1.4素因数与分解素因数(2)
初中数学知识点精讲精析 素数、合数与分解素因数
1.4 素数、合数与分解素因数学习目标1. 理解素数、合数、素因数、分解素因数的概念。
2. 掌握分解素因数的几种方法，熟练掌握用短除法分解素因数。
知识详解1. 一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。
2. 先将该合数分解成两个因数之积，再将其中的合数分解，一直分到不能再分为止从以上例子可以看出：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数3. 用短除法分解素因数的步骤如下：（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。
（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止。
（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式.4. 计算器分解法首先用计算器将合数分成两个整数之积，再分别对两个整数进行分解，最终化为素数之积的形式。
【典型例题】例1：判断18，29，51和91是素数还是合数。
【答案】18能被3整除，因此除了1和18以外，18还有因数3，所以18是合数。
同样，45能被5整除，91能被7整除，所以45、91也是合数。
【解析】18的因数有：1，2，3，6，9，18 29的因数有：1，1945的因数有：1，3，5，9，15，45 91的因数有：1，7，13，91通过检查每个数的因数的个数，可以知道：18，45，91是合数，29是素数。
例2：小于30的既是素数，又是偶数的数是哪几个？【答案】小于30的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 而其中又是偶数的数只有2。
【解析】所有的素数（除2外）都是奇数。
例3：36的因数有哪几个？素因数有哪几个？【答案】36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。
36的素因数有：2，2，3，3。
【解析】求36的素因数可以用短除法来求，一共有4个，而不能只说2和3。
最新六年级数学上册 1.4 素数、合数与分解素因数(第2课时) 沪教版优选教学课件
二 知识新授
试一试：将60写成几个素数的积的形式 60＝2×2×3×5.
1 素因数与分解素因数概念 将一个合数写成几个素数相乘的形式,这几个素数叫做 这个合数的素因数.
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素 因数.
分解素因数的方法.
我们如何将一个合数分解素因数呢？ 它的素因数又是什么呢？
你们很少联络，在这长长的一生中，你门相聚的时光也许只有几万分之一，但是在彼此的心中都保留了一份惦念，一份嘱咐，就算他去到天涯海角，就算过了许多许多年，就算再见面时，早已是人非物亦非了，你仍然会那样深刻的记着这样一个人，这已经足够了。
生活有时候平静的会像一口枯井，也许你也会掉进这口枯井里去，也许你没有什么天荒地老、海枯石烂的爱情，也许华发早生、满鬓苍白，但是有了这样的一位朋友，在你的生命中就会有些许涟漪，些许色彩，你想着他。默默的记起他，也许此生此世都不会忘记了。
一次、两次、三次，男孩儿试着收线，但每次都不成功，鲑鱼猛地向花开时节，有赏花的心情。 2.瓜果应季，喜欢瓜果的人牙好、胃口好。
3.感受春天的微风轻抚最初萌芽的青草和树叶，把稚嫩的清香散播到四面八方。 4.酷热的夏天，享受一场豪雨和随之而来的凉爽、清新、草木苍翠。 5.在秋天火一样的红叶面前停下脚步，体味凋谢前最盛大的灿烂。
14.在稠人广众之中或者车水马龙的街头，听一首老歌，独自回味自己的心事。 15.在人群中遇到一个和自己喜欢同一个品牌的人，彼此接近，更发现还有很多相同和相通。 16.有一天突然发现自己获得了与环境融洽相处的能力，比如，在给朋友当伴娘的时候，你是新娘之外，显得最出众的女人，不抢朋友的风头又给朋友长了脸，你够仗义；做配角也是最优秀的，你除了称职还不委屈自己。
你会因为一首歌曲，一种颜色，想起他，想起他的真挚，想起他的执着，想起他那曾经一起经历过的风风雨雨。因为有了这样一个朋友，你会更加珍惜自己的生命，热爱自己的生活，因为你知道他希望你过的很好，他希望你能好好的照顾自己，再见面时，他希望你能告诉他你很幸福。
沪教版预初数学目录
沪教版初中数学目录六年级第一册（预初）第一章数的整除第1节整数和整除1.1整数和整除的意义1.2因数和倍数1.3能被2，5整除的数第2节分解素因数1.4素数、合数与分解素因数1.5公因数与最大公因数1.6倍数与最小公倍数拓展求三个整数的最小公倍数拓展求三个整数的最小公倍数第二章分数第1节分数的意义和性质2.1分数与除法2.2分数的基本性质2.3分数的大小比较第2节分数的运算2.4分数的加减法2.5分数的乘法2.6分数的除法2.7分数与小数的互化拓展无限循环小数与分数的互化2.8分数、小数的四则混合运算2.9分数运算的应用第三章比和比例第1节比和比例3.1比的意义3.2比的基本性质3.3比例第2节百分比3.1百分比的意义3.2百分比的应用3.3等可能事件第四章圆和扇形第1节圆的周长和弧长4.1 圆的周长4.2 弧长第2节圆和扇形的面积4.3 圆的面积4.4 扇形的面积六年级第二册（预初）第五章有理数第1节有理数5.1 有理数的意义5.2 数轴5.3绝对值第2节有理数的运算5.4 有理数的加法5.5 有理数的减法5.6 有理数的乘法5.7 有理数的除法5.8 有理数的乘方5.9 有理数的混合运算5.10 科学记数法第六章一次方程（组）和不等式（组）第1节方程与方程的解6.1 列方程6.2 方程的解第2节一元一次方程6.3 一元一次方程及其解法6.4一元一次方程的应用第3节一元一次不等式（组）6.5 不等式及其性质6.6 一元一次不等式的解法6.7 一元一次不等式组第4节一次方程组6.8二元一次方程6.9 二元一次方程组及其解法6.10 三元一次方程组及其解法6.11 一次方程组的应用第七章线段与角的画法第1节线段的相等与和、差、倍7.1 线段的大小的比较7.2 画线段的和、差、倍第2节角7.3角的概念与表示7.4 角的大小比较，画相等的角7.5画角的和、差、倍7.6 余角、补角第八章长方体的再认识第1节长方体的元素第2节长方体直观图的画法第3节长方体的棱与棱位置关系的认识第4节长方体的棱与平面位置关系的认识第5节长方体的平面与平面位置关系的认识。
分解素因数的概念
分解素因数的概念分解素因数是指将一个正整数分解为若干个素数的乘积的过程。
在数论中，分解素因数是一个重要的概念，拥有广泛的应用背景。
本文将从数的分解、素数的定义与特性以及分解素因数的方法和应用等方面进行介绍。
首先，我们先了解一下数的分解。
在十进制数系统中，任意一个正整数可以表示为各个位上数字的乘积的和。
例如，123可以分解为1×100+2×10+3。
同样地，在素因数分解中，我们更关注的是将一个数分解为若干个素数的乘积。
那么，什么是素数呢？素数又被称为质数，是只能被1和自身整除的正整数。
最小的素数是2，后续的素数依次为3、5、7、11等等。
素数具有以下几个重要的特性：首先，任意一个整数可以被素数进行分解；其次，一个大于1的整数，如果其不是素数，那么它一定可以被分解为两个比它小的正整数的乘积。
接下来，我们讨论一下分解素因数的方法。
常用的分解方法有试除法和筛法。
试除法是最常见的一种方法，其步骤为：首先，用最小的素数2去试除待分解的数，如果可以整除，则将结果继续进行素因数分解，否则，用下一个素数进行试除；其次，重复上一步骤，直到待分解的数不能再被任何素数整除为止。
筛法则是根据素数的特性，将一个数列中的素数及其倍数筛去，筛选出一系列素数，再用这些素数进行分解。
分解素因数的方法还有其他的变种，比如质因数树和素因数分解定理等。
质因数树是一种图形化的分解方法，通过树的形式展示每一步的分解过程，方便理解和计算。
而素因数分解定理则是一个数论中的重要定理，它表明任意一个大于1的正整数都可以被唯一地分解成若干个素数的乘积。
分解素因数在数论中具有重要的应用，如最大公约数和最小公倍数的求解。
最大公约数是指两个或多个数中能够整除它们的最大正整数，而最小公倍数则是指两个或多个数中能够被它们整除的最小正整数。
通过分解素因数，可以将最大公约数和最小公倍数的求解转化为对待分解数的素因数的求解，从而简化计算的复杂度。
分解素因数知识整理
分解素因数知识整理
素因数分解是指将一个合数分解成若干个素数相乘的形式。
例如，12可以分解为2*2*3，其素因数为2和3。
素因数分解的方法
•试除法：从2开始，依次试除合数，直到找到一个能整除合数的素数。
然后，将合数除以这个素数，得到一个新的合数。
再从2开始试除新的合数，直到无法再整除。
•短除法：将合数不断分解成两个因数，其中一个因数是素数。
例如，12可以分解为4*3，4可以分解为2*2，3是素数，因此12可以分解为2*2*3。
•唯一分解定理：任何一个合数都可以唯一地分解成若干个素数相乘的形式。
素因数分解的应用
•求最大公因数和最小公倍数：两个数的最大公因数是它们所有相同素因数的乘积，最小公倍数是它们所有素因数的最高次幂的乘积。
•化简分数：将分数的分母分解成素因数，然后将分母中的公因数与分子中的公因数约去。
•解一元一次方程：将方程两边同时分解成素因数，然后将相同的素因数消去。
一些常见的素因数分解技巧
•利用2、3、5的性质：2是唯一一个偶数素数，3是唯一一个能整除所有3的倍数的素数，5是唯一一个末尾数字为5的素数。
•利用平方数和立方数的性质：平方数的素因数分解形式为a^2，立方数的素因数分解形式为a^3。
•利用互质数的性质：两个互质数的素因数没有相同的素因数。
练习题
1.分解下列合数的素因数：
o12
o24
o36
o48
o60
2.求下列分数的最大公因数和最小公倍数：
o12/18
o15/20
o24/36
3.解下列一元一次方程：o2x=12
o3x=15
o5x=25。
1.4素因数与分解素因数(2)
1、分解素因数: 分解素因数: 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式, 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式, 其中每个素数都是这个合数的因数, 其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个 合数的素因数。 合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形 式表示出来,叫做分解素因数。 式表示出来,叫做分解素因数。(每一个合数都 可以分解素因数) 可以分解素因数) 注意因数，素数，素因数的差异) (注意因数，素数，素因数的差异) 分解素因数的方法有: 2、分解素因数的方法有: 树枝分解法” 口算法” 短除法” “树枝分解法”,“口算法”,“短除法”,“机 算法”。（而短除法比较直观 而短除法比较直观） 算法”。（而短除法比较直观）
分解素因数的方法
树枝分解法 短除法
口算法
6× 60 = 6×10 2× = 2 ×3 ×2 ×5
机算法
试一试 用树枝分解法把 48分解素因数
Back
试一试 用口算法把 48分解素因数
Back
短除法
试一试 用短除法把 48分解素因数
用短除法把35,90,84 练一练 用短除法把35,90,84 分解素因数
2，3，5，7，11，13，17，19 ， ， ， ， ， ， ， 2、在1～20中,_______________________是素数； 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ___________________________________是合数。 20
知识改变命运 学习成就未来
注意： 别忘了检验一下每个因数是否为素数 别忘了检验一下每个因数是否为素数？ 注意：(1)别忘了检验一下每个因数是否为素数？ (2)分解素因数的表达形式有没有写？ 分解素因数的表达形式有没有写？ 分解素因数的表达形式有没有写
沪教版1.4素数导学案
第二讲 素数、合数与分解素因数【素数、合数与分解素因数（一）】一．基本知识：1．理解素数、合数的意义：素数——一个正整数||，如果只有1和它本身两个因数||，这样的数叫做素数||。
合数——一个正整数||，如果除了1和它本身以外还有别的因素||，这样的数叫合数||。
2．⎪⎩⎪⎨⎧1合数素数正整数3．会用求因数的方法或用整除的特征来判断一个正整数是否为素数||。
4．熟记20以内的全部素数||。
100以内的素数：2||，3||，5||，7||，11||，13||，17||，19||，23||，29||，31||，37||，43||，47||，53||，59||，61||，67||，71||，79||，83||，89||，97 二．易错点：1．“1”既不是素数也不是合数||。
2．学会区分奇数和素数、偶数和合数的意义||。
三．例题讲解：例1：判断18||，29||，51和91是素数还是合数||。
解法一：18的因数有：1||，2||，3||，6||，9||，1829的因数有：1||，1945的因数有：1||，3||，5||，9||，15||，4591的因数有：1||，7||，13||，91通过检查每个数的因数的个数||，可以知道：18||，45||，91是合数||，29是素数||。
解法二：18能被3整除||，因此除了1和18以外||，18还有因数3||，所以18是合数||。
同样||，45能被5整除||，91能被7整除||，所以45、91也是合数||。
例2：小于30的既是素数||，又是偶数的数是哪几个？解：小于30的素数有：2||，3||，5||，7||，11||，13||，17||，19||，23||，29而其中又是偶数的数只有2||。
通过这道题的解答||，我们知道：所有的素数（除2外）都是奇数||。
四．本课练习：1．判断：所有的素数都是奇数||。
（）2．判断：所有的偶数（除2外）都是合数||。
（）3．判断：一个自然数不是奇数就是偶数||，不是素数就是合数||。
素数、合数与分解素因数
第13讲 素数、合数与分解素因数知识点01 素数、合数与分解素因1、素数和合数素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数； 合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。
注：1既不是素数，也不是合数。
这样，正整数又可以分为1、素数和合数三类。
2、判断一个正整数是不是素数的方法① 查素数表100以内的素数表② 试除法：即从小到大用每一个素数2，3，5，7，……，依次去试除所给的正整数，如果它能比被它小的某个素数整除，它就是合数，如果除得的商比除数小，但仍不能整除，它就是素数3、素因数和分解素因数的概念以及分解素因数的方法素因数： 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每一个素数都是这个合数的素因数。
分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
注：（1）素因数相对于合数而言，不能单独存在，比如：不能说2是素因数，单独说时它只是一个素数（2）分解素因数时一定要分解到全部的因数都是素数为止，一个数分解素因数的形式是唯一的 （3）书写时一般写成“合数=素因数相乘”的形式2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 313741434753 59 61 67 71 7379838997分解素因数的方法：① 树枝分解法：利用树形图逐步把合数分解成素因数相乘的形式，以24为例，如右图所示：注： 逐步分解法一般运用在能直接看出是哪两个因数相乘的数上 ② 短除法步骤：（1）用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除（2）得到的商如果是合数，再按上面的方法继续除下去，直到得到的商是素数为止； （3）然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。
注：（1）判断是不是分解素因数的关键是看每个因数是否为素数，且要符合正确的书写格式（2）分解的结果一般将素因数按从小到大的顺序排列起来写（3）在求一个数有哪些素因数时必须说出它的每一个素因数：例如：36=2×2×3×3的素因数有4个：2，2，3，3，不能说2个：2和3× ×× 2 2 424× 6 2 3。
沪教版 六年级 数学 1.4素数、合数与分解素因数①_课后练习
在自然数 1 到 10 中： （1）奇数有____________________________； （2）偶数有____________________________； （3）素数有____________________________； （4）合数有____________________________．
【学习任务二】 归纳： 素数：______________________________. 合数：______________________________. 这样，正整数又可以分为_______、________和________三类. 【学习任务三】 练习： 判断 27，29，35 和 37 是素数还是合数.
把下列各数填入适当的圈内.11，21，31，41，51，61，71，81，91.
素数
合数
【学习任务四】 小结：
回顾本堂课的学习内容，归纳学习要点 推荐的学习资源
学习任务单
学科
数学
课程基本信息年级来自六年级学期秋季
课题 1.4 素数、合数与分解素因数①
教科书 姓名
书 名：九年义务教育课本 数学 六年级 第一学期（试用本）
出版社：上海教育出版社 学校
学生信息
出版日期：2019 年 7 月
班级
学号
学习目标 1.理解素数、合数的意义，并掌握正整数可以分为 1、素数、合数三类. 2.能判断一个正整数是否为素数；熟记 20 以内的全部素数. 3.进一步加深对整数的认识，理解整数的多种分类方法，体会分类思想.
课前学习任务
预习 1.4 素数、合数与分解素因数①
课上学习任务
【学习任务一】
思考：
我们会求一个正整数的因数，那么一个正整数有几个因数呢？想一想，下列每个正整数各含
素数合数与分解素因数
素数合数与分解素因数素数和合数是数论中的重要概念，它们在数学中有着广泛的应用和研究。
本文将从素数和合数的定义开始，介绍它们的性质和特点，并探讨分解素因数的方法。
我们来定义素数和合数。
素数是指大于1的整数，除了1和它本身之外，没有其他因数。
合数是指大于1的整数，除了1和它本身之外，还有其他因数。
素数和合数是互补的概念。
素数具有以下特点：首先，素数只有两个因数，即1和它本身。
其次，素数不能被其他整数整除，也就是说，不能被合数整除。
例如，2、3、5、7等都是素数。
素数的个数是无穷的，我们无法列举出所有的素数。
合数具有以下特点：首先，合数有多个因数，不仅有1和它本身，还有其他因数。
例如，4、6、8、9等都是合数。
其次，合数可以分解成多个素数的乘积。
这就是我们接下来要介绍的分解素因数的方法。
分解素因数是将一个合数分解成多个素数的乘积的过程。
我们可以使用试除法来进行分解。
首先，我们从最小的素数2开始，将合数不断除以素数，直到无法整除为止。
这样，我们得到了合数的素因数。
例如，将12分解成素因数的过程如下：首先，12可以被2整除，得到2和6；然后，6可以被2整除，得到2和3；最后，2和2、3就是12的素因数。
可以看出，12=2×2×3。
分解素因数的方法在数学和密码学中有着重要的应用。
在数学中，我们可以通过分解素因数来求解最大公约数和最小公倍数，解决一些数论问题。
在密码学中，分解素因数是破解RSA加密算法的关键步骤之一。
在实际应用中，分解素因数有时是一项非常困难的任务。
由于素数的个数是无穷的，所以分解素因数需要耗费大量的计算资源和时间。
为了加强密码的安全性，人们通常使用非常大的素数进行加密，以增加被破解的难度。
总结起来，素数和合数是数论中的重要概念，它们在数学和密码学中有着广泛的应用。
素数具有两个因数和不能被其他整数整除的特点，而合数具有多个因数和可以分解成素数乘积的特点。
分解素因数是将合数分解成多个素数乘积的过程，它在数学和密码学中有着重要的应用。
《1.4素数、合数与分解素因数》作业设计方案-初中数学沪教版上海六年级第一学期
《素数、合数与分解素因数》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过学生对素数和合数的认识，掌握分解素因数的方法，加深对数学基础概念的理解，培养逻辑思维能力和解题能力，为后续的数学学习和研究打下坚实的基础。
二、作业内容本课时的作业内容主要围绕素数和合数的概念展开，具体包括以下几个部分：1. 概念理解：要求学生掌握素数和合数的定义，并能正确判断一个正整数是素数还是合数。
2. 素数表制作：学生需自行列出100以内的所有素数，并按照顺序排列。
3. 分解素因数练习：选择若干个合数，要求学生将其分解为素因数的乘积。
4. 思考题：设计一道关于素数和合数的应用题，要求学生运用所学知识解决问题。
三、作业要求1. 学生在完成作业过程中应独立思考，积极运用所学知识解决问题。
2. 对于素数和合数的判断、素因数的分解过程要详细写出每一步骤，以保证解题的正确性和可读性。
3. 作业中不得出现抄袭、作弊等行为，应独立完成。
4. 作业应在规定时间内完成，并按照教师要求格式提交。
四、作业评价1. 教师将根据学生提交的作业进行批改，对正确性、规范性、解题思路等方面进行评价。
2. 对于优秀作业，教师将在课堂上进行展示，并给予表扬和鼓励。
3. 对于存在问题较多的作业，教师将给予指导和帮助，帮助学生找到问题所在并加以改正。
五、作业反馈1. 教师将根据批改情况，对全班学生的作业进行总结，指出普遍存在的问题和不足之处。
2. 对于学生的疑问和困惑，教师将及时给予解答和指导。
3. 针对学生的掌握情况，教师将调整教学计划和教学方法，以确保教学质量的提高。
六、附加建议1. 学生在完成作业过程中，可以结合教材、参考书和网络资源，拓宽知识面。
2. 家长可以协助孩子检查作业的完成情况，提供必要的指导和帮助。
3. 鼓励学生多进行数学练习，提高解题能力和思维能力。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生在初中数学课程中关于素数、合数的概念及其相关性质，重点训练学生掌握分解素因数的方法和技巧，提升学生的逻辑思维能力与解决数学问题的能力。
沪教版数学六年级上册1.4《素数、合数与分解素因数》教学设计
沪教版数学六年级上册1.4《素数、合数与分解素因数》教学设计一. 教材分析《素数、合数与分解素因数》是沪教版数学六年级上册第1.4节的内容。
本节课主要让学生理解素数和合数的定义，学会用分解素因数的方法来求一个数的因数，从而更深入地理解数的构成和性质。
教材内容由浅入深，从生活实例引入素数和合数的概念，再通过分解素因数的方法，让学生自主探究数的奥秘。
二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的数学基础，对整数有一定的认识。
但是，对于素数和合数的概念，以及如何分解素因数，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从生活实际出发，激发他们的学习兴趣，让学生在探究中发现规律，掌握方法。
三. 教学目标1.理解素数和合数的定义，能正确判断一个数是素数还是合数。
2.学会用分解素因数的方法来求一个数的因数。
3.培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
四. 教学重难点1.教学重点：理解素数和合数的定义，掌握分解素因数的方法。
2.教学难点：如何引导学生发现并总结素数和合数的性质，以及分解素因数的方法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生从实际问题中发现数学问题，激发学习兴趣。
2.探究教学法：让学生在操作实践中，发现数的性质和规律，培养学生的探究能力。
3.小组合作学习：引导学生相互讨论、交流，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，以便于引导学生直观地理解素数和合数的概念。
2.学习素材：准备一些数，以便于学生进行分解素因数的实践操作。
3.教学黑板：准备一块黑板，用于板书 key points 和解题过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，如“龟兔赛跑”的故事，引导学生思考：为什么兔子输了？进而引出素数和合数的概念。
2.呈现（10分钟）呈现一些数，让学生判断它们是素数还是合数。
同时，引导学生思考：如何快速判断一个数是素数还是合数？3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个数，尝试用分解素因数的方法来求它的因数。
六年级数学上册 第1章 数的整除 1.4 素数、合数与分解素因数(第2部分 素数与合数)课件 鲁教版
记一记
1．素因数、分解素因数的概念；
P13
看一看:
（1）“树枝分解法”
例：将6、28、60分解素因数 解：见数学课本P13
看一看
（2）短除法
例2：把48、35、60分解素因数 解：见数学课本P13
说明：用短除法分解素因数的步骤 如下：1，2，3。… (见课本P13-14)
注意：检验每个因数是否素数。
×(6)18分解素因数是18=2 3 3 1。 √(7)2 3 5=30，这种形式叫做分解素因数。
√(8)24有4个素因数，分别是2，2，2，3。
练一练
1．判断7，9，12，19，21，27，32，35，40， 48，56能否分解素因数。 2．将上题能分解素因数的数分解素因数。
3．用短除法把24，39，54分解素因数。
说一说
探讨：
分解素因数与分解因数有何相同点 和不同点？
课堂小结:
ü素因数、分解素因数的概念 ü分解素因数的方法 ü用短除法分解素因数的过程
结束
完
13
说一说
判断下列说法是否正确：
(1)15=15 因数。
(3)35=5 7，5和7都是35的素因数。 (4)12=2 2 3，2和3都是12的素因数。
(5)12的素因数有2个，分别是2和3。
(6)18分解素因数是18=2 3 3 1。 (7)2 3 5=30，这种形式叫做分解素因数。
1.4素数、合数与分解素因数 第二部分 素数与合数
知识回顾
1．素数、合数的概念；
2．50以内的素数表。
1．判断8，13，17，25，30，36，37，42，45 是素数还是合数。
说一说
2．试着把上题各数几个素数相乘的形式。
1.4素数、合数与分解素因数
1.4素数、合数与分解素因数①一个正整数，如果只有和两个因数，这样的数叫做素数，也叫做_____;如果___________________________，这样的数叫做合数。
②___________既不是素数也不是合数。
③按照能否被2整除，正整数可以分为：_____________________。
④按照因数的个数来分，正整数可以分为：_______________________。
课内练习1.在正整数中，1是（）(A)最小的奇数（B）最小的素数（C）最小的素数（D）最小的合数2.在正整数中，4是（）(A)最小的奇数（B）最小的素数（C）最小的素数（D）最小的合数3.正整数按照所含因数的个数分类，可以分为。
4.最小的素数是，它是素数中唯一的数。
5.20以内的素数有。
6.18的因数有，其中素数有。
7.1,2,5,10这四个数中是的倍数，是的因数；素数有，合数有；奇数有，偶数有。
8.在1至30的正整数中，素数有个，合数有个。
9．两个素数的和是20，这两个素数为。
10.在正整数中，最小的素数与最小的合数，它们的和是。
11.100以内的素数共有个。
12.举例说明，一个素数减去另一个素数，它们的差是：（1）合数；（2）素数；（3）既不是素数也不是合数。
13.你能写出100以内的素数吗？课后作业：一、填空题1、最小的素数是________，最小的合数是_________；2、既是奇数又是合数的最小的正整数是__________，最小的奇数素数是；3、既是偶数又是素数的数________；最小的偶素数是，最小的偶合数是。
4、下列各数中：1、2、4、6、27、43、57、65、67、70、87、97素数______________________________________;合数______________________________________。
5、在正整数1到20中，奇数有_____个，偶数有_____个，素数有_____个，合数有______个。
数学六年级上沪教版1.4素数、合数与分解素因数课件1
第一部分 素数和合数
知识回顾
(1)因数与倍数的概念：
(2)写出下列各数的因数 1 8 13 16 25 29 36 54
试一试
填表: 整 数 1 1 8 4 13 2 16 5 25 3 29 2 36 9 54 8
因数个 数
问题:上题各整数有几个因数？因数个数确定吗？
——〉4
——〉9
（5）最小的奇数合数是哪个?
练一练
1．课本P12练习 2．写出4个既是奇数又是合数的数。 解:9,15,21,25(还有其他,不一一列举)
3．一个素数含有因数的个数为 2 。 4．一个合数含有因数的个数是 （ D ） （A ）1 个 （B ） 2 个 （C ） 3 个 （D） 3个及3个以上 1 5．在所有的素数中，偶数的个数有 个。
记一记
P12 2 19 47 79 1—100以内素数表 3 23 53 83 5 29 59 89 7 31 61 97 11 37 67 13 41 71 17 43 73
说一说
（1）最小的素数是哪个？ ——〉2
（2）素数中有几个是偶数？ ——〉2 （3）最小的奇数素数是哪个？ ——〉3 （4）最小的合数是哪个？
课堂小结:
素数、合数的概念
正整数的分类
素数、合数与奇数、偶数的辨析
练一练
例1 判断27，29，35，37是素数还是合数。
方法二 （分析：利用整除的特征来判断） 解：27能被3整除，所以除1和本身以外，还有 因数3，所以27为合数；同理，35能被5整除， 所以35为合数。
方法三 （分析:查素数表P12,由于正整数可分 为1、素数、合数，所以除了素数和1以外，其 他都是合数）不建议此方法
六年级数学知识点和重点笔记
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分解素因数短除法
分解素因数短除法是一种求解一个合数分解素因数的方法。
这个方法既快速又有效，特别适用于对较大的数进行素因数分解。
下面将详细解析分解素因数短除法的步骤，并通过实例来全面具体地展示该方法的应用。
一、分解素因数短除法的步骤选定被分解的数：首先，选择一个需要分解的合数。
这个数可以是一个较大的数，因为短除法特别适用于大数的素因数分解。
找到最小的素因数：从最小的素数2开始，尝试用它去除被分解的数。
如果2能整除被分解的数，那么2就是一个素因数。
如果不能整除，就尝试下一个素数3。
使用短除法进行分解：将被分解的数除以找到的素因数，得到商。
然后，继续用同样的方法，从最小的素数开始，尝试去除这个商。
这个过程会一直重复，直到商变为1为止。
记录所有的素因数：在分解过程中，每次找到一个素因数，都要记录下来。
当所有步骤完成后，这些记录下来的素因数就是原数的所有素因数。
验证结果：最后，将所有找到的素因数相乘，验证其乘积是否等于原数。
如果等于原数，那么分解就是正确的。
二、实例演示下面通过一个具体的例子来演示分解素因数短除法的应用。
假设我们要分解数2310的素因数。
步骤1：选定被分解的数被分解的数是2310。
步骤2：找到最小的素因数从最小的素数2开始尝试。
2不能整除2310，所以2不是2310的素因数。
接下来尝试3，3也不能整除2310。
继续尝试下一个素数5，发现5能整除2310，得到商462。
因此，5是2310的一个素因数。
步骤3：使用短除法进行分解用5去除2310后，得到的商是462。
接下来，继续用同样的方法从最小的素数开始尝试去除462。
发现2能整除462，得到商231。
然后，继续用3去除231，得到商77。
最后，用7去除77，得到商11。
至此，分解过程结束，因为11是一个素数，不能再被其他更小的素数整除。
步骤4：记录所有的素因数在分解过程中，我们找到了以下几个素因数：5、2、3、7和11。
步骤5：验证结果将所有找到的素因数相乘，即(5 \times 2 \times 3 \times 7 \times 11 = 2310)。
数的整除_幼儿小学教育-小学考试
第一章 数的整除1.1 整数与整除的意义基本训练一、填空题 1． 和 统称为自然数. 2． 、 和 统称为整数.3．最小的自然数是 ，小于3的自然数是 .4．最小的正整数是 ，小于4的正整数是 . 5．能被2整除的最大的负整数是 .6．能被5整除的最小的正整数是 .7．20以内能被3整除的数有 .8．与27相邻的两个自然数是 .二、选择题9．下列算式中表示整除的算式是………………………（ ）（A ）0.8÷0.4＝2；（B ）16÷3＝5……1；（C ）2÷1＝2；（D ）8÷16＝0.5.三、简答题10．从下列数中选择适当的数填入相应的圈内.-200、17、-6、0、1.23、76、2006、-19.6、9、83 负整数 自然数 整数11.下面各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在（ ）内打“√”. ① 27和3（ ） ② 3.6和1.2（ ）提高训练12．不超过100的正整数中，能被25整除的数有 ；不超过1000的正整数中，能被125整除的数有 .1.2 因数与倍数基本训练 一、填空题 1. 15的因数有 ，100以内15的倍数有 .2. 24的因数有 .3. 42的因数有 .4．40以内6的倍数有 .5．50以内13的倍数有 .6．一个数的因数中最小的是 ，最大的是 .二、选择题7．下列说法中正确的是…………………………………（ ）（A ）任何正整数的因数至少有两个 （B ）1是所有正整数的因数（C ）一个数的倍数总比它的因数大 （D ）3的因数只有它本身三、简答题8．请在下图中标出表示14的因数的点.9．按要求把下列各数填入圈中：1、2、3、4、6、8、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36.72的因数 3的倍数提高训练10．上题中既是72的因数，又是3的倍数的数有哪些？如果我们让两个圈重叠，用相交的部分表示既是72的因数，又是3的倍数的数，那么按上题要求完成下图（每个数字只能用一次） 72的因数 3的倍数14131211109876542301既是72的因数又是3的倍数的数1.3 能被2，5整除的数（1）基本训练一、填空题1．个位上是的整数，一定能被2整除.2．能被2整除的整数叫做数，不能被2整除的整数叫做数.3．自然数中最小的奇数是，最小的偶数是.4．在连续的正整数中，与奇数相邻的两个数一定是，与偶数相邻的两个数一定是.（填“奇数”或“偶数”）5．与4相邻的两个奇数是，与4相邻的两个偶数是.6．个位上是的整数都能被5整除.7. 523至少加上才能被2整除，至少加上才能被5整除.8. 在1到20的自然数中，能被2整除的是，能被5整除的是.二、选择题9．下列说法中错误的是…………………………………（）（A）任何一个偶数加上1之后，得到的都是一个奇数；（B）一个正整数，不是奇数就是偶数；（C）能被5整除的数一定能被10整除；（D）能被10整除的数一定能被5整除；10．下列各数中既能被2整除又能被5整除的数是………（）（A）12；（B）15；（C）2；（D）130.三、简答题11．说出下列哪些数能被2整除.2、12、48、11、16、438、750、30、5512．说出下面哪些数能被5整除，哪些数能被10整数：105、34、75、1、215、1000、80、126、2495、1500、106、2000、478 能被5整除的数：能被10整除的数：提高训练13．如果a是一个奇数，那么与a相邻的两个偶数是.1.3 能被2，5整除的数（2）基本训练一、填空题1. 个位上是数的整数是奇数，即奇数的个位上一定是数字.2. 不超过54的正整数中，奇数有个，偶数有个.3. 两个奇数的和一定是，两个偶数的和一定是，一个奇数与一个偶数的和一定是.（填“奇数”或“偶数”）.4．两个奇数的积一定是，两个偶数的积一定是，一个奇数与一个偶数的积一定是.（填“奇数”或“偶数”）.5．1到36的正整数中，能被5整除的数共有个.二、选择题6．既能被2整除又能被5整除的最小的三位数是…………（）（A）102；（B）105；（C）110；（D）100.7. 一个七位数的个位数字是8，这个数被5除的余数是……（）（A）1；（B）2；（C）3；（D）4.三、简答题8．把下列各数填入适当的圈内（每个数字只能用一次）：36、90、75、102、10、22、290、985、634.2的倍数 5的倍数既是2的倍数又是5的倍数的数提高训练9．填空，使所得的三位数能满足题目要求（1）3□2能被3整除，则□中可填入（2）32□既能被3整除，又能被2整除，则□中可填入（3）□3□能同时被2，3，5整除，则这个三位数可能是1.4 素数、合数与分解素因数（1）基本训练一、填空题1．正整数可以分为、和合数三类.2．素数有个因数，合数至少有个因数，1有个因数.3．1到20的正整数中，素数有.4．最小的素数是，最小的合数是.5．1既不是也不是，唯一的一个既是偶数又是素数的数是.二、选择题6．下列说法中正确的是…………………………………（）（A）合数都是偶数（B）素数都是奇数（C）自然数不是素数就是合数（D）不存在最大的合数7．两个素数相乘的积一定是……………………………（）（A）奇数（B）偶数（C）素数（D）合数三、填图题8．把1到20的正整数按要求填入下图奇数质数偶数合数既是奇数又是质数的数既是偶数又是合数的数四、简答题9．判断39、51、57、97是素数还是合数.1.4 素数、合数与分解素因数（2）基本训练一、填空题1. 36的全部素因数是.2. 分解素因数12＝，12的因数是.3. 把24分解素因数得，24的因数是.4．把32分解素因数得，32的因数是.5．24和32公有的素因数有，公有的因数有.二、选择题6．下列分解素因数正确的是……………………………………………（）（A）42＝2×21 （B）48＝1×2×2×2×2×3（C）24＝4×6 （D）62＝2×317．A=2×2×3×5，B=2×2×3×7，A与B相同的素因数是………（）（A）2 （B）2和3（C）2，3，5，7 （D）2，2和3三、分解素因数8．用“树枝分解法”分解素因数：46、30、529．用“短除法”分解素因数：72、51、84、42、81、4010．用“机算法”分解素因数：105、216、20061.4 素数、合数与分解素因数（3）基本训练一、填空题1．18的因数有，其中奇数有，偶数有，素数有，合数有.2．在1，2，510四个数中是的倍数，其中奇数有，偶数有，素数有，合数有.3．素数中唯一的偶数是，最小的奇素数是，最小的合数是.4．把51分解素因数得，把91分解素因数得.二、选择题5．凡9的倍数一定是…………………………………（）（A）奇数（B）偶数（C）素数（D）合数6．下列是12的素因数的是…………………………（）（A）1，2，3，4 （B）2，3 （C）2，2，3 （D）1，2，3，4，6，127．把15写成两个素数相加的形式是……………（）（A）11＋4 （B）12＋3 （C）13＋2 （D）14＋1三、填图题8．把下列数按要求填入下图1，2，9，10，21，23，29，31，39，51，91，97素数合数四、简答题9．分解素因数32 60 75基本训练一、填空题1．几个数公有的，叫做这几个数的公因数.2．16和20的公有的素因数是，它们的最大公因数是.3．7和28的公因数有，它们的最大公因数是.4．8和9的最大公因数是.5. 相邻两数的最大公因数是.6. 4和7的最大公因数是.7．如果两数互素，它们的最大公因数就是.8．3和6的最大公因数是.9．两个数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的.10．72和12的最大公因数是.二、选择题11．下列每组数中的两个数不是互素的是…………………………………（）（A）5和6 （B）21和9 （C）7和11 （D）25和26三、填图题12．按要求完成下图12的因数 18的因数12和18的公因数四、求下列各题中两数的最大公因数13、36和48 14、42和56提高训练五、简答题15．已知甲数＝2×3×3×5×7，乙数＝2×2×5×5×7，求甲乙两数的最大公因数.基本训练一、填空题1．两个数的最大公因数是1，这两个数叫做.2．15和22的最大公因数是，所以15和22 互素数（填“是”或“不是”）.3．求几个整数的最大公因数，只要把它们所有的公有的连乘，所得的积就是它们的最大公因数.4．36和60的公有的素因数是，所以它们的最大公因数是.5．甲数＝2×2×3，乙数＝2×3×3，甲数和乙数的最大公因数是.6．8和9的最大公因数是，125和25的最大公因数是.二、选择题7．下列每组数中的两个数是互素数的是…………………………………（）（A）35和36 （B）27和36 （C）7和21 （D）78和268．甲数＝2×3×5，乙数＝7×11，甲数和乙数的最大公因数是………（）（A）甲数（B）乙数（C）1 （D）没有三、求下列各题中两数的最大公因数9、45和75 10、36和90 11、48和72四、填图题12．按要求完成下图72的素因数 90的素因数72和90的公有的素因数所以72和90的最大公因数是.提高训练五、简答题13．已知甲数＝2×3×5×A，乙数＝2×3×7×A，甲乙两数的最大公因数是30，求甲、乙两数和A.1.6 公倍数与最小公倍数（1）基本训练一、填空题1. 几个数公有的，叫做这几个数的公倍数.2．16和20的最小公倍数是，7和28的最小公倍数是.3．8和9的最小公倍数是，相邻两数的最小公倍数是.4. 4和7的最小公倍数是，如果两数互素，它们的最小公倍数就是.5．3和6的最小公倍数是.6．72和12的最小公倍数是.二、选择题7．下列说法中正确的是的是…………………………………（）（A）5和6 的最小公倍数是1（B）21和9的最小公倍数是21×9（C）7和11没有最小公倍数（D）甲数＝2×2×3，乙数＝2×3×3，甲数和乙数的最小公倍数是2×2×3×3三、求下列各题中两数的公倍数8、8和12 9、42和14 10、16和24提高训练四、简答题11．已知甲数＝2×3×5×A，乙数＝2×3×7×A，甲乙两数的最大公因数是30，求甲乙两数的最小公倍数.1.6 公倍数与最小公倍数（2）基本训练一、填空题1．20以内的正整数中，3的倍数有.2．50以内的正整数中，3和5的公倍数有.3．3和5的最大公因数是，最小公倍数是.4．5和15的最大公因数是，最小公倍数是.5．10和25的最大公因数是，最小公倍数是.二、简答题6、求下列每组数最大公因数和最小公倍数.（1）15和65 （2）24和307、6年级1班大约有50人左右，排座位时老师发现刚好可以排成6排或8排，求6年级1班的学生人数.提高训练五、简答题8、某数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，满足以上条件的数有多少个？求最小的一个.第一章测试卷（45分钟，满分100分）一、填空题（每小题3分，满分36分）1、在能够被2整除的两位数中，最小的是.2、和统称为自然数.3、12和3，是的因数，是的倍数.4、写出2个能被5整除的两位数：.5、写出2个现能被5整除，又能被2整除的数：.6、写出2个2位数的素数：.7、在11到20中，合数有：.8、分解素因数：24＝.9、8和12的最大公因数是.10、18和30的最大公因数是.11、3和15的最小公倍数是.12、已知A＝2×2×3×5,B＝2×3×3×7，则A、B的最小公倍数是, 最大公因数是.二、选择题（每题3分，满分12分）13、对20、4和0，这三个数，下列说法中正确的是……………………（）(A)20能被4整除；(B)20能被0整除；(C)4能被20整除；(D)0能被20整除.14、下列说法中，正确的是…………………………………………………（）(A)1是素数；(B)1是合数；(C)1即是素数又是合数；(D)1即不是素数也不是合数.15、下列说法中，正确的是…………………………………………………（）(A)奇数都是素数(B)偶数都是合数(C)合数不都是偶数(D)素数都是奇数16、下列各式中表示分解素因数的式子是…………………………………（）(A) 2×3＝6(B)28＝2×2×7(C)12＝4×3×1(D)30＝5×6三、解答题（17、18题每题6分，19～23题每题8分，满分52分）17、分解素因数.（1）120（2）23818、写出下列各数的所有约数.（1）6（2）10519、求下列各组数的最大公因数和最小公倍数.（1）12和18（2）24和3620、写出最小的8个不同的素数.21、写出最小的8个不同的合数.22、在3至14的自然数中，哪些数与其它11个数都互素？23、求两个自然数，使它们的和为84，它们的最大公约数为12.第二章分数2.1分数与除法基本训练一、填空题1.35是_____个15; 8个111是_______.2.整数a除以整数b,如果能够整除,那么结果是____数;如果不能够整除,那么结果可以用小数表示,还可以用___数表示.3.用分数表示除法的商:5÷13=________; 13÷5=____________.4.把分数写成两个数相除的式子:310=_______.5.把1米长的钢管平均截成3段，每段长是_____米.(用分数表示)6.把三块饼平均分给4个孩子，每个孩子分得______块.(用分数表示)7.在数轴上,把单位长度5等分,从0开始自左向右的第4个分点表示的分数是______,第8个分点表示的分数是_______.8.把图中 7看成整体1,那么表示分数______.二、选择题9.下列各题，用分数表示图中阴影部分与整体的关系，正确的个数有（）1 47102533(A)1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个三、解答题10.学校粉刷墙壁需要10天完成,平均每天完成这项工程的几分之几?11.小丽要把一根5米长的绳子,平均分成4段,那么每段是全长的几分之几?每段长是多少米?12.在数轴上画出分数34，43，125所对应的点.13.在数轴上方空格里填上适当的整数或分数.提高训练14. 如图，将长方形ABCD 平均分成三个小长方形，再将三个小长方形分别平均分成2份、3份、4份，试问阴影部分面积是长方形ABCD 面积的几分之几？321H G F E D CBA 043212.2分数的基本性质(1)基本训练 一、填空题1.根据商的不变性有：25=2÷5=(2×3)÷（5× ）=6__. 2右图中的涂色部分分别占圆的____、____、____,这些分数____. 3.10102518182÷===⨯ . 4.一个分数的分子扩大3倍,那么这个分数比原来扩大了___倍. 5.一个分数的分母扩大3倍,那么这个分数比原来缩小了___倍. 6.22__283333__++==++; 66__6__99618-+==-. 二、选择题 7. 在15355,,,25152515中，和13相等的分数是（ ）. （A ） 1525 （B ）315 （C ）525（D ）5158.下列说法中,正确的是( ).（A ）分数的分子和分母都乘以同一个数,分数的大小不变; （B ）一个分数的分子扩大2倍,分母缩小2倍,分数的值扩大4倍; （C ）(0)a a m m b b m +=≠+; （D ）5含有10个15. 三、解答题 9.把25和830分别化成分母都是15且与原分数大小相等的分数.提高训练10.己知,x y xyA B x y x y-==++,当x 、y 的值都扩大为原来的3倍时,A 、B 的值有何变化?()()2.2分数的基本性质(2)基本训练 一、填空题1.分子和分母________的分数,叫做最简分数.2.把一个分数的分子与分母的_________约去的过程,称为_____.3.约分就是利用分数的_________,把一个分数化成____分数的过程.4.分数2772、1751、4297中，最简分数是 . 5.108千克花生可榨油96千克,平均一千克花生能榨油____千克.(结果用最简分数表示)6.用最简分数表示:6分米=_____米; 三刻钟=______小时.7.用短除法可得: ,那么ab=________. 8.六(1)班共有36名同学,其中男同学有20名,那么女同学人数占全班人数的______;女同学人数是男同学人数的_________. 9.一个分数,它的分母是72,化成最简分数是34,这个分数原来是____. 10.分母为12的最简真分数有_________________________. 二、选择题 11.在分数74、2324、3913、69、1520中,最简分数的个数为( ) （A ）1 （B ） 2 （C ） 3 （D ）4 12.100千克的糖水中,糖有20千克,水占糖水的 ( )（A ）14 （B ）15 （C ）45 （D ）34 13.大于13小于12且分母为24的最简分数有( )个（A ）1 （B ） 2 （C ） 3 （D ）43213ba三、解答题14.下列分数中哪些是最简分数?把不是最简分数的分数化为最简分数.12 16,3895,74,11121,916.15.小明做15道数学题,做错3道,1道空着没做,做对的占总数的几分之几?16.一条公路长1500米,己修好900米,还需修全长的几分之几?17.如果30千克煤可发电12度,那么平均每千克煤可发电多少度?(用最简分数表示) 提高训练18.己知一个分数的分子与分母的和为36,化简后得45,若将原分数的分子分母都加上10,这时这个分数是多少?化简后的分数是多少?2.2分数的基本性质(3)基本训练一、填空题1.六（1）班一次数学测验，不及格的有2人，及格的有46人，其中得优良的有20人.那么,不及格人数占全班人数的几分之几________;优良人数占全班人数的几分之几______;不及格人数是及格人数的几分之几___________.2.100克清水中放入15克糖,那么糖是糖水的几分之几_________.3.一学校四月份用水150吨,比三月份节约了30吨,四月份用水是三月份的几分之几__________.4.小明今年12岁,小杰比他大3岁,三年后,小明年龄是小杰年龄的几分之几___________.5. 一台冰箱原价是2500元,现在削价250元供应,现价是原价的几分之几_____________.6.六(1)班有40人,六(2)班有45人.(1)班学生数是(2)班学生数的____.二、选择题7.铺设一条长3千米的管道需9天完成,平均每天铺设的管道长度为( )（A）19（B）13（C）19千米（D）13千米8.一只书架上有故事书150本,科技书80本,下列说法正确的是( )（A）故事书有158（B）科技书有815（C）科技书是故事书的815（D）科技书是故事书的158三、解答题9.填表: 六年级(4)班学生视力情况调查结果视力情况 人数 占该班人数的几分之几0.1—0.2 3 0.3—0.4 5 0.5—0.6 12 0.7—0.8 14 0.9—1.0 10 1.0以上610.某初级中学男女生人数情况如图,看图回答: (1)男生人数是全校学生数的几分之几?(2)女生人数是男生人数的几分之几?(3)六年级的学生数占全校学生总数的几分之几?(4)提高训练11.一个班级有40名学生,请你编出至少三道有关几分之几的题目.608075406555705080706050400男生女生基本训练一、填空题1.将异分母的分数分别化成___________________________的分数,这个过程叫通分.2.通分的依据是_____________________(用字母表示);约分的依据是________________________(用字母表示).3.比较下列同分母分数的大小:79_____89;1213_____513.4.比较下列同分子分数的大小:97_____98;1312_____135.5.比较下列异分母分数的大小:23___67;1324____38;925___415.6.比较分数的大小:20062005____20052006._7.把34,57和79通分得:34=______;57=_______;79=_______.二、选择题8.分数13与35通分时,公分母只需取( )（A）5 （B）6 （C）15 （D）30 9.下列各式中正确的是( )（A）213>313;（B）5567<; （C）112<536;（D）23154>.10.大于15且小于14的分数有( )（A）0个（B）1个（C）4个（D）无数个三、解答题11.把下列每组中的的两个分数通分,并比较大小:(1)512和34; (2)87和2321; (3)513和37;12.写出在19和79之间且分母是9的所有的最简分数.提高训练13.求使71221a<的最小正整数a的值.基本训练一、填空题1.写出大于13而小于12的一个分数___________.2.己知3455x<<,则x可以是_______, x的取值可以有_____个.3.在9364545,,,13485070中,最小的一个分数是________.二、选择题4.小明抄写一篇课文用23小时,小杰抄同样的课文用了35小时,小明比小杰的速度( )（A）快（B）慢（C）一样（D）无法确定三、解答题5.比较三个数的大小:(1)317,,4210; (2)545,,6512; (3)36,,145;6.小明花15元买了20千克苹果,小丽花12元买了18千克苹果,他俩谁买的苹果便宜一些?提高训练8.我们可以用下面的方法比较两个分数的大小(对角相乘法):分别用每一个分数的分子去乘另一个分数的分母,哪个分子乘得的积大,这个分数就大.比如:比较213与35的大小.因为25313⨯<⨯,所以23135<.请用这种方法比较两个分数的大小: 322_____433;549_____348.9.观察:(1)你能总结出什么规律?(2)比较20042005与20052006的大小.12112213+=+213314+=+314415+=+第二章 测试卷（一） (45分钟,100分)一、填空题(14×2分=28分)1. 用分数表示除法的商:1217÷ =__________.2.写出下列图中的阴影部分面积各占总面积的几分之几.3. 一段公路5千米，8天修完，平均每天修_____千米，每天修这段公路的_______.4. )(920)(43==÷.5. 分数2772、1751、4297中，最简分数是 . 6.用最简分数表示:25分钟是1小时的__________.7. 某班男同学有20人，女同学有25人，该班男同学人数占全班人数的_______.8.比较大小:34___1012(填“>”或“<”) 9.若3546x <<,且x 是分母为48的最简分数,则x =_________.10.加工同样多的零件,王师傅用了1314小时,张师傅用了1213小时,李师傅用了1516小时,____师傅最快.二、选择题(4×3分=12分)11.下列说法中正确的是( )（A ）分数的分子和分母中一个是奇数,另一个是偶数,这个分数一定是最简分数; （B ）一个分数的分子与分母是两相邻的正整数,这个分数一定是最简分数; （C ）一个分数的分子、分母都是合数时，这个分数一定不是最简分数; （D ）因为13>8,29>9,所以138299>. 12. 把分数a b 的分子扩大3倍，分母缩小2倍，所得的分数比ab（ ） （A ）扩大6倍; （B ）扩大5倍; （C ）缩小6倍; （D ）不变. 13．一段布料，用去5米，还剩3米，用去的是这段布料的（ ）（A 、B 为两边中点）（A ）35; （B ）25; （C ）58; （D ）38. 14．下列各数中,大于13且小于12的数是( )（A ）512; （B ）413; （C ）712; （D ）612.三、解答题(8分+6分+9分+3×7分+2×8分=60分)15.在数轴上标出以下各点,并把各点所表示的数按从小到大的顺序排列. A 点表示的数为23,B 点表示的数为4,C 点表示的数为54,D 点表示的数为125.16. 把相等的分数用线连起来. 1. 41 6025 97 2. 5738 11569 52125 6349 10025 53 32 8534 17. 先通分，再比较每组中分数的大小. (1)241785和 (2)1271811和 (3) 94、2158和4518. 小萍找来三根丝做手工作业，第一根铁丝的长度是第二根的2倍，第三根铁丝长度是第二根的6倍，第一根铁丝的长度是第三根的几分之几？19.某工程队7天内修2千米，那么每天修多少千米？每天修工程的几分之几？20.某班一次数学测验的成绩统计如下表所示,求80～100分的人数占全班人数的几分之几?不及格人数占全班人数的几分之几?21.超市有一批苹果150千克,一天卖出50千克,还剩这批水果的几分之几?22.给一个圆面的正反面分别涂上红色和黄色,它们所占整个圆面的大小如下图所示,试说明哪种颜色涂的面积大.23.(附加题) 一个分数的分子，分母相差3，如果分子、分母同时加上13后，可约简成76，求原分数.红黄黄黄黄黄红2.4 分数的加减法（1）基本训练 一、填空题1.=+5351 . 2. =+8581 . 3. 2006120062005-＝ . 4．=+4121 . 5．9121312- . 6． =-1751 .二、选择题7．下列运算正确的是…………………………………（ ） （A ）522131=+ （B ）11271183=-（C ）21431215=-（D ）6131211=-- 8．下列比较大小正确的是……………………………（ ） （A ）111552>+ （B ）18373>+ （C ）18595>+ （D ）15372>+ 三、先通分，再加减.9. 2418131++ 10. 71432827-- 11. 1075321-+四、简答题12. 小明带若干元钱去超市购物，他用其中的41买图书，用其中的51买零食，剩 下的部分购买了航模材料，问购买航模材料的钱占总数的几分之几？提高训练13. 计算：121614131+++.2.4 分数的加减法（2）基本训练 一、填空题1. 在分数412,45,43中，其中真分数有 ，假分数有 ，带分数有 . 2. 一个假分数的整数部分是2，分数部分是32，这个假分数是 .3. 化732为带分数是 . 4．化732为假分数是 .5．比较大小：433___415. 6．比较大小：8314. 7．以7为分母的真分数是 . 8．比分数1331小的最大整数是 .二、选择题9．下列说法中正确的是…………………………………（ ） （A ）假分数的值大于1 （B ）真分数一定是最简分数 （C ）假分数一定不是整数 （D ）假分数的值一定不小于1.10．下列分数中介于整数5与6之间的是 ……………（ ） （A ）523 （B ）623 （C ） 423 （D ）723 三、化以下的带分数化为假分数，假分数化为带分数11. 12113 12. 977 13. 200612 14. 1211215. 855 16.11123四、解答题17. 用分数表示下列数轴上的点A 、B 、C 所表示的数.18. 如果6x是真分数，求整数x 的值.19. 比较827 与720的大小.提高训练 五、解答题20.数轴上点A 表示的数是213，点B 在点A 的左边312个单位，求点B 表示的数.21. 以16为分母的最大真分数是 ，最小真分数是 ，最简真分数是 ，所有以16为分母的最简真分数的和是 .ABC3212.4 分数的加减法（3）基本训练 一、填空题1. =-313213 .2. =-2729 . 3. 753724+＝ . 4．=+5325 .5．=-5325 . 6．=+6121213 .7．=-15161582. 8．=+5623 . 二、选择题9．下列计算错误的是…………………………………（ ） （A ）5345326=-（B ）738415323=+（C ）1652765=-（D ）6525313=- 10．下列比较大小正确的是…………………………………（ ） （A ） 727653>（B ）65)3121(1>--（C ）13123>-（D ）103112115323<++ 三、计算11. 6556+ 12. 911972+ 13. 4111212-14. 7111833+ 15. 117311441112++ 16. 61123312++ 提高训练17. 计算：2126792155753-++2.4 分数的加减法（4）基本训练 一、填空题1. 1－=-5231 . 2. =--1014152 .3. 比较大小：31____. 4. 六年级一班男生是全班总人数的32，则女生是全班总人数的 . 5米，那么小明平均每分钟行走了 . 6．用30元钱买了16斤鱼，则平均每斤鱼的价格是 . 二、选择题7．甲3分钟跑16米，乙4分钟跑21米，则下列说法正确的……………（ ） （A ）A 的速度快 （B ）B 的速度快 （C ）两人速度一样快 （D ）不能确定8．甲、乙二人合作完成某项工作，若甲实际完成了总工作量的41，乙实际完成了总工作量的54，则下列说法正确的是…………………………………（ ） （A ）二人没有完成工作任务 （B ） 二人正好完成工作任务 （C ）二人超额完成了工作任务 （D ） 不可能确定. 三、解答题9. 星期天小明用了311小时打篮球，小李用了65小时打篮球，问小明比小李多用了多少时间打篮球？10. 一块科技试验田中，313亩用来试验培育水稻，72亩用来培育水果，问用来试验培育水稻与水果的总亩数是多少？11. 某班学生的31参加了科技兴趣小组，另有班级学生的52参加了体育兴趣小组，问没有参加这两个兴趣组的学生是班级总人数的多少？12. 在某次数学测测验中，六（1）班38人共得总分3220分，六（2）班35人共得总分3020分，问哪个班的平均分较高？13. 在某次捐款活动中，三个班级的捐款数统计如下表： 班级 人数 捐款金额（单位：元） A 38 1935 B 36 1846 C371900（1） 问哪个班级的平均捐款金额较多？（2） 平均捐款金额较多的班级的捐款数占总捐款数的几分之几？提高训练14.一块试验田，第一试验组想用其中的52用来种水果，第二试验组想用其中的83用来种花木，第三试验组想用其中的72种玉米，试问他们的计划能否实行？为什么？基本训练 一、填空题1. 比213小311的数是 . 2. 与213的和是5的数是 . 3. 方程31156=-x 的解是 . 4．方程314213=+x 的解是 .5．方程2134=-x 的解是 . 6．方程475=+x 的解是 .7．一个数加上29等于10，这个数是 . 8．29减去一个数等于3，这个数是 .二、选择题9． 一个数 与的差是 ，设这个数为 ，则下面列方程正确的是…（ ） （A ）512325=-y （B ）y =-512325（C ）512315=+y （D ）512315+=y 10．已知523432,653312=+=+y x ，则则下列说法正确的 …………（ ）（A ） y x > （B ）y x < （C ） y x = （D ）x 、y 的大小不能确定三、解方程11. 713732=+x 12. 31256=-x 13. 21413=-x四、解答题14. 817正好是一个数与718的差，这个数是多少？15. 一个数减去611的差同722与313的和相等，这个数是多少？提高训练16. 解方程：47313433+=-x325512y基本训练 一、填空题1.=⨯1051 . 2. =⨯7243 . 3. 8773⨯＝ . 4．=⨯01312 .5．131131⨯ . 6．7532⨯＝ .7．144911312⨯＝ . 8．8765⨯ . 二、选择题9．下列计算结果正确的是…………………………………（ ）（A ）24168332=⨯（B ）2526135=⨯（C ）132123=⨯（D ）20710091135=⨯ 10．求851的73是多少，列式正确的是 …………………（ ）（A ）73851+ （B ）73851- （C ）73851⨯ （D ）73851÷三、计算11. 72132⨯ 12. 3322⨯ 13. 433125⨯四、解答题14. 求7个43是多少？ 15. 求522的5倍是多少？16. 求边长为65ｃｍ的正方形的周长是多少？提高训练17. 计算：)1011)(911)(811)(711)(611()511()411()311()211(-----⨯-⨯-⨯-⨯-基本训练 一、填空题1. =⨯211213 .2. =⨯87316 . 3. 1____52=⨯. 4．1____322=⨯.5．比较大小：127___65127⨯. 6．比较大小：1211___561211⨯.二、选择题7．下列式子中计算结果与65213⨯相等的是…………………………………（ ） （A ） 65213⨯⨯ （B ）65213⨯+ （C ） 65)213(⨯+ （D ）21653+⨯8．已知甲数乘以乙数大于乙数，那么…………………（ ）（A ）乙数一定大于1（B ）甲数一定大于1（C ）乙数一定小于1（D ）甲数一定小于1 三、解答题9. 求3公斤的52是多少公斤？10. 小红每天在校练琴43小时，5天她在学校练琴多少小时？11. 如果一集电视剧放映53小时，那么3集电视剧要放映多少小时？12 一块试验田的53种水果，而种西瓜的田又占了种水果的田的41，问种西瓜的田占总试验田的几分之几？提高训练13. 一个长方体的长、宽、高分别为65ｃｍ、43ｃｍ、311ｃｍ、求它的表面积.基本训练一、填空题1. 1除以一个不为零的数得到的商，叫做这个数的 .2. 没有倒数， 5的倒数是 ，91的倒数是 .3. 倒数是52的数是 . 4．322的倒数是 . 5．如果ａ、ｂ互为倒数，那么ａ×ｂ＝ . 6．._____2322⨯=÷7．.___317531⨯=÷. 8．所有正整数中， 的倒数等于它本身.二、选择题9．下列说法中正确的是…………………………………（ ） （A ）任何一个数都有倒数 （B ）311的倒数是3（C ）任何正整数的倒数都小于1 （D ）乘积为1的两个数互为倒数10．下列各数中，与533互为倒数的是…………………………………（ ） （A ）324 （B ） 95 （C ）185 （D ） 31三、解答题11.11111211⨯ 12. 512512÷ 13. 41154⨯ 14. 543÷ 15. 871÷ 16. 1872÷提高训练17. 已知735的倒数为m ，n 的倒数为732，求m ＋n 的倒数.2.6 分数的除法（2）基本训练 一、填空题1. 41)(41513⨯=÷.2. )(52115⨯=÷. 3. =÷5311021 . 4．211432÷ .5．方程23=x 的解是 . 6．方程3185=x 的解是 .7．方程2218=x 的解是 . 8．方程322211=x 的解是 .二、选择题9．一个数的32是732，求这个数.下列列式正确的是………………（ ） （A ） 73232⨯ （B ）73232÷ （C ） 32732÷ （D ）73232+ 10．小丽用125小时行了834千米，小明用157小时行了854千米，下列说法正确的是…………………………………（ ）（A ）小丽的平均速度较快 （B ）小明的平均速度较快 （C ）两人平均速度一样快 （D ）小明比小丽每小时多行41千米. 三、解答题11. 322是x 的一半，求x 的值. 12. 一个数的297是8，求这个数13. 小明去超市购了50元的货物，用去了所带钱款的54，求小明带了多少钱款去超市购物？提高训练14. 请你运用除法运算比较2000019999与2000120000的大小.。
六年级同步第3讲：分解素因数(二) - 教师版
分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，这节课主要讲解公倍数与最小公倍数，重点是最小公倍数的概念，难点是最小公倍数在实际问题中的综合运用．通过这节课的学习一方面为我们后面学习分数奠定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．1、公倍数与最小公倍数公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．2、最小公倍数的求法求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．分解素因数（二）知识结构模块一：公倍数与最小公倍数知识精讲内容分析41例题解析【例1】用短除法求18和24的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6；72．【解析】 2 18 243 9 123 4∴18与24的最大公因数是2×3=6；最小公倍数是2×3×3×4=72．【总结】本题考察了用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例2】用分解素因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6；360．【解析】因为24=2×2×2×3，90=2×3×3×5；所以18与24的最大公因数是2×36；最小公倍数是2×2×2×3×3×5=360．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例3】求下列各组数的最小公倍数．（1）8和15；（2）9和45；（3）19和21．【难度】★【答案】（1）8和15的最大公因数是1；8和15的最小公倍数是120；（2）9和45的最大公因数是9；9和45的最小公倍数是45；（3）19和21的最大公因数是1；19和21的最小公倍数是399．【解析】（1）（3）互素的两个数最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；（2）成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；【总结】本题考察了求两个特殊关系的数的最大公因数和最小公倍数的方法．4243【例4】若2235m =⨯⨯⨯，2337n =⨯⨯⨯，则m 、n 的最小公倍数为___________． 【难度】★ 【答案】1260【解析】m 、n 的最小公倍数是：（2×3）×2×5×3×7=1260．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例5】求10，12和15的最小公倍数． 【难度】★★ 【答案】60【解析】 2 10 12 15 3 5 6 15 5 5 2 5 1 2 1∴10、12、15的最小公倍数是：2×3×5×1×2×1=60． 【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例6】已知三个连续奇数的和是15，那么这三个奇数的最小公倍数是多少？ 【难度】★★ 【答案】105【解析】设三个数为22n n n -+，，． 则：2215n n n -+++=解得：5n =，这三个数是：3，5，7． ∴3、5、7的最小公倍数是：3×5×7=105． 【总结】本题考察了求三个数的最小公倍数的方法．师生总结1、求最小公倍数的方法有哪些？2、求两个数和三个数的最小公倍数的方法有什么不同？【例7】两个数的积是144，它们的最小公倍数是36，这两个数各是多少？【难度】★★【答案】4和36．【解析】由已知得：这两个数的最大公因数是4；设这两个数是4a，4b(a、b互素)，则44144a b⨯=．所以9ab=．因为a、b互素，所以a=1×4=4，b=9×4=36．即这两个数是9、36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例8】甲、乙两户人家相邻而居，甲每6天去超市购物一次，乙每7天去同一家超市购物一次，元旦这一天两户人家都去这家超市购物，再经过多少天他们又会在同一天都去超市？【难度】★★【答案】42天【解析】6与7的最小公倍数是42．答：再经过42天他们又会在同一天都去超市．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【例9】已知三个连续偶数的最小公倍数是24，则这三个连续偶数分别是什么？【难度】★★★【答案】4，6，8【解析】设这三个数是22222n n n-+，，；2若n为奇数，则11n n-+，是偶数，2则：(1)(1) 222422n nn-+⨯⨯⋅⋅=解得：3n=，这三个数是4，6，8．若n为偶数，则11n n-+，是相邻奇数，则：2(1)(1)24n n n⨯-⋅⋅+=此方程无解；∴这三个数是4，6，8．【总结】本题考察了三个数的最小公倍数的求法．22222+ -nnn11+-nnn2121+-nnn44【例10】3月12日植树节，六（2）班同学在400米跑道的一侧每隔4米种一棵树，当种好第31棵树时，觉得树与树之间隔太密，于是改为每隔6米种一棵树，那么有多少棵树不需要移动呢？【难度】★★★【答案】11棵【解析】4×(31-1)=120米，而4与6的最小公倍数是12，120÷12+1=11棵．答：有11棵树不需要移动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【例11】幼儿园一个班买书，如买35本，平均分给每个小朋友差一本；如买56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如买69本，平均分给每个小朋友则差3本．这个班的小朋友最多有几人？【难度】★★★【答案】18人【解析】35+1=36，56-2=54，69+3=72，而36、54、72的最大公因数是18．答：这个班的小朋友最多有18人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【例12】某工厂承包了学校的桌椅制作任务，一张桌子配一把椅子，某车间有甲、乙两组，甲组人员做桌子，每人每天可以做6张桌子；乙组每人每天可以做9把椅子，为了使生产均衡，每天的桌子、椅子数量刚好配套．该车间至少安排多少人员？（不考虑其他因素）【难度】★★★【答案】5人【解析】因为6与9的最小公倍数是18，所以18÷6+18÷9=5人．答：该车间至少安排5个人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数最小公倍数的应用．45461、 两数的最大公因数与最小公倍数的关系已知数a 和数b ，两数的最大公因数为m ，最小公倍数为n ，则：a b m n ⨯=⨯【例13】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）48和18；（2）27和81．【难度】★【答案】（1）48，18的最大公因数是6，最小公倍数是144； （2）27，81的最大公因数是27，最小公倍数是81． 【解析】（1）一般求两数的最大公因数和最小公倍数，用短除法，（2）成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数． 【总结】本题考察了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例14】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）4、8和12；（2）15、75和90．【难度】★【答案】（1）4，8，12的最大公因数是4，最小公倍数是24； （2）15，75，90的最大公因数是15，最小公倍数是450． 【解析】均用短除法或分解素因数法等可求得；【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例15】如果甲数235=⨯⨯，乙数237=⨯⨯，那么甲数与乙数的最大公因数是________， 最小公倍数是_________． 【难度】★【答案】6， 210；【解析】最大公因数是：2×3=6；最小公倍数是：（2×3）×5×7=210． 【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．例题解析知识精讲模块二：最大公因数与最小公倍数综合【例16】已知甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，甲数是6，乙数是多少？【难度】★★【答案】15【解析】设另一个数是x，则：6 x =3×30解得：x=15答：乙数是15．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例17】判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”，并说明理由．（1）两个数的公倍数的个数是有限的．()（2）30是15和10的最小公倍数．()（3）如果较大数能被较小数整除，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数．()（4）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大．()【难度】★★【答案】（1）×；（2）√；（3）√；（4）√．【解析】（1）错误，两个数的倍数就是这两个数最小公倍数的倍数，有无限个；（2）正确；（3）正确；（4）正确；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例18】两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是多少？【难度】★★【答案】另一个数是36．【解析】设另一个数是x，则：28x=4×252．解得：x=36．答：乙数是36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．47【例19】先求出8和10的最大公因数和最小公倍数，并把最大公因数和最小公倍数相乘，再把8和10相乘，你发现了什么？请用你所发现的规律接下面的问题：（1）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，已知甲数是6，那么乙数是多少？（2）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，已知甲数是18，那么乙数是多少？【难度】★★【答案】8，10的最大公因数是2，最小公倍数是40，而8×10=80；规律：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．（1）15；（2）15．【解析】（1）设另一个数是x，则：6x=3×30解得：x=15 答：乙数是15．（2）设另一个数是x，则：18x=3×90解得：x=15 答：乙数是15．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例20】已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数的和是多少？【难度】★★【答案】120或66．【解析】设这两个数是6a，6b(a、b互素)，则：6ab=144∴ab=24=1×24=3×8；当a=1，b=24，这两个数是6、144，和为：6+144=120；当a=3，b=8，这两个数是18、48，和为：18+48=66；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例21】两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？【难度】★★【答案】20和28【解析】设这两个数是4a，4b(a、b互素)，则：4ab=140．∴ab=35=1×35=5×7，∵小数不能整除大数∴a=5，b=7，这两个数是20、28．4849【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例22】在长1．5千米的公路一边，等距离种树（两端都种），开始每隔10米种一棵，后来改成每隔12米种一棵，不用改种的树有多少棵？ 【难度】★★★ 【答案】26棵【解析】1.5千米=1500米，10与12的最小公倍数是60， 1500÷60+1=26棵． 答：有26棵树不需要移动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【例23】张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张．如果已知x 、y 、z 的最小公倍数为60，x 和y 的最大公因数为4，y 和z 的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？ 【难度】★★★ 【答案】20或4．【解析】设4123x a y b z c ===，，（a ，b ，c 为素数），则12abc =60． 所以abc =5=1×1×5．（1）a =5，这三个数是20，12，3； （2）b =5，这三个数是4，60，3； （3）c =5，这三个数是4，12，151； 答：张三发出的新年贺卡为20张或4张．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例24】甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需1分钟、1分15秒、1分30秒．问：三人同时从起点出发，多长时间后他们又在起点相会？（从起点出发后最近的一次相会） 【难度】★★★ 【答案】15分钟【解析】1分钟=60秒，1分15秒=75秒，1分30秒=90秒； 60、75、90的最小公倍数为900，而900秒=15分钟． 答：15分钟后他们又在起点相会． 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．随堂检测【习题1】如果数a能被数b整除，则a和b的最大公约数是______，最小公倍数是______．【难度】★【答案】b，a．【解析】两个数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；【总结】本题考察了成倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．【习题2】自然数b的最小倍数__________它的最大约数．（填大于、小于或等于）【难度】★【答案】等于【解析】自然数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身，所以相等；【总结】本题考察了因数和倍数的相关概念；【习题3】11和15的最大公因数是________，最小公倍数是________．【难度】★【答案】1；165．【解析】互素的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；【总结】本题考察了互素的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．【习题4】求2520和5940的最大公因数和最小公倍数．【难度】★★【答案】最大公因数是180，最小公倍数是83160．【解析】因为2520=2×2×2×3×3×5×7；5940=2×2×3×3×3×5×11；所以2520与5940的最大公因数是：2×2×3×3×5=180；最小公倍数是：（2×2×3×3×5）×2×7×3×11=83160．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个较大数的最大公因数和最小公倍数．50【习题5】一个电子原钟，每整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯，已知中午12时整，它既响铃又亮灯，那么下一次既响铃又亮灯是什么时候？【难度】★★【答案】15:00【解析】因为60与9的最小公倍数是180，而180分钟=3小时，12+3=15．答：那么下一次既响铃又亮灯在15:00．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题6】已知两个互素的数的最小公倍数是33，求这两个数的和．【难度】★★【答案】34或14【解析】因为33=1×33=3×11．（1）这两个数可能是1和33，此时和为34；（2）这两个数可能是3和11，此时和为14；【总结】本题考察了互素的两个数的最小公倍数的求法．【习题7】在上海火车站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔5分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，至少再过多少时间它们又同时发车？【难度】★★【答案】15分钟【解析】3与5的最小公倍数是15．答：至少再过15分钟它们又同时发车．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题8】用96朵红花和72朵黄花扎成花束，如果每个花束里红花朵数相同，黄花朵数也相同，每个花束里至少有几朵花？【难度】★★【答案】7朵【解析】因为96与72的最大公因数是24，所以（96+72）÷24=7朵．答：每个花束里至少有7朵花．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．51【习题9】若一块长方形绿地，长120米，宽30米，要在它的四周和四个角种树，且每相邻两棵树之间的距离相等，那么最少需要种多少棵树？【难度】★★【答案】10棵【解析】120与30的最大公因数是30，2（120+30）÷30=10棵．答：最少需要种10棵树．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【习题10】被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是多少？【难度】★★★【答案】8572【解析】由题意可知：这个自然数加8是10、11、12、13的公倍数；又10、11、12、13这四个数的最小公倍数是8580，所以8580-8=8572．答：这个自然数最小是8572．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题11】一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，那么这筐苹果最少应有多少个？【难度】★★★【答案】60个【解析】2、3、4、5这四个数的最小公倍数是60．答：这筐苹果最少应有60个．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题12】小明7月和8月参加了钢琴和美术的培训，两项培训都是从7月1日开始，钢琴课每上一次休息4天，美术课每上一次休息6天，请问整个暑假中有几天是两项培训在同一天进行的？【难度】★★★【答案】12天【解析】4与6的最下公倍数是12，31×2÷12=5…2．答：整个暑假中有5天是两项培训在同一天进行的．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．52课后作业【作业1】写出下列各组数的最小公倍数：1与299（）12与36（）12与13（）13与52（）10与14（）21与49（）6与15（）22与66（）25与35（）【难度】★【答案】299；36；156；52；70；147；30；66；175；【解析】略【总结】本题考察两个数最大公因数和最小公倍数的求法：互素两数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；成倍数的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；一般两数的最大公因数和最小公倍数用短除法；【作业2】用分解素因数的方法求18和30的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6，90．【解析】因为18=2×3×3；30=2×3×5；所以18与30的最大公因数是2×3=6，最小公倍数是2×3×3×5=90；【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数和最小公倍数．【作业3】求下列各组数求的最小公倍数和最大公因数．（1）36和84；（2）12，15和18．【难度】★【答案】（1）36与84的最大公因数是12，最小公倍数是252；（2）12、15、18的最大公因数是3，最小公倍数是180．【解析】都可用短除法或者是分解素因数法求得．【总结】本题考察了求两个数、三个数的最大公因数和最小公倍数的方法：5354【作业4】已知甲数357A =⨯⨯⨯，乙数37A =⨯⨯，若甲、乙两数的最大公因数是42，求A的值． 【难度】★ 【答案】2【解析】由已知得：甲数和乙数的最大公因数是：3×7×A=42， 解得：A =2．【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数．【作业5】已知两个数的积是100，它们的最大公因数是5，试求这两个数的最小公倍数． 【难度】★★ 【答案】20【解析】 设这两个数的最小公倍数是x ， 则：5x =100 解得：x =20答：这两个数的最小公倍数是20．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【作业6】两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且这两个数的和是714，这两个数各是多少？ 【难度】★★【答案】这两个数是420和294．【解析】设这两个数是42a ，42b (a 、b 互素)， 则：42ab =2940，42（a +b ）=714． ∴ab =70，a +b =17∴a =7，b =10，这两个数是420、294．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【作业7】有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？【难度】★★【答案】42人【解析】433-13=420，260-8=252，而420与252的最大公因数是84．又学生人数在30～50之间，84=2×42．答：学生有42人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【作业8】若一个正整数加上3能被15和20整除，那么符合条件的数中最小的数是多少？【难度】★★【答案】57【解析】因为15与20的最小公倍数是60，所以60－3=57．答：符合条件的数中最小的数是57．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业9】一筐苹果有500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多一个，这筐苹果共有多少个？【难度】★★【答案】60个【解析】3、4、5的最小公倍数是60，而苹果有500多个，所以60×9=540个．答：这筐苹果共有540个．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．55【作业10】一排电线杆每两根之间的距离是60米，现在要改为45米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不动？【难度】★★★【答案】180米【解析】60与45的最小公倍数是180．答：再过180米又有一根不动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业11】公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6:00三条路线同时发出第一辆车，该总站发出最后一辆车是20:00．求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻．【难度】★★★【答案】19:20【解析】8、10、16这三个数的最小公倍数是80．（20-6）×60=840分钟840÷80=10…40分钟答：该总站最后一次三辆车同时发出的时刻是19:00．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业12】数23具有下列性质：被2除余1，被3除余2，被4除余3，求具有这种性质的最小三位数．【难度】★★★【答案】11【解析】由题意可知：这个自然数加1是2、3、4的公倍数；又2、3、4的最小公倍数是12．∴12-1=11答：这个自然数最小是11．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．56。
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1、分解素因数: 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式, 其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个 合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形 式表示出来,叫做分解素因数。(每一个合数都 可以分解素因数) (注意因数，素数，素因数的差异) 2、分解素因数的方法有: “树枝分解法”,“口算法”,“短除法”,“机 算法”。（而短除法比较直观）
结果
所以
667÷23 = 29
29是素数,
1334 = 2×23×29
1、 请问他们的说法对吗？ 小明:42分解素因数是42 = 2×21 小杰:A = 2×3×5×B，B＞1, 则B一定是A的素因数。 2、 选择题 (1) 在等式4×6 = n =2×2×2×3 中, 4和6都是n 的 ( ) 2和3都是n 的 ( ) (A)素因数 (B)素数 (C)因数 (D)合数 提问:因数,素数,素因数有何差异？ (2)把24分解素因数的正确算式是 ( ) (A)24=2×3×4 (B)24=2×2×2×3 (C)24=1×2×2×2×3 (D)2×2×2×3 = 24 3、把以下各数分解素因数(用短除法) 15,36,56,72,81
有1,2,3,4,5,6,7,8,9九张牌,甲，乙，丙 各余三张。 甲说:“我的三张牌的积是48”, 乙说:“我的三张牌的和是16”。 丙说:“我的三张牌的积是63”, 问他们各拿哪三张牌？
知识改变命运 学习成就未来
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合数总可以写成几个素数相乘的形式
试一试 请把6,28,60写成几个素数相乘的形式 下列写法正确吗？ 6=1×6 , 6 = 2 ×3 ,
×
6= 1×2×3
√
28 = 2×2×7
× √
60 = 2×2×3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5
28 = 4×7
×
60 = 4×15
60 = 2×5×6
×
×
√
所以，6,28,60 可以写成 6= 2×3 28 = 2×2×7 60 = 2×2×3×5 几个素数相乘的形式
素因数与分解素因数
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其
中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数
的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示
出来,叫做分解素因数。
分解素因数的方法
树枝分解法 短除法
口算法
60 = 6×10 = 2 ×3 ×2 ×5
机算法
试一试 用树枝分解法把 48分解素因数
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试一试 用口算法把 48分解素因数
Back
短除法
试一试 用短除法把 48分解素因数
练一练 用短除法把35,90,84 分解素因数
注意：(1)别忘了检验一下每个因数是否为素数？ (2)分解素因数的表达形式有没有写？
Back
机算法 例：将1334分解素因数 分析:由于数字比较大,首先我们可以判别它能被 2整除。即 1334÷2 = 667 而667比较大,显然不能被2,3,5,9,10等整除。这 时我们只能用计算机依次除以素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23来试。
1.4素因数与分解素因 数(2)
1、在24,75,40和60这四个数中，
怎样的整数能被 (1)能被2整除的数有_________。 2整除？能被5整 除？能被3整除？
(2)能被5整除的数有_________。
(3)能被3整除的数有_________。
2，3，5，7，11，13，17是素数； ，19 2、在1～20中,_______________________ 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18 ， ___________________________________ 是合数。