 的线性回归方程y =1.44x −15.56．（3）第一个样本点（32.2，25.0）的残差为：25.0﹣（1.44×32.2﹣15.56）＝﹣5.808≈﹣5.81，由于该点在回归直线的右下方，故将其剔除后，b 的值将变大． 21．（12分）已知双曲线E ：x 2a2−y 2=1（a ＞0），左、右顶点分别为A 1，A 2，经过右焦点F 垂直于x 轴的直线与E 相交于A ，B 两点，且|AB |＝1．（1）求E 的方程；（2）若直线l ：y ＝kx +m 与圆x 2+y 2＝a 2相切，且与双曲线左、右两支分别交于P 1，P 2两点，记直线P 1A 1的斜率为k 1，P 2A 2的斜率为k 2，那么k 1•k 2是否为定值？并说明理由．解：（1）设F （c ，0），把x ＝c 代入到E 的方程，得c 2a 2−y 2=1，即y =±1a ，因为|AB |＝1，所以2a=1，即a ＝2，则双曲线E 的方程为x 24−y 2=1．（2）k 1•k 2是否为定值，理由如下：设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），其中x 1＜0，x 2＞0，因为直线l ：y ＝kx +m 与圆x 2+y 2＝4相切，所以√1+k 2=2，即m 2＝4（1+k 2），联立{y =kx +mx 24−y 2=1，消去y 并整理得（1﹣4k 2）x 2﹣8mkx ﹣（4m 2+4）＝0，所以{1−4k 2≠0Δ=64m 2k 2+4(1−4k 2)(4m 2+4)＞0x 1+x 2=−8mk4k 2−1x 1x 2=4m 2+42＜0，因为x1＜0，x2＞0，x1x2=4m 2+44k2−1＜0，即4k2﹣1＜0，所以x2−x1=√(x1+x2)2−4x1x2=√(−8mk4k2−1)2−4×4m2+44k2−1=√16(m2−4k2+1)(4k2−1)2=4√51−4k2，由已知A1（﹣2，0），A2（2，0）．k1⋅k2=y1x1+2×y2x2−2=(kx1+m)(kx2+m)(x1+2)(x2−2)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2x1x2+2(x2−x1)−4=k2(4m2+4)4k2−1−8m2k24k2−1+m24m2+44k2−1+8√51−4k2−4=222222224m2+4−8√5−16k2+4=4k2−m24m2−8√5−16k2+8=−424−85=−3+√58，即k1k2为定值．22．（12分）已知函数f(x)=e2x+(2−a)e x−ax+ae2（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）由f(x)=e2x+(2−a)e x−ax+ae2（a∈R），得f′（x）＝2e2x+（2﹣a）e x﹣a＝（e x+1）（2e x﹣a），①当a≤0时，f′（x）＝（e x+1）（2e x﹣a）＞0，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；②当a＞0时，令f′（x）＝0，得x=ln a 2，当x∈(−∞，ln a2)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈(ln a2，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．综上所述，当a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在(−∞，ln a2)上单调递减，f（x）在(lna2，+∞)上单调递增．（2）由（1）知：当a＜0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，f(3a)=e6a+(2−a)e3a−a×3a+ae2＜1+(2−a)−3+ae2=(e2−1)a＜0，所以当a＜0时不合题意．②当a＝0时，f（x）＝e2x+2e x＞0，符合题意．③当a＞0时，f(x)min=f(ln a2)=a−a24−alna2+ae2，要使f（x）≥0恒成立，则只需f（x）min≥0恒成立，即：a−a24−alna2+ae2≥0，亦即：1−a4−lna2+e2≥0．记g(a)=1−a4−lna2+e2(a＞0)，则g′(a)=−14−1a＜0，于是g（a）在（0，+∞）上单调递减；又因为g(2e)=1−e2−ln2e2+e2=0，所以当0＜a≤2e时，g（a）≥0，即f（x）min≥0；当a＞2e时，g（a）＜0，不合题意．综上可知a的取值范围为[0，2e]．。

河北省唐山市2025届度高三年级摸底演练数学试题(含答案)

河北省唐山市2025届度高三年级摸底演练数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M ，N 满足M ∪N =M ，则( )A. M =NB. M =⌀C. M ⊆ND. M ⊇N 2.已知i 为虚数单位，复数z =1−i ，则z z =A. 1B. −iC. iD. 23.已知向量a =(4,3)，b =(1,0)，则a 在b 方向上的投影向量为A. (1,0)B. (3,0)C. (4,0)D. (5,0)4.已知函数f(x)=a−22x +1为奇函数，则a =A. 2B. 1C. 0D. −15.已知函数f(x)={ln x,12⩽x⩽2log 9x,2<x⩽4，则f(x)的值域为A. [ln 12,ln2] B. [ln 12,log 94] C. (log 92,ln2] D. (log 92,log 94]6.若锐角α满足sin α−cos α= 55，则sin (2α+π2)=A. 45B. −35C. −35或35D. −45或457.若有且仅有一个x 0∈(0,π2)使得函数f(x)=2sin (ωx +π3)(ω>0)取得最小值，则ω的取值范围为A. (73,133] B.[73,133) C. [73,193) D. (73,193]8.已知半径为1的球可以整体放入圆锥容器(容器壁厚度忽略不计)内，则该圆锥容器容积的最小值为A. 3πB. 2πC. 32π9D. 8π3二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列说法正确的是( )A. 若X ∼B (100,120)，则E(X)=5B. 若Y ～N(5,4)，则P(Y <2)=0.5C. 样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7的方差为2D. 已知P(A)=0.8，P(B)=0.7，且A 与B 独立，则P(A ∪B)=0.9410.已知a ∈R ，函数f(x)=x 3−ax +2，则A. 对任意a，f(x)总存在零点B. 当a=0时，x=0是f(x)的极值点C. 当a=3时，曲线y=f(x)与x轴相切D. 对任意a，f(x)在区间(−∞,−a−1)上单调递增11.已知双曲线C：x24−y216=1与直线l：y=kx+t(k≠±2)有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴，y轴于A(m,0)，B(0,n)两点，当M运动时，下面说法正确的有A. k<−2或k>2B. 记点P(k,t)，则点P在曲线C上C. 直线l与两渐近线所围成的面积为定值D. 记点Q(m,n)，则点Q的轨迹为椭圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|320}A x x x =-+<，{|13}B x x =<<，则（）A ．AB = B ．A B ⊇C ．A B ⊆D ．AB φ= 2.若复数z 满足(2)1z i -=，则z =（）A ．2155i +B ．2155i -C ．1255i +D ．1255i - 3.已知 1.22a =，0.80.5b =，2log 3c =，则（）A ．a b c >>B ．c b a <<C ．c a b >>D ．a c b >>4.在等比数列{}n a 中，356a a +=，422a =，则26a a +=（）A ．52B ．42C ．8D ．45.函数1sin y x x=-的一段大致图象是（）6.椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点为12,F F ，过1F 作直线l 交C 于A ，B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，且0290AF B ∠=，则椭圆C 的离心率为（）A ．22-B ．212-C ．21-D ．227.执行左下面的程序框图，如果输入的依次为3,5,3,5,4,4,3,4,4，则输出的S 为（）A ．92B ．4C ．35D ．1558.右上图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）A ．1B ．43C ．53D ．239.三棱锥S ABC -的四个顶点都在球面上，SA 是球的直径，AC AB ⊥，2BC SB SC ===，则该球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．9πD ．12π10.ABC ∆中，D 是BC 中点，AD m =，BC n =，则AB AC ∙等于（）A ．2214m n -B ．2214m n +C ．2214m n +D ．2214m n - 11.若2,2a b >>，且22221211log ()log log log 222b a b a a b ++=++，则22log (2)log (2)a b -+-=（） A ．0 B ．12C ．1D ．2 12.函数21()222f x x x x x =--++-的最大值为（）A ．2B ．2C ．52D ．32第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线ln 1y x =-在1x =处的切线方程为 .14.以双曲线2213x y -=的上焦点为圆心，与该双曲线的渐近线相切的圆的方程为 . 15.观察等式：0000sin 30sin 903cos30cos90+=+，0000sin15sin 751cos15cos 75+=+，0000sin 20sin 403cos 20cos 403+=+.照此规律，对于一般的角,αβ，有等式 .16.设数列{}n a 满足12a =，1431n n a a n +=-+，*n N ∈，则数列{}n a 的前n 项和为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，正三角形ABC 的边长为2，D ，E ，F 分别在三边AB ，BC 和CA 上，且D 为AB 的中点，090EDF ∠=，BDE θ∠=，00(090)θ<<.（1）当3tan 2DEF ∠=时，求θ的大小；（2）求DEF ∆的面积S 的最小值及使得S 取最小值时θ的值.18.（本小题满分12分）在斜三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，11A B C C ⊥，AC BC =.（1）求证：11A A A C ⊥；（2）若112A A AC ==，求三棱锥11B A BC -的体积.19.（本小题满分12分）为了了解高一年级学生的身高情况，某校按10%的比例对全校800名高一年级学生按性别进行抽样检查，得到如下频数分布表：（1）分别估计高一年级男生和女生的平均身高；（2）在样本中，从身高180cm 以上的男生中任选2人，求至少有一人身高在185cm 以上的概率.20.（本小题满分12分）过抛物线C ：22(0)y px p =>上的点M 分别向C 的准线和x 轴作垂线，两条垂线及C 的准线和x 轴围成边长为4的正方形，点M 在第一象限.（1）求抛物线C 的方程及点M 的坐标；（2）过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线AB 过点（0，-1），求MAB ∆的面积.21.（本小题满分12分）已知函数()x f x e =，2()12k g x x x =++.（1）当1k =时，证明：2()()2x f x g x ≥-；（2）若()()f x g x ≥，求k 的取值范围.请考生在22，23，24题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题目进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

河北省唐山市2021—2021学年高三数学第三次模拟考试文（扫描版）(1)

河北省唐山市2021—2021学年高三数学第三次模拟考试文（扫描版）唐山市2021—2021学年度高三年级第三次模拟考试文科数学参考答案一、选择题：A卷：CBBDA CBDBA DCB卷：BCBDA BCABA CD二、填空题：（13）x －y －2＝0（14）x 2＋(y －2)2＝3 （15）sin α＋sin βcos α＋cos β＝tan α＋β2 （16）n (n ＋1)2＋4n －13三、解答题：（17）解：（Ⅰ）在△BDE 中，由正弦定理得DE ＝BD sin 60sin(120－θ)＝32sin(60＋θ)，在△ADF 中，由正弦定理得DF ＝AD sin 60sin(30＋θ)＝32sin(30＋θ)． …4分由tan ∠DEF ＝32，得sin(60＋θ)sin(30＋θ)＝32，整理得tan θ＝3，因此θ＝60． …6分（Ⅱ）S ＝ 1 2DE ·DF ＝38sin(60＋θ)sin(30＋θ)＝32(3cos θ＋sin θ)(cos θ＋3sin θ) ＝32[3(cos 2θ＋sin 2θ)＋4sin θcos θ]＝32(3＋2sin 2θ)． …10分当θ＝45时，S 取最小值32(3＋2)＝6－332． …12分（18）解：（Ⅰ）因为平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，因此BC ⊥平面A 1ACC 1，因此A 1A ⊥BC ．因为A 1B ⊥C 1C ，A 1A ∥C 1C ，因此A 1A ⊥A 1B ，又BC ∩A 1B ＝B ，因此A 1A ⊥平面A 1BC ，又A 1C 平面A 1BC ，因此A 1A ⊥A 1C ． …5分（Ⅱ）由已知及（Ⅰ），△A 1AC 是等腰直角三角形，AA 1＝A 1C ＝2，AC ＝22．因为平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，所以Rt △A 1AC 斜边上的高等于斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高，且等于2．…7分在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝22，S △ABC ＝ 1 2AC ·BC ＝4，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ·2＝42． …10分又三棱锥A 1-ABC 与三棱锥C -A 1B 1C 1的体积相等，都等于 1 3V ，因此三棱锥B 1-A 1BC 的体积V 1＝V －2× 1 3V ＝423． …12分（19）解：（Ⅰ）设高一年级男生和女生的平均身高别离为x-1，x -2，依照散布表，有 x -1＝140[(162.5＋187.5)×2＋167.5×5＋172.5×14＋177.5×13＋182.5×4]＝174.75， x-2＝140[152.5×2＋157.5×12＋162.5×16＋167.5×6＋172.5×3＋177.5×1]＝162.375．由此估量高一年级男生和女生的平均身高别离为174.75cm 和162.375cm ．…6分（Ⅱ）记样本中身高在[180，185)和[185，190]的男生别离为a i ，b j ， i ＝1，2，3，4，j ＝1，2．从这些男生中任选2人，共15种可能结果：a 1a 2，a 1a 3，a 1a 4，a 1b 1，a 1b 2，a 2a 3，a 2a 4，a 2b 1，a 2b 2，a 3a 4，a 3b 1，a 3b 2， a 4b 1，a 4b 2，b 1b 2． …8分其中求至少有一人身高在185cm 以上的共9种可能结果：a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2，a 3b 1，a 3b 2，a 4b 1，a 4b 2，b 1b 2．…10分所求概率为P ＝915＝0.6． …12分（20）解：（Ⅰ）抛物线C 的准线x ＝－ p 2，依题意M (4－ p 2，4)，那么42＝2p (4－ p 2)，解得p ＝4．故抛物线C 的方程为y 2＝8x ，点M 的坐标为(2，4)，…4分（Ⅱ）设A (y 218，y 1)，B (y 228，y 2)．直线MA 的斜率k 1＝y 1－4y 218－2＝8y 1＋4，同理直线MB 的斜率k 2＝8y 2＋4．由题设有8y 1＋4＋8y 2＋4＝0，整理得y 1＋y 2＝－8．直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2y 218－y 228＝8y 1＋y 2＝－1． …8分于是直线AB 的方程为y ＝－x －1．由⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝－x －1得y 2＋8y ＋8＝0． |y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝42，于是|AB |＝2|y 1－y 2|＝8． …10分点M 到直线AB 的距离d ＝|2＋4＋1|2＝722，则△MAB 的面积S ＝ 1 2|AB |·d ＝142． …12分（21）解：（Ⅰ）当k ＝1时，设h (x )＝f (x )－g (x )＋x 22＝e x －x －1，h (x )＝e x －1．…1分当x ∈(－∞，0)时，h(x )＜0，h (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，h(x )＞0，h (x )单调递增．因此h (x )≥h (0)＝0．故f (x )≥g (x )－x 22． …4分（Ⅱ）设F (x )＝f (x )－g (x )＝e x － k 2x 2－x －1，那么F (x )＝e x －kx －1．设G (x )＝e x －kx －1，那么G(x )＝e x －k ． …6分（1）若k ≤0时，那么G (x )＞0，G (x )单调递增，当x ∈(－∞，0)时，G (x )＜G (0)＝0，即F (x )＜0，F (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，G (x )＞G (0)＝0，即F (x )＞0，F (x )单调递增．故F (x )≥F (0)＝0，现在f (x )≥g (x )．…9分（2）假设k ＞0，那么当x ∈(－∞，－ 2 k )时，e x －1＜0，－ k 2x 2－x ＝－ 1 2x (kx ＋2)＜0，从而F (x )＝e x －1－ k 2x 2－x ＜0，这时f (x )≥g (x )不成立． …11分综上，k 的取值范围是(－∞，0]．…12分（22）解：（Ⅰ）连结OA ，那么OA ＝OD ，因此∠OAD ＝∠ODA ，又∠ODA ＝∠ADE ，因此∠ADE ＝∠OAD ，因此OA ∥即CE ．因为AE ⊥CE ，因此OA ⊥AE ．因此AE 是⊙O 的切线． …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE ∽△BDA ，因此AEAD ＝AB BD ，即2AD ＝4BD ，那么BD ＝2AD ，因此∠ABD ＝30，从而∠DAE ＝30，所以DE ＝AE tan 30＝233．由切割线定理，得AE 2＝ED ·EC ，因此4＝233 (233＋CD )，因此CD ＝433． …10分（23）解：（Ⅰ）曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即cos 2θ4＋sin 2θ＝1ρ2．在极坐标系中，设M (ρ，θ)，P (ρ1，α)，那么题设可知，ρ1＝ ρ 2，α＝ θ 2． ①因为点P 在曲线C 1上，因此cos 2α4＋sin 2α＝1ρ21． ② 由①②得曲线C 2的极坐标方程为1ρ2＝cos 2θ 216＋sin 2 θ 24． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得1|OM |2＝116(1＋3sin 2 θ 2)．因为1|OM |2的取值范围是[116， 1 4]，因此|OM |的取值范围是[2，4]．…10分（24）解：（Ⅰ）记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎨⎧3，x ≤－1，－2x －1，－1＜x ＜1，－3，x ≥1．由－2＜－2x －1＜0解得－ 1 2＜x ＜ 1 2，那么M ＝(－ 1 2， 1 2)． …3分因此| 1 3a ＋ 1 6b |≤ 1 3|a |＋ 1 6|b |＜ 1 3× 1 2＋ 1 6× 1 2＝ 1 4． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得a 2＜ 1 4，b 2＜ 1 4．因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，…9分因此|1－4ab |2＞4|a －b |2，故|1－4ab |＞2|a －b |． …10分。

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