等差与等比数列专题复习

等差与等比数列专题复习等差与等比数列是最重要且应用广泛的有通项公式的数列，在高考中占有重要地位，成为每年必考的重点内容，这部分内容的基础知识有：等差、等比数列的定义及通项公式，前几项和公式以及等差、等比数列的性质，在解决有关等差，等比数列问题时，要注意运用方程的思想和函数思想以及整体的观点，培养分析问题与解决问题的能力。

一、知识结构与要点：等差、等比数列的性质推广2等比数列- L 定义:且a n基本概念-通项_ q a n 2an 11an 1 a nq n m S n前n 项和 1等比中项:a b c 成等比数列b 2 acaw(q 1)印(1 q n )a iL 与首末两端等距离的两项之积相等a 1ana 2an 1a i an i 1—基本性质一二、典型例题 am a n a p a q｛a n ｝成等比，若 n 「n 2,…n k 成等差 贝V a 1,a n2,...a nk 当a 1或q成等比a 1 q 1a 1时｛ a n ｝为递增数列 0 q 10或a 1 0时｛a n ｝为递减数列 0 q 1q<0时 q=1时 ｛ a n ｝为摆动数列 ｛ a n ｝为常数数列例1 •在等差数列中a 6 a 9a 12 a 15 20求S 20解法 a n a1(n l)da 6 a 9 a12 2(2a 1 19d) a1520(a 1 5d) (a 1 8d) (a 1 11d) (a 1 14d)2a 1 19d 10那么S 2010(2a 1 19d)100解法二：由m nq am a n a p a qa 6 a 9 a i2 a i5 2(a 6 a i5)2(a i a 2o ) 20点评：在等差数列中，由条件不能具体求出a 1和d ，但可以求出 a 1与d 的组合式，而所求的量往往可以用这个组合式表示，那么用“整体代值”的方法将值求出(2)利用：m n p q a m a n a p a q 将所求量化为已知量也是“整体代值”的思 想，它比用a 1和d 表示更简捷。

例2 .等差数列前 m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为 _____________________ 解法一 用方程的思想，由条件知...(a 1 a m )m 30\ 2 (a i a m )m 60 ①⑻ a 2m )2m 100(a i a 2m )m 100 ②2am a 2m a 3m 也成等数列解：在等差数列中由性质知 s ms 2m s m S 3m s 2m 成等差数列S3m S 2m 2( S 2m S m ) S m S3m 3(S 2m S m ) 210解法三等差数列｛a n ｝中 S na 〔n 丄n(n 1)d 爼 a (n 1) —2 n2即｛§斗为以a 1为首项公差为—的等差数列 依题意条件知n12S3m 3(S 2m S m ) 210点评：三种解法从不同角度反映等差数列所具有的特性，运用方程的方法、性质或构造新的等 差数列都是数列中解决问题的常用方法且有价值，对解决某些问题极为方便。

例3在等比数列中 S 5 93 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 186求a 8S3m3m .y (a 1a3m )3尹⑻2a 2m a m )由②x2-①得m(a 1 a 2m a m )140 代入-140 2102m 2m 3m2 Em S 2m S m 2m 3m m分析：在等比数列中对于 a 〔q n a n S n 五个量一般“知三求二”其中首项 5元比是关键,第4页共17页因此 解法一a 2 a 3 a 4a 5 a6 186S5a 6a 1 186a6a 1 93a 1 q 5a 1 93又S 5 a 1 a 1q 5 93a 〔 a 〔 9393 q 2a 1 31 q 1 q则a 8 a 1 q 7384解法二S593而a 2 a3a 4 a5a6(a 1 a 2 a 3 a 4 a 5)q 186q 2代入a1(11 q 5) q93 中得a 〔 3故 a 8 a 1 q 7 384点评：根据等比数列定义运用方程的方法解决数列问题常用解法二更为简捷。

例4•在等差数列｛a n ｝中S 936 Sn 104等比数列｛b n ｝中例5•设等差数列｛a n ｝前n 项和为S n 已知a 3 12 S 12 0S 13 0(1)求公差d 的范围 (2)指出S 1S 2……S 12中哪一个值最大，并说明理由解: S 9a 1 a 9 x (12 9)9 a 5 936a 54S13a1a13213 a 713 104a 7 8b 5 b 7 a 5 a 732b)2 324.3b5a5b7a7 贝廿 b 6----------------------------点评：此题也可以把a i 和d 看成两个未知数，通过 S 936 S 13104列方程，联立解之 d= 2 a 14。

再求出a 5a 7但计算较繁，运用a i2a n 计算较为方便。

S1212a 1 0 032解：（1 ）由题义有S1313a1由a312a 1 12 2d (2 S n a〔n d<0所以［n 1(5 24 12 (12 1)d 0 2 13 (13 1)d 0则代入上式有1n(12 2d)2n(n24）］2最小时S n 最大d24 1)d7d 01 -. 6 2(5 T )6.5 所以当n=6时［n 1 2(5 点评：本题解法体现了函数思想在处理数列问题中的运用, 法与判断函数增减性的方法相同。

例6已知a>0 a 1数列｛a n ｝是首项5元比都为2a 1 11d a 1 6d 1 2(524 2d 1 24 22[2(5 尹24 )]2最小d 判断数列随 a 的等比数列, 数列｛b n ｝中每一项总小于它后面的项，求 a 的取值范围。

解：由已知有 a n a a n 1所以 b na n lga nn . na lgab n因此由题意 对任意nbnb n 1成立即na n alg(n 即 a n lg a [(n 1)a n]对任N 总成立,那么 由a>0 即（i ） 由i 知a>1故a 的取值范围为1)a n 1)nS 6最大N 增大而变化规律的方a n lg a n (n N)如果n .na lg a1)a n1 alg知a n—为递增的函数n 1所以「）min1a 或 a>12点评：这是道数列与不等式综合的题目，既含有字母分类讨论又要运用极限的思想和函数最值的最大值.第6页共17页数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础•在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部 分数列的求和都需要一定的技巧 •下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法3、 Sn nk k 1 ^n(n 2 1)4、 S nnk 2 h(n 1)(2n1)k 1 6n31 25S nk［二 1)］k 12123［例1］已知log 3 x，求XX xlog 2 3［例 2］设 S= 1+2+3+…+ n , n € N,求 f(n)的观点来解决问题，同时还要判断函数的单调性，具有一定的综合性。

解：由log 3 x1 log2 3log 3 xlog 3 2由等比数列求和公式得S n x x 2 x 3x n （利用常用公式）x(1 x n ) 1 x1 11(1戶 1 1 21=1 — 2n1、等差数列求和公式:S nn(n 1)dna (q 1) 2、等比数列求和公式：S nd(1 q n )(q 1)x n 的前n 项和.&(n 32)S n 1解：由等差数列求和公式得S 1 1丄n(n 1) , S n丄5 1)(n 2)(利用常用公式) 2 2S n …f(门)(n 32)S n 1n~2~n 34 n 64n1 _64 二34 ( ., nn___ 丄250 50 n= 8 时, f ( n)max150二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n • b n}的前n项和, 其中｝分别是等差数列和等比数列［例3］求和: S n 1 3x 5x27x3(2n 1)x n 1解：由题可知, {(2n 1)x n1｝的通项是等差数列｛2n —1｝的通项与等比数列｛x n 1｝的通项之积设xS n 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)x n.②（设制错位）①一②得（1x)S n 1 2x 2x22x32x42x n 1(2n 1）x n（错位相减）再利用等比数列的求和公式得: (1 X)Snn 11 x2x -1 x(2n 1)x nS nn 1(2n 1)x 1)x n(1 x)2(2n (1x)［例4］求数列-2 4 622，23，尹前n项的和.解：由题可知，｛军｝的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列2n｝的通项之积设S n2n2n（设制错位）①一②得（1；)S n 22 22 222 23_2_24_22n（错位相减）2【i I1 2n2n 1 n 1n 2 4、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个（印 a n ）. ［例5］求证：C 3C ： 5C ； (2n 1)C ： (n 1)2n证明：设S nc ： 3C ： 5C n 2(2n 1)C ；••…•…①把①式右边倒转过来得S n (2n 1)C ； (2n 1)C n n 13C ： Co （反序）又由c m C 1 m可得S n (2n 1)C° (2n 1)C ；n 1n 3Cncn……..②①+②得2S n (2n 2)(C ： c ：c ： 1 C ：)2(n 1) 2n （反序相加）S n (n 1)2n［例6］求sin 21 sin 22sin 2 3sin 2 88 sin 89 的值解：设 S sin 21 sin 22 sin 23sin 2 88 sin 2 89 …①将①式右边反序得non、、，sin 3 sin 2 sin 1 …②(反序)2 2 22 S (sin 1 cos 1 ) (sin 2四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等 差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可11 1 ［例7］求数列的前n 项和：11, 4,— 7,，十 3n 2,a aa1 1解：设 S n (11) (— 4)(飞 7)a a1（F 3n 2） 将其每一项拆开再重新组合a2n2 2S sin 89 sin 88又因为 sin x cos(902 2x),sin x cos x 1①+②得（反序相加）2小、cos 2 )2 2(sin 89 cos 89 ) = 89 /• S = 44.511 1 S n(1 - -2―) (1 4 7 3n 2)(分组) a aa当 a = 1 时，S nn (3n 1)n = (3n 1)n (分组求和)22当a1 !1时，S n即1 - a(3n 1)n1 naa (3n 1)n2—a 12[例 8] 求数列{n(n+1)(2n+1)} 的前n 项和.解：设 a k k(k 1)(2k 1) 2k 3 3k 2k nS nk(k 1)(2k 1)=k 1n（2 k 3 3k 2 k ）k 1将其每一项拆开再重新组合得s=nn n2 k3 3 k 2k（ 分 组)——k 1k 1k 1332(1 2n 3) 3(1222n 2) (1 2n)=n 2(n 1)2n(n 1)(2n1) n(n 1)(分组求和) n(n 1)2(n 2)22 22五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 •裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的si n1(2)cos n cos(n 1)1 1] n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)(3) a n1 - 1n(n 1) n n 1(2n)21丄(丄丄 (2n 1)(2n 1)2 2n 1 2n 1通项分解（裂项）如:tan(n 1) tan n(1)a nf(n 1) f(n)(5) a na nn 2n(n 1)2(n 1) n 1nn(n 1) 21 ,则S" 1儿(n 1)2n[例9]1求数列1, ,1 2 2 3的前n项和.解:S na n(2 .J)■/n（裂项）（裂项求和）(.3 ,2) C.n• n)=、n 110] 在数列｛a n｝中，a n，又b n，求数列｛b n｝的前n项的和.解：T a n•••b n数列｛b n｝的前n项和anan 1（裂项）S n 8[(1 11112)1)(1(丄n[例11] 求证:解：设S cosO cos1 cos1 cos2cosO cos1 cos1 cos 2 sin1由cos n cos(n 1)tan(n 1)• Scos0 cos1 cos1 cos21{(tan 1 tan 0 ) (tan 2 sin 11)]（裂项求和）18(1冷8nn 1 cos88 cos89cos1sin21cos88 cos89tan n （裂项）cos88 cos89（裂项求和）tan 1 ) (tan 3 tan 2 ) [tan 89 tan 88 ]}第11页共17六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和 时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S.［例 12］ 求 cos1 ° + cos2 ° + cos3 ° + •…+ cos178 ° + cos179 ° 的值. 解：设 S n = cos1 ° + cos2 ° + cos3 ° + •…+ cos178 ° + cos179 °••• cosn cos(180 n)(找特殊性质项)• S= (cos1 ° +cos179 °)+(cos2 ° +cos178 °)+(cos3 ° +cos177 °) + • • • + (cos89 ° +cos91 °)+cos90 ° (合并求和)=0= a 1999a 2000 a 2001 a 2002由等比数列的性质 m n p q a m a n a p a q （找特殊性质项）sin1(tan 89 tanO )= ------- sin 1 coslcotl = 2—sin 1原等式成立解：设 S 2002 = a 1a 2 a 3a ：2002由a 1 1, a 23,a32, a n2an 1an 可得a 41, a 53, a 62, a 7 1, a 83, a 92, aw 1, an3, a 122a6k 11,a6k 23, a 6k 32,a6k 41, a 6k 53,a6k 62'a6k 1a6k2a6k 3 a6k 4a（5k 5a6k 6（找特殊性质项）•-S E 002 = =a 1 a 2 a 3a2002（合并求和）=(a-ia 2 a 3 a 6)(a 7a8a12)(a6k 1a6k 2a6k 6)［例 13］数列{a n }: a 1 1, a 2 3, a 3 2, a . 2 a . 1 a * ,求 S 2002.(a 1 993 a 1994a 1998 ) a 1999 a 2000 a 2001 a 2002a6k 1a6k 2a6k 3 a6k 4［例14］在各项均为正数的等比数列中,若 a §a 69,求 log 3 a 1 log 3 a 2log 3 a 10 的值.解：设 S n log 3 a 1log 3a 2log3 a 10和对数的运算性质log a M log a N log a M N 得 S n (log 3 a 1log 3 a 10 )(log 3 a 2 log 3 a 9)(log 3 a 5 log 3 a 6)（合并求和）=(log 3 a 1 a 10)(log3 a 2 a 9)(log3 a 5 a 6)=log 3 9 log 3 9 log 3 9 =10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭=4(池示的规律来求数列的前 ［例 15］求 1 11n 项和，是一个重要的方法111 111 1之和.n 个1解：由于111k 个1999k 个 199(10k1)（找通项及特征）1 11 111111n 个=1(101 1)9丄(1021)91)1丄（10" 1）（分组求和）9(101102 103n 、10 )1(11)1 10(10n 1) n 9 10 199n)［例16］已知数列{a n } : a(n1)( n 3)，求(n n 11)(a na n 1 )的值.解：••• (n 1)(a na n 1) 8(n1)[( n 1)(n 3)(n 2)( n 4)]（找通项及特征）—8[(n 2)(n4) (n](设制分组)3)( n 4)（裂项）(n1)(a n a n 1 1 1 1) 4 ( 1')8(' ')(分组、裂项求和) n 1n1n2n4 n1n3n4,,11、 c 113=4 (-—)83443等差与等比数列1（北京）已知数列｛a n｝中,a i 1 12，Sn为数列的前n项和，且Sn与二的一个等比中项为n(n N')，则lim S n的值为( )n/八3 3 2(A) ( B) (C) ( D) 14 2 32（黄冈）在等差数列｛a n｝中,a1 + a2 + + a50 = 200，a51 + a52 + …+ a1oo = 2700 ,贝V a1 等于((A)—1221 (B)—21.5 (C)—20.5 (D)—20第13页共1712a n (0 a n —)6i2若 3i -，贝U a 8 ( )1 7— a n 1( a n 1)—1 (D)-7—a 1 1, a n 1 a n 1,则此数列前4项之和为( )(C) — (D)-—5 (天津)在等差数列{a n }中，n —，公差d<0，前n 项和是S n ，则有( )(A ) na n S nna j (B )na j S n na n ( C ) S n na j ( D )S nna n16(北京)等差数列｛a n ｝中，已知a 1 ，a —+ a 5=4, a n =33，贝U n 为( ) 3A 、 48B 49C 、 50D 、517、如果数列 满足是首项为1,公比为—的等比数列，则。