大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分）

1. （3分）若2,0,

(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0

(3)(3)

lim

2h f h f h

→--的值为（ ）.

(A)1 (B)3 (C)-1 (D)

12

3. （3分）定积分22

π

π-⎰的值为（ ）.

(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2

4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）

1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .

2. （3分）

1

241

(sin )x x x dx -+=⎰

.

3. （3分） 20

1

lim sin

x x x

→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .

三、计算题（共42分）

1. （6分）求2

ln(15)

lim

.sin 3x x x x

→+

2.

（6分）设2

,1

y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰

4. （6分）求3

(1),f x dx -⎰

其中,1,()1cos 1, 1.x x

x f x x e x ⎧≤⎪

=+⎨⎪+>⎩

5. （6分）设函数()y f x =由方程0

cos 0y

x

t e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰

7. （6分）求极限3lim 1.2n

n n →∞

⎛

⎫+ ⎪⎝⎭

四、解答题（共28分）

1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x

2. （7分）求由曲线cos 22y x x π

π⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴

旋转一周所得旋转体的体积.

3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.

4. （7

分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分)

设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明

1()[()()]()()().22b

b

a

a

b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰

⎰

标准答案

一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1

31;y x =+ 2

2

;3

3 0;

4 0. 三、 1 解 原式205lim

3x x x

x

→⋅= 5分

5

3

=

1分 2 解

22ln ln ln(1),12

x

y x x ==-++ 2分

2

212[]121

x y x x '∴=-++ 4分 3 解 原式22

1ln(1)(1)2

x d x =

++⎰ 3分

222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x

=++-+⋅+⎰ 2分

2221

[(1)ln(1)]2

x x x C =++-+ 1分 4 解 令1,x t -=则 2分

3

2

1()()f x dx f t dt -=⎰⎰ 1分

1

21

1(1)1cos t t

dt e dt t

-=+++⎰⎰ 1分

2

1

0[]t e t =++ 1分 21e e =-+ 1分

5 两边求导得cos 0,y

e

y x '⋅+= 2分

cos y x

y e

'=-

1分

cos sin 1

x

x =

- 1分 cos sin 1

x

dy dx x ∴=

- 2分

6 解

1

(23)(23)(22)2

f x dx f x d x +=

++⎰

⎰ 2分 21

sin(23)2

x C =++ 4分 7 解 原式=2332

3lim 12n n n ⋅→∞

⎛⎫+

⎪⎝

⎭

4分

=32

e 2分 四、1 解 令ln ,x

t =则,()1,t t x e f t e '==+ 3分

()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++ 2分

(0)1,0,f C =∴= 2分

().x f x x e ∴=+ 1分

2 解

222

cos x V xdx π

ππ-=⎰ 3分

2202cos xdx π

π=⎰ 2分

2

.2

π=

2分

3 解

23624,66,y x x y x '''=-+=- 1分

令0,y ''=得 1.x = 1分 当1x -∞<

<时,0;y ''< 当1x <<+∞时,0,y ''> 2分

(1,3)∴为拐点, 1分

该点处的切线为321(1).y

x =+- 2分

4 解

1y '=-

= 2分

令0,y '=得3

.4

x

= 1分 35

(5)5 2.55,,(1)1,44

y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭ 2分

∴

最小值为

(5)5y -=-+最大值为35

.44

y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2

分

五、证明