2018届九年级数学下册第27章图形的相似27.2相似三角形相似三角形的性质应用同步测试新人教版
初三九年级数学人教版 第27章 相似27.2 相似三角形27.2.1 平行线分线段成比例习题课件
点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知
AB 1
，则
EF
＝________. 2
AC 3 DE
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知识点 2 平行于三角形一边的直线的性质
6．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段__成__比__例____．
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7．如图，DE∥BC，以下结论正确的是( C ) A．AE∶AC＝AD∶BD B．AE∶AC＝BD∶AB C．AE∶CE＝AD∶BD D．AC∶CE＝AD∶BD
∵S△ABD＝ AB·DE＝ BD·AH，
S△ACD＝ AC·DF＝1 CD·AH，1
2
2
∴
1 ，即 1 .
2
2
SVABD AB BD SVACD AC CD
AB BD AC CD
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8．如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，则下列比例式 不成立的是( ) B A．OC∶OD＝OA∶OB B．OC∶OD＝OB∶OA C．OC∶AC＝OD∶DB D．BD∶AC＝OD∶OC
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9．(中考·兰州)如图，在△ABC中，DE∥BC，若 AD 2 ，
则 AE 等于( )
DB 3
C
求证
.
证明：A如B 图 B，D过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E. ∴∠1A＝C∠ED，C∠2＝∠3.①
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2.∴∠3＝∠E.
∴AC＝AE.②
又∵AD∥CE，∴
.③
∴
. AB BD
(1)上AB述证B明D过程中A，E步骤D①C ②③处的理由是什么？(写出 A两C条即DC可)
(2)用三角形内角平分线定理解答：在△ABC中，AD是角平 分线，AB＝7 cm，AC＝4 cm，BC＝6 cm，求BD的长．
人教版九年级数学下册教案第二十七章《相似》
第二十七章 相似 27.1 图形的相似 第1课时 相似图形01 教学目标1.通过对事物图形的观察、思考和分析，认识相似的图形.2.经历动手操作的活动过程，增强学生的观察和动手能力.3.体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识.02 预习反馈阅读教材P24～25，弄清楚相似图形的概念，能正确判断两个图形是否相似.并完成下列预习内容. ①把形状相同的图形叫做相似图形.②两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的. ③从放大镜里看到的三角板和原来的三角板相似吗？ 相似.④哈哈镜中人的形象与本人相似吗？ 不相似.⑤全等三角形相似吗？ 相似.⑥生活中哪些地方会见到相似图形？ 答案不唯一.【点拨】 研究几何主要是研究几何图形的形状、大小与位置，只要形状相同的两个图形就叫做相似图形.03 名校讲坛例1 下列各图中哪组图形是相似图形(C)A B C D 【点拨】 观察图形，要从本质入手，如C ，将小图的位置稍加旋转就可以发现它们是相似图形. 【跟踪训练1】 下列图形中，不是相似图形的是(C)A BC D【跟踪训练2】 (教材P25练习2)如图，图形(a)～(f)中，哪些与图形(1)或(2)相似？解：(d)与(1)相似，(e)与(2)相似.04巩固训练1.如图所示各组图形中，两个图形形状不相同的是(C)A BC D2.下列图形中：①放大镜下的图片与原来的图片；②幻灯片的底片与投影在屏幕上的图象；③天空中两朵白云的照片；④卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片.其中相似的组数有(C)A.4组B.3组C.2组D.1组05课堂小结1.本节课学习了哪些主要内容？2.全等三角形和相似三角形有哪些区别和联系？第2课时 相似多边形与比例线段01 教学目标1.结合现实情境了解成比例线段，并能运用比例线段进行计算求值，理解并掌握相似多边形的性质以及运用相似多边形的性质解决实际问题.2.在探索过程中激发学生的求知欲，发展学生的交流合作精神.02 预习反馈阅读教材P26～27，理解并掌握“相似多边形”及“相似比”的概念，并完成下列预习内容：①对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比等于另两条线段的比，如a b ＝cd (即ad ＝bc)，那么我们就说这四条线段是成比例.②相似多边形的对应角相等，对应边成比例.③相似多边形对应边的比称为相似比，当相似比为1，这两个多边形全等.④用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若该四边形的边长放大5倍，下列说法正确的是(B) A.角A 是原来的5倍 B.周长是原来的5倍C.每一个内角都发生了变化D.以上说法都不对03 名校讲坛例1 下列图形中，不一定相似的是(D) A.任意两个等腰直角三角形 B.任意两个等边三角形 C.任意两个正方形 D.任意两个菱形【跟踪训练1】 (《名校课堂》27.1习题)下列四组图形中，一定相似的是(D) A.正方形与矩形 B.正方形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形例2 (教材P26例)如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α，β的大小和EH 的长度x.【解答】 因为四边形ABCD 和EFGH 相似，所以它们的对应角相等，由此可得， α＝∠C ＝83°，∠A ＝∠E ＝118°. 在四边形ABCD 中，∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°. 因为四边形ABCD 和EFGH 相似，所以它们的对应边成比例，由此可得EH AD ＝EF AB ，即x 21＝2418. 解得x ＝28.【点拨】 相似多边形对应边成比例，关键要理解“对应”二字.【跟踪训练2】 (《名校课堂》27.1习题)(教材P28T5的变式)如图，DE ∥BC ，DE ＝3，BC ＝9，AD ＝1.5，AB ＝4.5，AE ＝1.4，AC ＝4.2. (1)求AD AB ，AE AC ，DEBC 的值；(2)求证：△ADE 与△ABC 相似.解：(1)AD AB ＝1.54.5＝13，AE AC ＝1.44.2＝13， DE BC ＝39＝13. (2)证明：∵DE ∥BC ， ∴∠D ＝∠B ，∠E ＝∠C.又∵∠DAE ＝∠BAC ，AD AB ＝AE AC ＝DEBC，∴△ADE 与△ABC 相似.例3 已知A ，B 两地的实际距离AB ＝5 km ，画在地图上的距离CD ＝2 cm ，则这张地图的比例尺是1∶250__000. 【点拨】 图上距离与实际距离的比叫做比例尺.【跟踪训练3】 (教材P27练习1)在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm ，求两地的实际距离.解：设两地的实际距离为x. 30x ＝110 000 000.解得x ＝300 000 000. ∵300 000 000 cm ＝3 000 km. ∴两地的实际距离为3 000 km.04 巩固训练1.下列各组线段中，成比例线段的是(B)A.1，2，3，4B.1，2，2，4C.3，5，9，13D.1，2，2，3 2.下列各组图形中，必定相似的是(D) A.两个等腰三角形 B.各有一个角是40°的两个等腰三角形 C.两条边之比都是2∶3的两个直角三角形 D.有一个角是100°的两个等腰三角形3.在一张由复印机出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm 变成了4 cm ，那么这次复印的放缩比例为4∶1.4.5.已知三个数，1，2，3，请你再添上一个(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是6.在两个相似的五边形中，一个边长分别为1，2，3，4，5，另一个最大边为8，则后一个五边形的周长是多少？ 解：设1，2，3，4对应边长为a ，b ，c ，d ，根据相似多边形对应边的比相等，则有a 1＝b 2＝c 3＝d 4＝85，解得a ＝85，b ＝165，c ＝245，d ＝325.所以另一个五边形的周长为：a ＋b ＋c ＋d ＋8＝85＋165＋245＋325＋8＝24.05 课堂小结1.本节课学习了哪些内容？2.如何根据相似多边形的概念判断多边形相似？27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例01 教学目标1.理解相似三角形的概念.2.掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论.3.掌握判定三角形相似的预备定理.02 预习反馈阅读教材P29～31，弄懂相似三角形的概念，理解平行线分线段成比例定理和相似三角形判定的预备定理.并完成下面的预习内容.①如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k ，那么△A 1B 1C 1∽△ABC 的相似比为1k.②如图，l 1，l 2分别被l 3，l 4，l 5所截，且l 3∥l 4∥l 5，则AB 与DE 对应，BC 与EF 对应，DF 与AC 对应；AB BC ＝（DE ）（EF ），AB （AC ）＝（DE ）DF ，AB DE ＝（BC ）（EF ）＝（AC ）（DF ）.③平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似. 【点拨】 找准对应线段是关键.03 名校讲坛例1 (教材补充例题)如图，DE ∥BC ，则下面比例式不成立的是(B)A.AD AB ＝AE ACB.DE BC ＝EC ACC.AD DB ＝AE ECD.BC DE ＝AC AE 【跟踪训练1】 如图所示，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是(A)A.AD DF ＝BC CEB.BC CE ＝DF ADC.CD EF ＝BC BED.CD EF ＝AD AF例2 (教材补充例题)如图，ED ∥BC ，EC ，BD 相交于点A ，过A 的直线交ED ，BC 分别于点M ，N ，则图中有相似三角形(C)A.1对B.2对C.3对D.4对【跟踪训练2】 (《名校课堂》27.2.1第1课时习题)如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB ，AC ，AD 于点E ，F ，G ，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，△AEF ∽△ABC.04 巩固训练1.如图所示，若△ABC ∽△DEF ，则∠E 的度数为(C)A.28°B.32°C.42°D.52°2.如图，在▱ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE ，BA 交于点F ，下列等式成立的是(C)A.AE ED ＝CE EFB.AE ED ＝CD AFC.AE ED ＝FA ABD.AE ED ＝FE FC 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2，BC ＝6，AD ＝3，求BD 的长.解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC ，即3AB ＝26. ∴AB ＝9.∴BD ＝AB －AD ＝9－3＝6.05 课堂小结1.本节课我们学习了哪些内容？2.当平行线与三角形两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似吗？第2课时 相似三角形的判定定理1，201 教学目标掌握三边成比例的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这两个判定三角形相似的定理.02 预习反馈阅读教材P32～34，理解相似三角形判定定理1与判定定理2.完成下列预习内容. ①如果两个三角形的三组边对应成比例，那么这两个三角形相似.②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.③下列是两位同学运用相似三角形的定义判定两个三角形是否相似，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答.判断如图所示的两个三角形是否相似，简单说明理由.甲同学：这两个三角形的三个内角虽然分别相等，但是它们的边的比不相等，AC IJ ≠AB HJ ≠BCHI ，所以他们不相似.乙同学：这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似.解：甲同学的说法不正确，甲同学所分析的边的比不是对应边的比，根据相似三角形的概念，甲同学的说法不正确；根据相似三角形的概念，乙同学的说法正确.【点拨】 判断三角形相似要注意对应关系，找对应边和对应角时可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法.03 名校讲坛例1 (教材P33例1(1))根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由： AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，A′B′＝12 cm ，B′C′＝18 cm ，A′C′＝24 cm. 【解答】 ∵AB A′B′＝412＝13，BC B′C′＝618＝13， AC A′C′＝824＝13， ∴AB ＝BC ＝AC. ∴△ABC ∽△A′B′C′.【跟踪训练1】 (《名校课堂》27.2.1第2课时习题)如图，在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝40，AC ＝20，在△ADE 中，AE ＝12，AD ＝15，DE ＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由.解：相似.理由：∵AC AE ＝2012＝53，AB AD ＝2515＝53，BC DE ＝4024＝53，∴AC AE ＝AB AD ＝BC DE. ∴△ABC ∽△ADE.例2 (教材P33例1(2))根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由：∠A ＝120°，AB ＝7 cm ，AC ＝14 cm ， ∠A′＝120°，A′B′＝3 cm ，A′C′＝6 cm. 【解答】 ∵AB A′B′＝73，AC A′C′＝146＝73，∴AB A′B′＝ACA′C′. 又∠A ＝∠A′，∴△ABC ∽△A′B′C′.【跟踪训练2】 如图，四边形ABCD ，CDEF ，EFGH 都是正方形. (1)△ACF 与△ACG 相似吗？说说你的理由； (2)求∠1＋∠2的度数.解：(1)相似.理由：设正方形的边长为a ，则AC ＝a 2＋a 2＝2a ， ∵AC CF ＝2a a ＝2，CG AC ＝2a 2a ＝2， ∴AC CF ＝CG AC. 又∵∠ACF ＝∠GCA ， ∴△ACF ∽△GCA. (2)∵△ACF ∽△GCA ， ∴∠1＝∠CAF.∵∠CAF ＋∠2＝45°， ∴∠1＋∠2＝45°.04 巩固训练1.在△ABC 和△A′B′C′中，AB ＝9 cm ，BC ＝8 cm ，CA ＝5 cm ，A′B′＝4.5 cm ，B′C′＝2.5 cm ，C′A′＝4 cm ，则下列说法错误的是(D)A.△ABC 与△A′B′C′相似B.AB 与B′A′是对应边C.两个三角形的相似比是2∶1D.BC 与B′C′是对应边2.在△ABC 与△A′B′C′中，已知AB·B′C′＝BC·A′B′，若使△ABC ∽△A′B′C′，还应增加的条件是(C) A.AC ＝A′C′ B.∠A ＝∠A′ C.∠B ＝∠B′ D.∠C ＝∠C′3.如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似”)，理由是这两个三角形的三边对应成比例.4.右图中的两个三角形是否相似：不相似，说明理由：对应边不成比例.5.如图，DE 与△ABC 的边AB ，AC 分别相交于D ，E 两点，若AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ，DE ＝43cm ，则BC 的长为多少？解：∵AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ， ∴AE AC ＝AD AB ＝23. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AE AC. 又∵DE ＝43 cm ，∴43BC ＝23. ∴BC ＝2 cm.【点拨】 运用相似三角形的判定和性质可以进行边的计算.05 课堂小结1.本节课我们学习了什么内容？2.全等三角形的判定定理对相似三角形的判定定理有什么借鉴作用？第3课时 相似三角形的判定定理301 教学目标1.掌握相似三角形的判定定理3.2.了解两个直角三角形相似的判定方法.3.深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题.02 预习反馈阅读教材P35～36，理解相似三角形判定定理3及直角三角形相似的判定方法.完成下列预习内容. ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. ②如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.③要判定两个直角三角形相似，最简单的方法就是再找除直角外的一组内角对应相等，就可以根据相似三角形的判定3，判定这两个直角三角形相似.④如图所示，已知∠ADE ＝∠B ，则△AED ∽△ACB.理由是两角分别相等的两个三角形相似. ⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？解：相似，理由：根据三角形内角和，顶点对应相等的两个等腰三角形其底角也对应相等.再根据“两角分别相等的两个三角形相似”这个判定定理即可判断这两个等腰三角形相似. 【点拨】 要根据已知条件选择适当的方法判定三角形相似.03 名校讲坛例1 (教材P35例2)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8.E 是AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D.求AD 的长.【解答】 ∵ED ⊥AB ， ∴∠EDA ＝90°. 又∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴△AED ∽△ABC. ∴AD AC ＝AE AB. ∴AD ＝AC·AE AB ＝8×510＝4.【跟踪训练1】 如图，∠1＝∠3，∠B ＝∠D ，AB ＝DE ＝5，BC ＝4. (1)△ABC ∽△ADE 吗？说明理由； (2)求AD 的长.解：(1)△ABC ∽△ADE.理由如下：∵∠1＝∠3，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2， ∴∠BAC ＝∠DAE. 又∵∠B ＝∠D ， ∴△ABC ∽△ADE. (2)由(1)，知AB AD ＝BC DE. ∴5AD ＝45. 解得AD ＝254.例2 (教材补充例题) 已知：如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【解答】 ∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°， (1)当BC BD ＝ABCD时，△ABC ∽△CDB ， 此时BC BD ＝AB CD ＝AC BC ，即a b ＝b BD .∴BD ＝b 2a.即当BD ＝b 2a 时，△ABC ∽△CDB.(2)当AB BD ＝BCCD 时，△ABC ∽△BDC ，此时AB BD ＝BC CD ＝AC BC ，即AB BD ＝AC BC .∴a 2－b 2BD ＝a b ，BD ＝b aa 2－b 2.∴当BD ＝baa 2－b 2时，△ABC ∽△BDC.综上所述，即当BD ＝b 2a 或BD ＝baa 2－b 2时，这两个三角形相似.【点拨】 本题要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种情况.【跟踪训练2】 (《名校课堂》27.2.1第3课时习题)在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A ＝∠A 1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D) A.∠B ＝∠B 1 B.AB A 1B 1＝ACA 1C 1C.AB A 1B 1＝BC B 1C 1D.AB B 1C 1＝AC A 1C 104 巩固训练1.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是(C) A.都含有一个40°的内角 B.都含有一个50°的内角C.都含有一个60°的内角D.都含有一个70°的内角2.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：(1)ABA′B′＝BCB′C′；(2)BCB′C′＝ACA′C′；(3)∠A＝∠A′；(4)∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(C)A.1组B.2组C.3组D.4组3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D.求证：△ABC∽△EBD.证明：∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°.∵∠C＝90°，∴∠EDB＝∠C.∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△EBD.4.如图，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线.求证：△ABC∽△BCD.证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝36°.∴∠A＝∠CBD.又∵∠C＝∠ABC，∴△ABC∽△BCD.05课堂小结1.本节课我们学习了什么内容？2.全等三角形的判定定理与相似三角形的判定定理有何区别？27.2.2 相似三角形的性质01 教学目标理解并掌握相似三角形的性质.02 预习反馈阅读教材P37～39，理解相似三角形的性质，并完成下列预习内容.(1)相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比. (2)如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k ，AD ⊥BC 于点D ，A′D′⊥B′C′于点D′.①你能发现图中还有其他的相似三角形吗？【解答】 其他的相似三角形还有△ABD ∽△A′B′D′，△ADC ∽△A′D′C′. ②△ABC 与△A′B′C′中，C △ABC C △A′B′C′＝k ，S △ABCS △A′B′C′＝k 2.【点拨】 在运用相似三角形的性质时，要注意周长的比与面积的比之间的区别，不要混为一谈，另外面积的比等于相似比的平方，反过来相似比等于面积比的算术平方根.03 名校讲坛例 (教材P38例3)如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D.若△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125，求△DEF 的边EF 上的高和面积.【解答】 在△ABC 和△DEF 中， ∵AB ＝2DE ，AC ＝2DF ， ∴DE AB ＝DF AC ＝12. 又∠D ＝∠A ，∴△DEF ∽△ABC ，△DEF 与△ABC 的相似比为12.∵△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125， ∴△DEF 的边EF 上的高为12×6＝3，面积为(12)2×125＝3 5.【跟踪训练】 如图，在▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE.若△DEF 的面积为10，则▱ABCD 的面积为多少？解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CE.∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF. ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2＝(DE CD ＋DE)2＝(DE 3DE )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝(DE CD )2＝(DE 2DE )2＝14.∴S △CEB ＝90，S △ABF ＝40.∴S ▱ABCD ＝S △ABF ＋S 四边形BCDF ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝40＋90－10＝120.04 巩固训练1.若两个相似三角形的相似比为1∶2，则它们面积的比为(C)A.2∶1B.1∶ 2C.1∶4D.1∶52.如图，在▱ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ∶EC ＝3∶1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为(B)A.3∶4B.9∶16C.9∶1D.3∶13.如果△ABC ∽△DEF ，A ，B 分别对应D ，E ，且AB ∶DE ＝1∶2，那么下列等式一定成立的是(D) A.BC ∶DE ＝1∶2B.△ABC 的面积∶△DEF 的面积＝1∶2C.∠A 的度数∶∠D 的度数＝1∶2D.△ABC 的周长∶△DEF 的周长＝1∶24.如果两个相似三角形的面积的比是4∶9，那么它们对应的角平分线的比是2∶3.5.已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，△ABC 的周长与△A 1B 1C 1的周长的比值是32，BE ，B 1E 1分别是它们对应边上的中线，且BE ＝6，则B 1E 1＝4.6.如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM ，EN 分别是斜边AB ，DF 上的中线，已知AC ＝9 cm ，CB ＝12 cm ，DE ＝3 cm.(1)求CM 和EN 的长；(2)你发现CMNE的值与相似比有什么关系？得到什么结论？解：(1)在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋CB 2＝92＋122＝15， ∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM ＝12AB ＝7.5.∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE AC ＝DF AB ，即39＝13＝DF 15. ∴DF ＝5.∵EN 为斜边DF 上的中线， ∴EN ＝12DF ＝2.5.(2)∵CM EN ＝7.52.5＝31，相似比为AC DE ＝93＝31，∴相似三角形对应中线的比等于相似比.05 课堂小结本节课我们学习了哪些内容？27.2.3 相似三角形应用举例01 教学目标1.通过本节相似三角形应用举例，发展学生综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识.2.在活动过程中使学生积累经验与成功体验，激发学生学习数学的热情与兴趣.02 预习反馈阅读教材P39～40，进一步体会从实际问题中建立数学模型，并完成下列预习内容. (1)太阳光下，同一时刻，物体的长度与其影长成正比(正比或反比).(2)太阳光下，同一时刻，物体的高度、影子、光线构成的三角形相似吗？ 答：相似.03 名校讲坛例1 (教材P40例5)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R.已测得QS ＝45 m ，ST ＝90 m ，QR ＝60 m ，请根据这些数据，计算河宽PQ.【解答】 ∵∠PQR ＝∠PST ＝90°，∠P ＝∠P ， ∴△PQR ∽△PST. ∴PQ PS ＝QR ST， 即PQ PQ ＋QS ＝QR ST ，PQ PQ ＋45＝6090，PQ ×90＝(PQ ＋45)×60. 解得PQ ＝90 m.答：河宽大约为90 m.【跟踪训练1】 (《名校课堂》27.2.3习题)(菏泽中考)如图，M ，N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M ，N 两点之间的直线距离，选择测量点A ，B ，C ，点B ，C 分别在AM ，AN 上，现测得AM ＝1千米，AN ＝1.8千米，AB ＝54米，BC ＝45米，AC ＝30米，求M ，N 两点之间的直线距离.解：连接MN. ∵AC AM ＝301 000＝3100，AB AN ＝541 800＝3100，∴AC AM ＝ABAN. 又∵∠BAC ＝∠NAM ， ∴△BAC ∽△NAM. ∴BC MN ＝3100，即45MN ＝3100.∴MN ＝1 500. 答：M ，N 两点之间的直线距离为1 500米.例2 小刚用下面的方法来测量学校大楼AB 的高度.如图，在水平地面上的一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA ＝21 m ，当他与镜子的距离CE ＝2.5 m 时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B ，已知他的眼睛距地面高度DC ＝1.6 m ，请你帮助小刚计算出教学大楼的高度AB 是多少m ？(注意：根据光的反射定律，反射角等于入射角)【解答】 根据反射角等于入射角，则有∠DEF ＝∠BEF ，而FE ⊥AC ， ∴∠DEC ＝∠BEA.又∵∠DCE ＝∠BAE ＝90°， ∴△DEC ∽△BEA. ∴CD AB ＝EC EA . 又∵DC ＝1.6，EC ＝2.5，EA ＝21， ∴1.6AB ＝2.521. ∴AB ＝13.44.答：建筑物AB 的高度为13.44 m.【点拨】 从实际问题的情景中，找出相似三角形是解决本类题型的关键.【跟踪训练2】 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上.已知DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，目测点D 到地面的距离DG ＝1.5米，到旗杆的水平距离DC ＝20米，求旗杆的高度.解：由题意可得，△DEF ∽△DCA ，则DE DC ＝EF AC， ∵DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，DG ＝1.5米，DC ＝20米， ∴0.520＝0.25AC. 解得AC ＝10.故AB ＝AC ＋BC ＝AC ＋DG ＝10＋1.5＝11.5(米).答：旗杆的高度为11.5米.04 巩固训练1.如图，小明在打网球时，击球点距球网的水平距离为8 m ，已知网高为0.8 m ，要使球恰好能打过网，而且落在离网4 m 的位置，则球拍击球时的高度h 为2.4m.2.如图，测得BD ＝120 m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，求河宽.解：由题意，可得∠B ＝∠C ＝90°，∠ADB ＝∠EDC ， ∴△ADB ∽△EDC. ∴AB EC ＝BD CD， 即AB ＝BD·EC CD ＝120×5060＝100(m).答：河宽AB 为100 m.【点拨】 证明相似三角形的方法很多，要根据实际情况，选择最简单、合适的一种.3.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C ，D ，然后测出两人之间的距离CD ＝1.25 m ，颖颖与楼之间的距离DN ＝30 m(C ，D ，N 在一条直线上)，颖颖的身高BD ＝1.6 m ，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC ＝0.8 m ，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？解：过点A 作CN 的平行线交BD 于点E ，交MN 于点F.由已知可得，FN ＝ED ＝AC ＝0.8 m ，AE ＝CD ＝1.25 m ，EF ＝DN ＝30 m ，BD ＝1.6 m ， ∠AEB ＝∠AFM ＝90°. 又∵∠BAE ＝∠MAF ， ∴△ABE ∽△AMF. ∴BE MF ＝AE AF， 即1.6－0.8MF ＝ 1.251.25＋30. 解得MF ＝20.∴MN ＝MF ＋FN ＝20＋0.8＝20.8(m). 答：住宅楼的高度为20.8 m.05 课堂小结利用相似三角形进行测量的一般步骤：(1)因地制宜，构造相似三角形；(2)测量与所求线段对应的边的长以及另外任意一组对应边的长；(3)根据相似三角形的对应边成比例进行计算.27.3位似第1课时位似图形的概念及画法01教学目标1.正确理解位似图形等有关概念，能够按照要求利用位似将图形进行放大或缩小以及能够正确地作出位似图形的位似中心.2.在实际操作和探究活动中，让学生感受、体会到几何图形之美，提高对数学美的认识层次，陶冶美育情操，激发学习热情.02预习反馈阅读教材P47～48，完成下列预习内容.(1)两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.(2)下列说法正确的是(D)A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似(3)用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可能在(D)A.原图形的外部B.原图形的内部C.原图形的边上D.任意位置【点拨】位似的三要素即是判定位似的依据，也是位似图形的性质.03名校讲坛例1如图，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1.【解答】 1.在原图形上取点A，B，C，D，E，F，G，在图形外任取一点P；2.作射线AP，BP，CP，DP，EP，FP，GP；3.在这些射线上依次取A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，使PA′＝2PA，PB′＝2PB，PC′＝2PC，PD′＝2PD，PE′＝2PE，PF′＝2PF，PG′＝2PG；4.顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′.所得到的图形就是符合要求的图形.【点拨】作位似图形的步骤：(1)按要求作出各点的对应点后，(2)连线.注意：不要连错对应点之间的连线.【跟踪训练1】(《名校课堂》27.3习题)如图，请在8×8的网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶1.解：如图所示，△A′B′C′为所求的三角形.例2请画出如图所示两个图形的位似中心.图1图2【解答】如图所示的点O1，就是图1的位似中心.如图所示的点O2，就是图2的位似中心.【点拨】正确地作出位似中心，是解位似图形的关键，可以根据位似中心的定义，位似图形的对应点连线的交点就是位似中心.【跟踪训练2】找出下列图形的位似中心.04巩固训练1.在下列图形中，不是位似图形的是(D)A BC D2.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF的面积比为1∶9，则AB∶DE的值为(A)A.1∶3B.1∶2C.1∶ 3D.1∶93.如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA＝4，OA′＝8，则四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的周长的比为1∶2.4.如图，△DEF 是△ABC 经过位似变换得到的，位似中心是点O ，请确定点O 的位置，如果OC ＝3.6 cm ，OF ＝2.4 cm ，求它们的相似比.解：连接AD ，CF 交于点O ，则点O 即为所求.∵OC ＝3.6 cm ，OF ＝2.4 cm ，∴OC ∶OF ＝3∶2.∴△ABC 与△DEF 的相似比为3∶2.5.如图，图中的小方格都是边长为1的小正方形，△ABC 与△A′B′C′是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都是在小正方形的顶点上.(1)找出位似中心点O ；(2)△ABC 与△A′B′C′的位似比为2∶1；(3)按(2)中的位似比，以点O 为位似中心画出△ABC 的另一个位似图形△A″B″C″.解：(1)如图所示，点O 即为所求.(2)∵AC A′C′＝21， ∴△ABC 与△A′B′C′的位似比为：2∶1.故答案为：2∶1.(3)如图所示，△A″B″C″即为所求.05 课堂小结1.本节课我们学习了哪些内容？2.位似图形与一般相似图形相比，有哪些特殊性？3.利用位似作图的步骤有哪些？第2课时 平面直角坐标系中的位似01 教学目标1.让学生理解掌握位似图形在平面直角坐标系上的应用，即会根据相似比，求位似图形顶点，以及根据位似图形对应点坐标，求位似图形的相似比和在平面直角坐标系上作出位似图形.2.让学生在应用有关知识解决问题的过程中，提高应用意识，体验数形结合的思想方法在解题中的运用.02 预习反馈阅读教材P48～50，以原点为位似中心的两个位似图形对应顶点的坐标规律，并完成下列预习内容.(1)如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把线段AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？答：线段缩小后，点A ，B 的坐标与其对应点的坐标的比为13. (2)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点坐标的比为k.(3)△ABC 和△A 1B 1C 1关于原点位似且点A(－3，4)，它的对应点A 1(6，－8)，则△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比是12. (4)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(1，0)，C(3，3)，以原点O 为位似中心，相似比为2，把△ABC 放大得到其位似图形△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1各顶点的坐标分别为A 1(2，4)，B 1(2，0)，C 1(6，6).03 名校讲坛例 (教材P49例)如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，0)，O(0，0).以原点O 为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为32.【解答】 如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A′(－3，6)，B′(－3，0)，O(0，0).顺次连接点A′，B′，O ，所得△A′B′O 就是要画的一个图形.【点拨】 作位似变换时，要先弄清点的坐标的变化情况，求出变换后对应的坐标.然后在坐标中描出对应点，连线即可.【跟踪训练】 在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3).(1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)以点M 为位似中心，在网格中画出△A 1B 1C 1的位似图形△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△A 1B 1C 1的相似比为2∶1.解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求.(2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求.。
九年级数学 第27章 图形的相似 27.2 相似三角形 相似三角形的拓展定理
同理： △BCD ∽ △BAC BC2=BD · AB, △BCD ∽ △CAD
CD2=AD · BD
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射影(shèyǐng)定 理
在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影(shèyǐng)的比例中 项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影(shèyǐng)和斜边的比例
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在⊙O中，CD⊥AB于E，有人(yǒu rén)说这时候CE2=AE·BE
你觉得对吗，你能证明出来吗？
C
A
·O E B
D
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内容(nèiróng)总结
No 相似三角形的拓展定理(dìnglǐ)。求证： AB:AC=BD:DC。∴BE:AC=BD:CD。∴AB:AC=BD:CD。解：AD平分
∵AD平分∠BAC, ∴ ∠BAD=∠CAD= ∠E
∴AB=BE ∴AB:AC=BD:CD
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角平分线定理
(dìnglǐ) 三角形一个角的平分线，分对边所成的两条线段 与这个(zhè ge)角的两边对应成比例
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练习(liànxí)
A
AB=10,AC=8,BC=9,AD平分(píngfēn)∠BAC,求BD,CD长
中项
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练习(liànxí)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足(chuí zú)为D，下列结论不正
确的是（ ） B
A. ∠ACD=∠B C. CD2=BD•AD
B. CD•AB=AC•BD D. CB2=BD•AB
九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定同步练习新版新人教版
相似三角形的判定一、基础题目1．如图，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE AC C.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AE EC ＝DE BC2．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( ) A.AD AB ＝12 B.AE EC ＝12 C.AD EC ＝12 D.DE BC ＝123．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF＝( ) A.13 B.12 C.23D ．1第1题图 第2题图 第3题图4． 如果△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比为2，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为 ．5．如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BCCE 的值等于 ．6．如图，AB 、CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD.EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为 ． 7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且AD ＝2，DB ＝3，则DEBC＝ ．第5题图 第6题图 第7题图 8．如图，EG ∥BC ，GF ∥CD ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．二、训练题目9．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形的对数是( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对10.如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．1∶1 D ．1∶211．如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,3,2AD BD ==,则ADE ∆和ABC ∆的相似比是 ；若6DE =，则BC =第9题图 第10题图 第11题图12．一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm ，则其余两边长为______________.13.如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,DE 分别与,AB AC 相交于D E 、，若4AD =,2DB =,求:DE BC 的值。
最新人教版九年级数学相似三角形27.2.2相似三角形的性质
27.2.2相似三角形的性质
知识点
1.如何灵活应用相似三角形的判定方法
（1）条件中若有平行线，可以采用找角相等证明两个三角形相似
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或者再找此角所在的两边比对应相等
（3）条件中若有两边比对应相等，可找夹角相等或者第三边的比对应相等
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或两直角边的比对应相等
（5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等或找一对底角相等或找腰和底的比对应相等
2.相似三角形的性质：对应边的比相等，对应角相等(画出图形，并且用数学符号语言表示）
3.相似三角形对应线段（对应高，对应中线，对应角分线）的比：等于相似比（画出图形，写出已知求证并证明）
4.相似三角形（多边形）的周长比：等于相似比（画出图形，写出已知求证并证明）
5.相似三角形（多边形）的面积比：等于相似比的平方（画出图形，写出已知求证并证明）
练习题
5.
6.。
人教版九年级数学下册 第27章 相 似 相似三角形 相似三角形的判定 第3课时 由两角判定三角形相似
第二十七章 相 似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 由两角判定三角形相似
知识点❶：两角对应相等的两个三角形相似
1．在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝68°，∠B＝40°，∠A′＝68°，∠C′＝72°，
则这两个三角形( )
B
A．全等 B．相似
C．不相似 D．无法确定
14．如图，等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC，BC 边上各取一点 E，F， 使 AE＝CF，连接 AF，BE 相交于点 P.
(1)求证：AF＝BE，并求∠APB 的度数； (2)若 AE＝2，试求 AP·AF 的值．
解：(1)∵△ABC 为等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，在△ABE 和
4．(南京中考)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分 ∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为__1_0_．
5．(通辽中考)如图，⊙O的直径AB交弦(不是直径)CD于点P，且PC2＝PB·PA， 求证：AB⊥CD.
证 明 ： 连 接 AC ， BD ， ∵ ∠ A ＝ ∠ D ， ∠ C ＝ ∠ B ， ∴ △ APC∽△DPB ， ∴ PC∶PB ＝ PA∶PD ， ∴ PC·PD ＝ PA·PB ， ∵ PC2 ＝ PB·PA ， ∴ PC ＝ PD ， ∵ AB 为 直 径 ， ∴AB⊥CD
解：(1)在△AOF 和△EOF 中，
பைடு நூலகம்
OA＝OE， ∠AOD＝∠EOD， ∴△AOF≌△EOF(SAS)，∴∠OAF＝∠OEF，∵BC 与⊙O 相 OF＝OF，
切，∴OE⊥FC，即∠OEF＝90°，∴∠OAF＝90°，即 OA⊥AF，又∵OA 是⊙O 的半径，
新人教版九年级数学下册 第27章 相似 课件
图形的缩小
相似图形的关系
两个图形相似，其中一个图形可以 看做是由另一个图形_________ 放大 或 缩小 得到的，实际的建筑物 _________ 相似 的，用 和它的模型是___________ 复印机把一个图形放大或缩小后所 得的图形，也是与原来的图 _________ 相似 的.
1、如图，从放大镜里看到的三角尺 和原来的三角尺相似吗？
• 认识形状相同的图形。
• 对相似图形概念的理解。
• 抓住形状相同的图形的特征，认
识其内涵。
回顾旧知
全等图形
A' B
A
B'
C'
C
形状、 大小完全相 同的图形是 全等图形。
新课导入
多啦A梦的2寸照片和4寸照片，他的形状改变 了吗？大小呢？
符合国家标准的两面共青团团旗的形状 相同吗？大小呢？
四阶魔方和三阶魔方形状相同吗？大小呢？
A
E A E B B
D C C
D
A
D
A
D
B
C
B
C
A
A
C B C
B
你从上述几组图片发现了什么？
它们的大小不一定相等，
形状相同.
知识要点
两个图形的形状 完全相同 ________，但图形 的大小位置 不一定相同 __________，这样的图形叫 做相似图形。
图形的放大
图形的放大
两个图形相似
不规则四边形
B
A
请分别量出 这两个不规则四 边形各内角的度 数，求出对应边 的长度。
C
缩小 B1
A1
对 应 角 有 什 么 D 关 系？
对应边有什么关系？ C1
人教版九年级数学下册 第27章 相似 相似三角形 相似三角形的判定 第2课时 相似三角形的判定(1)
是( C )
A．23
B．1 C．32
D．2
平行线分线段成比例的基本事实及推论
DE
DE
2．(8分)如图，若l3∥l4∥l5，则有
AB BC
＝___E__F______，
AB AC
＝____D_F_____，
EF
BC AC
＝____D__F___.若a＝2，b＝3，则c∶d＝___2_∶__3____．
(变式)如图，已知AB∥CD∥EF，有如下说法：其中正确的有_③___． ①ADDF ＝BBCE ；②DAFF ＝EBCC ；③ABFE ＝ABDC ；④DCEF ＝ABDC .
4．(4分)已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，若想使这两个三角形相似，则△DEF的另两边长是( C )
3．(8 分)(教材 P34 练习 T1 变式)依据下列条件，判断△ABC 和△A′B′C′是否相
似，并说明理由． (1)AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，A′B′＝12，A′C′＝8，B′C′＝16； (2)BC＝2，AC＝3，AB＝4，B′C′＝ 2 ，A′C′＝ 3 ，A′B′＝2.
解：(1)∵AA′CB′ ＝18 ，AA′CB′ ＝11.25 ＝18 ，BB′CC′ ＝126 ＝18 ，∴AA′BC′ ＝AA′BC′ ＝BB′CC′ ，
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm 5．(4分)如图，下面是四位同学用无刻度直尺在网格中画的钝角三角形，其中 会相似的两个三角形是( D ) A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④
6．(4 分)如图，在△ABC 和△ACD 中， AC＝ 6 ，AD＝2，AB＝3，BC＝ 3 ， 当 CD＝___2_时，△ABC∽△ACD.
人教版九年级数学下册《第二十七章 相似》教案
人教版九年级数学下册《第二十七章相似》教案一. 教材分析人教版九年级数学下册《第二十七章相似》主要讲述了相似图形的性质和判定方法。
本章内容包括相似图形的定义、相似比、相似多边形的性质、相似三角形的性质和判定、相似圆的性质和判定等。
这些内容是学生学习几何学的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形有了一定的认识。
但是，对于相似图形的定义和性质，学生可能还比较陌生，需要通过具体的例子和实践活动来加深理解。
此外，学生对于图形的变换和判定方法可能还不够熟练，需要通过大量的练习来提高。
三. 教学目标1.理解相似图形的定义和性质，能够判断两个图形是否相似。
2.掌握相似三角形的性质和判定方法，能够应用到实际问题中。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.相似图形的定义和性质的理解。
2.相似三角形的性质和判定方法的掌握。
3.图形变换的熟练运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.利用多媒体和实物模型，进行直观演示和操作，帮助学生建立直观的空间想象能力。
3.提供丰富的练习题，进行巩固和拓展，提高学生的解题能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.实物模型和图片。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些相似的图形，如字母“A”和“a”，让学生观察和思考，引出相似图形的概念。
2.呈现（10分钟）讲解相似图形的定义和性质，通过具体的例子和实物模型进行演示，让学生理解和掌握相似图形的特征。
3.操练（10分钟）让学生进行一些类似的练习题，巩固对相似图形的理解和判断能力。
可以提供一些提示和指导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生应用相似图形的性质和判定方法，解决实际问题。
教师可以给予一些帮助和指导，鼓励学生独立思考和解决问题。
最新人教版九年级数学下册第二十七章27.2.1《相似三角形的判定》说课稿
《相似三角形的判定》说课稿各位评委老师：大家好！我今天说课的内容是《相似三角形的判定》，下面我将从说教材、说学生、说教学方法、说教学过程、板书设计五个大板块来给大家阐述我的教学思路和教学设计。
一、说教材首先进入我的第一个大板块“说教材”。
我把说教材这个板块分为三个小环节来进行，它们分别是教材分析、教学目标、教学重难点。
1、教材分析本节课《相似三角形的判定》是选自新人教版九年级下册第二十七章第二节第二课时的内容。
是在学习了第一节相似多边形的概念、第一课时平行线分线段成比例的定理及推论后，研究相似三角形的定义以及三角形一边的平行线的判定定理。
本节课是判定三角形相似的起始课，是本章的重点之一。
一方面，该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展；另一方面，不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三种判定定理的主要根据，所以把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”。
因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位。
2、教学目标根据教学大纲的要求和贯彻全面发展的教育方针，我制定了如下的教学目标：（1）知识与技能：理解相似三角形的定义，掌握相似三角形判定定理的“预备定理”。
（2）过程与方法：让学生经历观察---探索----猜想----验证----运用----巩固的过程，渗透类比的思想方法，培养学生探究新知识、提高分析问题和解决问题的能力。
（3）情感态度和价值观：通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦。
3、教学重难点为了达到以上的教学目标，我制定了以下的教学重难点：教学重点：相似三角形的定义，判定两个三角形相似的预备定理。
教学难点：探究两个三角形相似的预备定理的过程。
二、说学生说完了教材，我想跟大家分析一下我所授课的学生所具有的特点，也就是学情分析。
老师们，我们都知道九年级的学生接受能力相比七八年级强，想得到老师的鼓励。
九年级下期第27章相似三角形电子教材1(word版)
第27章图形的相似 (2)§27.1 相似的图形 (3)§27.2 相似图形的性质 (5)1.成比例线段 (5)2.相似图形的性质 (6)阅读材料 (10)§27.3 相似三角形 (11)1.相似三角形 (11)2.相似三角形的判定 (12)3.相似三角形的性质 (16)4.相似三角形的应用 (17)阅读材料 (20)§27.4 中位线 ................................................. 错误！未定义书签。
§27.5 画相似图形 (22)阅读材料 (23)§27.6 图形与坐标 (24)1.用坐标确定位置 (24)小结 (28)复习题 (28)第27章图形的相似你瞧，那些大大小小的图形是多么地相像！日常生活中，我们经常会看到这种相似的图形，那么它们有什么主要特征与关系呢？§27.1 相似的图形观察图27.1.1，你会发现右边的照片是由左边的照片放大得来的.尽管它们大小不同，但形状相同.图24.1.1图27.1.1图27.1.2是两张大小不同的世界地图，左边的图形可以看作是右边的图形缩小得来的.由于不同的需要，对某一地区，经常会制成各种大小的地图，但其形状（包括地图中所描绘的各个部分）肯定是相同的.图27.1.2日常生活中我们会碰到很多这种形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形（similar figures）.同一底片扩印出来的不同尺寸的照片也是相似图形.放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像，都是彼此相似的.图27.1.3所示的是一些相似的图形.图27.1.3观察图27.1.4中的三组图形，看起来每组中的两个图形都具有一些相像的成分，其实形状是不相同的，这样的图形就不是相似图形.图27.1.4试一试如图27.1.5，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形.和你的伙伴交流一下，看看谁的方法又快又好.图27.1.5练习1.观察你周围的事物，举出几个相似图形的例子.2.你看到过哈哈镜吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？习题27.11.试着用本书最后所附的格点图把下面的图形放大.（第1题）2.观察下面的图形（a）~（g），其中哪些是与图形（1）、（2）或（3）相似的？（第2题）§27.2 相似图形的性质1.成比例线段试一试由下面的格点图可知，B A AB ''＝_________，C B BC ''＝________，这样B A AB ''与C B BC''之间有关系_______________.图24.2.1概括像这样，对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如dcb a =（或a ∶b ＝c ∶d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）.此时也称这四条线段成比例.例1判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段：（1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；（2）a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝35.解 （1） ∵3264==b a ，21105==d c ， ∴dc b a ≠， ∴ 线段a 、b 、c 、d 不是成比例线段. （2） ∵55252==b a ，55235152==d c ， ∴dc b a =， ∴ 线段a 、b 、c 、d 是成比例线段. 对于成比例线段我们有下面的结论： 如果dcb a =，那么ad ＝bc. 如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么dc b a =. 以上结论称为比例的基本性质.例2证明：（1）如果d c b a =，那么dd c b b a +=+； （2） 如果d c b a =，那么d c cb a a -=-.证明（1）∵dcb a =，在等式两边同加上1，∴11+=+d cb a ， ∴ ddc b b a +=+. （2） ∵dc b a =， ∴ ad ＝bc ，在等式两边同加上ac ， ∴ ad ＋ac ＝bc ＋ac ， ∴ ac －ad ＝ac －bc ，∴ a （c －d ）＝（a －b ）c ， 两边同除以（a －b ）（c －d ）， ∴dc cb a a -=-.练习1.判断下列线段是否是成比例线段： （1）a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝3m ，d ＝6m ； （2）a ＝0.8，b ＝3，c ＝1，d ＝2.4. 2.已知： 线段a 、b 、c 满足关系式cbb a =，且b ＝4，那么ac ＝______. 3.已知23=b a ，那么b b a +、ba a -各等于多少？ 2.相似图形的性质两个相似的平面图形之间有什么关系呢？为什么有些图形是相似的，而有些不是呢？相似图形有什么主要性质呢？做一做图27.2.2是某个城市的大小不同的两张地图，当然，它们是相似的图形.设在大地图中有A 、B 、C 三地，在小地图中的相应三地记为A ′、B ′、C ′，试用刻度尺量一量两张地图中A （A ′）与B （B ′）两地之间的图上距离、B （B ′）与C （C ′）两地之间的图上距离.图24.2.2图27.2.2AB ＝______cm ， BC ＝______cm ； A ′B ′＝______cm ， B ′C ′＝______cm.显然两张地图中AB 和A ′B ′、BC 和B ′C ′的长度都是不相等的，那么它们之间有什么关系呢？小地图是由大地图缩小得来的，我们能感到线段A ′B ′、B ′C ′与AB 、BC 的长度相比都“同样程度”地缩小了. 计算可得B A AB ''＝________，C B BC''＝________. 我们能发现B A AB ''＝CB BC''.上面地图中AB 、A ′B ′、BC 、B ′C ′这四条线段是成比例线段.实际上，上面两张相似的地图中的对应线段都是成比例的.这样的结论对一般的相似多边形是否成立呢？ 图27.2.3中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否有以上的关系呢？对应角之间又有什么关系？图27.2.3再看看图27.2.4中两个相似的五边形，是否与你观察图27.2.3所得到的结果一样？图27.2.4概括由此可以得到两个相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等.实际上这也是我们判定两个多边形是否相似的方法，即如果_________________________，那么这两个多边形相似.例 在图27.2.5所示的相似四边形中，求未知边x 的长度和角度α的大小.图27.2.5分析利用相似多边形的性质和多边形的内角和公式就可以得到所需结果，但利用相似多边形的性质时，必须分清对应边和对应角.解 ∵ 两个四边形相似，∴ 181218x ， ∴ x ＝27.∴ α＝360°－（77°＋83°＋117°）＝83°.思考两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？练习1.（1）根据图示求线段比：CD AC ，CB AC ，DBCD；（第1题）（2）试指出图中成比例的线段.2.等腰三角形两腰的比是多少？直角三角形斜边上的中线和斜边的比是多少？3.下图是两个等边三角形，找出图形中的成比例线段，并用比例式表示.（第3题）4.根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由.（第4题）5.如图，正方形的边长a ＝10，菱形的边长b ＝5，它们相似吗？请说明理由.（第5题）习题27.21.所有的矩形都相似吗？所有的正方形呢？2.在比例尺为1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25厘米，则两地的实际距离是多少？3.判断下列各组线段是否是成比例线段： （1） 2厘米，3厘米，4厘米，1厘米；（2） 1.5厘米，2.5厘米，4.5厘米，6.5厘米； （3） 1.1厘米，2.2厘米，3.3厘米，4.4厘米； （4） 1厘米，2厘米，2厘米，4厘米.4.两地的实际距离为200米，地图上的距离为2厘米，这张地图的比例尺为多少？5.如图所示的两个矩形是否相似？（第5题）6.在本书最后所附的格点图中画出两个相似的三角形、四边形、五边形.7.已知：53=-b b a ，求b a的值. 8.已知d c b a =（b ±d ≠0），求证：db db c a c a -+=-+.阅读材料黄金分割两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus ，约公元前408—前355年）发现： 将一条线段（AB ）分割成大小两条线段（AP 、PB ），若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即ABAPAP PB （此时线段AP 叫做线段PB 、AB 的比例中项），则可得出这一比值等于0.618….这种分割称为黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点.自然界中的黄金分割连女神维纳斯的雕像上也都烙有“0.618”的印记雅典帕德嫩神庙：包含黄金矩形的建筑物，它是世界上最美丽的建筑之一为什么人们会关注黄金分割呢？那是因为人们认为这个分割点是分割线段时最优美的、最令人赏心悦目的点.自古希腊以来，黄金分割就被视为最美丽的几何学比率，并广泛地用于建造神殿和雕刻中.但在比古希腊还早2000多年所建的金字塔中，它就已被采用了.文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔的高与底面的边长的比都接近于0.618.不仅在建筑和艺术中，就是在日常生活中，黄金分割也处处可见.如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉最好.有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比也接近黄金比.就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618.还有黄金矩形、黄金三角形（顶角为36°的等腰三角形）等，五角星中更是充满了黄金分割. 去发现大千世界中奇妙无比的黄金分割吧！§27.3 相似三角形1.相似三角形在相似多边形中，最为简单的就是相似三角形（similar triangles ）.图27.3.1相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”.如图27.3.1所示的两个三角形中， ∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′，AC CAC B BC B A AB ''=''=''. 即△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作 △ABC ∽△A ′B ′C ′，读作“△ABC 相似于△A ′B ′C ′”. 如果记A C CAC B BC B A AB ''=''=''＝k ，那么这个比值k 就表示这两个相似三角形的相似比.做一做如图27.3.2，△ABC 中，D 为边AB 上任一点，作DE ∥BC ，交边AC 于E ，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE 与△ABC 是否相似.图27.3.2我们知道，根据两直线平行同位角相等，则∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，而∠A ＝∠A.通过度量，还可以发现它们的对应边成比例，所以△ADE ∽△ABC. 如果取点D 为边AB 的中点，那么上题中△ADE 和△ABC 的相似比就为k ＝21. 当k ＝1时，两个相似三角形不仅形状相同，而且大小也相同，即为全等三角形.全等三角形是相似三角形的特例.练习1.如图，正方形ABCD的边长为1，点O为对角线的交点，试指出图中的相似三角形.2.如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少？较小三角形与较大三角形周长的比是多少？（第1题）（第3题）3.右边是用12个相似的直角三角形所组成的图案，请你也用相似三角形设计出一个或两个美丽的图案.2.相似三角形的判定我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例.那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？观察你与你同伴的直角三角尺，同样角度（30°与60°，或45°与45°）的三角尺看起来是相似的.这样从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实这样吗？探索如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么它们相似吗？试一试如图27.3.3，任意画两个三角形（可以画在本书最后所附的格点图上），使其三对角分别对应相等.用刻度尺量一量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例.你能得出什么结论？图27.3.3我们可以发现，它们的对应边成比例，即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形__________.而根据三角形内角和等于180°，我们知道如果两个三角形有两对角分别对应相等，那么第三对角也一定对应相等.于是，我们可以得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 思考如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？图27.3.4例1 如图27.3.4所示，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，证明△ABC∽△A′B′C′.证明∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）.例2 如图27.3.5，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，证明：△ADE∽△EFC.图27.3.5证明∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠ADE＝∠B＝∠EFC，∴∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）.练习1.找出图中所有的相似三角形.（第1题）（第2题）2.图中DG∥EH∥FI∥BC，找出图中所有的相似三角形.观察图27.3.6，如果有一点E 在边AC 上，那么点E 应该在什么位置才能使△ADE 与△ABC 相似呢？图27.3.6图中两个三角形的一组对应边AD 与AB 的长度的比值为31.将点E 由点A 开始在AC 上移动，可以发现当AE ＝________AC 时，△ADE 与△ABC 相似.此时ABAD=__________.探 索如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？做一做利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等.量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等.另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？我们可以发现这两个三角形相似.这样我们又有了一种判定两个三角形是否相似的方法： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.例3证明图27.3.7中△AEB 和△FEC 相似.图27.3.7证明∵5.13654==FE AE ， 5.13045==CE BE ， ∴ CEBEFE AE =. ∵ ∠AEB ＝∠FEC ，∴ △AEB ∽△FEC （如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）.探索如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？感觉上应该是能“相似”了.做一做在图27.3.8的方格上任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数.画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？图27.3.8我们可以发现这两个三角形相似.即：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.例4在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知： AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，AC ＝10cm ，A ′B ′＝18cm ，B ′C ′＝24cm ，A ′C ′＝30cm.试证明△ABC 与△A ′B ′C ′相似.证明∵31186==''B A AB ， 31248==''C B BC ， 313010==''C A AC ， ∴ CA ACC B BC B A AB ''=''=''， ∴ △ABC ∽△A ′B ′C ′（如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似）.练习1.依据下列各组条件，证明△ABC 和△A ′B ′C ′相似.（1） AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，AC ＝16cm ，A ′B ′＝16cm ，B ′C ′＝12.8cm ，A ′C ′＝25.6cm ；（2） ∠A ＝∠80°，∠C ＝60°，∠A ′＝80°，∠B ′＝40°；（3） ∠A ＝40°，AB ＝8，AC ＝15，∠A ′＝40°，A ′B ′＝16，A ′C ′＝30.2.在第1题小题（3）中，若BC ＝a ，∠B ＝α，试求出B ′C ′的长与∠B ′、∠C ′的大小.3.相似三角形的性质两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论.例如，在图27.3.9中，△ABC 和△A ′B ′C ′是两个相似三角形，相似比为k ，其中AD 、A ′D ′分别为BC 、B ′C ′边上的高，那么AD 、A ′D ′之间有什么关系？图24.3.9图27.3.9△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形，而∠B ＝∠B ′，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似.那么k B A ABD A AD =''='' 由此可以得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比. 图27.3.10中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似.图27.3.10（2）与（1）的相似比＝__________， （2）与（1）的面积比＝__________； （3）与（1）的相似比＝__________， （3）与（1）的面积比＝__________.从上面可以看出，当相似比＝k 时，面积比＝2k .我们猜想： 相似三角形的面积比等于相似比的平方.例5已知：△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，AD 、 A ′D ′分别是△ABC 、 △A ′B ′C ′对应边BC 、 B ′C ′上的高，求证：2k S S C B A ABC='''∆∆.证明∵ △ABC ∽△A ′B ′C ′，∴k D A AD =''，k CB BC=''， ∴ 22121k C B D A BCAD S S C B A ABC=''⋅''⋅='''∆∆思考图27.3.11中，△ABC 和△A ′B ′C ′相似，AD 、A ′D ′分别为对应边上的中线，BE 、B ′E ′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？图27.3.11可以得到的结论是____________________. 想一想： 两个相似三角形的周长比是什么？ 可以得到的结论是____________________.练习1.如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应角的角平分线的比等于多少？2.相似三角形对应边的比为0.4，那么相似比为______，对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，面积的比为______.3.如图，在正方形网格上有111C B A ∆和222C B A ∆，这两个三角形相似吗？如果相似，请给出证明，并求出111C B A ∆和222C B A ∆的面积比.(第3题)4.相似三角形的应用人们从很早开始，就懂得利用相似三角形的有关性质来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度.例6古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法： 如图27.3.12所示，为了测量金字塔的高度OB ，先竖一根已知长度的木棒O ′B ′，比较棒子的影长A ′B ′与金字塔的影长AB ，即可近似算出金字塔的高度OB.如果O ′B ′＝1，A ′B ′＝2，AB ＝274，求金字塔的高度OB.图27.3.12解 ∵ 太阳光是平行光线，∴ ∠OAB ＝∠O ′A ′B ′.∵ ∠ABO ＝∠A ′B ′O ′＝90°，∴ △OAB ∽△O ′A ′B ′（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），∴ OB ∶O ′B ′＝AB ∶A ′B ′，∴ 13721274=⨯=''''⨯=B A B O AB OB （米），即该金字塔高为137米.图27.3.13例7如图27.3.13，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选定点B 和C ，使AB ⊥BC ，然后，再选点E ，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D.此时如果测得BD ＝120米，DC ＝60米，EC ＝50米，求两岸间的大致距离AB.解∵ ∠ADB ＝∠EDC ，∠ABC ＝∠ECD ＝90°，∴ △ABD ∽△ECD （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），∴CDBDEC AB =， 解得CD EC BD AB ⨯=1006050120=⨯=（米）.答： 两岸间的大致距离为100米.这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法.例8如图27.3.14，已知： D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且∠ADE ＝∠C.求证： AD ²AB ＝AE ²AC.图27.3.14证明∵ ∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ △ADE ∽△ACB （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）.∴ABAEAC AD ， ∴ AD ²AB ＝AE ²AC.练习1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？2.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，BC ＝6，梯形DBCE 面积是△ADE 面积的3倍，求DE 的长.（第2题）习题27.31. 判断下面各组中两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程. （1） 如图，DE ∥BC ，△ABC 与△ADE ； （2） 如图，∠AED ＝∠C ，△ABC 与△ADE.（第1题）2. 已知： △ABC 的三边长分别为5、12、13，和△ABC 相似的△A ′B ′C ′的最大边长为26，求△A ′B ′C ′的另两条边的边长和周长以及最大角的度数.3. 使用三角尺画一个三角形，其中一个角为60°，一个角为45°，再画一个与它相似的三角形.4. 依据下列各组条件，判断△ABC 和△A ′B ′C ′是不是相似，如果相似，请给出证明过程.（1） ∠A ＝70°，∠B ＝46°，∠A ′＝70°，∠C ′＝64°；（2） AB ＝10厘米，BC ＝12厘米，AC ＝15厘米，A ′B ′＝150厘米，B ′C ′＝180厘米，A ′C ′＝225厘米； （3） ∠B=35°，BC=10，BC 上的高AD=7，∠B ′=35°，B ′C ′=5，B ′C ′上的高A ′D ′=3.5.5. 已知在等腰△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A 、∠A ′分别是顶角.试依据下列条件，判断△ABC 和△A ′B ′C ′是否相似，如果相似，请写出证明过程. （1） ∠A ＝∠A ′.（2） ∠B ＝∠B ′（或∠C ＝∠C ′）.6. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h.（第6题）阅读材料线段的等分将某件物品等分是生活中经常会遇到的事情.例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看，就是将一条线段五等分.你知道下面这个简单的方法吗？如图1，将这条线段画在你的练习本上，使它恰好跨过六条横线.现在，你看到这条线段被分成了相等的五小段.如果你没有练习本，那也没有关系.让我们按照上面的想法，用三角尺完成等分线段这件事情.图1图2如图2，过线段AB 的一个端点A 任意画一条射线AP ，在AP 上依次取五段相等的线段1AA 、21A A 、32A A 、43A A 、54A A ，连结5BA ，再过1A 、2A 、3A 、4A 分别画5BA 的平行线，这些平行线就恰好将线段AB 平均分成五等分.你想知道其中的原因吗？想想相似图形的特征与性质，你就会明白了. 现在，你会画了吗？请你再试试看，将一条线段7等分.相似三角形与全等三角形“相似”与“全等”是数学上用来描写两个图形的形状与大小之间关系的一对语言.就三角形而言，当两者形状一样时，称其为相似；而当两个三角形的形状与大小都一样时，我们就称其为全等.相似是全等的拓展，全等是相似的特例.人们研究问题，往往有两种不同的思路，一是由特殊到一般，二是由一般到特殊.本套教材对于图形的研究遵循由特殊到一般的思路，先研究全等，以此作为基本事实（即公理），再研究相似.因而相似三角形的一些判定方法与性质完全可以通过包括全等公理在内的基本事实逻辑推理得到. 例如，如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似.即在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，可以推出△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明: （1） 若AB ＝A ′B ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′，结论成立. （2） 若AB ≠A ′B ′.不妨设AB ＞A ′B ′.在△ABC 的边AB 、AC 上，分别截取AD ＝A ′B ′，AE ＝A ′C ′， 又∵ ∠A ＝∠A ′，∴ △ADE ≌△A ′B ′C ′， 于是∠B ′＝∠ADE.∠B ＝∠B ′， ∠B ＝∠ADE ， DE ∥BC.BC 边上的高AG 交DE 于点F ，于是AF ⊥DE. ∴ DBCE AD E ABC S S S 梯形+=∆∆，即)()(212121AF AG BC DE AF DE AG BC -⋅++⋅=⋅. 化简得 DE ²AG ＝BC ²AF ， 即AFAGDE BC =. 因此AFAGDE BC AF DE AGBC S S S S ADE ABC C B A ABC ⋅=⋅⋅==∆∆'''∆∆212122)()(CB BC DE BC ''==.同理可证22)()(C A AC B A AB S S C B A ABC ''=''='''∆∆.∴C B BC C A AC B A AB ''=''=''. 又∵ ∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∴∠C＝∠C′，∴△ABC∽△A′B′C′.这里的证明，实际上就是将△A′B′C′运动变换到△ABC内的△ADE处，得到DE∥BC，再研究△ADE与△ABC的关系.试试看，用类似的方法证明相似三角形的另两个判别方法，相信你一定会体会到逻辑推理的奇妙！§27.4 画相似图形相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形放大或缩小，保持形状不变.下面介绍一种特殊的画相似多边形的方法.现在要把多边形ABCDE放大到1.5倍，即新图与原图的相似比为1.5.我们可以按下列步骤画出图27.4.1：图27.4.11.任取一点O；2.以点O为端点作射线OA、OB、OC、……；3.分别在射线OA、OB、OC、……上取点A′、B′、C′、……，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝…＝1.5；4.连结A′B′、B′C′、……，得到所要画的多边形A′B′C′D′E′.探索用刻度尺和量角器量一量，看看上面的两个多边形是否相似？你能否用逻辑推理的方法说明其中的理由？图27.4.1中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似（homothety），点O叫做位似中心.放电影时，胶片和屏幕上的画面就形成了一种位似关系.利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点O，如图27.4.2，作直线OA、OB、OC、OD，在点O的另一侧取点A′、B′、C′、D′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝2，也可以得到放大到2倍的四边形A′B′C′D′.图27.4.2 图27.4.3实际上，如图27.4.3所示，如果把位似中心取在多边形内，那么也可以把一个多边形放大或缩小，而且较为简便.练习任意画一个五边形，再把它放大到原来的3倍.习题27.4任选一种方法，按下列相似比画出一个三角形的位似图形. （1） 相似比为21；（2） 相似比为2.5.阅读材料数学与艺术的美妙结合——分形雪花是什么形状呢？科学家通过研究发现： 将正三角形的每一边三等分，而以其居中的那一条线段为底边再作等边三角形.然后以其两腰代替底边.再将六角形的每边三等分，重复上述的作法.如图1所示，如此继续下去，就得到了雪花曲线.图1雪花曲线的每一部分经过放大都可以与它的整体形状相似，这种现象叫自相似.只要有足够细的笔，这种自相似的过程可以任意继续表现下去.观察图2中的图形，这也是通过等边三角形绘制的另一幅自相似图形.图2图3是五边形的一幅自相似图形.图3图4自然界中其实存在很多自相似现象，如图4所示树木的生长，又如雪花的形成、土地干旱形成的地面裂纹等.现在已经有了一个专门的数学分支来研究像雪花这样的自相似图形，这就是20世纪70年代由美国计算机专家芒德布罗创立的分形几何.如图5，通过计算机可以把简单的图形设计成美丽无比的分形图案，人们称为分形艺术.图5§27.5 图形与坐标1.用坐标确定位置图27.5.1夏令营举行野外拉练活动，老师交给大家一张地图，如图27.5.1所示，地图上画了一个直角坐标系，作为定向标记，给出了四座农舍的坐标是： （1， 2）、（－3， 5）、（4， 5）、（0， 3）.目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和连结第二与第四座农舍的直线的交点.利用平面直角坐标系，同学们很快就到达了目的地.请你在图中画出目的地的位置.试一试图27.5.2是某乡镇的示意图.试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：图27.5.2有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置.现实生活中我们能看到许多这种方法的应用：如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置，电影院的座位用几排几座来表示，国际象棋中竖条用字母表示、横条用数字表示等.右图是国际象棋的棋盘，E2在什么位置？如何描述A、B、C的位置？我们还可以用其他方式来表示物体的位置.例如，小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息：“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此处3千米的地方；“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45度的方向，距离此处2.4千米的地方；“321号水库”在他现在所在地的南偏东27度的方向，距离此处1.1千米的地方.根据这些信息可以画出表示各处位置的一张简图：图27.5.3看来，用一个角度和距离也可以表示一个点的位置.这种方式在军事和地理中较为常用.练习小燕在某市公园的门口看到这个公园的平面示意图（如下图）.试借助刻度尺、量角器解决下列问题.（1）建立适当的直角坐标系，用坐标表示假山、游戏车、马戏城的位置；（2）填空：九曲桥在假山的北偏东__________度的方向上，到假山的距离约为_________米；喷泉在假山的北偏西___________度的方向上，到假山的距离约为__________米.2.图形的变换与坐标在同一直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后，点的坐标会如何变化呢？例图27.5.4中，△AOB沿x轴向右平移3个单位之后，得到△A′O′B′.三个顶点的坐标有什么变化呢？图27.5.4解△AOB的三个顶点的坐标是A（2，4）、O（0，0）、B（4，0）.平移之后的△A′O′B′对应的顶点是A′（5，4）、O′（3，0）、B′（7，0）.沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都增加了3.思考在图27.5.5中，△AOB关于x轴的轴对称图形是△A′OB.对应顶点的坐标有什么变化？。
27.2.2相似三角形性质(教案)
此外，实践活动环节，学生们的动手操作能力得到了锻炼，但我也发现部分学生在操作过程中对相似三角形的性质把握不够准确。这提醒我在设计实验操作时，需要更加细化步骤，让学生们在操作中能够更加深刻地体会相似三角形的性质。
27.2.2相似三角形性质（教案）
一、教学内容
本节课选自人教版九年级数学下册第27章第2节，主要教学内容为“相似三角形性质”。具体内容包括：
1.相似三角形的定义及其判定方法回顾。
2.探索并证明相似三角形的以下性质：
a.对应角相等；
b.对应边成比例；
c.对应角平分线、中线、高线成比例；
d.对应周长比、面积比等于相似比。
b.详细证明相似三角形的性质，特别是对应角平分线、中线、高线成比例的证明过程。
c.相似三角形周长比和面积比的推导，以及在实际问题中的应用。
d.通过典型例题，强化学生对相似三角形性质的理解和应用。
2.教学难点
-难点内容：相似三角形性质的证明和应用。
-难点解析及教学方法：
a.证明相似三角形对应角平分线、中线、高线成比例时，学生可能难以理解比例关系的推导过程。教师应通过动态几何软件演示或者实物模型操作，帮助学生直观理解。
4.对学生们的学习成果进行及时反馈，帮助他们认识到自己的进步和需要改进的地方。
b.学生在应用相似三角形性质解决实际问题时，问题中抽象出相似三角形的模型，并运用性质解决问题。
c.面积比的推导对学生而言可能较为抽象，教师可通过绘制图形、分解面积的方法，让学生直观感受面积比与相似比的关系。
九年级数学下册第27章相似27.2相似三角形2相似三角形应用举例第1课时习题课件新人教版
【解析】∵DE∥AB，∴∠A=∠E，∠B=∠D，
∴△ABC∽△EDC，∴ B C 即A B .
DC ED
∴AB=870 m.
290 AB . 10 30
答：湖两岸的距离AB是870 m.
【想一想错在哪？】如图，某一时刻，身高为1.6 m的小明站 在离墙1 m的地方，发现自己在太阳光下的影子有一部分在地 面上，另一部分在墙上，墙上的部分影子长为0.2 m，同时他 又量得附近一棵大树的影子长为10 m，求这棵大树的高度.
【互动探究】求灯罩的半径时，还有什么方法？
提示:利用相似三角形的性质，得到MN=4 r,在Rt△OMN中应用
3
勾股定理列方程求解.
【总结提升】利用相似三角形测量物体高度的一般步骤 1.画出示意图，利用平行光线、影子、标杆等构造相似三角形. 2.测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外一组对应 边的长度. 3.利用相似三角形的性质列出包括以上四个量的比例式，解出 未知量. 4.检验并得到答案.
知识点 2 应用相似三角形测量宽度 【例2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个 目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再 选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得 BD=110 m，DC=55 m，EC=52 m，求两岸间的大致距离AB.
x 30
路灯甲的高为9 m. 答案:9
3.如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m．当短臂端点 下降0.5 m时，长臂端点升高____m（杆的宽度忽略不计）．
【解析】设长臂上升的高度为x m,根据题意得 0 .5 1 ,
x 16
解得x=8. 答案:8
4.如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20 m的A处放了 一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点， 若AC=1.5 m，小明的眼睛离地面的高度为1.6 m，请你帮助小 明计算一下楼房的高度（精确到0.1 m）．
人教版 九年级下册数学第二十七章：相似 27.2 相似三角形教案设计
相似三角形一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●了解相似三角形的概念，会准确找出两个相似三角形的对应边、对应角。
●探索两个三角形相似的条件，会选择恰当的方法识别两个三角形相似。
●探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算。
●通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题。
●培养合情推理和数学说理能力。
重点：●掌握相似三角形的判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似；运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；相似三角形和相似多边形的周长、面积的性质的理解与运用。
难点：●相似三角形判定方法的运用；灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）；探索证明相似多边形面积的性质。
学习策略：对于本知识点的学习，应由低到高处理好以下几个方面的问题：●先识记并理解相似三角形的判定方法。
●灵活运用三角形的判定方法，进行证明或计算。
●学会由实际问题构建实际三角形，利用相似三角形解决实际问题。
●结合三角形的判定方法，从本质上去理解相似三角形的性质，在实际应用中加深体会相似三角形的性质。
二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）相似图形的概念我们把的图形称为相似图形(similar figures).（二）成比例线段对于四条线段a b c d 、、、，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比 ，如a c b d =(即ad bc =)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段(proportional segments).（三）相似多边形(similar polygons)（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应 相等，对应 相等.（2）相似多边形的识别：如果两个多边形的对应 相等，对应 相等，那么这两个多边形相似.（四）判定两个三角形全等的方法有(简写形式)、 、 、 。
人教版数学九年级下册数学：第27章 相似 同步教案(全章)
第二十七章相似27．1 图形的相似第1课时相似图形教学目标1．通过对事物图形的观察、思考和分析，认识相似的图形．2．经历动手操作的活动过程，增强学生的观察和动手能力．3．体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识．预习反馈阅读教材P24～25，弄清楚相似图形的概念，能正确判断两个图形是否相似．并完成下列预习内容．①把形状相同的图形叫做相似图形．②两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．③从放大镜里看到的三角板和原来的三角板相似吗？相似．④哈哈镜中人的形象与本人相似吗？不相似．⑤全等三角形相似吗？相似．⑥生活中哪些地方会见到相似图形？答案不唯一．【点拨】研究几何主要是研究几何图形的形状、大小与位置，只要形状相同的两个图形就叫做相似图形．例题讲解：例1下列各图中哪组图形是相似图形(C)A BC D【点拨】观察图形，要从本质入手，如C，将小图的位置稍加旋转就可以发现它们是相似图形．【跟踪训练1】下列图形中，不是相似图形的是(C)A BC D【跟踪训练2】(教材P25练习2)如图，图形(a)～(f)中，哪些与图形(1)或(2)相似？解：(d)与(1)相似，(e)与(2)相似．巩固训练1．如图所示各组图形中，两个图形形状不相同的是(C)A BC D2．下列图形中：①放大镜下的图片与原来的图片；②幻灯片的底片与投影在屏幕上的图象；③天空中两朵白云的照片；④卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片．其中相似的组数有(C)A．4组B．3组C．2组D．1组课堂小结1．本节课学习了哪些主要内容？2．全等三角形和相似三角形有哪些区别和联系？第2课时相似多边形与比例线段教学目标1．结合现实情境了解成比例线段，并能运用比例线段进行计算求值，理解并掌握相似多边形的性质以及运用相似多边形的性质解决实际问题．2．在探索过程中激发学生的求知欲，发展学生的交流合作精神．预习反馈阅读教材P26～27，理解并掌握“相似多边形”及“相似比”的概念，并完成下列预习内容：①对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比等于另两条线段的比，如ab＝cd(即ad＝bc)，那么我们就说这四条线段是成比例．②相似多边形的对应角相等，对应边成比例．③相似多边形对应边的比称为相似比，当相似比为1，这两个多边形全等．④用一个放大镜看一个四边形ABCD，若该四边形的边长放大5倍，下列说法正确的是(B)A．角A是原来的5倍B．周长是原来的5倍C．每一个内角都发生了变化D ．以上说法都不对 例题讲解：例1 下列图形中，不一定相似的是(D) A ．任意两个等腰直角三角形 B ．任意两个等边三角形 C ．任意两个正方形 D ．任意两个菱形【跟踪训练1】 下列四组图形中，一定相似的是(D) A ．正方形与矩形 B ．正方形与菱形C ．菱形与菱形D ．正五边形与正五边形例2 (教材P26例)如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α，β的大小和EH 的长度x.【解答】 因为四边形ABCD 和EFGH 相似，所以它们的对应角相等，由此可得，α＝∠C ＝83°，∠A ＝∠E ＝118°.在四边形ABCD 中，∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.因为四边形ABCD 和EFGH 相似，所以它们的对应边成比例，由此可得EH AD ＝EF AB ，即x 21＝2418.解得x ＝28.【点拨】 相似多边形对应边成比例，关键要理解“对应”二字．【跟踪训练2】 如图，DE ∥BC ，DE ＝3，BC ＝9，AD ＝1.5，AB ＝4.5，AE ＝1.4，AC ＝4.2. (1)求AD AB ，AE AC ，DEBC 的值；(2)求证：△ADE 与△ABC 相似．解：(1)AD AB ＝1.54.5＝13，AE AC ＝1.44.2＝13，DE BC ＝39＝13.(2)证明：∵DE ∥BC ， ∴∠D ＝∠B ，∠E ＝∠C.又∵∠DAE ＝∠BAC ，AD AB ＝AE AC ＝DEBC，∴△ADE 与△ABC 相似． 例3 已知A ，B 两地的实际距离AB ＝5 km ，画在地图上的距离CD ＝2 cm ，则这张地图的比例尺是1∶250__000． 【点拨】 图上距离与实际距离的比叫做比例尺．【跟踪训练3】 (教材P27练习1)在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm ，求两地的实际距离．解：设两地的实际距离为x.30x ＝110 000 000. 解得x ＝300 000 000.∵300 000 000 cm ＝3 000 km.∴两地的实际距离为3 000 km.巩固训练 1．下列各组线段中，成比例线段的是(B)A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，3 2．下列各组图形中，必定相似的是(D) A ．两个等腰三角形B ．各有一个角是40°的两个等腰三角形C ．两条边之比都是2∶3的两个直角三角形D ．有一个角是100°的两个等腰三角形3．在一张由复印机出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm 变成了4 cm ，那么这次复印的放缩比例为4∶1．4．把矩形对折后得到的矩形和原来的矩形相似，那么这个矩形的长与宽之比为2．5．已知三个数，1，2，3，请你再添上一个(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是23． 6．在两个相似的五边形中，一个边长分别为1，2，3，4，5，另一个最大边为8，则后一个五边形的周长是多少？解：另一个五边形的周长为24. 课堂小结1．本节课学习了哪些内容？2．如何根据相似多边形的概念判断多边形相似？27．2 相似三角形 27．2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例教学目标1．理解相似三角形的概念．2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论． 3．掌握判定三角形相似的预备定理． 预习反馈阅读教材P29～31，弄懂相似三角形的概念，理解平行线分线段成比例定理和相似三角形判定的预备定理．并完成下面的预习内容．①如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k ，那么△A 1B 1C 1∽△ABC 的相似比为1k．②如图，l 1，l 2分别被l 3，l 4，l 5所截，且l 3∥l 4∥l 5，则AB 与DE 对应，BC 与EF 对应，DF 与AC 对应；AB BC ＝（DE ）（EF ），AB （AC ）＝（DE ）DF ，AB DE ＝（BC ）（EF ）＝（AC ）（DF ）.③平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似． 【点拨】 找准对应线段是关键． 例题讲解：例1 (教材补充例题)如图，DE ∥BC ，则下面比例式不成立的是(B)A.ADAB＝AEACB.DEBC＝ECACC.ADDB＝AEECD.BCDE＝ACAE【跟踪训练1】如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(A)A.ADDF＝BCCEB.BCCE＝DFADC.CDEF＝BCBED.CDEF＝ADAF例2(教材补充例题)如图，ED∥BC，EC，BD相交于点A，过A的直线交ED，BC分别于点M，N，则图中有相似三角形(C)A．1对B．2对C．3对D．4对【跟踪训练2】如图，在△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC.巩固训练1．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为(C)A．28°B．32°C．42° D．52°2．如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，射线CE，BA交于点F，下列等式成立的是(C)A.AE ED ＝CE EFB.AE ED ＝CD AFC.AE ED ＝FA ABD.AE ED ＝FE FC3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2，BC ＝6，AD ＝3，求BD 的长．解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC ，即3AB ＝26. ∴AB ＝9.∴BD ＝AB －AD ＝9－3＝6. 课堂小结1．本节课我们学习了哪些内容？2．当平行线与三角形两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似吗？第2课时 相似三角形的判定定理1，2教学目标掌握三边成比例的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这两个判定三角形相似的定理． 预习反馈阅读教材P32～34，理解相似三角形判定定理1与判定定理2.完成下列预习内容． ①如果两个三角形的三组边对应成比例，那么这两个三角形相似．②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．③下列是两位同学运用相似三角形的定义判定两个三角形是否相似，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答．判断如图所示的两个三角形是否相似，简单说明理由．甲同学：这两个三角形的三个内角虽然分别相等，但是它们的边的比不相等，AC IJ ≠AB HJ ≠BCHI ，所以他们不相似．乙同学：这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似．解：甲同学的说法不正确，甲同学所分析的边的比不是对应边的比，根据相似三角形的概念，甲同学的说法不正确；根据相似三角形的概念，乙同学的说法正确．【点拨】 判断三角形相似要注意对应关系，找对应边和对应角时可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法．例题讲解：例1 (教材P33例1(1))根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由： AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，A ′B ′＝12 cm ，B ′C ′＝18 cm ，A ′C ′＝24 cm.【解答】 ∵AB A ′B ′＝412＝13，BC B ′C ′＝618＝13，AC A ′C ′＝824＝13，∴AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝ACA ′C ′.∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.【跟踪训练1】 如图，在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝40，AC ＝20，在△ADE 中，AE ＝12，AD ＝15，DE ＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由：∵AC AE ＝2012＝53，AB AD ＝2515＝53，BC DE ＝4024＝53，∴AC AE ＝AB AD ＝BCDE.∴△ABC ∽△ADE. 例2 (教材P33例1(2))根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由： ∠A ＝120°，AB ＝7 cm ，AC ＝14 cm ，∠A ′＝120°，A ′B ′＝3 cm ，A ′C ′＝6 cm.【解答】 ∵AB A ′B ′＝73，AC A ′C ′＝146＝73，∴AB A ′B ′＝ACA ′C ′.又∠A ＝∠A ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.【跟踪训练2】 如图，四边形ABCD ，CDEF ，EFGH 都是正方形．(1)△ACF 与△ACG 相似吗？说说你的理由； (2)求∠1＋∠2的度数．解：(1)相似．理由：设正方形的边长为a ，则AC ＝a 2＋a 2＝2a ，∵AC CF ＝2a a ＝2，CG AC ＝2a 2a ＝2，∴AC CF ＝CGAC.又∵∠ACF ＝∠GCA ，∴△ACF ∽△GCA. (2)∵△ACF ∽△GCA ，∴∠1＝∠CAF.∵∠CAF ＋∠2＝45°，∴∠1＋∠2＝45°. 巩固训练1．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB ＝9 cm ，BC ＝8 cm ，CA ＝5 cm ，A ′B ′＝4.5 cm ，B ′C ′＝2.5 cm ，C ′A ′＝4 cm ，则下列说法错误的是(D)A ．△ABC 与△A ′B ′C ′相似 B ．AB 与B ′A ′是对应边C ．两个三角形的相似比是2∶1D ．BC 与B ′C ′是对应边2．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，已知AB ·B ′C ′＝BC ·A ′B ′，若使△ABC ∽△A ′B ′C ′，还应增加的条件是(C)A ．AC ＝A ′C ′B ．∠A ＝∠A ′C ．∠B ＝∠B ′D ．∠C ＝∠C ′3．如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似”)，理由是这两个三角形的三边对应成比例．4．右图中的两个三角形是否相似：不相似，说明理由：对应边不成比例．5．如图，DE 与△ABC 的边AB ，AC分别相交于D ，E 两点，若AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ，DE ＝43cm ，则BC 的长为多少？解：∵AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ， ∴AE AC ＝AD AB ＝23. ∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AE AC. 又∵DE ＝43 cm ，∴43BC ＝23.∴BC ＝2 cm. 【点拨】 运用相似三角形的判定和性质可以进行边的计算． 课堂小结1．本节课我们学习了什么内容？2．全等三角形的判定定理对相似三角形的判定定理有什么借鉴作用？第3课时 相似三角形的判定定理3教学目标1．掌握相似三角形的判定定理3.2．了解两个直角三角形相似的判定方法．3．深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题．预习反馈阅读教材P35～36，理解相似三角形判定定理3及直角三角形相似的判定方法．完成下列预习内容． ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． ②如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．③要判定两个直角三角形相似，最简单的方法就是再找除直角外的一组内角对应相等，就可以根据相似三角形的判定3，判定这两个直角三角形相似．④如图所示，已知∠ADE ＝∠B ，则△AED ∽△ACB ．理由是两角分别相等的两个三角形相似．⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？解：相似，理由：根据三角形内角和，顶点对应相等的两个等腰三角形其底角也对应相等．再根据“两角分别相等的两个三角形相似”这个判定定理即可判断这两个等腰三角形相似．【点拨】 要根据已知条件选择适当的方法判定三角形相似．例题讲解：例1 (教材P35例2)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8.E 是AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D.求AD 的长．【解答】 ∵ED ⊥AB ， ∴∠EDA ＝90°.又∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴△AED ∽△ABC. ∴AD AC ＝AE AB .∴AD ＝AC ·AE AB ＝8×510＝4. 【跟踪训练1】 如图，∠1＝∠3，∠B ＝∠D ，AB ＝DE ＝5，BC ＝4. (1)△ABC ∽△ADE 吗？说明理由； (2)求AD 的长．解：(1)△ABC ∽△ADE.理由如下：∵∠1＝∠3，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2， ∴∠BAC ＝∠DAE. 又∵∠B ＝∠D ， ∴△ABC ∽△ADE. (2)由(1)，知AB AD ＝BCDE .∴5AD ＝45.解得AD ＝254. 例2 (教材补充例题)已知：如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【解答】 ∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°， (1)当BC BD ＝ABCD 时，△ABC ∽△CDB ，此时BC BD ＝AB CD ＝AC BC ，即a b ＝b BD .∴BD ＝b 2a.即当BD ＝b2a 时，△ABC ∽△CDB.(2)当AB BD ＝BCCD 时，△ABC ∽△BDC ，此时AB BD ＝BC CD ＝AC BC ，即AB BD ＝AC BC. ∴a 2－b 2BD ＝a b ，BD ＝b a a 2－b 2.∴当BD ＝b aa 2－b 2时，△ABC ∽△BDC.综上所述，即当BD ＝b 2a 或BD ＝b aa 2－b 2时，这两个三角形相似．【点拨】 本题要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种情况．【跟踪训练2】 在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A ＝∠A 1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D) A ．∠B ＝∠B 1 B.AB A 1B 1＝ACA 1C 1C.AB A 1B 1＝BC B 1C 1 D.AB B 1C 1＝AC A 1C 1巩固训练 1．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是(C) A ．都含有一个40°的内角 B ．都含有一个50°的内角 C ．都含有一个60°的内角 D ．都含有一个70°的内角 2．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，有下列条件：(1)AB A ′B ′＝BC B ′C ′；(2)BC B ′C ′＝ACA ′C ′；(3)∠A ＝∠A ′；(4)∠C ＝∠C ′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的共有(C)A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，E 是BC 上一点，ED ⊥AB ，垂足为D.求证：△ABC ∽△EBD.证明：∵ED ⊥AB ， ∴∠EDB ＝90°. ∵∠C ＝90°， ∴∠EDB ＝∠C.∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△EBD. 课堂小结1．本节课我们学习了什么内容？2．全等三角形的判定定理与相似三角形的判定定理有何区别？27．2.2 相似三角形的性质教学目标理解并掌握相似三角形的性质． 预习反馈阅读教材P37～39，理解相似三角形的性质，并完成下列预习内容．(1)相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比．(2)如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k，AD ⊥BC 于点D ，A ′D ′⊥B ′C ′于点D ′.①你能发现图中还有其他的相似三角形吗？【解答】 其他的相似三角形还有△ABD ∽△A ′B ′D ′，△ADC ∽△A ′D ′C ′.②△ABC 与△A ′B ′C ′中，C △ABCC △A ′B ′C ′＝k ，S △ABCS △A ′B ′C ′＝k 2．【点拨】 在运用相似三角形的性质时，要注意周长的比与面积的比之间的区别，不要混为一谈，另外面积的比等于相似比的平方，反过来相似比等于面积比的算术平方根．例题讲解：例 (教材P38例3)如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D.若△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125，求△DEF 的边EF 上的高和面积．【解答】 在△ABC 和△DEF 中， ∵AB ＝2DE ，AC ＝2DF ， ∴DE AB ＝DF AC ＝12.又∠D ＝∠A ， ∴△DEF ∽△ABC ，△DEF 与△ABC 的相似比为12.∵△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125，∴△DEF 的边EF 上的高为12×6＝3，面积为(12)2×125＝3 5.【跟踪训练】 如图，在▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE.若△DEF 的面积为10，则▱ABCD 的面积为多少？解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CE.∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF.∴S△DEFS△CEB＝(DECE)2＝(DECD＋DE)2＝(DE3DE)2＝19，S△DEFS△ABF＝(DEAB)2＝(DECD)2＝(DE2DE)2＝14.∴S△CEB＝90，S△ABF＝40.∴S▱ABCD＝S△ABF＋S四边形BCDF＝S△ABF＋S△CEB－S△DEF＝40＋90－10＝120.巩固训练1．若两个相似三角形的相似比为1∶2，则它们面积的比为(C)A．2∶1 B．1∶ 2C．1∶4 D．1∶52．如图，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(B)A．3∶4 B．9∶16 C．9∶1 D．3∶13．如果△ABC∽△DEF，A，B分别对应D，E，且AB∶DE＝1∶2，那么下列等式一定成立的是(D)A．BC∶DE＝1∶2B．△ABC的面积∶△DEF的面积＝1∶2C．∠A的度数∶∠D的度数＝1∶2D．△ABC的周长∶△DEF的周长＝1∶24．如果两个相似三角形的面积的比是4∶9，那么它们对应的角平分线的比是2∶3．5．已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是32，BE，B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE＝6，则B1E1＝4．6．如图所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM，EN分别是斜边AB，DF上的中线，已知AC＝9 cm，CB＝12 cm，DE＝3 cm.(1)求CM和EN的长；(2)你发现CMNE的值与相似比有什么关系？得到什么结论？解：(1)在Rt△ABC中，AB＝AC2＋CB2＝92＋122＝15，∵CM是斜边AB的中线，∴CM＝12AB＝7.5.∵Rt△ABC∽Rt△DFE，∴DEAC＝DFAB，即39＝13＝DF15.∴DF＝5.∵EN为斜边DF上的中线，∴EN＝12DF＝2.5.(2)∵CMEN＝7.52.5＝31，相似比为ACDE＝93＝31，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．课堂小结本节课我们学习了哪些内容？27.2.3 相似三角形应用举例教学目标1．通过本节相似三角形应用举例，发展学生综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识．2．在活动过程中使学生积累经验与成功体验，激发学生学习数学的热情与兴趣．预习反馈阅读教材P39～40，进一步体会从实际问题中建立数学模型，并完成下列预习内容．(1)太阳光下，同一时刻，物体的长度与其影长成正比(正比或反比)．(2)太阳光下，同一时刻，物体的高度、影子、光线构成的三角形相似吗？答：相似．例题讲解：例1(教材P40例5)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，请根据这些数据，计算河宽PQ.【解答】∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，∴△PQR∽△PST.∴PQPS＝QRST，即PQPQ＋QS＝QRST，PQPQ＋45＝6090，PQ×90＝(PQ＋45)×60.解得PQ＝90 m.答：河宽大约为90 m.【跟踪训练1】(菏泽中考)如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离．解：连接MN.∵ACAM＝301 000＝3100，ABAN＝541 800＝3100，∴ACAM＝ABAN.又∵∠BAC＝∠NAM，∴△BAC∽△NAM.∴BCMN＝3100，即45MN＝3100.∴MN＝1 500.答：M，N两点之间的直线距离为1 500米．例2小刚用下面的方法来测量学校大楼AB的高度．如图，在水平地面上的一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA＝21 m，当他与镜子的距离CE＝2.5 m时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知他的眼睛距地面高度DC＝1.6 m，请你帮助小刚计算出教学大楼的高度AB是多少m？(注意：根据光的反射定律，反射角等于入射角)【解答】 根据反射角等于入射角，则有∠DEF ＝∠BEF ，而FE ⊥AC ， ∴∠DEC ＝∠BEA.又∵∠DCE ＝∠BAE ＝90°， ∴△DEC ∽△BEA.∴CD AB ＝ECEA .又∵DC ＝1.6，EC ＝2.5，EA ＝21， ∴1.6AB ＝2.521.∴AB ＝13.44. 答：建筑物AB 的高度为13.44 m.【点拨】 从实际问题的情景中，找出相似三角形是解决本类题型的关键．【跟踪训练2】 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上．已知DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，目测点D 到地面的距离DG ＝1.5米，到旗杆的水平距离DC ＝20米，求旗杆的高度．解：由题意可得，△DEF ∽△DCA ，则DE DC ＝EFAC ，∵DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，DG ＝1.5米，DC ＝20米， ∴0.520＝0.25AC.解得AC ＝10. 故AB ＝AC ＋BC ＝AC ＋DG ＝10＋1.5＝11.5(米)． 答：旗杆的高度为11.5米． 巩固训练1．如图，小明在打网球时，击球点距球网的水平距离为8 m ，已知网高为0.8 m ，要使球恰好能打过网，而且落在离网4 m 的位置，则球拍击球时的高度h 为2.4m.2．如图，测得BD ＝120 m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，求河宽．解：由题意，可得∠B ＝∠C ＝90°，∠ADB ＝∠EDC ，∴△ADB ∽△EDC. ∴AB EC ＝BD CD ，即AB ＝BD ·EC CD ＝120×5060＝100(m)． 答：河宽AB 为100 m.【点拨】 证明相似三角形的方法很多，要根据实际情况，选择最简单、合适的一种．课堂小结利用相似三角形进行测量的一般步骤：(1)因地制宜，构造相似三角形；(2)测量与所求线段对应的边的长以及另外任意一组对应边的长；(3)根据相似三角形的对应边成比例进行计算.27.3 位似第1课时位似图形的概念及画法教学目标1．正确理解位似图形等有关概念，能够按照要求利用位似将图形进行放大或缩小以及能够正确地作出位似图形的位似中心．2．在实际操作和探究活动中，让学生感受、体会到几何图形之美，提高对数学美的认识层次，陶冶美育情操，激发学习热情．预习反馈阅读教材P47～48，完成下列预习内容．(1)两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．(2)下列说法正确的是(D)A．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等B．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似C．两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似D．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似(3)用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可能在(D)A．原图形的外部 B．原图形的内部C．原图形的边上 D．任意位置【点拨】位似的三要素即是判定位似的依据，也是位似图形的性质．例题讲解：例1如图，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1.【解答】 1.在原图形上取点A，B，C，D，E，F，G，在图形外任取一点P；2．作射线AP，BP，CP，DP，EP，FP，GP；3．在这些射线上依次取A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，使PA′＝2PA，PB′＝2PB，PC′＝2PC，PD′＝2PD，PE′＝2PE，PF′＝2PF，PG′＝2PG；4．顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′.所得到的图形就是符合要求的图形．【点拨】作位似图形的步骤：(1)按要求作出各点的对应点后，(2)连线．注意：不要连错对应点之间的连线．【跟踪训练1】如图，请在8×8的网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶1.解：如图所示，△A′B′C′为所求的三角形．例2请画出如图所示两个图形的位似中心．图1 图2【解答】如图所示的点O1，就是图1的位似中心．如图所示的点O2，就是图2的位似中心．【点拨】正确地作出位似中心，是解位似图形的关键，可以根据位似中心的定义，位似图形的对应点连线的交点就是位似中心．【跟踪训练2】找出下列图形的位似中心．巩固训练1．在下列图形中，不是位似图形的是(D)A BC D2．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF的面积比为1∶9，则AB∶DE的值为(A)A．1∶3 B．1∶2 C．1∶ 3 D．1∶9第2题图第3题图3．如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA＝4，OA′＝8，则四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的周长的比为1∶2．4．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的相似比．解：连接AD，CF交于点O，则点O即为所求．∵OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，∴OC ∶OF ＝3∶2.∴△ABC 与△DEF 的相似比为3∶2.5．如图，图中的小方格都是边长为1的小正方形，△ABC 与△A ′B ′C ′是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都是在小正方形的顶点上．(1)找出位似中心点O ；(2)△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比为2∶1；(3)按(2)中的位似比，以点O 为位似中心画出△ABC 的另一个位似图形△A ″B ″C ″.解：(1)如图所示，点O 即为所求． (2)∵AC A ′C ′＝21， ∴△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比为：2∶1.故答案为：2∶1. (3)如图所示，△A ″B ″C ″即为所求． 课堂小结1．本节课我们学习了哪些内容？2．位似图形与一般相似图形相比，有哪些特殊性？ 3．利用位似作图的步骤有哪些？第2课时 平面直角坐标系中的位似教学目标1．让学生理解掌握位似图形在平面直角坐标系上的应用，即会根据相似比，求位似图形顶点，以及根据位似图形对应点坐标，求位似图形的相似比和在平面直角坐标系上作出位似图形．2．让学生在应用有关知识解决问题的过程中，提高应用意识，体验数形结合的思想方法在解题中的运用． 预习反馈阅读教材P48～50，以原点为位似中心的两个位似图形对应顶点的坐标规律，并完成下列预习内容．(1)如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把线段AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？答：线段缩小后，点A ，B 的坐标与其对应点的坐标的比为13.(2)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点坐标的比为k ． (3)△ABC 和△A 1B 1C 1关于原点位似且点A(－3，4)，它的对应点A 1(6，－8)，则△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比是12．(4)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(1，0)，C(3，3)，以原点O 为位似中心，相似比为2，把△ABC 放大得到其位似图形△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1各顶点的坐标分别为A 1(2，4)，B 1(2，0)，C 1(6，6)．例题讲解：例 (教材P49例)如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，0)，O(0，0)．以原点O 为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为32.【解答】 如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A ′(－3，6)，B ′(－3，0)，O(0，0)．顺次连接点A ′，B ′，O ，所得△A ′B ′O 就是要画的一个图形．【点拨】 作位似变换时，要先弄清点的坐标的变化情况，求出变换后对应的坐标．然后在坐标中描出对应点，连线即可．【跟踪训练】 在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3)． (1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)以点M 为位似中心，在网格中画出△A 1B 1C 1的位似图形△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△A 1B 1C 1的相似比为2∶1.解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求． (2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求． 巩固训练1．某个图形上各点的横、纵坐标都变成原来的12，连接各点所得图形与原图形相比(C)A ．完全没有变化B ．扩大成原来的2倍C ．面积缩小为原来的14D ．关于纵轴成轴对称2．如图所示的△ABC ，以A 点为位似中心，放大为原来的2倍，画出一个相应的图形，并写出相应的点的坐标．解：根据题意，图中的△AB 1C 1就是满足题意的三角形，其中A 点的坐标不变，仍是(－3，－1)，B 1，C 1的坐标分别为(3，－3)，(1，3)．课堂小结1．本节课学习了什么内容？2．想一想位似作图与平移作图、轴对称作图、旋转作图有什么共同点？。
27.2.2+相似三角形的性质++课件++-2024-2025学年人教版九年级数学下册
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′
＝ ＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相 相 似 三 角
对应
似 ， 得 △ABD ∽ 形 对 应 高
高的
AD ， A′D′ 分 别 为 △A′B′D′ ， 再 由 相 的 比 等 于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的 似 三 角 形 的 性 质 ，相似比
－6
3
2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝ 时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝ 时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的
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相似三角形的性质、应用课后作业1、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：252、如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A．4 B．42 C．6 D．433、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（）A．CE=3DE B．CE=2DE C．CE=3DE D．CE=2DE4、如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：15、如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（）A．1：2 B．1：3 C．1：2 D．2：36、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47、如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF= ．8、如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA ⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为．9、如图，DE⊥AB于E，AF⊥BC于F，若BD=6，AB=8，则DE：AF=10、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ACD∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．11、如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，A D平分∠CAE．（1）求证：AD∥BC；（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．12、如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．参考答案1、解析：根据相似三角形的判定定理得到△DOE ∽△COA ，根据相似三角形的性质定理得到 DE:AC=1:5， BE:BC=DE:AC=1:5，结合图形得到 BE:EC=1:4，得到答案．解：∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△COA ，又S △DOE ：S △COA =1：25， ∴DE:AC=1:5， ∵DE ∥AC ，∴BE:BC=DE:AC=1:5， ∴BE:EC=1:4∴S △BDE 与S △CDE 的比是1：4， 故选：B2、解析：根据AD 是中线，得出CD=4，再根据AA 证出△CBA ∽△CAD ，得出 AC:BC=CD:AC ，求出AC 即可．解：∵BC=8， ∴CD=4，在△CBA 和△CAD 中， ∵∠B=∠DAC ，∠C=∠C ， ∴△CBA ∽△CAD ， ∴AC:BC=CD:AC ， ∴AC 2=CD•BC=4×8=32， ∴AC=42； 故选B ．3、解析：过点D 作DH ⊥BC ，利用勾股定理可得AB 的长，利用相似三角形的判定定理可得△ADE ∽△BEC ，设BE=x ，由相似三角形的性质可解得x ，易得CE ，DE 的关系．解：过点D 作DH ⊥BC ， ∵AD=1，BC=2， ∴CH=1，DH=AB=222213-=-CH CD =22，∵AD ∥BC ，∠ABC=90°， ∴∠A=90°， ∵DE ⊥CE ，∴∠AED+∠BEC=90°， ∵∠AED+∠ADE=90°， ∴∠ADE=∠BEC ， ∴△ADE ∽△BEC ， ∴AD:BE=AE:BC=DE:CE ， 设BE=x ，则AE=22−x ， 即1:x=(22-x):2， 解得x=2，∴AD:BE=DE:CE=1: 2， ∴CE=2DE ， 故选B4、解析：证明DE 是△ABC 的中位线，由三角形中位线定理得出DE ∥BC ，DE=21BC ，证出△ADE ∽△ABC ，由相似三角形的性质得出△ADE 的面积：△ABC 的面积=1：4，即可得出结果．解：∵D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，DE=21BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴△ADE 的面积：△ABC 的面积=（21）2=1：4， ∴△ADE 的面积：四边形BCED 的面积=1：3； 故选：B5、解析：由AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到 AC:BC=3:3，根据三角形的角平分线定理得到AC:BC=AD:BD=3:3，求出AD=333+ AB ，BD=333+AB ，过C 作CF ⊥AB 于F ，连接OE ，由CE 平分∠ACB 交⊙O 于E ，得到OE ⊥AB ，求出OE=21AB ，CF=43AB ，根据三角形的面积公式即可得到结论． 解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°， ∵∠B=30°， ∴AC:BC=3:3，∵CE 平分∠ACB 交⊙O 于E ， ∴AC:BC=AD:BD=3:3，∴AD=333+AB ，BD=333+AB ，过C 作CF ⊥AB 于F ，连接OE ， ∵CE 平分∠ACB 交⊙O 于E ， ∴弧AE=弧BE ， ∴OE ⊥AB ，∴OE=21AB ，CF=43AB ， ∴S △ADE ：S △CDB =（21AD•OE）：（21BD•CF）=（21×333+AB •21AB ）：（21×333+AB •43AB ）=2：3．故选D6、解析：由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF ，证出∠CAD=∠AFG ，由AAS 证明△FGA ≌△ACD ，得出AC=FG ，①正确； 证明四边形CBFG 是矩形，得出S △FAB =21FB•FG=21S 四边形CBFG ，②正确； 由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确； 证出△ACD ∽△FEQ ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD 2=FQ•AC，④正确．解：∵四边形A DEF 为正方形， ∴∠FAD=90°，AD=AF=EF ， ∴∠CAD+∠FAG=90°， ∵FG ⊥CA ， ∴∠C=90°=∠ACB ， ∴∠CAD=∠AFG ，在△FGA 和△ACD 中，∠G ＝∠C ，∠AFG ＝∠CAD ，AF ＝AD ， ∴△FGA ≌△ACD （AAS ）， ∴AC=FG ，①正确； ∵BC=AC ， ∴FG=BC ，∵∠ACB=90°，FG ⊥CA ， ∴FG ∥BC ，∴四边形CBFG 是矩形， ∴∠CB F=90°，S △FAB =21FB•FG=21S 四边形CBFG ，②正确； ∵CA=CB ，∠C=∠CBF=90°， ∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确； ∵∠FQE=∠DQB=∠ADC ，∠E=∠C=90°， ∴△ACD ∽△FEQ ，∴AC ：AD=FE ：FQ ，∴AD•FE=AD 2=FQ•AC，④正确； 故选：D ．7、解析：根据平行四边形的性质得到AD ∥BC 和△DEF ∽△BCF ，由已知条件求出△DEF 的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD=BC ， ∴△DEF ∽△BCF ， ∴EF:CF=DE:BC ，S △DEF :S △BCF =(DE:BC ）2， ∵E 是边AD 的中点，∴DE=21AD=21BC ， ∴EF:CF=DE:BC=21，∴△DEF 的面积=31S △DEC =1，∴S △DEF :S △BCF =1:4， ∴S △BCF =4； 故答案为：4．8、解析：利用正方形的性质和勾股定理可得AC 的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E ，易得CE=CA ，由FA ⊥AE ，可得∠FAC=∠F ，易得CF=AC ，可得EF 的长．解：∵四边形ABCD 为正方形，且边长为3， ∴AC=32， ∵AE 平分∠CAD ， ∴∠CAE=∠DAE ， ∵AD ∥CE ， ∴∠DAE=∠E ， ∴∠CAE=∠E ， ∴CE=CA=32， ∵FA ⊥AE ，∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，∴∠FAC=∠F，∴CF=AC=32，∴E F=CF+CE=32+32=62，故答案为：629、解析：要求DE：AF的值，又已知BD=6，AB=8且DE、AF、BD、AB分别是两个直角三角形△BED和△BFA中的边，所以只要证明△BED∽△BFA即可，根据相似三角形的性质；DE:AF=BD:AB = 6:8=3:4解：∵DE⊥AB，AF⊥BC∴∠BED=∠BFA又∵∠B=∠B∴△BED∽△BFA∴DE:AF=BD:AB = 6:8=3:4．即：DE：AF=3：410、解析：（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得AC:BF=AD:BD=1，即可解决问题．（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF=∠DAC，∴△ACD∽△BFD．（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°∴AD:BD=1∴AD=BD，∵△ACD∽△BFD，∴AC:BF=AD:BD=1，∴BF=AC=3．11、解析：（1）由AB=AC ，AD 平分∠CAE ，易证得∠B=∠DAG=21∠CAG ，继而证得结论； （2）由CG ⊥AD ，AD 平分∠CAE ，易得CF=GF ，然后由AD ∥BC ，证得△AGF ∽△BGC ，再由相似三角形的对应边成比例，求得答案．（1）证明：∵AD 平分∠CAE ， ∴∠DAG=21∠CAG ， ∵AB=AC ， ∴∠B=∠ACB ， ∵∠CAG=∠B+∠ACB ， ∴∠B=21∠CAG ， ∴∠B=∠DAG ， ∴AD ∥BC ；（2）解：∵CG ⊥AD ， ∴∠AFC=∠AFG=90°，在△AFC 和△AFG 中，∠CAF ＝∠GAF, AF ＝AF, ∠AFC ＝∠AFG∴△AFC ≌△AFG （ASA ）， ∴CF=GF ， ∵AD ∥BC ， ∴△AGF ∽△BGC ， ∴GF ：GC=AF ：BC=1：2， ∴BC=2AF=2×4=812、解析：（1）根据EH ∥BC 即可证明．（2）如图设AD 与EH 交于点M ，首先证明四边形EFDM 是矩形，设正方形边长为x ，再利用△AEH ∽△ABC ，得 EH:BC=AM:AD ，列出方程即可解决问题．（1）证明：∵四边形EFGH 是正方形， ∴EH ∥BC ，∴∠AEH=∠B ，∠AHE=∠C ， ∴△AEH ∽△ABC ．（2）解：如图设AD 与EH 交于点M ．11 ∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°， ∴四边形EFDM 是矩形，∴EF=DM ，设正方形EFGH 的边长为x ， ∵△AEH ∽△ABC ，∴EH:BC=AM:AD∴x:40=(30-x):30，∴x=7120，∴正方形EFGH 的边长为7120cm ，面积为4914400cm 2．。