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初中数学 第二章 二次函数综合题训练题型合集及答案

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中考数学 二次函数综合试题附详细答案

中考数学 二次函数综合试题附详细答案

中考数学 二次函数综合试题附详细答案一、二次函数1．如图，已知抛物线y =x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x =1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段PQ =34AB 时，求tan ∠CED 的值； ②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的函数表达式为y =x 2－2x －3．（2）直线BC 的函数表达式为y =x －3．（3）①23．①P 1（122），P 2（16，74）． 【解析】【分析】已知C 点的坐标，即知道OC 的长，可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长，即可得出B 点的坐标．已知了△AOC 和△BOC 的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO 与OB 的比．由此可求出OA 的长，也就求出了A 点的坐标，然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴− 221bb a-⨯＝＝1 ∴b=-2 ∵抛物线与y 轴交于点C （0，-3），∴c=-3，∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3；（2）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，当y=0时，x 2-2x-3=0．∴x1=-1，x2=3．∵A点在B点左侧，∴A（-1，0），B（3，0）设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，则033k mm＝＝+⎧⎨-⎩，∴13 km⎧⎨-⎩＝＝∴直线BC的函数表达式为y=x-3；（3）①∵AB=4，PQ=34 AB，∴PQ=3∵PQ⊥y轴∴PQ∥x轴，则由抛物线的对称性可得PM=32，∵对称轴是直线x=1，∴P到y轴的距离是12，∴点P的横坐标为−12，∴P（−12，−74）∴F（0，−74），∴FC=3-OF=3-74=54∵PQ垂直平分CE于点F，∴CE=2FC=5 2∵点D在直线BC上，∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），过点D作DG⊥CE于点G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CE-CG=52-1=32．在Rt△EGD中，tan∠CED=23 GDEG＝．②P1（2，-2），P2（6-52）．设OE=a，则GE=2-a，当CE为斜边时，则DG2=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），∴1=1×（2-a），∴a=1，∴CE=2，∴OF=OE+EF=2∴F、P的纵坐标为-2，把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：2或2∵点P在第三象限．∴P1（2-2），当CD为斜边时，DE⊥CE，∴OE=2，CE=1，∴OF=2.5，∴P和F的纵坐标为：-52，把y=-52，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-621+62∵点P在第三象限．∴P2（6-52）．综上所述：满足条件为P1（2-2），P2（6-52）．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．2．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【答案】（1）y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）当x ＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【解析】【分析】（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 即可求解；（2）由题意得：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，即可求解；（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，当x ＝13时，既能销售完又能获得最大利润．【详解】解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：2001530010k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：20500k b =-⎧⎨=⎩， 即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大，则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，当x ＝﹣2b a ＝312＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x＝15.5时，y＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；设：应定销售价为x元时，既能销售完又能获得最大利润w，由题意得：50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13，w＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），当x＝13时，w＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.3．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（2，﹣2）.【解析】【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标．（3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．【详解】解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得30 4233 a ba b--=⎧⎨+-=-⎩解得12 ab=⎧⎨=-⎩∴y＝x2﹣2x﹣3（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩∴y ＝﹣x ﹣1∴D （0，﹣1）（3）由C （0，﹣3），D （0，﹣1）可知CD 的垂直平分线经过（0，﹣2）∴P 点纵坐标为﹣2，∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣2解得：x ＝1±2，∵x ＞0∴x ＝1+2．∴P （1+2，﹣2）【点睛】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x ＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标，知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．4．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x 2+bx+c 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为172m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x 2+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)两排灯的水平距离最小是3．【解析】【详解】试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上所以41719326cb c=⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24bc=⎧⎨=⎩，所以21246y x x=-++所以，当62bxa=-=时，10ty=≦答：21246y x x=-++，拱顶D到地面OA的距离为10米（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））当x=2或x=10时，2263y=>，所以可以通过（3）令8y=，即212486x x-++=，可得212240x x-+=，解得12623,623x x=+=-1243x x-=答：两排灯的水平距离最小是43考点：二次函数的实际应用．5．如图，抛物线212222y x x=-++与x轴相交于A B，两点，（点A在B点左侧）与y轴交于点C.（Ⅰ）求A B，两点坐标.（Ⅱ）连结AC，若点P在第一象限的抛物线上，P的横坐标为t，四边形ABPC的面积为S.试用含t的式子表示S，并求t为何值时，S最大.（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，若点,G H 分别为抛物线及其对称轴上的点，点G 的横坐标为m ，点H 的纵坐标为n ，且使得以,,,A G H P 四点构成的四边形为平行四边形，求满足条件的,m n 的值.【答案】（Ⅰ）(A B ；（Ⅱ）2(2S t t =--+<<,当t =时，S =最大；（Ⅲ）满足条件的点m n 、的值为：34m n ==，或154m n ==-，或14m n == 【解析】【分析】（Ⅰ）令y=0，建立方程求解即可得出结论；（Ⅱ）设出点P 的坐标，利用S=S △AOC +S 梯形OCPQ +S △PQB ，即可得出结论；（Ⅲ）分三种情况，利用平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式建立方程组即可得出结论．【详解】解：（Ⅰ）抛物线21222y x x =-++，令0y =，则212022x x -++=，解得：x =x =∴((,A B（Ⅱ）由抛物线21222y x x =-++，令0x =，∴2y =，∴()0,2C ， 如图1，点P 作PQ x ⊥轴于Q ，∵P 的横坐标为t ，∴设(),P t p ，∴212,,22p t PQ p BQ t OQ t =-++===，∴()()11122222AOC PQB OCPQ S S S S p t t p =++=++⨯+⨯⨯V V 梯形 1122t pt pt t =++-=++21222t t ⎫=-+++⎪⎪⎭2t t =+<<，∴当2t =时，42S =最大；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，2t =， ∴)2,2P ，∵抛物线212222y x x =-++的对称轴为22x =， ∴设2122,2,222G m m m H n ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以,,,A G H P 四点构成的四边形为平行四边形，()2,0A ，①当AP 和HG 为对角线时， ∴()2112111222,20222222m m n ⎛⎛⎫=++=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴234m n ==， ②当AG 和PH 是对角线时， ∴(()2112112122,20222222m m n ⎛⎫=-++=+ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， ∴215,24m n ==-， ③AH 和PG 为对角线时， ∴(()2121112122,22022222m m n ⎛⎛⎫-=+-+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴3214m n ==， 即：满足条件的点m n 、的值为： 2324m n =-=，或5215,24m n ==-，或32124m n =-= 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，梯形的面积公式，平行四边形的性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．6．如图，抛物线y=﹣（x ﹣1）2+c 与x 轴交于A ，B （A ，B 分别在y 轴的左右两侧）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，已知A （﹣1，0）．（1）求点B ，C 的坐标；（2）判断△CDB 的形状并说明理由；（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ＜3）得到△QPE ．△QPE 与△CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形；(Ⅲ)22333(0)221933(3)222t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩. 【解析】【分析】（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标．（2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形． （3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段：①当0＜t≤32时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当32＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()21y x c =--+上， ∴()2011c =---+，得4c = ∴抛物线解析式为：()214y x =--+， 令0x =，得3y =，∴()0,3C ；令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B . (Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下： 由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4. 如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ， 则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中，由勾股定理得：22223332BC OB OC =+=+=； 在Rt CND ∆中，由勾股定理得：2222112CD CN DN =+=+=； 在Rt BMD ∆中，由勾股定理得：22222425BD BM DM =+=+=.∵222BC CD BD +=， ∴CDB ∆为直角三角形.(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+， ∵()()3,0,0,3B C ，∴303k b b +=⎧⎨=⎩，解得1,3k b =-=，∴3y x =-+，直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++； 设直线BD 的解析式为y mx n =+， ∵()()3,0,1,4B D ， ∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：2,6m n =-=，∴26y x =-+.连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中： (1)当302t <≤时，如答图2所示：设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-.设QE 与BD 的交点为F ，则：263y x y x t =-+⎧⎨=-++⎩. 解得32x t y t =-⎧⎨=⎩，∴()3,2F t t -.111222QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=⋅-⋅-⋅ ()221113333232222t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当332t <<时，如答图3所示：设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J . ∵CQ t =，∴KQ t =，3PK PB t ==-.直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-， ∴(),62J t t -.1122PBJ PBK S S S PBPJ PB PK ∆∆=-=⋅-⋅ ()()()211362322t t t =---- 219322t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：2233302219333222t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.7．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ，交x 轴正半轴于点C ． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值及此时动点M 的坐标；（3）将点A 绕原点旋转得点A ′，连接CA ′、BA ′，在旋转过程中，一动点M 从点B 出发，沿线段BA ′以每秒3个单位的速度运动到A ′，再沿线段A ′C 以每秒1个单位长度的速度运动到C 后停止，求点M 在整个运动过程中用时最少是多少？【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）S 与m 的函数表达式是S ＝252m m--，S 的最大值是258，此时动点M 的坐标是（52，74）；（3）点M 82秒． 【解析】 【分析】（1）首先求出B 点的坐标，根据B 点的坐标即可计算出二次函数的a 值，进而即可计算出二次函数的解析式;（2）计算出C 点的坐标，设出M 点的坐标，再根据△ABM 的面积为S ＝S 四边形OAMB ﹣S △AOB ＝S △BOM +S △OAM ﹣S △AOB ，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可. （3）首先证明△OHA ′∽△OA ′B ，再结合A ′H +A ′C ≥HC 即可计算出t 的最小值. 【详解】（1）将x ＝0代入y ＝﹣3x +3，得y ＝3， ∴点B 的坐标为（0，3），∵抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ， ∴3＝a +4，得a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）将y ＝0代入y ＝﹣x 2+2x +3，得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∴点C 的坐标为（3，0），∵点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，点M 的横坐标为m ， ∴0＜m ＜3，点M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3）， 将y ＝0代入y ＝﹣3x +3，得x ＝1， ∴点A 的坐标（1，0）， ∵△ABM 的面积为S ，∴S ＝S 四边形OAMB ﹣S △AOB ＝S △BOM +S △OAM ﹣S △AOB ＝()2123313222m m m ⨯-++⨯⨯+-， 化简，得S ＝252m m --＝21525228m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，∴当m ＝52时，S 取得最大值，此时S ＝258，此时点M 的坐标为（52，74）， 即S 与m 的函数表达式是S ＝252m m--，S 的最大值是258，此时动点M 的坐标是（52，74）； （3）如右图所示，取点H 的坐标为（0，13），连接HA ′、OA ′， ∵∠HOA ′＝∠A ′OB ，13OH OA '=，13OA OB '=， ∴△OHA ′∽△OA ′B ，∴3BA A H''=， 即3BA A H ''=，∵A′H+A′C≥HC＝2218233⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴t≥82，即点M在整个运动过程中用时最少是82秒．【点睛】本题主要考查抛物线的性质，关键在于设元，还有就是（3）中利用代替法计算t的取值范围，难度系数较大，是中考的压轴题.8．如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

九年级数学上册第二单元《二次函数》测试卷(含答案解析)

九年级数学上册第二单元《二次函数》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象大致如图所示，下列说法： ①2a +b ＝0；②当﹣1＜x ＜3时，y ＜0；③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2； ④9a +3b +c ＝0， 其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①④C ．①②③D ．③④2．对于二次函数()()2140y ax a x a =+->，下列说法正确的是（ ） ①抛物线与x 轴总有两个不同的交点；②对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点； ③若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<； ④当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤ A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④3．某同学在利用描点法画二次函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）的图象时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ，如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y…﹣3﹣13…）A ．03x y =⎧⎨=-⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．30x y =⎧⎨=⎩D ．43x y =⎧⎨=⎩4．设函数()()12y x x m =--，23y x=，若当1x =时，12y y =，则（ ） A ．当1x >时，12y y < B ．当1x <时，12y y > C ．当0.5x <时，12y y <D ．当5x >时，12y y >5．将抛物线22y x =平移，得到抛物线22(4)1y x =-+，下列平移方法正确的是（ ） A ．先向左平移4个单位，在向上平移1个单位 B ．先向左平移4个单位，在向下平移1个单位 C ．先向右平移4个单位，在向上平移1个单位D ．先向右平移4个单位，在向下平移1个单位6．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象中，对称轴是直线1x =，王刚同学观察得出了下面四条信息：①1c >；②若()12,y ，()24,y 是抛物线上两点，则12y y >；③420a b c -+<；④方程20ax bx c ++=的两根是11x =-，23x =．其中说法正确的有（ ）A ．①②③④B ．②④C ．①②④D ．①③④7．若()14,A y -，()21,B y -，()30,C y 为二次函数2(2)3y x =-++的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y <=B ．312y y y =<C ．312 y y y <<D ．123y y y =<8．已知二次函数22(0)y ax bx a =--≠的图象的顶点在第四象限，且过点(1,0)-，当-a b 为整数时，ab 的值为( )A ．34或1 B ．14或1 C ．34或12D ．14或129．已知抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表，给出下列结论：①抛物线y =ax 2+bx +c 经过原点；②2a +b =0；③当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2；④若点P （m ，n ）在该抛物线上，则am 2＋bm ≤a +b ．其中正确结论的个数是（ ） x … ﹣1 0 1 2 3 … y…3﹣13…A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．抛物线2(3)y a x k =++的图象如图所示．已知点()15,A y -，()22,B y -，()36.5,C y -三点都在该图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．231y y y >>11．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP 总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP 总 值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A ．7.9(12)y x =+B ．27.9(1)y x =-C ．27.9(1)y x =+D ．27.97.9(1)7.9(1)y x x =++++12．抛物线2288y x x =-+-的对称轴是（ ） A ．2x =B ．2x =-C ．4x =D ．4x =-二、填空题13．将抛物线2yx 向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是__________．14．已知函数y ＝ax 2﹣（a ﹣1）x +1，当0<x <2时，y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是_____．15．抛物线23y x =先向上平移1个单位，再向左平移1个单位，所得的抛物线为________16．二次函数2y ax bx c =++的图象经过(1,0)A ，对称轴为1x =-，其图像如图所示，则化简2244||b bc c a b c +++-+的结果为___________．17．已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，P 为抛物线上一点，且1APB S ∆=，则P 的坐标为_______．18．若123(4,),(1,),(1,)A y B y C y --为二次函数245y x x =-+的图象上的三点，则123,,y y y 的大小关系为__________．19．二次函数2y x bx =+的对称轴为直线2x =，若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=（t 为实数）在1-＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是________．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点．若顶点C 到x 轴的距离为6，则线段AB 的长为______．三、解答题21．已知抛物线23y ax bx =++经过点()3,0-，()2,5-．求此抛物线的解析式． 22．某商店销售一种商品，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；如果调整价格，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．已知该商品的进价为每件50元．（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．23．某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设每件涨价(0)x x ≥元．（1）写出一周销售量y （件）与x （元）的函数关系式．（2）设一周销售获得毛利润w 元，写出w 与x 的函数关系式，并确定当x 在什么取值范围内变化时，毛利润w 随x 的增大而增大．（3）超市扣除销售额的20%作为该商品的经营费用，为使得纯利润（纯利润=毛利润－经营费用）最大，超市对该商品售价为______元，最大纯利润为______元．24．如图已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为S ． ①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．25．如图①，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A 、()1,0B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线23y ax bx =++的解析式；（2）如图②，连接AC ，点E 是第一象限内抛物线上的动点，过点E 作EF AC ⊥于点F ，//EG y 轴交AC 于点G ，求EFG 面积的最大值及此时点E 的坐标；（3）如图③，若抛物线的顶点坐标为点D ，点P 是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使得以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．26．已知抛物线的顶点为()1,4-，且过点()2,5-． （1）求抛物线的解析式；（2）当0y >时，自变量x 的取值范围是______（直接写出结果）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①由图示知，对称轴是直线x ＝3122ba-=-，则2a+b ＝0，故说法正确； ②由图示知，当﹣1＜x ＜3时，y ＜0，故说法正确；③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当1＜x 1＜x 2时，y 1<y 2，故说法错误；④由图示知，当x ＝3时，y ＝0，即9a+3b+c ＝0，故说法正确．综上所述，正确的说法是①②④． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．2．B解析：B 【分析】①由y=0，一元二次方程()214=0ax a x +-，判别式()2=14a ∆-=0即可判断①；②抛物线中c=0，恒过原点，当x=4，函数值为4即可判断②；③抛物线对称轴为：122x a =-当11222a<-<时，解得102a <<，求出12a >即可判断③；④0a >，对称轴为：1222x a=-<，由抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大即可判断④． 【详解】①由y=0，()214=0ax a x +-，()2=14a ∆-，当1=04a >时，()2=14=0a ∆-有一个交点，为此抛物线与x 轴总有两个不同的交点不正确；②由()()2140y ax a x a =+->中c=0，抛物线恒过原点（0，0），当x=4，()4=1166144416y a a a a ⨯-=++=-，抛物线恒过（4，4），为此对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点正确； ③()()2140y ax a x a =+->对称轴为：1441122222b a a x a a a a--=-=-==-， 当11222a<-<时，解得102a <<，∴12a >， 为此当12a >，若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<正确； ④()()2140y ax a x a =+->对称轴为：122x a=-， ∵0a >，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大， 由此1222x a=-≤， 解得10a>即0a >，为此当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤不正确． 故选择：B ． 【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线过定点，抛物线的对称轴，抛物线的增减性等问题，掌握抛物线的性质以及一元二次方程根的判别式是解题关键．3．A解析：A 【分析】根据二次函数的对称性知：抛物线的对称轴为直线x ＝2，且抛物线的开口向上，由此确定答案． 【详解】∵x ＝1和x ＝3时，y ＝0； ∴抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∴顶点坐标为（2，﹣1）， ∴抛物线的开口向上，∴x ＝0和x ＝4的函数值相等且大于0， ∴x ＝0，y ＝﹣3错误． 故选：A ． 【点睛】此题考查抛物线的对称性，抛物线的性质，读懂表格掌握二次函数的对称性解决问题是解题的关键．4．D解析：D 【分析】当y 1＝y 2，即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x，把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3，则m ＝4，画出函数图象即可求解． 【详解】 解：当y 1＝y 2， 即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x， 把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3， ∴m ＝4，∴y 1＝（x ﹣2）（x ﹣4）， 抛物线的对称轴为：x ＝3，如下图：设点A 、B 的横坐标分别为1，5，则点A、B关于抛物线的对称轴对称，从图象看在点B处，即x＝5时，y1＞y2，故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．5．C解析：C【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．【详解】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x-4）2+1的顶点坐标为（4，1），而点（0，0）先向右平移4个单位，再向上平移1个单位可得到点（4，1），所以抛物线y=2x2先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=2（x+4）2+1．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．6．A解析：A【分析】由OC与OA的大小对①进行判断；利用二次函数的性质对②进行判断；利用x=-2时，y ＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可对④进行判断．【详解】∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，且OC＞1，∴c＞1，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（2，y1）到直线x=1的距离小于点（4，y2）到直线x=1的距离相等，∴y1＞y2，所以②正确；∵x=-2时，y＜0，∴4a-2b+c ＜0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0）， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），∴方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3，所以④正确． 故选：A ． 【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是熟记二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．7．B解析：B 【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向下，对称轴为2x =-，故点()14,A y -与点()30,C y 关于对称轴对称，即13y y =，再根据点()21,B y -与点()30,C y 在对称轴右侧，y 随x 增大而减小即可得出结论． 【详解】解：二次函数2(2)3y x =-++的图象开口向下，对称轴为2x =-， ∴点()14,A y -与点()30,C y 关于对称轴对称， ∴13y y =，∵点()21,B y -与点()30,C y 在对称轴右侧，y 随x 增大而减小， ∴23y y >， ∴312y y y =<， 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数的性质，根据二次函数解析式得到对称轴是解题的关键．8．A解析：A 【分析】由题意易得20a b +-=，且0,0a b >>，则有当x=1时，y<0，即20a b --<，进而可得22a b -<-<，然后由-a b 为整数，则有1a b -=或0或-1，最后求解即可． 【详解】解：∵二次函数()220y ax bx a =--≠的图象的顶点在第四象限，且过点()1,0-，∴20a b +-=，且0,0a b >>，当x=1时，y<0，即20a b --<，∴2a b +=，且0,2a a b >-<， ∴02,02a b <<<<， ∴22a b -<-<， ∵-a b 为整数，∴1a b -=或0或-1，若1a b -=时，则有31,22a b ==，从而34ab =；若0a b -=时，则有1,1a b ==，从而1ab =；若1a b -=-时，则有13,22a b ==，从而34ab =；故选A ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．9．B解析：B 【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【详解】解：由表格数据可知：当x=0时，y=0，∴抛物线y =ax 2+bx +c 经过原点；①正确；抛物线对称轴为：直线0212x +==，即12b a-=，∴2a +b =0，②正确； 当y=0时，x=0或x=2且抛物线顶点坐标为（1，-1）∴抛物线开口向上，当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2；③正确 由以上分析可知当x=1时，y 取得最小值为a+b+c若点P （m ，n ）在该抛物线上，则am 2＋bm+c≥a+b+c ．即am 2＋bm≥a+b ，④错误 故选：B 【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．C解析：C 【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x=-3，图象开口向下；根据二次函数图象的对称性，利用在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，可判断y 2>y 1>y 3． 【详解】由二次函数y =a (x +3)2+k 可知对称轴为x =−3，根据二次函数图象的对称性可知，()22,B y -与2(4,)D y -对称，∵点()15,A y -，()36.5,C y -， 2(4,)D y -)在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大， ∵-4>-5>-6.5，∴y 2>y 1>y 3，故选C.【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性.11．C解析：C【分析】根据平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，第三季度季度GDP 总值约为7.9（1+x ）元，第四季度GDP 总值为7.9（1+x ）2元，则函数解析式即可求得．【详解】解：设平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是：y=7.9（1+x ）2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 12．A解析：A【分析】利用抛物线对称轴公式求解即可．【详解】解：∵2288y x x =-+-，∴对称轴为直线x=-822(2)=⨯-， 故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据二次函数图象左加右减上加下减的平移规律进行求解【详解】解：将抛物线y=x2向上平移1个单位再向左平移2个单位后得到的抛物线y=（x+2）2+1此时抛物线顶点坐标是（-21）故答案为：（-解析：()2,1-【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【详解】解：将抛物线y=x 2向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线y=（x+2）2+1．此时抛物线顶点坐标是（-2，1）．故答案为：（-2，1）．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．14．【分析】分a ＜0a=0及a ＞0三种情况考虑：当a ＜0时利用二次函数的性质可得出﹣≥2解之可得出a 的取值范围；当a=0时原函数为一次函数y=x+1由一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大进而可得出a= 解析：113a -≤≤ 【分析】分a ＜0，a=0及a ＞0三种情况考虑：当a ＜0时，利用二次函数的性质可得出﹣()12a a --≥2，解之可得出a 的取值范围；当a=0时，原函数为一次函数y=x+1，由一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大，进而可得出a=0符合题意；当a ＞0时，利用二次函数的性质可得出，﹣()12a a --≤0，解之可得出a 的取值范围．综上此题得解． 【详解】解：根据题意得：当a ＜0时，﹣()12a a --≥2， 解得：﹣13≤a ＜0； 当a ＝0时，原函数为一次函数y ＝x +1，∵1＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴a ＝0符合题意；当a ＞0时，﹣()12a a --≤0， 解得：a ≤1．综上所述：a 的取值范围是﹣13≤a ≤1， 故答案为﹣13≤a ≤1． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，分a ＜0，a=0及a ＞0三种情况，找出a 的取值范围是解题的关键．15．【分析】根据二次函数的平移规律上加下减左加右减即可求解【详解】解：抛物线先向上平移1个单位再向左平移1个单位所得的抛物线为故答案为：【点睛】本题考查抛物线的平移掌握二次函数的平移规律上加下减左加右减解析：()2311y x =++【分析】根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．【详解】解：抛物线23y x =先向上平移1个单位，再向左平移1个单位，所得的抛物线为()2311y x =++，故答案为：()2311y x =++．【点睛】本题考查抛物线的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键． 16．【分析】根据二次函数的性质及绝对值的非负性二次根式的性质求解即可【详解】解：观察图象得：a<0c>0把A(10)代入得a+b+c=0∴c=-a-b ∵=-1∴b=2a<0∴c=-a-2a=-3a>0∴解析：2a b c -+-【分析】根据二次函数的性质及绝对值的非负性，二次根式的性质求解即可．【详解】解：观察图象得：a<0，c>0，把A(1，0)代入2y ax bx c =++得a+b+c=0，∴c= -a-b ， ∵2b a -= -1，∴b=2a<0，∴c=-a-2a=-3a>0，∴2b+c=4a-3a=a<0，a-b+c=a-2a-3a=-4a>0，∴||a b c -+=a b c -+=-(2b+c)+a-b+c=-2b-c+a-b+c= -3b+a=-5a ，故答案为-5a ．【点睛】本题考查了二次函数的性质及绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．17．(2-1)或（2-1）或（2+1）【分析】当y=0时求得x 的值确定AB 的长设点P 坐标为根据三角形面积公式列方程求解即可【详解】解：当y=0时解得：∴AB=2设点P 坐标为∴∴当时解得x=2此时P 点坐标解析：(2，-1)或（1），或（，1）．【分析】当y=0时，求得x 的值，确定AB 的长，设点P 坐标为2(,43)x x x -+，根据三角形面积公式列方程求解即可．【详解】解：当y=0时，243=0x x -+解得：121,3x x ==∴AB=2设点P 坐标为2(,43)x x x -+， ∴214312APB S AB x x ∆=-+= ∴2431x x -+=当2431x x -+=-时，解得x=2，此时P 点坐标为(2，-1)当2431x x -+=时，解得122x x =P 点坐标为（，1），或（，1）综上，P 的坐标为：(2，-1)或（1），或（，1）故答案为：(2，-1)或（，1），或（，1）．【点睛】本题考查二次函数与图形，利用数形结合思想列方程求解是解题关键．18．【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式再根据二次函数的增减性即可得【详解】二次函数化成顶点式为由二次函数的性质可知当时y 随x 的增大而减小点在此二次函数的图象上且故答案为：【点睛】本题考查二次函数的顶 解析：123y y y >>【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，再根据二次函数的增减性即可得．【详解】二次函数245y x x =-+化成顶点式为22()1y x =-+，由二次函数的性质可知，当2x ≤时，y 随x 的增大而减小，点123(4,),(1,),(1,)A y B y C y --在此二次函数的图象上，且4112-<-<<， 123y y y ∴>>，故答案为：123y y y >>．【点睛】本题考查二次函数的顶点式和增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．19．-4≤t<5【分析】先由对称轴求b 的值则二次函数关于的一元二次方程（为实数）在＜＜的范围内有解△=16+4t≥0在＜＜在x=-1时y=5当x=4时y=0用y=t 与有交点t 的范围即可求出【详解】∵二次解析：-4≤t<5．【分析】先由对称轴求b 的值，则二次函数2-4y x x =，关于x 的一元二次方程240x x t --=（t 为实数）在1-＜x ＜4的范围内有解，△=16+4t≥0，在1-＜x ＜4()22-424y x x x ==--在x=-1时，y=5，当x=4时，y=0，用y=t 与()22-424y x x x ==--有交点，t 的范围即可求出．【详解】∵二次函数2y x bx =+的对称轴为直线2x =， ∴222b b x a =-=-=， ∴b =-4，∴二次函数2-4y x x =，∵关于x 的一元二次方程240x x t --=（t 为实数）在1-＜x ＜4的范围内有解， ∴△=16+4t≥0，∴t≥-4，∵()22-424y x x x ==--，在x=-1时，y=5，当x=4时，y=0， ∴y=t 与()22-424y x x x ==--有交点，t 满足条件为-4≤t<5， 则t 的取值范围是-4≤t<5．故答案为：-4≤t<5．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质，与一元二次方程的解的条件，利用对称轴会求b 的值，关于x 的一元二次方程240x x t --=（t 为实数）有解，会用△=16+4t≥0，会用y=t 与()22-424y x x x ==--有交点，求t 满足条件是解决问题的关键．20．2【分析】先确定抛物线的解析式令得到AB 两点的坐标即可得到结果；【详解】∵抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 顶点C 到x 轴的距离为6∴化二次函数解析式为顶点式为：∴令得解得：∵抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 与解析：【分析】先确定抛物线的解析式，令0y =，得到A ，B 两点的坐标，即可得到结果；【详解】∵抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 顶点C 到x 轴的距离为6，∴化二次函数解析式为顶点式为：()226y x h =--+， ∴令0y =，得()2260x h --+=，解得：1x h =+2x h =-，∵抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，∴()A h +，()B h -，∴(AB h h =+--=故答案是【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点，准确分析计算是解题的关键．三、解答题21．223y x x =--+【分析】将点3,0，2,5代入抛物线23y ax bx =++解方程组求出b 、c 的值即可得答案．【详解】 由题意得，93304235a b a b -+=⎧⎨++=-⎩ 解得，12a b =-⎧⎨=-⎩， 则二次函数的解析式为223y x x =--+．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，把抛物线上的点的坐标代入解析式确定字母的值是解题关键．22．（1）当每件商品的售价为64元时，该商品每天的销售数量为160件；（2）当每件商品的售价为65元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为2250元．【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答； （2）根据等量关系“利润=（售价-进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．【详解】解：()1当每件商品的售价为64元时，该商品每天的销售数量为()200106460160-⨯-=（件）.()2设每件商品的售价为x 元，销售该商品每天获得的利润为W ，则()()502001060W x x ⎡⎤=---⎣⎦221013004000010(65)2250x x x =-+-=--+，∵100-<，∴当65x =时，W 取得最大值，最大值为2250.答：当每件商品的售价为65元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为2250元．【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．23．（1）50010y x =-；（2）2104005000w x x =-++，当020x ≤≤时，毛利润w 随x 的增大而增大；（3）75，5000．【分析】（1）根据每件涨价x 元，每周销量就减少10x 件即可得；（2）根据“毛利润=（每件的售价-每件的成本）⨯销售量”可得w 与x 的函数关系式，再根据二次函数的性质即可得；（3）设一周销售获得的纯利润为Q 元，先根据纯利润的计算公式求出Q 与x 的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．【详解】（1）由题意，每件涨价x 元，每周销量就减少10x 件，则50010y x =-；（2）由题意得：(5040)(10)(50010)w x y x x =+-=+-，整理得：2104005000w x x =-++，将此二次函数的解析式化成顶点式为210(20)9000w x =--+，由二次函数的性质可知，当020x ≤≤时，毛利润w 随x 的增大而增大；（3）设一周销售获得的纯利润为Q 元，则220%(50)1040050000.2(50)(50010)Q w x y x x x x =-+=-++-+-， 整理得：28400Q x x =-+，即28(25)5000Q x =--+，由二次函数的性质可知，当25x =时，Q 取得最大值，最大值为5000，则此时该商品售价为50502575x +=+=（元），故答案为：75，5000．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．24．（1）2y x 2x 3=-++；（2）①23922S t t =-+；②最大值928，此时P 坐标315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由点A 、B 坐标，利用待定系数法求解抛物线的表达式即可；（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，设点P 坐标为(t ，223t t -++)，由PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形即可表示出S 关于t 的函数表达式；②由于BC 为定值，所以点P 到直线BC 的距离最大时即为S 最大，根据二次函数的性质求出S 的最大值，利用勾股定理求出线段BC 的长，再利用等面积法求出点P 到直线BC 的距离的最大值，进而可求出此时的点P 坐标．【详解】解：（1）将点A （﹣1，0）、B （3，0）代入2y x bx c =-++中，得：10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴，抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++；（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，如图，当x=0时，y=3，∴C （0，3），OC=3，∵点P 的坐标为（t ，223t t -++）且点P 在第一象限，∴PH=223t t -++，OH=t ，BH=3﹣t ，∴PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形=22111(233)(3)(23)33222t t t t t t ⋅-+++⋅+⋅-⋅-++-⨯⨯ =23922t t -+， ∴S 关于t 的函数关系式为S=23922t t -+(t ＞0)； ②由S=23922t t -+= 23327()228t --+，且32-＜0，得： 当t= 32时，S 有最大值，最大值为278，∵OB=3，OC=3，∴=∵当t=32时，223t t -++=23315()23224-+⨯+= ∴点P 到直线BC2728⨯=，此时，点P 的坐标为（32，154）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推理、探究和计算．25．（1）2y x 2x 3=-++；（2）最大面积8164，315,24E ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）()1,4P -或 21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或(1,4+或(1,4-【分析】（1）把A,B 坐标代入即可求解；（2）先求出直线AC 解析式，证明△EFG 是等腰直角三角形，再得到当EG 最大时，EFG 面积的最大故可列出EG 关于x 的二次函数，即可求解；（3）根据菱形的性质作图，分情况讨论即可求解．【详解】（1）把()3,0A 、()1,0B -代入23y ax bx =++得093303a b a b =++⎧⎨=-+⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为2y x 2x 3=-++；（2）令x=0，解得y=3∴C （0,3）设直线AC 解析式为y=mx+n ，把()3,0A ，C （0,3）代入得033m n n =+⎧⎨=⎩解得13n n =-⎧⎨=⎩∴直线AC 解析式为y=-x+3，∵CO=OA∴△AOC 是等腰直角三角形，∴∠ACO=45°∵//EG y∴∠FGE=45°∵EF AC ⊥∴△EFG 是等腰直角三角形，∴EF=FG,EG 2=EF 2+FG 2=2EF 2∴S △EFG =12EF×FG=12EF 2=14EG 2 ∴当EG 最大时，EFG 面积的最大设E （x, 223x x -++）则G （x ，-x+3）∴EG=（223x x -++）-（-x+3）=-（x-32）2+94 ∴当x=32，EG 最大值为94，故此时EFG 最大面积为14×（94）2=8164，315,24E ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）如图①AD=DP 时，∵2y x 2x 3=-++=-（x-1）2+4∴D （1,4）又A （3,0）∴==DP∴P 1(1,4+,P 2(1,4-②DP=AP 时设P （1，y ）∵DP 2=AP 2，A （3,0）∴（4-y ）2=（3-1）2+（0-y ）2解得y=23 ∴P 321,3⎛⎫ ⎪⎝⎭③当AD=AP 时，设P （1，y ）∵AD 2=AP 2，A （3,0）∴（2=（3-1）2+（0-y ）2解得y=-4（4舍去）∴P 4()1,4-综上，P 点坐标为()1,4P -或 21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或 (1,4+或(1,4-．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质、等腰直角三角形及菱形的性质．26．（1）()214y x =--或223y x x =--； （2）1x <-或3x >【分析】（1）直接利用顶点式求出二次函数解析式即可；（2）首先求出图象与x 轴交点，再利用抛物线图象得出当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围．【详解】（1）设抛物线的解析式为()214y a x =--把点()2,5-代入得 ()25214a =---∴1a =∴()214y x =--或223y x x =-- （2）（2）当y ＝0可得，0＝（x−1）2−4，解得：1x＝3，2x＝−1，故抛物线与x轴的交点为：（−1，0），（3，0），如图所示：可得：当函数值y＞0时，自变量x的取值范围为：x＜−1或x＞3．【点睛】此题主要考查了利用顶点式求抛物线解析式以及抛物线与x轴的交点，正确画出函数图象是解题关键．。

中考数学《二次函数》专项练习题及答案

中考数学《二次函数》专项练习题及答案

中考数学《二次函数》专项练习题及答案一、单选题1．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个2．对于抛物线y=−13(x−5)2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（－5，3）D．开口向上，顶点坐标（－5，3）3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？()A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒4．已知二次函数y=x2−4x+2，当自变量x取值在−2≤x≤5范围内时，下列说法正确的是（）A．有最大值14，最小值－2B．有最大值14，最小值7C．有最大值7，最小值－2D．有最大值14，最小值25．如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1，则下列说法正确的有()①abc<0，②2a+b=0，③a−b+c>0，④若4a+2b+c>0．A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④6．在平面直角坐标系中，对于点 P(x ，y) 和 Q(x ，y′) ，给出如下定义：若 y′={y +1 (x ≥0)−y (x <0)，则称点 Q 为点 P 的“亲密点”.例如：点 (1，2) 的“亲密点”为点 (1，3) ，点 (−1，3) 的“亲密点”为点 (−1，−3) .若点 P 在函数 y =x 2−2x −3 的图象上.则其“亲密点” Q 的纵坐标 y′ 关于 x 的函数图象大致正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．对于二次函数 y =2(x −1)2−3 ，下列说法正确的是（ ）A ．图象开口向下B ．图象和y 轴交点的纵坐标为-3C ．x <1 时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴是直线 x =−18．抛物线 y =−3x 2+12x −3 的顶点坐标是（ ）A ．（2，9）B ．（2，-9）C ．（-2，9）D ．（-2，-9）9．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（ ）A ．a ＜0B ．a ﹣b+c ＜0C ．−b 2a>1D ．4ac ﹣b 2＜﹣8a10．已知抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)交x 轴于点A(1，0)，B(3，0).P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上两个点.若|x 1−2|>|x 2−2|>1，则下列结论一定正确的是（ ） A ．y 1<y 2B ．y 1>y 2C ．|y 1|<|y 2|D ．|y 1|>|y 2|11．二次函数y＝x2－1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x−2)2−3D．y=(x+2)2+312．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF△BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题13．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2 √3个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴左侧的图象上，则点C的坐标为．14．将y=x2的向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得的解析式是．15．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，则平均每次降价的百分率是.16．如果抛物线y=x2﹣6x+c的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于．17．不等式x2+ax+b≥0（a≠0）的解集为全体实数，假设f（x）=x2+ax+b，若关于x的不等式f（x）＜c的解集为m＜x＜m+6，则实数c的值为．18．用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形的生物园的长为x m，则围成长方形的生物的面积S（单位：m2）与x的函数表达式是．（不要求写自变量x的取值范围）三、综合题19．鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？20．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．21．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=−12x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD.（1）求此抛物线的解析式.（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣4x+2m﹣1与x轴交于点A，B.（点A在点B的左侧）（1）求m的取值范围；（2）当m取最大整数时，求点A、点B的坐标.23．我市某电器商场代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？（2）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式，并求出售价x的范围．（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润w（元）最大，最大利润是多少？24．一家超市，经销一种地方特色产品，每千克成本为50元.这种产品在不同季节销量与单价满足一次函数变化关系.下表是其中不同4个月内一天的销量y（kg）与单价x（元/kg）的对应值.单价x（元/kg）55606570销量y（kg）70605040（2）平均每天获得600元销售利润的季节，顾客利益也较大，销售单价是多少？（3）当销售单价为多少时，一天的销售利润最大？最大利润是多少？参考答案1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】B 12．【答案】D13．【答案】（1﹣ √7 ，﹣3） 14．【答案】y=（x ﹣3）2+5 15．【答案】10% 16．【答案】c=6或12 17．【答案】918．【答案】S =−x 2+8x19．【答案】（1）解：依题意有：y=10x+160；（2）解：依题意有：W=（80﹣50﹣x ）（10x+160）=﹣10（x ﹣7）2+5290，∵-10＜0且x 为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元； （3）解：依题意有：﹣10（x ﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．20．【答案】（1）解：当1≤x ＜50时，y=（200-2x ）（x+40-30）=-2x 2+180x+2000当50≤x≤90时y=（200-2x ）（90-30）=-120x+12000综上所述：y= {−2x 2+180x +2000(1≤x <50)−120x +12000(50≤x ≤90)（2）解：当1≤x ＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45 当x=45时，y 最大=-2×452+180×45+2000=6050 当50≤x≤90时，y 随x 的增大而减小当x=50时，y最大=6000综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元（3）解：当1≤x＜50时，y=-2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤50，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=-120x+12000≥4800，解得x≤60因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元；21．【答案】（1）解：由已知得：C(0, 4)，B(4, 4)把B与C坐标代入y=−12x2+bx+c得：{4b+c=12c=4解得：b=2则解析式为y=−12x2+2x+4；（2）解：∵y=−12x2+2x+4=−12(x−2)2+6∴抛物线顶点坐标为(2, 6)则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=12×4×4+12×4×2=8+4=12. 22．【答案】（1）解：根据题意得△=（-4）2-4（2m-1）＞0解得m＜5 2；（2）解：m的最大整数为2抛物线解析式为y=x2-4x+3当y=0时，x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3所以A（1，0），B（3，0）.23．【答案】（1）解：由题意得：200+30×5=350（台）答：该月可售出350台（2）解：由题意得：y=200+5(400−x)=−5x+2200由供货商对售价和销售量的规定得：{x≥330y≥450，即{x≥330−5x+2200≥450解得：330≤x≤350答：所求的函数关系式为y=−5x+2200，售价x的范围为330≤x≤350（3）解：由题意和（2）可得：w=(x−200)(−5x+2200)整理得：w=−5(x−320)2+72000由二次函数的性质可知：当330≤x≤350时，w随x的增大而减小则当x=330时，w取得最大值，最大值为w=−5×(330−320)2+72000=71500（元）答：当售价定为330元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润最大，最大利润是71500元24．【答案】（1）解：设y＝kx＋b，由题意得：{55k+b＝70 60k+b＝60解得{k＝−2 b＝180∴y（kg）与x（元/kg）之间的函数关系式为y＝﹣2x＋180.（2）解：由题意得：（x﹣50）（﹣2x＋180）＝600整理，得x2﹣140x＋4800＝0解得x1＝60，x2＝80∵顾客利益也较大∴x＝60∴平均每天获得600元销售利润的季节，顾客利益也较大，销售单价是60元/千克.（3）解：一天的销售利润为：w＝（x﹣50）（﹣2x＋180）＝﹣2x2＋280x﹣9000＝﹣2（x﹣70）2＋800∴当x＝70时，w最大＝800.∴当销售单价为70元/kg时，一天的销售利润最大，最大利润是800元。

九年级数学二次函数专项训练含答案-精选5篇

九年级数学二次函数专项训练含答案-精选5篇

九年级数学二次函数专题精练含答案一、单选题1．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值4 B ．有最小值4 C ．有最大值6 D ．有最小值6 2．已知抛物线24y x x c =-++经过点(4,3)，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（ ）A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(0,4)D ．(0,5) 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线245y x x =-+，将该抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为（ ）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =--- 4．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( ) A ．216y x =+ B ．2(4)y x =+ C ．28y x x =+ D ．2164y x =- 5．把抛物线22y x =向右平移2个单位，然后向下平移1个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（ ）A ．22(2)1y x =-+-B ．22(2)1y x =--+C ．22(2)1y x =++D ．22(2)1y x =--6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象关于直线1x =对称，与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，若121x -<<-，则下列四个结论：①234x <<，①320a b +>，①24b a c ac >++，①a c b >>．正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．对于抛物线23(1)2y x =-+-，下列说法正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．当1x >-时，y 随x 增大而减小C ．函数最小值为﹣2D ．顶点坐标为（1，﹣2）8．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（ ）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-C ．该函数有最大值，是大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大 9．已知A (−3，−2) ，B (1，−2)，抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)顶点在线段AB 上运动，形状保持不变，与x 轴交于C ，D 两点（C 在D 的右侧），下列结论：①c ≥−2 ；①当x >0时，一定有y 随x 的增大而增大；①若点D 横坐标的最小值为−5，点C 横坐标的最大值为3；①当四边形ABCD 为平行四边形时，a =12． 其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 10．已知二次函数2243y mx m x =--（m 为常数，0m ≠），点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥或0m <B ．m 1≥C ．1m ≤-或0m >D ．1m ≤-11．已知函数()211y ax a x =-++，则下列说法不正确的个数是（ ）①若该函数图像与x 轴只有一个交点，则1a =①方程()2110ax a x -++=至少有一个整数根①若11x a<<，则()211y ax a x =-++的函数值都是负数 ①不存在实数a ，使得()2110ax a x -++≤对任意实数x 都成立A ．0B ．1C ．2D ．312．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 从点A 出发沿路径A B C →→向终点C 运动，连接DP ，作DP 的垂直平分线MN 与正方形ABCD 的边交于M ，N 两点，设点P 的运动路程为x ，PMN 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，则=a ______．14．如图是二次函数21y ax bx c =++ 和一次函数y 2＝kx +t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是_____．15．小亮同学在探究一元二次方程2ax bx c 0++=的近似解时，填好了下面的表格：根据以上信息请你确定方程2ax bx c 0++=的一个解的范围是________．16．已知二次函数223y x x =--+，当12a x时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______．17．已知抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点．（1）若(1,0)A -，则b =______．（2）若(1,0)M -，(1,0)N ，抛物线2122y x bx =+-与线段MN 没有交点，则b 的取值范围为______．三、解答题18．已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式 19．如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MBC ∆的周长最小，请求出这个周长的最小值．20．如图，一次函数y A 、B ，二次函数2y bx c ++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣2，0)和点B (8，0)，与y 轴交于点C (0，﹣8)，连接AC ，D 是抛物线对称轴上一动点，连接AD ，CD ，得到①ACD ．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）①ACD 周长能否取得最小值，如果能，请求出D 点的坐标；如果不能，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E ，使得①ACE 与①ACD 面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1--10DBCCD BBDDA 11--12CA13．-1214．﹣1≤x ≤215．3.24x 3.25<<16．1-17． 32- 3322b -<< 18．解：①抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，①设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，①()()21545y x x x x =-+-=-++．①该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．19．.解：（1）抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A ， 令0,x = 则3,y = ∴ 点()0,3A把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++得： 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++； （2）将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组： 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得：0x =或4x =-，04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ，()4,1B ∴-BC ∴==如图，要使MBC △的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x =++与x 轴的另一交点为D ，抛物线的对称轴为：552,1222x=-=-⨯()3,0C-∴点()2,0D-，连接,BD交对称轴于,MMD MC∴=，此时，MB MC MB MD BD+=+=最小，此时：BD=MBC∴20．解：（1）对于y x=x=0时，y=当y=0时，03x-=，妥得，x=3①A（3，0），B（0，把A（3，0），B（0，2y bx c++得：+=0b cc⎧⎪⎨=⎪⎩解得，bc⎧=⎪⎨⎪=⎩①抛物线的解析式为：2y x x=-（2）抛物线的对称轴为直线12bxa=-==故设P（1，p），Q（m，n）①当BC为菱形对角线时，如图，①B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直，①①BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴①在菱形BQCP 中，BC ①PQ①PQ ①x 轴①点P 在x =1上，①点Q 也在x =1上，当x =1时，211y①Q （1，）； ①当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，①BC //PQ ，且BC =PQ①BC //x 轴，①令y =2y 解得，120,2x x ==①(2,C①PQ=BC=22①PB=BC=2①迠P在x轴上，①P(1,0)①Q(3，0)；若点Q在点P的左侧，如图，同理可得，Q（-1，0）综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）21．解：（1）由题意可得：0=4206488a b ca b cc-+⎧⎪=++⎨⎪=-⎩，解得：1238abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，①抛物线的解析式为：y＝12x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，①点A（﹣2，0），点B（8，0），①对称轴为直线x＝3，①①ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，①当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，①点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，①连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，设直线BC 解析式为：y ＝kx ﹣8，①0＝8k ﹣8，①k ＝1，①直线BC 解析式为：y ＝x ﹣8，当x ＝3，y ＝﹣5，①点D （3，﹣5）；（3）存在，①点A （﹣2，0），点C （0，﹣8），①直线AC 解析式为y ＝﹣4x ﹣8，如图，①①ACE 与①ACD 面积相等，①DE ①AC ，①设DE 解析式为：y ＝﹣4x +n ，①﹣5＝﹣4×3+n ，①n ＝7，①DE 解析式为：y ＝﹣4x +7， 联立方程组可得：2471382y x y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得：12111x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22111x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ①点E1，﹣1，）．九年级上册数学二次函数同步练习一、单选题1．下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．y ＝（2x ﹣1）2 B ．y ＝（x +1）2﹣x 2 C ．y ＝ax 2D ．y ＝2x +32．若抛物线258(3)23m m y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，那么m 的值是（ ）A ．3B ．2-C ．2D ．2或33．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．已知二次函数2135y x x =-+，则其二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 分别是（ ） A ．1,3,5a b c ==-= B ．1,3,5a b c ===C ．5,3,1a b c ===D ．5,3,1a b c ==-=5．如果函数2(2)25y a x x =-+-是二次函数，则a 的取值范围是（ ） A ．2a ≠ B ．a≥0C ．a=2D ．a>06．下列函数中①31y x ；①243y x x =-；①1y x=；①225=-+y x ，是二次函数的有（） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①7．若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．208．函数y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是( ) A ．a≠0，b≠0，c≠0 B ．a<0，b≠0，c≠0 C ．a>0，b≠0，c≠0 D ．a≠0二、填空题 9．若()2321m m y m x --=+是二次函数，则m 的值为______．10．若22ay x -=是二次函数，则=a ________．11．在二次函数21y x =-+中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____． 12．下列函数一定是二次函数的是__________．①2y ax bx c =++；①3y x =-；①2431y x x =-+；①2(1)y m x bx c =-++；①y =(x -3)2-x 213．当常数m ≠______时，函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数；当常数m =___时，这个函数是一次函数． 14．已知函数2135m y x -=-① 当m ＝ _________时，y 是关于x 的一次函数； ① 当m ＝_________时，y 是关于x 的二次函数 ．15．二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点，则m =__________．16．已知二次函数2y x bx 3=-++，当x 2=时，y 3=．则这个二次函数的表达式是________． 三、解答题17．下列函数中（x ，t 是自变量），哪些是二次函数？ 22322113,25,22,1522y x y x x y x s t t =-+=-+=+=++．18．已知函数y =（m 2-2）x 2+（m x +8． （1）若这个函数是一次函数，求m 的值； （2）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围.19．若函数y=（a -1）x b+1+x 2+1是二次函数，试讨论a 、b 的取值范围.20．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.参考答案：1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．B 8．D 9．4 10．2± 11．0 12．①13． 4，-2 4 14． 1 3215．316．2y x 2x 3=-++17．2132y x =-+和215s t t =++是二次函数18．（1）m （2）m ≠m ≠19．①a≠0；①b=0或-1，a 取全体实数①当a=1，b 为全体实数时，y=x 2+1是二次函数 20．y= 21152x x -+, x 的取值范围为0<x<30.九年级数学上册二次函数的图象与性质练习题（附答案）一．选择题1．如果在二次函数的表达式y ＝ax 2+bx +c 中，a ＞0，b ＜0，c ＜0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．2．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A．﹣2B．2C．±2D．03．已知A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y2＞y3＞y14．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2+2x+3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．6．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是27．已知二次函数y＝x2﹣4x+5（0≤x≤3），则它的最大值是（）A．1B．2C．3D．58．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤9．已知函数y＝2（x+1）2+1，则（）A．当x＜1 时，y随x的增大而增大B．当x＜1 时，y随x的增大而减小C．当x＜﹣1 时，y随x的增大而增大D．当x＜﹣1 时，y随x的增大而减小10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（）个．①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜0；④4ac﹣b2＜0；⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数）．A．3B．2C．1D．0二．填空题11．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）12．抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为．13．二次函数y＝3（x﹣1）2+5的最小值为．14．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝．15．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是（填写序号）．三．解答题17．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．18．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．19．如图，直线L1：y＝bx+c与抛物线L2：y＝ax2的两个交点坐标分别为A（m，4），B（1，1）．（1）求m的值；（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与L1，L2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，请直接写出n的取值范围．20．已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）．（1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴．（2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．（3）当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，求a的取值范围．21．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．22．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点，抛物线与y轴交于点C．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）求△ABC的面积．参考答案一．选择题1．解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．2．解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，∴|m|＝2且m+2≠0．解得m＝2．故选：B．3．解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象的对称轴为直线x＝1，而A（，y1）到直线x＝1的距离最近，C（﹣，y3）到直线x＝1的距离最远，∴y3＞y2＞y1．故选：C．4．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，故选：D．5．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．故选：A．6．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴A、B、C不正确；∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，∴D正确，故选：D．7．解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，由于0≤x≤3，所以当x＝2时，y有最小值1，当x＝0时，y有最大值5．故选：D．8．解：根据图象可知：①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，正确；③x＝1时，y＝a+b+c＜0，错误；④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．正确的有①②⑤．故选：B．9．解：∵y＝2（x+1）2+1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误、选项C错误、选项D正确；故选：D．10．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以②正确；∵x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，所以③正确．∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a+b≥m（am+b），所以⑤正确．故选：C．二．填空题11．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为：a1＞a2＞a3＞a412．解：∵y＝3x2+6x+11＝3（x+1）2+8，∴抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为（﹣1，8），故答案为（﹣1，8）．13．解：由于二次函数y＝3（x﹣1）2+5中，a＝3＞0，所以当x＝1时，函数取得最小值为5，故答案为5．14．解：∵二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，∴＝0，解得b＝，故答案为：±4．15．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．16．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，所以①正确；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以④正确．故答案为①④．三．解答题17．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），∴y＝a（x﹣1）2﹣4，∵经过点B（3，0），∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4，即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，即左边＝右边，所以点C在该函数的图象上．18．解：设直线l的解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（0，4）分别代入得，解得，∴直线l的关系式为y＝﹣x+4，设P（t，﹣t+4），∵S△AOP＝4，∴×4×（﹣t+4）＝4，解得t＝2，∴P（2，2），把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a＝，∴二次函数的表达式为y＝x2．19．解：（1）把B（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2．把A（m，4）代入y＝x2得：4＝m2，∴m＝±2．∵点A在二象限，∴m＝﹣2．（2）观察函数图象可知：当﹣2＜x＜1时，直线在抛物线的上方，∴n的取值范围为：﹣2＜n＜1．20．解：（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），∴二次函数的对称轴为x＝．（2）由题知二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0）；∵a＜0，∴二次函数的开口方向向下；又﹣a＞0，1﹣a＞0，所以对称轴所在直线为x＝＝＞0，当x＝时，y＝﹣＞0，所以顶点坐标（，﹣）在第一象限．（3）由（2）知，二次函数的对称轴为直线x＝，∵当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，∴当a＞0时，≤0，解得a≥；当a＜0，≥3，解得a≤﹣．∴a的取值范围为a≥或a≤﹣．21．解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，∴令x＝0，得y＝﹣2，∴G（0，﹣2），∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，∴二次函数表达式为y＝﹣x2，由一次函数与二次函数联立可得，解得，，∴S△OAB＝OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．22．解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）∴由上两式解得∴抛物线的解析式为：；（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝把x＝代入，得y＝4则点C坐标为（，4）设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，解得∴AB解析式为：∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）抛物线的对称轴l于直线AB交于点D∴设点D的坐标为D将点D代入，解得m＝2∴点D坐标为，∴CD＝CE﹣DE＝2过点B作BF⊥l于点F∴BF＝OE＝∵BF+AE＝OE+AE＝OA＝∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝CD•BF+CD•AE∴S△ABC＝CD（BF+AE）＝×2×＝23．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+1；（2）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，∴C（0，3），则OC＝3，BC＝2，BC∥x轴，∴S△ABC＝×BC×OC＝＝3．九年级数学上册二次函数单元综合测试卷一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y关于x的二次函数的是（）A．y＝4x B．y＝3x﹣5C．y＝D．y＝2x2+12．已知：a＞b＞c，且a+b+c＝0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2 5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣66．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+17．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．49．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．37.5°B．40°C．42.5°D．45°二．填空题（共6小题）11．函数是二次函数，则m的值为．12．已知抛物线y＝x2﹣4x+c．与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标；x A＝﹣1，则点B的横坐标．x B的值为．13．已知二次函数y＝ax2开口向上，且|2﹣a|＝3，则a＝．14．已知抛物线y＝x2﹣3x+1的图象上有一点A（m，n），则m﹣n的最大值是．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，若AB+CD＝3，则c的值为．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝10，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为．三．解答题（共7小题）17．看图回答．（1）当y＝0时，求x的值；（2）当y＞5时，求x的范围；（3）y随x的增大而增大时，求x的范围．18．已知二次函数y＝x2﹣6x+8．（1）将解析式化成顶点式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．19．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5r2+20t，求小球飞行高度达到最高时的飞行时间．20．“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．（1）若降价2元，则每天的销售利润是多少元（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）（3）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？21．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，已知线段DE与线段BC关于平面内某点成中心对称，其中DE的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，求落在对称轴上的点的坐标；（3）如图2，点M为第二象限抛物线上，作MN∥BC交抛物线于点N，直线NB、MC 交于点P，求P点的横坐标．22．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y'＝，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为；（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q的横坐标；（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，求实数a的取值范围．23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线解析式；（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为．（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA′交y轴于点Q，连接AM，AQ，此时△AMQ的周长最小，请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A，O，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y关于x的二次函数的是（）A．y＝4x B．y＝3x﹣5C．y＝D．y＝2x2+1解：A．根据二次函数的定义，y＝4x是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意．B．根据二次函数的定义，y＝3x﹣5不是二次函数，是一次函数，故B不符合题意．C．根据二次函数的定义，y＝是反比例函数，不是二次函数，故C不符合题意．D．根据二次函数的定义，y＝2x2+1是二次函数，故D符合题意．故选：D．2．已知：a＞b＞c，且a+b+c＝0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．解：A、由图知a＞0，﹣＝1，c＞0，即b＜0，∵已知a＞b＞c，故本选项错误；B、由图知a＜0，而已知a＞b＞c，且a+b+c＝0，必须a＞0，故本选项错误；C、图C中条件满足a＞b＞c，且a+b+c＝0，故本选项正确；D、∵a+b+c＝0，即当x＝1时a+b+c＝0，与图中与x轴的交点不符，故本选项错误．故选：C．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）解：∵二次函数可化为y＝（x﹣3）2+5，∴二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（3，5），故选：D．4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2解：y＝x2+2x﹣1＝（x2+2x+1）﹣2＝（x+1）2﹣2，即y＝（x+1）2﹣2．故选：D．5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣6解：y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，∴当x＜2时，y随着x增大而增大，∴当x＝时有最大值y＝﹣2（﹣2）2+2＝﹣2.5，故选：C．6．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+1解：设所求的抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+1，∵所求抛物线与函数y＝的图象相同且开口方向相反，∴a＝﹣，∴所求的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+1．故选：D．7．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1解：当x＝﹣1时，y1＝（x﹣1）2＝（﹣1﹣1）2＝4；当x＝1时，y2＝（x﹣1）2＝（1﹣1）2＝0；当x＝2时，y3＝（x﹣1）2＝（2﹣1）2＝1，所以y2＜y3＜y1．故选：C．8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．4解：根据表格数据可知：抛物线的对称轴是直线x＝＝，∴③错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0有两根为x1＝﹣2，x2＝3；故①正确；从表格可知当x＝0时，y＝6，∴抛物线与y轴的交点为（0，6）；∴②正确；从表格可知：当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，∴抛物线开口向下，故④错误．故选：B．9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对解：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠OBE＝∠OCF＝45°，∵BE＝CF，∴△BOE≌△COF，∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，∴∠BOE+∠COE＝∠COF+∠COE，即∠EOF＝∠BOC＝90°，且S△COE+S△COF＝S△COE+S△BOE，即S四边形OECF＝S△BOC＝S正方形ABCD＝×4×4＝4，由垂线段最短可得，当OE⊥BC时，OE＝BC＝×4＝2，△OEF面积取最小值为×2×2＝2，∴结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错，故选：A．10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．37.5°B．40°C．42.5°D．45°解：把（25，0.725），（50，0.06），（60，0.09）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴y＝0.0001x2﹣0.008x+0.21＝0.0001（x﹣40）2+0.05，∵0.0001＞0，∴x＝40时，y最小为0.05，∴燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°，故选：B．二．填空题（共6小题）11．函数是二次函数，则m的值为3．解：∵函数是二次函数，∴m2﹣7＝2且m+3≠0，解得：m＝3．则m的值为3．故答案为：3．12．已知抛物线y＝x2﹣4x+c．与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标；x A＝﹣1，则点B的横坐标．x B的值为5．解：∵y＝x2﹣4x+c，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝2，∴点A，B关于直线x＝2对称，∵点A横坐标为﹣1，∴点B横坐标为5，故答案为：5．13．已知二次函数y＝ax2开口向上，且|2﹣a|＝3，则a＝5．解：∵|2﹣a|＝3，∴2﹣a＝±3，解得：a＝﹣1或5，又二次函数y＝ax2开口向上，则a＞0，故a＝5．故答案为：5．14．已知抛物线y＝x2﹣3x+1的图象上有一点A（m，n），则m﹣n的最大值是3．解：∵点A（m，n）在抛物线y＝x2﹣3x+1上，∴n＝m2﹣3m+1，∴m﹣n＝﹣m2+4m﹣1＝﹣（m﹣2）2+3，∴当m＝2时，m﹣n有最大值为3，故答案为：3．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，若AB+CD＝3，则c的值为﹣．解：设A（x1，0），B（x2，0），令y＝0，则y＝﹣x2+2x+c＝0，由根与系数的关系得：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣c，则AB＝|x1﹣x2|＝＝＝2，令x＝0，则y＝c，∴C（0，c），∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为c，当y＝c时，则﹣x2+2x+c＝c，解得：x＝2，或x＝0，∴D（2，c），∴CD＝2，∵AB+CD＝3，∴2+2＝3，解得：c＝﹣，故答案为：﹣．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝10，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为142．解：连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G'，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠EBF＝90°，∵EF＝10，点G是EF的中点，∴BG＝EF＝10＝5，∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G'时，S△ACG最小，此时四边形AGCD 面积的最小值，最小值即为四边形AG'CD的面积，∵AB＝12＝CD，BC＝16＝AD，∴AC＝20，S△ACD＝×12×16＝96，∴BH＝＝，∴G'H＝BH﹣5＝﹣5＝，∴S△ACG'＝AC•G'H＝×20×＝46，∴S四边形AG'CD＝S△ACD+S△ACG'＝46+96＝142，即四边形AGCD面积的最小值是142．故答案为：142．三．解答题（共7小题）17．看图回答．（1）当y＝0时，求x的值；（2）当y＞5时，求x的范围；（3）y随x的增大而增大时，求x的范围．解：（1）由图象可知，抛物线经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴当y＝0时，x的值为﹣1和3；（2）∵抛物线经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣3），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，﹣3）得，﹣3＝﹣3a，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3），令y＝5得5＝（x+1）（x﹣3），解得x1＝4，x2＝﹣2，∴当y＞5时，求x的范围是x＞4或x＜﹣2；（3）∵y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2+4，∴抛物线开口向上，顶点为（1，4），对称轴为直线x＝1，∴y随x的增大而增大时，x的范围是x＞1．18．已知二次函数y＝x2﹣6x+8．（1）将解析式化成顶点式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．解：（1）y＝x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1；（2）开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，﹣1）；（3）x＞3时，y随x的增大而增大；x＜3时，y随x增大而减小．19．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5r2+20t，求小球飞行高度达到最高时的飞行时间．解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，答：小球飞行高度达到最高时的飞行时间为2s．20．“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．（1）若降价2元，则每天的销售利润是多少元（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）（3）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？解：（1）根据题意，降价2元则销售量为60+2×10＝80（斤），销售利润为：（30﹣15﹣2）×80＝1040（元），。

九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)

九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)

九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)第一套：1. 将函数 $y = 2x^2 - 3x - 2$ 化简为标准形式，并求出它的顶点坐标。

答案：将函数化简为标准形式得到 $y = 2(x-\frac{3}{4})^2 -\frac{33}{8}$，顶点坐标为 $(\frac{3}{4}, -\frac{33}{8})$。

2. 求函数 $y = -x^2 + 4x + 1$ 的零点。

答案：将函数化简为标准形式得到 $y = -(x-2)^2 + 5$，令 $y = 0$，解得 $x = 2 \pm \sqrt{5}$，即零点为 $x_1 = 2 + \sqrt{5}$ 和 $x_2 = 2 -\sqrt{5}$。

3. 给定函数 $y = x^2 - 6x + 5$，求其对称轴的方程式。

答案：对称轴的方程式为 $x = \frac{-b}{2a}$，代入 $a = 1$ 和 $b = -6$ 得到 $x = \frac{6}{2} = 3$。

4. 若函数 $y = ax^2 + bx - 9$ 与 $y = -x^2 + 7x$ 有相同的图像，求$a$ 和 $b$ 的值。

答案：由于两个函数有相同的图像，所以它们的系数相等。

比较两个函数的对应系数得到 $a = -1$ 和 $b = 7$。

5. 已知函数 $y = x^2 - 4x + 5$ 的图像上存在一点 $(h, k)$，使得 $x= h - 3$ 时，$y = 2k + 12$，求点 $(h, k)$ 的坐标。

答案：将 $x = h - 3$ 代入函数得到 $y = (h-3)^2 - 4(h-3) + 5$。

代入$y = 2k + 12$ 得到 $(h-3)^2 - 4(h-3) + 5 = 2k + 12$。

整理得到 $(h-3)^2 -4(h-3) - 2k - 7 = 0$。

由于该方程为二次方程，必然存在实数解。

二次函数综合练习题(含答案)

二次函数综合练习题(含答案)

二次函数综合练习题一、选择题1．（2013江苏苏州，6，3分）已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根是（ ）．A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝1，x 2＝2C ．x 1＝1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝3【答案】B ．【解析】∵二次函数y ＝x 2－3x ＋m 的图象与x 轴的一个交点为（1，0），∴0＝12－3＋m ，解得m ＝2，∴二次函数为y ＝x 2－3x ＋2．设y ＝0，则x 2－3x ＋2＝0．解得x 2＝1，x 2＝2，这就是一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根．所以应选B ．【方法指导】考查一元二次方程的根、二次函数图象与x 轴交点的关系．当b 2－4ac ≥0时，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点的横坐标是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根．【易错警示】因审题不严，容易错选；或因解方程出错而错选．2．（2013江苏扬州，8，3分）方程0132=-+x x 的根可视为函数3+=x y 的图象与函数x y 1=的图象交点的横坐标，则方程3210x x +-=的实根0x 所在的范围是（ ）． A ．4100<<x B ．31410<<x C ．21310<<x D ．1210<<x 【答案】C ．【解析】首先根据题意推断方程x 3＋2x －1=0的实根是函数y =x 2＋3与xy 1=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3＋2x －1=0的实根x 0所在范围．解：依题意得方程x 3＋2x －1=0的实根是函数y =x 2＋2与xy 1=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x =14时，y =x 2＋2=2116，1y x==4，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x =13时，y =x 2＋2=219，1y x==3，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x =12时，y =x 2＋2=214，1y x ==2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x =1时，y =x 2＋2=3，1y x==1，此时抛物线的图象在反比例函数上方． 所以方程3210x x +-=的实根0x 所在的范围是21310<<x ． 所以应选C ．要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．【易错警示】不会得出函数解析式，不会观察图象而出错．3. （2013重庆市(A )，12，4分）一次函数y ＝ax ＋b （a ≠0）、二次函数y ＝ax 2＋bx 和反比例函数y ＝k x(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为(－2，0)．则下列结论中，正确的是（）A ．b ＝2a ＋kB ．a ＝b ＋kC ．a ＞b ＞0D ．a ＞k ＞0【答案】D ．【解析】∵一次函数与二次函数的图象交点A 的坐标为（－2，0），∴－2a ＋b ＝0，∴b ＝2a ．又∵抛物线开口向上，∴a ＞0，则b ＞0．而反比例函数图象经过第一、三象限，∴k ＞0． ∴2a ＋k ＞2a ，即b ＜2a ＋k ．故A 选项错误．假设B 选项正确，则将b ＝2a 代入a ＝b ＋k ，得a ＝2a ＋k ，a ＝－k ．又∵a ＞0，∴－k ＞0，即k ＜0，这与k ＞0相矛盾，∴a ＝b ＋k 不成立．故B 选项错误．再由a ＞0，b ＝2a ，知a ，b 两数均是正数，且a ＜b ，∴b ＞a ＞0．故C 选项错误． 这样，就只有D 选项正确．【方法指导】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的图象，属于图象共存型问题．解决这类问题的关键是熟练掌握这三类函数的图象及性质，能根据图象所在象限的位置准确判断出各系数的符号．上面解法运用的是排除法，至于D 为何正确，可由二次函数y ＝ax 2＋bx 与反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象，知当x ＝－2b a ＝－22a a＝－1时，y ＝－k ＞－24b a ＝－244a a＝－a ，即k ＜a ．又因为a ＞0，k ＞0，所以a ＞k ＞0． 【易错警示】二次函数a 、b 、c 的符号的确定与函数图象的关系混淆不清．4. （2013湖南益阳，7，4分）抛物线1)3(22+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．(3，1)B ．(3，－1)C ．(－3，1)D ．(－3，－1)【答案】：A【解析】抛物线2()y a x h k =-+的顶点是（h ，k ）【方法指导】求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方，再得到顶点坐标；也可以利用顶点公式24(,)24b ac ba a--求顶点坐标。

初中数学二次函数综合题及答案

初中数学二次函数综合题及答案

初中数学二次函数综合题及答案1.若二次函数y=2x^2+3x+6的顶点为(-1,1)，求其对称轴方程。

解：由题意，可知顶点坐标为(-1,1)，由二次函数的对称性可知对称轴方程为x=-12. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1,4)，(2,9)，(3,16)，求该二次函数的表达式。

解：代入已知点(1,4)，(2,9)，(3,16)得到以下方程组：a+b+c=4(1)4a+2b+c=9(2)9a+3b+c=16(3)解以上方程组得到a=1，b=1，c=2，所以该二次函数的表达式为y=x^2+x+23. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴交于点(-1,0)和(2,0)，且过点(1,6)，求该二次函数的表达式。

解：由题意，可知x轴交点为x=-1和x=2，且过点(1,6)，代入得到以下方程组：a-b+c=0(1)4a+2b+c=0(2)a+b+c=6(3)解以上方程组得到a=2，b=4，c=0，所以该二次函数的表达式为y=2x^2+4x。

4. 二次函数y=ax^2+bx+c通过点(1,5)，并且关于直线x=3对称，求该二次函数的表达式。

解：由题意可知，该二次函数关于直线x=3对称，所以对称轴方程为x=3，代入点(1,5)得到以下方程组：a+b+c=5(1)9a+3b+c=5(2)解以上方程组得到a=-1，b=6，c=0，所以该二次函数的表达式为y=-x^2+6x。

5.已知二次函数的图象经过点(1,3)，且顶点坐标为(2,1)，求该二次函数的表达式。

解：由题意可知，该二次函数的顶点坐标为(2,1)，代入点(1,3)得到以下方程组：4a+2b+c=1(1)a+b+c=3(2)解以上方程组得到a=-1，b=4，c=0，所以该二次函数的表达式为y=-x^2+4x。

6.已知二次函数的图象经过点(1,-3)，且焦点在直线y=4上，求该二次函数的表达式。

解：由题意可知，该二次函数的焦点在直线y=4上，设焦点坐标为(x1,y1)。

初中数学二次函数综合复习基础题(含答案)

初中数学二次函数综合复习基础题(含答案)

初中数学二次函数综合复习基础题一、单选题(共13道，每道8分)1.若二次函数的图象经过原点，则a的值必为（）A.1或2B.0C.1D.2答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数表达式2.在同一坐标系中，作，，的图象，它们的共同特点是()A.抛物线的开口方向向上B.都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大C.都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小D.都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数图象特征3.对于反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数的大致图象是（）A. B.C. D.答案：C试题难度：三颗星知识点：二次函数图象初步判定4.抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（）A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位答案：B试题难度：三颗星知识点：二次函数图像平移5.已知二次函数，当x=-1时有最大值，把x=-5，-2，1时对应函数值分别记为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1＜y2＜y3B.y1＞y2＞y3C.y2＞y1＞y3D.y2＞y3＞y1答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数图像增减性、对称轴固定6.若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A. B.C. D.答案：C试题难度：三颗星知识点：二次函数图像增减性、对称轴固定7.（2011四川雅安）已知二次函数的图象如图，其对称轴为直线x=-1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0.则正确的结论是（）A.①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数数形结合8.二次函数的图象经过点A（0，-3），B（2，-3），C（-1，0）．则此二次函数的表达式为（）A. B.C. D.答案：A试题难度：三颗星知识点：二次函数一般式9.有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线x=2；乙说：与x轴的两个交点距离为6；丙说：抛物线与x轴的交点和其顶点围成的三角形面积等于9，请选出一个满足上述全部条件的一条抛物线的解析式：（）A. B.C. D.答案：B试题难度：三颗星知识点：二次函数顶点式10.二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．求二次函数的解析式（）A. B.C. D.答案：A试题难度：三颗星知识点：二次函数交点式11.若直线与二次函数的图象交于A、B两点，求以A、B及原点O为顶点的三角形的面积（）．A. B.C. D.无法计算答案：C试题难度：三颗星知识点：二次函数初步综合12.设一元二次方程的两根分别为，，且，则，满足（）A. B.C. D.且答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数图象与方程、不等式13.设一元二次方程的两根分别为，，且，则二次函数的函数值y>m时自变量x的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B试题难度：三颗星知识点：二次函数图象与方程、不等式。

(完整版)初中数学二次函数综合题及答案(经典题型)

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启东教育学科教师辅导讲义二次函数试题选择题：1、y=(m-2)x m2-m 是关于x 的二次函数，贝U m=()A -1B 2C -1或2 Dm 不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a 丰0)模型的是()A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B 我国人中自然增长率为 1%,这样我国总人口数随年份变化的关系C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系13、无论m 为任何实数，总在抛物线 y=x 2 + 2mx + m 上的点的坐标是 ------------------ 。

16、若抛物线y=ax 2+bx+c (a 乒0)的对称轴为直线 x= 2，最小值为一2 ,则关于方程 ax 2+bx+c = — 2的根为-17、抛物线y= (k+1) x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，贝U k = ----------------------------解答题：(二次函数与三角形)3Q1、已知：二次函数 y^x 2+bx+c ，其图象对称轴为直线 x=1，且经过点(2,-三).(1) 求此二次函数的解析式. (2)设该图象与x 轴交于B 、C 两点(B 点在C 点的左侧)，请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点 E,使AEB C 的面积最大,并求出最大面积.D 4、 将一抛物线向下向右各平移A y=— ( x-2) 2+2 C y=— ( x+2) 2+2圆的周长与半径之间的关系 2个单位得到的抛物线是B y=一( D y=一(y=-x 2,则抛物线的解析式是()x+2) x-2) 2+22—25、 抛物线y= — x 2-6x+24的顶点坐标是(2A (-6, — 6)B (-6, 6)6、 已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有2(6, 6)Dabc 〈0 ②a+ c 〈b 3) a+b+c > 0A 1B 27、函数 y=ax 2-bx+ca b(a 乒 0) c 3 D 4的图象过点(-1 , 0)，则A -18、已知一次函数的值是()a b1 C -2y= ax+c 与二次函数1 D -2y=ax 2+bx+c (a 乒0),它们在同一坐标系内的大致图象是图中的(2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C (0, 4),顶点为(1, 2(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点P,使^ CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标.(3) 若点E是线段AB上的一个动点(与A、B不重合)，分别连接AC、BC,过点E作EF // AC交线段BC于点F，连接CE,记^ CEF的面积为S, S是否存在最大值?若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由.3、如图，一次函数y=— 4x- 4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= 4x2 + bx+ c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B.(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 设抛物线的顶点为D,求四边形ABDC的面积；(3) 作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N .问在x轴上是否存在点P,使得^ PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由.1 o 7(一次函数与四边形)4、已知抛物线y —x mx 2m —.2 2⑴试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C,直线y=x —1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D.①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由;②平移直线CD ,交直线AB于点M ,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.5、如图，抛物线y= mx 2- 11mx + 24m (m<0)与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，抛物线另有一点 A 在第一象限内，且/ BAC= 90° .(1)填空：OB = (2)连接OA,将^ OAC 沿x 轴翻折后得△ ODC,当四边形OACD 是菱形时，求此时抛物线的解析式; 如图2,设垂直于x 轴的直线l: x= n 与(2)中所求的抛物线交于点 M,与CD 交于点N ,若直线l 沿x 轴方向左右平移,且交点M 始终位于抛物线上 A 、C 两点之间时，试探究：当 n 为何值时，四边形 AMCN 的面积取得最大值，并求出这个最大ABCD 是直角梯形，BC // AD , / BAD=90。

(完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)

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二次函数总复习经典练习题1．抛物线y=－3x2＋2x－1 的图象与坐标轴的交点情况是( )(A) 没有交点．(B) 只有一个交点．(C) 有且只有两个交点．(D) 有且只有三个交点．2．已知直线y=x 与二次函数y=ax2－2x－ 1 图象的一个交点的横坐标为1，则 a 的值为( )(A)2 ．(B)1 ．(C)3 ．(D)4 ．3．二次函数y=x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ ABC的面积为( ) (A)6 ．(B)4 ．(C)3 ．(D)1 ．24．函数y=ax 2＋bx＋ c 中，若a> 0，b< 0，c<0，则这个函数图象与x 轴的交点情况是( )(A) 没有交点．(B) 有两个交点，都在x 轴的正半轴．(C) 有两个交点，都在x 轴的负半轴．(D) 一个在x 轴的正半轴，另一个在x 轴的负半轴．5．已知(2 ，5) 、(4 ，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c 上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是( ) a(A) x= ．(B) x=2．(C) x=4．(D) x=3．b6．已知函数y=ax2＋bx＋ c 的图象如图 1 所示，那么能正确反映函数y=ax＋ b 图象的只可能是( )7．二次函数y=2x2－4x＋5 的最小值是_____ ．28．某二次函数的图象与x轴交于点( －1，0) ，(4 ，0) ，且它的形状与y=－x2形状相同．则这个二次函数的解析式为_____ ．9．若函数y=－x2＋4 的函数值y> 0，则自变量x 的取值范围是______ ．10．某品牌电饭锅成本价为70 元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：801001101008060为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为元．11．函数y=ax 2－（a－3）x＋ 1 的图象与x 轴只有一个交点，那么 a 的值和交点坐标分别为12．某涵洞是一抛物线形, 它的截面如图3 所示, 现测得水面宽AB 1.6m, 涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m, 在图中的直角坐标系内, 涵洞所在抛物线的解析式为13．（本题8 分）已知抛物线y=x2－2x－2 的顶点为A，与y 轴的交点为B，求过A、B 两点的直线的解析式．14．（本题8分）抛物线y=ax2＋2ax＋a2＋2的一部分如图3所示，求该抛物线在y 轴左侧与x 轴的交点坐标．15．（本题8 分）如图4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a> 0）的顶点是C（0，1），直线l ：y＝－ax＋3 与这条抛物线交于P、Q两点，且点P 到x 轴的距离为2．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）求点Q的坐标．16．（本题8 分）工艺商场以每件155 元购进一批工艺品．若按每件200 元销售，工艺商场每天可售出该工艺品100 件；若每件工艺品降价 1 元，则每天可多售出该工艺品 4 件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？17．（本题10 分））杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐设施开放后，从第 1个月到第x 个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y=ax2＋bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元) ，g也是关于x 的二次函数．(1) 若维修保养费用第 1 个月为 2 万元，第 2 个月为 4 万元．求y 关于x 的解析式；(2) 求纯收益g 关于x 的解析式；(3) 问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？18(本题10分)如图所示，图4- ①是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱A3B3=50m，5 根支柱A1B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5 之间的距离均为15m，B1B5∥ A1A5，将抛物线放在图4- ②所示的直角坐标系中．(1) 直接写出图4- ②中点B1、B3、B5的坐标；(2) 求图4- ②中抛物线的函数表达式；(3) 求图4- ①中支柱A2B2、A4B4 的长度．B319、如图5，已知A(2，2)，B(3，0)．动点P( m，0)在线段OB上移动，过点P作直线l 与x 轴垂直．(1) 设△ OAB中位于直线l 左侧部分的面积为S，写出S与m之间的函数关系式；(2) 试问是否存在点P，使直线l 平分△ OAB的面积？若有，求出点P 的坐标；若无，请说明理由．更多学习方法和中高考复习资料，免费下载，扫一扫关注微信：答案：一、1．B 2 ．D 3 ．C 4 ．D 5 ．D 6．B二、 7．3 8 ．y =－ x ＋3x ＋4 9 ．－ 2< x <2 10 ．1301 115 211． a =0， （ ，0）；a =1，（－1，0）；a =9，（ ，0） 12 ． y x 23 3 413．抛物线的顶点为 （1，－ 3），点 B 的坐标为 （0，－ 2）．直线 AB 的解析式为 y =－x －2 14．依题意可知抛物线经过点 （1，0） ．于是 a ＋ 2a ＋ a 2＋ 2=0，解得 a 1=－1，a 2=－2．当 a = －1 或 a =－2 时，求得抛物线与 x 轴的另一交点坐标均为 （ －3，0）2 15． （1） 依题意可知 b =0，c =1，且当 y =2 时，ax 2＋1=2①，－ ax ＋3=2②．由①、②解得 a =1， x =1．故抛物线与直线的解析式分别为： y =x 2＋ 1，y =－ x ＋3；（2） Q （ －2，5）216．设降价 x 元时，获得的利润为 y 元．则依意可得 y =（45－x ）（100 ＋4x ）= －4x 2＋80x ＋4500， 即 y =－4（x －10）2＋4900．故当 x =10时， y 最大=4900（元）2217． （1） 将（1，2）和（2，6） 代入 y =ax 2＋bx ，求得 a =b =1．故 y =x 2＋x ；（2） g =33x －150－y ， 22即 g =－x 2＋32x －150；（3） 因 y =－（x －16） 2＋106，所以设施开放后第 16 个月，纯收益最大．令 g =0，得－ x 2＋ 32 x － 150=0．解得 x =16± 106 ，x ≈16－ 10.3=5.7（ 舍去 26.3） ．当 x =5 时， g <0， 当 x =6 时， g >0，故 6 个月后，能收回投资18．（1） B 1（ 30，0）， B 3 （0，30） ， B 5 （30，0） ；（2）设抛物线的表达式为 y a （x 30）（x 30） ，把 B 3 (0，30) 代入得 y a(0 30)(0 30) 30．1∴ a ．30∵所求抛物线的表达式为： y3）∵ B 4 点的横坐标为 15， 1 45∴B 4 的纵坐标 y 4 (15 30)(15 30) ．4 30 2∵ A 3B 3 50 ，拱高为 30，1 (x 30)(x 30) ． 30∴立柱A4B445 8520 (m) ．22由对称性知：85A2B2 A4B4 (m) ．2四、1 2 1 119．（1）当0≤m≤2时，S= m2；当2<m≤3时，S= ×3×2－（3 －m）（－2m＋6）= －m22 2 2＋6m－6．（2）若有这样的P点，使直线l 平分△ OAB的面积，很显然0<m<2．由于△ OAB3 1 3的面积等于3，故当l 平分△ OAB面积时，S= ．∴ m2．解得m= 3 ．故存在这样2 2 2的P点，使l 平分△ OAB的面积．且点P的坐标为（3 ，0）．。

中考数学《二次函数》专项练习(附答案解析)

中考数学《二次函数》专项练习(附答案解析)

中考数学《二次函数》专项练习（附答案解析）一、综合题1．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（）（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是（），求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．2．如图，抛物线 y =-x2+3x +4 与x轴负半轴相交于A点，正半轴相交于B点，与 y 轴相交于C 点．（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线 BC 对称的点的坐标；（2）在（1）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．3．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．（1）求点A的坐标；（2）若△AMO为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式；（3）现将抛物线C1绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，当b=1，且顶点N在抛物线C1上时，求m的值．5．如图，抛物线G：y=−x2+2mx−m2+m+3的顶点为P(x P，y P)，抛物线G与直线l：x=3交于点Q．（1）x P=，y P=（分别用含m的式子表示）；y P与x P的函数关系式为；（2）求点Q的纵坐标y Q（用含m的式子表示），并求y Q的最大值；（3）随m的变化，抛物线G会在直角坐标系中移动，求顶点P在y轴与l之间移动（含y轴与l）的路径的长．6．如图，抛物线的顶点D的坐标为（﹣1，4），抛物线与x轴相交于A.B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，已知点E（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△CEF的周长最小，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AD，若点P是线段OC上的一动点，过点P作线段AD的垂线，在第二象限分别与抛物线、线段AD相交于点M、N，当MN最大时，求△POM的面积.7．已知：如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A(4,0)，点B(0,4)，ΔABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF=4√5时，求点P的坐标．9．如图1所示，已知抛物线y=−x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点(A左B右)，与y轴交于C点，E为抛物线上一点，且C、E关于抛物线的对称轴对称，作直线AE.（1）求直线AE的解析式；（2）在图2中，若将直线AE沿x轴翻折后交抛物线于点F，则点F的坐标为（直接填空）；（3）点P为抛物线上一动点，过点P作直线PG与y轴平行，交直线AE于点G，设点P的横坐标为m，当S△PGE∶S△BGE=2∶3时，直接写出所有符合条件的m值，不必说明理由.10．综合与探究如图，直线y=−23x+4与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=ax2+43x+c经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为点D．抛物线的对称轴与x轴交于点E．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点M是线段BC上一动点，连接DM并延长交x轴交于点F，当FM：FD=1：4时，求点M的坐标；（3）点P是该抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m，试判断是否存在这样的点P，使∠PAB+∠BCO=90°，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．11．如图，点A，B在函数y=14x2的图像上．已知A，B的横坐标分别为－2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求ΔAOB的面积；（3）若函数y=14x2的图像上存在点P，使得ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半，则这样的点P共有个．12．如图，已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点A（﹣1，0），与y 轴正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过A、B．（1）求一次函数解析式；（2）求顶点P的坐标；，求点M （3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的直线上，且tan∠OAM=32坐标；（4）设抛物线的对称轴交x轴于点E，连接AP交y轴于点D，若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点，连接QD、QN，请直接写出QD+QN的最小值．13．如图，抛物线y=ax2+bx+4经过点A(−1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点C，点D是拋物线在x轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点D的横坐标为m．连接AC，BC，DB，DC．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BCD的面积与△AOC的面积和为7时，求m的值；2（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(x+m)(x−3m)图象的顶点为M，图象交x轴于A、14．如图，y关于x的二次函数y=−√33mB两点，交y轴正半轴于D点.以AB为直径作圆，圆心为C.定点E的坐标为(−3，0)，连接ED.(m>0)（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图.15．在图1中，抛物线y＝ax2+2ax﹣8（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在B左侧），与y轴负半轴交于点C，OC＝4OB，连接AC，抛物线的对称轴交x轴于点E，交AC于点F．（1）AB的长为，a的值为；（2）图2中，直线ON分别交EF、抛物线于点M、N，OM＝√17，连接NC．①求直线ON的解析式；②证明：NC∥AB；③第四象限存在点P使△BFP与△AOC相似，且BF为△BFP的直角边，请直接写出点P坐标．16．如图，直线AB的解析式为y=−43x+4，抛物线y=−13x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点C(6，0)，点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），当点P在第一象限内的抛物线上时，求△ABP面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点A作直线l//x轴，过点P作PH⊥l于点H，将△APH绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的坐标.参考答案与解析1．【答案】（1）解：方案一：点B的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为：y=a(x+5)(x−5)．由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15(x+5)(x−5)方案2：点B的坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为：y=ax(x−10)．由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15x(x−10)；方案3：点B的坐标为（5，−5），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．设抛物线的解析式为：y=ax2，把点B的坐标（5，−5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15x2；（2）解：方案一：由题意：把x=3代入y=−15(x+5)(x−5)，解得：y=165=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m方案二：由题意：把x=2代入y=−15x(x−10)解得：y=165=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．方案三：由题意：把x=3代入y=−15x2解得：y=−95= −1.8，∴水面上涨的高度为5−1.8= 3.2m．2．【答案】（1）解: 将点D( m，m+1 )代入y=−x2+3x+4中，得：m+1=−m2+3m+4，解得：m=−1或3，∵点D在第一象限，∴m=3，∴点D的坐标为(3，4)；令y=0，则−x2+3x+4=0，解得：x1=−1，x2=4，令x=0，则y=4，由题意得A(-1，0)，B(4，0)，C(0，4)，∴OC=OB=4，BC= 4√2，CD=3，∵点C、点D的纵坐标相等，∴CD∥AB，∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°，∴点D关于直线BC的对称点E在y轴上．根据对称的性质知：CD=CE=3 ，∴OE=OC−CE=4−3=1，∴点D关于直线BC对称的点E的坐标为(0，1)；（2）解: 作PF⊥AB于F，DG⊥BC于G，由(1)知OB=OC=4，∠OBC=45°．∵∠DBP=45°，∴∠CBD=∠PBF．∵CD=3，∠DCB=45°，∴CG=DG= 3√22，∵BC= 4√2，∴BG= 4√2−3√22=5√22∴tan∠PBF=tan∠CBD=DGBG =35．设PF=3t，则BF=5t，OF=5t−4．∴P(−5t+4，3t)，∵P点在抛物线上，∴3t=−(−5t+4)2+3(−5t+4)+4解得：t=2225或t=0(舍去)．∴点P的坐标为( −25，6625)．3．【答案】（1）解：在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO= OBOA=3，∴OB=3OA=3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC=OB=3，OD=OA=1，∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．代入解析式为{a+b+c=09a−3b+c=0c=3，解得： {a =−1b =−2c =3．∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3（2）解：①∵抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3，∴对称轴l=﹣ b2a =﹣1，∴E 点的坐标为（﹣1，0）．如图， 当∠CEF=90°时，△CEF ∽△COD ．此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；当∠CFE=90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则△EFC ∽△EMP ． ∴EMMP =EFFC =DO OC=13 ，∴MP=3EM ．∵P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t+3）．∵P 在第二象限，∴PM=﹣t 2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t ，∴﹣t 2﹣2t+3=﹣（t ﹣1）（t+3），解得：t 1=﹣2，t 2=﹣3（因为P 与C 重合，所以舍去），∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．∴P （﹣2，3）．∴当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）； ②设直线CD 的解析式为y=kx+b ，由题意，得{−3k +b =0b =1 ，解得： {k =13b =1，∴直线CD 的解析式为：y= 13 x+1．设PM 与CD 的交点为N ，则点N 的坐标为（t ， 13 t+1），∴NM= 13 t+1．∴PN=PM ﹣NM=﹣t 2﹣2t+3﹣（ 13 t+1）=﹣t 2﹣ 73t +2． ∵S △PCD =S △PCN +S △PDN ，∴S △PCD = 12 PN •CM+ 12 PN •OM= 12 PN （CM+OM ）= 12 PN •OC= 12 ×3（﹣t 2﹣ 73t +2）=﹣ 32 （t+76）2+ 12124 ，∴当t=﹣ 76 时，S △PCD 的最大值为 12124 ． 4．【答案】（1）解：∵抛物线C 1：y=ax 2+4ax+4a+b （a ≠0，b ＞0）经过原点O ， ∴0=4a+b ，∴当ax 2+4ax+4a+b=0时，则ax 2+4ax=0， 解得：x=0或﹣4，∴抛物线与x 轴另一交点A 坐标是（﹣4，0）（2）解：∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a≠0，b＞0），（如图1）∴顶点M坐标为（﹣2，b），∵△AMO为等腰直角三角形，∴b=2，∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，∴a（0+2）2+2=0，解得：a=﹣12，∴抛物线C1：y=﹣12x2﹣2x（3）解：∵b=1，抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，（如图2）∴a=﹣14，∴y=﹣14（x+2）2+1=﹣14x2﹣x，设N（n，﹣1），又因为点P（m，0），∴n﹣m=m+2，∴n=2m+2即点N的坐标是（2m+2，﹣1），∵顶点N在抛物线C1上，∴﹣1=﹣14（2m+2+2）2+1，解得：m=﹣2+ √2或﹣2﹣√2 5．【答案】（1）m；m+3；y P=x P+3（2）解：∵抛物线 G ：y =−x 2+2mx −m 2+m +3 与直线 l ：x =3 交于点 Q ， ∴把 x =3 代入 y =−x 2+2mx −m 2+m +3 ， 得 y Q =−m 2+7m −6 ．∵y Q =−m 2+7m −6=−(m −72)2+254，∴当 m =72 时， y Q 的最大值为 254 ．（3）解：∵点 P 在 y 轴与 l 之间沿直线 l 1：y =x +3 运动， 如图，设直线 l 1：y =x +3 与 y 轴和直线 l 分别交于点 B 和点 P 1 ，线段 BP 1 的长即为点 P 路径长．把 x B =0 ， x P 1=3 代入 y =x +3 得点 B(0，3) ，点 P 1(3，6) ， 过点 P 1 作 P 1M ⊥y 轴，垂足为M ， 则 P 1M =3，BM =3 ， 在 Rt △BMP 1 中， BP 1=√BM 2+MP 12=√32+32=3√2 ，∴点 P 路径长为 3√2 ．6．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：y ＝a （x+1）2+4， 把x ＝0，y ＝3代入得：3＝a （0+1）2+4，解得：a ＝﹣1 ∴抛物线的表达式为y ＝﹣（x+1）2+4＝﹣x 2﹣2x+3（2）解：存在.如图1，作C 关于对称轴的对称点C ′，连接EC ′交对称轴于F ，此时CF+EF的值最小，则△CEF的周长最小.∵C（0，3），∴C′（﹣2，3），易得C′E的解析式为：y＝﹣3x﹣3，当x＝﹣1时，y＝﹣3×（﹣1）﹣3＝0，∴F（﹣1，0）（3）解：如图2，∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），易得AD的解析式为：y＝2x+6，过点D作DH⊥x轴于H，过点M作MG⊥x轴交AD于G，AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，DH＝4，∴AD＝√AH2+DH2=√22+42=2√5，设M（m，﹣m2﹣2m+3），则G（m，2m+6），（﹣3≤m≤﹣1），∴MG＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3，由题易知△MNG∽△AHD，∴MGMN =ADAH即MN=AH×MGAD =22√5=−√55(m+2)2+√55∵√55<0∴当m ＝﹣2时，MN 有最大值；此时M （﹣2，3），又∵C （0，3），连接MC ∴MC ⊥y 轴∵∠CPM ＝∠HAD ，∠MCP ＝∠DHA ＝90°， ∴△MCP ∽△DHA ， ∴PCAH =MCDH 即 PC2=24 ∴PC ＝1∴OP ＝OC ﹣PG ＝3﹣1＝2， ∴S △POM ＝ 12×2×2 ＝2，7．【答案】（1）解：由题意，得 {0=16a −8a +c 4=c解得 {a =−12c =4∴所求抛物线的解析式为：y=﹣ 12 x 2+x+4（2）解：设点Q 的坐标为（m ，0），过点E 作EG ⊥x 轴于点G ．由﹣ 12 x 2+x+4=0， 得x 1=﹣2，x 2=4∴点B 的坐标为（﹣2，0） ∴AB=6，BQ=m+2 ∵QE ∥AC ∴△BQE ∽△BAC∴EG CO =BQBA 即 EG4=m+26 ∴EG =2m+43∴S △CQE =S △CBQ ﹣S △EBQ = 12 BQ •CO ﹣ 12 BQ •EG = 12 （m+2）（4﹣2m+43）= −13m 2+23m +83 =﹣ 13 （m ﹣1）2+3 又∵﹣2≤m ≤4∴当m=1时，S △CQE 有最大值3，此时Q （1，0） （3）解：存在．在△ODF 中． （ⅰ）若DO=DF ∵A （4，0），D （2，0） ∴AD=OD=DF=2又在Rt △AOC 中，OA=OC=4 ∴∠OAC=45度 ∴∠DFA=∠OAC=45度∴∠ADF=90度．此时，点F 的坐标为（2，2） 由﹣ 12 x 2+x+4=2， 得x 1=1+ √5 ，x 2=1﹣ √5此时，点P 的坐标为：P （1+ √5 ，2）或P （1﹣ √5 ，2）． （ⅱ）若FO=FD ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M由等腰三角形的性质得：OM= 12OD=1∴AM=3∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3∴F（1，3）由﹣12x2+x+4=3，得x1=1+ √3，x2=1﹣√3此时，点P的坐标为：P（1+ √3，3）或P（1﹣√3，3）．（ⅲ）若OD=OF∵OA=OC=4，且∠AOC=90°∴AC= 4√2∴点O到AC的距离为2√2，而OF=OD=2 <2√2，与OF≥2 √2矛盾，所以AC上不存在点使得OF=OD=2，此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形所求点P的坐标为：P（1+ √5，2）或P（1﹣√5，2）或P（1+ √3，3）或P（1﹣√3，3）8．【答案】（1）解：∵C为OB的中点，点B(0,4)，∴点C(0,2)，又∵M为AC中点，点A(4,0)，0+4 2=2,2+02=1，∴点M(2,1)（2）解：∵⊙P与直线AD，则∠CAD=90°，设：∠CAO=α，则∠CAO=∠ODA=∠PEH=α，tan∠CAO=OCOA =12=tanα，则sinα=√5，cosα=√5，AC=√10，则CD=ACsin∠CDA =√10sinα=10，则点D(0,−8)，设直线AD的解析式为：y=mx+n，将点A、D的坐标分别代入得：{0=4m+n−8=n，解得：{m=2n=−8，所以直线AD的表达式为：y=2x−8（3）解：设抛物线的表达式为：y=a(x−2)2+1，将点B坐标代入得：4=a(0-2)2+1，解得：a=34，故抛物线的表达式为：y=34x2−3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH=12EF=2√5，cos∠PEH=EHPE =2√5PE=cosα=√5，解得：PE=5，设点P(x,34x2−3x+4)，则点E(x,2x−8)，则PE=34x2−3x+4−2x+8=5，解得x=143或2(舍去2)，则点P(143,193) .9．【答案】（1）解：∵抛物线的解析式为y=−x2+4x+5，∴该抛物线的对称轴为：x=−42×(−1)=2，令y=−x2+4x+5中x=0，则y=5，∴点C的坐标为(0，5)，∵C、E关于抛物线的对称轴对称，∴点E的坐标为(2×2−0，5)，即(4，5)，令y =−x 2+4x +5中y =0，则−x 2+4x +5=0， 解得：x 1=−1，x 2=5，∴点A 的坐标为(−1，0)、点B 的坐标为(5，0)， 设直线AE 的解析式为y =kx +b ，将点A(−1，0)、E(4，5)代入y =kx +b 中， 得：{0=−k +b 5=4k +b ，解得：{k =1b =1，∴直线AE 的解析式为y =x +1； （2）（6，-7）（3）解：符合条件的m 值为0、3、3−√412和3+√412.10．【答案】（1）解：当x =0时，得y =4， ∴点C 的坐标为（0，4），当y =0时，得−23x +4=0，解得：x =6， ∴点B 的坐标为（6，0）， 将B ，C 两点坐标代入，得{36a +43×6+c =0，c =4. 解，得{a =−13，c =4.∴抛物线线的表达式为y =−13x 2+43x +4.∵y =−13x 2+43x +4=−13(x 2−4x +4−4)+4=−13(x −2)2+163.∴顶点D 坐标为(2，163)． （2）解：作MG ⊥x 轴于点G ，∵∠MFG =∠DFE ，∠MGF =∠DEF =90°， ∴ΔMGF ∽ΔDEF ．∴FM FD =MG DE．∴14=MG163．∴MG =43当y =43时，43=−23x +4 ∴x =4．∴点M 的坐标为(4，43)．（3）解：∵∠PAB +∠BCO =90°，∠CBO +∠BCO =90°， ∴∠PAB =∠CBO ，∵点B 的坐标为（6，0），点C 的坐标为（0，4）， ∴tan ∠CBO =46=23， ∴tan ∠PAB =23， 过点P 作PQ ⊥AB ， 当点P 在x 轴上方时，−13m 2+4m +12m +2=23解得m=4符合题意， 当点P 在x 轴下方时，13m 2−4m −12m +2=23解得m=8符合题意， ∴存在，m 的值为4或8．11．【答案】（1）解：∵A ，B 是抛物线 y =14x 2 上的两点，∴当 x =−2 时， y =14×(−2)2=1 ；当 x =4 时， y =14×42=4 ∴点A 的坐标为（-2，1），点B 的坐标为（4，4） 设直线AB 的解析式为 y =kx +b ， 把A ，B 点坐标代入得 {−2k +b =14k +b =4解得， {k =12b =2所以，直线AB 的解析式为： y =12x +2 ； （2）解：对于直线AB ： y =12x +2 当 x =0 时， y =2 ∴OC =2∴S ΔAOB =S ΔAOC +S ΔBOC = 12×2×2+12×2×4 =6 （3）412．【答案】（1）解：∵A （﹣1，0）， ∴OA=1 ∵OB=3OA ， ∴B （0，3）∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3（2）解：∵二次函数y=ax 2﹣2ax+c （a ＜0）的图象与x 轴负半轴交于点A （﹣1，0），与y 轴正半轴交于点B （0，3）， ∴c=3，a=﹣1，∴二次函数的解析式为：y=﹣x 2+2x+3 ∴抛物线y=﹣x 2+2x+3的顶点P （1，4） （3）解：设平移后的直线的解析式为：y=3x+m ∵直线y=3x+m 过P （1，4）， ∴m=1，∴平移后的直线为y=3x+1 ∵M 在直线y=3x+1，且 设M （x ，3x+1）①当点M 在x 轴上方时，有 3x+1x+1=32 ，∴x =13 ， ∴M 1(13,2)②当点M 在x 轴下方时，有 −3x+1x+1=32 ，∴x =−59 ， ∴M 2(−59 ， −23)（4）解：作点D 关于直线x=1的对称点D ′，过点D ′作D ′N ⊥PD 于点N ， 当﹣x 2+2x+3=0时，解得，x=﹣1或x=3， ∴A （﹣1，0）， P 点坐标为（1，4），则可得PD 解析式为：y=2x+2， 根据ND ′⊥PD ，设ND ′解析式为y=kx+b ， 则k=﹣ 12 ，将D ′（2，2）代入即可求出b 的值， 可得函数解析式为y=﹣ 12 x+3，将两函数解析式组成方程组得： {y =−12x +3y =2x +2 ，解得 {x =25y =145 ，故N （ 25 ， 145 ），由两点间的距离公式：d= √(2−25)2+(2−145)2 = 4√55， ∴所求最小值为4√5513．【答案】（1）解：把A （-1,0），B （2,0）代入抛物线解析式得： {a −b +4=04a +2b +4=0，解得： {a =−2b =2∴抛物线的解析式为： y =−2x 2+2x +4 （2）解：如图，连接OD ，由 y =−2x 2+2x +4 可得： 对称轴为 x =−22×(−2)=12 ，C （0,4）∵D(m,−2m 2+2m +4)(12<m <2) ，A （-1,0），B （2,0） ∴∴S △BCD =S △OCD +S △BCD −S △OBC=12×4m +12×2·(−2m 2+4m +2)−12×2×4=−2m 2+4m S △AOC =12×1×4=2又∵S △BCD +S △AOC =72 ∴−2m 2+4m +2=72 ，∴4m 2−8m +3=0解得： m 1=12 ， m 2=32 ，当 m 1=12 时，点在对称轴上，不合题意，舍去，所以取 m 2=32 ， 综上， m =32（3）解： M 1(0,0) ， M 2(4,0) ， M 3(√142,0) ， M 4(−√142,0)14．【答案】（1）解：令y =0，则−√33m (x +m)(x −3m)=0，解得x 1=−m ，x 2=3m ；令x =0，则y =−√33m (0+m)(0−3m)=√3m .故A(−m ，0)，B(3m ，0)，D(0，√3m).（2）解：设直线ED 的解析式为y =kx +b ，将E(−3，0)，D(0，√3m)代入得：{−3k +b =0b =√3m解得，k =√33m ，b =√3m .∴直线ED 的解析式为y =√33mx +√3m .将y =−√33m (x +m)(x −3m)化为顶点式：y =−√33m (x −m)2+4√33m . ∴顶点M 的坐标为(m ，4√33m).代入y =√33mx +√3m 得：m 2=m∵m >0，∴m =1.所以，当m =1时，M 点在直线DE 上. 连接CD ，C 为AB 中点，C 点坐标为C(m ，0). ∵OD =√3，OC =1， ∴CD =2，D 点在圆上又∵OE =3，DE 2=OD 2+OE 2=12， EC 2=16，CD 2=4， ∴CD 2+DE 2=EC 2.∴∠EDC =90°∴直线ED 与⊙C 相切.（3）解：当0<m <3时，S △AED =12AE ⋅OD =√32m(3−m)S =−√32m 2+3√32m . 当m >3时，S ΔAED =12AE ⋅OD =√32m(m −3).即S =√32m 2_3√32m . S 关于m 的函数图象的示意图如右：15．【答案】（1）6；1（2）解：①由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为x＝﹣1，故设点M的坐标为（﹣1，m），则OM＝12+m2＝（√17）2，解得m＝4（舍去）或﹣4，故点M的坐标为（﹣1，﹣4），由点O、M的坐标得，直线OM（即ON）的表达式为y＝4x②，故答案为y＝4x；②联立①②并解得{x=−2y=−8，故点N（﹣2，﹣8），∵点C、N的纵坐标相同，故NC∥x轴，即NC∥AB；③当∠BFP为直角时，由A（﹣4，0），C（0，-8）可求AC解析式为y＝-2x﹣8，把x=-1，代入y＝-2x﹣8得，y＝-6，点F的坐标为：（-1，-6），由点F、B的坐标得，直线BF的表达式为y＝2x﹣4，当x＝﹣2时，y＝2x﹣4＝﹣8，故点N在直线BF上，连接FN，过点F作FP⊥BF交NC的延长线于点K，由直线BF 的表达式知，tan ∠BNK ＝2，则tan ∠FKN ＝ 12 ， 故设直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x+t ， 将点F 的坐标代入上式并解得t ＝﹣ 132 ，则直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x ﹣ 132 ，故设点P 的坐标为（m ，﹣ 12 m ﹣ 132 ）， 在Rt △AOC 中，tan ∠ACO ＝ AOCO ＝ 12 ，则tan ∠OCA ＝2， ∵△BFP 与△AOC 相似， 故∠FBP ＝∠ACO 或∠OAC ，则tan ∠FBP ＝tan ∠ACO 或tan ∠OAC ，即tan ∠FBP ＝ 12 或2， 由点B 、F 的坐标得：BF ＝ √32+62=3√5 ， 则PF ＝BFtan ∠FBP ＝3√52或6 √5 ，由点P 、F 的坐标得：PF 2＝（m+1）2+（﹣ 12 m ﹣ 132 +6）2＝（ 3√52）2或（6 √5 ）2， 解得m ＝2或﹣4（舍去）或11或﹣13（舍去）， 故点P 的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣ 152 ）； 当∠PBF 为直角时，过点B 作BP ⊥BF ，同理可求直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x+1，故设点P 的坐标为（m ，﹣ 12 m ﹣1），同理可得，PB ＝BFtan ∠FBP ＝3√52或6 √5 ，由点P 、B 的坐标得：PB 2＝（m-2）2+（﹣ 12 m+1）2＝（3√52）2或（6 √5 ）2，解得m＝-1（舍去）或5或14或﹣10（舍去），点P的坐标为（5，﹣32）或（14，-6）；综上，点P的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣152）或（5，﹣32）或（14，-6）；16．【答案】（1）解：当x=0时，y=−43x+4=4，则A(0，4)，把A(0，4)，C(6，0)代入y=−13x2+bx+c得{−12+6b+c=0c=4，解得{b=43c=4，∴抛物线解析式为y=−13x2+43x+4；（2）连接OP，设P(m，−13m2+43m+4)，当y=0时，−43x+4=0，解得x=3，则B(3，0)，S△ABP=S△AOP+S△POB−S△AOB=12⋅4⋅m+12⋅3⋅(−13m2+43m+4)−12⋅3⋅4=−12m2+4m，=−12(m−4)2+8，当m=4时，△ABP面积有最大值，最大值为8，此时P点坐标为(4，4)；（3）在Rt△OAB中，AB=√32+42=5，当点P′落在x轴上，如图2，∵△APH绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在x 轴上∴P′H′=PH=4−(−13m2+43m+4)=13m2−43m，AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90∘，∵∠P′BH′=∠ABO，∴△BP ′H ′ ∽ △BAO ，∴P ′H ′ ： OA =BH ′ ：OB ，即 (13m 2−43m) ： 4=BH ′ ：3， ∴BH ′=14m 2−m ， ∵AH ′+BH ′=AB ，∴m +14m 2−m =5 ，解得 m 1=2√5 ， m 2=−2√5( 舍去 ) ，此时P 点坐标为 (2√5，−8+8√53) ； 当点 P ′ 落在y 轴上，如图3，同理可得 P ′H ′=PH =13m 2−43m ， AH ′=AH =m ， ∠P ′H ′A =∠PHA =90∘ ， ∵∠P ′AH ′=∠BAO ， ∴△AH ′P ′′ ∽ △AOB ，∴P ′H ′ ： OB =AH ′ ：AO ，即 (13m 2−43m) ： 3=m ：4， 整理得 4m 2−25m =0 ，解得 m 1=254， m 2=0( 舍去 ) ，此时P 点坐标为 (254，−4348) ； 综上所述，P 点坐标为 (2√5，−8+8√53) 或 (254，−4348) ；。

二次函数综合题经典习题(含答案)

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P B AC O xy Q 二次函数综合题训练题型集合1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y 上. （1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由.1、 (1) m=1. ∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2. 即y=x 2-2x+1.(2) 设P 、E 两点的纵坐标分别为y P 和y E .∴ PE=h=y P -y E =(x+1)-(x 2-2x+1)=-x 2+3x. 即h=-x 2+3x (0＜x ＜3).(3) 存在.要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有PE=DC.∵ 点D 在直线y=x+1上,∴ 点D 的坐标为(1,2),∴ -x 2+3x=2 .即x 2-3x+2=0 .解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) ∴ 当P 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP 是平行四边形.2、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C.（1） 求这条抛物线的函数关系式.（2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S.① 求S 与t 的函数关系式；② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状；③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.E B A C P 图1O xy DE F PB AC Oxy Q图132、（1）∴ 所求抛物线的函数关系式为x x y 334332+-=.（2）① 过点B 作BE ⊥x 轴于E ，则BE=3，AE=1，AB=2. 由tan ∠BAE=3=AEBE，得∠BAE =60°.（ⅰ）当点Q 在线段AB 上运动，即0＜t ≤2时，QA=t ，PA=4-t .过点Q 作QF ⊥x 轴于F ，则QF=t 23，∴ S=21PA ²QF t t 23)4(21⋅-=t t 3432+-=.（ⅱ）当点Q 在线段BC 上运动，即2≤t ＜4时，Q 点的纵坐标为3，PA=4-t .这S=3)4(21⋅-t 3223+-=t②（ⅰ）当0＜t ≤2时，3)2(4334322+--=+-=t t t S . ∵ 043<-，∴ 当t =2时，S 有最大值，最大值S=3. （ⅱ）当2≤t ＜4时，3223+-=t S ∵ 023<-， ∴ S 随着t 的增大而减小.∴ 当t =2时，S 有最大值，最大值332223=+⋅-=S . 综合（ⅰ）（ⅱ），当t =2时，S 有最大值，最大值为3. △PQA 是等边三角形. ③ 存在. 当点Q 在线段AB 上运动时，要使得△PQA 是直角三角形，必须使得∠PQA=90°，这时PA=2QA ，即4-t =2t ，∴ 34=t . ∴ P 、Q 两点的坐标分别为P 1(34,0)，Q 1(310,332). 当点Q 在线段BC 上运动时，Q 、P 两点的横坐标分别为5-t 和t ，要使得△PQA 是直角三角形，则必须5-t =t ，∴ 25=t ∴ P 、Q 两点的坐标分别为P 2(25,0)，Q 2(25,3)3、（07海南中考）如图7，直线434+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积；（3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE 的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = .1、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图4的二次函数图象（部分）反映了该公司年初以来累积利润S （万元）与时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）.根据图象提供信息，解答下列问题： （1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润S 与时间t 之间的函数关系式；C A M yB O x 图7C A M yB O x 备用C A M yB O x 备用E F PB AC O xy Q图13（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元； （4）求第8个月公司所获利是多少元？2、(07年海口模拟二)如图5，已知抛物线c x b x a y ++=2的顶点坐标为E （1,0），与y 轴的交点坐标为（0,1）.（1）求该抛物线的函数关系式.（2）A 、B 是x 轴上两个动点，且A 、B 间的距离为AB=4，A 在B 的左边，过A 作AD ⊥x 轴交抛物线于D ，过B 作BC ⊥x 轴交抛物线于C. 设A 点的坐标为（t ,0），四边形ABCD 的面积为S.① 求S 与t 之间的函数关系式.② 求四边形ABCD 的最小面积，此时四边形ABCD 是什么四边形？③ 当四边形ABCD 面积最小时，在对角线BD 上是否存在这样的点P ，使得△PAE 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及这时△PAE 的周长；若不存在，说明理由.2、（1）∴ 所求抛物线的函数关系式为x x y 334332+-=.（2）① 过点B 作BE ⊥x 轴于E ，则BE=3，AE=1，AB=2. 由tan ∠BAE=3=AEBE，得∠BAE =60°.（ⅰ）当点Q 在线段AB 上运动，即0＜t ≤2时，QA=t ，PA=4-t .过点Q 作QF ⊥x 轴于F ，则QF=t 23，∴ S=21PA ²QF t t 23)4(21⋅-=t t 3432+-=.（ⅱ）当点Q 在线段BC 上运动，即2≤t ＜4时，Q 点 的纵坐标为3，PA=4-t .这S=3)4(21⋅-t 3223+-=tx y D图5 E B A C O 1 xyE O 1 备用图 -3 0 -1-21 234 S(万元)图41 2 3 4 5 6 t(月)②（ⅰ）当0＜t ≤2时，3)2(4334322+--=+-=t t t S . ∵ 043<-，∴ 当t =2时，S 有最大值，最大值S=3. （ⅱ）当2≤t ＜4时，3223+-=t S ∵ 023<-， ∴ S 随着t 的增大而减小.∴ 当t =2时，S 有最大值，最大值332223=+⋅-=S . 综合（ⅰ）（ⅱ），当t =2时，S 有最大值，最大值为3. △PQA 是等边三角形. ③ 存在. 当点Q 在线段AB 上运动时，要使得△PQA 是直角三角形，必须使得∠PQA =90°，这时PA=2QA ，即4-t =2t ，∴ 34=t . ∴ P 、Q 两点的坐标分别为P 1(34,0)，Q 1(310,332). 当点Q 在线段BC 上运动时，Q 、P 两点的横坐标分别为5-t 和t ，要使得△PQA 是直角三角形，则必须5-t =t ，∴ 25=t ∴ P 、Q 两点的坐标分别为P 2(25,0)，Q 2(25,3)3、(07浙江中考)如图6，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。

初三二次函数综合测试题及答案

初三二次函数综合测试题及答案

二次函数单元测评一、选择题(每题3分，共30分)1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )A. B. C. D.2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A. (1，-4)B.(-1，2)C. (1，2)D.(0，3)3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x轴上D. y轴上二、4. 抛物线的对称轴是( )A. x=-2B.x=2C. x=-4D. x=45. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是(A. ab>0，c>0B. ab>0，c<0C. ab<0，c>0D. ab<0，c<06.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( ) A. 一B. 二C. 三 D. 四7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是( )A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线 上的点，且-1<x 1<x 2，x 3<-1，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3 B. y 2<y 3<y 1 C. y 3<y 1<y 2 D. y 2<y 1<y 3 10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( ) A. B. C. D.二、填空题(每题4分，共32分)11. 二次函数y=x 2-2x+1的对称轴方程是______________.12. 若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.(m/s)竖直向上抛物16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：=10m/s，则该物体在运(其中g是常数，通常取10m/s2).若v动过程中最高点距地面_________m.17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.的值是18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1三、解答下列各题(19、20每题9分，21、22每题10分，共38分)19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0) (1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标(2)求此二次函数的解析式；20.在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交 x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；.(2)求△MCB的面积S△MCB1.考点：二次函数概念.选A.2.考点：求二次函数的顶点坐标.解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，答案选C.3. 考点：二次函数的图象特点，顶点坐标.解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x轴上，答案选C.4. 考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为.解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B.5.考点：二次函数的图象特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，答案选C.6.考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方在第四象限，答案选D.7.考点：二次函数的图象特征.解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x轴于点D，所以A、B两点关于对称轴对称，因为点A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C.8.考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状.解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y轴左侧，交坐标轴于(0，0)点.答案选C.9. 考点：一次函数、二次函数概念图象与性质.解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1<x1<x2，当x>-1时，由图象知，y随x的增大而减小，所以y2<y1；又因为x3<-1，此时点P3(x3，y3)在二次函数图象上方，所以y2<y1<y3.答案选D.10.考点：二次函数图象的变化.抛物线的图象向左平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到.答案选C.考点：二次函数性质.解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程.答案x=1.12.考点：利用配方法变形二次函数解析式.解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.答案y=(x-1)2+2.13. 考点：二次函数与一元二次方程关系.解析：二次函数y=x2-2x-3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，求得x1=-1，x2=3，则AB=|x2-x1|=4.答案为4.14.考点：求二次函数解析式.解析：因为抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-3.15.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，.解析：需满足抛物线与x轴交于两点，与y轴有交点，与△ABC是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-1.16.考点：二次函数的性质，求最大值.解析：直接代入公式，答案：7.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一.解析：如：y=x2-4x+3.18.考点：二次函数的概念性质，求值.答案：.19. 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式.解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20.考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式. 解析：(1)由已知x 1，x 2是x 2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x 1+1)(x 2+1)=-8 ∴x 1x 2+(x 1+x 2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5∴y=x 2-9为所求(2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5)，P(2，-9).21. 解：(1)依题意：。

二次函数单元综合测试卷(含答案)

二次函数单元综合测试卷(含答案)

二次函数综合测试卷一、填空：(30分)1．二次函数的图象经过三个定点（2，0），（3，0），（•0，-•1），则它的解析式为________，该图象的顶点坐标为__________．2．当k=________时，直线x+2y+k+1=0和2x+y+2k=0的交点在抛物线y=-x2上．3．已知二次函数y=x2-2（k+1）x+k2+2的图象与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且（x1+1）（x2+1）=8，则k的值为__________．4．如果y与x2成正比例，并且它的图象上一点P的横坐标a和纵坐标b分别是方程x2-x-6=0的两根，那么这个函数的解析式为_________．5．抛物线y=x2-4x+11的对称轴是直线________，顶点坐标为________．6．如果抛物线y=-23x2+（m+2）x+27m的对称轴为直线x=32，则m的值为_________．7．把函数y=5x2+10mx+n的图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，•所得图象的函数解析式为y=5x2+30x+44，则m=_______，n=_______．8．二次函数y=a x2+bx+c中的a、b、c满足条件________时，•它的图象经过坐标系中的四个象限．9．开口向下的抛物线y=a（x+1）（x-4）与x轴交于A、B两点，与y•轴交于点C．•若∠ACB=90°，则a的值为________．10．如图，二次函数y=x2-ax+a-5的图象交x轴于点A和B，交y轴于点C，当线段AB•的长度最短时，点C的坐标为________．二、选择题：(20分)11．在同一直角坐标系内，二次函数y1=ax2+bx+c与y2=cx2+bx+a的图象大致为（）12．在同一直角坐标系内，函数y=ax2+bx与y=bx（b≠0）的图象大致为（）13．给出下列四个函数：y=-2x，y=2x-1，y=3x（x>0），y=-x2+3（x>0），其中y随x•的增大而减小的函数有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个14．当m取任何实数时，抛物线y=-2（x-m）2-m的顶点所在的直线为（）A．x轴 B．y轴 C．y=x D．y=-x15．当m取任何实数时，抛物线y=-2（x+m）2-m2的顶点所在的曲线为（）A．y=x2 B．y=-x2 C．y=x2（x>0） D．y=-x2（x>0）16．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y=x2-4x+3关于x轴对称，则a、b、c•的值分别是（） A．-1，4，-3 B．-1，-4，-3 C．-1，4，3 D．-1，-4，317．已知抛物线y=a x2+bx+c（a≠0）与抛物线y=x2-4x+3关于y轴对称，则函数y=ax2+bx+c的解析式为（）A．y=x2+4x+3 B．y=x2-4x-3 C．y=x2+4x-3 D．y=-x2-4x+318．从一张矩形纸片ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个半圆，它们的直径分别是AE、DE，要使剪下的两个半圆的面积和最小，点E应选在（）A．边AD的中点外 B．边AD的13处 C．边AD的14处 D．边AD的15处19．对某条路线的长度进行n次测量，得到n个结果x1，x2，…，x n，如果用x作为这条路线长度的近似值，当x=p时，（x-x1）2+（x-x2）2+…+（x-x n）2最小，则p的值为（）A．1n（x1+x2+…+x n） B．1n（x1-x2-…-x n）C．1nn+（x1+x2+…+x n） D．1nn+（x1+x2+…+x n）20．已知函数y=-（x-1）2-（x-3）2-（x-5）2-（x-7）2，当x=p时，函数y取得最大值，则p•的值为（）A．4 B．8 C．10 D．16三、解答题：(90分)1．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x=t•截这个三角形所得位于直线左方的图形面积为y．（1）写出以自变量为t的函数y的解析式；（2）画出（1）中函数y的图象．2．如图，AB是半径为R的圆的直径，C为直径AB上的一点，•过点C•剪下两个正方形ADCE和BFCG，它们的对角线分别是AC、CB．要使剪下的两个正方形的面积和最小，•点C应选在何处？3．已知一个二次函数的图象过点A（-1，10），B（1，4），C（2，7），点D和B•关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只有一个公共点D的直线？如果存在，求出符合条件的直线；如不存在，请说明理由．4．如图，在直角坐标系xOy中，A、B是x轴上的两点，以AB为直径的圆交y轴于C，设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x2-mx+n，方程x2-mx+n=0的两根倒数和为-2．（1）求n的值；（2）求此抛物线的解析式；（3）设平行于x轴的直线交此抛物线于E、F两点，问是否存在此线段EF•为直径的圆恰好与x轴相切，若存在，求出此圆的半径；若不存在，说明理由．5．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过x度，•那么这个月这户居民只交10元用电费．如果超过x度，这个月除了要交10元用电费外，超过部分按每度元交费．（1）该厂某户居民1月份用电90度，超过了x度的规定，试用x的代数式表示超过部分应交的电费（元）；（2）下表是这户居民2月、3月的用电情况和交费情况，请根据表中的数据，•求出电厂规定的这个标准x度．月份用电量（度）交电费总数（元）2月 80 253月 45 106．如图（1），平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A•点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6）．D是BC边上的动点（与点B、C不重合），现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，使△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，DF重合．（1）如图②，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；（2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；（3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线y=-124x2+6的公共点的个数，•在图②的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线y=-124x2+6始终有公共点，请在图①中作出这样的公共点．附加题：(10分)当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：由抛物线y=x 2-2mx+m 2+3m-2． ① 得y=（x-m ）2+3m-2 ②抛物线的顶点坐标为（m ，3m-2），即32x my m =⎧⎨=-⎩ 当m 的值变化时，x ，y 的值也随之变化，•因而y 值也随x 值的变化而变化．将③代入④，得y=3x-2 ⑤可见不论m 取任何实数抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足关系式y=3x-2，即抛物线①的顶点总在直线y=3x-2上．在上述过程中，由①到②所用的数学方法是__________；由③、④到⑤所用的数学方法是________．请解答:求出抛物线y=x 2-4mx+4m 2-2m•的顶点的纵坐标y 和横坐标x 之间的关系式．答案:一、填空： 1．y=-16x 2+56x-1 （52，124）2．13±63 3．14．y=-29x 2和y=34x 25．x=2 （2，7） 6．0 7．1 18．a 、c 异号，b 为任何实数 9．-10．（0，-3）（设A （x 1，0），B （x 2，0）．（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=a 2-4a+20=（a-2）2+16．当a=2时，•线段AB 的长度最短为4，此时y=x 2-2x-3，点C 的坐标为（0，-3） 二、选择题：11．D 12．D 13．A 14．D 15．B 16．A 17．A 18．A 19．A 20．A 三、解答题：1．（1）y=223(01)23(2)3(2)2t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪--+≤≤⎪⎩（2）如第1题图.2．设AC 长为x ，BC 长为2R-x ，S 正方形ADCE =12x 2，S 正方形BFCG =12（2R-x ）2． 两个正方形面积之和为y=12x 2+12（2R-x ）2=x 2-2Rx+2R 2=（x-R ）2+R 2， 当x=R 时，两个正方形面积之和有最小值R 2，此时点C 应选在AB•的中点处，即圆心．3．过点A 、B 、C 的抛物线的解析式为y=2x 2-3x+5，其对称轴为直线x=34． 因D 和B 关于直线x=34对称，所以D 点坐标为（12，4）． 与抛物线只有一个公共点D 的直线有两条：（1）平行于y 轴，即直线x=12． （2）不平行于y 轴，设直线为y=kx+b ，因为过D 点，所以4=12k+b ． 即k=8-2b ，（8-2b ）x+b=2x 2-3x+5．2x 2+（2b-11）x+5-b=0．方程有两个相等的实数根，△=（2b-11）2-8（5-b ）=0，解得b=92，k=-1．所以y=-x+92．符合条件的直线为y=-x+92和x=12． 4．（1）设A （x 1，0），B （x 2，0），则OA=-x 1，OB=x 2．因为AB 是直径，OC ⊥AB ，所以CO 2=OA·OB ，•即n 2=-x 1x 2． 又x 1x 2=n ，所以n 2=-n ，n=-1，n=0（舍去）． （2）11x +21x =1212x x x x +=-2，又x 1+x 2=m ，x 1x 2=-1，1m -=-2，m=2， 所求的抛物线的解析式为y=x 2-2x-1．（3）由（2）得抛物线的对称轴为x=1．设满足条件的圆的半径为│a │， 则点F•的坐标为（1+│a │，a ），点F 在抛物线上，a=（1+│a │）2-2（1+│a │）-1，即a 2-a-2=0，a 1=2，a 2=-1， 所求的圆的半径为1或2，故存在以EF 为直径的圆，恰好与x 轴相切． 5．（1）100x（90-x ）元 （2）表格中的数据告诉我们，这户居民2月份用电超标，3•月份用电不超标， 可见45≤x<80，列出方程10+100x（80-x ）=25，即x 2-80x+150=0，解得x 1=30，x 2=50． 因45≤x<80，所以x=30，电厂规定的标准是30度．6．（1）解：根据题意，可知D （6，6），E （10，2），直线DE 的函数关系式为y=-x+12． （2）解：根据题意，可知∠CDO=∠ODF ，∠BDE=∠GDE ．∠CDO+∠ODF+∠BDE+∠GDE=180°，•∠CDO+∠BDE=90°，∠COD+∠CDO=90°，∠COD=∠BDE ．又∠COD=∠DBE=90°，△COD ≌△BDE ．CE COBE BD=． 根据题意，可知BE=6-b ，BD=10-a ，6610a b a =--，b+16a 2-53a+6=16（a-5）2+116． 当a=5时，b 最小值=116．（3）猜想：直线DE 与抛物线y=-124x 2+6只有1个公共点． 证明:由（1）可知，DE 所在直线为y=-124x+12． 代入抛物线y=-x 2+6，消去y ，得-124x 2+6=-x+12．化简，得x 2-24x+144=0，△=0． 直线DE 与抛物线y=-124x 2+6只有1个公共点． 作法一：延长OF 交DE 于点H ，作法二：在DB 上取点M ，使DM=CD ，过M 作MH ⊥BC ，交DE 于点H ． 附加题：配方法; 消元法; y=-4x.。

初中数学二次函数综合题及答案(经典题型)印.pdf

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二次函数试题
选择题： 1、y=(m-2)xm2- m 是关于 x 的二次函数，则 m=（ ）
A -1 B 2 C -1 或 2 D m 不存在
2、下列函数关系中，可以看作二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是（ ）
A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B 我国人中自然增长率为 1%，这样我国总人口数随年份变化的关系
a
b
=
b+c a+c
A -1 B 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
=
a+b 1
C
2
的值是（ ）
1
D-
2
-1 0
x
8、已知一次函数 y= ax+c 与二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（
x ）
y
y
y
y
x
A
B
x
x
x
C
D
二填空题： 13、无论 m 为任何实数，总在抛物线 y=x2＋2mx＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线 x＝２，最小值为－２，则关于方程 ax2+bx+c＝－２的根为—
且交点 M 始终位于抛物线上 A、C 两点之间时，试探究：当 n 为何值时，四边形 AMCN 的面积取得最大值，并求出这个最大
值．
y
y
l:x＝n
M
A
A
O
B
D
C x
O
B
C
N
x
D
6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC 与 y 轴相交于点 M，且 M 是 BC

人教中考数学《二次函数的综合》专项训练及详细答案

人教中考数学《二次函数的综合》专项训练及详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB ，tan ∠ABC=2，点B 的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使PE=12DE ． ①求点P 的坐标；②在直线PD 上是否存在点M ，使△ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x 2﹣3x+4；（2）①P （﹣1，6），②存在，M （﹣1，11）或（﹣1，311）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）． 【解析】【分析】（1）先根据已知求点A 的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）①先得AB 的解析式为：y=-2x+2，根据PD ⊥x 轴，设P （x ，-x 2-3x+4），则E （x ，-2x+2），根据PE=12DE ，列方程可得P 的坐标； ②先设点M 的坐标，根据两点距离公式可得AB ，AM ，BM 的长，分三种情况：△ABM 为直角三角形时，分别以A 、B 、M 为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M 的坐标．【详解】解：（1）∵B （1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C （﹣2，0），Rt △ABC 中，tan ∠ABC=2，∴AC 2BC =， ∴AC 23=， ∴AC=6， ∴A （﹣2，6）， 把A （﹣2，6）和B （1，0）代入y=﹣x 2+bx+c 得：42610b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：34bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），∴AB的解析式为：y=﹣2x+2，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），∵PE=12DE，∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=12（﹣2x+2），∴x=-1或1（舍），∴P（﹣1，6）；②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），设M（﹣1，y），∵B（1，0），A（﹣2，6）∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，解得：y=311，∴M（﹣1，11）或（﹣1，311ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，∴y=﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，∴y=132，∴M（﹣1，132）；综上所述，点M 的坐标为：∴M （﹣1，3+11）或（﹣1，3﹣11）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）． 【点睛】 此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．2．如图，已知A （﹣2，0），B （4，0），抛物线y=ax 2+bx ﹣1过A 、B 两点，并与过A 点的直线y=﹣12x ﹣1交于点C ． （1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=211184x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣12）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 【解析】 分析：（1）由待定系数法求解即可；（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得042101641a b a b --⎧⎨+-⎩＝＝解得1814 ab⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝∴抛物线解析式为：y=18x2−14x−1∴抛物线对称轴为直线x=-141228ba-=-⨯＝1（2）存在使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点．设过点C′、O直线解析式为：y=kx∴k=-12∴y=-12x则P点坐标为（1，-12）（3）当△AOC∽△MNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°∴∠CDN=∠CAO由相似，∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵MN⊥AC∴M、D关于AN对称，则N为DM中点设点N 坐标为（a ，-12a-1） 由△EDN ∽△OAC∴ED=2a∴点D 坐标为（0，-52a−1） ∵N 为DM 中点 ∴点M 坐标为（2a ，32a−1） 把M 代入y=18x 2−14x−1，解得 a=4 则N 点坐标为（4，-3）当△AOC ∽△CNM 时，∠CAO=∠NCM∴CM ∥AB 则点C 关于直线x=1的对称点C′即为点N由（2）N （2，-1）∴N 点坐标为（4，-3）或（2，-1）点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．3．在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C .（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为212y x x =-;抛物线的对称轴为直线x =;（Ⅱ）P 点坐标为9(0,)4-;（Ⅲ）存在，Q 点坐标为或(-，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）将3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解.【详解】（Ⅰ）∵2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -，∴232a -=⨯-12a =， ∴抛物线的解析式为212y x x =，∵21222b x a =-=-=⨯ ∴抛物线的对称轴为直线2x =. （Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为x =， ∴点O 关于对称轴的对称点B点坐标为.作点B 关于轴的对称点1B，得1(B -，设直线AB 1的解析式为y kx b =+，把点3)A -，点1(B -代入得30b b⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得494k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴944y x =--. ∴直线94y x =-与y 轴的交点即为P 点. 令0x =得9y 4=-，∵P 点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵3)A -，//AC x 轴，∴AC =3OC =，∴11322AOC S OC AC ∆=⋅=⋅=又∵13AOC AOQ S S ∆∆=，∴9332AOQ AOC S S ∆∆==. 设Q 点坐标为2133(,)2m m m -， 如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ， ∵932AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴()2113311333332222m m m m ⎛⎫⋅+-+-⋅⋅- ⎪ ⎪⎭-⎝21339332m m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 化简整理得23180m m --=， 解得133m =，223m =-.如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ，∵932AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴2211331133(3m)3()2222m m m ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭393(3)2m m --+=，化简整理得23180m m -=，解得133m =223m =-∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-，∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.4．在平面直角坐标系中，有两点(),A a b 、(),B c d ，若满足：当a b ≥时，c a =，2d b =-；当a b <时，c a <-，d b <，则称点为点的“友好点”.（1）点()4,1的“友好点”的坐标是_______.（2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，点B 是点A 的“友好点”.①当B 点与A 点重合时，求点A 的坐标.②当A 点与A 点不重合时，求线段AB 的长度随着a 的增大而减小时，a 的取值范围.【答案】（1）()41-,；（2）①点A 的坐标是()2,0或()1,1-；②当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小；【解析】【分析】（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B 点坐标，A 点又在直线2y x =-上，得到2b a =-；①当点A 和点B 重合，得2b b =-．解出即可，②当点A 和点B 不重合， 1a ≠且2a ≠．所以对a 分情况讨论，1°、当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取1a <．2°当12a <<时，()22231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+ ⎪⎝⎭，当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取322a ≤<． 综上，当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【详解】（1）点()4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点()4,1的“友好点”的坐标是()41-,（2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，∴2b a =-．2a a >-，根据友好点的定义，点B 的坐标为()2,B a b -， ①当点A 和点B 重合，∴2b b =-．解得0b =或1b =-．当0b =时，2a =；当1b =-时，1a =，∴点A 的坐标是()2,0或()1,1-．②当点A 和点B 不重合，1a ≠且2a ≠．当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭． ∴当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取1a <． 当12a <<时， ()22231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+ ⎪⎝⎭ ． ∴当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取322a ≤<． 综上，当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【点睛】 本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB 的长用a 进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论5．如图，已知点A （0，2），B （2，2），C （-1，-2），抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2与直线x=-2交于点P ．（1）当抛物线F 经过点C 时，求它的解析式；（2）设点P 的纵坐标为y P ，求y P 的最小值，此时抛物线F 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），且x 1＜x 2≤-2，比较y 1与y 2的大小.【答案】(1) 221y x x =+-；(2)12y y >.【解析】【分析】 （1）根据抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2过点C （-1，-2），可以求得抛物线F 的表达式； （2）根据题意，可以求得y P 的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y 1与y 2的大小.【详解】(1) ∵抛物线F 经过点C （－1，－2），∴22122m m -=++-.∴m 1=m 2=-1.∴抛物线F 的解析式是221y x x =+-.(2)当x=-2时，2442P y m m =++-=()222m +-. ∴当m=-2时，P y 的最小值为－2.此时抛物线F 的表达式是()222y x =+-.∴当2x ≤-时，y 随x 的增大而减小.∵12x x <≤－2，∴1y >2y .【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．6．温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y （单位：万元/吨）与销售数量x （2≤x ≤10，单位：吨）之间的函数关系如图所示．（1）若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w ）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用）（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨．深加工费用y（单位：万元）与加工数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝12x+3（2≤x≤10）．①当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？②该公司买入杨梅吨数在范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？【答案】（1）杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）当x＝8时，此时W最大值＝40万元；（3）①该公司买入杨梅3吨；②3＜x≤8．【解析】【分析】（1）设其解析式为y＝kx+b，由图象经过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可得到结论；（2）根据题意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣12x+13﹣4）x＝﹣12x2+9x，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）①根据题意列方程，即可得到结论；②根据题意即可得到结论．【详解】（1）由图象可知，y是关于x的一次函数．∴设其解析式为y＝kx+b，∵图象经过点（2，12），（8，9）两点，∴212 89k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得k＝﹣12，b＝13，∴一次函数的解析式为y＝﹣12x+13，当x＝6时，y＝10，答：若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）根据题意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣12x+13﹣4）x＝﹣12x2+9x，当x ＝﹣2ba＝9时，x ＝9不在取值范围内， ∴当x ＝8时，此时W 最大值＝﹣12x 2+9x ＝40万元； （3）①由题意得：﹣12x 2+9x ＝9x ﹣（12x +3） 解得x ＝﹣2（舍去），x ＝3， 答该公司买入杨梅3吨；②当该公司买入杨梅吨数在 3＜x ≤8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些．故答案为：3＜x ≤8． 【点睛】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣3（a≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ =5：2，求K 点坐标．【答案】（1）y=38x 2﹣34x ﹣3 （2）运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910（3）K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）【解析】 【详解】试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣910（t ﹣1）2+910．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=34x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）．如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =94．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣34m 2+3m=94．易求得K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）．解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得3834a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以该抛物线的解析式为：y=38x 2﹣34x ﹣3；（2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ． ∴PB=6﹣3t ．由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）． 在Rt △BOC 中，BC=2234+=5． 如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．∴QH ∥CO ， ∴△BHQ ∽△BOC ，∴HB OC BGBC=，即Hb 35t=，∴HQ=35t ． ∴S △PBQ =12PB•HQ=12（6﹣3t ）•35t=﹣910t 2+95t=﹣910（t ﹣1）2+910．当△PBQ 存在时，0＜t ＜2 ∴当t=1时，S △PBQ 最大=910． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）． 把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得403k c c +=⎧⎨=-⎩， 解得3k 4c 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为y=34x ﹣3． ∵点K 在抛物线上．∴设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，34m ﹣3）．∴EK=34m ﹣3﹣（38m 2﹣34m ﹣3）=﹣38m 2+32m ．当△PBQ 的面积最大时，∵S △CBK ：S △PBQ =5：2，S △PBQ =910．∴S△CBK=94．S△CBK=S△CEK+S△BEK=12EK•m+12•EK•（4﹣m）=12×4•EK=2（﹣38m2+32m）=﹣34m2+3m．即：﹣34m2+3m=94．解得 m1=1，m2=3．∴K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．8．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=12．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12x2+32x﹣2；（2）9；（3）点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．【解析】（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值．（3）如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF 的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，由实际问题列函数关系式，二次函数最值，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆的切线性质．9．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC 于点D，求△DMH周长的最大值．【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACO=30°，∴=tan30°=，即=，解得AO=1，∴A（﹣1，0）；（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，此时DM=×=，即△DMH周长的最大值为．考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想10．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；（2）点E的坐标为E（﹣4，5）（3）当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG.【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方求对称轴；（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），先根据已知条件求S△ACE=10，根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值，并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E，则点E 的横坐标小于﹣1，对m的值进行取舍，得到E的坐标；（3）分两种情况：①当B在原点的左侧时，构建辅助圆，根据直径所对的圆周角是直角，只要满足∠BPF=90°就可以构成∠OBP=∠FPG，如图2，求出圆E与y轴有一个交点时的m值，则可得取值范围；②当B在原点的右侧时，只有△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形时满足条件，直接计算即可．试题解析：（1）当m=﹣3时，B（﹣3，0），把A（1，0），B（﹣3，0）代入到抛物线y=x2+bx+c中得：，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），由题意得：AD=1+1=2，OC=3，S△ACE=S△ACD=×ADOC=×2×3=10，设直线AE的解析式为：y=kx+b，把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，，解得：，∴直线AE的解析式为：y=（m+3）x﹣m﹣3，∴F（0，﹣m﹣3），∵C（0，﹣3），∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，∴S△ACE=FC（1﹣m）=10，﹣m（1﹣m）=20，m2﹣m﹣20=0，（m+4）（m﹣5）=0，m1=﹣4，m2=5（舍），∴E（﹣4，5）；（3）如图2，当B在原点的左侧时，连接BF，以BF为直径作圆E，当⊙E与y轴相切时，设切点为P，∴∠BPF=90°，∴∠FPG+∠OPB=90°，∵∠OPB+∠OBP=90°，∴∠OBP=∠FPG，连接EP，则EP⊥OG，∵BE=EF，∴EP是梯形的中位线，∴OP=PG=2，∵FG=1，tan∠FPG=tan∠OBP=，∴，∴m=﹣4，∴当﹣4≤m＜0时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG；如图3，当B在原点的右侧时，要想满足∠OBP=∠FPG，则∠OBP=∠OPB=∠FPG，∴OB=OP，∴△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形，∴FG=PG=1，∴OB=OP=3，∴m=3，综上所述，当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG．考点：二次函数的综合题.。

中考数学二次函数综合经典题含详细答案

中考数学二次函数综合经典题含详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．对于二次函数 y=ax 2+（b+1）x+（b ﹣1），若存在实数 x 0，使得当 x=x 0，函数 y=x 0，则称x 0 为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b ，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A 、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A 、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值. 【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－98【解析】 【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得. 【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a=- A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b ba a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称， 又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上.∴b a -=ba-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.2．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y xy x=+⎧⎨=-+⎩，得45215xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E，(0,1)F∵点M在AOB∆内，∴45b<<当点,C D关于抛物线对称轴（直线x b=）对称时，1344b b-=-，∴12b=且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线41y x=+上综上：①当12b<<时，12y y>；②当12b=时，12y y=；③当1425b<<时，12y y<.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.3．对于某一函数给出如下定义：若存在实数m，当其自变量的值为m时，其函数值等于﹣m，则称﹣m为这个函数的反向值．在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n称为这个函数的反向距离．特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n为零．例如，图中的函数有4，﹣1两个反向值，其反向距离n等于5．（1）分别判断函数y＝﹣x+1，y＝1x-，y＝x2有没有反向值？如果有，直接写出其反向距离；（2）对于函数y＝x2﹣b2x，①若其反向距离为零，求b的值；②若﹣1≤b≤3，求其反向距离n的取值范围；（3）若函数y＝223()3()x x x mx x x m⎧-≥⎨--<⎩请直接写出这个函数的反向距离的所有可能值，并写出相应m的取值范围．【答案】（1）y＝−1x有反向值，反向距离为2；y＝x2有反向值，反向距离是1；（2）①b＝±1；②0≤n≤8；（3）当m＞2或m≤﹣2时，n＝2，当﹣2＜m≤2时，n＝4．【解析】【分析】(1)根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有方向值，有反向值的可以求出相应的反向距离；(2)①根据题意可以求得相应的b的值；②根据题意和b的取值范围可以求得相应的n的取值范围；(3)根据题目中的函数解析式和题意可以解答本题．【详解】(1)由题意可得，当﹣m＝﹣m+1时，该方程无解，故函数y＝﹣x+1没有反向值，当﹣m＝1m-时，m＝±1，∴n＝1﹣(﹣1)＝2，故y＝1x-有反向值，反向距离为2，当﹣m＝m2，得m＝0或m＝﹣1，∴n＝0﹣(﹣1)＝1，故y＝x2有反向值，反向距离是1；(2)①令﹣m＝m2﹣b2m，解得，m＝0或m＝b2﹣1，∵反向距离为零，∴|b2﹣1﹣0|＝0，解得，b＝±1；②令﹣m＝m2﹣b2m，解得，m＝0或m＝b2﹣1，∴n＝|b2﹣1﹣0|＝|b2﹣1|，∵﹣1≤b≤3，∴0≤n≤8；(3)∵y＝223()3() x x x mx x x m⎧-≥⎨--<⎩，∴当x≥m时，﹣m＝m2﹣3m，得m＝0或m＝2，∴n＝2﹣0＝2，∴m＞2或m≤﹣2；当x＜m时，﹣m ＝﹣m 2﹣3m ， 解得，m ＝0或m ＝﹣4， ∴n ＝0﹣(﹣4)＝4， ∴﹣2＜m ≤2，由上可得，当m ＞2或m ≤﹣2时，n ＝2， 当﹣2＜m ≤2时，n ＝4． 【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题目中的新定义，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答相关问题．4．如图1，二次函数234y ax ax a =--的图像与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点()0,3C-.（1）求二次函数的表达式及点A 、点B 的坐标;（2）若点D 在二次函数图像上，且45DBC ABC S S =△△，求点D 的横坐标;（3）将直线BC 向下平移，与二次函数图像交于,M N 两点(M 在N 左侧)，如图2，过M 作ME y ∥轴，与直线BC 交于点E ，过N 作NF y ∥轴，与直线BC 交于点F ，当MN ME +的值最大时，求点M 的坐标.【答案】（1）y ＝239344x x --，A （﹣1，0），B （4，0）；（2）D 点的横坐标为22﹣2，2；（3）M （13，﹣113） 【解析】 【分析】（1）求出a ，即可求解；（2）求出直线BC 的解析式，过点D 作DH ∥y 轴，与直线BC 交于点H ，根据三角形面积的关系求解；（3）过点M 作MG ∥x 轴，交FN 的延长线于点G ，设M （m ，34m 2﹣94m ﹣3），N（n，34n2﹣94n﹣3），判断四边形MNFE是平行四边形，根据ME＝NF，求出m+n＝4，再确定ME+MN＝﹣34m2+3m+5﹣52m＝﹣34（m﹣13）2+6112，即可求M；【详解】（1）y＝ax2﹣3ax﹣4a与y轴交于点C（0，﹣3），∴a＝34，∴y＝34x2﹣94x﹣3，与x轴交点A（﹣1，0），B（4，0）；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴403k bb+=⎧⎨=-⎩，∴343kb⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴y＝34x﹣3；过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，设H（x，34x﹣3），D（x，34x2﹣94x﹣3），∴DH＝|34x2﹣3x|，∵S△ABC＝1155323⨯⨯=，∴S△DBC＝41552⨯＝6，∴S△DBC＝2×|34x2﹣3x|＝6，∴x＝2+22，x＝2﹣22，x＝2；∴D点的横坐标为2+22，2﹣22，2；（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，设M（m，34m2﹣94m﹣3），N（n，34n2﹣94n﹣3），则E（m，34m﹣3），F（n，34n﹣3），∴ME＝﹣34m2+3m，NF＝﹣34n2+3n，∵EF∥MN，ME∥NF，∴四边形MNFE是平行四边形，∴ME＝NF，∴﹣34m2+3m＝﹣34n2+3n，∴m+n＝4，∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，∴∠NMG＝∠OBC，∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝MG OBMN BC,∵B（4，0），C（0，﹣3），∴OB＝4，OC＝3，在Rt△BOC中，BC＝5，∴MN＝54（n﹣m）＝54（4﹣2m）＝5﹣52m，∴ME+MN＝﹣34m2+3m+5﹣52m＝﹣34（m﹣13）2+6112，∵﹣34＜0，∴当m＝13时，ME+MN有最大值，∴M（13，﹣113）【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题.5．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a <≤元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．【答案】（1）10500(3038)y x x =-+；（2）2a =． 【解析】 【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到w=（x-20-a ）（-10x+500）=-10x 2+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38，则当1352x a =+时，w 取得最大值，解方程得到a 1=2，a 2=58，于是得到a=2． 【详解】解：（1）根据题意得，()()2501025105003038y x x x =--=-+； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．()()()()220105001010700500100003038w x a x x a x a x =---+=-++--对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38， 则当1352x a =+时，w 取得最大值， ∴1135201035500196022a a x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴122,58a a ==（不合题意舍去），∴2a =． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．6．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y 与x 之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式． （3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】（1）y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）W ＝222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 【解析】 【分析】（1）当40≤x≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，当60＜x≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y=mx+n ，解方程组即可得到结论；（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；（3）当40≤x≤60时，W=-x 2+210x-5400，得到当x=60时，W 最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x 2+390x-9000，得到当x=65时，W 最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论． 【详解】解：（1）当40≤x ≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b ， 将（40，140），（60，120）代入得4014060120k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1180k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣x +180；当60＜x ≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝mx +n ，将（90，30），（60，120）代入得903060120m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：3300m n =-⎧⎨=⎩，∴y ＝﹣3x +300；综上所述，y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）当40≤x ≤60时，W ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣x +180）＝﹣x 2+210x ﹣5400， 当60＜x ≤90时，W ＝（x ﹣30）（﹣3x +300）＝﹣3x 2+390x ﹣9000，综上所述，W ＝222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩； （3）当40≤x ≤60时，W ＝﹣x 2+210x ﹣5400，∵﹣1＜0，对称轴x ＝2102--＝105，∴当40≤x ≤60时，W 随x 的增大而增大，∴当x ＝60时，W 最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600， 当60＜x ≤90时，W ＝﹣3x 2+390x ﹣9000，∵﹣3＜0，对称轴x ＝3906--＝65，∵60＜x ≤90，∴当x ＝65时，W 最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675， ∵3675＞3600，∴当x ＝65时，W 最大＝3675，答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．7．如图1，抛物线2:C y ax bx =+经过点(4,0)A -、(1,3)B -两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180，得到新的抛物线'C ．（1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标； （2）如图2，直线12:5l y kx =-经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （2m <-），连接DO 并延长，交抛物线'C 于点E ，交直线l 于点M ，2DE EM =，求m 的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得DEP GAB ∠=∠？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x x =--，顶点为：(2,4)G -；（2）m 的值为﹣3；（3）存在，点P 的横坐标为：74+-74． 【解析】【分析】 （1）运用待定系数法将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，即可求得a 和b 的值和抛物线C 解析式，再利用配方法将抛物线C 解析式化为顶点式即可求得顶点G 的坐标； （2）根据抛物线C 绕点O 旋转180，可求得新抛物线'C 的解析式，再将(4,0)A -代入125y kx =-中，即可求得直线l 解析式，根据对称性可得点E 坐标，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ，由2DE EM =，即可得13ME MD =，再证明MEK ∆∽MDH ∆，即可得3DH EK =，建立方程求解即可； （3）连接BG ，易证ABG ∆是Rt ∆，90ABG ∠=，可得1tan tan 3DEP GAB ∠=∠=，在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH 上截取13OH OE ==E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点；通过建立方程组求解即可．【详解】（1）将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，得16403a b a b -=⎧⎨-=⎩ 解得14a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线C 解析式为：24y x x =--，配方，得：224(2)4y x x x =--=-++，∴顶点为：(2,4)G -； （2）∵抛物线C 绕点O 旋转180，得到新的抛物线'C ．∴新抛物线'C 的顶点为：'(2,4)G -，二次项系数为：'1a =∴新抛物线'C 的解析式为：22(2)44y x x x =--=-将(4,0)A -代入125y kx =-中，得12045k =--，解得35k =-，∴直线l 解析式为31255y x =--， ∵2(,4)D m m m --， ∴直线DO 的解析式为(4)y m x =-+，由抛物线C 与抛物线'C 关于原点对称，可得点D 、V 关于原点对称，∴2(,4)E m m m -+如图2，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ， 则312(,)55H m m --，312(,)55K m m --， ∴2231217124()5555DH m m m m m =-----=--+，2231217124()5555EK m m m m m =+--=++， ∵2DE EM = ∴13ME MD =， ∵//DH y 轴，//EK y 轴 ∴//DH EK∴MEK ∆∽MDH ∆ ∴13EK ME DH MD ==，即3DH EK = ∴22171217123()5555m m m m --+=++ 解得：13m =-，225m =-， ∵2m <-∴m 的值为：﹣3；（3）由（2）知：3m =-，∴(3,3)D -，(3,3)E -，OE =如图3，连接BG ，在ABG ∆中，∵222(14)(30)18AB =-++-=，22BG =，220AG =∴222AB BG AG +=∴ABG ∆是直角三角形，90ABG ∠=，∴1tan 3BG GAB AB ∠===， ∵DEP GAB ∠=∠∴1tan tan 3DEP GAB ∠=∠=， 在x轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH 上截取123OH OE ==， 过点E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点； ∵(3,3)E -，∴45EOT ∠=∵90EOH ∠=∴45HOT ∠=∴(1,1)H --，设直线EH 解析式为y px q =+，则331p q p q +=-⎧⎨-+=-⎩，解得1232p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线EH 解析式为1322y x =--， 解方程组213224y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩，得11773735x y ⎧--=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，22773735x y ⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩， ∴点P 的横坐标为：773+-或737-．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．8．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=12．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12x 2+32x ﹣2；（2）9；（3）点Q 的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．【解析】 （1）如答图1所示，利用已知条件求出点B 的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值．（3）如答图2所示，首先求出直线AC 与直线x=2的交点F 的坐标，从而确定了Rt △AGF 的各个边长；然后证明Rt △AGF ∽Rt △QEF ，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q 的坐标．考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，由实际问题列函数关系式，二次函数最值，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆的切线性质．9．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3 的图象与x 轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由；（3）将直线BC 向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M ，N 两点（点M 在y 轴的右侧），当△AMN 为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）243y x x =-+；（2）△BCD 为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN 为直角三角形时，t 的值为1或4．【解析】【分析】（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD 为直角三角形； （3）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM 2、AN 2、MN 2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t 的无理方程，解之即可得出结论．【详解】（1）将()1,0A 、()3,0B 代入23y ax bx =++，得：309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， ∴此二次函数解析式为243y x x =-+．（2）BCD ∆为直角三角形，理由如下：()224321y x x x =-+=--，∴顶点D 的坐标为()2,1-．当0x =时，2433y x x =-+=， ∴点C 的坐标为()0,3．点B 的坐标为()3,0，BC ∴==，BD ==，CD ==22220BC BD CD +==，90CBD ∴∠=︒，BCD ∴∆为直角三角形．（3）设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠，将()3,0B ，()0,3C 代入y kx c =+，得：303k c c +=⎧⎨=⎩，解得：13k c =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+，∴将直线BC 向上平移t 个单位得到的直线的解析式为3y x t =-++．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：2343y x t y x x =-++⎧⎨=-+⎩，解得：11322x t y ⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，22322x t y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴点M的坐标为，点N的坐标为，． 点A 的坐标为()1,0，(222210571AM t t t ⎫⎫∴=+-=++-+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭(222210571AN t t t ⎫⎫=-+-=++++⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，222188MN t =+=+⎝⎭⎝⎭．AMN ∆为直角三角形，∴分三种情况考虑：①当90MAN ∠=︒时，有222AM AN MN +=，即((22571571188t t t t t t t ++-+++++=+，整理，得：220t t +-=，解得：11t =，22t =-（不合题意，舍去）；②当90AMN ∠=︒时，有222AM MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t ++-++=++++，整理，得：2280t t --=，解得：14t =，22t =-（不合题意，舍去）；③当90ANM ∠=︒时，有222AN MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t +++++=++-+，10t ++=． 0t >，∴该方程无解（或解均为增解）．综上所述：当AMN ∆为直角三角形时，t 的值为1或4．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC 2+BD 2=CD 2；（3）分∠MAN =90°、∠AMN =90°及∠ANM =90°三种情况考虑．10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1{23a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b a-=1，故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b a -=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1；②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-； 当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．。

二次函数综合测试(中考真题)(含答案)

二次函数综合测试(中考真题)(含答案)

二次函数综合测试(中考真题)(含答案)本文档包含了一份二次函数综合测试，测试题目来自中考真题，并附有答案。

题目一已知二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的图象过点 $(-1, 4)$，且经过坐标轴的顶点为顶点为 $A(2, -1)$。

1. 求二次函数 $f(x)$ 的解析式；2. 求二次函数 $f(x)$ 的对称轴方程；3. 求二次函数 $f(x)$ 的顶点坐标。

答案：1. 解析式为 $f(x) = 2x^2 - 7x + 3$；2. 对称轴方程为 $x = \frac{7}{4}$；3. 顶点坐标为 $A(2, -1)$。

题目二已知二次函数 $y = x^2 + bx + c$ 的图象过点 $(2, 3)$，且经过坐标轴的顶点为顶点为 $B(-1, 2)$。

1. 求二次函数 $y$ 的解析式；2. 求二次函数 $y$ 的对称轴方程；3. 求二次函数 $y$ 的顶点坐标。

答案：1. 解析式为 $y = x^2 + \frac{5}{3}x + \frac{13}{3}$；2. 对称轴方程为 $x = -\frac{5}{6}$；3. 顶点坐标为 $B(-1, 2)$。

题目三已知二次函数 $y = x^2 + bx + c$ 的图象过点 $(-3, 0)$，且经过坐标轴的顶点为顶点为 $O(0, 0)$。

1. 求二次函数 $y$ 的解析式；2. 求二次函数 $y$ 的对称轴方程；3. 求经过该顶点的二次函数 $y$ 的判别式的值。

答案：1. 解析式为 $y = x^2 + 3x$；2. 对称轴方程为 $x = -\frac{3}{2}$；3. 经过顶点 $O(0, 0)$ 的二次函数的判别式的值为 $0$。

以上是本次二次函数综合测试的所有题目和答案。

二次函数综合题训练

二次函数综合题训练

二次函数综合题训练一、解答题1．已知一个二次函数的图象经过点(0，0)，(1，－3)，(2，－8)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)写出它的对称轴和顶点坐标．2．如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A 和点B ，(1)求该二次函数的表达式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)点P (m ，m )与点Q 均在该函数图像上(其中m ＞0)，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到3．如图，抛物线交轴于A 、B 两点，交轴于M 点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C 、D 两点.（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）抛物线或在轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是抛物线上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线上，请说明理由.21:23L y x x =--+x y 1L 2L 2L x 2L 1L 2L x 1L 2L4．如图，二次函数y=ax2﹣5ax+4a(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为D，连结B D．⑴求A、B两点的坐标；⑵若AD⊥BC，垂足为P，求二次函数的表达式；⑶在(2)的条件下，若直线x=m把△ABD的面积分为1∶2的两部分，求m的值．5．有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系(如图所示).⑴请你直接写出O、A．M三点的坐标；⑵一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米(设船身底板与水面同一平面)？。

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二次函数综合题训练题型集合(收集海南省以及各省市历年来二次函数题型)姓名 班级 评价1、(06年海南省中考)如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y 上. （1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 得四边形DCEP 明理由.2、(07年河北中考)如图2，已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A 和点B ． （1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离. 3、(07年海口模拟一)如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C.（1） 求这条抛物线的函数关系式.（2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S.① 求S 与t 的函数关系式；② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状；③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.★绝密资料★★妥善保管★E BA C P图1O x yD x yO 3 －9 －1 －1A B图2PBACOQ图34、(07年海南省调研)某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图4的二次函数图象（部分）刻车了该公司年初以来累积利润S（万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）.根据图象提供信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润S与时间t之间的函数关系式；（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；（4）求第8个月公司所获利是多少元？5、(07年海口模拟二)如图5，已知抛物线cxbxay++=2的顶点坐标为E（1,0），与y轴的交点坐标为（0,1）.（1）求该抛物线的函数关系式.（2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥x 轴交抛物线于D，过B作BC⊥x轴交抛物线于C. 设A点的坐标为（t,0），四边形ABCD 的面积为S.①求S与t之间的函数关系式.②求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？③当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得△PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△PAE的周长；若不存在，说明理由.D图5E BACO1EO1备用图-3-1-21234S(万元)图41 23 4 5 6 t(月)6、(07浙江中考)如图6，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。

（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由。

7、（07海南中考）如图7，直线434+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ∆的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = .图6图78、（05海南中考）如图8，抛物线c bx x y ++=2与x 轴交于 A(-1,0),B(3,0) 两点. (1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P ，当点P 在该抛物线上 滑动到什么位置时，满足S △PAB =8,并求出此时P 点的坐标；(3)设(1)中抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上 是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标； 若不存在，请说明理由. 为常数).的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值， 10、（07本校模拟一）如图10，已知点A(0,8)，在 抛物线221x y =上，以A 为顶点的四边形ABCD 是平行四边形，且项点B ，C ，D 在抛物线上，AD ∥x 轴，点D 在第一象限. (1)求BC 的长；(2)若点P 是线段CD 上一动点，当点P 运动到何位置时， △DAP 的面积是7.(3)连结AC ，E 为AC 上一动点，当点E 运动到何位置时， 直线OE 将 ABCD 分成面积相等的两部分？并求此时E 点的 坐标及直线OE 的函数关系式. 11、（07本校模拟二）一座拱桥的截面轮廓为抛物线型(如 图11-1),拱高6米,跨度20米,相邻两支柱间的距离均为5米. （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图11-2所示)，其表达式是c ax y +=2的形式. 请根据所给的数据求出c a ,的值. （2）求支柱MN 的长度.（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间DE 是一条宽2米 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米的 三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.图8 xxy01234-1-1-2-312A BC D ABCDO y x图10M N10米20米6米5米图11-1图11-2D E O xA B C y二次函数综合题训练题型集合1、 (1) ∵ 点A(3,4)在直线y=x+m 上，∴ 4=3+m. ………………………………（1分） ∴ m=1. ………………………………（2分）设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2. ………………………………（3分）∵ 点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上，∴ 4=a(3-1)2,∴ a=1. ………………………………（4分）∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2.即y=x 2-2x+1. ………………………………（5分） (2) 设P 、E 两点的纵坐标分别为y P 和y E .∴ PE=h=y P -y E ………………………………（6分）=(x+1)-(x 2-2x+1) ………………………………（7分）=-x 2+3x. ………………………………（8分）即h=-x 2+3x (0＜x ＜3). ………………………………（9分） (3) 存在. ………………………………（10分）解法1：要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有PE=DC. …………………（11分） ∵ 点D 在直线y=x+1上, ∴ 点D 的坐标为(1,2),∴ -x 2+3x=2 .即x 2-3x+2=0 . ………………………………（12分） 解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) ………………………………（13分） ∴ 当P 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP 是平行四边形. ……………（14分） 解法2：要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有BP ∥CE. ………………（11分） 设直线CE 的函数关系式为y=x+b. ∵ 直线CE 经过点C(1,0), ∴ 0=1+b, ∴ b=-1 .∴ 直线CE 的函数关系式为y=x-1 .∴ ⎩⎨⎧+-=-=1212x x y x y 得x 2-3x+2=0. ………………………………（12分）解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) ………………………………（13分） ∴ 当P 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP 是平行四边形. ……………（14分）2、解：（1）将x =-1，y =-1；x =3，y =-9分别代入c x ax y +-=42得⎩⎨⎧+⨯-⨯=-+-⨯--⨯=-.3439,)1(4)1(122c a c a 解得 ⎩⎨⎧-==.6,1c a ∴二次函数的表达式为642--=x x y ．（2）对称轴为2=x ；顶点坐标为（2，-10）．（3）将（m ，m ）代入642--=x x y ，得 642--=m m m ， 解得121,6m m =-=．∵m ＞0，∴11-=m 不合题意，舍去．∴ m =6．∵点P 与点Q 关于对称轴2=x 对称，∴点Q 到x 轴的距离为6．E F PB AC OQ图133、（1）∵ 抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+03390416c b a b a .解得 0,334,33==-=c b a . ………（2分） ∴ 所求抛物线的函数关系式为x x y 334332+-=. ………………（3分） (注：用其它方法求抛物线的函数关系式参照以上标准给分.)（2）① 过点B 作BE ⊥x 轴于E ，则BE=3，AE=1，AB=2.由tan ∠BAE=3=AEBE，得∠BAE =60°. …………（4分） （ⅰ）当点Q 在线段AB 上运动，即0＜t ≤2时，QA=t ，PA=4-t .过点Q 作QF ⊥x 轴于F ，则QF=t 23，∴ S=21PA ·QF t t 23)4(21⋅-=t t 3432+-=. ……（6分） （ⅱ）当点Q 在线段BC 上运动，即2≤t ＜4时，Q 点的纵坐标为3，PA=4-t .这时，S=3)4(21⋅-t 3223+-=t . ……………………（8分）②（ⅰ）当0＜t ≤2时，3)2(4334322+--=+-=t t t S . ∵ 043<-，∴ 当t =2时，S 有最大值，最大值S=3. ……（9分） （ⅱ）当2≤t ＜4时，3223+-=t S∵ 023<-， ∴ S 随着t 的增大而减小. ∴ 当t =2时，S 有最大值，最大值332223=+⋅-=S . 综合（ⅰ）（ⅱ），当t =2时，S 有最大值，最大值为3.△PQA 是等边三角形. ③ 存在.当点Q 在线段AB 上运动时，要使得△PQA 是直角三角形，必须使得∠PQA =90°，这时PA=2QA ，即4-t =2t ，∴ 34=t .∴ P 、Q 两点的坐标分别为P 1(34,0)，Q 1(310,332). ……（13分）当点Q 在线段BC 上运动时，Q 、P 两点的横坐标分别为5-t 和t ，要使得△PQA是直角三角形，则必须5-t =t ，∴ 25=t∴ P 、Q 两点的坐标分别为P 2(25,0)，Q 2(25,3). ………………（14分）(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)4、（1）由图象可知公司从第4个月末以后开始扭亏为盈. ………………………（1分） （2）由图象可知其顶点坐标为(2,-2)，故可设其函数关系式为：y=a(t-2)2-2. …………（2分 ∵ 所求函数关系式的图象过(0,0)，于是得a(t-2)2-2=0，解得a=21 . ……（4分）∴ 所求函数关系式为：S=21t-2)2-2或S=21t 2-2t. …………（6分）（3）把S=30代入S=21t-2)2-2，得21t-2)2-2=30. …………（7分）解得t 1=10，t 2=-6（舍去）. ……………………（8分）答：截止到10月末公司累积利润可达30万元. ………………………（9分）（4）把t=7代入关系式，得S=21×72-2×7=10.5 ……………………………（10分）把t=8代入关系式，得S=21×82-2×8=1616-10.5=5.5 …………（11答：第8个月公司所获利是5.5万元. ………………………………（12分） 5、（1）∵ 抛物线c x b x a y ++=2顶点为F （1,0）∴ 2)1(-=x a y ………（1分） ∵ 该抛线经过点E （0,1） ∴ 2)10(1-=a∴ 1=a∴ 2)1(-=x y ，即所求抛物线的函数关系式为122+-=x x y . ………（3分）（2）① ∵ A 点的坐标为（t ,0）, AB=4，且点C 、D 在抛物线上，∴ B 、C 、D 点的坐标分别为(t +4,0)，(t +4, (t +3)2)，(t ,(t -1)2). …（5分）∴ 20844])3()1[(21)(21222++=⋅++-=⋅+=t t t t AB BC AD S .………（7分）② 16)1(4208422++=++=t t t S . ………（8分） ∴ 当t =-1时，四边形ABCD 的最小面积为16， ………（9分）EO1D BA CP此时AD=BC=AB=DC=4，四边形ABCD 是正方形. ………（10分） ③ 当四边形ABCD 的面积最小时，四边形ABCD 是正方形，其对角线BD 上存在点P, 使得ΔPAE 的周长最小. ………（11分） ∵AE=4（定值），∴要使ΔPAE 的周长最小，只需PA+PE 最小.∵此时四边形ABCD 是正方形，点A 与点C 关于BD 所在直线对称,∴由几何知识可知，P 是直线CE 与正方形ABCD 对角线BD 的交点. ∵点E 、B 、C 、D 的坐标分别为（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4） ∴直线BD ，EC 的函数关系式分别为：y=-x+3, y=2x-2.∴ P(35,34) ………（13分）在Rt △CEB 中，CE=524222=+,∴ △PAE 的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+52. ………（14分）6、解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =（1分）∴A （－1，0）B （3，0）；（1分）将C 点的横坐标x =2代入223y x x =--得y=－3，∴C （2，－3）（1分） ∴直线AC 的函数解析式是y=－x －1（2）设P 点的横坐标为x （－1≤x ≤2）（注：x 的范围不写不扣分） 则P 、E 的坐标分别为：P （x ，－x －1），（1分） E （2(,23)x x x --（1分）∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++（2分） ∴当12x =时，PE 的最大值=94（1分）（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F - 7、解：（1）令0=x ，则4=y ； 令0=y 则3=x .∴()0,3A 、()4,0C ∵二次函数的图象过点()4,0C ， ∴可设二次函数的关系式为42++=bx ax y ┄1分又∵该函数图象过点()0,3A 、()0,1-B∴⎩⎨⎧+-=++=.40,4390b a b a ┄2分解之，得34-=a ，38=b ∴所求二次函数的关系式为438342++-=x x y ┄3分 （2）∵438342++-=x x y =()3161342+--x∴顶点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛316,1 ┄4分 过点M 作MF x ⊥轴于F∴FOCM AFM AOCM S S S 梯形四边形+=∆ =()1013164213161321=⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯-⨯ ∴四边形AOCM 的面积为10 ┄6分 （3）①不存在DE ∥OC ┄7分∵若DE ∥OC ，则点D 、E 应分别在线段OA 、CA 上，此时 1<t<2,在Rt △AOC 中，AC=5. 设点E 的坐标为()11,y x ∴54431-=t x ，∴512121-=t x ∵DE ∥OC ， ∴t t 2351212=- ∴38=t ┄8分 ∵38=t >2，不满足1<t<2.∴不存在DE ∥OC. ┄9分 ②根据题意得D 、E 两点相遇的时间为1124423543=+++（秒） ┄10分 现分情况讨论如下： ⅰ当0 <t ≤ 1时，2342321t t t S =⋅⨯=； ┄11分ⅱ当1<t ≤2时，设点E 的坐标为()22,y xE CAyOBxMD∴()544542--=t y ，∴516362ty -= ∴t t t t S 5275125163623212+-=-⨯⨯=┄12分 ⅲ当2 <t <1124时，设点E 的坐标为()33,y x ，类似ⅱ可得516363t y -=设点D 的坐标为()44,y x∴532344-=t y ， ∴51264-=t y∴AOD AOE S S S ∆∆-=512632151636321-⨯⨯--⨯⨯=t t =572533+-t ┄13分③802430=S ┄14分10、（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC. ∵A(0,8),∴设D 点坐标为(x 1,8), 代入221x y = 又∵D 点在第一象限，∴ x 1=4，∴ BC=4. （2）∵C(2,2)，D(4,8)，∴直线CD 的函数关系式为y=3x-4.设点P 在线段CD 上，P(x 2,y 2)，∴y 2=3x 2-4.∵AD=BC=4,∴21×4(8-y 2)=7， ∴y 2=29.∴3x 2-4=29， ∴x 2=617. ∴P(617,29),即当点P 在(617,29)的位置时，△DAP 的面积是7.（3）连接AC ，当点E 运动到AC 的中点（或AC 与BD 的交点）时，即E 点为☐ ABCD 的中心，其坐标为E （1,5）,直线OE 将☐ ABCD 分成面积相等的两部分. 设直线OE 的函数关系式为y=kx,∴k=5，∴直线OE 的函数关系式为y=5x.11、(1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).A B C D O y x E第5页 共8页 将B 、C 的坐标代入c ax y +=2，得 ⎩⎨⎧+==.1000,6c a c 解得6,503=-=c a . ∴抛物线的表达式是65032+-=x y . (2) 可设N(5,N y )， 于是5.4655032=+⨯-=N y 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3). 过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则35013675032>+=+⨯-=H y . 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.G H D E O x AB C y。

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