【人教版】2017年中考数学：拓展题型-二次函数综合题(含答案解析)

拓展题型二次函数综合题

拓展一二次函数与线段和差问题

1. (2016贺州10分)如图，矩形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC 上的E处，E点坐标为(6，8)，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，A，E三点．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)求AD的长；

(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当△P AD的周长最小时，求点P的坐标．

2. (2016大连12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2＋1

4与y 轴相交于点A ，点B 与点O 关

于点A 对称．

(1)填空，点B 的坐标是________；

(2)过点B 的直线y ＝kx ＋b (其中k ＜0)与x 轴相交于点C ，过点C 作直线l 平行于y 轴，P 是直线l 上一点，且PB ＝PC .求线段PB 的长(用含k 的式子表示)，并判断点P 是否在抛物线上，说明理由；

(3)在(2)的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点C ′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标．

3. 抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点O 为坐标原点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，四边形OCEF 为矩形，且OF ＝2，EF ＝3. (1)求抛物线的解析式；

(2)连接CB 交EF 于点M ，再连接AM 交OC 于点R ，连接AC ，求△ACR 的周长；

(3)设G (4，－5)在该抛物线上，P 是y 轴上一动点，过点P 作PH ⊥EF 于点H ，连接AP ，GH ，问AP ＋PH ＋HG 是否有最小值？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．

【答案】

1．解：(1)∵四边形OABC是矩形，B(10，8)，

∴A(10，0). ……………………………………………………(1分) 又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(10，0)、E(6，8)和O(0，0)，

∴

2

2

10100

668

a b c

a b c

c

⎧++=

⎪

++=

⎨

⎪=

⎩

，解得

1

3

10

3

a

b

c

⎧

=-

⎪

⎪

⎪

=

⎨

⎪

⎪=

⎪

⎩

，

∴抛物线的解析式为y＝－1

3x

2＋

10

3x；………………………(3分)

(2)由题意可知：AD＝ED，BE＝10－6＝4，AB＝8，………(4分)

设AD为x，则ED＝x，BD＝AB－AD＝8－x，

在Rt△BDE中，ED2＝EB2＋BD2，

即x2＝42＋(8－x)2，…………………………………………(5分)

解得x＝5，

即AD＝5；……………………………………………………(6分)

(3)由(2)可知，D点的坐标是(10，5)，

∴△P AD的周长l＝P A＋PD＋AD＝P A＋PD＋5，…………(7分)

∵抛物线的对称轴是线段OA的垂直平分线，点P是抛物线对称轴上的一动点，

∴PO＝P A，

∵l＝P A＋PD＋5＝PO＋PD＋5，

∴当PO＋PD最小时，△P AD的周长l最小，

即当点P移动到直线OD与抛物线对称轴的交点处时PO＋PD最小，………………………………………………………………(8分)

设直线OD的解析式为y＝kx，

将D点坐标(10，5)代入得：

5＝10k，解得k＝1 2，

∴直线OD的解析式为y＝1

2x，………………………………(9分)

当x＝5时，y＝5 2，

∴P点的坐标是(5，5 2)．……………………………………(10分)

2．解：(1)(0，1 2)；……………………………………………(2分)

【解法提示】由y＝x2＋1

4得：A(0，

1

4)，

∵点B、O关于点A对称，

∴B(0，1 2)．

(2)∵直线BC过点B(0，1 2)，

∴直线BC 解析式为y ＝kx ＋1

2，………………………………(3分)

∴C (

1

2k -，0)，

又∵P 是直线l 上一点，

∴可设P (

1

2k -，a )．

如解图①，过点P 作PN ⊥y 轴，垂足为N ，连接PB ，

第2题解图①

则在Rt △PNB 中，由勾股定理得：PB 2＝PN 2＋NB 2， ∵PB ＝PC ＝a ，

∴a 2＝(

12k -)2

＋(a －12)2，……………………………………(5分)

解得a ＝21144k +， ∴PB ＝21144k +， ∴P 点坐标为(12k -，211

44k +

)，……………………………(6分)

当x ＝

12k -时，y ＝211

44k +

，

∴点P 在抛物线上；…………………………………………(7分) (3)如解图②，由C ′在y 轴上，可知∠CBP ＝∠C ′BP ，

第2题解图②

∵PB ＝PC ，

∴∠CBP ＝∠PCB ， ∵PC ∥C ′B ，

∴∠PCB ＝∠ABC ，

∴∠C ′B P ＝∠CBP ＝∠ABC ＝60°， ∴△PBC 为等边三角形，