2018年二次函数压轴题题型归纳

2018二次函数压轴题题型归纳
一、二次函数常考点汇总
1、两点间的距离公式：AB y A y B X A X B
2、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：X B
，匕尘
22
直线y k1x b1k1 0 )与y k2x b2 ( k2 0) 的位置关系：
(1) 两直线平行k[ k?.且b[b2（2）两直线相交
(3) 两直线重合k[ k?.且b[b2（4）两直线垂直k? 1
3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如
下:
①用和参数的其他要求确定参数的取值范围；
②解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）
③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式例：关于x 的一元二次方程x2—2 m 1 x m2= 0有两个整数根，m v5且m为整数，求m的值。

4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。

（方法同上）
例：若抛物线y mx2 3m 1 x 3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。

举例如下：
已知关于x的方程mx2 3（m 1）x 2m 3 0 （m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。

解：当m 0时，x 1 ;
2 3 m 1 i 小3
当m 0 时，m3 0，x ，捲 2 、X2 1 ;
2m m
综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。

6函数过固定点问题，举例如下：
已知抛物线y x2 mx m 2 （m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m的方程y x2 2 m 1 x ;
••• y X 2 0，解得：y 1;^抛物线总经过一个固定的点（1，—1）o
1 x 0 x 1
（题目要求等价于：关于m的方程y x2 2 m 1 x不论m为何值，方程恒成立）
小结：关于x的方程ax b有无数解 a 0
'' b 0
7
、路径最值问题
(待定的点所在的直线就是对称轴)
(1) 如图，直线h、J，点A在12上，分别在l i、I2上确定两点M、N，使得AM MN之和最小。

(2) 如图，直线l i、I2相交，两个固定点A、B，分别在l i、I2上确定两点M、N，使得
BM MN AN之和最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角
形的面积求解常用方法：如上图，S PAE=F2• PM •△ x
=02 • AN •△ y
9、函数的交点问题：二次函数(y= ax2+ bx+ c)与一次函数
(1)解方程组尸ax2+ bx+
c
可求出两个图象交点的坐标。

y= kx+ h
2
(2)解方程组y=ax +bx+ c即ax2+ b—k x+ c—h = 0，通过可判断两个图象的交点的个
数y= kx+ h
有两个交点>0 仅有一个交点0 没有交点V0
10、方程法
(1)设：设主动点的坐标或基本线段的长度
(2)表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量
(3)列方程或关系式
11、几何分析法
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形
几何要求几何分析涉及公式应用图形
跟平行有关
的图形
平移l1// l2 k1=k2、k 上_y2
x1 x2
平行四边形
矩形
梯形
跟直角有关
的图形
勾股定理逆定理利用
相似、全等、平行、
对顶角、互余、互补
等
( 2 2
AB屮y A y X A X B
直角三角形
直角梯形矩
形
跟线段有关
的图形
利用几何中的全等、
中垂线的性质等。

: 2 2
AB V y A y B X A X B
等腰三角形
全等等腰梯
形
跟角有关的
图形
利用相似、全等、平
行、对顶角、互余、
互补等
【例题精讲】
基础构图:
y=x 2 2x 3 (以下几种分类的函数解析式就是这个)
★和最小，差最大
1在对称轴上找一点P ,使得PB+PC 勺和最小，求出P 点坐标 2在对称轴上找一点P ,使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标
★讨论直角三角 连接AC 在对称轴上找一点P,使得 ACP 为直角三角形， 求出P 坐标或者在抛物线
上求点 卩，使厶ACP 是以AC 为直角边的直角三角形.
r
D.
L
u L
P,使得 ACP 为等腰三角形，求出P 坐标
★讨论平行四边形 1、点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上, 且以
B , A , F , E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标
二综合题型
例1
(中考变式)如图，抛物线y
x 2 bx c 与x 轴交与A(1,0),B(-3, 0)两点，顶点为D
例2 考点: 关于面积最值
如图，在平面直角坐标系中，点 A 、C 的坐标分别为(-1,0)、(0, - .3),点B 在x 轴上•已知某
交丫轴于C
(1) 求该抛物线的解析式与 △ ABC 的
(2) 在抛物线第二象限图象上是否存在一点 在，求出点P 的坐标。

若没有，请说明理由
M ，使△ MBC 是以/ BCM 为直角的直角三角形，若存 ⑶若E 为抛物线B 、C 两点间图象上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作EF 与X 轴垂直，交 BC 于F ,设E 点横坐标为的长度为L ， 求L 关于X 的函数关系式关写出X 的取值范围 当E 点运动到什么位置时，线段 EF 的值最大，并求此时E 点的坐标
(4) 在(5)的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点 D 为顶点的四边形为平行四边形
⑸在(5)的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形
H 0
F 、H 、
二次函数的图象经过A、B C三点，且它的对称轴为直线x= 1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B C不重合)，过点P作y轴的平行线交BC于点F.
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段
(3) 求A PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标.
考点：讨论等腰
如图，已知抛物线y= -x2+ bx+ c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B，
点A的坐标为(2,
2
点C的坐标为(0,—1).
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段AC上一动
点，过点E作DE丄x轴于点D,
连结。

，当厶DCE的面积最
大时, 点D的坐标；
(3)在直线BC上是否存在一点
说明理由.
例4考点：讨论直角三角
⑴ 如图，已知点A (一1, 0)和点B (1 , 2),在坐标轴上
Z
/
A 01------- 8------------- Vr
! I
0）
，
求
确定点P,使得△ ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有()
⑵已知：如图一次函数戶*
1
的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B；二次函数y=卜2
+ bx+ c的图象与一次函数y= l x+ 1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标
2
为（1, 0）
(1) 求二次函数的解析式；
(2) 求四边形BDEC的面积S;
(3) 在x轴上是否存在点P,使得△ PBC是以P为直角顶点的直角三角形若存在，求出所有的点
例5考点：讨论四边形已知：如图所示，关于x的抛物线y= ax2+ x+ c (a^ 0)与x轴交于点A ( -2, 0),点B(6, 0),
与y轴交于点C. (1)求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，求出直线AD的解析式;
(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M ,抛物线上有一动点P, x轴上有一动点Q.是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，
综合练习：
1、平面直角坐标系xOy中，抛物线y ax2 4ax 4a c与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交于点C,点A的坐标为(1, 0), OB= OC,抛物线的顶点为D。

(1) 求此抛物线的解析式；
⑵若此抛物线的对称轴上的点P满足/ APB=Z ACB求点P的坐标；
(3) Q为线段BD上一点，点A关于/ AQB的平分线的对称点为A，若QA QB 2，求点Q的坐标和此时厶QAA的面积。

(A) 2 个(B)4个(C) 6个(D) 7个
请说明理由.
P,若不存在，请说明理由.
2、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y ax 2 +2ax c 的图像与y 轴交于点C 0,3，与x 轴 交于A 、 B 两点，点B 的坐标为 3,0。

(1) 求二次函数的解析式及顶点 D 的坐标；
(2) 点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线
OM 把四边形ACDB 分成面积为1 : 2
的两部分，求出此时点M 的坐标；
(3) 点P 是第二象限内抛物线上的一动点，冋：点
P 在何处时△ CPB 的面积取大取大面积
是多少并求出此时点P 的坐标。

3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y — x 2 2x 与x 轴负半轴交于点A ，顶点为B ，且
m
对称轴与x 轴交于点C 。

(1) 求点B 的坐标(用含m 的代数式表示)；
(2) D 为OB 中点，直线AD 交y 轴于E ，若E (0, 2),求抛物线的解析式;
(3) 在(2)的条件下，点M 在直线0B 上，且使得 AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直 线BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标
\ \l
T-
\
1 c
o \
jr
~
a
i
\
\
/
\
4、已知关于x 的方程(1 m)x 2 (4 m)x 3 0。

(1) 若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；
(2)若正整数m满足8 2m 2，设二次函数y (1 m)x2(4 m)x 3的图象与x轴交于A B
两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新
的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线y kx 3与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值(只需要求出两个满足题意的k值即可)。

1
:H
6 4■■I-
2•
*■
■
-2•
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2 4 J
-4■
4■
■
5如图，抛物线y=af+2ax+c( a^0与y轴交于点C (0，4)，与x轴交于点A (- 4, 0)和B.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE// AC,交BC于点E,连接CQ•当△ CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；
(3)平行于x轴的动直线I与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(-2,0) •问是否有直线I，使△ ODF是等腰三角形若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
三、中考二次函数代数型综合题
题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧
例1 •已知二次函数y=x 2+ (m—1)x+ m —2的图象与x轴相交于A (x i, 0), B (x2, 0)两点，且X i
V X2.
(1)若x i x2V 0，且m为正整数，求该二次函数的表达式；
(2)若x i V 1，x2> 1，求m的取值范围；
(3)是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C (0, 2)，若存在，求出m的值; 若不存在，请说明理由；
1 MD 1
(4)若过点D (0，亍)的直线与(1)中的二次函数图象相交于M、N两点，且"DN = 3，求该直线的表达式.
题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题
例2已知二次函数y= x2+mx+m-5，
(1)求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；
(2)求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短.
题型三、抛物线方程的整数解问题例1.已知抛物线y x2 2(m 1)x m2 0与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m V5,则整
数m的值为 ______________
例2.已知二次函数y=x2—2mx+ 4m —8.
(1)当x<2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；
(2)以抛物线y=x2—2mx+ 4m —8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN ( M , N两点在抛物线上)，请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3)若抛物线y=x2—2mx+ 4m —8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值.
题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合
例1 .已知抛物线y x2 bx c (其中b>0, C M0)与y轴的交点为A，点A关于抛物线对称轴的对称点为
B(m,n)，且AB=2.(1)求m,b的值
(2) 如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且BO= . 20。

求抛物线所对应的函数关系式(友情提醒：请画图思考)
题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用(线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等)
例1.已知：二次函数y x 4x m的图象与x轴交于不同的两点A (为,0)、B ( x2, 0) ( X! V X2),其顶点是点C,对称轴与x轴的交于点D.
(1)求实数m的取值范围；
(2)如果(为+1) ( X2+1) =8,求二次函数的解析式；
(3)把(2)中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点A,、
B i，顶点为点。

1,且厶A1B1C1是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式.
综合提升
1. 已知二次函数的图象与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C (0, 4),且| AB = 2也，图象的对称轴为x= 1.
(1)求二次函数的表达式；
(2)若二次函数的图象都在直线y=x+ m的下方，求m的取值范围.
2. 已知二次函数y=—x2+ mx—m+ 2.
(1) 若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB= ,5,求m的值;
(2) 设该二次函数图象与y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且S A
MNC = 27,求m的值.
3. 已知关于x的一元二次方程x2—2(k+ 1)x+ k2= 0有两个整数根，k v5且k为整数.
(1)求k的值；
(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x 2—2(k+ 1)x+ k2的图象沿x 轴向左
平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；
(3)根据直线y= x+ b与(2)中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围.
4. 已知二次函数的图象经过点A (1，0)和点B (2，1)，且与y轴交点的纵坐标为m .
(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；
(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；
(3)若二次函数的图象截直线y=—x+ 1所得线段的长为2 2，求m的值.
四、中考二次函数定值问题
1•如图，已知二次函数L i: y=x2- 4x+3与x轴交于A. B两点(点A在点B左边),与y轴交于点
C.
(1) 写出二次函数L i的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2) 研究二次函数L?：yrkx2-4kx+3k (k^0.
①写出二次函数L2与二次函数L i有关图象的两条相同的性质;
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生
变化如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由.
2•如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2, 0)、B(2, 0)、C(0,—I)三点，过坐标原点O的直线
y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D(0，—2)作平行于x轴的直线Ii、. (1)求抛物线对应二
次函数的解析式；⑵求证以ON为直径的圆与直线|1相切；
(3) 求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长.
4 22
3•图1，已知直线y=kx与抛物线y= -7x2+—x交于点A (3, 6).
2 7 3
(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
(2)点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M (点M、O不重合)，交直线OA 于点Q,再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N .试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O、A不重合)，点D
(m, 0)是x轴正半轴上的动点，且满足 / BAE=/ BED=/ AOD.继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个
曰 y
r/
7
A
E O 4.孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线 y=ax 2(a < 0)的性质时，
将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 0,两直角边与该抛物线交于 A 、B 两点 请解答以下问题：
(1) 若测得OA=OB=2、/2 (如图1),求a 的值；
(2) 对同一条抛物线，孔明将三角板绕点0旋转到如图2所示位置时，过B 作BF 丄x 轴于点 F ,测得0F=1,写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标；
(3) 对该抛物线，孔明将三角板绕点 0旋转任意角度时惊奇地发现，交点 A 、B 的连线段总 经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标.
F
■ x。