微积分试题及答案

微积分试题及答案

5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（，

）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、

2

2

1x y x

=+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件

( )

3、lim β

βαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( )

5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1

sin x

y x

=求函数 的导数

2、

2

1

()arctan ln(12

f x x x x dy =-+已知），求 3、2

326x xy y y x y -+="

已知，确定是的函数，求 4、2

tan sin lim sin x x x

x x

→-求 5、

31)x x

+计算（ 6、2

10lim(cos )x x x +

→计算

五、应用题

1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2

)100R x x x =-（，总成

本函数为2

()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少

时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数2

1

y x

x

=+

的图形（12分）

六、证明题（每题6分）

1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x

+

→+∞

→==则 2、证明方程10,1x

xe =在区间（）内有且仅有一个实数

一、 选择题

1、C

2、C

3、A

4、B

5、D

6、B 二、填空题

1、0x =

2、6,7a b ==-

3、18

4、3

5、20x y +-= 三、判断题

1、√

2、×

3、√

4、×

5、× 四、计算题 1、

1sin

1

sin 1sin ln 1

sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )

x

x

x x

x x

y x e

e x x x x x x x x x x x

'='='

⎡

⎤=-+⎢⎥⎣

⎦=-+（（

2、

22

()112(arctan )121arctan dy f x dx

x

x x dx x x xdx

='=+-++=

3、 解：

2

22

2)2)222302323(23)(23(22)(26)

(23x y xy y y x y

y x y y x y x y yy y x y

--'+'=-∴'=--'----'∴''=

-

4、 解：

2

223000tan sin ,1cos 2

1tan (1cos )12lim lim sin 2

x x x x x x x x x x x x x x x →→→--∴==Q :::

当时，原式=

5、 解：

6652

3

2

2

22

2

66

,61)6111611

6(1)166arctan 6arctan

x x t dx t t

t t t t t t

t t C x x C

===

+=++-=+=-+=-+=-+⎰⎰

⎰

⎰令原式（

6、 解：

2

2

01

ln cos 0

1lim

ln cos 202

0001

2

lim 1lim ln cos ln cos lim 1

(sin )

cos lim 2tan 1

lim 22x x

x x x

x x x x x e e

x x

x

x x x x

x x e

+

+

→+++

+→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中：

原式

五、应用题

1、解：设每件商品征收的货物税为a ，利润为()L x

222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)

4

1

(502)

4

1

0250

2

25L x R x C x ax

x x x x ax x a x L x x a a

L x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==

-=

'=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时，T 取得最大值

2、 解：

()()2

33

00,01

202

2201

D x y x x y x y x y x =-∞⋃+∞='=-

'==''=+

''==-，间断点为令则令则