高中数学一对一讲义函数

高中数学函数知识点总结

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

(定义域、对应法则、值域) 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备 )

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

x 4 x

例：函数 y 2 的定义域是 (答： 0，2

2， 3 3，4 )

lg x 3

函数定义域求法：

分式中的分母不为零； 偶次方根下的数(或式)大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一；

对 数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

正切函数 y tanx

x R, 且x k ,k

2

余切函数 y cotx

x R,且x k ,k

反三角函数的定义域

函数 y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是

，函数 y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π，]

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时， 先分别求出满足每一个条件的自变量的范围， 再取他们的交集， 就 得到函数的定义域。

10. 如何求复合函数的定义域？

复合函数定义域的求法：

已知 y f ( x)的定义域为 m,n ，求 y f g(x) 的定义域，可由 m g(x) n 解

出 x 的范围，即为 y f g(x) 的定义域。

例 若函数 y

1

f(x) 的定义域为

,2 ，则 f (log 2 x) 的定义域为 。

2

11、函数值域的求法

1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

1

例 求函数 y= 的值域

x

函数 y ＝ arctgx 的定义域是 R ，值域是

.，函数 y ＝ arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0,

π) .

如：函数 f (x)的定义域是 a ，b ， b

a 0，则函数 F(x) f(x) f( x)的定

义域是 ______________ 答： a ， a )

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y= x 2-2x+5 ，x [-1 ，2] 的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

a . y

b

2型：直接用不等式性质k+x 2

b. y bx

2

bx型, 先化简，再用均值不等式x 2 mx n

例：

x 1 1 y

y1+x 2x+1 2

x

c .. y x

2

m x n型通常用判别式x 2 mx n

x 2 mx n

d. y型

xn

法一：用判别式

法二：用换元法，把分母替换掉

例：x 2 x 1 （x+1 ）2（x+1 ）+1 1

y （x+1 ）1 2 1 1 x 1 x 1 x 1

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

3x 4

例求函数y= 值域。

5x 6

5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例求函数y=

x

e

x

e

2sin 1

1 sin

2sin 1的值域。

1 cos

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容

例求函数y=log3 x 12≤x≤10）的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例求函数y=x+ x 1 的值域。

8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数 y= x 2 的值域

x3

多种方法综合运用 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考 虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错 误，与到手的满分失之交臂

如： f x 1 e x x ，求 f(x).

13. 反函数存在的条件是什么？

(一一对应函数)

求反函数的步骤掌握了吗？

(①反解 x ；②互换 x 、y ；③注明定义域)

例：已知点 P (x.y )在圆 x 2+y 2=1 上，

(1) y

的取值范围 x2 (2)y-2 x 的取值范围

解:(1) 令 y

k,则y k(x 2),是一条过 (-2,0) 的直线 . x2

d R(d 为圆心到直线的距离 ,R 为半径 )

(2)

令y-2x b,即y 2x b 0,也是直线 d d

例求函数 y= (x 2)2 + (x 8)2 的值域。

例求函数 y=

6x 13 + x 2 4x 5 的值域

注：求两距离之和时，要将函数

9 、不等式法

利用基本不等式 a+b ≥2 ab ，a+b+c ≥3 3 abc (a ，b ，c ∈ R 和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例：

x 2

x

)，求函数的最值，其题型特征解析式是 =x

=x 2

(x

x

0)

33

x 2

x

应用公式

a+b+c

2(3-2x)(0

x (3-2x)

应用公式

abc

11

3

x x

3 3 abc 时，注意使

3 者的乘积变成常数)

x+3-2x 3

(

a b c )

3时，应注意使

3

3 者之和变成常数)