((完整版))等差等比数列知识点梳理及经典例题,推荐文档
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第一种是利用定义, an an1 d (常数)(n 2) ,第二种是利用等差中项,即 2an an1 an1(n 2) 。
2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前 n 项和直接判断。
(1)通项法:若数列{ an }的通项公式为 n 的一次函数,即 an =An+B,则{ an }是等差数列;
1 2
1
(1)求证:{ }是等差数列;
Sn
(2)求 an 的表达式。
分析:(1) Sn
Sn1
2Sn ASn1
0
1 Sn
与
1 Sn1
的关系 结论;
(2)由
1 Sn
的关系式
Sn 的关系式
an
解答:(1)等式两边同除以 Sn ASn1 得
1 Sn1
-
1 Sn
+2=0,即
1 Sn
-
1 Sn1
=2(n≥2).∴{
1 Sn
}是以
1
数列知识点梳理及经典习题
出题人:李老师
11
= =2 为首项,以 2 为公差的等差数列。
S1 a1
11
1
(2)由(1)知 Sn = S1 +(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,∴ Sn = 2n ,当 n≥2 时,
1
an
=2
Sn
· Sn1 =
1 2n(n 1)
。又∵ a1
1 2
,不适合上式,故 an
分析:(1)可用构造等比数列法求解; (2)可转化后利用累乘法求解;
(3)将无理问题有理化,而后利用 an 与 Sn 的关系求解。
解答:(1)
(2) (3)
……
累乘可得, 故
0
数列知识点梳理及经典习题
Fra Baidu bibliotek
出题人:李老师
二、等差数列及其前 n 项和 (一)等差数列的判定 1、等差数列的判定通常有两种方法:
数列知识点梳理及经典习题
出题人:李老师
A、等差数列知识点及经典例题
一、数列
由 an 与 Sn 的关系求 an
由 Sn 求 an 时,要分 n=1 和 n≥2 两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能,则用分段
函数的形式表示为 an
S1 Sn
(n 1) Sn1(n 2)
。
〖例〗根据下列条件,确定数列 an 的通项公式。
An Bn
7n 45 ,则使得 an
n3
bn
为整
数的正整数 n 的个数是( D )
A.2
B.3
C.4
D.5
3
数列知识点梳理及经典习题
出题人:李老师
6、在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项 an=________.
由 an+1=2an+3,则有 an+1+3=2(an+3), an+1+3
2
1
2n(n 1)
(n 1)
。
(n 2)
【例】已知数列{an}的各项均为正数,a1=1.其前 n 项和 Sn 满足 2Sn=2pan2+an-p(p∈R),则{an}的通项公式为
________.
∵a1=1,∴2a1=2pa21+a1-p,
即 2=2p+1-p,得 p=1.
于是 2Sn=2a2n+an-1.
当 n≥2 时,有 2Sn-1=2an-2 1+an-1-1,两式相减,得 2an=2a2n-2an-2 1+an-an-1,整理,得
1
2(an+an-1)·(an-an-1-2)=0. 1
1 n+1
又∵an>0,∴an-an-1=2,于是{an}是等差数列,故 an=1+(n-1)·2= 2 . (二)等差数列的基本运算
(三)等差数列的性质
1、等差数列的单调性:
等差数列公差为 d,若 d>0,则数列递增;若 d<0,则数列递减;若 d=0,则数列为常数列。
★2、等差数列的简单性质:略
典型例题
1.等差数列 an 中, 若 Sn 25, S2n 100 ,则 S3n 225;
2.(厦门)在等差数列an中, a2 a8 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 ( A )
A.18
B 27
C 36
D9
3、(全国卷Ⅰ理) 设等差数列an的前 n 项和为 Sn ,若 S9 72 ,则 a2 a4 a9 = 24
4、等差数列{an} 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( C )
(A)130
(B)170
(C)210
(D)160
5.(湖北卷)已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且
(2)前 n 项和法:若数列{ an }的前 n 项和 Sn 是 Sn An2 Bn 的形式(A,B 是常数),则{ an }是等
差数列。
注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例〗已知数列{
an
}的前
n
项和为
Sn
,且满足
Sn
Sn1
2Sn
ASn1
0(n
2), a1
1、等差数列的通项公式 an
=
a1 +(n-1)d
及前
n
项和公式 Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
,共涉及
五个量 a1 , an ,d,n, Sn ,“知三求二”,体现了用方程的思想解决问题;
2、数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量,
用它们表示已知和未知是常用方法。
注:因为
Sn n
d 2
n a1
d 2
a1
(n 1) d 2
,故数列{
Sn n
}是等差数列。
〖例〗已知数列{ xn }的首项 x1 =3,通项 xn 2n p nq(n N , p, q为常数) ,且 x1 , x4 , x5 成等差数
2
数列知识点梳理及经典习题
即 an+3 =2.
所以数列{an+3}是以 a1+3 为首项、公比为 2 的等比数列,即 an+3=4·2n-1=2n+1,所以 an=2n+1-3.
1 7、已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为4的等差数列,则|m-n|的值等于________.
出题人:李老师
列。求:
(1) p, q 的值; (2)数列{ xn }的前 n 项和 Sn 的公式。 分析:(1)由 x1 =3 与 x1 , x4 , x5 成等差数列列出方程组即可求出 p, q ;(2)通过 xn 利用条件分成
两个可求和的数列分别求和。
解答:(1)由 x1 =3 得 2 p q 3 ……………………………………① 又 x4 24 p 4q, x5 25 p 5q,且x1 x5 2x4 ,得 3 25 p 5q 25 p 8q …………………② 由①②联立得 p 1, q 1 。 (2)由(1)得, xn 2n n
2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前 n 项和直接判断。
(1)通项法:若数列{ an }的通项公式为 n 的一次函数,即 an =An+B,则{ an }是等差数列;
1 2
1
(1)求证:{ }是等差数列;
Sn
(2)求 an 的表达式。
分析:(1) Sn
Sn1
2Sn ASn1
0
1 Sn
与
1 Sn1
的关系 结论;
(2)由
1 Sn
的关系式
Sn 的关系式
an
解答:(1)等式两边同除以 Sn ASn1 得
1 Sn1
-
1 Sn
+2=0,即
1 Sn
-
1 Sn1
=2(n≥2).∴{
1 Sn
}是以
1
数列知识点梳理及经典习题
出题人:李老师
11
= =2 为首项,以 2 为公差的等差数列。
S1 a1
11
1
(2)由(1)知 Sn = S1 +(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,∴ Sn = 2n ,当 n≥2 时,
1
an
=2
Sn
· Sn1 =
1 2n(n 1)
。又∵ a1
1 2
,不适合上式,故 an
分析:(1)可用构造等比数列法求解; (2)可转化后利用累乘法求解;
(3)将无理问题有理化,而后利用 an 与 Sn 的关系求解。
解答:(1)
(2) (3)
……
累乘可得, 故
0
数列知识点梳理及经典习题
Fra Baidu bibliotek
出题人:李老师
二、等差数列及其前 n 项和 (一)等差数列的判定 1、等差数列的判定通常有两种方法:
数列知识点梳理及经典习题
出题人:李老师
A、等差数列知识点及经典例题
一、数列
由 an 与 Sn 的关系求 an
由 Sn 求 an 时,要分 n=1 和 n≥2 两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能,则用分段
函数的形式表示为 an
S1 Sn
(n 1) Sn1(n 2)
。
〖例〗根据下列条件,确定数列 an 的通项公式。
An Bn
7n 45 ,则使得 an
n3
bn
为整
数的正整数 n 的个数是( D )
A.2
B.3
C.4
D.5
3
数列知识点梳理及经典习题
出题人:李老师
6、在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项 an=________.
由 an+1=2an+3,则有 an+1+3=2(an+3), an+1+3
2
1
2n(n 1)
(n 1)
。
(n 2)
【例】已知数列{an}的各项均为正数,a1=1.其前 n 项和 Sn 满足 2Sn=2pan2+an-p(p∈R),则{an}的通项公式为
________.
∵a1=1,∴2a1=2pa21+a1-p,
即 2=2p+1-p,得 p=1.
于是 2Sn=2a2n+an-1.
当 n≥2 时,有 2Sn-1=2an-2 1+an-1-1,两式相减,得 2an=2a2n-2an-2 1+an-an-1,整理,得
1
2(an+an-1)·(an-an-1-2)=0. 1
1 n+1
又∵an>0,∴an-an-1=2,于是{an}是等差数列,故 an=1+(n-1)·2= 2 . (二)等差数列的基本运算
(三)等差数列的性质
1、等差数列的单调性:
等差数列公差为 d,若 d>0,则数列递增;若 d<0,则数列递减;若 d=0,则数列为常数列。
★2、等差数列的简单性质:略
典型例题
1.等差数列 an 中, 若 Sn 25, S2n 100 ,则 S3n 225;
2.(厦门)在等差数列an中, a2 a8 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 ( A )
A.18
B 27
C 36
D9
3、(全国卷Ⅰ理) 设等差数列an的前 n 项和为 Sn ,若 S9 72 ,则 a2 a4 a9 = 24
4、等差数列{an} 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( C )
(A)130
(B)170
(C)210
(D)160
5.(湖北卷)已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且
(2)前 n 项和法:若数列{ an }的前 n 项和 Sn 是 Sn An2 Bn 的形式(A,B 是常数),则{ an }是等
差数列。
注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例〗已知数列{
an
}的前
n
项和为
Sn
,且满足
Sn
Sn1
2Sn
ASn1
0(n
2), a1
1、等差数列的通项公式 an
=
a1 +(n-1)d
及前
n
项和公式 Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
,共涉及
五个量 a1 , an ,d,n, Sn ,“知三求二”,体现了用方程的思想解决问题;
2、数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量,
用它们表示已知和未知是常用方法。
注:因为
Sn n
d 2
n a1
d 2
a1
(n 1) d 2
,故数列{
Sn n
}是等差数列。
〖例〗已知数列{ xn }的首项 x1 =3,通项 xn 2n p nq(n N , p, q为常数) ,且 x1 , x4 , x5 成等差数
2
数列知识点梳理及经典习题
即 an+3 =2.
所以数列{an+3}是以 a1+3 为首项、公比为 2 的等比数列,即 an+3=4·2n-1=2n+1,所以 an=2n+1-3.
1 7、已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为4的等差数列,则|m-n|的值等于________.
出题人:李老师
列。求:
(1) p, q 的值; (2)数列{ xn }的前 n 项和 Sn 的公式。 分析:(1)由 x1 =3 与 x1 , x4 , x5 成等差数列列出方程组即可求出 p, q ;(2)通过 xn 利用条件分成
两个可求和的数列分别求和。
解答:(1)由 x1 =3 得 2 p q 3 ……………………………………① 又 x4 24 p 4q, x5 25 p 5q,且x1 x5 2x4 ,得 3 25 p 5q 25 p 8q …………………② 由①②联立得 p 1, q 1 。 (2)由(1)得, xn 2n n