2017考研数学二答案真题解析
2017年考研数学二真题及答案分析(word版)
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题分析 （word 版）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1））若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） (A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x xf x ax ax a++→→-==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ）()()1111101110()()0()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dxD f x dx f x dx----><><⎰⎰⎰⎰⎰⎰【答案】B 【解析】()f x 为偶函数时满足题设条件，此时011()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103f x dx x dx --=-=-<⎰⎰，选B.（3）设数列{}n x 收敛，则（ ）()A 当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞= ()B当lim(0n n x →∞+=时，lim 0n n x →∞=()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞= ()D 当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=【答案】D【解析】特值法：（A ）取n x π=，有limsin 0,lim n n n n x x π→∞→∞==，A 错；取1n x =-，排除B,C.所以选D.（4）微分方程的特解可设为 （A ）22(cos 2sin 2)xx Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++【答案】A【解析】特征方程为：21,248022i λλλ-+=⇒=±222*2*212()(1cos 2)cos 2,(cos 2sin 2),x x x x x f x e x e e x y Ae y xe B x C x =+=+∴==+ 故特解为：***2212(cos 2sin 2),x xy y y Ae xe B x C x =+=++选C.（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂>>∂∂，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < 【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y∂∂><⇒∂∂是关于x 的单调递增函数，是关于y 的单调递减函数， 所以有(0,1)(1,1)(1,0)f f f <<，故答案选D.（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s（A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1012P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123(,,)A ααα=（ ）（A ）12αα+ （B ）232αα+ （C ）23αα+ （D ）122αα+【答案】 B 【解析】11231232300011(,,)(,,)12222P AP AP P A αααααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⇒=⇒==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此B 正确。
2017年考研数学二真题解析
（5）设 具有一阶偏导数，且对任意的 ，都有 ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】 是关于 的单调递增函数，是关于 的单调递减函数，
所以有 ，故答案选D.
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 （单位： ），虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位：s），则（）
（I） 二阶导数，
解：1）由于 ，根据极限的保号性得
有 ，即
进而
又由于 二阶可导，所以 在 上必连续
那么 在 上连续，由 根据零点定理得：
至少存在一点 ，使 ，即得证
（II）由（1）可知 ， ，令 ，则
由罗尔定理 ，则 ，
对 在 分别使用罗尔定理：
且 ，使得 20）（本题满分11分）已知平面区域 计算二重积分 。
∴
（II）由（1） ，知 ，即 的基础解系只有1个解向量，
由 可得 ，则 的基础解系为 ，
又 ，即 ，则 的一个特解为 ，
综上， 的通解为
（23）（本题满分11分）设二次型 在正交变换 下的标准型 ，求 的值及一个正交矩阵 .
【答案】
【解析】
，其中
由于 经正交变换后，得到的标准形为 ，
故 ，
将 代入，满足 ，因此 符合题意，此时 ，则
，
由 ，可得A的属于特征值-3的特征向量为 ；
由 ，可得A的属于特征值6的特征向量为
由 ，可得A的属于特征值0的特征向量为
令 ，则 ，由于 彼此正交，故只需单位化即可： ，
则 ，
（15）（本题满分10分）求极限
【答案】
2017年考研数学二试题及详解
【答案】
【解析】
（13）已知动点 在曲线 上运动，记坐标原点与点 间的距离为 .若点 的横坐标对时间的变化率为常数 ，则当点 运动到点 时， 对时间的变化率是________________.
【答案】
【解析】
（14）设矩阵 与 等价，则 ________________.
令F(x)=f1(x)-f2(x),则F(x0)=0，F’(x0)=0,F”(x0)<0.
由极值的第二充分条件得x=x0为极大值点。
则F(x)≤F(x0)=0，即f1(x)≤f2(x),
综上所述，应选A.
（6）已知函数 ，则（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
选D.
（7）设 是可逆矩阵，且 与 相似，则下列结论错误的是（ ）.
A. 与 相似
B. பைடு நூலகம் 相似
C. 与 相似
D. 与 相似
【答案】C
【解析】
因为 与 相似，因此存在可逆矩阵 ，使得 ，于是有：
，即 ，
，因此 ，
，因此 ，
而C选项中， 不一定等于 ，故C不正确，选择C.
（8）设二次型 的正、负惯性指数分别为1,2，则（ ）.
A.
B.
C.
D. 或
【答案】C
【解析】
所以，-2<a<1,所以，选C.
∴x=-1,y=-1为极大值点，极大值为z=1.
（18）（本题满分10分）
设 是由直线 围成的有界区域，计算二重积分 .
【答案】
【解析】
（19）（本题满分10分）
已知函数 是二阶微分方程 的两个解，若 ，求 并写出微分方程的通解.
2017年考研数学二真题与答案解析
2017考研数学二真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。
（2）设二阶可导函数)(x f 满足1)1()1(=-=f f ，1)0(-=f ，且0)(>''x f ，则（ ）)(A ⎰->110)(x f 。
)(B ⎰-<110)(x f 。
)(C ⎰⎰->101)()(dx x f x f 。
)(D ⎰⎰-<11)()(dx x f x f 。
【答案】)(B【解】取12)(2-=x x f ，显然⎰-<110)(x f ，应选)(B 。
（3）设数列}{n x 收敛，则 （ ）)(A 当0sin lim =∞→n n x 时，0lim =∞→n n x 。
)(B 当0)||(lim =+∞→n n n x x 时，0lim =∞→n n x 。
)(C 当0)(lim 2=+∞→nn n x x 时，0lim =∞→n n x 。
)(D 当0)sin (lim =+∞→n n n x x 时，0lim =∞→n n x 。
【答案】)(D【解】令A x n n =∞→lim ，由0sin )sin (lim =+=+∞→A A x x n n n 得0=A 。
（4）微分方程)2cos 1(842x e y y y x +=+'-''的特解可设为=*y （ ）)(A )2sin 2cos (22x C x B e Ae x x ++。
2017年考研数二真题及答案
绝密★启用前2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）（科目代码302）考生注意事项1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。
不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。
3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） (A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =（2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ）()()1111011110()()0()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dxD f x dx f x dx----><><⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3）设数列{}n x 收敛，则（ ）()A 当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞= ()B当lim(0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞= ()D 当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=（4）微分方程的特解可设为 （A ）22(cos 2sin 2)xx Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂>>∂∂，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f <（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ） （A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >()s（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1012P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123(,,)A ααα=（ ） （A ）12αα+ （B ）232αα+ （C ）23αα+ （D ）122αα+（8）设矩阵200210100021,020,020*********A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,则（ ） （A ）,A C B C 与相似与相似（B ）,A C B C 与相似与不相似 （C ）,A C B C 与不相似与相似（D ）,A C B C 与不相似与不相似二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 曲线21arcsiny x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的斜渐近线方程为_______ (10) 设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，则220t d ydx ==______ (11)2ln(1)(1)x dx x +∞+=+⎰_______ (12) 设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)______f x y =（13）11tan ______y xdy dx x=⎰⎰（14）设矩阵41212311A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的一个特征向量为112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则_____a =三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→（16）（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求x dy dx=，22x d y dx =（17）（本题满分10分）求21lim ln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑（18）（本题满分10分）已知函数()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值（19）（本题满分10分）设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且0()(1)0,lim 0x f x f x+→><，证明： ()I 方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；()∏方程2''()()(())0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
2017年考研数学二真题与解析
2017年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =- （C ）0ab = （D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ）2．设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1f f =-=，(0)1f =-，且()0f x ''>，则（ ） （A ）11()0f x dx ->⎰（B ）11()0f x dx -<⎰（C ）11()()f x dx f x dx ->⎰⎰ （D ）011()()f x dx f x dx -<⎰⎰【详解】注意到条件()0f x ''>，则知道曲线()f x 在[][]1,0,0,1-上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然当[]1,0x ∈-时，()21f x x ≤--，当[]0,1x ∈时，()21f x x ≤-，而且两个式子的等号不是处处成立，否则不满足二阶可导．所以10111()(21)(21)0f x dx x dx x dx --<--+-=⎰⎰⎰．所以选择（B ）．当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数2()21f x x =-，此时11011(),()33f x dx f x dx -=-=-⎰⎰，可判断出选项（A ），（C ），（D ）都是错误的，当然选择（B ）．希望同学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧． 3．设数列{}n x 收敛，则（A ）当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞= （B）当lim(0n n x →∞+=时，lim 0n n x →∞=(C ）当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞= （D ）当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（D ）是正确的． 其实此题注意，设lim n n x A →∞=，则22limsin sin ,lim(),lim(sin )sin n n n n n n n n n n x A x A x x A A x x A A →∞→∞→∞→∞==+=++=+分别解方程2sin 0,0,0,sin 0A A A A A A ==+=+=时，发现只有第四个方程sin 0A A +=有唯一解0A =，也就是得到lim 0n n x →∞=．４．微分方程2489(1cos 2)xy y e x '''-+=+的特解可设为*y =（ ） （A ）22(cos 2sin 2)xx Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe xe B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe xe B x C x ++【详解】微分方程的特征方程为2480r r -+=，有一对共轭的复数根22r i =±．所以12λ=不是特征方程的根，所以对应方程2489xy y e '''-+=的特解应该设为21*x y Ae =；而222i λ=+是方程的单根，所以对应方程2489cos 2xy y e x '''-+=的特解应该设为22*(cos 2sin 2)x y xe B x C x =+；从而微分方程2489(1cos 2)x y y e x '''-+=+的特解可设为2212***(cos 2sin 2)x x y y y Ae xe B x C x =+=++，应该选（C ）．5．设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y 都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂><∂∂，则（ ） （A ）(0,0)(1,0)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f <【详解】由条件对任意的(,)x y 都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂><∂∂可知(,)f x y 对于x 是单调增加的，对y 就单调减少的．所以(1,1)(1,0)(0,0),(1,1)(0,1)(0,0),(0,1)(0,0)(1,0)f f f f f f f f f <>><<<，只有第三个不等式可得正确结论（D ），应该选（D ）．6．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（ ） （A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t = （D ）025t >【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，21()()T T S t v t dt =⎰表示时刻[]12,T T 内所走的路程．本题中的阴影面积123,,S S S -分别表示在时间段[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t =时乙追上甲，应该选（C ）．7．设A 为三阶矩阵，()123,,P ααα=为可逆矩阵，使得1000010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123()A ααα++=（ ）（A ）12αα+ （B ）232αα+ （C ）23αα+ （D ）132αα+ 【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目．可知()()12312323000000(,,)010,,0100,,2002002A AP P αααααααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12312323()2A A A A αααααααα++=++=+，所以可知选择（B ）．8．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．曲线2(1arcsin )y x x=+的斜渐近线为 ．解：2(1arcsin )lim lim1x x x y x x x→∞→∞+==，2lim()lim arcsin 2x x y x x x →∞→∞-==，所以斜渐近线为2y x =+． 10．设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t ⎧=+⎨=⎩确定，则202|t d ydx == ．【详解】223cos 1cos (1)sin cos ,1(1)t t t t t t d e dy t d y e t e t dt dx dx e dx e dt⎛⎫ ⎪+⎝⎭++===-++，所以2021|8t d y dx ==-． 112ln(1)(1)x dx x +∞++⎰.【详解】022000ln(1)1ln(1)1ln(1)|1(1)11(1)x x dx x d dx x x x x +∞+∞+∞+∞++=-+=-+=++++⎰⎰⎰ 12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y ydf x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =． 13．11tan y xdy dx x=⎰⎰． 【详解】交换二重积分的积分次序得：1111100000tan tan tan ln cos ln cos1.x y x x dy dx dx dy xdx x x x ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰14．设矩阵41212311A a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量为112⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则a = ．【详解】根据特征向量的定义，有412111121132311222A a a αλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪===+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1a =-．三、解答题 15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，t x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 33t x u u x x x x x dt e du du ++++---→→→→==== 16．（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求0|x dydx=，202|x d y dx =．【详解】12(,cos )(,cos )(sin )x x x dy f e x e f e x x dx ''=+-，01|(1,1)x dyf dx='=； 2111122222122(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d y e f e x e f e x e xf e x xf e x dx xe f e x xf e x ''''''=+--''''-+2011122|(1,1)(1,1)(1,1)x d yf f f dx=''''=+-．17．（本题满分10分） 求21limln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分）已知函数()y x 是由方程333320x y x y +-+-=． 【详解】在方程两边同时对x 求导，得2233330x y y y ''+-+= （1）在（1）两边同时对x 求导，得2222()0x y y y y y '''''+++=也就是222(())1x y y y y '+''=-+令0y '=，得1x =±．当11x =时，11y =；当21x =-时，20y = 当11x =时，0y '=，10y ''=-<，函数()y y x =取极大值11y =； 当21x =-时，0y '=，10y ''=>函数()y y x =取极小值20y =． 19．（本题满分10分）设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x-→<，证明：（1）方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；（2）方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件0()lim 0x f x x-→<可知，存在01δ<<，及1(0,)x δ∈，使得1()0f x <，由于()f x 在[]1,1x 上连续，且1()(1)0f x f ⋅<，由零点定理，存在1(,1)(0,1)x ξ∈⊂，使得()0f ξ=，也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；（2）由条件0()lim 0x f x x-→<可知(0)0f =，由（1）可知()0f ξ=，由洛尔定理，存在(0,)ηξ∈，使得()0f η'=；设()()()F x f x f x '=，由条件可知()F x 在区间[]0,1上可导，且(0)0,()0,()0F F F ξη===，分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔定理，则存在12(0,)(0,1),(,)(0,1),ξηξηξ∈⊂∈⊂使得1212,()()0F F ξξξξ''≠==，也就是方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．20．（本题满分11分）已知平面区域{}22(,)|2D x y x y y =+≤，计算二重积分2(1)Dx d σ+⎰⎰ 【详解】由于积分区域关于y 轴左右对称，所以由二重积分对称性可知20Dxd σ=⎰⎰．所以2sin 2222044224620(1)(1)(cos 1)2sin cos 2sin 4(4sin 4sin 2sin )54DDx d x d d r rdrd d πθππσσθθθθθθθθθθπ+=+=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中利用瓦列斯公式，知24600013135315sin ,sin ,sin 2242864216d d d ππππππθθπθθπθθπ⨯⨯⨯=⨯==⨯==⨯=⨯⨯⨯⎰⎰⎰21．（本题满分11分）设()y x 是区间30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的可导函数，且(1)0y =．点P 是曲线:()L y y x =上的任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点()0,P Y ，法线与X 轴相交于点(),0P X ．若P p X Y =，求L 上的点的坐标(,)x y 满足的方程．【详解】曲线过点(,)P x y 的切线方程为()()()Y y x y x X x '-=-，令0X =，得()()p Y y x xy x '=-； 曲线过点(,)P x y 的法线方程为1()()()Y y x X x y x -=--'，令0Y =，得()p X x yy x '=+． 由条件P p X Y =，可得微分方程y xy x yy ''-=+标准形为11ydy x y xy y dx x y x--+'===++，是个一阶齐次型微分方程． 设y u x =，方程化为11du u u x dx u -+=+，整理，得211du u x dx u +=-+ 分离变量，两边积分，得1arctan ln ln ln 2u u x C +=-+ 由初始条件(1)0y =，得1,0,0x y u ===，确定常数1C = 所以曲线的方程为1arctan ln ln 2y yx x x+=-． 22．（本题满分11分）设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．23．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭． 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵．（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
2017考研数学二真题及答案
一、选择题（每小题4分，共32分）（1）若函数21cos ,0(),0xx f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ）。
A. 12ab = B. 12ab =-C. 0ab =D. 2ab = 【答案】A【解析】由连续的定义可知：-0lim ()lim ()(0),x x f x f x f +→→==其中-0(0)lim ()x f f x b →==，2000112lim ()lim lim 2x x x f x ax a+++→→→===，从而12b a =，也即12ab =，故选A. 【试题点评】本题考查函数的连续性。
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第一章函数、极限、连续和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。
（2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-，且''()0f x >，则（ ）。
A. 11()0f x dx ->⎰ B. 12()0f x dx -<⎰ C. 0110()()f x dx f x dx ->⎰⎰D.11()()f x dx f x dx -<⎰⎰【答案】B【解析】由于'()0f x ＜，可知其中()f x 的图像在其任意两点连线的曲线下方，也即()(0)[(1)(0)]21f x f f f x x ≤+-=-，(0,1)x ∈，因此11()(21)=0f x dx f x dx -⎰⎰＜，同理()(0)[(0)(1)]21(1,0)f x f f f x x x ≤+--=--∈-，，因此 0111()(21)=0f x dx f x dx ----⎰⎰＜，从而11()0f x dx -⎰＜，故选B.【试题点评】本题考查二阶导数与拐点的关系。
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。
2017年考研数学二试题及答案
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1））若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） (A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ）()()1111011110()()0()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dxD f x dx f x dx----><><⎰⎰⎰⎰⎰⎰【答案】B 【解析】()f x 为偶函数时满足题设条件，此时011()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103f x dx xdx --=-=-<⎰⎰，选B.（3）设数列{}n x 收敛，则（ ）()A 当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞= ()B当lim(0n n x →∞+=时，lim 0n n x →∞=()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞= ()D 当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=【答案】D【解析】特值法：（A ）取n x π=，有limsin 0,lim n n n n x x π→∞→∞==，A 错；取1n x =-，排除B,C.所以选D.（4）微分方程的特解可设为（A ）22(cos 2sin 2)xx Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++【答案】A【解析】特征方程为：21,248022i λλλ-+=⇒=±222*2*212()(1cos 2)cos 2,(cos 2sin 2),x x x x x f x e x e e x y Ae y xe B x C x =+=+∴==+ 故特解为：***2212(cos 2sin 2),x xy y y Ae xe B x C x =+=++选C.（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂>>∂∂，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < 【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y∂∂><⇒∂∂是关于x 的单调递增函数，是关于y 的单调递减函数， 所以有(0,1)(1,1)(1,0)f f f <<，故答案选D.（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s（A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1012P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123(,,)A ααα=（ ） （A ）12αα+ （B ）232αα+ （C ）23αα+ （D ）122αα+【答案】 B 【解析】11231232300011(,,)(,,)12222P AP AP P A αααααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⇒=⇒==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此B 正确。
2017年考研数学二真题及答案分析(word版)
【答案】 【解析】 （13）
【答案】. 【解析】交换积分次序： . （14）设矩阵的一个特征向量为，则
【答案】-1 【解析】设，由题设知，故 故.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）求极限 【答案】 【解析】，令，则有
（3）设数列收敛，则（ ） 当时， 当时， 当时， 当时，
【答案】D 【解析】特值法：（A）取，有，A错； 取，排除B,C.所以选D.
（4）微分方程的特解可设为 （A） （B） （C） （D）
【答案】A 【解析】特征方程为： 故特解为：选C.
（5）设具有一阶偏导数，且对任意的，都有，则
（A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】是关于的单调递增函数，是关于的单调递减函数， 所以有，故答案选D.
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图
中实线表示甲的速度曲线（单位：），虚线表示乙的速度曲线，三块阴
影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单
位：s），则（ ）
（A）
（B） （C） （D）
【答案】B 【解析】从0到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲，则 ，当时满足，故选C.
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路历程。也可将自己考研的经验传授给学弟学妹们2018考研交流总群 （337587371），希望他们在
2018年金榜题名。
2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学二真题分析
（word版）
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个
2017年考研数学二真题及答案解析
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1））若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ）(A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x xf x ax ax a++→→-==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（）()()1111011110()()0()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dxD f x dx f x dx----><><⎰⎰⎰⎰⎰⎰【答案】B【解析】()f x 为偶函数时满足题设条件，此时011()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103f x dx xdx --=-=-<⎰⎰，选B. （3）设数列{}n x 收敛，则（ ）()A 当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=()B当lim(0n n x →∞+=时，lim 0n n x →∞=()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=()D 当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=【答案】D【解析】特值法：（A ）取n x π=，有limsin 0,lim n n n n x x π→∞→∞==，A 错；取1n x =-，排除B,C.所以选D.（4）微分方程的特解可设为（A ）22(cos 2sin 2)xx Ae e B x C x ++（B ）22(cos 2sin 2)xx Axee B x C x ++（C ）22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++（D ）22(cos 2sin 2)xx Axee B x C x ++【答案】A【解析】特征方程为：21,248022iλλλ-+=⇒=±222*2*212()(1cos 2)cos 2,(cos 2sin 2),x x x x x f x e x e e x y Ae y xe B x C x =+=+∴==+故特解为：***2212(cos 2sin 2),xx y y y Aexe B x C x =+=++选C.（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂>>∂∂，则 （A ）(0,0)(1,1)f f >（B ）(0,0)(1,1)f f <（C ）(0,1)(1,0)f f >（D ）(0,1)(1,0)f f <【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y∂∂><⇒∂∂是关于x 的单调递增函数，是关于y 的单调递减函数， 所以有(0,1)(1,1)(1,0)f f f <<，故答案选D.（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（）()s （A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1012P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123(,,)A ααα=（）（A ）12αα+（B ）232αα+（C ）23αα+（D ）122αα+【答案】 B【解析】11231232300011(,,)(,,)12222P AP AP P A αααααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⇒=⇒==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此B 正确。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及解析
【解析】
为偶函数时满足题设条件，此时 ，排除C,D.
取 满足条件，则 ，选B.
（3）设数列 收敛，则（）
当 时， 当 时，
当 时， 当 时，
【答案】D
【解析】特值法：（A）取 ，有 ，A错；
取 ，排除B,C.所以选D.
（4）微分方程的特解可设为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】特征方程为：
故特解为： 选C.
（5）设 具有一阶偏导数，且对任意的 ，都有 ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】 是关于 的单调递增函数，是关于 的单调递减函数，
所以有 ，故答案选D.
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 （单位： ），虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位：s），则（）
（1）
令 得
对（1）式两边关于x求导得 （2）
将 代入原题给的等式中，得 ，
将 代入（2）得
将 代入（2）得
故 为极大值点， ； 为极小值点，
（19）（本题满分10分）设函数 在区间 上具有2阶导数，且 ，证明：
方程 在区间 内至少存在一个实根；
方程 在区间 内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
（1）若函数 在x=0连续，则
(A) (B) (C) (D)
（2）设二阶可到函数 满足 且 ，则
2017考研数学二真题与答案解析
2017考研数学二真题与答案解析2017年考研数学二真题与答案解析一、选择题部分1.设函数f(x) = ∫(1, x) [(3t^2 - 1) e^t] dt，则f(x)的导函数为（）。
A. 3x^2 e^x - 1 B. 3x^2 e^x C. 3x^2 e^x + 1 D. 3x e^x - 1 答案：A 解析：根据牛顿-莱布尼兹公式，f(x) = ∫(1, x) [(3t^2 - 1) e^t] dt = [(3t^2 - 1) e^t] |(1, x) = (3x^2 - 1) e^x - (3 - 1) e = 3x^2 e^x - e^x - 3e^x + e。
所以f'(x) = 3x^2 e^x - e^x - 3e^x + e = 3x^2 e^x - (3e- 1) e^x - 3e^x = (3x^2 - 3e + 1) e^x - 3e^x = (3x^2 - 3e - 2) e^x。
2.设函数f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1，下列哪个不是f(x)的零点？ A. 0 B.-1 C. 1 D. -2答案：D 解析：将选项代入函数f(x)中，只有选项D不满足f(x) = 0，所以选项D不是f(x)的零点。
3.设正方形ABCD的边长为a，点P、Q分别位于BC、CD上，且BP = 2DQ，则△APQ的面积为（）。
A. a^2/12 B. a^2/6 C. a^2/3 D. a^2/2 答案：A 解析：设△APQ的面积为S，△ABP的面积为S1，△ADQ的面积为S2，则S = S1 + S2。
根据△ABP和△ADQ的面积公式，S1 = (1/2) × a × BP = a × DQ = 2S2。
所以S = S1 + S2 = 2S2 + S2 = 3S2。
而正方形ABCD的面积为a^2，△ABD的面积为(1/2) × a × a = a^2/2，所以S2 = a^2/12。
2017考研数学二真题及答案解析
2017考研数学二真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。
（2）设二阶可导函数)(x f 满足1)1()1(=-=f f ，1)0(-=f ，且0)(>''x f ，则（ ）)(A ⎰->110)(x f 。
)(B ⎰-<110)(x f 。
)(C ⎰⎰->101)()(dx x f x f 。
)(D ⎰⎰-<11)()(dx x f x f 。
【答案】)(B【解】取12)(2-=x x f ，显然⎰-<110)(x f ，应选)(B 。
（3）设数列}{n x 收敛，则 （ ）)(A 当0sin lim =∞→n n x 时，0lim =∞→n n x 。
)(B 当0)||(lim =+∞→n n n x x 时，0lim =∞→n n x 。
)(C 当0)(lim 2=+∞→nn n x x 时，0lim =∞→n n x 。
)(D 当0)sin (lim =+∞→n n n x x 时，0lim =∞→n n x 。
【答案】)(D【解】令A x n n =∞→lim ，由0sin )sin (lim =+=+∞→A A x x n n n 得0=A 。
（4）微分方程)2cos 1(842x e y y y x +=+'-''的特解可设为=*y （ ）)(A )2sin 2cos (22x C x B e Ae x x ++。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案（江南博哥）1[单选题]若函数在x=0处连续，则（）．A.ab=B.ab=-C.ab=0D.ab=2正确答案：A参考解析：2[单选题]设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(-1)=1,f(0)=-1，且f”(x)>0，则（）．A.B.C.D.正确答案：B参考解析：3[单选题]设数列{x n}收敛，则（）．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：4[单选题]微分方程y”-4y '+8y=e2x(1+cos2x)的特解可设为y*=（）．A.Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)B.Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin 2x)C.Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin 2x)D.Axe2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)正确答案：C参考解析：齐次方程y”-4y'+8y=0对应的特征方程为λ2—4λ+8=0，解得λ1,2=2±2i．由于自由项f(x)=e2x+e2x cos2x，因此可设方程y”-4y'+8y=e2x的特解为y1*=Ae2x，设方程y”-4y’+8y=e2x cos2x的特解为y2*=xe2x(Bcos2x+Csin2x)，从而原方程的特解可设为5[单选题]设f(x，y)具有一阶偏导数，且对任意的(x，y)，都有，则（）．A.f(0,0)>f(1,1)B.f(0,0)<f(1,1)C.f(0,1)>f(1,0)D.f(0,1)<f(1,0)正确答案：D参考解析：，可知f(x，y)关于x单调递增，关于y单调递减．因此f(0,1)<f(0,0)<f(1,0)，故D项正确．6[单选题]甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处．图中，实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3．计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：S)，则（）．A.t0=10B.150<20C.t0=25D.t0>25正确答案：C参考解析：从0到t0这段时间内，甲、乙的位移分别为当乙追上甲时，7[单选题]设A为三阶矩阵，P=(α1，α2，α3)为可逆矩阵，使得，则A(α1+α2+α3)=（）．A.α1+α2B.α2+2α3C.α2+α3D.α1+2α2正确答案：B参考解析：因此A(α1，α2，α3)=Aα1+Aα2+Aα3=α2+2α3．8[单选题]A.A与C相似，B与C相似B.A与C相似，B与C不相似C.A与C不相似，B与C相似D.A与C不相似，B与C不相似正确答案：B参考解析：由|λE—A|=0，可知A的特征值为2，2，1．因为3-r(2E-A)=2，所以A可相似对角化，且A～C．由|λE-B |=0，可知B的特征值为2，2，1．因为3-r(2E-B)=1，所以B不可相似对角化，但C显然可相似对角化，因此B与C不相似．故B项正确．9[填空题]_______.参考解析：y=x+2【解析】10[填空题]_______.参考解析：【解析】11[填空题]_______.参考解析：1【解析】12[填空题]设函数f(x，y)具有一阶连续偏导数，且df(x，y)=ye y dx+x(1+y)e y dy，f(0，0)=0，则f(x，y)=_______.参考解析：xye y【解析】，.由于f(x,y)=,因此，则得c(y)=C.又f(0,0)=0,可得C=0，因此f(x,y)=xye y13[填空题]_______.参考解析：-lncos1【解析】交换积分次序求解．14[填空题]_______.参考解析：-1【解析】设α=(1，1，2)T，由题设知Aα=λα，故有从而可得λ=1，a=-1．15[简答题]参考解析：令x-t=u，则t=x-u，dt=-du，从而16[简答题]设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，y=f(e x，cos x)，求，。
2017年考研数学二真题与解析
2017年考研数学二真题与解析D于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．曲线2(1arcsin )y x x =+的斜渐近线为 ． 解：2(1arcsin )lim lim 1x x x y x x x→∞→∞+==，2lim()lim arcsin 2x x y x x x→∞→∞-==，所以斜渐近线为2y x =+． 10．设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，则202|t d y dx== ．【详解】223cos 1cos (1)sin cos ,1(1)t t t tt t d e dy t d y e t e t dt dx dx e dx e dt⎛⎫ ⎪+⎝⎭++===-++，所以2021|8t d y dx ==-．112ln(1)(1)x dx x +∞++⎰.【详解】022000ln(1)1ln(1)1ln(1)|1(1)11(1)x x dx x d dx x x x x +∞+∞+∞+∞++=-+=-+=++++⎰⎰⎰12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy=++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xyeC=+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．11tan y xdy dx x=⎰⎰．【详解】交换二重积分的积分次序得：1111100000tan tan tan ln cos ln cos1.x y x x dy dx dx dy xdx x x x ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰14．设矩阵41212311A a -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭的一个特征向量为112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则a =．【详解】根据特征向量的定义，有412111121132311222A a a αλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪===+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1a =-．三、解答题15．（本题满分10分） 求极限030lim t x x te dt x+→-⎰【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，0t x u x te dt ue du--=⎰⎰33300002limlim limlim 332txuu x x x x x x te dt eue du ue du xe xxxx ++++---→→→→-====⎰⎰⎰16．（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求0|x dy dx=，202|x d ydx=．【详解】12(,cos )(,cos )(sin )xxx dy f e x e f e x x dx''=+-，01|(1,1)x dy f dx='=； 2111122222122(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d ye f e x e f e x e xf e x xf e x dxxe f e x xf e x ''''''=+--''''-+2011122|(1,1)(1,1)(1,1)x d yf f f dx=''''=+-．17．（本题满分10分）求21lim ln 1nn k k k n n→∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx nn n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分） 已知函数()y x 是由方程333320xy x y +-+-=．【详解】在方程两边同时对x 求导，得2233330x y y y ''+-+= （1）在（1）两边同时对x 求导，得2222()0x y y y y y '''''+++=也就是222(())1x y y y y '+''=-+令0y '=，得1x =±．当11x =时，11y=；当21x=-时，20y=当11x=时，0y '=，10y ''=-<，函数()y y x =取极大值11y =；当21x=-时，0y '=，10y ''=>函数()y y x =取极小值2y=．19．（本题满分10分）设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x -→<，证明：（1）方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根； （2）方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件0()lim 0x f x x -→<可知，存在01δ<<，及1(0,)x δ∈，使得1()0f x <，由于()f x 在[]1,1x 上连续，且1()(1)0f x f ⋅<，由零点定理，存在1(,1)(0,1)x ξ∈⊂，使得()0f ξ=，也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；（2）由条件0()lim 0x f x x -→<可知(0)0f =，由（1）可知()0f ξ=，由洛尔定理，存在(0,)ηξ∈，使得()0f η'=；设()()()F x f x f x '=，由条件可知()F x 在区间[]0,1上可导，且(0)0,()0,()0F F F ξη===，分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔定理，则存在12(0,)(0,1),(,)(0,1),ξηξηξ∈⊂∈⊂使得1212,()()0F F ξξξξ''≠==，也就是方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．20．（本题满分11分） 已知平面区域{}22(,)|2D x y xy y =+≤，计算二重积分2(1)Dx d σ+⎰⎰【详解】由于积分区域关于y 轴左右对称，所以由二重积分对称性可知20Dxd σ=⎰⎰．所以2sin 2222044224620(1)(1)(cos 1)2sin cos 2sin 4(4sin 4sin 2sin )54DDx d x d d r rdrd d πθππσσθθθθθθθθθθπ+=+=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中利用瓦列斯公式，知24600013135315sin ,sin ,sin 2242864216d d d ππππππθθπθθπθθπ⨯⨯⨯=⨯==⨯==⨯=⨯⨯⨯⎰⎰⎰21．（本题满分11分）设()y x 是区间30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的可导函数，且(1)0y =．点P 是曲线:()L y y x =上的任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点()0,P Y ，法线与X 轴相交于点(),0P X ．若P p X Y =，求L 上的点的坐标(,)x y 满足的方程．【详解】曲线过点(,)P x y 的切线方程为()()()Y y x y x X x '-=-，令X =，得()()pYy x xy x '=-；曲线过点(,)P x y 的法线方程为1()()()Y y x X x y x -=--'，令0Y =，得()p X x yy x '=+．由条件PpXY =，可得微分方程y xy x yy ''-=+标准形为11y dy x y x y y dx x y x--+'===++，是个一阶齐次型微分方程． 设yu x=，方程化为11du u u x dx u -+=+，整理，得211du u x dx u+=-+分离变量，两边积分，得1arctan ln ln ln 2u u x C +=-+由初始条件(1)0y =，得1,0,0x y u ===，确定常数1C =所以曲线的方程为1arctan ln ln 2y yx x x+=-．22．（本题满分11分）设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+（1）证明：()2r A =； （2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．23．（本题满分11分） 设二次型222123123121323(,,)2282f x x x xx ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122yy λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0iE A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量11131ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量21021ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，3λ=的特征向量31261ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭．所以()123326,,036326Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵．。
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s
。 t = 25时，S I (t) — Sz(t) = r 压(t) — Vz(t)]dt
o
s
= r 压Ct)-v 2 Ct)]dt+ r 压(t)-V 2 (t)]dt
0
10
= 10-20 = — 10.
。 t>25时，s 1 Ct)-s 2 Ct) = 『压(t)-v 2 (t)]dt
5
= f2 压(t)-v 2 (t)]dt十『 压(t) -V 2 (t)]dt
F(O)=O,F(c)=O,F(b)=0.
根据罗尔定 理，存在�E
CO,c),r; E
1
(c,b),使 得 F (0
= F 1C r;) = O,
即名T/是 方 程
f(x)广(x)+ (f
1
(x))
2
=O在区间(0'1)内的两个不同实根
．
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梦想不会辜负每一个努力的人
解』 』 (20)
对于微分方程：y" —
1
4y
+8y
=产其特解y1·
可设为：
对=Ae幻
而微分方程 ：y"- 4y'+8y = e2xcos2x的特解y{可设为：
对 = x芒 (B cos2x+Csin2x)
峰
由二阶常系数非齐次线性微分特解的结构知原方程的特解 y
为y1·
与y;
之和，即
y*
=y; +y;
=
Ae2工
+xe
2
工
(Bcos2x+Csin2x).
故应选C.
(5)D
o/(x,y)
a 解因为对于任意的(x,y)都有
>O, 所以函数之 =f位，y)关于自变量x是单
兀
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梦想不会辜负每一个努力的人
调增函数，从而知
f(O,l) < J(l,l)
(*)
af(x,y)
同理由
< O,得
切
/Cl,1) < /0,0)
J1 J1 <o, 且一 Cx)dx= (2x2-l)dx= 2 (2x2-l)dx= —么
/
J_1
3
于是排除A, 故应选B. (3)D
解取X,, = 2六，则..l-im=sinx,, = .l.-im=sin纭 =O, 但.l.-im=x,, = 2亢 #0, 因此选项A是错误的； 又取 x,, =— 1, 则
e )＠
在O式中令y'=0得x=— l,x=1.
当x分别取-1和1时，由x3十 沪 — 3x +3y — 2=0得y(-1) =O,y(l) =l.
将x=— l,y(— 1)=0及y'(— 1) =O代入＠式得y"(-1)=2.
I
因为Y (-
1)=0,y11(-
1) >
Q,所以y(—
1)=O是Y (x)的极小值 ．
0.
X2
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梦想不会辜负每一个努力的人
+ (22) 解 C I)由 a 3 =a 1 2a 2 , 知O心心线性相关，故r(A) < 2.
又因为A有3个不同的特征值，所以A至少有2个不为零的特征值，从而r(A)�2. 故r(A) = 2.
梦想不会辜负每一个努力的人
2017考研数学（二）参考答案
－、选择题 C l)A
1-cos石
x>O,
解由f(x)�{ ax '
在X�0处连续，得limfCrl�&. 工 -•o+
b,
X�0
l — cos石
又limf(x) = lim
= ltm
X =—1 =b.
x-o+
工 -o+
ax
o+ 工一 2ax 2a
x,, 十J口勹 =O;x,, 十式=O, 即nl-im=(x,, 十J下言丁） =O;,l,-im=(x,, 十式） = 0, 但“l一im。x. =— 1#0, 于是排除B及C;故应选D. (4) C
解由题设条件知特征方程 为：
r 2 — 4r +8 =O, 特征根山 = 2+2口幻 = 2 -2i.
— dy =
o/(u,v) e工
—
af(u,v)
SlilX,
dx
OU
av
d2 y 亡
＝ of如 (u,v)e工
0 2 /(u,v) ＋（如2 e
-
0 2 /(u,v) a呤V SlllX) e·'
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梦想不会辜负每一个努力的人
--
aJ(u,v) 如
cosx
-
a勹(u,v) ( 如加
所以，A可以和C相似，但是B不能．
故应选B.
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梦想不会辜负每一个努力的人
二、填空题
+ (9) y = x 2
勹 x (1 + arcsin
Y (x)
解
因为a = 工J-im+00
= Jim
X
x-+=
X
习 ＝烟!.,(1 + arcsin 2 = l
勹皿 r b
工［叶 (y(x) -ax)=
1 所以ab = — ． 故应选A.
2
(2) B
解由广(x)> 0知曲线y =f(x)在[— 1, l]上是凹的，因此当f(x)为凹的偶函,._数时满
『 0
足题设条件J(-l)=J(l), 此时f f(x)dx= f(x)dx, 显然可排除选项C,D;
-1
取f(x)= 宣-1, 则f(-1)=JO)= 1,/ CO)= -1,J"位） = 4>0,
+ = - -sint•- (1(+ 1- e')e'+ )- 3 cost- • e'
+ = - - sint + - ((s1in- t +e')- co3 st)•-e'
-I s· :.
d勺
dx 2
1 ,-o = - -8
，故应填 － —1
(11) 1
I厂勹�:;; 厂 解
� ) dx= f lnCl+x)• d(厂十 r
du
=
--1 dx.
X
1 两边积分得arctanu+-ln(l+矿） =-In巨I +c,
2
+ 即arctan — y — 1 ln(x2 +y2) = C. X2
因为曲线l过点 (1,0)' 所以 C = O, 于是曲线l上点的坐标(x,y)满足的方程为
arctan
y1 -+-ln(x
2+y
2
)
=
2
三、解答题
(15)解 令x — t =u,则t =x -u,dt = — du.
。『左二e'dt
工
』e工 丘e-u du
lim
=lim
工-o+
J.尸
x-o+
R
『。 Fue-"du
= lim
X千
J
y=x
X
(16) 解
石尸 =lim
—石 o+ 广伽 3 2
2
—
.
3
因为 y =f(e工 ， COSX), 所以
. lnCl+x)
+= dx
+= dx
三皿 。 。 l+x +o+f
Cl+x)
= 2
f
Cl+x)2
- I =- 1
+= = -(0 — 1)= l
l+x o
故应填 1.
(12) xyeY
解 由题意儿'(x ,y)= ye ,J;cx ,y)= x(l+y) e人
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梦想不会辜负每一个努力的人
f f 所以有f(x,y )= 1:cx,y )dx = y edx = xyeY +C(y ).
1;(x,y ) = [xy eY +C(y )]' =x(l+ y )e +c'(y )=x(l+ y )e :.c'(y ) =O=>C(y ) =C. 因此f(x,y ) =xy e+c,又八0,O) =O.
六
=』I (1 - cos40)d0 40
�
』 =』 ff 又因为 (2x+l)dxdy 2xdxdy+ dxdy= 0 +六三
D
ff 所以
(x
+
l)2
dxdy
=己
4
D
(21)解 曲线l:y= y (x)在点P(x,y)的切线方程为
Y-y= y'(X — X).
令X = O得YI'= y — xy'.
(x+l)2 dxdy= (x2 +zx+ndxdy.
D
D
』 J: 叫： D的边界曲线在极坐标系下的方程为r= 2sin0(0�0�11:),所以
� 2 dxdy =
smO 尸cos2 0dr
六
= 4J sin"0cos2 0d0
亢
=I
l
— cos20si旷20d0
0
2
穴
亢
=』2 I0 sin2 20dB—』2 』0 cos20sin2 20dB