等差等比数列知识点梳理及经典例题

A 、等差数列知识点及经典例题 一、数列由n a 与n S 的关系求n a由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩。

〖例〗根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式。

分析：（1）可用构造等比数列法求解； （2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。

解答：（1）（2）……累乘可得，故（3）二、等差数列及其前n 项和 （一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。

2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。

（1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列；（2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等差数列。

注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

〖例〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=g （1）求证：{1nS }是等差数列； （2）求n a 的表达式。

分析：（1）1120n n n n S S S S ---+=g →1n S 与11n S -的关系→结论； （2）由1nS 的关系式→n S 的关系式→n a解答：（1）等式两边同除以1n n S S -g 得11n S --1nS +2=0，即1n S -11n S -=2（n ≥2）.∴{1n S }是以11S =11a =2为首项，以2为公差的等差数列。

（2）由（1）知1n S =11S +（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴n S =12n,当n ≥2时，n a =2n S ·1n S -=12(1)n n -。

又∵112a =，不适合上式，故1(1)21(2)2(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥-⎪⎩。

【例】已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1.其前n 项和S n 满足2S n ＝2pa 2n ＋a n －p (p ∈R)，则{a n}的通项公式为________． ∵a 1＝1，∴2a 1＝2pa 21＋a 1－p ， 即2＝2p ＋1－p ，得p ＝1. 于是2S n ＝2a 2n ＋a n －1.当n ≥2时，有2S n －1＝2a 2n －1＋a n －1－1，两式相减，得2a n ＝2a 2n －2a 2n －1＋a n －a n －1，整理，得2(a n ＋a n －1)·(a n －a n －1－12)＝0.又∵a n >0，∴a n －a n －1＝12，于是{a n }是等差数列，故a n ＝1＋(n －1)·12＝n ＋12.（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式n a =1a +（n-1）d 及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1a ，n a ，d,n, n S ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

注：因为11(1)222n S d d dn a a n n =+-=+-，故数列{n S n }是等差数列。

〖例〗已知数列{n x }的首项1x =3，通项2(,,)n n x p nq n N p q *=+∈为常数，且1x ，4x ，5x 成等差数列。

求：（1）,p q 的值；（2）数列{n x }的前n 项和n S 的公式。

分析：（1）由1x =3与1x ，4x ，5x 成等差数列列出方程组即可求出,p q ；（2）通过n x 利用条件分成两个可求和的数列分别求和。

解答：（1）由1x =3得23p q +=……………………………………①又454515424,25,2x p q x p q x x x =+=++=且，得5532528p q p q ++=+…………………②由①②联立得1,1p q ==。

（2）由（1）得，n x nn +=2（三）等差数列的性质 1、等差数列的单调性：等差数列公差为d ，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。

★2、等差数列的简单性质：略典型例题1．等差数列{}n a 中, 若100,252==n n S S ，则=n S 3225；2.（厦门）在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S 9等于 （ A ） A ．18 B 27 C 36 D 93、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 244、等差数列{a n } 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( C ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷)已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n n ab 为整数的正整数n 的个数是（ D ）A ．2B ．3C ．4D ．56、在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.由a n ＋1＝2a n ＋3，则有a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，即a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以数列{a n ＋3}是以a 1＋3为首项、公比为2的等比数列，即a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.7、已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |的值等于________．如图所示，易知抛物线y ＝x 2－2x ＋m 与y ＝x 2－2x ＋n 有相同的对称轴x ＝1，它们与x 轴的四个交点依次为A 、B 、C 、D .因为x A ＝14，则x D ＝74.又|AB |＝|BC |＝|CD |，所以x B ＝34，x C ＝54. 故|m －n |＝|14×74－34×54|＝12.8、在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________． 设公差为d ，则11(－3＋4d )＝5(－3＋7d )－13，∴d ＝59.∴数列{a n }为递增数列．令a n ≤0，∴－3＋(n －1)·59≤0，∴n ≤325， ∵n ∈N *.∴前6项均为负值，∴S n 的最小值为S 6＝－293.6.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足733n n S n T n +=+，则88a b = 6 . 7．（北京卷）（16）（本小题共13分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d 。

因为366,0a a =-= 所以112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解得110,2a d =-=所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q 因为212324,8b a a a b =++=-=-所以824q -=- 即q =3所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==-- ★等差数列的最值：若{}n a 是等差数列，求前n 项和的最值时， （1）若a 1>0,d>0,且满足10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，前n 项和n S 最大；（2）若a 1<0,d>0，且满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩，前n 项和n S 最小；（3）除上面方法外，还可将{}n a 的前n 项和的最值问题看作n S 关于n 的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n N *∈。

〖例〗已知数列{}n a 是等差数列。

（1）若,(),;m n m n a n a m m n a +==≠求 （2）若,(),.m n m n S n S m m n S +==>求 解答：设首项为1a ，公差为d ， （1）由,m n a n a m ==，1n md m n-==-- ∴()(1)0.m n m a a m n m d n n +=++-=+⨯-=（2）由已知可得11(1)2,(1)2n n m na d m m n ma d -⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩解得221.2()n m mn m n a mn m n d mn ⎧++--=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩1()(1)()()2m n m n m n S m n a d m n +++-∴=++=-+【例】已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *，满足关系式2S n ＝3a n －3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正整数n ，总有T n <1.(1)解 ①当n ＝1时，由2S n ＝3a n －3得，2a 1＝3a 1－3， ∴a 1＝3.②当n ≥2时，由2S n ＝3a n －3得， 2S n －1＝3a n －1－3.两式相减得：2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，即2a n ＝3a n －3a n －1， ∴a n ＝3a n －1，又∵a 1＝3≠0，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝3n . 验证：当n ＝1时，a 1＝3也适合a n ＝3n . ∴{a n }的通项公式为a n ＝3n .(2)证明 ∵b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1＝1log 33n·log 33n ＋1 ＝1(n ＋1)n ＝1n －1n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1<1.等差数列习题1. 设｛a n ｝为等差数列，S n 为｛a n ｝的前n 项和，S 7＝7，S 15＝75，已知T n 为数列｛S nn ｝的前n 项数，求T n ． 2．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，12,633==S a ． （１）求数列{}n a 的通项公式；（２）求nS S S 11121+++Λ． 12.解：设数列｛a n ｝的公差为d ，则S n ＝na 1＋12 n （n －1）d ．∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎨⎧7a 1＋21d ＝7 15a 1＋105d ＝75， ∴⎩⎨⎧a 1＝－2d ＝1∴S n n ＝a 1＋12 ·（n －1）d ＝－2＋12 ·（n －1）∴S n +1n ＋1－S n n ＝12 ∴数列｛S n n ｝是等差数列，其首项为－2，公差为12 ， ∴T n ＝n ·(－2)＋n （n －1）2 ·12 ＝14 n 2－94 n ．14．解：（１）设数列{}n a 的公差为ｄ，由题意得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+1222336211d a d a ，解得 ⎩⎨⎧==221d a ，∴数列{}n a 的通项公式为n d n a a n 2)1(1=-+=，即n a n 2=． （２）∵n a n 2=，∴)1(2)(1+=+=n n a a n S n n ． ∴n S S S 11121+++Λ)1(1321211+++⨯+⨯=n n Λ 111)111()3121()2111(+-=+-++-+-=n n n Λ． B 、等比数列知识点及练习题等比数列及其前n 项和 （一）等比数列的判定 判定方法有： （1）定义法：若11()()n n n n a aq q q q a a +-==≥为非零常数或为非零常数且n 2，则{}n a 是等比数列； （2）中项公式法：若数列{}n a 中，2120()n n n n a a a a n N *++≠=∈g 且，则数列{}n a 是等比数列； （3）通项公式法：若数列通项公式可写成(,0)n n a cq c q n N *=∈均为不为的常数，，则数列{}n a 是等比数列；（4）前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,0,1)n n S k q k k k q =-≠≠g为常数且，则数列{}n a 是等比数列；注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。