高中数学一对一讲义函数
教育高中数学一对一冲刺课程专题简介
高中数学一对一冲刺课程专题简介第一讲集合第二讲函数概念与基本初等函数(基础理论,重难点,高考考点)§2.1函数及其表示§2.2函数的基本性质§2.3一次函数和二次函数§2.4指数与指数函数§2.5对数与对数函数§2.6幂函数§2.7函数的图象§2.8函数的值域和最值§2.9函数的应用第三讲立体几何初步(基础理论,重难点,高考考点)§3.1空间几何体的结构、三视图和直观图§3.2空间几何体的表面积和体积§3.3点、线、面的位置关系§3.4直线、平面平行的判定与性质§3.5直线、平面垂直的判定与性质第四讲平面解析几何初步(基础理论,重难点,高考考点)§4.1直线方程和两条直线的位置关系§4.2圆的方程§4.3直线与圆、圆与圆的位置关系第五讲算法初步与框图(基础理论,重难点,高考考点)第六讲基本初等函数(基础理论,重难点,高考考点)§6.1三角函数的概念§6.2三角函数的图象和性质§6.3三角函数的最值与综合应用§6.4三角恒等变换§6.5解三角形第七讲平面向量(基础理论,重难点,高考考点)§7.1向量、向量的加法与减法、实数与向量的积§7.2向量的数量积和运算律、向量的应用第八讲数列(基础理论,重难点,高考考点)§8.1数列的概念及其表示§8.2等差数列及其前n项和§8.3等比数列的综合应用§8.4数列的综合应用第九讲不等式(基础理论,重难点,高考考点)§9.1不等关系与不等式§9.2一元二次不等式及其解法§9.3简单的线性规划§9.4基本不等式§9.5不等式的综合应用第十讲计数原理(基础理论,重难点,高考考点)§10.1排列与组合§10.2二项式定理第十一讲概率与统计(基础理论,重难点,高考考点)§11.1古典概型与几何概型§11.2概率§11.3统计与统计案例第十二讲常用逻辑用语(基础理论,重难点,高考考点)§12.1逻辑联结词与四种命题§12.2全称量词与存在量词§12.3充分条件和必要条件第十三讲圆锥曲线与方程(基础理论,重难点,高考考点)§13.1椭圆§13.2双曲线§13.3抛物线§13.4直线和圆锥曲线的位置关系§13.5求曲线方程§13.6圆锥曲线的综合问题第十四讲空间向量和立体几何(基础理论,重难点,高考考点)§14.1空间中的角§14.2空间向量在立体几何中的应用第十五讲导数及其应用(基础理论,重难点,高考考点)§15.1导数与积分§15.2导数的应用第十六讲推理与证明(基础理论,重难点,高考考点)§16.1合情推理与演绎推理§16.2直接证明和间接证明§16.3数学归纳法第十七讲数系的扩充与复数的引入(基础理论,重难点,高考考点)第十八讲几何证明选讲(基础理论,重难点,高考考点)第十九讲坐标系与参数方程(基础理论,重难点,高考考点)第二十讲不等式选讲(基础理论,重难点,高考考点)。
高中数学一对一讲义函数
高中数学函数知识点总结8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？()()例：函数的定义域是y x x x =--432lg()()()（答：，，，）022334Y Y函数定义域求法：● 分式中的分母不为零；● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一；●对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
●正切函数x y tan = ⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且●反三角函数的定义域函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
10. 如何求复合函数的定义域？[]如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_____________。
[]（答：，）a a -复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。
例 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。
11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
高三数学指对函数一对一讲义
XX教育，让每个孩子更优秀!XX教育学科教师辅导讲义组长签字：一、导入目录1、指数及指数运算2、指数函数及其性质3、对数及其运算性质4、对数函数及其性质5、指数与对数函数联系6、课堂习题与小结~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~二、课前自主学习回忆指数与对数函数的定义和相关性质~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~三、知识梳理+经典例题知识点一：指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n。
当n 是奇数时，a a nn =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a anmnm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r a ·sr r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 知识点二：指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(1≠>⎪⎭⎫⎝⎛=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．Nx a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2xN N a a x =⇔=log ；○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ；○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数b a ＝ N ⇔log a N ＝ b底数指数 对数 2、对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○2=NMalog Ma log －N a log ；○3 n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a bb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论数)1,0(≠>=a a a y x且中，x 是自变量，y 是函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞）；在对数函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域是（0，+∞），值域是R 。
高二数学一对一教案 函数(1)
教学内容 函数（1）教学目标熟练掌握函数的定义、定义域和值域、函数的单调性和奇偶性。
教学重、难点分析常考题型和解题方法。
考点梳理考点一：由函数的概念判断是否构成函数函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。
例1. 下列图像中，是函数图像的是（ ）① ② ③ ④ 例2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①22x y +=2 ②111x y -+-= ③y=21x x -+-A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个考点二：同一函数的判定函数的三要素：定义域、对应关系、值域。
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。
例3. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） A. y=x B. 2y x = C. ()2y x =D.y=t变式1.下列函数中哪个与函数32y x =-相同（ ）A. 2y x x =-B. 2y x x =--C. 32y x x =--D. 22y x x-= 变式2 下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）。
（A ）y=x 与y=2x （B ）y=xx 与y=x 0（C ）y=(x )2与y=|x| （D ）y=11-⋅+x x 与y=)1)(1(-+x x考点三：求函数的定义域OOOOX X X Xyyyy1、分式的分母≠0.2、偶次方根的被开方数≥0.3、零次幂或负指数幂的底数≠0.4、对数函数的真数＞0.5、指、对数函数的底数＞0且≠1.6、实际问题中函数的定义域 例4. 求函数()20.5log 43y x x =-的定义域例5. 函数()f x =3472+++kx kx kx 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 （ ）A ．0≤k <43B ．0<k <43C ．k <0或k >43D ．0<k ≤43变式1. 函数y=x111+的定义域是（ ）。
1对1教案讲义 函数的单调性与最值
个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：吕老师授课时间：2020 年8月30日(星期日) 姓名年级高三性别教学课题函数的单调性与最值教学目标1、掌握函数单调性的定义2、理解函数最值的概念3、掌握函数的单调性的应用，会求函数的最值重点难点重点：函数单调性难点：函数单调性的应用和函数的最值课前检查课堂教学过程1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值3.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(2)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．()(3)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．()(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．()(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．()(6)所有的单调函数都有最值．()(7)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．()(8)函数y＝|x|是R上的增函数．()(9)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．()(10)函数y＝1－x21＋x2的最大值为1.()考点一 求函数的单调性(区间)命题点1.求具体解析式的函数的单调性(区间)2.求解析式含参数的函数的单调性(区间)[方法引航] 判断函数单调性的方法(1)定义法：取值，作差，变形，定号，下结论.(2)利用复合函数关系：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”. (3)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调增；图象逐渐下降，单调减. (4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.[例1] (1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)(2)函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．(3)判断并证明函数f (x )＝axx 2－1(其中a ＞0)在x ∈(－1,1)上的单调性．1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝e －x B ．y ＝x C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |2．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( )A ．(－∞，0) B.⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞3．已知a ＞0，函数f (x )＝x ＋ax(x ＞0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二 利用函数的单调性求最值命题点1.求单调函数的最值2.求函数的值域[方法引航] 求函数最值的常用方法1单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；2图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；3基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；4导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；5m ＞f x 恒成立⇔m ＞f x max ；6m ＜f x 恒成立⇔m ＜f x min .[例2] (1)函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．(2)已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________.1． 定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．122．下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝1x 2＋1；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (x ≤0)，－1x (x ＞0).其中值域为R 的函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点三 函数单调性的应用 命题点 1.比较函数值的大小2.求字母参数3.解不等式[方法引航](1)利用单调性比较大小，首先把不在同一个单调区间上的变量转化为同一个单调区间，再结合单调性进行比较.(2)已知函数的单调性确定参数的值域范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.[例3] (1)已知f (x )＝x 2－cos x ，则f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小关系是( ) A ．f (0.6)＜f (0)＜f (－0.5) B ．f (0)＜f (－0.5)＜f (0.6) C ．f (0.6)＜f (－0.5)＜f (0) D ．f (－0.5)＜f (0)＜f (0.6)(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，那么a 的取值范围是________．1．若本例(1)中函数变为f (x )＝12x －sin x ，比较f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小．2．在本例(2)中，若f (x )不变且a ∈⎣⎡⎭⎫32，2.解不等式f (4a 2－2a －5)＜f (a ＋2)．第7页。
高三三角函数一对一讲义
XX教育，让每个孩子更优秀!XX教育学科教师辅导讲义组长签字：一、导入目录1、任意角的概念与弧度制2、任意角的三角函数3、三角函数的图像与性质4、三角恒等变换5、课堂习题与小结~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~二、课前自主学习复习学过的角度的知识~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}(360k k ︒∈}(180k k ∈}()90180k k Z +∈}()36090360k k k Z α︒︒+<<+∈ }()90360180360k k k Z α︒︒+<<+∈ }()180360270360k k k Z α︒︒+<<+∈ }()270360360360k k k Z α︒︒+<<+∈、区分第一象限角、锐角以及小于90的角}()36090360k k k Z α︒︒<<+∈}90 小于90的角：}90为第二象限角，那么2α为第几象限角？π+90120角030 45 60 90 120 135 150 180 2703604π 3π 2π 2 34π 5 π32πsin α tan α cos α 第一象限：0,0.>>y x sin α>0,cos α>0,tan α>0, 第二象限：0,0.><y x sin α>0,cos α<0,tan α<0, 第三象限：0,0.<<y x sin α<0,cos α<0,tan α>0, 第四象限：0,0.<>y x sin α<0,cos α>0,tan α<0, 4、三角函数线设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向 延长线交于点T.由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有（Ⅳ）（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）αα= cot1αcosα2sinαcosαsinααcos -，3、周期函数：一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，T 叫做该函数的周期.4、⑴)sin(ϕω+=x A y 对称轴：令2x k πωϕπ+=+，得ωϕππ-+=2k x对称中心：πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ，))(0,(Z k k ∈-ωϕπ；⑵)cos(ϕω+=x A y 对称轴：令πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ；对称中心：2ππϕω+=+k x ，得ωϕππ-+=2k x ，))(0,2(Z k k ∈-+ωϕππ；⑶周期公式:①函数sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+的周期ωπ2=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).②函数()φω+=x A y tan 的周期ωπ=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).5、三角函数的图像与性质表格sin y x =cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1- []1,1-R最值 当22x k ππ=+()k Z ∈时，当()2x k k Z π=∈时，既无最大值也无最小值函数 性 质8. 函数的变换： （1）函数的平移变换① 将图像沿轴向左（右）平移个单位 （左加右减）② 将图像沿轴向上（下）平移个单位 （上加下减）（2）函数的伸缩变换：① 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（缩短， 伸长）② 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（伸长，缩短） （3）函数的对称变换：)0)(()(>±=→=a a x f y x f y )(x f y =x a )0()()(>±=→=b b x f y x f y )(x f y =y b )0)(()(>=→=w wx f y x f y )(x f y =w 11>w 10<<w )0)(()(>=→=A x Af y x f y )(x f y =1>A 10<<AA ．第一象限角B ． 第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ）A ．1 B ． 2 C ．3 D ．25.（08安徽卷8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~五、归纳总结认真思考下列问题：1、通过本堂课的学习我收获了什么？在知识点标题上画“√”2、我还有哪些没有解决的困惑？ 在知识点标题上画“×”~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~六、课后作业1.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x2.（08广东卷5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数3.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32 D. －2，324.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是（ ） A.512π B.512π- C.1112π D.1112π-5.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin2xf x xx =+是（ ）A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数6.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．27.（08山东卷10）已知π4cos sin 365αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．235-B ．235C ．45-D ．458.（08陕西卷1）sin330︒等于（ ）A ．32-B ．12-C ．12D ．32。
函数的单调性一对一讲义
y4-21 1 x2-1 0 志强教育一对一讲义教师: 日期: 星期: 时段: 学生签字:______课 题函数的单调性学习目标1、理解函数单调性，能判断和证明函数在给定区间上的单调性；了解函数单调区间的概念，并能根据图象说出函数的单调区间；2、体会从特殊到一般,从具体到抽象,从感性到理性的数学思维方法.学习重点 函数单调性的概念和判断；利用函数单调性的定义判断函数的单调性。
学习方法讲练结合学 习 内 容 与 过 程1、直观感知定义：观察下列函数的图象,由学生讨论交流并回答下列问题（几何画板动态展示）问题1:这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）问题2:函数2()f x x =在区间 内y 随x 的增大而增大，在区间 内 y 随x 的增大而减小； 总结到一般情况下：在区间D 内在区间D 内图象图象特征 从左到右，图象上升 从左到右，图象下降 数量特征 y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 直观性定义单调递增函数单调递减函数o xy -11 12(2)()f x x=(1)()1f x x =+y2()f x 1()f x 01x 2x xyx2()f x1()f x1x 2x3ox说明直观性定义：称左边的函数在区间D 上单调递增函数，右边的函数则称为区间I 上单调递减函数。
由表知：图象在区间D 内呈上升趋势当x 的值增大时，函数值y 也增大区间内有两个点1x 、2x ，当21x x <时，有)()(21x f x f < 问题：若区间内有两点21x x <时，有)()(21x f x f <，能否推出()f x 是单调递：增函数？构造反例:2)(x x f =，]2,2[-=D ，1,221=-=x x 。
构造反例，动画演示，引导学生对自变量取值的“任意性”的深刻理解。
2、归纳定义定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为I:如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12x x 、，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是单调递增函数。
高中数学一对一教案 导数的概念及几何意义
教学内容导数的概念及几何意义教学目标1、了解导数的概念2、理解导数的几何意义，并由此求切线的方程3、掌握基本初等函数的导数公式和导数的运算法则教学重、难点 重点：函数导数的计算和导数的几何意义的应用。
难点：导数几何意义的应用扫清障碍1、若某个问题中的函数关系用()f x 表示，问题中的变化率用式子()()2121f x f x x x --fx ∆=∆表示，则式子()()2121f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率．2、函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是()()210021limlimx x f x f x fx x x∆→∆→-∆=-∆，则称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0x x y ='，即()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率是()0f x '，切线的方程为：()()()000y f x f x x x '-=-．若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =． 特别的，若质点运动的位移S 是时间t 的函数，则(),()S t v v t a ''==。
4、若当x 变化时，()f x '是x 的函数，则称它为()f x 的导函数（导数），记作()f x '或y '，即()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆5、基本初等函数的导数公式②求出函数在点0x 处的导数0()f x '得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率k,即0()k f x '=； ③利用点斜式写出切线方程并化简.变式练习：1.（2009江西卷理）设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12-2.已知函数3()f x x =的切线的斜率等于1，则切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定3.(11年全国理)曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．14．曲线2y x =在点P 处的切线斜率为1，则点P 的坐标为_________。
一次函数一对一辅导讲义
教学目标1．通过复习进一步掌握如下概念：函数的概念；一次函数的概念；一次函数与正比例函数的关系；确定一次函数表达式。
2、经历函数、一次函数（正比例函数）概念的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力。
重点、难点使学生进一步理解一次函数的概念，会熟练地运用待定系数法求一次函数的解析式。
考点及考试要求考点1：确定自变量的取值范围考点2：函数图象考点3：图象与坐标轴围成的面积问题考点4：求一次函数的表达式，确定函数值考点5：利用一次函数解决实际问题教学内容第一课时一次函数知识盘点一、主要知识点：一次函数的性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b（k≠0)（k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角)一次函数的图像及性质1．作法与图形：通过如下３个步骤（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道２点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。
4．k ，b 与函数图像所在象限： y=kx 时当k ＞0时，直线必通过一、三象限，y 随x 的增大而增大； 当k ＜0时，直线必通过二、四象限，y 随x 的增大而减小。
当b ＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线必通过原点,经过一、三象限 当b ＜0时，直线必通过三、四象限。
y=kx+b 时：当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，三象限。
二次函数一对一辅导讲义（1对1辅导精品）
二次函数一对一辅导讲义（1对1辅导精品）教学目标1、使学生理解二次函数的概念，学会列二次函数表达式和用待定系数法求二次函数解析式。
2、能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
重点、难点能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
考点及考试要求考点1：二次函数的有关概念考点2：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系考点3：二次函数在生活中的运用教学内容第一课时二次函数知识重要考点（1）考点1、二次函数的概念定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数注意点：（1）二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数a 必须为非零实数，即a ≠0，而b 、c 为任意实数。
（2）当b=c=0时，二次函数2ax y =是最简单的二次函数。
（3）二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数（c bx ax ++2为整式）典型例题：例1：函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．例2：已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．考点2、三种函数解析式：（1）一般式： y=ax2+bx+c （a ≠0），对称轴：直线x=ab 2- 顶点坐标：( a b ac a b 4422--， )（2）顶点式：()k h x a y +-=2（a ≠0），对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h ,k ）（3）交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）, 对称轴:直线x= 22x1x + (其中x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标).例1：抛物线822--=x x y 的顶点坐标为；对称轴是。
例2：二次函数y=-4（1+2x ）（x-3）的一般形式是。
1对1讲义函数概念及其表示
变式训练：1.已知函数. （1）求的值； （2）求函数的定义域（用区间表示）； （3）求的值.
2.已知函数，求、、的值.
3.求函数的定义域.
知识拓展 求函数定义域的规则： ① 分式：，则； ② 偶次根式：，则； ③ 零次幂式：，则.
课后作业 1. 求函数的定义域与值域.
2. 已知，. （1）求的值； （2）求的定义域； （3）试用x表示y.
学海教育一对一个性化辅导讲义
学员姓名 年级及科 目 课 题 授课时 间： 赵硕 高一数学 学校 教师 函数的概念及其表示法 18：30--20:30
1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖 关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语 言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 教学目标 2. 了解构成函数的要素； 3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合. 教学内容 【基础知识梳理】 一 函数定义. 设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集 合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么 称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：. 其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值 对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）. 试试： （1）已知，求、、、的值.
试试：判断ห้องสมุดไป่ตู้列函数与是否表示同一个函数，说明理由？
① = ； = 1. ② = x； = . ③ = x 2； = . ④ = | x | ；= . 当堂检测 1. 已知函数，则（ ）. A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 函数的定义域是（ ）. A. B. C. D. 3. 已知函数，若，则a=（ ）. A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 4. 函数的值域是 . 5. 函数的定义域是 ，值域是 .（用区间表示） 【考点解析】 一、定义域、值域的求法 （1）定义域求法（分式、根式、组合式）； （2）求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）. (3)求函数值域的常用方法有： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法. 例1已知函数. （1）求的值； （2）求函数的定义域（用区间表示）； （3）求的值.
掌门人一对一全套资料高一数学1-2 函数及其表示
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⑤换元法——运用代数或三角代换，将所给函数化 成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例 如：形如 y＝ax＋b± cx＋d(a、b、c、d 均为常数，且 a≠0) 的函数常用此法求解．
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⑥不等式法——利用基本不等式：a＋b≥2 ab(a、b ∈R＋)求函数的值域．用不等式法求值域时，要注意均值 不等式的使用条件“一正、二定、三相等”．
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(2)已知 f(x)的定义域是[a，b]，求 f[g(x)]的定义域， 是指满足 a≤g(x)≤b 的 x 的取值范围；已知 f[g(x)]的定 义域是[a，b]，求 f(x)的定义域，是指在 x∈ [a，b] 的条 件下，求 g(x)的值域．
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(3)实际问题或几何问题给出的函数的定义域：这类 问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问 题或几何问题有意义．
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2．函数 (1)定义 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关 系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有 唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A.其中，x 叫做 自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值
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②确定函数的映射是从定义域 A 到 B(值域 C⊆B)上 的映射，允许 A 中的不同元素在 B 中有相同的象，但不 允许 B 中的不同元素在 A 中有相同的原象，A 中任意元 素在 B 中都要有象，但 B 中元素可以在 A 中无原象，C 中元素在 A 中不能没有原象．
1对1辅导 高一复习学案函数2
定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质第一课时函数单调性和奇偶性●基础知识一、单调性1．定义：如果函数y＝f (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、<x2时，①都有，则称f (x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个；②都有，则称f (x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 .若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为 .2．判断单调性的方法：(1) 定义法，其步骤为：①；②；③ .(2) 导数法，若函数y＝f (x)在定义域内的某个区间上可导，①若，则f (x)在这个区间上是增函数；②若，则f (x)在这个区间上是减函数.（3）图像法；先做图像再根据图像判断。
（4）直接法：常用的结论二、单调性的有关结论1．一般的，如果f(x),g(x)在给定的区间上具有单调性，则可以得到如下结论。
①f(x),g(x)单调性相同时，f(x)+g(x)的单调性。
②f(x),g(x)单调性相反时，f(x)-g(x)的单调性与相同。
2．若f (x)为增(减)函数，则－f (x)为；3．互为反函数的两个函数有的单调性；4．复合函数y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f[g(x)]为，若f (x ), g(x )的单调性相反，则f [g(x )]为 .5．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 .6当1y f =（x ）恒为正或者恒为负时，函数y=与y=f(x)的单调性f （x) ；1．奇偶性：① 定义：如果对于函数 f (x )定义域内的任意x 都有 ，则称 f (x )为奇函数；若 ，则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x ) . ② 简单性质：1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.2） 函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2．判断奇偶性的方法：(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ . (2) 图像法；. （3）性质法；偶函数的和差积商（分母不为零） 奇函数的和差 奇数个奇函数的积、商为 偶数个奇函数的积、商为 （4）特殊值法：常用1,0●基础演练1.给出5个函数：①5()5f x x x =+；②421()x f x x -=；③()25f x x =-+；④=f ∈（x ）a(x R); ⑤(1),0=(1),0x x x f x x x -⎧⎨+⎩≥（x ）＜其中奇函数的有____；偶函数的有________；既不是奇函数也不是偶函数的有______．既是奇函数又是偶函数的是 2. 设函数()()()xa x x x f ++=1为奇函数，则实数=a ．3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A .R x x y ∈-=,3B .R x x y ∈=,sinC .R x x y ∈=,D .R x x y ∈=,)21(4. 函数223y x x =+-的单调增区间是 A (]--3∞，B ．[)-3+∞，C ．(]--1∞，D ．[)-1+∞，5 ()f x 已知是奇函数，g(x)是偶函数，且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于（ ） A.4 B.3 C.2 D.16 下列四个函数中，在区间（0，1）上是减函数的是（ ）A 2log y x =B ．13y x =C ．1()2xy =- D ．1y x=7 求下列函数的单调区间：（1）y=(226)21x x -+(2) =x+1f x -判断（x ）的单调性（3）32()31f x x x =-+函数的单调区间8.已知函数21()0()(1)f x x f x x f x>=+-=为奇函数，且当时，，则（ ） A.2 B.1 C.0 D.-29.已知偶函数[)()0+(2)0.(1)0,f x f f x x ∞=->在，上单调递减，若则的取值范围是 10 试讨论函数()2()=1,11kxf x x -≠-在上单调性，其中k 0.●拓展提高1、求下列函数的单调区间 （1）22=6969f x x x x -++++（x ） （2）2y=6x x +-2、6.福建7.设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是（ ）A ．)(x D 的值域为}1,0{B ．)(x D 是偶函数C ．)(xD 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数 3. (1)x x A A -函数y=在区间上是增函数，那么区间是（ ）A ()-0∞，B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[)0+∞，D ．1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，4.江苏10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ． 5..山东 3 设a ＞0 a ≠1 ，则“函数f(x)= a x 在R 上是减函数 ”，是“函数g(x)=(2-a) 3x 在R 上是增函数”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 6.上海7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 .7（2012年高考辽宁卷文科8）函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞） 8.(2012年高考全国卷文科2)函数1(1)y x x =+≥-的反函数为（A ）)0(12≥-=x x y （B ）)1(12≥-=x x y（C ）)0(12≥+=x x y （D ）)1(12≥+=x x y9. (2012年高考浙江卷文科16) 设函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f （x ）=x ＋1，则3f 2（）=_______________。
1对1教案讲义 导数与函数的单调性
个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：吕老师授课时间：2020 年10月18日(星期日)姓名年级高三性别教学课题导数与函数的单调性教学目标1、会求常用函数的导函数2、掌握导函数与函数单调性之间的关系3、能够用导数求函数的单调区间、导函数的综合应用重点难点重点：导函数与函数的单调性、单调区间；参变分离法难点：导函数的综合应用课前检查课堂教学过程函数的单调性与导数的关系条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)<0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是常数函数[提醒](1)利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；(2)对函数划分单调区间时，需确定导数等于零的点、函数的不连续点和不可导点；(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么单调区间之间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接；(4)区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．()[教材衍化]1．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－2，1)上f(x)是增函数B．在区间(1，3)上f(x)是减函数C．在区间(4，5)上f(x)是增函数D．当x＝2时，f(x)取到极小值2．函数f(x)＝e x－x的单调递增区间是________．3.函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________．利用导数判断或证明函数的单调性讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性．(2020·温州模拟)设函数f(x)＝x ln(ax)(a＞0)．设F(x)＝12f(1)x2＋f′(x)，讨论函数F(x)的单调性．求函数的单调区间(1)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)(2)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R)，求函数f (x )的单调区间．1．已知函数f (x )＝e xx －m .则函数y ＝f (x )在x ∈(m ，＋∞)上的单调递减区间为________，单调递增区间为________．2．设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，求函数f (x )的单调区间．利用导数研究函数单调性的应用(高频考点)利用导数根据函数的单调性(区间)求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考向，常以解答题的形式出现．主要命题角度有：(1)函数y ＝f (x )与y ＝f ′(x )图象的相互判定； (2)已知函数单调性求参数的取值范围； (3)比较大小或解不等式．角度一 函数y ＝f (x )与y ＝f ′(x )图象的相互判定(1)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )(2)设函数y ＝f (x )的图象如图，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )角度二 已知函数单调性求参数的取值范围(1)(2020·浙江省高中学科基础测试)若函数f (x )＝2x ＋ax(a ∈R)在[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[0，4]C ．(－∞，2]D ．(－∞，4](2)函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递减，则k 的取值范围是________．角度三 比较大小或解不等式(2020·宁波市效实中学月考)定义在R 上的函数f (x )的导函数是f ′(x )，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫1e (e 为自然对数的底数)，b ＝f (2)，c ＝f (log 28)，则a ，b ，c 的大小关系为________(用“＜”连接)．(1)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立列出不等式．②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题．③对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0，若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．(2)利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．[提醒](1)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(2)注意函数的单调区间与函数在某区间上具有单调性是不同的．设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－2)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＞0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________．一、x与f(x)的组合函数若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为________．二、e x与f(x)的组合函数已知f(x)(x∈R)有导函数，且∀x∈R，f′(x)>f(x)，n∈N*，则有()A．e n f(－n)<f(0)，f(n)>e n f(0)B．e n f(－n)<f(0)，f(n)<e n f(0)C．e n f(－n)>f(0)，f(n)>e n f(0)D．e n f(－n)>f(0)，f(n)<e n f(0)设a >0，b >0，e 是自然对数的底数，则( ) A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a >b B ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a <b C ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a >b D ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a <b[课堂基础训练]、1．函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)2．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0，2π)上的单调情况是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增3．(2020·台州市高三期末质量评估)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2＋x (a ∈R)，下列选项中不可能是函数f (x )图象的是( )4．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)5．函数f (x )的定义域为R.f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)12．(1)设函数f (x )＝x e 2－x ＋e x ，求f (x )的单调区间．(2)设f (x )＝e x (ln x －a )(e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28…)，若函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减，求a 的取值范围．[课后能力突破]1．(2020·丽水模拟)已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)．则下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )2．已知定义在R 上的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )．当x ≥0时，恒有x2f ′(x )＋f (－x )≤0，若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x )＜g (1－2x )的解集为( )A ．(13，1)B ．(－∞，13)∪(1，＋∞)C ．(13，＋∞)D ．(－∞，13)3.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜1的解集是________．4．已知函数f (x )＝x 3－3x ，函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程是________；函数f (x )在区间[0，2]内的值域是________．。
高等数学一对一辅导 教材
高等数学一对一辅导教材第一章推导与证明1.1 推理与直觉在学习高等数学过程中，我们经常会遇到一些公式和定理，这些公式和定理通常是通过推导和证明得出的。
本章将介绍一些常见的推导和证明方法，帮助学生培养推理和直觉能力。
1.2 数学归纳法数学归纳法是一种非常重要的证明方法，它常常用来证明一些数学结论成立。
本节将介绍数学归纳法的基本原理和应用，帮助学生掌握这种证明方法。
1.3 逻辑与命题逻辑是数学推理的基础，而命题是逻辑推理的基本单位。
本节将介绍逻辑的基本概念和方法，以及命题的性质和运算规则，帮助学生理解数学推理的基本原理。
第二章函数与极限2.1 函数的概念与性质函数是高等数学中一个非常重要的概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
本节将介绍函数的基本概念、性质和分类，帮助学生建立对函数的准确理解。
2.2 极限的定义与性质极限是函数研究的核心概念之一，它描述了函数在某一点趋于的值。
本节将介绍极限的定义、性质和计算方法，帮助学生掌握极限的概念和应用。
2.3 无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是极限研究中的重要概念，它们描述了函数在某一点的趋势。
本节将介绍无穷小量和无穷大量的定义和性质，帮助学生理解它们在函数研究中的作用。
第三章导数与微分3.1 导数的定义与性质导数是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点的变化率。
本节将介绍导数的定义、性质和计算方法，帮助学生掌握导数的概念和应用。
3.2 高阶导数与导数的几何应用高阶导数是导数的推广，它描述了函数变化的更高阶特性。
本节将介绍高阶导数的定义和计算方法，以及导数在几何中的应用，帮助学生深入理解导数的几何意义。
3.3 泰勒公式与导数的应用泰勒公式是函数在某一点展开的一种表示形式，它在函数近似计算和优化问题中有广泛应用。
本节将介绍泰勒公式的原理和应用，帮助学生掌握泰勒公式的使用方法。
第四章积分与微积分基本定理4.1 不定积分与定积分积分是导数的逆运算，它描述了函数在一定区间上的累积效应。
高中数学讲义：函数的极值
函数的极值一、基础知识：1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点（2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点Þ()0'0f x =说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点Þ导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点）5、求极值点的步骤：（1）筛选：令()'0f x =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
最新高一数学必修一函数讲义
第二章、函数第一节、函数一、函数1、函数的定义：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作()y f x =，x A ∈。
其中，x 叫做自变量，自变量的取值范围叫做函数的定义域。
所有函数值构成的集合，即(){},y y f x x A =∈叫做这个函数的值域。
2、检验两个给定的变量之间是否具有函数关系，需检验：（1）定义域和对应法则是否给出；（2）根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y 。
例1、下列图形中，能表示y 是x 的函数的是（ ）例2、下列等式中，能表示y 是x 的函数的是（ ）A. y =21y x =+C. y =y =3、如何判断函数的定义域：（1）分式的分母不能为零；（2）开偶次方根的被开方数要不小于零；（3）多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集； （4）函数0x 中x 不为零。
例3、求下列函数的定义域 （1）32()32xf x x-=+； （2）()f x =ABCD（3）20()(4)f x x =-； （4）1()2f x x =+例4、求下列函数值域（1）{}()21,1,2,3,4f x x x =+∈ （2）[]2()21,0,3f x x x x =--∈ （3）),1(,1)(+∞-∈=x xx f （4）[)21(),1,1x f x x x -=∈+∞+4、函数的3要素：定义域、值域和对应法则。
判断两个函数相同的依据就是函数的三要素完全相同。
注：在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。
例5、下列各对函数中，是相同函数的是 （ ）A.()()f x g x x ==B. (),()f x g x x ==C.()()f x g x x == D. (),()f x g x x ==5、区间：设a ，b ∈R ，且a ＜b ，满足a ≤x ≤b 的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[a,b]； 满足a ＜x ＜b 的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作﹙a,b ﹚；满足a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，分别记作[a,b ﹚或﹙a,b ]； 分别满足x ≥a,x ＞a,x ≤a,x ＜a 的全体实数的集合分别记作[a,﹢∞﹚,﹙a,﹢∞﹚,﹙﹣∞,a ], ﹙﹣∞,a ﹚。
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高中数学函数知识点总结8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？(定义域、对应法则、值域) 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备 )9. 求函数的定义域有哪些常见类型？x 4 x例：函数 y 2 的定义域是 (答： 0，22， 3 3，4 )lg x 3函数定义域求法：分式中的分母不为零； 偶次方根下的数(或式)大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一；对 数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
正切函数 y tanxx R, 且x k ,k2余切函数 y cotxx R,且x k ,k反三角函数的定义域函数 y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数 y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π，]当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时， 先分别求出满足每一个条件的自变量的范围， 再取他们的交集， 就 得到函数的定义域。
10. 如何求复合函数的定义域？复合函数定义域的求法：已知 y f ( x)的定义域为 m,n ，求 y f g(x) 的定义域，可由 m g(x) n 解出 x 的范围，即为 y f g(x) 的定义域。
例 若函数 y1f(x) 的定义域为,2 ，则 f (log 2 x) 的定义域为 。
211、函数值域的求法1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
1例 求函数 y= 的值域x函数 y ＝ arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数 y ＝ arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0,π) .如：函数 f (x)的定义域是 a ，b ， ba 0，则函数 F(x) f(x) f( x)的定义域是 ______________ 答： a ， a )2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y= x 2-2x+5 ，x [-1 ，2] 的值域。
3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂a . yb2型：直接用不等式性质k+x 2b. y bx2bx型, 先化简，再用均值不等式x 2 mx n例：x 1 1 yy1+x 2x+1 2xc .. y x2m x n型通常用判别式x 2 mx nx 2 mx nd. y型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉例：x 2 x 1 （x+1 ）2（x+1 ）+1 1y （x+1 ）1 2 1 1 x 1 x 1 x 14、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x 4例求函数y= 值域。
5x 65、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例求函数y=xexe2sin 11 sin2sin 1的值域。
1 cos6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数y=log3 x 12≤x≤10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例求函数y=x+ x 1 的值域。
8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数 y= x 2 的值域x3多种方法综合运用 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考 虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错 误，与到手的满分失之交臂如： f x 1 e x x ，求 f(x).13. 反函数存在的条件是什么？(一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗？(①反解 x ；②互换 x 、y ；③注明定义域)例：已知点 P (x.y )在圆 x 2+y 2=1 上，(1) y的取值范围 x2 (2)y-2 x 的取值范围解:(1) 令 yk,则y k(x 2),是一条过 (-2,0) 的直线 . x2d R(d 为圆心到直线的距离 ,R 为半径 )(2)令y-2x b,即y 2x b 0,也是直线 d d例求函数 y= (x 2)2 + (x 8)2 的值域。
例求函数 y=6x 13 + x 2 4x 5 的值域注：求两距离之和时，要将函数9 、不等式法利用基本不等式 a+b ≥2 ab ，a+b+c ≥3 3 abc (a ，b ，c ∈ R 和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例：x 2x)，求函数的最值，其题型特征解析式是 =x=x 2(xx0)33x 2x应用公式a+b+c2(3-2x)(0<x<1.5)x (3-2x)应用公式abc113x x3 3 abc 时，注意使3 者的乘积变成常数)x+3-2x 3(a b c )3时，应注意使33 者之和变成常数)1 x x 0 如：求函数f(x) 2的反函数x2x 0在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。
请看这个例题：(2004.全国理)函数y x 1 1(x 1) 的反函数是( B )A ．y=x2－2x+2(x<1) B．y=x2－2x+2(x≥1)C．y=x2－2x (x<1) D．y=x2－2x (x≥1)14. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y)2、反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x)3、反函数的图像和原函数关于直线=x 对称(难怪点( x,y )和点( y，x )关于直线y=x 对称①互为反函数的图象关于直线y＝x 对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；③设y f(x) 的定义域为A，值域为C，a A，b C，则f(a) =b f 1(b) af 1f(a) f 1(b) a，f f 1(b) f(a) b由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如41 (04. 上海春季高考)已知函数f(x) log3( _________ 2) ，则方程f 1(x) 4的解x .x15 . 如何用定义证明函数的单调性？(取值、作差、判正负) 判断函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：根据定义，设任意得x1,x 2，找出f(x 1),f(x 2) 之间的大小关系f(x1) f (x2 )的正负号或者f(x1)与1的关系x1 x2 f(x2)可以变形为求(2) 参照图象：①若函数f(x) 的图象关于点(a ，b)对称，函数f(x) 在关于点(a ，0)的对称区间具有相同的单调性； (特例：奇函数)②若函数f(x) 的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x) 在关于点(a ，0)的对称区间里具有相反的单调性。
(特例：偶函数)(3) 利用单调函数的性质：①函数f(x) 与f(x) ＋c(c 是常数) 是同向变化的②函数f(x) 与cf(x)(c 是常数)，当c>0 时，它们是同向变化的；当c<0 时，它们是反向变化的。
③如果函数f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数f1(x) ＋f2(x) 和它们同向变化； (函数相加)④如果正值函数f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数f1(x)f2(x) 和它们同向变化；如果负值函数f1(2) 与f2(x) 同向变化，则函数f1(x)f2(x) 和它们反向变化； (函数相乘)1⑥若函数 u ＝φ (x) ，x[ α， β]上复合函数 y ＝F[ φ(x)] (β) ，φ(α)] 反向变化，则在 [ ⑦若函数 y ＝f(x) 是严格单调的，则其反函数 x ＝f － 1(y) 也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
16. 如何利用导数判断函数的单调性？在区间 a ，b 内，若总有 f'(x) 0则f(x)为增函数。
(在个别点上导数等于注意如下结论：(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘 积是奇函数。
2)若f(x) 是奇函数且定义域中有原点，则 f(0) 0。
xf(x)a ·2x a 2为奇函数，则实数 a2x1判断函数奇偶性的方法 一、 定义域法 一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件 于原点对称，则函数为非奇非偶函数 .又如： f(x)为定义在 ( 1，1)上的奇函数，当 x (0，1)时， f(x)2x ，4x 1 ，求f(x) 在 1，1 上的解析式。
⑤函数 f(x) 与 1在 f(x) f (x)的同号区间里反向变化。
β]与函数 y ＝ F(u) ，u ∈ [ φ( α) ，φ( β )]或u ∈[ φ( β ), φ ( α )] 同向变化， 是递增的；若函数 u ＝φ (x),x[ α，β]与函数 y ＝F(u) ，u ∈[φ(α)，φ(β)] α，β ] 上复合函数 y ＝F[ φ(x)] 是递减的。
(同增异减) 则在[ α，或 u ∈[ φ如： 求 y log 1 x 2 2x 的2零，不影响函数的单调性)，反之也对，若 f'(x) 0呢？如：已知 a 0，函数 f(x) x 3 ax 在 1，上是单调增函数，则 a 的最大值是( )17. 函数 f(x) 具有奇偶性的必要(非充分)(f(x)定义域关于原点对称)条件是什么？若f( x) f(x) 总成立 f(x)为奇函数 函数图象关于原点对称 若f( x) f(x)总成立 f(x)为偶函数函数图象关于 y 轴对称如：若 .若函数的定义域不关奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算 f( x) ，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性复合函数奇偶性f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x) f(x)*g(x)奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 偶 非奇非偶 奇 偶 奇 偶 非奇非偶 奇 偶 偶偶偶偶，在定义域内总有 f x T f(x)，则 f(x)为周期函数， T 是一个周期。