高中数学一对一讲义——函数

高中数学函数知识点总结

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

()()

例：函数的定义域是

y x x x =

--432

lg

()()()（答：，，，）022334

函数定义域求法：

● 分式中的分母不为零；

● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一；

●

对

数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ●

正切函数

x y tan = ⎪⎭⎫

⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且

● 余切函数

x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且

●

反三角函数的定义域

函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，

函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

10. 如何求复合函数的定义域？

[]

如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0

义域是_____________。

[]

（答：，）a a -

复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解

出x 的范围，即为

[])(x g f y =的定义域。

例 若函数

)(x f y =的定义域为⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=

x

1的值域

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=2

x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。 3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

.1

12..2

22

2

2222

b

a y 型：直接用不等式性质

k+x bx

b. y 型,先化简，再用均值不等式

x mx n

x 1 例：y 1+x

x+

x

x m x n c y 型 通常用判别式

x mx n x mx n

d. y 型

x n

法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉

x x 1（x+1）（x+1）+1 1

例：y （x+1）1211

x 1x 1x 1

=

=++==≤''

++=++++=+++-===+-≥-=+++

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数y=6

54

3++x x 值域。

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例 求函数y=11+-x x e e ，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 1

1cos y θθ

-=+的值域。

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=+-2

5

x log

3

1-x （2≤x ≤10）的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。

例 求函数y=x+1-x 的值域。

8 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例：已知点P （x.y ）在圆x 2+y 2

=1上，

2

,(2),2

(,20, (1)

的取值范围 (2)y-2的取值范围

解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线. d 为圆心到直线的距离,R 为半径)

(2)令y-2即也是直线d d

y

x x y

k y k x x R d x b y x b R +==+-≤=--=≤

例求函数y=)

2(2

-x +

)

8(2

+x 的值域。

例求函数y=

1362

+-x x

+ 542

++x x

的值域

注：求两距离之和时，要将函数 9 、不等式法

利用基本不等式a+b ≥2

ab ，a+b+c ≥3abc 3（a ，b ，c ∈

R

+

），求函数的最值，其题型特征解析式是

和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例：

3

3

(

)1

3

()32x (3-2x)(0

x x+3-2x =x x (3-2x) (应用公式abc 时，应注意使3者之和变成常数）

a b c +⋅⋅≤=++≤ 倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

例 求函数y=

3

2

++x x 的值域

多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错

误，与到手的满分失之交臂

(

)

如：，求f

x e x f x x +=+1().

13. 反函数存在的条件是什么？

2

(0)113322x =x (应用公式a+b+c 者的乘积变成常数）

x x

x x +

>+

+≥=≥