机械控制工程基础 第五章 第六版

GK(j)=G1(j)
GK(j)=G1(j)－
例
1 G1 ( s ) s( s 1)
1 e s , s( s 1) G K ( j ) 1 e j j ( j 1)
二、Routh （劳斯）稳定判据
2. 系统稳定的充要条件
特征方程： D( s ) an s n an1 s n1 a1 s a0 0 Routh 表：
s
n
an
an 2 an 3 A2 B2 D2
an 4 an 5 A3 B3
an 6 an 7 A4 B4
三阶以上，其闭环系统才有可能不稳定。
例2
G( s) H ( s)
K s(Ts 1)
P=0
三、Nyquist 稳定判据
7. 应用举例
例3 P=0
若G(j)H(j)如图中曲线①所示，包围点（－1，j0），则 系统不稳定。 减小K值，使G(j)H(j)减小，曲线①有可能因模减小， 相位不变，而不包围(－1，j0），因而系统趋于稳定。 若K不变，亦可增加导前环节的时间常数T4 、T5 使相位减 小，曲线①变成曲线②。由于曲线②不包围点(－1，j0), 故系统稳定。
自由响应
强迫响应
n
xo( t ) A1i e
i 1
n
si t
A2 i e si t B( t )
i 1
系统的初态引 起的自由响应 si:系统的特征根
输入引起的 自由响应
2. 系统稳定条件
1) 当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位
于[s]平面的左半平面）
Nyquist 稳定判据特点
1、 Nyquist 判据是在[GH]平面判定系统的稳 定， 而不是在[S]平面。 2、 Nyquist 判据证明复杂，但应用简单。 3、P=0开环稳定，但闭环可能不稳定； P 0开环不稳定，但闭环可能稳定（实际工 程 中可能不可靠）。 4、开环Nyquist轨迹对实轴是对称的。
第五章 系统的稳定性
——系统能正常工作的首要条件
系统的稳定性与稳定条件 Routh（劳斯）稳定判据 Nyquist 稳定判据 Bode稳定判据 系统的相对稳定性
一、系统的稳定性与稳定条件
1. 系统不稳定现象
例：液压位置随动系统
原理：
外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开 →活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）
n n n 1
s1,s2,…,sn：特征根
n 2 i j
因为
( s s1 )( s s2 )( s sn ) s ( si ) s
i 1
(
比较系数：
n a n 1 si , an i 1
i j i 1, j 2
s s )s
n
( 1)
(1) 7500K>0，亦即K>0。显然，这就是由必要条件所得的结果。 (2)
34.6 7500 7500K 0 ，亦即K<34.6。 34.6
故能使系统稳定的参数K的取值范围为0<K<34.6。
特别：
二阶系统(n=2)稳定的充要条件为：
a2>0, a1>0, a0>0,
三阶系统(n=3)稳定的充要条件为：
G( s) H ( s) K (T4 s 1) s (T1 s 1)(T2 s 1)(T3 s 1)
当导前环节作用大，即当T4大时，开环Nyquist轨迹为曲
线②，它不包围点(－1，j0），闭环系统稳定。
三、Nyquist 稳定判据
8. 具有延时环节的系统 的稳定性
GK(s)＝G1(s)e－s GK(j)＝G1(j)e－j 延时环节不改变原系统的幅频特 性，而仅仅使相频特性发生变化。
n
s
i 1
n
i
an 3 an
i jk i 1, j 2 , k 3
s s s
i
n
j k
,
si s j j i i 1, j 2 n a0 n ( 1) si an i 1 an 2 an
n
系统稳定的必要条件： 各系数同号且不为零 或： an>0, an-1>0, … , a1>0, a0>0
其中：
a n 1a n 2 a n a n 3 a n 1 a a an an 5 A2 n1 n 4 a n 1 a a an an 7 A3 n1 n 6 a n 1 A1
B1 B2 B3 A1a n 3 a n 1 A2 A1 A1a n 5 a n 1 A3 A1 A1a n 7 a n 1 A4 A1
1 s 3 1 ( 19) 1 11 30 s2 1 s 1 ( 30) 11 1 30 12 30 s0 30 s4 1 19 30 11 30 0 0 0 0 （改变符号一次） 0 （改变符号一次） 0
第一列各元符号改变次数为2，因此 1. 系统不稳定 2. 系统有两个具有正实部的特征根
例2 已知 =0.2及n=86.6，试确定K取何值时，系统方能稳定。 系统开环传递函数：
2 n (s K ) Xo ( s ) GK ( s) E ( s ) s 2 ( s 2 n )
系统闭环传递函数：
2 X o ( s) n (s K ) GB ( s ) 2 2 X i ( s ) s 3 2 n s 2 n s K n

自由响应发散，系统不稳定
2. 系统稳定条件
3) 若有特征根sk =±jω（位于[s]平面的虚轴上），其余极点
位于[s]平面的左半平面
n n lim A1i e si t A2 i e si t t i 1 i 1
Ak e jt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a3>0,
a2>0,
a0>0,
a1a2－a0a3>0
三、Nyquist 稳定判据
——几何判据（利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性）
1. 幅角原理
设有复变函数：
F ( s) K ( s z1 )( s z 2 )( s z m ) ( s p1 )( s p2 )( s pn )
简谐运动
自由响应等幅振动，系统临界稳定 4) 若有特征根sk =0（位于[s]平面的原点），其余极点位于[s]
平面的左半平面
Ak e
sk t
Ak
n n si t lim A1i e A2 i e si t t i 1 i 1
Ak
自由响应收敛于常值，系统稳定
s n 1 a n 1 s n 2 A1 s n 3 B1 s s
2
D1 E1 F1
s1
0

Routh 判据：Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特 征方程具有正实部特征根的个数。因此，系统稳定 的充要条件是Routh表中第一列各元的符号均为正， 且值不为零。
例1 系统的特征方程 D(s)=s4＋s3－19s2＋11s＋30＝0 Routh 表：
（开环极点易知，闭环极点难求）
稳定判据
二、Routh （劳斯）稳定判据
——代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）
1. 系统稳定的必要条件
设系统特征方程为： D( s ) an s n an1 s n1 a1 s a0 0
sn a n 1 n 1 a a s 1 s 0 ( s s1 )( s s2 )( s sn ) an an an
n n lim A1 i e si t A2 i e si t t i 1 i 1
0
自由响应收敛，系统稳定
2) 若有任一sk具有正实部（位于[s]平面的右半平面）
lim e
t sk t

n n si t lim A1i e A2 i e si t t i 1 i 1
[ s ]平面
Ls
映射
[ F ( s )] 平面
LF
Ls：[s]平面上一封闭曲线 （不经过F(s)的奇点）
幅角原理：ｓ按顺时针方向沿Ls变化一周时， F(s)将绕原点顺时针旋转N周，即包围原点N次。
N=Z-P
Z：Ls内的F(s)的零点数 P：Ls内的F(s)的极点数
三、Nyquist 稳定判据
2. 系统稳定条件
结论：线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的
特征根。
线性定常系统稳定的充要条件：
若系统的全部特征根（传递函数的全部极点）
均具有负实部（位于[s]平面的左半平面），则系
统稳定。
如何判别？ 求出闭环极点？
①高阶难求 ②不必要
实验？ 思路：
如果不稳定，可能导致严重后果
①特征方程→根的分布（避免求解） ②开环传递函数→闭环系统的稳定性
结论：
1. 系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参数）， 与输入无关 2. 不稳定现象的存在是由于反馈作用 3. 稳定性是指自由响应的收敛性
定义： 系统在初始状态作用下 输出 （响应） 无输入时的初态 输入引起的初态 系统稳定
收敛（回复平衡位置） 发散（偏离越来越大）
系统不稳定
2. 系统稳定条件
线性定常系统系统是否稳定取决于系统的特征根： 线性定常系统：
三、Nyquist 稳定判据
例3 G ( s ) H ( s ) K ( s 3)
s( s 1)
P=1
稳定
三、Nyquist 稳定判据
7. 应用举例