等比数列知识点总结与典型例题+答案

等比数列知识点总结与典型例题

2、通项公式:

4、等比数列的前n 项和S n 公式:

(1)当 q 1 时，S n na i

n

⑵当q 1时，5罟

5、等比数列的判定方法:

等比数列

等比中项：a n 2

a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0)

{a n }为等比数列

通项公式：a n

A B n A B 0

{a n }为等比数列

1、等比数列的定义:

a n 1

a n 2,且n N * ， q 称为公比

n 1

a n

ag

a i

B n a i

0,A B

0，首项：a 1;公比：q

推广：a n

a m q

a n

a

m

a n m — \ a m

3、等比中项：

（1）如果a, A, b 成等比数

那么A 叫做a 与b 的等差中项，即: A 2 ab 或

A ab

注意：同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个（

（2）数列a n 是等比数列

2 a n a n 1

a

q q

A'B n

A' ( A, B,A',B'为常数)

(1) 用定义：对任意的

都有a n 1

qa n 或旦口 q （q 为常数，a n 0）

{a n }为

a n

6、等比数列的证明方法:

依据定义：若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ ｛a“｝为等比数列a n 1

7、等比数列的性质：

(2) 对任何m,n N*，在等比数列｛a n｝中，有a. a m q n m。

(3) 若m n s t(m,n,s,t N*)，则a. a m a s a t。特别的，当m n 2k 时，得

2

a n a m a k注：3] a n a2 a n 1 a3a n 2

等差和等比数列比较:

经典例题透析

类型一：等比数列的通项公式

例1．等比数列{a n}中，a1 a9 64, a3 a7 20, 求a11.

思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组，解出a i和q，可得an ；或注意到下标1 9 3 7，可以利用性质可求出a3、a y，再求a ii.

总结升华：

①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计

算量；

②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.

举一反三：

【变式1 ] {an}为等比数列，a仁3，a9=768,求a6。

【变式2] {an}为等比数列，an>0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。

【变式3]已知等比数列{a n}，若a1 a2 a3 7 , a^a s 8，求a n。

类型二：等比数列的前 n 项和公式

例2.设等比数列｛an ｝的前n 项和为Sn ,若S3+S6=2S9求数列的公比

类型三：等比数列的性质

例3.等比数列｛a .｝中，若a s a 6 9,求Iog 3a 1 Iog 3 a ?…Iog 3昕. 举一反三：

【变式1 ］正项等 比数列｛a n ｝中，若al • a100=100;则

Iga1+lga2+ ....... +lga100= ____________ .

【变式2］在8

和27

之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入

3 2

的三个数的乘积为 _________ 。

q.

举一反三: 【变式

求等比数列1,鳥丄的前6项和

【变式2】

已知：｛an ｝为等比数列，a1a2a3=27, S3=13, 求S5. 【变式3 ] 在等比数列｛a n ｝中，a 1 a n 66 , a 2 a n 1 128 , S n

126，求 n 禾口 q 。

类型四：等比数列前n项和公式的性质

例4.在等比数列｛a n｝中，已知S n 48 , S2n 60,求S an。

思路点拨：等差数列中也有类似的题目我们仍然采用等差数列的解决

办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，....... ，第n 个k项和仍然成等比数列。

举一反三:

【变式1 ］等比数列｛a n｝中，公比q=2, S4=1,则S8= ___________

【变式2］已知等比数列｛a n｝的前n项和为Sn,且S10=10, S20=40, 求:

S30=?

【变式3］等比数列｛a n｝的项都是正数，若Sn=80, S2n=6560，前n项中

最大的一项为54，求n.

【变式 4 】等比数列{a n} 中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=

__________________ .

【变式5】等比数列{a n} 中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9 的值。

类型五：等差等比数列的综合应用

例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32 ，则成等差数列. 若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列. 求原来的三个数.

思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提. 考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式