「精品」高考数学一轮复习第7章不等式第2讲不等式的性质与基本不等式分层演练文(1)

第2讲 不等式的性质与基本不等式
一、选择题
1．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式一定成立的是( )
A ．a 2<b 2
B ．ab 2>a 2
b C ．
1
ab 2
<
1
a 2
b
D ．b a <a
b
解析：选C.若a <b <0，则a 2
>b 2
，故A 错；若0<a <b ，则b a >a b
，故D 错；若ab <0，即a <0，
b >0，则a 2b >ab 2，故B 错；故C 正确．所以选C.
2．已知0<a <b <1，则( )
A ．1b >1a
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭
⎪⎫12b
C ．(lg a )2
<(lg b )2
D.
1lg a >1
lg b
解析：选D.因为0<a <b <1， 所以1b －1a ＝a －b ab
<0，
可得1b <1a ；⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ；(lg a )2>(lg b )2
；
因为lg a <lg b <0，
所以1lg a >1lg b
，综上可知D 正确，
另解：取a ＝14，b ＝1
2，排除验证，知D 正确，故选D.
3．当x >0时，函数f (x )＝2x
x 2
＋1
有( ) A ．最小值1
B ．最大值1
C ．最小值2
D ．最大值2
解析：选B.f (x )＝
2
x ＋1x ≤22x ·
1x
＝1.
当且仅当x ＝1
x
，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.
4．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1
xy
≥M 恒成立，则M 的最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）2
4＝22
4＝1，所以1
xy ≥1；
又1
xy
≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1.
5．若1a <1
b
<0，则下列结论不正确的是( )
A ．a 2
<b 2
B ．ab <b 2
C ．a ＋b <0
D ．|a |＋|b |>|a ＋b |
解析：选D.由于1a <1b
<0，不妨令a ＝－1，b ＝－2，可得a 2<b 2，故A 正确．ab ＝2，b 2
＝4，
故B 正确．
a ＋
b ＝－3<0，故C 正确．
|a |＋|b |＝3，|a ＋b |＝3，|a |＋|b |＝|a ＋b |，所以D 不正确．故选D.
6．已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2
＋y 2
－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( )
A ．9 B.92 C ．4
D.52
解析：选B.将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2
＋(y －2)2
＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，所以a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤9
2，当且仅
当a ＝2b ＝3时等号成立，即ab 的最大值是9
2
，故选B.
二、填空题
7．已知存在实数a 满足ab 2
>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．
解析：因为ab 2
>a >ab ，所以a ≠0，
当a >0时，b 2
>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2
>1，
b <1，
解得b <－1；
当a <0时，b 2
<1<b ，即⎩
⎪⎨⎪⎧b 2
<1，b >1无解．
综上可得b <－1.
答案：(－∞，－1)
8．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1
b
的最小值为________．
解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋2
3b ＝1，
所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3a ＋23b ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＋1b
＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83
. 当且仅当a ＝2b ＝3
2时取等号．
答案：83
9．一段长为L 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为________． 解析：设菜园的长为x ，宽为y ，则x ＋2y ＝L ，面积S ＝xy ，因为x ＋2y ≥22xy .所以
xy ≤（x ＋2y ）28＝L 2
8.当且仅当x ＝2y ＝L 2，即x ＝L 2，y ＝L 4时，S max ＝L 2
8
.
答案：L 2
8
10．设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 解析：设a ＋1＝m ，b ＋3＝n ，则m ，n 均大于零，
因为m 2＋n 2≥2mn ，所以2(m 2＋n 2)≥(m ＋n )2
，
所以m ＋n ≤2·m 2
＋n 2
，所以a ＋1＋b ＋3≤2·a ＋1＋b ＋3＝32，当且仅当a ＋1＝b ＋3，
即a ＝72，b ＝3
2时“＝”成立，所以所求最大值为3 2.
答案：3 2 三、解答题
11．实数x 、y 满足－1<x ＋y <4，2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围． 解：设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，
则⎩
⎪⎨⎪
⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，所以⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12
. 即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋1
2(x －y )，
又因为－1<x ＋y <4，2<x －y <3， 所以－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<3
2，
所以－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<23
2，
即－32<3x ＋2y <23
2
，
所以3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，232.
12．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *
)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1
t
，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120
－|t －20|.
(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *
)的函数关系式；
(2)求该城市旅游日收益的最小值．
解：(1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝
⎛⎭
⎪⎫4＋1t (120－|t －20|)
＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100
t ， 1≤t ≤20.559＋140
t －4t ， 20<t ≤30.
(2)当t ∈[1，20]时，401＋4t ＋100
t
≥401＋2
4t ·100
t
＝441(t ＝5时取最小值)．
当t ∈(20，30]时，因为W (t )＝559＋140
t
－4t 递减，
所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝4432
3，
所以t ∈[1，30]时，W (t )的最小值为441万元．。