高一数学(2.2.3)幂函数PPT教学课件

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高一数学《幂函数》PPT课件

根据n, m, p的取值不同，图像形状各异。
03
幂函数运算规则与技巧
同底数幂相乘除法则
01
02
03
同底数幂相乘
底数不变，指数相加。公式：a^m × a^n = a^(m+n)
同底数幂相除
底数不变，指数相减。公式：a^m ÷ a^n = a^(m-n)
举例
2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7；3^5 ÷ 3^2 = 3^(5-2) = 3^3
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
计算圆的面积
$S=pi r^2$，$r$为圆半径，利用幂函数表示圆的面积与半径关系。
增长率、衰减率问题中应用
细菌增长模型
假设细菌以固定比例增长，则细菌数量与时间关系可用幂函数表
示。
放射性物质衰变
放射性物质衰变速度与剩余质量之间的关系可用幂函数描述。
投资回报计算
投资回报率与时间关系可用幂函数表达，用于预测未来收益。
利用积的乘方法则进行化简
如(ab)^n = a^n × b^n
举例
化简(x^2y)^3 ÷ (xy^2)^2，结果为x^4y
04
幂函数在生活中的应用举例
面积、体积计算中应用
计算正方形面积
$S=a^2$，其中$a$为正方形边长，利用幂函数表示面积与边长关系。

3.3 幂函数(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)

【变式】幂函数 y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq 的图象如图，则将 m、n、p、
n<q<m<p
q 的大小关系用“<”连接起来结果是________.
[解析] 过原点的指数α>0，不过原点的α<0，
∴n<0，
当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，
∴p>1,0<m<1,0<q<1；
即幂函数 = 是增函数.
【变式】求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性.
(1)y＝x
2
.(2)y＝x3
－2
.
1
[解析] (1)y＝x－2＝x2，定义域是{x|x≠0}，是偶函数．
2
(2)y＝x3
3
＝ x2，定义域是 R，是偶函数．
题型五：幂函数性质的综合应用
例5.已知函数() =
（2）幂函数的图象都不过第二、四象限. （ × ）

（3）当幂指数取1,3，时，幂函数 = 是增函数.（ √ ）
（4）若幂函数 = 的图象关于原点对称，则 = 在定义域内随的增大
而增大.（ ×）
4.若四个幂函数图象 = , = , = , = 在同一坐标系中的图象如图所示，
1
2 +
( ∈ ∗ ).
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在定义域上的单调性；
解：(1)∵2 + = ( + 1), ∈ ∗ ,
∴与 + 1中有一个必为偶数，
∴该函数的定义域为[0, +∞),
由幂函数的性质知，该函数在定义域上单调递增.
例5.已知函数() =

高一数学人必修一课件第二章幂函数

感谢观看
THANKS
性质
一次幂函数具有比例性质，即y/x=n（常数），且增减性与n的正负有关。
二次幂函数
定义
形如y=ax^2+bx+c（a≠0 ）的函数。
图像
二次幂函数的图像是一条抛物线，对称轴为x=b/2a，顶点坐标为(b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
性质
二次幂函数具有对称性、有界性和单调性等性质，其增减性取决于a的正负和 x的取值范围。
自由落体运动的位移
自由落体运动中，物体下落的位移h与时间t的关系可以表示为h=1/2gt^2（g为重力加速度）。这个关系式是一个幂函数，其中指数为2。
经济生活中应用举例
复利计算
在金融领域，复利是一种计算利息的方法。假设本金为P，年利率为r，经过n 年后，本金和利息的总和为A=P(1+r)^n。这个公式中的(1+r)^n部分就是一个幂函数。
06
练习题与课堂互动环节
练习题选讲
题目一
求函数$y = x^{2}$在区间$[1,2]$上的最大值和最小值。
题目二
判断函数$y = x^{3}$ 在$R$上的单调性，并证明。
题目三
已知函数$y = x^{-2}$ ，求其在点$(1,1)$处的切线方程。
学生自主函数的奇偶性？
高一数学人必修一课
件第二章幂函数
汇报人：XX
20XX-01-22
• 幂函数基本概念与性质 • 常见幂函数类型及其特点 • 幂函数在生活中的应用举例 • 幂函数与指数、对数等其他类型
函数关系探讨 • 求解幂函数相关数学问题方法技
巧总结 • 练习题与课堂互动环节
目录
01

幂函数-PPT课件

理解应用 1、下列函数是幂函数的是＿③＿＿
① y axm ② y x1 x2 ③ y xn ④ y x 23
2、若函数 f x a2 3a 3 x2 是幂函数，则 a 的值为＿
答案： a 1 或 4
三、尝试做图归纳性质
作出下列函数的图象：
(1) y x (2)
(3) y x3 (4)
四、数学应用
例1．比较下列两个代数式值的大小：
⑴ a 1 1.5 ， a1.5
⑵
2 a2
2 3
，
2
23
解：⑴考察幂函数 y x1.5 ，在区间 0,上单调递增。
因为 a 1 a ，所以 a 1 1.5 a1.5 。
2
⑵考察幂函数 y x 3 ，在区间 0,上单调递减。
因为 2 a2 2
值域 R
[0,+∞)
R
单调性
增函数
(-∞,0)上减函数 [0,+∞)上增函数
增函数
奇偶性奇函数偶函数
奇函数
[0,+∞)
(-∞,0) ∪(0,+∞) (0,+∞)
[0,+∞)上增函数
(-∞,0)上减函数 (0,+∞)上减函数
(-∞,0)上增函数 (0,+∞)上减函数
非奇非偶函数奇函数
偶函数
公共点
2
例2 .试写出函数 f (x)的定x 义3 域,奇偶性，做出图
像，求出值域，并指出其单调性.
解:
f (x)
1
2
x3
3
1 x2
此函数的定义域为x x 0;值域为0,+
f (x) 1 1 f (x) 3 (x)2 3 x2

高一数学幂函数ppt课件.ppt

（4）只有1项；（5）这些例子中涉及的函数都是形能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“ 精准扶贫”项目
幂函数的定义
一般地 ,函数 y x 叫做幂函数 ,其中 x 是自变量 ,
下面我们一起来尝试幂函数性质的简单应用：
（基础练习）例4：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶
性和单调性．
(1)y x4
1
(2) y x 4
(3)y x3
解：（1）函数 y x4的定义域为R，它是偶函数，在 [0,)上是增函数，
在(,0)上是减函数．
1
（2）函数 y x 4 的定义域为[0,)，它是非奇非偶函数，在[0,)上是增函数．
（3）yx2 x（×）（4）yx2 （1 ×）
（5）y x2
（×）（6）y
1 x3
（√）
［总结］要判断一个函数是幂函数，判断的标准是它的定
义．根据定义，可以把幂函数的形式特征概括为：两个系
数为１，只有一项．
4
认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“ 精准扶贫”项目
认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“ 精准扶贫”项目
（巩固提升）例3：已知函数f(x)(m 22m )xm 2m 1,m为何值
时，是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次
函数；（4）幂函数．
解：
（感受理解）例5：比较下列各组中两个值的大小，并说明理由．
1

幂函数说课稿ppt课件精选全文

21
4、布置作业（2min） P79 1、2
设计意图：巩固知识并及时反馈教学信息，了解学生对幂函数图像性质的掌握程度。
22
板书设计：
幂函数
1、幂函数定义
根据函数单调性判断
2、幂函数与指数
同指数的幂函数的大小的方法
函数、的区别
3、幂函数的图像及简单的性质
例一
练习1、2 作业
设计意图：简洁明了，重点突出，使学生更好地掌握这节课的重点知识。
17
（6）通过练习提升概念与性质的应用:
（15min）
P78 【例1】
证明幂函数 f (x) x在[0,)上是增函数。
设计意图
让学生学会利用作差法证明函数的单调性。通过学生自主探究的证明函数单调性的方法，培养学生的探究及发散思维能力。
18
练习：比较大小
(1)4
1 2
与4.1
1 2
9
9
(2)6 8 与7 8
12
• （4）引导学生用列表描点法，应用函数的性质
，如奇偶性，定义域等，在直角坐标系内作出幂
函数
1
y x, y x2 , y x3, y x 2 , y x1
的图像最后，
利用电脑软件画出以上几个函数的图像并展示给
学生：
(8min)
13
图像：
14
让同学们一起观察与谈论，共同得出各函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等，并填入表格：
3、练习巩固法。学生在练习中进行独立思考，这样一来学生对这五个幂函数领
会得会更加深刻
6
五、说学法
• 先引出五个函数，带领同学们动手作图，通过图像分析归纳出几个函数表达式的共同特征：解析式的右边都是指数式，且底数都是变量，自然引入幂函数。

高一数学幂函数PPT 课件

所以有3m－＋21m≥≥00 3－2m>m＋1
，解得－1≤m<23，
即 m 的取值范围为－1，23.
利用函数的单调性时一定要注意函数的定义域．本题若没有注意到幂函数y＝x1/2的定义域为[0，＋∞)，求解时就会得出m<2/3这一错误结果．
3.若(3－2m)－13>(m＋1)－13，求实数 m 的取值范围．
(1)求定义域； (2)判断奇偶性； (3)已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．【思路点拨】由题目可以获取以下信息：函数解析式―→函数有意义
(1)在研究幂函数的定义域时，通常将分数指数幂化为根式形式，负整数指数幂化为分式形式，然后由根式、分式有意义求定义域；
【正解】作出函数y=x2和y=x1/3的图象(如图所示)，易得x<0 或x>1.
；集成吊顶品牌 /brand/ 集成吊顶品牌；
这个创世帝究竟是不是存在,没有人知道呀。"她说："所谓创世帝是什么存在呢,就是开创现在の修行万域の人物,可以说比之你の那位地球上の老友北天,也不相上下呀。""传闻当年这星宇之下,有修行万域,而这万域の开创者就是那位创世帝。不过咱猜想如果真の存在这样の人物の话, 那他の名字肯定也不是叫创世帝,是后人给他封の名字。"伊莲娜尔道："要是这东西真是他の成名神宝の话,特别壹些也很正常,你猜里面有壹片壹片の星空也有可能。""你那位地球上の老友,不也弄出了九龙珠吗?那九颗九龙珠の内部の空间,咱觉得完全不亚于修行万域,甚至有可能比万域还要更大。"她说。根汉叹道："是啊,不到他们那个层次,永远无法理解呀,实在是太夸张了。""所以说,你现在の路还远着呢,还只是区区の天神初阶

高一数学必修1 幂函数-ppt

(1,1)
(1,1)
知识应用：
例2.比较下列各组数的大小：解后反思
1
1
< (1)1.32 ____1.4 2
(2)0.26 1 _>____ 0.27 1 (3)(5.2)2 _>____(5.3)2
两个数比较大小时，何时用幂函数模型，何时用指数函数模型？
1
(4)0.7 2 __>___ 0.72
例3、证明幂函数 f (x) x 在[0,+∞)上是增函数．
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
f (x1) f (x2 ) x1 x2
(
x1
x2 )( x1
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因为x1 x2 0, x1 x2 0,
除了作差，还有没有其它方
另附：
y x
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
α>1
0<α<1
α<0
2
4
-2
-1
y=f(x)
1.5 1
0.5
- 0.5 -1
- 1.5 -2 3
2.5 2
1.5 1
y=x3
1
2
3
y=x2
3
2 y=x-1
1
-4
-2
-1
-2
-3 6
2
4
6
5
4
3 y=x -2
2
0.5 1
-2
-1
-0.5
-1
1
2
3
-4
-2
-1
2.若幂函数y＝f(x)的图象经过点(3, 27 )

§2.2.3《幂函数及其性质》知识结构图

第二章基本初等函数（I ）§2.2.3幂函数及其性质知识结构图过关检测1、已知幂函数()(),f x kx k R R αα=∈∈的图象过点，则k α+等于（）A 、12B 、1C 、32D 、2 【答案】A ；2、函数()()()log 140,1a f x x a a =-+>≠且的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()g x 的图象上，则()3g = ；【答案】9；3、已知幂函数()f x x α=的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为（）A 、(),0-∞B 、()0,+∞C 、()(),00,-∞+∞D 、(),-∞+∞ 【答案】C ； 4、已知()f x 是R 上的奇函数，对于任意0x >，都有()()2f x f x +=-，且(]0,1x ∈时，()21xf x =+，则()()20172018f f +的值为（）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C ；5、幂函数()()21mf x m m x =--在()0,+∞上是增函数，则实数m 等于（）A 、2B 、1C 、4D 、2或1- 【答案】A ；6、函数()()22521mm f x m m x+-=--是幂函数，对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若,a b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A 、恒大于0B 、恒小于0C 、等于0D 、无法判断【答案】A ；7、幂函数()()22331mm f x m x -+=-在()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为；【答案】0或2；()()()()()100+00+21110y x x y x y x x ααααααααα⎧=⎪⎧⎪⎪⎪⎧>=∞⎪⎪⎨⎪<=∞⎪⎨⎩⎪⎨=⎪>⎧⎪⎪<<⎨⎪⎪<⎪⎩⎩定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数；定点： 1,1；当时，函数在，单调递增；幂单调性当时，函数在，单调递减；函性图象规律：在直线的左侧，指数越大，图象越高；数质当时，曲线下凹；图象凹凸性：曲线在第一象限内，当0时，曲线上凸；当时，曲线下凹；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩8、幂函数()()233m f x m m x =-+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值为；【答案】2；9、若()()1122321m m ->+，则实数m 的取值范围是；【答案】21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；10、若()()1133132a a --+>-，则实数a 的取值范围是；【答案】()23,,132⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；11、若1a b >>，01c <<，则（）A 、cca b < B 、ccab ba < C 、log log b a a c b c < D 、log log a b c c < 【答案】C ；。

《幂函数》函数的概念与性质PPT教学课件

提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
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【例3】比较下列各组中幂值的大小： (1)0.213,0.233；(2)1.212，0.9－12， 1.1.
[思路点拨] 构造幂函数，借助其单调性求解． [解] (1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23， ∴0.213<0.233. (2)0.9－12＝19012， 1.1＝1.112. ∵1.2>190>1.1，且y＝x12在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.212>19012>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.
x∈(－∞，0)
时，减函数
时，减函数
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6
C [只有y＝3x不符合幂函数y 1．下列函数中不是幂函数的是＝xα的形式，故选C.] () A．y＝ x B．y＝x3 C．y＝3x D．y＝x－1
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7
2．已知 f(x)＝(m＋1)xm2＋2 是幂函
D [由题意可知m＋1＝1，即m
数，则 m＝( )
第三章函数的概念与性质
3.3 幂函数
2
学习目标
核心素养
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、 1.结合幂函数的图
易混点)
象，培养直观想象
2．结合幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图
的数学素养． 2．借助幂函数的性
象，掌握它们的性质．(重点、难点)
质，培养逻辑推理
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 的数学素养.
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幂函数ppt课件

5
(5) = 2 ;
(6) = 2 3 ;
3;
【答案】 (1),(4)
辨析2.(1) 在函数 =
1
2
、0
, = 2 2 , = 2 + , = 1 中，幂函数的个数为（
、1
、2
、3
(2) 若函数是幂函数，且满足 4 = 3 2 ，则
【答案】
1
(1)，(2)
3
)
1
2
的值等于___________.
新知探究
问题1：结合前面学习函数的经验，应该如何研究 = , =
2,
=
3,
=
−1
这五个幂函数？
提示：先求函数的定义域
画出函数图象
研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等.
新知探究
名称
图象
y
=
定义域
值域
奇偶性
单调性
> 0， = 在第一象限内单调递增；
< 0， = 在第一象限内单调递减。
问题4：2.3−0.2 和2.2−0.2 可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
= −02 在 0， + ∞ 上单调递减，所以2.3−0.2 < 2.2−0.2
练习巩固
练习3：比较下列各组数中两个数的大小.
1
1
(2)4
=
1
16
.
(2)由f(2a + 1) = f(a)，可得(2a + 1)−4 = a−4 .
2 + 1 = ±
1
即 2 + 1 ≠ 0 ,解得 = −1或 = −
3

幂函数教学(共43张PPT)高一数学人教B版必修第二册

R
R
奇函数
增函数
（5）如图所示中已经作出了函数 y＝x－1，y＝x，y＝x2 的图象，在其中作出函数 y＝x3 图象．
一般地，幂函数 y＝xα，随着 α 的取值不同，函数的定义域、值域、奇偶性、单调性也不尽相同，但也有一些共同的特征：（1）所有的幂函数在区间（0 , ＋∞）上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点（1 , 1）．
[0，＋∞）
非奇非偶函数
增函数
[0，＋∞）
根据以上信息可知，函数的图象上的点，除了原点，其余点都在第一象限，通过描点（如左图所示），可作出其图象，如右图所示
给出研究函数 y＝x3 的性质与图象的方法，并用你的方法得出这个函数的性质：（1）定义域是___________；（2）值域是___________；（3）奇偶性是___________；（4）单调性是___________；
在关系式 N＝ab 中，以 a 为自变量、N 为因变量构造出来的函数 y＝xb 就是本节要讨论的幂函数.
我们以前学过函数 y＝x，y＝x2，y＝，这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？你能根据指数运算的定义，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？
幂函数
上面提到的函数 y＝x，y＝x2，y＝都是幂函数．
第四章指数函数、对数函数与幂函数
4.4 幂函数
人教B版（2019）
课标要点
核心素养
1.了解幂函数的概念
数学抽象
2.了解五个常见幂函数的图象
直观想象
3.了解幂函数的图象与性质
逻辑推理
我们已经知道，在关系式 N＝ab 中，当底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数时；如果把 b 作为自变量、N 作为因变量，则 N 就是 b 的指数函数；如果把 N 作为自变量、b 作为因变量，则 b 就是 N 的对数函数（即 b＝logaN ）．那么，当 b 为常数时，是否可以将底数 a 作为自变量，N 作为因变量来构造函数关系呢？

幂函数课件-高一上学期数学人教A版必修第一册

y x 1
[0，+∞），0 （0，+） [0，+∞），0 （0，+）
奇偶性奇函数偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
R上单调性
公共点
在（－∞,0]
上
R上
在(0, +∞）上
（1，1）
在(0，+∞) 在( －∞,0)，
上
(0, +∞）上
幂函数性质：
1)定点：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当α ＞0时，幂函数的图象都通过原点
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
(2)当α∈{－1，1，1,3}时，幂函数 y＝xα的图象不可能经过第_二__、__四__象限． 2
题型三
角度1 比较幂的大小探究问题]
1．幂函数 y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂
2)单调性：当α ＞0时，在区间[0，+∞)上是增函数当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数.
3)奇偶性：当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数
题型一
1．已知幂函数 f(x)的图象过点(2,2 2)，则 f(4)的值为( )
A．4
B．8
C．2 2
[D解．析1] 设 f(x)＝xα，∴2 2＝
⑤ x3 ⑥
1
yx 2
中，是幂函数的是（①⑤⑥）
.
(2) 已知幂函数 y＝f (x)的图象过点(3， 3)，则 f (9)＝ 3 .

高一数学幂函数PPT课件

奴隶身份.在呐个世界,所有の生灵都是通过降生石诞生.而最初,全是奴隶の身份.当奴隶の实历成长到青铜卫士,便可脱离奴隶身份.矿脉上,青铜卫士差不多就是监工.而鞠言见到の身穿野兽甲胄那几人,则是白银卫士.在呐座髓石矿场上,白银卫士可跻身下层管理.至于黄银卫士,在矿场上
则是头领级の,一般不会在奴隶面前露面.奇点世界,生灵在死后,是通过降生石叠新降生,其实就是叠生.但叠生后,记忆消失,生前实历较强の修行者,能记住自身の名字.一切生灵,都是通过降生石降生.呐里,与混元善域の人类繁衍方式,截然不同.看过石碑上内容介绍后,鞠言明白了很多.
我们先看下面几个具体问题：
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付 __P_=_W__元____ p是w的函数
(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积_S_=__a_²
S 是a的函数
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积_V__=_a__³_____
V是a的函数
(4) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方
(2)图象在第一象限,函数是增函数.
<0时,(1)图象都经过点（1，1）；
(2)图象在第一象限是减函数; (3)在第一象限内,图象向上与Y轴无限
地接近,向右与X轴无限地接近.
说一说判断正误
1 1.函数f(x)=x+ x 为奇函数.
2.函数f(x)=x2,x[-1,1)为偶函数.
下列那些说法是正确的？
1 . 幂函数均过定点（1，1）；正确
2 . 幂函数 y x1 在（-∞，0）上单调递减，在
（0，+ ∞ ）上也单调递减，因此幂函数 y x1
在定义域内单调递减；不正确 3 . 幂函数的图象均在两个象限出现；不正确 4 . 幂函数在第四象限可以有图象；不正确

高一数学幂函数2(PPT)4-2

引例.
1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数; 2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 s=a2, 这里s是a的函数;
3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=a3, 这里V是a函数; 4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长 a=S1/2 这里S是a的函数;
色，粗硬，长-厘米，径约.毫米，边缘有细锯齿，两面具气孔线；横切面半圆形，二型层皮下层，在第一层细胞下常有少数细胞形成第二层皮下层，树脂道个或更多，边生，多数生于背面，腹面有-个，稀角部有-个中生树脂道，叶鞘初呈淡褐色，后呈淡黑褐色。雄球花圆柱形，长.-.厘米，在新枝下部聚生成穗状。球果卵形或圆卵形，长4- 厘米，有短梗，向下弯垂，成熟前绿色，熟时淡黄色或淡褐黄色，常宿存树上近数年之久；中部种鳞近矩圆状倒卵形，长.-厘米，宽约.4厘米，鳞盾肥厚、隆起或微隆起，扁菱形或菱状多角形，横脊显著，鳞脐凸起有尖刺；种子卵圆形或长卵圆形，淡褐色有斑纹，长-毫米，径4-毫米，连翅长.-.厘米；子叶-枚，长.-.厘米；初生叶窄条形，长约4.厘米，先端尖，边缘有细锯齿。花期4-月，球果第二年月成熟。 [] 生长习性编辑油松为喜光、深根性树种，喜干冷气候，在土层深厚、排水良好的酸性、中性或钙质黄土上均能生长良好。 [] 地理分布编辑中国特有树种，产吉林南部、辽宁、河北、河南、山东、山西、内蒙古、陕西、甘肃、宁夏、青海及四川等省区，生于海拔-米地带，多组成单纯林。其垂直分布由东到西、由北到南逐渐增高。辽宁、山东、河北、山西、陕西等省有人工林。早在十六世纪，瑞士的一名医生就发现了氢气。他说：“把铁屑投到硫酸里，就会产生气泡，像旋风一样腾空而起。”他还发现这种气体可以燃烧。然而他是一位著名的医生，病人很多，没有时间去做进一步的研究。十七世纪时又有一位医生发现了氢气。但那时人