高中数学典型例题大全数列等比数列的前n项和

【例1】 设等比数列的首项为a(a ＞0)，公比为q(q ＞0)，前n 项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n 项和为6560，求a 和q ．
解 由S n =80，S 2n =6560，故q ≠1
a q q a q q
n n
()
()11112----⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒=80=6560
q =81n ①
②③
∵a ＞0，q ＞1，等比数列为递增数列，故前n 项中最大项为a n ． ∴a n =aq n-1=54
④
将③代入①化简得a=q －1
⑤
③
④
化简得⑥3a =2q
由⑤，⑥联立方程组解得a=2，q=3
【例2】求证：对于等比数列，有＋＋．S S =S (S S )n 22n 2
n 2n 3n
证 ∵S n =a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n-1 S 2n =S n ＋(a 1q n ＋a 1q n+1＋…＋a 1q 2n-1) =S n ＋q n (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n-1) =S n ＋q n S n =S n (1＋q n )
类似地，可得S 3n =S n (1＋q n ＋q 2n )
∴＋＋＋＋S +S =S [S (1q )]
=S (22q q )n 22n 2n 2n n 2n
2n 2n
S (S S )=S [S (1q )S (1q q )]
=S (22q q )
S S =S (S S )
n 2n 3n n n n n n 2n n 2n 2n
n 22n 2
n 2n 3n ＋＋＋＋＋＋＋∴＋＋
说明 本题直接运用前n 项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地
处理了S 2n 、S 3n 与S n 的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧．
【例3】 一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．
分析 设等比数列为{a n }，公比为q ，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q 2，首项分别为a 1，a 1q ．
解 设项数为2n(n ∈N*)，因为a 1=1，由已知可得q ≠1．
∴①
②
a q q a q q q n n
122
1221111()
()----⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=85=170
①
②得：把代入①
得
∴q =2q =2=85 4=256 n =4
n 14
14
--n
即公比为2，项数为8．
说明 运用等比数列前n 项和公式进行运算、推理时，对公比q 要分情况讨论．有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的．
【例4】 选择题：在等比数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有S n =2n
－，则＋＋…＋等于1a a a 1222n 2
[ ]
A (21)
B (21)
C 21
D (41)
n 2n 2
n n
．－．－．－．－1
3
13
解 D ．
∵a 1=S 1=1，a n =S n －S n-1=2n-1 ∴a n =2n-1
∴b n =(a n )2=(2n-1)2=22n-2=4n-1
∴＋＋…＋＋＋…＋＋＋＋…＋b b b =a a a =1444=414112n 12222
2
2n 1n ---=-13
41()n
【例5】 设0＜V ＜1，m 为正整数，求证： (2m ＋1)V m (1－V)＜1－V 2m+1 分析 直接作，不好下手．变形：
(2m 1)V m
＋＜1121
--+V V
m
右边分式的外形，使我们联想到等比数列求和公式，于是有： (2m ＋1)V m ＜1＋V ＋V 2＋…＋V 2m
发现左边有(2m ＋1)个V m ，右边有(2m ＋1)项，变形：V m ＋V m ＋…＋V m ＜1＋V ＋V 2＋…＋V 2m ．
显然不能左右各取一项比较其大小，试用“二对二”法，即左边选两项与右边的两项相比较．鉴于左、右两边都具有“距首末等远的任意两项指数之和均相等”的特点，想到以如下方式比较：
V m ＋V m ＜1＋V 2m ，V m ＋V m ＜V ＋V 2m-1，…，V m ＋V m ＜V m-1＋V m+1，V m =V m ．
即2V m ＜1＋V 2m ，2V m ＜V ＋V 2m-1，…．
根据“两个正数的算术平均值大于等于其几何平均值”，这些式子显然成立．
(具体证法从略)．
说明 本题最大的特点是解题过程中需要多次用到“逆向思考”：
要证·＜＞，改证＜；见到，去逆向运用·，化成＋＋＋…＋；要证＋＜＋，先证＜
A B C(B 0)A S =
a 1V V V A B C D n 122m C B V V
a q q
A m n
11121----+
C ，B ＜
D ，等等．善于进行逆向思考，是对知识熟练掌握的一种表现，同时也是一种重要的思维能力，平时应注意训练．
【例6】 数列{a n }是等比数列，其中S n =48，S 2n =60，求S 3n ．
解法一 利用等比数列的前n 项和公式
若q=1，则S n =na 1，即na 1=48，2na 1=96≠60，所以q ≠1
∵S =a (1q )
1n 1n --q
S =
a (1)a (1)(1+)
1q 2n
11--=
--=+q q q q S q n
n n n n 211()
∴q =14
S =
a (1q )1q
n 3n
13n --=
-++-a q q q q
n n n 12111()()
=S n (1＋q n ＋q 2n )
∴S =48(1+1
16
)=633n
+14
解法二 利用等比数列的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列 ∴ (60－48)2=48·(S 3n －60) ∴ S 3n =63． 解法三 取特殊值法
取n=1，则S 1=a 1=48，S 2n =S 2=a 1＋a 2=60 ∴ a 2=12
∵ {a n }为等比数列
∴ q =
a a a =3213
=1
4
S 3n =S 3=a 1＋a 2＋a 3=63
【例7】 已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n+1=4a n ＋2(n ∈N*)，a 1=1
(1)设b n =a n+1－2a n (n ∈N*)，求证：数列{b n }是等比数列；
(2)c =
a 2(n N*){c }n n
n
n 设∈，求证：数列是等差数列． 解 (1)∵ S n+1=4a n ＋2 S n+2=4a n+1＋2 两式相减，得
S n+2－S n+1=4a n+1=4a n (n ∈N*) 即：a n+2=4a n+1－4a n
变形，得a n+2－2a n+1=2(a n+1－2a n ) ∵ b n =a n+1－2a n (n ∈N*) ∴ b n+1=2b n
由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列． 由S 2=a 1＋a 2=4a 1＋2，a 1=1 可得a 2=5，b 1=a 2－2a 1=3 ∴ b n =3·2n-1
(2) c =
a 2
(n N*)c =b 2
n n
n n+1n n+1
∵∈∴-=-=-++++c a a a a n n n n n n n
n 11112222
将b n =3·2n-1代入，得
c c =3
4
(n N*)n+1n －∈
由此可知，数列是公差的等差数列，它的首项，故＋－·即：{c }d =3
4c =a 2
c =(n 1)C =34n 11n n =
-
121234
1
4
n 说明 利用题设的已知条件，通过合理的转换，将非等差、非等比数列转
化为等差数列或等比数列来解决。