高中数学典型例题大全数列等比数列的前n项和
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【例1】 设等比数列的首项为a(a >0),公比为q(q >0),前n 项和为80,其中最大的一项为54,又它的前2n 项和为6560,求a 和q .
解 由S n =80,S 2n =6560,故q ≠1
a q q a q q
n n
()
()11112----⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒=80=6560
q =81n ①
②③
∵a >0,q >1,等比数列为递增数列,故前n 项中最大项为a n . ∴a n =aq n-1=54
④
将③代入①化简得a=q -1
⑤
③
④
化简得⑥3a =2q
由⑤,⑥联立方程组解得a=2,q=3
【例2】求证:对于等比数列,有++.S S =S (S S )n 22n 2
n 2n 3n
证 ∵S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n-1 S 2n =S n +(a 1q n +a 1q n+1+…+a 1q 2n-1) =S n +q n (a 1+a 1q +…+a 1q n-1) =S n +q n S n =S n (1+q n )
类似地,可得S 3n =S n (1+q n +q 2n )
∴++++S +S =S [S (1q )]
=S (22q q )n 22n 2n 2n n 2n
2n 2n
S (S S )=S [S (1q )S (1q q )]
=S (22q q )
S S =S (S S )
n 2n 3n n n n n n 2n n 2n 2n
n 22n 2
n 2n 3n +++++++∴++
说明 本题直接运用前n 项和公式去解,也很容易.上边的解法,灵活地
处理了S 2n 、S 3n 与S n 的关系.介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键,并且变得好,则解法巧.
【例3】 一个有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数.
分析 设等比数列为{a n },公比为q ,取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列,公比为q 2,首项分别为a 1,a 1q .
解 设项数为2n(n ∈N*),因为a 1=1,由已知可得q ≠1.
∴①
②
a q q a q q q n n
122
1221111()
()----⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=85=170
①
②得:把代入①
得
∴q =2q =2=85 4=256 n =4
n 14
14
--n
即公比为2,项数为8.
说明 运用等比数列前n 项和公式进行运算、推理时,对公比q 要分情况讨论.有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程,可采用两式相除的方法达到降次的目的.
【例4】 选择题:在等比数列{a n }中,已知对任意正整数n ,有S n =2n
-,则++…+等于1a a a 1222n 2
[ ]
A (21)
B (21)
C 21
D (41)
n 2n 2
n n
.-.-.-.-1
3
13
解 D .
∵a 1=S 1=1,a n =S n -S n-1=2n-1 ∴a n =2n-1
∴b n =(a n )2=(2n-1)2=22n-2=4n-1
∴++…+++…++++…+b b b =a a a =1444=414112n 12222
2
2n 1n ---=-13
41()n
【例5】 设0<V <1,m 为正整数,求证: (2m +1)V m (1-V)<1-V 2m+1 分析 直接作,不好下手.变形:
(2m 1)V m
+<1121
--+V V
m
右边分式的外形,使我们联想到等比数列求和公式,于是有: (2m +1)V m <1+V +V 2+…+V 2m
发现左边有(2m +1)个V m ,右边有(2m +1)项,变形:V m +V m +…+V m <1+V +V 2+…+V 2m .
显然不能左右各取一项比较其大小,试用“二对二”法,即左边选两项与右边的两项相比较.鉴于左、右两边都具有“距首末等远的任意两项指数之和均相等”的特点,想到以如下方式比较:
V m +V m <1+V 2m ,V m +V m <V +V 2m-1,…,V m +V m <V m-1+V m+1,V m =V m .
即2V m <1+V 2m ,2V m <V +V 2m-1,….
根据“两个正数的算术平均值大于等于其几何平均值”,这些式子显然成立.
(具体证法从略).
说明 本题最大的特点是解题过程中需要多次用到“逆向思考”:
要证·<>,改证<;见到,去逆向运用·,化成+++…+;要证+<+,先证<
A B C(B 0)A S =
a 1V V V A B C D n 122m C B V V
a q q
A m n
11121----+
C ,B <
D ,等等.善于进行逆向思考,是对知识熟练掌握的一种表现,同时也是一种重要的思维能力,平时应注意训练.
【例6】 数列{a n }是等比数列,其中S n =48,S 2n =60,求S 3n .