等差等比数列知识点梳理及经典例题

A 、等差数列知识点及经典例题 一、数列

由n a 与n S 的关系求n a

由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段

函数的形式表示为1

1(1)(2)n n

n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩。

〖例〗根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式。

分析：（1）可用构造等比数列法求解； （2）可转化后利用累乘法求解；

（3）将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。

解答：（1）

（2）

……

累乘可得，

故

（3）

二、等差数列及其前n 项和 （一）等差数列的判定

1、等差数列的判定通常有两种方法：

第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。

（1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列；

（2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2

n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等差

数列。

注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 〖例〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2

n n n n S S S S n a ---+=≥=g （1）求证：{

1

n

S }是等差数列； （2）求n a 的表达式。

分析：（1）1120n n n n S S S S ---+=g →

1n S 与1

1n S -的关系→结论； （2）由

1

n

S 的关系式→n S 的关系式→n a

解答：（1）等式两边同除以1n n S S -g 得11n S --1n

S +2=0，即1n S -11

n S -=2（n ≥2）.∴{1n S }是以11S =11a =2为

首项，以2为公差的等差数列。

（2）由（1）知

1n S =11S +（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴n S =1

2n

,当n ≥2时，n a =2n S ·1n S -=12(1)n n -。又∵112a =，不适合上式，故1

(1)

2

1(2)

2(1)

n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨

⎪≥-⎪⎩。

【例】已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1.其前n 项和S n 满足2S n ＝2pa 2n ＋a n －p (p ∈R)，则{a n

}的通项公式为________． ∵a 1＝1，∴2a 1＝2pa 21＋a 1－p ， 即2＝2p ＋1－p ，得p ＝1. 于是2S n ＝2a 2n ＋a n －1.

当n ≥2时，有2S n －1＝2a 2n －1＋a n －1－1，两式相减，得2a n ＝2a 2n －2a 2

n －1＋a n －a n －1，整理，得2(a n ＋a n －1)·

(a n －a n －1－1

2)＝0.

又∵a n >0，∴a n －a n －1＝12，于是{a n }是等差数列，故a n ＝1＋(n －1)·12＝n ＋1

2.

（二）等差数列的基本运算

1、等差数列的通项公式n a =1a +（n-1）d 及前n 项和公式11()(1)

22

n n n a a n n S na d +-=

=+，共涉及五个量1a ，n a ，d,n, n S ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；

2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

注：因为

11(1)222

n S d d d

n a a n n =+-=+-，故数列{n S n }是等差数列。

〖例〗已知数列{n x }的首项1x =3，通项2(,,)n n x p nq n N p q *

=+∈为常数，且1x ，4x ，5x 成等差数

列。求：

（1）,p q 的值；

（2）数列{n x }的前n 项和n S 的公式。

分析：（1）由1x =3与1x ，4x ，5x 成等差数列列出方程组即可求出,p q ；（2）通过n x 利用条件分成两个可求和的数列分别求和。

解答：（1）由1x =3得23p q +=……………………………………①

又45

4515424,25,2x p q x p q x x x =+=++=且，得55

32528p q p q ++=+…………………②

由①②联立得1,1p q ==。

（2）由（1）得，n x n

n +=2

（三）等差数列的性质 1、等差数列的单调性：

等差数列公差为d ，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。 ★2、等差数列的简单性质：略

典型例题

1．等差数列{}n a 中, 若100,252==n n S S ，则=n S 3225；

2.（厦门）在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S 9等于 （ A ） A ．18 B 27 C 36 D 9

3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 24

4、等差数列{a n } 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( C ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷)已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453

n n A n B n +=+，则使得n n a

b 为整数

的正整数n 的个数是（ D ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

6、在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.

由a n ＋1＝2a n ＋3，则有a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，

即a n ＋1＋3a n ＋3

＝2. 所以数列{a n ＋3}是以a 1＋3为首项、公比为2的等比数列，即a n ＋3＝4·2n －

1＝2n ＋

1，所以a n ＝2n ＋

1－3.