2016高考数学备考(爱学习研究室)

14．已知 是夹角为 的单位向量，向量 ，若 ，则实数 ．
15．三棱锥 的四个顶点均在同一球面上，其中△ 为等边三角形， ， ，则该球的体积是．
16．已知函数 ，将 的图像向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到函数 的图象，若函数 在 上至少含有 个零点，则 的最小值为．
评卷人
得分
三、解答题（题型注释）
考点：抛物线的标准方程和定义.
10．A
【解析】
试题分析：如图所示，正方体被面ABCD所截，截面ABCD是上底为 ，下底为 ，两腰长为 的等腰梯形，其面积为 ．
考点：三视图.
11．B
【解析】
试题分析：由已知得，只需 ，当 时， ，当 时， ，故 ，则 ，则实数 的取值范围是 ．
考点：1、分段函数；2、函数的最值；3、二次不等式解法.
，令 ，得 9分
当 时， 在（1，3）上恒成立，这时 在 上为减函数，
∴ .令 得 （舍去）
综上， 12分
考点：1、导数在单调性上的应用；2、利用导数求函数的最值.
21．（1） ；（2）2.
【解析】
试题分析：（1）确定椭圆标准方程需要两个独立条件，由离心率为 得 的关系，由椭圆定义得△ 的周长为 ，从而可求得 ，进而可确定椭圆方程；（2）解析几何中的最值问题，通常是选定变量，将目标函数用一个变量表示，进而转化为求函数的最值问题．本题中当斜率不存在时，则切线为 ，此时直接计算弦长 ；当切线斜率存在时，可设直线方程 利用直线和圆相切的条件，得变量 的关系，利用斜长公式结合韦达定理，将 用变量 表示，进而求函数 的最大值即可．
A. B. C. D.
3．集合 ，从集合 中各任意取一个数，则这两个数的和等于 的概率是（ ）
A. B. C. D.
4．已知双曲线 的离心率为 ，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5．已知等差数列 的前 项之和为 ，则 （ ）
A.6B.9C.12D.18
6．下列说法正确的是（ ）
A.命题“ x0∈R，x02＋x0＋1<0”的否定是：“ x∈R，x2＋x＋1>0”;
试题解析：（1）证明：连 ，过 作 ，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ，2分
又，BC=4，AB=4，BM=AN=4， ，
∴ ， = ，
∵ ， ，4分
∵ ，
6分
（2）连接CN， ，8分
又 ，所以平面 平面 ，且平面 ， ， ，
∴ ，9分
11分
此几何体的体积 12分
考点：1、直线与平面垂直；2、几何体体积.
19．（1） ；（2）分布列见解析，期望为1.2
考点：三角函数的图象与性质.
17．（1） ；（2）
【解析】
试题分析：（1）确定等差数列需要两个独立条件，由 成等比数列，得 ，其次 ，利用等差数列通项公式展开，得关于 的方程组，解方程组即可；（2）求数列前n项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题 ，利用错位相减法可求和．
12．D
【解析】
试题分析：由已知得，在△ 中， ，即 ，又由余弦定理得 ，即 ，所以
= = ．
考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理.
13．3．
【解析】
试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为 ，当z取到最大值时，纵截距最大，故当直线 过点 时，z取到最大值为3．
考点：线性规划.
14．
【解析】
试题分析：由已知得 ，因为 ，所以 ，
= ，所以 ．
考点：向量的数量积运算.
15．
【解析】
试题分析：如图所示，设 分别是△ 的外心和球心，连接 ，并延长交圆 于点 ，连接PF，则PF是球的直径，故 ，在 中， ，故该球的体积为 ．
考点：与球有关的问题.
16．
【解析】
试题分析：由已知得， ，则 ，若函数 在 上至少含有 个零点，则 的最小值为 ．
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式 ，其中 ）
患三高疾病
不患三高疾病
合计
男
6
30
女
合计
36
20．已知函数 ，其中 为常数，且 .
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求函数 的单调递减区间；
（2）若函数 在区间 上的最小值为 ，求 的值.
21．已知椭圆 ，离心率为 ，两焦点分别为 、 ，过 的直线交椭圆 于 两点，且△ 的周长为 .
由于当 时， 所以|AB|的最大值为2.12分
考点：1、椭圆的标准方程和简单几何性质；2、函数的最值.
22．（1）答案详见解析；（2）50.
【解析】
试题分析：（1）将线段 置于 和 中，利用已知条件可证明 ∽ ，故根据相似三角形对应边成比例得 ，从而得证；（2）由圆的相交弦定理得 ，故只需计算 即可，由三角形内角平分线定理 ，结合切割线定理可分别计算 ，从而得解．
试题解析：（1）由题得： ， ，所以 ， 。 3分
又 ，所以 即椭圆 的方程为 . 4分
（2）由题意知， .
当 时，切线l的方程 ，点A、B的坐标分别为
此时 ;当m=－1时，同理可得 5分
当 时，设切线 的方程为
由
设A、B两点的坐标分别为 ，
则
又由l与圆 得
所以
9分
因为 所以
且当 时，|AB|=2，
试题解析：（1）∵PA是圆O的切线∴ 又 是公共角
∴ ∽ 2分
∴ ∴ 4分
（2）由切割线定理得： ∴
又PB=5∴ 6分
又∵AD是 的平分线∴
∴ ∴ 8分
又由相交弦定理得： 10分
考点：1、三角形相似；2、圆的相交弦定理和切割线定理；3、圆的切割线定理.
23．（1） ；（2）
【解析】
试题分析：（1）将直线 的参数方程化为普通方程为 ，将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程为 ，利用直线和圆相切的条件，列方程求 的值；（2）利用圆的参数设 ，从而将 用角 表示，转化为三角函数的取值范围问题．
∴女性应该抽取 人.6分
（2）∵ 8分
，10分
那么，我们有 的把握认为是否患三高疾病与性别有关系．12分
考点：独立性检验和分层抽样.
20．（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）先求 ，由导数的几何意义知曲线 在点 处的切线斜率为 ，带入导函数中求得 ，令 ，解不等式并和定义域求交集，得函数单调递减区间；（2）令 ，得 ，讨论 与定义域 的位置关系，当 在定义域外或区间端点时，函数在给定的定义域内单调，利用单调性求最小值；当 是定义域的内点时，将定义域分段，并分别判断单调性，判断函数大致图象，从而确定函数最小值，列方程求 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作圆 的切线 交椭圆 于 两点，求弦长 的最大值.
22．如图， 内接于直径为 的圆 ，过点 作圆 的切线交 的延长线于点 ， 的平分线分别交 和圆 于点 ，若 .
（1）求证： ；
（2）求 的值.
23．已知直线 ： （ 为参数，为 的倾斜角），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 为： .
【解析】
试题分析：（1）分层抽样是按比例抽样，故首先确定抽样比为 ，从而可确定从女性中抽取的人数分别为； 人；（2）根据表中数据，带入统计量 计算公式中，然后与临界值表中数据比较即可．
试题解析：（1）
患三高疾病
不患三高疾病
合计
男
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ24
6
30
女
12
18
30
合计
36
24
60
在患三高疾病人群中抽 人，则抽取比例为
2．A
【解析】
试题分析：由已知得， ．
考点：复数的运算.
3．C
【解析】
试题分析：从集合 中各任意取一个数有6种不同情况，分别为 ， ， ， ， ， ，其中两个数的和等于 的情况有 ， 两种情况，故两个数的和等于 的概率是 ．
考点：古典概型.
4．C
【解析】
试题分析：由已知得， ，故 ，所以双曲线的渐近线方程为 ．
17．在公差不为零的等差数列{ }中， ， 成等比数列.
（1）求数列{ }的通项公式；
（2）设数列{ }的前 项和为 ，记 .求数列 的前 项和 .
18．如图五面体中，四边形 为矩形， ，四边形 为梯形，
且 ， .
（1）求证： ；
（2）求此五面体的体积.
19．近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：
试题解析： （ ） 2分
（1）因为曲线 在点（1， ）处的切线与直线 垂直，，
所以 ，即 解得 4分
当 时， ， 。
令 ，解得 所以函数的递减区间为： 6分
（2）当 时， 在（1，3）上恒成立，这时 在[1，3]上为增函数
令 ，得 （舍去） 7分
当 时，由 得，
对于 有 在 上为减函数，
对于 有 在 上为增函数，
（1）请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽 人，其中女性抽多少人？
（2）为了研究三高疾病是否与性别有关，
请计算出统计量 ，并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关？
下面的临界值表供参考：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
A. B.3 C.4 D.
11．已知函数 ，若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.