二次函数与几何综合压轴题题型归纳88728

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二次函数与几何图形结合题型总结

“二次函数”常考题型总结“二次函数”综合题往往考察以下几类，面积，周长、最值，或者与四边形、圆等结合考察一些相关的性质等，题目编号灵活，难度有点大，今天整理了常考题型，希望对同学们能有所帮助！面积类1、如图,已知抛物线经过点A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B,C重合）,过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值；若不存在,说明理由．2、如图，抛物线y=ax2- 3/2 x-2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．平行四边形类3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2 +mx+n经过点A（3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t。

（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式；（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积；（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。

如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A'B'O．（1）一抛物线经过点A'、B'、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB'A'B的面积是△A'B'O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB'A'B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB'A'B的两条性质．5、如图，抛物线y=x2-2x+c的顶点A在直线l：y=x-5上。

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是直线同旁的两个定点，线段，在直线上确定两点
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的左侧），使得四边形的周长最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法
(1)求该抛物线的解析式与△
求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？
当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？
(4)在（5）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。

当E点运动到什么位置时,以点
E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形？
(5)在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？
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1
；二次函数y＝x
2
两点且D点坐标
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
轴交于点A（﹣4，0）和B．的坐标；若不存在，请说明理由．
F
E
O
x
B
A
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙。

中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析

中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析一、二次函数1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113+113+3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，求解即可得出点Q的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5．∵OA＜OB，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接BE、OE．∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，∴BE＝12CD＝CE．令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，﹣3），∴OB ＝OC ，又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ，∴△OBE ≌△OCE （SSS ），∴∠BOE ＝∠COE ，∴点E 在第四象限的角平分线上，设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3，得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝1132±， ∵点E 在第四象限，∴E 点坐标为（113+，﹣113+）；（3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．∵S △ACQ ＝2S △AOC ，∴S △ACF ＝2S △AOC ，∴AF ＝2OA ＝2，∴F （1，0）．∵A （﹣1，0），C （0，﹣3），∴直线AC 的解析式为y ＝﹣3x ﹣3．∵AC ∥FQ ，∴设直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +b ，将F （1，0）代入，得0＝﹣3+b ，解得b ＝3，∴直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +3．联立22333y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩，解得11312x y =-⎧⎨=⎩，2223x y =⎧⎨=-⎩， ∴点Q 的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．3．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】【分析】（1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y xy x=+⎧⎨=-+⎩，得45215xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E，(0,1)F∵点M在AOB∆内，∴45b<<当点,C D关于抛物线对称轴（直线x b=）对称时，1344b b-=-，∴12b=且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线41y x=+上综上：①当12b<<时，12y y>；②当12b=时，12y y=；③当1425b<<时，12y y<.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.6．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a （x﹣2）2﹣2经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D′（不与点D重合），连接PD′，设点P的横坐标为m：（1）①直接写出a的值；②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：①求PDDD'的值；②直接写出L与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y ＝212x ﹣2x ；（2）①1；②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)2m m m m π⎧+<⎪⎨-++<<⎪⎩…；（3）h ＝±3 【解析】【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ；（2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值．【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中，得：0＝a （0﹣2）2﹣2，解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；．（2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12； ∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4 如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭，2222322m 22,PG m 22m 2422FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EGEG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG2212242222m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩…；（3）如图3，∵OADD ′为菱形 ∴AD ＝AO ＝DD ′＝4， ∴PD ＝2，23PA =23h ∴=±【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1(a ≠0)交x 轴于A ，B (1，0)两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F (1)求抛物线的解析式；(2)若点F 位于直线AD 的下方，请问线段EF 是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E 的坐标；若没有，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)4912，(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m，1 3m2+23m﹣1），由此得到EF＝﹣13m2+13m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．【详解】解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为(﹣3，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵点C的坐标为(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝13，∴抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，则点F的坐标为(m，13m2+23m﹣1)∴y＝(m+3)﹣( 13m2+23m﹣1)＝﹣13m2+13m+4即y＝-13(m﹣12) 2+4912，此时点E的坐标为(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．∴EG 垂直平分CD ∴点E 的纵坐标y ＝132-+＝1，将y ＝1带入y ＝x +3，得x ＝﹣2． ∵EG 关于y 轴对称， ∴点G 的坐标为(2，1)；②如图2，当四边形CDEG 为菱形时，以点D 为圆心，DC 的长为半径作圆，交AD 于点E ，可得DC ＝DE ，构造菱形CDEG 设点E 的坐标为(n ，n +3)，点D 的坐标为(0，3)∴DE ＝22(33)n n ++-＝22n ∵DE ＝DC ＝4， ∴22n ＝4，解得n 1＝﹣22，n 2＝22．∴点E 的坐标为(﹣22，﹣22+3)或(22，22+3) 将点E 向下平移4个单位长度可得点G ，点G 的坐标为(﹣22，﹣22﹣1)(如图2)或(22，22﹣1)(如图3)③如图4，“四边形CDGE 为菱形时，以点C 为圆心，以CD 的长为半径作圆，交直线AD 于点E ，设点E 的坐标为(k ，k +3)，点C 的坐标为(0，﹣1)． ∴EC ＝22(0)(31)k k -+++＝22816k k ++． ∵EC ＝CD ＝4， ∴2k 2+8k +16＝16，解得k 1＝0(舍去)，k 2＝﹣4． ∴点E 的坐标为(﹣4，﹣1) 将点E 上移1个单位长度得点G ． ∴点G 的坐标为(﹣4，3)．综上所述，点G 的坐标为(2，1)，(﹣22，﹣22﹣1)，(22，22﹣1)，(﹣4，3)．【点睛】本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或【解析】【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果．（3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论．【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥ ∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：257m m x （）-±-=即1216x x m =-=-+，由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+ ∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -），由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=- 56m m ∴==或【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．9．如图，菱形ABCD 的边长为20cm ，∠ABC ＝120°，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 从点A 出发，以4cm /s 的速度，沿A →B 的路线向点B 运动；过点P 作PQ ∥BD ，与AC 相交于点Q ，设运动时间为t 秒，0＜t ＜5．（1）设四边形PQCB 的面积为S ，求S 与t 的关系式；（2）若点Q 关于O 的对称点为M ，过点P 且垂直于AB 的直线l 交菱形ABCD 的边AD （或CD ）于点N ，当t 为何值时，点P 、M 、N 在一直线上？（3）直线PN 与AC 相交于H 点，连接PM ，NM ，是否存在某一时刻t ，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) S=﹣231003t +0＜t ＜5）； (2) 307;(3)见解析. 【解析】【分析】（1）如图1，根据S=S △ABC -S △APQ ，代入可得S 与t 的关系式；（2）设PM=x ，则AM=2x ，可得3，计算x 的值，根据直角三角形30度角的性质可得3AM=AO+OM ，列方程可得t 的值；（3）存在，通过画图可知：N 在CD 上时，直线PN 平分四边形APMN 的面积，根据面积相等可得MG=AP ，由AM=AO+OM ，列式可得t 的值．【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=60°，AC ⊥BD ， ∴∠OAB=30°， ∵AB=20，∴OB=10，3 由题意得：AP=4t ，∴PQ=2t ，AQ=23t ， ∴S=S △ABC ﹣S △APQ ， =11··22AC OB PQ AQ -， =111020322322t t ⨯⨯-⨯⨯ ， =﹣23t 2+1003（0＜t ＜5）；（2）如图2，在Rt △APM 中，AP=4t ， ∵点Q 关于O 的对称点为M ， ∴OM=OQ ，设PM=x ，则AM=2x ， ∴AP=3x=4t ， ∴x=3， ∴AM=2PM=3， ∵AM=AO+OM ，∴3=103+103﹣23t ，t=307；答：当t 为307秒时，点P 、M 、N 在一直线上；（3）存在，如图3，∵直线PN 平分四边形APMN 的面积， ∴S △APN =S △PMN ，过M 作MG ⊥PN 于G ，∴11··22PN AP PN MG = ， ∴MG=AP ，易得△APH ≌△MGH ，∴3，∵AM=AO+OM ，同理可知：3﹣3，3333t ，t=3011．答：当t 为3011秒时，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.10．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=-+-，()22AC [01](30)10=--+-=，()22AM [11](m 0)=--+-，分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标．【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中，得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=，解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．Q 抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+， ∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠，将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中，得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+． Q 当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-分三种情况考虑：①当90AMC ∠=o 时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=o 时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=o 时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC V 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，列出关于m 的方程．11．如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当12MQ NQ =时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）t 的值为12；（3）当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或t ﹣1．【解析】【分析】（1）求直线y=-x+4与x 轴交点B ，与y 轴交点C ，用待定系数法即求得抛物线解析式．（2）根据点B 、C 坐标求得∠OBC=45°，又PE ⊥x 轴于点E ，得到△PEB 是等腰直角三角形，由PB =求得BE=PE=t ，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据MP ∥CN 可证MPQ NCQ V V ∽，故有12MP MQ NC NQ ＝＝，把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值．（3）因为不确定等腰△PDM 的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP ，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP ，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME ，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP=DP ，则∠PMD=∠PDM ，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF 进而得CF=CD ．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG ，得等腰直角△CDG ，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF=CD ，解方程即得到t 的值．【详解】（1）直线y ＝﹣x +4中，当x ＝0时，y ＝4 ∴C （0，4）当y ＝﹣x +4＝0时，解得：x ＝4 ∴B （4，0）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点 ∴1640004b c c -++=⎧⎨++=⎩ 解得：34b c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+3x +4（2）∵B （4，0），C （0，4），∠BOC ＝90° ∴OB ＝OC∴∠OBC ＝∠OCB ＝45° ∵ME ⊥x 轴于点E ，PBt ∴∠BEP ＝90°∴Rt △BEP 中，2PE sin PBE PB ∠=＝∴BE PE t ＝＝， ∴4M P P x x OE OBBE t y PE t ＝＝＝﹣＝﹣，＝＝ ∵点M 在抛物线上∴2243445M y t t t t +++＝﹣（﹣）（﹣）＝﹣， ∴24MP MP y y t t +＝﹣＝﹣ ， ∵PN ⊥y 轴于点N∴∠PNO ＝∠NOE ＝∠PEO ＝90° ∴四边形ONPE 是矩形 ∴ON ＝PE ＝t ∴NC ＝OC ﹣ON ＝4﹣t ∵MP ∥CN ∴△MPQ ∽△NCQ ∴12MP MQ NC NQ == ∴24142t t t -+=-解得：12142t t ＝，＝（点P 不与点C 重合，故舍去） ∴t 的值为12（3）∵∠PEB ＝90°，BE ＝PE ∴∠BPE ＝∠PBE ＝45° ∴∠MPD ＝∠BPE ＝45°①若MD ＝MP ，则∠MDP ＝∠MPD ＝45° ∴∠DMP ＝90°，即DM ∥x 轴，与题意矛盾 ②若DM ＝DP ，则∠DMP ＝∠MPD ＝45° ∵∠AEM ＝90° ∴AE ＝ME∵y ＝﹣x 2+3x +4＝0时，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4 ∴A （﹣1，0）∵由（2）得，x M ＝4﹣t ，ME ＝y M ＝﹣t 2+5t ∴AE ＝4﹣t ﹣（﹣1）＝5﹣t ∴5﹣t ＝﹣t 2+5t解得：t 1＝1，t 2＝5（0＜t ＜4，舍去）③若MP ＝DP ，则∠PMD ＝∠PDM如图，记AM 与y 轴交点为F ，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ∴∠CFD ＝∠PMD ＝∠PDM ＝∠CDF ∴CF ＝CD∵A （﹣1，0），M （4﹣t ，﹣t 2+5t ），设直线AM 解析式为y ＝ax +m ∴()2045a m a t m t t -+=⎧⎨-+=-+⎩ 解得：a tm t =⎧⎨=⎩ ， ∴直线AM ：y tx t +＝ ∴F （0，t ） ∴CF ＝OC ﹣OF ＝4﹣t ∵tx +t ＝﹣x +4，解得：41tx t -=+， ∴41D x tt DG -=+＝＝， ∵∠CGD ＝90°，∠DCG ＝45° ∴)2421t CD DG t -+＝＝，∴)2441t t t -+﹣ 解得：21t ＝﹣综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或21t ＝﹣．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．12．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为：228y x x =-++，直线AB 的表达式为：21y x =-；（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2)．【解析】【分析】（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2+9，即可求解；（2）S △DAC =2S △DCM ，则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ，，即可求解；（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）二次函数表达式为：()219y a x =-+，将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-，故抛物线的表达式为：228y x x =-++…①，则点()3,5B ，将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB 的表达式为：21y x =-；（2）存在，理由：二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ，过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点()2,28D x x x -++，点(),21H x x -，∵2DAC DCM S S ∆∆=，则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ，解得：1x =-或5（舍去5），故点()1,5D -；（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ，即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++，解得：6s =或﹣4，故点()6,16P -或()4,16--； ②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++，解得：17s =±故点()17,2P 或()17,2；综上，点()6,16P -或()4,16--或()17,2或()17,2．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．13．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ∆的面积为S (cm ²)，S 与t 的函数关系如图②所示： (1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【解析】【分析】（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM ==得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ⋅关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值【详解】(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm (2)①解：在C 点相遇得到方程57.5v= 在B 点相遇得到方程152.5v= ∴5=7.515=2.5vv⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得 23=5v v ⎧=⎪⎨⎪⎩。

二次函数与几何综合压轴题题型归纳

学生：科目：数学教师：刘美玲一、二次函数和特殊多边形形状二、二次函数和特殊多边形面积三、函数动点引起的最值问题四、常考点汇总1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭⎫⎝⎛++22B A B A y y x x ，直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠ （3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。

4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。

（方法同上）例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定课题函数的综合压轴题型归类教学目标 1、要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 2、掌握特殊图形面积的各种求法重点、难点1、利用图形的性质找点2、分解图形求面积教学内容此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。

举例如下：已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。

解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032≥-=∆m ，()mm x 213∆±-=，m x 321-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。

二次函数与几何综合压轴题题型归纳精编版

一基础构图：y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）★和最小，差最大在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标★求面积最大连接AC,在第四象限找一点P ，使得ACP ∆面积最大，求出P 坐标★ 讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为直角三角形，求出P 坐标或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．★ 讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为等腰三角形，求出P 坐标★ 讨论平行四边形 1、点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标二综合题型 O xyA B C DO xyA B C DO xyA B C DO xyA B C D例1 (中考变式）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D 。

交Y 轴于C(1)求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。

(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M ，使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点P 的坐标。

若没有，请说明理由(3)若E 为抛物线B 、C 两点间图象上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作EF 与X 轴垂直，交BC 于F ，设E 点横坐标为x.EF 的长度为L ，求L 关于X 的函数关系式？关写出X 的取值范围？当E 点运动到什么位置时，线段EF 的值最大，并求此时E 点的坐标？(4)在（5）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H 。

当E 点运动到什么位置时,以点E 、F 、H 、D 为顶点的四边形为平行四边形？(5)在（5）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？例2 考点：关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为(－1，0)、(0，3－)，点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线x ＝1，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P 的横坐标为m ，试用含m 的代数式表示线段PF 的长；（3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标．例3 考点：讨论等腰如图，已知抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，－1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由．例4考点：讨论直角三角⑴ 如图，已知点A （一1，0）和点B （1，2），在坐标轴上 D B C O A yx E B C O A 备用图y xyxBA FPx ＝1CO确定点P ，使得△ABP 为直角三角形，则满足这样条件的点P 共有（）． (A ）2个（B ）4个（C ） 6个（D ）7个⑵ 已知：如图一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝21x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝21x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．例5 考点：讨论四边形已知：如图所示，关于x 的抛物线y ＝ax 2＋x ＋c （a ≠0）与x 轴交于点A （－2，0），点B （6，0），与y 轴交于点C ．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．综合练习：1、平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的正半轴O A B yCxD E2 B A y O Cx交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB ＝OC ，抛物线的顶点为D 。

二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

二次函数与几何综合题目背景07年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的代数几何综合题，计算量较大。

几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。

因此，课改之后，武汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。

要做好这最后一题，主要是要在有限的时间里面找到的简便的计算方法。

要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐心，做到计算又快又准。

题型分析题目分析及对考生要求（1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式，属于送分题。

（2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。

解题偏代数，要求学生能够熟练掌握函数的平移，左加右减，上加下减。

要求学生有较好的计算能力，能够把题目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。

（3）第三问为几何代数综合，题型不固定。

解题偏几何，要求学生能够对题目所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系，再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。

在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用，这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种常见的条件转化思想。

1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底，根据面积公式转化为线段条件。

2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。

中考数学压轴题：二次函数与几何图形综合题型

中考数学压轴题：二次函数与几何图形综合题型类型1 探究图形面积数量关系及最值等问题1．如图甲，四边形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A ，D ，交y 轴于点C.已知A(3，0)，D(－1，0)，C(0，3)．(1)求抛物线的解析式及顶点B 的坐标；(2)设△AOC 沿x 轴正方向平移t 个单位长度(0＜t ≤3)时，△AOC 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围；(3)当0＜t ≤32时，求S 的最大值．2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(－1，0)和点B(3，0)．(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；(2)若点P在直线x＝2上运动，当点P到直线AD的距离d等于点P到x轴的距离时，求d的值；(3)如图2，直线AC：y＝－x＋m经过点A，交y轴于点C.探究：在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使得S△CDA＝2S△ACM？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA，OC的长(OA＜OC)是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝1.(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求此抛物线的解析式；(3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A，B不重合)，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．类型2 探究线段的数量关系及最值问题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M(2，－1)，交x轴于A，B两点，交y 轴于点C，其中点B的坐标为(3，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；(3)在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数．2．已知点M 是二次函数y ＝ax 2(a ＞0)图象上的一点，点F 的坐标为(0，14a)，直角坐标系中的坐标原点O 与点M ，F 在同一个圆上，圆心Q 的纵坐标为18. (1)求a 的值；(2)当O ，Q ，M 三点在同一条直线上时，求点M 和点Q 的坐标；(3)当点M 在第一象限时，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为点N ，求证：MF ＝MN ＋OF.3．如图1，已知▱ABCD顶点A的坐标为(2，6)，点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(2，2)，点F(m，6)是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E.(1)求抛物线的表达式；(2)设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；(3)如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．类型3 探究特殊四边形的存在性问题1．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4与x 轴交于A(－2，0)，B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴为直线x ＝1.(1)直接写出抛物线的解析式y ＝－12x 2＋x ＋4； (2)把线段AC 沿x 轴向右平移，设平移后A ，C 的对应点分别为A ′，C ′，当C`落在抛物线上时，求A ′，C ′的坐标；(3)除(2)中的点A ′，C ′外，在x 轴和抛物线上是否还分别存在点E ，F ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E ，F 的坐标；若不存在，请说明理由．向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．(1)求抛物线与x轴的交点坐标；(2)若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A，B，C，D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)问几秒钟时，B，D，E在同一条直线上？3．(贵港模拟)如图，直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P.(1)求a，k的值；(2)抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．2轴交于点E，B.(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D，与y轴交于点C，直线CD的解析式为y＝3x＋2 3.(1)求b，c的值；(2)过C作CE∥x轴交抛物线于点E，直线DE交x轴于点F，且F(4，0)，求抛物线的解析式；(3)在(2)条件下，抛物线上是否存在点M，使得△CDM≌△CEM？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与x轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H.(1)求a，c的值；(2)连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由；(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y 轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1．在平面直角坐标系中，已知A，B是抛物线y＝ax2(a>0)上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限．(1)如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB＝90°，且AB＝2时，求此抛物线的解析式和A，B两点的横坐标的乘积；(2)如图2所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A，B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，如图3，若直线y＝－2x－2分别交直线AB，y轴于点P，C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．2．如图1，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)．抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，经过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD ′P ′，且旋转角∠PBP ′＝∠OAC ，当点P 的对应点P ′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标．1．如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；(3)连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.(1)请直接写出点A，C，D的坐标；(2)如图1，在x轴上有一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；(3)如图2，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；(3)在(2)的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．中考数学压轴题：二次函数与几何图形综合题型参考答案类型1 探究图形面积数量关系及最值等问题1．(贵港模拟)如图甲，四边形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A ，D ，交y 轴于点C.已知A(3，0)，D(－1，0)，C(0，3)． (1)求抛物线的解析式及顶点B 的坐标；(2)设△AOC 沿x 轴正方向平移t 个单位长度(0＜t ≤3)时，△AOC 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围； (3)当0＜t ≤32时，求S 的最大值．图1 图2解：(1)设抛物线的解析式为y ＝a(x －3)(x ＋1)． ∵将C(0，3)代入，得－3a ＝3，解得a ＝－1. ∴y ＝－x 2＋2x ＋3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴B(1，4)．(2)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b.∵将A(3，0)，B(1，4)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝6，∴y ＝－2x ＋6.过点C 作射线CF ∥x 轴交AB 于点F.∵将y ＝3代入直线AB 的解析式得：－2x ＋6＝3，得x ＝32，∴F(32，3)．①当0＜t ≤32时，如图1所示．设△AOC 平移到△PNM 的位置，PM 交AB 于点H ，MN 交AC 于点G.则ON ＝AP ＝t ，过点H 作LK ⊥x 轴于点K ，交CF 于点L.由△AHP ∽△FHM ，得AP FM ＝HK HL ，即t 32－t ＝HK3－HK.解得HK ＝2t.∴S ＝S △MNP －S △G NA －S △HAP ＝12×3×3－12(3－t)2－12t ×2t ＝－32t 2＋3t.②当32＜t ≤3时，如图2所示：设△AOC 平移到△PQR 的位置，RQ 交AB 于点I ，交AC 于点V. ∵直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，直线AB 的解析式为y ＝－2x ＋6， ∴V(t ，t ＋3)，I(t ，－2t ＋6)．∴IV ＝－2t ＋6－(－t ＋3)＝－t ＋3，AQ ＝3－t.∴S ＝S △IVA＝12AQ ·IV ＝12(3－t)2＝12t 2－3t ＋92.综上所述，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32t 2＋3t （0<t ≤32），12t 2－3t ＋92（32<t ≤3）.(3)当0＜x ≤32时，S ＝－32t 2＋3t ＝－32(t －1)2＋32，当t ＝1时，S 最大＝32.2．(十堰模拟)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)经过点A(－1，0)和点B(3，0)． (1)求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；(2)若点P 在直线x ＝2上运动，当点P 到直线AD 的距离d 等于点P 到x 轴的距离时，求d 的值； (3)如图2，直线AC ：y ＝－x ＋m 经过点A ，交y 轴于点C.探究：在x 轴上方的抛物线上是否存在点M ，使得S △CDA ＝2S △ACM ？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)经过点A(－1，0)和点B(3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. ∴y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4.∴D(1，4)．(2)设P(2，y P )，过P 作PE ⊥AD 于点E ，设直线AD 与直线x ＝2交于点G ，则PE ＝d ＝|y P |，直线AD 的解析式为y ＝2x ＋2， ∴G(2，6)．∴PG ＝6－y P . ∵sin ∠AGP ＝AN AG ＝335，∴PE PG ＝15.∴PG ＝5|y P |＝5d. ①若点P 在第一象限，则PG ＝6－d ， ∴5d ＝6－d ，解得d ＝35－32.∴5d ＝6＋d ，解得d ＝35＋32.∴d 的值为35－32或35＋32.(3)∵直线AC 过点A ，所以可求得直线AC ： y ＝－x －1.过点D 作DE ∥AC ，交y 轴于点E ，可求得直线DE ：y ＝－x ＋5. ∴E(0，5)．∴EC 的中点F(0，2)． ∴过点F 平行于AC 的直线为y ＝－x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝－x 2＋2x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3－132，y 1＝1＋132.或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3＋132，y 2＝1－132.(舍去) ∴M(3－132，1＋132)．3．(玉林模拟)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C.其中点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA ，OC 的长(OA ＜OC)是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝1.(1)求A ，B ，C 三点的坐标； (2)求此抛物线的解析式；(3)若点D 是线段AB 上的一个动点(与点A ，B 不重合)，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连接CD ，设BD 的长为m ，△CDE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵OA ，OC 的长是 x 2－5x ＋4＝0的根，OA ＜OC ， ∴OA ＝1，OC ＝4.∵点A 在x 轴的负半轴，点C 在y 轴的负半轴， ∴A(－1，0)，C(0，－4)．∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝1， ∴由对称性可得B 点坐标为(3，0)．(2)∵点C(0，－4)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上，∴c ＝－4. 将A(－1，0)，B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx －4，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a －b －4＝0，9a ＋3b －4＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－83. ∴所求抛物线解析式为y ＝43x 2－83x －4.(3)根据题意，BD ＝m ，则AD ＝4－m. 在Rt △OBC 中，BC ＝OB 2＋OC 2＝5. ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC.∴DE BC ＝ADAB .∴DE ＝AD ·BC AB ＝5（4－m ）4＝20－5m 4.过点E 作EF ⊥AB 于点F ，则sin ∠EDF ＝sin ∠CBA ＝OC BC ＝45.∴EF DE ＝45.∴EF ＝45DE ＝45×20－5m4＝4－m.∴S △CDE ＝S △ADC －S △ADE ＝12(4－m)×4－12(4－m)(4－m)＝－12m 2＋2m(0＜m ＜4)．∵S ＝－12(m －2)2＋2，a ＝－12＜0，∴当m ＝2时，S 有最大值2. ∴点D 的坐标为(1，0)．类型2 探究线段的数量关系及最值问题1．(贵港)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3的顶点为M(2，－1)，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，其中点B 的坐标为(3，0)． (1)求该抛物线的解析式；(2)设经过点C 的直线与该抛物线的另一个交点为D ，且直线CD 和直线CA 关于直线BC 对称，求直线CD 的解析式；(3)在该抛物线的对称轴上存在点P ，满足PM 2＋PB 2＋PC 2＝35，求点P 的坐标；并直接写出此时直线OP 与该抛物线交点的个数．解：(1)将M(2，－1)，B(3，0)代入抛物线的解析式中，得：⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋3＝－1，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)由抛物线的解析式知：B(3，0)，C(0，3)． ∴△OBC 是等腰直角三角形，∠OBC ＝45°.过B 作BE ⊥x 轴，交直线CD 于E ，则∠EBC ＝∠ABC ＝45°. 由于直线CD 和直线CA 关于直线CB 对称，∴点A ，E 关于直线BC 对称，则BE ＝AB ＝2.∴E(3，2)．由于直线C D 经过点C(0，3)，可设该直线的解析式为y ＝kx ＋3，代入E(3，2)后，得：3k ＋3＝2，k ＝－13，∴直线CD 的解析式：y ＝－13x ＋3.(3)设P(2，m)，已知M(2，－1)，B(3，0)，C(0，3)，则PM 2＝(2－2)2＋(m ＋1)2＝m 2＋2m ＋1，PB 2＝(3－2)2＋(0－m)2＝m 2＋1，PC 2＝(0－2)2＋(3－m)2＝m 2－6m ＋13. 已知：PM 2＋PB 2＋PC 2＝35，则m 2＋2m ＋1＋m 2＋1＋m 2－6m ＋13＝35，化简得：3m 2－4m －20＝0，解得m 1＝－2，m 2＝103.∴P 1(2，－2)，P 2(2，103)．当点P 坐标为(2，103)时，由图可知，直线OP 与抛物线必有两个交点；当点P 坐标为(2，－2)时，直线OP ：y ＝－x ，联立抛物线的解析式有：x 2－4x ＋3＝－x ，即x 2－3x ＋3＝0. Δ＝(－3)2－4×3＜0， ∴该直线与抛物线没有交点．综上，直线OP 与抛物线的解析式有两个交点．2．(淄博)已知点M 是二次函数y ＝ax 2(a ＞0)图象上的一点，点F 的坐标为(0，14a)，直角坐标系中的坐标原点O 与点M ，F 在同一个圆上，圆心Q 的纵坐标为18.(1)求a 的值；(2)当O ，Q ，M 三点在同一条直线上时，求点M 和点Q 的坐标；(3)当点M 在第一象限时，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为点N ，求证：MF ＝MN ＋OF.解：(1)∵圆心Q 的纵坐标为18，∴设Q(m ，18)，F(0，14a )．∵QO ＝QF ，∴m 2＋(18)2＝m 2＋(18－14a )2，即a ＝1.(2)∵M 在抛物线上，设M(t ，t 2)，Q(m ，18)，∵O ，Q ，M 在同一直线上，∴设直线QM 的方程为y ＝kx ＋b ，将点O ，点Q 以及点M 的坐标代入可得t 2t ＝18m ，即m ＝18t.∵QO ＝QM ，∴m 2＋(18)2＝(m －t)2＋(18－t 2)2.整理得－14t 2＋t 4＋t 2－2mt ＝0，∴4t 4＋3t 2－1＝0，解得t 1＝12，t 2＝－12.当t 1＝12时，m 1＝14；当t 2＝－12时，m 2＝－14.∴M 1(12，14)，Q 1(14，18)；M 2(－12，14)，Q 2(－14，18)．(3)设M(n ，n 2)(n ＞0)，∴N(n ，0)，F(0，14)．∴MF ＝n 2－（n 2－14）2＝（n 2＋14）2＝n 2＋14，MN ＋OF ＝n 2＋14.∴MF ＝MN ＋OF.3．(烟台)如图1，已知▱ABCD 顶点A 的坐标为(2，6)，点B 在y 轴上，且AD ∥BC ∥x 轴，过B ，C ，D 三点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的顶点坐标为(2，2)，点F(m ，6)是线段AD 上一动点，直线OF 交BC 于点E.(1)求抛物线的表达式；(2)设四边形ABEF 的面积为S ，请求出S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；(3)如图2，过点F 作FM ⊥x 轴，垂足为M ，交直线AC 于P ，过点P 作PN ⊥y 轴，垂足为N ，连接MN ，直线AC 分别交x 轴，y 轴于点H ，G ，试求线段MN 的最小值，并直接写出此时m 的值．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的顶点坐标为(2，2)， ∴设抛物线解析式为y ＝a(x －2)2＋2. ∴抛物线的对称轴方程为x ＝2. ∵BC ∥x 轴，∴BC ＝4.∵AD ∥x 轴，A(2，6)，∴D(6，6)．∵点D 在此抛物线上，∴6＝a(6－2)2＋2.∴a ＝14.∴抛物线解析式为y ＝14(x －2)2＋2＝14x 2－x ＋3.(2)当x ＝0时，则y ＝14(x －2)2＋2＝14(0－2)2＋2＝3，∴B(0，3)．∴OB ＝3.作FQ ⊥BC ，垂足为Q ，∴FQ ＝3. 设直线OF 为y ＝kx ，∵F(m ，6)，∴mk ＝6，k ＝6m .∴y ＝6m x.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6m x ，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m 2，y ＝3.∴E(m 2，3)，BE ＝m2.∵AF ＝m －2，∴S ＝12(AF ＋BE)·FQ ＝12(m －2＋m 2)×3＝94m －3.∵点F(m ，6)在线段AD 上，∴2≤m ≤6.即S ＝94m －3(2≤m ≤6)．(3)∵抛物线解析式为y ＝14x 2－x ＋3，∴B(0，3)，C(4，3)．∵A(2，6)，∴直线AC 解析式为y ＝－32x ＋9.∵FM ⊥x 轴，垂足为点M ，交直线AC 于点P ，∴P(m ，－32m ＋9)(2≤m ≤6)．∴PN ＝m ，PM ＝－32m ＋9.∵FM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∴∠MPN ＝90°. ∴MN ＝PN 2＋PM 2＝m 2＋（－32m ＋9）2＝134（m －5413）2＋32413. ∵2≤m ≤6，∴当m ＝5413时，MN 最大＝32413＝181313.类型3 探究特殊四边形的存在性问题1．(桂林)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4与x 轴交于A(－2，0)，B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴为直线x ＝1.(1)直接写出抛物线的解析式y ＝－12x 2＋x ＋4；(2)把线段AC 沿x 轴向右平移，设平移后A ，C 的对应点分别为A ′，C ′，当C`落在抛物线上时，求A ′，C ′的坐标；(3)除(2)中的点A ′，C ′外，在x 轴和抛物线上是否还分别存在点E ，F ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E ，F 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2解：(2)由抛物线y ＝－12x 2＋x ＋4可知C(0，4)．∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，根据对称性， ∴C ′(2，4)，∴A ′(0，0)．(3)存在．设F(x ，－12x 2＋x ＋4)．以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形．①若AC 为平行四边形的边，如图1所示，则EF ∥AC 且EF ＝AC. 过点F 1作F 1D ⊥x 轴于点D ，则易证Rt △AOC ≌Rt △E 1DF 1， ∴DE 1＝2，DF 1＝4. ∴－12x 2＋x ＋4＝－4，解得x1＝1＋17，x2＝1－17.∴F1(1＋17，－4)，F2(1－17，－4)．∴E1(3＋17，0)，E2(3－17，0)．②若AC为平行四边形的对角线，如图2所示．∵点E3在x轴上，∴CF3∥x轴．∴点F3为点C关于x＝1的对称点，∴F3(2，4)，CF3＝2.∴AE3＝2.∴E3(－4，0)．综上所述，存在点E，F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形；点E，F的坐标为：E1(3＋17，0)，F1(1＋17，－4)；E2(3－17，0)，F2(1－17，－4)；E3(－4，0)，F3(2，4)．(注：因点F3与点C′重合，故此处不确定E3，F3是否满足题意)2．(百色)抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，2)，B(3，2)两点，若两动点D，E同时从原点O分别沿着x轴，y轴正方向运动，点E 的速度是每秒1个单位长度，点D 的速度是每秒2个单位长度．(1)求抛物线与x 轴的交点坐标；(2)若点C 为抛物线与x 轴的交点，是否存在点D ，使A ，B ，C ，D 四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D 的坐标；若不存在，说明理由； (3)问几秒钟时，B ，D ，E 在同一条直线上？解：(1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，9＋3b ＋c ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴y ＝x 2－3x ＋2.当y ＝0时，x 2－3x ＋2＝0.解得x 1＝1，x 2＝2. ∴抛物线与x 轴交点坐标为(1，0)，(2，0)． (2)存在．当点C 为(1，0)时， ∵AB ＝3，AB ∥x 轴．∴平行四边形中，AB ＝CD ＝4－1＝3. ∴D 点为(4，0)．当C(2，0)时，同理可求D(5，0)．(3)设t 秒时，B ，D ，E 共线，则D ，E 点的坐标分别为(2t ，0)，(0，t)．设经过点B ，D ，E 的直线为y ＝kx ＋m(k ≠0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝m ，0＝2tk ＋m.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝t ，k ＝－12，或t ＝0.∵y ＝－12x ＋t 经过B(3，2)．∴2＝－12×3＋t.∴t ＝3.5.∴t ＝0或t ＝3.5秒时，B ，D ，E 共线．3．(贵港模拟)如图，直线y ＝－3x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线y ＝a(x －2)2＋k 经过点A ，B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P.(1)求a ，k 的值；(2)抛物线的对称轴上有一点Q ，使△ABQ 是以AB 为底边的等腰三角形，求Q 点的坐标；(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M ，N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．解：(1)∵直线y ＝－3x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ， ∴A(1，0)，B(0，3)．又∵抛物线y ＝a(x －2)2＋k 经过点A(1，0)，B(0，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋k ＝0，4a ＋k ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－1. 故a ，k 的值分别为1，－1.图1 图2(2)设Q 点的坐标为(2，m)，对称轴x ＝2交x 轴于点F ，如图1，过点B 作BE 垂直于直线x ＝2于点E. 在Rt △AQF 中，AQ 2＝AF 2＋QF 2＝1＋m 2，在Rt △BQE 中，BQ 2＝BE 2＋EQ 2＝4＋(3－m)2. ∵AQ ＝BQ ，∴1＋m 2＝4＋(3－m)2. ∴m ＝2.∴Q 点的坐标为(2，2)．(3)如图2，当点N 在对称轴上时，NC 与AC 不垂直，∴AC 应为正方形的对角线．又∵对称轴x ＝2是AC 的中垂线，∴M 点与顶点P(2，－1)重合，N 点为点P 关于x 轴的对称点，其坐标为(2，1)．此时，MF ＝NF ＝AF ＝CF ＝1，且AC ⊥MN ， ∴四边形AMCN 为正方形．在Rt △AFN 中，AN ＝AF 2＋NF 2＝2，即正方形的边长为 2.4．(泰安)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，9)，与y 轴交于点A(0，5)，与x 轴交于点E ，B.(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式；(2)过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点(点P 在AC 上方)，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；(3)若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，使得以A ，E ，N ，M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M ，N 的坐标．解：(1)设抛物线解析式为y ＝a(x －2)2＋9， ∵抛物线与y 轴交于点A(0，5)，∴4a ＋9＝5. ∴a ＝－1.∴y ＝－(x －2)2＋9＝－x 2＋4x ＋5. (2)当y ＝0时，－x 2＋4x ＋5＝0，解得x 1＝－1，x 2＝5. ∴E(－1，0)，B(5，0)．设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ， ∵A(0，5)，B(5，0)，∴m ＝－1，n ＝5. ∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5. 设P(x ，－x 2＋4x ＋5)，∴D(x ，－x ＋5)． ∴PD ＝－x 2＋4x ＋5＋x －5＝－x 2＋5x.∵AC ＝4，∴S 四边形APCD ＝12×AC ·PD ＝2(－x 2＋5x)＝－2x 2＋10x.∴当x ＝52时，S 四边形APCD 最大＝252.(3)如图，过M 作MH 垂直于对称轴，垂足为H. ∵MN ∥AE ，MN ＝AE ， ∴△HMN ≌△OEA.∴HM ＝OE ＝1.∴M 点的横坐标为x ＝3或x ＝1. 当x ＝1时，M 点纵坐标为8；当x ＝3时，M 点纵坐标为8.∴M 点的坐标为M 1(1，8)或M 2(3，8)． ∵A(0，5)，E(－1，0)， ∴直线AE 解析式为y ＝5x ＋5. ∵MN ∥AE ，∴MN 的解析式为y ＝5x ＋b.∵点N 在抛物线对称轴x ＝2上，∴N(2，10＋b)． ∵AE 2＝OA 2＋OE 2＝26， ∵MN ＝AE ，∴MN 2＝AE 2.∴MN 2＝(2－1)2＋[8－(10＋b)]2＝1＋(b ＋2)2. ∵点M 的坐标为M 1(1，8)或M 2(3，8)， ∴点M 1，M 2关于抛物线的对称轴x ＝2对称． ∵点N 在抛物线对称轴上，∴M 1N ＝M 2N. ∴1＋(b ＋2)2＝26，解得b ＝3或b ＝－7. ∴10＋b ＝13或10＋b ＝3.∴当点M 的坐标为(1，8)时，点N 的坐标为(2，13)；当点M 的坐标为(3，8)时，点N 的坐标为(2，3)．类型4 探究全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D ，与y 轴交于点C ，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋2 3. (1)求b ，c 的值；(2)过C 作CE ∥x 轴交抛物线于点E ，直线DE 交x 轴于点F ，且F(4，0)，求抛物线的解析式；(3)在(2)条件下，抛物线上是否存在点M ，使得△CDM ≌△CEM ？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵直线CD 的解析式为y ＝3x ＋23， ∴C(0，23)． ∴c ＝2 3.设直线CD 交x 轴于点A ， ∴A(－2，0)． ∴OA OC ＝223＝33.∴∠OCA ＝30°. 过点D 作DM ⊥y 轴于点M ， ∴∠DCM ＝30°.∴MC ＝3DM.设抛物线的顶点横坐标为h ，则CM ＝3h. ∴D(h ，23＋3h)． ∴y ＝a(x －h)2＋23＋3h.代入C(0，23)， ∴23＝ah 2＋23＋3h. ∴h 1＝0(舍)，h 2＝－3a .∴y ＝a(x ＋3a )2＋23＋(－3a)＝ax 2＋23x ＋2 3. ∴b ＝2 3.(2)作抛物线的对称轴交x 轴于点B(如图)， ∵∠ACO ＝30°， ∴∠CDB ＝30°.由抛物线的对称性，可得△DCE 为等边三角形． ∵CE ∥x 轴，∴△DAF 为等边三角形． ∴B 为AF 中点，∵A(－2，0)，F(4，0)，∴B(1，0)．∵抛物线对称轴为直线x ＝1.∴－b 2a ＝1，∴－232a ＝1.∴a ＝－ 3.∴D(1，33)．∴y ＝－3(x －1)2＋33＝－3x 2＋23x ＋2 3. (3)存在．点M 的坐标为(53，2339)．2．(金华改编)如图，抛物线y ＝ax 2＋c(a ≠0)与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C 两点(点C 在x 轴正半轴上)，△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线经过点C 时，与x 轴的另一交点为E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H.(1)求a ，c 的值；(2)连接OF ，试判断△OEF 是否为等腰三角形，并说明理由；(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q 放在射线AF 或射线HF 上，一直角边始终过点E ，另一直角边与y 轴相交于点P ，是否存在这样的点Q ，使以点P ，Q ，E 为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴OA ＝12BC.又∵△ABC 的面积＝12BC ×OA ＝4，即OA 2＝4，∴OA ＝2.∴A(0，2)，B(－2，0)，C(2，0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，4a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，c ＝2.图1(2)△OEF 是等腰三角形．理由如下：如图1， ∵A(0，2)，B(－2，0)，∴直线AB 的函数表达式为y ＝x ＋2，又∵平移后的抛物线顶点F 在射线BA 上， ∴设顶点F 的坐标为(m ，m ＋2)．∴平移后的抛物线函数表达式为y ＝－12(x －m)2＋m ＋2.∵抛物线过点C(2，0)， ∴－12(2－m)2＋m ＋2＝0，解得m 1＝0(舍去)，m 2＝6.∴平移后的抛物线函数表达式为y ＝－12(x －6)2＋8，即y ＝－12x 2＋6x －10.当y ＝0时，－12x 2＋6x －10＝0，解得x 1＝2，x 2＝10. ∴E(10，0)，OE ＝10. 又∵F(6，8)，OH ＝6，FH ＝8.∴OF ＝OH 2＋FH 2＝62＋82＝10，EF ＝FH 2＋HE 2＝82＋42＝45， ∴OE ＝OF ，即△OEF 为等腰三角形．(3)存在．点Q 的坐标为(6，221)或(6，3)或(10，12)或(4＋14，6＋14)或(4－14，6－14)．类型5 探究角度数量关系的存在性问题1．(南宁)在平面直角坐标系中，已知A ，B 是抛物线y ＝ax 2(a>0)上两个不同的点，其中A 在第二象限，B 在第一象限．(1)如图1所示，当直线AB 与x 轴平行，∠AOB ＝90°，且AB ＝2时，求此抛物线的解析式和A ，B 两点的横坐标的乘积；(2)如图2所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线AB 与x 轴不平行，∠AOB 仍为90°时，A ，B 两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，如图3，若直线y ＝－2x －2分别交直线AB ，y 轴于点P ，C ，直线AB 交y 轴于点D ，且∠BPC ＝∠OCP ，求点P 的坐标．解：(1)设直线AB 与y 轴交于点E ，∵AB 与x 轴平行，根据抛物线的对称性有AE ＝BE ＝1. ∵∠AOB ＝90°，∴OE ＝12AB ＝1.∴A(－1，1)，B(1，1)．把x ＝1，y ＝1代入y ＝ax 2，得a ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝x 2，A ，B 两点的横坐标的乘积为x A ·x B ＝－1. (2)x A ·x B ＝－1为常数，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，BN ⊥x 轴于点N ， ∴∠AMO ＝∠BNO ＝90°.∴∠MAO ＋∠AOM ＝∠AOM ＋∠BON ＝90°. ∴∠MAO ＝∠BON.∴△AMO ∽△ONB. ∴AM ON ＝OMBN，即OM ·ON ＝AM ·BN. 设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，∵A(x A ，y A )，B(x B ，y B )在y ＝x 2图象上， ∴y A ＝x 2A ，yB ＝x 2B .∴－x A ·x B ＝y A ·y B ＝x 2A ·x 2B . ∴x A ·x B ＝－1为常数．(3)设A(m ，m 2)，B(n ，n 2)，由(2)可知mn ＝－1.设直线AB 的解析式为y ＝k x ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝x 2，得x 2－kx －b ＝0. ∵m ，n 是方程的两个根，∴mn ＝－b.∴b ＝1. ∵直线AB 与y 轴交于点D ，则OD ＝1. 易知C(0，－2)，OC ＝2，∴CD ＝OC ＋OD ＝3. ∵∠BPC ＝∠OCP ，∴PD ＝CD ＝3.设P(a ，－2a －2)，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，则PG ＝－a ，GD ＝OG －OD ＝－2a －3.在Rt △PDG 中，由勾股定理得：PG 2＋GD 2＝PD 2，即(－a)2＋(－2a －3)2＝32，整理得5a 2＋12a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－125.当a ＝－125时，－2a －2＝145，∴P(－125，145)．2．(河南)如图1，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)．抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，经过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD ′P ′，且旋转角∠PBP ′＝∠OAC ，当点P 的对应点P ′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标．解：(1)由直线y ＝－43x ＋n 过点C(0，4)，得n ＝4，∴y ＝－43x ＋4.当y ＝0时，0＝－43x ＋4，解得x ＝3，∴A(3，0)．∵抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A(3，0)，B(0，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝23×32＋3b ＋c ，－2＝c.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－43，c ＝－2. ∴抛物线的解析式为y ＝23x 2－43x －2.(2)∵点P 的横坐标为m ，∴P (m ，23m 2－43m －2)，D(m ，－2)．若△BDP 为等腰直角三角形，则PD ＝BD.①当点P 在直线BD 上方时，PD ＝23m 2－43m.(ⅰ)若点P 在y 轴左侧，则m<0，BD ＝－m.∴23m 2－43m ＝－m ，∴m 1＝0(舍去)，m 2＝12(舍去)．(ⅱ)若点P 在y 轴右侧，则m>0，BD ＝m.∴23m 2－43m ＝m ，∴m 3＝0(舍去)，m 4＝72.②当点P 在直线BD 下方时，m>0，BD ＝m ，PD ＝－23m 2＋43m.∴－23m 2＋43m ＝m ，∴m 5＝0(舍去)，m 6＝12.综上，m ＝72或12.即当△BDP 为等腰直角三角形时，PD 的长为72或12.(3)P 1(－5，45＋43)，P 2(5，－45＋43)，P 3(258，1132)．【提示】∵∠PB P ′＝∠OAC ，OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝5，∴sin ∠PBP ′＝45，cos ∠PBP ′＝35.①当点P ′落在x 轴上时，过点D ′作D ′N ⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，∠DBD ′＝∠ND ′P ′＝∠PBP ′.图1 图2 图3如图1，ND ′－MD ′＝2，即35(23m 2－43m)－(－45m)＝2.如图2，ND ′＋MD ′＝2，即35(23m 2－43m)＋45m ＝2.∴P 1(－5，45＋43)，P 2(5，－45＋43)；②当点P ′落在y 轴上时，如图3，过点D ′作D ′M ⊥x 轴，交BD 于点M ，过点P ′作P ′N ⊥y 轴，交MD ′的延长线于点N ，∠DBD ′＝∠ND ′P ′＝∠PBP ′. ∵P ′N ＝BM ，即45(23m 2－43m)＝35m. ∴P 3(258，1132)．拓展类型6 探究相似三角形的存在性问题1．(河池模拟)如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B. (1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；(3)连接OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，可设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2＋1， ∵抛物线过原点，∴a(0－2)2＋1＝0，a ＝－14.∴抛物线的解析式为y ＝－14(x －2)2＋1＝－14x 2＋x.(2)△AOB 和所求△MOB 同底不等高，且S △MOB ＝3S △AOB ， ∴△MOB 的高是△AOB 高的3倍，即M 点的纵坐标是－3. ∴－3＝－14x 2＋x ，即x 2－4x －12＝0.解得x 1＝6，x 2＝－2.∴满足条件的点有两个：M 1(6，－3)，M 2(－2，－3)． (3)不存在．由抛物线的对称性，知AO ＝AB ，∠AOB ＝∠ABO. 若△O BN 与△OAB 相似，必有∠B O N ＝∠BOA ＝∠BNO ，即OB 平分∠AON.设ON 交抛物线的对称轴于点A ′，则A ，A ′关于x 轴对称， ∴A ′(2，－1)．∴直线ON 的解析式为y ＝－12x.由－12x ＝－14x 2＋x ，得x 1＝0，x 2＝6.∴N(6，－3)．过点N 作NE ⊥x 轴，垂足为点E. 在Rt △BEN 中，BE ＝2，NE ＝3， ∴NB ＝22＋32＝13.又∵OB ＝4，∴NB ≠OB ，∠BON ≠∠BNO ，△OBN 与△OAB 不相似．同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N 点． ∴在该抛物线上不存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似．拓展类型7 探究特殊三角形的存在性问题1．(河池)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为D.(1)请直接写出点A ，C ，D 的坐标；(2)如图1，在x 轴上有一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；(3)如图2，F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)当x ＝0时，y ＝3，∴C(0，3)．当y ＝0时，－x 2－2x ＋3＝0，∴x 1＝1，x 2＝－3，又A 在B 的左边，∴A(－3，0)，B(1，0)． ∵y ＝－x 2－2x ＋3. ∴y ＝－(x ＋1)2＋4. ∴D(－1，4)．(2)如图，作C(0，3)关于x 轴的对称点C ′(0，－3)，连接DC ′与x 轴的交点即为所求点E ，此时△DCE 周长最小．设DC ′的解析式为y ＝kx ＋b.将D(－1，4)，C ′(0，－3)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－7，b ＝－3.∴y ＝－7x －3.令y ＝0，则－7x －3＝0.∴x ＝－37.∴E(－37，0)．(3)∵A(－3.0)，C(0，3)， ∴∠CAB ＝45°.①以A 为等腰直角三角形的顶点，则过A 作AP ⊥AC 交抛物线于点P ，过P 作PF ⊥x 轴交直线AC 于点F ，则△APF 为等腰直角三角形，可求得P(2，－5)． ②若以F 为直角顶点，则∠FAP ＝45°. 又∠FAO ＝45°，∴P 在抛物线与x 轴交点处． ∴P 可取(1，0)．③若以P 为直角顶点，则∠FAP ＝45°.又∵∠FAO ＝45°，∴P 在抛物线与x 轴交点处． ∴P 可取(1，0)． ∴P(1，0)或(2，－5)．2．(漳州)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 和点B(3，0)，与y 轴交于点C(0，3)． (1)求抛物线的解析式；(2)若点M 是抛物线在x 轴下方上的动点，过点M 作MN ∥y 轴交直线BC 于点N ，求线段MN 的最大值； (3)在(2)的条件下，当MN 取最大值时，在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使△PBN 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)点B(3，0)，C(0，3)在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0，c ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)令x 2－4x ＋3＝0，则x 1＝1，x 2＝3.∴A(1，0)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b.∵点B(3，0)，C(0，3)在直线BC 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0，b ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3.∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3.设N(x ，－x ＋3)，则M(x ，x 2－4x ＋3)(1<x<3)． ∴MN ＝y N －y M＝(－x ＋3)－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x ＝－(x －32)2＋94.∴当x ＝32时，MN 的最大值为94.(3)存在，所有点P 的坐标分别是：P 1(2，3＋172)，P 2(2，3－172)，P 3(2，142)，P 4(2，－142)，P 5(2，12)．。

中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)

中考压轴题-二次函数综合（八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题：有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题：两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题题型2：最值问题题型3：定值问题题型4：定点问题题型5：动点问题综合题型6：对称问题题型7：新定义题题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键．（1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式；（2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+，代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16；（3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−，解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−；抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=．设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−，则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △．则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭，综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭，（3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ．（ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长；（ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。

(完整word版)二次函数与几何图形结合题型总结,文档

“二次函数〞常考题型总结“二次函数〞综合题经常察看以下几类，面积，周长、最值，也许与四边形、圆等结合察看一些相关的性质等，题目编号灵便，难度有点大，今天整理了常考题型，希望对同学们能有所帮助！面积类1、如图,抛物线经过点A〔-1,0〕、B〔3,0〕、C〔0,3〕三点．〔1〕求抛物线的剖析式．〔2〕点M 是线段BC 上的点〔不与B,C 重合〕,过M 作MN ∥y 轴交抛物线于N,假设点M 的横坐标为m,请用m 的代数式表示MN 的长．〔3〕在〔2〕的条件下,连接NB、NC,可否存在m,使△BNC 的面积最大?假设存在,求m 的值；假设不存在,说明原由．2、如图，抛物线y=ax2- 3/2 x-2(a ≠0)的图象与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于 C 点， B 点坐标为〔4，0〕．〔1〕求抛物线的剖析式；〔2〕试试究△ABC 的外接圆的圆心地址，并求出圆心坐标；〔3〕假设点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．平行四边形类3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2 +mx+n 经过点A〔3，0〕、B〔0，-3〕，点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t。

〔1〕分别求出直线AB 和这条抛物线的剖析式；〔2〕假设点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积；〔3〕可否存在这样的点P，使得以点P、M 、B、O 为极点的四边形为平行四边形？假设存在，请直接写出点P 的横坐标；假设不存在，请说明原由。

如图，在平面直角坐标系中放置素来角三角板，其极点为A〔0，1〕，B〔2，0〕，O〔0，0〕，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，获取△A'B'O ．〔1〕一抛物线经过点A'、B'、B，求该抛物线的剖析式；〔2〕设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，可否存在点P，使四边形PB'A'B 的面积是△A'B'O 面积 4 倍？假设存在，央求出P 的坐标；假设不存在，请说明原由．〔3〕在〔2〕的条件下，试指出四边形PB'A'B 是哪一种形状的四边形？并写出四边形PB'A'B 的两条性质．5、如图，抛物线y=x2-2x+c 的极点 A 在直线l ：y=x-5 上。

2024中考备考重难点01 二次函数与几何的综合训练(9大题型+限时分层检测)

重难点01 二次函数与几何图形的综合练习中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。

所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！考向一：二次函数与几何变换的综合1．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．考向二：二次函数与直角三角形的综合1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．考向三：二次函数与等腰三角形的综合1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考向四：二次函数与相似三角形的综合1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C （0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考向五：二次函数与四边形的综合1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．考向六：二次函数与最值的综合1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠P AQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．考向七：二次函数与新定义的综合1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k 为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．考向八：二次函数与圆的综合1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．①求证：．②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．考向九：二次函数与角的综合1．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C （﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：150分钟）1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC 于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为；（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为（不用写出自变量x的取值范围）；（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是．4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN 为矩形，求b2﹣4ac的值．9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）【探究任务1】确定心形叶片的形状如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．【探究任务2】研究心形叶片的尺寸如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．。

二次函数与几何综合压轴题题型归纳

一基本构图：y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）★和最小,差最大在对称轴上找一点P,使得PB+PC 的和最小,求出P 点坐标在对称轴上找一点P,使得PB-PC 的差最大,求出P 点坐标★求面积最大衔接AC,在第四象限找一点P,使得ACP ∆面积最大,求出P 坐标★ 评论辩论直角三角衔接AC,在对称轴上找一点P,使得ACP ∆为直角三角形,求出P 坐标或者在抛物线上求点P ,使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．★ 评论辩论等腰三角衔接AC,在对称轴上找一点P,使得ACP ∆为等腰三角形,求出P 坐标二分解题型例1 (中考变式）如图,抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(-3,0)两点,极点为D.交Y 轴于C(1)求该抛物线的解析式与△ABC 的面积.(2)在抛物线第二象限图象上是否消失一点M,使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形,若消失,求出点P 的坐标.若没有,请解释来由(3)若E 为抛物线B .C 两点间图象上的一个动点(不与A.B 重合),过E 作EF 与X 轴垂直,交BC 于F ,设E 点横坐标为x.EF 的长度为L,求L 关于X 的函数关系式？关写出X 的取值规模？当E 点活动到什么地位时,线段EF 的值最大,并求此时E 点的坐标？(4)在（5）的情形下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H.当E 点活动到什么地位时,以点E.F.H.D 为极点的四边形为平行四边形？(5)在（5）的情形下点E 活动到什么地位时,使三角形BCE 的面积最大？例2 考点：关于面积最值如图,在平面直角坐标系中,点A .C 的坐标分离为(－1,0).(0,3－),点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经由A .B .C 三点,且它的对称轴为直线x ＝1,点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B .C 不重合）,过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ．（1）求该二次函数的解析式;（2）若设点P 的横坐标为m ,试用含m 的代数式表示线段PF 的长; （3）求△PBC 面积的最大值,并求此时点P 的坐标．例3 考点：评论辩论等腰如图,已知抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与y 轴订交于C ,与x 轴订交于A .B ,点A 的坐标为（2,0）,点C 的坐标为（0,－1）．（1）求抛物线的解析式;（2）点E 是线段AC 上一动点,过点E 作DE ⊥x 轴于点D ,贯穿连接DC ,当△DCE 的面积最大时,求点D 的坐标;yxBA FPx ＝1CO例4考点：评论辩论直角三角⑴ 如图,已知点A （一1,0）和点B （1,2）,在坐标轴上肯定点P,使得△ABP 为直角三角形,则知足如许前提的点P 共有（）． (A ）2个（B ）4个（C ） 6个（D ）7个⑵已知：如图一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ;二次函数y ＝21x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝21x ＋1的图象交于B .C 两点,与x 轴交于D .E 两点且D 点坐标为（1,0）（1）求二次函数的解析式; （2）求四边形BDEC 的面积S ;（3）在x 轴上是否消失点P ,使得△PBC 是以P 为直角极点的直角三角形？若消失,求出所有的点P ,若不消失,请解释来由．例5 考点：评论辩论四边形已知：如图所示,关于x 的抛物线y ＝ax 2＋x ＋c （a ≠0）与x 轴交于点A （－2,0）,点B （6,0）,与y 轴交于点C ．OAByCxDE2（1）求出此抛物线的解析式,并写出极点坐标;（2）在抛物线上有一点D ,使四边形ABDC 为等腰梯形,写出点D 的坐标,并求出直线AD 的解析式;（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ,抛物线上有一动点P ,x 轴上有一动点Q ．是否消失以A .M .P .Q 为极点的平行四边形？假如消失,请直接写出点Q 的坐标;假如不消失,请解释来由．分解演习：xOy 中,抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A .点B ,与y 轴的正半轴交于点C ,点A 的坐标为(1, 0),OB ＝OC ,抛物线的极点为D . (1) 求此抛物线的解析式;(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 知足∠APB ＝∠ACB ,求点P 的坐标;(3)Q 为线段BD 上一点,点A 关于∠AQB 的等分线的对称点为A ',若2=-QB QA ,求点Q 的坐标和此时△QAA '的面积.xOy 中,已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点()3 0，C ,与x 轴交于A .B 两点,点B 的坐标为()0 3，-. （1）求二次函数的解析式及极点D 的坐标;（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点,若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1 ：2的两部分,求出此时点M 的坐标;（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点,问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是若干？并求出此时点P 的坐标.3.如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A ,极点为B ,且对称轴与x 轴交于点C .（1）求点B 的坐标（用含m 的代数式表示）;（2）D 为OB 中点,直线AD 交y 轴于E ,若E （0,2）,求抛物线的解析式;（3）在（2）的前提下,点M 在直线OB 上,且使得AMC ∆的周长最小,P 在抛物线上,Q 在直线BC 上,若认为Q P M A 、、、极点的四边形是平行四边形,求点P 的坐标.4.已知关于x 的方程2(1)(4)30m x m x -+-+=. （1）若方程有两个不相等的实数根,求m 的取值规模;（2）若正整数m 知足822m ->,设二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x 轴交于A B 、两点,将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象;请你联合这个新的图象答复：当直线3y kx =+与此图象正好有三个公共点时,求出k 的值（只须请求出两个知足题意的k 值即可）.5如图,抛物线y=ax 2+2ax+c （a≠0）与y 轴交于点C （0,4）,与x 轴交于点A （﹣4,0）和B ．（1）求该抛物线的解析式;（2）点Q 是线段AB 上的动点,过点Q 作QE ∥AC,交BC 于点E,衔接CQ ．当△CEQ 的面积最大时,求点Q 的坐标;（3）平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P,与直线AC 交于点F,点D 的坐标为（﹣2,0）．问是否有直线l,使△ODF 是等腰三角形？若消失,请求出点F 的坐标;若不消失,请解释来由．三.中考二次函数代数型分解题题型一.抛物线与x 轴的两个交点分离位于某定点的两侧例1．已知二次函数y ＝x 2＋(m －1)x ＋m －2的图象与x 轴订交于A （x 1,0）,B （x 2,0）两点,且x 1＜x 2．（1）若x 1x 2＜0,且m 为正整数,求该二次函数的表达式; （2）若x 1＜1,x 2＞1,求m 的取值规模;（3）是否消失实数m ,使得过A .B 两点的圆与y 轴相切于点C （0,2）,若消失,求出m 的值;若不消失,请解释来由;（4）若过点D （0,12）的直线与（1）中的二次函数图象订交于M .N 两点,且MD DN ＝13,求该直线的表达式．题型二.抛物线与x 轴两交点之间的距离问题例2 已知二次函数y= x 2+mx+m-5,（1）求证：不论m 取何值时,抛物线总与x 轴有两个交点; （2）求当m 取何值时,抛物线与x 轴两交点之间的距离最短．题型三.抛物线方程的整数解问题例1．已知抛物线222(1)0y x m x m =-++=与x 轴的两个交点的横坐标均为整数,且m ＜5,则整数m 的值为_____________例2．已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋4m －8．（1）当x ≤2时,函数值y 随x 的增大而减小,求m 的取值规模;（2）以抛物线y ＝x 2－2mx ＋4m －8的极点A 为一个极点作该抛物线的内接正AMN ∆（M ,N 两点在拋物线上）,请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是,（3）若抛物线y ＝x 2－2mx ＋4m －8与x 轴交点的横坐标均为整数, 求整数．．m 的值．题型四.抛物线与对称,包括：点与点关于原点对称.抛物线的对称性.数形联合例1．已知抛物线2y x bx c =++（个中b >0,c ≠0）与y 轴的交点为A ,点A 关于抛物线对称轴的对称点为B (m ,n ),且AB =2. (1)求m ,b 的值(2)假如抛物线的极点位于x 轴的下方,且BO 求抛物线所对应的函数关系式（友谊提示：请绘图思虑）题型五.抛物线中韦达定理的普遍运用（线段长.定点两侧.点点关于原点对称.等等）例1．已知：二次函数2y 4x x m =-+的图象与x 轴交于不同的两点A （1x ,0）.B （2x ,0）（1x ＜2x ）,其极点是点C,对称轴与x 轴的交于点D ．（1）求实数m 的取值规模;（2）假如（1x +1）（2x +1）=8,求二次函数的解析式;（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿y 轴高低平移,假如平移后的函数图象与x 轴交于点1A .1B ,极点为点C1,且△111A B C 是等边三角形,求平移后所得图象的函数解析式．分解晋升1．已知二次函数的图象与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C （0,4）,且|AB |＝23,图象的对称轴为x ＝1．（1）求二次函数的表达式;（2）若二次函数的图象都在直线y＝x＋m的下方,求m的取值规模．2．已知二次函数y＝－x2＋mx－m＋2．（1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A.B分离在原点的两侧,并且AB＝5,求m的值;（2）设该二次函数图象与y轴的交点为C,二次函数图象上消失关于原点对称的两点M.N,且S△MNC ＝27,求m的值．3. 已知关于x的一元二次方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0有两个整数根,k＜5且k为整数．（1）求k的值;（2）当此方程有两个非零的整数根时,将关于x的二次函数y＝x2－2(k＋1)x＋k2的图象沿x轴向左平移4个单位,求平移后的二次函数图象的解析式;（3）依据直线y＝x＋b与（2）中的两个函数图象交点的总个数,求b的取值规模．4．已知二次函数的图象经由点A（1,0）和点B（2,1）,且与y轴交点的纵坐标为m．（1）若m为定值,求此二次函数的解析式;（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值规模;（3）若二次函数的图象截直线y＝－x＋1所得线段的长为22,求m的值．四.中考二次函数定值问题1. （2012江西南昌8分）如图,已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B 左边）,与y轴交于点C．（1）写出二次函数L 1的启齿偏向.对称轴和极点坐标; （2）研讨二次函数L 2：y=kx 2﹣4kx+3k （k≠0）．①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条雷同的性质;②若直线y=8k 与抛物线L 2交于E.F 两点,问线段EF 的长度是否产生变化？假如不会,请求出EF 的长度;假如会,请解释来由．2. （2012山东潍坊11分）如图,已知抛物线与坐标轴分离交于A(－2,O).B(2,0).C(0,－l)三点,过坐标原点O 的直线y=kx 与抛物线交于M.N 两点．分离过点 C.D(0,－2)作平行于x 轴的直线1l .2l ．(1)求抛物线对应二次函数的解析式; (2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切;(3)求线段MN 的长(用k 表示),并证实M.N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．3. （2012浙江义乌12分）如图1,已知直线y=kx 与抛物线2422y=x +x 273交于点A （3,6）．（1）求直线y=kx 的解析式和线段OA 的长度;（2）点P 为抛物线第一象限内的动点,过点P 作直线PM,交x 轴于点M （点M.O 不重合）,交直线OA 于点Q,再过点Q 作直线PM 的垂线,交y 轴于点N ．试探讨：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？假如是,求出这个定值;假如不是,解释来由;（3）如图2,若点B 为抛物线上对称轴右侧的点,点E 在线段OA 上（与点O.A 不重合）,点D （m,0）是x 轴正半轴上的动点,且知足∠BAE=∠BED=∠AOD．持续探讨：m 在什么规模时,相符前提的E 点的个数分离是1个.2个？4．（2011•株洲）孔明是一个爱好探讨研究的同窗,他在和同窗们一路研讨某条抛物线y=ax2(a＜0)的性质时,将一把直角三角板的直角极点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A.B 两点,请解答以下问题：（1）若测得OA=OB=22（如图1）,求a的值;（2）对统一条抛物线,孔明将三角板绕点O扭转到如图2所示地位时,过B作BF⊥x轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标,并求点A的横坐标．．．;（3）对该抛物线,孔明将三角板绕点O扭转随意率性角度时惊异地发明,交点A.B的连线段总经由一个固定的点,试解释来由并求出该点的坐标．yFEOxBA第11页，－共11页。

二次函数压轴题题型总结(有答案)

二次函数压轴题解题思路一、基本知识1会求解析式以及一些关键点的坐标（如函数图像与坐标轴的交点、两函数图像的交点等）。

2.会利用函数性质和图像3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。

图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。

一些方法：如相似、三角函数、解方程。

一些转换：如轴对称、平移、旋转。

二、典型例题：（一）、求解析式可参考一下部分试题的第一问。

（二）、二次函数的相关应用第一类：面积问题例题. （2012•莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．）（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；练习：1. （2014•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．第二类：.构造问题（1）构造线段（2014•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（1）求∠OBC的度数；（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．（2）构造相似三角形（2013•莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）构造平行四边形（2014•莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D 两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．造等腰三角形（2013•泰安）如图，抛物线y=12x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），（4）构与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．（5）构造直角三角形（2014•四川内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．（6）构造角相等（2014•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．（7）构造菱形（2013•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．（8）构造对称点（11莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．AOByx（9）构造平行线：（2014•山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，△ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED△AC的理由．（10）构造垂直：（2014宜宾市）如图，已知抛物线y= x2+bx+c的顶点坐标为M(0，–1)，与x轴交于A、B两点. (1)求抛物线的解析式；(2)判断△MAB的形状，并说明理由；(3)过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C、D两点，连结MC、MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．（11）构造圆(2014年淄博)如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使△APB=30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且△APB=30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，△APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时△APB最大的理由；若没有，也请说明理由．参考答案：（一）、求解析式（二）、二次函数的相关应用第一类：面积问题（2012•莱芜）解：（1）y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．yxOMDCBA第24题图（2）S△ACD=AD•CD=××2=2．（3）（2+，1﹣）、（2﹣，1+）、（1，2）或（4，﹣1）．（2014兰州）解（1）y=﹣x2+x+2；（2）y=﹣（x﹣）2+，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）9．第二类：.构造问题（1）构造线段（2014枣庄）（1）△OBC为等腰直角三角形∠OBC=45°．（2）P（2，﹣3）．（3）线段PF长度=﹣x P2+3x P=﹣（x P﹣）2+，（1＜x P≤3），当x P=时，线段PF长度最大为．（2）构造相似三角形（2013•莱芜）（1）y=．（2）DF的最大值为．此时D的坐标为（）．（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，）．在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，故此时满足条件的点不存在．②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，P的坐标为（﹣8，﹣15）．③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，此时点P的坐标为（2，﹣）．若PN=3NA，此时点P的坐标为（10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．（3）构造平行四边形（2014•莱芜）解：（1）y=﹣x2+x．（2）存在．或或．（3）△S=S△OFQ﹣S△OEP=OF•FQ﹣OE•PG=（1+t）（+t）﹣•t•t=﹣（t﹣1）2+当t=1时，S有最大值为．△S的最大值为．（4）构造等腰三角形PBE ABCS S=PBE S 12==-13x 2-232（5）构造直角三角形（2014•四川内江）（1）y=﹣x 2+x+4．（2）当t=1时，PQ 取到最大值，最大值为．（3）①当∠BAM=90°时，MH=11．M （，﹣11）． ②当∠ABM=90°时，M （，9）．综上所述：符合要求的点M 的坐标为（，9）和（，﹣11）．（6）构造角相等（2014•娄底）解（1）依题意：x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=m ﹣1，∵x 1+x 2+x 1x 2=7，∴（x 1+x 2）2﹣x 1x 2=7，∴（﹣m ）2﹣（m ﹣1）=7，即m 2﹣m ﹣6=0，解得m 1=﹣2，m 2=3，∵c=m ﹣1＜0，∴m=3不合题意∴m=﹣2抛物线的解析式是y=x 2﹣2x ﹣3；（2）能如图，设p是抛物线上的一点，连接PO ，PC ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D ．若∠POC=∠PCO 则PD 应是线段OC 的垂直平分线∵C 的坐标为（0，﹣3）∴D 的坐标为（0，﹣）∴P 的纵坐标应是﹣令x 2﹣2x ﹣3=，解得，x 1=，x 2=因此所求点P 的坐标是（，﹣），（，﹣）（7）构造菱形（2013•枣庄）解：（1）.（2）此时P 点的坐标为（，）. （3） S 四边形ABPC =++==.易知，当x=时，四边形ABPC 的面积最大．此时P 点坐标为（，），四边形ABPC 的最大面积为.（8）构造对称点（11莱芜）（1）212y x x =-+。

二次函数与几何图形结合题型总结

初中二次函数压轴题题型归纳及方法

初中二次函数压轴题题型归纳及方法一、题型归纳初中二次函数压轴题主要包括以下几种类型：1. 求解二次方程，确定函数的零点2. 求解顶点坐标、对称轴及最值3. 判断函数的单调性和定义域、值域4. 与其他函数进行比较，确定大小关系5. 给定函数图像或部分信息，确定函数的表达式二、方法详解1. 求解二次方程，确定函数的零点求解二次方程可以使用因式分解法、配方法和公式法。

其中，因式分解法适用于形如x^2+bx+c=0的方程；配方法适用于形如ax^2+bx+c=0且a≠0的方程；公式法适用于所有形如ax^2+bx+c=0的方程。

求得二次方程的根后，即可得到函数的零点。

若根为实数，则该实数即为零点；若根为复数，则该函数无实零点。

2. 求解顶点坐标、对称轴及最值对于一般形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的二次函数，其顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。

对称轴为x=-b/2a，最值为f(-b/2a)。

若函数为y=a(x-h)^2+k的形式，则顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h，最值为k。

3. 判断函数的单调性和定义域、值域对于一般形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的二次函数，当a>0时，函数在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，函数在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。

定义域为实数集R，值域取决于a的符号。

4. 与其他函数进行比较，确定大小关系与线性函数比较：当x趋近正无穷时，二次函数增长速度大于线性函数；当x趋近负无穷时，二次函数增长速度小于线性函数。

因此，在x 轴正半轴上，二次函数与线性函数相交一次，并在该点处取得最小值（或最大值）；在x轴负半轴上，则无交点。

与指数函数比较：当x趋近正无穷时，指数函数增长速度大于二次函数；当x趋近负无穷时，指数函数增长速度小于二次函数。

因此，在x 轴正半轴上，指数函数与二次函数相交一次，并在该点处取得最小值（或最大值）；在x轴负半轴上，则无交点。

完整版)中考数学二次函数压轴题题型归纳

完整版)中考数学二次函数压轴题题型归纳上各取一点B、C，求XXX的最小值。

解：设A的坐标为（x，y），则B、C的坐标分别为（x，0）、（0，y）。

由题意得AB+AC=√(x^2+y^2)+√(x^2+y^2-2xy)。

令f(x)=√(x^2+y^2)+√(x^2+y^2-2xy)，则f(x)在[0，y]上单调递增，在[y，+∞)上单调递减。

因此，当x=y时，f(x)取得最小值，即AB+AC的最小值为2y。

2）如图，点A、B、C在同一直线上，点P、Q分别在AB、AC上，求AP+PQ+QB+BC的最小值。

解：设AP=x，PQ=y，QB=z，则BC=x+z。

由路径最值问题可知，待定的点Q在直线AB的垂线上，即Q的坐标为（x，0）。

则AP+PQ+QB+BC=x+y+z+x+z=2x+2z+y。

设f(x,z)=2x+2z+y，则f(x,z)在直线BC上单调递减，在直线AP上单调递增。

因此，当x=z时，f(x,z)取得最小值，即AP+PQ+QB+BC 的最小值为4x+y。

1.上确定两点M、N，使得AM+MN之和最小。

2.如图，直线l1、l2相交，固定点A、B在l1、l2上，分别确定两点M、N，使得BM+MN+AN之和最小。

3.如图，A、B是直线l同侧的两个定点，线段a在直线l 上确定两点E、F（E在F的左侧），使得四边形AEFB的周长最小。

4.平面直角坐标系中求解面积的方法：直接使用公式或割补法。

对于三角形的面积求解，可以使用如下方法：如右图，S△PAB=1/2·PM·△x=1/2·AN·△y。

5.函数的交点问题：对于二次函数（y=ax2+bx+c）与一次函数（y=kx+h），可以解方程组求出两个图像的交点坐标。

通过判断Δ的大小，可以判断交点的个数：Δ>0时有两个交点，Δ=0时有一个交点，Δ<0时没有交点。

6.方程法的步骤包括：设定主动点的坐标或基本线段的长度，用含同一未知数的式子表示其他相关的数量，列出方程或关系式。

二次函数压轴题题型总结有答案

二次函数压轴题解题思路一、基本知识1会求解析式以及一些关键点的坐标（如函数图像与坐标轴的交点、两函数图像的交点等）。

2.会利用函数性质和图像3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。

图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。

一些方法：如相似、三角函数、解方程。

一些转换：如轴对称、平移、旋转。

二、典型例题：（一）、求解析式可参考一下部分试题的第一问。

（二）、二次函数的相关应用第一类：面积问题例题. （2012?莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．）（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；练习：1. （2014?兰州）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．第二类：.构造问题（1）构造线段（2014?枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（1）求∠OBC的度数；（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE =S四边形OCDB，求此时P点的坐标；（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．（2）构造相似三角形（2013?莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C （﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）构造平行四边形（2014?莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．（4）构造等腰三角形（2013?泰安）如图，抛物线y=12x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D 为OA 的中点，点M 是线段AC 上一点，且△OMD 为等腰三角形，求M 点的坐标．（5）构造直角三角形（2014?四川内江）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣）、C （0，4），点B 在抛物线上，CB ∥x 轴，且AB 平分∠CAO ．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由．（6）构造角相等（2014?娄底）如图，抛物线y=x 2+mx+（m ﹣1）与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），x 1＜x 2，与y 轴交于点C （0，c ），且满足x 12+x 22+x 1x 2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P ，使∠POC=∠PCO ？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．（7）构造菱形（2013?枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P ，使四边形POP′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．（8）构造对称点（11莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知点A (－2，－4)，OB ＝2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A 、O 、B 三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M 是抛物线对称轴上一点，试求AM ＋OM 的最小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P ，使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（9）构造平行线：（2014?山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴上，∠ACB =90°，OA =，抛物线y =ax 2﹣ax ﹣a 经过点B （2，），与y 轴交于点D ．（1）求抛物线的表达式；（2）点B 关于直线AC 的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA 交抛物线于点E ，连接ED ，试说明ED ∥AC 的理由．（10）构造垂直：（2014宜宾市）如图，已知抛物线y = x 2+bx +c 的顶点坐标为M (0，–1)，与x 轴交于A 、B 两点. (1)求抛物线的解析式； (2)判断△MAB 的形状，并说明理由； (3)过原点的任意直线(不与y 轴重合)交抛物线于C 、D 两点，连结MC 、MD ，试判断MC 、MD 是否垂直，并说明理由．（11）构造圆yxO MDCBA(2014年淄博)如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB=30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．参考答案：（一）、求解析式（二）、二次函数的相关应用第一类：面积问题（2012?莱芜）解：（1）y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．（2）S△ACD=AD?CD=××2=2．（3）（2+，1﹣）、（2﹣，1+）、（1，2）或（4，﹣1）．（2014兰州）解（1）y=﹣x2+x+2；（2）y=﹣（x﹣）2+，P 1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）S四边形CDBF =S△BCD+S△CEF+S△BEF=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）9．第二类：.构造问题（1）构造线段（2014枣庄）（1）△OBC为等腰直角三角形∠OBC=45°．（2）P（2，﹣3）．（3）线段PF长度=﹣xP 2+3xP=﹣（xP﹣）2+，（1＜xP≤3），当xP=时，线段PF长度最大为．（2）构造相似三角形（2013?莱芜）（1）y=．（2）DF的最大值为．此时D的坐标为（）．（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，）．在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，故此时满足条件的点不存在．②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM， P的坐标为（﹣8，﹣15）．③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，此时点P的坐标为（2，﹣）．若PN=3NA ，此时点P 的坐标为（10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P 的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．（3）构造平行四边形（2014?莱芜）解：（1）y=﹣x 2+x ．（2）存在．或或．（3）∴S=S △OFQ ﹣S △OEP =OF?FQ ﹣OE?PG=（1+t ）（+t ）﹣?t?t=﹣（t ﹣1）2+当t=1时，S 有最大值为．∴S 的最大值为．（4）构造等腰三角形PBE ABCSS=PBE S 12=×（2-x （2-x ）（5）构造直角三角形（2014?四川内江）（1）y=﹣x 2+x+4．（2）当t=1时，PQ 取到最大值，最大值为．（3）①当∠BAM=90°时，MH=11．M （，﹣11）． ②当∠ABM=90°时，M （，9）．综上所述：符合要求的点M 的坐标为（，9）和（，﹣11）．（6）构造角相等（2014?娄底）解（1）依题意：x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=m ﹣1，∵x 1+x 2+x 1x 2=7，∴（x 1+x 2）2﹣x 1x 2=7，∴（﹣m ）2﹣（m ﹣1）=7，即m 2﹣m ﹣6=0，解得m 1=﹣2，m 2=3，∵c=m ﹣1＜0，∴m=3不合题意∴m=﹣2抛物线的解析式是y=x 2﹣2x ﹣3；（2）能如图，设p 是抛物线上的一点，连接PO ，PC ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D ．若∠POC=∠PCO 则PD 应是线段OC 的垂直平分线∵C 的坐标为（0，﹣3）∴D 的坐标为（0，﹣）∴P 的纵坐标应是﹣令x 2﹣2x ﹣3=，解得，x 1=，x 2=因此所求点P 的坐标是（，﹣），（，﹣）（7）构造菱形（2013?枣庄）解：（1）.（2）此时P 点的坐标为（，）.（3） S 四边形ABPC =++==. 易知，当x=时，四边形ABPC 的面积最大．此时P 点坐标为（，），四边形ABPC 2=23y x x --22+32-AOC S ∆POB S ∆POC S ∆239622x x -++23375()228x --+3232154-的最大面积为. （8）构造对称点（11莱芜）（1）212y x x =-+。

二次函数常见题型及解题策略(压轴题).doc

二次函数常见题型及解题策略1、两点间的距离公式：= J（儿一y/+（心一勺）22、中点坐标：线段的屮点C的坐标为:3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如卜•：①用△和参数的其他要求确定参数的取值范I韦I；②解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于X的一元二次方程X2—2（/77 + l）x + m2=0 H两个整数根，加＜5且加为整数，求〃2的值。

4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。

（方法同上）例：若抛物线y二加：2+（3加+ 1）兀+ 3与兀轴交于两个不同的整数点，且加为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该I古I定根。

举例如下：已知关于兀的方程/nji2-3（/77-l）x +2m-3 = 0 （加为实数），求证：无论加为何值，方程总有一个固定的根。

解：当= 0 吋，X = 1 ;当时，△=（加—3）'n0, X=3（〃/_1）±P A ,州=2 — 2、= 1 ；2m m综上所述：无论加为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线y = x2 -mx + m-2（加是常数），求证：不论加为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m的方程y-x2+2 = m（l-x）；y —"+2 = 0,解得:l-x = 0・・・抛物线总经过一个固定的点（1, -l）o（题目要求等价于：关于加的方程y-兀2+2 =加（1-兀）不论加为何值，方程恒成立）a = 0小结：关于兀的方程ax^b有无数解ob = 07、路径最值问题（待定的点所在的肓线就是对称轴）（1）如图，直线厶、人，点人在厶上，分别在厶、仇上确定两点M、N ,使得AM +MN之和最小。

（2）如图，直线厶、仏相交，两个固定点4、B ,分别在厶、厶上确定两点必、N ,使得BM +MN + AN込和最小。

二次函数与几何图形综合(压轴题)-含答案

二次函数与几何图形综合题类型一线段数量关系/最值问题1. (2019滨州)如图①，抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D .(1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点． ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠P AD 的值．第1题图2. 如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6相交于A (12，52)和B (4，c )．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 上的动点，设点P 的横坐标为n ，过点P 作PC ⊥x 轴，交抛物线于点C ，交x 轴于点M .①当点P 在线段AB 上运动时(点P 不与点A ，B 重合)，是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；②点P 在直线AB 上自由移动，当点C 、P 、M 中恰有一点是其他两点所连线段的中点时，请直接写出n 的值．第2题图类型二面积数量关系/最值问题1. (2019成华区一诊)如图，抛物线经过原点O，与x轴交于点A(－4，0)，且经过点B(4，8)．(1)求抛物线的解析式；(2)设直线y＝kx＋4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2(x1<x2)，当1x2－1x1＝22时，求k的值；(3)连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点C，连接OC、OP，当S△POC∶S△BOC＝1∶2时，求点P的坐标．第1题图2. (2019武侯区一诊)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx ＋3与抛物线交于点A (9，－6)，与y 轴交于点B ，抛物线的顶点C 的坐标是(4，－11)．(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式；(2)D 是抛物线上位于对称轴左侧的点，若△ABD 的面积为812，求点D 的坐标；(3)在y 轴上是否存在一点P ，使∠APC ＝45°？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．类型三特殊三角形存在性问题1. (2019武侯区二诊)如图，抛物线y＝x2＋(m＋2)x＋4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x＋2与抛物线交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是抛物线上一点，若S△P AB＝2S△ABC，求点P的坐标；(3)将直线AB上下平移，平移后的直线y＝x＋t与抛物线交于A′、B′两点(A′在B′的左侧)，当以点A′、B′、(2)中第二象限的点P为顶点的三角形是直角三角形时，求t的值．类型四特殊四边形存在性问题1. (2019高新区二诊)如图，在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2－2x－3与抛物线C2：y＝x2＋mx ＋n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧，交y轴于点D.(1)求A、B两点的坐标；(2)过抛物线C2：y＝x2＋mx＋n在第三象限上的一点P，作PF⊥x轴于点F，交AD于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在y轴上，求P点的坐标；(3)在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．类型五相似三角形问题1.(2019金牛区一诊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点分别为A(－3，0)、B(1，0)，与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2)连接AD、CD，若点E为抛物线上一动点(点E与顶点C不重合)，当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；(3)若点P为抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．第1题图备用图参考答案类型一线段数量关系/最值问题1. 解：(1)抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4，令x ＝0，可得A 点的坐标为(0，4)，令y ＝0，可得B 点的坐标为(－4，0)，C 点的坐标为(8，0)．易得直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋4， ∵OA ＝OB ， ∴∠BAO ＝45°.又∵直线AD 由直线AB 逆时针旋转90°而来， ∴∠BAD ＝90°，∴∠OAD ＝45°，△OAD 为等腰直角三角形， ∴OD ＝OA ＝4，D (4，0)，易得直线AD 的函数解析式为y ＝－x ＋4；(2)①如解图①，过点P 作PE ⊥x 轴交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，第1题解图①易得△PEF 为等腰直角三角形， ∴PF ＝22PE ， ∴当PE 取得最大值时，PF 取得最大值，设P (x ，－18x 2＋12x ＋4)，则E (x ，－x ＋4)，∴PE ＝－18x 2＋12x ＋4－(－x ＋4)＝－18x 2＋32x ＝－18(x －6)2＋92，∴当x ＝6时，PE 有最大值92，此时PF 有最大值924，∴当x ＝6时，－18x 2＋12x ＋4＝52，∴当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标为(6，52)，最大距离为924；②如解图②，连接AP ，过点P 作PE ⊥x 轴，交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，当点P 到AD 的距离为524时，PF ＝524，则此时PE ＝2PF ＝52，将PE ＝52代入PE ＝－18(x －6)2＋92中，解得x 1＝10，x 2＝2，∴此时点P 的坐标为(10，－72)或(2，92)，当点P 的坐标为(2，92)时，AP ＝22＋（92－4）2＝172，∴sin ∠P AD ＝524172＝53434；当点P 的坐标为(10，－72)时，AP ＝102＋（－72－4）2＝252，∴sin ∠P AD ＝PF AP ＝524252＝210.综上，sin ∠P AD 的值是53434或210.第1题解图②2. 解：(1)∵B (4，c )在直线y ＝x ＋2上， ∴c ＝6，则B (4，6)，∵A (12，52)，B (4，6)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6上，∴⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＋6＝5216a ＋4b ＋6＝6.，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8，故抛物线的解析式为y ＝2x 2－8x ＋6； (2)①存在．设点P 的坐标为(n ，n ＋2)(12<n <4)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)，∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498.∵－2<0，12<n <4，∴当n ＝94时，线段PC 的长取得最大值498.② n 的值为5±212或17±1298.【解法提示】设P 的坐标为(n ，n ＋2)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)，易知抛物线与x 轴交点坐标为(1，0)，(3，0)，直线与x 轴交点坐标为(－2，0)．(Ⅰ)若M 点为PC 的中点，此时n <－2或1<n <3，则PM ＝CM ，即n ＋2＝－(2n 2－8n ＋6)，整理得2n 2－7n ＋8＝0，此方程没有实数解；(Ⅱ)若P 点为CM 的中点，此时，n >4或－2<n <12，则PM ＝PC ，CM ＝2PM ，即2n 2－8n ＋6＝2(n ＋2)，整理得n 2－5n ＋1＝0，解得n 1＝5＋212，n 2＝5－212，n 1，n 2均满足条件；(Ⅲ)若C 点为PM 的中点，此时12<n <1或3<n <4，则PC＝CM ，PM ＝2CM ，即n ＋2＝2(2n 2－8n ＋6)，整理得4n 2－17n ＋10＝0，解得n 1＝17＋1298，n 2＝17－1298，n 1，n 2均满足条件．综上所述，n 的值为5±212或17±1298.类型二面积数量关系/最值问题1. 解：(1)∵抛物线经过原点O ， ∴设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ，把点A (－4，0)，B (4，8)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＝016a ＋4b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝14x 2＋x ；(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2＋xy ＝kx ＋4，消去y ，得14x 2＋(1－k )x －4＝0，∴x 1＋x 2＝4(k －1)，x 1x 2＝－16，∵1x 2－1x 1＝22， ∴（x 1＋x 2）2－4x 1x 2（x 1x 2）2＝12，即16（k －1）2＋64256＝12，解得k ＝3或k ＝－1，经检验都符合题意，∴k 的值为3或－1；(3)∵OB ∥PC ，S △POC ∶S △BOC ＝1∶2，∴PC ∶OB ＝1∶2，∵B (4，8)，∴OB ＝45，直线OB 的解析式为y ＝2x ，∴PC ＝25，设点P 的坐标为(a ，14a 2＋a )(－4＜a ＜0)，直线PC 的解析式为y ＝2x ＋t ，把P (a ，14a 2＋a )代入y ＝2x ＋t ，整理得t ＝14a 2－a ， ∴直线PC 的解析式为y ＝2x ＋14a 2－a ，易得直线AB 的解析式为y ＝x ＋4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4y ＝2x ＋14a 2－a ，解得x ＝4＋a －14a 2， ∴PC ＝5(x C －x P )＝5×(4＋a －14a 2－a )＝25，解得a ＝22(舍去)或a ＝－22，将a ＝－22代入抛物线的解析式，得y ＝14×(－22)2－22＝2－22， ∴点P 的坐标为(－22，2－22)．2. 解：(1)把点A (9，－6)代入y ＝mx ＋3中，得m ＝－1，∴直线的函数表达式为y ＝－x ＋3；∵抛物线的顶点C 的坐标是(4，－11)且过点A (9，－6)，设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －4)2－11，∴a (9－4)2－11＝－6，解得a ＝15，∴抛物线的函数表达式为y ＝15(x －4)2－11＝15x 2－85x －395； (2)设点D 的横坐标为n .∵抛物线对称轴为直线x ＝4，∴分两种情况讨论①当0＜n ＜4时，如解图①，过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，则D (n ，15n 2－85n －395)，E (n ，－n ＋3)， ∴DE ＝－n ＋3－(15n 2－85n －395)＝－15n 2＋35n ＋545， ∴S △ABD ＝S △BDE ＋S △ADE ＝12DE ·(x E －x B )＋12DE ·(x A －x E ) ＝12DE ·(x A －x B )＝12(－15n 2＋35n ＋545)×9＝812，解得n 1＝3－352(不合题意，舍去)，n 2＝3＋352(不合题意，舍去)；第2题解图①②当n ＜0时，如解图②，过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，S △ABD ＝S △ADE －S △BDE ＝12DE ·(x A －x E )－12DE ·(x B －x E )＝12DE ·(x A －x B )＝12(－15n 2＋35n ＋545)×9＝812，解得n 1＝3－352，n 2＝3＋352(不合题意，舍去)．当n ＝3－352时，y ＝15×(3－352)2－85×3－352－395＝35－152. ∴D (3－352，35－152)；第2题解图②(3)在y 轴上存在一点P ，使∠APC ＝45°，如解图③，分别过点C 、A 作y 轴、x 轴的平行线，两线交于点G ，则∠CGA ＝90°，∵A 、C 的坐标分别为(9，－6)，(4，－11)，∴点G 的坐标为(4，－6)．∴GA ＝GC ＝5.作以G 为圆心，GA 的长度为半径的圆，交y 轴于点P ，P ′，连接AP 、CP 、AP ′、P ′C ，此时∠APC ＝∠AP ′C ＝12∠CGA ＝45°， ∴GP ＝5.设点P 的坐标为(0，k )，过点G 作GH ⊥y 轴于点H ，则H (0，－6)．在Rt △PGH 中，PH 2＋HG 2＝PG 2，即(k ＋6)2＋42＝52，解得k 1＝－3，k 2＝－9，∴P (0，－3)，P ′(0，－9)．第2题解图③类型三特殊三角形存在性问题1. 解：(1)∵抛物线的顶点C 在x 轴的正半轴上，∴4ac －b 24a ＝16－（m ＋2）24＝0，解得m ＝2或－6，∵顶点在x 轴正半轴上，∴－m ＋22>0.解得m <－2， ∴m ＝－6，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋4；(2)如解图①，过点C 作抛物线的对称轴，交直线AB 于点D ，由y ＝x 2－4x ＋4得抛物线的对称轴是直线x ＝2，则D (2，4)，DC ＝4.在点D 上方的抛物线的对称轴上取一点E ，使DE ＝2DC ，则E (2，12)．连接AE ，BE ，则S △ABE ＝2S △ABC .过点E (2，12)作直线AB 的平行线交抛物线于点P 1，P 2，此时满足S △P AB ＝S △ABE ＝2S △ABC .设直线P 1P 2的函数表达式为y ＝x ＋k ，∵点E (2，12)在直线P 1P 2上，∴2＋k ＝12，∴k ＝10.∴直线P 1P 2的函数表达式为y ＝x ＋10.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋10y ＝x 2－4x ＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝9或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6y 2＝16，综上所述，满足条件的点P 的坐标为(－1，9)，(6，16)；第1题解图①(3)设A ′(x 1，y 1)，B ′(x 2，y 2)，显然，∠P A ′B ′≠90°.①如解图②，当∠A ′B ′P ＝90°时，过点B ′作直线MN ∥y 轴，A ′M ⊥MN 于点M ，PN ⊥MN 于点N ， ∵直线A ′B ′的解析式是y ＝x ＋t ，∴∠B ′A ′M ＝45°，∴△A ′B ′M 和△PB ′N 都是等腰直角三角形，∴PN ＝NB ′，∴x 2＋1＝9－y 2，即x 2＋y 2＝8，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8y 2＝x 2＋t ，解得⎩⎨⎧x 2＝4－12ty 2＝4＋12t ，将点(4－12t ，4＋12t )代入抛物线的函数表达式，得4＋12t ＝(4－12t )2－4×(4－12t )＋4. 解得 t 1＝0，t 2＝10(此时点A ′与点P 重合，舍去)；第1题解图②如解图③，若∠A′PB′＝90°，过点P作EF∥y轴，A′E⊥EF于E，B′F⊥EF于点F，则△A′EP∽△PFB′，∴A′EPE＝PFB′F.∴x1＋19－y1＝y2－9x2＋1.∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝9(y1＋y2)－y1y2－81，令x2－4x＋4＝x＋t，即x2－5x＋4－t＝0，则x1＋x2＝5，x1x2＝4－t，y1＋y2＝(x1＋t)＋(x2＋t)＝x1＋x2＋2t＝5＋2t，y1y2＝(x1＋t)(x2＋t)＝x1x2＋t(x1＋x2)＋t2＝t2＋4t＋4，∴(4－t)＋5＋1＝9(5＋2t)－(t2＋4t＋4)－81，整理得t2－15t＋50＝0，解得t1＝5，t2＝10(此时A′与P重合，舍去)，综上，t的值为0或5.第1题解图③类型四特殊四边形存在性问题1. 解：(1)∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状，大小均相同，∴a＝1，n＝－3，∴C1的对称轴为直线x＝1，∴C2的对称轴为直线x＝－1，∴m＝2，∴C 1的函数表达式为y ＝x 2－2x －3，C 2的函数表达式为y ＝x 2＋2x －3＝0，在C 2的函数表达式y ＝x 2＋2x －3中，当y ＝0可得x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1，∴A (－3，0)，B (1，0)；(2)根据题意可得点D 的坐标为(0，－3)，设直线AD 的表达式为y ＝kx ＋b .把(0，－3)和(－3，0)代入到y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3－3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3k ＝－1， ∴直线AD 的表达式为y ＝－x －3，设P (a ，a 2＋2a －3)，则E (a ，－a －3)，则PE ＝－a －3－(a 2＋2a －3)＝－a 2－3a ，根据对称可得四边形PEDE ′是菱形，则DE ′＝PE ＝－a 2－3a ，如解图，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，∵ED ∥PE ′，ED 所在直线斜率k ＝－1∴∠E ′＝∠AEF ＝45°，GE ′＝－a ，PG ＝GE ′.在Rt △PGE ′中，根据勾股定理得：PE ′＝－2a ，根据菱形性质可得：PE ′＝DE ′， ∴－2a ＝－a 2－3a ，解得a ＝2－3，∴P (2－3，2－42)；第1题解图(3)存在．∵AB 的中点为(－1，0)，且点G 在抛物线C 1上，点Q 在抛物线C 2上，∴AB 只能为平行四边形的一边，∴GQ ∥AB 且GQ ＝AB ，由(1)可知AB ＝1－(－3)＝4，∴GQ ＝4，设G (t ，t 2－2t －3)，则Q (t ＋4，t 2－2t －3)或(t －4，t 2－2t －3)，①当Q (t ＋4，t 2－2t －3)时，则t 2－2t －3＝(t ＋4)2＋2(t ＋4)－3，解得t ＝－2，∴t 2－2t －3＝4＋4－3＝5，∴G (－2，5)，Q (2，5)；②当Q (t －4，t 2－2t －3)时，则t 2－2t －3＝(t －4)2＋2(t －4)－3，解得t ＝2，∴t 2－2t －3＝4－4－3＝－3，∴G (2，－3)，Q (－2，－3)，综上可知，存在满足条件的点G 、Q ，其坐标为G (－2，5)，Q (2，5)或G (2，－3)，Q (－2，－3)．类型五相似三角形问题1. 解：(1)把点A 、B 、D 的坐标分别代入抛物线的解析式中得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝09a －3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a＝－1， ∴点C 的坐标为(－1，4)；(2)如解图①，过点C 作CE ∥AD 交抛物线于点E ，交y 轴于点T ，则△ADE 与△ACD 面积相等，直线AD 过点D ，设其解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得：0＝－3m ＋3，解得m ＝1，则直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∵CE ∥AD ，设直线CE 的解析式为y ＝x ＋n ，将点C 的坐标代入上式得：4＝－1＋n ，解得n ＝5，则直线CE 的解析式为y ＝x ＋5，则点T 的坐标为(0，5)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋5，解得x ＝－1或x ＝－2(x ＝－1为点C 的横坐标)，即点E 的坐标为(－2，3)；在y 轴取一点H ′，使DT ＝DH ′＝2，过点H ′作直线E ′E ″∥AD ，则△ADE ′和△ADE ″都与△ACD 面积相等，同理可得直线E ′E ″的解析式为y ＝x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋1，解得x ＝－3±172， ∴点E ″、E ′的坐标分别为(－3＋172，－1＋172)、(－3－172，－1－172)，综上，满足要求的点E 的坐标为(－2，3)或(－3＋172，－1＋172)或(－3－172，－1－172)；第1题解图①(3)如解图②，设点P 的坐标为(m ，n )，则n ＝－m 2－2m ＋3，把点C 、D 的坐标代入一次函数的解析式y ＝kx ＋b 得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝－k ＋b b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3，即直线CD 的解析式为y ＝－x ＋3，由(1)得，直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∴AD ⊥CD ，而直线PQ ⊥CD ，故直线PQ 的解析式中的k 值与直线AD 的解析式中的k 值相同，同理可得直线PQ 的解析式为y ＝x ＋(n －m )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝x ＋（n －m ），解得x ＝3＋m －n 2，即点Q 的坐标为(3＋m －n 2，3－m ＋n 2)，则PQ 2＝(m －3＋m －n 2)2＋(n －3－m ＋n 2)2＝（m ＋n －3）22＝12(m ＋1)2·m 2，同理可得：PC 2＝(m ＋1)2[1＋(m ＋1)2]，AH ＝2，CH ＝4，则AC ＝25，当△ACH ∽△CPQ 时，PC PQ ＝AC CH ＝52，即4PC 2＝5PQ 2，整理得3m 2＋16m ＋16＝0，解得m ＝－4或m ＝－43， ∴点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)；当△ACH ∽△PCQ 时，同理可得，点P 的坐标为(－23，359)或(2，－5)，综上所述，点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)或(－23，359)或(2，－5)．。

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例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。

4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。

（方法同上）例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。

举例如下：已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。

解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032≥-=∆m ，()m m x 213∆±-=，mx 321-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122；∴ ⎩⎨⎧=-=+-01 02 2x x y ，解得：⎩⎨⎧=-=1 1x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

（题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122不论m 为何值，方程恒成立）小结．．：关于x 的方程b ax =有无数解⇔⎩⎨⎧==0b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。

（2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得AN MN BM ++之和最小。

（3）如图，B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的左侧），使得四边形AEFB 的周长最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如右图，S △PAB =1/2 ·PM ·△x=1/2 ·AN ·△y 9、函数的交点问题：二次函数（c bx ax y ＋＋＝2）与一次函数（h kx y ＋＝）（1）解方程组⎩⎨⎧hkx y cbx ax y ＋＝＋＋＝ 2可求出两个图象交点的坐标。

（2）解方程组⎩⎨⎧hkx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2，即()02＝－＋－＋h c x k b ax ，通过∆可判断两个图象的交点的个数有两个交点 ⇔ 0＞∆仅有一个交点 ⇔ 0=∆ 没有交点 ⇔ 0＜∆ 10、方程法（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3）列方程或关系式 11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。

【例题精讲】一基础构图：y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）★和最小，差最大在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P点坐标在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标★求面积最大连接AC,在第四象限找一点P ，使得ACP ∆面积最大，求出P 坐标★ 讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆求出P 坐标或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC ★ 讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆求出P 坐标★ 讨论平行四边形 1、点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标二综合题型例1 (中考变式）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D 。

交Y 轴于C(1)求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。

(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M ，使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点P 的坐标。

当E 点运动到什么位置时,以点E 、F 、H 、D 为顶点的四边形为平行四边形？(5)在（5）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？例2 考点：关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为(－1，0)、(0，3－)，点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线x ＝1，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P 的横坐标为m ，试用含m 的代数式表示线段PF 的长；（3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标．例3 考点：讨论等腰如图，已知抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，－1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由．例4考点：讨论直角三角⑴ 如图，已知点A （一1，0）和点B （1，2），在坐标轴上确定点P ，使得△ABP 为直角三角形，则满足这样条件的点P 共有（）． (A ）2个（B ）4个（C ） 6个（D ）7个 ⑵ 已知：如图一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝21x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝21x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．例5 考点：讨论四边形已知：如图所示，关于x 的抛物线y ＝ax 2＋x ＋c （a ≠0）与x 轴交于点A （－2，0），点B （6，0），与y 轴交于点C ．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．综合练习：DB CO A yx E BC OA备用图yxO A ByCxD E 2B A yO CxyxB A F Px ＝1CO1、平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的正半轴交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB ＝OC ，抛物线的顶点为D 。

(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB ＝∠ACB ，求点P 的坐标；(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，求点Q 的坐标和此时△QAA '的面积。

2、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点()3 0，C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为()0 3，-。

（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1 ：2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标。

3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A ，顶点为B ，且对称轴与x 轴交于点C 。

（1）求点B 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）D 为OB 中点，直线AD 交y 轴于E ，若E （0，2），求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 在直线OB 上，且使得AMC ∆的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线BC 上，若以Q P M A 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标。

4、已知关于x 的方程2(1)(4)30m x m x -+-+=。

（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若正整数m 满足822m ->，设二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x 轴交于A B 、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）。

5如图，抛物线y=ax 2+2ax+c （a≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A （﹣4，0）和B ．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ ．当△CEQ 的面积最大时，求点Q 的坐标；（3）平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l ，使△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧例1．已知二次函数y ＝x 2＋(m －1)x ＋m －2的图象与x 轴相交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1＜x 2．（1）若x 1x 2＜0，且m 为正整数，求该二次函数的表达式；（2）若x 1＜1，x 2＞1，求m 的取值范围；（3）是否存在实数m ，使得过A 、B 两点的圆与y 轴相切于点C （0，2），若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由；（4）若过点D （0，1 2 ）的直线与（1）中的二次函数图象相交于M 、N 两点，且 MD DN ＝ 1 3，求该直线的表达式．题型二、抛物线与x 轴两交点之间的距离问题例2 已知二次函数y= x 2+mx+m-5，（1）求证：不论m 取何值时，抛物线总与x 轴有两个交点；（2）求当m 取何值时，抛物线与x 轴两交点之间的距离最短．题型三、抛物线方程的整数解问题例1．已知抛物线222(1)0y x m x m =-++=与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且m ＜5，则整数m 的值为_____________例2．已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋4m －8．（1）当x ≤2时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围；（2）以抛物线y ＝x 2－2mx ＋4m －8的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正AMN ∆（M ，N 两点在抛物线上），请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）若抛物线y ＝x 2－2mx ＋4m －8与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数．．m 的值．例1．已知抛物线2y x bx c =++（其中b >0，c ≠0）与y 轴的交点为A ，点A 点为B (m ,n )，且AB =2. (1)求m ,b 的值(2)如果抛物线的顶点位于x 轴的下方，且BO 图思考）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）例1．已知：二次函数2y 4x x m =-+的图象与x 轴交于不同的两点A （1x ，0）、B （2x ，0）（1x ＜2x ），其顶点是点C ，对称轴与x 轴的交于点D ．（1）求实数m 的取值范围；（2）如果（1x +1）（2x +1）=8，求二次函数的解析式；（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿y 轴上下平移，如果平移后的函数图象与x 轴交于点1A 、1B ，顶点为点C1，且△111A B C 是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式．综合提升1．已知二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，4），且| AB |＝2 3，图象的对称轴为x ＝1．（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图象都在直线y ＝x ＋m 的下方，求m 的取值范围． 2．已知二次函数y ＝－x 2＋mx －m ＋2．（1）若该二次函数图象与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB ＝ 5，求m 的值；（2）设该二次函数图象与y 轴的交点为C ，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M 、N ，且S △MNC ＝27，求m 的值．3. 已知关于x 的一元二次方程x 2－2(k ＋1)x ＋k 2＝0有两个整数根，k ＜5且k 为整数．（1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y ＝x 2－2(k ＋1)x ＋k 2的图象沿x 轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；（3）根据直线y ＝x ＋b 与（2）中的两个函数图象交点的总个数，求b 的取值范围． 4．已知二次函数的图象经过点A （1，0）和点B （2，1），且与y 轴交点的纵坐标为m ．（1）若m 为定值，求此二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x 轴还有异于点A 的另一个交点，求m 的取值范围；（3）若二次函数的图象截直线y ＝－x ＋1所得线段的长为2 2，求m 的值．四、中考二次函数定值问题1. （2012江西南昌8分）如图，已知二次函数L 1：y=x 2﹣4x+3与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ．（1）写出二次函数L 1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L 2：y=kx 2﹣4kx+3k （k≠0）．①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；②若直线y=8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．2. （2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O 的直线y=kx 与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C 、D(0，－2)作平行于x 轴的直线1l 、2l ．(1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切；(3)求线段MN 的长(用k 表示)，并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．3. （2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx 与抛物线2422y=x +x 273交于点A （3，6）．（1）求直线y=kx 的解析式和线段OA 的长度；（2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM ，交x 轴于点M （点M 、O 不重合），交直线OA 于点Q ，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N ．试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重合），点D （m ，0）是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？4．（2011?株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y =ax 2(a ＜0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题：（1）若测得OA =OB =22（如图1），求a 的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF ⊥x 轴于点F ，测得OF =1，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．。

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