2019高考考前突破数学优秀试卷13【学生试卷】
北京市2019届高考考前提分冲刺卷(三)理科数学试题(含答案)
北京市2019届高考考前提分冲刺卷(三)理科数学试题本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.设复数z 满足，则z =（ ）A. B. C. D.2.设全集为实数集R ，集合{}2A |4x x =<，{}B |31xx =>，则=B)C (A R （ ）A ．{}|20x x -≤≤B ．{}|20x x -<≤C ．{}|1x x <D ．{}|0x x ≤3.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（ ）A. B. C. D.4.已知函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数)(x f y =的图象向左平移163π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数)(x f y =的图象（ ）A ．关于点)0,16(π-对称 B ．关于点)0,16(π对称C ．关于直线16π=x 对称 D ．关于直线4π-=x 对称5.定义“有增有减”数列{a n }如下：∃t ∈N *，满足a t ＜a t +1，且∃s ∈N *，满足a S ＞a S +1．已知“有增有减”数列{a n }共4项，若a i ∈{x ，y ，z }（i =1，2，3，4），且x ＜y ＜z ，则数列{a n }共有（ ）A. 64个B. 57个C. 56个D. 54个6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）.A. 2+B. 4C. 2+D. 5俯视图侧（左）视图正（主）视图7.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->=0,20190,ln )(x x x x x e x f ，（其中e 为自然对数的底数），函数2)()12()()(2+--=x f m x f x g ，若函数)(x g 恰有4个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A.2>m B ． 2≥m C ． 221+>m D ．221221+>-<m m 或 8.已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为62，球的半径为5,则正四面体表面与球面的交线的总长度为（ ）A. π4B.π28C.π212D.π12第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019高考考前突破数学优秀试卷10【学生试卷】
2019高考训练优秀试卷10理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2x －3≥0}，则A ∩(B )＝( )A ．－∞，32B ．(1，＋∞)C ．1，32D ．32，32．若复数z ＝m 2－1＋(m ＋1)i 是纯虚数，其中m 是实数，则2z ＝( )A ．iB ．－iC ．2iD ．－2i3．下列命题正确的是( )A ．命题“p ∧q ”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题B ．命题“若x ＝y ，则sinx ＝siny ”的逆否命题为真命题C ．“am 2<bm 2”是“a <b ”成立的必要不充分条件D ．命题“存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0”的否定是：“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0”4．已知随机变量ξ～N (1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )注：P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68．26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95．44%． A ．6038 B ．6587 C ．7028 D ．75395．已知数列{a n }满足5an ＋1＝25·5an ，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝( )A ．－3B ．3C ．－13D ．136．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知“堑堵”ABC －A 1B 1C 1的所有顶点都在球O 的球面上，且AB ＝AC ＝1，若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是( ) A ．16B ．13C ．12D ．17．偶函数f (x )和奇函数g (x )的图象如图所示，若关于x 的方程f [g (x )]＝1，g [f (x )]＝2的实根个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )A ．16B ．14C ．12D ．108．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A ．14B ．15C ．16D ．179．已知(1＋x )(a －x )6＝a 0＋a 1x ＋…＋a 7x 7，若a 0＋a 1＋…＋a 7＝0，则a 3＝( )A ．－5B ．－20C ．15D ．3510．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( ) A ．8＋42 B ．12＋42＋23 C ．6＋42＋23D ．1211．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，以F 1F 2为直径的圆O与双曲线的渐近线及双曲线在第一象限的交点分别为P ，Q ，点B 为圆O 与y 轴正半轴的交点，若∠POF 2＝∠QOB ，则双曲线C 的离心率为( ) A ．3＋ 5 B ．3＋52 C ．1＋ 5 D ．1＋5212．已知函数f (x )＝e x ＋x 2＋ln x 与函数g (x )＝e －x ＋2x 2－ax 的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－e ] B ．⎝⎛⎦⎤－∞，－1e C ．(－∞，－1] D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－12 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量a ＝(2，λ)，b ＝(－3,1)，若向量a 与b 共线，则a ·b ＝____．14．设椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的右焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，离心率为63，则此椭圆的方程为____．15．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2y －x ≥0，x ＋y －3≤0，2x －y ＋3≥0，若不等式ax ＋y ≤7恒成立，则实数a 的取值范围是____．16．设数列{a n }满足a 0＝12，a n ＋1＝a n ＋a 2n2018(n ＝0,1，2…)，若使得a k <1<a k ＋1，则正整数k ＝____．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知向量a ＝(2sin 2x ，2cos 2x )，b ＝(cosθ，sinθ)|θ|<π2，若f (x )＝a ·b ，且函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称．(1)求函数f (x )的解析式，并求f (x )的单调递减区间； (2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f (A )＝2，且b ＝5，c ＝23，求△ABC 外接圆的面积．18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝AA 1＝2，点P 为棱B 1C 1的中点，点Q 为线段A 1B 上一动点．(1)求证：当点Q 为线段A 1B 的中点时，PQ ⊥平面A 1BC ； (2)设BQ →＝λBA 1→，试问：是否存在实数λ，使得平面A 1PQ 与平面B 1PQ 所成锐二面角的余弦值为3010？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分12分)手机QQ 中的“QQ 运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ 朋友圈里有大量好友参与了“QQ 运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：(1)以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ 朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X 的分布列和数学期望； (2)如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ 运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：K 2＝n(ad －bc)(a ＋b)(c ＋d)(a ＋c)(b ＋d)．20．(本小题满分12分)已知倾斜角为π4的直线经过抛物线Γ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线Γ相交于A 、B 两点，且|AB |＝8． (1)求抛物线Γ的方程；(2)过点P (12,8)的两条直线l 1、l 2分别交抛物线Γ于点C ，D 和E ，F ，线段CD 和EF 的中点分别为M ，N ．如果直线l 1与l 2的倾斜角互余，求证：直线MN 经过一定点．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －ln x ． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若a ∈－∞，－1e 2，求证：f (x )≥2ax －xe ax －1．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆C 的圆心为22，π4，半径为22．以极点为原点，极轴方向为x 轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1a t ＋3y ＝1－t (t 为参数，a ∈R 且a ≠0)．(1)写出圆C 的极坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求|AB |的最小值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A ． (1)求集合A ； (2)若m ∈A ，不等式mx 2－2x ＋1－m <0恒成立，求实数x 的取值范围．。
2019届全国100所名校最新高考冲刺卷高三数学理科冲刺卷试题(解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学理科冲剌卷本试卷共23题，共150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面请洁，不要折叠，不要弄破．、弄皱．不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合122A x x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，312B x x⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，则A B=I（）A.1322x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. {}12x x-<<C.122x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D.131222x x x⎧⎫-<≤≤<⎨⎬⎩⎭或【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算直接求解.【详解】因为122A x x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，312B x x⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，所以1322A B x x⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭．。
2019冲刺高考用好卷之高三理数含答题卡及解析
第1页 共22页 ◎ 第2页 共22页绝密★启用前【4月优质错题重组卷】高三数学文科新课标版第三套一、选择题1．已知R 为实数集，集合(){|lg 3}A x y x ==+， {|2}B x x =≥，则()R A B ⋃=ðA. B. {|3}x x <- C. {|23}x x ≤< D. {|3}x x ≤-2．复数z 满足()1i i z +=,则在复平面内复数z 所对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知直线,l m ，平面,αβ，且l α⊥， m β⊂，下列命题：①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒其中正确的序号是（ ） A. ①② B. ①③C. ②④D. ③④4. 已知向量()1,3a =， (),23b m m =-，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为(),c a b R λμλμ=+∈，则实数m 的取值范围是（ ）． A. ()(),00,-∞⋃+∞ B. (),3-∞ C. ()(),33,-∞-⋃-+∞ D. [)3,3-5. ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ，c .已知sin 20sin ab C B =，2241a c +=，且8cos 1B =，则b =（ ）A. 6B.C.D. 76. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）A. 174斤B. 184斤C. 191斤D. 201斤7. 记不等式组2{22 20x y x y y +≤+≥+≥，表示的平面区域为Ω，点P 的坐标为(),x y .有下面四个命题：1p ： P ∀∈Ω， x y -的最小值为6； 2p ： P ∀∈Ω， 224205x y ≤+≤； 3p ： P ∀∈Ω，x y -的最大值为6； 4p ： P ∀∈Ω，225x y ≤+≤ 其中的真命题是（ ）A. 1p ， 4pB. 1p ， 2pC. 2p ， 3pD. 3p ， 4p 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 16+243πB. 16+163πC. 8+83πD.16+83π9. 执行如图的程序框图，则输出的S 值为A. 1B.32 C. 12- D. 0 10.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>，若()12f x =，()20f x =，且12x x -的最小值为2π，则23fπ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A.B. 12C. 1-D. 12-11. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ， N 为抛物线上的一点，且满足NF =，则点F 到MN 的距离为（ ） A.12B. 1C.D. 212. 已知函数()ln a f x x x x =+， ()325g x x x =--，若对任意的1x ， 21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，……装……………○…………线…………○…不※※要※※在※※装※题※※……装……………○…………线…………○…都有()()122f xg x-≥成立，则实数a的取值范围是（）A. [)1,+∞ B. ()0,+∞ C. (),0-∞ D. (],1-∞-二、填空题13.已知两个单位向量,a b的夹角为()60,1c ta t b=+-,若0b c⋅=,则t=______.14.设函数()212e xf x x=-+，则使()()24f x f x≤-成立的x的取值范围是_________.15.抛物线22(0)y ax a=>的焦点为F，其准线与双曲线22149y x-=相交于,M N两点，若0120MEN∠=，则a=_______.16.已知数列{}n a满足11a=，122nn nnaaa+=+.记2nnnCa=，则数列{}n C的前n项和12...nC C C+++=_______.三、解答题17.已知等差数列{}n a的公差10,0d a≠=，其前n项和为nS，且2362,,a S S+成等比数列.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若()2121nnnbS++=，数列{}n b的前n项和为n T，求证：122nT n-<.18．为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度”（单位：天），某中学团委在全校采用随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月“关注度”分为6组：[)0,5，[)5,10，[)10,15，[)15,20，[)20,25，[]25,30，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值；（2）求抽取的80名学生中月“关注度”不少于15天的人数；（3）在抽取的80名学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，求至少抽取到1名女生的概率．19.如图，在矩形ABCD中，2,1BC AB==，PA⊥平面A B C D，1//,2BE PA BE PA=，F为PA的中点.（1）求证：//DF平面PEC；（2）记四棱锥C PABE-的体积为1V，三棱锥P ACD-的体积为2V，求12VV.20.已知过点()0,1A的椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左右焦点分别为12F F、，B1122,F F成等差数列.（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线():2l y k x=+交椭圆于,P Q两点，若点A始终在以PQ为直径的圆外，第3页共22页◎第4页共22页第5页 共22页 ◎ 第6页 共22页求实数k 的取值范围. 21. 已知函数()ln 1af x x x=+-， a R ∈. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线10x y -+=垂直，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()1g x x x=+.当1a =-时，若区间[]1,e 上存在0x ，使得()()001g x m f x ⎡⎤<+⎣⎦，求实数m 的取值范围.（e 为自然对数底数）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.选修4-4：坐标系与参数方程 以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为2{1x t y t=+=+（t 为参数），圆C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的普通方程与圆C 的执直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线L 交于,A B 两点，若P 点的直角坐标为()2,1，求PA PB -的值.23.选修4-5：不等式选讲函数()12,f x x x x R =-++∈，其最小值为m . （1）求m 的值；（2）正实数,,a b c 满足3a b c ++=，求证： 11131112a b c ++≥+++.…………装…………○…………订…………○…………线…………○…18、19、20、第9页 共22页 ◎ 第10页 共22页第11页 共22页 ◎ 第12页 共22页1．D 【解析】由题意得303x x +>⇒>-，所以{}3A B x ⋃=>-， (){}3R A B x ⋃=≤-ð，故选D.2.A 【解析】由()1i i z +=得()()()i 1i i 1i1i 1i 1i 2z-+===++-,在复平面内对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭,在第一象限,故选A . 3.B 【解析】//l l ααββ⊥⇒⊥，，而m β⊂，所以l m ⊥，①对；l α⊥， m β⊂， αβ⊥时,l m 位置关系不定； //?l l m m αα⊥⇒⊥，，而m β⊂，所以αβ⊥，③对； l α⊥， m β⊂， l m ⊥时,αβ位置关系不定；所以选B.5.A 【解析】因为sin 20sin ab C B =， 所以20,206,abc b ac b ==∴===选A. 6．B 【解析】用128,,,a a a 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列128,,,a a a 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴1878179962a ⨯+⨯=， 解得165a =．∴865717184a =+⨯=．选B ．7.C 【解析】作可行域如图：则x y z -=过点（4，-2），z 取最大值6，22x y +最小值为O 到直线22x y +=距离的平方，即45；最大值为O 到点（4，-2）距离的平方，即为20；所以2p ， 3p 为真命题，选C.8.D 【解析】由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体,∴该几何体的体积是311416+824223433ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 故选：D9.D 【解析】由图知本程序的功能是执行22019cos0coscoscos333S πππ=++++ 此处注意程序结束时2019n =，由余弦函数和诱导公式易得：2345cos0coscoscos cos cos 033333πππππ+++++=，周期为6，202033664=⨯+ 2201911cos0coscos cos336011033322S πππ=++++=⨯++--=.学#科网 10．C第13页 共22页 ◎ 第14页 共22页…………○…………线…………○…考号：___________…………○…………线…………○…11．B【解析】由抛物线24y x =可得|MF|=2，设点N 到准线的距离为d ，由抛物线定义可得d NF =，因为NF =，由题意得cos 2NF d NMF MN MN ∠===，所以1sin 2NMF ∠== ，所以点F 到MN 的距离为1sin 212MF NMF ∠=⨯=，故选B 。
2019年高考数学13套试卷及解析答案
2019 考数学 卷 I 理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 001 2019 考数学 卷 I 理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .006 2019 考数学 卷 I 文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 016 2019 考数学 卷 I 文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .021 2019 考数学 卷 II 理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 029 2019 考数学 卷 II 理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 034 2019 考数学 卷 II 文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 043 2019 考数学 卷 II 文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 048 2019 考数学 卷 III 理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 056 2019 考数学 卷 III 理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 062 2019 考数学 卷 III 文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 073 2019 考数学 卷 III 文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 078 2019 考数学北京卷理科 题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .088 2019 考数学北京卷理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 093 2019 考数学北京卷文科 题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101 2019 考数学北京卷文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2019 考数学 卷理科 题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 2019 考数学 卷理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2019 考数学 卷文科 题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 2019 考数学 卷文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2019 考数学浙江卷 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 2019 考数学浙江卷 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2019 考数学江苏卷 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 2019 考数学江苏卷 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 2019 考数学上海卷 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 2019 考数学上海卷 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
(适合新课标)2019冲刺高考用好卷理数含答题卡及解析
第1页 共26页 ◎ 第2页 共26页………○…………装………学校：___________姓名：_______………○…………装………绝密★启用前 【4月优质错题重组卷】高三数学文科新课标版第二套一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}2560U x Z x x =∈--<，{}12A x Z x =∈-<≤，{}2,3,5B =，则()U C A B ⋂=（ ）A ．{}2,3,5B ．{}3,5C ．{}2,3,4,5D ．{}345，，2．已知复数,z a i a R =+∈，若2z =，则a 的值为（ ）A ．1BC ．1±D ．3．已知数列{}n a 为等差数列，且55a =，则9S 的值为（ ）A ．25B ．45C ．50D ．904．一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（ ）A ．23+√3πB ．23+√5πC ．24+(√3−1)πD ．24+(√5−1)π 5．若[]0,θπ∈，则1sin 32πθ⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立的概率为 （ ） A ．13 B ．16 C ．12 D ．346．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是 （ ）A ．18B ．17C ．16D ．157．若函数()()()2cos 2f x x x θθ=+++是偶函数，则θ的最小正实数值是（ ）A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π8．已知直线:l y m =+与圆()22:36C x y +-=相交于A 、B 两点，若AB =，则实数m 的值等于（ ）A ．-7或-1B ．1或7C ．-1或7D ．-7或19．已知()23xf x x x x=+-，则()y f x =的零点个数是 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．如图，在ABC ∆中，D 是AB 边上的点，且满足3AD BD =，2AD AC BD BC +=+=，CD =，则cos A =（ ）第3页 共26页 ◎ 第4页 共26页………○…………装※※请※※不※※要※………○…………装A ．13 B C ．14D ．011．已知定义在R 上的函数()f x 满足()316f =，且()f x 的导函数()'41f x x <-，则不等式()221f x x x <-+的解集为（ ）A ．{}|33x x -<<B ．{}3x x -C ．{}3x xD ．{}|33x x x -或 12．以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的中线AD 为折痕，将ABD ∆与ACD ∆折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①BD ⊥平面ACD ；②ABC ∆为等边三角形；③平面ADC ⊥平面ABC ；④点D 在平面ABC 内的射影为ABC ∆的外接圆圆心．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 14．设,x y 满足约束条件0{40 3120x y x y x y -≥+-≥--≥，则2z x y =-的最小值为__________．15．已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，()3ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点()1,1--处的切线的斜率为 ．16．已知()93xxf x t =-⋅，()2121xx g x -=+，若存在实数a ，b 同时满足()()0g a g b +=和()()0f a f b +=，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+．（I ）求证：数列{}1n a +为等比数列；（II ）求数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BC =，14AB CC ==，AC =，,M N 分别是111,A B B C 的中点．（I ）求证：//MN 平面11ACC A ； （II ）求点N 到平面MBC 的距离．第5页 共26页 ◎ 第6页 共26页19．（本小题满分12分）为了解男性家长和女性家长对高中学生成人礼仪式的接受程度，某中学团委以问卷形式调查了50位家长，得到如下统计表：（I ）据此样本，能否有99%的把握认为“接受程度”与家长性别有关？说明理由； （II ）学校决定从男性家长中按分层抽样方法选出5人参加今年的高中学生成人礼仪式，并从中选2人交流发言，求发言人中至多一人持“赞成”态度的概率． 参考数据参考公式：()()()()()22n ad bc x a b c d a c b d -=++++．20．（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ．已知以F 为圆心，半径为4的圆与l 交于A 、B 两点，E 是该圆与抛物线C 的一个交点，90EAB ∠=︒． （I ）求p 的值；（II ）已知点P 的纵坐标为1-且在C 上，Q 、R 是C 上异于点P 的另两点，且满足直线PQ 和直线PR 的斜率之和为1-，试问直线QR 是否经过一定点，若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由．第7页 共26页 ◎ 第8页 共26页21．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x mx x =--．（I ）若12x =是()f x 的一个极值点，求()f x 的最大值；（II ）若121,,x x e e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，12x x ≠，都有()()2112x f x x f x - ()1221x x x x >-，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修44：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2{1x t y t=-=-+（t 为参数），在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22sin cos θρθ=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AOB ∆的面积．23．【选修44：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()1f x ax =+，不等式()3f x <的解集为()1,2-． （I ）求实数a 的值；（II ）若不等式()1f x x m ≤++的解集为φ，求实数m 的取值范围．第9页 共26页 ◎ 第10页 共26页18．19．第13页 共26页 ◎ 第14页 共26页装……姓名：___装……C 【解析】ππ4π333θ≤+≤，由于π1sin 32θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以5ππ4π633θ≤+≤，πθ≤≤，故概率为ππ12π2-=，选C ． B 【解析】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号 “”表示二进制的010001，转化为十进制数的计算为0123452020202120217+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故选B ．B 【解析】由辅助角公式可得：()2sin 26f x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 则当0x =时，()2,6623x k k k Z ππππθθπθπ++=+=+∴=+∈，0k =可得：的最小正实数值是3π．本题选择B 选项． 【答案】C 【解析】由圆的方程可知，圆心坐标()0,3，圆半径第15页 共26页 ◎ 第16页 共26页...○............外...............○............※※装※※订※※线※※...○............内...............○ (2)AB r AB ==∴=，由勾股定理可知，圆心到直线的距离为2==，解得1m -或7m =，故选C ．学#9．【答案】C 【解析】 令220xx x x+-=，化简得222xx =-，画出22,2x y y x ==-的图象，由图可知，图象有两个交点，即函数()f x 有两个零点．【名师点睛】本小题主要考查函数零点问题求解．观察原函数()f x ，它是含有绝对值的函数，若从奇偶性判断，这是一个奇函数，注意到()10f =，所以()10f -=，所以函数至少有两个零点，但是函数的单调性难以判断．所以考虑令函数为零，变为两个函数的图象的交点个数来求．11．【答案】C 【解析】令()()221g x f x x x =-+-，则()()2410g x f x x =-+'<'．∴()g x 在R 上单调递减，又()()23323310g f =-⨯+-=，∴原不等式等价于()()3g x g <，∴3x >，∴不等式()221f x x x <-+的解集为{}3x x ．选C ．12．【答案】C 【解析】由于三角形ABC 为等腰直角三角形，故,BD AD BD CD ⊥⊥，所以BD ⊥平面ACD ，故①正确，排除B 选项．由于AD BD ⊥，且平面ABD ⊥平面ACD ，故AD ⊥平面BCD ，所以AD CD ⊥，由此可知AB BC AC ==，三角形为等比三角形，故②正确，排除D 选项．由于DA DB DC ==，且ABC ∆为等边三角形，故点D 在平面ABC 内的射影为ABC ∆的外接圆圆心，④正确，故选C ．13．【答案】725【解析】)4cos cos 45sin πααα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，所以)4cos 425sin sin πααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，故答案为45． 14．【答案】2【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点()2,2B 处取得最小值min 22222z x y =-=⨯-=．第17页 共26页 ◎ 第18页 共26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【名师点睛】本题考查利用的奇偶性求解析式以及函数导数的几何意义，解答本题的关键是根据函数是奇函数可推出()()f x f x =--，进而根据时函数的解析式即可求得时函数的解析式．16．【答案】[)1+∞，【解析】∵()()211221=211221x x x x xx g x g x ------==-=-+++，∴函数()g x 为奇函数，又()()0g a g b +=，∴a b =-．∴()()()()0f a f b f a f a +=+-=有解，即93930a a a a t t ---⋅+-⋅=有解，即9933a aa at --+=+有解． 令()332aam m -=+≥，则2992233a a a a m m m m --+-==-+，∵()2m m mϕ=-在[)2,+∞上单调递增，∴()()21m ϕϕ≥=．∴1t ≥．故实数的取值范围是[)1,+∞． 【名师点睛】（1）解题时要正确理解题意，其中得到a b =-是解题的关键．然后将问题转化为方程()()()()0f a f b f a f a +=+-=有解的问题处理．（2）解决能成立问题的常用方法是分离参数，分离参数后可将问题转化为求具体函数值域的问题．解题时注意以下结论的利用：“()a f x =能成立”等价于的范围即为函数()f x 的值域，“()a f x >能成立”等价于“()min a f x >”．17．【答案】（I ）见解析；（II ）11121n +--．【解析】【试题分析】(1)利用配凑法将已知配凑成等比数列的形式，由此证得1n a +为等比数列．(2)由(1)求得n a 的通项公式，利用裂项求和法求得数列的前项和．18．【答案】(1)见解析，(2)4141【解析】试题分析：(1)要证//MN 平面11ACC A ，转证1//MN AC 即可；（II ）点N 到平面MBC 的距离可视为三棱锥N MBC -的高，通过等体积建立方程，解之即可．试题解析：(1)证明：如图，连接11,AC AB ，因为该三棱柱是直三棱柱，111AA A B ∴⊥，则四边形11ABB A 为矩形，由矩形性质得1AB 过1A B 的中点M ，在∆ 11AB C 中，由中位线性质得1//MN AC ，又11MN ACC A ⊄平面，111AC ACC A ⊂平面，11//MN ACC A ∴平面．第19页 共26页 ◎ 第20页 共26页…订…………○…………线…………○…线※※内※※答※※题※※…订…………○…………线…………○…【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型． (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行； (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直； (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 19．【答案】(1)见解析；(2) 910p =． 【解析】试题分析：()1根据条件得到12a =，14b =，18c =，6d =，计算2x 的值，对照临界值即可得到结论；()2根据分层抽样原理计算抽取“赞成”态度的人数，“无所谓”态度的人数，以及对应基本事件总数，再求概率值．20．【答案】（I ）2．（II ）7,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：1）由题意及抛物线定义，AEF 为边长为4的正三角形，4AF EF AE ===，12p AE =．（II ）设直线QR 的方程为x my t =+，点()11,Q x y ，()22,R x y ．由点差法得1244111PQ PR k k y y +=+=---，结合韦达，得到m 与t 的关系，代入直线方程可求到定点．试题解析：（I ）由题意及抛物线定义，4AF EF AE ===，AEF 为边长为4的正三角形，设准线与轴交于点D ，114222AD p AE ===⨯=． （II ）设直线QR 的方程为x my t =+，点()11,Q x y ，()22,R x y ． 由2{4x my t y x=+=，得2440y my t --=，则216160m t ∆=+>，124y y m +=，124y y t ⋅=-．第21页 共26页 ◎ 第22页 共26页又点P 在抛物线C 上，则11221144p P PQ P P y y y y k y y x x --==-- 11441P y y y ==+-，同理可得241PR k y =-． 因为1PQ PR k k +=-，所以124411y y +=--()()121212481y y y y y y +--++1681441m t m -==---+，解得734t m =-．由()2161607{3 4171344m t t m m m ∆=+>=-≠⨯-+-，解得()71,,11,22m ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以直线QR 的方程为()734x m y =+-，则直线QR 过定点7,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现． 21．【答案】（I ）3ln24--；（II ）][()2,121,e -∞⋃++∞． 【解析】试题分析：(1)求出函数的导数，通过1'02f ⎛⎫=⎪⎝⎭求得m 的值，根据单调区间求得函数的最大值．(2)将原不等式转化为()111f x x x + ()222f x x x >+，构造函数()()f x g x x x=+，对()g x 求导，对12,x x 两者比较大小，分成两类，利用分离常数法求得m 的取值范围．（II ）由题意得121,,x x e e⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，12x x ≠都有()()2112x f x x f x -()1221x x x x >-()111f x x x ⇔+()222f x x x >+，令函数()()f x g x x x=+ 2ln x mx x x x --=+ ln 1xmx x x =--+，当12x x >时，()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()21ln '10x g x m x -=-+≥在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，第23页共26页◎第24页共26页【名师点睛】本小题主要考查函数导数与极值，考查函数导数与不等式恒成立问题．与函数最值有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．22．【答案】(Ⅰ) 22y x y10x=+-=，(Ⅱ)【解析】试题分析：（Ⅰ）由x cosρθ=，sinyρθ=可得曲线C的直角坐标方程，直线消去参数即可；（Ⅱ）将直线的参数方程化为22{12xy=-=-+，，（t为参数），与抛物线联立得2120t-+=，设A B，两点对应的参数分别为12t t，，12AB t t=-，原点到直线10x y+-=的距离2d==即可得解．试题解析：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为22sincosθρθ=，得22cos2sinρθρθ=，所以曲线C的直角坐标方程是22x y=．由直线的参数方程为2{1x ty t=-=-+，，（t为参数），得直线的普通方程10x y+-=．（Ⅱ）由直线的参数方程为2{1x ty t=-=-+，，（t为参数），得2{12xy t=-=-+，，（t为参数），代入22x y=，得2120t-+=，设A B，两点对应的参数分别为12t t，，则1212?12t t t t+==，所以12AB t t=-===因为原点到直线10x y+-=的距离2d==，所以11·22AOBS AB d==⨯=．23．【答案】（I）2a=-；（II）32m<-【解析】试题分析：（I）由13ax+<，得42ax-<<．然后根据的符号求得不等式的解集，与解集为()1,2-比较可得2a=-．（II）由题意得到不等式211x x m--+≤的解集为∅，令()211g x x x=--+，结合图象得到()min32g x=-，故32m<-．第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页…订…………○…………线…………○…______考号：___________…订…………○…………线…………○…（II ）由（I ）知原不等式即为211x x m -+≤++，故不等式211x x m --+≤的解集为∅，令()211211{31 2122xx g x x x xx x x -≤-=--+=--<<-≥，则()min 32g x =-，∴32m <-． ∴实数m 的取值范围为3,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．。
2019届高三数学冲刺诊断考试试题 理(含解析)(新版)新人教版
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019高三冲刺诊断考试数学（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）.1. 设复数满足，则（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】复数满足=故选2. 下列推理是归纳推理的是（）A. 为定点，动点满足，则动点的轨迹是以为焦点的双曲线；B. 由求出猜想出数列的前项和的表达式；C. 由圆的面积，猜想出椭圆的面积；D. 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇．【答案】B【解析】试题分析：解：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求． B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出S n的表达式，属于归纳推理，符合要求． C选项由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆的面积S=πab，用的是类比推理，不符合要求． D选项用的是演绎推理，不符合要求．故选B．考点：归纳推理、类比推理、演绎推理点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题3. 已知向量，则∠ABC等于（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°【答案】A【解析】因为向量,所以，所以，本题选择A选项.点睛：（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．4. 若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b －2)2的最小值为（）A. B. 5 C. 2 D. 10【答案】B【解析】分析：由圆的方程得到圆心坐标，代入直线的方程得，再由表达式的几何意义，即可求解答案．详解：由直线始终平分圆的周长，则直线必过圆的圆心，由圆的方程可得圆的圆心坐标，代入直线的方程可得，又由表示点到直线的距离的平方，由点到直线的距离公式得，所以的最小值为，故选B．点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式应用，把转化为点到直线的距离的平方是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．5. 第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行,现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为（）A. 540 B. 300 C. 180 D. 150【答案】D【解析】分析：将人分成满足题意的组有与两种，分别计算分为两类情况的分组的种数，再分配到三个不同的展馆，即可得到结果．详解：将人分成满足题意的组有与两种，分成时，有种分法；分成时，有种分法,由分类计数原理得，共有种不同的分法，故选D．点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．6. 已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：四个三视图均表示一个高为3，底面为两直角边分别为1，2的棱锥，A 与C中俯视图正好旋转，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，故A，C表示同一棱锥，设A中观察的正方向为标准正方向，以C表示从后面观察该棱锥，B与D中俯视图正好旋转，故应是从相反方向进行观察，但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同，不满足实际情况，故B，D中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥，根据B中正视图与A中侧视图相同，侧视图与C中正视图相同，可判断B是从左边观察该棱锥，故选D考点：三视图.7. 将函数图象上的点向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则（）A. t＝，s的最小值为B. t＝，s的最小值为C. t＝，s的最小值为D. t＝，s的最小值为【答案】A【解析】试题分析：由题意得，，当s最小时，所对应的点为，此时，故选A.【考点】三角函数图象的平移【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.视频8. 某程序框图如图所示，若输出的k的值为3，则输入的x的取值范围为（）A. [15，60)B. (15，60]C. [12，48)D. (12，48]【答案】B【解析】分析：执行程序框图，计算前几次循环，根据题设条件，列出不等式，即可求解结果．详解：执行如图所示的程序框图，可知：第一循环：满足，；第二循环：满足，，要使得输出的的值为，则且，解得，故选B．点睛：利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用；赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式.9. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为（）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】C【解析】分析：由等比数列的前项和公式求出女子每天分别织布尺，由此利用等比数列前项和公式能求出要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为多少天．详解：设该女第一天织布尺，则，解得，所以前织布的尺数为，由，得，解得的最小值为．点睛：本题主要考查了等比数列在生茶生活中的实际应用，试题比较基础属于基础题，解题时要认真审题，熟记等比数列的通项公式和前项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．10. 已知小李每次打靶命中靶心的概率都是40%，现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率.先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示命中靶心，4，5，6，7，8，9表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机摸拟产生了如下20组随机数：321 421 191 925 271 932 800 478 589 663531 297 396 021 546 388 230 113 507 965据此估计，小李三次打靶恰有两次命中的概率为（）A. 0．25B. 0．30C. 0．35D. 0．40【答案】B【解析】利用古典概型的概率计算公式，即可求出小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率．由题意知，在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有421,191,271,932,800,531，共6组随机数，所以所求概率为＝0.30，故选B.11. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点P，若（是坐标原点），则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意知，再由，知，由此能求出双曲线的离心率．详解：因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，故选C．点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．12. 定义在上的函数满足:是的导函数, 则不等式的解集为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设，得到函数，即函数为单调递增函数，不等式转化为，即可不等式的解集．详解：设，则，又由，则，所以，所以函数为单调递增函数，又由，所以，由不等式，即，即，所以不等式的解集为，故选A．点睛：本题主要考查了导数的应用和不等式的求解，其中解答中根据所求不等式，构造新函数，利用导数得到函数的单调性，利用单调性求解不等式上解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．二、填空题（每小题5分，共20分）.13. 已知，且的最大值为，则________.【答案】.【解析】此题考查线性规划的应用、指数函数的性质、对数式与指数式的互化；此不等式所表示的平面区域如下，只要求出的最大值即可，当平移到时最大，即14. 若,则的值为_____________.【答案】.【解析】分析：在已知等式红分别取，联立即可求得的值．详解：在中，令时，可得，即，令时，可得，即，又由，所以．点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，在解决二项式的系数问题试题，常采用赋值法求解，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力．15. 在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，AB＝AC＝2，PA＝2，则三棱锥P －ABC外接球的表面积为____________.【答案】20π.【解析】分析：求出，可得外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球的表面积．详解：因为，所以由余弦定理可得，设外接圆的半径为，则，所以，设球心到平面的距离为，则由勾股定理可得，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为．点睛：本题主要考查了三棱锥外接球的表面积，其中根据组合体的结构特征和球的性质，求得三棱锥的外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力．16. 若关于的方程有四个不同的实数解,则实数的取值范围是___________【答案】.【解析】试题分析：易知方程有一根为0，当时，原方程化为，则该方程有3个不同实数解.作出函数的图像，因为方程有3个不同实数解，易知.由图可知时，方程只有1个实数解.所以.由图易知当时，方程总有一个根；当时，由得，令.所以时，在的范围内，方程有两个相等的实数根.由图可知，若要方程有3个不同实数解，则.即实数k的取值范围是.考点：方程的根与函数的零点、函数的图像三、解答题：本大题共5小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. 已知函数（1）求函数的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x的取值集合；（2）已知中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，求实数a的取值范围.【答案】(1)2, .(2) a∈[1,2).【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式，化简得,利用三角函数的图象与性质，即可得到结果．(2)由，求得，再由余弦定理和基本不等式，即可求解边的取值范围．详解：（1）,，可得f(x)递增区间为,函数f(x)最大值为2，当且仅当，即，即取到∴.(2)由，化简得,,在△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2-bc=(b+1)2-3bc,由b+c=2，知bc≤1,即a2≥1,∴当b=c=1时，取等号,又由b+c>a得a<2,所以a∈[1,2).点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18. 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为，求的分布列和数学期望.附：【答案】(1)820.(2) 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.(3)分布列见解析，1.【解析】试题分析：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，当前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列时，以下的频率为，故全年级视力在以下的人数约为；...........................（Ⅱ）由，因此在犯错误的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系；（Ⅲ）依题可取，，，，则，，，，所以的数学期望.试题解析：（Ⅰ）设各组的频率为，依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故，，所以由得，所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83，故全年级视力在5.0以下的人数约为(Ⅱ)因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. （Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，可取0，1，2，3，，，，的分布列为的数学期望考点：频率分布直方图、独立性检验、分布列与数学期望．19. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，,,,是上的中点.（1）求证：平面⊥平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)见解析.(2) .【解析】试题分析：（1）欲证平面平面，只要证平面即可；（2）设，取中点，以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，求向量与平面的法向量的夹角即可．试题解析：（1）证明：∵平面，平面，∴，∵，，∴，∴，∴，又，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）解：设，取中点，以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，则，，，取，则，即为面的一个法向量．设为面的法向量，则，即取，则，，则，依题意得，取，于是，，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．考点：1、面面垂直的判定；2、直线与平面所成的角．【方法点睛】用向量法求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角．本题考查面面垂直的判定，向量法求二面角、线面角，问题的关键是求平面的法向量，考查学生的空间想象能力．属于中档题．20. 已知椭圆的离心率为,过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点, N为弦AB的中点,O为坐标原点.(1)求直线ON的斜率；(2)求证:对于椭圆上的任意一点M,都存在,使得成立.【答案】(1) .(2)见解析.【解析】分析：（1）设椭圆的焦距为，由，可得，从而椭圆的方程可化为，右焦点，直线所在的直线方程为，与椭圆方程联立化为，在利用中点公式与斜率公式即可求出；（2）利用平面向量的基本定理，根与系数的关系，点与椭圆的位置关系，即可得到证明．详解： (1)设椭圆的焦距为,因为,所以有,故有.从而椭圆的方程可化为:知右焦点的坐标为(),据题意有所在的直线方程为:. ②由①,②有:.③设,弦的中点,由③及韦达定理有:所以,即为所求.(2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.设,由(1)中各点的坐标有:,故.又因为点在椭圆上,所以有整理可得:. ④由③有:.所以⑤又点在椭圆上,故有 .⑥将⑤,⑥代入④可得:.所以,对于椭圆上的每一个点,总存在一对实数,使等式成立,且.所以存在,使得.也就是:对于椭圆上任意一点 ,总存在,使得等式成立.点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21. 已知函数，．（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；【答案】(1) .(2)-1.【解析】分析：（1）由题意得，求其导函数，由恒成立得到，然后利用配方法求得最值，即可得到答案；（2）设切点坐标，求得切线的方程，由直线是函数的切线，得到，利用导数，即可求得的最小值．详解：（1）,则，∵在上单调递增，∴对，都有，即对，都有，∵，∴，故实数的取值范围是．（2）设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，令，则，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，∴，故的最小值为．点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2019年山西省高考数学百日冲刺试卷(理科)(3月份)解析版
2019年山西省高考数学百日冲刺试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈N|lnx＜1}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}2．（5分）设复数z满足，则|z|＝（）A．1B．C．3D．3．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．3D．4．（5分）某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n＝（）A．12B．16C．24D．325．（5分）在△ABC中，若点D满足，点E为AC的中点，则＝（）A．B．C．D．6．（5分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A．4B．13C．40D．417．（5分）将函数f（x）＝sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g（x）的图象，则函数y＝f（x）g（x）的最大值为（）A ．B ．C ．1D ．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．9．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c ，若，点G 是△ABC 的重心，且AG ＝，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．或D ．或10．（5分）函数f （x ）＝x sin2x +cos x 的大致图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D．11．（5分）已知四棱锥S﹣ABCD，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD+∠DAB＝π，SA＝2，，二面角S﹣BC﹣A的大小为．若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4B．4πC．8πD．16π12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞mx恒成立，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）二项式的展开式中x﹣2的系数是．14．（5分）设x，y满足约束条件，则的最大值是．15．（5分）已知sin10°+m cos10°＝2cos140°，则m＝．16．（5分）已知A，B是抛物线y2＝2px（p＞0）上任意不同的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），则x0的取值范围是．（用p表示）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或渲算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，22题为选考题，考生根据要求作答．（-）必考题：共60分．17．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝a n+2﹣2，n∈N*．（1）若数列{a n}为等比数列，求数列{a n}的公比q的值．（2）若a2＝a1＝1，b n+1＝a n+a n+1，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，E是线段D1O的上一点．（1）若E为D1O的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值；（2）能否存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，若能，请指出点E的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由．19．（12分）随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数y i（单位：人）与时间t i（单位：年）的数据，列表如下：（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据．（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率；②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．20．（12分）顺次连接椭圆（a＞b＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．（1）求椭圆C的方程；（2）A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线OA，OB的斜率之积为（O为坐标原点），线段OA上有一点M 满足，连接BM 并延长椭圆C 于点N ，求的值．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +2alnx ，若函数f （x ）在定义域上有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2． （1）求实数a 的取值范围；（2）证明：．（二）选考题，共10分．请考生在第35、36题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（a ＞0，t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：θ＝（ρ∈R ）．（1）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C 3的方程为y ＝﹣x ，设C 2与C 1的交点为O ，M ，C 3与C 1的交点为O ，N ，若△OMN 的面积为2，求a 的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数f （x ）＝|4x ﹣1|﹣|x +2|． （1）解不等式f （x ）＜8；（2）若关于x 的不等式f （x ）+5|x +2|＜a 2﹣8a 的解集不是空集，求a 的取值范围．2019年山西省高考数学百日冲刺试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈N|lnx＜1}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【分析】可解出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B＝{1，2}，A＝{0，1，2，3}；∴A∩B＝{1，2}．故选：B．【点评】考查描述法、列举法的定义，对数函数的单调性，交集的运算．2．（5分）设复数z满足，则|z|＝（）A．1B．C．3D．【分析】利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足，∴z﹣i＝2i+1，可得z＝3i+1．则|z|＝＝．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．3D．【分析】求得双曲线的渐近线方程，结合a，b，c的关系，再由离心率公式，计算可得所求值．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，由题意可得＝，即b＝a，即有双曲线的e＝＝＝＝2．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4．（5分）某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n＝（）A．12B．16C．24D．32【分析】由分层抽样的性质列方程能求出n的值．【解答】解：由分层抽样的性质得：，解得n＝24．故选：C．【点评】本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）在△ABC中，若点D满足，点E为AC的中点，则＝（）A．B．C．D．【分析】由平面向量基本定理及共线向量的运算得：＝＝+＝+（）＝，得解．【解答】解：＝＝+＝+（）＝，故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理及共线向量的运算，属简单题．6．（5分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A．4B．13C．40D．41【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量B的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得A＝1，B＝0满足条件A≤4，执行循环体，B＝1，A＝2满足条件A≤4，执行循环体，B＝4，A＝3满足条件A≤4，执行循环体，B＝13，A＝4满足条件A≤4，执行循环体，B＝40，A＝5此时，不满足条件A≤4，退出循环，输出B的值为40．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）将函数f（x）＝sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g（x）的图象，则函数y＝f（x）g（x）的最大值为（）A．B．C．1D．【分析】由三角函数图象的平移得：g（x）＝sin（x﹣），由积化和差公式得：y＝f（x）g（x）＝sin x•sin（x﹣）＝﹣[cos（2x）﹣cos]＝﹣cos（2x）+，由三角函数的有界性及最值得：因为﹣1≤cos（2x）≤1，所以函数y＝f（x）g（x）的最大值为，得解．【解答】解：将函数f（x）＝sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）＝sin（x﹣），则y＝f（x）g（x）＝sin x•sin（x﹣）＝﹣[cos（2x）﹣cos]＝﹣cos（2x）+，又﹣1≤cos（2x）≤1，所以函数y＝f（x）g（x）的最大值为，故选：A．【点评】本题考查了三角函数图象的平移、积化和差公式、三角函数的有界性及最值，属中档题．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】由几何体的三视图得该几何体三棱锥S﹣ABC，其中底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面SAC ⊥平面ABC，SA＝SC＝2，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是如图所示的三棱锥S﹣ABC，其中底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，∴BO＝＝3，SO＝＝1，∴该几何体的体积为：V＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分別为a，b，c，若，点G是△ABC的重心，且AG＝，则△ABC的面积为（）A．B．C．或D．或【分析】先根据正弦定理可求出A＝或，再根据向量的运算和余弦定理即可求出c，根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：由题可知2sin A sin B﹣sin A cos C＝sin C cos A，∴2sin A sin B＝sin（A+C）＝sin B，∴sin A＝，∴A＝或，又AG＝，延长AG交BC于点D，∴AD＝，∵＝（+），∴2＝（+）2＝（b2+c2+2bc cos A），当A＝时，c＝3，∴△ABC的面积为bc sin A＝，当A＝时，c＝4，∴△ABC的面积为bc sin A＝故选：D．【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理在三角形中的应用，考查了运算求解能力，属于中档题10．（5分）函数f（x）＝x sin2x+cos x的大致图象有可能是（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性，判断函数零点个数进行判断即可．【解答】解：f（﹣x）＝﹣x sin（﹣2x）+cos（﹣x）＝x sin2x+cos x＝f（x），则函数f（x）是偶函数，排除D，由f（x）＝x2sin x cos x+cos x＝0，得cos x（2x sin x+1）＝0，得cos x＝0，此时x＝或，由2x sin x+1＝0得sin x＝﹣，作出函数y＝sin x和y＝﹣，在（0，2π）内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点，综上f（x）在（0，2π）有四个零点，排除B，C，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数零点个数进行排除是解决本题的关键．11．（5分）已知四棱锥S﹣ABCD，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD+∠DAB＝π，SA＝2，，二面角S﹣BC﹣A的大小为．若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4B．4πC．8πD．16π【分析】先利用四边形ABCD的对角互补可得知A、B、C、D四点共圆，先证明BC⊥平面SAB，得出二面角S﹣BC﹣A的平面角为，可计算出AB，再利用勾股定理可得出四边形ABCD外接圆的直径AC，然后利用公式计算出外接球的半径R，最后利用球体表面积公式可得出的答案．【解答】解：如下图所示，由于AB⊥BC，∠BCD+∠BAD＝π，所以，，则A、B、C、D四点共圆．∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥SA．又BC⊥AB，且SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，∵SB⊂平面SAB，∴BC⊥SB，则二面角S﹣BC﹣A的平面角为∠ABS，即．在Rt△ABS中，．所以，直角△ABC的外接圆直径为，即四边形ABCD的外接圆直径为AC＝2．∵SA⊥平面ABCD，所以，四棱锥S﹣ABCD的外接球直径为，因此，该球的表面积为4πR2＝π×（2R）2＝8π．故选：C．【点评】本题考查球体表面积的计算，考查二面角的定义，同时也考查了直线与平面垂直的判定，考查推理能力与计算能力，属于中等题．12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞mx恒成立，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]【分析】求出函数的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性确定m的范围即可．【解答】解：令g（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx，x∈（0，+∞），则g′（x）＝e x+e﹣x﹣m，x∈（0，+∞），易得函数y＝e x+e﹣x＞2在x∈（0，+∞）恒成立，故当m≤2时，g′（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，故g（x）在（0，+∞）递增，又g（0）＝0，故f（x）＜mx恒成立，当m＞2时，∵g′（x）在x∈（0，+∞）递增，故存在x0∈（0，+∞）恒成立，使得g′（x0）＝0，故g（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，又g（0）＝0，则g（x0）＜0，这与g（x）＞0恒成立矛盾，故m≤2，即m的范围是（﹣∞，2]，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）二项式的展开式中x﹣2的系数是﹣10．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：二项式的展开式中通项公式：T r+1＝＝（﹣1）r．令﹣＝﹣2，解得r＝3．x﹣2的系数＝﹣＝﹣10．故答案为：﹣10．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则的最大值是5．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．【解答】解：x，y满足约束条件，满足的可行域如图：则的几何意义是可行域内的点与（﹣3，﹣2）连线的斜率，经过A时，目标函数取得最大值．由，可得A（﹣2，3），则的最大值是：＝5．故答案为：5．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，判断目标函数的最值是解题的关键．15．（5分）已知sin10°+m cos10°＝2cos140°，则m＝﹣．【分析】由题意可得m＝，再利用三角恒等变换求得它的值．【解答】解：由题意可得m＝＝＝＝＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查三角恒等变换，属于中档题．16．（5分）已知A，B是抛物线y2＝2px（p＞0）上任意不同的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），则x0的取值范围是（p，+∞）．（用p表示）【分析】设出A，B坐标，结合线段AB垂直平分线的性质建立|PA|＝|PB|，利用点在抛物线上利用消参法进行转化求解即可【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），∴AB不平行于y轴．即x1≠x2，则|PA|＝|PB|则＝；整理得（x1﹣x2）（x1+x2﹣2x0）＝y22﹣y12，∵A，B是抛物线上的两个点，∴y12＝2py1，y22＝2py2，代入上式得x0＝p+，∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，∴x1+x2＞0，则得x0＝p+＞p，即x0的取值范围是（p，+∞），故答案为：（p，+∞）．【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，利用垂直平分线的性质以及消参法是解决本题的关键．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或渲算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，22题为选考题，考生根据要求作答．（-）必考题：共60分．17．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝a n+2﹣2，n∈N*．（1）若数列{a n}为等比数列，求数列{a n}的公比q的值．（2）若a2＝a1＝1，b n+1＝a n+a n+1，求数列{b n}的通项公式．可【分析】本题第一题主要抓住数列{a n}的前n项和S n与数列通项a n列的关系式，通过a1＝S1，a n＝S n﹣S n﹣1得到等比数列{a n}等比数列的公比；第二题要根据第一题求出b n的算式，然后根据数列{b n}判断为等比数列即可求出b n的通项公式．【解答】解：（1）根据题意，数列{a n}满足2S n＝a n+2﹣2，①，＝a n+1﹣2，②则有2S n﹣1①﹣②可得：2a n＝a n+2﹣a n+1，又由数列{a n}为等比数列，则有2＝q2﹣q，解可得：q＝2或﹣1，又由q＞0，则q＝2；（2）数列{a n}满足2S n＝a n+2﹣2，当n＝1时，有a3＝2S1+2＝4，当n≥2时，由（1）的结论，2a n＝a n+2﹣a n+1，变形可得：2（a n+1+a n）＝a n+2+a n+1，即2b n＝b n+1，又由b1＝a1+a2＝2，b2＝a2+a3＝1+4＝5．∴数列{b n}从第二项起是以5为首项，2为公比的等比数列．∴．【点评】本题考查数列的递推公式，涉及等比数列的性质，属于中档题．18．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，E是线段D1O的上一点．（1）若E为D1O的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值；（2）能否存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，若能，请指出点E的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由．【分析】（1）设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出直线OD1与平面CDE所成角的正弦值．（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设．求出平面CD1O的法向量，平面CD1O的一个法向量，利用向量法能求出结果．【解答】解：（1）不妨设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），O（1，1，0）．因为点E是D1O的中点，所以点E的坐标为．所以，，．设是平面CDE的法向量，则即，取x＝2，则z＝﹣1，所以平面CDE的一个法向量为．所以．所以直线OD1与平面CDE所成角的正弦值为．（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设．显然，．设是平面CD1O的法向量，则，即．取x＝1，则y＝1，z＝1，所以平面CD1O的一个法向量为．因为，所以点E的坐标为．所以，．设是平面CDE的法向量，则即．取x＝1，则，所以平面CDE的一个法向量为．因为平面CDE⊥平面CD1O，所以，即，，解得λ＝2．所以λ的值为2．即当时，平面CDE⊥平面CD1O．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数y i（单位：人）与时间t i（单位：年）的数据，列表如下：（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据．（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率；②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．【分析】（1）利用公式求得相关系数r≈0.97＞0.75，说明可用线性回归模型拟合；（2）①至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠等价于顾客需要至少中奖一次；②分别求出两种方案中顾客付款金额的数学期望，比较期望的大小可作出选择．【解答】解：（1）由题知，，，，，则＝．故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A，则，故所求概率为．②若选择方案一，则需付款1000﹣100＝900（元），若选择方案二，设付款X元，则X可能取值为700，800，900，1000.；；；．所以（元），因为850＜900，所以选择方案二更划算．【点评】本题考查了线性回归方程，属中档题．20．（12分）顺次连接椭圆（a＞b＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．（1）求椭圆C的方程；（2）A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线OA，OB的斜率之积为（O为坐标原点），线段OA上有一点M满足，连接BM并延长椭圆C于点N，求的值．【分析】（1）由菱形的面积公式可得2ab＝2，由勾股定理可得a2+b2＝3，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），．N（x3，y3），由向量的坐标表示和点满足椭圆方程，结合直线的斜率公式，化简变形，即可得到所求值．【解答】解：（1）由题可知，a2+b2＝3，解得，b＝1．所以椭圆C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），．N（x3，y3），∵，∴，∴，．又∵，∴，即，．∵点N（x3，y3）在椭圆C上，∴，即．（*）∵A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，∴，①，②又直线OA，OB斜率之积为，∴，即，③将①②③代入（*）得，解得．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用菱形的面积求法，考查点满足椭圆方程，以及化简变形能力，推理能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+2alnx，若函数f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：．【分析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质确定a的范围即可；（2）结合二次函数的性质，求出f（x1）+f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）解：因为函数f（x）在定义域（0，+∞）上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，所以在（0，+∞）上有两个根x1，x2，且x1＜x2，即x2﹣x+a＝0在（0，+∞）上有两个不相等的根x1，x2．所以解得．（2）证明：由题可知x1，x2（0＜x1＜x2）是方程x2﹣x+a＝0的两个不等的实根，所以其中．故＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2aln（x1x2）＝2alna﹣2a﹣1，令g（a）＝2alna﹣2a﹣1，其中．故g'（a）＝21na＜0，所以g（a）在上单调递减，则，即．【点评】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道综合题．（二）选考题，共10分．请考生在第35、36题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（a＞0，t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：θ＝（ρ∈R）．（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C3的方程为y＝﹣x，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，若△OMN的面积为2，求a的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程进行转换．（2）利用极径建立方程组，进一步利用三角形的面积建立等量关系，求出参数的值．【解答】解：（1）曲线C1：（a＞0，t为参数）．转换为直角坐标方程为：（x﹣a）2+y2＝a2，该曲线为以（a，0）为圆心a为半径的圆．圆的极坐标方程为ρ＝2a cosθ．（2）直线C3的方程为y＝﹣x，转换为极坐标方程为：．将代入ρ＝2cosθ，解得：，则：＝，解得：a＝2．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＜8；（2）若关于x的不等式f（x）+5|x+2|＜a2﹣8a的解集不是空集，求a的取值范围．【分析】（1）求出f（x）的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（2）求出f（x）+5|x+2|的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）由题意可得f（x）＝，当x≤﹣2时，﹣3x+3＜8，得，无解；当时，﹣5x﹣1＜8，得，即；当时，3x﹣3＜8，得，即．所以不等式的解集为．（2）f（x）+5|x+2|＝|4x﹣1|+|4x+8|≥9，则由题可得a2﹣8a＞9，解得a＜﹣1或a＞9．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
2019年高考理科数学仿真冲刺卷及答案(三)
2019年高考理科数学仿真冲刺卷及答案(三)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.集合A={x|2x2-3x≤0,x∈Z},B={x|1≤2x<32,x∈Z},集合C满足A⊂C⊆B,则C的个数为( )(A)3 (B)4 (C)7 (D)82.欧拉是一位杰出的数学家,他发明的公式e ix=cos x+isin x(i为虚数单位),将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知,e-4i表示的复数在复平面中位于( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限3.随着人民生活水平的提高,对城市空气质量的关注度也逐步增大,如图是某城市2016年1月至8月的空气质量检测情况,图中一、二、三、四级是空气质量等级,一级空气质量最好,一级和二级都是质量合格天气,下面叙述不正确的是( )(A)1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个(B)第二季度与第一季度相比,空气达标天数的比重下降了(C)8月是空气质量最好的一个月(D)6月份的空气质量最差4.若a=(-cos x)dx,则(ax+)9展开式中x3项的系数为( )(A)-(B)-(C) (D)5.若圆(x-3)2+y2=1上只有一点到双曲线-=1的一条渐近线的距离为1,则该双曲线离心率为( )(A)(B)(C) (D)6.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )(A)28+6 (B)30+6(C)56+12(D)60+127.我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的值的秦九韶算法,即将f(x)改写成如下形式:f(x)=(…((a n x+a n-1)x+a n-2)x+…+a1)x+a0,首先计算最内层一次多项式的值,然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如图,则在空白的执行框内应填入( )(A)v=vx+a i(B)v=v(x+a i)(C)v=a i x+v (D)v=a i(x+v)8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=-,则角A的最大值是( )(A)(B)(C)(D)9. 如图,圆锥的高PO=,底面☉O的直径AB=2,C是圆上一点,且∠CAB=30°,D为AC的中点,则直线OC和平面PAC所成角的正弦值为( )(A) (B) (C) (D)10.中心为原点O 的椭圆焦点在x 轴上,A 为该椭圆右顶点,P 为椭圆上一点,∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e 的取值范围是 ( )(A)[,1) (B)(,1) (C)[,) (D)(0,)11.在Rt △ABC 中,∠A=90°,点D 是边BC 上的动点,且||=3,||=4,=λ+μ(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,||的值为( )(A) (B)3 (C) (D)12.对于三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0),给出定义:设f ′(x)是函数y=f(x)的导数,f ″(x)是f ′(x)的导数,若方程f ″(x)=0有实数解x 0,则称点(x 0,f(x 0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=2x 3-3x 2+,则g()+g()+…+g()等于( )(A)100 (B)50(C) (D)0第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.已知实数x,y满足条件则z=y-()x的最大值为.14.已知0<x<,且sin(2x-)=-,则sin x+cos x= .15.已知f(x)为奇函数,函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x+1对称,若g(1)=4,则f(-3)= .16. 如图,正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长均相等,D为AA1的中点,M,N 分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点),且满足BM=C1N,当M,N 运动时,下列结论中正确的序号为.①△DMN可能是直角三角形;②三棱锥A1DMN的体积为定值;③平面DMN⊥平面BCC1B1;④平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为(0,].三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知数列{a n}的各项都是正数,它的前n项和为S n,满足2S n=+a n,记b n=(-1)n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前2 016项的和.18.(本小题满分12分)如图,平面ABCD⊥平面BCF,四边形ABCD是菱形,∠BCF=90°.(1)求证:BF=DF;(2)若∠BCD=60°,且直线DF与平面BCF所成角为45°,求二面角B AF C的平面角的余弦值.19.(本小题满分12分)某工厂生产甲、乙两种芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为合格品,小于82为次品.现随机抽取这两种芯片各100件进行检测,检测结果统计如表:(1)试分别估计芯片甲、芯片乙为合格品的概率;(2)生产一件芯片甲,若是合格品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件芯片乙,若是合格品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在(1)的前提下,①记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润,求随机变量X 的分布列和数学期望;②求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率.20.(本小题满分12分)已知椭圆C1:+=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点F2也为抛物线C2:y2=8x的焦点,过点F2的直线l交抛物线C2于A,B两点.(1)若点P(8,0)满足|PA|=|PB|,求直线l的方程;(2)T为直线x=-3上任意一点,过点F1作TF1的垂线,交椭圆C1于M,N 两点,求的最小值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x(sin x-ax2+2a-e),其中a∈R,e=2.718 18…为自然对数的底数.(1)当a=0时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当≤a≤1时,求证:对任意的x∈[0,+∞),f(x)<0.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(α为参数),以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标轴方程为ρcos(θ-)=2.(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程;(2)设点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值及其对应的点P的直角坐标.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|.(1)若不等式f(x+)≤2m+1(m>0)的解集为[-,],求实数m的值;(2)若不等式f(x)≤|y|+|a-y|+|2x|,对任意的实数x,y都成立,求正实数a的最小值.仿真冲刺卷(三)1.C 由2x2-3x≤0,解得0≤x≤,所以A={0,1}.由1≤2x<32可得0≤x<5.所以B={0,1,2,3,4}.因为集合C满足A⊂C⊆B,所以C={0,1,2},{0,1,3},{0,1,4},{0,1,2,3},{0,1,2,4},{0,1,3,4},{0, 1,2,3,4}.则C的个数为7.故选C.2.B e-4i=cos(-4)+isin(-4),因为cos(-4)=cos[π+(4-π)]=-cos(4-π)<0,sin(-4)=-sin [π+(4-π)]=sin(4-π)>0,所以e-4i表示的复数在复平面中位于第二象限.故选B.3.D 对于A,1月至8月空气合格天数超过20天的月份有1月、2月、6月、7月、8月,共5个,故A正确;对于B,第一季度合格天数的比重为≈0.736 3,第二季度合格天数的比重为≈0.626 4,所以第二季度与第一季度相比,空气达标天数的比重下降了,故B正确;对于C,8月空气质量合格的天数达到30天,是空气质量最好的一个月,故C正确;对于D,5月空气质量合格天数只有13天,5月份的空气质量最差,故D 错误.故选D.4.A a=(-cos x)dx=-sin x|=-1,则(ax+)9=(-x-)9=-(x+)9,(x+)9的通项公式T r+1=x9-r()r=()r x9-2r,令9-2r=3,得r=3,所以x3项的系数为-()3=-,故选A.5.A 依题意知圆心到渐近线bx+ay=0的距离d==2,所以b2=a2,所以c2=a2,所以e==,故选A.6.B 由三视图知此三棱锥的直观图如图所示,∠ACB=90°,AC=5,BC=4,PD⊥平面ABC于D,且D在AC上,AD=2,DC=3,PD=4.从而可得PC⊥BC,所以PC=5,AP=2,PB=AB=.所以S△ABC=S△APC=S△PBC=×5×4=10.所以S△APB=×2×=6,所以此三棱锥的表面积为S=30+6.故选B.7.A 秦九韶算法的过程是(k=1,2,…,n),这个过程用循环结构来实现,应在题图中的空白执行框内填入v=vx+a i,选A. 8.A 因为=-,由余弦定理可得=-3×, 化简得2a2+b2=c2,所以cos A===≥=,当且仅当c=b时取等号,因为A∈(0,π),所以角A的最大值是.故选A.9.C 因为OA=OC,D是AC的中点,所以AC⊥OD,又PO⊥底面☉O,AC⊂底面☉O,所以AC⊥PO,而OD,PO是平面POD内的两条相交直线,所以AC⊥平面POD,又AC⊂平面PAC,所以平面POD⊥平面PAC.在平面POD中,过O作OH⊥PD于H,则OH⊥平面PAC.连接CH,则CH是OC在平面POD上的射影,所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角,在Rt△ODA中,OD=OA·sin 30°=,在Rt△POD中,OH==,在Rt△OHC中,sin∠OCH==,故直线OC和平面PAC所成角的正弦值为.故选C.10.B 设椭圆标准方程为+=1(a>b>0),设P(x,y),点P在以OA为直径的圆上.圆的方程为(x-)2+y2=()2,化简为x2-ax+y2=0,由消去y并整理得(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0.则x=,因为0<x<a,所以0<<a,可得<e<1,故选B.11.C将Rt△ABC放入坐标系中(如图),则C(0,4),B(3,0),因为=λ+μ(λ>0,μ>0),所以λ+μ=1.则1=λ+μ≥2,即λμ≤,当且仅当λ=μ=时取等号,此时=λ+μ=+=(3,0)+(0,4)=(,2),则||==,故选C.12.D 因为g(x)=2x3-3x2+,所以g′(x)=6x2-6x,g″(x)=12x-6,由g″(x)=0,得x=,又g()=2×()3-3×()2+=0,所以函数g(x)的图象关于点(,0)对称,所以g(x)+g(1-x)=0,所以g()+g()+…+g()=49×0+g()=g()=0.故选D. 13.解析:画出不等式组对应的平面区域,如图所示,z=y-()x,即y=()x+z,由图象可知当曲线y=()x+z经过点A(1,1)时,z取得最大值,即z=y-()x=1-=.答案:14.解析:因为0<x<,且sin(2x-)=-,所以-<2x-<0,cos(2x-)==,则sin2x=sin[(2x-)+]=[sin(2x-)+cos(2x-)]=×(-+)=, 则sin x+cos x====.答案:15.解析:因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x+1对称, (1,4)点与(3,2)点关于直线y=x+1对称,所以若g(1)=4,则f(3)=2,因为f(x)为奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-2.答案:-216.解析: 如图,对于①,若△DMN为直角三角形,则∠MDN为直角,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,则DM2+DN2>2B=B.即∠MDN为锐角,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误;对于②,当M,N分别在BB1,CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以三棱锥N A1DM的体积不变,即三棱锥A1DMN的体积为定值,故正确;对于③,当M,N分别在BB1,CC1上运动时,若满足BM=C1N,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,而DO⊥平面BCC1B1,所以平面DMN⊥平面BCC1B1,故正确;对于④,当M,N分别为BB1,CC1中点时,平面DMN与平面ABC所成的角为0,当M与B重合,N与C1重合时,平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大,为∠C1BC=.因此平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为(0,],故正确,所以正确的是②③④.答案:②③④17.解:(1)因为2S n=+a n,所以2S n+1=+a n+1,所以2S n+1-2S n=(+a n+1)-(+a n),即(a n+1+a n)(a n+1-a n-1)=0.因为a n>0,所以a n+1+a n>0,所以a n+1-a n=1.令n=1,则2S1=+a1,所以a1=1或a1=0(舍去).所以数列{a n}是以1为首项,以1为公差的等差数列,所以a n=a1+(n-1)d=n,n∈N*,即a n=n.(2)由(1)知,b n=(-1)n=(-1)n(+),所以数列{b n}的前2 016项的和为T n=b1+b2+…+b2 016=-(1+)+(+)-(+)+…-(+)+(+)=-1-++--+…--++=-1+=-.18.(1)证明:连接AC,设AC∩BD=O,连接OF,因为平面ABCD⊥平面BCF,且交线为BC,∠BCF=90°,所以CF⊥平面ABCD,CF⊥BD,又BD⊥AC,则BD⊥平面OCF,所以BD⊥OF,又BO=DO,所以BF=DF.(2)解:过点D作DG⊥BC于点G,连接GF,因为平面ABCD⊥平面BCF,即直线DF与平面BCF所成角为∠DFG=45°,不妨设BC=2,则DG=,过点G在BCF内作CF的平行线GH,则GH⊥平面ABCD,以点G为原点,分别以GH,GC,GD所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,因为∠DFG=45°,所以GF=,CF=,则A(0,-2,),B(0,-1,0),C(0,1,0),F(,1,0),所以=(,3,-),=(,2,0),=(,0,0).设平面ABF的法向量为m=(x,y,z),则即取y=-1,得m=(,-1,-),同理可得平面AFC的法向量为n=(0,1,),所以cos<m,n>===-,由图可知二面角B AF C是锐角,因此其余弦值为.19.解:(1)芯片甲为合格品的概率约为=, 芯片乙为合格品的概率约为=.(2)①随机变量X的所有取值为90,45,30,-15.则P(X=90)=×=;P(X=45)=×=;P(X=30)=×=;P(X=-15)=×=.所以,随机变量X的分布列为E(X)=90×+45×+30×+(-15)×=66.②设生产的5件芯片乙中合格品n件,则次品有5-n件.依题意,得 50n-10(5-n)≥140,解得n≥.所以 n=4或n=5.设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A, 则P(A)=()4×+()5=.20.解:(1)由抛物线C2:y2=8x得F2(2,0),当直线l斜率不存在时,x=2,满足题意.当直线l斜率存在时,设l:y=k(x-2)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 由得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,所以x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)-4k=.设AB的中点为G,则G(,),因为|PA|=|PB|,所以PG⊥l,k PG·k=-1,所以×k=-1,解得k=±,则y=±(x-2),所以直线l的方程为y=±(x-2)或x=2.(2)因为F2(2,0),所以F1(-2,0),b2=6-4=2,C1:+=1,设T点的坐标为(-3,m),则直线TF1的斜率==-m,当m≠0时,直线MN的斜率k MN=,直线MN的方程是x=my-2,当m=0时,直线MN的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式,所以直线MN的方程是x=my-2.设M(x3,y3),N(x4,y4),由得(m2+3)y2-4my-2=0,所以y3+y4=,y3y4=-,|TF1|=,|MN|===,所以==≥,当且仅当m2+1=,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值.21.(1)解:当a=0时,f(x)=e x(sin x-e),则f′(x)=e x(sin x-e)+e x cos x=e x(sin x-e+cos x),因为sin x+cos x=sin(x+)≤<e,所以sin x+cos x-e<0 ,故f′(x)<0 ,则f(x)在R上单调递减.(2)证明:当x≥0时,y=e x≥1,要证明对任意的x∈[0,+∞),f(x)<0,只需要证明对任意的x∈[0,+∞),sin x-ax2+2a-e<0.设g(a)=sin x-ax2+2a-e=(-x2+2)a+sin x-e,看作以a为变量的一次函数,要使sin x-ax2+2a-e<0,则即因为sin x+1-e<0恒成立,所以①恒成立,对于②,令h(x)=sin x-x2+2-e,则h′(x)=cos x-2x,设x=t时,h′(x)=0,即cos t-2t=0.所以t=<,sin t<sin =,所以在(0,t)上,h′(x)>0,h(x)单调递增,在(t,+∞)上,h′(x)<0,h(x)单调递减,则当x=t时,函数h(x)取得最大值h(t)=sin t-t2+2-e=sin t-()2+2-e=sin t-+2-e=sin2t+sin t+-e=(+1)2+-e<()2+-e=-e<0,故②式成立,综上可知对任意的x∈[0,+∞),f(x)<0.22.解:(1)曲线C的参数方程为(α为参数)则曲线C的普通方程为+=1,直线l的极坐标轴方程为ρcos(θ-)=2,展开为(ρcos θ+ρsin θ)=2,ρcos θ+ρsin θ=4,所以直线l的直角坐标方程为x+y=4.(2)设点P的坐标为(2cos α,sin α),得P到直线l的距离d=,令sin ϕ=,cos ϕ=,则d=,显然当sin(α+ϕ)=-1时,d max=.此时α+ϕ=2kπ+,k∈Z.所以cos α=cos(2kπ+-ϕ)=-sin ϕ=-.sin α=sin(2kπ+-ϕ)=-cos ϕ=-,即P的直角坐标为(-,-).23.解:(1)不等式f(x+)≤2m+1(m>0)的解集为[-,],也就是不等式|2x|≤2m+1(m>0)的解集为[-,],由|2x|≤2m+1,可得-m-≤x≤m+,所以m+=,所以m=1.(2)若不等式f(x)≤|y|+|a-y|+|2x|,对任意的实数x,y都成立,即|2x-1|-|2x|≤|y|+|a-y|恒成立,因为(|2x-1|-|2x|)max=1,(|y|+|a-y|)min=a,所以a≥1,所以正实数a的最小值为1.。
回归本源,立足教材--2019年数学高考江苏卷第13题解法评析及教学思考
38福建中学数学2020年第12期1试题呈现23回归本源，立足教材2019年数学高考江苏卷第13题解法评析及教学思考朱阳帆江苏省扬中高级中学(212200)(2019年高考江苏卷•13、已知求sin(2a+彳)_tan atan(a+n)评析本解法是常规思路，分别用到了和角公式，倍角公式，同角的三角函数关系，计算量较大，而且考后和部分学生交流得知学生对用不同的正切算出了相同的答案有所怀疑，进行二次计算，浪费了时间.该题是对两角和与差的三角函数的考查，解决此类问题，需要用到一系列三角公式与变换：和角公式，倍角公式，同角的三角函数关系进行恒等变换，测试目标是应用公式，但需要整合，且经多个目标完成[1].笔者今年任教高三，考后与学生交流,发现有部分学生写了土寻这个答案，觉得有些可解法2tan atan atan(a+n)22-亍tan(a+—)232tan a+131-tan a /.3tan2a-5tan a-2_0,惜.本文给出第13题填空题的5种解法，并浅析出现土寻这个答案的原因，并就此题谈谈笔者在/.tan a_-1或tan a_2,3-41:.sin(2a+—)_-^-(sin2a+cos2a)高三复习教学时的拙见.2五种解法及评析—•(2sin a cos a+cos2a-sin2a)解法1tan atan(a+n)2322一2血一2一一一一2sin a cos a+cos2a-sin2a2•2cos a+sin atan a_一亍tan(a+—)_2tan a+131-tan a2tan a+1-tan2a1+tan2a1[21°当tan a_一一时，sin(2a+—)_——,3410tan a_2或-一3P2 2°当tan a_2时'sin(2a+4)_I?，sin a_巫5或-sin a2丘5sin(2a+n)cos a_5a/10 sin a_---,10顶cos a_-----10或-cos a10 5a/10sin a_-----103顶cos a_----10sin2a_—,cos2a_35评析解法2和解法1比较少了分类讨论的过程，其实教材必修四第一章练习题后有好几道三角函数化简求值的练习，最好的处理方式都是添加分母sin2a+cos2a然后把整个分式化成正切处理，这样避免讨论，所以无论是平时教学还是高三复习课都要以课本为主，教材是高三复习最好的资料.从代数角度看sin2a_-—5 sin(2a+—c4cos2a_—,5:~~~(sin2a+cos2a)_2102tan a+1-tan2a1+tan2a_-3和tan atan(a+n)2-2同解，所以也解释了为什么tan a算出来是不同值得到的确是同样的结果.2020年第12期福建中学数学39解法 3 •/ tan a =-—tan(a + n )sin a cos(a +—)23，2—，cos a sin(a + —迈.忑.22 sin a cos a 2 sin a即―.+近2 =——cos a sin a +---cos a 2 2dsin2a -1-cos2a 2二 4 2 =—2.宀 1 + cos2a 34 21 sin(2a + n ) -1 ,=2 ' r 2=—21sin(2a + n )+1 3亠 sin(2a + n ) 忑评析本解法是把正切都化成了正弦余弦后用二倍角公式化简后进行合一变形处理，合一变形在教材必修4课后链接上有详细介绍•对学生三角函数各种公式应用熟练程度以及代数变形能力要求较高，相较于解法1和解法2,解法3少掉了解一 元二次方程和分类讨论的过程，最后直接得出要求的代数式值.102t \ + 3t 2 = 0,_a /2t 1— t 2 =T ‘令 sin(a + n )cos a = t 1 , cos(a + )sin a = t 2 ,3迈t 1 =---,1 102近2 10/. t 1 +12 =返，即 sin(2a + —) = ^2 .1 2 10， r \ 4 10n <由①②③得｛评析通过解法4发现可以通过代数变形直接得出所求代数式的值，那么可以想到能否对代数式进行拆角处理构造对称式，①和③对一些学生而言 想到并不困难，①展开有a 和a +占，所以对③进4行拆角处理，关键②的构造很难想到•解法5利用万能公式，当tan a = 2时，.tan a 4sin2a =------2—=—,1 + tan a 5- 1 - tan2 a 3cos 2a =---------- =——,1 + tan2 a 5sin(2a + —) = ^2 (sin 2a + cos 2a ) = ^^ ,4 2 10当 tan a = -1 时，sin2a = —tan a 2—=3 1 + tan 2 a 宀 1 - tan 2 a 4cos 2a =----------=—,1 + tan2 a 5sin(2a + —) = ^2 (sin 2a + cos 2a ) = ^24 2 1035• cos(a +—) ,解法 4 叫=-2,cos a sin(a + n )3-3sin a cos(a + —) = cos a sin(a + —),442cos a sin(a + 彳)+ 3sin a cos(a + n ) = 0 ①,匸,•兀 • < it 、 a 乂 sin — = sin(a +---a )= 一 ,4 4 2评析笔者认为三角函数万能公式是解决这道题目的最好解法，教材上也有万能公式的内容，但是局限于很多同行在讲授新课的时候都略过了万能公式或者稍稍一笔带过，或者在平时解题的时候很少讲授利用万能公式解题，所以学生应用万能公sin(a + n ) cos a -sin a cos(a + n ) = ~^~ ②,sin(2a + —) = sin(a +a + —).4 4式解决这道问题的少之又少.3可能出现±春的原因当学生算出tan a = 2或-—后，采取的策略是sin(2a +孑)=sin(a + —) cos a + sin a cos(a + —)③,44算出tan2a-—或 tan2a =3—,tan(2a +彳)=1 或tan(2a +—)=—,4 7sin(2a + n )cos(2a + n )1 sin(2a +=-或-------cos(2a + —)40福建中学数学2020年第12期-1，与同角的三角函数关系联立，并经历复杂的缩角过程，发现两个都可以保留，得到了土春这个答案，凭空多出来-菁•其实用tan a算出tan2a4的过程是不等价转换，因为tan2a_-3,tan2a_-3,用正切的二倍角公式tan2a_半二，可41-tan2a以得出tan a_2或-2或3或-3,产生了增根，所以sin(2a+中)_-春是由增根tan a_-2或-1产生的多余的解.4教学反思4.1教师研究教材，深度挖掘教材习题中的思想方法与三角恒等变化有关的计算问题是历年来江苏高考数学考查的重点，今年的第13题，属于中档题，但是研究本题的5种解法可以发现，好的解法(解法2,解法4)来源于教材习题的解法与章节补充内容，容易想到的解法(解法1)考查学生对公式运用的熟练程度与代数变形能力.所以对于整个高三的数学复习教学，还是要以教材为主，对于一些重要例习题，使用一题多解、一题多变的方式进行串讲，培养求异思维，促进能力形成，强化重点题型、重要方法的理解与领悟，起到触类旁通的作用.最后，对一些解法相同或相近题型，采用多题一解的收敛方式串讲，侧重对通性通法进行归纳总结，真正达到举一反三、事半功倍的教学效果.4.2要让学生重视教材，力求做到真正的师生一起“回归教材”根据笔者近几年的高三教学经验发现，目前高三数学复习往往有个误区，教师很重视教材，学生倒不是很重视，而是沉溺于各种题海无法自拔，注重解题技巧而忽略了对教材上本源题型的研究，对数学学习急功近利，实则高考的试题就是来源于教材习题的改编，教材的编写也汇集了无数数学人的智慧，上面的例题，习题，蕴含着朴实无华的数学思想方法和最本源的数学解题技巧.所以在平时的教学中，要在学生面前强调教材对高三数学复习的重要性，重做教材上的经典题目，领悟其中的数学思想方法与解题技巧，使教材习题与课外习题产生“共鸣,,.参考文献[1]渠东剑.素养视角下的2019年高考数学江苏卷分析[J].中学数学教学参考，2019(9)：56-60(本文系镇江市“十三五”教育规划课题《镇江市高中数学老师数学素养的现状与调查》(课题编号：2017jy-128)阶段性研究成果之一)导数中隐零点问题的处理策略朱广智广东省东莞市第六高级中学(523420)在高考数学导数压轴题中，导函数的零点在解题过程中处于“咽喉”位置至关重要.研读近几年高考题，我们发现经常会碰到导函数具有零点但求解相对繁琐甚至无法求解的问题•此类问题我们称之为“隐零点问题”.面对这种问题，我们不必正面强求，可以将这个零点设而不求，然后谋求一种整体的转化和过渡，再结合其他条件，从而获得问题的解决方法．本文结合2018年高考导数压轴题，探究了这类问题的一般处理策略，并且把这种策略应用于往年高考题进行了有效验证．在本文最后对此类问题指出了相应的备考策略.1问题探究案例1(2018年高考全国皿卷•文21)已知函数f(x)_处节1•证明：当a>1时，f(x)+e>e x0．师生互动要证f(x)+e>0,即证ax2+x-1+ e x+1>0.设g(x)_ax2+x-1+e x+1(a>1),只要证[g(x)]mm>0即可.令g'(x)_2ax+1+e x+1_0,g'(x) _ 2ax+1+e x+1_0是一个超越方程，导函数g'(x)_ 2ax+e x+1的零点不可求，是一个隐零点.怎么处理导函数的零点不可求问题？处理此类隐零点问。
2019年高考考前押题密卷-理科数学(全解全析)
(3t 2)2 4(2t 1) 0
r2
(3t
2)r
2t
1,
r
[0,
)
，则
h(0) 2t h(1) t
1 0
0
0
3t
2
2
1
，得 1 t 4 ，故实数 t 的取值范围为
2
9
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( 1 , 4) . 29
17．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）当 n 1 时， 3a1 2a1 m 0 ，即 a1 m ；（1 分）
设平面
CEF
的法向量为
n
(
x,
y,
z)
，则
n
FC
0
，即
2x
y
3z 0 ，
n FE 0 x 2 y 0
4 令 y 1 ，可得 x 2 ， z 3 ，所以平面 CEF 的一个法向量为 n (2,1, 3) ，（10 分）
38 设直线 AD 与平面 CEF 所成的角为 ，
75 92 则 sin | cos<n, AD> |
（2）由题意可得，销售单价共有 5 个，其中使得月销售量不低于 10 万件的有 2 个，月销售量不低于 8
万件且不足 10 万件的有 1 个，月销售量低于 8 万件的有 2 个.
故 X 的可能取值只有 2，1.5，1， 0.5 ，0.
则 P( X 2) C22 1 ； P( X 1.5) C12C11 1 ； P( X 1) C12C12 2 ；
当n
2 时，3Sn
2an
m
0 ，3Sn1
2an1
m
0 ，两式相减，可得 3an
2019年高考名校考前提分仿真卷 理科数学(一)学生版含答案解析
绝密 ★ 启用前【最后十套】2019届高考冲刺押题仿真卷理 科 数 学（一）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．[2019·益阳期末]已知集合{}2log 2M x x =<，{}1,0,1,2N =-，则M N =（ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}1,1,2-C ．{}0,1,2D ．{}1,22．[2019·芜湖期末]设1i 2i 1i z +=+-，则z =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·咸阳模拟]设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，972S =，则10a =（ ） A ．20B ．23C ．24D ．284．[2019·永州二模]我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米中，谷约为（ ） A ．134石B ．169石C ．338石D ．454石5．[2019·河北名校联盟]“1m >”是“方程22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．[2019·安庆期末]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．19π6B ．17π6C ．23π6D ．10π37．[2019·浙江联考]函数()()2sin ππ1xf x x x =-≤≤+的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．8．[2019·芜湖期末]若01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则x ，y ，z 大小关系正确的 是（ ）A ．y x z <<B ．x y z <<C ．z x y <<D ．z y x <<9．[2019·佛山质检]执行如图所示程序框图，若输出的S 值为20-，在条件框内应填写（ ）A ．3?i >B ．4?i <C ．4?i >D ．5?i <10．[2019·广州毕业]已知抛物线2:8C y x =的焦点为F，直线)2y x =-与C 交于A ，B （A 在x 轴上方）两点，若AF mFB =，则实数m 的值为（ ）班级 姓名 准考证号 考场号 座位号AB ．3C ．2D ．3211．[2019·枣庄期末]某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P 与点Q 在正视图与侧视图上的对应点分别为A ，B ，则在该几何体表面上，从点P 到点Q 的路径中，最短路径的长度为（ ）ABC．D12．[2019·河南联考]设函数()()sin f x x ωϕ=+，()()(){}000,A x f x f x '==，()22,162x y B x y ⎧⎫⎪⎪=+≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若存在实数ϕ，使得集合A B 中恰好有5个元素，则()0ωω>的取值范围是（ ） A．⎫⎪⎪⎣⎭B．⎫⎪⎪⎣⎭ C．⎫⎪⎪⎣⎭D．⎫⎪⎪⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·泉州质检]已知向量()3,0=a，(2+=a b ，则a 与b 的夹角等于_________．14．[2019·天津七校联考]若二项式621x ⎫+⎪⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，则213d mx x =⎰______．15．[2019·金山中学]数列{}n a 且21,2πsin ,4n n n na n n ⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2018S =______．16．[2019·长郡中学]长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·天津期末]在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()2cos π3B -=，1c =，sin 6sin a B c A =．（1）求边a 的值； （2）求cos 23πB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18．（12分）[2019·韶关调研]如图，四棱锥中P ABCD -，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，PA PD AD ==，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）求证：AD PB ⊥；（2）求二面角A PC D --的余弦值．19．（12分）[2019·南通一模]“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望()Eξ．20．（12分）[2019·珠海期末]已知椭圆()2222:10x yE a ba b+=>>经过点12P⎛⎫⎪⎝⎭，且右焦点)2F．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线:2l y kx=+与椭圆E交于A，B两点，当AB最大时，求直线l的方程．21．（12分）[2019·枣庄期末]已知()()2e xf x ax a=-∈R．（1）求函数()f x'的极值；（2）设()()e xg x x f x=-，若()g x有两个零点，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·高安中学]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+=⎧⎨⎩，（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为()0π,θααρ=<<∈R ，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是 曲线3C 与2C 的交点，且A ，B 均异于极点O，且AB =a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·南昌二中]已知函数()241f x x x =-++． （1）解不等式()9f x ≤；（2）若对于任意()0,3x ∈，不等式()2f x x a <+恒成立，求实数a 的取值范围．绝密 ★ 启用前【最后十套】2019届高考冲刺押题仿真卷理科数学答案（一）一、选择题． 1．【答案】D【解析】由题知{}04M x x =<<，故{}1,2M N =．故选D ．2．【答案】B 【解析】()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2+++===--+，则3i z =，故3z =，故选B ． 3．【答案】D【解析】由于数列是等差数列，故41913493672a a d S a d =+==+=⎧⎨⎩，解得18a =-，4d =，故101983628a a d =+=-+=．故选D ． 4．【答案】B【解析】由题意可知：这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石，故选B ． 5．【答案】B【解析】22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线1050m m ->⎧⇔⎨-<⎩，解得15m <<，故选B ． 6．【答案】A【解析】由三视图可以看出，该几何体上半部是半个圆锥，下半部是一个圆柱，从而体积2211119ππ1π13236V =⨯⨯⨯+⨯⨯=⨯，故选A ．7．【答案】A 【解析】因为()()()()()22sin sin ππ11x xf x f x x x x --==-=--≤≤+-+，可得()f x 是奇函数．排除C ； 当π3x =时，0π3f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，点在x 轴的上方，排除D ； 当3πx =-时，π103f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，排除B ；故选A ．8．【答案】B【解析】取特殊值，令14a =，12b =，则121142b x a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，141122a y b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，121log log 24b z a ===，则1411222⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即x y z <<，可排除A 、C 、D 选项，故答案为B ． 9．【答案】D【解析】模拟执行程序，可得：1i =，10S =，满足判断框内的条件，第1次执行循环体，11028S =-=，2i =， 满足判断框内的条件，第2次执行循环体，2824S =-=，3i =， 满足判断框内的条件，第3次执行循环体，3424S =-=-，4i =， 满足判断框内的条件，第4次执行循环体，44220S =--=-，5i =， 此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S 值为20-， 则条件框内应填写5?i <，故选D ． 10．【答案】B【解析】设A 、B 在l 上的射影分别是1A 、1B ，过B 作1BM AA ⊥于M ．由抛物线的定义可得出Rt ABM △中，得60BAE ∠=︒，1111cos6012AA BB AM AF BF m AB AF BF AF BF m ---︒=====+++，解得3m =，故选B ． 11．【答案】C【解析】由题，几何体如图所示（1）前面和右面组成一面此时PQ ==． （2）前面和上面在一个平面此时PQ ==，C ． 12．【答案】A【解析】()()sin f x x ωϕ=+的最大值或最小值，一定在直线1y =±上，又在集合B 中． 当1y =±时，22162x y +≤，得x ≤≤23T T ⎧≤⎪∴⎨>⎪⎩，2π22π3ωω⎧⋅≤⎪⎪∴⎨⎪⋅>⎪⎩，ω≤<，故选A ．二、填空题． 13．【答案】120︒【解析】已知向量()3,0=a，(2+=a b ，令(=c ，则()()(111022=-=-=-b c a ， 设向量a 、b 的夹角是θ，于是31031cos 62θ⨯-+⋅-====-a ba b，故120θ=︒． 14．【答案】124【解析】由题意，二项展开式的通项为6621231661C C rrrr rr r T x x x ---+⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由1230r -=，得4r =，所以246C 5m =⋅=⎝⎭，则52235331113d 3d |51124m x x x x x ===-=⎰⎰．15．【答案】30282019【解析】数列{}n a 且21,2πsin ,4n n n na n n ⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，①当n 为奇数时，21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭； ②当n 为偶数时，πsin4n n a =， 所以()()201813520172462018S a a a a a a a a =+++++++++，()1111111009302811010123352017201920192019⎛⎫=-+-++-++-++=+=⎪⎝⎭． 故答案为30282019． 16．【答案】小学中级【解析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a ，b ，c ，d ， 则13a b c d +++=，1d ≥，c d a b +≤+，b c <，a b <， 所以()13a b a b -+≤+，7a b ∴+≥，6c d +≤，若7a b +=，则6c d +=，a b <，3a ∴=，4b =，5c =，1d =，若8a b +≥，则5c d +≤，1d ≥，4c ∴≤，b c <，3b ∴≤，5a b ≥>，矛盾， 队长为小学中级时，去掉队长则2a =，4b =，5c =，1d =， 满足11d =≥，64c d a b +=≤+=，45b c =<=，24a b =<=；队长为小学高级时，去掉队长则3a =，3b =，5c =，1d =，不满足a b <； 队长为中学中级时，去掉队长则3a =，4b =，4c =，1d =，不满足b c <； 队长为中学高级时，去掉队长则3a =，3b =，5c =，0d =，不满足1d ≥；综上可得队长为小学中级．三、解答题．17．【答案】（1）53；（24151-．【解析】（1）由()2cos π3B -=，得2cos 3B =-，因为1c =，由sin 6sin a B c A =，得ab=，∴b =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得234150a a +-=，解得53a =或3a =-（舍），∴53a =．（2）由2cos 3B =-，得sin Bsin2B =，1cos29B =-，∴cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππB B B ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭．18．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明：取AD 中点O 连结PO ，BO ，PA PD =，PO AD ∴⊥．又四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，故ABD △是正三角形， 又点O 是AD 的中点，BO AD ∴⊥． 又POBO O =，PO 、BO ⊂平面BOP ，AD ∴⊥平面BOP ，又PB ⊂平面BOP ，AD PB ∴⊥．（2）PA PD =，点O 是AD 的中点，PO AD ∴⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，又AO ，BO ⊂平面ABCD ，PO AO ∴⊥，PO BO ⊥．又AO BO ⊥， 所以OA ，OB ，OP 两两垂直．以O 为原点，分别以OA ，OB ，OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -． 设2AB =，则各点的坐标分别为()1,0,0A，()B，()C -，()1,0,0D -，()0,0,1P ．故()AC =-，()1,0,1AP =-，()1PC =--，()1,0,1PD =--， 设()1111,,x y z =n ，()2222,,x y z =n 分别为平面PAC ，平面PCD 的一个法向量，由110AC AP ⎧⋅⎪⎨⋅==⎪⎩n n ，可得11113300x y x z -+⎧=-+=⎪⎨⎪⎩，令11z =，则11x =，1y =()11=n ．由220PC PD ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=n n ，可得222222300x y z x z --=--=⎧⎪⎨⎪⎩，令21z =，则21x =-，2y =，故231,⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭n ． ()1233,11,cos ,1131113⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⎝⎭==++⋅++n n ． 又由图易知二面角A PC D --是锐二面角，所以二面角A PC D --． 19．【答案】（1）29；（2）随机变量ξ的概率分布为随机变量ξ的数学期望为()79E ξ=． 【解析】（1）记“X 是‘回文数’”为事件A ．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308， 352，396．其中“回文数”有44，88．所以，事件A 的概率()29P A =． （2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得()29P A =． 设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立． 根据已知条件得，()29C 2059P B ==． ()()()25280119981P P A P B ξ⎛⎫⎛⎫===--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()()()()()252543111999981P P A P B P A P B ξ⎛⎫⎛⎫==+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()()251029981P P A P B ξ===⋅=．所以，随机变量ξ的概率分布为所以，随机变量ξ的数学期望为()28431070128181819E ξ=⨯+⨯+⨯=．20．【答案】（1）2214x y +=；（2）y =【解析】（1）设椭圆E 的左焦点()1F ，则12242a PF PF a =+=⇒=，又2221c b a c ==-=，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）由()2222144044y kx k x x y ⎧⎪⎨⎪=+⇒+++=+=⎩，设()11,Ax y ，()22,B x y ，由()2221128161404Δk k k =-+>⇒>，且12x x +=，122414x x k =+， AB =设2114t k =+，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，AB=，当112t =，即k =AB :l y =+21．【答案】（1）0a ≤时，()f x '没有极值，0a >时，()f x '有极小值22ln2a a a -； （2）()0,+∞．【解析】（1）()e 2x f x ax ='-，()e 2x f x a '-'=．①若0a ≤，显然()0f x ''>，所以()f x '在R 上递增，所以()f x '没有极值． ②若0a >，则()0ln2f x x a <⇔<''，()0ln2f x x a >⇔>''， 所以()f x '在(),ln2a -∞上是减函数，在()ln2,a +∞上是增函数． 所以()f x '在ln2x a =处取极小值，极小值为()()ln221ln2f a a a =-'． （2）()()()2e 1e x x g x x f x x ax =-=-+．函数()g x 的定义域为R ， 且()()2e e 2x x g x x ax x a ='=++．①若0a >，则()00g x x <'⇔<；()00g x x >'⇔>．所以()g x 在(),0-∞上是减函数， 在()0,+∞上是增函数．所以()()min 01g x g ==-．令()()1e x h x x =-，则()e x h x x '=．显然()00h xx <'⇔<，所以()()1e x h x x =-在(),0-∞上是减函数． 又函数2y ax =在(),0-∞上是减函数，取实数0<，则()20110g h a a a ⎛⎛>+⋅=-+= ⎝⎝． 又()010g =-<，()10g a =>，()g x 在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上是增函数． 由零点存在性定理，()g x 在a ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1上各有一个唯一的零点．所以0a >符合题意．②若0a =，则()()1e x g x x =-，显然()g x 仅有一个零点1．所以0a =不符合题意．③若0a <，则()()ln 2e e ax g x x -'⎡⎤=-⎣⎦．（i ）若()ln 20a -=，则12a =-．此时()0g x '≥，即()g x 在R 上递增，至多只有一个零点，所以12a =-不符合题意．（ii ）若()ln 20a -<，则102a -<<，函数()g x 在()(),ln 2a -∞-上是增函数，在()()ln 2,0a -上是减函数，在()0,+∞上是增函数，所以()g x 在()ln 2x a =-处取得极大值，且极大值()()(){}2ln 2ln 2110g a a a -=--+<⎡⎤⎣⎦，所以()g x 最多有一个零点，所以102a -<<不符合题意．（iii ）若()ln 20a ->，则12a <-，函数()g x 在(),0-∞和()()ln 2,a -+∞上递增，在()()0,ln 2a -上递减，所以()g x 在0x =处取得极大值，且极大值为()010g =-<，所以()g x 最多有一个零点，所以12a <-不符合题意．综上所述，a 的取值范围是()0,+∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）()221:24C x y -+=，()222:24C x y +-=；（2）7π12α=或11π12．【解析】（1）()221:24C x y -+=，()222:24C x y +-=．（2）1:4cos C ρθ=，联立极坐标方程θα=，得4cos A ρα=，4sin B ρα=， 42sin 2π64A B ρρα⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭sin 4πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭0πα<<，∴7π12α=或11π12．23．【答案】（1）[]2,4-；（2）5a ≥．【解析】（1）()9f x ≤，可化为2419x x -++≤，即2339x x >-≤⎧⎨⎩或1259x x -≤≤-≤⎧⎨⎩或1339x x <--+≤⎧⎨⎩，解得24x <≤或12x -≤≤或21x -≤<-；不等式的解集为[]2,4-． （2）2412x x x a -++<+在()0,3x ∈恒成立，52412124133ax x x a x a x x a x a -⇒-++<+⇒--+<-<+-⇒<<+， 由题意得，()50,3,33a a -⎛⎫⊆+ ⎪⎝⎭，所以5005335a a a a a -≤≥⎧⇒⇒≥⎨+≥≥⎩⎧⎨⎩．。
(完整)2019-2020年高考数学小题高分突破13函数的图像与性质
2019-2020年高考数学小题高分突破13函数的图像与性质1 11 .已知实数x, y满足2 x< 2 y，则下列关系式中恒成立的是（）A . tan x>tan y B. ln(x2 + 2)>ln (y2+ 1)J 1 c.—>x y D. x3>y3答案D1 1解析 2 x< 2 y ? x>y,对于A，当x= 3n, y=—竽寸，满足x>y,但tan x>tan y不成立.4 4对于B，若ln(x2+ 2)>ln(y2+ 1)，则等价于x2+ 1>y2成立，当x= 1, y= —2 时，满足x>y, 但x2 + 1>y2不成立.1 1对于C,当x= 3, y = 2时，满足x>y,但対不成立.对于D，当x>y时，x3>y3恒成立.x2—x, x>0,2 .已知函数f(x)= 是奇函数，则g(f( —2))的值为()g x , x<0A. 0B.—1C. —2D. —4答案Cx2—x, x>0,解析•••函数f(x)= 是奇函数，g x , x<0••• f( —2) = —f(2) = —(4 —2) = —2,g(f( —2)) = g(—2) = f(—2) =—2.e x+ 13 .函数f(x)= x —1 (其中e为自然对数的底数)的图象大致为()x e 1答案Ax+ 1解析f(-Xpx-e x+ 1 e x+ 1-x 1 - e x =xe X- 1 = f(X)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称,又当X T 0时，f(x)i + g，故选A.54 .已知f(x)为定义在R上周期为2的奇函数，当一K x<0时，f(x)= x(ax+ 1),若=- 1, 则a等于( )14A. 6B. 4C.- 25 D . - 6答案A解析因为f(x)是周期为2的奇函数，5 1 1所以fq = f 2 =_ f -21 1 =——2 —2a +1 = —1,解得a= 6.1 —x+ 1|, x<1 ,5.已知函数f(x)=则函数g(x) = 2|x|f(x) —2的零点个数为() ')x2—4x+ 2, x> 1,A. 1B. 2C. 3D. 4答案B1 —|x+ 1|, x<1,解析画出函数f(x)=- 的图象如图，x2—4x+ 2, x> 12 1 —X +1|, x<1 , 2 由g(x)= 2|X f(x)—2= 0可得f(x)=弼，则问题化为函数f(x) = 2 4x+ 2 x> 1与函数丫 =列=21—|x|的图象的交点的个数问题•结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，故选 B.x—a 2—1, x< 1,6 .设函数f(x) = 若f(x) >f(1)恒成立，则实数a的取值范围为()In x, x>1,A • [1,2]B • [0,2]C. [1 ,+s )D.[2,+s )答案Ax—a 2—1, x w 1,解析T f(x) =ln x, x>1 ,若f(x) > f(1)恒成立，则f(1)是f(x)的最小值,由二次函数性质可得对称轴 a > 1,由分段函数性质得(1 — a )2— 1 < in 1，得O w a w 2, 综上，可得1 w a w 2,故选A. 7.已知定义在 R 上的函数f(x)在[1 ,+^ )上单调递减，且f(x + 1)是偶函数，不等式f(m + 2)>f(x —1)对任意的x € [— 1, 0]恒成立，则实数 m 的取值范围是( )A. ( —m ，— 4] U [2,+s )B.[ — 4, 2]C. ( —m ，— 3] U [1 ,+s )D. [ - 3, 1] 答案 D解析因为f(x + 1)是偶函数， 所以 f(— x + 1) = f(x + 1),则函数f(x)的图象关于直线 x = 1对称，由f(m + 2)》f(x — 1)对任意x € [ —1,0]恒成立，得|(m + 2) — 1|w |(x — 1)— 1|对任意 x € [ — 1,0]恒成立， 所以|m + 1|w 2，解得—3w m W 1•故选D.18. ----------------------------------------------- 已知函数f(x)满足f(x) + 1 = f ,当x € [0, 1]时,f(x)= x ,若在区间(一1, 1]上方程f(x)f x ~H 1一 m x --m = 0有两个不同的实根，则实数 m 的取值范围是()1 1A . 0,2 B. 2, + 811C . 0, 1D 0, 2答案 D解析 当 x € (— 1,0]时，x + 1€ (0,1],在同一坐标系内画出 y = f(x), y = mx + m 的图象如图,f(x)= fx + 1 — 11 x + 1X x + 1,动直线y= mx+ m过定点(—1,0),1当过点(1,1)时，斜率m=-,1由图象可知，当0<m w 2时，两图象有两个不同的交点，从而g(x)= f(x)—mx —m有两个不同的零点.9. 定义：如果函数f(x)的导函数为f' (x),在区间［a, b］上存在X1, x2(a<X1<x2<b),使得=f b—f a, f' (X2)=f b—f a，则称f(x)为区间［a, b］上的“双中值函数”.已知函数b—a b—a=3x3—mx2是［0,2］上的“双中值函数”，则实数m的取值范围是()3 2m 4 8B. 3, 3答案B1 m解析由题意可知，g(x)= ~x3—^x2,••• g ' (x)= x2—mx在区间［0,2］上存在x〔, x2(0<X1<X2<2),g 2 —g 0 4满足g (X1)= g' (x2) = 2 —0 = 3—m,4 (X1) g(x)4 83，34C. 4 -pm•••方程x2—mx+ m —- = 0在区间(0,2)上有两个不相等的解,3△= m2— 4 m—>0,m0<2<2，则4m—3>°，44—2m + m —§>0, 解得4<m<8,则实数m的取值范围是3, 8 .10. 已知函数y= f(x)为R上的偶函数，且满足f(x+ 2) = —f(x)，当x€ [0, 1)时，f(x)= 1—x2.给出下列四个命题：p i: f(1) = 0;xp2：2是函数y= f 2的一个周期；p a：函数y= f(x—1)在(1,2)上单调递增；1 1p4：函数y= f(2x—1)的增区间为2k—2，2k + °, k€ Z.其中真命题为()A . p1, p2B . p2, p3C . p1, p4D . p2 , p4答案C解析f(x+ 2) = —f(x)中，令x=—1可得f(1) = —f( —1) = —f(1),据此可得f(1) = 0,命题P1正确；由题意可知f(x+ 4) = —f(x+ 2) = f(x),则函数f(x)的周期为T = 4,则函数y= f 2的一个周期为8,命题P2错误；由f(x+ 2) = —f(x)可知，函数f(x)关于点(1,0)中心对称，绘制函数图象如图所示.将函数图象向右平移一个单位可得函数y= f(x—1)的图象，则函数y= f(x—1)在(1,2)上单调递减，命题P3错误；P4：函数y= f(2x—1)的增区间满足：4k—2< 2x—1 <4k(k€ Z),求解不等式组可得增区间为2k— 2 2k+1 , k€ Z ,命题P4正确. 综上可得真命题为P1, p4.111. 若y= 8x—log a x2(a>0且a M 1)在区间0, 3上无零点，则实数a的取值范围是()1A . (1 ,+s ) B. 0, 3 U (1 , )1C. 3，1 U (1,+^ ) D . (0,1) U (4 ,+^ )答案C解析令y= 8x—log a x2= 0,则8x= log a x2,设f(x) = 8x, g(x)= log a x2,1于是要使函数y= 8x—log a x2(a>0且a M 1)在区间0,才上没有零点，1只需函数f(x)与g(x)的图象在区间0, 1上没有交点，3当a>1时，显然成立；当0<a<1时，f(x)= 8x单调递增，一 1 1 1且f 3 =83= 2,此时，要使函数f(x)与g(x)的图象在区间0,-上没有交点，1 1 1则需g 3 = log a9>f 3 = 2 ,1 即 log a §>2 = log a a 2,1 1于是a 2>9，解得3<a<1,1故实数a 的取值范围是a>1或-<a<1，故选C.3—x 2 + 4x , 2< X W 3,12. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x + 2) = 2f(x),且当 x € [2,4]时，f(x)= x 2 + 2,3<x < 4, xg(x) = ax + 1，对？ X 1€ [ — 2,0], ? X 2€ [ — 2,1]，使得 g(X 2)= f(x”，则实数 a 的取值范围为( )1 1A . ——OO —8 u 8, + O11 B . —4 0 u 0, 8C.(0,8]11D ———u+48—x — 2 2+ 4, 2W x W 3, 集.当x € ［2,4］时，f(x)=2由二次函数及对勾函数的图象及性质,x + 一，3<x < 4,x9 1 1得 f(x)€ 3, ，由 f (x + 2) = 2f(x)，可得 f(x)= 2f(x + 2) = ]f(x + 4)，当 x € [ — 2, 0]时，x + 3 94 € [2,4].贝U f(x)在[ — 2,0]上的值域为 R 8 .3—2a + 1W 3,4当 a>0 时，g(x) € [ — 2a + 1, a +1]，则有9a+ 1》8’3a+ 2 W 4, 不符合题意；当 a<0时，g(x)€ [a + 1,— 2a + 1]，则有2 1综上所述，可得a 的取值范围为 —8,—才u 孑‘+^ .13. __________________________________________________________ 函数f(x) = a x 2 015 + 2 017(a>0且a * 1)所过的定点坐标为 __________________________________ 答案(2 015,2 018) 解析当x = 2 015时, f(2 015) = a 2 015— 2 015+ 2 017 = a 0+ 2 017 = 2 018 ,答案 D解析由题意知问题等价于函数f(x)在［—2,0］上的值域是函数 g(x)在［—2,1］上的值域的子1解得a 》；；当a = 0时，g(x) = 1,89—2a + 1> 9,8••• f(x) = a x x2015+ 2 017(a>0 且1)过定点(2 015, 2 018).14. 已知函数f(x) = (x+ 2 012)(x+ 2 014)(x + 2 016)(x+ 2 018), x€ R，则函数f(x)的最小值是答案 -16解析设t= x+ 2 015, t€ R ,则f(x) = (x+ 2 012)(x+ 2 014)(x+ 2 016)(x+ 2 018), x€ R，化为g(t)= (t- 3)(t- 1)(t + 1)(t + 3) =(t2-1)(t2- 9) = t4- 10t2+ 9=(t2-5)2- 16,当t2= 5 时，g(t)有最小值—16,即当x=- 2 015 土. 5时，函数f(x)的最小值是一16.15. 若函数f(x)对定义域内的任意X1, X2，当f(X1)= f(X2)时，总有X1= X2,则称函数f(x)为单纯函数，例如函数f(x)= X是单纯函数，但函数f(x)= X2不是单纯函数，下列命题：IOg2X, x> 2 ,①函数f(x)= y是单纯函数；x- 1, x<2x2+ ax + 1②当a>-2时，函数f(x)= - 在(0,+^ )上是单纯函数；X③若函数f(x)为其定义域内的单纯函数，X1M X2,则f(X1)工f(X2)；④若函数f(x)是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在X0使其导数f (X0)=0，其中正确的命题为 ___________ .(填上所有正确命题的序号)答案①③解析由题设中提供的“单纯函数”的定义可知，当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数.因为当x>2时，f(x) = Iog2X单调，当x<2时，f(x) = x- 1单调，结合f(x)的图象可知f(x)是单纯函数，故命题①正确；对于命题②，f(x)= x+ - + a,由f(2) = f 1但2丰J可知f(x)不是x 2 2单纯函数，故命题②错误；此命题是单纯函数定义的逆否命题，故当X1工X2时，f(X1)工f(X2), 即命题③正确；对于命题④，例如，f(x)= X是单纯函数且在其定义域内可导，但在定义域内不存在X0,使f'(X0)= 0,故④错误，答案为①③.X2-X+ 5, X>0,16. 已知函数f(x) = x3-3x2+ 1, g(x)= 4若方程g[f(x)] - a = 0(a>0)有6—x2—6x- 8, x< 0,个实数根(互不相同)，则实数a的取值范围是__________ .答案1, 5解析作出函数f(x)和g(t)的图象如图.由g[f(x)]— a = 0(a>0)，得g[f(x)] = a(a>0).设t = f(x)，贝U g(t) = a(a>0).由y= g(t)的图象知，①当0<a<1时，方程g(t)= a有两个根，一4<t i< —3,—3<t2< —2,由t= f(x)的图象知，当一4<t i< —3 时,t= f(x)有1 个根，当—3<t2< —2 时,t = f(x)有3 个根，此时方程g[f(x)] —a = 0(a>0) 有4个根，1②当a= 1时，方程g(t) = a有两个根，t i = —3, t2 = ?，由t = f(x)的图象知，当t i = —3时，t =f(x)有2个根，当t2 = 1时，t= f(x)有3个根，此时方程g[f(x)] — a = 0(a>0)有5个根；5 1 1 1③当1<a<4时，方程g(t) = a有两个根，。
2019年高考数学最新密破仿真重点卷13(学生测试版)-第13周测试
2019年高考数学最新密破仿真重点卷13（学生测试版）-第13周测试注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
本试卷分第一卷和第二卷两部分，共4页，总分值150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.本卷须知1.答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.2.第一卷每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案不能答在试卷上。
3.第二卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：柱体的体积公式：v sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长. 球的体积公式V=34R 3π, 其中R 是球的半径. 球的表面积公式：S=4πR 2,其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆ,ni ii n ii x y nx ybay bx xnx==-⋅==--∑∑. 如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第1卷〔共60分〕【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
2019年高考数学名校联考模拟冲刺试卷及答案解析
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|3x 2－13x －10＜0}和N ＝{x|x ＝2k ，k ∈Z }的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷个 2．34i 34i12i 12i+--=-+（ ） A ．－4 B ．4 C ．－4i D ．4i3．如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）A ．2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高C ．从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长4．设x ，y 满足约束条件60330x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≥，则11x y z x ++=+的取值范围是A ．（－∞，－8]∪[1，＋∞）B ．（－∞，－10]∪[－1，＋∞）C ．[－8，1]D ．[－10，－1]5．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（ ） A ．4643π-B ．64－4πC ．64－6πD ．64－8π6．有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是（ ） A ．i ＜6 B ．i ＜7 C ．i ＜8 D ．i ＜97．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．2B ．12C ．13D ．148．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，g （x ）＝f （x ）－x ，且当x ∈（－∞，0]时，g （x ）单调递增，则不等式f （2x －1）－f （x ＋2）≥x －3的解集为（ ）A ．（3，＋∞）B ．[3，＋∞）C ．（－∞，3]D ．（－∞，3） 9．函数f （x ）＝ln|x|＋x 2－x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为（ ）A ．532B ．516C ．1132D ．111611．已知函数f （x ）＝3sin （ωx ＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），()03f π-=，对任意x ∈R 恒有()|()|3f x f π≤，且在区间（15π，5π）上有且只有一个x 1使f （x 1）＝3，则ω的最大值为（ ） A ．574B ．1114C ．1054D ．117412．设函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上是单调函数，且(0,)x ∀∈+∞，f[f （x ）－e x ＋x]＝e ．若不等式f （x ）＋f ′（x ）≥ax 对x ∈（0，＋∞）恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．（－∞，e －2] B ．（－∞，e －1] C ．（－∞，2e －3] D ．（－∞，2e －1]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上． 13．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则|2|________|3|+=-a b a b ． 14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的高为6，AB ＝4，点D 为棱BB 1的中点，则四棱锥C —A 1ABD 的表面积是________．15．在（x 2－2x －3）4的展开式中，含x 6的项的系数是________．16．已知双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），圆M ：222()4b x a y -+=．若双曲线C 的一条渐近线与圆M 相切，则当22224149a a ab -+取得最大值时，C 的实轴长为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题．17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且S n ＝na n ＋1－n 2－n ． （1）求{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足22121(1)n n n b n a ++=-，求{b n }的前n 项和T n ． 18．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知22()23sin a c b ab C +=+．（1）求B 的大小；（2）若b ＝8，a ＞c ，且△ABC 的面积为33，求a ．19．如图所示，在四棱锥S —ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AD ＝AS ＝2，AB ＝1，CD ＝3，且CE CS λ=．（1）若23λ=，证明：BE ⊥CD ；（2）若13λ=，求直线BE 与平面SBD 所成角的正弦值．20．在直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝1外切，且圆P 与直线x ＝－1相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）设过定点S （－2，0）的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试问：在曲线C 上是否存在点M （与A ，B 两点相异），当直线MA ，MB 的斜率存在时，直线MA ，MB 的斜率之和为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝e x ＋ax 2，g （x ）＝x ＋blnx ．若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与曲线y ＝g （x ）在点（1，g （1））处的切线相交于点（0，1）． （1）求a ，b 的值；（2）求函数g （x ）的最小值；（3）证明：当x ＞0时，f （x ）＋xg （x ）≥（e －1）x ＋1． （二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程] 已知直线l的参数方程为,x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48，其左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|FA|＋|FB|的值； （2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值． 23．[选修4—5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝|x ＋2|－|ax －2|．（1）当a ＝2时，求不等式f （x ）≥2x ＋1的解集；（2）若不等式f （x ）＞x －2对x ∈（0，2）恒成立，求a 的取值范围．答案1．C2．D 3．D 4．A 5．B6．B 7．C 8．B 9．C 10．B 11．C 12．D 13．114．3615．12 1617．解：（1）由条件知S n ＝na n ＋1－n 2－n ，① 当n ＝1时，a 2－a 1＝2；当n ≥2时，S n －1＝（n －1）a n －（n －1）2－（n －1），② ①－②得a n ＝na n ＋1－（n －1）a n －2n ，整理得a n ＋1－a n ＝2． 综上可知，数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列，从而得a n ＝2n ＋1．（2）由（1）得222221111[](22)4(1)n n b n n n n +==-++，所以22222221111111111[(1)()()][1]4223(1)4(1)44(1)n T n n n n =-+-++-=-=-+++. 18．解：（1）由22()23sin a c b ab C +=+得222223sin a c ac b ab C ++=+， 所以222223sin a c b ac ab C +-+=，即2(cos 1)23sin ac B ab C +=， 所以有sin (cos 1)3sin sin C B B C +=，因为C ∈（0，π），所以sinC ＞0，所以cos 13sin B B +=，即3sin cos 2sin()16B B B π-=-=，所以1sin()62B π-=．又0＜B ＜π，所以666B ππ5π-<-<，所以66B ππ-=，即3B π=．（2）因为113sin 3322ac B ac =⋅=，所以ac ＝12． 又b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝（a ＋c ）2－3ac ＝（a ＋c ）2－36＝64， 所以a ＋c ＝10，把c ＝10－a 代入到ac ＝12（a ＞c ）中，得513a =+． 19．（1）证明：因为23λ=，所以23CE CS =，在线段CD 上取一点F 使23CF CD =，连接EF ，BF ，则EF ∥SD 且DF ＝1． 因为AB ＝1，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°， 所以四边形ABFD 为矩形，所以CD ⊥BF ． 又SA ⊥平面ABCD ，∠ADC ＝90°， 所以SA ⊥CD ，AD ⊥CD ．因为AD ∩SA ＝A ，所以CD ⊥平面SAD ． 所以CD ⊥SD ，从而CD ⊥EF ．因为BF ∩EF ＝F ，所以CD ⊥平面BEF ． 又BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥BE ．（2）解：以A 为原点，AD 的正方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系A —xyz ，则A （0，0，0），B （0，1，0），D （2，0，0），S （0，0，2），C （2，3，0），所以142(,1,)333BE BC CE BC CS =+=+=，(0,1,2)SB =-，(2,0,2)SD =-．设n ＝（x ，y ，z ）为平面SBD 的法向量，则0SB SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，所以200y z x z -=⎧⎨-=⎩，令z ＝1，得n ＝（1，2，1）．设直线BE 与平面SBD 所成的角为θ，则||sin |cos ,|29||||BE BE BE θ⋅===n n n ．20．解：（1）设P （x ，y ），圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝11r =+① 又动圆P 与直线x ＝－1相切，所以r ＝x ＋1②由①②消去r 得y 2＝8x ，所以曲线C 的轨迹方程为y 2＝8x ． （2）假设存在曲线C 上的点M 满足题设条件，不妨设M （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2008y x =，2118y x =，2228y x =，1010108MA y y k x x y y -==-+，2020208MB y y k x x y y -==-+， 所以120210200120128(2)88()MA MB y y y k k y y y y y y y y y y +++=+=+++++，③ 显然动直线l 的斜率存在且非零，设l ：x ＝ty －2，联立方程组282y xx ty ⎧=⎨=-⎩，消去x 得y 2－8ty ＋16＝0，由Δ＞0得t ＞1或t ＜－1，所以y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝16，且y 1≠y 2，代入③式得02008(82)816MA MB t y k k y ty ++=++，令02008(82)816t y m y ty +=++（m 为常数）， 整理得2000(864)(1616)0my t my y m -+-+=，④因为④式对任意t ∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立，所以0200864016160my my y m -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以024m y =⎧⎨=⎩或024m y =-⎧⎨=-⎩，即M （2，4）或M （2，－4） 即存在曲线C 上的点M （2，4）或M （2，－4）满足题意． 21．（1）解：因为f ′（x ）＝e x ＋2ax ， 所以f ′（1）＝e ＋2a ，切点为（1，e ＋a ）， 所以切线方程为y ＝（e ＋2a ）（x －1）＋（e ＋a ）， 因为该切线过点（0，1），所以a ＝－1．又()1b g x x'=+，g ′（1）＝1＋b ，切点为（1，1），所以切线方程为y ＝（1＋b ）（x －1）＋1，同理可得b ＝－1． （2）解：由（1）知，g （x ）＝x －lnx ，11()1x g x xx-'=-=， 所以当0＜x ＜1时，g ′（x ）＜0；当x ＞1时，g ′（x ）＞0， 所以当x ＝1时，g （x ）取极小值，同时也是最小值， 即g （x ）min ＝g （1）＝1．（3）证明：由（1）知，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y ＝（e －2）x ＋1．下面证明：当x ＞0时，f （x ）≥（e －2）x ＋1．设h （x ）＝f （x ）－（e －2）x －1，则h ′（x ）＝e x －2x －（e －2），再设k （x ）＝h ′（x ），则k ′（x ）＝e x －2，所以h ′（x ）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，＋∞）上单调递增．又因为h ′（0）＝3－e ，h ′（1）＝0，0＜＜ln2＜1，所以h ′（ln2）＜0，所以存在x 0∈（0，1），使得h ′（x 0）＝0，所以，当x ∈（0，x 0）∪（1，＋∞）时，h ′（x ）＞0；当x ∈（x 0，1）时，h ′（x ）＜0．故h （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增．又因为h （0）＝h （1）＝0，所以h （x ）＝f （x ）－（e －2）x －1≥0，当且仅当x ＝1时取等号，所以e x －（e －2）x －1≥x 2．由于x ＞0，所以e (e 2)1x x x x---≥． 又由（2）知，x －lnx ≥1，当且仅当x ＝1时取等号，所以，e (e 2)11ln x x x x x---+≥≥， 所以e x －（e －2）x －1≥x （1＋lnx ），即e x －x 2＋x （x －lnx ）≥（e －1）x ＋1，即f （x ）＋xg （x ）≥（e －1）x ＋1． 22．解：（1）将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48，得x 2＋3y 2＝48，即2214816x y +=，因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0）， 又因为F 在直线l上，所以m =- 把直线l的参数方程x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48，化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12||||||FA FB t t +=-==（2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M的坐标为（θ，4sin θ）（02θπ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当4θπ=时，面积S取得最大值23．解：（1）当a ＝2时，4,2()|2||22|3,214,1x x f x x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+⎩≤≥，当x ≤－2时，由x －4≥2x ＋1，解得x ≤－5；当－2＜x ＜1时，由3x ≥2x ＋1，解得x ∈∅；当x ≥1时，由－x ＋4≥2x ＋1，解得x ＝1．综上可得，原不等式的解集为{x|x ≤－5或x ＝1}．（2）因为x ∈（0，2），所以f （x ）＞x －2等价于|ax －2|＜4， 即等价于26a x x-<<， 所以由题设得26a x x -<<在x ∈（0，2）上恒成立，又由x ∈（0，2），可知21x -<-，63x >，所以－1≤a ≤3，即a 的取值范围为[－1，3]．线上售卖店铺：天猫·天星教育旗舰店当当·天星教育旗舰店京东·天星教育旗舰店河南天星教育传媒，一家致力于教育图书出版及提供教育信息服务的文化教育机构，自1998年成立以来，已发展成为河南民营书业的旗舰品牌。
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2019高考训练优秀试卷13
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x 2＋2x <0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－1,0) B ．(0,2) C ．(－2,0) D ．(－2,2)
2．已知复数z ＝m 2
－3m ＋mi (m ∈R )为纯虚数，则m ＝( ) A ．0 B ．3
C ．0或3
D ．4
3．设命题p ：x ∈(0，＋∞)，ln x ≤x －1，则
p 是( ) A ．p ：x ∈(0，＋∞)，ln x >x －1 B ．p ：x ∈(－∞，0]，ln x >x －1 C ．p ：x 0∈(0，＋∞)，ln x 0>x 0－1 D ．p ：
x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≤x 0－1
4．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋2b |＝( ) A ．3 2 B ．3
C ．2 2
D ．5
5．已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( ) A ．4 B ．10
C ．16
D ．32
6．已知动点M (x ，y )满足线性条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，
5x ＋y －8≤0，定点N (3，1)，则直线MN 斜率的最大值为( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
7．已知椭圆x 24＋y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，
过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( ) A ．43
B ．1
C ．45
D ．34
8．已知函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(0<φ<π)，若将函数f (x )的图象向右平移π
6个单位后关于y 轴对称，则下列结
论中不正确的是( ) A ．φ＝5π
6
B ．
π
12
，0是f (x )图象的一个对称中心 C ．f (φ)＝－2
D ．x ＝－π
6是f (x )图象的一条对称轴
9．若向区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤1,0≤y ≤1}内投点，则该点落在由直线y ＝x 与曲线y ＝x 围成区域内的概率为( )
A ．18
B ．16
C ．13
D ．12
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为( ) A ．2
B ． 5
C ．2 2
D ．3
11．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分
别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．5
3，2
B ．1，5
3
C ．(1,2]
D ．5
3
，＋∞
12．若关于x 的方程(ln x －ax )ln x ＝x 2
存在三个不等实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．－∞，1
e －e
B ．1e 2－1e ，0
C ．－∞，1e 2－1
e
D ．1
e
－e ，0
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．x －2
x 5的展开式中含x 项的系数为____．
14．更相减损术是出自《九章算术》的一种算法．如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入a ＝91，b ＝39，则输出的值为____．
15．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球，它们的底面边长为a ，球的半径为R ，设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α，β，则tan (α＋β)＝____．
16．在数列{a n }中，a 1＝0，且对任意k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等差数列，其公差为2k ，则a n ＝____．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝b 2sin A ． (1)求c
b
的值；
(2)设内角A 的平分线AD 交BC 于D ，AD ＝23
3
，a ＝3，求b ．
18．(本小题满分12分)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400)(单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图所示．
(1)现按分层抽样从质量为[250,300)，[300,350)的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量X 表示质量在[300,350)内的芒果个数，求X 的分布列及数学期望；
(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：
A ：所有芒果以10元/千克收购；
B ：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购．
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
19．(本小题满分12分)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AD ＝2BC ＝2CD ＝4，AA 1＝23．
(1)证明：AD 1⊥B 1D ；
(2)设E 是线段A 1B 1上的动点，是否存在这样的点E ，使得二面角E －BD 1－A 的余弦值为
7
7
，如果存在，求出B 1E 的长；如果不存在，请说明理由．
20．(本小题满分12分)已知直线l 过抛物线C ：x 2＝2py
(
p >0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l 与抛物
线相交，两交点间的距离为2． (1)求抛物线C 的方程；
(2)证明：若点P (2,2)，过点(－2,4)的直线m 与抛物线C 相交于A ，B 两点，设直线PA 与PB 的斜率分别为k 1和k 2．求证：k 1k 2为定值，并求出此定值．
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝xe x ＋ln x
x
． (1)求证：函数f (x )有唯一零点；
(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，xe x －ln x ≥1＋kx 恒成立，求实数k 的取值范围．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cosθ，y ＝sinθ(θ为参数)，
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cosθ． (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)若过点F (1,0)的直线l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2交于M ，N 两点，求|FA|×|FB|
|FM|×|FN|
的取值范围．
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|． (1)求f (x )<2的解集；
(2)若f (x )的最小值为T ，正数a ，b 满足a ＋b ＝12，求
证：a ＋b ≤T ．。