基本不等式教案第一课时
《基本不等式(第1课时)》教学设计新
教师学科教案[20-20学年度第一学期]任教学科：______________任教年级：______________任教老师：______________XX市实验学校课题：基本不等式（第1课时）学校：北京市顺义牛栏山第一中学学科：数学姓名：***一、指导思想与理论依据布鲁姆将教育目标划分为认知领域、情感领域和操作领域三个领域，共同构成教育目标体系•认知目标又分类为：记忆、理解、应用、分析、评价、创造，每个层次的要求各不相同，因此教学目标的确定应结合课程内容和学生的实际情况,符合学生的认知规律.学生是课堂中的主体，教学设计一定要从学生的认知水平出发，充分考虑学生的已有经验、学习基础、思维特点，立足于学生的"最近发展区”；用学生的眼光看数学，学生在理解的基础上，由浅入深，由感性到理性地设计问题，才能真正引导和帮助学生思考问题、分析问题和解决问题.同时《高中数学学科德育指导纲要》指出，在高中数学教学中加强德育，对于全面推进素质教育，培养社会主义的建设者和接班人具有重要意义.因此在教学中要关注学生的情感、态度和价值观，渗透德育内容.教学活动是师生积极参与、交流互动、共同发展的过程.有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一.《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式……"、“还应注重提高学生的数学思维能力”.本节课从学生的最近发展区出发，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，亲身经历、体验发现规律的过程，学会如何去研究问题的方法，体会蕴含在其中的数学思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，培养学生交流合作的意识.二、教学背景分析（一）教学内容分析本节课的内容是人教A版《数学（必修5）》第三章3.4基本不等式：J^≤土^的第1课时.“基本不等式”在教学中安排3课时，第1课时的内容是基本不等式的形成、证明及其几何解释，正确把握基本不等式的结构和等号成立的条件；第2课时的内容是能用基本不等式求简单的最值问题，并理解其应用条件“正、定、等”；第3课时的内容是从实际问题中抽象出具体的基本不等式问题，并应用基本不等式处理最值问题，也就是将基本不等式作为处理优化问题的一种模型.基本不等式反映了实数的两种基本运算(即加法和乘法)所引出的大小变化.这一简单朴实、平易近人的本质，恰是这一不等式变化多端、妙用无穷的源头，体现了运算带给数的巨大力量.这一本质不仅可以从不等式的代数结构上得到表现，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用。
课时3153_2.2 基本不等式(第一课时)-2.1等式性质与不等式性质(第一课时)教学设计
2.2.1等式性质与不等式性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)一、教学目标1. 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系；2. 灵活掌握作差法比较两实数的大小, 提高数学运算能力；3. 通过具体情景, 构建不等式，初步了解数学建模的思想.二、教学重难点1. 将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2. 在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小.三、教学过程1.用不等式（组）表示不等关系1.1创设情境，引发思考【实际情境】中国“神舟七号”宇宙飞船飞天取得了圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v)不小于第一宇宙速度(记作v2),且小于第二宇宙速度(记作v1).问题1：你能用不等式和不等式组表示下面的不等关系吗？（1）某路段限速40km/h;（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5％,蛋白质的含量p应不少于2.3％；（3）三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.【预设的答案】0 ＜v ≤40;{f≥ 2.5p≥ 2.3%;设△ABC的三条边为a，b，c，则a + b ＞c ，a – b＜c ;设C是直线AB外的任意一点，CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，连接线段CE，则CD＜CE.【设计意图】不等式和不等式组不是凭空产生的，用这些生活实例所蕴含的不等关系抽象出不等式，让学生感受“不等式和不等式组”来简化表达.问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调査，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?【活动预设】（1）第一步：审题找出题中数量关系；（2）第二步：根据数量关系构建不等式或者不等式（组）.【设计意图】从引例中的具体问题入手，思考指数x的存在性，唯一性和大致范围，为了表示指数，引入对数符号，在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程.问题3：如何比较两个实数的大小关系？你能比较(x+2)(x+3)与(x+1)(x+4)的大小关系吗？【活动预设】（1）化简题设中的代数式，观察结构，利用作差法比大小；（2）总结：实数大小的基本事实.教师讲授：如果a-b是正数，那么a＞b; 如果a-b等于0，那么a=b;如果a-b是负数，那么a＜b.反过来也对.比较大小常用方法: 作差比较法由于(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=2>0，所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).【设计意图】在探究实数大小的基本事实的基础上，总结比较大小的常用方法“作差比大小”.1.2探究典例，理性分析典例1：用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．[变条件]本例中，若矩形的长、宽都不能超过11 m，对面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？[变条件]本例中，若要求x∈N，则x可以取哪些值?【活动预设】感受在列不等式的过程中，变量的范围的重要性及不可缺少性.【设计意图】为加强不等式或不等式(组)中变量范围的限制.典例2：已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．[变条件]将本例中“x＞1”改为“x∈R”，比较x3－1与2x2－2x的大小？【活动预设】感受利用作差法比大小的过程中，变量的范围的重要性.【设计意图】为给学生贯彻分类讨论的数学思想.教师讲授：比较两个实数(代数式)大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.1.3具体感知，加强练习活动：观察2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标.注:实际上这个图称为“弦图”,三国时期吴国的数学家赵爽,用来证明勾股定理.【活动要求】第一组每一排学生讨论在这个图案中含有怎样的几何图形；第二组相应排学生找出图案中的相等关系；第三组相应排学生找出图案中的不等关系.【活动预设】得出当a>0,b>0时，a2+b2≥2ab，引导学生思考“当a,b为任意实数时，上式仍成立”的合理性.【设计意图】在实践活动中进行认识, 在得出不等关系后，遵循从特殊到一般的思路，从外延的角度加深概念的理解，为基本不等式作铺.2.初步应用，理解概念例1 比较大小：(x−1)(x−2)与(x−2)的大小关系；【预设的答案】(x−1)(x−2)≥(x−2)【设计意图】进行简单的比较大小运算，熟悉作差法.例2 已知a>0,b>0,试比较√b +√a与√a+√b的大小；【预设的答案】√b +√a≥√a+√b【设计意图】（1）利用作差法概念以及变形方法,加深对作差法比大小的理解；（2）从这个例题中归纳概括出变形的方法：有理化.例3 已知a=√7−√6,b=√6−√5,则下列关系正确的是（）A. a>bB. a≤bC. a≥bD. a<b 【预设的答案】D【设计意图】在解题中加深对作差法中对差进行变形的灵活运用.例4 已知a>b , 证明：a>a+b2>b【预设的答案】∵a−a+b2=a−b2,a−b>0∴a−a−b2>0 即a>a+b2∵a+b2−b=a−b2,a−b>0∴a−b2−b>0 即a+b2>b综上，a>a+b2>b【设计意图】让学生掌握证明不等式的方法及书写格式3.归纳小结实际问题⇒不等关系⇒不等式⇒不等式性质数学抽象两个实数大小关系的基本事实(作差法)思考：对于Nalog，应该怎样正确读，规范写，它的含义是什么？【设计意图】（1）梳理本节课对于对数的认知；（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习对数的必要性 .四、课外作业高中教科书数学必修第一册第39页至第40页课后练习。
【教学设计】基本不等式
《基本不等式（第一课时）》教学设计一、教学目标1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，那么正方形的边长为．于是，4个直角三角形的面积之和，正方形的面积．由图可知，即．2．代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若，则．学生探讨等号取到情况，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：（1）若，则；请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．证法一（作差法）：，当时取等号．（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数）证法二：分析法。
略。
为基本不等式分析法证明做好铺垫。
引领学生通过代换得到基本不等式:若，则（当且仅当时，等号成立）证法一（作差法）略。
基本不等式教案第一课时
课题: §3.42a b ab + 第1课时授课类型：新授课 【学习目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】2a b ab +≤的证明过程； 【教学难点】2a b ab +≤等号成立条件 【板书设计】 课题: §3.4基本不等式2a b ab +≤（第1课时） 1.课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课 1．问题探究——探究图形中的不等关系。
2．总结结论： 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ [补充例题]3.随堂练习4.课时小结 5、能力提高【教学过程】1.课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课1．问题探究——探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
2.2 基本不等式(第一课时)
替换后得到： ( a )2 ( b)2≥2 a b
即： a b≥2 ab 基本不等式
即： a b≥ ab 2
(a 0, b 0,当且仅当a b时取等)
基本不等式
a b ab 2
注意： 1、a 0, b 0
2、取等条件：当且仅当a b时取等 3、a b 叫算术平均数，ab叫几何平均数
2
基本不等式的几何解释
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB 上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的 弦DE,连接AD、BD、OD.
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
②如何用a, b表示CD? CD=__a_b___
当且仅当 x 1 即x 1时有最小值 2. x
例2、（2）已知x 3,函数y x 1 ,当x为何值时，函数 x3
有最值，并求其最值。
解： x 3
y x 1 (x - 3) 1 3
x 3
x -3
2 ( x 3) 1 3 5 x 3
二定
当且仅当x 3 1 ,即x 4时，函数有最小值， x3
1 能否用基本不等式求最小值？ x2 2
解：由基本不等式知 x2 2
1 2 x2 2
x2 2 1 2 x2 2
当且仅当 x2 2 1 即x2 2 1时取等，而这是不可 x2 2
能的，故此函数不能用基本不等式求最小值。
利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。
达标检测
1．下列不等式中，正确的是( A．a＋4a≥4 C. ab≥a＋2 b
ab ( a b )2 (18)2 81
2
2
《基本不等式》教学设计
微课《基本不等式》（第一课时）教案设计北师大版高中数学必修5第三章一、教学目标1．通过实例，引导学生利用数形结合的思想从几何图形中获得重要不等式的内容，从而得到基本不等式。
2．进一步完善基本不等式等号成立的条件，并从圆中给出不等式的几何证明，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3．运用基本不等式进行证明，强化学生应用的能力。
以上教学目标结合教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式。
难点：在几何图形中抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．实例探究：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图体现了最早的数形结合的思想．在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，设正方形的面积为S ，四个全等的直角三角形的面积为S ’。
问1：正方形的面积S 是多少？问2：四个全等的直角三角形的面积S ’是多少？问3: S 与S ’有怎样的关系？2.积极思考： 若直角三角形的直角顶点合为一点即正方形中心时S 与S ’又有怎样的关系．（等号成立的条件）于是，得到重要不等式当且仅当a=b 时等号成立。
同时解释“当且仅当”的含义。
3.启发引导：若将重要不等式中的2a 与2b 用a 和b 代换会用怎样的结论？ 通过学生动手操作，探索发现基本不等式的内容：若22,,2a b R a b ab ??，则2a b +³a=b 时等号成立）。
4知识点强化：关于基本不等式的三点说明：I ：两数a ,b 必须为正数；II ：2a b +³III: “=”成立的条件。
通过教师演示几何画板，展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善基本不等式的理论：3.对基本不等式的三点总结：（1）圆的半径大于等于半弦；（2）两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；（3）两个正数的等差中项不小于它们的几何平均数。
基本不等式教学设计(王世艳)
黑龙江省七台河市第二中学王世艳教材：人教版高中数学必修5第三章一、教学内容解析本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。
在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。
二、教学目标设置1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。
3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。
三、学生学情分析对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。
四、教学策略分析在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。
在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点五、教学过程：（一）情景引入下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。
通过情境引发联想，学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。
探究一：观察上面的会标。
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。
基本不等式第一课时 优秀教学设计
基本不等式:
������������
≤
������
+ ������
������
（第
1
课时）
教学 用 环节 时
教学内容
师生互动
设计意图
一、情景导入
2002 年在北京召开的第 24 届国际数
教师设置问 从教材中数学文化
学家大会的会标，感受其中蕴涵的数
题串引导学 背景赵爽“弦图”让
学文化。
生思考。学 学生从至真至善之美
【教学目标】
一、知识与技能
1．理解重要不等式：������2 + ������2 ≥ 2������������(������,������ ∈ ������)的猜想与证明；
2．理解基本不等式：
������������
≤
������
+ 2
������
的结构特点、成立条件和几何解释，并能进行简单
应用。
【学情分析】
1.心理特征：上课班级为实验中学理科实验班学生。根据实验中学已有学生的 数学学习素养和高一学生的认知特点及心理特征，确定本节课的情感目标为培养学 生的数学学习兴趣，引导学生感受数学几何直观的美，欣赏数学对称美，领会数学 运算的简洁美。本阶段学生处于青春期其心理特征对于新事物好奇心很强，喜欢不 寻常的方法和事物。而博大精深的数学文化可以恰如到好处的满足学生的心理需求， 同时在意识领域让学生从数学文化背景中感受古人的智慧，膜拜古人持之以恒追求 知识的精神，可以进一步激发学生对知识的渴望、对伟大数学家的仰望和敬意。
通过重要不等式，学生类比得到基本不等式，以个别提问为主研究基本不等式。 引导学生分析基本不等式的几何解释，利用几何画板引导学生作圆，观察得到几何 解释。在学生感受几何直观与代数证明的紧密结合时，引出生活在 2000 多年前两 河流域的古巴比伦时期的人们利用简单、对称的代数关系证明让学生感受基本不等 式的证明方法是历史发展的产物，展示了人类智慧的结晶。几何直观和代数运算辩 证统一的思想方法中让学生感受数形统一的思维过程。为了突破本节课的难点以层 层递进的例题设计为学生的思维搭架子，让学生感受构造、二元问题转化为一元的 方法，在教学的过程中要调动学生学习的积极性，让学生在探究学习的过程中体会 获取知识的成功，享受学习的乐趣。
高中数学_基本不等式(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
《基本不等式》教学设计一、教学目标1.知识与技能：了解基本不等式的几何背景，探索基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单最大（小）值问题。
2.过程与方法：进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。
3.情感态度与价值观：培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生形成数形结合的思想意识。
二、教学重难点1.教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程，基本不等式在实际问题中的应用。
2.教学难点：用基本不等式求最大值和最小值。
三、教材分析最新版教材之所以把“基本不等式”前置是经过了学习的重要性与可能性两方面的综合考量。
相比旧教材，“基本不等式”的教材地位与教学要求都发生的变化，由于“基本不等式”本身内涵非常丰富，其学习过程不可能一蹴而就，“反复认知，螺旋上升”才是课堂教学的有效策略。
四、学情分析本节课针对的是高一年级学生，知识上，刚系统学完了不等式性质，一元二次不等式，在初中阶段，也了解了数学家赵爽“弦图”推出勾股定理，圆的垂径定理，算数平均数、几何平均数。
方法上，能够运用数形结合和化归的思想提炼基本不等式，阐述基本不等式的几何意义。
能力上，运用作差法，综合法能从数量关系上进行逻辑推理验证基本不等式。
五、教学方法1、借助“折纸游戏”，从特殊到一般的猜想，发现基本不等式（数学抽象、直观想象）。
2、探索基本不等式的证明过程，会用作差比较法、综合法，分析法，证明基本不等式（逻辑推理、数学运算、直观想象）。
3、从不同角度理解基本不等式（直观想象）。
4、感知与基本不等式相近一些不等式的证明（逻辑推理、数学运算）。
学生：消去了教师：得到定值学生：2教师：当且仅当学生：x x 1=时等号成立 教师：这时我们得到的是学生：最小值2教师：好的，我们类比这道例题完成三个变式，这里请三位同学上来板书变式1：已知0>x ，求x x 12+的最小值. 变式2：已知0<x ，求x x 1+的最大值. 变式3：已知1>x ，求11-+x x 的最小值. 教师：我们看变式3，如果4>x 时，最值还是这个答案吗 学生：不是教师：原因是什么学生：当且仅当的相等教师：所以我们运用基本不等式求最值的条件可以总结为 学生：一正、二定、三相等教师：观察我们例1和变式，我们发现在利用基本不等式后两正数之积为定值，这时我们能求出两正数之和的最小值，那么我们是否可以得到结论：能力，灵活运用已学知识，体会证明的答题过程《基本不等式》学情分析本节课针对的是高一年级学生，知识上，刚系统学完了不等式性质，一元二次不等式，在初中阶段，也了解了数学家赵爽“弦图”推出勾股定理，圆的垂径定理，算数平均数、几何平均数。
基本不等式(讲课稿)
2.2 基本不等式（第一课时 )【目标引领】1. 学会推导并掌握基本不等式,理解不等式的意义.2. 探索了解基本不等式的证明过程,领悟数形结合思想的应用.3. 会应用基本不等式求简单的最值问题.【自学探究】复习回顾: 1.(a-b)2= （a+b)2= 2.如何比较两个实数的大小？ 3.∀a,b ∈R,a 2+b 2≥ ,当且仅当 时,等号成立.4.如果a>0,b>0,我们用a ,b 分别代替上式中的a,b,可得 ，当且仅当时,等号成立. 【合作解疑】基本不等式: 通常称 为基本不等式.其中,2a b +叫做正数a,b 的算术平均数，b a 叫做正数a,b 的几何平均数。
思考：能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？探究: 如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，AC=a ，BC=c ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD,BD ．你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？【精讲点拨】例1 已知x>0,求x+x 1的最小值。
巩固练习：1. 已知x>2,求x+2-x 1的最小值. 2. 已知x<0,求x+x1的最大值。
例2 已知0<x<2,求x(2-x)的最大值。
例3 已知x,y 都是正数，求证：（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值2P ;（2）如果积x+y 等于定值S ，那么当x=y 时，和xy 有最大值241S ;巩固练习:P46 练习 1、2、3、4、5【课后小结】:【当堂达标】1.若a,b ∈R,且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是（ ）A. ab a 2b 22>+B.a+b ≥ 2abC. ba a 2b 11>+ D.2≥+b a a b 2若x,y 为正实数，且x+4y=1,则xy 的最大值为3.已知x>23,求函数y=2x-2+321-x 的最小值.4.已知0<x<21,求21x(1-2x)的最大值.【作业布置】：P48习题2.2 复习巩固 1、2 综合运用 4、5。
基本不等式教案
§3.4.1 基本不等式授课类型：新授课【学习目标】：1. 知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意 义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2. 过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3. 情感、态度与价值观：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重难点】：1. 重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程；2. 难点：基本不等式2a bab +≤等号成立条件【课 时】：1课时 【教学方法】：教师主导，学生主体，自主与合作【教学过程】1.课题导入基本不等式2a bab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课1．问题探究——探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。
3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以， 0)(2≥-b a 即 .2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a bab +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a bab +≤2）从不等式的性质推导基本不等式2a bab +≤ 用分析法证明：要证2a bab +≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2（4） 显然，（4）是成立的。
人教A版(2019)高中数学必修第一册2.2基本不等式第1课时教学设计
)0,(2≥+≤b a ba ab 2.2 基本不等式（第1课时）教学目标四基： 理解基本不等式四能： 通过具体实例，理解基本不等式的意义，培养学生解决问题的能力； 通过基本不等式证明的学习，提升学生分析问题的能力。
数学核心素养：通过教材例题，得到重要不等式，体会建模，让学生学会用数学的语言表达世界；通过逻辑推理和抽象概括得到基本不等式，以及基本不等式的证明，让学生学会用数学眼光观察世界；通过例题分析，让学生学会用数学思维思考世界。
教材分析地位： 相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础。
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明。
难点：用基本不等式解决证明题。
教 学 过 程知 识师生活动 设计意图 一、小测检验（检测上节课所学内容） 题目:1.大小。
和比较952)3)(2(2++++x x x x2.bca c cb a ><>>求证已知0,03．的取值范围求已知b a b a +-<<-<<2,12,32 二、新授课（一）创设情景，引出课题问题一：前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式是什么？：有,,R b a ∈∀,222ab b a≥+教师展示题目，学生作答。
回忆上节课所学知识点。
建立联系。
当且仅当b a =时等号成立。
活动一、问题二：特别地，如果0,0>>b a ,我们用b a ,代替上式中的a,b 会得到什么？基础知识1：特别地，如果0,0>>b a , 2ba ab +≤，当且仅当a=b 时，等号成立。
2)2(2b a ab ab b a +≤⇔≥+说明：①通常称上述不等式为基本不等式．其中，2ba +叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．②两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.活动二：阅读教材44页“上面通过…不等式了”推理论证说明:分析法证明的格式.活动三：阅读教材第45页的探究：在图2.2-1中，AB 是圆的直径，点 C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD ，BD ．你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？（二）巩固训练，数学应用 活动四:1.教材46页练习1，2教师提问，学生口述学生思考，教师组织教师指导，学生理解教师引导，学生一起口述问题答案。
第二章 2.2 第一课时 基本不等式
ab＝4，a＋2 b＝5，所以 a<
a＋b ab< 2 <b.
答案 B
规律方法 利用基本不等式比较实数大小的注意事项 1.利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积). 2.利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
x2＋2 【训练1】 比较大小： x2＋1 ________2(填“>”“<”“≥”或“≤”).
解析 由于 a2＋1－a＝a－122＋34>0，故①恒成立；
由于a＋1ab＋1b＝ab＋a1b＋ba＋ab≥2
ab·a1b＋2
ba·ab＝4.当且仅当abab＝＝aba，1b，即
a＝b＝1 时，“＝”成立，故②恒成立；
由于(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2 成立，故③恒成立；
1 A.2
B.a2＋b2
C.2ab
D.a
解析 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·a＋2 b2＝12.
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.
∵0<a<b 且 a＋b＝1，∴a<12.∴a2＋b2 最大.
答案 B
3.若 x>0，则 x＋1x________2(填“＝”，“≥”，“≤”，“>”，“<”).
证明 ∵a，b 均为正实数，∴a12＋b12≥a2b，∵a2b＋ab≥2 2，∴a12＋b12＋ab≥2 2(当 且仅当 a＝b 时取等号).
1.通过学习基本不等式培养数学抽象素养，通过运用基本不等式进行证明提升数 学运算及逻辑推理素养.
2.两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅 当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当 a＝b 时，a＋2 b＝ ab；另一方面：当a＋2 b＝ ab时，也有 a＝b.
2.2基本不等式第1课时课件(人教版)
因此所求的最小值为2.
思考：这里2只是 x 1 x 0
x
的一个取值，试想一下当y0＜2时，
x
1 x
y0成立吗？这时候能说明y0是 x
1 x
x
0
的最小值吗？
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结 能够利用基本不等式求代数式最值的条件：
代数式能转化为两个正数的和积的情势，它们的和或者积是 一个定值，不等式中的等号能够取到，
即“一正、二定、三相等”.
学习目标
新课讲授
课堂总结
例2 已知x，y都是正数，求证：
（1）如果xy等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值 2 P ；
（2）如果x+y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值
1 4
S2
；
证明：因为x，y都是正数，所以 x y xy 2
两个正变量积为定值，
（1）当积xy等于定值P时， x y P
当且仅当a=b时，等号成立.
如果a＞0,b＞0,我们用 a , b 分别代替上式中的a,b，可得到什么结论？
学习目标
新课讲授
课堂总结
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
算数平均数
即： a b≥2 ab
正数a,b
即： a b≥ ab 2
当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式 注：a,b均为正数 几何平均数
则和有最小值，当且仅
2
当两变量值相等时取最
所以，x+y≥2 P ,当且仅当x=y时，上式等号成立.
值.简记“积定和最小”.
所以，当x=y时，和x+y有最小值 2 P .
学习目标
新课讲授
2.2《基本不等式》教学设计
人教A版高中数学必修第一册《基本不等式》（第一课时）单位：山东省单县第五中学姓名：陈洪飞时间：2019年9月2.2基本不等式（第一课时）教材：人民教育出版社A版必修第一册课题：2.2基本不等式（一）一、教学目标1．通过一个探究实例,引导学生从几何图形中获得基本不等式,了解基本不等式的几何背景,体会数形结合的思想;2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力;3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想;4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过三个探究引导学生领会运用基本不等式2ba ab +≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，锻炼学生的交流合作探究能力，体会方法与策略.以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节.二、教学重点和难点重点：1、应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2ba ab +≤的证明过;2、熟练掌握基本不等式求代数式的最值;难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.三、教学过程：1、动手操作，几何引入先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a 和b （b a ≥），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？抽象出不等式. 通过学生动手操作，探索发现：2ba ab +≤接着让学生探讨取等号的条件,及a 、b 的取值范围;得出结论,展示课题内容.根据上述几何背景，初步形成不等式结论：0,0>>∀b a 有2b a ab +≤（当且仅当a=b 时等号成立） 深化认识： 称ab 为a 、b 的几何平均数；称2b a +为a 、b 的算术平均数 基本不等式2b a ab +≤又可叙述为： 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。
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第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.4
2
a b + 第1课时
授课类型：新授课
【学习目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【能力培养】
培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】
2
a b +≤的证明过程； 【教学难点】
2
a b +≤等号成立条件 【板书设计】
【教学过程】
1.课题导入
2
a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据
中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风
车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不
等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关
系。
2.讲授新课
1．问题探究——探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角
形的两条直角边长为a,b 。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为 2
22)(2b a ab b a -=-+
当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时
所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+
4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式
2
a b +≤
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，
(a>0,b>0)2
a b +≤
2）2
a b +≤
用分析法证明：
要证 2
a b +≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。
当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。
3）2
a b +的几何意义 探究：课本第110页的“探究”
在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。
过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。
你能利用这个图
2a b +≤
的几何解释吗？
易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB
即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2
，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.
2a b +≤
几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把2
b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称
2b a +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
[补充例题]
例1 已知x 、y 都是正数，求证： (1)y
x x y +≥2；
(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.
分析：在运用定理：ab b a ≥+2
时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形. 解：∵x ，y 都是正数 ∴
y x ＞0，x y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 (1)x y y x x y y x ⋅≥+2＝2即x
y y x +≥2. (2)x ＋y ≥2
xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233y x ＞0
∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2
xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3 即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.
3.随堂练习
1.已知a 、b 、c 都是正数，求证
（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：
ab b a ≥+2
（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.
解：∵a ，b ，c 都是正数
∴a ＋b ≥2ab ＞0 b ＋c ≥2bc ＞0
c ＋a ≥2ac ＞0
∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc
即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc .
4.课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（
2b a +），几何平均数（ab ）及它们的关系（2
b a +≥ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问
题：ab ≤222b a +，ab ≤（2b a +）2.。