2016高考数学专题复习(理科)三轮考前体系通关：1-11
河北省衡水中学2016届高三数学三轮复习(理科)(六Word版)
河北省衡水中学2016届高三三轮复习考试数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.已知集合{}{}1,2,,2,3,4,S a T b ==,若{}1,2,3ST =，则a b -=（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．-2 2. 已知i 为虚数单位，则复数1ii+=（ ） A ．1i + B ．1i - C ．12i +D ．12i - 3. 已知平面向量()(),1,2,3a x b ==-，如果//a b ，那么x =（ ） A ．32 B ．32- C ．23 D ．23- 4函数2sin 22sin 1y x x =-+的最大值为（ ） A ．2 B ．2 C ．3 D ．3 5. 若运行如图所示程序框图，则输出结果S 的值为（ ） A ．94 B ．86 C ．73 D ．566. 下图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，俯视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（ ）A ．23π+ B ．523π-C ．53-2π D ．223π-7、直线21y x =+与圆2224x y x y +-+＝0的位置关系为（ ） A 、相交且经过圆心 B 、相交但不经过圆心 C 、相切 D 、相离 8. 为得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位9. 在数列{}n a 中，12211,,123n n a a a a +===，则20162017a a +=( )A ．56 B ．52 C ．72 D ．5 10. 在长为3m 的线段AB 上任取一点P ，则点P 与线段AB 两端点的距离都大于1m 的概率等于（ ） A ．12 B ．14 C ．23D ．1311. 设12,F F 是双曲线22:19x y C m-=的两个焦点，点P 在C 上，且120PF PF ⋅=，若抛物线216y x =的准线经过双曲线C 的一个焦点，则12||||PF PF ⋅的值等于（ ） A． B ．6 C ．14 D ．16 12. 已知函数()f x 的定义域为实数集R ，()lg ,0,90,0x x x R f x x x >⎧∀∈-=⎨-≤⎩，则()()10100f f --的值为（ ）A ．-8B ．-16C ．55D ．101第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线()2xf x xe =-在点（0,2）处的切线方程为 .14. 若,x y 满足约束条件001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则32+z x y =+的最大值为 .15. 已知三棱锥P ABC -的顶点、、B 、C P A 在球O 的表面上，ABC ∆的等边三角形，如果球O 的表面积为36π，那么P 到平面ABC 距离的最大值为 .16. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果ABC ∆的面积等于8，5a =,4tan 3B =-,那么sin sin sin a b cA B C++++= .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，123626,728a a a S ++==. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)求证：21243nn n n S S S ++-<⨯.18. (本小题满分12分)某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名， 640名，该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80,100]的学生可取得A 等（优秀），在[60,80)的学生可取得B 等（良好），在[40,60)的学生可取得C 等（合格），在不到40分的学生只能取得D 等（不合格），为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30,40)、[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]七组加以统计，绘制成频率分布直方图，下图是该频率分布直方图.(Ⅰ)估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数；(Ⅱ) 请你根据已知条件将下列2X2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 男生 a =12 b = 女生 c =34d =合计100n =附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.()20P k k ≥0.15 0.10 0.05 0k2.0722.7063.84119. (本小题满分12分)如图，在三棱锥A BCD -中，,,CD BD AB AD E ⊥=为BC 的中点. (Ⅰ)求证：AE BD ⊥；(Ⅱ)设平面ABD ⊥平面,2,4BCD AD CD BC ===，求三棱锥D ABC -的体积.20. (本小题满分12分)已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，离心率等于3，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆E 交于、A B 两个相异点，且AP PB λ=. (Ⅰ) 求椭圆E 的方程；(Ⅱ)若3AP PB =，求2m 的取值范围.21. (本小题满分12分)已知()0,ln 2a f x a x x ≠=+.(Ⅱ)当()f x 的最小值不小于a -时，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲如图，BC 是⊙O 的直径，EC 与⊙O 相切于,C AB 是⊙O 的弦，D 是AC 弧的中点，BD 的延长线与CE 交于E .(Ⅰ)求证： BC CD BD CE ⋅=⋅； (Ⅱ)若93,5CE DE ==，求AB .23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12x t y t =-⎧⎨=+⎩,（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2312cos ρθ=+.(Ⅰ)直接写出直线l 、曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线C 上的点到与直线l 的距离为d ，求d 的取值范围.24. (本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲已知()2122f x x x x =-++++. (Ⅰ)求证：()5f x ≥；(Ⅱ)若对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立，求实数a 的取值范围.附加题:在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(2)b c a =-，m 和向量(cos cos )C A =，n 为共线向量．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a ＝6，求△ABC 面积的最大值．(6)答案附加题答案:（Ⅰ）因为向量(2)b c a =-，m 和向量(cos cos )C A =，n 为共线向量， 所以(2)cos cos b c A a C -=， ··································································· 2分 由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=， 即2sin cos sin cos sin cos sin()sin B A C A A C A C B =+=+=．由于B 是三角形的内角，sin 0B ≠，则1cos 2A =，所以3A π=. ······················· 6分（Ⅱ）因为2222cos a b c bc A =+-， 所以2222362cos 23b c bc b c bc bc bc bc π=+-=+-≥-=， 且仅当b =c 时取得等号，所以36bc ≤， ···················································· 10分故11sin 3622ABC S bc A ∆=≤⨯=所以当b ＝c 时，△ABC 面积的最大值为 ··········································· 12分。
2016届高考数学三轮讲练测核心热点总动员(新课标版)专题18概率与统计大题(理)(原卷版)
【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【2013⋅新课标全国】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望.2.【2014高考全国1】 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX .12.2≈若()2~,Z N μσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.3.【2014新课标Ⅱ理)】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数（ （2）利用（1）中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ==--=-∑∑,ˆˆay bt =-. 4.【2015全国Ⅱ理18】某公司为了解用户对其产品的满意度,从,A B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：7383 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值,得出结论即可）；（2）根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C 的概率. 5.【2015全国Ⅰ理19】某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响,对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =⋅⋅⋅数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值．年销售量/t 年宣传费/千元366206005805605405205004805654525048464442403834表中i w =,8118i i w w ==∑,（1）根据散点图判断,y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可,不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系式0.2z y x =-,根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费49x =时,年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大？附：对于一组数据()11,u v ()22,u v ,⋅⋅⋅,(),n n u v ,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆnii i nii uu v v uu β==--=-∑∑,ˆˆv u αβ=-. 【热点深度剖析】1.纵观2013年和2014年2015年的高考题对本热点的考查，可以发现概率和统计、统计案例相结合是高考命题的热点，在2012年高考中，结合实际问题将函数和概率问题巧妙结合在一起，新颖别致，但是题目难度不大，这也体现了“新题不难”的命题特点，主要考查生活中的概率统计知识和方法.求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法，以及生活中最大利润的判断；2013年考查相互独立事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的逻辑推理能力以及基本运算能力；2014年主要考查了频率分布直方图，正态分布的3 原则，二项分布的期望及回归分析.2015年分别考查了回归分析、茎叶图。
高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关
数学
考情精解读 4
考纲解读
命题规律
命题趋势
第一讲 集 合
1.热点预测 (1)集合的基本运算以及与一元二次方程、 函数的定义域、值域的综合问题是高考的热点;难点是 以集合及相关知识为背景的综合性问题.(2)预计集合的 新定义问题是命题的趋势,题型以选择题、填空题的形 式出现,分值为5分. 2.趋势分析 以函数、方程、三角、不等式为载体,以 集合的语言和符号为表现形式,考查考生的数学思想、 数学方法和数学能力,2018年高考复习时应予以关注.
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题型全突破
数学
题型全突破 1
第一讲 集合 考法1 利用集合元素的三性解决元素与集合之间的关系问题
考法指导 类型1 有限集中元素与集合间关系的判断
(1)待确定元素与已知集合无关:如果待确定元素的值只与自身有关,只需将元素化 简、求值,再与该有限集内的元素进行逐个对照,确定是否存在与其相等的元素.若 存在,则属于(∈);若不存在,则不属于(∉). (2)待确定元素与已知集合有关:当一个待定集合中的元素与一个已知集合有关,确 定元素与待定集合的关系(或待定集合中元素个数)时,应先将待定集合中的元素根 据题中限定条件求出(常会用到列举法和分类讨论思想),然后根据题目信息进行分 析判断(常依据集合中元素的互异性进行检验).
元素组成的集合
x∉A}
Venn图
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数学
知识全通关 7
第一讲 集合
2.集合运算的相关结论
(1)(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B;A=A∩A;A∩B=B∩A;A⊆(A∪B),B⊆(A∪B);A=A∪A;A∪B=B∪A. (2)若A⊆B,则A∩B=A;若A∩B=A,则A⊆B.若A⊆B,则A∪B=B;若A∪B=B,则A⊆B.
2016届高考数学三轮讲练测核心热点总动员(新课标版)专题01复数(原卷版)
2016年学易高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【全国通用版】【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1. 【2013新课标全国】若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |,则z 的虚部为 () A 、－4 B 、－45 C 、4 D 、452.【2013新课标全国】212(1)i i +=-( )（A ）112i -- （B ）112i -+（C ）112i + （D ）112i - 3. 【2014全国1高考理】=-+23)1()1(i i （ ） A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --14. 【2014高考全国1卷文】设i iz ++=11,则=||z （ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 2 5.【2015全国卷1】设复数z 满足1i 1z z+=-,则z =（）A ．1BCD ．26.【2015全国卷2】若a 为实数,且()()2i 2i 4i a a +-=-,则a =（）．A.1-B. 0C.1D. 2【热点深度剖析】从近三年的高考试题来看,复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点,每套高考试卷都有一个小题,并且一般在前三题的位置上,主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算． 2013年考查了复数的除法运算、复数的模、复数的概念,2014年考查了复数的除法运算.205年考查了复数的模及复数相等,近三年全国卷中共轭复数及复数的几何含义还没有考查,故预测2016年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点,其中复数的除法运算及共轭复数是最可能出现的命题角度！【重点知识整合】1.基本概念：⑴a bi c di a c +=+⇔=且(,,,)c d a b c d R =∈；⑵复数是实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z ∈⇔=；③20z R z ∈⇔≥.（3）复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数0(0)z z z ⇔+=≠；③z 是纯虚数20z ⇔<.2.复数运算公式：设1z a bi =+,2(,,,)z c di a b c d R =+∈,12()()z z a c b d i ±=±+±,12()()()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++,1222222(0)z ac bd bc ad i z z c d c d +-=+≠++. 3.几个重要的结论： ⑴2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+；⑵22||||z z z z ⋅==；⑶若z 为虚数,则22||z z ≠.4.常用计算结论：⑴2(1)2i i ±=±；⑵11ii i +-=,11i i i -+=-；⑶1230()n n n n i i i i n N ++++++=∈；⑷1||11z z zz z =⇔=⇔=；12ω=-+,212ωω=--=,31ω=,210ωω++=. 【应试技巧点拨】 1.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a bi +(,a b R ∈)的形式,以确定实部和虚部．2.复数是实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z ∈⇔=；③20z R z ∈⇔≥.3.复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数0(0)z z z ⇔+=≠；③z 是纯虚数20z ⇔<.4. 对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点z 及向量OZ 相互联系,即z a bi =+ (,a b R ∈)(),Z a b ⇔⇔ OZ ；(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观．5. 复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可,但要注意把i 的幂写成最简单的形式,在运算过程中,要熟悉i 的特点及熟练应用运算技巧．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i 的幂写成最简形式．【考场经验分享】1.目标要求：新课标对复数的要求较低,根据课标的要求,本部分内容的考查不会太难,一般出一道选择题(或填空题)考查基本概念与运算,与概率等结合的题目可能会出,但都比较容易解决．所以本热点必须得满分.2.注意问题：复数这个热点一般出现在试卷的前三道题目中,难度较低,但是解题时需加小心,千万不能因为不重视而导致失分.例如复数的实部和虚部要分清楚,例如1i -的实部是-1,虚部为1,运算时要注意21i =-.3.经验分享：学会必要的检验,例如将求解的复数代入验证,若复数为纯虚数时,实部等于0,要验证虚部不为0,利用复数相等进行复核等方法,确保万无一失.【名题精选练兵篇】1. 【2016安徽合肥市第二次质检】若i 是虚数单位,复数2i z i =+的虚部为（ ） A ．15- B ．25- C ．15 D ．252.【2016云南第一次统一检测】已知i 为虚数单位,则复数1i i+=（ ） A ．1i + B ．1i - C ．12i + D ．12i - 3.【2016新疆乌鲁木齐二诊】复数534i i+-对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4.【2016重庆3月模拟】若纯虚数z 满足(1)1i z ai -=+,则实数a =（ ）A ．0B ．-1或1C ．-1D ．15.【2016湖北七校2月联考】已知i b i i a +=+2,),(R b a ∈其中i 为虚数单位,则=-b a （ ） A ．3- B ．2-C ．1-D ．1 6.【2016哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学第一次联合模拟】若复数z 满足i zi +=1,则z 的共轭复数是（ ）A ．i --1B ．i +1C ．i +-1D ．i -17.【2016河北省衡水二调】已知复数z ,“0z z +=”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.【2016吉林长春质量监测（二）】复数1z ,2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称,且132z i =+,则2z =（）A. 32i -B. 23i -C. 32i --D. 23i +9.【2016辽宁省沈阳质量监测（一）】复数21z i=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10.【2015安徽省安庆五校联盟高三下学期3月联考】若复数i b i a 3-+（R b a ∈,）对应的点在虚轴上,则ab 的值是A ．15-B ．3C ．3-D ．1511. 【2015届吉林省长春市十一高中高三上学期阶段性考试】若复数i a a z )1(12-+-=（i 为虚数单位）是纯虚数,则实数=a （ ）A ．1±B ．1-C ．0D ．112. 【2015届云南省弥勒市高三年级模拟测试一】复数1z i =-,则1z z+对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限13. 【2015届高三下学期第二次统考（新课标2卷）】已知,,x y R i ∈为虚数单位,且(2)1x i y i --=-+,则(1)x y i ++的值为（ ）A ．4B ．4-C ．44i +D ．2i 14. 【2015届山东省德州市高三上学期2月期末统考】设1z i =-,则22z z+=（ ） A ．-1-i B ．-l+I C ．1-i D ．l+i15. 【2015届江西省景德镇高三第二质检】设z 是复数,()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ,则对虚数单位i ,()a i =（ ）A.2 B ．4 C.6 D.816. 在复平面内,复数201532i iZ +-=对应的点位于 （ ） (A)第四象限 (B)第三象限 (C)第二象限 (D)第一象限17. 如图,在复平面内,复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ,则21z z 等于（A ）12i + （B ）2i + （C ）12i -- （D ）2i -+18. 【2015安徽省安庆五校联盟高三下学期3月联考】已知i 是虚数单位,若()32i z i -⋅=,则z =（ ）（A ）1255i - （B ）2155i -+ （C ）2155i -- （D ）1255i + 【名师原创测试篇】 1. 复数2534z i =-在复平面内对应的点的坐标是 （ ）A ．()3,4--B ．()3,4-C ．()3,4-D ．()3,42. 复若()1,2,3i z i =是复数,且集合{}11|(1)22A z z i i =+=-,{}2224|0z B z =+=,3z A B ∈,则3z = （ ）A ．2i ±B ．2±C ．2i -D ．2-3. 若复数()()1a a i z a R i+-=∈在平面直角坐标系中所对应的点在第三象限,则( ) A.01a << B.10a -<< C.0a < D 1a > 4. 若复数11a i z i i-=--+是实数（其中,a R i ∈是虚数单位）,则a = （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．25. 已知复数121234,,z i z t i z z =+=+⋅且是实数,则实数t 等于（ ）A.34 B.43 C.43-D。
2016高考数学专题复习(理科)三轮考前体系通关：1-5
[命题猜想] 猜想13 对正、余弦定理的考查 命题研究 1.利用正、余弦定理解三角形的问题常与边之间
的和或积、角的大小或三角函数值等综合考查；
2．利用正、余弦定理解三角形问题与平面向量、三角形
的面积等相结合考查．
【解题案例】 17．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 acos B＋bcos A＝csin C，b2＋c2－a2＝ 3bc，则角 B＝________.
2 2 2 b ＋ c － a 3bc 3 2 2 2 解析 由 b ＋c －a ＝ 3bc 得 cos A＝ 2bc ＝ 2bc ＝ 2 .
所以 A＝30° .由正弦定理，得 sin Acos B＋sin Bcos A＝sin Csin C，即 sin (A＋B)＝sin Csin C＝sin C，解得 sin C＝1，所以 C ＝90° ，所以 B＝60° . 答案 60°
解析 由|a＋b|＝|a－b|，得 a2＋2a· b＋b2＝a2－2a· b＋b2，即 a· b＝ 0.由|a＋b|＝2|a|得 a2＋2a· b＋b2＝4a2，即 b2＝3a2，所以|b|＝ 3|a|. 所以(a＋b)· (b－a)＝b2－a2＝3a2－a2＝2a2，所以向量 a＋b 与 b－a a＋b· b－a 2a2 1 的夹角的余弦值为：cos θ＝ ＝ ＝2，所以 θ |a＋b||b－a| 2|a|×2|a| π ＝ . 3 答案 B
【感悟提升】
【感悟提升】
猜想14 对平面向量的概念与运算的考查 命题研究 1.该内容的试题多以平面图形，以平面向量基底
形式为重点，考查平面向量的共线及平面向量基本定 理． 2．通过坐标运算考查两个向量平行、垂直的位置关系．
【解题案例】 19．已知向量 a＝(1,2)，b＝(x,6)，且 a∥b，则 x 的值为 ( A．1 B．2 C．3 D．4 )．
2016年江苏省高考数学三轮专题复习精华：倒数第1天(含答案)(倒计时冲刺版)
倒数第1天高考数学应试技巧经过紧张有序的高中数学总复习，高考即将来临，有人认为高考数学的成败已成定局，其实不然，因为高考数学成绩不仅仅取决于你现有的数学水平，还取决于你的高考临场发挥，所以我们要重视高考数学应试的策略和技巧，这样有利于我们能够“正常发挥”或者“超常发挥”．一、考前各种准备1．工具准备：签字笔、铅笔、橡皮、角尺、圆规、手表、身份证、准考证等．(注意：高考作图时要用铅笔作图，等确认之后也可以用签字笔描)2．知识准备：公式、图表强化记忆，查漏补缺3．生理准备：保持充足的睡眠、调整自己的生物钟、进行适度的文体活动4．心理准备：有自信心，有恰当合理的目标二、临场应试策略1．科学分配考试时间试卷发下来以后，首先按要求填涂好姓名、准考证号等栏目，完成以上工作以后，估计还未到考试时间，可先把试卷快速浏览一遍，对试题的内容、难易有一个大概的了解，做到心中有数，考试开始铃声一响，马上开始答题．2．合理安排答题顺序解题的顺序对考试成绩影响很大，试想考生如果先做最难的综合题，万一做不出，白白浪费了时间，还会对后面的考试产生不良的影响，考试时最好按照以下的顺序：(1)从前到后．高考数学试卷前易后难，前面填空题信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，解答题前三、四道也不太难，从前往后做，先把基本分拿到手，就能心里踏实，稳操胜券．(2)先易后难．先做简单题，再做综合题，遇到难题时，一时不会做，做一个记号，先跳过去，做完其它题再来解决它，但要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，影响情绪．(3)先熟后生．先做那些知识比较熟悉、题型结构比较熟悉、解题思路比较熟悉的题目，这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、达到拿下中高档题目的目的．3．争取一个良好开端良好的开端是成功的一半，从考试心理角度来说，这确实很有道理．拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，在通览一遍整套试题后，稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的感觉，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高．4．控制好解题节奏考场上不能一味地图快，题意未清，条件未全，便急于解答，容易失误．应该有快有慢，审题要慢，解答要快．题目中的一些关键字可以用笔圈一下，以提醒自己注意．审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据．而思路一旦形成，则可尽量快速解答．5．确保运算准确，立足一次成功在规定的时间内要完成所有题，时间很紧张，不允许做大量细致的检验工作，所以要尽量准确运算，关键步骤，宁慢勿快，稳扎稳打，不为追求速度而丢掉准确度，力争一次成功．实现一次成功的一个有效措施是做完一道题后如果觉得没有把握随即检查一下(例如可逆代检验、估算检验、赋值检验、极端检验、多法检验)．做完当即检查，思路还在，对题目的条件、要求等依然很熟悉，检查起来可以省时间．6．追求规范书写，力争既对又全卷面是考试评分的唯一依据，这就要求不但会而且要对、不但对而且要全，不但全而且要规范．会而不对，令人惋惜；对而不全，得分不高；表述不规范，处处扣分．要处理好“会做”与“得分”的关系．要用心揣摩阅卷时的得分点步骤，得分点步骤不能漏掉，一定要写好，写清楚．例如立体几何论证题，很多因条件不全被扣分．7．面对个别难题，争取部分得分高考成绩是录取的重要依据，相差一分就有可能失去录取资格．解答题多呈现为“一题多问”、难度递进式的“梯度题”，这种题入口宽，入手易，看似难做，实际上也有可得分之处，所以面对“难题”不要胆怯，不要简单放弃，应冷静思考，争取部分得分．那么面对不能全面完成的题目如何分段得分，下面有两种常用方法．①缺步解答．对难题，啃不动时，明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，能解决到什么程度就解决到什么程度，能写几步就写几步，每写一步就可能得到一定分数．②跳步解答．解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找它途，如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节，若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底；若题目有两问，第二问做不上，可将第一问作为“已知”，完成第二问，这样也可能得分．8．把握“最后10分钟”同学们一般都有这样的感觉，前面10分钟往往是得分的黄金时间，而最后的10分钟往往很难添分加彩，究其原因有两个，一是最后10分钟往往既要复查纠错，又想攻克难题，结果顾此失彼，两头落空；二是考试的最后时刻就象长跑的最后时刻，体力消耗大，思维有所迟钝．那么“最后10分钟”应该做什么呢？可以用来检查前面有疑问没把握的试题或者用来做前面未能解答的试题，但是一定要先解决把握性大一点、相对容易一点、得分可能性大的试题．总之，我们的应试策略是：(1)难易分明，决不耗时；(2)慎于审题，决不懊悔；(3)必求规范，决不失分；(4)细心运算，决不犯错；(5)提防陷阱，决不上当；(6)愿慢求对，决不出错；(7)思路遇阻，决不急躁；(8)奋力拼杀，决不落伍．。
2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；附注：参考数据：y i t i y i≈参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．另解：由△AMF∽△AEO，可得=，由△BOH∽△BFM，可得==，即有=即a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【考点】8B：数列的应用．【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；附注：参考数据：y i t i y i≈参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈∵＞故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈=﹣≈×4≈∴y关于t的回归方程+2016年对应的t值为9，故×9+【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，=|FN||y1﹣y2|，∴S△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 1-1
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第一章
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高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
4．集合的基本运算 并集 符号 表示 图形 表示 意义 22 ______ □ 23 ______ □ 24 ______________ □ A∪B 交集 A∩B 补集 若全集为U，A⊆U， 则集合A的补集为∁UA
(2)已知集合 A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜ x＜2m－1}．若 B⊆A，则实数 m 的取值范围是( A．－3≤m≤4 C．2＜m≤4
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)
B．－3＜m＜4 D．m≤4
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高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
解析：(1)由 x2－3x＋2＝0 得 x＝1 或 x＝2，故 A＝{1,2}．由题 意知 B＝{1,2,3,4}，因此满足条件的 C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}， {1,2,3,4}，故选 D. (2)当 B＝∅时，有 m＋1≥2m－1，则 m≤2. 当 B≠∅时，若 B⊆A，如图．
答案：B
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课堂学案
考点通关
考点例析 通关特训
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考点一
集合的基本概念
【例 1】 (1)已知集合 A＝{1,2,3,4,5}，B＝ {(x，y)|x∈ A， y∈ A， x－y∈ A}，则 B 中所含元素的个数为( A．3 个 B．6 个 C．8 个 ) D．10 个
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2016届高三数学一轮复习 大题冲关课件(一)理
冲关策略 函数性质综合问题的难点是函数单调性和极值、最 值的分类讨论. (1)单调性讨论策略:单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点, 把函数定义域分段,在各段上讨论导数的符号,在不能确定导数等 于零的点的相对位置时,还需要对导数等于零的点的位置进行讨 论. (2)极值讨论策略:极值的讨论是以单调性的讨论为基础,根据函数 的单调性确定函数的极值点. (3)最值讨论策略:图象连续的函数在闭区间上最值的讨论,是以函 数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行 的,在极值和区间端点函数值中最大的为最大值,最小的为最小值.
∵x>0, ∴ax2+2x-1>0 有解. ①当 a≥0 时符合题意; ②当 a<0 时,Δ=4+4a>0,即 a>-1. ∴a 的取值范围是(-1,+∞).
(2)证明:当 a=0,b=1 时, 设 (x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x,
∴ ′(x)= 1 -1= x . x 1 x 1
思维导引:(1)对函数 f(x)求导,得到 f(x)的单调递增区间和单
调递减区间,进而得到 f(x)的最大值;(2)对函数 f(x)求导,然后
对 a 分情况进行讨论得到 f(x)的单调区间;(3)分①当 a≥0 时,
②当 a≤-1 时,③当-1<a<0 时进行讨论,在这三种情况中分别找
到 a 的范围,最后取并集.
当-1<a<0 时,令 f′(x)=0,
解得 x= a 1 , 2a
则当 x∈(0, a 1 ),f′(x)>0; 2a
当 x∈( a 1 ,+∞),f′(x)<0. 2a
故 f(x)在 x∈(0, a 1 )上单调递增; 2a
2016年高考数学各地试题知识点分类汇编11.doc
2016年高考数学理试题分类汇编立体几何 一、选择题1、（2016年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A.16B.13C.12D.1 【答案】A2、（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如右图所示，则该几何体的体积为（A ）π32+31 （B ）π32+31 （C ）π62+31 （D ）π62+1 【答案】C3、（2016年全国I 高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A4、（2016年全国I 高考）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD=m ，αI 平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为（A （B ）2 （C （D ）13【答案】A5、（2016年全国II 高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C6、（2016年全国III 高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18+（B ）54+（C ）90 （D ）81 【答案】B7、（2016年全国III 高考）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是 （A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π【答案】B二、填空题1、（2016年上海高考）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________【答案】2、（2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________．3、（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.【答案】24、（2016年全国II 高考） ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥.[ （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ．.(填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④5、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.【答案】72326、（2016年浙江高考）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .【答案】12三、解答题1、（2016年北京高考）如图，在四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥平面ABCD，PA PD⊥，PA PD⊥，=，AB AD==AD=，AC CDAB=，21（1）求证：PD⊥平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.【解】⑴∵面PAD 面ABCD AD =面PAD ⊥面ABCD∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ∴AB ⊥面PAD ∵PD ⊂面PAD ∴AB⊥PD 又PD ⊥PA∴PD ⊥面PAB⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO∵CD AC ==∴CO ⊥AD∵PA PD = ∴PO ⊥AD以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，则(111)PB =-，，，(011)PD =--，，，(201)PC =-，，，(210)CD =--，， 设n 为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =，011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与面PCD 夹角θ有sin cos ,1n PB n PB n PBθ⋅=<>==⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD 设AM APλ=，()0,','M y z由（2）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =- 有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-Oxyz PABC D∴()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量 ∴0BM n ⋅= 即102λλ-++=∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AMAP=时，M 点即为所求.2、（2016年山东高考）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（II ）已知EF=FB=12AC=AB=BC.求二面角F BC A --的余弦值.【解】(Ⅰ)连结FC ，取FC 的中点M ，连结HM GM,， 因为GM//EF ，EF 在上底面内，GM 不在上底面内， 所以GM//上底面，所以GM//平面ABC又因为MH//B C ，⊂BC 平面ABC ，⊄MH 平面ABC ，所以MH//平面ABC ；所以平面GHM//平面ABC ，由⊂GH 平面GHM ，所以GH//平面(Ⅱ) 连结OB ，B C AB = OB A ⊥∴O以为O 原点，分别以O O OB,OA,'为z y,x, B建立空间直角坐标系．BC AB ,32AC 21FB EF ==== ， 3)(22=--='FO BO BF O O ，于是有)0,0,3A(2，)0,0,3C(-2，)0,3B(0,2，)3,3F(0,， 可得平面FBC 中的向量)3,(30,-BF =，)0,,(3232CB =, 于是得平面FBC 的一个法向量为)1,3,3(1-=n ， 又平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(2=n ， 设二面角A -BC -F 为θ，则7771cos ===θ． 二面角A -BC -F 的余弦值为77．3、（2016年上海高考）将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。
2016高考数学专题复习(理科)三轮考前体系通关：2-1
即 g(x)＝cos 当
π x－ 6
(9 分)
π π π π x∈ 0，2 时，－6<x－6<3，
π 1 所以2≤cos x－6≤1，
(11 分)
π 1 即当 x＝2时，g(x)取得最小值2， π 当 x＝6时，g(x)取得最大值 1 (12 分)
体系通关二 80～70分大题猜想
第一辑 三角问题
[命题猜想] 猜想39 看似复杂，实则简单，带你融汇贯通三角问题 命题研究 高考每年必考的大题，一般放在第一大题的位置
上，主要考查三种题型： (1) 单纯三角函数； (2) 三角函数
与平面向量的交汇；(3)解斜三角形．
【解题案例】 47．已知平面向量 a＝(cos φ，sin φ)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin φ， －cos φ)，其中 0<φ<π，且函数 f(x)＝(a· b)cos x＋(b· c)sin x 的
a b (2)由正弦定理，得sin A＝sin B， π 2 1×sin 4 2 asin B 6 即 b＝ sin A ＝ π ＝ 3＝ 3 . sin 3 2( Nhomakorabea2 分)
【感悟提升】
48．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 3 sin 2A＝1－cos 2A. (1)求角 A 的值； π (2)若 a＝1，B＝4，求 b 的值；
思路导图 条件： 3sin 2A＝1－cos 2A ⇓ 利用二倍角公式化简 ⇓ 在△ABC中，sin A>0，可约分 ⇓ 由cos A≠0可得tan A＝？
π 0<φ<π，∴φ＝3.
(2)由(1)得 f(x)＝cos 单位后得到 y＝cos
2016年高考数学三轮讲练测核心热点总动员(新课标版) 专题02 集合运算、简易逻辑
2016年高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【全国通用版】【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1. 【2013⋅新课标全国卷】 已知集合A=｛1，2，3，4｝，2{|,}B x x n n A ==∈，则A∩B= ( )（A ）｛1,4｝（B ）｛2，3｝ （C ）{9，16} （D ）｛1,2} 【答案】A ；【解析】依题意，{}1,4,9,16B =，故{}1,4A B =.2. 【2013新课标全国卷】已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ）（A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧ （C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝【答案】B ；3. 【2013⋅新课标全国理】已知集合{}220A x x x =->，{B x x =<，则( )A 、A∩B=∅B 、AB=R C 、B ⊆A D 、A ⊆B【答案】B ；【解析】依题意{0A x x =<或}2x >，由数轴可知，选B.4.【2014全国1】已知集合{}{}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ，则=B A （ ） A ．]1,2[-- B ． )2,1[- C.．]1,1[- D ．)2,1[【答案】A 【解析】由已知得，{1A x x =≤-或}3x ≥，故{}21A B x x =-≤≤-，选A ．5.【2014高考全国1】已知集合{}{}|13,|21M x x N x x =-<<=-<<，则MN =（ ） A. )1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )3,2(-【答案】B【解析】根据集合的运算法则可得：{}|11MN x x =-<<，即选B ． 6.【2015全国I 文】已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A xx n n B ==+∈=N ，则集合A B中元素的个数为（ ）.A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D7.【2015全国II 理】已知集合{}2,1,0,2A =--，()(){}120B x x x =-+<，则AB =（）． A.{}1,0- B. {}0,1 C.{}1,0,1- D. {}0,1,2 【答案】A【解析】对于B 集合，由已知得，{}21B x x =-<<，用数轴可得{}1,0AB =-.故选A.8.【2015全国I 理】设命题:p n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（）.A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n …C ．n ∀∈N ，22n n …D ．n ∃∈N ，22n n =【答案】C【解析】存在的否定是任意，大于的否定是小于等于，所以:N p n ⌝∀∈，22n n …． 故选C ．【热点深度剖析】1.高考对集合问题的考查，主要以考查概念和计算为主，考查两个集合的交集、并集、补集运算；从考查形式上看，主要以小题形式出现，常联系不等式的解集与不等关系，试题难度较低，一般出现在前三道题中，常考查数形结合、分类讨论等数学思想方法, 2013年文科考查集合的运算，理科考查不等式的解集，2014年文科考查集合的运算，理科考查不等式的解集，2015全国卷考查了离散型数集的交集运算及不等式的解法，预测2016年高考仍是考查集合的运算为主，理科可能与指对不等式及分式不等式结合，会涉及到集合的交集、并集、补集, 文科主要考查集合的交集与并集运算．2.命题及其关系，以及逻辑联结词, 全称量词与存在量词,此部分知识在高考命题中多以选择题和填空题的形式出现，主要考查基本概念，四种命题中互为等价的命题, 全称量词与存在量词的否定是考查的重点．常以本节知识作为载体考查函数、立体几何、解析几何等内容；以逻辑推理知识为命题背景的解答题也会出现．2015年全国卷1考查了全称命题的否定，预测2016年全国卷1不会再出现全称命题与特称命题的否定，但全国卷2有可能跟进。
专题2.5 解析几何-2016年高考数学三轮考点总动员(江苏版)(解析版)
第二篇 易错考点大清查第二篇 专题5 解 析 几 何1．忽视直线斜率不存在的情况而失解讨论两条直线的位置关系时，首先要注意对斜率是否存在进行讨论，其次要注意对系数是否为零进行讨论．在求解直线方程时，有时也忽略斜率不存在的情况．研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往易忽视直线的斜率不存在的情况而导致失解．例1．【泰州市2016届高三第一次模拟考试】如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ． （1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由； （3）求证：直线AC 必过点Q ．【答案】（1）1214k k =-（2）52λ=（3）详见解析 【解析】（1）设00(,)B x y ，则00(,)C x y --，220014x y +=所以2200012220000111422424x y y y k k x x x x -=⋅===--+--． …………4分（3）当直线PQ 与x 轴垂直时，68(,)55Q --，则28156225AQ k k -===--，所以直线AC 必过点Q ． 当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ 方程为：12156()415k y x k -=+-，联立1212256()4154k y x k x y -⎧=+⎪-⎨⎪+=⎩，解得21122112(161)16,161161Q Q k k x y k k --==++， 所以1212211211616112(161)42161AQk k k k k k k +==-=---+，故直线AC 必过点Q ． …………16 分（不考虑直线PQ 与x 轴垂直情形扣1分）点评：解答本题是需要设出直线PQ 的方程，此时需要考虑直线的斜率是否存在，可分两类情况分别求解． 【举一反三1】求过点()3,1M 的圆22(1)(2)4C x y ：－＋－＝的切线方程．【解析】圆心()C 1,2，半径为r 2＝，当直线的斜率不存在时，过点()3,1M 的方程为x 3＝．由圆心()C 1,2到直线x 3＝的距离d 312r ＝－＝＝知，此时，直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设方程为1(3)y k x -=-，即130kx y k -+-=．2,=解得34，所以方程为31(3)4y x -=-，即3450x y --=；综上知所求切线方程为x 3＝，3450x y --=． 2．忽视圆锥曲线定义中的限制条件在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．例2．若动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，且与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程________．点评：本题利用双曲线的定义求解轨迹方程，需要注意应该是双曲线的右支，故需要加上条件（x ≥进行限制．【举一反三2】【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】已知圆22:215C x y x ++=，M 是圆C 上的动点，(1,0)N ，MN 的垂直平分线交CM 于点P,求点P 的轨迹方程.【答案】13422=+y x3．离心率范围求解错误求解离心率的范围是一个热点题型，解题的关键在于根据题设条件，借助几何性质、位置关系等途径找到不等关系，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围．解题时容易忽略椭圆的离心率范围()0,1和双曲线的离心率范围()1,+∞．例3．【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】如图，已知椭圆12222=+by a x （0＞＞b a ）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足MP M F λ=1（R ∈λ），M F PO 2⊥，O 为坐标原点.（1）若椭圆方程为14822=+y x ，且），（22P ，求点M 的横坐标； （2）若2=λ，求椭圆离心率e 的取值范围【答案】（1）65（2）1(,1)2点评：注意利用椭圆本身的离心率的范围()0,1．【举一反三3】【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，F 为椭圆的右焦点，点A,B 分别为椭圆的上下顶点，过点B 作AF 的垂线，垂足为M. (1)若2=a ，ABM ∆的面积为1，求椭圆方程；(2)是否存在椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上，若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）1222=+y x （2）不存在4．解决直线与圆锥曲线的相交问题时忽视Δ>0的条件直线与曲线相交中探求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．这个范围与直线和曲线的位置关系有关时，隐含着Δ>0的条件，不能忽略．例4．设过点A (0,2)的动直线l 与2214x y += 相交于P ，Q 两点，O 为坐标原点．当OPQ ∆的面积最大时，求l 的直线方程．点评：本题通过弦长公式、面积公式等工具将三角形OPQ ∆的面积表示为关于变量k 的函数解析式()f k ，再求函数最大值及相应的k 值，此时需借助隐含条件直线与椭圆相交得到0∆>进行验证．【举一反三4】已知直线x －y ＋m ＝0与椭圆C ：x 22＋y 2＝1．交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点不在圆x 2＋y 2＝59内，求m 的取值范围．【解析】联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0，消去y 整理得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0．则Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＝8(－m 2＋3)＞0，解得－3＜m ＜3．①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝－4m 3＋2m ＝2m3，即AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 3，m 3．又∵AB 的中点不在圆x 2＋y 2＝59内，∴4m 29＋m 29＝5m 29≥59，解得m ≤－1或m ≥1．②由①②得，－3＜m ≤－1或1≤m ＜3．故m 的取值范围为(－3，－1]∪[1，3)．1．【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知F 是椭圆1C ：1422=+y x 与双曲线2C 的一个公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若0=⋅BF AF ，则2C 的离心率是 ． 【答案】26【易错点】椭圆与双曲线定义2．【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P -的直线与圆221x y +=相切于点T ，与圆()(223x a y -+=相交于点,R S ，且PT RS =，则正数a 的值为 ▲ ．【答案】4 【解析】试题分析：由题意得PT =:2),20PT k PT y x x ==++=，又RS PT =，所以圆()(223x a y -+=圆心到直线PT32=，从而|1|322a -=，因此正数a 的值为4【易错点】直线与圆位置关系3．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2px (p ＞0) 的焦点为F ，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别与抛物线交于A ，B 两点(A ，B 异于坐标原点O )．若直线AB 恰好过点F ，则双曲线的渐近线方程是▲________. 【答案】x y 2±= 【解析】试题分析：由题意得：一条渐近线过点),2(p p ，因此斜率为22=p p，双曲线的渐近线方程是x y 2±=【易错点】抛物线性质，双曲线渐近线4．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为▲________．【答案】[2+【易错点】直线与圆位置关系5．【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线x 2－23y ＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是 ．【答案】12- 【解析】试题分析：由正弦定理得2122sin sin sin -=-=-=-=-c a c a AB AC BC C B A 【易错点】正弦定理，双曲线定义6．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为 ▲ 米．【答案】8 【解析】试题分析：以顶点为坐标原点，平行水面的直线为x 轴建系，设抛物线方程为2x my =，因为过点(8,4)-，所以16m =-，令1y =-得||4x =，从而水面的宽度为8米． 【易错点】抛物线方程7．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为 ▲ ．【易错点】双曲线离心率8．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 ▲ ． 【答案】3 【解析】试题分析：由题意得圆N 与圆M 内切或内含，即12MN ON ON ≤-⇒≥，又1ON OM ≥-，所以3OM ≥，330a a ⇒≥≤或（舍），因此a 的最小值为3【易错点】两圆位置关系9．【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】若双曲线221x my +=过点()2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ． 【答案】4 【解析】试题分析：由题意得1241,4m m +==-，因此双曲线的虚轴长为22 4.⨯=【易错点】双曲线性质10．【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】[010]，【解析】试题分析：因为22(1)(2)1x y ++-=，所以由题意得：|342|1|5|5010.5m m m -+⨯-≤⇒-≤⇒≤≤【易错点】直线与圆位置关系11．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b += (a ＞b ＞0)点(2，1)在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点．①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证： OP ⊥OQ ．【答案】（1）22163x y +=（2，②详见解析（2）①解法一 椭圆C 的右焦点F0)． 设切线方程为y ＝k (x，即kx －y＝0，=，解得ky(x．······4分由方程组22163y y x x ⎧+=⎪⎨⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以PQ． ······················6分 因为O 到直线PQO PQ． 因为椭圆的对称性，当切线方程为yx时，△O PQ综上所述，△O PQ 的面积为·····························8分 ②解法二 消去y 得5x 2－＋6＝0． 设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2． 由椭圆定义可得，PQ ＝PF ＋FQ ＝2a －e( x 1＋x 2)＝2．···· 6分 ② (i)若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为xx当x时，P，Q． 因为OP OQ ⋅＝0，所以OP ⊥OQ ．当xOP ⊥OQ ． ················10分(ii) 若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．=m2＝2k2＋2．将直线PQ方程代入椭圆方程，得(1＋2k2) x2＋4kmx＋2m2－6＝0.设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝－2412kmk+，x1x2＝222612mk-+．······················12分因为OP OQ⋅＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)×222612mk-+＋km×(－2412kmk+)＋m2．将m2＝2k2＋2代入上式可得OP OQ⋅＝0，所以OP⊥OQ．综上所述，OP⊥OQ．···················14分【易错点】直线与圆相切，直线与椭圆位置关系12．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】(本小题满分16分) 已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x＝－2的距离为d1，到点F(－1，0)的距离为d2，且212dd=．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B(A，B都在x轴上方)，且∠OFA＋∠OFB＝180º．（ⅰ）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；（ⅱ）是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22x＋y2＝1（2）（ⅰ）y＝12x＋1（ⅱ）(－2，0)【解析】（1）设P(x，y)，则d1＝|x＋2|，d2…………2分21d d 化简得：22x ＋y 2＝1， ∴椭圆C 的方程为：22x ＋y 2＝1…………4分（ⅱ）由于∠OFA ＋∠OFB ＝180º，所以k AF ＋k BF ＝0 ……11分设直线AB 方程为：y ＝kx ＋b ，代入22x ＋y 2＝1得：(k 2＋12)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则x 1＋x 2＝－2212kb k +，x 1x 2＝22112b k -+…………13分所以，k AF ＋k BF ＝12121212121212+b +b 2()()2+1+1+1+1(+1)(+1)y y kx kx kx x k b x x bx x x x x x +++++=+=＝0所以，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝2kx 1x 2＋(k ＋b )(x 1＋x 2)＋2b＝2k ×2212b k -+－(k ＋b )×222kb k +＋2b ＝0∴b －2k ＝0，所以直线AB 方程为：y ＝k (x ＋2)所以直线l 总经过定点M (－2，0) ……16分 【易错点】椭圆定义与标准方程、直线与椭圆位置关系13．【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】如图，已知点F 1,F 2是椭圆C l ：22x ＋y 2＝1的两个焦点，椭圆C 2：22x ＋y 2＝λ经过点F 1,F 2，点P 是椭圆C 2上异于F 1,F 2的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆C 1的交点分别是A ，B 和C ，D ．设AB 、CD 的斜率分别为,(0,0)k k k k ''≠≠ （1）试问：kk '是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． （2）求|AB |·|CD |的最大值．【答案】（1）12-（2）92（Ⅱ）直线1PF 的方程可表示为：(1)y k x =+ (0k ≠) （3） 结合方程（4）和椭圆1C 的方程，得到方程组22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩由方程组消y 得 2222(12)4220k x k x k +++-= （4） 设1122(,),(,)A x y B x y ,依韦达定理知，方程(4）的两根满足：22121222422;1212k k x x x x k k-+=-=++, 2122)|12k AB x x k+=-==+.(5)同理可求得CD =(6) , 由（5）（6）两式得： 4222224[451]194(1)1(12)244k k AB CD k k k ++∙==+≤+++当且仅当k =时等号成立.故AB CD ∙的最大值等于92.【易错点】直线与椭圆位置关系14．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，点C 在椭圆M ：22221x y a b += (a ＞b ＞0)上．若点A (－a ，0)，B (0，3a)，且32AB BC =．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的焦距为4，P ，Q 是椭圆M 上不同的两点，线段PQ 的垂直平分线为直线l ，且直线l 不与y 轴重合．①若点P (－3，0)，直线l 过点(0，－67)，求直线l 的方程； ②若直线l 过点(0，－1) ，且与x 轴的交点为D ，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）23（2）①y ＝－x ＋67或y ＝95-x ＋67，②(，0)∪(0)．（2）①因为c ＝2，所以a 2＝9，b 2＝5，所以椭圆的方程为22195x y+=， 设Q (x 0，y 0)，则2200195x y +=……① ………………………………………………6分 因为点P (－3，0)，所以PQ 中点为003(,)22x y -，因为直线l 过点(0，－67)，直线l 不与y 轴重合，所以x 0≠3，所以0000627332y y x x +⋅-+＝－1， ………………………………………………8分 化简得x 02＝9－y 02－127y 0．……②将②代入①化简得y 02－157y 0＝0，解得y 0＝0（舍），或y 0＝157． 将y 0＝157代入①得x 0＝±67，所以Q 为(±67，157)，所以PQ 斜率为1或59，直线l 的斜率为－1或95-，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋67或y ＝95-x ＋67．……………………………………………10分②设PQ ：y ＝kx +m ，则直线l 的方程为：y ＝－1kx －1，所以x D ＝－k ． 将直线PQ 的方程代入椭圆的方程，消去y 得(5＋9k 2)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0．…………①， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为N ，x N ＝1229259x x km k +=-+，代入直线PQ 的方程得y N ＝2559mk+，…………………………12分 代入直线l 的方程得9k 2＝4m －5． ……②又因为△＝(18km )2－4(5＋9k 2) (9m 2－45)＞0，化得m 2－9k 2－5＜0． ………………………………………………14分将②代入上式得m 2－4m ＜0，解得0＜m ＜4，＜k ，且k ≠0，所以x D ＝－k ∈(，0)∪(0)．综上所述，点D 横坐标的取值范围为(，0)∪(0)．…………………………16分 【易错点】直线与椭圆相交15．【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2．A 为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足2OP AO =．（1）若点P 的坐标为(，求椭圆的方程；（2）设过点P 的一条直线交椭圆于,B C 两点，且BP mBC =，直线,OA OB 的斜率之积12-，求实数m 的值．【答案】（1）2212x y +=（2）52m =（2）设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ， 因为2OP AO =，所以()112,2P x y --．因为BP mBC =，所以()()121232322,2,x x y y m x x y y ----=--，即()()123212322,2,x x m x x y y m y y --=-⎧⎪⎨--=-⎪⎩于是32132112,12,m x x x m m m y y y m m -⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分代入椭圆方程，得2221212212121m m x x y y m m m m a b --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即()()222221222121222222222214141m m x y x y x x y y m a b m ab m a b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 因为,A B 在椭圆上，所以2222112222221,1x y x y a b a b+=+=． ④因为直线,OA OB 的斜率之积为12-，即121212y y x x =-，结合②知1212220x x y y a b +=． ⑤ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分将④⑤代入③，得()222141m m m -+=，解得52m =． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分【易错点】直线与椭圆位置关系16．【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】如图，曲线Γ由两个椭圆1T ：()222210x y a b a b+=>>和椭圆2T ：()222210y x b c b c+=>>组成，当,,a bc 成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”.若猫眼曲线Γ过点(0,M ，且,,a b c 的公比为22. (1)求猫眼曲线Γ的方程；（2）任作斜率为()0k k ≠且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆1T 所得弦的中点为M ，交椭圆2T 所得弦的中点为N ，求证：ONOMK k 为与k 无关的定值； （3）l 为椭圆2T 的切线，且交椭圆1T 于点,A B ，N 为椭圆1T 上的任意一点（点N与点,A B 不重合），求ABN ∆面积的最大值.【答案】（1）222212:1,:1,422x y y T T x +=+=（2）详见解析（3【解析】 （1）b =2,1a c ∴==， （2分）221:142x y T ∴+=，222:12y T x ∴+=； （4分）（3）设直线l的方程为y m =+22221⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y my x bc ，()2222222220∴+++-=b c x x m c b c0∆=，2222∴=+m b c1: =+l y （12分）22221⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y mx y ab ， ()2222222220∴+++-=b a x x m a b a 0∆=，2222∴=+m b a2: =-l y两平行线间距离：d =（14分）∴=AB==AB ，d ==∆ABN的面积最大值为12S ==（16分） 【易错点】点差法使用条件，直线与椭圆位置关系：。
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1 1 别来自不同年级，有 C1 3C2C2＝12(种)，若大一的孪生姐妹不乘坐
甲车，则 2 名同学来自一个年级，另外 2 名分别来自两个年级，
1 1 有 C1 3C2C2＝12(种)，共有 24 种．
答案 A
【感悟提升】
猜想36 对二项式定理的考查 命题研究 主要考查直接运用通项公式求特定项或特定项的
大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每
车限坐4名同学(乘同一辆车的 4名同学不考虑位置 ) ，其 中大一的孪生姐妹乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学 中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有 ( )．
A．24种
B．18种C．48种 NhomakorabeaD．36种
解析
若大一的孪生姐妹乘坐甲车，则此时甲车中的另外 2 人分
【解题案例】 44．从集合{1,2,3,4,5}中随机选取 3 个不同的数，这个数可以构成 等差数列的概率为________． 解析 从集合 {1,2,3,4,5} 中随机选取 3 个不同的数有 C 3 5＝
10(种)．则这 3 个数能构成等差数列的有：1,2,3；2,3,4；3,4,5； 1,3,5 共 4 种， 4 2 所以所求概率为 P＝10＝5. 答案 2 5
45．如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取 一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 ( 1 A.3 1 C.5 解析 1 B.4 1 D.6 阴影部分的面积为 S＝ (x－x )dx＝
3
)．
1 2 1 4 1 x － x 1 4 0＝4. 2
1 故所求概率为 P＝4. 答案 B
因为 P(x>4)＝P(x<2)＝p，所以 P(2<x<4)＝1－P(x>4)
－P(x<2)＝1－2p. 答案 C
【感悟提升】
【感悟提升】
猜想38 对离散型随机变量的均值、方差与正态分布的考查 命题研究 大多数高考试题对离散型随机变量的均值、方差
的考查以解答题的形式出现，所以在选择、填空中不考查； 对正态分布的考查次数也较少，难度也不大．
解题案例 46．设随机变量 X～N(3,1)，若 P(X>4)＝p，则 P(2<X<4)＝ ( 1 A.2＋p 解析 B．1－p C．1－2p 1 D.2－p )．
第十一辑 计数原理、概率、随机变量的分布列
[命题猜想] 猜想35 对排列组合的考查 命题研究 主要考查利用基本计数原理和排列、组合解决计
数问题．同一份高考试题中不会对排列、组合与二项式定
理的应用同时考查，一般间隔考查．
【解题案例】 42 ． 某 大学的 8 名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、
4k － 3 ＝0，得 k＝6，
6 1 2 ∴T7＝C8 (－1)6＝7.
2
答案
7
【感悟提升】
猜想37 对古典概型与几何概型的考查 命题研究 对同一份高考试题中古典概型与几何概型不会同
时考查．但对几何概型的考查较多些，几何概型常与线性
规划、平面几何、立体几何、定积分等相结合考查．
系数，有时与定积分、等差数列相结合考查．
【解题案例】 x 1 43．二项式2－ 3 8 的展开式中常数项是________． x 解析 1 x － 8 k － Tk＋1＝Ck 8 3 2 k k 1 8－k k ＝ C ( － 1) · x 8 2 x ，由 8