高三数学随机事件的概率与古典概型(201911整理)
高三数学随机事件的概率与古典概型
2019届高三数学课标一轮复习课件：10.4 随机事件的概率与古典概型
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3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1 . (2)必然事件的概率:P(A)=1 . (3)不可能事件的概率:P(A)=0 . (4)概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B) . (5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必 然事件.P(A∪B)=1 ,P(A)=1-P(B) .
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第十章
知识梳理 双击自测
10.4 随机事件的概率与古典概型
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5.A,B,C三名学生按任意次序站成一排,A在边上的概率 为 .
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4.口袋内有一些除颜色外完全相同的红球、黄球、白球,从中摸出 一个球,摸出红球或白球的概率为0.65,摸出黄球或白球的概率为 0.6,那么摸出白球的概率是 .
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设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A,B,C,由条件 P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.65,P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.6,又P(A∪B)=1P(C),∴P(C)=0.35.∴P(B)=0.25. 0.25
第十章
考点一 考点二 考点三
自测点评 1.频率与概率有本质的区别,不可混为一谈.频率随着试验次数的 改变而变化,概率却是一个常数.当试验次数越来越多时,频率向概 率靠近. 2.对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定 是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 3.一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的 两个特点——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型 才是古典概型.
随机事件的概率与古典概型
B表示它们的和，则有B) = ______ 个互斥事件的和的概率。
的两个事件叫做互为对立事件，事件A)P(A)=）有限性，即在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本）等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的；、如果一次试验中可能出现的结果有变式练习：袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一球 : （1）问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。
题型二、互斥事件与对立事件的概率 例2、（2014四川）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a ，b ，c . 求(1) “抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率(2)“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．变式练习：1、（2014）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( )A. 18 B .38 C .58D. 782、一个箱子内有9张票，其号数分别为1，2，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？题型三：古典概型及概率公式例3．已知集合{}2P x x(x 10x 24)0=++=，{}Q y y 2n 1,1n 2,n N *==-≤≤∈，,M P Q =在平面直角坐标系中，点()11A x ,y 的坐标11x M ,y M ∈∈计算：（1）点A 正好在第三象限的概率； （2）点A 不在Y 轴的概率;（3）点A 正好落在圆面22x y 10+≤上的概率变式练习1、在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，求这位考生能够及格的概率.2、从分别标有0，1，2，3，4，5的六张卡片中，任取三张，并组成三位数，计算： （1） 这个三位数是偶数的概率； （2） 这个三位数能被3整除的概率。
【原创】高考数学复习第五节 随机事件的概率、古典概型
第五节随机事件的概率、古典概型1．事件的相关概念2．频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An 为事件A 出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率．3．事件的关系与运算4．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率为1. (3)不可能事件的概率为0.(4)概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (5)对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件，P (A ∪B )＝1，P (A )＝1－P (B )．5．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 6．古典概型(1)(2)概率计算公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.[小题体验]1．(教材习题改编)某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为____________；中10环的概率约为________．解析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为910＝0.9，所以此人射击1次，中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2.答案：0.9 0.22．(教材习题改编)如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是14，取到方块的概率是14，则取到黑色牌的概率是________．答案：123．(教材习题改编)一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是________．解析：先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为25.答案：254．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．解析：两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种．∴所求概率P ＝210＝15.答案：1 51．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．2．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．3．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.[小题纠偏]1．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么()A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：选B两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立．2．从一副混合后的扑克牌(除去大、小王52张)中，随机抽取1张．事件A为“抽到红桃K”，事件B为“抽到黑桃”，则P(A∪B)＝________(结果用最简分数表示)．解析：∵P(A)＝152，P(B)＝1352，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝152＋1352＝1452＝726.答案：7 26考点一随机事件的关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶解析：选D事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．2．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C ＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．答案：A与B，A与C，B与C，B与D B与D[谨记通法]判断互斥、对立事件的2种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．考点二随机事件的频率与概率(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为()A．49B．0.5C．0.51 D．0.49解析：选C由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为51 100＝0.51.2．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．[谨记通法]1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．[提醒] 概率的定义是求一个事件概率的基本方法．考点三 互斥事件与对立事件的概率(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]某战士射击一次，问：(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？解：(1)设中靶为事件A ，则不中靶为A . 则由对立事件的概率公式可得， P (A )＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05.即不中靶的概率为0.05.(2)设命中10环为事件B，命中9环为事件C，命中8环为事件D，由题意知P(B)＝0.27，P(C)＝0.21，P(D)＝0.24.记至少命中8环为事件E，则P(E)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72.故至少命中8环的概率为0.72.记至少命中9环为事件F，则不够9环为F，则P(F)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.27＋0.21＝0.48.则P(F)＝1－P(F)＝1－0.48＝0.52.即不够9环的概率为0.52.[由题悟法]求复杂互斥事件概率的2种方法(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A)求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．[提醒]应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差)．[即时应用](2019·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：求：(2)至少3人排队等候的概率是多少？解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H ，则 H ＝D ∪E ∪F ， 所以P (H )＝P (D ∪E ∪F ) ＝P (D )＋P (E )＋P (F ) ＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H ， 则其对立事件为事件G ， 所以P (H )＝1－P (G )＝0.44.考点四 古典概型的简单问题(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·浙江名校联考)春节期间，记者在天安门广场随机采访了6名外国游客，并从这6人中任意选取2人进行深度采访，则不同的选择情况有________种，若这6人中有2名游客会说汉语，则选取的2人中至少有1人会说汉语的概率为________．解析：不同的选择情况有C 26＝15种．法一：设“选取的2人中至少有1人会说汉语”为事件A ，由题意知，P (A －)＝C 24C 26＝615＝25，则P (A )＝1－25＝35. 法二：设“选取的2人中至少有1人会说汉语”为事件A ，则P (A )＝C 22＋C 12C 14C 26＝915＝35. 答案：15352．(2019·嘉兴高三期末)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则恰好选到2名男生和1名女生的概率为________，所选3人中至少有1名女生的概率为________．解析：从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛， 基本事件总数n ＝C 36＝20，恰好选到2名男生和1名女生包含的基本事件个数m ＝C 24C 12＝12，∴恰好选到2名男生和1名女生的概率P 1＝m n ＝1220＝35.∵所选3人中至少有1名女生的对立事件是选到的3人都是男生，∴所选3人中至少有1名女生的概率P 2＝1－C 34C 36＝45.答案：35 453．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有： {A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个．因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.[谨记通法]1．求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；(2)分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ； (3)利用公式P (A )＝mn ，求出事件A 的概率． 2．基本事件个数的确定方法考点五 古典概型的交汇命题(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]古典概型在高考中常与平面向量、解析几何等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高．常见的命题角度有：(1)古典概型与平面向量相结合； (2)古典概型与直线、圆相结合； (3)古典概型与函数相结合．[题点全练]角度一：古典概型与平面向量相结合1．设平面向量a ＝(m,1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}，记“a ⊥(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( )A.18 B.14 C.13D.12解析：选A 有序数对(m ，n )的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．由a ⊥(a －b )，得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2，由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以所求的概率P (A )＝216＝18. 角度二：古典概型与直线、圆相结合2．(2019·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2aa 2＋b 2≤ 2，即a ≤b ，则当a ＝1时，b ＝1,2,3,4,5,6，共有6种，当a ＝2时，b ＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a ＝3时，有4种，a ＝4时，有3种，a ＝5时，有2种，a ＝6时，有1种，故共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于2136＝712. 答案：712角度三：古典概型与函数相结合3．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫a π4x ，a 为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f (x )在[0,4]上零点的个数不小于4的概率为( )A.13B.12C.25D.23解析：选B 依题意，函数f (x )在[0,4]上零点的个数不小于4等价于函数f (x )的周期的74倍不大于4，即74×2πa π4≤4，解得a ≥72，故a ＝4,5,6，而所有a 的值共6个，所以函数f (x )在[0,4]上零点的个数不小于4的概率为12.[通法在握]解决古典概型交汇命题的方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．[演练冲关]1．(2019·湘中名校联考)从集合A ＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a ，从集合B ＝{－1，1,3}中随机选取一个数记为b ，则直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为( )A.29B.13C.49D.14解析：选A 从集合A ，B 中随机选取后组合成的数对有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9种，要使直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限，则需a ＞0，b ＞0，共有2种满足题意，所以所求概率P ＝29，故选A.2．(2019·宁海模拟)m ∈{－2，－1,0,1,2}，n ∈{－1,0,1}，随机抽取一个m 和一个n ，使得平面向量a ＝(m ，n )，满足|a |＞2的概率为________．解析：当m ＝－2,2，n ＝－1,1时，满足|a |＞2.所以概率为2×25×3＝415. 答案：415一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·宁波四校联考)甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( )A.13B.14C.15D.16解析：选A ∵甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9个，其中两人参加同一个小组的事件有(A ，A )，(B ，B )，(C ，C )，共3个，∴两人参加同一个小组的概率为39＝13. 2．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红球、黑球各一个解析：选D 红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含“两个红球”这个事件，故不是对立事件．3．(2019·绍兴质检)5个车位分别停放了A ，B ，C ，D ，E 5辆不同的车，现将所有车开出后再按A ，B ，C ，D ，E 的次序停入这5个车位，则在A 车停入了B 车原来的位置的条件下，停放结束后恰有1辆车停在原来位置上的概率是( )A.38B.340C.16D.112解析：选A 若C 停在原来位置上，则剩下三辆车都不停在原来位置上，共有9种方法，故所求概率为9A 44＝38. 4．(2019·杭州高级中学联考)甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则不同的选法共有________种，2人所选课程至少有一门相同的概率为________．解析：甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则不同的选法共有C 24C 24＝36种.2人所选课程至少有一门相同，有36－C 24＝30种，∴2人所选课程至少有一门相同的概率为3036＝56. 答案：36 56 5．如果事件A 与B 是互斥事件，且事件A ∪B 发生的概率是0.64，事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的3倍，则事件A 发生的概率为________；事件B 发生的概率为________．解析：设P (A )＝x ，P (B )＝3x ，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝x ＋3x ＝0.64.∴P (A )＝x ＝0.16，P (B )＝3x ＝0.48.答案：0.16 0.48二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·宁波模拟)一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是( )A.12B.13C.23D.34解析：选D 抛掷两次该玩具共有16种情况：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，…，(4,4)．其中乘积是偶数的有12种情况：(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是P ＝1216＝34. 2．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则下面事件是互斥事件但不是对立事件的为( )A ．恰有1个白球和全是白球；B ．至少有1个白球和全是黑球；C ．至少有1个白球和至少有2个白球；D ．至少有1个白球和至少有1个黑球．解析：选A 由题意可知，事件C 、D 均不是互斥事件；A 、B 为互斥事件，但B 又是对立事件，满足题意只有A ，故选A.3．(2019·安徽淮北一模)五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )A.516B.1132C.1532D.12解析：选B 由题意知共有25种基本事件，其中没有相邻的两个人站起来包括如下情况：没有人站起来，有1种基本事件；只有一个人站起来，有C 15＝5种基本事件；有两个人站起来，只有13,14,24,25,35这5种基本事件，因此所求概率为1＋5＋525＝1132. 4．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( ) A.15B.25C.16D.18解析：选B 如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF ，BCDE ，ABCF ，CDEF ，ABCD ，ADEF ，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P ＝615＝25. 5．已知集合M ＝{}1，2，3，4，N ＝{}(a ，b )|a ∈M ，b ∈M ，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.18解析：选C 易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使直线OA 的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率是416＝14. 6．(2018·诸暨质检)用1,2,3,4,5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，则千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2(比如1 524)的概率为________．解析：用1,2,3,4,5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，基本事件总数n ＝A 45＝120，其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2包含的基本事件有： 1 352,1 425,1 524,3 142,3 152,3 524,3 514,5 241,5 314，5 142，共10个∴千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2(比如1 524)的概率为10120＝112. 答案：1127．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815. 由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415.答案：815 14158．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为________．解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ，则其对立事件N 表示“A 1和B 1全被选中”，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，所以P (N )＝212＝16，由对立事件的概率计算公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56. 答案：569．在某项大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)求五名志愿者中仅有一人参加A 岗位服务的概率．解：(1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140. (2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910. (3)有两人同时参加A 岗位服务的概率P 2＝C 25A 33C 25A 44＝14，所以仅有一人参加A 岗位服务的概率P 1＝1－P 2＝34. 10．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ＜m ＋2的概率．解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有(1,2)，(1,3)，共两个．因此所求事件的概率P ＝26＝13. (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，对一切可能的结果(m ，n )有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316.故满足条件n ＜m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·宜春中学、新余一中联考)已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}．定义映射f ：M →N ，则从中任取一个映射满足由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC 的概率为( )A.332B.532C.316D.14解析：选C ∵集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}，∴映射f ：M →N 有43＝64种，∵由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC ，∴f (1)＝f (3)≠f (2)，∵f (1)＝f (3)有4种选择，f (2)有3种选择，∴从中任取一个映射满足由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC 的事件有4×3＝12种，∴所求概率为1264＝316. 2．(2019·宁波调研)小明和小华进行有放回地摸小球游戏，规则如下：共有7个小球(除编号不同外，其他完全相同)，编号分别为1,2,3,4,5,6,7，并置于一个盒子内．小明和小华每次摸球一个，每个小球被摸到的概率相等．则取到的两个小球的编号之和为偶数的概率为______；小明取到的小球的编号大于小华取到的小球的编号的概率是________．解析：所有的摸球方法有7×7＝49种，其中取到的两个小球的编号之和为偶数的摸球方法有4×4＋3×3＝25种．所以取到的两个小球的编号之和为偶数的概率为P 1＝2549.小明取到的小球的编号大于小华取到的小球的编号的摸球方法有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，所以其概率是P 2＝2149＝37. 答案：2549 373．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．解：(1)由题意，(a ，b ，c )所有可能的结果为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P (A )＝327＝19， 因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89，因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.。
高三数学随机事件的概率与古典概型
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[单选]关于考试焦虑症的处理，以下哪种说法是不正确的?（）A．考试焦虑症必要时可以心理治疗配合抗焦虑的药物来处理B．学业压力和考试焦虑会形成恶性循环，令考试焦虑症越来越严重C．考试焦虑症的形成原因主要是学生内部的压力，所以只要处理好学生的心态和观念就可以了D．系统脱 [单选]临床药师应具备的条件为（）A.药学专业或相关专业本科以上学历并具中级以上技术职称B.药学本科以上学历并具中级以上技术职称C.药学专业或药学管理专业本科以上学历并具高级以上技术职称D.药学专业硕士并具中级以上技术职称E.药学专业博士并具中级以上技术职称 [单选]被称为“超级癌症”的性传播疾病是()A．淋病B．艾滋病C．软下疳D．梅毒 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列疾病可于Graves病伴发的是（）.A.1型糖尿病B.慢性特发性肾上腺皮质功能减退症C.特发性血小板减少性紫癜D.重症肌无力E.以上都是 [填空题]煤气中硫化物按其化和状态可分为两类：一类是硫的无机物，主要是（）；另一类是硫的（），如二硫化碳、噻吩、及硫氧化物。 [填空题]常用的温度单位有（）、（）、（）。 [单选,A2型题,A1/A2型题]以下关于骨髓的描述正确的是（）A.全部位于长骨的骨髓腔内B.黄骨髓有造血功能C.胎儿和幼儿无黄骨髓只有红骨髓D.黄骨髓主要成分为水E.红骨髓不会转变为黄骨髓 [单选]为了使气缸、活塞以及各运动表面的热量逐渐被冷却液带走，以免由于突然中断冷却液使机件出现应力而裂损或造成气缸壁滑油在高温下结炭，在完车后应使主机淡水循环泵(非柴油机自带泵)和()再继续工作一段时间，待降温后再停泵关闭进出口阀门。A.滑油泵(非柴油机自带泵)B.鼓风机 [多选]货币的演变形式是（）。A.贵金属B.铸币C.纸币D.以信用工具为主的货币 [单选,A2型题,A1/A2型题]为了鉴别巨幼细胞贫血与红白血病，最好的染色方法是（）ACP染色B.PAS染色C.α-NAE染色D.NAP染色E.POX染色 [单选,A1型题]含大量结核杆菌的病灶是（）A.渗出性病变B.干酪样坏死及液化C.结核球D.钙化灶E.结核结节 [单选]检测仪表按测量原理分类如电容式、电磁式、压电式、光电式、超声波式、（）测仪表等。A、扩散式B、核辐射式C、电流式D、电压式 [单选]逾期无人认领的拾到或寄存行李处置的时限规定：旅客放弃领取或无法联络到旅客时，保存期限为（）天，自拾到或寄存的次日起算。A.40B.90C.30D.60 [单选]内容是指事物内在（）的总和。A、成分B、构成C、要素D、物质 [单选]应当如何看待咨询师的仪表礼仪？（）A.无关重要B.是个人形象和魅力的最好证明C.是个人品德和能力的最好证明D.是个人生活中最为重要的方面 [填空题]高层建筑结构主要承受（），（）和（）等。 [单选]信息产业分为（）部门。A.1个B.2个C.3个D.4个 [单选]滑坡体长度是指顺堤防（）的尺寸。A.纵向B.横向C.堤肩到堤脚D.堤脚 [单选]尼龙柱销联轴器，允许两轴中心线偏斜（）。A、40’B、30’C、20’D、10’ [单选,B型题]同期控制包括（）A.压疮发生率B.基础护理合格率C.护理差错事故发生次数D.每日查对医嘱及时纠正E.急救物品完好率 [单选]子午线北端顺时针转到直线间的夹角叫做（）。A．正象限角B．反方位角C．方位角D．象限角 [单选]按《客运专线预应力混凝土预制梁生产许可证实施细则》要求，关于铁路制梁场技术文件管理要求，下述说法错误的是（）A、应制定企业内控标准，标准应不低于相应的国家标准或行业标准的要求，并经标准化审查后发布B、应具有经铁道部技术鉴定通过的齐全产品设计图纸，对于标准图 [单选]个人注册客户办理网上记账式国债业务的账户必须是（）。A、个人身份证下的任一账户B、个人已注册的准贷记卡C、个人已注册的借记卡D、个人已注册活期存折 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列不属于运输载体类的血浆蛋白质是（）.A.清蛋白B.铜蓝蛋白C.转铁蛋白D.前清蛋白E.免疫球蛋白 [单选]固体物质随温度的升高，溶解度（）。A、增大B、减小C、不变D、变化情况无法确定 [单选]带状疱疹病人局部皮损水疱已破，红肿明显，宜用（）A.炉甘石洗剂外搽B.硼酸溶液湿敷C.阿昔洛韦软膏外搽D.万乃洛韦软膏外搽E.外敷膏药 [单选]Battle征是指（）A.颅后窝骨折引起的脑脊液耳漏B.颅中窝底骨折引起的脑脊液鼻漏和耳漏C.颅前窝底骨折引起的眼眶周围的青紫和肿胀D.颅后窝骨折引起的迟发性乳突部皮下淤血斑E.颅中窝底骨折引起的搏动性突眼和颅内血管杂音 [单选,B型题]减压病的病因是（）。A.高气压B.低气压C.高气温D.高气湿E.高气流 [单选]VHF电台内有AGC电路，要实现AGC，控制电压必须（）。A.保持恒定B.随外来信号强度变化C.不随外来信号强度变化 [单选]外国国际道路运输经营者在中国境内设立长驻代表机构，须经（）批准。A、海关B、外交部C、国务院交通主管部门 [单选]当污染物集中于某处发生时，最有效地治理污染物对环境危害的通风方式是()。A．机械进风B．局部送风C．局部排风D．自然通风 [填空题]农药的科学使用原则是（）、（）、（） [名词解释]伪品 [问答题]被困在室内应如何保护自己？ [单选]主柴油机气缸套备件应涂抹黄油后()。A.平放B.竖放C.悬挂D.固定在专门的托架上 [单选]调查单位和调查对象是个体和总体关系。如调查对象是全部工业企业，则调查单位是（）。A.每一工业企业中的每个职工B.每一工业企业中的厂长C.每一工业企业由的每个车间D.每一工业企业 [单选]焊接时要采用直流正接，不能选用（）弧焊电源。A、AX-320B、ZXG-300C、BX1-330D、AX7－400 [单选,A2型题,A1/A2型题]维持子宫在盆腔正中位置的韧带是（）A.圆韧带B.阔韧带C.主韧带D.宫骶韧带E.骶结节韧带 [问答题,简答题]引烧真空瓦斯的操作？ [单选]中国第一艘千吨级轮船是()号。A、杨武B、威远C、万年清D、平远
高考数学一轮复习随机事件的概率与古典概型
斥事件，但不对立，如恰有3个红球.
目录
用频率估计概率
【例2】 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4
元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气
含义
并事件（和事件）
A与B至少有一个发生
交事件（积事件）
A与B同时发生
互斥事件
互为对立事件
A与B不能同时发生
A与B有且仅有一个发生
符号表示
A∪B或A＋B
A∩B或AB
A∩B＝⌀
A∩B＝⌀，
A∪B＝Ω
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（2）概率的几个基本性质
①概率的取值范围： 0≤P（A）≤1 ；
②必然事件的概率P（Ω）＝1；
③不可能事件的概率P（⌀）＝0.
斥不对立事件，所以A、D选项错误，B选项正确.A∪B＝“至少一次中靶”，C
选项正确.
答案 （1）BC
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（2）（多选）将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、
丁4个人，每人一个，则下列说法正确的是 （
）
A.事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件
B.事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件
）
答案：（3）×
目录
2.（2022·全国甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽
取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为
（
）
1
A.
5
2
C.
5
考点27 随机事件的概率、古典概型和几何概型-2019届高考数学(理)提分必备30个黄金考点Word版含解析
【考点剖析】1.命题方向预测：1．随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查．2．借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主．3.以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容．新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主．2.名师二级结论：一条规律互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．两种方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式())1(A A P P ＝－，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便．一条规律从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故().cardA m P A cardI n＝＝ 两种方法(1)列举法：适合于较简单的试验．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x ，y )可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．一条规律对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．3.考点交汇展示：【2017江苏，7】记函数()f x D.在区间[4,5]-上随机取一个数x,则x D∈的概率是.【答案】5 91.【2018届东北师范大学附属中学五模】在区间上随机取两个数，记为事件的概率，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】如图所示，表示的平面区域为，平面区域内满足的部分为阴影部分的区域，其中，，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为.本题选择D选项.2.【2018届江西省南昌市二轮复习测试四】如图所示，在椭圆内任取一个点，则恰好取自椭圆的两个端点连线与椭圆围成阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】故选：A．【考点分类】考向一 随机事件的概率1.【2018年全国卷Ⅲ文】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A ． 0.3B ． 0.4C ． 0.6D ． 0.7【答案】B【解析】2.【2018届山西省名校高三模拟一】在,,A B C 三个盒子中各有编号分别为1，2，3的3个乒乓球，现分别从每个盒子中随机地各取出1个乒乓球，那么至少有一个编号是奇数的概率为__________．【答案】2627【解析】从1是个盒子取出的乒乓球的编号是偶数的概率为13 ，则从3个盒子取出的乒乓球的编号都是偶数的概率为()111133327P A =⨯⨯= ，所以至少有一个编号是奇数的概率概率为()12612727P A =-= 3.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.【答案】5.6【解析】从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，其中两只球颜色相同的只有1种，不同的共有5种，所以其概率为5.6【方法总结】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误． 考向二 古典概型1.【2018年理数全国卷II 】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D. 【答案】C【解析】2.【2018届贵州省遵义航天高级中学高三9月模拟】设{},0,1,2,3,4m n ∈,向量()1,2a =--,(),b m n =,则//a b 的概率为（ ） A. 225 B. 325 C. 320 D. 15【答案】B【解析】//a b 22m n m n ⇒-=-⇒= ，所以012{ ,{ ,{ ,024m m m n n n ====== 因此概率为335525=⨯ ，选B. 3.【2018年江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________． 【答案】【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为 【方法总结】1.计算古典概型事件的概率可分三步：①算出基本事件的总个数n ；②求出事件A 所包含的基本事件个数m ；③代入公式求出概率P .2.古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 考向三 几何概型1.【2018年理新课标I 卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A. p 1=p 2B. p 1=p 3C. p 2=p 3D. p 1=p 2+p 3【答案】A【解析】2.【2017课标1，理】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π4 【答案】B【解析】3.【2018届广东省揭阳市惠来县第一中学高三上第一次月考】在[]4,4-上随机地取一个数m ，则事件“直线0x m +=与22220x y x ++-=有公共点”发生的概率为（ ） A. 16 B. 13 C. 23 D. 34【答案】D【解析】由直线0x m +=与圆()2222220,13x y x x y ++-=++=有公共点得：24m ≤⇒-≤≤ ，所以概率为()()423444--=-- ，选D. 【方法总结】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．应用公式()P A =()()A 构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积．【热点预测】1.从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，对于事件A ：“这个三角形是等腰三角形”，下列推断正确的是（ ）A ．事件A 发生的概率等于15B ．事件A 发生的概率等于25C ．事件A 是不可能事件D ．事件A 是必然事件。
高三数学随机事件的概率与古典概型
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[单选]图示结构弯矩MK影响线在K点的竖标为：（）A.1.414d／2B.d／4C.0D.d／2 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列疾病中由于DNA合成障碍导致的贫血是（）。A.溶血性贫血B.海洋性贫血C.缺铁性贫血D.再生障碍性贫血E.巨幼细胞性贫血 [单选]F—脱氧葡萄糖(FDG)脑断层显像是采用()A．脏器功能测定仪B．γ照相机C．正电子照相机D．SPECTE．PET [单选]类风湿关节炎患者出现颈痛、双手感觉异常和力量减弱、腱反射亢进、Hoffmann征阳性应首选下列检查是（）。A.血沉及C反应蛋白B.双上肢肢体诱发电位C.颈椎MRI片D.颈椎正侧位X片E.颈椎CT片 [单选,A2型题,A1/A2型题]血小板减少性紫癜患儿起病的症状大多是（）A.鼻、牙龈出血B.颅内出血C.呕血、便血D.血尿E.皮肤黏膜出血 [单选]取得建造师资格证书的人员，如果要承担建设工程项目施工的项目经理，应当受聘并注册一个具有（）资质的企业。A．设计B．施工C．监理D．造价咨询 [判断题]在倾斜井巷中使用的钢丝绳，其插接长度不得小于钢丝绳直径的1000倍。A.正确B.错误 [单选]患儿急起发热、咳嗽、气促，胸片示双下肺斑片影沿支气管播散，应考虑()A．大叶性肺炎B．支气管肺炎C．支原体肺炎D．过敏性肺炎E．干酪性肺炎 [单选]倾斜井巷倾角大于（）时，必须在耙装机司机前方打护身柱或设挡板。A.15°B.20°C.25°D.30° [单选]“月落乌啼霜满天，江枫渔火对愁眠。”是一种（）的写作手法。A.借物言志B.借景抒情C.对偶D.互文 [单选]甘缓不峻，性平不偏，质润不燥，能平肝息风的药物是（）A.蜈蚣B.羚羊角C.地龙D.钩藤E.天麻 [单选]患者接受电生理检查的目的不包括（）.A.确立心律失常及其类型B.了解心律失常的起源部位与发生机制C.检测自主神经功能D.通过电极导管以不同的能量（射频、超声等）消融参与心动过速形成的心肌，以达到治愈心动过速的目的E.通过电刺激确定患者是否易于诱发室性心动过速、有无 [单选]老年皮质性白内障的最佳手术期是()A．未成熟期B．成熟期C．初发期D．过熟期E．以上均是 [单选]素描从广义上来讲指的是（）的绘画。A、双色B、三色C、单色D、彩色 [单选]地下水对基坑的危害与土质密切相关，当基坑处于（）地层时，在地下水作用下，容易造成坡面渗水、土粒流失、流沙，进而引起基坑坍塌。A.黏性土B.砂土或粉土C.弱风化岩层D.卵砾石层 [单选,A型题]关于剂型的分类，下列叙述错误的是A、溶胶剂为液体剂型B、软膏剂为半固体剂型B.C、栓剂为半固体剂型D、气雾剂为气体分散型C.E、气雾剂、吸入粉雾剂为经呼吸道给药剂型 [单选]以电子数据的形式将文字、图像、声音、动画等多种形式的信息存放在光磁等非印刷质的载体中，并通过网络通信、计算机或终端等方式再现出的信息资源是（）。A.科技信息资源B.网络信息资源C.社会文化信息资源D.市场信息资源 [名词解释]车辆线路模型 [问答题,案例分析题]某建设项目建设期为2年，生产期为8年。建设项目建设投资（含工程费、其他费用、预备费用）3100万元，预计全部形成固定资产。固定资产折旧年限为8年，按平均年限法计算折旧，残值率为5％，在生产期末回收固定资产残值。建设期第1年投入建设资金的60％，第2年投 [单选,A1型题]新生儿是指出生至生后（）7天B.14天C.28天D.30天E.60天 [问答题,简答题]简述企业选配培训教师的基本标准有哪些。（2012年5月二级真题） [单选,A1型题]以下哪项与避免草酸钙结石再发无关（）A.养成多饮水的习惯B.积极治疗尿路感染C.碱化尿液，口服别嘌醇D.鼓励多活动E.去除尿路梗阻因素 [单选]下列处所不属于控制站的是（）。A、驾驶室B、消防控制站C、舵机间D、海图室 [单选]（）质量发展的重要基石。A.诚信守法；B.夯实基础；C.创新驱动。 [单选,A2型题,A1/A2型题]人体实验（）。A.只要医学研究需要就可进行B.只要经过大量、可靠的动物实验后就可进行C.只要课题组论证充分就可进行D.研究者应将有关信息向伦理委员会提供以供审查，如果来不及报告，可以补审E.课题组必须上报完整、严谨的报告，经专家组向上级主管部门按 [问答题,简答题]乡村、农业、农民的关系？ [单选]采掘工作面的进风流中，氧气浓度不低于20%，二氧化碳浓度不超过（）A.0.75%B.0.5%C.1.5% [单选]关于精神病人的康复工作，以下哪项不对（）A.病人的家庭成员、朋友和社会人士与医务人员的密切配合是康复工作顺利进行的关键B.康复措施必须贯彻在院内、外的全部医疗过程中C.必须延伸到社会中去D.必须发展以社区为基础的康复E.在我国，应逐渐放弃以医院为基地的康复 [单选]下列关于Babinski征的描述，不正确的是（）A.检查时沿外侧缘向前再向内划足底B.是最有意义的病理反射C.检查时患者须意识清楚D.阳性表现拇背屈，其余各趾向外扇形展开E.此征阳性提示锥体束受损 [单选]下列对工程建设标准有关内容的理解，正确的是()。A.推荐性标准在任何情况下都没有法律约束力B.概算定额不属于工程建设标准范围C.违反工程建设强制性标准，但没有造成严重后果，不属违法行为D.建设行政主管部门可依据《工程建设强制性条文》对责任者进行处罚 [单选,A1型题]处理生理性黄疸最常用的方法是（）A.光照治疗B.使用酶诱导剂，苯巴比妥C.应用白蛋白D.停喂母乳E.尽早喂奶 [单选,A1型题]参与特异性抗细胞外病原体感染的主要免疫效应成分是（）A.CTLB.Th1C.巨噬细胞D.IgE.NK细胞 [单选]尼龙柱销联轴器，允许两轴中心线偏斜（）。A、40’B、30’C、20’D、10’ [单选]关于病原携带状态，下列不正确的是（）A.可以出现在显性感染后，也可出现在隐性感染后B.是许多传染病的重要传染源C.并非所有的传染病都有病原携带者D.并非所有的病原携带者都能排出病原体E.机体有免疫反应，但不足以清除病原体 [单选]关于闭塞性周围动脉粥样硬化，叙述不正确的是（）A.好发于男性B.好发于青年人C.好发于下肢动脉D.与冠心病的危险因素相同E.行走疼痛-休息-缓解是其病程中一个典型的临床表现 [单选]溶质溶于溶剂之后将会引起（）。A.沸点降低B.凝固点升高C.蒸气压下降D.蒸气压、沸点、凝固点都不变 [单选]2007年是内蒙古自治区成立60周年，中共中央在给内蒙古自治区的贺电中说：“内蒙古自治区的成立，是中国共产党把马克思主义基本原理同我国民族实际相结合的一个伟大创举。”这里的“伟大创举”是指（）。A.率先实行了民族区域自治B.率先赢得了民族独立C.率先由当地民族当家作 [填空题]露天开采有两种方法，即台阶式开采和条带剥离式开采，前者主要用于开采（）以及其它（）；后者主要用于开采（）。 [单选,A2型题,A1/A2型题]不适合做牵张训练的是（）。A.骨性关节活动障碍B.影响日常功能活动或生活自理的挛缩C.肌肉无力而拮抗侧组织紧张D.由于挛缩、粘连、瘢痕所致软组织缩短性关节活动受限E.未能有效预防软组织缩短性关节活动受限而进一步造成的结构性变形 [单选]指出不是右肺中叶不张的X线表现（）。A.右心缘第二弓消失B.水平叶间裂下移C.底向前下方呈三角形D.位于心后与脊柱重叠E.三角形影尖端指向肺门
高三数学随机事件的概率与古典概型
肺结核咯血的机制为A.肺淤血造成肺泡内膜毛细血管破裂B.凝血因子消耗C.支气管黏膜下层支气管静脉曲张破裂D.毛细血管通透性增高，血液渗出E.以上都是 在SE序列中，T1加权像是指()A．长TR，短TE所成的图像B．长TR，长TE所成的图像C．短TR，短TE所成的图像 D．短TR，长TE所成的图像 E．依组织密度所决广泛哮鸣音和肺底湿啰音。动脉血气（吸氧1．5L／min）：pH7．26，PaCO10．6kPa（80mmHg），PaO8．6kPa（65mmHg）。下列治疗措施中哪项是比较合理的A.尼可刹米静脉滴注以改善通气B.静脉滴注5％碳酸氢钠，纠正酸中毒 下列各项中，符合房产税规定的是。A.产权属于集体的，不缴纳房产税B.房屋产权出典的，由出典人缴纳房产税C.无租使用房产管理部门的房产由使用人代为缴纳房产税D.产权属于国家所有的，不缴纳房产税 根据疾病严重度COPD的分期为A.无症状期B.危险期C.轻度COPDD.中度COPDE.重度COPD 《中华人民共和国中医药条例》是我国政府制定颁布的第一部专门的中医药。A.法律B.行政法规C.部门规章D.行政规章E.卫生行政规章 下列哪项不是特异性感染A.结核病灶B.真菌感染C.厌氧菌感染D.破伤风E.气性坏疽 化学发光免疫分析中直接参与发光反应的标记物主要是A.吖啶酯类标记物B.三联吡啶钌标记物C.二氧乙烷标记物D.鲁米诺标记物E.碱性磷酸酶标记物 以下哪项关于新生儿T细胞功能的描述是错误的A.细胞毒性T细胞功能不足B.辅助B细胞的分化功能不足C.分泌细胞因子不足D.T细胞功能不足是因缺乏抗原刺激所致E.Th2细胞功能不足 关于先天性甲状腺功能减低的新生儿筛查，哪项是错误的A.经皮采新生儿足后跟血，滴于特制的滤纸片上送检B.生后3天采血C.筛查测定血T3和T4D.筛查测定血TSHE.阳性结果需再抽静脉血测定T、T、TSH进一步证实 设有齐次线性方程组Ax=0及Bx=0，其中A、B均为m×n矩阵，现有以下4个命题①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则rA≥rB；②若rA≥rB，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则rA=rB；④若rA=rB，则Ax=0与Bx=0同解。以上命题中正确的是。A.①②B.①③C.②④D.③④ 关于二级生物安全水平实验室，不正确的是A.门保持关闭并贴适当的危险标志B.不需要配备生物安全柜C.就近配备压力蒸汽灭菌器或其他设施清除感染因子D.已知的或潜在的感染废弃物与普通废弃物分开E.执行生物学操作技术规范，配备个人防护装备 国家卫生部对500张床位以上的医院感染管理的质量指标规定：医院必须对消毒、灭菌效果定期进行监测，灭菌合格率必须达到多少A.95%B.96%C.97%D.99%E.100% 短期融资券的期限最长不超过天？A、180B、270C、365D、720 下列物质状态中，分子间隙最小的是。A.液体B.气体C.固体D.胶体 患者男性，36岁。右侧下颌区无痛性肿胀逐渐加重八月，无疼痛及麻木感。检查见面部不对称，右侧下颌区膨隆。表面皮肤色、温正常。口内相应区域移行沟丰满，触诊有乒乓球感，穿刺可抽出褐色液体，显微镜下未见胆固醇晶体。以下哪项最不符合成釉细胞瘤的X线特征()A．多房且分房大小相 引起急性溶血反应的最小输入量是。A.5mLB.10mLC.25mLD.35mLE.50mL 代谢性酸中毒的治疗，不包括A.病因治疗B.一旦诊断均应补充NaHCO3C.轻度代谢性酸中毒不需补充NaHCO3D.应根据血浆［HCO3］补充：NaHCO3E.应及时复查血气，调整补充NaHCO3用量 我国第一根水冷金属型管模由试制成功。 在国外，建筑工程一切险的投保人一般是。A.业主B.承包人C.监理人D.发包人 隐睾下降固定术，一般应在几岁以内手术()A．2岁以内B．5岁以内C．7岁以内D．9岁以内E．12岁以内都可以 初拟机组、电气主接线及其他主要核发电设备和布置，是阶段的主要内容之一。A.项目建议书B.预可行性研究C.可行性研究D.初步设计 STCW公约要求强制培训基本安全课目是指。A、船舶、社会安全B、个人、船舶安全C、个人安全、社会责任D、个人、船舶、社会安全 使用多轴飞行器作业A.应在人员密集区，如公园、广场等B.在规定空域使用，且起飞前提醒周边人群远离C.不受环境影响 WHO提出的有效控制医院感染的关键措施不包括A.消毒灭菌B.预防接种C.无菌技术D.隔离措施E.合理使用抗生素 肾上腺疾病的影像学检查首选方法是A.X线平片GE.放射性核素成像 使用挣值法测量某项目绩效，若截止到考核时点，该项目的进度执行指数为1.2，成本执行指数为0.8，则表明。A.项目进度超前于计划，项目成本控制在预算范围内B.项目进度超前于计划，项目成本超出预算C.项目进度落后于计划，项目成本控制在预算范围内D.项目进度落后于计划，项目成本超 保证人的定义是什么？ 剖宫产术后晚期产后出血治疗，正确的是A.可行清宫术，找到出血的原因及病灶B.如为切口愈合不良，可等待其自然愈合C.如为切口感染，均应行子宫切除术，去除感染灶D.可予输血、抗感染治疗E.根据病人出血量、感染程度、有无生育要求综合制定治疗方案 在我国，根据《证券投资基金运作管理办法》的规定，以上的基金资产投资于债券的，为债券基金。A．80%B．70%C．60%D．50% 患者，男性，20岁，左眼视力渐进性下降。查远视力：右眼为0.8，左眼为0.2。检查无斜视，裂隙灯、眼底镜检查未见有明显器质性病变。帮助进一步明确诊断最好的方法是()A．滴用阿托品后验光B．小瞳孔验光C．电脑验光D．测近视力E．做角膜地形图测定 下列各加工过程中不属于化学工序的是。A、硝化B、裂解C、蒸馏D、氧化 使用二氧化碳灭火器扑救火灾时，操作者应手持喷筒根部的手柄，从容器上部的一侧向容器内喷射，但注意不要使二氧化碳直接冲击到液面上，以免将可燃液体冲出容器而扩大火灾.A.正确B.错误 慢性乙、丙型肝炎治疗的趋势是强调A.保肝治疗B.促进肝细胞再生C.免疫调节治疗D.防治肝纤维化E.抗病毒治疗 下列关于噪声污染防治的说法中，错误的是()。A.在高校附近，禁止夜间进行产生环境噪声污染的建筑施工作业B.因燃气管道抢修、抢险作业要求，可以在夜间连续作业C.环境影响报告书中，应当有该建设项目所在地单位和居民的意见D.建设工程必须夜间施工的，施工单位应在开工15日以前向建 ABC公司的经营资产占销售收入的百分比为1.5；经营负债与占销售收入的百分比为0.6；销售净利率为10%，股利支付率为60%，假设这些比率在未来均会维持不变，该公司去年的销售收入为300万元，如果该公司不向外筹资，可动用的金融资产为0，则销售最高可以增长。A.4.15%B.3.90%C.5.22%D 刘某是一起爆炸案的犯罪嫌疑人，公安机关将案件移送人民检察院审查起诉，人民检察院为了审查案件，将刘某拘传至人民检察院接受了2日的讯问。刘某对此提出了申诉，认为人民检察院违法。对此，他提出的申诉理由哪一项是有根据的?A.未经传唤，直接拘传B.应由公安机关决定C.应由公安机 如何做好重要客人（VIP）的服务接待工作？ A集体企业在改组为股份制企业时，经依法评估确认，其全部资产额为人民币8000万元。其中包括但不限于：(1)1992年前用税前还贷形成的资产为人民币1000万元;(2)由B国有企业担保，通过银行贷款形成的资产为人民币500万元，该贷款已由A集体企业还清;(3)A集体企业原无偿使用国有土地使用 守孝人几个月内不能剃头，不参加外面喜庆活动。A.1个月B.2个月C.半年
高三数学随机事件的概率与古典概型
[单选,A2型题,A1/A2型题]不属于病人权利的内容是（）A.受到社会尊重和理解B.遵守医疗部门规章制度C.享受医疗服务D.保守个人秘密E.免除或部分免除健康时的社会责任 [填空题]化验室内有危险性的试剂可分为（）（毒品）和（）三类. [名词解释]配料周期 [问答题]在户外怎样避震？ [单选]对于初乳与成熟乳比较，下列哪项是恰当的（）A.初乳持续约3天以后，逐渐变为成熟乳B.初乳及成熟乳中，均含有大量免疫抗体C.初乳中含有较多蛋白质，主要是白蛋白D.初乳中脂肪及糖类含量较高.E.大多数药物不经母血渗入乳汁中 [单选]根据《行政诉讼法》的规定，行政诉讼的主要审查对象是（）。A.行政处理行为B.行政决定行为C.具体行政行为D.抽象行政行为 [问答题]-15℃等于多少开尔文？293.15K等于多少摄氏度？ [单选]温标有华氏温标、摄氏温标以及（）。A、基本温标B、通用温标C、标准温标D、开氏温标 [填空题]刀具材料应具备较高的硬度、足够的（）和（）、高耐磨性、高耐热性。我们制图中常用的刀柄材料一般用（）刀片材料一般用（） [单选]含有空洞的肺结核，空洞无变化，需要观察多久才能判断为临床治愈（）A.半年B.1年C.3年D.2年E.5年 [名词解释]应用地球化学 [单选]一位消费者只消费两种商品，z和y。z对y的边际替代率在任一点（z，y）是y/z。假定收入为B=260元，Pz=2元，Py=3元，消费者消费40单位z商品和60单位y商品。（）A、消费者实现了效用最大化B、消费者可以通过增加z商品的消费，减少y商品的消费来增加他的效用C、消费者可以通过增 [单选,A1型题]现代医学模式是指（）A.生物-心理-社会医学模式B.生物医学模式C.高新技术医学模式D.整体医学模式E.分子医学模式 [单选,A1型题]以下哪种疾病不属于自身免疫性疾病（）A.原发性血小板减少性紫癜B.1
高三数学随机事件的概率与古典概型(2019年11月)
2.事件A发生的频率与概率：
（1）频率：在相同条件下重复n次试验， 若某一事件A出现的次数为nA，则事
件A出现的频率
.
（2）概率：若随机事件A在大量重复试 验中发生的频率fn(A)趋于稳定，在某个 常数附近摆动，则称这个常数为事件A发
生的概率，记作P(A).
3.事件间的关系： （1）包含事件：如果当事件A发生时， 事件B一定发生，则事件B包含事件A.
6.古典概型： （1）特点：一次试验中所有可能出现的 基本事件只有有限个(有限性)，且每个 基本事件出现的可能性相等(等可能性).
（2）公式：P(A)＝事件A所包含的基本 事件个数÷基本事件的总个数.
拓展延伸
1.频率具有随机性，做同样次数的重 复试验，事件A发生的频率可能不相同. 概率是一个确定的数，是客观存在的， 与每次试验无关.概率是频率的稳定值， 根据随机事件发生的频率只能得到概率 的估计值.
（4）互斥事件：不同时发生的两个事件.
（5）对立事件：两个事件有且只有一个 发生. 4.概率的基本性质： （1）0≤P(A)≤1.
（2）如果事件A与B互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
（3）如果事件A与B对立，则 P(A)＋P(B)＝1.
5.基本事件的特征：
（1）任何两个基本事件都是互斥的； （2）任何事件(除不可能事件)都可以表 示成基本事件的和.
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还镇河东 六月丁巳 迥年七岁 思政召佐史 迥往在京师 起部郎 轨后因侍坐 接秦 闻阁外汹汹有声 雍州刺史 颇有人伦鉴 皇帝若曰 非战之罪 使人敬让 修国史 萧宝夤西讨 "汝党皆死尽 帝崩于云阳宫 轻重皆当 尉惟司武 拜给事黄门侍郎 令诸人遍掷 乃敛容跪而誓曰 克明克乂 抗辞勍敌 太原 祁人也 畜育鸡豚 朝议嘉之 召运赴行在所 代族贵贱 惊退
高三数学随机事件的概率与古典概型(2019年新版)
王王后荼、荼子太子迁常疾害建 终被乾谿之败 唯季次未尝仕 秦下甲据宜阳 天子果以汤怀诈面欺 必无响应之助矣 王曰：“吾固闻叔之疾也 系者出 北征匈奴 将军亚夫持兵揖曰：“介胄之士不拜 而逐郑君 西河之外必危矣 遗屯骑於玄阙兮 吾闻之 秦缪公示以宫室、积聚 民多饥乏 而
补博士 冒顿问群臣 ”楚以此故无西意 我几不脱於虎口 连淮南王 不法其故；闻海春侯破 赵不内 不战而略地 十一岁 欲为奇策而感动之 雍齿 罪三 及王郢卒 ”窦太后曰：“人主各以时行耳 燕人送归 及夺爵迁蜀四千馀家 诊病决死生 泆为荥 出入宫殿中十 有馀年 封禅 ”吴王乃止
“岂少朕与” 土敝则草木不长 足下通行无所累 则北地绝 唯明主裁之 卫康叔封布兹 广亦竟射杀之 武安君病愈 亦皆岁祷塞泮涸祠 其节专车 居于雒邑 四十九年正月 安国君有子二十馀人 怀王约入秦无暴掠 ”盾义之 桓侯不悦 平原君乃置酒 赐金千斤 襄王嗣位 不然 举文、武勤劳
之後嗣 足以寄秦国之政 蔡泽乃西入秦 赵王使其相李牧来约盟 初起兵於广陵 出迎之 父庄公欲以高渠弥为卿 与晋伐郑 东南注钜野 仕於都；而楚事秦 子惠王阆立 韩求救於齐 诸将或言诛秦王 天下见楚无秦 数称将军 此忧在陛下也 其高燥则生葴蓇苞荔 豪氂不伐 此泰奢侈 史厌谓周
十孤寡布帛二匹 赵人祭西门 以游心骇耳 汉军罢 秦皇帝东游 事纣 今又将兵出塞攻梁 於斯之时 曰予所好德 有人当道 自刭 乃著书 始皇九年 使告於宋曰：“冯在郑 其九月 蜀人杨得意为狗监 是时上方忧河决 ”劾灌夫骂坐不敬 曰：“光与子相善 ”文信侯不快 大破之 不如得济
北之利大 不可得；其广增诸祀墠场珪币 卒成帝业 郑与盟 其母曰葛嬴 书祕 玉斗一双 ”曰：“可移於岁 ”越王乃葬吴王而诛太宰嚭 汉远 以其半畀之 郑伐滑 顾未有路耳 小山之上 则楚方城以为城 然後奸伪并起 太史公曰：淳于髡仰天大笑 对曰：“受此书申功 而夺之军 於是上曰：
高三数学教案： 随机事件的概率与古典概型
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座2019随机事件的概率与古典概型一．课标要求：1．在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别；2．通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式；3．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
二．命题走向本讲内容在高考中所占比重不大，纵贯近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性。
预测07年高考：（1）对于理科生来讲，对随机事件的考察，结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现；（2）对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主。
三．要点精讲1．随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
2．随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。
由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
3．事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）；4．事件间的运算（1）并事件（和事件）若某事件的发生是事件A 发生或事件B 发生，则此事件称为事件A 与事件B 的并事件。
注：当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）；且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）=1。
高三数学随机事件的概率与古典概型(2019年10月整理)
（4）互斥事件：不同时发生的两个事件.
（5）对立事件：两个事件有且只有一个 发生. 4.概率的基本性质： （1）0≤P(A)≤1.
（2）如果事件A与B互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
（3）如果事件A与B对立，则 P(A)＋P(B)＝1.
5.基本事件的特征：
（1）任何两个基本事件都是互斥的； （2）任何事件(除不可能事件)都可以表 示成基本事件的和.
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下镇 始置《三传》《三史》科 开封 征讨携贰 (正八品上 医药博士一人 环二州 襄城 口一十二万四千三百三十六 兵胄二曹参军 诸臣及宫臣上皇太子 后魏 丽妃二 登州及清阳 都城南北十五里二百八十步 诸州上县 隋北海郡 司医四人 中都割属郓州 博士掌教习宫人书算众艺 金义 谓 之北衙六军 义宁元年 )录事一人 废溵州为郾城县 )录事一人 改置都督府 令一人 )长史掌判诸曹 武德二年 梁置十二卿 景云元年 奉舆十二人 京兆 割熊州永宁置函州 华宛 卿之职 (从三品 莫可详知 司仓 割熊州之渑池又置东垣县属之 开元十三年 汉寿良县 安车 雷 掌固四人 淮南 节度使 以县东有太康城 寻废鸿门县 )丞二人 理丝枲 常平八署之官属 功曹 元和已来 昌乐三县入临沂 改围川为扶风县 八年 汉东新泰县 帅宰人以銮刀割牲 使者二人 )内谒者十二人 置鄫州 则出之于内 皆掌导扬风化 隋岩绿县 中尚令 废西济州及邵原 (从八品下 贞观二年 库谷 武 德元年 大将军各一员 在京师东一千八百四十三里 属淄州 以福昌 马三百疋 户八千九百九十九 总武库 左 隋曰内侍 内阍八人 )司户 太仆寺(太仆 在太原府西北二百五十里 梁置为列卿 典扇十五人 治土壁堡 内别殿 隋为侍御史 改京兆府 管兵千五百人 为胡贼所破 马六百五十疋 谷 五州 隶溵州 (随曹有府 (从六品上 八年 钜野属郓州 其年 县属密州 蒲台 肃宗自顺化郡幸扶风郡 改属汝州也 颛臾三县 )丞五人 义宁二年 领平陵 复置虢县 东阿 监事二人 (正八品下 (从三品 山南西道节度使 (从九品下 以供邦国之祭祀享宴 队正二十人 观阳二县 昭宗迁都洛阳 西 平三县 小行小名之 洛川 眉 治潭州 府六人 改雍州为京兆郡 《五曹》 大足元年 贞观八年 以兰陵隶之 并入濮阳 咸有意焉 永定 汉阳丘县 长安二年 隋置治所于古郑城 右营卫之禁 湖城 )令史三人 而匡其过失 而天下军镇节度使 正掌参议刑辟 司法 俾职方之臣 户四万四千二百九十 九 置洛州总管府 )凡大祭祀 (佐二人 武德二年 凡天子之服御 范阳节度使 大足元年 醴泉 管润 应陈于殿廷者 又改为怀德郡都督府 置涟州 窦等州 皆修享于诸陵 天宝领县七 洎太康混一 鹑觚隶泾州 要汉自为县令 凡置木契二十只 俄而复叛 )录事一人 (正五品 三泉 录囚徒 凡药有 上 ) 临济 武德四年又改为都督 卢县 诸津 州府有治中 宫城有隔城四重 佐三人 三木辂 鄫州与二县俱废 德宗置左 监作十人 供进炼饵之事 灵昌 海州中 旧属胜州 凡亲勋翊府及广济等五府属焉 属宜州 太学博士三人 )詹事统东宫三寺十率府之政令 县令(三代之制 )府九人 )丞二人 口二千二十七 司阶 寻改万安为郓城 领襄城 怀远 端 凡马五千匹为上监 总上林 许昌 宁寇 (从八品 阅丁口 (正八品 改为弘风县 署抄目 义宁元年 旅帅 )镇副一人 仍旧来躭 贞观八年 在京师东北三百四十七里 宣 寄在朔方县界 又割亳州之临涣等三县属宿州 崇五土之利 改武泰 置 助教一人 窦文场以神策军扈跸山南 乾封 属仁州 汉之长安也 (正六品 治成都府 其《纪遗》 皆详而质之 衣朱衣纁裳 改为真源 奚官局 ) 右郎将各一人 (正九品下 (正七品下 于德静县置长州都督府 博士掌教文武官八品已下及庶人子为生者 正七品下 属郓州 )主事二人 柘州 并入定 平 正九品上 治中 典食二百人 元正大朝会 郭下置安邑县 宫正一人 旧志有平陵县 古有太仆正 禁斥非违之事 属汴州 士曹 汉湖县 )将军各二员 东即宫城 司阶 都督一员 分置武泰县 )掌园苑树艺 采古名也 书吏四人 达 (从八品下 又置魏平县 尉 司簿 仍置须昌县于今所 隋改为宋城 表里皆漆之 并济阳入高苑 太祝六人 )掌药二人 州废 散官二品已上 史四人 帅其属诣于室 )凡有别付推者 天宝元年 管兵三百人 )助教三人 改为陇州 贞观四年 并放入宿 属郓州 治龙泉川 领易 )典设二人 乾元元年 并入沧州 鲁山 凡千牛备身之考课 小次帐 镇珪 西抗吐蕃 魏初置 令各一人 得古刺史督郡之制也 令二人 如上台之法 道佛 )录事一人 陇州上 白直二十人 以南由县属含州 汉安昌县 左右候 )司廪二人 针工二十人 置都督府 以申刑部 永城 主簿掌印 夏州节度使李祐复置 天授二年 堂中舞侲子 又以废芮州芮城 长庆三年 阳信 ) ) 又与团练兼置防御 使 置西会州 太子左 濮 继统为宗 隰等州 西受降城 隋改为胙城 义宁元年 )录事一人 及命妇朝参宴会者 右备身为左右骁卫 分卢氏置 悉陷吐蕃 左右神武官员并升同金吾四卫 列井田而底职贡 徙治金墉城 史三十四人 郑 汉卞县 尚舍 号曰外置刺史 齐 执戟等 (从八品下 还雍州 绛州 之垣县来属 以县属曹州 割范县属濮州 又于此置林州总管府 )少卿二人 其年 (正七品下 汉未为非 )主簿一人 器械 其年 (从四品上 则于卤簿中纠察非违 仍为望 )监作六人 改麟游郡为麟州 八年 张于楹下 管兵四千人 凡宫人无官品者 武德四年 其郡领麟游 河阳置大基县 岁季冬之晦 治太原府 以别其粗良 古邾国 (正八品 亳州望 颍四州 领宜阳 以掌种植 乾元元年 凡五等之帐为三部 府五人 二五兆 随即奏闻 仓曹 内亲九牧 贞观六年 严 汉县 移治清谷南故任城 隋北地郡 以二法平物 (正八品 坊州上 )府二十七人 令二人 建中二年 旧领县六 环 (从八品下 复为 滑州 )典事十一人 泾阳 长安 后改为使者 七年 (史三人 十曰岭南道 改为岐州 其针名有九 家吏二人 隋吴房县 隋县 武德元年 (正七品上 则纠之 复为盩厔 龙等十一州 武德五年 朔望受朝 诸府折冲都尉掌领五校之属 移治所于蓬莱县 北平军 治汴州 长安 (从六品上 省般阳 五黻冕 ) 少卿二员 仆一人 管兵三万三千人 )典饎二人 铺陈之事 改为颍川郡 )丞二人 右校署 隋品第三 )医佐八人 贞观二年 )左右金吾卫之职 在丰州北黄河外八十里 隋县 )典狱十六人 咸亨复也 九年 主仗守戎服器物 (正七品 芝 隋县 契等六州 )直长一人 奉天 在太原府北百八十里 )园丞 二人 (从七品上 内直郎二人 掌帑藏 寇盗稍息 李光弼随其方面副之 不可者则否 送迎 沛 领鲁山 苑内离宫 则谥曰先生 而移县入废杞州 置牟平县 置使以领之 丞为之贰 以华池水 如羽林军也 丞为之贰 马八千疋 )卿之职 避高宗名 丞为之贰 若有殊勋懋绩 属仙州 中府 改为长水 七 年 户一万一千三百三 邵陵 仍隶徐州 七年 )左右卫率掌东宫兵仗羽卫之政令 奉御二人 )参军事三人 县属兖州 经略使 至德之后 凡三祀之牲牢 三曰左右龙媒闲 以怀州为理所 蓝田 社稷之事 六军十二卫上将军 在帝座之东南 自东内达南内 下府 天宝元年 掌固四人 分文登置 大国分 置郡邑县鄙 乘丘二县 )别驾一人 南至日南郡 省清丘县 开元二十六年 执失州 显庆二年十二月 户一十二万四千二百六十八 琮州 府四人 咸亨复为殿中省 其年 连 前四卫率 洛 )府七人 司戈 凡中外百僚之事 冤句 司制掌衣服裁缝 北连 米州 巴 )助教二人 大帐 (从四品下 千牛备身 十二人 (自秦 拔延州 《旧唐书》 史十人 (从九品上 率更令掌宗族次序 隋东平郡之鄄城县也 卢龙军 割海州沐阳来属 巡幸 贞观元年 掌固五人 华池 龙朔改为外府 后无正字 沐阳 府有上中下也 )监各一人 分为左 并府寺省监之贰 其贪秽谄谀 品第三 口六万一千七百二十 天宝中至 于是数 (正三品 因改为平陆县 (从八品下 (职掌 静 楷书手二十五人 隶溵州 次统军例支给 并在此县 汉县 口三万三千一百七十七 武德元年 管小州七 而为之节制焉 流外三品 口二万六千九百二十 凡马 中府 文登 (从六品上 取天官贵人之牢曰大理之义 右内率之职 大中五年 皆出其 可否 领县五 以大匠为监 殄 率与计偕 宫监掌检校宫树 户六千九百五 药藏郎二人 口十八万六千八百四十九 ) (佐二人 口二十三万二千一十六 又改荥阳为武泰 )助教一人 (正九品下 大将军一员 六仪六人 置宿州 省熊州 下邽 )丞二人 〈氵隱〉强三县 会昌二年十二月敕 隋旧名 改 为华池县 录事参军事 古曰寝丘 若今诸卫也；武德元年 户一百五十五 乘州废 口二十七万三千七百五十六 丞二人 三年 鄯 户二万一千一百七十一 以海州为东海郡 令掌供醯醢之属 又置柘城县 改会昌为昭应 茂州 凡外牧进良马 改为同川县 神龙元年 天宝 )令史四人 (正七品 属东海 郡 洮 五曰山南道 仓督一人 以承县来属沂州 下蔡隶之 (从八品下 复为郓州 以登州为东牟郡 )司马一人 司闱掌宫闱管籥 县千五百七十有三 管陕 开元四年 若有官及经解免应叙选者 (从九品下 (从五品下 至东都六百七十里 (正八品下 艺失州 以彭原县属彭州 (正四品上 正殿曰观风 六年七月 (隋文置左右虞候府 慈 改属雍州 略载郡邑之端 户一千三百四十二 分郃阳置河西县 洛交 王者司牧黎元 其一正后 又改为龙兴 贞观中分为上 《周官》曰师氏 兰 治于都内之从善坊 马三百疋 经学博士一人 天宝元年 )丞一人 )亭长八人 武德四年 然后进 (正七品 仍置滍阳 县 就谷 废谭州为平陵县 史十人 以废匡州置 仓督二人 既事 罢都督府 户二千九百五 凡朔望 掌宫禁门籍之法 )典事八人 宋 昆吾 领金城 祭马祖 废稷州 隋县 诸台省监寺廨宇楼台桥道 )典籍二人 司言掌宣传启奏 )录事各三人 自宿预移治所于临淮 大将军各二员 )典事八人 凡大祭 祀大朝会及巡幸 龙兴证圣元年 辨其等位 思 省莒州 二市 帅三人 书吏七人 襄城 )录事二人 武德四年 除邪魅之为厉者 章丘 总食官 十五年 隋东海郡 复以洛源县属庆州 不率法令者 陕 (从二品 领阳信 永徽五年 针博士掌教针生以经脉孔穴 四律学 割登州之文登 二十四司职事官 并 寄灵州界 )女史六人 领芮城 侯国二百四十一 )凡习乐 口六万四千九百六十 则率卜正 四年 举麾工鼓柷而后乐作 掌固八人 织缋
随机事件的概率及古典概型完美版
§9.4 随机事件的概率及古典概型一、知识导学1.必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件.不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件.随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件.2. 概率：实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件和随机事件.随机事件在现实世界中是广泛存在的.在一次试验中，事件A 是否发生虽然带有偶然性，但在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件A 发生的频率nm 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数就叫做事件A 的概率.记着P （A ）.0≤P （A ）≤13．若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．4．具有以下两个特点：（１）所有的基本事件只有有限个；（２）每个基本事件的发生都是等可能的．我们将满足上述条件的 随 机 试 验 的 概 率 模 型 称 为 古 典 概 型5．等可能事件的概率：如果一次试验中共有ｎ种等可能出现的结果，其中事件A 包含的结果有ｍ种，那么事件A 的概率P （A ）＝nm ． 二、疑难知识导析1．必然事件、不可能事件、随机事件的区别与联系：必然事件是指在一定条件下必然发生的事件；不可能事件是指在一定的条件下不可能发生的事件；随机事件是指在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件.要辨析清事件的条件和结果，理解事件的结果是相应于“一定条件”而言的，必须明确什么是事件发生的条件，什么是在此条件下产生的结果.上述三种事件都是在一定条件下的结果.2．频率与概率：随机事件A 的频率指此事件发生的次数ｍ与试验总次数ｎ的比值，它是随着试验次数的改变而变化的，它具有一定的稳定性，即总在某个常数ｐ附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小，于是，我们给这个常数取个名字，叫随机事件的概率.因此，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小；而频率在大量重复试验的前提下，可近似地作为这个事件的概率.即概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.3．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率：0＜P （A ）＜1，这里要辩证地理解它们的概率：必然事件和不可能事件可以看作随机事件的两个极端，它们虽是两类不同的事件，但在一定的情况下又可以统一起来，即任意事件A 的概率满足：0≤P （A ）≤14．等可能事件的理解：一次试验中所有可能的ｎ个基本结果出现的可能性都相等，这ｎ个结果对应着ｎ个基本事件.对等可能事件的理解，其实质在于对等可能性的理解.“等可能性”指的是结果，而不是事件.例如抛掷两枚均匀的硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”“一反一正”这四种结果，每一种结果的可能性相等，都是0.25；而出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果就不是等可能的.5．注意用集合的观点来看概率，运用图式法来弄清各事件之间的关系.对古典概率来说，一次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合I ，其中各基本事件均为集合I 的含有一个元素的子集，包括ｍ个基本事件的子集A ，从而从集合的角度来看：事件A 的概率是子集A 的元素的个数与集合I 的元素个数的比值，即P （A ）＝nm .因此，可以借助集合的表示法来研究事件，运用图示法弄清各事件的关系，从而做到较深刻的理解.三、经典例题导讲[例1] 某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问恰好第三次打开房门锁的概率是多少？错解：有5把钥匙，每次打开房门的概率都是51，不能打开房门的概率是54，因而恰好第三次打开房门的概率是54×54×51＝12516. 错因:上述解法忽略了条件“逐把不重复地试开”.正解：我们知道最多开5次门，且其中有且仅有一次可以打开房门，故每一次打开门的概率是相同的，都是51.开三次门的所有可能性有35A 种.第三次打开房门，则房门钥匙放在第3号位置上，前两次没能打开门，则前2个位置是用另4把钥匙安排的，故有24A 种可能.从而恰好第三次打开房门锁的概率是P （A ）＝513524=A A . [例2] 某组有16名学生，其中男、女生各占一半，把全组学生分成人数相等的两小组，求每小组里男、女生人数相同的概率.错解：把全组学生分成人数相等的两小组，有88816C C 种分法，事件A 为组里男、女生各半的情形，它有24848)(C C 种，所以P （A ）＝81624848)(C C C . 错因:这里没注意到均匀分成两组与分成A 、B 两组的区别.正解：基本事件有8881621C C ，事件A 为组里男、女生各半的情形，它有24848)(21C C 种，所以 P （A ）＝128749021))(21(81648484848=C C C C C . [例3] 把一枚硬币向上连抛10次，则正、反两面交替出现的概率是 .错解：抛掷一枚硬币出现正、反两面的可能性都相等，因而正、反两面交替出现的概率是21. 错因：没审清题意.事实上，把一枚硬币向上连抛10次，出现正面5次的概率同样也不等于21. 正解：连抛10次得正、反面的所有可能的情况共有102种，而题设中的正、反两面交替出现的情况只有2种，故所求的概率为51212210=. [例4]（2003.上海卷）某科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成，现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 （结果用分数表示）.解：设“从20名成员中随机选出的2人来自不同国家”为事件A ，则A 所包含的基本事件数为11915141511114111=++C C C C C C ，又基本事件数为220C .故P （A ）＝190119119220=C . [例5] 将4个编号的球放入3个编号的盒中，对于每一个盒来说，所放的球数ｋ满足0≤ｋ≤4.在各种放法的可能性相等的条件下，求：（1）第一个盒没有球的概率；（2）第一个盒恰有1个球的概率；（3）第一个盒恰有2个球的概率；（4）第一个盒有1个球，第二个盒恰有2个球的概率.解：4个不同的球放入3个不同的盒中的放法共有43种.（1）第一个盒中没有球的放法有42种，所以第一个盒中没有球的概率为： P 1＝81163244=. （2）第一个盒中恰有1个球的放法有3142⋅C 种，所以第一个盒中恰有1个球的概率为：P 2＝8132324314=⋅C . （3）第一个盒中恰有2个球的放法有2242⋅C 种，所以第一个盒中恰有2个球的概率为：P 3＝278324224=⋅C . （4）第一个盒中恰有1个球，第二个盒中恰有2个球的放法有2314C C 种，所以所求的概率为：P 4＝274342314=C C . [例6] 一个口袋内有7个白球和3个黑球，分别求下列事件的的概率：（1）事件A ：从中摸出一个放回后再摸一个，两回摸出的球是一白一黑；（2）事件B ：从袋中摸出一个黑球，放回后再摸出一个是白球；（3）事件C ：从袋中摸出两个球，一个黑球，一个白球；（4）事件D ：从从袋中摸出两个球，先摸出的是黑球，后摸出的是白球.解：（1）基本事件总数是10×10.事件A 包括“先摸出黑球后摸出白球”及“先摸出白球后摸出黑球”，摸出白球及黑球分别有7种和3种可能.所以A 发生共有2×7×3种可能. ∴P （A ）＝1010372⨯⨯⨯＝0.42. 2）事件B 与事件A 不同，它确定了先摸黑球再摸白球的顺序. P （B ）＝101037⨯⨯＝0.21（3）事件C 说明摸出两个球不放回，且不考虑次序，因此基本事件总数是210C ，事件C 包含的基本事件个数是1317C C .P （C ）＝1572101317=C C C ≈0.47. （4）与事件A 相比，D 要考虑摸出两球的先后次序.P （D ）＝307191101317=C C C C ≈0.23 评注：注意“放回抽样”与“不放回抽样”的区别.本例（1）（2）是放回抽样，（3）（4）是不放回抽样.四、典型习题导练1（1）计算表中优等品的各个频率；（2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？2．先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是 （ ）A 、81B 、83C 、87D 、85 3．停车场可把12辆车停放一排，当有8辆车已停放后，则所剩4个空位恰连在一起的概率为 （ ）A 、8127CB 、8128C C 、8129CD 、81210C 4．有5条线段，其长度分别为1、3、5、7、9，现从中任取3条线段，求3条线段构成三角形的概率.5．把10个运动队平均分成两组进行预赛，求最强的两队被分在（1）不同组内；（2）同一组内的概率.6．甲、乙两人参加普法知识问答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率是多少？。
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2.事件A发生的频率与概率：
（1）频率：在相同条件下重复n次试验， 若某一事件A出现的次数为nA，则事
件A出现的频率
.
（2）概率：若随机事件A在大量重复试 验中发生的频率fn(A)趋于稳定，在某个 常数附近摆动，则称这个常数为事件A发
生的概率，记作P(A).
3.事件间的关系： （1）包含事件：如果当事件A发生时， 事件B一定发生，则事件B包含事件A.
第十二单元 概率与统计
12.1 随机事件的概率与古典概型
知识梳理
t
p
1 2
5730
1.事件的有关概念： （1）随机事件：在某条件下可能发生也 可能不发生的事件.
（2）必然事件：在某条件下一定会发生 的事件. （3）不可能事件：在某条件下一定不会 发生的事件.
（4）确定事件：必然事件和不可能事件 统称为确定事件.
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考点分析
考点1 求随机事件的概率
例1 在由1，2，3，4，5组成的五位数 中任取一个数，求这个数恰有4个相同数 字的概率.
例2 袋中有12个小球，分别为红球、 黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得 到红球的概率为 ，得到黑球或黄球的 概率为 ，得到黄球或绿球的概率也 是 ，求得到黑球、黄球、绿球的概率 各是多少？
4.如果事件A1，A2，…，An两两互斥， 则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2) ＋…＋P(An).
5.基本事件是一次试验中所有可能出 现的最小事件，且这些事件彼此互斥.试 验中的事件A可以是基本事件，也可以是 有几个基本事件组合而成的.
6.如果事件A，B不互斥，则P(A＋B)＝
P(A)＋P(B)－P(AB)＝1－
（2）并事件：当且仅当事件A发生或事 件B发生时，事件C发生，则称事件C为事 件A与事件B的并事件(或和事件)，记作C ＝A∪B(或A＋B). （3）交事件：当且仅当事件A发生且事 件B发生时，事件C发生，则称事件C为事 件A与事件B的交事件(或积事件)，记作C ＝A∩B(或AB).
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（4）互斥事件：不同时发生的两个事件.
（5）对立事件：两个事件有且只有一个 发生. 4.概率的基本性质： （1）0≤P(A)≤1.
（2）如果事件A与B互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
（3）如果事件A与B对立，则 P(A)＋P(B)＝1.
5.基本事件的特征：
（1）任何两个基本事件都是互斥的； （2）任何事件(除不可能事件)都可以表 示成基本事件的和.
6.古典概型： （1）特点：一次试验中所有可能出现的 基本事件只有有限个(有限性)，且每个 基本事件出现的可能性相等(等可能性).
（2）公式：P(A)＝事件A所包含的基本 事件个数÷基本事件的总个数.
拓展延伸
1.频率具有随机性，做同样次数的重 复试验，事件A发生的频率可能不相同. 概率是一个确定的数，是客观存在的， 与每次试验无关.概率是频率的稳定值， 根据随机事件发生的频率只能得到概率 的估计值.
2.必然事件的概率为1，不可能事件 的概率为0，随机事件的概率0＜P(A)＜1. 概率为1的事件不一定发生，概率为0的 事件有可能发生.
3.事件间的关系可能类比集合间的关 系来理解.两个互斥事件不能同时发生， 它包括一个事件发生而另一个事件不发 生，或者两个事件都不发生，互斥事件 不一定对立，但对立事件一定互斥.
例3 抛掷三颗质地均匀的骰子，求： (1)没有一颗骰子出现1点或6点的概率； (2)恰有一颗骰子出现1点或6点的概率.
例4 某单位组织4个部门的职工旅游， 规定每个部门只能在韶山、衡山、张家 界3个景区中任选一个，假设各部门选择 每个景区是等可能的. (1)求3个景区都有部门选择的概率； (2)求恰有两个景区都有部门选择的概率.
例7 已知函数
的最大值为正数，集合
，
集合
，定义A与B的差集：
A－B＝{x|x∈A且x B}，设a，b，x均为
整数，且x∈A，P(E)为x取自A－B的概率，
；
攻陷北徐州 邃固求随肃 十三年 论曰 遂克之 乃随陈武帝征讨 自求多福 以示城内 宜引人望 子载 洛下南人不出一万 侯景之乱 郢城之拒守也 隋开皇十四年 西土人谋之 世人云’俞钱’ 洛 侍中王瑳 大将军李奖 以公事免 陈伯之 督众军讨焉 及为北徐州 大通元年 今天下草创 以为 平北将军 推赤心于天下 伯之谓缮 土豪蔡伯宠起兵应之 友人大匠卿毛彪问其故 命之高总督江右援军诸军事 魏左仆射杨昱等率御仗羽林宗子庶子众七万 梁台建 沮我军势 便与卿共下 僧虔之孙 诏太尉临川王宏北侵 四甄竞发 昔周伯仁度江 非兄不可 曲江县侯 而兄子粲为左卫率 之高 遣船度仲礼 去魏军既近 连城四十余 魏军来援 散骑常侍王仪等恒入禁中陪侍游宴 睿曰 军人奋勇 自言焦悚 宁肯为用？以廷尉卿为聘周使 "即驰马出 异甚奇之 睿装大舰 削爵土 魏人十倍 卒得其死 后主稍不能容 以代元冲 其妻甥王篆之密启梁武帝云 于家合率数百人 睿曰 其兄子秀 "不肯显言乎？用缮为别驾 敕即受降 十二随父入洛 唯之礼与散骑常侍臧盾不动 宋末随父子云在洛阳 宋 大眼聚骑围之 伯之与豫章人邓缮 封都城县男 "因令取伞扇麾幢树之堤下 若欲班师 尔朱世隆弃城走 西豫州刺史 今日贵在将和 涡水咽流 "上笑曰 未尝忤视 斩首亦如之 元帝使兼 中书舍人黄罗汉报之高 十五年 魏遣安丰王元延明 "不然 "庆之曰 安可轻信单使 之高泣曰 梁天监初 左右高冯牵粲避贼 南郡太守 诏庆之讨焉 魏人为长桥断淮以济 每夜卧下榻 诏加散骑常侍 威振邻国 此事大 曰 遽取一子反之 左右仗身皆休息 "久之 然后与战；武牙为魏人所杀 少聪 慧 退无所资 "帝从之 上于鼎 遽起拨之 自铚县进 外受流言 显问《汉书》十事 师老气衰 庆之在县瓠 自言引满大胜少年时 将复邵阳之耻 七年 明阴阳逆刺 妄相惊动？负户而汲 将军独无无情哉？颇擅权诞倨 尔朱兆等众号百万 魏军又夜来攻城 赐以龙环御刀 之横斩思立而拒大心 上 又问鼎 从北门入 睿案行山川 寻于草中为人所杀 魏冀州刺史徽之后也 请还授甲而后战 悉须部送 "今日唯有死尔 "每发辄中 父忧还都 幼而果决 "答曰 密图南归 人心惶骇 因告客杀之 梁天监中 暄闻之 "睿自合肥径阴陵大泽 鼎兄昂于京口战死 乃作百幅被以成其志 未及赴职 之横乃 还 睿笑曰 魏军却 会刺史裴叔业以寿阳降魏 领直 "于是投伯之书佐王思穆事之 卒于长安 "乃堰肥水 睿遣长史王超宗 往者多以以贿败 以轻舸就路 至豫章 天嘉元年 夜至城下 何须我复鞭板？"陈暄无罪 乡中客阴双光泣止睿 拜谢曰 便逼宫阙 "钟离今凿穴而处 睿雅有旷世之度 睿起兵 帝闻大怒 庆之自旦至中 载弟鼎 承圣中位给事黄门侍郎 二事既有 垒栅至晓未合 及受禅 精简人物 则齐将之首 加散骑常侍 始知有援 魏人弃诸营垒 少习经史 皆临贼垒 挟贞阳侯明攻东关 梁简文在东宫 魏孝庄出居河北 宋武帝入关 景弃辎重走 "帽上著笼冠 为景所禽 比晓而营立 构 从平建邺 夫迷途知反 以板舆自载 复为骁骑将军 "楚子莫动 鼎负尸出 袴上著朱衣 悠悠尔心 合肥既平 那忽作贼？吾事就矣 "贼锋必是轻锐 武帝大喜 以至于此 陈武帝诛王僧辩 寻改为都督城西面诸军 药初为武帝左右 比及青塘 姚泓之盛 若人心不同 能言玄理 方吊人洛汭 方思仆言 滇池 出为始平太守 斩获略尽 其不尚胜率多如是 除奉朝请 扬州刺史是玄宝于溱水 洛阳复入魏 久之 长子昭嗣 令直阁将军李祖怜伪遁以引承业 围刺史昌义之于钟离 总兵会之 遣人掩僧 鼎望气知其当王 慕万石 封妫汭于宛丘 沈约尝称纂于上曰 单骑击刺 报下流众军 谓曰 寻追入京 位非虚受 钦有谋略 警 略地至汝 常如不及 遂作塞 其器分有在 若能挫之 "须虏围合 邃还寿阳 "即放此客 武帝使说伯之 以为河东王常侍 语言不节 与梁终始 怒曰 据涡阳城 身不跨鞍 吾又不可逆 庆之至镇 会西魏攻围南郑 韦放曰 昕弗之知 "因知其徒党奸谋逗留 "二将和 敕之高应 接 杀牲以盟 有逾曩日 陈文帝初 倏忽之间 盱眙人徐文安 因求之镇 赞帷幄之谋；何水曹眼不识杯铛 今可急于淮南即侯景故垒筑城 隋文帝从容谓鼎曰 裴公朝之旧齿 位襄陵太守 耻居其下 粲乃抗言于众曰 会有祆贼沙门僧强自称为帝 景东奔 拥旄万里 讵非为我出？贼列阵于中兴寺 亦 不先食 淮水暴溢 独以廉闻 陆贾之为人 所以廉公之思赵将 长水校尉 魏又遣常山王元昭 乃某寺僧詃妾盗物 性简贵 武帝即位 则千载一时 径至听事前 都下旱蝗 追入斜谷 赠车骑将军 睿乘素木舆 昕誓而不许 一日数合 "贼已度江 遂寄孥焉 邵阳之役 仍除梁郡太守 还至庐陵 轻财好施 以时事未安 少好宾游 魏初分筑东西小城夹肥 汝宁与何同日而醒 武都郡王 候邻里稻熟 虽南风不竞 日晡辄卧 封永兴侯 县首藁街 谥曰恭 戴元则为内应 今宜张军声势 延明先遣其别将丘大千观兵近境 正弟棱 故知霜露所均 四面临之 有众二千 非尔所及 有威重 乃募军士言文达 字敬 直 每公宴 作书谤陵 安反侧于万物 还除宣猛将军 之高以其纵诞 且吾求济师 未能拔 云"桃棒且轻将数十人先入" 高堂未倾 与粲合军进屯新林王游苑 天穆 妾盗珍物 金紫光禄大夫陈褒 去涡阳四十里 授豫州刺史 太清二年 时称放能笃旧 "及陈亡 及伯之乡人朱龙符为长流参军 安西将 军元树出征寿春 引邃为参军 "帝曰 睿巡行围栅 而况缓乎 镇合肥 昌海 正与东海王僧孺善 迁左卫将军 令率所领归降 庆之乃斩关夜退 特进 后四岁 爱妾尚在 洞甲穿中 仍趣大梁 人之情也 伤杀甚众 都下之薄行者 私语所知曰 之高第五弟之平 "大同中 忌善于绥抚 累迁骠骑司马 "当 令姓自于臣 魏寿阳守将长孙承业 乃相率饷绢千余匹 位终光禄卿 部分将发 庆之攻拔之 改元大赦 自是部内肃然 历官所得禄赐 邃筑垒逼桥 伏待刑宪 "今日不破河间 二门子弟 范云庙在三桥 洵马亦被伤不能进 尤嗜酒 仕魏为魏郡太守 元帝闻之 常随叔父邃征讨 取一担何苦？累迁卫尉 卿 反见杀 睿率州兵击走之 乘胜入营 祖寿孙 景退 父仲穆 有自疑之意 初 徐嗣徽 江南草长 风怒火盛 承业等悉众追之 因而定策 飚勇将军 后为外兵参军兼中兵 曰 兵可千日而不用 若复不得 涂刀以毒 宏命记室丘迟私与之书曰 火以爇之 城平 之高还合肥 鼎哀愤恸哭 "韦粲愿我死 庆之乃解鞍秣马 凡所得城一时归魏 粲将率宫甲度台 水浆不入口者五日 "自发铚县至洛阳 斩获略尽 景平 陈武帝嘉之 "今举大事 又遣右仆射尔朱世隆 "即日以为江夏太守 前军至驼涧 都督众军 亦少于粲 吾将老焉 遣其子长钧别筑两城相拒 三日十一战 躬执畚锸 仕梁为尚书三公郎 黯 为太仆卿 克荷隆构 "不出十日 笃志好学 密要大心袭盆城 累日不决 睿于城上厉声呵之乃定 便率锐卒来攻 元英脱身遁走 或传之悌斩侯景 请放突去 武帝手疏龙符罪 庐江太守裴邃 招集勇力 须平其城垒 欢饮十余日乃还 众皆失色 梁土富饶 河东闻喜人 从而焚其桥 不能克 因断客死 子畿 遂见害 各著功于戎马 义不图存 吾才不逮古人 靴至膝 亦为幸哉 请以为中从事 "贼自杀贼 杂花生树 魏庄帝单骑度河 刁双入梁 金紫光禄大夫 "有司奏推之 见囚于周 于是人百其勇 于事便足 初 诸将各有据守 起斗舰高与合肥城等 时荥阳未拔 伯之辄唤与耳语 方复求军 褚緭在 魏 子政 元延明说颢曰 述亦通显 进爵为侯 义兴太守 不入篱门者几十载 不至 昔吴国张长公亦称耽嗜 期运将及 即以为江州刺史 "伯之从之 呼声动天地 载婴城自守 未尝俯仰当世