2019-2020年高二竞赛数学试题(理)

2019-2020年高二竞赛数学试题（理） 理 科 数 学 2010.12
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒
-的值为（ ） A ． 0 B ． 12 C ． 32 D ． 12
- 2．在△ABC 中，已知25=a ，10=c ，A=030，则B 等于( )
A ．1050
B ．600 或1200
C ．150
D ．1050或150
3．在等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的第（ ）项
A ．60
B ．61
C ．62
D ．63
4．在ABC ∆中，若C A B sin sin cos 2=•，则ABC ∆的形状一定是( )
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
5.设等比数列{}n a 的前n 项之和为n S ，30,102010==S S ,则=30S ( )
A.60
B.70
C.80
D.90
6．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( )
A 060
B 090
C 0120
D 0
150 ７．已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ）
A ． 18
B ． 47
C ． 7
4- D ． 18- 8．函数22()sin ()sin ()44
f x x x ππ
=+--是（ ） A ．周期为2π的奇函数
B ．周期为2π的偶函数
C ．周期为π的偶函数
D ．周期为π的奇函数 9. 如图：B C D ,,三点在地面同一直线上，a DC =，从C ，D 两点测得A 点仰角分别是
)(,,βααβ<，
则A 点离地面的高度AB 等于（ ）. A ．
sin sin sin()a αββα- B ． sin sin cos()a αβαβ⋅- C ．
sin cos sin()a αββα- D ． cos sin cos()
a αβαβ-
10．()tan 70cos103tan 201︒︒︒-等于（ ） A ． －1 B ． 1 C ． 2 D ． －2
11.设等差数列}{n a 的前n 项之和为,n S ,2121a S =且01>a ， 则有 （ ）
A.}{n a 为递增数列，且n S 的最大值为10S
B.}{n a 为递增数列，且n S 的最小值为11S
C.}{n a 为递减数列，且n S 的最大值为10S
D.}{n a 为递减数列，且n S 的最小值为11S 12.设数列{}n a 的n
a n ++++= 3211，则此数列{}n a 的前n 项之和为 ( ) A ． 12+n n B ．23+n n C ． 34+n n D ． n
n 21+
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
(请把Ⅱ卷的答案写在答题卡上)
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 在等差数列｛a n ｝中，已知公差d =2
1，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 1+a 2+a 3+…+a 99+a 100=______________.
14 若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα
+= 15. 数列1
21，241，381，416
1，…的前n 项和为 . 16. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一 水平面内的两个测点C 与D ．测得015BCD ∠=，
03030BDC CD ∠==，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为060, 则塔高
AB= 米.
三、解答题（共60分）
17. （本小题满分12分）
已知等差数列{}n a ，92=a ，215=a .
（1）求{}n a 的通项公式，
（2）令n a n b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S .
18．（本小题满分12分）
已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）求()f x 的最大值、最小值。

19.（本小题满分12分）
已知ABC ∆的三个内角C B A ,,依次成等差数列,三边c b a ,,依次成等比数列. 试推断ABC ∆的形状.
20（本小题满分12分）
已知,135)4sin(,40=-<<x x ππ求)4cos(2cos x x +π的值
21．（本小题满分12分）
在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且72cos 22
sin 82
=-+A C B ①求角A 的大小；
②若的值和求c b c b a ,3,3=+=.
22. （本小题满分14分）
数列{}n a 中，n S 表示前n 项和，,11=a 241+=+n n a S .
(1)求证:{}n n a a 21-+为等比数列； (2)求证:⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2为等差数列； (3)求n a ，n S ．
沂南一中高二语数外学科竞赛试题
理科数学参考答案
一.选择题: BDBCB ACDAA CA
二.填空题: 13．145 14．2008 15．n n n 2
1222-++ 16．156 三、解答题
18．解:
2222()(cos sin )(cos sin )sin 2cos 2sin 22)4
f x x x x x x x x x π
=+--=-=+（i ）()f x ∴的最小正周期22T ππ==； （ii ）由cos(2)14
x π+=-有224x k πππ+=+， 3()8
x k k Z ππ∴=+∈时min ()2f x =- 由cos(2)14x π+=有224
x k ππ+=， ()8
x k k Z π
π∴=-∈时max ()2f x =， 19.解: 由C B A ,,依次成等差数列,得 ,2B C A =+
而0060,180=∴=++B C B A . ……………(4分)
由三边c b a ,,依次成等比数列，得 ac b =2.……………(6分) 2
12cos 222=-+=ac b c a B ，代入ac b =2 后， 得 0)(2=-c a ，(10分)
∴ c a =，222c a ac b ===，
∴ c b a ==，故ABC ∆为正三角形。

(12分)
即3=bc bc bc c b 392)(2
-=--+ 2=∴bc ∴⎩⎨⎧==21c b 或 ⎩⎨⎧==21c b ２２.解：（１）由241+=+n n a S ① 可知241+=-n n a S （2≥n ）②
① －②得1144-+-=n n n a a a ∴)2(2211-+-=-n n n n a a a a
∴
2221
1=---+n n n n a a a a ∴{}n n a a 21-+为等比数列． （２）由241+=+n n a S ，可知,2412+=a S ∴24121+=+a a a ，
∴2312+=a a ， ∵,11=a ∴,52=a
∴11121232)2(22--+⋅=-=-n n n n a a a a ． ∴112++n n a －=n n a 21122++-n n n a a ＝4322311=⋅+-n n （常数） ∴⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2为等差数列． （３）∵=n n a 2
41343)1(21-=-+n n a ， ∴)13(22-=-n a n n ． ∵241+=-n n a S ，
∴2)43(22)43(2413+-=+-⋅=--n n S n n n ．。