数学课外拓展训练(二次函数).doc
二次函数的性质拓展训练
0 二次函数的性质拓展训练1. 小明、小亮、小梅、小花四人共同探讨代数式x 2－4x+5的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找其值为1时的x 的值，小亮负责找其值为0时的x 的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是 （ ）A ．小明认为只有当x=2时，x 2－4x+5的值为1B ．小亮认为找不到实数x ，使x 2－4x+5的值为0C ．小梅发现x 2－4x+5的值随x 的变化而变化，因此认为没有最小值D ．小花发现当x 取大于2的实数时，x 2－4x+5的值随x 的增大而增大，因此认为没有最大值2. 抛物线的图象如图，则下列结论：①＞0；②； ③-b+c<0；④>2a.其中正确的结论是（ ）. A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③3. 已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，若y ＜0，则x 的取值范围是 （ ）A ．－1＜x ＜4B ．－1＜x ＜3C ．x ＜－1或 x ＞4D ．x ＜－1或 x ＞34. 已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a +b +c <0；② a -b +c <0；③b +2a <0；④ abc >0.） A. ③④ B. ②③ D. ①②③5. 某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高与水平的距离，则该运动员的成绩是( )A. 6mB. 10mC. 8mD. 12m6. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表所示．给出下列说法：①抛物线与y 轴的交点为(0，6)；②抛物线的对称轴是在y 轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)；④在对称轴左侧，y 随x 增大而减小．从表中可知，下列说法正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7. 抛物线y =322+-x x 与坐标轴交点为 （ ）A ．二个交点B ．一个交点C ．无交点D ．三个交点8. 关于二次函数y =ax 2+bx+c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0时且（第3题）（第4题）函数的图象开口向下时，ax 2+bx+c=0必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是ab ac 442-；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称.其中正确的个数是（ ）A.1个 B 、2个 C 、3个 D.4个9. 若二次函数y ＝2 x 2－2 mx ＋2 m 2－2的图象的顶点在y 轴上，则m 的值是（ ）A.0B.±1 C .±2 D .±210. 二次函数12+-=x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，下列说法错误．．的是（ ） A ．点C 的坐标是（0，1） B ．线段AB 的长为2C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．当x>0时，y 随x 增大而增大11. 已知抛物线562+-=x x y 的部分图象如图8,则抛物线的对称轴为直线x =,满足y ＜0的x 的取值范围是,12. 用列表法画二次函数2y x bx c =++的图象时先列一个表,当表中对自变量x 的值以相等间隔的值增加时,函数y 所对应的值依次为:20,56,110,182,274,380,506,650,其中有一个值不正确,这个不正确的值是:（ ） A ．506B ．380 C ．274 D ．18213. 二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的部分对应值如右表，则不等式ax 2+bx+c>0的解集为．14. 如图，平行于y 轴的直线l 被抛物线y ＝2112x +、y ＝2112x -所截．当直线l 向右平移3个单位时，直线l 被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为平方单位．15. 二次函数223y x =的图像如图所示，点0A 位于坐标原点，1A ，2A ，3A ，…，2009A 在y 轴的正半轴上，1B ，2B ，3B ，…，2009B 在二次函数223y x =第一象限的图像上，若△011A B A ,△122A B A ，△233A B A ，…，△200820092009A B A 都为等边三角形，计算出△200820092009A B A 的边长为.。
二次函数专题训练(含答案)
二次函数专题训练（含答案）一、 填空题1.把抛物线221x y -=向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个 单位，得抛物线 .2.函数x x y +-=22图象的对称轴是 ，最大值是 .3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是 .4.二次函数6822-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 .5.二次函数c ax y +=2（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则 x 1与x 2的关系是 .6.抛物线c bx ax y ++=2当b=0时，对称轴是 ，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴 侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴 侧.7.抛物线3)1(22-+-=x y 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 .8.若a <0，则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第 象限；当x >4a -时，函数值随x 的增大而 .9.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）当a >0时，图象的开口a <0时，图象的开口 ，顶点坐标是 .10.抛物线2)(21h x y --=，开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 11.二次函数)()(32+-=xy 的图象的顶点坐标是（1，-2）. 12.已知2)1(312-+=x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=25交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 .14.用配方法将二次函数x x y 322+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 . 15.如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 .二、选择题：16.在抛物线1322+-=x x y 上的点是（ ）A.（0，-1）B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21C.（-1，5）D.（3，4）17.直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个18.关于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），下面几点结论中，正确的有（ ）① 当a >0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大，当 a <0时，情况相反.② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴 交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C. ①②D.①19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ）A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数b ax y +=的图象如图代13-3-12中A 所示，那么二次函+=2ax y bx -3的大致图象是（ ）图代13-2-1221.若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=b a （ ） A.2 B.21 C.4 D.41 22.若函数xa y =的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性 质说得全对的是（ ）A. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交B. 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交C. 开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交23.二次函数c bx x y ++=2中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ）A.(-1，-1)B.(1，1)C.(1，-1)D.（-1，1）24.函数2ax y =与xa y =（a <0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）图代13-3-1325.如图代13-3-14，抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于A 点，与x 轴正半轴交于B ， C 两点，且BC=3，S △ABC =6，则b 的值是（ ）A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图代13-3-1426.二次函数2ax y =（a <0），若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是 （ ）A ．X 取任何实数 B.x <0 C.x >0 D.x <0或x >027.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为 （ ）A.6)4(22+-=x yB.2)4(22+-=x yC.2)2(22+-=x yD.2)3(32+-=x y28.二次函数229k ykx x y ++=（k >0）图象的顶点在（ ）A.y 轴的负半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴的负半轴上D.x 轴的正半轴上29.四个函数：xy x y x y 1,1,-=+=-=（x >0），2x y -=（x >0），其中图象经过原 点的函数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个30.不论x 为值何，函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的值永远小于0的条件是（ ）A.a >0，Δ>0B.a >0,Δ<0C ．a <0,Δ>0 D.a <0,Δ<0三、解答题31.已知二次函数1222+-+=b ax x y 和1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象都经过x 轴上两上不同的点M ，N ，求a ，b 的值.32.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （2，4），顶点的横坐标为21，它 的图象与x 轴交于两点B （x 1，0），C （x 2，0），与y 轴交于点D ，且132221=+x x ，试问：y 轴上是否存在点P ，使得△POB 与△DOC 相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过P ，B 两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点，该抛物线的对称轴x=-21与x 轴相交于点C ，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB 的解析式；（2）抛物线的解析式.图代13-3-15图代13-3-16 34.中图代13-3-16，抛物线c x ax y +-=32交x 轴正方向于A ，B 两点，交y 轴正方向于C 点，过A ，B ，C 三点做⊙D ，若⊙D 与y 轴相切.（1）求a ，c 满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tg α；（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙O 的位置关系并证明.35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD ＇部分为一段抛物线，顶点C 的高度为8米，AD 和A ＇D ＇是两侧高为5.5米的支柱，OA 和OA ＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C ＇D ＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4. 求（1）桥拱DGD ＇所在抛物线的解析式及CC ＇的长；（2）BE 和B ＇E ＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ＇B ＇为两个方 向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A ＇B ＇的宽；（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA （或OA ＇）区域安全通过？请说明理由.图代13-3-1736.已知：抛物线2)4(2+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A （a <b ）.O 为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.37.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴 的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b.（1） 求m 的取值范围；（2） 若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；（3） 设（2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存 在 点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请 说明理由.38.已知：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点P ，使EP=EB.A 是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.图代13-3-18（1） 若AE=2，求AD 的长.（2） 当点A 在EP 上移动（点A 不与点E 重合）时，①是否总有FHED AH AD =？试证 明 你的结论；②设ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.39.已知二次函数)294(2)254(222+--+--=m m x m m x y 的图象与x 轴的交点为A ，B （点A 在点B 右边），与y 轴的交点为C.（1） 若△ABC 为Rt △，求m 的值；（2） 在△ABC 中，若AC=BC ，求∠ACB 的正弦值；（3） 设△ABC 的面积为S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值.40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ， 满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.图代13-3-19（1） 求⊙C 的圆心坐标.（2） 过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式.（3） 抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式.41.已知直线x y 21=和m x y +-=，二次函数q px x y ++=2图象的顶点为M. （1） 若M 恰在直线x y 21=与m x y +-=的交点处，试证明：无论m 取何实数值， 二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.（2） 在（1）的条件下，若直线m x y +-=过点D （0，-3），求二次函数q px x y ++=2的表达式，并作出其大致图象.图代13-3-20（3） 在（2）的条件下，若二次函数q px x y ++=2的图象与y 轴交于点C ，与x 同 的左交点为A ，试在直线x y 21=上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上. 42.如图代13-3-20，已知抛物线b ax x y ++-=2与x 轴从左至右交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°.（1） 求点C 的坐标；（2） 求抛物线的解析式；（3） 若抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.参 考 答 案动脑动手1. 设每件提高x 元（0≤x ≤10），即每件可获利润（2+x ）元，则每天可销售（100-10x ）件，设每天所获利润为y 元，依题意，得)10100)(2(x x y -+=.360)4(10200801022+--=++-=x x x∴当x=4时（0≤x ≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元.2.∵43432+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x m mx y ， ∴当x=0时，y=4. 当0,043432≠=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m x m mx 时m m m 34,321==. 即抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴的交点为A （3，0），⎪⎭⎫⎝⎛0,34m B . （1） 当AC=BC 时， 94,334-=-=m m . ∴ 4942+-=x y （2） 当AC=AB 时，5,4,3===AC OC AO .∴ 5343=-m. ∴ 32,6121-==m m . 当61=m 时，4611612+-=x x y ； 当32-=m 时，432322++-=x x y . （3） 当AB=BC 时，22344343⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-m m ， ∴ 78-=m . ∴ 42144782++-=x x y . 可求抛物线解析式为：43232,461161,494222+--=+-=+-=x x y x x y x y 或42144782++-=x x y .3.（1）∵)62(4)]5([222+---=∆m m0)1(122222+=++=m m m图代13-3-21∴不论m 取何值，抛物线与x 轴必有两个交点.令y=0，得062)5(222=+++-m x m x0)3)(2(2=---m x x ，∴ 3,2221+==m x x .∴两交点中必有一个交点是A （2，0）.（2）由（1）得另一个交点B 的坐标是（m 2+3,0）.12322+=-+=m m d ，∵ m 2+10>0，∴d=m 2+1.（3）①当d=10时，得m 2=9.∴ A （2，0），B （12，0）.25)7(241422--=+-=x x x y .该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB 的中点E （7，0）. 过点P 作PM ⊥AB 于点M ，连结PE ， 则2222)7(,,521a MEb PM AB PE -====，∴ 2225)7(=+-b a . ① ∵点PD 在抛物线上，∴ 25)7(2--=a b . ②解①②联合方程组，得0,121=-=b b .当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1.注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.②△ABP 为锐角三角形时，则-25≤b <-1；△ ABP 为钝角三角形时，则b >-1，且b ≠0.同步题库一、 填空题 1.3)2(21,)2(2122-+-=+-=x y x y ； 2.81,41=x ； 3.9)3(2-+=x y ； 4. 2)2(22+--=x y ； 5.互为相反数； 6.y 轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x >-1；8.四，增大； 9.向上，向下，a b x a b ac a b 2,44,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--； 10.向下，（h,0），x=h ； 11.-1，-2； 12.x <-1； 13.-17，（2，3）； 14.91312-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y ； 15.10. 二、选择题16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28.C 29.A 30.D三、解答题31.解法一：依题意，设M （x 1，0），N （x 2，0），且x 1≠x 2，则x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0的两个实数根，∴ a x x 221-=+，1x ²122+-=b x .∵x 1，x 2又是方程01)3(22=-+-+-b x a x 的两个实数根，∴ x 1+x 2=a-3，x 1²x 2=1-b 2.∴ ⎩⎨⎧-=+--=-.112,322b b a a解得 ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a 当a=1,b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意.∴ a=1，b=2.解法二：∵二次函数1222+-+=b ax x y 的图象对称轴为a x -=，二次函数1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象的对称轴为23-=a x ， 又两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ，∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.∴ 23-=-a a .解得 1=a .∴两个二次函数分别为1222+-+=b x x y 和1222-+--=b x x y . 依题意，令y=0，得01222=+-+b x x ，01222=-+--b x x .①+②得022=-b b .解得 2,021==b b .∴ ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a=1，b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1，b=2时，二次函数为322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.32.解：∵c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点B （x 1，0），C （x 2，0）， ∴ a cx x a bx x =⋅-=+2121,.又∵132221=+x x 即132)(21221=-+x x x x ，∴ 132)(2=⋅--a ca b .① 又由y 的图象过点A （2，4），顶点横坐标为21，则有4a+2b+c=4， ② 212=-a b.③ 解由①②③组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.∴ y=-x 2+x+6.与x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）.与y 轴交点D 坐标为（0，6）.设y 轴上存在点P ，使得△POB ∽△DOC ，则有（1） 当B （-2，0），C （3，0），D （0，6）时，有6,3,2,====OD OC OB ODOPOC OB . ∴OP=4，即点P 坐标为（0，4）或（0，-4）.当P 点坐标为（0，4）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+4.有 0=-2k-4. 得 k=-2. ∴ y=-2x-4. 或3,6,2,====OC OD OB OCOPOD OB . ∴OP=1，这时P 点坐标为（0，1）或（0，-1）.当P 点坐标为（0，1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+1.有 0=-2k+1.得 21=k . ∴ 121+-=x y .当P 点坐标为（0，-1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx-1，有 0=-2k-1， 得 21-=k . ∴ 121--=x y . （2）当B （3，0），C （-2，0），D （0，6）时，同理可得y=-3x+9，或 y=3x-9，或 131+-=x y ， 或 131-=x y .33.解：（1）在直线y=k(x-4)中， 令y=0，得x=4.∴A 点坐标为（4，0）.∴ ∠ABC=90°. ∵ △CBD ∽△BAO ， ∴OBOA OC OB =，即OB 2=OA ²OC. 又∵ CO=1，OA=4，∴ OB 2=1³4=4. ∴ OB=2（OB=-2舍去） ∴B 点坐标为（0，2）.将点B （0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得21-=k . ∴直线的解析式为：221+-=x y . （2）解法一：设抛物线的解析式为h x a y ++=2)1(，函数图象过A （4，0），B （0， 2），得⎩⎨⎧=+=+.2,025h a h a 解得 .1225,121=-=h a ∴抛物线的解析式为：1225)1(1212++-=x y .解法二：设抛物线的解析式为：c bx ax y ++=2，又设点A （4，0）关于x=-1的对 称是D.∵ CA=1+4=5， ∴ CD=5. ∴ OD=6. ∴D 点坐标为（-6，0）. 将点A （4，0），B （0，2），D （-6，0）代入抛物线方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++.0636,2,0416c b a c c b a 解得 2,61,121=-=-=c b a . ∴抛物线的解析式为：2611212+--=x x y . 34.解：（1）A ，B 的横坐标是方程032=+-c x ax 的两根，设为x 1,x 2（x 2>x 1），C 的 纵坐标是C.又∵y 轴与⊙O 相切，∴ OA ²OB=OC 2.∴ x 1²x 2=c 2. 又由方程032=+-c x ax 知ac x x =⋅21， ∴acc =2，即ac=1. （2）连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，图代13-3-22∴ AB AE 21=. α=∠=∠=∠ADE ADB ACB 21. ∵ a >0,x 2>x 1， ∴ a a ac x x AB 54912=-=-=. aAE 25=. 又 ED=OC=c ， ∴ 25==DE AE tg α. （3）设∠PAB=β， ∵P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-a a 45,23，又∵a >0， ∴在Rt △PAE 中，aPE 45=. ∴ 25==AE PE tg β. ∴ tg β=tg α. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵ ∠ADE+∠DAE=90° ∴PA 和⊙D 相切. 35.解：（1）设DGD ＇所在的抛物线的解析式为c ax y +=2，由题意得G （0，8），D （15，5.5）.∴ ⎩⎨⎧+==.255.5,8c a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8,901c a∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为89012+-=x y . ∵41=AC AD 且AD=5.5, ∴ AC=5.5³4=22(米).∴ 2215(2)(22+⨯=+⨯=='AC OA OC c c ） =74（米）. 答：cc ＇的长为74米.（2）∵4,41==BE BC EB ， ∴ BC=16.∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）. 答：AB 和A ＇B ＇的宽都是6米.（3）在89012+-=x y 中，当x=4时， 45377816901=+⨯-=y .∵ 4519)4.07(45377=+->0. ∴该大型货车可以从OA （OA ＇）区域安全通过.36.解:（1）∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即a <0，b >0. ∴方程02)4(2=+++-m x m x 的两个根a ，b 异号. ∴ab=m+2<0，∴m <-2.（2）当m <-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. m=-4时，四边形PO 1O 2Q 是矩形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. （3）∵ 4)2()2(4)4(22++=+-+=∆m m m >0 ∴方程02)4(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根. ∵ m >-2， ∴ ⎩⎨⎧+=+=+.02,04 m ab m b a∴ a >0，b >0.∴⊙O 1与⊙O 2都在y 轴右侧，并且两圆内切. 37.解：（1）设A ，B 两点的坐标分别是（x 1，0）、（x 2，0）， ∵A ，B 两点在原点的两侧，∴ x 1x 2<0，即-（m+1）<0， 解得 m >-1.∵ )1()1(4)]1(2[2+⨯-⨯--=∆m m7)21(484422+-=+-=m m m 当m >-1时，Δ>0， ∴m 的取值范围是m >-1.（2）∵a ∶b=3∶1，设a=3k ，b=k （k >0），则 x 1=3k ，x 2=-k ，∴ ⎩⎨⎧+-=-⋅-=-).1()(3),1(23m k k m k k解得 31,221==m m . ∵31=m 时，3421-=+x x （不合题意，舍去）， ∴ m=2 ∴抛物线的解析式是32++-=x x y .（3）易求抛物线322++-=x x y 与x 轴的两个交点坐标是A （3，0），B （-1，0） 与y 轴交点坐标是C （0，3），顶点坐标是M （1，4）.设直线BM 的解析式为q px y +=，则 ⎩⎨⎧+-⋅=+⋅=.)1(0,14q p q p解得 ⎩⎨⎧==.2,2q p∴直线BM 的解析式是y=2x+2.设直线BM 与y 轴交于N ，则N 点坐标是（0，2）， ∴ MNC BCN BCM S S S ∆∆∆+=.111211121=⨯⨯+⨯⨯=设P 点坐标是（x,y ），∵ BCM ABP S S ∆∆=8， ∴1821⨯=⨯⨯y AB .即8421=⨯⨯y . ∴ 4=y .∴4±=y . 当y=4时，P 点与M 点重合，即P （1，4），当y=-4时，-4=-x 2+2x+3，解得 221±=x . ∴满足条件的P 点存在.P 点坐标是（1，4），)4,221(),4,221(---+. 38.（1）解：∵AD 切⊙O 于D ，AE=2，EB=6，∴ AD 2=AE ²AB=2³（2+6）=16. ∴ AD=4.图代13-2-23（2）①无论点A 在EP 上怎么移动（点A 不与点E 重合），总有FHEDAH AD =. 证法一：连结DB ，交FH 于G ， ∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEB. 又∵BH ⊥AH ，BE 为直径，∴ ∠BDE=90°有 ∠DBE=90°-∠DEB =90°-∠HDB =∠DBH. 在△DFB 和△DHB 中，DF ⊥AB ，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB ，∠DBE=∠DBH ， ∴ △DFB ∽△DHB. ∴BH=BF ， ∴△BHF 是等腰三角形. ∴BG ⊥FH ，即BD ⊥FH. ∴ED ∥FH ，∴FHEDAH AD =.图代13-3-24证法二：连结DB ， ∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEF. 又∵DF ⊥AB ，BH ⊥DH ，∴ ∠EDF=∠DBH. 以BD 为直径作一个圆，则此圆必过F ，H 两点， ∴∠DBH=∠DFH ，∴∠EDF=∠DFH.∴ ED ∥FH. ∴FHEDAH AD =. ②∵ED=x ，BH=，BH=y ，BE=6，BF=BH ，∴EF=6y. 又∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高，∴ △DFE ∽△BDE ，∴EBED ED EF =，即EB EF ED ⋅=2. ∴)6(62y x -=，即6612+-=x y .∵点A 不与点E 重合，∴ED=x >0.A 从E 向左移动，ED 逐渐增大，当A 和P 重合时，ED 最大，这时连结OD ，则OD ⊥PH. ∴ OD ∥BH.又 12,936==+=+=PB EO PE PO ，4,=⋅==POPBOD BH PB PO BH OD ， ∴ 246,4=-=-===BF EB EF BH BF ， 由ED 2=EF ²EB 得12622=⨯=x ，∵x >0，∴32=x .∴ 0<x ≤32.（或由BH=4=y ，代入6612+-=x y 中，得32=x ） 故所求函数关系式为6612+-=x y （0<x ≤32）.39.解：∵]294)[2(2942254222⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=m m x x m m x m m x y , ∴可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2942,0,0,294),0,2(22m m C m m B A . （1）∵△ABC 为直角三角形，∴OB AO OC⋅=2，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22942294422m m m m ，化得0)2(2=-m .∴m=2.（2）∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即22942=+-m m . ∴429422=⎪⎭⎫⎝⎛+-=m m OC .∴25==BC AC . 过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴ AB ²OC=BC ²AD. ∴ 58=AD .∴ 545258sin ===∠AC AD ACB.图代13-3-25（3）CO AB S ABC ⋅=∆21.1)1()2(2942229421222-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=u u u m m m m ∵ 212942≥+-=m m u ， ∴当21=u ，即2=m 时，S 有最小值，最小值为45.40.解：（1）∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2， ∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8. A 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,532，B 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛524,0.∴⊙C 的圆心C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,516. （2）由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF.∵ CO=CA=CB ，∴ ∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO. ∴ Rt △AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO.∴ OBOCAB OF OA OC AB OE ==,. ∴ 320,5==OF OE .E 点坐标为（5，0），F 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛320,0， ∴切线EF 解析式为32034+-=x y . （3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+4512,516，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-.524,1,325.52453244,51622c b a c a b ac a b ∴ 5243252++-=x x y . ②当抛物线开口向上时,顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-4512,516，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-.524,4,85.524,5844,51622c b a c a b ac a b∴ 5244852+--=x x y . 综合上述，抛物线解析式为5243252++-=x x y 或5244852+-=x x y . 41.（1）证明：由⎪⎩⎪⎨⎧+-==,,21m x y x y 有m x x +-=21， ∴ m y m x m x 31,32,23===.∴交点)31,32(m m M .此时二次函数为m m x y 31322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m m mx x 31943422++-=. 由②③联立，消去y ，有0329413422=-+⎪⎭⎫⎝⎛--m m x m x .⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆m m m 3294413422.013891613891622>=+-+-=mm m m ∴无论m 为何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.图代13-3-26（2）解：∵直线y=-x+m 过点D （0，-3）， ∴ -3=0+m ，∴ m=-3.∴M （-2，-1）.∴二次函数为)1)(3(341)2(22++=+-=-+=x x x x x y .图象如图代13-3-26.（3）解：由勾股定理，可知△CMA 为Rt △，且∠CMA=Rt ∠，∴MC 为△CMA 外接圆直径.∵P 在x y 21=上，可设⎪⎭⎫ ⎝⎛n n P 21,，由MC 为△CMA 外接圆的直径，P 在这个圆上， ∴ ∠CPM=Rt ∠.过P 分别作PN ⊥y ，轴于N ，PQ ⊥x 轴于R ，过M 作MS ⊥y 轴于S ，MS 的延长线与PR 的 延长线交于点Q.由勾股定理，有222QP MQ MP +=，即222121)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n MP . 22222213n n NP NC CP +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=. 202=CM. 而 222CM CP MP=+， ∴ 20213121)2(2222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n n n ， 即 062252=-+n n ， ∴ 012452=-+n n ，0)2)(65(=+-n n .∴ 2,5621-==n n . 而n 2=-2即是M 点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴ 56=n ， 此时 5321=n . ∴P 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛53,56.42.解：（1）根据题意，设点A （x 1，0）、点（x 2，0），且C （0，b ），x 1<0，x 2>0，b >0， ∵x 1，x 2是方程02=++-b ax x 的两根，∴ b x x a x x -=⋅=+2121,.在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴OC 2=OA ²OB.∵ OA=-x 1,OB=x 2，∴ b 2=-x 1²x 2=b.∵b >0,∴b=1，∴C （0，1）.（2）在Rt △AOC 的Rt △BOC 中， 211212121==+-=--=-=-ba x x x x x x OB OC OA OC tg tg βα. ∴ 2=a .∴抛物线解析式为122++-=x x y.图代13-3-27（3）∵122++-=x x y ，∴顶点P 的坐标为（1，2），当0122=++-x x 时，21±=x . ∴)0,21(),0,21(+-B A .延长PC 交x 轴于点D ，过C ，P 的直线为y=x+1，∴点D 坐标为（-1，0）.∴ D CA D PB ABPC S S S ∆∆-=四边形 ).(22321)22(212)22(212121平方单位+=⨯-⨯-⨯+⨯=⋅-⋅⋅=yc AD y DB p。
人教版九年级数学上册第22章二次函数拓展训练(一)(含答案)
人教版九年级数学上册第22章二次函数拓展训练（一）（含答案）一．选择题（共10小题）1．下列函数中，y是x的二次函数的是（）A．y＝x2﹣x（x+2）B．y＝x2﹣C．x＝y2 D．y＝（x﹣1）（x+3）2．已知二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，它的图象可能是（）A．B．C．D．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③当x＝1时，y＝2a；④当m＜﹣2时，am2+bm＞0．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．14．已知点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x上的三点，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b5．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+36．抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0）过点A（1，m），点A到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤，则实数m的取值范围是（）A．m≥3B．m≤2C．2＜m＜3D．m≤37．如果二次函数y＝（x﹣m）2+n的图象如图所示，那么一次函数y＝mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限8．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（2，3）B．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）C．开口向下，顶点坐标（﹣2，3）D．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上两点，若x1＜x2且x1+x2＝2﹣a．则（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1与y2大小不能确定10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）11．点P1（﹣2，y1），P2（0，y2），P3（1，y3）均在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．12．二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有2个交点，则a的取值范围是．13．抛物线y＝2x2﹣ax+b与x轴相交于不同两点A（x1，0），B（x2，0），若存在整数a，b使得1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立，则ab＝．14．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是．15．已知二次函数y＝mx2+nx与y＝nx2+mx（其中m，n为常数），若这两个函数图象的顶点关于x轴对称，则m和n满足的关系为．三．解答题（共5小题）16．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣3．（1）写出二次函数图象的开口方向和对称轴；（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值．17．如图，已知二次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求线段BC的长；（2）当0≤y≤3时，请直接写出x的范围；（3）点P是抛物线上位于第一象限的一个动点，连接CP，当∠BCP＝90°时，求点P的坐标．18．某酒店试销售某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为7元，该店每天固定支出费用为200元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售300份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少30份，设该店每份套餐的售价为x元（x为正整数），每天的销售量为y份，每天的利润为w元．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）求出w与x的函数关系式；并求出利润w的最大值．19．已知二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的顶点坐标为（5，9）．（1）求a，c的值；（2）二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．20．已知抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）．（1）如图，若抛物线C的顶点坐标为P（1，2），求m，n的值；（2）在（1）的条件下，设点Q（a，b）在抛物线C上，且点Q离y轴的距离不大于2，直接写出b的取值范围；（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1，将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2，若C1与C2的交点坐标为（1，3），求抛物线C的函数解析式．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A、y＝x2﹣x（x+2）＝﹣2x为一次函数；B、y＝x2﹣不是二次函数；C、x＝y2 不是函数；D、y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3为二次函数．故选：D．2．解：∵二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，∴当x＝0时，y＝0，即该函数的图象过点（0，0），故选项A错误；该函数的顶点的横坐标为﹣＝﹣，当m＞0时，该函数图象开口向上，顶点的横坐标小于，故选项B正确，选项C错误；当m＜0时，该函数图象开口向下，顶点的横坐标大于，故选项D错误；故选：B．3．解：∵抛物线经过原点，∴c＝0，所以①正确；∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（﹣2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以②正确；即x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+0＝3a，所以③错误；当x＜﹣2或x＞0时，y＞0，∴m＜﹣2时，am2+bm＞0．所以④正确．故选：B．4．解：∵抛物线y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，∵点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x的三点，∵2﹣（﹣2）＝4，2﹣2＝0，4﹣2＝2，∴a＞c＞b，故选：D．5．解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；故选：D．6．解：∵抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0），∴对称轴为直线x＝﹣，∵点A（1，m）到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤，∴0＜|1+|≤，∴0＜≤，∴a≥1，把A（1，m）代入y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0）得：a+1﹣2a+3＝m，∴4﹣a＝m，∴a＝4﹣m，∴4﹣m≥1，∴m≤3，故选：D．7．解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限，∴m＞0，n＜0，则一次函数y＝mx+n经过第一、三、四象限．故选：B．8．解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3中a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，顶点为（2，3）故选：A．9．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，∵x1＜x2且x1+x2＝2﹣a，∴＝1﹣a＜1，∴点A（x1，y1）到对称轴的距离大于点B（x2，y2）的距离，∴y1＞y2，故选：A．10．解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的左侧，∴b＜0，∴一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限．故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的二次项系数a＝﹣1，∴函数图象开口向下又∵对称轴为x＝﹣1，∴y1＝y2＞y3点故答案为：y1＝y2＞y3．12．解：令y＝（a﹣1）x2+2x﹣1＝0，∵y＝（a﹣1）x2+2x﹣1是二次函数，∴a﹣1≠0，∴a≠1，∵二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有两个交点，∴△＝4+4（a﹣1）＞0，∴a＞0，∴a的取值范围是a＞0且a≠1，故答案为：a＞0且a≠1．13．解：∵抛物线y＝2x2﹣ax+b，∴抛物线开口向上，∵1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立，∴当x＝1时，y＞0；当x＝3时，y＞0；1＜对称轴x＜3；判别式△≥0．∴∴4＜a＜12，∵a是整数，则a＝5，6，7，8，9，10，11当a＝5时，无整数解；当a＝6时，无整数解；当a＝7时，b＝6；当a＝8时，b＝7；当a＝9时，无整数解；当a＝10时，b＝9；当a＝11时，无整数解，综上所述，整数a＝7，b＝6或a＝8，b＝7或a＝10，b＝9时，使得1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立．故答案为：42或56或90．14．解：将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y ＝（x+1﹣2）2+3，即y＝（x﹣1）2+3．故答案为：y＝（x﹣1）2+3．15．解：函数y＝mx2+nx＝m（x+）2﹣的顶点坐标为（，﹣），y＝nx2+mx＝n（x+）2﹣的顶点坐标为（，﹣），∵这两个函数图象的顶点关于x轴对称，∴，解得，m＝﹣n，故答案为：m＝﹣n．三．解答题（共5小题）16．解：（1）在y＝（x﹣1）2﹣3中，∵a＝＞0，∴二次函数图象开口向上，且对称轴为x＝1；（2）∵二次函数开口向上，∴函数y有最小值，∵其顶点坐标为（1，﹣3），∴y的最小值为﹣3．17．解：（1）当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3，当y＝0时，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，在Rt△BOC中，BC＝＝5，（2）由（1）可知y＝0时，x＝﹣1或4，当y＝3时，x＝0或3，观察图象可得当0≤y≤3时，x的取值范围是：﹣1≤x≤0或3≤x≤4．（3）过点P作PD⊥y轴，设点P坐标为（x，），则点D坐标为（0，），∴PD＝x，CD＝﹣3＝，∵∠BCP＝90°，∴∠PCD+∠BCO＝90°，∵∠PCD+∠CPD＝90°，∴∠BCO＝∠CPD，∵∠PDC＝∠BOC＝90°，∴△PDC∽△COB，∴，∴，∴x＝或x＝0（舍去），当x＝时，y＝，∴点P坐标为（，）．18．解：（1）∵每份售价超过10元且每天的销售量不为负数，∴y＝300﹣30（x﹣10）＝﹣30x+600，∵﹣30x+600≥0，∴x≤20．（2）当7≤x≤10时，w＝300（x﹣7）﹣200＝300x﹣2300；当10＜x≤20时，w＝（﹣30x+600）（x﹣7）﹣200＝﹣30x2+810x﹣4400．∴w＝，∵当7≤x≤10时，∵k＝300＞0，y随x增大而增大，∴当x＝10时，w最大值＝700元；∵当10＜x≤20时，∵a＝﹣30＜0，w有最大值，∴当时，∵x取整数，∴x应取13或14，w最大，∴x＝13时，w取最大值：元．∵700＜1060，∴每份套餐的售价应定为13元，此时，最大利润为1060元．19．解：（1）根题意，得，，解得；故a＝﹣1，c＝﹣16；（2）由（1）可知该二次函数的解析式为y＝﹣x2+10x﹣16，今x＝0，则y＝﹣16．∴点C的坐标为（0，﹣16），令y＝0，则﹣x2+10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8，AB＝8﹣2＝6．∴S△ABC＝AB•OC＝×6×16＝48．20．解：（1）∵抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）顶点坐标为P（1，2），∴﹣＝1，＝2，解得m＝﹣2，n＝3；（2）在（1）的条件下，抛物线C为：y＝x2﹣2x+3，∵点Q（a，b）在抛物线C上，且离y轴的距离不大于2，∴﹣2≤x Q≤2，由图象可知，2≤y Q≤11即2≤b≤11．（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1为y＝（x+2）2+m（x+2）+n；将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2为y＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n；由（x+2）2+m（x+2）+n＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n，解得x＝﹣m，∴若C1与C2的交点坐标为（1，3），∴﹣m＝1，解得m＝﹣2，把点（1，3）代入y＝（x+2）2﹣2（x+2）+n得3＝9﹣6+n，∴n＝0，∴抛物线C的函数解析式为y＝x2﹣2x．。
06-专项拓展训练1 二次函数的最值问题高中数学必修一人教A版
类型2 动轴定区间
4.已知函数 = 2 − 2 + 1在[2,5]上单调，且 的最大值为8，则实
9
数的值为__.
5
【解析】 = 2 − 2 + 1 = − 2 + 1 − 2 ,函数 的图象开口
向上,对称轴为直线 = .因为 在[2,5]上单调,所以 ≤ 2或 ≥ 5.当
与 ≥
9
5矛盾,故舍去.综上,实数的值为 .
5
3
,
4
【归纳总结】解决动轴定区间的二次函数最值问题时,可以让轴沿轴正方
向移动,分析移动到不同位置时对函数最值有什么影响.
5.[2024重庆八中期中]已知函数 = − 2 + 2 + .当 ∈ [−1,1]时，
设 的最大值为，求的最小值.
所给区间内.
1
即
4
+2
2
−
1
2
+
+2 +
1
4
= −5,
化简得2 + 2 − 7 = 0,解得 = −1 + 2 2或 = −1 − 2 2（舍去）.
综上,存在实数，使得函数 = − 在区间[, + 2]上有最小
值−5，此时 = −3或 = −1 + 2 2.
9.已知函数 = 2 − 2 + 5 > 1 .
3.（多选）已知函数 = 2 − 2 + 4,则( BCD
A. 在区间[−1,0]上的最小值为1
B. 在区间[−1,2]上的最小值为3，最大值为7
C. 在区间[2,3]上的最小值为4，最大值为7
D. 在区间 2, +∞ 上无最值
二次函数拓展(1)
知识精要一、 二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.二、 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．三、 二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点1212(,0),(,0)()A x B x x x ≠，其中的12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0,)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.热身练习1. 抛物线228y x x =--与x 轴的交点坐标为____________2. 抛物线2318y x x =+-与x 轴的两个交点坐标的距离为__________3. 已知抛物线2y ax x c =++与x 轴交点的横坐标是-1，则a c +=__________4. 已知抛物线2y ax bx c =++过点（2，5）和（4，5）两点，则对称轴为__________5. 如果一元二次方程20x mx n -+=有两个相等的实数根123x x ==，那么二次函数2y x mx n =-+的图像的顶点坐标为__________6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，与y 轴交于点C(0,3)，则二次函数的图像的顶点坐标是___________7. 抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，A 在B 的左边，交y 轴正半轴于点C ，且AC=20，BC=15，∠ACB=90°，则此抛物线的解析式为________________8. 二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则下列正确的是（ ）A 0,0,0b c >>∆>B 0,0,0b c <<∆>C 0,0,0b c ><∆<D 0,0,0b c <<∆<9. 已知抛物线245y x x k =-+与x 轴有交点，且交点都在原点的右侧，那么k 的取值范围是（ ）A 0k >B 25016k <<C 25016k <≤ D 以上都不对 10. 已知抛物线的顶点的纵坐标为3，它与x 轴的一个公共点的坐标为（10，0），与y 轴的公共点的坐标为5(0,)3，求抛物线解析式精解名题1. 已知抛物线的顶点为P （3，-2），且在x 轴上截得的线段AB 长为4（1） 求抛物线解析式（2） 画出抛物线草图（3） 这条抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 的面积等于12？如果存在，求出点Q 坐标；如果不存在，请说明理由2. 二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示（1） 分别确定解析式中a 、b 、c 的符号（2） 分别确定代数式2224,2,()ac a b a b c -++-b 的值的符号（3） 设图中抛物线的顶点为P ，它与x 轴的两个公共点分别为A 、B ，分别用含有a 、b 、c字母的代数式表示线段AB 的长和点P 到x 轴的距离3. 公园要建一个喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰好在水池中心，OA 的高为1.25米. 安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上抛物线路径如图所示. 为使水流形状较为漂亮，设计成水流到OA 距离为1米处达到距水面最大高度2.25米. 如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落到池外？4. 已知二次函数222(8)2(6)y x m x m =-+++，设抛物线顶点坐标为A（1） 求证：不论m 取什么值，抛物线与x 轴总有两个交点（2） 设抛物线与x 轴交于B 、C 两点，是否存在实数m ，使得△ABC 为等腰直角三角形？若存在，求出m 的值；若不能存在，请说明理由5. 在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的位置如图所示，已知∠AOB =90°，∠A =60°，点A 的坐标为（3-，1）.求：(1) 点B 的坐标；(2) 图象经过A 、O 、B巩固练习1. 已知抛物线经过点A （1，0），点B （0，-3），且它的对称轴是直线x=2。
6二次函数拓展 六-教师版
一、函数的图象特征与a 、b 、c 的关系根据抛物线图像判断含有字母a 、b 、c 的不等式是否成立问题。
这部分是根据抛物线开口方向，抛物线对称轴在y 轴左右，抛物线与y 轴交点位置决定的。
例题：已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，则a 、b 、c 的符号为（A ） A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b>0,c=0C.a>0,b<0,c=0D.a>0,b<0,c<0 练习：1．二次函数)3(22m mx mx y --+=的图象如图所示，则m 的取值范围是（ D ） A ．m ＜3 B ．m ＞3C ．m ＞0D ．0＜m ＜32.若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ B ）3.函数y ＝x 2＋mx －2(m ＜0)的图象是( C )二、同一直角坐标系内的函数图形共存问题。
根据正、反比例函数，一次函数，二次函数的图像性质决定，次类型题解决办法是根据图像进行确定。
例题：在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( B )练习：1.函数xaby b ax y =+=221,(ab ＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是( C )2.反比例函数y= k x 中，当x> 0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y ＝kx 2+2kx-k 的图象大致为图中的（ A ）A B C D3.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限），则直线y ＝ax ＋bc 不经过（ A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4.二次函数2()y a x m n =++的；图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过（ C ）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限 .D.第一、三、四象限5.在同一直角坐标系中，函数y ＝mx +m 和函数y ＝－mx 2+2x +2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能．．是（ D ）．6.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ ax与正比例函数y ＝（b ＋c ）x 在同一坐标系中的大致图象可能是（ B ）A ．B ．C ．D ．三、一元二次方程与二次函数的关系，自变量与函数值的位置关系的确定。
二次函数知识精讲与拓展训练
二次函数知识精讲与拓展训练【知识精讲】1．二次函数：形如 的函数叫做二次函数.2．二次函数的图像性质：（1）二次函数的图像是 ；（2）二次函数),,,0(2为常数c b a a c bx ax y ≠++=通过配方可得c b a a ab ac a b x a y ,,,0(44)2(22≠-++=为常数），其顶点坐标为 。
（3）当0>a 时，抛物线开口 ，并向上无限延伸；在对称轴左侧)2(abx -<即时，y 随x 的增大而减小；在对称轴右侧)2(ab x ->即时，y 随x 的增大而增大；当a bx 2-=时，函数有 .当0<a 时，抛物线开口 ，并向下无限延伸；在对称轴左侧)2(abx -<即时，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧)2(ab x ->即时，y 随着x 的增大而减小；当,2时a bx -=函数有 。
3．二次函数的图像平移：（1）二次函数k h x a y h x a y ax y +-=-==222)(,)(,的图像都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同（a 的取值决定抛物线的形状）.将2ax y =的图像向右（h>0）、向左（h<0）平移h 个单位，就得到函数2)(h x a y -=的图像；再将此抛物线向上(k>0)、向下(k<0)平移k 个单位得到函数k h x a y +-=2)(的图像.上述平移的规律是：“h 值正、负、右、左移；k 值正、负、上、下移.” 4.抛物线与坐标轴的交点：（1）抛物线).,0(2c y c bx ax y 轴交于点与++=（2）若方)0,)(0,(,,0212212x x x c bx ax y x x c bx ax 轴点交则抛物线有两根++==++ 考点㈠二次函数的图像性质例1定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1–m ]的函数的一些结论：① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小；④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有 A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 变式训练1.已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A.0a >B. 0c <C.240b ac -<D.0a b c ++>第（1）题 第（3）题 2．已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：（ ）①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．3. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个考点㈡二次函数图像平移例2. 抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为（ ） A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2变式训练1．把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式 （ ）2.若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，……则E （x ，122+-x x ）可以由E （x ，2x ）怎样平移得到？3．如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线n m x a y +-=2)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为( )A ．－3B ．1C ．5D ．8第（2）题 yxO· O y x 1考点㈢确定二次函数解析式例3如图，在平面直角坐标系中，OB OA ⊥，且2OB OA =，点A 的坐标是(12)-，． （1）求点B 的坐标；（2）求过点A O B 、、的抛物线的表达式；（3）连接AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使得ABP ABO S S =△△． 变式训练1．二次函数23y x mx =-+的图象与x 轴的交点如图所示，根据图息可得到m 的值是 ．第2题图2．已知二次函数()()221y x a a =-+-（a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当1a =-，0a =，1a =，2a =时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y = . 3.如图，已知二次函数c bx x y ++-=221的图象经过A （2，0）、B （0，－6）两点。
人教版数学九年级上册第22章二次函数拓展训练
九年级上册第22章拓展训练一．选择题（共10小题）1．下列函数是二次函数的是（）A ．B ．C．y＝x+1D．y＝2（x2+2）﹣2x22．对于二次函数y＝﹣2x2+3的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣3C．顶点坐标为（0，3）D．x＞0时，y随x的增大而减小3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（）A．b＜0B．c＜0C．a﹣b+c＞0D．4a+2b+c＞0第1页（共1页）4．若点（1，y1），（2，y2），（3，y3）都在二次函数y＝﹣x2的图象上，则（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2 5．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝x2﹣2x+5向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的为（）A．y＝（x﹣5）2+4B．y＝（x+3）2+8C．y＝（x+3）2+1D．y＝（x﹣5）2+1 6．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当0≤x≤3时，y的取值范围是（）A．﹣3≤y≤0B．﹣4＜y≤0C．﹣3＜y＜0D．﹣4≤y≤0 7．无论m取任何实数，抛物线y＝ax2+2max+am2+m（a≠0）的顶点都（）A．在y＝x直线上B．在y＝﹣x直线上C．在x轴上D．在y轴上8．二次函数y＝2x2的顶点坐标是（）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，0）9．点P1（﹣2，y1），P2（2，y2），P3（4，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y2＞y1＝y3C．y1＝y3＞y2D．y1＝y2＞y3 10．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（）A ．B ．第1页（共1页）C ．D ．二．填空题（共5小题）11．点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝﹣x2+4x﹣1的图象上，若1＜x1＜2，3＜x2＜4，则y1y2．（填“＞”，“＝”或“＜”）．12．二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有2个交点，则a的取值范围是．13．若方程ax2﹣2ax+c＝0（a≠0）有一个根为x＝﹣1，那么抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴正半轴的交点坐标为．14．将抛物线y＝3x2向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，所得到的抛物线为．15．已知二次函数y＝mx2+nx与y＝nx2+mx（其中m，n为常数），若这两个函数图象的顶点关于x轴对称，则m和n满足的关系为．三．解答题（共5小题）16．已知二次函数y＝2（x﹣1）2﹣3．（1）写出二次函数图象的开口方向和对称轴；（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值．第1页（共1页）17．如图，抛物线y ＝﹣（x+1）（x﹣n）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y 轴交于点C，△ABC的面积为5．动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动，过P作PN⊥x轴交BC于M，交抛物线于N ．（1）求抛物线的解析式；（2）当MN最大时，求运动的时间；（3）经过多长时间，点N到点B、点C的距离相等？18．某名贵树木种植公司计划从甲，乙两个品种中选取一个种植并销售，市场预测每年产销x棵，已知两个品种的有关信息如表：品种每棵售价（万元）每棵成本（万元）每年其他费用（万元）预测每年最大销量（棵）甲12a20160乙201260﹣2x+0.05x280其中a为常数，且7≤a≤10，销售甲，乙两个品种的年利润分别为y1万元，y2万元．第1页（共1页）（1）直接写出y1与x的函数关系式为．y2与x的函数关系式为．（2）分别求出销售这两个品种的最大年利润．（3）为了获得最大年利润，该公司应该选择哪个品种？请说明理由．19．已知二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的顶点坐标为（5，9）．（1）求a，c的值；（2）二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．20．已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好有≥≥，求m，n的值．第1页（共1页）参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A、不是二次函数，故本选项不符合题意；B、是二次函数，故本选项符合题意；C、是一次函数，故本选项不符合题意；D、化简得y＝4，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：B．2．解：∵二次函数y＝﹣2x2+3，∴该函数的图象开口向下，故选项A正确；对称轴是直线x＝0，故选项B错误；顶点坐标为（0，3），故选项C正确；当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项D正确；故选：B．3．解：A、抛物线开口方向向下，则a＜0；对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0，故本选项不符合题意．B、抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，故本选项不符合题意．C、当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，故本选项不符合题意．D、根据抛物线的对称性质得到：当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故本选项符合题意．故选：D．第1页（共1页）4．解：由二次函数y＝﹣x2可知，图象的开口向下，对称轴是y轴（直线x＝0），∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵1＜2＜3，∴y1＞y2＞y3，故选：A．5．解：∵y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，∴把抛物线y＝x2﹣2x+5，向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1﹣4）2+4﹣3，即y＝（x﹣5）2+1．故选：D．6．解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4中a＝1＞0，∴有最小值﹣4，当x＝3时y有最大值＝（3﹣1）2﹣4＝0，∴当0≤x≤3时，y的取值范围﹣4≤y≤0，故选：D．7．解：∵y＝ax2+2max+am2+m＝a（x+m）2+m，∴顶点坐标是（﹣m，m），∴顶点在直线y＝﹣x上．故选：B．8．解：∵y＝2x2，∴顶点坐标为（0，0），第1页（共1页）故选：D．9．解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点为（4，y1），∵2＜4，∴y2＞y1＝y3，故选：B．10．解：由一次函数y＝ax﹣a＝a（x﹣1）可知，直线经过点（1，0），故A可能是正确的，故选：A．二．填空题（共5小题）11．解：由二次函数y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3可知，其图象开口向下，且对称轴为x ＝2，∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，∴A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离，∴y1＞y2．故答案为：＞．12．解：令y＝（a﹣1）x2+2x﹣1＝0，∵y＝（a﹣1）x2+2x﹣1是二次函数，∴a﹣1≠0，∴a≠1，第1页（共1页）∵二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有两个交点，∴△＝4+4（a﹣1）＞0，∴a＞0，∴a的取值范围是a＞0且a≠1，故答案为：a＞0且a≠1．13．解：抛物线的对称轴是直线x ＝﹣＝1．∴方程ax2﹣2ax+c＝0（a≠0）的另一根为x＝3．则抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴正半轴的交点坐标为（3，0）．故答案是：（3，0）．14．解：抛物线y＝3x2向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的函数图象解析式是y＝3（x+1）2+2，故答案为：y＝3（x+1）2+2．15．解：函数y＝mx2+nx＝m（x +）2﹣的顶点坐标为（，﹣），y＝nx2+mx＝n（x +）2﹣的顶点坐标为（，﹣），∵这两个函数图象的顶点关于x轴对称，∴，解得，m＝﹣n，故答案为：m＝﹣n．三．解答题（共5小题）第1页（共1页）16．解：（1）在y＝2（x﹣1）2﹣3中，∵a＝2＞0，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线x＝1；（2）∵二次函数开口向上，∴函数y有最小值，∵其顶点坐标为（1，﹣3），∴y的最小值为﹣3．17．解：（1）∵抛物线y ＝﹣（x+1）（x﹣n）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，∴A（﹣1，0），B（n，0），C（0，），n＞0，∴AB＝n+1，OC ＝n，由S△ABC ＝×AB×OC＝5，∴n（n+1）＝5，∴n（n+1）＝20，∴取正根n＝4，∴y ＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（2）由（1），B（4，0），C（0，2），∴直线BC为y ＝﹣x+2，第1页（共1页）设M（m ，﹣m+2），N（m ，﹣m2+m+2），∴MN ＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m ＝﹣（m﹣2）2+2，∴当m＝2时，MN最大，∴OP＝2，∴AP＝3，即经过3s，MN最大；（3）如下图所示，作BC的中垂线，与BC交于点D，与y轴交于点E，与抛物线交于点N，∴△CDE～△COB∴＝＝，由（2），BC＝2，D（2，1），∴DE＝2CD＝2，∴CE＝5，∴OE＝3，∴E（0，﹣3），∴直线DE为y＝2x﹣3，第1页（共1页）由﹣x2+x+2＝2x﹣3，移项整理得：x2+x﹣5＝0，∴x2+x﹣10＝0，取正根x ＝，∴OP ＝，∴AP ＝，即经过秒，点N到点B、点C的距离相等．18．解：（1）y1＝（12﹣a）x﹣20，（0＜x≤160），y2＝（20﹣12）x﹣60+2x﹣0.05x2＝﹣0.05x2+10x﹣60．（0＜x≤80）．故答案为：y1＝（12﹣a）x﹣20，（0＜x≤160）；y2＝﹣0.05x2+10x﹣60．（0＜x≤80）；（2）对于y1＝（12﹣a）x﹣20，∵12﹣a＞0，∴x＝160时，y1的值最大＝（1900﹣160a）万元．对于y2＝﹣0.05（x﹣100）2+440，∵0＜x≤80，∴x＝80时，y2最大值＝420万元．（3）①1900﹣160a＝420，解得a＝9.25，②1900﹣160a＞420，解得a＜9.25，③1900﹣160a＜420，解得a＞9.25，第1页（共1页）∵7≤a≤10，∴当a＝9.25时，选择甲乙两个品种的利润相同．当7≤a＜9.25时，选择甲品种利润比较高．当9.25＜a≤10时，选择乙品种利润比较高．19．解：（1）根题意，得，，解得；故a＝﹣1，c＝﹣16；（2）由（1）可知该二次函数的解析式为y＝﹣x2+10x﹣16，今x＝0，则y＝﹣16．∴点C的坐标为（0，﹣16），令y＝0，则﹣x2+10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8，AB＝8﹣2＝6．∴S△ABC ＝AB•OC ＝×6×16＝48．20．解：（1）由题意可知，抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1，∴，∴b＝6，c＝2019；（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入解析式可得：，∴两式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0，第1页（共1页）化简得：c＝2x02+2020，又∵x0≠0，∴c＞2020；（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1．∴y≤1，∵0＜m＜n，当m≤x≤n 时，恰好有≥≥，化简得：≥≥，∵反比例函数在第一象限内y随x的增大而减小，∴m+2≤y+2≤n+2，∴m≤y≤n，又∵y≤1，∴m≤y≤n≤1或m≤y≤1≤n，当m≤y≤n≤1时，∵抛物线的对称轴是直线x＝1，且开口向下，∴当m≤x≤n时，y随x的增大而增大．∴当x＝m时，y最小值＝﹣2m2+4m﹣1．当x＝n时，y最大值＝﹣2n2+4n﹣1，又∵m≤y≤n，∴有，第1页（共1页）解得：m＝1或，n＝1或，∵m＜n≤1，∴．当m≤y≤1≤n时，∵y的最大值为1，∴n＝1，x＝m时，最小值为m，即m＝﹣2m2+4m﹣1，解得m＝1或，∵m＜1，∴m ＝，综上所述，满足条件的m 的值为，n的值为1．第1页（共1页）。
二次函数知识精讲与拓展训练
二次函数知识精讲与拓展训练【知识精讲】1．二次函数：形如的函数叫做二次函数.2．二次函数的图像性质：〔1〕二次函数的图像是；〔2〕二次函数),,,0(2为常数c b a a c bx ax y ≠++=通过配方可得c b a a ab ac a b x a y ,,,0(44)2(22≠-++=为常数〕，其顶点坐标为。
〔3〕当0>a 时，抛物线开口，并向上无限延伸；在对称轴左侧)2(a bx -<即时，y 随x 的增大而减小；在对称轴右侧)2(abx ->即时，y 随x 的增大而增大；当a b x 2-=时，函数有.当0<a 时，抛物线开口，并向下无限延伸；在对称轴左侧)2(abx -<即时，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧)2(abx ->即时，y 随着x 的增大而减小；当,2时a b x -=函数有。
3．二次函数的图像平移：〔1〕二次函数k h x a y h x a y ax y +-=-==222)(,)(,的图像都是抛物线，并且形状一样，只是位置不同〔a 的取值决定抛物线的形状〕.将2ax y =的图像向右〔h>0〕、向左〔h<0〕平移h 个单位，就得到函数2)(h x a y -=的图像；再将此抛物线向上(k>0)、向下(k<0)平移k 个单位得到函数k h x a y +-=2)(的图像.上述平移的规律是：“h 值正、负、右、左移；k 值正、负、上、下移.〞 4.抛物线与坐标轴的交点：〔1〕抛物线).,0(2c y c bx ax y 轴交于点与++= 〔2〕假设方)0,)(0,(,,0212212x x x c bx ax y x x c bx ax 轴点交则抛物线有两根++==++考点㈠二次函数的图像性质例1定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m ]的函数的一些结论：①当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ②当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有 A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 变式训练1.二次函数2y ax bx c =++的图像如下图，那么以下结论正确的选项是〔〕A.a >B.c < C.240b ac -<D.0a b c ++>第〔1〕题第〔3〕题2．二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如下图，有以下结论：〔〕①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<． 3. 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如下图，有以下5个结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤)(b am m b a +>+，〔1≠m 的实数〕其中正确的结论有〔〕A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个考点㈡二次函数图像平移例2. 抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，那么b 、c 的值为〔〕 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2变式训练1．把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，那么平移后抛物线的表达式〔〕2.假设把函数y=x 的图象用E 〔x ，x 〕记，函数y=2x+1的图象用E 〔x ，2x+1〕记，……那么E 〔x ，122+-x x 〕可以由E 〔x ，2x 〕怎样平移得到？3．如图，点A ，B 的坐标分别为〔1, 4〕和〔4, 4〕,抛物线n m x a y +-=2)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点〔C 在D 的左侧〕，点C 的横坐标最小值为3-，那么点D 的横坐标最大值为( )A ．－3B ．1C ．5D ．8第〔2〕题yxOy· O y x1考点㈢确定二次函数解析式例3如图，在平面直角坐标系中，OB OA ⊥，且2OB OA =，点A 的坐标是(12)-，． 〔1〕求点B 的坐标；〔2〕求过点A O B 、、的抛物线的表达式；〔3〕连接AB ，在〔2〕中的抛物线上求出点P ，使得ABP ABO S S =△△． 变式训练1．二次函数23y x mx =-+的图象与x 轴的交点如下图，根据图息可得到m 的值是．第2题图 2．二次函数()()221y x a a =-+-〔a 为常数〕，当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系〞．以下图分别是当1a =-，0a =，1a =，2a =时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y =. 3.如图，二次函数c bx x y ++-=221的图象经过A 〔2，0〕、B 〔0，－6〕两点。
最全九年级数学二次函数练习完整版.doc
x/米y/米O2018——2019学年度（上）九年级数学 二次函数练习 一1、抛物线2y x =先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ）A ．()213y x =++B ．()213y x =+-C ．()213y x =--D ．()213y x =-+ 2、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线x x y 42+-=（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）A.4米B.3米C.2米D.1米3、抛物线4412-+-=x x y 的对称轴是（ ）A 、2-=xB 、2=xC 、4-=xD 、4=x 4、函数42-=x y 的图像顶点坐标是（ ）．A 、（2，0）B 、（－2，0）C 、（0，4）D 、（0，－4）5、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论中正确的是：（ ） A a >0 b <0 c >0 B a <0 b <0 c >0 C a <0 b >0 c <0 D a <0 b >0 c >06、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）答案：B7、抛物线y =2x 2由y =2(x +3)2 －4怎样的平移可得到抛物线.( )A 、先向左平移3个单位，再向上平移4个单位B 、先向左平移3个单位，再向下平移4个单位C 、先向右平移3个单位，再向上平移4个单位D 、先向右平移3个单位，再向下平移4个单位8、已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( ) A ．a ＞0 B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C ．c ＜0 D ．3是方程ax 2+bx +c =0的一个根 9、如图是二次函数y 1=ax 2+bx +c 和一次函数y 2=mx +n 的图象，观察图象写出y 2≥y 1时，x 的取值范围（ ） A ．x ≥0 B ．0≤x ≤1 C ．－2≤x ≤1 D ．x ≤110、抛物线c bx ax y ++=2中，b ＝4a ，它的图象如图，有以下结论：①0>c ；②0>++c b a③0>+-c b a ④042<-ac b⑤0<abc第9题图姓名：______⑥c a >4；其中正确的为（ ） A ．①② B ．①④C ．①②⑥D ．①③⑤11、抛物线5)2(42+--=x y 的对称轴是_______________，顶点坐标是____________． 12、若抛物线22y x x m =++与x 轴只有一公共点，则m =_________13、二次函数22y x =+的图象开口_____，对称轴是________，与x 轴的交点坐标是_______． 14、抛物线223y x x =+-与x 轴交点个数为_______个，与坐标轴．．．交点个数___________个。
课外培训初三数学《二次函数》
．＜， △ ＜
()已知抛物线＝－(－)＋－与轴的
交点个数为 或 个．
第
用函数观点看一元二次方程
h 20t 5t
1
3
页
2
t
()球的飞行高度能否达到？如能，需要多少飞
行时间？
解：能， 令 = ，得 − =
＝＋( ≠ ) 的图像交于点 (－，)(，) ，
如下图所示，则能使＞成立的的取值范围是(D )
．＜－
．＞
．－＜＜
．＜－或＞
第
两函数之间的不等关系
页
()如图，一次函数＝＋( ≠ )与二次函数
＝＋＋( ≠ ) 的图象相交于 (−, )，(，) 两点，
()求二次函数的解析式；
= − −
页
第
两函数之间的不等关系
二次函数解析式 =
−
页
−
()设二次函数的图象与x轴的另一个交点为，求点
的坐标；
令 = 得
− −=
解得 = , = −
（ − , ）
第
两函数之间的不等关系
()请你描出抛物线上＜－的部分，并观察此时自变量的
<<
取值范围是
．
第
用函数观点看不等式
()如下图是二次函数＝＋＋的部分图象，
由图象可知：
()不等式＋＋＜的解集是 > , < −；
()不等式＋＋＞的解集是 − < <
图
象
交
与轴交点坐标
与轴交点坐标
(, ) (−, ) 是：____________
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数学课外拓展训练2CH2/10/16
1、在同一平面直角坐标系内，将函数y = 2/ +4x+1的图彖沿兀轴方向向右平移2个单位长度后再 沿y 轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是（ ）
A. （-1, 1）
B. （1, -2 ）
C. （2, -2 ）
D. （1, -1）
2、 将抛物线y 二3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（
） A. y = 3（x + 2）2+3 B.y = 3（兀一2）2+3 C.y = 3（x + 2）2 -3 D.y = 3（x-2）2 -3
3、 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a<0）的图象如图所示，当・5WxW0时，下列说法正确的是（
） A.有最小值・5、最大值0B.有最小值・3、最大值6 C.有最小值0、最大值6D.有最小值2、最大值6 4、如图，已知抛物线y 尸一2?+2,直线）沪乙+2,当兀任取一值时，无对应的函数值分别为.力、y,若p 工旳，取戸、『2中的较小值记为M ；若yi=y 2y 记M= yi=yi •例如：当％=1时,”=0,力=4,”<旳,此时 M=0.下列判断：①当x>0 H't ，y\>yz ； ②当兀<0时，兀值越大，M 值越小；
③使得M 大于2的兀值不存在；④使得M 二1的兀值是2或亍其中正确的是（ ）
A.①②
B.①④
C.②③
D.③④
5、二次函数y = d （x +加）2+〃的；图象如图，则一次函数y = nvc +
n 的图象经过（ ）
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限.
D.第一、三、四象限
6、设 A(-2, y,), B(l, y 2),C(2, y 3)是抛物线 y = -(x+l)2 4-m±的三点，则 y p y 2,y 3 的大小关系为
) A.> y 2 > % B. > % > 旳 C. % > >2 > )1 D. y 2 > 牙 > 北
已知二次函数y = ax 2 +bx + c （a 工0）的图象如图所示对称轴为x =
7、 第3题
A. abc>0
B. a+b=0
C. 2b+c>0
D. 4a 十c<2b 下列结论中，正确的是（）
8、二次函数y = ajc2 3-}-bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx-^m = 0有实数根，则m的最大值为
2当旋钮角为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？
3某家庭使用此燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气用量.
A. -l<x<5
B. x>5C-兀v-l且r>5 D. xv-l或x〉5
10、设二次惭数>'=厂+加+ °,当X<1时, 总有当iwx53时，总有y-°那么c的取值范圉是（)A. c = 3 B. c>3 C. 1 < c < 3 D. c<3
9、如图是二次函数y = cix3+bx^c的部分图象，由图象可知不等式ax1+bx^c< 0的解集是（
3请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度兀度的变化规律？
11、如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正
2 、
半轴上，二次函数y二——对+bx + c的图像经过B、C两点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数的图像探索：当y〉0吋x的取值范围.
12、许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活屮非常现实的问题。
某款燃气灶旋钮位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气关闭时，燃气灶旋钮的位置为0度，旋钮角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋钮角度为90度.为测试燃气灶旋钮在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择在燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧
旋钮角度（度）2050708090
73678397115
所用燃气量（升）
1 0
13、如图，一次函数y = -—x + 2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y =-亍+fex + c过A、B 两点。
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)作垂直x轴的直线只=1,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N。
求当t取何值时，
MN有最大值？最大值是多少？
(3)在(2)的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标。
14、如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2,0)> B(2,0)、C(0,-l)三点,过坐标原点O的直线y = kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D(0,-2)作平行于无轴的直线厶、/2.
(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；
(2)求证以ON为直径的圆与直线厶相切；
(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线人的距离之和等于线段MN的长。
y。