平面几何的26个定理
平面几何基本定理
.一．平面几何1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥高线长：C b B c A abcc p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；（外角平分线定理）角平分线长：2cos 2)(2Ac b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）6． 正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径） 7． 余弦定理：C ab b a ccos 2222-+=8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD 10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则PA ·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ． 17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE ＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半 （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC.于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===ABKHCA FP BC DE AB KH CA FP BC DE （4）设G 为△ABC 的重心，则222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C cy B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I CB AC B A ++++++++内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然 （2）设I为△ABC的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则acb KD IK KI AK ID AI +=== （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (B A By AyC B A Cx Bx Ax O BA CB A +++++++外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子） （2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠ （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式C B A R Rabc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++=))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的.高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin 4CB A R rC B A R r C B A R r C B A R r c b a ====.1111;2tan2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan rr r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++===30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP ．（逆定理也成立） 31． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线32． 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线33． 塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CYYA=1 34． 塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D 、E ，又设BE 和CD 交于S ，则AS 一定过边BC 的中点M35． 塞瓦定理的逆定理：（略）36． 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点37． 塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC 的内切圆和边BC 、CA 、AB 分别相切于点R 、S 、T ，则AR 、BS 、CT 交于一点．38． 西摩松（Simson ）定理：从△ABC 的外接圆上任意一点P向三边BC 、CA 、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是D 、E 、R ，则D 、E 、R 共线，（这条直线叫西摩松线Simson line ）39． 西摩松定理的逆定理：（略）40． 关于西摩松线的定理1：△ABC 的外接圆的两个端点P 、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上 41． 关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点42． 史坦纳定理：设△ABC 的垂心为H ，其外接圆的任意点P ，这时关于△ABC 的点P 的西摩松线通过线段PH 的中心． 43． 史坦纳定理的应用定理：△ABC 的外接圆上的一点P 的关于边BC 、CA 、AB 的对称点和△ABC 的垂心H 同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P 关于△ABC 的镜象线．44． 牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45． 牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线． 46． 笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ，设它们的对应顶点（A 和D 、B 和E 、C 和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线． 47． 笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ，设它们的对应顶点（A 和D 、B 和E 、C 和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线． 48． 波朗杰、腾下定理：设△ABC 的外接圆上的三点为P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 关于△ABC 交于一点的充要条件是：弧AP +弧BQ +弧CR =0(mod2π) ．49． 波朗杰、腾下定理推论1：设P 、Q 、R 为△ABC 的外接圆上的三点，若P 、Q 、R 关于△ABC 的西摩松线交于一点，则A 、B 、C 三点关于△PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点．50． 波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A 、B 、C 、P 、Q 、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点． 51． 波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC 的外接圆上的一点P的关于△ABC 的西摩松线，如设QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P 、Q 、R 的关于△ABC 的西摩松线交于一点．52． 波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC 的顶点向边BC 、CA 、AB 引垂线，设垂足分别是D 、E 、F ，且设边BC 、CA 、AB的中点分别是L 、M 、N ，则D 、E 、F 、L 、M 、N 六点在同一个圆上，这时L 、M 、N 点关于关于△ABC 的西摩松线交于一点53． 卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线． 54． 奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆上取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．55． 清宫定理：设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．56． 他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，.如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（反点：P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点）57． 朗古来定理：在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58． 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心 59． 一个圆周上有n 个点，从其中任意n －1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点 60． 康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n －2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61． 康托尔定理2：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点，则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线． 62． 康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L三点，则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点．63． 康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线．64． 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切． 65． 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66． 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点．67． 帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB和DE 、BC 和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线． 68． 阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70． 密格尔（Miquel ）点： 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71． 葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222ABC D 4||R d R S S EF -=∆∆．二．集合1.元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B==3.包含关系A B A A B B=⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个. 5.集合A 中有M 个元素，集合B 中有N 个元素，则可以构造M*N 个从集合A 到集合B 的映射；6.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+.三．二次函数，二次方程1·二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;(3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 2·解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 3·方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条.件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax有且只有一个实根在),(21k k ,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 4·闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2bf x f f x f p f q a =-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.5·一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q pm ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩； （2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q pm ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ . 6·定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3))(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是00a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.四．简易逻辑1·真值表234·充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要.条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.五．函数1· 函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.2·如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.3·奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;在对称区间上，奇函数的单调性相同，欧函数相反；，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数，如果一个奇函数的定义域包括0，则必有f(0)=0;4若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+. 5· 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 6·若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.7 多项式函数110()n n n n P x a x a xa --=+++的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 8函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图象关于直线x a=对称()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.9两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称.(3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.10 若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.11 互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.12若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.13 几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠. (3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，0()(0)1,lim 1x g x f x→==.14 几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；.(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.六 指数与对数1·分数指数幂(1)m na=（0,,am n N *>∈，且1n >）.(2)1mnm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.2·根式的性质（1）n a =.（2）当na =；当n 为,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. 3·有理指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈.(2)()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)rr r ab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 4·指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.5·对数的换底公式log log log m a m N N a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠,0N >).推论log log m n a a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠,0N >).6·对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log ()log log a a a MN M N=+;(2)log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()na a M n M n R =∈. 7·设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.8·对数换底不等式及其推广若0a>,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为增函数.，(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则（1）log ()log m p m n p n++<.（2）2log log log 2a a a m nm n +<. 9·平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).七 数列1·等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 2·等比数列的通项公式1*11()n nna a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.3·等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩..八 三角函数1·常见三角不等式（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.2·同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.3·正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).5·半角正余切公式：sin sin tan ,cot 21cos 1cos αααααα==+- 6·二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 7·最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Zππ>≤⇔∈-+∈cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Zπππ<≤⇔∈++-∈tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Zπππ>∈⇒∈++∈tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈角的变形：2()()2()()()ααβαββαβαβααββ=-++=+--=+-8·三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-9·三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.10·正弦定理 2sin sin sin a b cR A B C===.11余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.12·面积定理（1）111222a b c Sah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222Sab C bc A ca B ===. (3)OABS ∆=.13·在三角形中有下列恒等式：①sin()sin A B C +=② tan tan tan tan .tan .tan A B C A B C ++=.14·简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)kx a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈. s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.15·三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B CC A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+八 向量1·实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .2·向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b=λ（a ·b ）=λa ·b =a ·（λb ）;(3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c.3·平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2． 不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 4·向量平行的坐标表示 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.5·a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ．6·a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7·平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A11(,)x y ，B22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.8·两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).9·平面两点间的距离公式,A Bd =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).10·向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则A ||b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11·线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 12·三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.13·点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)Px y ，且'PP 的坐标为(,)h k .14·“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-. (4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .15·三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==.（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=. （3）O 为ABC ∆的垂心.OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOAbOB cOC ⇔=+.九 不等式1·常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).ab c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-.2·极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.3·一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2axbx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.4·含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （2）2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩.5·指数不等式与对数不等式(1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩十 直线方程1·斜率公式①2121y y kx x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.② k=tan α(α为直线倾斜角）2·直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).5·两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②两直线垂直的充要条件是12120A A B B +=；即：12l l ⊥⇔12120A A B B +=.6·夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 7·1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.8·四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．9·点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l：0Ax By C ++=).10·0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，若A>0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示Ax By C ++<，0Ax By C ++>，若A<0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 0Ax By C ++>，0Ax By C ++<，可记为“x 为正开口对，X 为负背靠背“。
关于平面几何的60条著名定理
关于平面几何的60条著名定理一些平面几何的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有nXAB2+mXAC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有ABXCD+ADXBC=ACXBD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。
平面几何的著名定理
平面几何的著名定理一、毕达格拉斯定理（即勾股定理）在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。
即勾的平方加股的平方等于弦的平方二、帕普斯定理帕普斯(Pappus)定理:如图，直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD 交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。
三、影射定理（与相似三角形和比例有关）直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC ,(3)(AC)^2;=CD·BC 。
等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)四、梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
证明一过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。
中考数学学平面几何六十个定理
中考数学学平面几何六十个定理面对即将到来的中考，教师们要如何准备呢?接下来是店铺为大家带来的中考数学复学面几何六十个定理，供大家参考。
中考数学学平面几何六十个定理：1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)2、射影定理(欧几里得定理)3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线(欧拉线)上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇_大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。
平面几何基本定理
一.平面几何1． 勾股定理(毕达哥拉斯定理)(广义勾股定理)(1)锐角对边的平方,等于其她两边之平方与,减去这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍. (2)钝角对边的平方等于其她两边的平方与,加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍.2． 射影定理(欧几里得定理)3． 中线定理(巴布斯定理)设△ABC 的边BC 的中点为P ,则有)(22222BP AP AC AB +=+;中线长:222222a c b m a -+=4． 垂线定理:2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥高线长:Cb Bc A abcc p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=5． 角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.如△ABC 中,AD 平分∠BAC ,则AC AB DC BD =;(外角平分线定理)角平分线长:2cos 2)(2Ac b bc a p bcp c b t a +=-+=(其中p 为周长一半)6． 正弦定理:R Cc B b A a 2sin sin sin ===,(其中R 为三角形外接圆半径) 7． 余弦定理:C ab b a ccos 2222-+=8． 张角定理:ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理:设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ,则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD10． 圆周角定理:同弧所对的圆周角相等,等于圆心角的一半.(圆外角如何转化？)11． 弦切角定理:弦切角等于夹弧所对的圆周角12． 圆幂定理:(相交弦定理:垂径定理:切割线定理(割线定理):切线长定理:)13． 布拉美古塔(Brahmagupta )定理: 在圆内接四边形ABCD中,AC ⊥BD ,自对角线的交点P 向一边作垂线,其延长线必平分对边14． 点到圆的幂:设P 为⊙O 所在平面上任意一点,PO =d ,⊙O 的半径为r ,则d 2－r 2就就是点P 对于⊙O 的幂.过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ,则P A·PB = |d 2－r 2|.“到两圆等幂的点的轨迹就是与此二圆的连心线垂直的一条直线,如果此二圆相交,则该轨迹就是此二圆的公共弦所在直线”这个结论.这条直线称为两圆的“根轴”.三个圆两两的根轴如果不互相平行,则它们交于一点,这一点称为三圆的“根心”.三个圆的根心对于三个圆等幂.当三个圆两两相交时,三条公共弦(就就是两两的根轴)所在直线交于一点.15． 托勒密(Ptolemy )定理:圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之与,即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ,(逆命题成立) .(广义托勒密定理)AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD16． 蝴蝶定理:AB 就是⊙O 的弦,M 就是其中点,弦CD 、EF 经过点M ,CF 、DE 交AB 于P 、Q ,求证:MP =QM .17． 费马点:定理1等边三角形外接圆上一点,到该三角形较近两顶点距离之与等于到另一顶点的距离;不在等边三角形外接圆上的点,到该三角形两顶点距离之与大于到另一点的距离.定理2 三角形每一内角都小于120°时,在三角形内必存在一点,它对三条边所张的角都就是120°,该点到三顶点距离与达到最小,称为“费马点”,当三角形有一内角不小于120°时,此角的顶点即为费马点18． 拿破仑三角形:在任意△ABC 的外侧,分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ,则AE 、AB 、CD 三线共点,并且AE ＝BF ＝CD ,这个命题称为拿破仑定理. 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ,它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形,⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点,外拿破仑三角形就是一个等边三角形;△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ,它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形,⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点,内拿破仑三角形也就是一个等边三角形.这两个拿破仑三角形还具有相同的中心19． 九点圆(Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆):三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,九点圆具有许多有趣的性质,例如:(1)三角形的九点圆的半径就是三角形的外接圆半径之半 (2)九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点 (3)三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕20． 欧拉(Euler )线:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上.21． 欧拉(Euler )公式:设三角形的外接圆半径为R ,内切圆半径为r ,外心与内心的距离为d ,则d 2=R 2－2Rr .22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的与等于外心到各边距离的与.23． 重心:三角形的三条中线交于一点,并且各中线被这个点分成2:1的两部分;)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++重心性质:(1)设G 为△ABC 的重心,连结AG 并延长交BC 于D ,则D 为BC 的中点,则1:2:=GD AG ;(2)设G为△ABC的重心,则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31(3)设G 为△ABC 的重心,过G 作DE ∥BC 交AB 于D ,交AC 于E ,过G 作PF ∥AC 交AB 于P ,交BC 于F ,过G 作HK ∥AB交AC于K ,交BC于H ,则2;32=++===ABKHCA FP BC DE AB KH CA FP BC DE (4)设G 为△ABC 的重心,则222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++(P为△ABC 内任意一点);④到三角形三顶点距离的平方与最小的点就是重心,即222GC GB GA ++最小;⑤三角形内到三边距离之积最大的点就是重心;反之亦然(即满足上述条件之一,则G 为△ABC 的重心). 24． 垂心:三角形的三条高线的交点;)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H CB AC B A ++++++++垂心性质:(1)三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍(2)垂心H 关于△ABC 的三边的对称点,均在△ABC 的外接圆上;(3)△ABC 的垂心为H,则△ABC ,△ABH ,△BCH ,△ACH 的外接圆就是等圆;(4)设O ,H 分别为△ABC 的外心与垂心,HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,25． 内心:三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心,即内心到三角形各边距离相等),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I CB AC B A ++++++++内心性质:(1)设I 为△ABC 的内心,则I 到△ABC 三边的距离相等,反之亦然 (2)设I为△ABC的内心,则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190(3)三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等;反之,若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K,I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ,则I 为△ABC 的内心 (4)设I 为△ABC 的内心,,,,c AB b AC a BC ===A∠平分线交BC 于D ,交△ABC 外接圆于点K ,则acb KD IK KI AK ID AI +=== (5)设I 为△ABC 的内心,,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,,内切圆半径为r ,令)(21c b a p ++=①pr S ABC =∆;②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;;③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=.26． 外心:三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心,即外心到三角形各顶点距离相等;2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (BA ByAy C B A Cx Bx Ax O A C B A ++++++外心性质:(1)外心到三角形各顶点距离相等(2)设O 为△ABC 的外心,则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360(3)∆=S abc R 4;(4)锐角三角形的外心到三边的距离之与等于其内切圆与外接圆半径之与27． 旁心:一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心;设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=,分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,,其半径分别记为C B A r r r ,,旁心性质:(1),21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠(对于顶角B ,C 也有类似的式子) (2))(21C A I I I C B A ∠+∠=∠ (3)设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ,则DC DB DI A ==(对于C B CI BI ,有同样的结论)(4)△ABC 就是△I A I B I C 的垂足三角形,且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R . 28． 三角形面积公式C B A R Rabc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++=))()((c p b p a p p pr ---==,其中a h 表示BC 边上的高,R 为外接圆半径,r 为内切圆半径,)(21c b a p ++=29． 三角形中内切圆,旁切圆与外接圆半径的相互关系;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4CB A R rC B A R r C B A R r C B A R r c b a ====.1111;2tan2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r cb ac b a =++===30． 梅涅劳斯(Menelaus )定理:设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线与一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP .(逆定理也成立) 31． 梅涅劳斯定理的应用定理1:设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ,∠C 的平分线交边AB 于R ,∠B 的平分线交边CA 于Q ,则P 、Q 、R 三点共线32． 梅涅劳斯定理的应用定理2:过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线,分别与BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ,则P 、Q 、R 三点共线33． 塞瓦(Ceva )定理:设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点,则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件就是AZ ZB ·BX XC ·CYYA=1 34． 塞瓦定理的应用定理:设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别就是D 、E ,又设BE 与CD 交于S ,则AS 一定过边BC 的中点M 35． 塞瓦定理的逆定理:(略)36． 塞瓦定理的逆定理的应用定理1:三角形的三条中线交于一点,三角形的三条高线交于一点,三角形的三条角分线交于一点37． 塞瓦定理的逆定理的应用定理2:设△ABC 的内切圆与边BC 、CA 、AB 分别相切于点R 、S 、T ,则AR 、BS 、CT 交于一点.38． 西摩松(Simson )定理:从△ABC 的外接圆上任意一点P 向三边BC 、CA 、AB 或其延长线作垂线,设其垂足分别就是D 、E 、R ,则D 、E 、R 共线,(这条直线叫西摩松线Simson line ) 39． 西摩松定理的逆定理:(略)40． 关于西摩松线的定理1:△ABC 的外接圆的两个端点P 、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直,其交点在九点圆上 41． 关于西摩松线的定理2(安宁定理):在一个圆周上有4点,以其中任三点作三角形,再作其余一点的关于该三角形的西摩松线,这些西摩松线交于一点42． 史坦纳定理:设△ABC 的垂心为H ,其外接圆的任意点P ,这时关于△ABC 的点P 的西摩松线通过线段PH 的中心. 43． 史坦纳定理的应用定理:△ABC 的外接圆上的一点P 的关于边BC 、CA 、AB 的对称点与△ABC 的垂心H 同在一条(与西摩松线平行的)直线上.这条直线被叫做点P 关于△ABC 的镜象线.44． 牛顿定理1:四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点与两条对角线的中点,三点共线.这条直线叫做这个四边形的牛顿线.45． 牛顿定理2:圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线. 46． 笛沙格定理1:平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ,设它们的对应顶点(A 与D 、B 与E 、C 与F )的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线.47． 笛沙格定理2:相异平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ,设它们的对应顶点(A 与D 、B 与E 、C 与F )的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线.48． 波朗杰、腾下定理:设△ABC 的外接圆上的三点为P 、Q 、R ,则P 、Q 、R 关于△ABC 交于一点的充要条件就是:弧AP +弧BQ +弧CR =0(mod2π) .49． 波朗杰、腾下定理推论1:设P 、Q 、R 为△ABC 的外接圆上的三点,若P 、Q 、R 关于△ABC 的西摩松线交于一点,则A 、B 、C 三点关于△PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点. 50． 波朗杰、腾下定理推论2:在推论1中,三条西摩松线的交点就是A 、B 、C 、P 、Q 、R 六点任取三点所作的三角形的垂心与其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点.51． 波朗杰、腾下定理推论3:考查△ABC 的外接圆上的一点P的关于△ABC 的西摩松线,如设QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦,则三点P 、Q 、R 的关于△ABC 的西摩松线交于一点.52． 波朗杰、腾下定理推论4:从△ABC 的顶点向边BC 、CA 、AB引垂线,设垂足分别就是D 、E 、F ,且设边BC 、CA 、AB 的中点分别就是L 、M 、N ,则D 、E 、F 、L 、M 、N 六点在同一个圆上,这时L 、M 、N 点关于关于△ABC 的西摩松线交于一点 53． 卡诺定理:通过△ABC 的外接圆的一点P ,引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ,与三边的交点分别就是D 、E 、F ,则D 、E 、F 三点共线.54． 奥倍尔定理:通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线,设它们与△ABC 的外接圆的交点分别就是L 、M 、N ,在△ABC 的外接圆上取一点P ,则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别就是D 、E 、F ,则D 、E 、F 三点共线.55． 清宫定理:设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点,P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别就是U 、V 、W ,这时,QU 、QV 、QW 与边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别就是D 、E 、F ,则D 、E 、F 三点共线.56． 她拿定理:设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点,点P的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别就是U 、V 、W ,这时,如果QU 、QV 、QW 与边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别就是D 、E 、F ,则D 、E 、F 三点共线.(反点:P 、Q 分别为圆O 的半径OC 与其延长线的两点,如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点)57． 朗古来定理:在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点,以其中任三点作三角形,在圆周取一点P ,作P 点的关于这4个三角形的西摩松线,再从P 向这4条西摩松线引垂线,则四个垂足在同一条直线上.58． 从三角形各边的中点,向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线,这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心59． 一个圆周上有n 个点,从其中任意n －1个点的重心,向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点60． 康托尔定理1:一个圆周上有n 个点,从其中任意n －2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点.61． 康托尔定理2:一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点,则M 与N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上.这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线.62． 康托尔定理3:一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L三点,则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点.这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点.63． 康托尔定理4:一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点,则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上.这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线. 64． 费尔巴赫定理:三角形的九点圆与内切圆与旁切圆相切. 65． 莫利定理:将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.66． 布利安松定理:连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 与D 、B 与E 、C 与F ,则这三线共点.67． 帕斯卡(Paskal )定理:圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 与DE 、BC 与EF 、CD 与F A 的(或延长线的)交点共线. 68． 阿波罗尼斯(Apollonius )定理:到两定点A 、B 的距离之比为定比m :n (值不为1)的点P ,位于将线段AB 分成m :n 的内分点C与外分点D 为直径两端点的定圆周上.这个圆称为阿波罗尼斯圆.69． 库立奇*大上定理:(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆.70． 密格尔(Miquel )点: 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点,构成四个三角形,它们就是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ,则这四个三角形的外接圆共点,这个点称为密格尔点.71． 葛尔刚(Gergonne )点:△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA于点D 、E 、F ,则AE 、BF 、CD 三线共点,这个点称为葛尔刚点.72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式:O 就是三角形的外心,M 就是三角形中的任意一点,过M 向三边作垂线,三个垂足形成的三角形的面积,其公式: 222ABC D 4||R d R S S EF -=∆∆.二.集合1、元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉、2、德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B==I U U I 3、包含关系A B A A B B=⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U4、集合12{,,,}n a a a L的子集个数共有2n个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n –2个、5、集合A 中有M 个元素,集合B 中有N 个元素,则可以构造M*N 个从集合A 到集合B 的映射;6、容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-U I()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-U U I ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+I I I I I 、三.二次函数,二次方程1·二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;(3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠、 2·解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N>--、 3·方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者就是后者的一个必要而不就是充分条件、特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+、 4·闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得,具体如下:(1)当a>0时,若[]q p abx ,2∈-=,则{}min max max ()(),()(),()2bf x f f x f p f q a =-=;[]q p abx ,2∉-=,{}max max ()(),()f x f p f q =,{}min min ()(),()f x f p f q =、(2)当a<0时,若[]q p a bx ,2∈-=,则{}min ()min (),()f x f p f q =,若[]q p abx ,2∉-=,则{}max ()max (),()f x f p f q =,{}min ()min (),()f x f p f q =、5·一元二次方程的实根分布依据:若()()0f m f n <,则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 、设q px x x f ++=2)(,则(1)方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q pm ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩; (2)方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n>⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩; (3)方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ 、6·定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L (形如[]βα,,(]β,∞-,[)+∞,α不同)上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件就是min (,)0()f x t x L ≥∉、(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件就是(,)0()man f x t x L ≤∉、(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件就是00a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩、 四.简易逻辑1·真值表234·充要条件(1)充分条件:若p q ⇒,则p 就是q 充分条件、(2)必要条件:若q p ⇒,则p 就是q 必要条件、(3)充要条件:若p q ⇒,且q p ⇒,则p 就是q 充要条件、注:如果甲就是乙的充分条件,则乙就是甲的必要条件;反之亦然、五.函数1·· 函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上就是增函数;[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上就是减函数、(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f 为减函数、2·如果函数)(x f 与)(x g 都就是减函数,则在公共定义域内,与函数)()(x g x f +也就是减函数; 如果函数)(u f y =与)(x g u =在其对应的定义域上都就是减函数,则复合函数)]([x g f y =就是增函数、3·奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;在对称区间上,奇函数的单调性相同,欧函数相反;,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数就是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数就是偶函数,如果一个奇函数的定义域包括0,则必有f(0)=0;4若函数)(x f y =就是偶函数,则)()(a x f a x f --=+;若函数)(a x f y +=就是偶函数,则)()(a x f a x f +-=+、5· 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴就是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称、 6·若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数、7 多项式函数110()n n n n P x a x a xa --=+++L 的奇偶性 多项式函数()P x 就是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零、多项式函数()P x 就是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零、8函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a=对称()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=、(2)函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=、9 两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称、(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称、(3)函数)(x f y =与)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称、10 若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象;若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象、11 互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1、12若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不就是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-就是])([1b x f ky -=的反函数、13 几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=、 (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠、 (3)对数函数()log a f x x=,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠、(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==、(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,0()(0)1,lim 1x g x f x→==、14 几个函数方程的周期(约定a>0)(1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期T=a; (2)0)()(=+=a x f x f ,或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ,或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a;(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ,则)(x f 的周期T=3a;(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<,则)(x f 的周期T=4a;(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a;(6))()()(a x f x f a x f +-=+,则)(x f 的周期T=6a 、六 指数与对数1·分数指数幂(1)m na=(0,,am n N *>∈,且1n >)、(2)1mnm naa-=(0,,am n N *>∈,且1n >)、2·根式的性质(1)n a =、(2)当n 为奇数时,a =;当n 为偶数时,,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩、 3·有理指数幂的运算性质(1) (0,,)rs r s a a a a r s Q +⋅=>∈、 (2) ()(0,,)r srsaa a r s Q =>∈、(3)()(0,0,)rr r ab a b a b r Q =>>∈、注: 若a ＞0,p 就是一个无理数,则a p表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用、 4·指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>、5·对数的换底公式log log log m a m N N a=(a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠,0N >)、推论 loglog m n a anb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠,0N >)、6·对数的四则运算法则若a ＞0,a ≠1,M ＞0,N ＞0,则(1)log ()log log a a a MN M N=+;(2)log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()na a M n M n R =∈、 7·设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆、若)(x f 的定义域为R ,则0>a ,且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ,且0≥∆、对于0=a 的情形,需要单独检验、8·对数换底不等式及其推广 若a >,b >,x >,1x a≠,则函数log ()ax y bx =(1)当a b >时,在1(0,)a 与1(,)a+∞上log ()ax y bx =为增函数、,(2)当a b <时,在1(0,)a 与1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数、推论:设1n m >>,0p >,0a >,且1a ≠,则(1)log ()log m p m n p n++<、(2)2log log log 2aa a m nm n +<、 9·平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p ,则对于时间x 的总产值y ,有(1)x y N p =+、39、数列的同项公式与前n 项的与的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的与为12n n s a a a =+++L )、七 数列1·等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈;其前n项与公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-、 2·等比数列的通项公式1*11()n nna a a q q n N q-==⋅∈; 其前n 项的与公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩、3·等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩;其前n 项与公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩、 4·分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b )、八 三角函数1·常见三角不等式(1)若(0,)2x π∈,则sin tan x x x <<、(2) 若(0,)2x π∈,则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥、2·同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=,tan θ=θθcos sin ,tan 1cot θθ⋅=、3·正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩4·与角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sinαβαβα±=m ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m 、22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-、sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= )、5·半角正余切公式:sin sin tan ,cot 21cos 1cos αααααα==+- 6·二倍角公式sin 2sin cos ααα=、2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-、22tan tan 21tan ααα=-、 7·最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Zππ>≤⇔∈-+∈cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Zπππ<≤⇔∈++-∈tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Zπππ>∈⇒∈++∈tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Zπππ<∈⇒∈-+∈角的变形:2()()2()()()ααβαββαβαβααββ=-++=+--=+-8·三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-9·三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+,x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+,x∈R(A,ω,ϕ为常数,且A ≠0,ω＞0)的周期2T πω=;函数tan()y x ωϕ=+,,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数,且A ≠0,ω＞0)的周期T πω=、10·正弦定理 2sin sin sin a b cR A B C===、11余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-、12·面积定理(1)111222a b c S ah bh ch ===(a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高)、(2)111sin sin sin 222Sab C bc A ca B ===、 (3)OAB S ∆= 、13·在三角形中有下列恒等式:① sin()sin A B C += ② tan tan tan tan .tan .tan A B C A B C ++=14·简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤、s 2arccos (,||1)co x ax k a k Z a π=⇔=±∈≤、tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈、特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈、 s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈、tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈、15·三角形内角与定理在△ABC 中,有()A B CC A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+ 八 向量1·实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数,那么(1) 结合律:λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律:(λ+μ)a =λa +μa;(3)第二分配律:λ(a +b )=λa +λb 、2·向量的数量积的运算律:(1) a ·b= b ·a (交换律);(2)(λa )·b= λ(a ·b)=λa ·b =a ·(λb );(3)(a +b)·c= a ·c +b ·c 、3·平面向量基本定理如果e 1、e 2就是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e 1+λ2e 2.不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 4·向量平行的坐标表示 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,且b≠0,则a P b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=、5·a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ.6·a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.7·平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a+b=1212(,)x x y y ++、(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a-b=1212(,)x x y y --、(3)设A11(,)x y ,B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r、(4)设a =(,),x y R λ∈,则λa=(,)x y λλ、(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a ·b=1212()x x y y +、8·两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y )、9·平面两点间的距离公式,A B d=||AB =u u u r=11(,)x y ,B 22(,)x y )、10·向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,且b ≠0,则A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=、a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=、11·线段的定比分公式设111(,)P x y ,222(,)P x y ,(,)P x y 就是线段12P P 的分点,λ就是实数,且12PP PP λ=u u u r u u u r,则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+u u u r u u u r u u u r ⇔12(1)OP tOP t OP =+-u u u r u u u r u u u r (11t λ=+)、 12·三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标就是123123(,)33x x x y y y G ++++、13·点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+u u u r u u u r u u u r 、 注:图形F 上的任意一点P(x,y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ,且'PP u u u r 的坐标为(,)h k 、14·“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++、(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+、(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-、 (4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=、(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y 、15·三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,则(1)O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==u u u r u u u r u u u r 、(2)O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r、 (3)O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 、(4)O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r、 (5)O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+u u u r u u u r u u u r 、九 不等式1·常用不等式:(1),a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号).(2),a b R +∈⇒2a b +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号).(3)3333(0,0,0).ab c abc a b c ++≥>>>(4)柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-、2·极值定理已知y x ,都就是正数,则有(1)若积xy 就是定值p ,则当y x =时与y x +有最小值p 2;(2)若与y x +就是定值s ,则当y x =时积xy 有最大值241s 、 推广 已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(22+-=+(1)若积xy 就是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大; 当||y x -最小时,||y x +最小、(2)若与||y x +就是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小;当||y x -最小时, ||xy 最大、3·一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->,如果a 与2ax bx c ++同号,则其解集在两根之外;如果a 与2ax bx c ++异号,则其解集在两根之间、简言之:同号两根之外,异号两根之间、121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<; 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或、4·含有绝对值的不等式当a> 0时,有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<、22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-、75、无理不等式()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩、(2)2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或、2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩、5·指数不等式与对数不等式(1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩、(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩十 直线方程1·斜率公式①2121y y kx x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y )、k=tanα(α为直线倾斜角)2·直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ).(2)斜截式y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距)、 (3)两点式 112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠))、(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、)(5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0)、5·两条直线的平行与垂直(1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-、(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠;②两直线垂直的充要条件就是 12120A AB B +=;即:12l l ⊥⇔12120A A B B +=6·夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+、(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+、 (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,第 页 共 20 页2020-5-241112120A A B B +≠)、直线12l l ⊥时,直线l 1与l 2的夹角就是2π、7·1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+、(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+、(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠)、直线12l l ⊥时,直线l 1到l 2的角就是2π、 8·四种常用直线系方程(1)定点直线系方程:经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 就是待定的系数;经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 就是待定的系数.(2)共点直线系方程:经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l ),其中λ就是待定的系数.(3)平行直线系方程:直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时,表示平行直线系方程.与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程就是0Ax By λ++=(0λ≠),λ就是参变量.(4)垂直直线系方程:与直线0Ax By C ++= (A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程就是0Bx Ay λ-+=,λ就是参变量.9·点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=)、10·0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=,若A>0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 0Ax By C ++<,0Ax By C ++>,若A<0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示0Ax By C ++>,0Ax By C ++<,可记为“x 为正开口对,X 为负背靠背“。
平面几何重要定理考点归纳
平面几何重要定理考点归纳今日我为同学们带来的是关于中考数学的平面几何重要定理考点归纳，很快就是中考了，希望我们的同学们可以刚好地学习关于平面几何的内容，在中考的时候拿到更好的成果。
平面几何重要定理考点归纳1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)2、射影定理(欧几里得定理)3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线(欧拉线)上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同始终线(欧拉线)上12、库立奇大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m：n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB 中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m：n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形21、爱尔可斯定理1：若△ABC 和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。
中考数学平面几何六十个定理大全
中考数学平面几何六十个定理大全1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)2、射影定理(欧几里得定理)3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线(欧拉线)上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有nAB2+mAC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有ABCD+ADBC=ACBD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。
初中数学平面几何基本定理
1． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=2． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理） 3． 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径） 4． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=5． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边6． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD7． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，则有：MP =QM ．8． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．重心性质：①设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ； ②设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31③设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===ABKH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．11． 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心， HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,12． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,219013． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360（3）∆=S abcR 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和14．其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++= 1920·两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.21·点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).。
初中平面几何的60个定理
1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)小学都应该掌握的重要定理2、射影定理(欧几里得定理)重要3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分重要4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点学习中位线时的一个常见问题，中考不需要，初中竞赛需要5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
完全没有意义，学习解析几何后显然的结论，不用知道6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
重要7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点重要8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL中考不需要，竞赛中很显然的结论9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
高中竞赛中非常重要的定理，称为欧拉线10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，高中竞赛中的常用定理11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上高中竞赛中会用，不常用12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
高中竞赛的题目，不用掌握13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半重要14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点重要15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)初中竞赛需要，重要16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2高中竞赛需要，重要17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD显然的结论，不需要掌握18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D 为直径两端点的定圆周上高中竞赛需要，重要19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC初中竞赛需要，重要20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，学习复数后是显然的结论，不需要掌握21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
认识平面几何的61个著名定理
【认识平面几何的61个著名定理，自行画出图形来学习，★部分要求证明出来】★1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）★2、射影定理（欧几里得定理）★3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。
★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
★13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： ()()()s c s b s a s r ---=，s 为三角形周长的一半★14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC分成m和n两段，则有n×AB2+m×AC2=BC×（AP2+mn）17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E 的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上★19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD★20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
平面几何定理公理总结
平面几何定理公理总结一、线与角1.两点之间，线段最短。
线段的长叫两点间的距离。
直线外一点到直线，垂线段最短，垂线段的长叫该点到直线的距离。
一组平行线中，一条直线上一点到另一条直线的距离,叫两条平行线间的距离。
2.经过两点有且只有一条直线,即两点确定一条直线。
不在同一直线上的三点确定一个角。
3.两直线相交，对顶角相等。
4.同角（或等角)的余角相等;同角(或等角）的补角相等。
5.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
6.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补。
如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。
7.平行线(1)平行线的判定公理:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等，那么这两条直线平行。
(2)平行线的判定方法:①两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等，那么这两条直线平行。
②两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
③如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。
④如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。
(3)平行线的性质：ﻫ①两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
③两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
④如果一条直线和两条平行线中的一条平行,那么这条直线也和另一条平行。
⑤如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么这条直线也和另一条垂直。
⑥平行线间的距离处处相等；夹在两条平行线间的平行线段相等。
8.平行线等分线段定理：(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
(2)推论1:经过三角形一边的中点,且与另一边平行的直线必等分第三边。
(3)推论２：经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线必等分另一腰。
9.平行线分线段成比例定理:(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
平面几何的26个定理
ED C B A 高一数学竞赛班二试讲义第1讲 平面几何中的26个定理班级 姓名一、知识点金1. 梅涅劳斯定理：假设直线l 不通过ABC ∆的极点，而且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线别离交于,,P Q R ，那么1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立（用同一法证明）2. 塞瓦定理： 设,,P Q R 别离是ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线上的点，若,,AP BQ CR 三线共点，那么1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：塞瓦定理的逆定理也成立3. 托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，而且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。
()ABCD E BAE CAD ABE ACDAB BE ABE ACD AB CD AC BE AC CD AB AE BAC EAD ABC AED AC ADBC ED AD BC AC ED AC ADAB CD AD BC AC BE ED AB CD AD BC AC BD E BD A B C D ∠=∠∠=∠∆∆∴=⇒⋅=⋅=∠=∠∴∆∆∴=⇒⋅=⋅∴⋅+⋅=⋅+∴⋅+⋅≥⋅证：在四边形内取点，使，则：和相似又且和相似且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、四点共圆时成立；注：托勒密定理的逆定理也成立4. 西姆松定理：假设从ABC ∆外接圆上一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足别离为,,D E F ，那么,,D E F 三点共线。
西姆松定理的逆定理：从一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足别离为,,D E F 。
假设,,D E F 三点共线，那么点P 在ABC ∆的外接圆上。
5． 蝴蝶定理：圆O 中的弦PQ 的中点M ，过点M 任作两弦AB ，CD ，弦AD 与BC 别离交PQ 于X ，Y ，那么M 为XY 当中点。
关于平面几何的60条著名定理
关于平面几何的60条著名定理一些平面几何的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。
平面几何的26个定理精编版
平面几何的26个定理精编版在平面几何中，有很多重要的定理可以帮助我们解决各种各样的问题。
下面列举了26个常用的定理，希望能够对读者有所帮助。
1. 两点确定一条直线定理：通过两个不同的点，可以确定唯一一条直线。
2. 第3角定理：任何一条直线将平面分成两个半平面，其中一个半平面包含直线上的第一个角，另一个半平面包含直线上的第二个角。
3. 垂线定理：如果两条直线相交，且其中一条直线上有一点，可以通过这个点引一条垂线与另一条直线相交，那么这个垂线与直线的交点将是直线上的最短距离的点。
4. 直角三角形的勾股定理：对于一个直角三角形来说，斜边的平方等于另外两条边平方的和。
5. 等腰三角形定理：一个三角形任意两边相等，则它的两个底角相等。
7. 三角形内角和定理：三角形的三个角的度数之和等于180度。
8. 同位角定理：如果一个直角与另一条直线相交，那么直角两边上的同位角互相等于180度。
9. 余角定理：如果一个角是直角的余角，那么这个角和它的补角之和等于90度。
10. 垂直角定理：两条直线相交的垂直角是互补的，即它们的度数之和为90度。
11. 平行线定理：平行的两条直线永远不会相交，它们之间的距离保持不变。
14. 内角定理：有n条直线相交，将平面分成了n(n-1)/2个角，则n个角的度数之和为180(n-2)度。
15. 切线和割线定理：圆上一点的切线和这个点到圆心的直线垂直。
18. 正弦定理：对于一个三角形，它的任何一条边的长度与它相对的角的正弦值成比例。
20. 平行线夹角定理：如果两条直线被一条横线所穿过，使对于直线之一和横线在同侧的内角和外角分别相等，那么这条直线与另一条直线是平行的。
23. 双曲线几何定理：在平面上有两个垂直的直线，任何一点到其中一个直线的距离减去到另一个直线的距离之差是常数。
24. 平面几何的欧拉定理：对于一个凸多边形，这个多边形的顶点数、边数、面数的差等于2。
25. 柿子公式：对于一个n边形，其对角线的条数为(n(n-3))/2。
初中数学平面几何定理
初中数学平面几何定理初中数学平面几何定理大全平面几何，在初中数学中，是重点也是难点，如果同学们想要学好初中平面几何题的话，那么就要掌握好平面几何的定理，下面店铺就给大家介绍平面几何里面的定理有哪些?希望能够帮助到大家。
1.勾股定理(毕达哥拉斯定理)2.射影定理(欧几里得定理)3.三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4.四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5.间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6.三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7.三角形的三条高线交于一点8.设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9.三角形的外心，垂心，重心在同一条直线(欧拉线)上。
10.(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心.从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11.欧拉定理：三角形的外心.重心.九点圆圆心.垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12.库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13.(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14.(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15.中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16.斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217.波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18.阿波罗尼斯定理：到两定点A.B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19.托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD20.以任意三角形ABC的边BC.CA.AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC.△CEA.△AFB，则△DEF是正三角形，21.爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD.BE.CF的中心构成的三角形也是正三角形。
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高一数学竞赛班二试讲义第1讲 平面几何中的26个定理班级 姓名一、知识点金 1. 梅涅劳斯定理：若直线l 不经过ABC ∆的顶点，并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线分别交于,,P Q R ，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立（用同一法证明）2. 塞瓦定理： 设,,P Q R 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线上的点，若,,AP BQ CR 三线共点，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：塞瓦定理的逆定理也成立3. 托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。
AB AE AC ADBC ED AC AD==⇒又4. 西姆松定理：若从ABC ∆外接圆上一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F ，则,,D E F 三点共线。
西姆松定理的逆定理：从一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F 。
若,,D E F 三点共线，则点P 在ABC ∆的外接圆上。
5． 蝴蝶定理：圆O 中的弦PQ 的中点M ，过点M 任作两弦AB ，CD ，弦AD 与BC 分别交PQ 于X ，Y ，则M 为XY 之中点。
证明：过圆心O 作AD 与BC 的垂线，垂足为S 、T ，，OY ，OM ，SM ，MT 。
∽△CMB ∴AM/CM=AD/BC∵AS=1/2AD ，BT=1/2BC ∴AM/CM=AS/CT又∵∠A=∠C ∴△AMS ∽△CMT∴∠MSX=∠MTY∵∠OMX=∠∴∠OMX+∠OSX=180°∴O ，S ，X ，M同理，O ，T ，∴∠MTY=∠MOY ，∠MSX=∠MOX∴∠MOX=∠MOY ， ∵OM ⊥PQ ∴XM=YM注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立6． 坎迪定理：设AB 是已知圆的弦，M 是AB 上一点，弦,CD EF过点M ，连结,CF ED ，分别交AB 于,L N ，则1111LM MN AM MB -=-。
7． 斯特瓦尔特定理：设P 为ABC ∆的BC 边上任一点，则有2222P C B P B P P C A P A B A C B C B C B C B C B C=⋅+⋅-⋅⋅。
注：斯特瓦尔特定理的逆定理也成立8．张角定理： 设,,A C B 顺次分别是平面内一点P 所引三条射线,,AB AP AC 上的点，线段,AC CB对点P 的张角分别为,αβ，且180αβ+<，则,,A C B 三点共线的充要条件是：sin()sin sin PC PB PAαβαβ+=+ 9．九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点， 共九点共圆。
此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆。
ABC ∆的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是ABC ∆的外接圆半径的12。
证明：ABC ∆的九点圆与ABC ∆的外接圆，以三角形的垂心为外位似中心，又以三角形的重心为内位似中心。
位似比均为1:2。
10．欧拉线：ABC ∆的垂心H ，重心G ，外心O 三点共线。
此线称为欧拉线，且有关系：2HG GO =11．欧拉公式：设三角形的外接圆与内切圆的半径分别为R 和r ，则这两圆的圆心距OI =2R r ≥。
证明：设外心为O ，内心为I ，连结OI ，延长交外接圆于,N P 两点，令d OI =，AI 交外接圆于L ，则()()2sin 22sin 2A r R d R d NI IP LI IA LB IA R Rr A-+=⋅=⋅=⋅=⋅= 12．笛沙格定理;在ABC ∆和A B C '''∆中，若,,AA BB CC '''相交于一点O ，则AB 与AB''，BC 与B C ''，AC 与A C ''的交点,,F D E 共线。
证明：OBC ∆和梅尼线B C D ''，1OB BD CC B BDC C O ''⋅⋅=''；OAB ∆和梅尼线A B F ''，1OA AF BB A A FB B O''⋅⋅=''； OAC ∆和梅尼线A C E ''，1OC CE AA C C EA A O ''⋅⋅=''，三式相乘，得1BD CE AF DC EA FB⋅⋅=。
得证 13．牛顿（Newton ）定理1：圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。
证法1：设四边形ABCD 的边AB,BC,CD,DA 与内切圆分别切于点E,F,G,H.首先证明,直线AC,EG,FH 交于一点.设EG,FH 分别交AC 于点I,I'.显然 ∠AHI‘=∠BFI ’ ，因此易知 AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI'故 AI'/CI'=AH/CF. 同样可证:AI/CI=AE/CG又AE=AH,CF=CG. 故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.从而I,I'重合.即直线AC,EG,FH 交于一点.同理可证:直线BD,EG,FH 交于一点. 因此 直线AC,BD,EG,FH 交于一点。
证法2：外四边形为ABCD ，对应内切四边形为EFGH 。
连接EG ，FH 交于P 。
下面证明BD 过P 即可。
过D 座EG 的平行线交BA 与S ，过D 做FH 的平行线交BC 于T 。
由于弦切角及同位角，角BEG=角CGE=角CDS=角BSD 。
所以SEGD 四点共圆，且为等腰梯形。
设此圆为圆M ，圆M 与圆O ，内切圆交于EG ，所以其根轴为EG ，同理对圆N ，DHFT ，与圆O 交于HF 。
HF 为此两圆的根轴。
由根轴定理，只需证明BD 为圆M 与圆N 的根轴即可证明BD ，EG ，HF 共于点P 。
D 在圆M 和圆N 上，所以其为根轴一点。
由于SEGD ，和DHFT 为等腰梯形，所以ES=DG ，DH=FT 。
由切线长定理，DH=DG ，BE=BF ；所以BE=BF ，ES=FT ，BS=BT 。
若B 为圆M 与圆N 的根轴上一点，则BE*BS=BF*BT ，其为割线长。
明显等式成立。
所以BD 为圆M 与圆N 的根轴，则BD ，EG ，HF 共于点P 。
同理AC ，EG ，HF 共于点P 。
命题得证。
14．牛顿（Newton ）定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。
证明：设四边形ABCD 是⊙I 的外切四边形，E 和F 分别是它的对角线AC 和BD 的中点，连接EI 只需证它过点F ，即只需证△BEI 与△DEI 面积相等。
显然，S △BEI=S △BIC+S △CEI-S △BCE ，而S △DEI=S △ADE+S △AIE-S △AID 。
注意两个式子，由ABCD 外切于⊙I ，AB+CD=AD+BC ，S △BIC+S △AID=1/2*S 四边形ABCD ，S △ADE+S △BCE=1/2*S △ACD+1/2*S △ABC=1/2*S 四边形ABCD即S △BIC+S △AID=S △ADE+S △BCE ，移项得S △BIC-S △BCE=S △ADE-S △AID ，由E 是AC 中点，S △CEI=S △AEI ，故S △BIC+S △CEI-S △BCE=S △ADE+S △AIE-S △AID ，即S △BEI=△DEI ，而F 是BD 中点，由共边比例定理EI 过点F 即EF 过点I ，故结论成立。
15．牛顿（Newton）定理3：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。
这条直线叫做这个四边形的牛顿线。
证明：四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N 取BE中点P,BC中点R,PN∩CE=QR,L,Q共线，QL/LR=EA/AB；M,R,P共线，RM/MP=CD/DE；N,P,Q共线，PN/NQ=BF/FC。
三式相乘得: QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FCQL/LR*RM/MP*PN/NQ=1及梅尼线LMN，PQR由梅涅劳斯定理的逆定理知L，M，N三点共线。
16．布利安双定理：设一六角形外切于一条圆锥曲线，那么它的三双对顶点的连线共点。
在此，提供用初等几何证明外切于圆的情形。
记六边形为ABCDEF外切于圆O，AB，BC，CD,DE,EF,FA上的切点分别是G,H,I,J,K,L.设AB,DC交于X,AF,DE交于Y.则四边形AXDY外切于圆O,切点分别是G,I,J,L。
圆外切四边形对边切点连线与主对角线交于一点，有AD,GJ,LI共点(记为点P)。
同理，BE,GJ,KH共点(记为点r),CF,LI,KH共点（记为点q则命题可转为证明DP,BR,FQ共点。
17．拿破仑定理：若在任意三角形的各边向外作正三角形。
则它们的中心构成一个正三角形。
证明：设等边△ABD的外接圆和等边△ACF的外接圆相交于O；连AO、CO、BO。
∴∠ADB=∠AFC=60°；∵ A、D、B、O四点共圆；A、F、C、O四点共圆；∴∠AOB=∠AOC=120°；∴∠BOC=120°；∵△BCE是等边三角形∴∠BEC=60°；∴ B、E、C、O四点共圆；∴这3个等边三角形的外接圆共点。
设等边△ABD的外接圆⊙N，等边△ACF的外接圆⊙M，等边△BCE的外接圆⊙P 相交于O；连AO、CO、BO。
∵ A、D、B、O四点共圆；A、F、C、O四点共圆，B、E、C、O四点共圆，∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°；∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°；∵NP、MP、MN是连心线；BO、CO、AO是公共弦；∴BO⊥NP于X；CO⊥MP于Y；AO⊥NM于Z。
∴X、P、Y、O四点共圆；Y、M、Z、O四点共圆；Z、N、X、O四点共圆；∴∠N=∠M=∠P=60°；即△MNP是等边三角形。
18．帕斯卡（Pascal）定理：如图，圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE的延长线交于点G，边BC、EF的延长线交于点H，边CD、FA的延长线交于点K。
则H、G、K三点共线。
证明：延长AB、CD、EF，分别交直线CD、EF、AB于M、N、L三点，构成△LMN。