(完整word版)等差等比数列知识点梳理及经典例题,推荐文档
(完整版)等差等比数列的性质总结,推荐文档
6．等差数列的证明方法
定义法：若 an an1 d 或 an1 an d (常数 n N ) an 是等差数列．
7.提醒：
（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 d 称作
为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。 （2）设项技巧：
①一般可设通项 an a1 (n 1)d ②奇数个数成等差，可设为…， a 2d , a d , a, a d , a 2d …（公差为 d ）； ③偶数个数成等差，可设为…， a 3d , a d , a d , a 3d ,…（注意；公差为 2 d ）
8..等差数列的性质：
（1）当公差 d 0 时，
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若 an an1 d 或 an1 an d (常数 n N ) an 是等差数列． （2） 等差中项：数列 an 是等差数列 2an an-1 an1 (n 2) 2an1 an an2 ． ⑶数列 an 是等差数列 an kn b （其中 k, b 是常数）。 （4）数列 an 是等差数列 Sn An2 Bn ,（其中A、B是常数）。
即 当 a1 0，d 0，由 aann1 00 可得 Sn 达到最小值时的 n 值．
或求 an中正负分界项
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对
称轴最近的整数时， Sn 取最大值（或最小值）。若S
p
=
S
q则其对称轴为 n
pq 2
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
S奇 S偶
n 1 n
(完整版)等差等比数列知识点总结
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；.2.等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a3.等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为：()d n a a n 11-+=推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（1）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.(2) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列（3）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时，()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇 ()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇 11n n n n S na a S na a ++==奇偶2、当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）． 1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A = 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列和等比数列是数学中的两个重要概念，它们在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结：
等差数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个数列被称为等差数列。
2. 通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。
3. 求和公式：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d]$，其中 $S_n$ 是前$n$ 项的和。
4. 等差中项：任意两项的算术平均值等于第三项。
5. 等差数列的性质：如果两个数列都是等差数列，那么它们的和也是一个等差数列。
等比数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的比是一个常数，这个数列被称为等比数列。
2. 通项公式：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。
3. 求和公式：对于 $q \neq 1$，有 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$；对于 $q = 1$，有 $S_n = na_1$。
4. 等比中项：任意两项的几何平均值等于第三项。
5. 等比数列的性质：如果两个数列都是等比数列，那么它们的乘积是一个等比数列。
以上是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结。
在学习这些内容时，可以通过做练习题来加深理解和巩固知识。
(完整版)等差、等比数列公式总结
一、等差数列等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
等差数列的一般形式为：a_n = a_1 + (n 1)d其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
等差数列的前n项和公式为：S_n = n/2 (a_1 + a_n)或者S_n = n/2 (2a_1 + (n 1)d)二、等比数列等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。
等比数列的一般形式为：a_n = a_1 q^(n 1)其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
等比数列的前n项和公式为：S_n = a_1 (1 q^n) / (1 q) （当q ≠ 1时）或者S_n = n a_1 （当q = 1时）一、等差数列等差数列是一种常见的数列，其中每一项与前一项之间的差是恒定的。
这个恒定的差值被称为公差，通常用字母d表示。
等差数列的一般形式可以表示为：a_n = a_1 + (n 1)d其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
S_n = n/2 (a_1 + a_n)或者S_n = n/2 (2a_1 + (n 1)d)这个公式可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和。
二、等比数列等比数列是另一种常见的数列，其中每一项与前一项之间的比是恒定的。
这个恒定的比值被称为公比，通常用字母q表示。
等比数列的一般形式可以表示为：a_n = a_1 q^(n 1)其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
S_n = a_1 (1 q^n) / (1 q) （当q ≠ 1时）或者S_n = n a_1 （当q = 1时）这个公式可以帮助我们快速计算等比数列的前n项和。
三、应用场景等差数列和等比数列在数学和现实生活中的应用非常广泛。
例如，在金融领域，等差数列可以用来计算定期存款的利息，而等比数列可以用来计算复利的增长。
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数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：()n a f n =2、等差数列1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。
2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。
2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。
又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ； 若n<m ，则 m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L ， 相加得 12n n a a S n +=， 还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。
数列的等差数列与等比数列知识点总结
数列的等差数列与等比数列知识点总结数列是数学中经常出现的概念，它是按照一定规律排列的一组数的集合。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行总结。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
1. 等差数列的基本概念等差数列中，每一项与它的前一项的差值都相等，这个差值称为公差。
等差数列可以是正差、零差或负差的数列。
2. 等差数列的性质（1）首项和末项之和等于中间项之和的两倍：a1 + an = 2Sn，其中Sn表示前n项和。
（2）任意一项与首项之和等于任意一项与末项之和：ai + aj = a1 + an。
（3）等差数列的前n项和Sn等于首项与末项之和乘以项数的一半：Sn = (a1 + an) × n / 2。
3. 求等差数列的和求解等差数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，其中n 为项数。
4. 等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，如金融投资、房贷分期还款等均可以利用等差数列的性质进行计算。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 × r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。
1. 等比数列的基本概念等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。
等比数列可以是正比、零比或负比的数列。
2. 等比数列的性质（1）相邻两项之商等于任意一项与首项之商等于任意一项与末项之商：ai/aj = a1/ai = ai/an。
（2）等比数列的前n项和Sn等于首项与末项之差除以公比减1：Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)。
3. 求等比数列的和求解等比数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。
等差数列等比数列知识点归纳总结
等差数列等比数列知识点归纳总结等差数列和等比数列是高中数学中非常重要的概念，它们在解决各种数学问题中都起着重要的作用。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行归纳总结。
一、等差数列等差数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的差都相等。
这个相等的差值被称为等差数列的公差，通常用字母d表示。
1. 基本概念一个等差数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，d表示公差。
2. 性质（1）公差：等差数列的公差d是等差数列中相邻两项的差，公差可以是正数、负数或零。
（2）公式：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1) * d，其中n表示项数。
（3）前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2来计算。
3. 应用等差数列广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的差额、间隔、递推关系等。
（2）物理问题中的匀速直线运动、连续等差分布等。
（3）经济学中的利润、销售额等。
二、等比数列等比数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的比都相等。
这个相等的比值被称为等比数列的公比，通常用字母r表示。
1. 基本概念一个等比数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，r表示公比。
2. 性质（1）公比：等比数列的公比r是等比数列中相邻两项的比值，公比可以是正数、负数或零。
（2）公式：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n表示项数。
（3）前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)来计算。
3. 应用等比数列也广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的倍数关系、增长衰减等。
（2）物理问题中的连续等比分布、指数增长等。
word完整版等差等比数列知识点梳理及经典例题推荐文档
word完整版等差等⽐数列知识点梳理及经典例题推荐⽂档(3)8A 、等差数列知识点及经典例题⼀、数列由a n 与S n 的关系求a n由S n 求a n 时，要分n=1和n > 2两种情况讨论，然后验证两种情况可否⽤统⼀的解析式表⽰，若不能，则⽤分段1例〗根据下列条件，确定数列a n 的通项公式。
⑴⑷=1 .⼬I =3%+2孑 (2 ) a\ = 1,4+i = C n+ 1) Ofl ?分析：(1)可⽤构造等⽐数列法求解； (2)可转化后利⽤累乘法求解； (3)将⽆理问题有理化，⽽后利⽤a n 与S n 的关系求解。
丁⽿初=3兔+ 2,⼆％知+ 1=3(弘+1⼋⼆詈异=3⼯丽临为等⽐数列拾⽐+⼆為+ 1 = 2 * 3" 1 , A ^ = 2 * 3^-1.E^H =(n+> ?-=服得 S T =(A ±^!当 42 时=5⼀5-='為f "(為⼫O(2) ■!.⽚?1⼀⼇「?| ^⼀ J ........................ 「「⼇记.故"—<-累乘可得，函数的形式表⽰为a nS (n 1) Si S n 1 (n 2)解答：(1)—（cud- a, i+4）（弼―a?- I〉，⼆（召+為⼁）（的—编| —4） = QrTcin>0,「*爲+ 4 i>CbA O H —I —4=0,即％—久1=4, 化数列为等差数列，"差d=4.丁⼫ +2）⼜a? = S* =-------- g ----- ?A a. -2??:%=2⼗4（川⼀1〉=如⼀2?⼀⼆、等差数列及其前n项和（⼀）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种⽅法：第⼀种是利⽤定义，a n a n 1 d（常数）（n 2），第⼆种是利⽤等差中项，即2a.务1 %i（n 2）。
2、解选择题、填空题时，亦可⽤通项或前n项和直接判断。
（1）通项法：若数列｛a n｝的通项公式为n的⼀次函数，即a n=An+B,则｛a n｝是等差数列；（2）前n项和法：若数列｛a.｝的前n项和S n是S n An2Bn的形式（A, B是常数），则｛a“｝是等差数列。
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A 、等差数列知识点及经典例题一、数列由n a 与n S 的关系求n a由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩。
〖例〗根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式。
分析：（1）可用构造等比数列法求解； （2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。
解答：（1）（2）……累乘可得，故（3）二、等差数列及其前n 项和 （一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。
（1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列；（2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=g （1）求证：{1nS }是等差数列； （2）求n a 的表达式。
分析：（1）1120n n n n S S S S ---+=g →1n S 与11n S -的关系→结论； （2）由1nS 的关系式→n S 的关系式→n a 解答：（1）等式两边同除以1n n S S -g 得11n S --1n S +2=0，即1n S -11n S -=2（n ≥2）.∴{1n S }是以11S =11a =2为首项，以2为公差的等差数列。
（2）由（1）知1n S =11S +（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴n S =12n,当n ≥2时，n a =2n S ·1n S -=12(1)n n -。
又∵112a =，不适合上式，故1(1)21(2)2(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥-⎪⎩。
【例】已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1.其前n 项和S n 满足2S n ＝2pa 2n ＋a n －p (p ∈R)，则{a n }的通项公式为________．∵a 1＝1，∴2a 1＝2pa 21＋a 1－p ，即2＝2p ＋1－p ，得p ＝1.于是2S n ＝2a 2n ＋a n －1.当n ≥2时，有2S n －1＝2a 2n －1＋a n －1－1，两式相减，得2a n ＝2a 2n －2a 2n －1＋a n －a n －1，整理，得2(a n ＋a n －1)·(a n －a n －1－12)＝0.又∵a n >0，∴a n －a n －1＝12，于是{a n }是等差数列，故a n ＝1＋(n －1)·12＝n ＋12.（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式n a =1a +（n-1）d 及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1a ，n a ，d,n, n S ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
注：因为11(1)222n S d d dn a a n n =+-=+-，故数列{n S n }是等差数列。
〖例〗已知数列{n x }的首项1x =3，通项2(,,)n n x p nq n N p q *=+∈为常数，且1x ，4x ，5x 成等差数列。
求：（1）,p q 的值；（2）数列{n x }的前n 项和n S 的公式。
分析：（1）由1x=3与1x，4x，5x成等差数列列出方程组即可求出,p q；（2）通过n x利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
解答：（1）由1x=3得23p q+=……………………………………①又454515424,25,2x p q x p q x x x=+=++=且，得5532528p q p q++=+…………………②由①②联立得1,1p q==。
（2）由（1）得，nx nn+=2（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。
★2、等差数列的简单性质：略典型例题1．等差数列{}n a中, 若100,252==nnSS，则=nS3225；2.（厦门）在等差数列{}n a中，284a a+=,则其前9项的和S9等于（ A ）A．18 B 27 C 36 D 93、（全国卷Ⅰ理）设等差数列{}n a的前n项和为n S，若972S=,则249a a a++= 244、等差数列{a n} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( C )(A)130 (B)170 (C)210 (D)1605.(湖北卷)已知两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为An和nB，且7453nnA nB n+=+，则使得nnab为整数的正整数n的个数是（ D ）A．2 B．3 C．4 D．56、在数列{a n}中，若a1＝1，a n＋1＝2a n＋3(n≥1)，则该数列的通项a n＝________.由a n＋1＝2a n＋3，则有a n＋1＋3＝2(a n＋3)，即a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以数列{a n ＋3}是以a 1＋3为首项、公比为2的等比数列，即a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.7、已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |的值等于________．如图所示，易知抛物线y ＝x 2－2x ＋m 与y ＝x 2－2x ＋n 有相同的对称轴x ＝1，它们与x 轴的四个交点依次为A 、B 、C 、D .因为x A ＝14，则x D ＝74.又|AB |＝|BC |＝|CD |，所以x B ＝34，x C ＝54.故|m －n |＝|14×74－34×54|＝12.8、在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________．设公差为d ，则11(－3＋4d )＝5(－3＋7d )－13， ∴d ＝59.∴数列{a n }为递增数列．令a n ≤0，∴－3＋(n －1)·59≤0，∴n ≤325，∵n ∈N *.∴前6项均为负值，∴S n 的最小值为S 6＝－293.6.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足733n n S n T n +=+，则88a b = 6 .7．（北京卷）（16）（本小题共13分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =。
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d 。
因为366,0a a =-= 所以112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解得110,2a d =-=所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=- （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q 因为212324,8b a a a b =++=-=-所以824q -=- 即q =3所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==-- ★等差数列的最值：若{}n a 是等差数列，求前n 项和的最值时，（1）若a 1>0,d>0,且满足10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，前n 项和n S 最大；（2）若a 1<0,d>0，且满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩，前n 项和n S 最小；（3）除上面方法外，还可将{}n a 的前n 项和的最值问题看作n S 关于n 的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n N *∈。
〖例〗已知数列{}n a 是等差数列。
（1）若,(),;m n m n a n a m m n a +==≠求 （2）若,(),.m n m n S n S m m n S +==>求解答：设首项为1a ，公差为d ， （1）由,m n a n a m ==，1n md m n-==-- ∴()(1)0.m n m a a m n m d n n +=++-=+⨯-=（2）由已知可得11(1)2,(1)2n n m na d m m n ma d -⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩解得221.2()n m mn m n a mn m n d mn ⎧++--=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩1()(1)()()2m n m n m n S m n a d m n +++-∴=++=-+【例】已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *，满足关系式2S n ＝3a n －3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正整数n ，总有T n <1.(1)解 ①当n ＝1时，由2S n ＝3a n －3得，2a 1＝3a 1－3， ∴a 1＝3.②当n ≥2时，由2S n ＝3a n －3得， 2S n －1＝3a n －1－3.两式相减得：2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，即2a n ＝3a n －3a n －1， ∴a n ＝3a n －1，又∵a 1＝3≠0，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝3n . 验证：当n ＝1时，a 1＝3也适合a n ＝3n . ∴{a n }的通项公式为a n ＝3n .(2)证明 ∵b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1＝1log 33n·log 33n ＋1＝1(n ＋1)n ＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1<1.等差数列习题1. 设｛a n ｝为等差数列，S n 为｛a n ｝的前n 项和，S 7＝7，S 15＝75，已知T n 为数列｛S nn｝的前n 项数，求T n ． 2．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，12,633==S a ． （１）求数列{}n a 的通项公式；（２）求nS S S 11121+++Λ． 12.解：设数列｛a n ｝的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n （n －1）d ．∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎨⎧7a 1＋21d ＝7 15a 1＋105d ＝75， ∴⎩⎨⎧a 1＝－2d ＝1∴S n n ＝a 1＋12 ·（n －1）d ＝－2＋12·（n －1） ∴S n +1n ＋1 －S n n ＝12 ∴数列｛S n n ｝是等差数列，其首项为－2，公差为12， ∴T n ＝n ·(－2)＋n （n －1）2·12 ＝14 n 2－94n ．14．解：（１）设数列{}n a 的公差为ｄ，由题意得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+1222336211d a d a ，解得 ⎩⎨⎧==221d a ，∴数列{}n a 的通项公式为n d n a a n 2)1(1=-+=，即n a n 2=． （２）∵n a n 2=，∴)1(2)(1+=+=n n a a n S n n ． ∴n S S S 11121+++Λ)1(1321211+++⨯+⨯=n n Λ 111)111()3121()2111(+-=+-++-+-=n n n Λ． B 、等比数列知识点及练习题等比数列及其前n 项和 （一）等比数列的判定 判定方法有： （1）定义法：若11()()n n n n a aq q q q a a +-==≥为非零常数或为非零常数且n 2，则{}n a 是等比数列； （2）中项公式法：若数列{}n a 中，2120()n n n n a a a a n N *++≠=∈g 且，则数列{}n a 是等比数列； （3）通项公式法：若数列通项公式可写成(,0)n n a cq c q n N *=∈均为不为的常数，，则数列{}n a 是等比数列；（4）前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,0,1)n n S k q k k k q =-≠≠g为常数且，则数列{}n a 是等比数列；注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。