2009年高考数学(山东)文(word版含答案)
2018年浙江省高考试题及答案word版
2018年浙江省高考试题及答案word版一、语文试题1. 阅读下面的文字,完成(1)-(4)题。
[文章内容省略](1)文章中提到的“它”指的是什么?请简要说明。
答案:文章中的“它”指的是[具体内容]。
(2)作者通过哪些细节描写来表现[主题]?答案:作者通过[具体细节]来表现[主题]。
(3)分析文章中[某个人物]的性格特点。
答案:[某个人物]的性格特点是[具体分析]。
(4)文章最后一段的作用是什么?答案:文章最后一段的作用是[具体作用]。
2. 古诗文阅读[古诗文内容省略](1)解释下列句子中加点词的含义。
答案:[具体解释]。
(2)翻译下列句子。
答案:[具体翻译]。
(3)这首诗/文表达了作者怎样的思想感情?答案:这首诗/文表达了作者[具体思想感情]。
二、数学试题1. 选择题[选择题内容省略]答案:[ABCD]。
2. 填空题[填空题内容省略]答案:[具体答案]。
3. 解答题[解答题内容省略]答案:[具体解答过程及答案]。
三、英语试题1. 听力部分[听力材料省略]答案:[具体答案]。
2. 阅读理解[阅读理解材料省略]答案:[具体答案]。
3. 完形填空[完形填空材料省略]答案:[具体答案]。
4. 写作[写作题目要求省略]范文:[具体范文内容]。
四、综合试题1. 政治[政治试题内容省略]答案:[具体答案]。
2. 历史[历史试题内容省略]答案:[具体答案]。
3. 地理[地理试题内容省略]答案:[具体答案]。
以上为2018年浙江省高考试题及答案word版的内容,具体题目和答案需要根据实际的考试内容进行填充。
【名校推荐】专题25 概率与统计-三年高考(2016-2018)数学(文)试题分项版解析 Word版含解析
考纲解读明方向分析解读 本节内容是高考的重点考查内容之一,最近几年的高考有以下特点:1.古典概型主要考查等可能性事件发生的概率,也常与对立事件、互斥事件的概率及统计知识综合起来考查;2.几何概型试题也有所体现,可能考查会有所增加,以选择题、填空题为主.本节内容在高考中分值为5分左右,属容易题.分析解读从近几年的高考试题来看,本部分在高考中的考查点如下:1.主要考查分层抽样的定义,频率分布直方图,平均数、方差的计算,识图能力及借助概率知识分析、解决问题的能力;2.在频率分布直方图中,注意小矩形的高=频率/组距,小矩形的面积为频率,所有小矩形的面积之和为1;3.分析两个变量间的相关关系,通过独立性检验判断两个变量是否相关.本节内容在高考中分值为17分左右,属中档题.1.【2018年浙江卷】设0<p<1,随机变量ξ的分布列是则当p在(0,1)内增大时,A. D(ξ)减小B. D(ξ)增大C. D(ξ)先减小后增大D. D(ξ)先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望,再求方差,最后根据方差函数确定单调性.点睛:2.【2018年全国卷Ⅲ文】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【答案】B【解析】分析:由公式计算可得详解:设设事件A为只用现金支付,事件B为只用非现金支付,则,因为,所以,故选B.点睛:本题主要考查事件的基本关系和概率的计算,属于基础题。
3.【2018年全国卷II文】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能,代入概率公式可求得概率.点睛:应用古典概型求某事件的步骤:第一步,判断本试验的结果是否为等可能事件,设出事件;第二步,分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数;第三步,利用公式求出事件的概率.4.【2018年江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为________.【答案】【解析】分析:先确定总基本事件数,再从中确定满足条件的基本事件数,最后根据古典概型概率公式求概率.详解:从5名学生中抽取2名学生,共有10种方法,其中恰好选中2名女生的方法有3种,因此所求概率为点睛:古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法(理科):适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5.【2018年江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为________.【答案】90【解析】分析:先由茎叶图得数据,再根据平均数公式求平均数.点睛:的平均数为.6.【2018年全国卷Ⅲ文】某公司有大量客户,且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是________.【答案】分层抽样【解析】分析:由题可知满足分层抽样特点详解:由于从不同龄段客户中抽取,故采用分层抽样,故答案为:分层抽样。
2009年高考数学(安徽)文(word版含答案)
2] A. [2,
D. [ 2, 2]
10.考察正方体 6 个面的中心,从中任意选 3 个点连成三角形,再把剩下的 3 个点也连成三 角形,则所得的两个三角形全等的概率等于( ) A.1 B.
1 2
C.
1 3
D.0
2009 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学(文科)
第 II 卷(非选择题 共 100 分)
)
4 3 D. 3 4 4. “ a c > b d ”是“ a > b 且 c d ”的( )
A. B. C. A.必要不充分条件 C.充分必要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )
3 2
2 3
5.已知 | an | 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 a4 a6 =99,则 a20 等于( A. 1 B.1 C.3 D. 7 )
C. 1 i
2.若集合 A {x | (2 x 1)(x 3) 0} , B {x N,|x ≤ 5} 则 A
B 是()Βιβλιοθήκη , 2, 3} A. {1
, 2} B. {1
5} C. {4,
, 2, 3, 4, 5} D. {1
x ≥ 0 3.不等式组 x 3 y ≥ 4 所表示的平面区域的面积等于( 3 x y ≤ 4
a 1
a 2a 1
否
a 100 ?
是 输出 a 结束 (第 12 题图) 13.从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成 三角形的概率是 . 14.在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若 AC = AE + AF , 其中 , R ,则 .
2009年高考数学(江苏卷)(word版含答案)
π
2π 3
π 3
O 1
x
5.现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取 2 根 竹 竿 , 则 它 们 的 长 度 恰 好 相 差 0.3m 的 概 率 为 .
(第 4 题图)
6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10
2 .已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 , | a | 2 , | b |
3 ,则向量 a 和向量 b 的数量积
a b
.
3 2
3.函数 f ( x ) x 15 x 33 x 6 的单调减区间 为 . 1
y
( x ) ( , A , 为 常 数 , 4 . 函 数 y As i n A 0, 0 )在闭区间 [ π, 0] 上的图象如图所
次,投中的次数如下表: 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7
2
3号 7 6
4号 8 7
5号 7 9
则以上两组数据的方差中较小的一个为 s
. . 开始
7.右图是一个算法的流程图,最后输出的 W
8.在平面上,空间中,若两个正四面体的棱 长的比为 1∶2,则它们的体积比为 9.在平面直角坐标系
3
S 0
T 1
. 中,点 P 在曲线
xoy
C : y x 10x 3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点
P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 10 .已知 a .
S T 2 S
S ≥10
Y
T T 2
N
5 1 2
高考数学(文)(新课标版)考前冲刺复习讲义:第2部分专题三第2讲 数列求和及其综合应用 Word版含答案
第2讲数列求和及其综合应用错位相减法求和[学生用书P34]共研典例类题通法错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和,其依据是:c n =a n b n ,其中{a n }是公差为d 的等差数列,{b n }是公比为q (q ≠1)的等比数列,则qc n =qa n b n =a n b n +1,此时c n +1-qc n =(a n +1-a n )·b n +1=db n +1,这样就把对应相减的项变成了一个等比数列,从而达到求和的目的.(2016·高考山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n ,{b n }是等差数列,且a n=b n +b n +1.(1)求数列{b n }的通项公式;(2)令c n =(a n +1)n +1(b n +2)n.求数列{c n }的前n 项和T n .【解】(1)由题意知当n ≥2时,a n =S n -S n -1=6n +5, 当n =1时,a 1=S 1=11,符合上式.所以a n =6n +5. 设数列{b n }的公差为d ,由⎩⎪⎨⎪⎧a 1=b 1+b 2,a 2=b 2+b 3,得⎩⎪⎨⎪⎧11=2b 1+d ,17=2b 1+3d ,可解得b 1=4,d =3. 所以b n =3n +1.(2)由(1)知c n =(6n +6)n +1(3n +3)n=3(n +1)·2n +1. 又T n =c 1+c 2+…+c n ,所以T n =3×[2×22+3×23+…+(n +1)×2n +1], 2T n =3×[2×23+3×24+…+(n +1)×2n +2],两式作差,得-T n =3×[2×22+23+24+ (2)+1-(n +1)×2n +2]=3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4+4(1-2n )1-2-(n +1)×2n +2=-3n ·2n +2, 所以T n =3n ·2n +2.应用错位相减法求和需注意的问题(1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和,其中{a n }为等差数列,{b n }为等比数列.(2)所谓“错位”,就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后所得部分,求等比数列的和,此时一定要查清其项数.(3)为保证结果正确,可对得到的和取n =1,2进行验证. [跟踪训练](2016·兰州模拟)等差数列{a n }中,已知a n >0,a 1+a 2+a 3=15,且a 1+2,a 2+5,a 3+13构成等比数列{b n }的前三项.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则由已知得: a 1+a 2+a 3=3a 2=15,即a 2=5. 又(5-d +2)(5+d +13)=100, 解得d =2或d =-13(舍去),所以a 1=a 2-d =3,a n =a 1+(n -1)×d =2n +1. 又b 1=a 1+2=5,b 2=a 2+5=10,所以公比q =2, 所以b n =5×2n -1.(2)因为T n =5[3+5×2+7×22+…+(2n +1)×2n -1], 2T n =5[3×2+5×22+7×23+…+(2n +1)×2n ],两式相减得-T n =5[3+2×2+2×22+…+2×2n -1-(2n +1)×2n ]=5[(1-2n )2n -1], 则T n =5[(2n -1)2n +1].裂项相消法求和[学生用书P35]共研典例类题通法 1.常见的裂项类型 (1)1n (n +1)=1n -1n +1; (2)1n (n +k )=1k ⎝⎛⎭⎫1n -1n +k ;(3)1n 2-1=12⎝⎛⎭⎫1n -1-1n +1;(4)14n 2-1=12⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1;(5)n +1n (n -1)·2n =2n -(n -1)n (n -1)·2n =1(n -1)2n -1-1n ·2n. 2.裂项相消法求和的基本思想是把数列的通项公式a n 分拆成a n =b n +k -b n (k ≥1,k ∈N *)的形式,从而达到在求和时某些项相消的目的,在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{a n }的通项公式,使之符合裂项相消的条件.(2016·海口调研测试)在等差数列{a n }中,公差d ≠0,a 1=7,且a 2,a 5,a 10成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和S n ; (2)若b n =5a n ·a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .【解】(1)因为a 2,a 5,a 10成等比数列, 所以(7+d )(7+9d )=(7+4d )2, 又因为d ≠0,所以d =2,所以a n =2n +5,S n =(7+2n +5)n 2=n 2+6n .(2)由(1)可得b n =5(2n +5)(2n +7)=52⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +5-12n +7, 所以T n =52⎝ ⎛⎭⎪⎫17-19+19-111+…+12n +5-12n +7=5n14n +49.裂项相消法的技巧在裂项时要注意把数列的通项分拆成的两项一定是某个数列中的相邻的两项,或者是等距离间隔的两项,只有这样才能实现逐项相消,只剩余有限的几项,从而求出其和.[跟踪训练](2016·石家庄模拟)已知等差数列{a n }中,2a 2+a 3+a 5=20,且前10项和S 10=100.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.[解] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2+a 3+a 5=4a 1+8d =20,10a 1+10×92d =10a 1+45d =100, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2.所以{a n }的通项公式为a n =1+2(n -1)=2n -1.(2)由(1)知,b n =1(2n -1)(2n +1)=12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1,所以数列{b n }的前n 项和T n =12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫11-13+⎝⎛⎭⎫13-15+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1 =12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n +1=n 2n +1.分组转化求和[学生用书P35]共研典例类题通法 分组转化求和的三种类型分组转化求和是把数列之和分为几组,每组中的各项是可以利用公式(或其他方法)求和的,求出各组之和即得整体之和,这类试题一般有如下三种类型:(1)数列是周期数列,先求出每个周期内的各项之和,然后把整体之和按照周期进行划分,再得出整体之和;(2)奇偶项分别有相同的特征的数列(如奇数项组成等差数列、偶数项组成等比数列),按照奇数项和偶数项分组求和;(3)通项中含有(-1)n 的数列,按照奇数项、偶数项分组,或者按照n 为奇数、偶数分类求和.(2016·呼和浩特模拟)在数列{a n }中,a 1=3,a n =2a n -1+(n -2)(n ≥2,n ∈N *). (1)证明:数列{a n +n }是等比数列,并求{a n }的通项公式; (2)求数列{a n }的前n 项和S n .【解】(1)因为a n +n =2[a n -1+(n -1)],a n +n ≠0, 所以{a n +n }是首项为4,公比为2的等比数列,所以a n +n =4×2n -1=2n +1. 所以a n =2n +1-n .(2)S n =(22+23+24+…+2n +1)-(1+2+3+…+n )=2n +2-n 2+n +82.分组求和的常见方法 (1)根据等差、等比数列分组. (2)根据正号、负号分组.(3)根据数列的周期性分组.[题组通关]1.已知数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n -1(n +1),则a 1+a 2+a 3+…+a 2017=( )A .1009B .1010C .-1009D .-1010B [解析] 因为a n =(-1)n -1(n +1),所以a 1+a 2+a 3+…+a 2017=(2-3)+(4-5)+…+(2016-2017)+2018=1008×(-1)+2018=1010.2.设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),数列{a 2n -1}是首项为1的等差数列,数列{a 2n }是首项为2的等比数列,且满足S 3=a 4,a 3+a 5=a 4+2.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求S 2n .[解] (1)设等差数列的公差为d ,等比数列的公比为q ,则a 1=1,a 2=2,a 3=1+d ,a 4=2q ,a 5=1+2d ,所以⎩⎪⎨⎪⎧4+d =2q ,(1+d )+(1+2d )=2+2q ,解得d =2,q =3.所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧n ,n =2k -1,2·3n 2-1,n =2k ,(k ∈N *).(2)S 2n =(a 1+a 3+…+a 2n -1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=(1+3+5+…+2n -1)+(2×30+2×31+…+2×3n -1) =(1+2n -1)n 2+2(1-3n )1-3=n 2-1+3n .等差、等比数列的综合问题[学生用书P36]共研典例类题通法解决等差数列、等比数列的综合问题,要从两个数列的特征入手,理清它们的关系;数列与不等式、函数、方程的交汇问题,可以结合数列的单调性、最值求解.已知数列{a n }满足a 1=12,a n +1a n +1-1-1a n -1=0,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =a n +1a n -1,数列{b n }的前n 项和为S n ,证明:S n <34.【解】(1)由已知a n +1a n +1-1-1a n -1=0,n ∈N *,得(a n +1-1)+1a n +1-1-1a n -1=0,即1+1a n +1-1-1a n -1=0,亦即1a n +1-1-1a n -1=-1(常数).所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n -1是以1a 1-1=-2为首项, -1为公差的等差数列.可得1a n -1=-2+(n -1)×(-1)=-(n +1),所以a n =nn +1.(2)证明:因为b n =a n +1a n -1=(n +1)2n (n +2)-1=1n (n +2)=12⎝⎛⎭⎪⎫1n -1n +2,所以S n =b 1+b 2+…+b n=12⎝⎛⎭⎫1-13+12⎝⎛⎭⎫12-14+12⎝⎛⎭⎫13-15+…+12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1-1n +1+12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2 =12⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12-1n +1-1n +2<12×⎝⎛⎭⎫1+12=34.解决数列综合问题的方法(1)等差数列与等比数列交汇的问题,常用“基本量法”求解,但有时灵活地运用性质,可使运算简便.(2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数,然后利用函数的性质求解数列问题.(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数,通过求数列的值域求解. [跟踪训练](2016·武汉模拟)已知S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和,S 1,S 2,S 4成等比数列,且a 3=-52.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =1(2n +1)a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)设{a n }的公差为d (d ≠0), 因为S 1,S 2,S 4成等比数列,所以S 22=S 1S 4,即(2a 1+d )2=a 1(4a 1+6d ),化简得d 2=2a 1d .因为d ≠0,所以d =2a 1.① 因为a 3=-52,所以a 1+2d =-52.②联立①②,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-12d =-1,所以a n =-12+(n -1)×(-1)=-n +12.(2)因为b n =1(2n +1)a n =1(2n +1)⎝⎛⎭⎫-n +12=-2(2n +1)(2n -1)=12n +1-12n -1,所以T n =⎝⎛⎭⎫13-1+⎝⎛⎭⎫15-13+⎝⎛⎭⎫17-15+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +1-12n -1=-1+12n +1=-2n 2n +1. 课时作业[学生用书P120(独立成册)]1.设各项均为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 4a 8=32,则S 11的最小值为( ) A .22 2B .442C .22D .44B [解析] 因为数列{a n }为各项均为正数的等差数列,所以a 4+a 8≥2a 4a 8=82,S 11=(a 1+a 11)×112=112(a 4+a 8)≥112×82=442,故S 11的最小值为442,当且仅当a 4=a 8=42时取等号.2.已知在数列{a n }中,a 1=-60,a n +1=a n +3,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 30|等于( ) A .445 B .765 C .1080D .3105B [解析] 因为a n +1=a n +3,所以a n +1-a n =3. 所以{a n }是以-60为首项,3为公差的等差数列. 所以a n =-60+3(n -1)=3n -63. 令a n ≤0,得n ≤21. 所以前20项都为负值. 所以|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 30| =-(a 1+a 2+…+a 20)+a 21+…+a 30 =-2S 20+S 30.因为S n =a 1+a n 2n =-123+3n 2×n ,所以|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 30|=765.3.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=3,a n +1a n -1=a n (n ≥2),则数列{a n }的前40项和S 40等于( )A .20B .40C .60D .80C [解析] 由a n +1=a na n -1(n ≥2),a 1=1,a 2=3,可得a 3=3,a 4=1,a 5=13,a 6=13,a 7=1,a 8=3,…,这是一个周期为6的数列,一个周期内的6项之和为263,又40=6×6+4,所以S 40=6×263+1+3+3+1=60.4.(2016·郑州模拟)设等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1=12,a 24=4a 2a 8,若1b n=log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ,则数列{b n }的前10项和为( )A .-2011B.2011C .-95D.95A [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ,因为a 24=4a 2a 8,所以(a 1q 3)2=4a 1q ·a 1q 7,即4q 2=1,所以q =12或q =-12(舍),所以a n =⎝⎛⎭⎫12n =2-n ,所以log 2a n =log 22-n =-n ,所以1b n =-(1+2+3+…+n )=-n (1+n )2,所以b n =-2n (1+n )=-2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1,所以数列{b n }的前10项和为-2⎣⎡⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13⎦⎤+…+⎝⎛⎭⎫110-111=-2·⎝⎛⎭⎫1-111=-2011. 5.设b n =a n (a n +1)(a n +1+1)(其中a n =2n -1),数列{b n }的前n 项和为T n ,则T 5=( )A.3133B.3233C.3166D.1633C [解析] 由题意得,b n =2n -1(2n -1+1)(2n +1)=12n -1+1-12n +1,所以T n =⎝ ⎛⎭⎪⎫120+1-121+1+⎝ ⎛⎭⎪⎫121+1-122+1+…+ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1+1-12n +1=12-12n +1,所以T 5=12-133=3166.6.已知f (x ),g (x )都是定义在R 上的函数,g (x )≠0,f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x ),且f (x )=a x g (x )(a>0,且a ≠1),f (1)g (1)+f (-1)g (-1)=52.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )的前n 项和大于62,则n 的最小值为( )A .8B .7C .6D .9C [解析] 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )g 2(x )>0,知f (x )g (x )在R 上是增函数,即f (x )g (x )=a x 为增函数,所以a >1.又因为a +1a =52,所以a =2或a =12(舍).数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )的前n 项和S n =21+22+…+2n =2(1-2n)1-2=2n +1-2>62.即2n >32,所以n >5.7.(2016·海口调研测试)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n +a n +1=12n (n =1,2,3,…),则S 2n +3=________.[解析] 依题意得S 2n +3=a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 2n +2+a 2n +3)=1+14+116+…+14n +1=1-14n +21-14=43⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14n +2. [答案]43⎝⎛⎭⎫1-14n +28.若等比数列的各项均为正数,前4项的和为9,积为814,则前4项倒数的和为________.[解析] 设等比数列的首项为a 1,公比为q ,则第2,3,4项分别为a 1q ,a 1q 2,a 1q 3,依题意得a 1+a 1q +a 1q 2+a 1q 3=9,a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3=814⇒a 21q 3=92,两式相除得a 1+a 1q +a 1q 2+a 1q 3a 21q 3=1a 1+1a 1q +1a 1q 2+1a 1q3=2. [答案]29.数列{a n }满足a n +a n +1=12(n ∈N *),a 2=2,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 2017=________.[解析] 因为a n +a n +1=12(n ∈N *),所以a 1=12-a 2=12-2,a 2=2,a 3=12-2,a 4=2,…,故a 2n =2,a 2n -1=12-2,所以S 2017=1009a 1+1008a 2=1009×⎝⎛⎭⎫12-2+1008×2=10052. [答案]1005210.已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,设S n 为数列{a n }的前n 项和,对于任意的n >1,n ∈N *,S n +1+S n -1=2(S n +1)都成立,则S 10=________.[解析]因为⎩⎪⎨⎪⎧S n +1+S n -1=2S n +2,S n +2+S n =2S n +1+2,所以a n +2+a n =2a n +1,所以数列{a n }从第二项开始为等差数列,当n =2时,S 3+S 1=2S 2+2,所以a 3=a 2+2=4,所以S 10=1+2+4+6+…+18=1+9(2+18)2=91. [答案]9111.(2016·东北四市联考)已知数列{a n }满足a 1=511,a 6=-12,且数列{a n }的每一项加上1后成为等比数列.(1)求a n ;(2)令b n =|log 2(a n +1)|,求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)由题意数列{a n +1}是等比数列,设公比为q ,a 1+1=512,a 6+1=12=512×q 5, 解得q =14. 则数列{a n +1}是以512为首项,14为公比的等比数列, 所以a n +1=211-2n ,a n =211-2n -1.(2)由(1)知b n =|11-2n |,当n ≤5时,T n =10n -n 2,当n ≥6时,T n =n 2-10n +50,所以T n =⎩⎪⎨⎪⎧10n -n 2,n ≤5n 2-10n +50,n ≥6. 12.(2016·哈尔滨模拟)已知数列{a n }是等比数列,a 2=4,a 3+2是a 2和a 4的等差中项.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2log 2a n -1,求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解] (1)设数列{a n }的公比为q ,因为a 2=4,所以a 3=4q ,a 4=4q 2.因为a 3+2是a 2和a 4的等差中项,所以2(a 3+2)=a 2+a 4.即2(4q +2)=4+4q 2,化简得q 2-2q =0.因为公比q ≠0,所以q =2.所以a n =a 2q n -2=4×2n -2=2n (n ∈N *).(2)因为a n =2n ,所以b n =2log 2a n -1=2n -1,所以a n b n =(2n -1)2n ,则T n =1×2+3×22+5×23+…+(2n -3)2n -1+(2n -1)2n ,①2T n =1×22+3×23+5×24+…+(2n -3)2n +(2n -1)·2n +1,②由①-②得,-T n =2+2×22+2×23+…+2×2n -(2n -1)2n +1=2+2×4(1-2n -1)1-2-(2n -1)2n +1 =-6-(2n -3)2n +1,所以T n =6+(2n -3)2n +1.13.数列{a n }满足a n +1=a n 2a n +1,a 1=1. (1)证明:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列; (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ,并证明1S 1+1S 2+…+1S n >n n +1. [解] (1)证明:因为a n +1=a n 2a n +1,所以1a n +1=2a n +1a n ,化简得1a n +1=2+1a n , 即1a n +1-1a n =2,故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项,2为公差的等差数列. (2)由(1)知1a n =2n -1,所以S n =n (1+2n -1)2=n 2. 1S 1+1S 2+…+1S n =112+122+…+1n 2>11×2+12×3+…+1n (n +1)=⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1=1-1n +1=n n +1. 14.(选做题)已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的图象经过点⎝⎛⎭⎫π12,-2,⎝⎛⎭⎫7π12,2,且在区间⎝⎛⎭⎫π12,7π12上为单调函数. (1)求ω,φ的值;(2)设a n =nf ⎝⎛⎭⎫n π3(n ∈N *),求数列{a n }的前30项和S 30. [解] (1)由题可得ωπ12+φ=2k π-π2,k ∈Z ,7ωπ12+φ=2k π+π2,k ∈Z , 解得ω=2,φ=2k π-2π3,k ∈Z , 因为|φ|<π,所以φ=-2π3. (2)因为a n =2n sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π3-2π3(n ∈N *),数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π3-2π3(n ∈N *)的周期为3,前三项依次为0,3,-3,所以a 3n -2+a 3n -1+a 3n =(3n -2)×0+(3n -1)×3+3n ×(-3)=-3(n ∈N *), 所以S 30=(a 1+a 2+a 3)+…+(a 28+a 29+a 30)=-10 3.。
2014年全国高考试题及答案word版
2014年全国高考试题及答案word版一、语文试题1. 阅读下列文言文,完成下列各题。
(1)解释文中划线词语的含义。
(2)将文中划线的句子翻译成现代汉语。
(3)分析文中主要人物的性格特点。
2. 现代文阅读。
(1)概括文章的主要内容。
(2)分析文章中作者的观点和态度。
(3)根据文章内容,回答以下问题。
3. 作文。
请以“我眼中的家乡”为题,写一篇不少于800字的文章。
二、数学试题1. 选择题。
(1)下列哪个选项是正确的?A. 1+1=2B. 2+2=5C. 3+3=6D. 4+4=82. 填空题。
(1)计算下列表达式的值:3x+2=______。
(2)解方程:2x-5=1,x=______。
3. 解答题。
(1)证明下列几何定理。
(2)解决实际问题,列出方程并求解。
三、英语试题1. 听力部分。
(1)根据所听内容,选择正确的答案。
(2)填空题,根据所听内容填写缺失的单词。
2. 阅读理解。
(1)阅读下列文章,回答相关问题。
(2)根据文章内容,判断下列陈述的正误。
3. 写作部分。
请根据以下提示,写一封邀请信。
四、理科综合试题1. 物理部分。
(1)选择题,选择正确的答案。
(2)实验题,描述实验过程并得出结论。
(3)计算题,解决物理问题。
2. 化学部分。
(1)选择题,选择正确的答案。
(2)实验题,描述实验过程并得出结论。
(3)计算题,解决化学问题。
3. 生物部分。
(1)选择题,选择正确的答案。
(2)填空题,根据所学知识填写缺失的信息。
(3)简答题,回答生物学相关问题。
五、文科综合试题1. 政治部分。
(1)选择题,选择正确的答案。
(2)简答题,回答政治学相关问题。
(3)论述题,就某一政治现象进行分析。
2. 历史部分。
(1)选择题,选择正确的答案。
(2)材料分析题,根据提供的材料回答问题。
(3)论述题,就某一历史事件进行分析。
3. 地理部分。
(1)选择题,选择正确的答案。
(2)读图题,根据地图信息回答问题。
(3)论述题,就某一地理现象进行分析。
高考数学(文)一轮复习文档:第二章 基本初等函数、导数及其应用 第11讲导数与函数的单调性 Word版含答案
第11讲导数与函数的单调性,)函数的单调性在(a,b)内函数f(x)可导,f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为增函数.f′(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为减函数.辨明导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0(或<0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件;(2)f′(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件.注意:由函数f(x)在区间内单调递增(或递减),可得f′(x)≥0(或≤0)在该区间恒成立,而不是f′(x)>0(或<0)恒成立,“=”不能少.1.教材习题改编函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息:①f′(x)>0时,-1<x<2;②f′(x)<0时,x<-1或x>2;③f′(x)=0时,x=-1或x=2.则函数f(x)的大致图象是( )C 根据信息知,函数f(x)在(-1,2)上是增函数.在(-∞,-1),(2,+∞)上是减函数,故选C.2.教材习题改编函数f(x)=x3-3x+1的单调增区间是( )A.(-1,1) B.(-∞,1)C.(-1,+∞) D.(-∞,-1),(1,+∞)D f′(x)=3x2-3.由f′(x)>0得,x<-1或x>1.故单调增区间为(-∞,-1),(1,+∞),故选D.3.教材习题改编函数f(x)=cos x-x在(0,π)上的单调性是( )A.先增后减B.先减后增C.增函数D.减函数D 因为f ′(x )=-sin x -1<0. 所以f (x )在(0,π)上是减函数,故选D.4.教材习题改编函数f (x )=sin x +kx 在(0,π)上是增函数,则实数k 的取值范围为________.因为f ′(x )=cos x +k ≥0, 所以k ≥-cos x ,x ∈(0,π)恒成立. 当x ∈(0,π)时,-1<-cos x <1, 所以k ≥1.k ≥15.教材习题改编函数f (x )=x 2-ax -3在(1,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是________.f ′(x )=2x -a ,因为f (x )在(1,+∞)上是增函数, 所以2x -a ≥0在(1,+∞)上恒成立. 即a ≤2x ,所以a ≤2.a ≤2利用导数判断或证明函数的单调性已知函数f (x )=ln x -ax 2+(2-a )x .讨论f (x )的单调性. 【解】 f (x )的定义域为(0,+∞).f ′(x )=1x-2ax +(2-a )=-(2x +1)(ax -1)x.①若a ≤0,则f ′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增. ②若a >0,则由f ′(x )=0得x =1a,且当x ∈(0,1a)时,f ′(x )>0,当x >1a时,f ′(x )<0.所以f (x )在(0,1a )上单调递增,在(1a,+∞)上单调递减.已知函数f (x )=x -2x+1-a ln x ,a >0.讨论f (x )的单调性.由题意知,f (x )的定义域是(0,+∞),导函数f ′(x )=1+2x 2-a x =x 2-ax +2x 2.设g (x )=x 2-ax +2,二次方程g (x )=0的判别式Δ=a 2-8. ①当Δ<0,即0<a <22时,对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0,+∞)上的单调递增函数.②当Δ=0,即a =22时,仅对x =2有f ′(x )=0,对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0,+∞)上的单调递增函数.③当Δ>0,即a >22时,方程g (x )=0有两个不同的实根x 1=a -a 2-82,x 2=a +a 2-82,0<x 1<x 2.所以f (x ),f ′(x )随x 的变化情况如下表:(a +a 2-82,+∞)上单调递增.求函数的单调区间求函数f (x )=ln x -12x 2+x -12的单调区间.【解】 因为f (x )=ln x -12x 2+x -12,且定义域为(0,+∞),所以f ′(x )=1x -x +1=-(x -1-52)(x -1+52)x.令f ′(x )=0,所以x 1=1+52,x 2=1-52(舍去).当x ∈(0,1+52)时,f ′(x )>0;当x ∈(1+52,+∞)时,f ′(x )<0,所以函数f (x )的单调递增区间为(0,1+52),单调递减区间为(1+52,+∞).已知函数f (x )=ax 3+x 2(a ∈R )在x =-43处取得极值.(1)确定a 的值;(2)若g (x )=f (x )e x,讨论g (x )的单调区间. (1)对f (x )求导得f ′(x )=3ax 2+2x , 因为f (x )在x =-43处取得极值,所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫-43=0, 即3a ·169+2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-43=16a 3-83=0,解得a =12.(2)由(1)得g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3+x 2e x,故g ′(x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2+2x e x +⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3+x 2e x=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3+52x 2+2x e x=12x (x +1)(x +4)e x. 令g ′(x )=0,解得x =0或x =-1或x =-4. 当x <-4时,g ′(x )<0,故g (x )为减函数; 当-4<x <-1时,g ′(x )>0,故g (x )为增函数; 当-1<x <0时,g ′(x )<0,故g (x )为减函数; 当x >0时,g ′(x )>0,故g (x )为增函数.综上知,g (x )的单调递减区间为(-∞,-4),(-1,0),单调递增区间为(-4,-1),(0,+∞).函数单调性的应用(高频考点)利用导数根据函数的单调性(区间)求参数的取值范围,是高考考查函数单调性的一个重要考向,常以解答题的形式出现.高考对函数单调性的考查主要有以下两个命题角度: (1)已知函数单调性求参数的取值范围; (2)比较大小或解不等式.(1)若函数f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则k 的取值范围是( ) A .(-∞,-2]B .(-∞,-1]C . 因为函数f (x )=kx -ln x ,所以f ′(x )=k -1x,函数在区间(1,+∞)上单调递减,则f ′(x )≤0在(1,+∞)上恒成立,即k -1x≤0在区间(1,+∞)上恒成立,故k ≤1x在区间(1,+∞)上恒成立,因为在区间(1,+∞)上0<1x<1,故k ≤0.(1)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间上单调递增(减)可知f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间上恒成立列出不等式.②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题.③对等号单独检验,检验参数的取值能否使f ′(x )在整个区间恒等于0,若f ′(x )恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f ′(x )=0,则参数可取这个值.(2)利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式.(1)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0且在(a ,b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.(2)注意函数的单调区间与函数在某区间上具有单调性是不同的.角度一 已知函数单调性求参数的取值范围1.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(a -2)x -1,x ≤1log a x ,x >1,若f (x )在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围为________.要使函数f (x )在R 上单调递增,则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1,a -2>0,f (1)≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧a >1,a >2,a -2-1≤0,解得2<a ≤3,即实数a 的取值范围是(2,3]. (2,3]角度二 比较大小或解不等式2.f (x )是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f (xy )=f (x )+f (y ),f (3)=1,当f (x )+f (x -8)≤2时,x 的取值范围是( )A .(8,+∞)B .(8,9]C .D .(0,8)B 2=1+1=f (3)+f (3)=f (9),由f (x )+f (x -8)≤2,可得f ≤f (9),因为f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0,x -8>0,x (x -8)≤9,解得8<x ≤9., )——分类讨论思想研究函数的单调性已知函数f (x )=(ax 2-x +a )e x,试讨论函数f (x )的单调性. 【解】 f ′(x )=(x +1)(ax +a -1)e x.当a =0时,f ′(x )在(-∞,-1)上时,f ′(x )>0,f (x )在(-∞,-1)上单调递增;f ′(x )在(-1,+∞)上时,f ′(x )<0,f (x )在(-1,+∞)上单调递减.当a >0时,因为-1+1a >-1,所以f (x )在(-∞,-1)和(-1+1a,+∞)上单调递增,在(-1,-1+1a)上单调递减;当a <0时,因为-1+1a <-1,所以f (x )在(-∞,-1+1a)和(-1,+∞)上单调递减,在(-1+1a,-1)上单调递增.(1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论,常见的分类讨论标准有以下几种可能:①方程f ′(x )=0是否有根;②若f ′(x )=0有根,求出根后是否在定义域内;③若根在定义域内且有两个,比较根的大小是常见的分类方法.(2)本题求解中分a >0,a =0,a <0三种情况讨论.已知函数f (x )=a ln x +12x 2-(1+a )x .求函数f (x )的单调区间.f ′(x )=a x +x -(1+a )=x 2-(1+a )x +a x =(x -1)(x -a )x.当a ≤0时,若0<x <1,则f ′(x )<0,若x >1,则f ′(x )>0,故此时函数f (x )的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞);当0<a <1时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:当a =1时,f ′(x )=(x -1)2x≥0,所以函数f (x )的单调递增区间是(0,+∞);当a >1时,同0<a <1时的解法,可得函数f (x )的单调递增区间是(0,1),(a ,+∞),单调递减区间是(1,a )., )1.函数f (x )=e x-e x ,x ∈R 的单调递增区间是( ) A .(0,+∞) B .(-∞,0) C .(-∞,1)D .(1,+∞)D 由题意知,f ′(x )=e x-e ,令f ′(x )>0,解得x >1,故选D.2.已知函数f (x )的导函数f ′(x )=ax 2+bx +c 的图象如图所示,则f (x )的图象可能是( )D 当x <0时,由导函数f ′(x )=ax 2+bx +c <0,知相应的函数f (x )在该区间内单调递减;当x >0时,由导函数f ′(x )=ax 2+bx +c 的图象可知,导函数在区间(0,x 1)内的值是大于0的,则在此区间内函数f (x )单调递增.只有D 选项符合题意.3.若函数f (x )=x 3-tx 2+3x 在区间上单调递减,则实数t 的取值范围是( ) A .(-∞,518]B .(-∞,3]C .[518,+∞)D . f ′(x )=3x 2-2tx +3,由于f (x )在区间上单调递减,则有f ′(x )≤0在上恒成立,即3x 2-2tx +3≤0在上恒成立,则t ≥32(x +1x )在上恒成立,因为y =32(x +1x )在上单调递增,所以t ≥32(4+14)=518,故选C.4.已知函数f (x )=x sin x ,x ∈R ,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5,f (1),f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3的大小关系为( )A .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5B .f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5C .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3D .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1) A 因为f (x )=x ·sin x ,所以f (-x )=(-x )·sin(-x )=x sin x =f (x ).所以函数f (x )是偶函数,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2时,得f ′(x )=sin x +x cos x >0,所以此时函数是增函数.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5,故选A. 5.(2017·郑州第一次质量预测) 已知定义在R 上的函数f (x )满足f (-3)=f (5)=1,f ′(x )为f (x )的导函数,且导函数y =f ′(x )的图象如图所示,则不等式f (x )<1的解集是( )A .(-3,0)B .(-3,5)C .(0,5)D .(-∞,-3)∪(5,+∞)B 依题意得,当x >0时,f ′(x )>0,f (x )是增函数;当x <0时,f ′(x )<0,f (x )是减函数.又f (-3)=f (5)=1,因此不等式f (x )<1的解集是(-3,5).6.已知f (x )=ax 3,g (x )=9x 2+3x -1,当x ∈时,f (x )≥g (x )恒成立,则a 的取值范围为( )A .a ≥11B .a ≤11C .a ≥418D .a ≤418A f (x )≥g (x )恒成立,即ax 3≥9x 2+3x -1.因为x ∈,所以a ≥9x +3x 2-1x 3.令1x=t ,则当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1时,a ≥9t +3t 2-t 3.令h (t )=9t +3t 2-t 3,h ′(t )=9+6t -3t 2=-3(t -1)2+12.所以h ′(t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1上是增函数.所以h ′(t )min =h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12=-34+12>0. 所以h (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1上是增函数.所以a ≥h (1)=11,故选A.7.函数y =12x 2-ln x 的单调递减区间为________.对于函数y =12x 2-ln x ,易得其定义域为{x |x >0},y ′=x -1x =x 2-1x ,令x 2-1x<0,又x >0,所以x 2-1<0,解得0<x <1,即函数y =12x 2-ln x 的单调递减区间为(0,1).(0,1)8.若函数f (x )=13x 3-32x 2+ax +4恰在上单调递减,则实数a 的值为________.因为f (x )=13x 3-32x 2+ax +4,所以f ′(x )=x 2-3x +a ,又函数f (x )恰在上单调递减, 所以-1,4是f ′(x )=0的两根, 所以a =(-1)×4=-4. -49.(2017·石家庄二中开学考试)已知函数f (x )=ln x +2x,若f (x 2+2)<f (3x ),则实数x 的取值范围是________.由题可得函数定义域为(0,+∞),f ′(x )=1x+2xln 2,所以在定义域内f ′(x )>0,函数单调递增,所以由f (x 2+2)<f (3x )得x 2+2<3x ,所以1<x <2.(1,2)10.若函数f (x )=ax 3+3x 2-x 恰好有三个单调区间,则实数a 的取值范围是________. 由题意知f ′(x )=3ax 2+6x -1,由函数f (x )恰好有三个单调区间,得f ′(x )有两个不相等的零点,所以3ax 2+6x -1=0需满足a ≠0,且Δ=36+12a >0,解得a >-3,所以实数a 的取值范围是(-3,0)∪(0,+∞).(-3,0)∪(0,+∞)11.设函数f (x )=13x 3-a 2x 2+bx +c ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =1.(1)求b ,c 的值;(2)求函数f (x )的单调区间.(1)f ′(x )=x 2-ax +b ,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)=1,f ′(0)=0,即⎩⎪⎨⎪⎧c =1,b =0. (2)由(1)得,f ′(x )=x 2-ax =x (x -a ).①当a =0时,f ′(x )=x 2≥0恒成立,即函数f (x )在(-∞,+∞)内为单调增函数. ②当a >0时,由f ′(x )>0得,x >a 或x <0;由f ′(x )<0得0<x <a .即函数f (x )的单调递增区间为(-∞,0),(a ,+∞),单调递减区间为(0,a ). ③当a <0时,由f ′(x )>0得,x >0或x <a ;由f ′(x )<0得,a <x <0.即函数f (x )的单调递增区间为(-∞,a ),(0,+∞),单调递减区间为(a ,0).12.(2017·河北省衡水中学模拟)已知函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +a x e x,a ∈R . (1)当a =0时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;(2)当a =-1时,求证:f (x )在(0,+∞)上为增函数.函数f (x )的定义域为{x |x ≠0},f ′(x )=x 3+x 2+ax -a x 2e x . (1)当a =0时,f (x )=x ·e x ,f ′(x )=(x +1)e x,所以f (1)=e ,f ′(1)=2e.所以曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是y -e =2e(x -1),即2e x -y -e =0. (2)证明:当a =-1时,f ′(x )=x 3+x 2-x +1x 2e x (x >0). 设g (x )=x 3+x 2-x +1,则g ′(x )=3x 2+2x -1=(3x -1)(x +1).令g ′(x )=(3x -1)(x +1)>0,得x >13. 令g ′(x )=(3x -1)(x +1)<0,得0<x <13. 所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,13上是减函数,在⎝ ⎛⎭⎪⎫13,+∞上是增函数, 所以函数g (x )在x =13处取得最小值, 且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=2227>0. 所以g (x )在(0,+∞)上恒大于零.于是,当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )=x 3+x 2-x +1x 2e x >0恒成立.所以当a=-1时,函数f(x)在(0,+∞)上为增函数.13.已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)e x(x∈R,e为自然对数的底数).(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)函数f(x)是否为R上的单调函数?若是,求出a的取值范围;若不是,请说明理由. (1)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)e x,所以f′(x)=(-2x+2)e x+(-x2+2x)e x=(-x2+2)e x.令f′(x)>0,即(-x2+2)e x>0,因为e x>0,所以-x2+2>0,解得-2<x<2,所以函数f(x)的单调递增区间是(-2,2).(2)若函数f(x)在R上单调递减,则f′(x)≤0对任意x∈R都成立.即e x≤0对任意x∈R都成立.因为e x>0,所以x2-(a-2)x-a≥0对任意x∈R都成立.所以Δ=(a-2)2+4a≤0,即a2+4≤0,这是不可能的.故函数f(x)不可能在R上单调递减.若函数f(x)在R上单调递增,则f′(x)≥0对任意x∈R都成立,即e x≥0对任意x∈R都成立.因为e x>0,所以x2-(a-2)x-a≤0对任意x∈R都成立.而Δ=(a-2)2+4a=a2+4>0,故函数f(x)不可能在R上单调递增.综上可知函数f(x)不是R上的单调函数.。
2009年高考山东数学(文)试题及参考答案
6 x y 10 5 x 6 y 50 5 则满足的关系为 10 x 20 y 140 即: , x 2 y 14 x 0, y 0 x 0, y 0
2 x 1 ,所以所求的实数 x 的取值范围为(-2,1),故选 B.
答案:B. 6. 函数 y
e x e x 的图像大致为( e x e x
).
y 1 O 1 x 1
y
y
y
1 O1 x O 1 x O
1 1 D x
A
B
x x
C
【解析】:函数有意义,需使 e e
0 , 其 定 义 域 为 x | x 0 , 排 除 C,D, 又 因 为
件,所需租赁费最少为__________元. 【解析】:设甲种设备需要生产 x 天, 乙种设备需要生产 y 天, 该公司所需租赁费为 z 元, 则 z 200 x 300 y ,甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示: 产品 设备 A 类产品 (件)(≥50) B 类产品 (件)(≥ 140) 甲设备 乙设备 5 6 10 20 200 300 租赁费 (元)
y
e x e x e2 x 1 2 2x 1 2x ,所以当 x 0 时函数为减函数,故选 A x x e e e 1 e 1
答案:A. 7. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ( ) A.-1 B. -2 C.1 D. 2
x0 log2 (4 x), ,则 f(3)的值为 f ( x 1) f ( x 2), x 0
【解析】:由已知得 f (1) log 2 5 , f (0) log2 4 2 , f (1) f (0) f (1) 2 log2 5 ,
2011山东高考数学(文)word版可编辑
2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页,满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1、答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2、第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。
3、第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式:柱体的体积公式:V Sh =,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高。
圆柱的侧面积公式:S cl =,其中c 是圆柱的地面周长,l 是圆柱的母线长。
球的体积公式:343V R π=,其中R 是球的半径。
球的表面积公式:,其中R 是球的半径。
用最小二乘法求线性回归方程系数公式:=1221ˆˆ,.niii nii X Ynx yay bx Xnx==-=--∑∑ 如果事件A 、B 互斥,那么()()+()P A B P A P B +=.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题。
每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、设集合{}{}2|60,|13,M x x x N x x =+-<=≤≤则M N =(A) [1,2) (B) [1,2] (C) (2,3] (D) [2,3] 2、复数2()2i z i i-=+为虚数单位在复平面内对应的点所在象限为(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限3、若点a (,9)在函数3xy =的图象上,则tan 6a π的值为(A) 0(B)3(C) 1(D) 4、曲线311y x =+在点(1,12)P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是(A) -9 (B) -3 (C) 9 (D) 155、已知,,a b c R ∈,命题“2223,3a b c a b c ++=++≥若则”的否命题是(A) 2223,3a b c a b c ++≠++<若则 (B) 2223,3a b c a b c ++=++<若则 (C) 2223,3a b c a b c ++≠++≥若则 (D) 2223,3a b c a b c ++≥++=若则 6、若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω= (A) 3 (B) 2 (C)32(D)237、设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则目标函数231z x y =++的最大值为(A) 11 (B) 10 (C) 9 (D) 8.5 8、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:根据上表可得回归方程 y bxa =+ 中的b 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 (A) 63.6万元 (B) 65.5万元 (C) 67.7万元 (D) 72.0万元9、设00(,)M x y 为抛物线2:8C x y =上一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则0y 的取值范围是(A) ()0,2 (B) []0,2 (C) ()2,+∞ (D) [)2,+∞10、函数2sin 2x y x =-的图象大致是(A) (B)(C) (D)11、右图是长和宽分别相等的两个矩形,给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图; ②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图。
二项式定理.版块二.二项展开式2求展开式中的特定项.教师版 普通高中数学复习讲义Word版
1.二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理. ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式,其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数,式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项,用1r T +表示,即通项为展开式的第1r +项:1r n r rr nT C a b -+=. ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项,各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n .②字母a 的按降幂排列,从第一项开始,次数由n 逐项减1直到零,字母b 按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n . ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项,这里0,1,2,...,r n =. ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的,应用二项式定理时,其中的a 和b 是不能随便交换的.③注意二项式系数(r n C )与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数一定为正,而项的系数有时可为负.④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的,如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-(只须把b -看成b 代入二项式定理)这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的,在这知识内容求展开式中的特定项里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ,但项的系数一个是()1rr n C -,一个是r n C ,可看出,二项式系数与项的系数是不同的概念.⑤设1,a b x ==,则得公式:()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++. ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素, 只要知道其中四个即可求第五个元素.⑦当n 不是很大,x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值.2.二项式系数的性质⑴杨辉三角形:对于n 是较小的正整数时,可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理,二项式系数也可以直接用杨辉三角计算.杨辉三角有如下规律:“左、右两边斜行各数都是1.其余各数都等于它肩上两个数字的和.” ⑵二项式系数的性质:()na b +展开式的二项式系数是:012,,,...,nn n n n C C C C ,从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ,其定义域是:{}0,1,2,3,...,n . 当6n =时,()f r 的图象为下图:这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质. ①对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上,这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到.②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大; 如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大.由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅, ()()312123n n n n C --=⋅⋅,..., ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-,()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-,...,1nn C =.其中,后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数(如,1,2,...n n n --),分母是乘以逐次增大的数(如1,2,3,…).因为,一个自然数乘以一个大于1的数则变大,而乘以一个小于1的数则变小,从而当k 依次取1,2,3,…等值时,r n C 的值转化为不递增而递减了.又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等,所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小,且二项式系数最大的项必在中间. 当n 是偶数时,1n +是奇数,展开式共有1n +项,所以展开式有中间一项,并且这一项的二项式系数最大,最大为2n nC .当n 是奇数时,1n +是偶数,展开式共有1n +项,所以有中间两项. 这两项的二项式系数相等并且最大,最大为1122n n nnCC-+=.③二项式系数的和为2n ,即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=. ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=.常见题型有:求展开式的某些特定项、项数、系数,二项式定理的逆用,赋值用,简单的组合数式问题.二项展开式2求展开式中的特定项(常数项,有理项,系数最大项等.) 常数项【例1】 在()2043x +展开式中,系数为有理数的项共有 项.【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星典例分析【题型】填空【关键字】2010年,湖北高考 【解析】略 【答案】6;【例2】 100的展开式中共有_____项是有理项.【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】展开式的第r 项为50100321100100C C23r r r rrr r T --+==⋅⋅,要使第r 项为有理项,需要r 为2与3的倍数,从而6r k =,k ∈Z , 又0100r ≤≤,故01216k =,,,,,共有17项.【答案】17;【例3】 610(1(1++展开式中的常数项为_______(用数字作答). 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年,江西高考【解析】两个二项式的通项公式分别为3416110C (06)C (010)i j ij i j T x i S x j -++==≤≤,≤≤, 3411610C C (06010)i j i j i j T S x x i j -++⋅=≤≤,≤≤,当034i j-=即43i j =时,有3种情况:0i j ==;34i j ==,;68i j ==,.因此常数项为34686106101C C C C 4246++=.【答案】4246;【例4】 ()6211x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________.【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年,辽宁高考 【解析】略 【答案】5-【例5】 二项式42x +x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_____________,展开式中各项系数和为 .(用数字作答)【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年,石景山一模 【解析】通项公式4421442C 2C rrrr r r r T xxx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,2r =时,可得常数项2242C 24=; 令1x =即可得各项系数和为4381=.【答案】24,81;【例6】 若12a x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为220-,则实数a =___________.【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年,崇文1模【解析】由二项式定理4124311212CC rrr r r r r a T a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭.令44033r r -=⇒=. 于是有3312C 2201a a =-⇒=-. 【答案】1-;【例7】 在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,x 的系数是10-,则实数a 的值为 .【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年,海淀一模 【解析】由二项式定理,()()5210355C C rrr rr rr a T xa xx --⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭. 当1031r -=时,3r =,于是x 的系数为()3335C 10a a -=-,从而1a =.【答案】1;【例8】 在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,常数项是______.(结果用数值表示)【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年,西城2模【解析】容易知道26C 15=为所求. 【答案】15;【例9】 如果1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中,第四项与第六项的系数相等,则n = ,展开式中的常数项的值等于 .【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年,朝阳2模【解析】由题意有35C C 8n n n =⇒=;展开式的常数项的值为48C 70=.【答案】8,70;【例10】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 (用数字作答)【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年,全国高考【解析】281(12)()x x x+-的展开式中常数项为4338812(1)42C C ⋅+⋅⋅-=-.【答案】42-;【例11】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为_______(用数字作答).【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年,重庆高考【解析】由题意,2646n n =⇒=.于是通项662166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=当620r -=时,3r =.常数项为34620T C ==. 【答案】20;【例12】 若3(2n x的展开式中含有常数项,则最小的正整数n 等于 .【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】若3(2n x的展开式中含有常数项,31(2)rn r r r n T C x -+=⋅为常数项,则7302rn -=, 即67n r =,所以n 被7整除,当76n r ==,时成立,最小的正整数n 等于7.【答案】7;【例13】 在2)n x+的二项展开式中,若常数项为60,则n 等于 (用数字作答)【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年,江西高考【解析】通项公式为3212C =2C n rr n rr r r r nn x x--+T =(),由已知条件有30n r -=时,2C 60r r n =.容易验证当3n =时,不满足条件;6n =时满足条件.【答案】6;【例14】 21()n x x-的展开式中,常数项为15,则n = .【考点】求展开式中的特定项【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年,全国高考【解析】21()n x x -的展开式中,通项公式22311C ()()(1)C r n r r r r n rr n n T x xx --+=-=-,常数项为15,则:230(1)C 15r r n n r -=-=,.所以n 可以被3整除.容易验证当3n =时,不满足条件;当6n =时,4r =,常数项446(1)C 15-=,故6n =.【答案】6;【例15】 已知231(1)()nx x x x+++的展开式中没有常数项,n ∈*N ,且28n ≤≤,则n =______.【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2008年,辽宁高考 【解析】31()n x x +的通项公式为4131C ()C r n r r r n rr n n T x x x--+==. 如果题目中的多项式展开后没有常数项,则:40120n r r n -≠--,,,≤≤. 所以n 被4除只能余1.当28n ≤≤时,5n =.【答案】5;【例16】 12(x -展开式中的常数项为_______(用数字作答). 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年,山东高考【解析】用通项公式1212311212C ((1)C r r r r rr r r T x xx---+==-,当1203rr --=时,9r =, 常数项为912C 220-=-. 【答案】220-;【例17】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-,其中21i =-,则展开式中常数项是 (用数字作答)【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年,山东高考【解析】第三项的系数为2C n -,第五项的系数为4C n ,由第三项与第五项的系数之比为314-,可解得10n =,则通项210110()(rrr r T C x -+==405210()r rr i C x--,当4050r -=,解得8r =,故所求的常数项为8810()C 45i -=. 【答案】45;【例18】 已知10()n n ∈N ≤,若nxx )1(23-的展开式中含有常数项,则这样的n 有( ) A .3个 B .2 C .1 D .0【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】通项335121()()(1)C C rn r r r r n rr n n T x xx --+=-=-,存在常数项,则350n r -=, n 能被5整除,所以n 只有两种选择.选B .【答案】B ;【例19】 610(1(1++展开式中的常数项为_______(用数字作答). 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年,江西高考【解析】两个二项式的通项公式分别为3416110C (06)C (010)i j ij i j T x i S x j -++==≤≤,≤≤, 3411610C C (06010)i j ij i j T S x x i j -++⋅=≤≤,≤≤,当034i j-=即43i j =时,有3种情况:0i j ==;34i j ==,;68i j ==,.因此常数项为34686106101C C C C 4246++=.【答案】4246;【例20】 51(2x x+的展开式中整理后的常数项为 (用数字作答). 【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2005年,湖北高考【解析】注意到551(2x x +==所以要求10(x +的5x 的系数,10(x 的通项公式为:101011010C C r r r rr r r T x x --+==当5r =时,可求得10(x 的5x =.当然也可以直接将原多项式变为10,然后用通项公式求常数项.;【例21】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 (用数字作答)【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年,全国高考【解析】281(12)()x x x+-的展开式中常数项为4338812(1)42C C ⋅+⋅⋅-=-.【答案】42-;【例22】 已知312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项,则n 的值为( )A .7B .8C .9D .10【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略; 【答案】B ;【例23】 在2)n x+的二项展开式中,若常数项为60,则n 等于 (用数字作答)【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年,江西高考【解析】通项公式为3212C =2C n rr n rr r r r nn x x--+T =(),由已知条件有30n r -=时,2C 60r r n =.容易验证当3n =时,不满足条件;6n =时满足条件.【答案】6;【例24】 21()n x x-的展开式中,常数项为15,则n = .【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年,全国高考【解析】21()n x x -的展开式中,通项公式22311C ()()(1)C r n r r r r n rr n n T x xx--+=-=-, 常数项为15,则:230(1)C 15r r n n r -=-=,.所以n 可以被3整除.容易验证当3n =时,不满足条件;当6n =时,4r =,常数项446(1)C 15-=,故6n =.【答案】6;【例25】 12(x -展开式中的常数项为_______(用数字作答). 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年,山东高考 【解析】用通项公式1212311212C ((1)C r r rr rr r r T xxx---+==-,当1203rr --=时,9r =, 常数项为912C 220-=-. 【答案】220-;【例26】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-,其中21i =-,则展开式中常数项是 (用数字作答)【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年,山东高考【解析】第三项的系数为2C n -,第五项的系数为4C n ,由第三项与第五项的系数之比为314-,可解得10n =,则通项210110()(rrr r T C x -+==405210()r rr i C x--,当4050r -=,解得8r =,故所求的常数项为8810()C 45i -= 【答案】45;【例27】 已知10()n n ∈N ≤,若nxx )1(23-的展开式中含有常数项,则这样的n 有( ) A .3个 B .2 C .1 D .0【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】通项335121()()(1)C C rn r r r r n rr n n T x x x--+=-=-,存在常数项, 则350n r -=,n 能被5整除,所以n 只有两种选择.选B .【答案】B ;【例28】 12x ⎛- ⎝展开式中的常数项为( )A .1320-B .1320C .220-D .220【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年,山东高考 【解析】41212311212C C (1)rr r r r r r T xx--+⎛==- ⎝, 412093r r -=⇒=,9912121110C (1)22032⨯⨯-=-=-⨯.【答案】C ;【例29】 求612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项.【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】212xx ++= 12612xx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.由12展开式的通项公式12611212rr r rr T x --+==C C ,可得展开式的常数项为612924=C .【例30】 6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是 (用数字作答)【考点】求展开式中的特定项【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年,四川高考 【解析】通项公式662621661C (2)(1)C 22rr rr r r rr T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令620r -=,得3r =, 故常数项为336(1)C 20-=-.【答案】-20【例31】 在2nx ⎫+⎪⎭的二项展开式中,若常数项为60,则n 等于( )A.3 B.6 C.9 D.12【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】通项公式3212C 2C rn r r n rr r r nn T x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令3023n r nr -=⇒=,且n 为3的倍数. 常数项为2332C 60215n n n==⨯,从而6n ≤,故3n =或6,验证可知6n =.【答案】B ;【例32】 1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项,那么正整数n 的值是 .【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2007年,四川高考 【解析】8n =;44448411C C n n nn T xx x --+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭为常数项,故80n -=.【答案】8;【例33】 若nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+31的展开式中存在常数项,则n 的值可以是( ) A .10 B .11 C .12 D .14【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年,东城区一模【解析】通项公式3561C C rn rr n r rr n n T x --+==,由题设知存在r n ≤,使得350n r -=,即35n r =,因此n 应是5的倍数,只有A 选项符合要求,验证可知满足要求.【答案】A ;【例34】 在261(2)x x-的展开式中常数项是 ,中间项是________.【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】略【答案】360160x -,.35460160T T x ==-,.【例35】 已知231(1)()n x x x x +++的展开式中没有常数项,n ∈*N ,且28n ≤≤,则n =______.【考点】求展开式中的特定项【题型】填空【关键字】2008年,辽宁高考 【解析】31()n x x +的通项公式为4131C ()C r n r r r n rr n n T x x x--+==. 如果题目中的多项式展开后没有常数项,则:40120n r r n -≠--,,,≤≤. 所以n 被4除只能余1.当28n ≤≤时,5n =.【答案】5;【例36】 若3(2n x的展开式中含有常数项,则最小的正整数n 等于 .【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】若3(2n x的展开式中含有常数项,31(2)rn r r r n T C x -+=⋅为常数项,则7302rn -=, 即67n r =,所以n 被7整除,当76n r ==,时成立,最小的正整数n 等于7.【答案】7;【例37】 已知2nx⎛- ⎝的展开式中第三项与第五项的系数之比为314,则展开式中常数项是( )A .1-B .1C .45-D .45【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【解析】通项公式52221C ()(1)C rn r r n rr r r nn T x x --+⎛==- ⎝,由题设2244(1)C 310(1)C 14n nn -=⇒=-. 令52082n r r -=⇒=,故常数项为8810(1)C 45-=. 【答案】D ;【例38】 若21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数和为512,则n 等于________;该展开式中的常数项为_________.【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年朝阳区一模【解析】由题设25129nn =⇒=,通项公式291831991C ()C rrrr rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭, 令1830r -=,得6r =,故常数项为69C 84=. 【答案】9;84;【例39】 若921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为84,则a =_____,其展开式中二项式系数之和为_________.【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年,西城区二模 【解析】通项公式2991831991C ()(1)C rrrr r r rr T ax a xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令1830r -=,得6r =,常数项6639(1)C 841a a -=⇒=,展开式中二项式系数之和为92512=. 【答案】1512,;【例40】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( )A .10B .20C .30D .120【考点】求展开式中的特定项 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】B ;有理项【例41】 求二项式15的展开式中:⑴常数项;⑵有几个有理项(只需求出个数即可); ⑶有几个整式项(只需求出个数即可).【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】展开式的通项为:30515611515(1)C (1)2C rrrr rr r r r T x--+=-=-. ⑴设1r T +项为常数项,则30506r -=,得6r =,即常数项为667152C T =;⑵设1r T +项为有理项,则3055566r r -=-为整数,∴r 为6的倍数, 又∵015r ≤≤,∴r 可取0,6,12三个数, 故共有3个有理项.⑶556r -为非负整数,得0r =或6,∴有两个整式项.【例42】100的展开式中共有_______项是有理项. 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】展开式的第r 项为50100321100100C C23r r rrrr r T --+==⋅⋅,要使第r 项为有理项,需要r 为2与3的倍数,从而6r k =,k ∈Z , 又0100r ≤≤,故01216k =,,,,,共有17项.【答案】17;【例43】 二项式15的展开式中:⑴求常数项;⑵有几个有理项; ⑶有几个整式项.【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】展开式的通项为:30515611515(1)C (1)2C r rr rr r rr r T x--+=-=-.⑴1r T +项为常数项,则30506r -=,得6r =,即常数项为667152C T =; ⑵设1r T +项为有理项,则3055566r r -=-为整数,∴r 为6的倍数,又∵015r ≤≤,∴r 可取0612,,三个数.⑶556r -为非负整数,得0r =或6,∴有两个整式项.【例44】 已知在n的展开式中,前三项的系数成等差数列①求n ;②求展开式中的有理项.【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】①通项公式2341C C 2rn rr r n rn r nr T x--+==, 由题设2102C C C 2822nn nn +=⨯⇒=(1n =舍去).②34841C 2r rr r T x -+=,1r T +为有理项的充要条件为344r -∈Z ,所以r 是4的倍数,048r =,,.因此所有有理项为415923518256T x T x T x ===,,.【例45】 二项展开式15中,有理项的项数是( )A .3B .4C .5D .6【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】无【解析】45515611515C Cr rrr rrT x--+=⋅=⋅(r = 0,1,2,…,14 ),当3915r=,,时,为有理项,选A.【答案】A;【例46】在(1132的展开式中任取一项,设所取项为有理项的概率为p,则1 0px dx=⎰A.1 B.67C.76D.1113【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】B;11111111323211111C3232Crr r rr r r rrT x x x--+-+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭于是r可取3,9,则21126P==,1711660066|77x dx x⎰==【答案】B;【例47】12的展开式中,含x的正整数次幂的项共有()A.4项B.3项C.2项D.1项【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】略【答案】B ;【例48】若(51a +=+a ,b 为有理数),则a b +=( ) A .45B .55C .70D .80【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年,北京高考【解析】(523451141+=++++=+【答案】C ;系数最大的项【例49】 已知(n x +的展开式中前三项的系数成等差数列.⑴求n 的值;⑵求展开式中系数最大的项.【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴由题设,得02111C C 2C 42n n n +=⨯,即2980n n -+=,解得8n =或1n =(舍去). ⑵设第1r +项的系数最大,则1881188111C C 2211C C 22rr r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥,即1182(1)1129r r r r⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥≥解得2r =或3r =.所以系数最大的项为7523477T x T x ==,.【例50】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项? 【考点】求展开式中的特定项 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】通项公式为20120C 2(3)rr r r T x -+=⋅⋅. 若第1r +项最大,设第1r +项的系数为1r t +,则11211r r r rt tt t +++≥,≥. 将通项公式系数代入化简得:2(1)3(21)113(20)2r r r r+--≥,≥.解出586355r ≤≤.∴12r =因此系数最大的项是第13项.【答案】13;【例51】 已知(13)n x +的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求展开式中系数最大的项.【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】由已知有21C C C 121n n n n n n --++=,即22400n n +-=,解得15n =或16n =-(舍去) 设第第1r +项的系数最大,则111515111515C 3C 3C 3C 3r r r r r r r r ++--⎧⋅⋅⎪⎨⋅⋅⎪⎩≥≥,即133115116r r r r -+-≥,≥ 解得1112r =,所以系数最大的项为1111111215C 3T x =⋅和1212121315C 3T x =⋅.【例52】 在132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是____.A .7-B .7C .28-D .28【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】于是8n =⨯,展开式的常数项为6216378C 72x T x -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】B ;【例53】 已知lg 8(2)x x x +的展开式中,二项式系数最大的项的值等于1120,求x . 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】由题设,44lg 48C (2)()1120x x x =,即44lg 1x x +=,0x >. 故44lg 0x +=或1x =,解得x 的值为1或110. 【答案】x 的值为1或110.【例54】 求10的展开式中,系数绝对值最大的项以及系数最大的项.【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答【关键字】无 【解析】略【答案】展开式的通项公式为:3056110C (1)2r rr rr T x--+=-⋅⋅,系数的绝对值为10C 2rr -⋅,记为1r t +. 用前后两项系数的绝对值作商得:1(1)12101011010C 2C 10!!(10)!10C 22C (1)!(9)!210!2(1)r r r r r r rr t r r r t r r r +-+++-+⋅--===⋅=⋅+⋅-⋅+. 令1012(1)r r -+≥得:83r ≤,即012r =,,时,上述不等式成立. 所以,系数的绝对值从第1项到第4项增加,以后逐项减小. 系数绝对值最大的项为第4项,5533322410C (1)215T x x -=-=-.从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替,只要比较第3项与第5项的系数,记它们的系数分别为3t 与5t ,224431051045210105C 2C 24168t t --=⋅==⋅==,. 所以,系数最大的项为第5项,5351058T x =.【例55】 已知n展开式中的倒数第三项的系数为45,求: ⑴含3x 的项; ⑵系数最大的项.【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴ 由题设知2C 45n n-=,解得10n =. 21113010341211010C ()()C r rrrr r T x x x---+==,令11303612r r -=⇒=, 因此含3x 的项为633710C 210T x x ==. ⑵ 系数最大的项为中间项,即55302551212610C 252T xx -==.【例56】 设m n +∈N ,,1m n ,≥,()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中,x 的系数为19.⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值;⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值,求7x 的系数.【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】11C C 19m n +=,即19m n +=.∴19m n =-.⑴设2x 的系数为222221919C C 1917117124mnT n n n ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭.∵n +∈N ,1n ≥,∴当1n =或18n =时,max 163T =;当9n =或10时,min 81T =. ⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m n ,的值,即98()(1)(1)f x x x =+++从而7x 的系数为77109C C 156+=.【例57】 已知:223(3)n x x +的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大992.⑴求展开式中二项式系数最大的项;⑵求展开式中系数最大的项.【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】令1x =,则展开式中各项系数和为2(13)2n n +=,又展开式中二项式系数和为2n ,∴222992n n -=,5n =.⑴ ∵5n =,展开式共6项,二项式系数最大的项为第三、四两项, ∴223226335C ()(3)90T x x x ==,22232233345C ()(3)270T x x x ==, ⑵ 设展开式中第1r +项系数最大,则21045233155C ()(3)3C r rrr rr r T x x x+-+==,∴115511553C 3C 79223C 3C r r r r r r r r r --++⎧⎪⇒⎨⎪⎩≥≤≤≥,∴4r =,即展开式中第5项系数最大,2264243355C ()(3)405T x x x ==.【例58】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项? 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】通项公式为20120C 2(3)rr r r T x -+=⋅⋅. 若第1r +项最大,设第1r +项的系数为1r t +,则11211r r r rt tt t +++≥,≥. 将通项公式系数代入化简得:2(1)3(21)113(20)2r r r r+--≥,≥.解出586355r ≤≤.∴12r =因此系数最大的项是第13项.【答案】13;【例59】 关于二项式2005(1)x -有下列命题:①该二项展开式中非常数项的系数和是1:②该二项展开式中第六项为619992005C x; ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项; ④当2006x =时,2005(1)x -除以2006的余数是2005. 其中正确命题的序号是__________.(注:把你认为正确的命题序号都填上)【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无【解析】二项式2005(1)x -所有项的系数和为0,其常数项为1-,非常数项的系数和是1,得①正确;二项展开式的第六项为520002005C x,即得②错误; 二项展开式中系数绝对值最大的项为第1003项(系数为10022005C )与第1004项(系数为10032005C -),得系数最大的项是第1003项,即③错误; 当2006x =时,2005(1)x -除以2006的余数是20052006(1)2005+-=,即④正确.故应填①④.【答案】①④;【例60】 在2nx ⎛ ⎝的展开式,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项为 .(用数字作答)【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无【解析】7;根据第5项的二项式系数最大可求出n .常数项为7。
2009年高考数学(北京)文(word版含答案)
解:(Ⅰ)因为
=
=
所以函数 的最小正周期为 .
(Ⅱ)由 得
所以 .
即 的最大值为1,最小值为 .
16.(共14分)
解法一:
(Ⅰ) 四边形 是正方形,
.
底面 ,
.
平面 .
平面 平面 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 平面 于
为 与平面 所成的角.
分别为 的中点
.பைடு நூலகம்
又 底面
底面 .
在 中
即 与平面 所成的角为 .
16.(本小题共14分)
如图,四棱锥 的底面是正方形, ,点E在棱PB上.
(Ⅰ)求证:平面 ;
(Ⅱ)当 且E为PB的中点时,
求AE与平面PDB所成的角的大小.
17.(本小题共13分)
某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是 ,遇到红灯时停留的时间都是2min.
14.设A是整数集的一个非空子集,对于 ,如果 ,且 ,那么称 是A的一个“孤立元”.给定 ,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有个.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
15.(本小题共12分)
已知函数 .
(Ⅰ)求 的最小正周期;
(Ⅱ)求 在区间 上的最大值和最小值.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)已知直线 与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆 上,求m的值.
20.(本小题共13分)
设数列 的通项公式为 .数列 定义如下:对于正整数m, 是使得不等式 成立的所有n中的最小值.
(Ⅰ)若 ,求 ;
(Ⅱ)若 ,求数列 的前2m项和公式;
2011年高考数学山东文(word版含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学【选择题】【1】.设集合{|(3)(2)0},{|1M x x x N x =+-<=≤x ≤3},则M N ⋂=( ).(A ) [1,2)(B )[1,2](C )(2,3](D )[2,3]【2】.复数2i2iz -=+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ).(A )第一象限(B )第二象限(C )第三象限(D )第四象限【3】.若点(,9)a 在函数3x y =的图像上,则πtan6a 的值为( ). (A )0(B)(C )1(D【4】.曲线311y x =+在点(1,12)P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ).(A )9- (B )3-(C )9(D )15【5】.已知,,a b c ∈R ,命题“若2223a b c ++=,则222a b c ++3≥”的否命题是( ). (A )若3a b c ++≠,则2223a b c ++< (B )若3a b c ++=,则2223a b c ++< (C )若3a b c ++≠,则222a b c ++3≥(D )若222a b c ++3≥,则3a b c ++=【6】.若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω= ( ).(A )23(B )32(C )2 (D )3【7】.设变量,x y 满足约束条件250,20,0,x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥则目标函数231z x y =++的最大值为( ).(A )11 (B )10 (C )9 (D )8.5 【8】.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ).(A )63.6万元(B )65.5万元(C )67.7万元(D )72.0万元【9】.设00(,)M x y 为抛物线C :28x y =上一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则0y 的取值范围是( ).(A )(0,2)(B )[0,2](C )(2,)+∞(D )[2,)+∞【10】.函数2sin 2xy x =-的图像大致是( ).(A ) (B ) (C ) (D )【11】.下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图.其中真命题的个数是( ).(A )3(B )2 (C )1 (D )0【12】.设1234,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若1312()A A A A λλ=∈R ,1412()A A A A μμ=∈R ,且112λμ+=,则称34,A A 调和分割12,A A .已知点(,0),(,0)(,)C c D d c d ∈R 调和分割点(0,0),(1,0)A B ,则下面说法正确的是( ).(A )C 可能是线段AB 的中点 (B )D 可能是线段AB 的中点 (C ),C D 可能同时在线段AB 上(D ),C D 不可能同时在线段AB 的延长线上【填空题】【13】.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生,为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数为 .【14】.执行下图所示的程序框图,输入2,3,5l m n ===,则输出的y 的值是 .【15】.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 . 【16】.已知函数()log (0,1)a f x x xb a a =+->≠且.当234a b <<<<时,函数()f x 的零点*0(,1),x n n n ∈+∈N ,则n = .【解答题】【17】.在△ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=.(1)求sin sin CA的值; (2)若1cos 4B =,△ABC 的周长为5,求b 的长.【18】.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率. 【19】.如下图,在四棱台1111ABCD A BC D -中,1D D ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是平行四边形,11=2,,60AB AD AD A B BAD =∠=︒.(1)证明:1AA BD ⊥;(2)证明:11//CC A BD 平面.【20】.等比数列{}n a 中,123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足:(1)ln n n n n b a a =+-,求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【21】.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为80π3立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为(3)c c >千元.设该容器的建造费用为y 千元.(1)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r .【22】.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22:13x C y +=.如图所示,斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,线段AB 的中点为E ,射线OE 交椭圆C 于点G ,交直线3x =-于点(3,)D m -.(1)求22m k +的最小值; (2)若2OGOD =∙OE ,(i )求证:直线l 过定点;(ii )试问点B ,G 能否关于x 轴对称?若能,求出此时△ABG 的外接圆方程;若不能, 请说明理由.【参考答案】 【1】.A 提示:因为{}|32M x x =-<<,所以M N ⋂={|1x ≤2}x <.【2】.D提示:因为22i (2i)34i2i 55z ---===+,故复数z 对应的点在第四象限. 【3】.D提示:由题意知9=3a,解得2a =,所以π2ππtan tan tan 663a === 【4】.C 提示:因为23y x '=,所以曲线在点(1,12)P 处的切线为39y x =+,当0x =时,9y =.【5】.A提示:命题“若p ,则q ”的否命题是“若p ⌝,则q ⌝”,所以原命题的否命题为“若3a b c ++≠,则2223a b c ++<”.【6】.B提示:由题意知,函数在π3x =处取得最大值1,所以1=sin π3ω,即ππ2π32k ω=+,解得36,2k k ω=+∈Z .当0k =时,32ω=.【7】.B提示:画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线231z x y =++平移至点(3,1)A 时, 目标函数231z x y =++取得最大值为10.【8】.B提示:由表可计算4235742x +++==,49263954424y +++==.因为点7(,42)2在回归直线ˆˆˆybx a =+上,且ˆb 为9.4,所以7ˆ429.42a =⨯+, 解得9.1a =.故回归方程为ˆ9.49.1y x =+. 令6x =得ˆy=65.5. 【9】.C提示:设圆的半径为r ,因为(0,2)F 是圆心, 抛物线C 的准线方程为2y =-,由圆与准线相切知4r <.因为点00(,)M x y 为抛物线C :28x y =上一点,所以有2008x y =.又点00(,)M x y 在圆222(2)x y r +-=上,所以22200(2)16x y r +-=>.所以2008(2)16y y +->,即有2004120y y +->,解得02y >或06y <-.又因为00y ≥, 所以02y >.【10】.C 提示:因为12cos 2y x '=-,所以令12cos 02y x '=->,得1cos 4x <,此时原函数是增函数;令12cos 02y x '=-<,得1cos 4x >,此时原函数是减函数.结合余弦函数的图像可知函数2s i n 2xy x =-在0x =及2πx =附近为减函数.又原函数的图像过原点,所以选(C ).【11】.A提示:对于①,可以是有两个侧面互相垂直的三棱柱放倒,让互相垂直的两个侧面中有一个垂直于地面时的情形;比较容易判断②③是可以的. 【12】.D 提示:因为1312()A A A A λλ=∈R ,1412()A A A A μμ=∈R ,所以四点1234,,,A A A A 共线.因为,C D调和分割点,A B ,所以,,,A B C D 四点在同一直线上,且112c d+=, 故选(D ). 【13】.16提示:由题意知,抽取比例为3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为40820⨯=16. 【14】.68提示:由输入2,3,5l m n ===,计算得出278105y =>,执行105y y =-,得到新173105y =>,再执行105y y =-,又得新68105y =<,输出68y =.【15】.22=143x y -提示:因为椭圆的焦距为227a b +=.因为椭圆的的离心率为圆离心率的两倍,所以22274a b a +=.解得224,3a b ==. 【16】.2提示:由题意,知方程log 0(01)ax x b a a +-=>≠,且的根为0x ,即函数log (23)a y x a =<<的图像与直线(34)y x b b =-+<<的交点的横坐标为0x ,且*0(,1),x n n n ∈+∈N .结合图像,因为当(23)x a a =<<时,log 1a y a ==,此时对应直线上1y =的点的横坐标1(2,3)x b =-∈;当2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图像上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-+<<的图像上点的横坐标(1,2)x ∈,故所求的2n =.【17】.解:(1)由正弦定理,设,sin sin sin a b ck A B C=== 则22sin sin 2sin sin sin sin c a k C k A C Ab k B B ---==. 所以cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--=,即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-,化简可得sin()2sin()A B B C +=+. 又πA B C ++=, 所以sin 2sin C A =.因此sin 2.sin CA = (2)由sin 2sin CA=,得2c a =. 由余弦定理及1cos 4B =,得22222222cos 14444.b ac ac Ba a a a =+-=+-⨯= 所以2.b a = 又5,a bc ++= 所以1a =.因此2b =. 【18】.解:(1)甲校两男教师分别用,A B 表示,女教师用C 表示;乙校男教师用D 表示,两女教师分别用,E F 表示.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A D A E A F B D B E B F C D C E C F ,共9种. 从中选出两名教师性别相同的结果有(,),(,),(,),(,)A D B D C E C F ,共4种.选出的两名教师性别相同的概率为49P =. (2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A D A E A F B C B D B E B F C D C E C F D E(,),(,)D F E F ,共15种.从中选出两名教师来自同一学校的结果有(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A C B C D E D F E F ,共6种.选出的两名教师来自同一学校的概率为62155P ==. 【19】.(I )证法一:如图1,因为1D D ⊥平面ABCD ,且BD ⊂平面ABCD , 所以1D D BD ⊥.因为2AB AD =,60BAD ∠=︒, 又在△ABD 中,由余弦定理得22222cos603BD AD AB AD AB AD =+-⋅︒=,所以222AD BD AB +=.因此AD BD ⊥. 图1 又1,ADD D D =所以11.BD ADD A ⊥平面 又1AA ⊂平面11ADD A , 故1AA BD ⊥.证法二:因为1D D ⊥平面ABCD ,且BD ⊂平面ABCD , 所以1BD D D ⊥.取AB 的中点G ,连结DG ,如图2.在△ABD 中,由2AB AD =,得AG AD =. 又60BAD ∠=︒,所以△ADG 为等边三角形. 因此GD GB =. 故DBG GDB ∠=∠, 又60AGD ∠=︒,图21,GDB ADB ADG GDB BD AD AD D D D ∠︒∠∠∠︒︒︒⊥=所以=30.故=+=60+30=90,所以.又所以BD ⊥平面11.ADD A 又1AA ⊂平面11ADD A , 所以1AA BD ⊥.(2)证明:连结11,AC AC ,如图3. 设ACBD E =,连结1EA .因为四边形ABCD 为平行四边形, 所以1.2EC AC =由棱台定义及1122AB AD A B ==,知1111//=AC EC AC EC 且. 图3 所以四边形11A ECC 为平行四边形. 因此11//CC EA . 又因为1EA ⊂平面1A BD ,1CC ⊄平面1A BD ,所以1//CC 平面1A BD . 【20】.解:(1)当13a =时,不合题意;当12a =时,当且仅当236,18a a ==时,符合题意; 当110a =时,不合题意. 因此1232,6,18a a a ===.所以公比3q =. 故123n na -=⋅.(2)因为(1)ln n nn n b a a =+-111123(1)ln(23)23(1)[ln 2(1)ln 3]23(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3,n n n n n n n n n n ----=⋅+-⋅=⋅+-+-=⋅+--+-所以212221222(133)[111(1)](ln 2ln3)[123(1)2]ln3n nn nnS b b b n -=+++=++++-+-++--+-+-++-22132ln 3133ln 3 1.nn n n -=⨯+-=+- 【21】.解:(1)设容器的容积为V , 由题意知234ππ3V r l r =+,又80π,3V = 故32224π8044203π333V r l r r r r r -⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭.由于l ≥2r , 因此0r <≤2. 所以建造费用2224202π34π2π34π3y rl r c r r r c r ⎛⎫=⨯+=⨯-⨯+ ⎪⎝⎭.因此2160π4π(2)y c r r=-+,0r <≤2. (2)由(1)得322160π8π(2)208π(2),022c y c r r r r r c -⎛⎫'=--=-<< ⎪-⎝⎭. 由于3c >,所以20c ->. 当32002r c -=-时,r =m =,则0m >. 所以2228π(2)()()c y r m r rm m r-'=-++. ①当02m <<,即92c >时,当r m =时,y '=0; 当r m ∈(0,)时,y '<0; 当r m ∈(,2)时,y '>0.所以r m =是函数y 的极小值点,也是最小值点. ②当2m ≥,即3c <≤92时, 当(0,2),0,r y '∈<时函数单调递减.所以2r =是函数y 的最小值点. 综上所述,当932c <≤时,建造费用最小时2r =; 当92c >时,建造费用最小时r = 【22】.(1)解:设直线l 的方程为(0)y kx t k =+>,由题意,0t >. 由方程组22,1,3y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(31)6330k x ktx t +++-=. 由题意0∆>,所以2231.k t +>设1122(,),(,)A x y B x y , 由根与系数的关系得1226,31kt x x k +=-+ 所以122231t y y k +=+. 由于E 为线段AB 的中点, 因此223,3131E E kt t x y k k =-=++. 此时13E OE E y k x k==-. 所以OE 所在直线方程为13y x k =-. 又由题设知(3,)D m -在直线OE 上,令3x =-,得1m k =,即1mk =. 所以2222,m k mk +≥=当且仅当1m k ==时取等号.此时由0∆>得02,t <<因此当102m k t ==<<且时,22m k +取最小值2.(2)(i )证明:由(1)知OD 所在直线的方程为1,3y x k=- 将其代入椭圆C 的方程,并由0,k >解得G ⎛⎫ ⎝.又2231,,3,3131kt t E D k k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 由距离公式及0t >得22222291||,31||||31k OG k OD OE k ⎛⎫⎛⎫+=+= +⎝====+由2||||||,OG OD OE t k =⋅=得.因此,直线l 的方程为(1)y k x =+.所以直线l 恒过定点(1,0)-.(ii )解:由(i)得G ⎛⎫ ⎝. 若,B G 关于x 轴对称,则B ⎛⎫ ⎝. 代入(1)y k x =+,整理得231k-=即426710k k -+=, 解得216k =(舍去)或21k =. 所以1k =. 此时3131,,,2222B G ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于x 轴对称. 又由(1)得110,1,x y ==所以(0,1)A .由于△ABG 的外接圆的圆心在x 轴上,可设△ABG 的外接圆的圆心为(,0)d . 因此2231124d d ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,解得12d =-. 故△ABG的外接圆的半径为2r ==所以△ABG 的外接圆方程为221524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.【End】。
2016年高考山东文科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(文科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)【2016年山东,文1,5分】设集合{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,5,{3,4,5}U A B ===,则()U A B =U ð( )(A ){}2,6 (B ){}3,6 (C ){}1,3,4,5 (D ){}1,2,4,6 【答案】A【解析】={1,34,5}A B U ,,()={2,6}U A B U ð,故选A . 【点评】考查集合的并集及补集运算,难度较小.(2)【2016年山东,文2,5分】若复数21iz =-,其中i 为虚数单位,则z =( )(A )2i - (B )2i (C )2- (D )2 【答案】B【解析】22(1i)=1i 1i 2z -==+-,1i z =-,故选B .【点评】复数的运算题目,考察复数的除法及共轭复数,难度较小. (3)【2016年山东,文3,5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[]17.5,30,样本数据分组为[)17.5,20,[)20,22.5,[)22.5,25,[)25,27.5,[]27.5,30.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( ) (A )56 (B )60 (C )120 (D )140 【答案】D【解析】由图可知组距为2.5,每周的自习时间少于22.5小时的频率为(0.020.1) 2.50.30+⨯=, 所以,每周自习时间不少于22.5小时的人数是()20010.30140⨯-=人,故选D . 【点评】频率分布直方图题目,注意纵坐标为频率/组距,难度较小.(4)【2016年山东,文4,5分】若变量x ,y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则22x y +的最大值是( )(A )4(B )9 (C )10 (D )12【答案】C 【解析】由22x y +是点(),x y 到原点距离的平方,故只需求出三直线的交点()()()0,2,0,3,3,1--,所以()3,1-是最优解,22x y +的最大值是10,故选C .(5)【2016年山东,文5,5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )(A )1233+π (B )1233+π (C )1236+π (D )216+π【答案】C【解析】由三视图可知,此几何体是一个正三棱锥和半球构成的,体积为3142112111+=+3323ππ⨯⨯⨯⨯(),故选C .【点评】考察三视图以及几何体的体积公式,题面已知是半球和四棱锥,由三视图可看出是正四棱锥,难度较小. (6)【2016年山东,文6,5分】已知直线,a b 分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若直线相交,一定有一个交点,该点一定同时属于两个平面,即两平面相交,所以是充分条件;两平面相交,平面内两条直线关系任意(平行、相交、异面),即充分不必要条件,故选A .(7)【2016年山东,文7,5分】已知圆()22:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22,则圆M 与圆22:(1)+(1)=1N x y --的位置关系是( )(A )内切 (B )相交 (C )外切 (D )相离 【答案】B【解析】圆()22:200M x y ay a +-=>化成标准形式222()(0)x y a a a +-=>解法1:圆心(0, )a 到直线0x y +=的距离为2ad =,由勾股定理得2222a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 解得2,0,2a a a =±>∴=Q ,圆M 与圆22:(1)+(1)=1N x y --的圆心距为22(10)(12)2-+-=,圆M 半 径12R =,圆N 半径212121,2,R R R R R =-<<+∴Q 圆M 与圆N 相交,故选B .解法2:直线0x y +=斜率为1-,倾斜角为135︒,可知2,2BM OB OM a ==∴==,B 点坐标为()1,1-,即为圆N 的圆心.圆心在圆M 中,且半径为1,即两圆相交,故选B .(8)【2016年山东,文8,5分】ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,已知b c =,222(1sin )a b A =-,则A=( )(A )34π (B )3π (C )4π (D )6π【答案】C【解析】222222(1sinA),2cos 2(1sinA),a b b c bc A b =-∴+-=-Q 又b c =Q ,2222cos b b A ∴-22(1sin )b A =-,cos sin A A ∴=,在ABC ∆中,(0,),A 4A ππ∈∴=,故选C .(9)【2016年山东,文9,5分】已知函数()f x 的定义域为R ,当0x <时,3()1f x x =-;当11x -≤≤时,()()f x f x -=-;当12x >时,1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()6f =( )(A )2- (B )1- (C )0 (D )2 【答案】D【解析】由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知当12x >时,()f x 的周期为1,所以()()61f f =.又当11x -≤≤时,()()f x f x -=-,所以()()11f f =--.于是()()()()3611112f f f ⎡⎤==--=---=⎣⎦,故选D .(10)【2016年山东,文10,5分】若函数()y f x =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称()y f x =具有T 性质.下列函数具有T 性质的是( )(A )sin y x = (B )ln y x = (C )x y e = (D )3y x = 【答案】A【解析】因为函数ln y x =,x y e =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数;函数3y x =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数.都不可能在这两点处的切线互相垂直,即不具有T 性质,故选A .第II 卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分. (11)【2016年山东,文11,5分】执行右边的程序框图,若输入n 的值为3,则输出的S 的值为 . 【答案】1【解析】根据题目所给框图,当输入3n =时,依次执行程序为:1,0i S ==,021=21S =+--,13i =≥不成立,12i i =+=,213231S =-+-=-,23i =≥不成立,13i i =+=,3143211S =-+-=-=,33i =≥成立,故输出的S 的值为1.(12)【2016年山东,文12,5分】观察下列等式:2224sin sin 12333ππ--⎛⎫⎛⎫+=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222344sin sin sin sin 2355553ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222364sin sin sin sin 3477773ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222384sin sin sin sin 4599993ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……2222232sin sin sin sin 21212121n n n n n ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . 【答案】()413n n+【解析】由题干中各等式左端各项分母的特点及等式右端所表现出来的规律经过归纳推理即得.(13)【2016年山东,文13,5分】已知向量()1,1a =-r ,()6,4b =-r .若()a tab ⊥+r r r,则实数t 的值为 .【答案】5-【解析】由已知条件可得()6,4ta b t t +=+--r r,又因()a ta+b ⊥r r r 可得()=a ta+b ⋅r r r 0,即()()()6141642100t t t t t +⨯+--⨯-=+++=+=,即得5t =-.(14)【2016年山东,文14,5分】已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>,若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,,AB CD的中点为E 的两个焦点,且23AB BC =,则E 的离心率为 .【答案】2【解析】由题意BC 2c =,所以2AB 3BC =,于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上,代入方程,得2222914c c a b -=,在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==.(15)【2016年山东,文15,5分】在已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩,其中0m >,若存在实数b ,使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根,则m 的取值范围是 .【答案】()3,+∞【解析】因为()224g x x mx m =-+的对称轴为x m =,所以x m >时()224f x x mx m =-+单调递增,只要b 大于()224g x x mx m =-+的最小值24m m -时,关于x 的方程()f x b =在x m >时有一根;又()h x x =在x m ≤,0m >时,存在实数b ,使方程()f x b =在x m ≤时有两个根,只需0b m <≤;故只需24m m m -<即可,解之,注意0m >,得3m >,故填()3+∞,. 三、解答题:本大题共6题,共75分.(16)【2016年山东,文16,12分】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动,参加活动的儿 童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设 两次记录的数分别为x ,y .奖励规矩如下:①若3xy ≤,则奖励玩具一个;②若8xy ≥,则奖 励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此活动.(1)求小亮获得玩具的概率; (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.解:(1)设获得玩具记为事件A ,获得水杯记为事件B ,获得一瓶饮料记为事件C ,转盘转动两次后获得的数据记为(),x y ,则基本事件空间为()()()()()()()()1,11,21,31,42,12,22,32,4、、、、、、、、()()()()()()()()3,13,23,33,44,14,24,34,4、、、、、、、共16种,事件A 为()()()()()1,11,21,32,13,1、、、、,共5种, 故小亮获得玩具的概率()516A P =. (2)事件B 为()()()()()()2,43,33,44,24,34,4、、、、、共6种,故小亮获得水杯的概率()63168B P ==,获得饮料的指针2431A概率()()()5116C A B P P P =--=.因为()()B C P P >,所以小亮获得水杯比获得饮料的概率大. (17)【2016年山东,文17,12分】设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---.(1)求()f x 的单调递增区间;(2)把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移3π个单位,得到函数()y g x =的图象,求6y g π⎛⎫= ⎪⎝⎭的值.解:(1)()()()2sin sin sin cos 2sin sin cos 2sin cos ()2sin 21f x x x x x x x x x x x x π=---=-+-+-sin 2212sin 2212sin 12213x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈,()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈, 所以单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. (2)经变换()2sin1g x x =,6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭(18)【2016年山东,文18,12分】在如图所示的几何体中,D 是AC 的中点,//EF DB .(1)已知AB BC =,AE EC =.求证:AC FB ⊥;(2)已知G ,H 分别是EC 和FB 的中点.求证://GH ABC 平面. 解:(1)连接ED ,AB BC =Q ,AE EC =.AEC ∴∆和ABC ∆为等腰三角形.又D Q 是AC 的中点,ED AC ∴⊥,BD AC ⊥;AC ∴⊥平面EDB .又//EF DB Q , ∴平面EDB 与平面EFBD 为相同平面;AC ∴⊥平面EFBD .FB ⊆Q 平面EFBD ;AC FB ∴⊥. (2)取ED 中点I ,连接IG 和IH .在EDC ∆中I 和G 为中点;//IG CD ∴.//EF DB Q ;∴四边形EFBD 为梯形.I Q 和H 分别 为ED 和FB 中点;//IH BD ∴.又IH Q 和IG 交与I 点,CD 与BD 交与D 点;∴平面//GIH 平面BDC .又GH ⊆Q 平面GIH ; //GH ∴平面ABC .(19)【2016年山东,文19,12分】已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,{}n b 是等差数列,且1n n n a b b +=+.(1)求数列{}n b 的通项公式;(2)令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T .解:(1)因为数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,所以111a =,当2n ≥时,221383(1)8(1)65n n n a S S n n n n n -=-=+----=+,又65n a n =+对1n =也成立,所以65n a n =+.又因为{}n b 是等差数列,设公差为d ,则12n n n n a b b b d +=+=+.当1n =时,1211b d =-;当2n =时,2217b d =-,解得3d =,所以数列{}n b 的通项公式为312n n a db n -==+. (2)由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n n n n nn a n c n b n +++++===+⋅++,于是23416292122(33)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅L , 两边同乘以2,得341226292(3)2(33)2n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅L ,两式相减,得 2341262323232(33)2n n n T n ++-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅L 22232(12)32(33)212n n n +⋅-=⋅+-+⋅-2221232(12)(33)232n n n n T n n ++=-+⋅-++⋅=⋅.(20)【2016年山东,文20,13分】设2()ln (21)f x x x ax a x =-+-,a R ∈.AA(1)令()'()g x f x =,求()g x 的单调区间;(2)已知()f x 在1x =处取得极大值,求实数a 取值范围. 解:(1)定义域()0+∞,,()()ln 1221g x f x x ax a '==+-+-,()12g x a x'=-. ①当0a ≤时,()0g x '>恒成立,()g x 在()0+∞,上单调递增; ②当0a >时,令()0g x '=,得12x a =.()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述,当0a ≤时,单调递增区间为()0+∞,,当0a >时,单调递增区间为10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭, 单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (2)∵()f x 在1x =处取得极大值,∴()10g =,ln112210a a +-+-=在a 取任何值时恒成立.①当0a ≤时,()g x 在()0+∞,上单调递增,即()0,1x ∈时,()0g x <;()1,x ∈+∞时,()0g x >, 此时()f x 在1x =处取得极小值,不符合题意;②当0a >时,()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增, 在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.只需令112a <,即12a >.综上所述,a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(21)【2016年山东,文21,14分】已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的长轴长为4,焦距为(1)求椭圆C 的方程; (2)过动点()()0,0M m m >的直线交x 轴于点N ,交C 于点A ,P (P 在第一象限),且M是线段PN 的中点,过点P 做x 轴的垂线交C 于另一点Q ,延长QM 交C 于点B .(i )设直线PM ,QM 的斜率分别为k ,'k ,证明'k k为定值;(ii )求直线AB 的斜率的最小值.解:(1)由题意得222242a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩,解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=.(2)(i )设(,0),(,),N P P N x P x y 直线:+PA y kx m =,因为点N 为直线PA 与x 轴的交点,所以N mx k=-, 因为点()0,M m 为线段PN 的中点,所以00,22N P P x x y m ++==,得,2P P mx y m k==, 所以点,2m Q m k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以()2=30m m k k m k--=--’,故3k k =-’为定值.(ii )直线:+PA y kx m =与椭圆方程联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得:222(21)4240k x kmx m +++-=,所以222222164(21)(24)328160k m k m k m ∆=-+-=-+>① 12122242,2121kmx mx x y y k k -+=+=++, 所以222264,(21)21k m m k m A k k k ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭,直线:3+QM y kx m =-与椭圆方程联立223142y kx mx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 得()22218112240k x kmx m +-+-=,所以121222122,181181km mx x y y k k +=+=++,所以()()22224916,181181m k k m m B k k k ⎛⎫++ ⎪- ⎪++⎝⎭,26131424B A ABB A y y k k k x x k k -+===+-, 因为点P 在椭圆上,所以2224142m m k +=,得2224k m =② 将②代入①得()2240k >+1恒成立, 所以20k ≥,所以0k ≥,所以3124AB k k k =+≥k =时取“=”), 所以当k 时,AB k .。
高考数学(文)一轮复习文档:选修4-5 不等式选讲 第3讲柯西不等式与排序不等式 Word版含答案
第3讲柯西不等式与排序不等式,)1.二维形式的柯西不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(2)(二维变式)a2+b2·c2+d2≥|ac+bd|,a2+b2·c2+d2≥|ac|+|bd|.(3)定理2(柯西不等式的向量形式)设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.(4)定理3(二维形式的三角不等式)设x1,y1,x2,y2∈R,那么x21+y21+x22+y22(5)(三角变式)设x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,则(x1-x3)2+(y1-y3)2+(x2-x3)2+(y2-y3)22.柯西不等式的一般形式设a1,a2,a3,…,a n,b1,b2,b3,…,b n是实数,则(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+a n b n)2,当且仅当b i=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得a i=kb i(i=1,2,…,n)时,等号成立.3.排序不等式设a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,c1,c2,…,c n为b1,b2,…,b n的任一排列,则有:a1b n+a2b n-1+…+a n b1≤a1c1+a2c2+…+a n c n≤a1b1+a2b2+…+a n b n,当且仅当a1=a2=…=a n或b1=b2=…=b n时,反序和等于顺序和.排序原理可简记作:反序和≤乱序和≤顺序和.柯西不等式的证明若a,b,c,d都是实数,求证(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc 时,等号成立.【证明】因为(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-b2d2-2acbd=a2d2+b2c2-2adbc=(ad-bc)2≥0,当且仅当ad=bc时,等号成立.即(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2≥0,所以(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.设α,β是两个向量,求证|α·β|≤|α||β|,当且仅当β为零向量或存在实数k,使α=kβ时等号成立.如图,设在平面直角坐标系xOy中有向量α=(a,b),β=(c,d),α与β之间的夹角为θ,0≤θ≤π.根据向量数量积(内积)的定义,有α·β=|α||β|cos θ,所以|α·β|=|α||β||cos θ|.因为|cos θ|≤1,所以|α·β|≤|α||β|.如果向量α和β中有零向量,则ad-bc=0,不等式取等号.如果向量α和β都不是零向量,则当且仅当|cos θ|=1,即向量α和β共线时,不等式取等号.柯西不等式的证明可利用已学过的比较法,也可利用向量法,柯西三角不等式还可利用几何法证明.如下:设x 1,y 1,x 2,y 2,x 3,y 3∈R ,则(x 1-x 3)2+(y 1-y 3)2+(x 2-x 3)2+(y 2-y 3)2≥(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2. 证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3).由|CA |+|CB |≥|BA |与两点间的距离公式得(x 1-x 3)2+(y 1-y 3)2+(x 2-x 3)2+(y 2-y 3)2≥(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2. 当且仅当点C 位于线段BA 上时取等号.设a 1,a 2,b 1,b 2为实数,求证:a 21+a 22+b 21+b 22≥(a 1-b 1)2+(a 2-b 2)2. (a 21+a 22+b 21+b 22)2=a 21+a 22+2a 21+a 22b 21+b 22+b 21+b 22 ≥a 21+a 22+2|a 1b 1+a 2b 2|+b 21+b 22 ≥a 21+a 22-2(a 1b 1+a 2b 2)+b 21+b 22 =(a 21-2a 1b 1+b 21)+(a 22-2a 2b 2+b 22) =(a 1-b 1)2+(a 2-b 2)2,所以a 21+a 22+b 21+b 22≥(a 1-b 1)2+(a 2-b 2)2.利用柯西不等式求最值已知正实数u ,v ,w 满足u 2+v 2+w 2=8,求u 49+v 416+w 425的最小值.【解】 因为u 2+v 2+w 2=8.所以82=(u 2+v 2+w 2)2=⎝ ⎛⎭⎪⎫u 23·3+v 24·4+w 25·52≤⎝ ⎛⎭⎪⎫u 49+v 416+w 425(9+16+25),所以u 49+v 416+w 425≥6450=3225.当且仅当u 23÷3=v 24÷4=w 25÷5,即u =65,v =85,w =2时取到“=”,所以当u =65,v =85,w =2时u 49+v 416+w 425的最小值为3225.利用柯西不等式求最值的一般结构为:(a 21+a 22+…+a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21+1a 22+…+1a 2n ≥(1+1+…+1)2=n 2.在使用柯西不等式时,要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.1.设x ,y ,z ∈R ,2x -y -2z =6,试求x 2+y 2+z 2的最小值. 考虑以下两组向量u =(2,-1,-2),v =(x ,y ,z ),根据柯西不等式(u ·v )2≤|u |2·|v |2, 得2≤(x 2+y 2+z 2),即(2x -y -2z )2≤9(x 2+y 2+z 2), 将2x -y -2z =6代入其中, 得36≤9(x 2+y 2+z 2), 即x 2+y 2+z 2≥4, 故x 2+y 2+z 2的最小值为4.2.设x ,y ,z ∈R ,x 2+y 2+z 2=25,试求x -2y +2z 的最大值与最小值. 根据柯西不等式,有(1·x -2·y +2·z )2≤(x 2+y 2+z 2), 即(x -2y +2z )2≤9×25, 所以-15≤x -2y +2z ≤15,故x -2y +2z 的最大值为15,最小值为-15.利用柯西不等式证明不等式设a ,b ,c 为正数,且a +b +c =1,求证:⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫b +1b 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫c +1c 2≥1003.【证明】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫b +1b 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫c +1c 2=13(12+12+12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫b +1b 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫c +1c 2 ≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a +1×⎝ ⎛⎭⎪⎫b +1b +1×⎝ ⎛⎭⎪⎫c +1c 2=13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b +1c 2 =13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+(a +b +c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b +1c 2≥13×(1+9)2=1003,当且仅当a =b =c 时等号成立, 所以所求证的不等式成立.利用柯西不等式证明的关键是恰当构造变形,化为符合它的结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不等式进行证明.注意等号成立的条件.1.已知a ,b 为正数,求证1a +4b ≥9a +b .因为a >0,b >0,所以由柯西不等式,得(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +4b=·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2+⎝⎛⎭⎪⎫4b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a+b ·4b 2=9,当且仅当a =12b 时取等号, 所以1a +4b ≥9a +b.2.设a ,b >0,且a +b =1,求证:⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫b +1b 2≥252.因为(12+12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫b +1b 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a +⎝ ⎛⎭⎪⎫b +1b 2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1ab 2≥25⎝⎛⎭⎪⎫因为ab ≤14,当且仅当a =b =12时取等号,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫b +1b 2≥252.利用排序不等式求最值设a ,b ,c 为任意正数,求ab +c +bc +a +ca +b的最小值.【证明】 不妨设a ≥b ≥c , 则a +b ≥a +c ≥b +c ,1b +c ≥1c +a ≥1a +b, 由排序不等式得,a b +c +b c +a +c a +b ≥b b +c +c c +a +a a +b , ab +c +bc +a +ca +b ≥cb +c +ac +a +ba +b,上述两式相加得: 2⎝⎛⎭⎪⎫a b +c +b c +a +c a +b ≥3,即a b +c +b c +a +ca +b ≥32.当且仅当a =b =c 时,ab +c+b c +a +ca +b 取最小值32.求最小(大)值时,往往所给式子是顺(反)序和式.然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出适当的一个或两个乱序和,从而求出其最小(大)值.设0<a ≤b ≤c 且abc =1.试求1a 3(b +c )+1b 3(a +c )+1c 3(a +b )的最小值.令S =1a 3(b +c )+1b 3(a +c )+1c 3(a +b ),则S =(abc )2a 3(b +c )+(abc )2b 3(a +c )+(abc )2c 3(a +b )=bc a (b +c )·bc +ac b (a +c )·ac +abc (a +b )·ab .由已知可得:1a (b +c )≥1b (a +c )≥1c (a +b ),ab ≤ac ≤bc .所以S ≥bc a (b +c )·ac +ac b (a +c )·ab +abc (a +b )·bc=c a (b +c )+a b (a +c )+bc (a +b ).又S ≥bc a (b +c )·ab +ac b (a +c )·bc +abc (a +b )·ac=b a (b +c )+c b (a +c )+ac (a +b ),两式相加得:2S ≥1a +1b +1c ≥331abc=3.所以S ≥32,即1a 3(b +c )+1b 3(a +c )+1c 3(a +b )的最小值为32., )1.设a ,b ∈(0,+∞),若a +b =2,求1a +1b的最小值.因为(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b=⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a +b ·1b 2=(1+1)2=4.所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b≥4,即1a +1b≥2. 当且仅当a ·1b=b ·1a,即a =b 时取等号,所以当a =b =1时,1a +1b的最小值为2.2.设a 、b 、c 是正实数,且a +b +c =9,求2a +2b +2c的最小值.因为(a +b +c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +2b +2c=·⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫2a 2+⎝⎛⎭⎪⎫2b 2+⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a+b ·2b+c ·2c 2=18.所以2a +2b +2c ≥2.当且仅当a =b =c 时取等号,所以2a +2b +2c的最小值为2.3.设a 1,a 2,…,a n 是1,2,…,n (n ≥2,n ∈N *)的一个排列,求证:12+23+…+n -1n ≤a 1a 2+a 2a 3+…+a n -1a n. 设b 1,b 2,…,b n -1是a 1,a 2,…,a n -1的一个排列,且b 1<b 2<…<b n -1;c 1,c 2,…,c n-1是a 2,a 3,…,a n 的一个排列,且c 1<c 2<…<c n -1, 则1c 1 >1c 2>…>1c n -1,且b 1≥1,b 2≥2,…,b n -1≥n -1,c 1≤2,c 2≤3,…,c n -1≤n . 利用排序不等式,有a 1a 2+a 2a 3+…+a n -1a n ≥b 1c 1+b 2c 2+…+b n -1c n -1≥12+23+…+n -1n. 故原不等式成立.4.已知大于1的正数x ,y ,z 满足x +y +z =3 3.求证:x 2x +2y +3z +y 2y +2z +3x +z 2z +2x +3y ≥32.由柯西不等式及题意得,⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x +2y +3z +y 2y +2z +3x +z 2z +2x +3y ·≥(x +y +z )2=27. 又(x +2y +3z )+(y +2z +3x )+(z +2x +3y )=6(x +y +z )=183,所以x 2x +2y +3z +y 2y +2z +3x +z 2z +2x +3y ≥27183=32,当且仅当x =y =z =3时,等号成立.5.设x ,y ,z ∈R ,且满足:x 2+y 2+z 2=1,x +2y +3z =14,求x +y +z 的值.由柯西不等式可得(x 2+y 2+z 2)(12+22+32)≥(x +2y +3z )2,即(x +2y +3z )2≤14, 因此x +2y +3z ≤14. 因为x +2y +3z =14, 所以x =y 2=z3,解得x =1414,y =147,z =31414, 于是x +y +z =3147.6.已知a ,b ,c ∈R ,且2a +2b +c =8,求(a -1)2+(b +2)2+(c -3)2的最小值. 由柯西不等式得 (4+4+1)×≥2, 所以9≥(2a +2b +c -1)2. 因为2a +2b +c =8,所以(a -1)2+(b +2)2+(c -3)2≥499,当且仅当a -12=b +22=c -3时等号成立,所以(a -1)2+(b +2)2+(c -3)2的最小值是499.7.已知x ,y ,z 均为实数.(1)若x +y +z =1,求证:3x +1+3y +2+3z +3≤33; (2)若x +2y +3z =6,求x 2+y 2+z 2的最小值.(1)证明:因为(3x +1+3y +2+3z +3)2≤(12+12+12)(3x +1+3y +2+3z +3)=27.所以3x +1+3y +2+3z +3≤3 3. 当且仅当x =23,y =13,z =0时取等号.(2)因为6=x +2y +3z ≤x 2+y 2+z 2·1+4+9,所以x 2+y 2+z 2≥187,当且仅当x =y 2=z 3即x =37,y =67,z =97时,x 2+y 2+z 2有最小值187.8.已知a ,b ∈(0,+∞),a +b =1,x 1,x 2∈(0,+∞). (1)求x 1a +x 2b +2x 1x 2的最小值;(2)求证:(ax 1+bx 2)(ax 2+bx 1)≥x 1x 2.(1)因为a ,b ∈(0,+∞),a +b =1,x 1,x 2∈(0,+∞), 所以x 1a +x 2b +2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2=3·32ab≥3·32⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22=3×38=6, 当且仅当x 1a =x 2b =2x 1x 2且a =b ,即a =b =12且x 1=x 2=1时,x 1a +x 2b +2x 1x 2有最小值6.(2)证明:由a ,b ∈(0,+∞),a +b =1,x 1,x 2∈(0,+∞),及柯西不等式可得:(ax 1+bx 2)(ax 2+bx 1)=·≥(ax 1·ax 2+bx 2·bx 1)2=(a x 1x 2+b x 1x 2)2=x 1x 2,当且仅当ax 1ax 2=bx 2bx 1,即x 1=x 2时取得等号. 所以(ax 1+bx 2)·(ax 2+bx 1)≥x 1x 2.9.(1)关于x 的不等式|x -3|+|x -4|<a 的解集不是空集,求a 的取值范围; (2)设x ,y ,z ∈R ,且x 216+y 25+z 24=1,求x +y +z 的取值范围.(1)因为|x -3|+|x -4|≥|(x -3)-(x -4)|=1,且|x -3|+|x -4|<a 的解集不是空集,所以a >1,即a 的取值范围是(1,+∞). (2)由柯西不等式,得·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42+⎝ ⎛⎭⎪⎫y 52+⎝ ⎛⎭⎪⎫z 22 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4×x 4+5×y 5+2×z 22=(x +y +z )2, 即25×1≥(x +y +z )2.所以5≥|x +y +z |,所以-5≤x +y +z ≤5. 所以x +y +z 的取值范围是.10.设a 1,a 2,…,a n 为实数,证明:a 1+a 2+…+a n n≤a 21+a 22+…+a 2nn.不妨设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ,由排序原理得a 21+a 22+a 23+…+a 2n =a 1a 1+a 2a 2+a 3a 3+…+a n a n , a 21+a 22+a 23+…+a 2n ≥a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+…+a n a 1, a 21+a 22+a 23+…+a 2n ≥a 1a 3+a 2a 4+a 3a 5+…+a n a 2,…a 21+a 22+a 23+…+a 2n ≥a 1a n +a 2a 1+a 3a 2+…+a n a n -1,以上n 个式子两边相加得n (a 21+a 22+a 23+…+a 2n )≥(a 1+a 2+a 3+…+a n )2,两边同除以n 2得a 21+a 22+a 23+…+a 2n n ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1+a 2+a 3+…+a n n 2, 所以a 21+a 22+a 23+…+a 2nn ≥a 1+a2+a 3+…+a n n,结论得证.不等式选讲1.不等式选讲是高考的选考内容之一,考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等,命题的热点是绝对值不等式的求解,以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解.2.此部分命题形式单一、稳定,难度中等,备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.1.(选修45 P19习题1.2T5,P17例5改编)已知函数f(x)=|x-4|+|x-a|(a∈R)的最小值为a.(1)求实数a的值;(2)解不等式f(x)≤5.(1)f(x)=|x-4|+|x-a|≥|a-4|=a,从而解得a=2.(2)由(1)知,f(x)=|x-4|+|x-2|=⎩⎪⎨⎪⎧-2x +6(x ≤2)2(2<x ≤4)2x -6(x >4). 结合函数y =f (x )的图象知,不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤112.2.(选修45 P16例3、P35例3改编)已知函数f (x )=|3x -1|.(1)设f (x )≤2的解集为M ,记集合M 中的最大元素为a max ,最小元素为a min ,求a max -a min ; (2)若a ,b 为正实数,且a +b =a max ,求1a +1b的最小值.(1)f (x )≤2,即为 |3x -1|≤2,所以-2≤3x -1≤2,即-13≤x ≤1.所以M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪-13≤ x ≤1. 即a max =1,a min =-13,a max -a min=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=43.(2)由(1)知,a +b =1,且a ,b 为正实数,所以(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b =2+b a +a b≥2+2b a ·ab=4. 当且仅当a =b =12时取等号,即1a +1b ≥4,所以1a +1b的最小值为4.3.(选修45 P20习题1.2T9,P37习题3.1T8改编)(1)若关于x 的不等式|x -3|+|x -4|≤a 的解集不是空集,求a 的范围;(2)若g (x )=x ,且p >0,q >0,p +q =1,x 1,x 2∈ (1)法一:|x -3|+|x -4|≥|(x -3)-(x -4)|=1.即|x -3|+|x -4|的最小值为1.所以|x -3|+|x -4|≤a 的解集不是空集时,a ≥1. 法二:设f (x )=|x -3|+|x -4| =⎩⎪⎨⎪⎧-2x +7,x <3,1,3≤x ≤4,2x -7,x >4.函数f(x)的图象为所以f(x)min=1.则f(x)≤a的解集不是空集时,a≥1.(2)证明:由p>0,q>0,p+q=1,要证不等式pg(x1)+qg(x2)≤g(px1+qx2)成立,即为证明p x1+q x2≤px1+qx2成立.(*)法一:(分解法)要证(*)成立,即证(p x1+q x2)2≤(px1+qx2)2成立.即证:p2x1+2pq x1x2+q2x2≤px1+qx2,即证px1(1-p)+qx2(1-q)-2pq x1x2≥0.因为p+q=1.只需证pqx1+pqx2-2pq x1x2≥0成立.即证(x1-x2)2≥0.因为(x1-x2)2≥0显然成立.所以原不等式成立.法二:(柯西不等式法)因为(p x1+q x2)2=(p·px1+q·qx2)2≤=(p+q)(px1+qx2)因为p+q=1.所以(p x1+q x2)2≤px1+qx2.所以p x1+q x2≤px1+qx2.即pg(x1)+qg(x2)≤g(px1+qx2).4.(选修45 P19习题1.2T5,P45习题3.3T4改编)已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|.(1)求f(x)的最小值m;(2)若a ,b ,c 均为正实数,且满足a +b +c =m ,求证:b 2a +c 2b +a 2c≥3.(1)当x <-1时,f (x )=-2(x +1)-(x -2)=-3x ∈(3,+∞);当-1≤x <2时,f (x )=2(x +1)-(x -2)=x +4∈ (1)①当x ≤-1时,原不等式可化为-x -1<-2x -2,解得x <-1;②当-1<x <-12时,原不等式可化为x +1<-2x -2,解得x <-1,此时原不等式无解;③当x ≥-12时,原不等式可化为x +1<2x ,解得x >1.综上,M ={x |x <-1或x >1}.(2)证明:因为f (a )-f (-b )=|a +1|-|-b +1|≤|a +1-(-b +1)|=|a +b |, 所以,要证f (ab )>f (a )-f (-b ), 只需证|ab +1|>|a +b |, 即证|ab +1|2>|a +b |2, 即证a 2b 2+2ab +1>a 2+2ab +b 2, 即证a 2b 2-a 2-b 2+1>0, 即证(a 2-1)(b 2-1)>0.因为a ,b ∈M ,所以a 2>1,b 2>1, 所以(a 2-1)(b 2-1)>0成立, 所以原不等式成立.。
2009年天津高考文科数学试题及答案(Word版)
2009年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(文史类) 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,第I 卷1至2页。
第II 卷3至4页。
全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名,座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2.答第I 卷时、每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮檫干净后,在选涂其他答案标号。
3.答第II 卷时,必须用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后在用0.5毫米的黑色墨色签字笔清楚。
必须在标号所指示的答题区域作答,超出答题卡区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式:S 表示底面积,h 表示底面的高如果事件A 、B 互斥,那么 棱柱体积 V Sh = P(A+B)=P(A)+P (B) 棱锥体积 13V Sh = 第I 卷(选择题 共50分)一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.i 是虚数单位,52ii=- w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A.12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+2.设变量x,y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则目标函数23z x y =+的最小值为A. 6B. 7C.8D.233.设,x R ∈则"1"x =是3""x x =的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m4.设双曲线()22220x y a b a b-=>>的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线方程为A.2y x =±B. 2y x =±C. 22y x =±D. 12y x =± 5.设0.3113211log 2,log ,32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则A. a b c <<B.a c b <<C. b c a <<D.b a c << w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6.阅读右面的程序框图,则输出的S =A. 14B.20C.30D.55 7.已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,将()y f x =的图像向左平移ϕ个单位长度,所得图像关于y 轴对称,则ϕ的一个值是A.2πB.38π w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC. 4πD.8π8.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩,则不等式()()1f x f >的解集是A.()()3,13,-+∞B. ()()3,12,-+∞C. ()()1,13,-+∞ D. ()(),31,3-∞- w.w.w.k.s.5.u.c.o.m9.设,,1,1x y R a b ∈>>,若3,23x ya b a b ==+=,则11x y+的最大值为 A.2 B.32 C. 1 D.1210.设函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ,且()()22'f x xf x x +>,下面的不等式在R 上恒成立的是A.()0f x >B.()0f x <C. ()f x x >D.()f x x <第II 卷w.w.w.k.s.5.u.c.o.m二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置。
高考数学(文)二轮复习专题三 不等式 第2讲 三个二次关系与恒成立问题、存在性问题 Word版含答案
第2讲三个二次关系与恒成立问题、存在性问题【课前热身】第2讲三个二次关系与恒成立问题、存在性问题(本讲对应学生用书第21~22页)1.(必修5 P69练习3改编)不等式x2+x-2<0的解集为.【答案】(-2,1)【解析】方程x2+x-2=0的根为x1=-2,x2=1,故不等式x2+x-2<0的解集为(-2,1).2.(必修5 P73习题6改编)已知不等式ax2+bx-1<0的解集为{x|x<3或x>4},则a=,b=.【答案】-112712【解析】由题意知3和4是方程ax2+bx-1=0的两根,所以a(x-3)(x-4)=0,所以a=-1 12,b=7 12.3.(必修5 P94习题11改编)已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a 的取值范围是.【答案】(0,8)【解析】因为x2-ax+2a>0在R上恒成立,所以Δ=a2-4×2a<0,所以0<a<8.4.(必修5 P71练习5改编)在R上定义运算:x*y=x(1-y),若不等式(x-a)*(x+a)<1对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.【答案】13 -22⎛⎫ ⎪⎝⎭,【解析】依题意知x-a-x2+a2<1恒成立,即21-2x⎛⎫⎪⎝⎭+23-4a a⎛⎫+⎪⎝⎭>0恒成立,于是a2-a-34<0恒成立,解得-12<a<32.5.(必修1 P32习题7改编)若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是.【答案】{m|0≤m≤4}【解析】由函数的对称轴为x=2,且在[0,2]上为增函数,知a<0,根据函数图象可得实数m的取值范围是{m|0≤m≤4}.【课堂导学】含参一元二次不等式的解法例1解关于x的一元二次不等式(x-2)(ax-2)>0.【解答】当a=0时,原不等式可化为x-2<0,所以x<2.当a≠0时,原不等式化为a(x-2)x-2a>0,①当a>1时,2a<2,原不等式化为(x-2)2-xa⎛⎫⎪⎝⎭>0,所以x<2a或x>2.②当a=1时,2a=2,原不等式化为(x-2)2>0,所以x∈R且x≠2.③当0<a<1时,2a>2,原不等式化为(x-2)2-xa⎛⎫⎪⎝⎭>0,则x<2或x>2a.④当a<0时,2a<2,原不等式化为(x-2)2-xa⎛⎫⎪⎝⎭<0,所以2a<x<2.综上所述,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<2};当a>1时,原不等式的解集为2|2x x xa⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或;当a=1时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠2};当0<a<1时,原不等式的解集为22x x xa⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或;当a<0时,原不等式的解集为22x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.变式解关于x的一元二次不等式ax2+(a-1)x-1>0. 【解答】由ax2+(a-1)x-1>0,得(ax-1)(x+1)>0.当a>0时,(ax-1)(x+1)>0⇔1-xa⎛⎫⎪⎝⎭(x+1)>0⇔x<-1或x>1a;当-1<a<0时,(ax-1)(x+1)>0⇔1-xa⎛⎫⎪⎝⎭(x+1)<0⇔1a<x<-1;当a=-1时,(ax-1)(x+1)>0⇔-(x+1)2>0⇔(x+1)2<0⇔x∈∅;当a<-1时,(ax-1)(x+1)>0⇔1-xa⎛⎫⎪⎝⎭(x+1)<0⇔-1<x<1a.综上所述,当a>0时,不等式的解集为1|-1x x xa⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或;当-1<a<0时,不等式的解集为1|-1x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭;当a=-1时,不等式的解集为∅;当a<-1时,不等式的解集为1|-1x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.三个二次之间的关系例2 (2016·苏州调研测试)已知函数f (x )=x|x-a|,a ∈R ,g (x )=x 2-1. (1)当a=1时,解不等式f (x )≥g (x );(2)记函数f (x )在区间[0,2]上的最大值为F (a ),求F (a )的表达式. 【解答】(1)由f (x )≥g (x ),当a=1时,即解不等式x|x-1|≥x 2-1. 当x ≥1时,不等式为x 2-x ≥x 2-1,解得x ≤1,所以x=1;当x<1时,不等式为x-x 2≥x 2-1,解得-12≤x ≤1, 所以-12≤x<1.综上,不等式f (x )≥g (x )的解集为1-12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,. (2)因为x ∈[0,2],当a ≤0时,f (x )=x 2-ax ,则f (x )在区间[0,2]上是增函数,所以F (a )=f (2)=4-2a.当0<a<2时,f (x )=22-0-2x ax x a x ax a x ⎧+≤<⎨≤≤⎩,,,,则f (x )在区间02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是增函数,在区间2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是减函数,在区间[a ,2]上是增函数,所以F (a )=max (2)2a f f ⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,,而f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a ,f (2)=4-2a ,令f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<f (2),即24a <4-2a ,解得-4-42<a<-4+42,所以当0<a<2-4时,F (a )=4-2a ;令f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥f (2),即24a ≥4-2a , 解得a ≤-4-42或a ≥-4+2,所以当42-4≤a<2时,F (a )=24a . 当a ≥2时,f (x )=-x 2+ax ,当1≤2a <2,即2≤a<4时,f (x )在区间02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是增函数,在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是减函数,则F (a )=f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a ;当2a≥2,即a ≥4时,f (x )在区间[0,2]上是增函数,则F (a )=f (2)=2a-4;综上,F (a )=24-242-442-4442-4 4.a a aa a a ⎧<⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩,,,,,变式 (2016·苏锡常镇一调)已知函数f (x )=2x-1+a ,g (x )=bf (1-x ),其中a ,b ∈R .若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2,则实数a 的取值范围是 .【答案】(-∞,-2]∪1-4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 【解析】因为g (x )=b (2-x +a ),所以f (x )≥g (x ),即2x-1+a ≥2xb+ab ,即(2x )2-2a (b-1)2x -2b ≥0.由二次不等式与二次方程的根的关系知,关于2x 的方程(2x )2-2a (b-1)2x -2b=0的2x 的值分别为4,-2b .因为2x 取正值,要想2x 最小为4,所以-2b≤0,即b ≥0.又因为4-2b =2a (b-1),所以b=4(2)41a a ++≥0,解得a ≤-2或a>-14.恒成立问题与存在性问题例3已知函数f(x)=x2+2ax-a+2.(1)若对于任意的x∈R,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若对于任意的x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;(3)若对于任意的a∈[-1,1],x2+2ax-a+2>0恒成立,求实数x的取值范围. 【点拨】恒成立问题中注意变更主元法的运用.【解答】(1)若对于任意的x∈R,f(x)≥0恒成立,需满足Δ=4a2-4(-a+2)≤0,解得-2≤a≤1.故实数a的取值范围是[-2,1].(2)由题知对称轴方程为x=-a,当-a<-1,即a>1时,f(x)min=f(-1)=3-3a≥0,解得a≤1,与已知矛盾,舍去;当-a>1,即a<-1时f(x)min=f(1)=3+a≥0,解得-3≤a<-1;当-1≤a≤1时,f(x)min=f(-a)=-a2-a+2≥0,解得-1≤a≤1.综上,实数a的取值范围是[-3,1].(3)对于任意的a∈[-1,1],x2+2ax-a+2>0恒成立,等价于g(a)=(2x-1)a+x2+2>0,所以222-120-2120x xx x⎧++>⎨++>⎩,,解得x≠-1,所以x的取值范围是{x|x ≠-1}.变式(2016·盐城中学)已知函数f(x)=22x x ax++,x∈[1,+∞).(1)若对任意的x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若对任意的a∈[-1,1],f(x)>4恒成立,求实数x的取值范围.【解答】(1)若对任意的x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,即22 x xax++>0,x∈[1,+∞)恒成立,亦即x2+2x+a>0,x∈[1,+∞)恒成立,即a>-x2-2x,x∈[1,+∞)恒成立,即a>(-x2-2x)max,x∈[1,+∞),而(-x2-2x)max=-3,x∈[1,+∞),所以a>-3.所以实数a的取值范围为{a|a>-3}.(2)因为a∈[-1,1]时,f(x)>4恒成立,即22x x ax++>4,x∈[1,+∞)恒成立,所以x2-2x+a>0对a∈[-1,1]恒成立,把g(a)=a+x2-2x看成a的一次函数,则使g(a)>0对a∈[-1,1]恒成立的条件是(1)0(-1)0gg>⎧⎨>⎩,,即22-210-2-10x xx x⎧+>⎨>⎩,,解得x<1-2或x>2+1.又x≥1,所以x>2+1,故所求x的取值范围是(2+1,+∞).【课堂评价】1.(2016·全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=. 【答案】332⎛⎫⎪⎝⎭,【解析】因为集合A=(1,3),B=32∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭,,所以A ∩B=332⎛⎫ ⎪⎝⎭,.2.(2016·启东调研测试)已知偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,且f (3)=0,则不等式f (x 2-2x )<0的解集为 . 【答案】(-1,3)【解析】根据偶函数的性质,可得-3<x 2-2x<3,解得-1<x<3,从而不等式的解集为(-1,3).3.(2016·扬州中学)已知函数f (x )=13x 3+2x ,对任意的t ∈[-3,3],f (tx-2)+f (x )<0恒成立,则实数x 的取值范围是 .【答案】51--33⎛⎫⎪⎝⎭,【解析】易知函数f (x )=13x 3+2x 是R 上的奇函数且单调递增,f (tx-2)+f (x )<0化为f (tx-2)<f (-x ),即tx-2<-x ,问题变为g (t )=(x+1)t-2<0在t ∈[-3,3]上恒成立,故有(-3)0(3)0g g <⎧⎨<⎩,,解得-53<x<-13.4.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知对满足x+y+4=2xy 的任意正实数x ,y ,都有x 2+2xy+y 2-ax-ay+1≥0,则实数a 的取值范围是 .【答案】17-4∞⎛⎤⎥⎝⎦, 【解析】对于正实数x ,y ,由x+y+4=2xy ,得x+y+4=2xy ≤2()2x y +,解得x+y ≥4.不等式x 2+2xy+y 2-ax-ay+1≥0可化为(x+y )2-a (x+y )+1≥0,令t=x+y (t ≥4),则该不等式可化为t 2-at+1≥0,即a ≤t+1t 对于任意的t ≥4恒成立,令u (t )=t+1t (t ≥4),则u'(t )=1-21t =22-1t t >0对于任意的t ≥4恒成立,从而函数u (t )=t+1t (t ≥4)为单调增函数,所以u (t )min =u (4)=4+14=174,于是a ≤174.5.(2015·宿迁一模)已知函数f (x )=x 2-2ax+a 2-1,若关于x 的不等式f (f (x ))<0的解集为空集,则实数a 的取值范围是 . 【答案】(-∞,-2]【解析】因为f (x )=[x-(a+1)][x-(a-1)],所以f (f (x ))<0等价于[f (x )-(a+1)][f (x )-(a-1)]<0,从而a-1<f (x )<a+1,要使f (f (x ))<0的解集为空集,根据函数的图象,则需y=a+1与y=f (x )至多有一个交点.又因为f (x )=(x-a )2-1≥-1,所以a+1≤-1,解得a ≤-2.温馨提示:趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第11~12页.【检测与评估】第2讲 三个二次关系与恒成立问题、存在性问题一、 填空题1.若关于x 的不等式ax 2+2x+a>0的解集为R ,则实数a 的取值范围是 .2.(2016·安徽省六校联考)若正实数x,y满足x+y=2,且1xy≥M恒成立,则M的最大值为.3.(2016·南师附中)若当x>-3时,不等式a≤x+23x 恒成立,则实数a的取值范围是.4.若对任意实数x∈[-1,1],不等式x2+ax-3a<0恒成立,则实数a的取值范围是.5.(2016·常州中学)当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是.6.(2016·启东中学)已知f(x)=x2+2x+a ln x,若f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,则实数a的取值范围为.7.(2016·江苏信息卷)若对任意实数x>1,y>12,不等式p≤22-1xy+24-1yx恒成立,则实数p的最大值为.8.(2016·苏大考前卷)已知不等式(ax+3)(x2-b)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,其中a,b是整数,则a+b的取值集合为.二、解答题9.(2016·江苏怀仁中学)设函数f(x)=ax2+(b-2)x+3(a≠0).(1)若不等式f(x)>0的解集为(-1,3),求a,b的值;(2)若f(1)=2,a>0,b>0,求1a+4b的最小值.10.(2016·泰州中学)已知函数f(x)=ax2+2x+c(a,c∈N*)满足①f(1)=5;②6<f(2)<11.(1)求函数f(x)的表达式;(2)若对任意的x∈[1,2],都有f(x)-2mx≥0恒成立,求实数m的取值范围.11.(2015·浙江卷)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)当b=24a+1时,求函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点,且0≤b-2a≤1,求实数b的取值范围.【检测与评估答案】第2讲三个二次关系与恒成立问题、存在性问题一、填空题1. (1,+∞)【解析】当a=0时,易知条件不成立;当a≠0时,要使不等式ax2+2x+a>0的解集为R,必须满足24-40aa>⎧⎨∆=<⎩,,解得a>1.2.1【解析】因为正实数x,y满足x+y=2,所以xy≤2()4x y+=224=1,所以1xy≥1.又1xy≥M恒成立,所以M≤1,即M的最大值为1.3. (-∞,-3]【解析】设f(x)=x+23x+=(x+3)+23x+-3,因为x>-3,所以x+3>0,故f(x)≥23=2-3,当且仅当-3时等号成立,所以a的取值范围是(-∞,-3].4.12∞⎛⎫+⎪⎝⎭,【解析】设f(x)=x2+ax-3a.因为对任意实数x∈[-1,1],不等式x2+ax-3a<0恒成立,所以(-1)1--30(1)1-30f a af a a=<⎧⎨=+<⎩,,解得a>12.5.(-1,2)【解析】原不等式变形为m2-m<12x⎛⎫⎪⎝⎭,因为函数y=12x⎛⎫⎪⎝⎭在(-∞,-1]上是减函数,所以12x⎛⎫⎪⎝⎭≥-112⎛⎫⎪⎝⎭=2.当x∈(-∞,-1]时,m2-m<12x⎛⎫⎪⎝⎭恒成立等价于m2-m<2,解得-1<m<2.6. (-∞,-4]∪[0,+∞)【解析】由题意知f'(x)=2x+2+ax=222x x ax++,因为f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,所以f'(x)在区间(0,1]上恒大于等于0或恒小于等于0,所以2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在区间(0,1]上恒成立,即a≥-(2x2+2x)或a≤-(2x2+2x),而函数y=-2x2-2x在区间(0,1]上的值域为[-4,0),所以a≥0或a≤-4.7. 8【解析】令a=2y-1,b=x-1,则22-1xy+24-1yx=2(1)ba++2(1)ab+,问题转化为求2(1)ba++2(1)ab+的最小值.又2(1)b a ++2(1)a b +≥2×ab =2×ab =2ab ab ab ⎛++ ⎪⎭≥2×(2+2)=8,当且仅当a=b=1,即x=2,y=1时取等号.8. {8,-2} 【解析】当b ≤0时,由(ax+3)(x 2-b )≤0得ax+3≤0在x ∈(0,+∞)上恒成立,则a<0,且a ·0+3≤0,矛盾,故b>0.当b>0时,由(ax+3)(x 2-b )≤0可设f (x )=ax+3,g (x )=x 2-b ,又g (x )的大致图象如图所示,那么由题意可知03-a b a <⎧⎪⎨=⎪⎩,,再由a ,b 是整数得到-19a b =⎧⎨=⎩,或-31a b =⎧⎨=⎩,,因此a+b=8或-2.(第8题)二、 解答题9. (1) 由题意得(-1)0(3)0f f =⎧⎨=⎩,,即-5093-30a b a b +=⎧⎨+=⎩,, 解得-14.a b =⎧⎨=⎩,(2) 因为f (1)=2,所以a+b=1,所以1a +4b =(a+b )14a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=5+b a +4a b ≥9,当且仅当b=2a=12时取等号.10. (1) 由题知5=a+c+2,即c=3-a.又6<4a+c+4<11,所以-13<a<43.又a∈N*,所以a=1,c=2. 所以f(x)=x2+2x+2.(2) 由已知得2(m-1)≤x+2x在x∈[1,2]上恒成立.因为当x∈[1,2]时,x+2x∈3⎡⎤⎣⎦,所以2(m-1)≤2,即m+1,所以实数m的取值范围为(-∞+1].11. (1) 当b=24a+1时,函数f(x)=22ax⎛⎫+⎪⎝⎭+1,故其图象的对称轴为直线x=-2a.当a≤-2时,g(a)=f(1)=24a+a+2;当-2<a≤2时,g(a)=f-2a⎛⎫⎪⎝⎭=1;当a>2时,g(a)=f(-1)=24a-a+2.综上,g(a)=222-2 41-22-2 2.4aa aaaa a⎧++≤⎪⎪⎪<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩,,,,,(2) 设s,t为方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则-.s t a st b+=⎧⎨=⎩,因为0≤b-2a≤1,所以-22tt+≤s≤1-22tt+(-1≤t≤1).当0≤t≤1时,2-22tt+≤st≤2-22t tt+,由于-23≤2-22tt+≤0和-13≤2-22t tt+≤9-4,所以-23≤b≤9-.当-1≤t<0时,2-22t tt+≤st≤2-22tt+,由于-2≤2-22tt+<0和-3≤2-22t tt+<0,所以-3≤b<0.故b的取值范围是-3⎡⎣,.。
2009年高考数学(广东)文(word版含答案)
n
) U N M B. U M C. ) N U M D. N
2.下列 n 的取值中,使 i 1 ( i 是虚数单位)的是( A. n 2 B. n 3 C. n 4
2
D. n 5 )
3.已知平面向量 a ( x,, 1) b ( x,x ) ,则向量 a b ( A.平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线
A=75° ,则 b (
A.2
) C. 4-2 3 ) D. D.
B. 4+2 3
6- 2
8.函数 f ( x) ( x 3)e x 的单调递增区间是( A. ,2 9.函数 y 2cos x
2
B. (0,3)
C. ( 4
试卷类型:A
2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数 学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横 贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” . 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、 多涂的,答案无效. 5. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 锥体的体积公式 V
(完整word版)高一数学集合练习题
高一数学集合的练习题及答案一、、知识点:本周主要学习集合的初步知识,包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。
在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。
本章知识结构1、集合的概念集合是集合论中的不定义的原始概念,教材中对集合的概念进行了描述性说明:“一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)”。
理解这句话,应该把握4个关键词:对象、确定的、不同的、整体。
对象――即集合中的元素。
集合是由它的元素唯一确定的。
整体――集合不是研究某一单一对象的,它关注的是这些对象的全体。
确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。
不同的――集合元素的互异性。
2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。
我们理解起来并不困难。
我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记做Φ。
理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。
几个常用数集N、N*、N+、Z、Q、R要记牢。
3、集合的表示方法(1)列举法的表示形式比较容易掌握,并不是所有的集合都能用列举法表示,同学们需要知道能用列举法表示的三种集合:①元素不太多的有限集,如{0,1,8}②元素较多但呈现一定的规律的有限集,如{1,2,3, (100)③呈现一定规律的无限集,如{1,2,3,…,n,…}●注意a与{a}的区别●注意用列举法表示集合时,集合元素的“无序性”。
(2)特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准,然后适当地表示出来就行了。
但关键点也是难点。
学习时多加练习就可以了。
另外,弄清“代表元素”也是非常重要的。
如{x|y =x 2}, {y|y =x 2}, {(x ,y )|y =x 2}是三个不同的集合。
4、集合之间的关系●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。
“包含”关系是集合与集合之间的关系。
掌握子集、真子集的概念,掌握集合相等的概念,学会正确使用“”等符号,会用Venn 图描述集合之间的关系是基本要求。
2009年高考山东数学文(含答案)
2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为( )A.0B.1C.2D.4【解析】:∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.2. 复数31ii--等于( ) A .i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -【解析】: 223(3)(1)324221(1)(1)12i i i i i ii i i i i --++-+====+--+-,故选C. 3. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( )A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)42sin(1π++=x y D. cos 2y x =【解析】:将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos 22cos y x x =+=,故选A.4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.223π+B. 423π+2323π+ D. 2343π+ 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆 柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面边长为2,高为3,所以体积为21232333⨯=所以该几何体的体积为232π+.22侧()视图22 2正(主)视图俯视图5.在R 上定义运算⊙: a ⊙b a ab b ++=2,则满足x ⊙)2(-x <0的实数x 的取值范围为( ).A.(0,2)B.(-2,1)C.),1()2,(+∞--∞D.(-1,2)【解析】:根据定义x ⊙02)2(2)2()2(2<-+=-++-=-x x x x x x x ,解得12<<-x ,所以所求的实数x 的取值范围为(-2,1),故选B.6. 函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为( ).【解析】:函数有意义,需使0xxe e--≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C,D,又因为22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A7. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ,则f (3)的值为( )A.-1B. -2C.1D. 2【解析】:由已知得2(1)log 5f -=,2(0)log 42f ==,2(1)(0)(1)2log 5f f f =--=-,2(2)(1)(0)log 5f f f =-=-,22(3)(2)(1)log 5(2log 5)2f f f =-=---=-,故选B.8.设P 是△ABC 所在平面内的一点,2BC BA BP +=,则( )A.0PA PB +=B. 0PB PC +=C. 0PC PA +=D.0PA PB PC ++= 【解析】:因为2BC BA BP +=,所以点P 为线段AC 的中点,所以应该选C 。
高考数学解答题直线与双曲线位置关系 Word版含答案
6.直线与双曲线的位置关系
一.学习目标:类比直线与椭圆的位置关系的研究,尝试探究直线与双曲线的位置关系,进一步体会用坐标法研究几何问题的思路.
二.知识梳理:
1. 直线与椭圆的位置关系有哪些?是如何研究的?
2. 当直线与椭圆相交时,如何求弦长?
3. 涉及弦的中点问题,如何解决?
三.典例分析
例1.试讨论直线1:+=kx y l 与双曲线12
2=-y x 的位置关系?
【变式】1.若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 与直线x y 2=无交点,求离心率e 的范围.
2.若双曲线)0(1222
>=-a y a
x 与直线1=+y x 相交于不同的两点,求离心率e 的范围.
例2.过双曲线16
32
2=-y x 的右焦点2F ,倾斜角为030的直线交双曲线于A 、B 两点,求||AB .
例3.已知双曲线的中心在原点,且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其相交于N M ,两点,MN 中点的横坐标为3
2-,则此双曲线的方程为 A .14322=-y x B. 13422=-y x C. 12522=-y x D. 15222=-y x。
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C. y 2 4 x
11.在区间 , 上随机取一个数 x , cos x 的值介于 0 到 之间的概率为( 2 2 2 A.
π π
B.
1
)
1 3
2 π
C.
1 2
D.
2 3
2] 上是增函数, 12.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x 4) f ( x) ,且在区间 [0,
2,a} ,B {1 1. 集合 A {0, 若A ,a2} ,
A.0 2.复数 B.1 C.2 D.4
B ={ 0, 1, 2, 4 , 16}, 则 a 的值为 (
)
3i 等于( ) 1 i A. 1 2i B. 1 2i
C. 2 i
D. 2 i
3.将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 析式是( )
则( ) B. f (80) f (11) f (25) D. f (25) f (80) f (11)
A. f (25) f (11) f (80) C. f (11) f (80) f (25)
第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.在等差数列 {an } 中, a3 7 , a5 a2 6 ,则 a6 = .
14 .若函数 f ( x) a x x a ( a 0 ,且 a 1 ) 有 两个 零点,则 实数 a 的取值 范围 是 . 15.执行右边的程序框图,输出的 T= 开始
.
S 0,T 0,n 0
是
T S
否
S S 5
n n2
输出 T 结束
T T n
16.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产生 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租 赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元.现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产 品 140 件,所需租赁费最少为 元. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) 2sin x cos (Ⅰ)求 的值;
(1, ) )
, 2) D. (1
e x e x 的图象大致为( e x e xy 1 O 1y 1 x O 1 x
A.
B.
C.
D.
7 .定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x) ( ) A. 1 B. 2
) x≤ 0 log2 (1 x , ,则 f (3) 的值为 ,x 0 f ( x 1) f (x 2)
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (Ⅰ)求 z 的值; (Ⅱ)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本看成一个总体, 从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (Ⅲ)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6, 9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这 8 辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该 数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.
2009 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 文 科 数 学
参考公式: 柱体的体积公式: V Sh ,其中 S 是柱体的底面积, h 是柱体的高. 锥体的体积公式: V
1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3
第 I 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
C.1
D. 2 )
8.设 P 是 △ ABC 所在平面内的一点, BC BA 2BP ,则( A. PA PB 0 C. PC PA 0 B. PB PC 0 D. PA PB PC 0
9.已知 , 表示两个不同的平面,m 为平面 内的一条直线,则“ ⊥ ”是“m⊥ ” 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
10. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ax (a 0) 的焦点 F , 且和 y 轴交于点 A . 若 △OAF (O 为坐标原点) 的面积为 4,则抛物线方程为( A. y 2 4x B. y 2 8x ) D. y 2 8 x
2
2
cos x sin sin x ( 0 π )在 x π 处取最小值.
b (Ⅱ) 在 △ ABC 中,a,b,c 分别是角 A, B, C 的对边. 已知 a 1 ,
求角 C .
2 ,f ( A)
3 , 2
18. (本小题满分 12 分)
AB 4 , 如图,在直四棱柱 ABCD A 1B 1C1D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形, AB ∥ CD ,
BC CD 2 , AA1 2 ,E, E1 分别是棱 AD, AA1 的中点.
(Ⅰ)若 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE1 ∥平面 FCC1 ; A1 (Ⅱ)证明:平面 D1 AC ⊥平面 BB1C1C . E1 A E F D1 C1 B1 D C B
19. (本小题满分 12 分) 汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下 表(单位:辆) : 轿车 A 舒适型 标准型 100 300 轿车 B 150 450 轿车 C z 600
2
π 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解 4
C. y 1 sin(2 x 2 2 2 正(主)视图 2 侧(左)视图
A. y 2cos x
B. y 2sin x
2
π ) 4
D. y cos 2 x 2
4.一空间几何体的三视图如图所示,则 该几何体的体积为( ) A.2 π +2 3 B.4 π + 2 3
2 3 C.2 π + 3
2 3 D.4 π + 3
b ab 2a b ,
)
5.在 R 上定义运算⊙: a 则满足 x
( x 2) 0 的实数 x 的取值范围为( 1) B. (2,
俯视图
2) A. (0,
6.函数 y y 1 O 1 x
2) C. (,
) y 1 x O 1