2011高考数学真题考点分类新编考点15平面向量的数量积、线段的定比分点与平移(大纲版地区)
全国卷2011-高考—平面向量试题带答案
新课标全国卷I 文科数学分类汇编5.平面向量(含解析)一、 选择题【2015, 2] 2.已知点A(0.1), B(3,2)，向MAC = (-4,-3),则向g ：BC = ()A. (-7,-4)B. (7.4)C. (-1,4)D. (1.4)【2014,6】设D,E,F 分别为MBC 的三边BC,CA,AB 的中点，则EB + FC = ()A. ADB. -~ADC. -BCD. ~BC 2 2 二、 填空题【2017, 13】已知向量& =(一1,2), /；=(〃?」)，若向量刁+方与&垂直，则m =.【2016, 13】设向= (x, X+l) , b = (L2),且〃丄方，则兀=・【2013, 13】已知两个单位向量“，b 的夹角为60。
，c=ta+(\-t)b.若b ・c=O,则尸 ___________ .【2012, 15】15.已知向量方，乙夹角为45。
，且帀1=1, 12方一力=应，贝ljl5l= ______________ . (2011, 13】已知“与方为两个不共线的单位向量，R 为实数，若向^a+b 与向萤ka-b 垂直，则k =.2011-2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编4.平面向量一、选择题(2017-4)设非零向量0 b ,满足\a+b\=\a-b\则()A. “丄〃B. \a\=\b\C. a // bo. |a|>|Z»|(2015-4)向量a=(l, -I), M-b 2),则(2a +b)a=(A.-lB. 0C. 1 (2014-4)设向量ag 满足+比一方1=拆，则H-b=( )A ・1B ・2C ・3D ・5二、填空题 (2016-13)己知向虽 a=(fn /4)t b==(3厂2),且 a//b.则 m= ______________ ・(2013-14)已知正方形ABCD 的边长为2, E 为CD 的中点，则疋 丽= ________________ ・(2012-15)已知向量a, b 夹角为 45。
2011届高考数学 必看之-知识点总结 平面向量
高中数学第五章-平面向量考试内容：向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移． 考试要求：（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法．（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．§05. 平面向量 知识要点1.本章知识网络结构2.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O .单位向量a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.(1)平面向量基本定理e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O. (4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，则＝λ+111＋λ+112OP (线段的定比分点的向量公式)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x (5)平移公式设点P (x ，y )按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P ′（x ′，y ′），则P O '＝+a 或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x曲线y ＝f （x ）按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为： y －ｋ＝f （x －ｈ)(6)正、余弦定理正弦定理：.2sin sin sin R CcB b A a === 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC .（7）三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r .①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③S △=abc/4R ④S △=1/2sin C ·ab=1/2ac ·sin B=1/2cb ·sin A ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式]⑥S △=1/2（b+c-a ）r a [如下图]=1/2（b+a-c ）r c =1/2（a+c-b ）r b[注]：到三角形三边的距离相等的点有4. 如图： 图1 图2 图3 图4图1中的I 为S △ABC 的内心， S △=PrB I A BC D E F IA B C D EF rar ar abc a a b c C图2中的I 为S △ABC 的一个旁心，S △=1/2（b+c-a ）r a附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.⑸已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC =a ，AC =b ，AB =c [注：s 为△ABC 的半周长,即2cb a ++] 则：①AE=a s -=1/2（b+c-a ） ②BN=b s -=1/2（a+c-b ） ③FC=c s -=1/2（a+b-c ）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在Rt △ABC ，c 为斜边，则内切圆半径r =c b a abc b a ++=-+2（如图3）. ⑹在△ABC 中，有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++. 证明：因为,C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ，所以C BA BA tan tan tan 1tan tan -=-+，∴结论！⑺在△ABC 中，D 是BC上任意一点，则DC BD BCBCAB BD AC AD ⋅-+=222. 证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有 B BD AB BD AB AD cos 2222⋅⋅-+=① 在△ABC中，由余弦定理有 BCAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222②，②代入①，化简 可得，DC BD BCBCAB BD AC AD ⋅-+=222（斯德瓦定理） ①若AD 是BC 上的中线，2222221a cb m a -+=； ②若AD 是∠A 的平分线，()a p p bc cb t a -⋅+=2，其中p为半周长； ③若AD 是BC 上的高，()()()c p b p a p p ah a ---=2，其中p 为半周长.⑻△ABC 的判定：⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔∠A + ∠B =2π2c ＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔∠A + ∠B ＜2π 2c ＞⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔∠A + ∠B ＞2π 附：证明：abc b aC 2cos 222-+=，得在钝角△ABC 中，222222,00cos c b a c b a C +⇔-+⇔⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.)2=DACB图5空间向量1．空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a+=+=b a-=-=)(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++ ⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． 4．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a//b 的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t +=a．其中向量a叫做直线l 的方向向量. 5．向量与平面平行：已知平面α和向量a，作OA a = ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 6．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++① ①式叫做平面MAB 的向量表达式7空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++8空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<> ；若,2a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥ .9．向量的模：设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a.10．向量的数量积： a b ⋅= ||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a = 和轴l ，e是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或在e上的正射影.可以证明A B '' 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅ ．11．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<> ．（2）0a b a b ⊥⇔⋅= ．（3）2||a a a =⋅．12．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ．（2）a b b a ⋅=⋅ （交换律）（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．空间向量的坐标运算一．知识回顾：（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =，则),,(332211b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a ∥)(,,332211Rb a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==(用到常用的向量模与向量之间的转化：a a =⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α||n ②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.AB［例1］求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R )的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值范围.选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.解：(1)当m =2时，x 1＝x 2＝2，∴直线l 垂直于x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=2π (2)当m ≠2时，直线l 的斜率k =21-m ∵m ＞2时，k ＞0. ∴α=arctan21-m ,α∈（0，2π）， ∵当m ＜2时，k ＜0 ∴α＝π＋arctan21-m ，α∈(2π,π). 说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围. ［例2］若三点A (－2，3），B （3，－2），C （21，m ）共线，求m 的值. 选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解：∵A 、B 、C 三点共线， ∴ｋAB ＝ｋAC ，.22132332+-=+--m 解得m =21. 说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.［例3］已知两点A (－1,－5),B (3,－2),直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率.选题意图：强化斜率公式.解：设直线l 的倾斜角α，则由题得直线AB 的倾斜角为2α.∵tan2α=ｋAB =.43)1(3)5(2=-----43tan 1tan 22=-∴αα 即3tan 2α+8tan α－3=0， 解得tan α＝31或tan α＝－3. ∵tan2α＝43＞0,∴0°＜2α＜90°, 0°＜α＜45°， ∴tan α＝31. 因此，直线l 的斜率是31 说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.命题否定的典型错误及制作在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容．从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错．下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述．一、典型错误剖析错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论在命题的否定中，有许多是把原命题中的结论加以否定．如命题：2是无理数，其否定是：2不是无理数．但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了．例1写出下列命题的否定：⑴对于任意实数x，使x2＝1；⑵存在一个实数x，使x2＝1．错解：它们的否定分别为⑴对于任意实数x，使x2≠1；⑵存在一个实数x，使x2≠1．剖析：对于⑴是全称命题，要否定它只要存在一个实数x，使x2≠1即可；对于⑵是存在命题，要否定它必须是对所有实数x，使x2≠1．正解：⑴存在一个实数x，使x2≠1；⑵对于任意实数x，使x2≠1．错误2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词在命题的否定中，有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等．但对于联言命题及选言命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换．例2写出下列命题的否定：⑴线段AB与CD平行且相等；⑵线段AB与CD平行或相等．错解：⑴线段AB与CD不平行且不相等；⑵线段AB与CD不平行或不相等．剖析：对于⑴是联言命题，其结论的含义为：“平行且相等”，所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外，还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而⑵是选言命题，其结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”．正解：⑴线段AB与CD不平行或不相等；⑵线段AB与CD不平行且不相等．错误3——认为“都不是”是“都是”的否定例3写出下列命题的否定：⑴a，b都是零；⑵高一(一)班全体同学都是共青团员．错解：⑴a，b都不是零；⑵高一(一)班全体同学都不是共青团员．剖析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”．正解：⑴a，b不都是零，即“a，b中至少有一个不是零”．⑵高一(一)班全体同学不都是共青团员，或写成：高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员．错误4——认为“命题否定”就是“否命题”根据逻辑学知识，任一命题p都有它的否定(命题)非p(也叫负命题、反命题)；而否命题是就假言命题(若p则q)而言的．如果一个命题不是假言命题，就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题．我们应清醒地认识到：假言命题“若p则q”的否命题是“若非p 则非q”，而“若p则q”的否定(命题)则是“p且非q”，而不是“若p则非q”．例4写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定．错解：不满足条件C的点不都在直线F上．剖析：对于原命题可表示为“若A，则B”，其否命题是“若┐A，则┐B”，而其否定形式是“若A，则┐B”，即不需要否定命题的题设部分．正解：满足条件C的点不都在直线F上．二、几类命题否定的制作1．简单的简单命题命题的形如“A是B”，其否定为“A不是B”．只要把原命题中的判断词改为与其相反意义的判断词即可．例5写出下列命题的否定：⑴ 3＋4＞6；⑵ 2是偶数．解：所给命题的否定分别是：⑴ 3＋4≤6；⑵ 2不是偶数．2．含有全称量词和存在量词的简单命题全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等，形如“所有A是B”，其否定为“存在某个A不是B”；存在量词相当于“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等，形如“某一个A是B”，其否定是“对于所有的A都不是B”．全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题．例6写出下列命题的否定：⑴不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实根．⑵存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0．⑶至少有一个整数是自然数．⑷至多有两个质数是奇数．解：⑴原命题相当于“对所有的实数m，x2＋x－m＝0必有实根”，其否定是“存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实根”．⑵原命题的否定是“对所有的实数x，x2＋x＋1＞0”．⑶原命题的否定是“没有一个整数是自然数”．⑷原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”．3．复合命题“p且q”，“p或q”的否定“p且q”是联言命题，其否定为“非p或非q”(也写成┐p或┐q“；“p或q”是选言命题，其否定为“非p且非q”(也写成┐p且┐q“；例7写出下列命题的否定：⑴他是数学家或物理学家．⑵他是数学家又是物理学家．⑶2123x x+-≥0．解：⑴原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”．⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”，即“他不是数学家或他不是物理学家”．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．。
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_平面向量(word解析版)
2011 年高考试题数学（理科）平面向量一、选择题1. (2011 年高考山东卷理科 12) 设 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 是平面直角坐标系中两两不一样的四点，若A 1A 3A 1 A 2 ( λ ∈ R)， A 1 A 4 1 1A 1 A 2 ( μ ∈ R)，且 2 , 则称 A 3， A 4 调解切割A 1 ， A 2 , 已知点 C(c ， o),D(d ， O) (c ， d ∈ R)调解切割点 A(0 ， 0) ，B(1 ， 0) ，则下边说法正确的选项是(A)C 可能是线段 AB 的中点(B)D 可能是线段 AB 的中点(C)C ， D 可能同时在线段 AB 上(D) C ， D 不行能同时在线段 AB 的延伸线上【答案】 D【分析】由A 1 A 3A 1 A 2 ( λ ∈ R) ， A 1 A 4A 1A 2 ( μ ∈ R) 知: 四点 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 在同一条直线上 ,由于 C,D 调解切割点 A,B, 因此 A,B,C,D 四点在同向来线上, 且11 2, 应选 D.c d2. (2011 年高考全国新课标卷理科 10)若 a ， b ， c 均 为 单 位 向 量 ， 且 a b 0 ， (a c ) (b c ) 0 ，则 | a b c | 的最大值为（A ）21 （ B ）1（C ） 2（ D ）23. (2011 年高考全国新课标卷理科 10) 已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为 ，有以下四个命题P 1 : a b 10,2P 2 : a b 12 ,33P3 : a b 10,P4 : a b 1,334.(2011年高考四川卷理科3)若向量 a, b, c知足 a // b, 且a c,则 c (a2b)A ． 4B． 3C． 2D．0答案： D分析 : c (a 2b) c a c2b c a 2c b 0 0 0, 应选 D.5.(2011年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF中，BA CD EF=( )(A)0 (B)BE (C) AD (D) CF答案： D分析： BA CD EF DE CD EF CD DE EF CF .16. (2011 年高考全国卷理科12)设向量a、b、c知足|a|=|b|=1, a b =,，2a c,b c= 600，则c的最大值等于(A)2(B)3(c)2(D)1B【答案】 AACD【分析】如图，结构 AB a , AD b , ACc ,BAD 120 , BCD 60 ，因此 A, B, C, D 四点共圆，可知当线段 AC 为直径时，c 最大，最大值为2.7．(2011 年高考上海卷理科 17) 设 A 1, A 2 , A 3, A 4 , A 5 是空间中给定的5 个不一样的点，则使MA 1MA 2 MA 3 MA 4 MA 5 0 成立的点 M 的个数为（ ）A ． 0B ． 1C ．5D ． 10【答案】 B二、填空题 :1. (2011年高考浙江卷理科 14) 若平面向量 ， 知足1， 1 ，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为1，则与 的夹角的取值范围是。
2011年平面向量高考题及答案
第五章 平面向量【考试要求】（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法．（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．（4）了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．【考题】1、 （全国Ⅰ新卷文2）a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于（ ）A ．865 B ．865- C ．1665 D ．1665- 2、 （重庆卷理2）已知向量a ，b 满足0,1,2,a b a b •===，则2a b -=（ ）A ． 0B ．C ． 4D ． 83、 （重庆卷文3）若向量a=（3,m ）,b=（2,-1）,a·b=0,则实数m 的值为（ ）A ．32-B ．32C ．2D ．6 4、 （安徽卷理3文3）设向量()1,0=a ，11,22⎛⎫=⎪⎝⎭b ，则下列结论中正确的是（ ）A ．=a bB ．2•=a b C ．-a b 与b 垂直 D ．a ∥b5、 （湖北卷理3）在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =（ ）A ．－3 B ．3C ．－3D ．36、 （北京卷文4）若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是（ ）A ．一次函数且是奇函数B ．一次函数但不是奇函数C ．二次函数且是偶函数D ．二次函数但不是偶函数7、 （湖南卷理4）在Rt ABC ∆中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ⋅等于（ ）A ．-16B ．-8C ．8D ．168、 （广东卷文5）若向量a=（1,1），b=（2,5），c =（3,x ）满足条件 （8a－b）·c=30，则x =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．39、 （四川卷理5文6）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=（ ）A ．8B ．4C ． 2D ．110、（湖北卷理5文8）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+.若存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→+=成立，则m=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511、（湖南卷文6）若非零向量a ，b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则a 与b 的夹角为（ ）A ． 300B ． 600C ． 1200D ． 1500 12、（北京卷理6）a ，b 为非零向量。
2011—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编——5.平面向量
一、选择题【2015，7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【2011，10】已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦ 3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（ ）A ．14,P PB ．13,P PC ．23,P PD ．24,P P二、填空题【2017，13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |= ．【2016，13】设向量a )1,(m =，b )2,1(=，且|a +b ||2=a ||2+b 2|，则=m ．【2014，15】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 ． 【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝__________．【2012，13】已知向量a ，b 夹角为45°，且||1a =，|2|10a b -=，则||b =_________．一、选择题【2015，7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 解析：11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=1433AB AC -+，选A ．. 【2011，10】已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦ 3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（ ）A ．14,P PB ．13,P PC ．23,P PD ．24,P P解析：1a b +==>得， 1cos 2θ>-，20,3πθ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭．由1a b -==>得1cos 2θ<，,3πθπ⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦． 选A ． 二、填空题 【2017，13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |= ． 【解析】()22222(2)22cos602a b a b a a b b+=+=+⋅⋅⋅︒+221222222=+⨯⨯⨯+444=++12=，∴212a b += 【法二】令2,c b =由题意得，2a c ==，且夹角为60，所以2a b a c +=+的几何意义为以,a c 夹角为60的平行四边形的对角线所在的向量，易得223a b a c +=+=；【2016，13】设向量a )1,(m =，b )2,1(=，且|a +b ||2=a ||2+b 2|，则=m ．【解析】由已知得：()1,3a b m +=+，∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-． 【2014，15】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .【解析】∵1()2AO AB AC =+，∴O 为线段BC 中点，故BC 为O 的直径，∴090BAC ∠=，∴AB 与AC 的夹角为090．【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2，又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t ，∴ t ＝2. 【2012，13】已知向量a ，b 夹角为45°，且||1a =，|2|10a b -=，则||b =_________． 【解析】由已知||2245cos ||||=︒⋅⋅=⋅，因为|2|10a b -=，所以10||4||422=+⋅-， 即06||22||2=--b b ， 解得23||=b ．。
2011年高考数学第一轮复习各个知识点攻破5-4线段的定比分点与平移
.
②P 在 线 段 P1P2 或 P2P1 的 延 长 线 上 ， P 为 外 分
内分取“＋”，外分取“－”．
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(2)定比分点坐标公式
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，P分有向线段
所成的比为λ，则有
。
中点坐标公式： 当λ＝1时，P为 的中点，
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的延
| ＝ 15 ， 则 点 P 的 坐 标 是
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答案：(－9,4)
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4．把函数的图象F按向量a＝( ______．
，2)平移后得到函数y
＝ 2sinx 的 图 象 F′ ， 则 平 移 前 的 图 象 F 的 函 数 解 析 式 为 解析：设平移前的图象F上的任一点为P(x，y)，平移 后与之对应的点为P′(x′，y′)，则有
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第四节
线段的定比分点与平移
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考纲 要求 考试 热点
掌握线段的定比分点和中点公式，并且 能熟练运用；要求掌握平移公式．
高考对这部分考查比较简单：求定比、 求分点坐标、求平移向量、求平移后解 析式．也可能与解析几何结合在一起， 作为大题的一个步骤求解.
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(2)函数y＝2sin2x的图象按向量c＝(m，n)平移后得到 函数y＝2sin2(x－m)＋n的图象，即y＝f(x)的图象．由(1)得
f(x)
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[拓展提升]
平移公式与有向线段的定比分点坐标公
2011高考数学知识点汇总精编——平面向量-高考生必备
平面向量一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
例：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
例：下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a bb c ==，则a c =。
（6）若/,/a bb c ，则//a c 。
其中正确的是_______二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；3．坐标表示法： a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
2011高考数学真题考点分类新编：考点19平面向量的数量积、平面向量应用举例(新课标地区)
考点19平面向量的数量积、平面向量应用举例一、选择题1.（2011·福建卷理科·Ｔ10）已知函数()=+x f x e x .对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是（ ）A.①③B.①④C. ②③D.②④【思路点拨】设出,,A B C 三点的坐标，表示BA BC ⋅，结合A ，B ，C 三个点的横坐标判断BA BC ⋅的符号，BA BC ⋅由的符号判断三角形是钝角三角形还是锐角三角形或是直角三角形，再 22||BA BC ABC -∆求｜｜的值，由它的值来判断是否是等腰三角形，【精讲精析】选B. 设112233132(,()),(,()),(,()),2,A x f x B x f x C x f x x x x +=由题意知， 12123232123212(,()()),(,()()),()()[()()]BA x x f x f x BC x x f x f x BA BC x x x x f x f x =--=--∴⋅=--+-32[()()]f x f x ⋅-2131223212[()()].x x x x x x x f x f x =--++-32[()()]f x f x -222132123213213132[()()][()()],,0,x x x f x f x f x f x x x x x x x x x =-+-⋅-+>>⋅∴-<1232[()()][()()]0f x f x f x f x -⋅-<又，0,BA BC ABC ∴⋅<∴∠为钝角，ABC ∴∆一定为钝角三角形，故 ①正确，②不正确，对于③，22221212||()[()()]BA BC x x f x f x -=-+--｜｜232()x x -232[()()]f x f x --222211232311232322()2()()()2()()x x x x x x f x f x f x f x f x f x =--++--+3113132131321313()(2)[()()][()()2()][()()][+x x x x x x x f x f x f x f x f x f x f x e x e x =-+-+-+-=-⋅++222()]x e x -+33121213[()()](2),2x x x x x x f x f x e e e e e e =-+-+>=又31222132,()(),||||∴+>≠∴≠≠又即｜｜｜｜，x x x e e e f x f x BA BC BA BC ∴∆不可能是等腰三角形ABC ,故选④，③错误..2.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（ ）A.14,P PB.13,P PC.23,P PD.24,P P【思路点拨】2||1()1+>⇔+>a b a b ，2||1()1->⇔->a b a b ，将22(),()+-a b a b 展开并化成与θ有关的式子，解关于θ的不等式，得θ的取值范围. 【精讲精析】选A 2||1()1+>⇔+>a b a b ，而222()+2++=⋅a b a a b b2+2cos 1θ>＝，1cos 2θ∴>-，解得20,3πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，同理由2||1()1->⇔->a b a b ，可得,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 3.（2011·广东高考理科·Ｔ3）若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a +2b )= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【思路点拨】本题主要考查向量数量积的性质及运算律.由两向量垂直数量积为零，然后运用数量积对加法的分配律可求解.【精讲精析】选D.b a//且c a⊥，c b ⊥∴，从而0=⋅=⋅a c b c .02)2(=⋅+⋅=+⋅∴b c a c b a c.故选D.4.（2011·辽宁高考理科·Ｔ10）若，，均为单位向量，且0=⋅，（-）·（-）≤0，则|+-|的最大值为（A ）1-2 （B ）1 （C ）2 （D ）2【思路点拨】先化简已知的式子，再将所求式子平方，然后利用化简的结果即可．【精讲精析】选B ，由（-）·（-）≤0，得02≤+⋅-⋅-⋅，又0=⋅ 且，，均为单位向量，得1-≤⋅-⋅-，|+-|2=（+-）2=)(2222⋅-⋅-⋅+++=123)(23=-≤⋅-⋅-+c b c a ，故|a +b -c |的最大值为1.5.（2011·辽宁高考文科·Ｔ3）已知向量a =（2，1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=（A ）-12 （B ）-6 （C ）6 （D ）12 【思路点拨】考察向量的数量积和向量的坐标运算．【精讲精析】选D ，因为),1(),1,2(k -==，所以)2,5(2k -=-． 又0)2(=-⋅，所以0)2(152=-⨯+⨯k ，得12=k ． 二、填空题6.（2011·安徽高考理科·Ｔ13）已知向量a 、b 满足(2)()6a b a b +∙-=-，且||1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为_____________________【思路点拨】(2)()6a b a b +∙-=-可以求出b a ⋅，再利用夹角公式可求夹角. 【精讲精析】答案: 60.(2)()6a b a b +∙-=-,即,622122-=⨯-⋅+b a 则b a ⋅=1，所以,21,cos =⋅=b a b a b a 所以 60,=b a . 7.（2011·福建卷理科·Ｔ15）设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R→满足：对任意向量1122(,),(,),x y V x y V =∈=∈a b 以及任意λ∈R ，均有((1))()(1)()f f f λλλλ+-=+-a b a b则称映射f 具有性质P. 现给出如下映射：①11:,(),(,);f V R f m x y m x y V →=-=∈ ②222:,(),(,);f V R f m x y m x y V →=+=∈ ③33:,()1,(,).f V R f m x y m x y V →=++=∈其中，具有性质P 的映射的序号为________.（写出所有具有性质P 的映射的序号）【思路点拨】对三个映射123,,f f f 分别验证是否满((1))()(1)()f f f λλλλ+-=+-a b a b ，满足则具有性质P ，不满足则不具有. 【精讲精析】①③ 由题意知112212(1)(,)(1)(,)((1),x y x y x x λλλλλλ+-=+-=+-a b 12(1)),y y λλ+-，对于①：11212((1))(1)(1),f x x y y λλλλλλ+-=+----a b而111221()(1)()()(1)()f f x y x y x λλλλλ+-=-+--=+a b 212(1)(1),x y y λλλ----111((1))()(1)()f f f λλλλ∴+-=+-a b a b .故①中映射具有性质P.对于②：221212((1))[(1)](1)f x x y y λλλλλλ+-=+-++-a b ，而2222221122121()+(1-)()()(1)()(1)f f x y x y x x y λλλλλλλ=++-+=+-++a b 2(1)y λ-，222((1))()(1)()f f f λλλλ∴+-≠+-a b a b ，故②中映射不具有性质P.对于③：31212((1))(1)(1)1f x x y y λλλλλλ+-=+-++-+a b ，331122121()(1)()(1)(1)(1)(1)f f x y x y x x y λλλλλλλ+-=+++-++=+-+而a b 2(1)y λ+-1+.333((1))()(1)()f f f λλλλ∴+-=+-a b a b .故③中映射具有性质P.∴具有性质P 的映射的序号为①③.8.（2011·福建卷文科·Ｔ13）若向量a =（1,1），b ＝（-1,2），则a ·b 等于_____________.【思路点拨】用数量积的坐标运算法则求值.【精讲精析】1. (1,1),(1,2),(1,1)(1,2)121==-∴⋅=⋅-=-+=a b a b . 9.（2011·江苏高考·Ｔ10）已知→→21,e e 是夹角为23π的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则实数k 的值为________【思路点拨】本题考查的是平面向量的运算，解题的关键是表示出0=⋅→→b a ，然后找到关于k 的等式进行求解。
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考点15平面向量的数量积、
线段的定比分点与平移一、选择
题1、（2011·湖北高考理科·T8）已知向量a=
(x+z,3),b=(2,y-z)，且a ⊥b.若x,y满足不等式，
则z的取值范围为（） A.[-2，2] B.[-2，3] C.[-3，2] D.[-3，3] 【思路
点拨】先由a ⊥b这一条件寻找x，y之间的
关系，再画出不等式表示的区域，最
后转化为线性规化问题处理. ∴，即
【精讲精析】选 D. 得，而-
表示的平面区域为如图阴
影部分：当经过点时，取得最大值 3
当经过点时，取得最
小值-3 A(0,1) l 1
D(-1,0) x B(1,0) O l C(0,-1) 2 [-3，3].因此z的
取值范围是2、（2011·湖北高考文科·Ｔ2）若向量，则与的夹角
2等于 B.C. D. A.
4644【思路点拨】先求与
的坐标，再求利用数量积的坐标运算求夹角.
【精讲精析】选 C. ∵，，
设与的
夹角为，
∴，又，故
，
、（2011·全国高考理科·Ｔ12）
设向量满足a,b,c
，则的最大值等
于
2
(A)2 (B) (c) (D)1 23【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC 为直径时，最大. |c|【精讲精析】
选 A.如图，构造
所以A 、B 、C 、D 四点共圆，分析可知
当线段AC 为直径时，最大，最大值为 2.
4、（2011·全国高考文科·Ｔ3）
设向量满足,,则（
） 2（A ） （B ）
（C ） （D ）
2 【思路点拨】利用，即可求解 22 【精讲精析】选B. .
、（2011·四川高考理科·Ｔ4）如图，正
六边形中，（）ABCDEF
（A）0 （B）（C）（D）【思路点拨】,向量加法的几何表示，首尾顺次相连.
【精讲精析】选D，
故选（2011·四川高考文科·Ｔ7）与（2011·四川高考理科·Ｔ4）相同6、(2011·重庆高考文科·T5)已知向量,且与共线,那么
的值为( ) (A) 1 (B)
2 (C)
3 (D) 4
【思路点拨】由条件可先求出的值,然后再求. k【精讲精析】选 D.由题意知, ,因为与共线,所以解得,所以二、填空题ABCDBCAB7、（2011·上海高考理科·T11）在正三角形中，是上的点.若=3，=1，则 .
【思路点拨】本题考查向量的数量积公
式，关键是根据向量的方向找出两向量的夹角，并构造三角形求解其余弦值，最终求出结果。
【精讲精析】
由已知条件得，那么
2333333 8、(2011·重庆高
考理科·T12)已知单位向量的夹角为,则60e,e1212【思路点拨】解答本题可利用结合向量的数量积运算来求解. 1【精讲精析】由题意知122
22答案：
3。