((完整版))等差等比数列知识点梳理及经典例题,推荐文档

数列知识点梳理及经典习题
出题人：李老师
A、等差数列知识点及经典例题
一、数列
由 an 与 Sn 的关系求 an
由 Sn 求 an 时，要分 n=1 和 n≥2 两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段
函数的形式表示为 an
S1 Sn
(n 1) Sn1(n 2)
。
〖例〗根据下列条件，确定数列 an 的通项公式。
An Bn
7n 45 ，则使得 an
n3
bn
为整
数的正整数 n 的个数是（ D ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3
数列知识点梳理及经典习题
出题人：李老师
6、在数列{an}中，若 a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项 an＝________.
由 an＋1＝2an＋3，则有 an＋1＋3＝2(an＋3)， an＋1＋3
第一种是利用定义， an an1 d (常数)(n 2) ，第二种是利用等差中项，即 2an an1 an1(n 2) 。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前 n 项和直接判断。
（1）通项法：若数列{ an }的通项公式为 n 的一次函数，即 an =An+B,则{ an }是等差数列；
2
1
2n(n 1)
(n 1)
。
(n 2)
【例】已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前 n 项和 Sn 满足 2Sn＝2pan2＋an－p(p∈R)，则{an}的通项公式为
________．
∵a1＝1，∴2a1＝2pa21＋a1－p，
即 2＝2p＋1－p，得 p＝1.
于是 2Sn＝2a2n＋an－1.
A．18
B 27
C 36
D9
3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列an的前 n 项和为 Sn ，若 S9 72 ,则 a2 a4 a9 = 24
4、等差数列{an} 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为( C )
(A)130
(B)170
(C)210
(D)160
5.(湖北卷)已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ，且
1 2
1
（1）求证：{ }是等差数列；
Sn
（2）求 an 的表达式。
分析：（1） Sn
Sn1
2Sn ASn1
0
1 Sn
与
1 Sn1
的关系 结论；
（2）由
1 Sn
的关系式
Sn 的关系式
an
解答：（1）等式两边同除以 Sn ASn1 得
1 Sn1
-
1 Sn
+2=0，即
1 Sn
-
1 Sn1
=2（n≥2）.∴{
分析：（1）可用构造等比数列法求解； （2）可转化后利用累乘法求解；
（3）将无理问题有理化，而后利用 an 与 Sn 的关系求解。
解答：（1）
（2） （3）
……
累乘可得， 故
0
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出题人：李老师
二、等差数列及其前 n 项和 （一）等差数列的判定 1、等差数列的判定通常有两种方法：
出题人：李老师
列。求：
（1） p, q 的值； （2）数列{ xn }的前 n 项和 Sn 的公式。 分析：（1）由 x1 =3 与 x1 ， x4 ， x5 成等差数列列出方程组即可求出 p, q ；（2）通过 xn 利用条件分成
两个可求和的数列分别求和。
解答：（1）由 x1 =3 得 2 p q 3 ……………………………………① 又 x4 24 p 4q, x5 25 p 5q,且x1 x5 2x4 ，得 3 25 p 5q 25 p 8q …………………② 由①②联立得 p 1, q 1 。 （2）由（1）得， xn 2n n
（三）等差数列的性质
1、等差数列的单调性：
等差数列公差为 d，若 d>0,则数列递增；若 d<0,则数列递减；若 d=0,则数列为常数列。
★2、等差数列的简单性质：略
典型例题
1．等差数列 an 中, 若 Sn 25, S2n 100 ，则 S3n 225；
2.（厦门）在等差数列an中， a2 a8 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 （ A ）
1 Sn
}是以
1
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11
= =2 为首项，以 2 为公差的等差数列。
S1 a1
11
1
（2）由（1）知 Sn = S1 +（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴ Sn = 2n ,当 n≥2 时，
1
an
=2
Sn
· Sn1 =
1 2n(n 1)Fra bibliotek。又∵ a1
1 2
，不适合上式，故 an
用它们表示已知和未知是常用方法。
注：因为
Sn n
d 2
n a1
d 2
a1
(n 1) d 2
，故数列{
Sn n
}是等差数列。
〖例〗已知数列{ xn }的首项 x1 =3，通项 xn 2n p nq(n N , p, q为常数) ，且 x1 ， x4 ， x5 成等差数
2
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（2）前 n 项和法：若数列{ an }的前 n 项和 Sn 是 Sn An2 Bn 的形式（A，B 是常数），则{ an }是等
差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例〗已知数列{
an
}的前
n
项和为
Sn
，且满足
Sn
Sn1
2Sn
ASn1
0(n
2), a1
即 an＋3 ＝2.
所以数列{an＋3}是以 a1＋3 为首项、公比为 2 的等比数列，即 an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以 an＝2n＋1－3.
1 7、已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0 的四个根组成一个首项为4的等差数列，则|m－n|的值等于________．
当 n≥2 时，有 2Sn－1＝2an－2 1＋an－1－1，两式相减，得 2an＝2a2n－2an－2 1＋an－an－1，整理，得
1
2(an＋an－1)·(an－an－1－2)＝0. 1
1 n＋1
又∵an>0，∴an－an－1＝2，于是{an}是等差数列，故 an＝1＋(n－1)·2＝ 2 . （二）等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式 an
=
a1 +（n-1）d
及前
n
项和公式 Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
，共涉及
五个量 a1 ， an ，d,n, Sn ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，