2018年二次函数压轴题题型归纳

2018二次函数压轴题题型归纳

一、二次函数常考点汇总

1、两点间的距离公式：AB y A y B X A X B

2、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：X B

，匕尘

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直线y k1x b1k1 0 )与y k2x b2 ( k2 0) 的位置关系：

(1) 两直线平行k[ k?.且b[b2（2）两直线相交

(3) 两直线重合k[ k?.且b[b2（4）两直线垂直k? 1

3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如

下:

①用和参数的其他要求确定参数的取值范围；

②解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）

③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式例：关于x 的一元二次方程x2—2 m 1 x m2= 0有两个整数根，m v5且m为整数，求m的值。4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上）

例：若抛物线y mx2 3m 1 x 3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于x的方程mx2 3（m 1）x 2m 3 0 （m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。

解：当m 0时，x 1 ;

2 3 m 1 i 小3

当m 0 时，m3 0，x ，捲 2 、X2 1 ;

2m m

综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。

6函数过固定点问题，举例如下：

已知抛物线y x2 mx m 2 （m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m的方程y x2 2 m 1 x ;

••• y X 2 0，解得：y 1;^抛物线总经过一个固定的点（1，—1）o

1 x 0 x 1

（题目要求等价于：关于m的方程y x2 2 m 1 x不论m为何值，方程恒成立）

小结：关于x的方程ax b有无数解 a 0

'' b 0

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、路径最值问题

(待定的点所在的直线就是对称轴)

(1) 如图，直线h、J，点A在12上，分别在l i、I2上确定两点M、N，使得AM MN之和最小。

(2) 如图，直线l i、I2相交，两个固定点A、B，分别在l i、I2上确定两点M、N，使得

BM MN AN之和最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角

形的面积求解常用方法：如上图，S PAE=F2• PM •△ x

=02 • AN •△ y

9、函数的交点问题：二次函数(y= ax2+ bx+ c)与一次函数

(1)解方程组尸ax2+ bx+

c

可求出两个图象交点的坐标。

y= kx+ h

2

(2)解方程组y=ax +bx+ c即ax2+ b—k x+ c—h = 0，通过可判断两个图象的交点的个

数y= kx+ h

有两个交点>0 仅有一个交点0 没有交点V0

10、方程法

(1)设：设主动点的坐标或基本线段的长度

(2)表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量

(3)列方程或关系式

11、几何分析法

特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形

几何要求几何分析涉及公式应用图形

跟平行有关

的图形

平移l1// l2 k1=k2、k 上_y2

x1 x2

平行四边形

矩形

梯形

跟直角有关

的图形

勾股定理逆定理利用

相似、全等、平行、

对顶角、互余、互补

等

( 2 2

AB屮y A y X A X B

直角三角形

直角梯形矩

形

跟线段有关

的图形

利用几何中的全等、

中垂线的性质等。

: 2 2

AB V y A y B X A X B

等腰三角形

全等等腰梯

形

跟角有关的

图形

利用相似、全等、平

行、对顶角、互余、

互补等

【例题精讲】

基础构图:

y=x 2 2x 3 (以下几种分类的函数解析式就是这个)

★和最小，差最大

1在对称轴上找一点P ,使得PB+PC 勺和最小，求出P 点坐标 2在对称轴上找一点P ,使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标

★讨论直角三角 连接AC 在对称轴上找一点P,使得 ACP 为直角三角形， 求出P 坐标或者在抛物线

上求点 卩，使厶ACP 是以AC 为直角边的直角三角形.

r

D.

L

u L

P,使得 ACP 为等腰三角形，求出P 坐标

★讨论平行四边形 1、点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上, 且以

B , A , F , E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标

二综合题型

例1

(中考变式)如图，抛物线y

x 2 bx c 与x 轴交与A(1,0),B(-3, 0)两点，顶点为D

例2 考点: 关于面积最值

如图，在平面直角坐标系中，点 A 、C 的坐标分别为(-1,0)、(0, - .3),点B 在x 轴上•已知某

交丫轴于C

(1) 求该抛物线的解析式与 △ ABC 的

(2) 在抛物线第二象限图象上是否存在一点 在，求出点P 的坐标。若没有，请说明理由

M ，使△ MBC 是以/ BCM 为直角的直角三角形，若存 ⑶若E 为抛物线B 、C 两点间图象上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作EF 与X 轴垂直，交 BC 于F ,设E 点横坐标为的长度为L ， 求L 关于X 的函数关系式关写出X 的取值范围 当E 点运动到什么位置时，线段 EF 的值最大，并求此时E 点的坐标

(4) 在(5)的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点 D 为顶点的四边形为平行四边形

⑸在(5)的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形

H 0

F 、H 、