高中数学典型例题大全数列等比数列的前n项和

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【例1】 设等比数列的首项为a(a >0),公比为q(q >0),前n 项和为80,其中最大的一项为54,又它的前2n 项和为6560,求a 和q .

解 由S n =80,S 2n =6560,故q ≠1

a q q a q q

n n

()

()11112----⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒=80=6560

q =81n ①

②③

∵a >0,q >1,等比数列为递增数列,故前n 项中最大项为a n . ∴a n =aq n-1=54

将③代入①化简得a=q -1

化简得⑥3a =2q

由⑤,⑥联立方程组解得a=2,q=3

【例2】求证:对于等比数列,有++.S S =S (S S )n 22n 2

n 2n 3n

证 ∵S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n-1 S 2n =S n +(a 1q n +a 1q n+1+…+a 1q 2n-1) =S n +q n (a 1+a 1q +…+a 1q n-1) =S n +q n S n =S n (1+q n )

类似地,可得S 3n =S n (1+q n +q 2n )

∴++++S +S =S [S (1q )]

=S (22q q )n 22n 2n 2n n 2n

2n 2n

S (S S )=S [S (1q )S (1q q )]

=S (22q q )

S S =S (S S )

n 2n 3n n n n n n 2n n 2n 2n

n 22n 2

n 2n 3n +++++++∴++

说明 本题直接运用前n 项和公式去解,也很容易.上边的解法,灵活地

处理了S 2n 、S 3n 与S n 的关系.介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键,并且变得好,则解法巧.

【例3】 一个有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数.

分析 设等比数列为{a n },公比为q ,取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列,公比为q 2,首项分别为a 1,a 1q .

解 设项数为2n(n ∈N*),因为a 1=1,由已知可得q ≠1.

∴①

a q q a q q q n n

122

1221111()

()----⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=85=170

②得:把代入①

∴q =2q =2=85 4=256 n =4

n 14

14

--n

即公比为2,项数为8.

说明 运用等比数列前n 项和公式进行运算、推理时,对公比q 要分情况讨论.有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程,可采用两式相除的方法达到降次的目的.

【例4】 选择题:在等比数列{a n }中,已知对任意正整数n ,有S n =2n

-,则++…+等于1a a a 1222n 2

[ ]

A (21)

B (21)

C 21

D (41)

n 2n 2

n n

.-.-.-.-1

3

13

解 D .

∵a 1=S 1=1,a n =S n -S n-1=2n-1 ∴a n =2n-1

∴b n =(a n )2=(2n-1)2=22n-2=4n-1

∴++…+++…++++…+b b b =a a a =1444=414112n 12222

2

2n 1n ---=-13

41()n

【例5】 设0<V <1,m 为正整数,求证: (2m +1)V m (1-V)<1-V 2m+1 分析 直接作,不好下手.变形:

(2m 1)V m

+<1121

--+V V

m

右边分式的外形,使我们联想到等比数列求和公式,于是有: (2m +1)V m <1+V +V 2+…+V 2m

发现左边有(2m +1)个V m ,右边有(2m +1)项,变形:V m +V m +…+V m <1+V +V 2+…+V 2m .

显然不能左右各取一项比较其大小,试用“二对二”法,即左边选两项与右边的两项相比较.鉴于左、右两边都具有“距首末等远的任意两项指数之和均相等”的特点,想到以如下方式比较:

V m +V m <1+V 2m ,V m +V m <V +V 2m-1,…,V m +V m <V m-1+V m+1,V m =V m .

即2V m <1+V 2m ,2V m <V +V 2m-1,….

根据“两个正数的算术平均值大于等于其几何平均值”,这些式子显然成立.

(具体证法从略).

说明 本题最大的特点是解题过程中需要多次用到“逆向思考”:

要证·<>,改证<;见到,去逆向运用·,化成+++…+;要证+<+,先证<

A B C(B 0)A S =

a 1V V V A B C D n 122m C B V V

a q q

A m n

11121----+

C ,B <

D ,等等.善于进行逆向思考,是对知识熟练掌握的一种表现,同时也是一种重要的思维能力,平时应注意训练.

【例6】 数列{a n }是等比数列,其中S n =48,S 2n =60,求S 3n .

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