等比数列知识点总结与典型例题+答案
高中数学选择性必修二 4 3 1 1等比数列的概念和通项公式(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
4.3.1.1等比数列的概念和通项公式知识点一 等比数列的概念(1)文字语言:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q ≠0)表示. (2)符号语言:a n +1a n =q (q 为常数,n ∈N *)【重点总结】(1)由等比数列的定义知,数列除末项外的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此公比也不为0,由此可知,若数列中有“0”项存在,则该数列不可能是等比数列.(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”,同时注意公比是每一项与其前一项之比,前后次序不能颠倒.(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一,一定不能把“同”字省略.要点二 等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项. 【重点总结】(1)若G 是a 与b 的等比中项,则G a =bG,所以G 2=ab ,G =±ab.(2)与“任意两个实数a ,b 都有唯一的等差中项A =a +b2”不同,只有当a 、b 同号时a 、b 才有等比中项,并且有两个等比中项,分别是ab 与-ab ;当a ,b 异号时没有等比中项.(3)在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项. 要点三 等比数列的通项公式设等比数列{a n }的公比为q ,则这个等比数列的通项公式是a n =11n a q (a 1,q ≠0且n ∈N *). 【重点总结】(1)已知首项a 1和公比q ,可以确定一个等比数列. (2)在公式a n =a 1q n -1中,有a n ,a 1,q ,n 四个量,已知其中任意三个量,可以求得第四个量,其中a 1,q 为两个基本量.(3)对于等比数列{a n },若q<0,则{a n }中正负项间隔出现,如数列1,-2,4,-8,16,…;若q>0,则数列{a n }各项同号.从而等比数列奇数项必同号;偶数项也同号.【基础自测】1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若一个数列为{a n },且满足a na n -1=q (n ≥2,q 为不等于0的常数),则这个数列是等比数列.( )(2)在等比数列{a n }中,若已知任意两项的值,则可以求出首项、公比和数列任一项的值.( ) (3)G 为a ,b 的等比中项⇔G 2=ab .( )(4)若一个数列从第二项开始,每一项都是它前后两项的等比中项,则这个数列是等比数列.( ) 【答案】(1)√(2)√(3)×(4)× 2.(多选题)下列数列不是等比数列的是( )A .2,22,3×22,… B.1a ,1a 2,1a3,…C .s -1,(s -1)2,(s -1)3,…D .0,0,0,… 【答案】ACD【解析】A 中,222≠3×2222,A 不是等比数列;B 中,1a 21a =1a 31a 2=…,B 是等比数列;C 中,当s =1时,不是等比数列;当s ≠1时,是等比数列,所以C 不是等比数列;D 显然不是等比数列.故选ACD. 3.已知{a n }是等比数列,a 1=1,a 4=22,则a 3=( ) A .±2 B .2 C .-2 D .4 【答案】B【解析】设等比数列{a n }的公比为q ,则有1×q 3=22=(2)3,∴q =2,∴a 3=a 4q=2,故选B.4.已知等比数列{a n }中,a 1=-2,a 3=-8,则a n =________. 【答案】-2n 或(-2)n【解析】∵a 1=-2,a 3=-8,∴a 3a 1=q 2=-8-2=4,∴q =±2,∴a n =(-2)·2n -1或a n =(-2)·(-2)n -1,即a n=-2n 或a n =(-2)n .题型一 等比数列通项公式的求法及应用 探究1 基本量的计算 【例1】在等比数列{a n }中 (1)a 4=2,a 7=8,求a n ;(2)a 2+a 5=18,a 3+a 6=9,a n =1,求n .【解析】(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4=a 1q 3,a 7=a 1q 6,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3=2, ①a 1q 6=8, ② 由②①得q 3=4,从而q =34,而a 1q 3=2, 于是a 1=2q 3=12,所以a n =a 1q n -1=22-53n .(2)方法一:由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2+a 5=a 1q +a 1q 4=18, ①a 3+a 6=a 1q 2+a 1q 5=9, ② 由②①得q =12,从而a 1=32.又a n =1,所以32×⎝⎛⎭⎫12n -1=1,即26-n =20,所以n =6. 方法二:因为a 3+a 6=q (a 2+a 5),所以q =12.由a 1q +a 1q 4=18,得a 1=32.由a n =a 1q n -1=1,得n =6. 【重点小结】 (1)由a 7a 4=q 3便可求出q ,再求出a 1,则a n =a 1·q n -1.(2)两个条件列出关于a 1,q 的方程组,求出a 1,q 后再由a n =1求n ;也可以直接先由q =a 3+a 6a 2+a 5入手.【方法归纳】等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件,建立关于a 1,q 的方程组,求出a 1,q 后再求a n ,这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系,直接求出q 后,再求a 1,最后求a n ,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.探究2 等比数列的实际应用【例2】计算机的价格不断降低,若每台计算机的价格每年降低13,现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为( )A .300元B .900元C .2 400元D .3 600元 【答案】C【解析】降低后的价格构成以23为公比的等比数列,则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×⎝⎛⎭⎫233=2 400(元). 【方法技巧】关于等比数列模型的实际应用题,先构造等比数列模型,确定a 1和q ,然后用等比数列的知识求解. 【跟踪训练1】(1)在等比数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 2=2,则公比q 等于( ) A .-2 B .1或-2 C .1 D .1或2 【答案】B【解析】a 3+a 4=a 2q +a 2q 2=2q +2q 2=4, 即q 2+q -2=0,解得q =1或q =-2,故选B.(2)在等比数列{a n }中,a n >0,已知a 1=6,a 1+a 2+a 3=78,则a 2等于( ) A .12 B .18 C .24 D .36 【答案】B【解析】设公比为q ,由已知得6+6q +6q 2=78, 即q 2+q -12=0解得q =3或q =-4(舍去). ∴a 2=6q =6×3=18.故选B.(3)某林场的树木每年以25%的增长率增长,则第10年末的树木总量是今年的________倍. 【答案】1.259【解析】设这个林场今年的树木总量是m ,第n 年末的树木总量为a n ,则a n +1=a n +a n ×25%=1.25a n . 则a n +1a n=1.25,则数列{a n }是公比q =1.25的等比数列. 则a 10=a 1q 9=1.259 m.所以a 10a 1=1.259.题型二 等比中项【例3】已知等比数列的前三项和为168,a 2-a 5=42,求a 5,a 7的等比中项.【解析】设该等比数列的公比为q ,首项为a 1, 因为a 2-a 5=42,所以q ≠1,由已知,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1q +a 1q 2=168a 1q -a 1q 4=42, 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1+q +q 2)=168a 1q (1-q 3)=42①②因为1-q 3=(1-q )(1+q +q 2),所以由②除以①,得q (1-q )=14.所以q =12.所以a 1=4212-⎝⎛⎭⎫124=96.若G 是a 5,a 7的等比中项,则应有G 2=a 5a 7=a 1q 4·a 1q 6=a 21q 10=962×⎝⎛⎭⎫1210=9. 所以a 5,a 7的等比中项是±3. 【方法归纳】(1)首项a 1和q 是构成等比数列的基本量,从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法. (2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个,它们互为相反数,而异号的两个数没有等比中项. 【跟踪训练2】如果-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,那么( ) A .b =3,ac =9 B .b =-3,ac =9 C .b =3,ac =-9 D .b =-3,ac =-9【答案】B【解析】∵-1,a ,b ,c ,-9成等比数列, ∴a 2=(-1)×b ,b 2=(-1)×(-9)=9 ∴b <0,∴b =-3.又b 2=ac ,∴ac =9.故选B.题型三 等比数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =13(a n -1)(n ∈N *)(1)求a 1,a 2;(2)求证:数列{a n }是等比数列.【解析】(1)当n =1时,S 1=13(a 1-1)=a 1,解得:a 1=-12,当n =2时,S 2=13(a 2-1)=a 1+a 2,解得a 2=14.(2)证明:当n ≥2时,a n =S n -S n -1=13(a n -1)-13(a n -1-1),得a n a n -1=-12.又a 1=-12,所以{a n }是首项为-12,公比为-12的等比数列.【变式探究1】将本例中条件换为“数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +1”,求证:{a n +1}成等比数列,并求a n .【解析】由a n +1=2a n +1,∴a n +1+1=2(a n +1),∴a n +1+1a n +1=2,∴{a n +1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴a n +1=2×2n -1=2n , ∴a n =2n -1.【变式探究2】将本例中的条件换为“数列{a n }中,a 1=56,a n +1=13a n +⎝⎛⎭⎫12n +1”,求a n . 【解析】令a n +1-A ·⎝⎛⎭⎫12n +1=13⎣⎡⎦⎤a n -A ·⎝⎛⎭⎫12n ,则a n +1=13a n +A 3·⎝⎛⎭⎫12n +1. 由已知条件知A3=1,得A =3,所以a n +1-3×⎝⎛⎭⎫12n +1=13⎣⎡⎦⎤a n -3×⎝⎛⎭⎫12n . 又a 1-3×⎝⎛⎭⎫121=-23≠0, 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n -3×⎝⎛⎭⎫12n 是首项为-23,公比为13的等比数列. 于是a n -3×⎝⎛⎭⎫12n =-23×⎝⎛⎭⎫13n -1,故a n =3×⎝⎛⎭⎫12n -2×⎝⎛⎭⎫13n . 【方法归纳】判定数列是等比数列的常用方法(1)定义法:a n +1a n =q (q 是常数)或a na n -1=q (q 是常数,n ≥2)⇔{a n }为等比数列.(2)等比中项法:a 2n +1=a n ·a n +2(a n ≠0,n ∈N *)⇔{a n }为等比数列.(3)通项公式法:a n =a 1q n -1(其中a 1,q 为非零常数,n ∈N *)⇔{a n }为等比数列. 【易错辨析】忽略等比数列各项的符号规律致错【例5】在等比数列{a n }中,a 5=1,a 9=81,则a 7=( ) A .9或-9 B .9 C .27或-27 D .-27 【答案】B【解析】由等比中项的性质得a 27=a 5a 9=81,∴a 7=±9,由于等比数列中的奇数项的符号相同,所以a 7=9,故选B. 【易错警示】 1. 出错原因没有弄清等比数列各项的符号规律,直接由等比中项得a 7=±9,错选A. 2. 纠错心得在等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同.解此类题时要小心谨慎,以防上当.一、单选题1.已知等比数列{}n a 中,3a 是1a ,2a 的等差中项,则数列{}n a 的公比为( ) A .12-或1B .12-C .12D .1【答案】A【分析】首先根据题意得到3122a a a =+,从而得到2210q q --=,再解方程即可. 【解析】由题知:3122a a a =+,所以221q q =+,即2210q q --=,解得12q =-或1q =.故选:A2.已知等比数列{}n a 满足2512,4a a ==,则公比q =( ) A .12-B .12C .2-D .2【答案】B 【分析】由352a a q =即可求出.【解析】 352a a q =,即3124q =,解得12q =. 故选:B .3.已知{}n a 为等比数列,n S 是它的前n 项和.若2312a a a ⋅=,且4a 与72a 的等差中项为54,则5S =( ) A .29 B .31 C .33 D .35【答案】B 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ,由已知可得q 和1a ,代入等比数列的求和公式即可 【解析】因为 2312a a a =23114a q a a ==,42a ∴=,3474452224a a a a q +=⨯=+, 所以11,162q a ==,551161231112S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-,故选:B.4.《莱茵德纸草书》(RhindPapyrus )是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目:把93个面包分给5个人,使每个人所得面包个数成等比数列,且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三,则最大的一份是( )个. A .12 B .24 C .36 D .48【答案】D 【分析】设等比数列{}n a 的首项为10a >,公比1q >,根据题意,由()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩求解. 【解析】设等比数列{}n a 的首项为10a >,公比1q >,由题意得:123123453493a a a a a a a a ⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩,即()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩, 解得132a q =⎧⎨=⎩,所以45148a a q ==,故选:D5.在等比数列{}n a 中,若1614a a a ⋅⋅为定值,n T 为数列{}n a 的前n 项积,则下列各数为定值的是( ) A .11T B .12TC .13TD .14T【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式用1,a q 表示出1614a a a ,然后再分别表示出各选项中的积进行判断. 【解析】设公比为q ,则()35133186161411111a a a a a q a q a q a q =⋅==为定值,即61a q 为定值,(1)112(1)211111n n n n n n n T a a q a qa qa q--+++-=⋅==,11555111111()T a q a q ==,不是定值,1211126621211T a q a q ⎛⎫== ⎪⎝⎭,不是定值,13786131311()T a q a q ==,是定值,1413131414221411()T a q a q ⨯==,不是定值.故选:C .6.在各项都为正数的数列{}n a 中,首项12,n a S =为数列{}n a 的前n 项和,且()2121(42)0n n n S S a n ----=≥,则10S =( ) A .1022 B .1024C .2046D .2048【答案】C 【分析】当2n ≥时,1n n n a S S -=-,故可以得到()()11220n n n n a a a a --+-=,因为120n n a a -+>,进而得到120n n a a --=,所以{}n a 是等比数列,进而求出102046S = 【解析】由()2121(42)0n n n S S a n ----=≥,得22140nn a a --=,得()()11220n n n n a a a a --+-=, 又数列{}n a 各项均为正数,且12a =, ∴120n n a a -+>,∴120n n a a --=,即12nn a a -= ∴数列{}n a 是首项12a =,公比2q 的等比数列,其前n 项和()12122212n n nS +-==--,得102046S =,故选:C.7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若21n n S a =-,则202120221S a +=( )A .2B .1C .12D .13【答案】B 【分析】由21n n S a =-,根据n a 与n S 的关系,得出{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,结合等比数列的求和公式,即可求解. 【解析】由数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-,当1n =时,可得11121a S a ==-,所以11a =;当2n ≥时,()112121n n n n n a S S a a --=-=---,所以12n n a a -=, 所以{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,所以202120212021122112S -==--,202120222a =,所以2021202211S a +=. 故选:B.8.在等比数列{}n a 中,()23122a a a a +=+,则数列{}n a 的公比q =( ) A .2 B .1 C .1-或1 D .1-或2【答案】D 【分析】用1,a q 表示出已知等式后可得结论. 【解析】由题意知()()211210a q q a q +-+=,所以()()120q q +-=,所以1q =-或2q.故选:D .二、多选题9.(多选题)已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ,则下列说法一定成立的是( ) A .若30a >,则20210a > B .若40a >,则20200a > C .若30a >,则20210S > D .若30a >,则20210S <【答案】ABC【分析】根据等比数列通项式,前n 项和n S 代入即可得出答案. 【解析】设数列{}n a 的公比为q ,当30a >,则2018202130a a q=>,A 正确; 当40a >,则2016202040a a q=>,B 正确. 又当1q ≠时,()20211202111a q qS -=-,当1q <时,2021202110,10,0q qS ->->∴>,当01q <<时,2021202110,10,0q q S ->->∴>,当1q >时,2021202110,10,0q qS -<-<∴>当1q =时,2021120210S a =>,故C 正确,D 不正确. 故选:ABC10.(多选题)若数列{a n }是等比数列,则下面四个数列中也是等比数列的有( ) A .{ca n }(c 为常数) B .{a n +a n +1}C .{a n ·a n +1)D .{}3n a【答案】CD 【分析】A. 由c =0判断;B.q =-1时判断;CD.由等比数列的定义判断. 【解析】当c =0时,{ca n }不是等比数列,故A 错误;当数列{a n }的公比q =-1时,a n +a n +1=0,{a n +a n +1}不是等比数列,故B 错误; 由等比数列的定义,选项CD 中的数列是等比数列,故CD 正确. 故选:CD11.设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,n T 是{}n a 的前n 项之积,227a =,369127a a a ⋅⋅=,则当n T 最大时,n 的值为( )A .4B .5C .6D .7【答案】AB【分析】 设等比数列{}n a 的公比为q ,求出q 的值,进而可求得数列{}n a 的通项公式,解不等式1n a ≥,求出n 的取值范围,即可得解.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,则33696127a a a a ⋅⋅==,可得613a =,13q ∴==,所以,225212733n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭, 令531n n a -=≥,解得5n ≤,故当n T 最大时,4n =或5.故选:AB.第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12.在等比数列{}n a 中,1521,8,n a a a S ==是数列{}n a 的前n 项和,若63k S =,则k =________.【答案】6【分析】由1521,8a a a ==,解得2q求解. 【解析】在等比数列{}n a 中,设公比为q ,因为1521,8a a a ==,所以48,0q q q =≠,解得2q, 所以126312kk S -==-,解得6k =, 故答案为:613.在正项等比数列{}n a 中,若13a 、312a 、22a 成等差数列,则2021202020232022a a a a -=-________.【答案】19【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ,则0q >,根据已知条件求出q 的值,再结合等比数列的基本性质可求得结果.【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ,则0q >,因为13a 、312a 、22a 成等差数列,则31232a a a =+,即211132a q a a q =+, 可得2230q q --=,0q >,解得3q =, 因此,()20212020202120202202320222021202019a a a a a a q a a --==--. 故答案为:19. 14.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,若241,4n n a S b a a +==,数列{}n a 的通项公式为___________. 【答案】21()2n n a -= 【分析】当1n =时,求得102b a =>,再由n n S a b =-+,得到11(2)n n S a b n --=-+≥, 相减可得120n n a a --=,结合等比数列的通项公式,求得b ,进而求得数列的通项公式.【解析】由题意,正项数列{}n a 满足241,4n n a S b a a +==, 当1n =时,可得1111a S a a b =++=,则102b a =>, 由n n S a b =-+,则11(2,)n n S a b n n N +--=-+≥∈,两式相减可得120n n a a --=,所以1(22)1,n n n n N a a +-≥=∈, 即数列{}n a 为公比为12的等比数列, 所以2416,4b a a b ==,所以2441461a b a b =⨯=,解得4b =, 所以122b a ==,所以数列{}n a 的通项公式为1121112()()22n n n n a a q ---==⨯=.故答案为:21()2n n a -=.四、解答题15.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,12a =,172n n S a ++=,2211log log n n n b a a +=⋅,n T 为数列{}n b 的前n 项和.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若2022n m T >对所有*n N ∈恒成立,求满足条件m 的最小整数值.【答案】(1)322n n a -= (2)674【分析】(1)利用递推公式,结合前n 项和与第n 项的关系、等比数列的定义进行求解即可; (2)根据对数的运算性质,结合裂项相消法进行求解即可.(1)由题意172n n S a ++=,当2n ≥时,172n n S a -+=,两式相减得:17n n n a a a +=-,即:()182n n a a n +=≥,所以2n ≥时,{}n a 为等比数列又因为1n =时,217272216a S =+=⨯+=, 所以218a a =, 所以,对所有*n N ∈,{}n a 是以2为首项,8为公比的等比数列,所以132282n n n a --=⨯=;(2) 由题知:32312212211log log log 2log 2n n n n n b a a -++==⋅⋅ ()()13231n n =-+11133231n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭所以12111111111134473231331n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭所以111202220221674167433131n T n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以满足2022n m T >恒成立的最小m 值为674.16.等差数列{}n a 中,13a =,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 各项均为正数,11b =,且2212b S +=,{}n b 的公比22S q b =. (1)求n a 与n b ;(2)求12111nS S S +++. 【答案】(1)33(1)3n a n n =+-=,13n n b -=(2)()231n n + 【分析】(1)由{}n b 的公比22S q b =及2212b S +=可解得3q =,由11b =则n b 可求,又由22S q b =可得29S =,26a =,213d a a =-=,则n a 可求;(2)由(1)可得3(1)2n n n S +=,则122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,故由裂项相消法可求12111nS S S +++. (1) 等差数列{}n a 中,13a =,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 各项均为正数,11b =,且2212b S +=,{}n b 的公比22S q b =,222212S q b b S ⎧=⎪⎨⎪+=⎩,解得3q =,13n n b -=. {}n b 各项均为正数,∴3q =,13n n b -=.由23b =,得29S =,26a =,213d a a =-=,∴()3313n a n n =+-=. (2)3(1)3(1)322n n n n n S n -+=+=, 122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,12111211111132231n S S S n n ⎛⎫+++=-+-++- ⎪+⎝⎭ 2121313(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17.已知数列{a n }中,a 1=4,a n +1=2a n -5,求证{a n -5}是等比数列.【答案】证明见解析【分析】由a n +1-5=2(a n -5)结合等比数列的定义证明即可.【解析】证明:由a n +1=2a n -5得a n +1-5=2(a n -5). 又a 1-5=-1≠0,故数列{a n -5}是首项为-1,公比为2的等比数列.。
等比数列典型例题及详细解答
等比数列典型例题及详细解答(总11页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母__q __表示(q ≠0).2.等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则它的通项a n =a 1·qn -1. 3.等比中项若G 2=a ·b _(ab ≠0),那么G 叫做a 与b 的等比中项.4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m ·q n -m (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等比数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k ·a l =a m ·a n .(3)若{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n },{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列. 5.等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0),其前n 项和为S n ,当q =1时,S n =na 1;当q ≠1时,S n =a 11-q n 1-q =a 1-a n q 1-q. 6.等比数列前n 项和的性质公比不为-1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为__q n __.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n +1=qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( × )(2)G 为a ,b 的等比中项G 2=ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列,b n =a 2n -1+a 2n ,则数列{b n }也是等比数列.( × )(4)如果数列{a n }为等比数列,则数列{ln a n }是等差数列.( × )(5)数列{a n }的通项公式是a n =a n,则其前n 项和为S n =a 1-a n1-a .( × ) (6)数列{a n }为等比数列,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等比数列.( × )1.(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7等于( )A .21B .42C .63D .84答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ,则由a 1=3,a 1+a 3+a 5=21得3(1+q 2+q 4)=21,解得q 2=-3(舍去)或q 2=2,于是a 3+a 5+a 7=q 2(a 1+a 3+a 5)=2×21=42,故选B.2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3,S 4=15,则S 6等于( )A .31B .32C .63D .64答案 C解析 根据题意知,等比数列{a n }的公比不是-1.由等比数列的性质,得(S 4-S 2)2=S 2·(S 6-S 4),即122=3×(S 6-15),解得S 6=63.故选C.3.等比数列{a n }中,a 4=2,a 5=5,则数列{lg a n }的前8项和等于( )A .6B .5C .4D .3答案 C解析 数列{lg a n }的前8项和S 8=lg a 1+lg a 2+…+lg a 8=lg(a 1·a 2·…·a 8)=lg(a 1·a 8)4=lg(a 4·a 5)4=lg(2×5)4=4.4.(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则数列{a n }的前n 项和等于________. 答案 2n -1解析 由等比数列性质知a 2a 3=a 1a 4,又a 2a 3=8,a 1+a 4=9,所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ a 1a 4=8,a 1+a 4=9,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1,a 4=8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=8,a 4=1,又∵数列{a n }为递增数列, ∴a 1=1,a 4=8,从而a 1q 3=8,∴q =2.∴数列{a n }的前n 项和为S n =1-2n1-2=2n -1. 5.(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________. 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ,由题意知,243=9×q 3,q 3=27,∴q =3.∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81. 题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{a n }中,若a 4-a 2=6,a 5-a 1=15,则a 3=________.答案 (1)B (2)4或-4解析 (1)显然公比q ≠1,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3=1,a 11-q 31-q =7,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=4,q =12,或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=9q =-13(舍去), ∴S 5=a 11-q 51-q =41-1251-12=314. (2)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0), 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3-a 1q =6,a 1q 4-a 1=15,两式相除,得q 1+q 2=25, 即2q 2-5q +2=0,解得q =2或q =12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1,q =2,或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-16,q =12.故a 3=4或a 3=-4. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.(1)在正项等比数列{a n }中,a n +1<a n ,a 2·a 8=6,a 4+a 6=5,则a 5a 7等于( ) A.56B.65C.23D.32(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n =________. 答案 (1)D (2)3n -1解析 (1)设公比为q ,则由题意知0<q <1, 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 8=a 4·a 6=6,a 4+a 6=5,得a 4=3,a 6=2, 所以a 5a 7=a 4a 6=32. (2)由3S 1,2S 2,S 3成等差数列知,4S 2=3S 1+S 3,可得a 3=3a 2,所以公比q =3,故等比数列通项a n =a 1q n -1=3n -1. 题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n +1=4a n +2.(1)设b n =a n +1-2a n ,证明:数列{b n }是等比数列;(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 由a 1=1及S n +1=4a n +2,有a 1+a 2=S 2=4a 1+2.∴a 2=5,∴b 1=a 2-2a 1=3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n +1=4a n +2, ①S n =4a n -1+2 n ≥2, ② ①-②,得a n +1=4a n -4a n -1 (n ≥2),∴a n +1-2a n =2(a n -2a n -1) (n ≥2).∵b n =a n +1-2a n ,∴b n =2b n -1 (n ≥2),故{b n }是首项b 1=3,公比为2的等比数列.(2)解 由(1)知b n =a n +1-2a n =3·2n -1,∴a n +12n +1-a n 2n =34, 故{a n 2n }是首项为12,公差为34的等差数列. ∴a n 2n =12+(n -1)·34=3n -14, 故a n =(3n -1)·2n -2.引申探究例2中“S n +1=4a n +2”改为“S n +1=2S n +(n +1)”,其他不变探求数列{a n }的通项公式.解 由已知得n ≥2时,S n =2S n -1+n .∴S n +1-S n =2S n -2S n -1+1,∴a n +1=2a n +1,∴a n +1+1=2(a n +1),又a 1=1,当n =1时上式也成立,故{a n +1}是以2为首项,以2为公比的等比数列,∴a n +1=2·2n -1=2n ,∴a n =2n -1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n =1时的情况进行验证.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1+2a 2+3a 3+…+na n =(n -1)S n +2n (n ∈N *).(1)求a 2,a 3的值;(2)求证:数列{S n +2}是等比数列.(1)解 ∵a 1+2a 2+3a 3+…+na n =(n -1)S n +2n (n ∈N *),∴当n =1时,a 1=2×1=2;当n =2时,a 1+2a 2=(a 1+a 2)+4,∴a 2=4;当n =3时,a 1+2a 2+3a 3=2(a 1+a 2+a 3)+6,∴a 3=8.综上,a 2=4,a 3=8.(2)证明 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =(n -1)S n +2n (n ∈N *),①∴当n ≥2时,a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1=(n -2)S n -1+2(n -1).②①-②得na n =(n -1)S n -(n -2)S n -1+2=n (S n -S n -1)-S n +2S n -1+2=na n -S n +2S n -1+2.∴-S n +2S n -1+2=0,即S n =2S n -1+2,∴S n +2=2(S n -1+2).∵S 1+2=4≠0,∴S n -1+2≠0,∴S n +2S n -1+2=2,故{S n +2}是以4为首项,2为公比的等比数列.题型三 等比数列的性质及应用例3 (1)在等比数列{a n }中,各项均为正值,且a 6a 10+a 3a 5=41,a 4a 8=5,则a 4+a 8=________.(2)等比数列{a n }的首项a 1=-1,前n 项和为S n ,若S 10S 5=3132,则公比q =________. 答案 (1)51 (2)-12解析 (1)由a 6a 10+a 3a 5=41及a 6a 10=a 28,a 3a 5=a 24, 得a 24+a 28=41.因为a 4a 8=5,所以(a 4+a 8)2=a 24+2a 4a 8+a 28=41+2×5=51.又a n >0,所以a 4+a 8=51.(2)由S 10S 5=3132,a 1=-1知公比q ≠±1, 则可得S 10-S 5S 5=-132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5,S 10-S 5,S 15-S 10成等比数列,且公比为q 5,故q 5=-132,q =-12. 思维升华 (1)在等比数列的基本运算问题中,一般利用通项公式与前n 项和公式,建立方程组求解,但如果能灵活运用等比数列的性质“若m +n =p +q ,则有a m a n =a p a q ”,可以减少运算量.(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质,例如等比数列S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…成等比数列,公比为q k (q ≠-1).已知等比数列{a n }的公比为正数,且a 3a 9=2a 25,a 2=2,则a 1等于( )A.12B.22C. 2 D .2(2)等比数列{a n }共有奇数项,所有奇数项和S 奇=255,所有偶数项和S 偶=-126,末项是192,则首项a 1等于( )A .1B .2C .3D .4答案 (1)C (2)C 解析 (1)由等比数列的性质得a 3a 9=a 26=2a 25, ∵q >0,∴a 6=2a 5,q =a 6a 5=2,a 1=a 2q =2,故选C. (2)设等比数列{a n }共有2k +1(k ∈N *)项,则a 2k +1=192,则S 奇=a 1+a 3+…+a 2k -1+a 2k +1=1q(a 2+a 4+…+a 2k )+a 2k +1=1q S 偶+a 2k +1=-126q +192=255,解得q =-2,而S 奇=a 1-a 2k +1q 21-q 2=a 1-192×-221--22=255,解得a 1=3,故选C.12.分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),且-2S 2,S 3,4S 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:S n +1S n ≤136(n ∈N *). 思维点拨 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式;(2)求出前n 项和,根据函数的单调性证明.规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ,因为-2S 2,S 3,4S 4成等差数列,所以S 3+2S 2=4S 4-S 3,即S 4-S 3=S 2-S 4,可得2a 4=-a 3,于是q =a 4a 3=-12.[2分] 又a 1=32,所以等比数列{a n }的通项公式为 a n =32×⎝⎛⎭⎫-12n -1=(-1)n -1·32n .[3分] (2)证明 由(1)知,S n =1-⎝⎛⎭⎫-12n , S n +1S n =1-⎝⎛⎭⎫-12n+11-⎝⎛⎭⎫-12n=⎩⎪⎨⎪⎧ 2+12n 2n +1,n 为奇数,2+12n 2n -1,n 为偶数.[6分]当n 为奇数时,S n +1S n随n 的增大而减小, 所以S n +1S n ≤S 1+1S 1=136.[8分] 当n 为偶数时,S n +1S n随n 的增大而减小, 所以S n +1S n ≤S 2+1S 2=2512.[10分] 故对于n ∈N *,有S n +1S n ≤136.[12分] 温馨提醒 (1)分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有①已知S n 与a n 的关系,要分n =1,n ≥2两种情况.②等比数列中遇到求和问题要分公比q =1,q ≠1讨论.③项数的奇、偶数讨论.④等比数列的单调性的判断注意与a 1,q 的取值的讨论.(2)数列与函数有密切的联系,证明与数列有关的不等式,一般是求数列中的最大项或最小项,可以利用图象或者数列的增减性求解,同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.[方法与技巧]1.已知等比数列{a n }(1)数列{c ·a n }(c ≠0),{|a n |},{a 2n },{1a n}也是等比数列. (2)a 1a n =a 2a n -1=…=a m a n -m +1.2.判断数列为等比数列的方法(1)定义法:a n +1a n =q (q 是不等于0的常数,n ∈N *)数列{a n }是等比数列;也可用a n a n -1=q (q 是不等于0的常数,n ∈N *,n ≥2)数列{a n }是等比数列.二者的本质是相同的,其区别只是n 的初始值不同.(2)等比中项法:a 2n +1=a n a n +2(a n a n +1a n +2≠0,n ∈N *)数列{a n }是等比数列.[失误与防范]1.特别注意q =1时,S n =na 1这一特殊情况.2.由a n +1=qa n ,q ≠0,并不能立即断言{a n }为等比数列,还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对q =1与q ≠1分类讨论,防止因忽略q =1这一特殊情形而导致解题失误.4.等比数列性质中:S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 也成等比数列,不能忽略条件q ≠-1.A 组 专项基础训练(时间:35分钟)1.已知等比数列{a n }中,a 2+a 3=1,a 4+a 5=2,则a 6+a 7等于( )A .2B .2 2C .4D .4 2 答案 C解析 因为a 2+a 3,a 4+a 5,a 6+a 7成等比数列,a 2+a 3=1,a 4+a 5=2,所以(a 4+a 5)2=(a 2+a 3)(a 6+a 7),解得a 6+a 7=4.2.等比数列{a n }满足a n >0,n ∈N *,且a 3·a 2n -3=22n (n ≥2),则当n ≥1时,log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 2n -1等于( )A .n (2n -1)B .(n +1)2C .n 2D .(n -1)2答案 A解析 由等比数列的性质,得a 3·a 2n -3=a 2n =22n ,从而得a n =2n . 方法一 log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 2n -1=log 2[(a 1a 2n -1)·(a 2a 2n -2)·…·(a n -1a n +1)a n ]=log 22n (2n -1)=n (2n -1). 方法二 取n =1,log 2a 1=log 22=1,而(1+1)2=4,(1-1)2=0,排除B ,D ;取n =2,log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3=log 22+log 24+log 28=6,而22=4,排除C ,选A.3.在正项等比数列{a n }中,已知a 1a 2a 3=4,a 4a 5a 6=12,a n -1a n a n +1=324,则n 等于( )A .12B .13C .14D .15答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ,由a 1a 2a 3=4=a 31q 3与a 4a 5a 6=12=a 31q 12,可得q 9=3,a n -1a n a n +1=a 31q 3n -3=324, 因此q 3n -6=81=34=q 36,所以n =14,故选C.4.若正项数列{a n }满足lg a n +1=1+lg a n ,且a 2 001+a 2 002+…+a 2 010=2 016,则a 2 011+a 2 012+…+a 2 020的值为( )A .2 015·1010B .2 015·1011C .2 016·1010D .2 016·1011 答案 C解析 ∵lg a n +1=1+lg a n ,∴lg a n +1a n=1, ∴a n +1a n=10,∴数列{a n }是等比数列, ∵a 2 001+a 2 002+…+a 2 010=2 016,∴a 2 011+a 2 012+…+a 2 020=1010(a 2 001+a 2 002+…+a 2 010)=2 016×1010.5.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,若存在m ∈N *,满足S 2m S m =9,a 2m a m =5m +1m -1,则数列{a n }的公比为( ) A .-2 B .2 C .-3 D .3答案 B解析 设公比为q ,若q =1,则S 2m S m=2, 与题中条件矛盾,故q ≠1.∵S 2m S m =a 11-q 2m1-q a 11-qm 1-q=q m +1=9,∴q m =8. ∴a 2m a m =a 1q 2m -1a 1q m -1=q m =8=5m +1m -1, ∴m =3,∴q 3=8,∴q =2.6.等比数列{a n }中,S n 表示前n 项和,a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1,则公比q 为________. 答案 3解析 由a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1得a 4-a 3=2(S 3-S 2)=2a 3,∴a 4=3a 3,∴q =a 4a 3=3. 7.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,公比不为1.若a 1=1,则对任意的n ∈N *,都有a n +2+a n +1-2a n =0,则S 5=________.答案 11解析 由题意知a 3+a 2-2a 1=0,设公比为q ,则a 1(q 2+q -2)=0.由q 2+q -2=0解得q =-2或q =1(舍去),则S 5=a 11-q 51-q=1--253=11. 8.已知数列{a n }的首项为1,数列{b n }为等比数列且b n =a n +1a n,若b 10·b 11=2,则a 21=________. 答案 1 024解析 ∵b 1=a 2a 1=a 2,b 2=a 3a 2, ∴a 3=b 2a 2=b 1b 2,∵b 3=a 4a 3, ∴a 4=b 1b 2b 3,…,a n =b 1b 2b 3·…·b n -1,∴a 21=b 1b 2b 3·…·b 20=(b 10b 11)10=210=1 024.9.数列{b n }满足:b n +1=2b n +2,b n =a n +1-a n ,且a 1=2,a 2=4.(1)求数列{b n }的通项公式;(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)由b n +1=2b n +2,得b n +1+2=2(b n +2),∴b n +1+2b n +2=2,又b 1+2=a 2-a 1+2=4,∴数列{b n +2}是首项为4,公比为2的等比数列.∴b n +2=4·2n -1=2n +1,∴b n =2n +1-2.(2)由(1)知,a n -a n -1=b n -1=2n -2 (n ≥2),∴a n -1-a n -2=2n -1-2 (n >2),…,a 2-a 1=22-2,∴a n -2=(22+23+…+2n )-2(n -1),∴a n =(2+22+23+…+2n )-2n +2=22n -12-1-2n +2=2n +1-2n . ∴S n =41-2n 1-2-n 2+2n 2=2n +2-(n 2+n +4). 10.已知数列{a n }和{b n }满足a 1=λ,a n +1=23a n +n -4,b n =(-1)n (a n -3n +21),其中λ为实数,n 为正整数. (1)证明:对任意实数λ,数列{a n }不是等比数列;(2)证明:当λ≠-18时,数列{b n }是等比数列.证明 (1)假设存在一个实数λ,使{a n }是等比数列,则有a 22=a 1a 3,即⎝⎛⎭⎫23λ-32=λ⎝⎛⎭⎫49λ-449λ2-4λ+9=49λ2-4λ9=0,矛盾. 所以{a n }不是等比数列.(2)b n +1=(-1)n +1[a n +1-3(n +1)+21]=(-1)n +1⎝⎛⎭⎫23a n -2n +14=-23(-1)n ·(a n -3n +21)=-23b n . 又λ≠-18,所以b 1=-(λ+18)≠0.由上式知b n ≠0,所以b n +1b n =-23(n ∈N *). 故当λ≠-18时,数列{b n }是以-(λ+18)为首项,-23为公比的等比数列. B 组 专项能力提升(时间:20分钟)11.设{a n }是各项为正数的无穷数列,A i 是边长为a i ,a i +1的矩形的面积(i =1,2,…),则{A n }为等比数列的充要条件是( )A .{a n }是等比数列B .a 1,a 3,…,a 2n -1,…或a 2,a 4,…,a 2n ,…是等比数列C .a 1,a 3,…,a 2n -1,…和a 2,a 4,…,a 2n ,…均是等比数列D .a 1,a 3,…,a 2n -1,…和a 2,a 4,…,a 2n ,…均是等比数列,且公比相同答案 D解析 ∵A i =a i a i +1,若{A n }为等比数列,则A n +1A n =a n +1a n +2a n a n +1=a n +2a n 为常数,即A 2A 1=a 3a 1,A 3A 2=a 4a 2,….∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n -1,…和a 2,a 4,…,a 2n ,…成等比数列,且公比相等.反之,若奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相等,设为q ,则A n +1A n =a n +2a n=q ,从而{A n }为等比数列. 12.若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=________. 答案 50解析 因为a 10a 11+a 9a 12=2a 10a 11=2e 5,所以a 10a 11=e 5.所以ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=ln(a 1a 2…a 20)=ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]=ln(a 10a 11)10=10ln(a 10a 11)=10ln e 5=50.13.数列{a n }满足a 1=2且对任意的m ,n ∈N *,都有a n +m a m=a n ,则a 3=________;{a n }的前n 项和S n =________.答案 8 2n +1-2解析 ∵a n +m a m=a n , ∴a n +m =a n ·a m ,∴a 3=a 1+2=a 1·a 2=a 1·a 1·a 1=23=8;令m =1,则有a n +1=a n ·a 1=2a n ,∴数列{a n }是首项为a 1=2,公比为q =2的等比数列,∴S n =21-2n1-2=2n +1-2. 14.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f (x ),如果对于任意给定的等比数列{a n },{f (a n )}仍是等比数列,则称f (x )为“保等比数列函数”.现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f (x )=x 2;②f (x )=2x ;③f (x )=|x |;④f (x )=ln |x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为________.答案 ①③解析 设{a n }的公比为q ,验证①fa n +1fa n =a 2n +1a 2n =q 2,③fa n +1fa n =|a n +1||a n |=|q |,故①③为“保等比数列函数”. 15.已知数列{a n }中,a 1=1,a n ·a n +1=⎝⎛⎭⎫12n ,记T 2n 为{a n }的前2n 项的和,b n =a 2n +a 2n -1,n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列,并求出b n ;(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n +1=⎝⎛⎭⎫12n ,∴a n +1·a n +2=⎝⎛⎭⎫12n +1,∴a n +2a n =12,即a n +2=12a n . ∵b n =a 2n +a 2n -1,∴b n +1b n =a 2n +2+a 2n +1a 2n +a 2n -1=12a 2n +12a 2n -1a 2n +a 2n -1=12, ∵a 1=1,a 1·a 2=12, ∴a 2=12b 1=a 1+a 2=32. ∴{b n }是首项为32,公比为12的等比数列. ∴b n =32×⎝⎛⎭⎫12n -1=32n . (2)由(1)可知,a n +2=12a n , ∴a 1,a 3,a 5,…是以a 1=1为首项,以12为公比的等比数列;a 2,a 4,a 6,…是以a 2=12为首项,以12为公比的等比数列,∴T 2n =(a 1+a 3+…+a 2n -1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=1-⎝⎛⎭⎫12n 1-12+12⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫12n 1-12=3-32n .。
等比数列知识点总结与典型例题
等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义:仏= *go)(心2,且皿M),q称为公比a n-\2、通项公式:=鱼/= A B"(3 工0, H 0),首项:a x;公比:q推广:g = a,n q l~m。
q l~m吕oq“J血4”V 53、等比中项:(1)如果a,A,b成等比数列,那么A叫做"与b的等差中项,即:"或A = ±亦注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个((2 )数列仏}是等比数列O町=% .%4、等比数列的前"项和S”公式:(1)当° = 1 时,S”=〃q(2)当沖时,h竺' \-q \-q= ——g”=A_AB”=/TB”_/r(A,B.A4为常数)\-q l_g5、等比数列的判定方法:(1)用定义:对任意的“,都有或也= §(§为常数,5工0)0{©}为等比数列⑵等比中项:町=%%(%%工0)0{%}为等比数列(3)通项公式:a…=A-B"(A• B H0)O{a…}为等比数列6、等比数列的证明方法:依据定义:若匕-=§(0工0)(“二2,且或a,* =qa” <=> {a n}为等比数列5-i7、等比数列的性质:(2)对任何“nN•,在等比数列{©}中,有= a tn q n-m .(3 )若m + n = s +/(/??,”,s、t 已N"),则a n• a m = a x• q。
特别的,当m+n = 2k时,得a na m = af 等差和等比数列比较:法一:设此数列公比为g,则<经典例题透析类型一:等比数列的通项公式。
例].等比数列{“”}中,a } -a 9 =64, 03+0?= 20,求如.思路点拨:山等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于①和q 的二元方程组,解出①和 <7,可得如;或注意到下标1+9 = 3+7,可以利用性质可求出岛、%再求5・解析:q ・dg =5=64a 3 + a 7 = a }q 2 + a" = 20 由(2)得:®op+ 护)=20................ (3 ) • • q > 0 •由(1)得:(“”)2=64 , A a }q 4 = 8 (4)20 = 5V 2/. 2q 4-5c/2 + 2 = 0,解得q~ =2或今?=J_ 2当/ =2时,e =2,5 ・严= 64;当亍=丄时,a 】=32,如=绚• q 10 = 1. 2法二:*.* q •佝=他 °①=64,乂 如 + ①=20,・・・"3、5为方程x 2-20x + 64 = 0的两实数根,• “3 '^|| = “7*",• •] = —'- = 1 丄女6/j j = 64 .总结升华:①列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少讣算量;②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次U的,故较多变形要用除法(除式不为零).举一反三:【变式1】%}为等比数列,a 1=3,39= 76 8,求06。
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)一、基础知识1、定义:数列{}n a 从第二项开始,后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠,则称{}n a 为等比数列,这个常数q 称为数列的公比注:非零常数列既可视为等差数列,也可视为1q =的等比数列,而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式:11n n a a q−=⋅,也可以为:n mn m a a q−=⋅3、等比中项:若,,a b c 成等比数列,则b 称为,a c 的等比中项 (1)若b 为,a c 的等比中项,则有2a bb ac b c=⇒= (2)若{}n a 为等比数列,则n N *∀∈,1n a +均为2,n n a a +的等比中项 (3)若{}n a 为等比数列,则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式:设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时,则{}n a 为常数列,所以1n S na = 当1q ≠时,则()111n n a q S q−=−可变形为:()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−,设11a k q =−,可得:n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列(1)在等比数列{}n a 中,等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 (2)已知等比数列{}{},n n a b ,则有 ① 数列{}n ka (k 为常数)为等比数列 ② 数列{}na λ(λ为常数)为等比数列,特别的,当1λ=−时,即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关: 设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++,则有:()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的:若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−,则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定:(假设{}n a 不是常数列) (1)定义法(递推公式):()1n na q n N a *+=∈ (2)通项公式:nn a k q =⋅(指数类函数) (3)前n 项和公式:nn S kq k =−注:若()n n S kq m m k =−≠,则{}n a 是从第二项开始成等比关系 (4)等比中项:对于n N *∀∈,均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−,因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ,公比为1q 的等比数列,所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1:已知等比数列{}n a 的公比为正数,且223951,2a a a a ==,则10a =________思路:因为2396a a a =,代入条件可得:22652a a =,因为0q >,所以65a =,q =所以810216a a q == 答案:16例2:已知{}n a 为等比数列,且374,16a a =−=−,则5a =( ) A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一:由37,a a 可求出公比:4734a q a ==,可得22q =,所以253428a a q ==−⋅=− 思路二:可联想到等比中项性质,可得253764a a a ==,则58a =±,由等比数列特征可得奇数项的符号相同,所以58a =− 答案:D小炼有话说:思路二的解法尽管简单,但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
等比数列知识点总结与典型例题+答案
等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义:*12,n na q q n n Na 0且,q 称为公比2、通项公式:11110,0n nnna a a qqA Ba qA B q,首项:1a ;公比:q推广:n mn mn n n mn m mma a a a q qqa a 3、等比中项:(1)如果,,a A b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,即:2Aab或Aab注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个((2)数列na 是等比数列211nnna a a 4、等比数列的前n 项和n S 公式:(1)当1q时,1n S na (2)当1q时,11111nn na q a a q S qq11''11nnna a qA A BA BA qq(,,','A B A B 为常数)5、等比数列的判定方法:(1)用定义:对任意的n ,都有11(0){}n nn nn na a qa q q a a a 或为常数,为等比数列(2)等比中项:21111(0){}nn n n nn a a a a a a 为等比数列(3)通项公式:0{}nnn a A BA Ba 为等比数列6、等比数列的证明方法:依据定义:若*12,n na q q n n Na 0且或1{}n n n a qa a 为等比数列7、等比数列的性质:(2)对任何*,m n N,在等比数列{}n a 中,有n mn m a a q。
(3)若*(,,,)m nst m n s tN ,则n ms t a a a a 。
特别的,当2m n k 时,得2n mka a a注:12132n nna a a a a a 等差和等比数列比较:经典例题透析类型一:等比数列的通项公式等差数列等比数列定义da a n n1)0(1qq a a nn 递推公式d a a nn 1;mda a nmnqa a n n1;mn m n qa a 通项公式dn a a n )1(111n n qa a (0,1q a )中项2kn kna a A(0,,*knN kn ))0(knk n knk n a a a a G (0,,*knN kn )前n 项和)(21n n a a n S dn n na S n2)1(1)2(111)1(111q qq a a qq a q na S n nn重要性质),,,,(*q pnmN q p n m a a a a qpn m ),,,,(*q p n mN q p n m a a a a qp n m例1.等比数列{}n a 中,1964a a , 3720a a ,求11a .思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组,解出1a 和q ,可得11a ;或注意到下标1937,可以利用性质可求出3a 、7a ,再求11a .总结升华:①列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量;②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零).举一反三:【变式1】{}为等比数列,a 1=3,a 9=768,求a 6。
高一等比数列及其前n项和知识点+例题+练习 含答案
1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母__q __表示(q ≠0). 2.等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则它的通项a n =a 1·q n -1. 3.等比中项若a ,G ,b 成等比数列,则称G 为a 和b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m ·q n -m (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等比数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k ·a l =a m ·a n .(3)若{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n },{a n ·b n},⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn 仍是等比数列.5.等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0),其前n 项和为S n , 当q =1时,S n =na 1;当q ≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q1-q .6.等比数列前n 项和的性质公比不为-1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为__q n __. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n +1=qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( × )(2)G 为a ,b 的等比中项⇔G 2=ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列,b n =a 2n -1+a 2n ,则数列{b n }也是等比数列.( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列,则数列{ln a n }是等差数列.( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n =a n,则其前n 项和为S n =a (1-a n )1-a.( × )(6)数列{a n }为等比数列,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等比数列.( × )1.(2015·课标全国Ⅱ改编)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=________. 答案 42解析 设等比数列{a n }的公比为q ,则由a 1=3,a 1+a 3+a 5=21得3(1+q 2+q 4)=21,解得q 2=-3(舍去)或q 2=2,于是a 3+a 5+a 7=q 2(a 1+a 3+a 5)=2×21=42. 2.等差数列{a n }的公差为3,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则a 4=________. 答案 12解析 令首项为a ,根据已知条件有(a +9)2=(a +3)·(a +21).解得a =3,所以a 4=3+3×3=12.3.等比数列{a n }中,a 4=2,a 5=5,则数列{lg a n }的前8项和等于________. 答案 4解析 数列{lg a n }的前8项和S 8=lg a 1+lg a 2+…+lg a 8=lg(a 1·a 2·…·a 8)=lg(a 1·a 8)4 =lg(a 4·a 5)4=lg(2×5)4=4.4.(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则数列{a n }的前n 项和等于________. 答案 2n -1解析 由等比数列性质知a 2a 3=a 1a 4,又a 2a 3=8,a 1+a 4=9,所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 4=8,a 1+a 4=9,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1,a 4=8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=8,a 4=1,又∵数列{a n }为递增数列,∴a 1=1,a 4=8,从而a 1q 3=8,∴q =2.∴数列{a n }的前n 项和为S n =1-2n1-2=2n -1.5.(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________. 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ,由题意知, 243=9×q 3,q 3=27,∴q =3.∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5=________.(2)在等比数列{a n }中,若a 4-a 2=6,a 5-a 1=15,则a 3=________. 答案 (1)314(2)4或-4解析 (1)显然公比q ≠1,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3=1,a 1(1-q 3)1-q =7,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=4,q =12,或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9q =-13(舍去),∴S 5=a 1(1-q 5)1-q =4(1-125)1-12=314.(2)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0),则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3-a 1q =6,a 1q 4-a 1=15,两式相除,得q 1+q 2=25, 即2q 2-5q +2=0,解得q =2或q =12.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,q =2,或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-16,q =12.故a 3=4或a 3=-4.思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.(1)在正项等比数列{a n }中,a n +1<a n ,a 2·a 8=6,a 4+a 6=5,则a 5a 7=________.(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n =________. 答案 (1)32(2)3n -1解析 (1)设公比为q ,则由题意知0<q <1,由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 8=a 4·a 6=6,a 4+a 6=5,得a 4=3,a 6=2, 所以a 5a 7=a 4a 6=32.(2)由3S 1,2S 2,S 3成等差数列知,4S 2=3S 1+S 3,可得a 3=3a 2,所以公比q =3,故等比数列通项a n =a 1q n -1=3n -1.题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n +1=4a n +2. (1)设b n =a n +1-2a n ,证明:数列{b n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式. (1)证明 由a 1=1及S n +1=4a n +2,有a 1+a 2=S 2=4a 1+2.∴a 2=5,∴b 1=a 2-2a 1=3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n +1=4a n +2, ①S n =4a n -1+2 (n ≥2), ②①-②,得a n +1=4a n -4a n -1 (n ≥2), ∴a n +1-2a n =2(a n -2a n -1) (n ≥2). ∵b n =a n +1-2a n ,∴b n =2b n -1 (n ≥2), 故{b n }是首项b 1=3,公比为2的等比数列.(2)解 由(1)知b n =a n +1-2a n =3·2n -1, ∴a n +12n +1-a n 2n =34, 故{a n 2n }是首项为12,公差为34的等差数列. ∴a n 2n =12+(n -1)·34=3n -14, 故a n =(3n -1)·2n -2. 引申探究例2中“S n +1=4a n +2”改为“S n +1=2S n +(n +1)”,其他条件不变探求数列{a n }的通项公式.解 由已知得n ≥2时,S n =2S n -1+n .∴S n +1-S n =2S n -2S n -1+1,∴a n +1=2a n +1, ∴a n +1+1=2(a n +1),又a 1=1,当n =1时上式也成立,故{a n +1}是以2为首项,以2为公比的等比数列,∴a n +1=2·2n -1=2n ,∴a n =2n -1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n =1时的情况进行验证.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1+2a 2+3a 3+…+na n =(n -1)S n +2n (n ∈N *).(1)求a 2,a 3的值;(2)求证:数列{S n +2}是等比数列. (1)解 ∵a 1+2a 2+3a 3+…+na n =(n -1)S n +2n (n ∈N *), ∴当n =1时,a 1=2×1=2;当n =2时,a 1+2a 2=(a 1+a 2)+4,∴a 2=4; 当n =3时,a 1+2a 2+3a 3=2(a 1+a 2+a 3)+6,∴a 3=8. 综上,a 2=4,a 3=8.(2)证明 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =(n -1)S n +2n (n ∈N *),①∴当n ≥2时,a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1 =(n -2)S n -1+2(n -1).②①-②得na n =(n -1)S n -(n -2)S n -1+2=n (S n -S n -1)-S n +2S n -1+2=na n -S n +2S n -1+2. ∴-S n +2S n -1+2=0,即S n =2S n -1+2, ∴S n +2=2(S n -1+2).∵S 1+2=4≠0,∴S n -1+2≠0,∴S n +2S n -1+2=2,故{S n +2}是以4为首项,2为公比的等比数列.题型三 等比数列的性质及应用例3 (1)在等比数列{a n }中,各项均为正值,且a 6a 10+a 3a 5=41,a 4a 8=5,则a 4+a 8=________. (2)等比数列{a n }的首项a 1=-1,前n 项和为S n ,若S 10S 5=3132,则公比q =________.答案 (1)51 (2)-12解析 (1)由a 6a 10+a 3a 5=41及a 6a 10=a 28,a 3a 5=a 24, 得a 24+a 28=41.因为a 4a 8=5,所以(a 4+a 8)2=a 24+2a 4a 8+a 28=41+2×5=51.又a n >0,所以a 4+a 8=51.(2)由S 10S 5=3132,a 1=-1知公比q ≠±1,则可得S 10-S 5S 5=-132.由等比数列前n 项和的性质知S 5,S 10-S 5,S 15-S 10成等比数列,且公比为q 5,故q 5=-132,q =-12.思维升华 (1)在等比数列的基本运算问题中,一般利用通项公式与前n 项和公式,建立方程组求解,但如果能灵活运用等比数列的性质“若m +n =p +q ,则有a m a n =a p a q ”,可以减少运算量.(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质,例如等比数列S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…成等比数列,公比为q k (q ≠-1).(1)已知等比数列{a n }的公比为正数,且a 3a 9=2a 25,a 2=2,则a 1=________.(2)等比数列{a n }共有奇数项,所有奇数项和S 奇=255,所有偶数项和S 偶=-126,末项是192,则首项a 1=________. 答案 (1)2 (2)3解析 (1)由等比数列的性质得a 3a 9=a 26=2a 25,∵q >0,∴a 6=2a 5,q =a 6a 5=2,a 1=a 2q= 2.(2)设等比数列{a n }共有2k +1(k ∈N *)项,则a 2k +1=192,则S 奇=a 1+a 3+…+a 2k -1+a 2k +1=1q (a 2+a 4+…+a 2k )+a 2k +1=1q S 偶+a 2k +1=-126q +192=255,解得q =-2,而S 奇=a 1-a 2k +1q 21-q 2=a 1-192×(-2)21-(-2)2=255,解得a 1=3.12.分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (14分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),且-2S 2,S 3,4S 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)证明:S n +1S n ≤136(n ∈N *).思维点拨 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式; (2)求出前n 项和,根据函数的单调性证明. 规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q , 因为-2S 2,S 3,4S 4成等差数列,所以S 3+2S 2=4S 4-S 3,即S 4-S 3=S 2-S 4, 可得2a 4=-a 3,于是q =a 4a 3=-12.[2分]又a 1=32,所以等比数列{a n }的通项公式为a n =32×⎝⎛⎭⎫-12n -1=(-1)n -1·32n .[4分] (2)证明 由(1)知,S n =1-⎝⎛⎭⎫-12n , S n +1S n=1-⎝⎛⎭⎫-12n +11-⎝⎛⎭⎫-12n=⎩⎪⎨⎪⎧2+12n (2n +1),n 为奇数,2+12n(2n-1),n 为偶数. [8分]当n 为奇数时,S n +1S n 随n 的增大而减小,所以S n +1S n ≤S 1+1S 1=136.[10分]当n 为偶数时,S n +1S n 随n 的增大而减小,所以S n +1S n ≤S 2+1S 2=2512.[12分]故对于n ∈N *,有S n +1S n ≤136.[14分]温馨提醒 (1)分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有 ①已知S n 与a n 的关系,要分n =1,n ≥2两种情况. ②等比数列中遇到求和问题要分公比q =1,q ≠1讨论. ③项数的奇、偶数讨论.④等比数列的单调性的判断注意与a 1,q 的取值的讨论.(2)数列与函数有密切的联系,证明与数列有关的不等式,一般是求数列中的最大项或最小项,可以利用图象或者数列的增减性求解,同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.[方法与技巧] 1.已知等比数列{a n }(1)数列{c ·a n }(c ≠0),{|a n |},{a 2n },{1a n }也是等比数列. (2)a 1a n =a 2a n -1=…=a m a n -m +1. 2.判断数列为等比数列的方法(1)定义法:a n +1a n =q (q 是不等于0的常数,n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列;也可用a n a n -1=q (q是不等于0的常数,n ∈N *,n ≥2)⇔数列{a n }是等比数列.二者的本质是相同的,其区别只是n 的初始值不同.(2)等比中项法:a 2n +1=a n a n +2(a n a n +2≠0,n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列.[失误与防范]1.特别注意q =1时,S n =na 1这一特殊情况.2.由a n +1=qa n ,q ≠0,并不能立即断言{a n }为等比数列,还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对q =1与q ≠1分类讨论,防止因忽略q =1这一特殊情形而导致解题失误.4.等比数列性质中:S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 也成等比数列,不能忽略条件q ≠-1.A 组 专项基础训练(时间:40分钟)1.(2014·重庆改编)对任意等比数列{a n },下列说法一定正确的是________. ①a 1,a 3,a 9成等比数列; ②a 2,a 3,a 6成等比数列; ③a 2,a 4,a 8成等比数列; ④a 3,a 6,a 9成等比数列. 答案 ④解析 设等比数列的公比为q ,因为a 6a 3=a 9a 6=q 3,即a 26=a 3a 9,所以a 3,a 6,a 9成等比数列. 2.(2015·课标全国Ⅱ改编)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=________.答案 12解析 由{a n }为等比数列,得a 3a 5=a 24,又a 3a 5=4(a 4-1),所以a 24=4(a 4-1),解得a 4=2,设等比数列{a n }的公比为q ,则由a 4=a 1q 3,得2=14q 3,解得q =2,所以a 2=a 1q =12.3.在正项等比数列{a n }中,已知a 1a 2a 3=4,a 4a 5a 6=12,a n -1a n a n +1=324,则n =________. 答案 14解析 设数列{a n }的公比为q ,由a 1a 2a 3=4=a 31q 3与a 4a 5a 6=12=a 31q 12, 可得q 9=3,a n -1a n a n +1=a 31q3n -3=324, 因此q 3n -6=81=34=q 36, 所以n =14.4.在等差数列{a n }和等比数列{b n }中,已知a 1=-8,a 2=-2,b 1=1,b 2=2,那么满足a n =b n 的n 的所有取值构成的集合是________. 答案 {3,5}解析 由已知得,a n =6n -14,b n =2n -1,令a n =b n ,可得6n -14=2n -1,解得n =3或5,所以满足a n =b n 的n 的所有取值构成的集合是{3,5}.5.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,若存在m ∈N *,满足S 2m S m =9,a 2m a m =5m +1m -1,则数列{a n }的公比为________. 答案 2解析 设公比为q ,若q =1,则S 2mS m =2,与题中条件矛盾,故q ≠1.∵S 2mS m =a 1(1-q 2m )1-q a 1(1-q m )1-q=q m +1=9,∴q m =8. ∴a 2m a m =a 1q 2m -1a 1q m -1=q m=8=5m +1m -1, ∴m =3,∴q 3=8,∴q =2.6.(2015·浙江)已知{a n }是等差数列,公差d 不为零.若a 2,a 3,a 7成等比数列,且2a 1+a 2=1,则a 1=________,d =________. 答案 23-1解析 因为a 2,a 3,a 7成等比数列,所以a 23=a 2a 7,即(a 1+2d )2=(a 1+d )(a 1+6d ),∴a 1=-23d ,∵2a 1+a 2=1,∴2a 1+a 1+d =1即3a 1+d =1,∴a 1=23,d =-1.7.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,公比不为1.若a 1=1,则对任意的n ∈N *,都有a n +2+a n +1-2a n =0,则S 5=________________________________________________________________________. 答案 11解析 由题意知a 3+a 2-2a 1=0,设公比为q ,则a 1(q 2+q -2)=0.由q 2+q -2=0解得q =-2或q =1(舍去),则S 5=a 1(1-q 5)1-q=1-(-2)53=11. 8.已知数列{a n }的首项为1,数列{b n }为等比数列且b n =a n +1a n,若b 10·b 11=2,则a 21=________. 答案 1 024解析 ∵b 1=a 2a 1=a 2,b 2=a 3a 2, ∴a 3=b 2a 2=b 1b 2,∵b 3=a 4a 3, ∴a 4=b 1b 2b 3,…,a n =b 1b 2b 3·…·b n -1,∴a 21=b 1b 2b 3·…·b 20=(b 10b 11)10=210=1 024.9.数列{b n }满足:b n +1=2b n +2,b n =a n +1-a n ,且a 1=2,a 2=4.(1)求数列{b n }的通项公式;(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)由b n +1=2b n +2,得b n +1+2=2(b n +2),∴b n +1+2b n +2=2,又b 1+2=a 2-a 1+2=4, ∴数列{b n +2}是首项为4,公比为2的等比数列.∴b n +2=4·2n -1=2n +1,∴b n =2n +1-2.(2)由(1)知,a n -a n -1=b n -1=2n -2 (n ≥2),∴a n -1-a n -2=2n -1-2 (n >2),…,a 2-a 1=22-2,∴a n -2=(22+23+…+2n )-2(n -1),∴a n =(2+22+23+…+2n )-2n +2=2(2n -1)2-1-2n +2=2n +1-2n . ∴S n =4(1-2n )1-2-n (2+2n )2=2n +2-(n 2+n +4). 10.已知数列{a n }和{b n }满足a 1=λ,a n +1=23a n +n -4,b n =(-1)n (a n -3n +21),其中λ为实数,n 为正整数.(1)证明:对任意实数λ,数列{a n }不是等比数列;(2)证明:当λ≠-18时,数列{b n }是等比数列.证明 (1)假设存在一个实数λ,使{a n }是等比数列,则有a 22=a 1a 3,即⎝⎛⎭⎫23λ-32=λ⎝⎛⎭⎫49λ-4 ⇔49λ2-4λ+9=49λ2-4λ⇔9=0,矛盾. 所以{a n }不是等比数列.(2)b n +1=(-1)n +1[a n +1-3(n +1)+21]=(-1)n +1⎝⎛⎭⎫23a n -2n +14 =-23(-1)n ·(a n -3n +21)=-23b n . 又λ≠-18,所以b 1=-(λ+18)≠0.由上式知b n ≠0,所以b n +1b n =-23(n ∈N *). 故当λ≠-18时,数列{b n }是以-(λ+18)为首项,-23为公比的等比数列. B 组 专项能力提升(时间:20分钟)11.设x ,a 1,a 2,y 成等差数列,x ,b 1,b 2,y 成等比数列,则(a 1+a 2)2b 1b 2的取值范围是________________________________________________________________________. 答案 (-∞,0]∪[4,+∞)解析 在等差数列中,a 1+a 2=x +y ,在等比数列中,xy =b 1·b 2.∴(a 1+a 2)2b 1b 2=(x +y )2xy =x 2+2xy +y 2xy =x y +y x+2. 当xy >0时,x y +y x ≥2,故(a 1+a 2)2b 1b 2≥4; 当xy <0时,x y +y x ≤-2,故(a 1+a 2)2b 1b 2≤0. 12.若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=________.答案 50解析 因为a 10a 11+a 9a 12=2a 10a 11=2e 5,所以a 10a 11=e 5.所以ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=ln(a 1a 2…a 20)=ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]=ln(a 10a 11)10=10ln a 10a 11=10ln e 5=50.13.数列{a n }满足a 1=2且对任意的m ,n ∈N *,都有a n +m a m=a n ,则a 3=________;{a n }的前n 项和S n =________.答案 8 2n +1-2解析 ∵a n +m a m=a n , ∴a n +m =a n ·a m ,∴a 3=a 1+2=a 1·a 2=a 1·a 1·a 1=23=8;令m =1,则有a n +1=a n ·a 1=2a n ,∴数列{a n }是首项为a 1=2,公比为q =2的等比数列,∴S n =2(1-2n )1-2=2n +1-2. 14.已知正项等比数列{a n }满足a 2 015=2a 2 013+a 2 014,若存在两项a m ,a n ,使得a m a n =4a 1,则n +4m nm 的最小值为________. 答案 32解析 设{a n }的公比为q (q >0),由正项等比数列{a n }满足a 2 015=2a 2 013+a 2 014,可得a 2 013·q 2=2a 2 013+a 2 013·q ,∴q 2-q -2=0,∵q >0,∴q =2.∵a m a n =4a 1,∴q m +n -2=16,∴m +n =6.∴n +4m nm =16(m +n )⎝⎛⎭⎫1m +4n =16⎝⎛⎭⎫5+n m +4m n ≥32, 当且仅当n m =4m n,即m =2,n =4时取等号. 故n +4m nm 的最小值为32. 15.已知数列{a n }中,a 1=1,a n ·a n +1=⎝⎛⎭⎫12n ,记T 2n 为{a n }的前2n 项的和,b n =a 2n +a 2n -1,n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列,并求出b n ;(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n +1=⎝⎛⎭⎫12n ,∴a n +1·a n +2=⎝⎛⎭⎫12n +1,∴a n +2a n =12,即a n +2=12a n . ∵b n =a 2n +a 2n -1,∴b n +1b n =a 2n +2+a 2n +1a 2n +a 2n -1=12a 2n +12a 2n -1a 2n +a 2n -1=12, ∵a 1=1,a 1·a 2=12, ∴a 2=12⇒b 1=a 1+a 2=32. ∴{b n }是首项为32,公比为12的等比数列. ∴b n =32×⎝⎛⎭⎫12n -1=32n . (2)由(1)可知,a n +2=12a n , ∴a 1,a 3,a 5,…是以a 1=1为首项,以12为公比的等比数列;a 2,a 4,a 6,…是以a 2=12为首项,以12为公比的等比数列, ∴T 2n =(a 1+a 3+…+a 2n -1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=1-⎝⎛⎭⎫12n1-12+12⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫12n1-12=3-32n.。
等比数列知识点总结及练习(含答案)
等比数列1、等比数列的定义:()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且,q 称为公比 2、通项公式:()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠,首项:1a ;公比:q 推广:n mn m n n n m n m m ma a a a q q q a a ---=⇔=⇔= 3、等比中项:(1)如果,,a A b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,即:2A ab =或A ab =± 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个((2)数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式:(1)当1q =时,1n S na = (2)当1q ≠时,()11111n n n a q a a qS qq--==--11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---(,,','A B A B 为常数) 5、等比数列的判定方法:(1)用定义:对任意的n ,都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数,为等比数列(2)等比中项:21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 (3)通项公式:()0{}nn n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列6、等比数列的证明方法:依据定义:若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质:(2)对任何*,m n N ∈,在等比数列{}n a 中,有n mn m a a q-=。
(3)若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈,则n m s t a a a a ⋅=⋅。
等比数列典型例题及详细解答
1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母__q __表示(q ≠0). 2.等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则它的通项a n =a 1·q n -1. 3.等比中项若G 2=a ·b _(ab ≠0),那么G 叫做a 与b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m ·q n -m (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等比数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k ·a l =a m ·a n .(3)若{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n },{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列.5.等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0),其前n 项和为S n , 当q =1时,S n =na 1;当q ≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q .6.等比数列前n 项和的性质公比不为-1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为__q n __. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n +1=qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( × ) (2)G 为a ,b 的等比中项⇔G 2=ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列,b n =a 2n -1+a 2n ,则数列{b n }也是等比数列.( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列,则数列{ln a n }是等差数列.( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n =a n,则其前n 项和为S n =a (1-a n )1-a.( × )(6)数列{a n }为等比数列,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等比数列.( × )1.(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7等于( )A .21B .42C .63D .84 答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ,则由a 1=3,a 1+a 3+a 5=21得3(1+q 2+q 4)=21,解得q 2=-3(舍去)或q 2=2,于是a 3+a 5+a 7=q 2(a 1+a 3+a 5)=2×21=42,故选B. 2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3,S 4=15,则S 6等于( ) A .31 B .32 C .63 D .64 答案 C解析 根据题意知,等比数列{a n }的公比不是-1.由等比数列的性质,得(S 4-S 2)2=S 2·(S 6-S 4),即122=3×(S 6-15),解得S 6=63.故选C.3.等比数列{a n }中,a 4=2,a 5=5,则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A .6 B .5 C .4 D .3 答案 C解析 数列{lg a n }的前8项和S 8=lg a 1+lg a 2+…+lg a 8=lg(a 1·a 2·…·a 8)=lg(a 1·a 8)4 =lg(a 4·a 5)4=lg(2×5)4=4.4.(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则数列{a n }的前n 项和等于________. 答案 2n -1解析 由等比数列性质知a 2a 3=a 1a 4,又a 2a 3=8,a 1+a 4=9,所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 4=8,a 1+a 4=9,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1,a 4=8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=8,a 4=1,又∵数列{a n }为递增数列,∴a 1=1,a 4=8,从而a 1q 3=8,∴q =2. ∴数列{a n }的前n 项和为S n =1-2n 1-2=2n-1.5.(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________. 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ,由题意知, 243=9×q 3,q 3=27,∴q =3.∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{a n }中,若a 4-a 2=6,a 5-a 1=15,则a 3=________. 答案 (1)B (2)4或-4解析 (1)显然公比q ≠1,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3=1,a 1(1-q 3)1-q =7,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=4,q =12,或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9q =-13(舍去),∴S 5=a 1(1-q 5)1-q=4(1-125)1-12=314.(2)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0),则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3-a 1q =6,a 1q 4-a 1=15,两式相除,得q 1+q 2=25,即2q 2-5q +2=0,解得q =2或q =12.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,q =2,或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-16,q =12.故a 3=4或a 3=-4.思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.(1)在正项等比数列{a n }中,a n +1<a n ,a 2·a 8=6,a 4+a 6=5,则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n =________. 答案 (1)D (2)3n -1解析 (1)设公比为q ,则由题意知0<q <1,由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 8=a 4·a 6=6,a 4+a 6=5,得a 4=3,a 6=2,所以a 5a 7=a 4a 6=32.(2)由3S 1,2S 2,S 3成等差数列知,4S 2=3S 1+S 3,可得a 3=3a 2,所以公比q =3,故等比数列通项a n =a 1q n -1=3n -1.题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n +1=4a n +2. (1)设b n =a n +1-2a n ,证明:数列{b n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式. (1)证明 由a 1=1及S n +1=4a n +2, 有a 1+a 2=S 2=4a 1+2. ∴a 2=5,∴b 1=a 2-2a 1=3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n +1=4a n +2, ①S n =4a n -1+2 (n ≥2), ② ①-②,得a n +1=4a n -4a n -1 (n ≥2), ∴a n +1-2a n =2(a n -2a n -1) (n ≥2). ∵b n =a n +1-2a n ,∴b n =2b n -1 (n ≥2), 故{b n }是首项b 1=3,公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知b n =a n +1-2a n =3·2n -1, ∴a n +12n +1-a n 2n =34, 故{a n 2n }是首项为12,公差为34的等差数列. ∴a n 2n =12+(n -1)·34=3n -14, 故a n =(3n -1)·2n -2. 引申探究例2中“S n +1=4a n +2”改为“S n +1=2S n +(n +1)”,其他不变探求数列{a n }的通项公式. 解 由已知得n ≥2时,S n =2S n -1+n . ∴S n +1-S n =2S n -2S n -1+1, ∴a n +1=2a n +1,∴a n +1+1=2(a n +1),又a 1=1,当n =1时上式也成立,故{a n +1}是以2为首项,以2为公比的等比数列, ∴a n +1=2·2n -1=2n ,∴a n =2n -1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n =1时的情况进行验证.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1+2a 2+3a 3+…+na n =(n -1)S n +2n (n ∈N *).(1)求a 2,a 3的值;(2)求证:数列{S n +2}是等比数列.(1)解 ∵a 1+2a 2+3a 3+…+na n =(n -1)S n +2n (n ∈N *), ∴当n =1时,a 1=2×1=2; 当n =2时,a 1+2a 2=(a 1+a 2)+4, ∴a 2=4;当n =3时,a 1+2a 2+3a 3=2(a 1+a 2+a 3)+6, ∴a 3=8.综上,a 2=4,a 3=8.(2)证明 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =(n -1)S n +2n (n ∈N *),① ∴当n ≥2时,a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1 =(n -2)S n -1+2(n -1).②①-②得na n =(n -1)S n -(n -2)S n -1+2=n (S n -S n -1)-S n +2S n -1+2=na n -S n +2S n -1+2. ∴-S n +2S n -1+2=0,即S n =2S n -1+2, ∴S n +2=2(S n -1+2).∵S 1+2=4≠0,∴S n -1+2≠0, ∴S n +2S n -1+2=2,故{S n +2}是以4为首项,2为公比的等比数列.题型三 等比数列的性质及应用例3 (1)在等比数列{a n }中,各项均为正值,且a 6a 10+a 3a 5=41,a 4a 8=5,则a 4+a 8=________. (2)等比数列{a n }的首项a 1=-1,前n 项和为S n ,若S 10S 5=3132,则公比q =________.答案 (1)51 (2)-12解析 (1)由a 6a 10+a 3a 5=41及a 6a 10=a 28,a 3a 5=a 24, 得a 24+a 28=41.因为a 4a 8=5,所以(a 4+a 8)2=a 24+2a 4a 8+a 28=41+2×5=51.又a n >0,所以a 4+a 8=51.(2)由S 10S 5=3132,a 1=-1知公比q ≠±1,则可得S 10-S 5S 5=-132.由等比数列前n 项和的性质知S 5,S 10-S 5,S 15-S 10成等比数列,且公比为q 5, 故q 5=-132,q =-12.思维升华 (1)在等比数列的基本运算问题中,一般利用通项公式与前n 项和公式,建立方程组求解,但如果能灵活运用等比数列的性质“若m +n =p +q ,则有a m a n =a p a q ”,可以减少运算量.(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质,例如等比数列S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…成等比数列,公比为q k (q ≠-1).已知等比数列{a n }的公比为正数,且a 3a 9=2a 25,a 2=2,则a 1等于( )A.12 B.22C. 2D .2(2)等比数列{a n }共有奇数项,所有奇数项和S 奇=255,所有偶数项和S 偶=-126,末项是192,则首项a 1等于( ) A .1 B .2 C .3D .4答案 (1)C (2)C解析 (1)由等比数列的性质得a 3a 9=a 26=2a 25,∵q >0,∴a 6=2a 5,q =a 6a 5=2,a 1=a 2q=2,故选C.(2)设等比数列{a n }共有2k +1(k ∈N *)项,则a 2k +1=192,则S 奇=a 1+a 3+…+a 2k -1+a 2k +1=1q (a 2+a 4+…+a 2k )+a 2k +1=1q S 偶+a 2k +1=-126q +192=255,解得q =-2,而S 奇=a 1-a 2k +1q 21-q 2=a 1-192×(-2)21-(-2)2=255,解得a 1=3,故选C.12.分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),且-2S 2,S 3,4S 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)证明:S n +1S n ≤136(n ∈N *).思维点拨 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式; (2)求出前n 项和,根据函数的单调性证明. 规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q , 因为-2S 2,S 3,4S 4成等差数列,所以S 3+2S 2=4S 4-S 3,即S 4-S 3=S 2-S 4, 可得2a 4=-a 3,于是q =a 4a 3=-12.[2分]又a 1=32,所以等比数列{a n }的通项公式为a n =32×⎝⎛⎭⎫-12n -1=(-1)n -1·32n .[3分] (2)证明 由(1)知,S n =1-⎝⎛⎭⎫-12n , S n+1S n=1-⎝⎛⎭⎫-12n+11-⎝⎛⎭⎫-12n=⎩⎨⎧2+12n(2n+1),n 为奇数,2+12n(2n-1),n 为偶数.[6分]当n 为奇数时,S n +1S n 随n 的增大而减小,所以S n +1S n ≤S 1+1S 1=136.[8分]当n 为偶数时,S n +1S n 随n 的增大而减小,所以S n +1S n ≤S 2+1S 2=2512.[10分]故对于n ∈N *,有S n +1S n ≤136.[12分]温馨提醒 (1)分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有 ①已知S n 与a n 的关系,要分n =1,n ≥2两种情况.②等比数列中遇到求和问题要分公比q =1,q ≠1讨论. ③项数的奇、偶数讨论.④等比数列的单调性的判断注意与a 1,q 的取值的讨论.(2)数列与函数有密切的联系,证明与数列有关的不等式,一般是求数列中的最大项或最小项,可以利用图象或者数列的增减性求解,同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.[方法与技巧] 1.已知等比数列{a n }(1)数列{c ·a n }(c ≠0),{|a n |},{a 2n },{1a n }也是等比数列. (2)a 1a n =a 2a n -1=…=a m a n -m +1. 2.判断数列为等比数列的方法(1)定义法:a n +1a n =q (q 是不等于0的常数,n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列;也可用a n a n -1=q (q是不等于0的常数,n ∈N *,n ≥2)⇔数列{a n }是等比数列.二者的本质是相同的,其区别只是n 的初始值不同.(2)等比中项法:a 2n +1=a n a n +2(a n a n +1a n +2≠0,n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列.[失误与防范]1.特别注意q =1时,S n =na 1这一特殊情况.2.由a n +1=qa n ,q ≠0,并不能立即断言{a n }为等比数列,还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对q =1与q ≠1分类讨论,防止因忽略q =1这一特殊情形而导致解题失误.4.等比数列性质中:S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 也成等比数列,不能忽略条件q ≠-1.A 组 专项基础训练 (时间:35分钟)1.已知等比数列{a n }中,a 2+a 3=1,a 4+a 5=2,则a 6+a 7等于( ) A .2 B .2 2 C .4 D .4 2答案 C解析 因为a 2+a 3,a 4+a 5,a 6+a 7成等比数列,a 2+a 3=1,a 4+a 5=2,所以(a 4+a 5)2=(a 2+a 3)(a 6+a 7),解得a 6+a 7=4.2.等比数列{a n }满足a n >0,n ∈N *,且a 3·a 2n -3=22n (n ≥2),则当n ≥1时,log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 2n -1等于( ) A .n (2n -1) B .(n +1)2 C .n 2 D .(n -1)2答案 A解析 由等比数列的性质,得a 3·a 2n -3=a 2n =22n ,从而得a n =2n .方法一 log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 2n -1=log 2[(a 1a 2n -1)·(a 2a 2n -2)·…·(a n -1a n +1)a n ]=log 22n (2n -1)=n (2n -1).方法二 取n =1,log 2a 1=log 22=1,而(1+1)2=4,(1-1)2=0,排除B ,D ;取n =2,log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3=log 22+log 24+log 28=6,而22=4,排除C ,选A.3.在正项等比数列{a n }中,已知a 1a 2a 3=4,a 4a 5a 6=12,a n -1a n a n +1=324,则n 等于( ) A .12 B .13 C .14 D .15答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ,由a 1a 2a 3=4=a 31q 3与a 4a 5a 6=12=a 31q 12, 可得q 9=3,a n -1a n a n +1=a 31q3n -3=324, 因此q 3n -6=81=34=q 36,所以n =14,故选C.4.若正项数列{a n }满足lg a n +1=1+lg a n ,且a 2 001+a 2 002+…+a 2 010=2 016,则a 2 011+a 2 012+…+a 2 020的值为( ) A .2 015·1010 B .2 015·1011 C .2 016·1010 D .2 016·1011答案 C解析 ∵lg a n +1=1+lg a n ,∴lg a n +1a n=1, ∴a n +1a n=10,∴数列{a n }是等比数列, ∵a 2 001+a 2 002+…+a 2 010=2 016,∴a 2 011+a 2 012+…+a 2 020=1010(a 2 001+a 2 002+…+a 2 010)=2 016×1010.5.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,若存在m ∈N *,满足S 2m S m =9,a 2m a m =5m +1m -1,则数列{a n }的公比为( )A .-2B .2C .-3D .3 答案 B解析 设公比为q ,若q =1,则S 2mS m =2,与题中条件矛盾,故q ≠1.∵S 2mS m =a 1(1-q 2m )1-q a 1(1-q m )1-q =q m +1=9,∴q m =8. ∴a 2m a m =a 1q 2m -1a 1q m -1=q m =8=5m +1m -1, ∴m =3,∴q 3=8,∴q =2.6.等比数列{a n }中,S n 表示前n 项和,a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1,则公比q 为________. 答案 3解析 由a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1得 a 4-a 3=2(S 3-S 2)=2a 3, ∴a 4=3a 3,∴q =a 4a 3=3.7.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,公比不为1.若a 1=1,则对任意的n ∈N *,都有a n +2+a n +1-2a n =0,则S 5=________.答案 11解析 由题意知a 3+a 2-2a 1=0,设公比为q , 则a 1(q 2+q -2)=0.由q 2+q -2=0解得q =-2或q =1(舍去), 则S 5=a 1(1-q 5)1-q=1-(-2)53=11.8.已知数列{a n }的首项为1,数列{b n }为等比数列且b n =a n +1a n,若b 10·b 11=2,则a 21=________. 答案 1 024解析 ∵b 1=a 2a 1=a 2,b 2=a 3a 2,∴a 3=b 2a 2=b 1b 2,∵b 3=a 4a 3,∴a 4=b 1b 2b 3,…,a n =b 1b 2b 3·…·b n -1, ∴a 21=b 1b 2b 3·…·b 20=(b 10b 11)10=210=1 024.9.数列{b n }满足:b n +1=2b n +2,b n =a n +1-a n ,且a 1=2,a 2=4. (1)求数列{b n }的通项公式; (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)由b n +1=2b n +2,得b n +1+2=2(b n +2),。
等比数列知识点,例题,练习
等比数列知识梳理:1、等比数列的定义:()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且,q 称为公比 2、通项公式:()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠,首项:1a ;公比:q 推广:n m n m n n n m n m m ma a a a q q q a a ---=⇔=⇔= 3、等比中项:(1)如果,,a A b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,即:2A ab =或A ab =±注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数)(2)数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式:(1)当1q =时,1n S na = (2)当1q ≠时,()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---(,,','A B A B 为常数)5、等比数列的判定方法:(1)用定义:对任意的n ,都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数,为等比数列(2)等比中项:21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 (3)通项公式:()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列等比数列6、等比数列的证明方法:依据定义:若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 8、等比数列的性质: (1)当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n nn n a a a q q A B A B q-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数,底数为公比q ;②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A qq q q--==-=-⋅=-----,系数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比q 。
等比数列知识点总结与典型例题+答案(完整资料).doc
【最新整理,下载后即可编辑】等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义:()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且,q 称为公比 2、通项公式:()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠,首项:1a ;公比:q推广:n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项:(1)如果,,a A b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,即:2A ab =或A =注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个((2)数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式:(1)当1q =时,1n S na = (2)当1q ≠时,()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---(,,','A B A B 为常数) 5、等比数列的判定方法:(1)用定义:对任意的n ,都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数,为等比数列(2)等比中项:21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 (3)通项公式:()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法:依据定义:若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质:(2)对任何*,m n N ∈,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=。
(3)若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈,则n m s t a a a a ⋅=⋅。
等比数列知识点总结及练习(含答案)
等比数列1、等比数列的定义:a na n 1q q on 2,且 n N , q 称为公比2、通项公式:n 1a n aga 〔 n -q A B n a 1 q0,A B 0,首项:a 1 ;公比:qq推广:a n a m qn mn m a nqqn ma na mV am3、等比中项:(1) 如果a,A,b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,即:A 2 ab 或A注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项 有两个((2)数列a n 是等比数列 a n 2 a n i a n 14、等比数列的前n 项和S n 公式:(1)当 q 1 时,S n na 1(2)当q 1时,a 1 nqa 1 a n q1 q1 qa 1a 〔 nq A AB n A'B n A'(代 B, A',B'为常数)1 q1 q5、等比数列的判定方法:(1)用定义:对任意的n , 都有a n 1qa n 或aq(q 为常数,a n 0) {a “}为a等比数列(2)等比中项: 2ana n 1 a n 1 (a n 1a n 10){a n }为等比数列6、等比数列的证明方法:依据定义:若-a ^ q q 0 n 2,且na n 17、等比数列的性质:(2)对任何m,n N *,在等比数列{a n }中,有a . a m q n m例题解析(3)通项公式:a n A B n A B 0{a .}为等比数列N * 或 a n 1 qa n{a n }为等比数列2(3)若m n s t(m,n,s,t N ),贝U a n a m a s a t。
特别的,当m n 2k时,得{b n }为等比数列,则数列{兰} , {k a n },(4)数列{a n },{k a n b n } ,{色}( k{a n k },b n为非零常数)均为等比数列。
比数列等比数列1【例3】 等比数列{a n }中,⑴已知a 2 = 4, a § = - 3,求通项公式;(2)已知 a3 • a4 • a5 = 8, 求 a2a3a4a§a6 的值.a n a m a k注:a 1 a n a 2 a n 1 a 3a n 2a n (5)数列{a n }为等比数列,每隔k(k N )项取出一项(am,a m k ,a m 2k, a m 3k ,)仍为等(6) 如果{a n }是各项均为正数的 等比数列,则数列{log a a n }是等差数列(7) 若{a n }为等比数列, 则数列 S n , S2n Sn , S3n S2n ,,成等比数列 (8) 若{a n }为等比数列, 则数列a 1 a 2 a n,a n 1 a n 2 a 2n, a 2n 1 a 2n 2a 3n 成(9)①当q 1 时,{:0,则{a n }为递增数列0,贝卩®}为递减数②当Ovq a 1 0, 1 时,{ a 1 0, 则{a n }为递减数列 则{a n }为递增数列③当 q 1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列) ④当 q 0时,该数列为摆动数列•【例1】 已知S 是数列{a n }的前n 项和,S n = p n (pR,n € N*),那么数列{a n }.( A. 是等比数列BB. C.当p z 0, p z 1时是等比数列 D当p z 0时是等比数列 不是等比数列【例2】已知等比数列1, X[, X2,…,X2n , 2 ,求 X[ • X2 • X3 ....... X2n .2【例4】 求数列的通项公式: (1){a n }中,a 1 = 2, a n+1 = 3a n + 2⑵{a J 中,ai=2,5,且 an+2 - 3an+1 + 2an = 0三、考点分析考点一:等比数列定义的应用141、数列a n 满足a na n 1 n 2 , a 1 —,则 a 4.332、在数列a n 中,若a 11, a n 12a n 1 n 1 ,则该数列的通项a n考点二:等比中项的应用1、已知等差数列 a n 的公差为2,若a i ,a 3,a °成等比数列,则a ?(2 a a4、 设a i ,a 2,a 3,a °成等比数列,其公比为 2,则一-的值为( )2a 3 a 4A 1厂1厂1^“A.B. C. —D. 14 2 81 5、 等比数列{a n }中,公比 q=—且 a 2+a 4+…+a 1oo =30,则 a 1+a 2+…+a 1oo = ______ 2考点四:等比数列及其前n 项和性质的应用3、若a n 为等比数列,且2a 4 a 6 a 5,则公比q )10( )不确定)6A. 4 B . 6C .8D2、 若 a 、b 、 C 成等比数列,则函数 y ax 2 bxc 的图象与 x 轴交点的个数为 A.0 B . 1C.2D. 3、已知数列 a n 为等比数列,a 3 2, a 2 a 420隶a,求a n的通项公式.1、若公比为 22的等比数列的首项为9 末项为 11,则这个数列的项数是(383A. 3B.4C.5D考点三:等比数列及其前 n 项和的基本运算 2、已知等比数列 a n 中,a 33,印。
等比数列知识点并附例题及解析
等比数列知识点并附例题及解析1、等比数列的定义:()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且,q 称为公比 2、通项公式:()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠,首项:1a ;公比:q推广:n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项:(1)如果,,a A b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,即:2A ab =或A =注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个( (2)数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式:(1)当1q =时,1n S na = (2)当1q ≠时,()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---(,,','A B A B 为常数)5、等比数列的判定方法:(1)用定义:对任意的n ,都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数,为等比数列(2)等比中项:21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 (3)通项公式:()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法:依据定义:若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质:(2)对任何*,m n N ∈,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=。
(3)若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈,则n m s t a a a a ⋅=⋅。
等比数列及其前n项和知识点讲解+例题讲解(含解析)
等比数列及其前n 项和一、知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式:a n a n -1=q (n ≥2,q 为非零常数).(2)如果三个数a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项,其中G =2.等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1,公比是q ,则其通项公式为a n =a 1q n -1; 通项公式的推广:a n =a m q n -m .(2)等比数列的前n 项和公式:当q =1时,S n =na 1;当q ≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列,S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则有a k ·a l =a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即a k , a k +m ,a k +2m ,…仍是等比数列,公比为q m .(3)当q ≠-1,或q =-1且n 为奇数时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍成等比数列,其公比为q n .证明:(1)当q ≠-1且q ≠0时,A a a a a S n n =++++=...321,n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S =+++=++++=-+++ (2123212)n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S 222221332221223......=+++=++++=-+++所以S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍成等比数列,其公比为q n(2)当q= -1时,<1>、当n 为奇数时,1a S n=,132,0a S S n n ==1120a a S S n n -=-=-, 11230a a S S n n =-=-所以S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍成等比数列,其公比为q n<2>、当n 为偶数时,032===n n n S S S ,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n不能构成等比数列小结:1.若数列{a n }为等比数列,则数列{c ·a n }(c ≠0),{|a n |},{a 2n},⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 也是等比数列. 2.由a n +1=qa n ,q ≠0,并不能立即断言{a n }为等比数列,还要验证a 1≠0. 3.在运用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对q =1与q ≠1分类讨论,防止因忽略q =1这一特殊情形而导致解题失误.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q 是一个常数,它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ,b ,c 成等比数列的充要条件是b 2=ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n =a n,则其前n 项和为S n =a (1-a n )1-a.( )(4)数列{a n }为等比数列,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中,q ≠0.(2)若a =0,b =0,c =0满足b 2=ac ,但a ,b ,c 不成等比数列. (3)当a =1时,S n =na .(4)若a 1=1,q =-1,则S 4=0,S 8-S 4=0,S 12-S 8=0,不成等比数列.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 5=14,则公比q 等于( ) A.-12B.-2C.2D.12解析 由题意知q 3=a 5a 2=18,即q =12.答案 D3.在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________.解析 设该数列的公比为q ,由题意知, 243=9×q 3,q 3=27,∴q =3.∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81. 答案 27,814.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{a n }满足a 1=1,a 3·a 5=4(a 4-1),则a 7的值为( ) A.2B.4C.92D.6解析 根据等比数列的性质得a 3a 5=a 24,∴a 24=4(a 4-1),即(a 4-2)2=0,解得a 4=2.又∵a 1=1,a 1a 7=a 24=4,∴a 7=4. 答案 B5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为( )A.32f B.322fC.1225fD.1227f解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ,公比为122的等比数列,设此数列为{a n },则a 8=1227f ,即第八个单音的频率为1227f . 答案 D6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n =________.解析 由a n +1=2a n ,知数列{a n }是以a 1=2为首项,公比q =2的等比数列,由S n =2(1-2n )1-2=126,解得n =6.答案 6考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4=________.(2)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n ,已知S 3=74,S 6=634,则a 8=________.解析 (1)由{a n }为等比数列,设公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1q =-1,①a 1-a 1q 2=-3,② 显然q ≠1,a 1≠0,②①得1-q =3,即q =-2,代入①式可得a 1=1, 所以a 4=a 1q 3=1×(-2)3=-8.(2)设数列{a n }首项为a 1,公比为q (q ≠1),则⎩⎪⎨⎪⎧S 3=a 1(1-q 3)1-q=74,S 6=a 1(1-q 6)1-q=634,解得⎩⎨⎧a 1=14,q =2, 所以a 8=a 1q 7=14×27=32.答案 (1)-8 (2)32规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论,当q =1时,{a n }的前n 项和S n =na 1;当q ≠1时,{a n }的前n 项和S n =a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q.【训练1】 (1)等比数列{a n }中各项均为正数,S n 是其前n 项和,且满足2S 3=8a 1+3a 2,a 4=16,则S 4=( ) A.9B.15C.18D.30(2)(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=-1,a 4=b 4=8,则a 2b 2=________.解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0),则⎩⎪⎨⎪⎧2S 3=2(a 1+a 1q +a 1q 2)=8a 1+3a 1q ,a 1q 3=16, 解得q =2,a 1=2,所以S 4=2(1-24)1-2=30.(2){a n }为等差数列,a 1=-1,a 4=8=a 1+3d =-1+3d ,∴d =3,∴a 2=a 1+d =-1+3=2.{b n }为等比数列,b 1=-1,b 4=8=b 1·q 3=-q 3,∴q =-2,∴b 2=b 1·q =2,则a 2b 2=22=1.答案 (1)D (2)1考点二 等比数列的判定与证明【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (2)若S 5=3132,求λ.(1)证明 由题意得a 1=S 1=1+λa 1,故λ≠1,a 1=11-λ,a 1≠0.由S n =1+λa n ,S n +1=1+λa n +1, 得a n +1=λa n +1-λa n , 即a n +1(λ-1)=λa n ,由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0,所以a n +1a n=λλ-1.因此{a n }是首项为11-λ,公比为λλ-1的等比数列,于是a n =11-λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-1n -1. (2)解 由(1)得S n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-1n.由S 5=3132,得1-⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-15=3132,即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-15=132.解得λ=-1.【训练2】 (2019·广东省级名校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和,且满足S n -2a n =n -4.(1)证明:{S n -n +2}为等比数列; (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 因为a n =S n -S n -1(n ≥2), 所以S n -2(S n -S n -1)=n -4(n ≥2), 则S n =2S n -1-n +4(n ≥2),所以S n -n +2=2[S n -1-(n -1)+2](n ≥2), 又由题意知a 1-2a 1=-3, 所以a 1=3,则S 1-1+2=4,所以{S n -n +2}是首项为4,公比为2等比数列. (2)解 由(1)知S n -n +2=2n +1, 所以S n =2n +1+n -2,于是T n =(22+23+…+2n +1)+(1+2+…+n )-2n=4(1-2n )1-2+n (n +1)2-2n =2n +3+n 2-3n -82.考点三 等比数列的性质及应用【例3】 (1)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 5a 6+a 4a 7=18,则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=( ) A.12B.10C.8D.2+log 35(2)已知数列{a n }是等比数列,S n 为其前n 项和,若a 1+a 2+a 3=4,a 4+a 5+a 6=8,则S 12=( ) A.40B.60C.32D.50解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6=a 4a 7,又a 5a 6+a 4a 7=18,所以a 5a 6=9,则原式=log 3(a 1a 2…a 10)=log 3(a 5a 6)5=10.(2)数列S 3,S 6-S 3,S 9-S 6,S 12-S 9是等比数列,即数列4,8,S 9-S 6,S 12-S 9是首项为4,公比为2的等比数列,则S 9-S 6=a 7+a 8+a 9=16,S 12-S 9=a 10+a 11+a 12=32,因此S 12=4+8+16+32=60. 答案 (1)B (2)B【训练3】 (1)(2019·菏泽质检)在等比数列{a n }中,若a 3,a 7是方程x 2+4x +2=0的两根,则a 5的值是( ) A.-2B.- 2C.± 2D.2(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6S 3=3,则S 9S 6=________.解析 (1)根据根与系数之间的关系得a 3+a 7=-4, a 3a 7=2,由a 3+a 7=-4<0,a 3a 7>0, 所以a 3<0,a 7<0,即a 5<0, 由a 3a 7=a 25,得a 5=-a 3a 7=- 2.(2)法一 由等比数列的性质S 3,S 6-S 3,S 9-S 6仍成等比数列,由已知得S 6=3S 3,∴S 6-S 3S 3=S 9-S 6S 6-S 3,即S 9-S 6=4S 3,S 9=7S 3,∴S 9S 6=73.法二 因为{a n }为等比数列,由S 6S 3=3,设S 6=3a ,S 3=a (a ≠0),所以S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等比数列,即a ,2a ,S 9-S 6成等比数列,所以S 9-S 6=4a ,解得S 9=7a ,所以S 9S 6=7a 3a =73.答案 (1)B (2)73数学运算——等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明析运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为:理解数列问题,掌握数列运算法则,探究运算思路,求得运算结果.通过对数列性质的学习,发展数学运算能力,促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则,能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题,能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法,体会其中的数学思想.类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{a n }中,S n 为{a n }的前n 项和: (1)S 2n -1=(2n -1)a n ;等差中项)(2)设{a n }的项数为2n ,公差为d ,则S 偶-S 奇=nd .【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a m -1+a m +1-a 2m =0,S 2m -1=38,则m =________.(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d =________.解析 (1)由a m -1+a m +1-a 2m =0得2a m -a 2m =0,解得a m =0或2.又S 2m -1=(2m -1)(a 1+a 2m -1)2=(2m -1)a m =38, 显然可得a m ≠0,所以a m =2.代入上式可得2m -1=19,解得m =10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇,偶数项的和为S 偶,等差数列的公差为d .由已知条件,得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇+S 偶=354,S 偶∶S 奇=32∶27,解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶=192,S 奇=162.又S 偶-S 奇=6d ,所以d =192-1626=5. 答案 (1)10 (2)5类型2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中,(1)若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则a n ·a m =a p ·a q ;(2)当公比q ≠-1时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等比数列(n ∈N *).【例2】 (1)等比数列{a n }中,a 4=2,a 5=5,则数列{lg a n }的前8项和等于( )A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列{a n }中,前n 项和为S n ,已知S 3=8,S 6=7,则a 7+a 8+a 9等于( )A.18B.-18C.578D.558 解析 (1)数列{lg a n }的前8项和S 8=lg a 1+lg a 2+…+lg a 8=lg(a 1·a 2·…·a 8)=lg(a 1·a 8)4=lg(a 4·a 5)4=lg(2×5)4=4.(2)因为a 7+a 8+a 9=S 9-S 6,且S 3,S 6-S 3,S 9-S 6也成等比数列,即8,-1,S 9-S 6成等比数列,所以8(S 9-S 6)=1,即S 9-S 6=18,所以a 7+a 8+a 9=18.答案 (1)C (2)A类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质:等比数列{a n }中,公比为q . 若共有2n 项,则S 偶∶S 奇=q .(2)分段求和:S n +m =S n +q n S m (q 为公比).【例3】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q =________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________. 解析 (1)由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇+S 偶=-240,S 奇-S 偶=80,解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇=-80,S 偶=-160, 所以q =S 偶S 奇=-160-80=2. (2)设等比数列{a n }的公比q ,易知S 3≠0.则S 6=S 3+S 3q 3=9S 3,所以q 3=8,q =2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1,公比为12的等比数列,其前5项和为1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1251-12=3116.答案 (1)2 (2)3116三、课后练习1.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1,前n 项积为T n ,且a 2a 4=a 3,则使得T 1>1的n 的最小值为( )A.4B.5C.6D.7 解析 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 2a 4=a 3,∴a 23=a 3,∴a 3=1.又∵q >1,∴a 1<a 2<1,a n >1(n >3),∴T n >T n -1(n ≥4,n ∈N *),T 1<1,T 2=a 1·a 2<1,T 3=a 1·a 2·a 3=a 1a 2=T 2<1,T 4=a 1a 2a 3a 4=a 1<1,T 5=a 1·a 2·a 3·a 4·a 5=a 53=1,T 6=T 5·a 6=a 6>1,故n 的最小值为6. 答案 C 2.数列{a n }中,已知对任意n ∈N *,a 1+a 2+a 3+…+a n =3n -1,则a 21+a 22+a 23+…+a 2n 等于( )A.(3n -1)2B.12(9n -1)C.9n -1D.14(3n -1)解析 ∵a 1+a 2+…+a n =3n -1,n ∈N *,n ≥2时,a 1+a 2+…+a n -1=3n -1-1,∴当n ≥2时,a n =3n -3n -1=2·3n -1,又n =1时,a 1=2适合上式,∴a n =2·3n -1,故数列{a 2n }是首项为4,公比为9的等比数列.因此a 21+a 22+…+a 2n =4(1-9n )1-9=12(9n -1). 答案 B 3.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3a 11=2a 25,且S 4+S 12=λS 8,则λ=______.解析 ∵{a n }是等比数列,a 3a 11=2a 25,∴a 27=2a 25,∴q 4=2,∵S 4+S 12=λS 8,∴a 1(1-q 4)1-q +a 1(1-q 12)1-q =λa 1(1-q 8)1-q, ∴1-q 4+1-q 12=λ(1-q 8),将q 4=2代入计算可得λ=83.答案 834.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +λ(λ为常数).(1)试探究数列{a n +λ}是不是等比数列,并求a n ;(2)当λ=1时,求数列{n (a n +λ)}的前n 项和T n . 解 (1)因为a n +1=2a n +λ,所以a n +1+λ=2(a n +λ). 又a 1=1,所以当λ=-1时,a 1+λ=0,数列{a n +λ}不是等比数列, 此时a n +λ=a n -1=0,即a n =1; 当λ≠-1时,a 1+λ≠0,所以a n +λ≠0, 所以数列{a n +λ}是以1+λ为首项,2为公比的等比数列, 此时a n +λ=(1+λ)2n -1,即a n =(1+λ)2n -1-λ.(2)由(1)知a n =2n -1,所以n (a n +1)=n ×2n , T n =2+2×22+3×23+…+n ×2n ,① 2T n =22+2×23+3×24+…+n ×2n +1,② ①-②得:-T n =2+22+23+…+2n -n ×2n +1=2(1-2n )1-2-n ×2n +1=2n +1-2-n ×2n +1=(1-n )2n +1-2. 所以T n =(n -1)2n +1+2.。
等比数列知识点总结材料与典型例题(精华word版)
等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义:()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且,q 称为公比 2、通项公式:()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠,首项:1a ;公比:q 推广:n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项:〔1〕如果,,a A b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,即:2A ab =或A =注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个〔 〔2〕数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式: 〔1〕当1q =时,1n S na = 〔2〕当1q ≠时,()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---〔,,','A B A B 为常数〕 5、等比数列的判定方法:〔1〕用定义:对任意的n ,都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数,为等比数列 〔2〕等比中项:21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 〔3〕通项公式:()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法: 依据定义:假如()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质:〔2〕对任何*,m n N ∈,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=。
〔3〕假如*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈,如此n m s t a a a a ⋅=⋅。
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等比数列知识点总结与典型例题2、通项公式:4、等比数列的前n 项和S n 公式:(1)当 q 1 时,S n na in⑵当q 1时,5罟5、等比数列的判定方法:等比数列等比中项:a n 2a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0){a n }为等比数列通项公式:a nA B n A B 0{a n }为等比数列1、等比数列的定义:a n 1a n 2,且n N * , q 称为公比n 1a naga iB n a i0,A B0,首项:a 1;公比:q推广:a na m qa nama n m — \ a m3、等比中项:(1)如果a, A, b 成等比数那么A 叫做a 与b 的等差中项,即: A 2 ab 或A ab注意:同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个((2)数列a n 是等比数列2 a n a n 1aq qA'B nA' ( A, B,A',B'为常数)(1) 用定义:对任意的都有a n 1qa n 或旦口 q (q 为常数,a n 0){a n }为a n6、等比数列的证明方法:依据定义:若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ {a“}为等比数列a n 17、等比数列的性质:(2) 对任何m,n N*,在等比数列{a n}中,有a. a m q n m。
(3) 若m n s t(m,n,s,t N*),则a. a m a s a t。
特别的,当m n 2k 时,得2a n a m a k注:3] a n a2 a n 1 a3a n 2等差和等比数列比较:经典例题透析类型一:等比数列的通项公式例1.等比数列{a n}中,a1 a9 64, a3 a7 20, 求a11.思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组,解出a i和q,可得an ;或注意到下标1 9 3 7,可以利用性质可求出a3、a y,再求a ii.总结升华:①列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量;②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零).举一反三:【变式1 ] {an}为等比数列,a仁3,a9=768,求a6。
【变式2] {an}为等比数列,an>0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。
【变式3]已知等比数列{a n},若a1 a2 a3 7 , a^a s 8,求a n。
类型二:等比数列的前 n 项和公式例2.设等比数列{an }的前n 项和为Sn ,若S3+S6=2S9求数列的公比类型三:等比数列的性质例3.等比数列{a .}中,若a s a 6 9,求Iog 3a 1 Iog 3 a ?…Iog 3昕. 举一反三:【变式1 ]正项等 比数列{a n }中,若al • a100=100;则Iga1+lga2+ ....... +lga100= ____________ .【变式2]在8和27之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入3 2的三个数的乘积为 _________ 。
q.举一反三: 【变式求等比数列1,鳥丄的前6项和【变式2】已知:{an }为等比数列,a1a2a3=27, S3=13, 求S5. 【变式3 ] 在等比数列{a n }中,a 1 a n 66 , a 2 a n 1 128 , S n126,求 n 禾口 q 。
类型四:等比数列前n项和公式的性质例4.在等比数列{a n}中,已知S n 48 , S2n 60,求S an。
思路点拨:等差数列中也有类似的题目我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,....... ,第n 个k项和仍然成等比数列。
举一反三:【变式1 ]等比数列{a n}中,公比q=2, S4=1,则S8= ___________【变式2]已知等比数列{a n}的前n项和为Sn,且S10=10, S20=40, 求:S30=?【变式3]等比数列{a n}的项都是正数,若Sn=80, S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求n.【变式 4 】等比数列{a n} 中,若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=__________________ .【变式5】等比数列{a n} 中,若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9 的值。
类型五:等差等比数列的综合应用例5.已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去32 ,则成等差数列. 若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列. 求原来的三个数.思路点拨:恰当地设元是顺利解方程组的前提. 考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式总结升华:选择适当的设法可使方程简单易解。
一般地,三数成等差数列,可设此三数为a-d, a, a+d ;若三数成等比数列,可设此三数为 -,x,y xy。
但还要就问题而言,这里解法二中采用首项a,公比q来解决问题反而简便。
举一反三:【变式1】一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列.【变式2】已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。
【变式3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.类型六:等比数列的判断与证明例6.已知数列{an}的前n项和Sn满足:log5(Sn+1)=n(n € N+),求出数列{an}的通项公式,并判断{an}是何种数列?思路点拨:由数列{an}的前n项和Sn可求数列的通项公式,通过通项公式判断{an}类型.举一反三:【变式1】已知数列{Cn},其中Cn=2 n+3r,且数列{Cn+1-pC n}为等比数列,求常数p。
【答案】p=2 或p=3;【证明】设数列{an}、{bn}的公比分别为p, q,且p H q【变式3】判断正误:(1) {an}为等比数列a7=a3a4;⑵若b2=ac,则a, b, c为等比数列;⑶{an}, {bn}均为等比数列,贝U {anbn}为等比数列;(4) {an}是公比为q的等比数列,贝U {a2}、丄仍为等比数列;a n(5) 若a, b, c 成等比,贝U logma, logmb, logmc 成等差.类型七:Sn与an的关系例7.已知正项数列{an},其前n项和Sn满足io& a2 5务6,且a1,a3, a15成等比数列,求数列{an}的通项an.总结升华:等比数列中通项与求和公式间有很大的联系,它们是ai (n12),尤其注意首项与其他各项的关系.a n(nSn 1举一反三:【变式】命题1:若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a工1),则数列{an}是等比数列;命题2:若数列{an}的前n项和Sn=na-n,则数列{an}既是等差数列,又是等比数列。
上述两个命题中,真命题为个.经典例题透析类型一:等比数列的通项公式例 1 .等比数列{a n }中,a 1 a 9 64, a 3 a 7 20,求 a 11 .思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于a i 和q 的二元方程组,解出a 1和q ,可得an ;或注意到下标1 求出a3、a7,再求a11 .解析:总结升华:算量;的,故较多变形要用除法(除式不为零)7,可以利用性质可 8法一:设此数列公比为q ,则 2646a i q20(1)⑵由 (2)得:aq 2 (1 q 4) 20..•...• (3)・ a 1 0.由(1)得:(ag 4)264 : 1 •. 4小 • a 1q 8 .. • (4)(3) 一⑷得:1 q 4: 220 5q82 42…2q 5q 2 0,解得 2q2 或 q 2 12当q 22时,a 1 2, an 10小,a 1 q64当q 21时,a 1 32,a 1110 da 1 q 1■法二:I a 1 a 9 a3 a764, 又 a 3 a 7 20,…a 3、 ・a 3 a 7为方程 16或4a 3 a 74 16・玄3 a 〔i2a 7,・・a 〔ia 2—1或 a 1164 .a 3①列方程(组)求解是等比数列的基本方法, 同时利用性质可以减少计②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目 2 x 20x 64 0的两实数根, a ? qa 3 a 7a 〔q举一反三:【变式1】{an}为等比数列,a1= 3, a9=768,求a6【答案】± 96法一:设公比为q,则768=a1q8, q8=256,:q=± 2,二a6=±96;法二:a52=a1a9 a5=±48 q=± 2,:a6=±9 6。
【变式2】{an}为等比数列,an >0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。
【答案】64;2 . i /• 3^89 a45 16,又an> 0 ,• • a45=4- 3 -.…844845846 a45 64 o【答案】a n 2n 1或a n 22 .a〔a3 a2 ,・・a〔a? a3【变式3】已知等比数列{a n},若a i a2 a3 7 , a£2a3 8,求a.。
从而a i&1&3 4 5,解之得a1 1 ,as4 或a1 4 ,a3 1当a1 1 时,q 2 ;当a1 4 时,q故a n2n1或a n 23n o法二: 由等比数列的定义知a2 a i q, a3代入已知得2a〔a〔q qq2 c a1 qq a〔q 82a1(1 q q ) 7, a;q38 日(1qqq2) 7,(1)⑵将a1 2代入(1)q得2q25q 21a 1 4由(2)得a 11或i ,以下同方法一。
q 2q 2类型二:等比数列的前 n 项和公式例2.设等比数列{an }的前n 项和为Sn ,若S3+S6=2S9求数列的公比【答案】121或罟113盲q 3或q3,则 a1=1 或 a1=9q.解析:若 q=i ,则有 S3=3a1, S6=6a1, S9=9a1. 因a1M 0,得S3+S 甘2S9,显然q=1与题设矛盾,故 q z 1.369a,(1 q )a 1(1 q )2印(1 q )5由 S 3 S 6 2S 9 得,1 q1 q整理得 q3(2q6-q3-1)=0 ,由 q z 0,得 2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0 ,因q3Z 1,故q 3扌,所以q 举一反三:【变式1】求等比数列 1,3,1,L 的前6项和。