年二次函数压轴题题型归纳

2018二次函数压轴题题型归纳

一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=

2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭⎫

⎝⎛++22

B A B A y y x x ，

直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：

（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠

（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k

3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：

① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围；

② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）

③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上）

例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。

解：当0=m 时，1=x ；

当0≠m 时，()032

≥-=∆m ，()m m x 213∆±-=

，m

x 3

21-=、12=x ；

综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：

已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122；

∴⎩⎨⎧=-=+-01 02 2x x y ，解得：⎩⎨⎧=-=1 1 x y ；∴抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

（题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122不论m 为何值，方程恒成立）

小结．．：关于x 的方程b ax =有无数解⇔⎩⎨

⎧==0

0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）

（1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。

（2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得

AN MN BM ++之和最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法 三角形的面积求解常用方法：如上图，S △PAB =1/2 ·PM ·△x

=1/2 ·AN ·△y

9、函数的交点问题：二次函数（c bx ax y ＋＋＝2）与一次函数（h

kx y ＋＝）

（1）解方程组⎩⎨⎧h

kx y c

bx ax y ＋＝＋＋＝ 2可求出两个图象交点的坐标。

（2）解方程组⎩⎨

⎧h

kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2

即()02＝－＋－＋h c x k b ax ，通过∆可判断两个图象的交点的个数 有两个交点 ⇔0＞∆仅有一个交点 ⇔0=∆没有交点⇔0＜∆ 10、方程法

（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度

（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 （3）列方程或关系式 11、几何分析法

特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形几何要求 几何分析 涉及公式 应用图形

跟平行有关的图形

平移

2121k k l l ＝∥⇔、2121x x y y k --= 平行四边形 矩形 梯形

跟直角有关的图形 勾股定理逆定理

利用相似、全等、平行、对顶角、互

余、互补等

()()2

2B A B A x x y y AB -+-= 直角三角形

直角梯形

矩形

跟线段有关

的图形

利用几何中的全等、中垂线的性质等。 ()()22B A B A x x y y AB -+-= 等腰三角形

全等

等腰梯形

跟角有关的利用相似、全等、

一 基础构图：

y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个） ★和最小，差最大

1在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标 2在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标

★ 讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为直角三角形，

求出P 坐标或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．

★ 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为等腰三角形，求出P 坐标

★ 讨论平行四边形 1、点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，

且以B ，A ，F ，E

四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标

二综合题型

例1 (中考变式）如图，抛物线c

-

=2与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。

+

y+

x

bx

交Y轴于C

(1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积。

(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点P的坐标。若没有，请说明理由

(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交BC 于F，设E点横坐标为x.EF的长度为L，

求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？

当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？

(4)在（5）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时,以点E、F、

H、D为顶点的四边形为平行四边形？

(5)在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？